Upload
doantu
View
230
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
METODE NUMERIK
INTEGRAL NUMERIK
http://maulana.lecture.ub.ac.id
Definisi mengintegrasikan = memadukan bersama = menjumlahkan total
Mengapa ada integrasi numerik?Karena integrasi numerik digunakan untuk menyelesaikan integral yang sulit diselesaikan secara analitik
x
f(x)f(x)
ba
b
adxxf )(
Jenis integral Numerik Newton-Cotes Trapesium Simpson Romberg Fox-Romberg Gauss-Legendre Gauss-Chebyshev Gauss-Hermite Double Exponential
Definisi
Contoh :
sulit diselesaikan secara analitis (dengan teori kalkulus yang ada)
2
0
122
1dx
xex x
Cara Penyelesaian Melalui pendekatan kurva
x f(x)0 . . . . .
0,25 . . . . .0,5 . . . . .0,75 . . . . .
. . . . .
. . . . .2 . . . . .
Semakin kecil selang, hasil semakin teliti karenasemakin besar selang, kesalahan semakin besar
Cara Penyelesaian
Alternatif pemecahan (jika tidak dengan penyelesaian analitis) Memplot grafik tersebut pada kertas berpetak segi
empat (dijumlah luas setiap kotak) Membuat segmen-segmen vertikal (mirip diagram
batang), menjumlah (luas setiap segmen vertikal). Integrasi numerik
Integrasi Newton Cotes
Perhitungan integrasi numerik yang paling umum adalah formula Newton Cotes.
Strategi dari formula ini adalah mengganti yang rumit atau data yang hilang dengan beberapa fungsi aproksimasi yang mudah diintegrasikan.
Integrasi Newton Cotes
Jika diketahui suatu f(x) pada interval [a,b], nilai integral
bisa didekati dengan Newton Cotes orde n. Bentuk umum Newton Cotes orde n
b
adxxfs )(
nn
nn xaxaxaxaanf
11
2210)(
Integrasi Newton Cotes
ba
ba
xaanf 10)(
33
22103 xaxaxaaxf
22102 xaxaaxf
Integrasi Newton Cotes Semakin tinggi orde Newton yang digunakan
sebagai pendekatan perhitungan, akan semakin kecil kesalahan yang dihasilkan.
Pendekatan Newton Cotes orde ke-n perlu (n+1) titik.
Dalam formula Newton Cotes Metode tertutup batas awal dan batas akhir
diketahui Metode terbuka batas integrasi diperluas di
luar rentangan (ekstapoksi)
Metode Trapesium
Metode ini adalah bagian dari metode integrasi Newton tertutup dengan menggunakan aproksimasi polinomial orde 1, sehingga dengan aturan trapesium.
b
adxxfI 1 Newton Cotes orde 1
2
bfafabI
Rumus ini berpadanan dengan rumus geometri dari trapesium, dengan lebar sebesar (b–a) dan tinggi rata-rata
2bfaf
Metode Trapesium
Besarnya kesalahan untuk aturan trapesium tunggal adalah :
adalah nilai rata-rata dari turunan ke-2 yang dirumuskan sebagai
3121 abfa
f
ab
xff
b
a
"
Metode Trapesium (Ex.)
Diketahui suatu fungsi Hitung nilai analitis dari
Hitung nilai integral di atas dengan aturan trapesium tunggal pada batas x = 0 sampai dengan x = 2
Hitung nilai t dan a
xexxf 1
2
0dxxf
Metode Trapesium (Ex.)
u = x + 1 dv = ex.dx du = dx v =
duvvudxex x ..12
0
xx edxe
0022
2
0
2
0
2
0
.10.12
]1
].11
eeee
eex
dxeexdxex
xx
xxx
0ee.3 22 2e.2 = 14,778
Secara eksak
Metode Trapesium (Ex.)
Dengan aturan trapesium tunggal
2
bfafabI ; b = 2; a = 0
167,232
167,22102
167,22.3.1221.100
22
0
I
eefbfefaf
Metode Trapesium (Ex.)
Kesalahan
%767,56%100778,14
167,23778,14
t
t (tidak dalam persen)t = |14,778 – 23,167| = 8,389
Metode Trapesium (Ex.)
a = ?
dxexf
exexexfexexexf
exxf
x
xxx
xxx
x
02
..3
.3.2.2.1
.1
2
2
0
Metode Trapesium (Ex.)
u = x + 3 dv = ex.dxdu = dx
duvvudxex x ....32
0
xx edxev .
2
0
2
0]..3..3 dxeexdxex xxx
556,27242.5
.30.32
].3
222
0022
2
0
eeeeeee
eex xx
Metode Trapesium (Ex.)
3.121
778,1302
556,27
abf
f
a
185,9
185,9
02.778,13121 3
References
Resource: http://www2.math.umd.edu/~dlevy/classes/amsc466/lectur
e-notes/integration-chap.pdf http://www.mathcs.emory.edu/~haber/math315/chap5.pdf http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT-
INF1100/h11/kompendiet/chap12.pdf
Comparation : http://www.hvks.com/Numerical/webintegration.html
Check hasil integrasi