ÁREA:

TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN III

INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR

PEDAGÓGICO PÚBLICO

“AREQUIPA”

CARRERA PROFESIONAL: MATEMÁTICASEMESTRE ACADÉMICO: TERCERO

AUTOR(A): DANILO EDUARDO VARGAS JUCHARO

14/07/2014El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 1

NÚMERO, RELACIONES Y FUNCIONES

ÁLGEBRA

TERCER GRADO

El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 214/07/2014

Un polinomio como 𝑥3 +5𝑥2 − 3𝑥 + 4 es enteroporque ninguno de sustérminos tiene letras en eldenominador y es racional porque ninguna de sus términostiene raíz inexacta.

Éste es un polinomio entero yracional en x y su grado es 3

El polinomio 𝑎5 + 6𝑎4 −3𝑎3 + 5𝑎2 + 8𝑎 + 3 es unpolinomio entero racional en ay su grado es 5 El QUE ESTUDIA TRIUNFA.

314/07/2014

4

Regla de Ruffini

3 -2 -5 -9

2

-3

División de un polinomio de la

forma (x-a)

3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2

- 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3

4x2 – 5x

- 4x2 + 8x

3x – 9

-3x + 6

-3 3

6

4

8

3

6

3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)El QUE ESTUDIA TRIUNFA.14/07/2014

5

División de un polinomio de la

forma (x-a)

• División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini

3 -2 -5 -9

2 6 8 6

3 4 3 -3

1º operación : 3.2 -2 = 4

2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3

3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3

Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3

El QUE ESTUDIA TRIUNFA.14/07/2014

PASOS A REALIZAR

En una división por un polinomio de la forma x - a

1. Reducimos y ordenamos el dividendo.

2. Colocamos en fila los coeficientes del dividendo,incluidos los ceros.

3. Colocamos más abajo a la izquierda de loscoeficientes el valor del número a.

4. Se aplica el algoritmo de Ruffini.

Los números obtenidos son los coeficientes del cociente,salvo el último que es el resto de la división.

Se puede comprobar el resultado

Dividendo = Cociente x Divisor + Resto

El QUE ESTUDIA TRIUNFA.

6

14/07/2014

1 4 0 - 5

Cociente:

x2 + 7x + 21

Resto:

58

EJEMPLO CON LA REGLA DE RUFFINI

Realiza la división (x3 + 4x2 – 5) : (x – 3)

1. Escribo los coeficientes, realizo las

líneas para la operación y escribo

más abajo, a la izquierda, el número

correspondiente al divisor, cambiado

de signo.

2. Bajamos el primer coeficiente del

dividendo y lo multiplicamos por 3,

resultado que se suma al segundo

coeficiente.

3. Repetimos el proceso hasta llegar al

último coeficiente

4. Todos los coeficientes corresponden al

cociente, excepto el último que

corresponde al resto de la división

3

1

3

7

21

21

63

58

El QUE ESTUDIA TRIUNFA.

7

14/07/2014

• EJEMPLO 1

• Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ) , donde a = 3

• 1 4 0 - 5

• +

• 3 3 21 63

• 1 7 21 58

• C(x) = 1.x2 + 7.x + 21

• R(x) = 58

• Podemos comprobar la división:

• (x3 + 4.x2 - 5) = (x - 3).(x2 + 7.x + 21) + 58

El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 814/07/2014

• EJEMPLO 2

• Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ) , donde a = - 5

• 1 4 0 - 5

• +

• - 5 - 5 5 - 25

• 1 - 1 5 - 30

• C(x) = 1.x2 - 1.x + 5

• R(x) = - 30

• Podemos comprobar la división:

• (x3 + 4.x2 - 5) = (x + 5 ).(x2 - x + 5) + (- 30)

El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 914/07/2014

• EJEMPLO 3

• Sea ( 4.x3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ) , donde a = - 2

• 4 0 5 - 3

• +

• - 2 - 8 16 - 42

• 4 - 8 21 - 45

• C(x) = 4.x2 - 8.x + 21

• R(x) = - 45

• Podemos comprobar la división:

• ( 4.x3 + 5.x - 3 ) = ( x + 2 ).(4.x2 - 8.x + 21) + (- 45)

El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 1014/07/2014

TEOREMA DEL RESTO

• Recordemos que RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero.

• Cumplen la ecuación: P(x)=0

• TEOREMA DEL RESTO

• El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a) , es el valor del polinomio al sustituir la variable x por el valor de a.

• Si el binomio es de la forma (x + a) , sustituiremos la x por - a.

• Si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice que es una raíz del polinomio.

• Si un polinomio es de grado n , tendrá como máximo n raíces reales.

• Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz real. Si es de grado par tendrá 0, 2, 4 , … raíces reales.

El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 1114/07/2014

• EJEMPLO_1

• Ya hemos visto al hacer la división:

• ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ), que el resto es 58

• Veamos aplicando el Teorema del resto:

• P(a)=P(3)= 33 + 4.32 - 5 = 27 + 36 – 5 = 58

• EJEMPLO_2

• Ya hemos visto al hacer la división:

• ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ), que el resto es – 30

• Veamos aplicando el Teorema del resto:

• P(a)=P(-5)= (-5)3 + 4.(-5)2 - 5 = -125 + 100 – 5 = - 30

• EJEMPLO_3

• Ya hemos visto al hacer la división:

• ( 4.x3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), que el resto es – 45

• Veamos aplicando el Teorema del resto:

• P(a)=P(-2)= 4.(-2)3 + 5.(-2) - 3 = - 32 – 10 – 3 = - 45

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