Metacognición, resolución de problemas y enseñanza de las

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

FACULTAD DE EDUCACIN

Departamento de Psicologa Evolutiva y de la Educacin

METACOGNICIN, RESOLUCIN DE PROBLEMAS Y ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS. UNA

PROPUESTA INTEGRADORA DESDE EL ENFOQUE ANTROPOLGICO

MEMORIA PRESENTADA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR POR

Esther Rodrguez Quintana

Bajo la direccin de los Doctores:

Jess Beltrn Llera Marianna Bosch Casab

Madrid, 2005 ISBN: 84-669-2873-1

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE EDUCACIN

DEPARTAMENTO DE PSICOLOGA EVOLUTIVA Y DE LA EDUCACIN

METACOGNICIN, RESOLUCIN DE PROBLEMAS Y ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS.

UNA PROPUESTA INTEGRADORA DESDE EL ENFOQUE ANTROPOLGICO

TESIS DOCTORAL

DIRECTORES:

JESS A. BELTRN LLERA MARIANNA BOSCH CASAB

ESTHER RODRGUEZ QUINTANA MADRID, 2005

AGRADECIMIENTOS

Durante estos aos han sido muchas las personas e instituciones que han

participado en que sea posible este trabajo y a quienes quiero expresar mi

gratitud:

A mis directores de tesis, Jess Beltrn y Marianna Bosch, por la calidez,

sugerencias, apoyo y confianza que me han prestado a lo largo de todos estos

aos.

Al grupo BAHUJAMA, por sus nimos constantes y por haber apoyado la

discusin y reflexin de este trabajo. En especial a Toms Sierra y Josep

Gascn, por el tiempo dedicado y a Noem Ruiz y Berta Barquero por haber

corregido cada palabra de la redaccin final.

Al Ministerio de Educacin y Ciencia, por la concesin de una beca de

Formacin de Profesorado Universitario que me ha permitido brindar la

dedicacin adecuada a este trabajo. As como al Departamento de Psicologa

Evolutiva y de la Educacin de la Universidad Complutense, que me acogi y

me ha dejado ir aprendiendo de cada uno de sus miembros.

Al Instituto Qumico de Sarri de la Universidad Ramn Llull, por cedernos

todos los medios a su disposicin para poder desarrollar nuestro trabajo

durante las estancias en Barcelona. A Marianna y Marcos, que me ofrecieron

una familia lejos de mi casa.

A los profesores y alumnos que han participado en los estudios empricos.

A mi familia. En especial a mis padres, Adolfo y Marisol, y a mis hermanos,

Adolfo y Sole, por su apoyo incondicional. Tambin, como no, a Sergio, por

su permanente comprensin y por saber entender el tiempo robado. Esto

tambin es vuestro premio.

ndice

- I -

NDICE

Introduccin............................................................................................................. 11 Contextualizacin del problema de investigacin.......................................... 11 Estructura del trabajo.......................................................................................... 19

CAPTULO I. UN MARCO COHERENTE Y COMPRENSIVO PARA LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS MATEMTICOS: RELACIN ENTRE COGNICIN, METACOGNICIN Y ACTUACIN METACOGNITIVA ............................................................................................... 23

1.1. El estado de la cuestin................................................................................... 25 1.1.1. Qu es la metacognicin y qu papel juega en la resolucin de problemas matemticos ...................................................................................... 25 1.1.2. Conocimiento general vs. conocimiento especfico de rea ................ 29

1.2. Propuesta de un Modelo de Resolucin de Tareas Matemticas ........... 33 1.2.1. Conocimiento: relacin entre cognicin y metacognicin................... 34

1.2.1.1. Generalidad-especificidad del conocimiento: caractersticas de la tarea ........................................................................................................ 36 1.2.1.2. El concepto de problema matemtico ............................................ 38 1.2.1.3. Tipos de tareas matemticas............................................................ 40

1.2.2. Creencias: relacin entre conocimiento metacognitivo y actuacin metacognitiva....................................................................................................... 51 1.2.3. Conceptos y constructos relacionados con la metacognicin: un intento de clarificacin y diferenciacin .......................................................... 53

1.3. Reinterpretacin de investigaciones precedentes ..................................... 57 1.3.1. Metacognicin como calibracin............................................................. 58 1.3.2. Metacognicin como reflexin................................................................. 60 1.3.3. Resolucin a travs de la estructura profunda vs. superficial ............ 61 1.3.4. El modelo de Schenfeld .......................................................................... 64

1.3.4.1. Realizar elecciones adecuadas: seleccin de tcnicas................... 66 1.3.4.2. Realizar elecciones adecuadas: seleccin de heursticos ............. 69 1.3.4.3. Utilizacin de los recursos de que se dispone............................... 72

1.3.5. Investigaciones comparativas sobre la enseanza dirigida a la resolucin de problemas matemticos ............................................................. 74

1.3.5.1. Consideraciones previas................................................................... 75 1.3.5.2. Caractersticas de los resolutores de problemas ........................... 77 1.3.5.3. Efectos de diferentes mtodos instruccionales.............................. 82

1.4. Conclusiones..................................................................................................... 87

ndice

- II -

CAPTULO II. DE LA EXPLORACIN DEL MODELO A UN REPLANTEAMIENTO DEL TRABAJO .............................................................89

2.1. Objetivos e hiptesis .......................................................................................90

2.2. Desarrollo...........................................................................................................92 2.2.1. Eleccin del tema........................................................................................92 2.2.2. Participantes................................................................................................92 2.2.3. Procedimiento.............................................................................................93

2.3. Resultados iniciales..........................................................................................94 2.3.1. Papel que juegan en clase las tareas problemticas y la fundamentacin....................................................................................................94 2.3.2. Conocimiento previo de los alumnos......................................................96

2.3.2.1. Tareas realizadas en clase .................................................................99 2.3.2.2. Tareas planteadas en los exmenes ...............................................103

2.4. Diseo de la prueba .......................................................................................107 2.4.1. Eleccin de la tarea problemtica...........................................................107 2.4.2. Anlisis a priori..........................................................................................108

2.5. Dificultades detectadas en la resolucin de la tarea problemtica.......117 2.5.1. Tipos de conocimientos implicados en la resolucin..........................117 2.5.2. Resultados .................................................................................................120

2.6. Conclusiones ...................................................................................................125

CAPTULO III. LA INSTRUCCIN EN TORNO A LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS EN MATEMTICAS...........................................................127

3.1. Propuestas de instruccin en matemticas para la enseanza en torno a la resolucin de problemas ....................................................................129

3.1.1. Papel de la resolucin de problemas matemticos en la enseanza.129 3.1.2. Propuestas de instruccin en funcin del papel que se asigna a la resolucin de problemas ...................................................................................131

3.2. El aprendizaje situado y la enseanza anclada: The adventures of Jasper Woodbury .................................................................................................137

3.3. La dificultad de ensear en torno a la resolucin de problemas...........147

3.4. Conclusiones ...................................................................................................152

ndice

- III -

CAPTULO IV. UNA PROPUESTA DE INTEGRACIN DESDE LA TEORA ANTROPOLGICA DE LO DIDCTICO .................................... 153

4.1. La Resolucin de problemas como aspecto inseparable de la actividad matemtica ........................................................................................... 154

4.1.1. La importancia del modelo de la actividad matemtica.................... 154 4.1.2. Papel asignado a la resolucin de problemas y momentos del proceso de estudio........................................................................................... 158

4.1.2.1. Paradigma teoricista ................................................................... 158 4.1.2.2. Paradigma tecnicista ................................................................... 159 4.1.2.3. Paradigma modernista ............................................................... 161 4.1.2.4. Paradigma procedimental.............................................................. 162 4.1.2.5. Paradigma constructivista.......................................................... 164 4.1.2.6. Paradigma de la modelizacin ...................................................... 166 4.1.2.7. Hacia un paradigma integrador.................................................... 168

4.2. La integracin de lo metacognitivo en la actividad matemtica........... 171 4.2.1. Complejidad creciente de las praxeologas: explicitacin del mbito metacognitivo dentro de la actividad matemtica .......................... 175 4.2.2. La necesidad de conectar niveles para la integracin de lo metacognitivo en la actividad matemtica .................................................... 180

4.3. La transposicin de saberes: necesidad de ampliar la unidad de anlisis .................................................................................................................... 185

4.3.1. La transposicin de los saberes ............................................................. 185 4.3.2. Ampliacin de la unidad de anlisis: los niveles de codeterminacin didctica ............................................................................... 192

CAPTULO V. LA TRANSPOSICIN DE LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS EN LA ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS: SALTOS EN LOS NIVELES DE CODETERMINACIN ............................ 197

5.1. Objetivos e hiptesis..................................................................................... 198

5.2. Evolucin de la resolucin de problemas como objetivo de enseanza ............................................................................................................... 199

5.2.1. Antecedentes: los trabajos de Plya...................................................... 199 5.2.2. Matemtica clsica, matemtica moderna y vuelta a lo bsico..... 203 5.2.3. Ms all de lo bsico: ensear a resolver problemas.......................... 208 5.2.4. La evolucin en Espaa .......................................................................... 211

5.3. La resolucin de problemas en el sistema educativo actual: eje fundamental e integrador de la enseanza de las matemticas................... 215

5.3.1. La resolucin de problemas en el currculo espaol .......................... 215 5.3.1.1. El nivel escolar ................................................................................. 215 5.3.1.2. El nivel disciplinar........................................................................... 217

ndice

- IV -

5.3.1.3. El nivel de las reas y sectores........................................................220 5.3.2. La resolucin de problemas en los estndares americanos................225

5.4. Conclusiones ...................................................................................................237

CAPTULO VI. LOS RECORRIDOS DE ESTUDIO E INVESTIGACIN COMO PROPUESTA DE INSTRUCCIN ..................241

6.1. Caracterizacin de un Recorrido de Estudio e Investigacin.................243

6.2. Objetivos del estudio.....................................................................................246

6.3. Procedimiento .................................................................................................249 6.3.1. Diseo del REI: eleccin de la cuestin generatriz y directrices para la gua en el estudio por parte del profesor...........................................249 6.3.2. Sobre la capacidad de los REI para incorporar la resolucin de problemas como eje de la actividad matemtica ...........................................251

6.3.2.1. Posibilidades de aplicacin de un REI ..........................................251 6.3.2.2. Capacidad del REI para provocar la conexin entre conocimientos ................................................................................................254

6.3.3. Sobre la explicitacin del conocimiento metacognitivo en el REI .....255 6.3.4. La incidencia del REI sobre la regulacin metacognitiva...................255 6.3.5. Sobre la transferencia del aprendizaje...................................................256 6.3.6. Sobre el efecto del REI en las creencias y actitudes .............................258

6.4. Aclaraciones previas a la descripcin y anlisis de los REI ...................262 6.4.1. La importancia de los diarios .................................................................262 6.4.2. Estructura de los diarios..........................................................................264 6.4.3. Condiciones generales comunes en ambos REI ...................................265

6.5. Primer REI en torno a la comparacin de tarifas de telefona mvil....266 6.5.1. Posibilidad y dificultades de aplicacin del REI..................................268 6.5.2. Capacidad del REI para provocar la conexin entre conocimientos 269 6.5.3. Explicitacin del conocimiento metacognitivo ....................................270 6.5.4. La regulacin metacognitiva y el nuevo reparto de responsabilidades...............................................................................................272 6.5.5. La transferencia del aprendizaje ............................................................276 6.5.6. Efecto en las creencias y las actitudes....................................................279

6.6. Segundo REI en torno a la comparacin de tarifas de telefona mvil283 6.6.1. La regulacin metacognitiva y el nuevo reparto de responsabilidades...............................................................................................285 6.6.2. La transferencia del aprendizaje ............................................................289 6.6.3. Efecto en las creencias y las actitudes....................................................291

6.7. Conclusiones y problemas abiertos ............................................................299

ndice

- V -

BIBLIOGRAFA.................................................................................................... 303

Direcciones de Internet consultadas ................................................................. 343

ANEXOS..................................................................................................................347 ANEXO A (DEL CAPTULO II)......................................................................... 349

A.1. Exmenes................................................................................................351 A.2. Anlisis de los resultados.................................................................... 359 A.3. Tarea problema..................................................................................... 391

ANEXO B (DEL CAPTULO VI)........................................................................395

B.1. Diario del primer REI........................................................................... 397 B.2. Material adjunto al diario del primer REI......................................... 483 B.3. Diario del segundo REI........................................................................ 535 B.4. Material adjunto al diario del segundo REI...................................... 771

ANEXO C. Tablas complementarias de anlisis de datos............................ 909

C.1. Del primer REI...................................................................................... 911 C.2. Del segundo REI................................................................................... 915

CONTENIDO DEL CD

- Versin usuario de Material 3 de Anexo B.2: Hoja de clculo de Excel para comparacin de tarifas de telefona mvil.

- Versin usuario de Material 4 de Anexo B.2: Hoja de clculo de Excel para comparacin de tarifas de telefona mvil (versin para vagos).

- Versin usuario de Material 5 de Anexo B.2: Hoja de clculo de Excel para comparacin de tarifas de telefona mvil (versin para muy vagos).

- Versin usuario de Material 7 de Anexo B.4: Hoja de clculo de Excel para comparacin de tarifas de telefona mvil.

ndice

- VII -

NDICE DE TABLAS Tabla I.1 Tipos-niveles de conocimiento que implican diferentes objetos de aprendizaje. ...................................................................................................................................35

Tabla I.2 Tipos de tareas matemticas.......................................................................................43

Tabla II.1 Tipos de tareas realizadas en clase. ........................................................................102

Tabla VI.1 Escalas que constituyen el CAETI- Trait Thinking Questionnaire e tems que corresponden a cada escala ...............................................................................................260

Tabla VI.2 Escala de autoeficacia transformada en el post-test. ..........................................260

Tabla VI.3 Diferencias en escalas de CAETI-Trait Thinking Questionnaire entre alumnos segn el tipo de matemticas que cursan. ..............................................................279

Tabla VI.4 Diferencias en escalas de CAETI-Trait Thinking Questionnaire entre grupo control y experimental en pre-test................................................................................280

Tabla VI.5 Estadsticos descriptivos de comparacin entre grupo control y experimental en pretest para cada escala de CAETI- Trait Thinking Questionnaire.......281

Tabla VI.6 Diferencias en CAETI-Trait Thinking Questionnaire entre pre-test y post-test de grupo experimental. .............................................................................................282

Tabla VI.7 Diferencias entre control y experimental en el post-test de CAETI-Trait Thinking Questionnaire ............................................................................................................283

Tabla VI.8 Diferencias en escalas de CAETI-Trait Thinking Questionnaire entre alumnos segn el tipo de matemticas que cursan. ..............................................................292

Tabla VI.9 Diferencias en escalas de CAETI-Trait Thinking Questionnaire entre grupo control y experimental en pre-test................................................................................293

Tabla VI.10 Estadsticos descriptivos de comparacin entre grupo control y experimental en pretest para cada escala de CAETI- Trait Thinking Questionnaire.......294

Tabla VI.11 Diferencias en CAETI-Trait Thinking Questionnaire entre pre-test y post-test de grupo experimental. .............................................................................................295

Tabla VI.12 Diferencias entre control y experimental en el post-test de CAETI-Trait Thinking Questionnaire ............................................................................................................296

Tabla VI.13 Diferencias entre pre-test y post-test 2 en el CAETI-Trait Thinking Questionnaire..............................................................................................................................297

Tabla VI.14 Estadsticos descriptivos de comparacin entre pre-test y post-test 2 en el grupo experimental para cada escala de CAETI- Trait Thinking Questionnaire..............................................................................................................................297

Tabla VI.15 Diferencias entre pre-test y post-test 2 en el CAETI-Trait Thinking Questionnaire..............................................................................................................................298

Tabla VI.16 Estadsticos descriptivos de comparacin entre post-test y post-test 2 en el grupo experimental para cada escala de CAETI- Trait Thinking Questionnaire..............................................................................................................................299

ndice

- IX -

NDICE DE FIGURAS

Figura I.1 Carcter inclusivo de los niveles de contexto. ........................................................37 Figura I.2 Implicaciones del tipo de tarea matemtica en su proceso de resolucin. ........45 Figura I.3 Generalidad-especificidad del conocimiento implicado en la resolucin de una tarea matemtica. ............................................................................................................48 Figura IV.1. Esquema de la transposicin didctica (adaptado de Antibi y Brousseau, 2002). ........................................................................................................................186 Figura IV.2 Relacin entre niveles de codeterminacin didctica (Chevallard, 2001) y papel de la resolucin de problemas....................................................................................193 Figura VI.1 Formato descriptivo de cada cuestin en los diarios........................................265

Introduccin

- 11 -

INTRODUCCIN

Contextualizacin del problema de investigacin

La investigacin sobre la cuestin a la que hacemos frente en este trabajo

la inici el matemtico de origen hngaro Georg Plya (1945) y se refiere a la

dificultad generalizada de los alumnos frente a la resolucin de problemas

matemticos.

Con anterioridad a Plya, pueden destacarse las reflexiones del filsofo griego

Scrates (469aC-399aC), que es plasmada en un Dilogo con Platn en que

dirigi a un esclavo por medio de preguntas para la solucin de un problema: la

construccin de un cuadrado de rea doble a la de un cuadrado dado,

mostrando un conjunto de estrategias, tcnicas y contenido matemtico aplicado

al proceso de resolucin.

Otro momento importante estuvo protagonizado por el filsofo Ren Descartes

(1596-1650), quien, en su propsito por encontrar un mtodo universal para la

resolucin de problemas destac lo que se ha denominado modelos de

pensamiento productivo o consejos para resolver problemas con facilidad.

Introduccin

- 12 -

En la poca en que public el libro How to solve it (Plya, 1945) los conductistas,

cuyo movimiento haba sido generado en Amrica y Europa en la segunda

dcada del siglo XX como respuesta al subjetivismo y al abuso del mtodo

introspectivo, no consideran la resolucin de problemas sino como una serie de

intentos provocados por un estmulo para lograr una respuesta. As, los trabajos

que desarrollan estn dirigidos a la bsqueda de pasos o etapas que permitan el

entrenamiento.

Una de las primeras propuestas para secuenciar el proceso de resolucin de

problemas es la de Dewey (1910). Este autor, filsofo preocupado por lo que

tradicionalmente se ha denominado epistemologa o teora del

conocimiento -aunque l rechaz expresamente dicha denominacin,

prefiriendo las expresiones teora de la pregunta o lgica experimental para

diferenciarse de los modos de acercamiento al pensamiento precedentes-,

fuertemente influenciado por la teora de la seleccin natural de Darwin, plante

que un acercamiento productivo a la teora del conocimiento debe comenzar con

una consideracin del desarrollo del mismo como una respuesta humana a las

condiciones ambientales dirigida a la reestructuracin de dichas condiciones;

considerando el pensamiento como el producto de una interaccin entre

organismo y ambiente y el conocimiento como un instrumento para la gua y

control de esa interaccin. Debido a su carcter funcional, se adopta el trmino

instrumentalismo para su planteamiento.

En Studies of Logic Theory (1903) Dewey articul para la lgica un

instrumentalismo funcional similar al que William James haba desarrollado

para la psicologa y distingui tres fases del proceso de pregunta, insistiendo

en que es el nico modo adecuado de entender cmo adquirimos el

conocimiento: (i) Comienza con una situacin problemtica, donde las

respuestas instintivas o habituales del organismo humano son inadecuadas para

la continuacin de la actividad en busca del cumplimiento de necesidades y

deseos; (ii) La segunda fase implica el aislamiento de los datos o la materia que

Introduccin

- 13 -

define los parmetros dentro de los que debe dirigirse la reconstruccin de la

situacin inicial; (iii) La fase tercera, basada en la reflexin sobre el proceso, las

suposiciones, teora, ideas... del sujeto son tomadas como soluciones hipotticas

a la situacin. La accin permite poner a prueba la carcter adecuado de las

soluciones planteadas, modificndose su carcter hipottico en funcin del tipo

de resultados que se obtiene.

Posteriormente Dewey (1910, 1933) compar la actitud natural de los nios,

marcada por una curiosidad ardiente, una imaginacin frtil y un amor hacia la

investigacin experimental con la actitud de la mente del cientfico. El autor

argumenta que pensar es un proceso activo que implica experimentacin y

resolucin de problemas, afirmando que el proceso de pensamiento est

realmente en marcha cuando existe un problema a resolver, una cuestin a

responder o una ambigedad a aclarar. Propone que nuestro pensamiento sigue

un proceso de cinco pasos: existencia de un problema (identificacin); anlisis

del problema (definicin); formulacin de hiptesis de solucin; desarrollo de

las mismas y deduccin de sus propiedades; y comprobacin de hiptesis.

En la lnea conductista han sido desarrollados diversos programas de

instruccin en resolucin de problemas como Patrones de Resolucin de

problemas (Rubinstein, 1980), que fue implementeado desde 1975 hasta el ao

en que se publicaron sus resultados.

La reaccin frente a los estudios analticos de la conciencia mediante

introspeccin provoc en Alemania un efecto diferente al de Amrica y Europa.

En vez de profundizar en las ideas asociacionistas dando lugar al conductismo,

en Alemania se desarrolla la escuela de la Gestalt, que rechaza el atomismo

conductista y modifica la unidad de anlisis en consecuencia dado que el objeto

de estudio es el significado y este no es divisible en elementos ms simples.

Introduccin

- 14 -

Algunos autores consideran a esta escuela la pionera en los trabajos sobre

resolucin de problemas porque destacan la relacin de dicha actividad con

aspectos creativos que llegado el momento permite una comprensin sbita o

insight al sujeto. Este insight supone encontrar la solucin antes de ponerla en

prtica, destacando su carcter novedoso. Siguiendo a Mayer (1983), podemos

decir que el proceso de resolucin de un problema, desde esta perspectiva, es un

intento de relacionar un aspecto de una situacin problemtica con otro,

obteniendo como respuesta una comprensin de la estructura, que implica

reorganizar los elementos de la situacin problemtica de forma tal que resuelva

el problema.

Khler y Wertheimer realizaron diversos experimentos sobre la resolucin de

problemas con chimpancs (ver Khler, 1917). En ellas nos explican un

experimento en que, estando Sultn encerrado en una jaula, se situ una

banana colgada del techo fuera de la jaula y, dentro de ella se dej un palo y una

caja. El chimpanc intent alternativamente utilizando el palo y subindose a la

caja por separado lograr alcanzar la banana sin xito, hasta que, de pronto, se

dirigi con precisin al palo, subi a la caja y encontr la solucin. Segn Khler,

este acontecimiento se puede explicar por el hecho de que el chimpanc

experiment una reorganizacin constructiva de los elementos que le condujo a

la solucin.

Desde la Gestalt se plante que las tareas de resolucin de problemas que

implicaban reorganizacin y agrupamiento no eran estudiadas por la lgica, a

pesar de ser procesos esenciales del pensamiento humano. Se diferenci en

consecuencia entre lo que se denomin pensamiento reproductivo, que

consiste en la aplicacin de destrezas adquiridas con anterioridad, en tareas por

tanto similares a aquellas en que el conocimiento se origin, y el pensamiento

productivo, que tiene lugar cuando es necesario llevar a cabo una

reorganizacin estructural que da lugar a la creacin de la solucin a un

Introduccin

- 15 -

problema nuevo. De este modo una gran ventaja de la resolucin productiva,

frente al aprendizaje memorstico, radica en la potencialidad de transferencia.

There are several objects. (The way in which they are segregated, and why

just so, how an object constitutes itself in separation from other objects, is a

question neglected in traditional logic, is taken for granted without real

investigation.) I compare them. In their qualities of their parts I find

similarities and differences. Abstracting from the differences, and

concentrating on common qualities or parts in the objects, I get a general

concept. The content is given by these common parts. This is the

'intension.' The 'extension' is the manifold of objects embraced by the class

concept. (Wertheimer, 1945, p. 207).

Otra propuesta de etapas en la resolucin de problemas de destacado inters en

la poca es la realizada por el socilogo y cientfico poltico de origen britnico,

Graham Wallas, conocido defensor de la necesidad de un acercamiento

psicolgico al estudio de la poltica. El modelo est basado en la introspeccin y

lo presenta en su obra The art of Thought (Wallas, 1926):

1. Preparacin en forma de conocimiento en el campo de estudio y estar

bien preparado-, necesaria para elaborar insights

2. Incubacin producida cuando estamos alejados del problema,

normalmente despus de haber estado trabajando activamente sobre l-.

Cita, por ejemplo, la experiencia de Arqumedes cuando tuvo su idea en

los baos pblicos.

3. Iluminacin. El clic de una nueva idea. Es una fase misteriosa. Wallas

slo ofrece como sugerencia descansar la mente con otras actividades.

4. Verificacin. Es la fase final, donde se verifica si la idea realmente

resuelve el problema.

Como hemos podido observar, estos trabajos parten de una concepcin de la

resolucin de problemas como actividad por antonomasia del pensamiento.

Introduccin

- 16 -

Mayer (Op. Cit., p. 21) utiliza indistintamente, a lo largo de su estudio, los

trminos pensamiento, cognicin y resolucin de problemas y lo hace sobre la

base de la siguiente caracterizacin:

1. El pensamiento es cognitivo, pero se infiere de la conducta. Ocurre

internamente y debe ser inferido indirectamente.

2. El pensamiento es un proceso que implica manipulacin de, o

establece un conjunto de operaciones sobre, el conocimiento.

3. El pensamiento es dirigido y tiene como resultado la resolucin de

problemas o se dirige hacia la solucin.

As, el pensamiento, segn Mayer, es lo que sucede cuando una persona

resuelve un problema, es decir, produce un comportamiento que mueve al

individuo desde un estado inicial a un estado final, o al menos trata de lograr

ese cambio, llegando a definir directamente el pensamiento como resolucin de

problemas (Mayer, 1994).

Mientras, Plya, tomando como base su experiencia y las observaciones

realizadas como profesor, ofrece un diccionario de heurstica y pone de relieve

lo que luego sera la base de su Mathematics and plausible reasoning (1954), el uso

de la intuicin en matemticas, los razonamientos por induccin y analoga y el

empleo de heurstica, defendiendo que la estructura matemtica da indicaciones

tiles para la instruccin.

Si bien, como hemos indicado, la consideracin de fases en la resolucin de

problemas en general, no exclusivamente matemticos, puede verse ya en otros

autores, lo original de Plya para la instruccin es la consideracin de la

importancia del rea en que se desarrolla el proceso de resolucin as como la

propuesta de una serie de heursticos que plantea en cada fase, de las cuatro que

postula deben seguirse: comprender el problema, planificar la resolucin, llevar

a cabo el plan y revisar el proceso (Plya, 1957).

Introduccin

- 17 -

La resolucin de problemas matemticos ha mantenido un doble lugar en la

enseanza: como mbito privilegiado para el desarrollo del pensamiento con el

objetivo de que los alumnos sean buenos resolutores de problemas, esto es,

buenos pensadores-, y como objetivo ms concreto, dirigido a que los alumnos

sean capaces de resolver problemas matemticos. Aunque, como veremos, cada

uno de estos objetivos cuenta con diferentes interpretaciones; en general, ambos

se refieren a la transferencia de los aprendizajes, aplicndolos a situaciones

nuevas.

La idea de desarrollar expertos en resolucin de problemas en general est

basada en la idea de que, con independencia de su complejidad y naturaleza, los

problemas tienen una anatoma similar, aunque a simple vista no parezca as. Lo

mismo si son de fsica, de matemtica, de bioqumica, etc., en todos se pueden

detectar un estado inicial que comprende lo dado en la situacin problemtica

de partida y los recursos disponibles para enfrentarla-; un estado final -que

representa la solucin-; una serie de operaciones, fsicas o mentales, que van a

permitir pasar de un estado a otro; y limitaciones para realizar ciertas acciones

(Newell y Simon, 1972). En el caso de los problemas que surgen en escenarios

naturales y sin la intencin de crearlos artificialmente, un componente que se

suma a los anteriores es la causa de problema.

Como ocurre con las diferentes estrategias de aprendizaje, incluso los intentos

por desarrollar estrategias aplicables en diferentes reas de conocimiento,

defienden hoy da la importancia fundamental de trabajar dentro de reas de

conocimiento concretas incluso para favorecer la transferencia. Beltrn (1998,

2003), explicando las ventajas de una enseanza de las estrategias de aprendizaje

mixta, que combine la enseanza dentro de un rea de contenido con la

enseanza fuera de l persiguiendo esta ltima la generalizacin y la

transferencia ms all del mbito donde ha sido inicialmente estudiada-, seala:

Introduccin

- 18 -

Las ventajas que se obtienen al incorporar las estrategias al currculo

parecen hoy mucho mayores que las que se logran mediante el

entrenamiento fuera de l, ya que la transferencia resulta, en este caso,

menos probable. (Beltrn, 2003, p. 69).

De este modo, las propuestas actuales estn fundamentalmente dirigidas a

formar alumnos competentes en la resolucin de problemas en general y

matemticos en particular. Especialmente la sociedad se muestra preocupada, en

el mbito de las matemticas, al finalizar la enseanza obligatoria, por la

capacidad de los alumnos para hacer frente a los desafos que les surgirn como

ciudadanos. En el ltimo estudio realizado dentro del Programa para la

Evaluacin Internacional de los Alumnos auspiciado por la Organizacin para

la Cooperacin y el Desarrollo Econmico (OECD, 2004b)- se observa claramente

este la importancia dada a este objetivo, as como la asuncin de que esto no se

logra desde los sistemas educativos actuales:

The assessment is forward-looking, focusing on young peoples ability to

use their knowledge and skills to meet real-life challenges, rather than just

examining the extent to which they have mastered a specific school

currculum. This orientation reflects a change in the goals and objectives of

curricula themselves, which are increasingly concerned with how students

use what they learn at school, and not merely whether they can reproduce

what they have learned (p. 12).

Recio y Rico (2003), a partir de un anlisis de los resultados obtenidos en el

estudio anteriormente mencionado, afirman que:

Necesitamos imperiosamente mejorar la calidad de la enseanza de las

matemticas en la educacin obligatoria. La sociedad y los educadores

demandan esta formacin con carcter urgente.

Este trabajo est dirigido al objetivo de estudiar cmo mejorar la instruccin en

matemticas de modo que facilite la capacidad de resolucin de problemas de

los alumnos y se centra especialmente en la educacin secundaria.

Introduccin

- 19 -

Estructura del trabajo

Se ha considerado que la opcin ms conveniente para presentar este trabajo es

mostrar una estructura lineal que, aunque no es reflejo fiel del proceso seguido,

s facilita la comprensin del recorrido de investigacin llevado a cabo, donde se

sucedieron -a partir del planteamiento inicial de estudiar Cmo mejorar la

instruccin en matemticas de modo que facilite la capacidad de resolucin de

problemas de los alumnos- estudios tericos, investigaciones empricas,

conclusiones, reflexiones y replanteamientos del trabajo.

En primer lugar, se llev a cabo un anlisis de la bibliografa ms relevante

relativa a las dificultades que se presentan en el desarrollo de la capacidad de

resolucin de problemas y al modo de mejorar la instruccin con el objetivo de

lograr este aprendizaje en los alumnos. Con esta revisin se pudo constatar el

papel fundamental que se asigna a la metacognicin en la resolucin de

problemas en general y matemticos en particular, as como la gran cantidad de

cuestiones que se mantienen abiertas en torno a qu es la metacognicin, qu

otros componentes estn implicados en la resolucin de problemas, qu papel

concreto juega cada uno de ellos en la resolucin de problemas y cmo se

relacionan todos ellos. Tambin se observ en esta revisin una gran

ambigedad terminolgica relativa a gran nmero de cuestiones como por

ejemplo: qu es un problema?, qu es un problema en matemticas?, todos los

problemas en matemticas implican modelizacin?, es lo mismo metacognicin

que calibracin?, qu relacin existe entre la reflexin y la metacognicin?,

existen procedimientos algortmicos o heursticos por naturaleza?, por citar

algunas.

Se razon la necesidad, en consecuencia, de elaborar un modelo sobre la

resolucin de tareas matemticas que intentara reducir de la ambigedad en la

terminologa, a la vez que diera luz en el intento de clarificacin sobre los

aspectos anteriormente descritos. La reinterpretacin de los estudios

Introduccin

- 20 -

precedentes bajo el modelo planteado permiti ir describiendo y analizando la

informacin de ambos de modo organizado.

Para poner a prueba la calidad del modelo, profundizando en algunas de las

ambigedades y problemas de investigacin analizados en el Captulo I, se llev

cabo un trabajo emprico, presentado en el Captulo II, donde se constataron las

hiptesis de partida, que se concretan en la importancia de los conocimientos

previos en el carcter problemtico que una tarea puede suponer para un

alumno; el hecho de que la definicin del carcter problemtico de una tarea no

se puede centrar exclusivamente en si sta implica o no modelizacin o est

contextualizada; y la adecuidad de interpretar el conocimiento fundamental

para la transferencia del aprendizaje en matemticas- esto es, la resolucin de

problemas de matemticas-, denominado tradicionalmente metacognitivo, como

el conocimiento condicional relativo a la eleccin y aplicacin de los

conocimientos.

Si bien el planteamiento inicial del trabajo estaba centrado en la bsqueda de un

modo de mejorar la instruccin en matemticas para favorecer la competencia

en resolucin de problemas de los alumnos- a partir de las dificultades que estos

presentan frente a tareas problemticas as como de las caractersticas de los

resolutores exitosos, las deficiencias observadas en el proceso de enseanza-

aprendizaje vivido en las aulas objeto de anlisis en el primer trabajo emprico,

junto con la lectura de bibliografa relativa a la instruccin dirigida a la

resolucin de problemas en matemticas, nos hizo plantearnos la necesidad de

ampliar el objeto de estudio profundizando en las razones que llevan a la gran

dificultad que se observa en los intentos por llevar a la prctica en las aulas un

sistema de instruccin dirigido ensear a resolver problemas a pesar de las

dcadas de investigacin y de considerarse el objetivo fundamental de la

enseanza de las matemticas.

Introduccin

- 21 -

As, en el Captulo III se profundiza en las propuestas de instruccin en

matemticas que han sido planteadas para favorecer una formacin de los

alumnos en resolucin de problemas, destacndose aquellos aspectos que se

consideran ms importantes. Tambin en este captulo se describen las

numerosas dificultades que han sido encontradas para la puesta en prctica de

las mismas.

En esta situacin, el enfoque antropolgico en didctica de las matemticas,

iniciado por Yves Chevallard se torn sumamente til para continuar

desarrollando nuestro trabajo.

En el Captulo IV se describe cmo la Teora Antropolgica de lo Didctico

(TAD) permite, gracias al modelo de la actividad matemtica que plantea,

integrar la resolucin de problemas y los aspectos metacognitivos dentro del

proceso de enseanza-aprendizaje. Desde este enfoque, la resolucin de

problemas se concibe como el origen y razn de ser de toda actividad

matemtica y por tanto es inseparable de la misma; de ah que se utilice el

trmino praxeologa para referirse a teora y prctica, como aspectos

inseparables.

Este enfoque permite adems describir los aspectos metacognitivos a travs de la

completitud creciente de la praxeologas que se construyen en el proceso de

enseanza-aprendizaje. Esto hace posible explicitar dicho conocimiento, de

modo que podemos llegar a hablar incluso de diferentes niveles de conocimiento

metacognitivo, segn si se refiere a la conexin entre temas, reas o sectores de

las matemticas.

La transposicin que, segn la TAD, necesariamente debe sufrir un saber desde

su construccin en un mbito ajeno a la escuela hasta llegar a ser aprendido por

un alumno, as como las restricciones que unos niveles ejercen sobre otros,

result ser fundamental para profundizar en las causas que dificultan la

incorporacin de la resolucin de problemas en el aula de matemticas. Para ello

Introduccin

- 22 -

analizamos, en el Captulo V utilizando como material emprico los

documentos curriculares-, cul es el papel que se asigna a la resolucin de

problemas en la propuesta educativa y, especialmente, si se produce

adecuadamente el necesario proceso de transposicin o, por el contrario es

posible que estos niveles superiores, del saber a ensear, estn provocando

restricciones que dificulten la incorporacin de la resolucin de problemas como

eje integrador de las matemticas, tal y como se proponen las instituciones

educativas.

Finalmente, en el Captulo VI, mostramos la puesta en prctica de una modelo

instruccional dirigido a incorporar la resolucin de problemas en la enseanza

de las matemticas. Esta propuesta est basada en el desarrollo de un proceso de

estudio en torno a un problema o cuestin problemtica- cuya resolucin es

tomada en serio por la comunidad de estudio (profesores y alumno).

La experiencia se lleva a cabo con un Recorrido de Estudio e Investigacin en

torno a la comparacin de tarifas de telefona mvil, que permite hacer vivir en

el aula la razn de ser de los conocimientos metacognitivos a travs de la

necesidad de construir, para la resolucin de la cuestin, praxeologas ms all

de puntuales.

Otras cuestiones relativas a los aspectos metacognitivos, tales como la

planificacin, regulacin y evaluacin del proceso y los resultados afloran a

travs de los REI en la actividad de los estudiantes. Esto se debe a una asuncin

de responsabilidad por parte de los alumnos en el proceso de estudio, que lleva

a que aspectos considerados tradicionalmente como didcticos en el sentido de

que su gestin corresponde exclusivamente al profesor- pasen a ser

responsabilidad de toda la comunidad de estudio, incluyendo esta a los

alumnos.

Un marco coherente y comprensivo para la resolucin de problemas matemticos: relacin entre cognicin, metacognicin y actuacin metacognitiva

- 23 -

CAPTULO I. UN MARCO COHERENTE Y COMPRENSIVO PARA LA

RESOLUCIN DE PROBLEMAS MATEMTICOS: RELACIN ENTRE

COGNICIN, METACOGNICIN Y ACTUACIN METACOGNITIVA


- 24 -

La dificultad de ensear a resolver problemas en general y matemticos

en particular, presente an hoy da en nuestras aulas a pesar de los intentos de

mejora de las reformas curriculares, ha sido analizada desde diferentes

perspectivas; proponiendo diferentes componentes, procesos e interrelaciones

entre ellos. En la actualidad, es comnmente admitido el destacado papel que

juega la metacognicin, si bien numerosas cuestiones permanecen abiertas. Son

detectadas adems otras muchas ambigedades y discusiones en relacin con

los factores que permiten el xito en la resolucin de problemas, lo cual dificulta

realizar conclusiones fundamentadas para la caracterizacin de resolutores

exitosos as como sobre el modo de enseanza ms adecuado.

Un anlisis inicial de la bibliografa precedente concluy con la necesidad de

plantear un modelo coherente y comprensivo de los componentes y procesos

implicados en la resolucin de problemas matemticos que permitiera analizar

las aportaciones de los diferentes autores y poder as definir el estado actual de

la investigacin en torno a cmo mejorar la instruccin con el objetivo de

desarrollar en los alumnos la capacidad de resolver problemas.


- 25 -

1.1. EL ESTADO DE LA CUESTIN

1.1.1. Qu es la metacognicin y qu papel juega en la resolucin de

problemas matemticos

El concepto metacognicin, bastante complejo y de muy reciente data en

el campo de la educacin, se inici como objeto de estudio en psicologa en la

dcada de los setenta con las investigaciones de John Flavell sobre algunos

procesos cognitivos, particularmente aquellos involucrados en la memoria.

Flavell define la metacognicin como:

Ones knowledge concerning ones own cognitive processes and products

or anything related to them (...) Metacognition refers furthermore to the

active monitoring of these processes in relation to the cognitive objects or

data on which the bear, usually in service of some concrete goal or

objective (Flavell, 1976, p. 32).

Desde los documentos curriculares se promueve la importancia de la

metacognicin para que los estudiantes aprendan (p.e., Cockroft, 1982; National

Council of Teachers of Mathematics, 1989; Treffers, De Moor, y Feys, 1989,

citado por De Corte, Verschaffel, y Opt Eynde, 2000), pero existe mucha

confusin en este campo sobre lo que el trmino metacognicin significa en la

prctica (Wilson, 1999; Osborne, 2002) y ha sido utilizado a menudo por los

investigadores y educadores de formas vagas, confusas e incluso contradictorias

(Brown, 1987; Weinert, 1987). Tras dcadas de discusin, incluso Flavell (1987)

admite que none of us has yet come up with deeply insightful, detailed proposals about

what metacognition is (p. 28), existiendo an un debate referido a su alcance y la

naturaleza de las interrelaciones entre los diversos tipos de conocimiento y los

procesos metacognoscitivos (Schraw y Moshman, 1995).


- 26 -

La metacognicin es descrita por gran nmero de investigadores como multi-

dimensional y ha sido utilizada como un trmino general con referencia a un

rango de dispares habilidades cognitivas de nivel superior (Wilson, 1999).

Perkins, Simmons y Tishman (1990) sugieren que el trmino metacognicin es

difcil y lo definen como:

Something you want to do more o less continuously, and the actions you

need to take to maintain monitoring and to shift yourself back on task when

you were off task (p. 286).

Existen definiciones variadas de metacognicin en la literatura, pero la gran

mayora de ellas incluyen una serie de componentes que estn interrelacionados

(Shcraw y Dennison, 1994). Generalmente hay un acuerdo en que la

metacognicin implica dos componentes principales: conocimiento sobre la

cognicin y regulacin de la cognicin (Brown, 1987; Brown, Brandsford, Ferrara

y Campione, 1983; Garofalo y Lester, 1985; Schenfeld, 1990; y Schraw y

Dennison, 1994), pero la naturaleza de la relacin entre esos componentes no

est claramente definida.

El hecho de postular una naturaleza dual de la metacognicin proporciona slo

un modelo superficial de ese constructo (Wilson, 1999). Adems de la

problemtica relacionada con la difcil tarea de definir y separar estos dos

aspectos, tambin ha sido causa de frustracin en los investigadores las

dificultades encontradas al intentar distinguir entre cognicin y metacognicin

(Brown et al., 1983).

Estas dificultades se ven reflejadas claramente en las instrumentos diseados

con el objetivo de evaluar la metacognicin. Por ejemplo, Osborne (2002), en un

trabajo que lleva a cabo con el fin de analizar las propiedades psicomtricas de

una serie de pruebas disponibles actualmente que afirman evaluar la


- 27 -

metacognicin1, tras definirla de la siguiente manera, para diferenciarla de la

metamemoria o metacomprensin:

Higher-order cognitive functioning, such as monitoring, predicting,

reliaty checking, and/or coordination of cognitive functioning, or awareness

of ones own knowledge and the abiblity to understand, control, and

manipulate individual cognitive processes (p. 5).

Concluye que no se dispone de ninguna medida que cumpla las condiciones

psicomtricas mnimas para poder ser aceptada, ya que, explica, las que no

tienen graves problemas psicomtricos, miden slo una faceta de la

metacognicin.

La investigacin sobre relaciones entre el rendimiento en matemticas y

metacognicin gan popularidad en la dcada de los 80 (Adibnia y Putt, 1998;

Lester, 1994; Silver y Marshall, 1990). Un gran nmero de investigaciones ha

afirmado la importancia de la metacognicin para el pensamiento matemtico

efectivo y la resolucin de problemas (p.e., Clarke, Stephens y Waywood, 1992;

Garofalo y Lester, 1985; Goos, 1995; Lester y Garofalo, 1982; Schenfeld, 1985a,

1985b, 1985c, 1987a, 1992b; Silver y Marshall, 1990). Y es que, a pesar de tener los

conceptos y estrategias necesarias, los estudiantes no son siempre capaces de

completar con xito la resolucin de los problemas (Kilpatrick, 1985). Algunos

autores consideran que esta fuente primaria de dificultades en la resolucin de

problemas consiste en una falta de habilidad de los estudiantes para monitorizar

y regular activamente sus procesos cognitivos (Garofalo y Lester, 1985; Lester y

Garofalo, 1982; Schenfeld, 1987a), mientras que otros la concretan en la

dificultad para utilizar el conocimiento necesario de modo correcto y/o en el

momento apropiado (McAfee y Leong, 1994). Apoyando esta segunda

1 Los cuestionarios de evaluacin de la metacognicin que analiza son: Metacognitive Questionnaire (MQ); Metacognition in Multiple Contexts Inventory (MMCI); Dynamic assessment of metacognition; y Grade/performance e prediction.


- 28 -

explicacin, Sternberg (1998) afirma que es la metacognicin sobre las

estrategias, ms que las estrategias en s mismas, lo que parece ser esencial.

En el rea de matemticas, un gran nmero de cuestiones permanecen sin

respuesta sobre qu acciones cognitivas y metacognitivas realizan los

estudiantes mientras hacen frente a problemas (Davidson y Sternberg, 1998;

Dunlosky, 1998). La mayora de los estudios apoyan la idea de que los

componentes de la metacognicin estn estrechamente relacionados e

interactan, pero cada componente principal requiere mayor clarificacin

(Wilson, 1999). Concretamente en relacin con el tipo de problema, Dunlonsky

(1998) afirma que el conocimiento de la interaccin entre procesos

metacognitivos y tipos de problemas en un rea necesita exploracin adicional si

quiere ser mejorado el rol de la metacognicin dentro de la resolucin de

problemas.

Estos lmites imprecisos y poco claros hacen la investigacin difcil (Brown et al,

1983), de modo que se tornan necesarios una definicin y un modelo ms

detallados y menos ambiguos de la metacognicin para responder a cuestiones

sobre el xito en la resolucin de problemas de matemticas y proporcionar los

parmetros adecuados para investigar y analizar los resultados de la

investigacin.

La consideracin explcita de un modelo a partir del cual analizar la literatura

existente es un requisito imprescindible dadas las condiciones que acabamos de

describir. Por eso, el modelo de resolucin de problemas del que partimos, as

como el papel que juega la metacognicin en el mismo, ser lo primero que

concretemos tras analizar otro aspecto de fundamental importancia que es la

relacin existente entre el conocimiento general y el conocimiento especfico de

rea.


- 29 -

1.1.2. Conocimiento general vs. conocimiento especfico de rea

Existe un gran debate sobre qu estrategias son ms importantes durante

la resolucin de problemas, si las estrategias generales o las del rea especfica,

pero, si revisamos la literatura, podemos observar que no hay un acuerdo

generalizado respecto a cules son de un tipo y de otro.

Entre los defensores de la importancia del conocimiento de dominio especfico

sobre las estrategias de resolucin de problemas en matemticas destacan los

psiclogos australianos Owen y Sweller (1989), que, aludiendo a las

investigaciones desarrolladas en Psicologa cognitiva, insisten en que el dominio

en un rea especfica, como las matemticas, est caracterizado por la posesin de un

gran cuerpo de conocimiento especfico del dominio (p. 326)2, y que la diferencia

entre expertos y noveles est en la posesin de esquemas de dominio especfico,

entendidos estos como a cognitive structure that specifies both the category to which

a problem belongs and the most appropiate moves for problems of that category (Ibd.).

Consideran inapropiada la conclusin de que las dificultades en la resolucin de

problemas sean debidas a una carencia de adecuadas estrategias generales de

resolucin, sugiriendo, por el contrario, que dichas habilidades de resolucin

podran ser adquiridas solamente a travs un conocimiento muy detallado del

rea de conocimiento correspondiente.

Most available evidence suggest that the superior problem-solving skills

does not derive from superior heuristics but rather from domain specific

skills () evidence that the teaching of heuristics is effective in sparse

(Owen y Sweller, 1989, p. 327).

2 En ocasiones nos tomamos la licencia de citar entre comillas fragmentos traducidos al castellano por nosotros mismos de documentos elaborados en otros idiomas -en cuyo caso se entrecomillan pero no se utiliza cursiva-. Esto se hace para intentar favorecer la lectura y comprensin del texto pero intentando mantener a la vez el sentido textual de la cita.


- 30 -

Por su parte, el matemtico tambin australiano Lawson (1990) se sita contra

Owen y Sweller (1989) insistiendo en el impacto positivo resultante del

entrenamiento en estrategias generales de resolucin de problemas:

There is encouraging evidence that training in the use of the different

types of general problem-solving strategies has positive impact on

performance in both mathematics and other curriculum areas ()

The instructin in the use of these strategies is not quite as slender as Owen

and Sweller imply (Lawson, 1990, p. 406).

Tambin critica la reduccin del proceso de transferencia de conocimientos a

una generalizacin entendida como una transferencia limitada a un campo

muy semejante de problemas- que considera constituye una sobre-

simplificacin. As, postula que la mejora en la competencia en resolucin de

problemas provocada por la adquisicin de esquemas de dominio especfico

sera bastante escasa, defendiendo que las estrategias generales de resolucin de

problemas juegan un importante rol en la activacin y uso de los esquemas

existentes, en estrecha relacin con el proceso de transferencia de los

conocimientos:

The development of a more detailed model of transfer provides good reason

for the continued study of the role of general problem-solving strategies in

mathematics problem-solving and for attention to these strategies in

mathematics teaching () efficient operation of general problem solving

strategies can be expected to lead to successful transfer provided the

students have a well-organized knowledge base (pp. 408-409).

Sweller (1990) responde a las afirmaciones de Lawson centrndose bsicamente

en la necesidad de que la instruccin fomente que las estrategias funcionen en

situaciones de transferencia o contextos nuevos de resolucin de problemas,

afirmando que, aunque las pruebas de evaluacin de la transferencia son un

ingrediente esencial de cualquier estudio diseado para proporcionar evidencia

sobre la eficacia del entrenamiento en resolucin de problemas (p. 413), no se


- 31 -

han utilizado problemas suficientemente diferentes a los utilizados durante la

instruccin en el campo de la investigacin sobre intervencin para la

adquisicin de estrategias, tales como la de Charles y Lester (1982). Por tanto,

concluye que there is very little evidence of successfully teaching general problem-

solving techniques in mathematics education (p. 414).

Nunokawa (1991), matemtico japons, est de acuerdo con la tendencia

sealada por Sweller (1990). Nunokawa analiz dos programas de instruccin

en estrategias y encontr que slo se observaban efectos de dichos programas

cuando los problemas utilizados durante el proceso de enseanza y los del post-

test coincidan en la estructura, de manera que podan ser resueltos de modo

similar. En uno de los programas, en que se concluan beneficios significativos

de la instruccin sobre la resolucin de problemas, se ensearon estrategias de

trabajo hacia atrs, y result que los problemas del post-test coincidan con los

utilizados durante la instruccin en que seguan la estructura a = fn (fn-1 (...f1(x)),

donde a es una constante dada, x es un valor desconocido a ser buscado y las fi

son operaciones aritmticas. Por tanto, podemos afirmar que estos alumnos

aprendieron una serie de pasos a realizar (adquirieron un conocimiento

procedimental algortmico), pero no podramos decir lo mismo respecto a si

sabran reconocer un problema cuya resolucin sera adecuada a travs de este

procedimiento o si sabran aplicarlo con algunas variaciones. En el otro

programa se ensearon, adems de las estrategias de trabajo hacia atrs, otras

estrategias de pensamiento ms simples pero, a pesar de ello, no se detect

ningn efecto de la instruccin de esta estrategia en la resolucin de los

problemas que se plantearon en la evaluacin post-test. En este segundo

programa, los problemas del post-test, explica Nunokawa, no eran similares a

los utilizados durante la enseanza de esta estrategia.

Chinnappan y Lawson (1996) sealan, como causa de la controversia anterior

entre Lawson y Sweller, la ambigedad con que son examinados estos estudios,

y entonces plantean la necesidad de clarificacin sobre los tipos de estrategias.


- 32 -

En ese mismo trabajo, estos autores hacen una propuesta de clasificacin de

tipos de estrategias, pero, tras analizarla, hemos detectado deficiencias debidas a

que no es exhaustiva y adems produce de nuevo ambigedad, ya que no

utilizan criterios claros de diferenciacin. As, por ejemplo citan dibujar un

diagrama e intentar casos ms simples como estrategias relacionadas con el

dominio, siendo que estas estrategias son tiles para muchos otros tipos de

problemas.

En la misma lnea, Mayer y Wittrock (1996) categorizan estrategias heursticas

tales como elaborar un diagrama donde se representen las afirmaciones del

problema, dividir el problema en partes o encontrar un problema

relacionado tambin como herramientas de pensamiento especficas del rea de

conocimiento (p. 58).

Ya los matemticos Stanic y Kilpatrick (1988), reflexionando sobre la historia de

intervenciones para la mejora de la resolucin de problemas en educacin

matemtica, sealaron que la naturaleza de las estrategias heuristicas ha sido

distorsionada:

There are those today who on the surface affiliate themselves with the work

of Plya, but who reduce the rule-of-thumb heuristics to procedural skills,

almost taking an algorithmic view of heuristics (i.e., specific heuristics fit in

specific situation). A heuristics becomes a skill, a technique, even,

paradoxically, an algorithm. (p. 17).

De igual forma, se detecta una necesidad generalizada de clarificar la

interaccin que tienen lugar entre el conocimiento especfico de rea y el

conocimiento ms general relativo a la metacognicin (Alexander y Judy, 1988,

p. 397).

En relacin con los obstculos para el dominio de estrategias heursticas, autores

como Alan Schenfeld (1985a) defienden que el xito en cualquier dominio est


- 33 -

basado en una fundamentacin de las fuentes en ese dominio e incluso que un

buen manejo de los heursticos no puede esperarse que reemplace un dbil

dominio de la materia. Por eso afirma que one cannot expect too much of heuristic

strategies (p. 96) respecto a su posibilidad para guiar a los resolutores hacia las

soluciones adecuadas.

Todo lo anterior nos lleva a la necesidad elaborar un modelo de la resolucin de

problemas matemticos que d luz a todas las cuestiones que hemos mostrado

que permanecen abiertas y nos ayude a avanzar en la investigacin.

1.2. PROPUESTA DE UN MODELO DE RESOLUCIN DE TAREAS

MATEMTICAS

El modelo de resolucin de tareas matemticas que presentamos

pretende dar respuesta a las necesidades detectadas en la revisin de los trabajos

precedentes.

Se utiliza intencionadamente el trmino tareas matemticas en vez de

problemas de matemticas para denominar al modelo aqu propuesto porque,

como mostraremos ms adelante, se parte de una diferenciacin inicial, de gran

importancia para la interpretacin del mismo, entre tareas de prctica y tareas

problemticas y por tanto el modelo hace referencia a ambos tipos.

Postulamos que estn implicados dos componentes en la resolucin de tareas

matemticas: el conocimiento y las creencias. Ambos componentes estn

caracterizados por dos variables: posibilidad potencial de aplicacin y tipo de

conocimiento. De la primera surge la caracterstica generalidad-especificidad del

componente (como polos de una misma lnea); en funcin de la segunda se

consideran tres tipos de conocimiento: conceptual, procedimental y condicional.

Profundizaremos en cada uno de los componentes seguidamente.


- 34 -

1.2.1. Conocimiento: relacin entre cognicin y metacognicin

Uno de los componentes de la resolucin de tareas matemticas es el

conocimiento, que puede ser de tres tipos: conceptual, procedimental y

condicional. Los conocimiento conceptuales y procedimentales (en cuanto

conocimientos estticos) tienen carcter cognitivo, mientras que el conocimiento

condicional se correspondera con el conocimiento metacognitivo. Estos dos

niveles de conocimiento -cognitivo y metacognitivo- se caracterizan por su

interactividad e interdependencia.

Poseer conocimiento metacognitivo de un concepto o procedimiento implica,

como condicin necesaria pero no suficiente, disponer de conocimiento

conceptual y/o procedimental del mismo. El conocimiento condicional

(metacognitivo) ser el que permita tanto la puesta en juego (seleccin) del

concepto y/o procedimiento cuando sea necesario, como que sea aplicado de

manera flexible (adaptacin) en funcin de las caractersticas de la tarea. As

podemos definir el conocimiento metacognitivo como el conocimiento condicional,

tanto de los conceptos como de los procedimientos, necesario para su seleccin y

aplicacin adaptada a las condiciones de la tarea.

En la Tabla I.1 se distingue entre conceptos y procedimientos. Los primeros se

diferencian de los segundos en que no implican un conocimiento procedimental.

Ambos se pueden dar en dos modalidades: algortmicos y no algortmicos. Las

formas algortmicas tienen lugar cuando para su seleccin y/o aplicacin es

suficiente una transferencia directa de los conocimientos (analtica) y las no-

algortmicas cuando es necesaria una transferencia indirecta (exploratoria)3. Esta

caracterstica no diferencia entre tipos de conceptos, ni entre procedimientos,

3 Los trminos transferencia analtica y transferencia exploratoria estn basados en la terminologa de Schenfeld, que denomina exploracin al proceso que es necesario que un sujeto ponga en juego cuando se enfrenta a una tarea cuyo modo de resolucin no deduce de manera directa, esto es, a travs del anlisis.


- 35 -

sino que son modalidades en que cada concepto y cada procedimiento pueden

darse.

CONOCIMIENTO COGNITIVO

CONOCIMIENTO METACOGNITIVO (CONDICIONAL)

CONOCIMIENTO CONCEPTUAL CONOCIMIENTO

PROCEDIMENTAL SELECCIN APLICACIN

ALGORTMICOS S --- Transferencia analtica

Transferencia

analtica

CO

NC

EPTO

S

NO- ALGORTMICOS S ---

Transferencia exploratoria


ALGORTMICOS

S

S Transferencia analtica Transferencia

analtica

PRO

CED

I MIE

NTO

S

NO- ALGORTMICOS S S



Tabla I.1 Tipos-niveles de conocimiento que implican diferentes objetos de aprendizaje.

Pensemos en un procedimiento algortmico tpico, como el de la suma, para

entender este hecho. El procedimiento de la suma se denomina algortmico

porque la realizacin de una serie de pasos prefijados lleva a la solucin, pero

una persona no sabe sumar con simplemente conocer cules son los pasos

algortmicos a seguir para realizar la operacin, sino que conlleva: que se

produzca la seleccin de la suma como mejor solucin a la tarea a resolver; que

se seleccione, si se conocen varios algoritmos de la suma, el ms adecuado; y que

se aplique el algoritmo de forma adecuada (por ejemplo, situar en el numerador

y en el denominador los datos correctos). Del mismo modo, hay procedimientos

que, an no siendo considerados algortmicos, por ejemplo los heursticos,

pueden ser rutinizados, como afirman Stanic y Kilpatrick (1988).

Profundizaremos en la comprensin de esta tabla seguidamente, al describir la

clasificacin que proponemos de tareas matemticas.


- 36 -

1.2.1.1. Generalidad-especificidad del conocimiento: caractersticas de la tarea

Esta caracterstica permite dar luz a dos de las cuestiones sin resolver que

se detectan en la literatura: necesidad de una clasificacin de estrategias en

funcin de su carcter general o especfico y dar luz a la relacin entre el

conocimiento general y el de dominio especfico. Dos cuestiones que en

definitiva se reducen a una, ya que el conocimiento se refiere tanto a conceptos

como a procedimientos, incluyendo estos ltimos tanto las tcnicas como las

estrategias.

La propuesta que hacemos aqu es considerar la generalidad-especificidad del

conocimiento como un continuo donde es necesario situarse en un marco

concreto, al que llamaremos contexto, a partir del cual determinar el carcter

genrico-especfico de los componentes, en este caso el conocimiento.

El contexto en el caso que nos ocupa es la resolucin de tareas matemticas. Este

abarca siempre conocimiento matemtico (microcontexto) y en algunos casos

conocimientos ms generales (macrocontexto) (ver Figura I.1). Los

procedimientos relativos al microcontexto, es decir, los propios del contenido

matemtico se denominarn tcnicas, mientras que los procedimientos tomados

del macrocontexto (aplicables a otras tareas no matemticas) se etiquetarn

como estrategias.

La diferencia fundamental entre las tcnicas y las estrategias es que las primeras

son relativas al dominio de conocimiento especfico (microcontexto), mientras

que las otras son aplicables a otras tareas (macrocontexto).

Las caractersticas de cada tarea matemtica determinarn si es necesario

aplicar para su resolucin solamente conocimiento matemtico o tambin

conocimiento del macrocontexto, as como qu conocimientos concretos de

ambos tipos.


- 37 -

Figura I.1 Carcter inclusivo de los niveles de contexto.

Este carcter general de las estrategias heursticas se ve reflejado en numerosos

estudios. As, Annie y John Selden (Selden y Selden, 1997), en un trabajo en el

que analizan, partiendo de gran nmero de investigaciones, cules son las

caractersticas de los resolutores de problemas con xito llegan a la siguiente

conclusin:

General heuristics like means-ends analysis or backward chaining, while

good for solving general logic problems such as the missionaries-and-

cannibals problem, are almost useless for problems in content rich domains

like mathematics.

Por ejemplo, DeFranco (1996), realiz un estudio con ocho doctores en

matemticas donde concluy que no eran buenos resolutores de problemas.

Posteriormente Schenfeld le aconsej estudiar tambin las caractersticas de

ocho matemticos de reconocido prestigio y result que, mientras que los

doctores eran expertos en un mbito ms especfico de problemas, las

MACROCONTEXTO: CONOCIMIENTO

CONTEXTO: CONOCIMIENTO NECESARIO PARA RESOLVER LAS TAREAS MATEMTICAS

MICROCONTEXTO: CONOCIMIENTO

ESPECFICAMENTE MATEMTICO


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eminencias s eran expertos en resolucin de problemas ms alejados de la

materia especfica.

Las propuestas de instruccin que se centran en formar a los alumnos en el

dominio de heursticos generales para la resolucin de problemas novedosos,

tipo Olimpiadas matemticas, se ven en la necesidad, durante la instruccin,

de ejemplificar tipos de problemas que son resolubles a travs de ellos (p.e.,

Callejo, 1991; Guzmn, 1991; Puig, 2004). De este modo, estrategias tales como

empezar por lo fcil, hacer un esquema, una figura o un diagrama, buscar un

problema semejante o suponer que est resuelto no constituyen estrategias

aplicables a cualquier tipo de problema, sino que su eficacia y las variaciones

necesarias en su modo de aplicacin dependern de las caractersticas propias

de cada uno.

Para explicar qu conocimientos son potencialmente aplicables para la

resolucin de una tarea matemtica, ser necesario previamente definir qu es

una tarea de matemticas, para lo cual partiremos del concepto de problema,

explicando posteriormente las razones que hacen que utilicemos la

denominacin general tareas y el trmino problemas para un tipo de tareas

con unas caractersticas especficas.

1.2.1.2. El concepto de problema matemtico

Plya no defini lo que entenda por problema cuando escribi su primer

libro How to solve it (1945), con el cual inaugur la heurstica moderna, sino que

esper a una publicacin posterior, que tena por ttulo Mathematical discovery

(1962-65), y nada menos que al captulo quinto, despus de haber realizado un

anlisis de los procesos que intervienen en la resolucin de problemas, para

afirmar que resolver un problema significa buscar de forma consciente una

accin apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no

alcanzable de forma inmediata.


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A pesar de los numerosos trabajos que se han realizado en torno a la resolucin

de problemas, an queda mucho por sistematizar en este campo y un ejemplo de

ello es que no existe an una caracterizacin universalmente aceptada de los

trminos problema y resolucin de problemas.

Carr (1989) aade un matiz interesante al afirmar que resolver un problema es

el proceso de aplicar el conocimiento previamente adquirido a las situaciones nuevas y

no familiares (p. 471); es decir, el resolutor debe disponer de los medios

necesarios para resolver el problema, pero no puede tratarse de problemas que

comprueben simplemente que se posee un conocimiento inerte, sino que deben

implicar una transferencia del mismo. Profundizaremos sobre esta cuestin

seguidamente, planteando una clasificacin de tipos de tareas matemticas.

Consideraremos para ello la distincin planteada por Perkins (Perkins y

Salomon, 1988) entre dos tipos de transferencia, low-road y high-road. La

primera se refiere a rutinas que han sido practicadas y son automticamente

puestas en juego en situaciones que tienen una gran similitud con el contexto en

que fueron aprendidas. El segundo tipo requiere pensamiento reflexivo y un

intento directo de hacer conexiones; implica extraer los principios y aplicarlos en

otra parte (bsqueda hacia delante) o buscar en la memoria (bsqueda hacia

atrs). Se asemejan estos dos tipos a los aqu planteados, pero en el campo de la

resolucin de problemas consideramos ms adecuada la denominacin

transferencia directa o analtica y transferencia indirecta o exploratoria,

caracterizndose la primera porque se seleccionan y/o aplican los conocimientos

(adaptados a las caractersticas de la tarea) de forma analtica, rutinaria;

mientras que en la segunda es necesaria una exploracin previa, ya que se

produce un bloqueo debido a que no se trata de una tarea rutinaria, sino de una

tarea problemtica y es necesario por tanto la puesta en juego de heursticos

dirigidos a la bsqueda de solucin.


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1.2.1.3. Tipos de tareas matemticas

Encontramos en la literatura dos clasificaciones de tipos de problemas de

marcada importancia, las cuales describiremos a continuacin para permitir

posteriormente su comparacin con la clasificacin que proponemos en este

trabajo.

Charles y Lester (1982) clasifican los problemas en: (a) problemas estndar (de

palabras o historia), los cuales requieren que el sujeto transforme las

afirmaciones verbales en un modelo matemtico; (b) problemas no estndar (de

bsqueda abierta), que fomentan el uso de mtodos flexibles, ya que el resolutor

no posee procedimientos rutinarios para encontrar una respuesta; (c) problemas

de la vida real, que implican situaciones donde los estudiantes necesitan

seleccionar y aplicar las herramientas matemticas a su discrecin; y (d) puzzles,

cuya resolucin depende de la suerte, la adivinacin o el uso de estrategias

inusuales.

Por otra parte, Borasi (1986) ofrece una clasificacin de los problemas utilizando,

como elementos estructurales (a) el contexto del problema (la situacin en que se

enmarca el problema, que puede ser inexistente, explcita en el texto, o explcita

slo de forma parcial); (b) la formulacin del problema (definicin de la tarea a

realizar, que puede ser nica y explcita, parcialmente dada, implcita o

inexistente); (c) el conjunto de soluciones que pueden considerarse aceptables

(que puede ser nica y exacta; generalmente nica, muchas posibles o

formulacin del problema); y (d) el mtodo de aproximacin que podra

utilizarse para alcanzar la solucin (combinacin de algoritmos conocidos,

elaboracin de un algoritmo nuevo, exploracin del contexto con reformulacin

y elaboracin de nuevos algoritmos, exploracin del contexto con reformulacin

y planteamiento del problema, o simplemente formulacin del problema). En

funcin de las cuales concluye que se pueden clasificar en: ejercicios; problemas

con texto; puzzles; pruebas de una conjetura; problema de la vida real; situacin


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problemtica; y situacin, con un carcter ms amplio donde no est definido un

problema.

La clasificacin que proponemos en este trabajo considera como variable de

caracterizacin fundamental de una tarea problemtica el que implique un bloqueo,

es decir, que no pueda ser resuelta de manera inmediata, en consonancia con las

definicin de problema propuesta por Plya (1961). Sin embargo, la variable que

se ha considerado tradicionalmente, de manera implcita, para caracterizar una

tarea matemtica como problema ha sido que implique la modelizacin de una

situacin (ver, p.e., Charles y Lster, 1982; Borasi, 1986). Esto puede haber sido

debido a no considerar, por un lado, que las tareas que no implican

modelizacin pueden provocar tambin bloqueo, y no ser por tanto rutinarias; y,

por otro lado, que no todas las tareas que implican una modelizacin requieren

un procedimiento de resolucin no-algortmico y que por tanto su resolucin

puede ser rutinaria, inmediata, sin conllevar bloqueo.

El mismo Schenfeld (1992a) admite que se necesita mucha ms claridad sobre

el significado del trmino resolucin de problemas, que ha funcionado como un

paraguas bajo el cual han sido conducidos tipos radicalmente distintos de

investigacin. Tambin afirma este autor que, con relacin a los recursos, resta

elaborar una interaccin dinmica entre dichos recursos y otros aspectos del

comportamiento al resolver problemas, para lo cual, postulamos en este trabajo,

se torna necesario considerar explcitamente el tipo de tarea matemtica que se

realiza.

Inicialmente nos planteamos la posibilidad de, para evitar que la asiduidad del

posible lector con la terminologa tradicional le provocara dificultades de

comprensin, denominar ejercicios a aquellas tareas que no implican una

modelizacin y problemas a las que s an siendo conscientes de que ambos

pueden conllevar o no el bloqueo del resolutor al que hace referencia la propia

definicin de problema-; pero nuestra pretensin de mxima claridad y mnima


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ambigedad para hacer frente a los problemas detectados en la literatura

precedente nos hizo abandonar esta idea y optar por la opcin conceptualmente

ms correcta, que es considerar dos tipos de tareas matemticas: las tareas

problemticas (no algortmicas, no rutinarias, que implican una transferencia

exploratoria) y las tareas de prctica (algortmicas, rutinarias; la transferencia que

implican es analtica).

Cuando decimos que la resolucin de una tarea matemtica tiene carcter

algortmico- es decir, es una tarea de prctica-, nos referimos a que el sujeto que

va a llevar a cabo su resolucin conoce, con carcter rutinario, esttico, los pasos

a seguir para llegar a la solucin, los cuales son practicados al resolver la tarea.

Podramos decir, por tanto, que implican tan slo un conocimiento conceptual

y/o procedimental rgido, no flexible, que se practica durante la resolucin, pero

no un conocimiento condicional metacognitivo-, el cual permite la transferencia

del conocimiento a una tarea problemtica, ya sea para su seleccin -

recuperacin de la MLP- cuando es conveniente o/y para su aplicacin

adaptada en funcin de las condiciones concretas de la tarea. Es decir, como

concluimos al definir una tarea problemtica, su resolucin conlleva la

transferencia de conocimiento a una situacin de caractersticas diferentes a

aqullas en las que se ha aprendido. Nos estamos refiriendo por tanto a que la

resolucin de tareas problemticas implica que el conocimiento que se aplica no

sea inerte, adjetivo que se utiliza para referirse a un conocimiento

potencialmente aplicable en una variedad de contextos pero que slo es

accesible en un pequeo conjunto de circunstancias (Whitehead, 1929, citado por

Van Haneghan , Barron, Young, Williams, Vye y Bransford, 1992).

Una vez caracterizada una tarea problemtica y diferenciada de una tarea de

prctica, describiremos los tipos de tareas matemticas en funcin, no slo de la

clasificacin anterior, sino tambin de si implican o no modelizacin, teniendo

en cuenta: (a) las tareas que no implican modelizacin, es decir, su resolucin

no implica elaborar un modelo de la situacin planteada -este tipo de tareas


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pueden hacer referencia a la situacin modelizada, pero no forma parte del

trabajo del alumno valorar su validez-, son denominadas tareas de ejecucin;

y (b) mientras que las tareas de ejecucin no incluyen, por definicin,

modelizacin, las tareas de modelizacin s pueden y suelen implicar,

posteriormente, la tarea de ejecucin, basada en el modelo que previamente ha

sido elaborado, tratndose entonces de lo que hemos denominado tareas

mixtas. La propuesta de clasificacin de tareas matemticas es expuesta en la

siguiente tabla:

1) Tareas problemticas:

1.1) De modelizacin: tanto la modelizacin c

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Metacognición, resolución de problemas y enseñanza de las