Upload
anita-rahmawati
View
22
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
hdjhadhsbsdgasbd ndgd nsd
Citation preview
DIFFERENSIASI NUMERIK
Yuliana Setiowati
DIFFERENSIASI NUMERIK Salah satu perhitungan kalkulus yang banyak digunakan
adalah differensial Differensial digunakan untuk keperluan perhitungan
geometrik, yang berhubungan dengan perubahan nilai per-satuan waktu atau jarak.
Secara kalkulus, didefinisikan sebagai perbandingan perubahan tinggi (selisih tinggi) dan perubahan jarak
penentuan titik puncak kurva y = f(x) dy/dx = 0
xy
dxdy
ax = lim 0
Mengapa perlu Metode Numerik ?
Terkadang terdapat suatu fungsi yang sulit dihitung secara manual
Untuk mengotomatiskan, tanpa harus menghitung manualnya
DIFFERENSIASI NUMERIK
Hubungan antara nilai fungsi dan perubahan fungsi untuk setiap titiknya didefinisikan : y = f(X) + f1(x).h(x)
( ) ( )h
xfhxfxf h+= lim 0)('
Diferensiasi dg MetNum
Metode Selisih Maju Metode Selisih Tengahan Metode Selisih Mundur
Metode Selisih Maju Metode selisih maju merupakan metode yang
mengadopsi secara langsung definisi differensial
Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil
Error yang dihasilkan
hxfhxfxf )()()(' +=
( )xhf 1121 E(f) =
Contoh : Hitung
differensial f(x)=e-xsin(2x) +1 dari range
x=[0,1] dengan h=0.05
Metode Selisih Tengahan Metode selisih tengahan merupakan metode
pengambilan perubahan dari dua titik sekitar dari titik yang diukur.
Perhatikan selisih maju pada titik x-h
selisih maju pada titik x
Metode selisih tengahan merupakan rata-rata dari dua selisih maju :
( ) ( ) ( )h
hxfxfhxf =11
( ) ( ) ( )h
xfhxfxf +=12
( ) ( )2
)('1
21
1xfxfxf +=
( ) ( )h
hxfhxfxf2
)(' +=
Metode Selisih Tengahan
Kesalahan pada metode ini
( )11126
E(f) fh=
Metode Selisih Mundur
( ) ( ) ( )h
hxfxfxf ='
Contoh Hitung differensial
f(x)=e-xsin(2x)+1 dari range x=[0,1] dengan h=0.05
Differensiasi tingkat tinggi
Differensiasi tingkat tinggi merupakan proses pendifferensialan secara terus-menerus, hingga tingkatan yang ditentukan.
Differensial tingkat 2
Differensial tingkat 3
Differensial tingkat n
( ) ( ){ }xffxf ''" =( ) ( ){ }xffxf "')3( =
( )( ) ( ){ }xffxf nn 11 =
=
1
1
n
n
n
n
dxfd
dxd
dxfd
Differensiasi tingkat tinggi
Differensiasi tingkat 2 untuk M. Selisih Maju
( ) ( )
( )( ) 2 )()(2)2("
)()()()2(
"
)(''"
hxfhxfhxfxf
hh
xfhxfh
hxfhxf
xf
hxfhxfxf
+++=
+++=
+=
Differensiasi tingkat tinggi
Differensiasi tingkat 2 untuk M. Selisih Tengahan
( ) ( )
( )( ) 24
)2()(2)2("
22
)2()(2
)()2(
"
2)(''"
hhxfxfhxfxf
hh
hxfxfh
xfhxf
xf
hhxfhxfxf
++=
+=
+=
( ) ( )h
hxfhxfxf2
)(' +=
Contoh :
Untuk f(x) = x3 2x2 - x
Pemakaian Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva
Pemakaian Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva
Definisi 5.1. Suatu titik a pada kurva y = f(x) dinamakan titik
puncak bila dan hanya bila : f1(a) = 0. Definisi 5.2. Sebuah titik puncak a dikatakan titik maksimum pada
kurva y = f(x) bila : f11(a) < 0. Definisi 5.3. Sebuah titik puncak a dikatakan titik minimum pada
kurva y = F(x) bila : f11(a) > 0.
Terlihat bahwa nilai puncak terjadi antara 0.1 dan 0.2 serta antara 1.6 dan 1.7, karena nilai f(x) mendekati nol.
Pada x=0.2 terlihat f(x)0 puncak minimum
Contoh :
Terlihat bahwa nilai puncak terjadi antara 0.75 dan 0.8, karena nilai f(x) mendekati nol.
Pada nilai tersebut terlihat nilai f(x)