Upload
phunganh
View
459
Download
37
Embed Size (px)
Citation preview
1
METODA
TEMPAT KEDUDUKAN AKAR
1. Pendahuluan
Karakteristik dasar tanggapan peralihan suatu sistem lingkar tertutup
ditentukan oleh pole-pole lingkar tertutup. Jadi dalam persoalan analisis, perlu
ditentukan letak pole-pole lingkar tertutup pada bidang s. Dalam disain sistem
lingkar tertutup, akan diatur pole dan zero lingkar terbuka sedemikian rupa
sehingga pole dan sero lingkar tertutup pada posisi yang diinginkan. Pole-pole
lingkar tertutup adalah akar-akar persamaan karakteristik. Untuk mencarinya
diperlukan penguraian persamaan polinomial karakteristik atas faktor-faktornya.
Pada umumnya ini sulit jika derajat polinomial karakteristiknya tiga atau lebih
tinggi. Teknik klasik penguraian polinomial atas faktor-faktornya adalah kurang
ampuh karena penguatan fungsi alih lingkar terbuka berubah maka perhitungan
arus diulang.
Metoda tempat kedudukan akar merupakan suatu metoda dengan
menggambar akar-akar persamaan karakteristik untuk semua harga dari suatu
parameter sistem. Akar-akar untuk suatu harga tertentu dari parameter ini
selanjutnya terletak pada grafik yang diperoleh. Perhatikan bahwa parameter ini
biasanya adalah penguatan tetapi setiap variabel lain dari fungsi alih lingkar
terbuka juga dapat digunakan. Jika tidak disebutkan, dianggap bahwa penguatan
fungsi alih lingkar terbuka merupakan parameter yang diubah di seluruh daerah
harganya yaitu dari nol sampai tak terhingga. Tempat kedudukan akar-akar
persamaan karakteristik sistem lingkar tertutup jika penguatan diubah dari nol
sampai tak terhingga memberikan latar belakang pemberian nama metoda ini.
Diagram ini secara jelas menunjukkan konstribusi tiap pole dan zero lingkar
terbuka pada letak pole-pole lingkar tertutup. Metoda tempat kedudukan akar
memungkinkan untuk mencari pole-pole lingkar tertutup dari pole dan zero
lingkar terbuka dengan penguatan sebagai parameter. Metoda ini menghilangkan
2
kesulitan-kesulitan yang timbul pada teknik klasik dengan memberikan peragaan
grafis semua pole lingkar tertutup untuk semua harga penguatan fungsi alih
2. Contoh Soal
Contoh 1. : Diketahui fungsi alih pada persamaan (6.15) berikut
( ) 3 2
s + 0.2G s =
s + 3.6s (1)
Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar dari
fungsi alih pada persamaan (1)
Jawab :
Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 1. adalah clc
clear all
close all
% Contoh 1.
%
% Fungsi Alih
disp('Fungsi Alih')
num = [ 0 0 1 0.2];
den = [ 1 3.6 0 0];
sys = tf(num,den)
%
% Diagram Tempat Kedudukan Akar
rlocus(num,den)
v = [ -4 2 -4 4];
axis(v)
grid on
Hasil program Fungsi Alih
Transfer function:
s + 0.2
-------------
s^3 + 3.6 s^2
Diagram tempat kedudukan akar persamaan (1) pada Gambar 1. berikut
3
Gambar 1. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Pada Persamaan (1)
Contoh 2. : Untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 6.3 berikut
s(s+3)(s+5)(s +1(s+1)2
K (s + 2s + 5)2
R(s) C(s)+
-
Gambar 2. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup
Tentukan
a. Jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil
b. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada
Gambar 2.
Jawab :
a. Untuk menentukan jangkauan nilai K
Fungsi alih sistem lingkar terbuka sistem pada Gambar 2. adalah
( )( )
( )( )( )( )2 2
5 4 3 22
K s + 2s + 5 K s + 2s + 5G s =
s + 9.5s + 28s + 20s + 15ss s + 3 s + 5 s +1.5s + 1=
(2)
Untuk menentukan titik potong tempat kedudukan akar pada sumbu imajiner jω
dilakukan dengan mensubstitusi s = jω ke dalam persamaan karakteristik pada
persamaan (2) dan diperoleh persamaan (3) dan (4) berikut
-4 -3 -2 -1 0 1 2-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
40.120.260.40.520.66
0.8
0.9
0.97
0.120.260.40.520.66
0.8
0.9
0.97
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5 4 3 2 2jω + 9.5 jω + 28 jω + 20 jω + 15 jω + K jω + 2 jω + 5 0= (3)
( ) ( )4 2 5 39.5ω 20+K ω 5K j ω 28ω 15+2K ω 0 − + + − + = (4)
Berdasarkan persamaan (4) diperoleh persamaan (5) dan persamaan (6) berikut
( )4 29.5ω 20 + K ω 5K 0− + = (5)
( )5 3ω 28ω 15 + 2K ω 0− + = (6)
Berdasarkan persamaan (5) diperoleh persamaan (7) berikut
( )4 2
4 2 -ω + 28ω -15ω 28ω 15 + 2K 0 K =
2− + = → (7)
dengan substitusi persamaan (7) ke persamaan (5) diperoleh persamaan (8) dan (9)
berikut
4 24 2 4 2-ω + 28ω -15
9.5ω 20 + ω 2.5ω 70ω 37.50 02
− − + − =
(8)
6 4 20.5ω 2ω 57.50ω 37.50 0− + − = (9)
Dengan menggunakan Matlab diperoleh akar-akar dari persamaan (9) sebagai
berikut
1ω = 2.4786 - j2.1157 (10)
2ω = 2.4786 + j2.1157 (11)
3ω = -2.4786 + j2.1157 (12)
4ω = -2.4786 - j2.1157 (13)
5ω = -0.8155 (14)
6ω = 0.8155 (15)
Akar-akar dari persamaan (9) menunjukkan bahwa tempat kedudukan akar
memotong sumbu khayal pada ω = 0.8155 dengan nilai
( ) ( )4 24 2 0.8155 28 0.8155 15-ω + 28ω -15K = 1.5894
2 2
− + −= =
(16)
Dengan demikian jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil adalah
0 < K < 1.5894 (17)
5
b. Gambar diagram tempat kedudukan akar untuk sistem lingkar tertutup pada
Gambar 2.
Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 2. adalah clc
clear all
close all
% Contoh 2.
%
% Fungsi Alih
disp('Fungsi Alih')
num = [ 0 0 0 1 2 5];
den = [ 1 9.5 28 20 15 0];
sys = tf(num,den)
%
% Diagram Tempat Kedudukan Akar
rlocus(num,den)
v = [ -8 2 -5 5];
axis(v)
grid on
Hasil program Fungsi Alih
Transfer function:
s^2 + 2 s + 5
--------------------------------------
s^5 + 9.5 s^4 + 28 s^3 + 20 s^2 + 15 s
Diagram tempat kedudukan akar untuk sistem lingkar tertutup Gambar 6.2
berikut
Gambar 3. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Lingkar Tertutup Pada
Gambar 6.2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
50.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
0.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
12345678
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
6
Contoh 3. : Untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 4. berikut
R(s) +
-
Ks+3
s+5
3
s (s+3)2C(s)
Gambar 4. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup
Tentukan
a. Jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil
b. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada
Gambar 6.4
Jawab :
a. Untuk menentukan jangkauan nilai K
Fungsi alih sistem lingkar terbuka pada persamaan (18) berikut
( ) ( )4 3 2
3K s + 3G s
s + 8s + 15s= (18)
Persamaan karakteristik sistem pada persamaan (19) berikut
4 3 2s + 8s + 15s + 3Ks + 9K 0= (19)
Untuk menentukan titik potong tempat kedudukan akar pada sumbu imajiner jω
dilakukan dengan mensubstitusi s = jω ke dalam persamaan karakteristik (6.33)
dan diperoleh persamaan (20) dan (21) berikut
( ) ( ) ( ) ( )4 3 2jω + 8 jω + 15 jω + 3K jω + 9K 0= (20)
4 2 2ω 15ω 9K jω 8ω 3K 0 − + + − + = (21)
Berdasarkan persamaan (21) diperoleh persamaan (22) dan (23) berikut
4 2ω 15ω 9K 0− + = (22)
3ω 8ω 3K 0 − + = (23)
Berdasarkan persamaan (23) diperoleh persamaan (24) berikut
22 8ω
ω 8ω 3K 0 K = 3
− + = → (24)
Dengan substitusi persamaan (24) ke persamaan (22) diperoleh persamaan (25)
dan (26) berikut
24 2 8ω
ω 15ω 9 03
− + =
(25)
7
4 2ω 9ω 0+ = (26)
Dengan menggunakan Matlab diperoleh akar-akar dari persamaan (26) sebagai
berikut
1ω = 0 (27)
2ω = j3± (28)
Dari akar-akar persamaan (26) terlihat bahwa tempat kedudukan akar memotong
sumbu khayal pada ω = 3 dengan nilai berikut
( )28 3
K = 243
= (29)
Dengan demikian jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil adalah
0 < K < 24 (30)
c. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup
Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 3. adalah
clc
clear all
close all
% Contoh 3.
%
% Fungsi Alih
disp('Fungsi Alih')
num = [ 0 0 0 1 3];
den = [ 1 8 15 0 0];
sys = tf(num,den)
%
% Diagram Tempat Kedudukan Akar
rlocus(num,den)
v = [ -2 2 -5 5];
axis(v)
grid on
Hasil program Fungsi Alih
Transfer function:
s + 3
--------------------
s^4 + 8 s^3 + 15 s^2
8
Diagram tempat kedudukan akar pada Gambar 5. berikut
Gambar 5. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Diagram Blok Pada Gambar 4.
Contoh 4. : Untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 6.7 berikut
Gambar 6. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup
Tentukan
a. Nilai K jika rasio redaman dari pole lingkar tertutup bernilai 0.6
b. Dengan menggunakan Matlab, tentukan pole-pole sistem lingkar tertutup
c. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada
Gambar 6.
d. Gambarkan tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan
Jawab :
a. Nilai K jika rasio redaman ( )ς dari pole lingkar tertutup bernilai 0.6
Gambar 7. Posisi Sudut
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0.9
0.070.140.220.32
0.42
0.56
0.74
0.9
1
2
3
4
1
2
3
4
5
0.070.140.220.32
0.42
0.56
0.74
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
K
s(s+3)(s+5)
+
-
9
Persamaan karakteristik sistem Gambar 6. pada persamaan (31) berikut
( )( )s s + 3 s + 5 + K 0= (31)
n
n
ςωsin θ = ς
ω= (32)
Berdasarkan Gambar 7. Jika ς = 0.6 diperoleh persamaan (33) berikut
s = -0.75a + ja (33)
Dimana a adalah variabel yang nilainya berkisar antara 0 < a < ∞ . Dengan
mensubstitusi persamaan (33) ke persamaan (31) diperoleh persamaan (34) dan
(35) berikut
( )( ) ( )-0.75a + ja -0.75a + ja+ 3 -0.75a + ja + 5 + K 0= (34)
( ) ( )3 2 3 21.8281a - 2.1875a - 3a + K j 0.6875a - 7.50a +15a 0+ =
(35)
Berdasarkan persamaan (35) diperoleh persamaan (36) dan (37) berikut
3 21.8281a - 2.1875a - 3a + K = 0 (36)
3 20.6875a - 7.50a +15a = 0 (37)
Dari persamaan (37) diperoleh persamaan (38) berikut
20.6875a - 7.50a +15 = 0 atau 2a - 10.9099a + 5.8182 = 0 (38)
Persamaan (38) difaktorkan menjadi persamaan (39) berikut
( )( )a - 0.5623 a - 10.3468 = 0 (39)
Berdasarkan persamaan (39) diperoleh persamaan (40) berikut
1a = 0.5623 dan 2a = 10.3468 (40)
Dari persamaan (36) diperoleh persamaan (41) berikut
3 2K = -1.8281a + 2.1875a + 3a (41)
Dengan mensubstitusi nilai-nilai pada persamaan (40) ke dalam persamaan (41)
diperoleh persamaan (42) dan (43) berikut
( ) ( ) ( )3 2
1K = -1.8281 0.5626 + 2.1875 0.5626 + 3 0.5626 = 2.0535 untuk 1a = 0.5623
(42)
( ) ( ) ( )3 2
2K = -1.8281 10.3468 + 2.1875 10.3468 + 3 10.3468 = -1759.7400untuk 2a = 10.3468
(43)
10
Dari persamaan (42) dan (43) terlihat bahwa nilai K bernilai positif untuk
1a = 0.5623 dan bernilai negatif untuk 2a = 10.3468 . Dengan demikian diambil
nilai K = 2.0535 .
b. Pole-pole sistem lingkar tertutup
Dengan mensubstitusi Nilai K = 2.0535 persamaan (42) diperoleh persamaan (44)
berikut
( )( )s s + 3 s + 5 + 2.0535 0= atau 3 2s 8s 15s + 2.0535 0+ + = (44)
Dengan menggunakan Matlab diperoleh akar-akar dari persamaan (44) berikut
1s = -5.1817 (45)
2s = -2.6699 (46)
3s = -0.1484 (47)
c. Diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada Gambar 8.
Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 4. adalah clc
clear all
close all
% Contoh 4.
%
% Fungsi Alih
disp('Fungsi Alih')
num = [ 0 0 0 1];
den = [ 1 8 15 0];
sys = tf(num,den)
%
% Diagram Tempat Kedudukan Akar
rlocus(num,den)
v = [ -2 2 -5 5];
axis(v)
grid on
Hasil program Fungsi Alih
Transfer function:
1
------------------
s^3 + 8 s^2 + 15 s
Gambar 8. merupakan diagram tempat kedudukan akar dari diagram blok pada
Gambar 6. berikut
11
Gambar 8. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk diagram blok pada Gambar 6.
d. Gambarkan tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan
Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 4. adalah clc
clear all
close all
%
% Fungsi Alih Lingkar Tertutup
disp('Fungsi Alih Lingkar Tertutup')
num1 = [ 0 0 0 2.0535];
den1 = [ 1 8 15 2.0535];
sys = tf(num1,den1)
%
% Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan
step(num1,den1)
grid on
title('Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan')
Gambar 9. merupakan tanggapan sistem pada Gambar 6. terhadap masukan undak
satuan
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
50.070.140.220.32
0.42
0.56
0.74
0.9
0.070.140.220.32
0.42
0.56
0.74
0.9
1
2
3
4
1
2
3
4
5
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
12
Gambar 9. Tanggapan Diagram Blok Pada Gambar 6. Terhadap Masukan Undak Satuan
Contoh 5. : Untuk sistem dengan fungsi alih pada persamaan (48) berikut
( ) 2
s + 5G s =
s + 7s + 25 (48)
Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar dari
persamaan (48)
Jawab :
Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 5. adalah clc
clear all
close all
% Contoh 5.
%
% Fungsi Alih
disp('Fungsi Alih')
num = [ 0 1 5];
den = [ 1 7 25];
sys = tf(num,den)
%
% Diagram Tempat Kedudukan Akar
figure
rlocus(num,den)
grid on
Hasil program Fungsi Alih
Transfer function:
0 10 20 30 40 50 600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan
Time (sec)
Amplitude
13
s + 5
--------------
s^2 + 7 s + 25
Gambar 10. merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada
persamaan (48) berikut
Gambar 10. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Pada Persamaan (48)
Contoh 6. : Untuk sistem dengan fungsi alih pada persamaan (49) berikut
( ) ( ) ( )( )( )
( )4 3 22 2
K s + 3 K s + 3G s H s =
s + 5s +17s + 29s + 28s + 3s + 4 s + 2s + 7=
(49)
Dengan menggunakan Matlab tentukan gambarkan diagram tempat kedudukan
akar dari persamaan (49)
Jawab :
Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 6. adalah clc
clear all
close all
% Contoh 6.
%
% Fungsi Alih
disp('Fungsi Alih')
num = [ 0 0 0 1 3];
den = [ 1 5 17 29 28];
sys = tf(num,den)
%
% Diagram Tempat Kedudukan Akar
K1 = 0:0.1:2;
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
50.350.580.760.860.920.96
0.984
0.996
0.350.580.760.860.920.96
0.984
0.996
24681012141618
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
14
K2 = 2:0.02:5;
K3 = 2.5:0.5:10;
K4 = 10:1:50;
K5 = 50:5:800;
K = [K1 K2 K3 K4 K5];
r = rlocus(num,den,K);
plot(r,'o');
v = [ -10 5 -8 8];
grid on
title('Tempat Kedudukan Akar')
xlabel('Sumbu Real')
ylabel('Sumbu Imaginer')
Gambar 11. merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada
persamaan (49) berikut
Gambar 11. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Pada Persamaan (49)
Contoh 7. : Untuk sistem kendali umpan balik satu dengan fungsi alih pada
persamaan (50) berikut
( )( )2
KG s =
s s + 5s + 9 (50)
Tentukan
a. Pole-pole untuk sistem lingkar tertutup dengan menggunakan Matlab jika
K = 3
b. Dengan menggunakan Matlab, Gambarkan diagram tempat kedudukan akar
persamaan (50)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Tempat Kedudukan Akar
Sumbu Real
Sumbu Imaginer
15
c. Tanggapan sistem lingkar tertutup terhadap masukan undak satuan
Jawab :
a. Pole-pole untuk sistem lingkar tertutup jika K = 3
Persamaan karakteristik sistem pada persamaan (50) adalah
3 2s + 5s + 9s + 3 = 0 (51)
Dengan menggunakan Matlab diperoleh persamaan (52) s/d (54) berikut
1p -2.2874 + j1.3500= (52)
2p -2.2874 - j1.3500= (53)
3p -0.4253= (54)
Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 7. adalah clc
clear all
close all
% Contoh 7.
%
disp('Pole - Pole Sistem Lingkar Tertutup')
P = [ 1 5 9 3];
roots(P)
Hasil program Pole - Pole Sistem Lingkar Tertutup
ans =
-2.2874 + 1.3500i
-2.2874 - 1.3500i
-0.4253
b. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar persamaan (50)
Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 7a. adalah
clc
clear all
close all
% Contoh 7a.
%
% Fungsi Alih
disp('Fungsi Alih')
num = [ 0 0 0 1];
den = [ 1 5 9 0];
sys = tf(num,den)
%
%
16
% Diagram Tempat Kedudukan Akar
rlocus(num,den)
grid on
title('Diagram Tempat Kedudukan Akar')
xlabel('Sumbu Real')
ylabel('Sumbu Imaginer')
Hasil program Fungsi Alih
Transfer function:
1
-----------------
s^3 + 5 s^2 + 9 s
Gambar 6.13 merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada
persamaan (6.65)
Gambar 12. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Pada Persamaan (50)
c. Tanggapan sistem lingkar tertutup terhadap masukan undak satuan
Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 7b. adalah clc
clear all
close all
% Contoh 7b.
%
% Fungsi Alih Lingkar Tertutup
disp('Fungsi Alih Lingkar Tertutup')
num = [ 0 0 0 3];
den = [ 1 5 9 3];
sys = tf(num,den)
%
% Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0.91
0.975
0.140.280.420.560.680.8
0.91
0.975
123456
0.140.280.420.560.680.8
Diagram Tempat Kedudukan Akar
Sumbu Real
Sumbu Imaginer
17
step(num,den)
grid on
title('Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan')
Gambar 13. merupakan tanggapan sistem pada persamaan (50) terhadap masukan
undak satuan
Gambar 13. Tanggapan Persamaan (50) Terhadap Masukan Undak Satuan
Contoh 8. : Untuk sistem kendali umpan balik satu dengan fungsi alih pada
persamaan (55) berikut
( )( ) 3 22
1 1G s =
s + 3s + 2ss s + 3s + 2= (55)
Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar
persamaan (55) dengan rasio redaman berkisar antara 0.5 s/d 0.7 dan frekwensi
alami sebesar 0.5 rad sec
Jawab :
Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 8. adalah clc
clear all
close all
% Contoh 8.
%
% Fungsi Alih
disp('Fungsi Alih')
num = 1;
den = [ 1 3 2 0];
0 5 10 150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan
Time (sec)
Amplitude
18
sys = tf(num,den)
%
% Diagram Tempat Kedudukan Akar
rlocus(num,den)
sgrid([0.5:0.1:0.7],0.5)
axis([-1 1 0 3])
Hasil program Fungsi Alih
Transfer function:
1
-----------------
s^3 + 3 s^2 + 2 s
Gambar 14. merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada
persamaan (55) berikut
Gambar 14. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Pada Persamaan (55)
Contoh 9. : Untuk sistem kendali umpan balik satu dengan fungsi alih pada
persamaan (56) berikut
( )( ) 3 22
1 1G s =
s + 3s + 2ss s + 3s + 2= (56)
Dengan menggunakan Matlab, tentukan penguatan dan pole-pole dari sistem
lingkar tertutup jika lokasi pole dari kedudukan akar terletak di 0.5− dan 0.7−
Jawab :
Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 9. adalah clc
clear all
close all
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0.50.60.7
0.50.60.7
0.5
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
19
% Contoh 9.
%
% Fungsi Alih
disp('Fungsi Alih')
num = 1;
den = [ 1 3 2 0];
sys = tf(num,den)
%
% Diagram Tempat Kedudukan Akar
[k,clpoles] = rlocfind(num,den,[-0.5 -0.7])
Hasil program Fungsi Alih
Transfer function:
1
-----------------
s^3 + 3 s^2 + 2 s
k =
0.3750 0.2730
clpoles =
-2.1514 -2.1157
-0.5000 -0.7000
-0.3486 -0.1843
Contoh 10. : Untuk sistem kendali umpan balik satu dengan fungsi alih pada
persamaan (57) berikut
( )( ) 3 22
1 1G s =
s + 3s + 2ss s + 3s + 2= (57)
Dengan menggunakan Matlab
a. Tentukan pole-pole dari sistem lingkar tertutup untuk penguatan dari 0.3
sampai 0.7
b. Analisa hasil simulasi pada bagian (a)
c. Gambarkan tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan untuk
penguatan 0.25 , 0.40 , 1.50 , 6.00 dan 8.00 secara bersamaan
Jawab :
a. Pole-pole dari sistem lingkar tertutup untuk penguatan dari 0.3 sampai 0.7
0.3000 -2.1254 -0.6611 -0.2135
0.4000 -2.1597 -0.4201 - 0.0932i -0.4201 + 0.0932i
0.5000 -2.1915 -0.4043 - 0.2544i -0.4043 + 0.2544i
20
0.6000 -2.2212 -0.3894 - 0.3442i -0.3894 + 0.3442i
0.7000 -2.2492 -0.3754 - 0.4127i -0.3754 + 0.4127i
0.8000 -2.2756 -0.3622 - 0.4694i -0.3622 + 0.4694i
0.9000 -2.3007 -0.3496 - 0.5186i -0.3496 + 0.5186i
1.0000 -2.3247 -0.3376 - 0.5623i -0.3376 + 0.5623i
1.1000 -2.3477 -0.3262 - 0.6018i -0.3262 + 0.6018i
1.2000 -2.3697 -0.3151 - 0.6380i -0.3151 + 0.6380i
1.3000 -2.3909 -0.3045 - 0.6715i -0.3045 + 0.6715i
1.4000 -2.4114 -0.2943 - 0.7028i -0.2943 + 0.7028i
1.5000 -2.4311 -0.2844 - 0.7322i -0.2844 + 0.7322i
1.6000 -2.4503 -0.2749 - 0.7599i -0.2749 + 0.7599i
1.7000 -2.4688 -0.2656 - 0.7862i -0.2656 + 0.7862i
1.8000 -2.4868 -0.2566 - 0.8112i -0.2566 + 0.8112i
1.9000 -2.5043 -0.2478 - 0.8350i -0.2478 + 0.8350i
2.0000 -2.5214 -0.2393 - 0.8579i -0.2393 + 0.8579i
2.1000 -2.5380 -0.2310 - 0.8798i -0.2310 + 0.8798i
2.2000 -2.5542 -0.2229 - 0.9009i -0.2229 + 0.9009i
2.3000 -2.5700 -0.2150 - 0.9213i -0.2150 + 0.9213i
2.4000 -2.5855 -0.2073 - 0.9409i -0.2073 + 0.9409i
2.5000 -2.6006 -0.1997 - 0.9599i -0.1997 + 0.9599i
2.6000 -2.6154 -0.1923 - 0.9783i -0.1923 + 0.9783i
2.7000 -2.6299 -0.1851 - 0.9962i -0.1851 + 0.9962i
2.8000 -2.6441 -0.1780 - 1.0136i -0.1780 + 1.0136i
2.9000 -2.6580 -0.1710 - 1.0304i -0.1710 + 1.0304i
3.0000 -2.6717 -0.1642 - 1.0469i -0.1642 + 1.0469i
3.1000 -2.6851 -0.1574 - 1.0629i -0.1574 + 1.0629i
3.2000 -2.6983 -0.1508 - 1.0785i -0.1508 + 1.0785i
3.3000 -2.7113 -0.1444 - 1.0938i -0.1444 + 1.0938i
3.4000 -2.7240 -0.1380 - 1.1087i -0.1380 + 1.1087i
3.5000 -2.7365 -0.1317 - 1.1232i -0.1317 + 1.1232i
3.6000 -2.7489 -0.1256 - 1.1375i -0.1256 + 1.1375i
3.7000 -2.7610 -0.1195 - 1.1514i -0.1195 + 1.1514i
3.8000 -2.7729 -0.1135 - 1.1651i -0.1135 + 1.1651i
3.9000 -2.7847 -0.1076 - 1.1785i -0.1076 + 1.1785i
4.0000 -2.7963 -0.1018 - 1.1917i -0.1018 + 1.1917i
4.1000 -2.8078 -0.0961 - 1.2046i -0.0961 + 1.2046i
4.2000 -2.8190 -0.0905 - 1.2172i -0.0905 + 1.2172i
4.3000 -2.8302 -0.0849 - 1.2297i -0.0849 + 1.2297i
4.4000 -2.8411 -0.0794 - 1.2419i -0.0794 + 1.2419i
4.5000 -2.8520 -0.0740 - 1.2539i -0.0740 + 1.2539i
4.6000 -2.8627 -0.0687 - 1.2658i -0.0687 + 1.2658i
4.7000 -2.8732 -0.0634 - 1.2774i -0.0634 + 1.2774i
4.8000 -2.8837 -0.0582 - 1.2889i -0.0582 + 1.2889i
4.9000 -2.8940 -0.0530 - 1.3001i -0.0530 + 1.3001i
5.0000 -2.9042 -0.0479 - 1.3112i -0.0479 + 1.3112i
5.1000 -2.9142 -0.0429 - 1.3222i -0.0429 + 1.3222i
5.2000 -2.9242 -0.0379 - 1.3330i -0.0379 + 1.3330i
5.3000 -2.9340 -0.0330 - 1.3436i -0.0330 + 1.3436i
21
5.4000 -2.9437 -0.0281 - 1.3541i -0.0281 + 1.3541i
5.5000 -2.9534 -0.0233 - 1.3645i -0.0233 + 1.3645i
5.6000 -2.9629 -0.0186 - 1.3747i -0.0186 + 1.3747i
5.7000 -2.9723 -0.0138 - 1.3847i -0.0138 + 1.3847i
5.8000 -2.9816 -0.0092 - 1.3947i -0.0092 + 1.3947i
5.9000 -2.9909 -0.0046 - 1.4045i -0.0046 + 1.4045i
6.0000 -3.0000 0.0000 - 1.4142i 0.0000 + 1.4142i
6.1000 -3.0090 0.0045 - 1.4238i 0.0045 + 1.4238i
6.2000 -3.0180 0.0090 - 1.4333i 0.0090 + 1.4333i
6.3000 -3.0269 0.0134 - 1.4426i 0.0134 + 1.4426i
6.4000 -3.0357 0.0178 - 1.4519i 0.0178 + 1.4519i
6.5000 -3.0444 0.0222 - 1.4610i 0.0222 + 1.4610i
6.6000 -3.0530 0.0265 - 1.4701i 0.0265 + 1.4701i
6.7000 -3.0615 0.0308 - 1.4790i 0.0308 + 1.4790i
6.8000 -3.0700 0.0350 - 1.4879i 0.0350 + 1.4879i
6.9000 -3.0784 0.0392 - 1.4966i 0.0392 + 1.4966i
7.0000 -3.0867 0.0434 - 1.5053i 0.0434 + 1.5053i
b. Analisa hasil simulasi pada bagian (a)
Kasus 1 :
Untuk 0 < K < 0.4 maka pole – pole dari sistem lingkar tertutup bersifat real
dan berbeda serta rasio redaman besar dari 1 ( teredam lebih)
Kasus 2 :
Untuk K = 0.4 , titik break away terjadi pada saat penguatan ini serta rasio
redaman sama dengan nol (teredam kritis)
Kasus 3 :
Untuk 0.4 < K < 0.6 , pole – pole dari sistem lingkar tertutup bersifat komplek
dan rasio redaman kecil dari 1 (teredam kurang)
Kasus 4 :
Untuk kasus K = 6 , pole – pole dari sistem lingkar tertutup terletak pada sumbu
khayal dan sistem bersifat stabil marginal.
Kasus 5 :
Untuk kasus K > 6 , pole – pole dari sistem lingkar tertutup terletak di sebelah
kanan sumbu khayal dan sistem bersifat stabil
Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 10. adalah clc
clear all
close all
% Contoh 10.
%
22
% Fungsi Alih
disp('Fungsi Alih')
num = 1;
den = [ 1 3 2 0];
sys = tf(num,den)
%
% Diagram Tempat Kedudukan Akar
clpoles = rlocus(num,den,[0.3:0.1:7]);
range = [ 0.3:0.1:7 ]';
[range clpoles];
%
rangek = [0.25 0.4 1.5 6 8];
t =[0 : 0.2 : 20];
%
% Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan
for j= 1: 5;
[ntc,dtc] = cloop(num*rangek(j),den);
y(:,j) = step(ntc,dtc,t);
end
figure
subplot(211)
plot(t,y(:,1:3))
grid on
title('Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan')
xlabel('detik')
ylabel('Keluaran')
subplot(212)
plot(t,y(:,4:5))
grid on
xlabel('detik')
ylabel('Keluaran')
Hasil Program Fungsi Alih
Transfer function:
1
-----------------
s^3 + 3 s^2 + 2 s
Gambar 15. merupakan tanggapan sistem pada persamaan (57) terhadap masukan
undak satuan
23
Gambar 15. Tanggapan Terhadap Masukan Undak Satuan Untuk Sistem Pada Persamaan
(57)
Contoh 11. : Untuk sistem kendali lingkar tertutup pada Gambar 16. berikut
K (s + 1)
s (s + 2)G(s) =
H(s) =s + 3
1
R(s) +
-
C(s)
Gambar 16. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup Untuk Variasi Nilai K
Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar
diagram blok pada Gambar 16.
Jawab :
Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 11. adalah clc
clear all
close all
% Contoh 11.
%
% Fungsi Alih
disp('Fungsi Alih')
num = [1 1];
den = [1 5 6 0];
sys = tf(num,den)
%
% Diagram Tempat Kedudukan Akar
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan
detik
Keluaran
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5
0
5
detik
Keluaran
24
rlocus(num,den)
grid on
Hasil program Fungsi Alih
Transfer function:
s + 1
-----------------
s^3 + 5 s^2 + 6 s
Gambar 17. merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada
diagram blok Gambar 16.
Gambar 17. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Pada Diagram Blok
Gambar 16.
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
80.040.090.140.20.280.4
0.56
0.8
0.040.090.140.20.280.4
0.56
0.8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis