Mesura i Probabilitat - Pàgines de la UABgent.uab.cat/aureli_alabert/sites/gent.uab.cat.aureli_alabert/... · 6 Materials Aureli Alabert refer encia xat pr eviament; es a dir, Ac

Mesura i Probabilitat

Aureli Alabert

Departament de MatematiquesUniversitat Autonoma de Barcelona

Originally published by Servei de Publicacions de la UAB, September 1996 (1st edition),and September 1997 (2nd edition).Released to public domain by the author, May 2002.

This document can be copied and distributed freely, as long as its integrity is preserved.It is not allowed to add, delete or replace any part of its contents, or to extract pages foruse in other documents.

Index Materials 3

Index

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Presentacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Espais de mesura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Determinacio de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Mesures a R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. Funcions mesurables i integracio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1 Funcions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Integral respecte una mesura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Teoremes de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4 Teoremes de la Mesura Imatge i de Radon–Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5 Variables aleatories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.6 Espais Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.7 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3. Producte d’espais de mesura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1 Producte d’espais mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 Producte finit d’espais de mesura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3 Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.4 Probabilitat condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4. Successions de variables aleatories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.1 Desigualtat de Txebixev i lemes de Borel–Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2 Convergencia quasi segura, en probabilitat i en Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3 Lleis dels grans nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 Materials Aureli Alabert

5. Successions de probabilitats i funcionscaracterıstiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.1 Convergencia feble de probabilitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2 Funcions caracterıstiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.3 El Teorema de Continuıtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.4 El Teorema Central del Lımit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Index alfabetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Presentacio Materials 5

Presentacio

Aquest es un text introductori a la teoria matematica de la mesura i la probabilitat. Esdona per suposat que el lector te un bon maneig del llenguatge de la teoria de conjunts, iconeixements basics de topologia i espais metrics, com tambe del calcul elemental a Rn ide les operacions amb nombres complexos. Des del punt de vista formal, per llegir-lo noes necessari cap coneixement previ sobre probabilitats, estadıstica, mesura o integracio.Aixo no obstant, ha estat concebut com a llibre de text per a estudiants de matematiquesque ja han seguit un curs elemental d’estadıstica i han tingut contacte amb la teoria dela integracio de Lebesgue en Rn. La materia coberta es pot encabir amb comoditat enun curs quadrimestral.

L’estil expositor es deliberadament eixut, semblant al que tindrien unes notes presesa l’aula. L’autor preten que el text sigui util a l’estudiant que ha de digerir en un tempscurt uns coneixements no trivials i demostrar immediatament despres que els domina.Tanmateix, no puc deixar de recomanar a l’estudiant que cedeixi a la temptacio de ferun passeig bibliografic cada cop que alguna cosa desperti la seva curiositat.

No s’ha fet cap esforc especial per simplificar la notacio o substituir sımbols ma-tematics per llenguatge ordinari. Una notacio prou descriptiva tendeix a estalviar malesinterpretacions i ambiguitats. De fet, la tendencia a la sobresimplificacio de notacio esal meu parer una reminiscencia del drama d’intentar escriure matematiques amb unamaquina tradicional. Afortunadament, tals limitacions han passat a la historia.

Al final de cada capıtol s’hi inclou una llista de problemes. Gairebe tots els exercicisintercalats en el text fan referencia a algun d’aquests problemes. Es suggereix intentarfer-los en el moment en que apareixen, com a ajuda al seguiment de la teoria.

El que segueix es una llista dels convenis de notacio i nomenclatura que regeixen entot el llibre; la majoria d’ells son habituals i obvis. Es recomana al lector de referir-s’hien cas de dubte durant la lectura.

Logica: ‘sii’ es l’abreviatura de ‘si i nomes si’. La notacio a := b indica que a esper definicio igual a b. El sımbol d’implicacio (⇒) pot servir per expressar la proposiciologica p⇒ q, amb la qual no s’afirma la veracitat ni la falsedat de p o q, o be que sabemque p es cert, i que d’aixo se’n dedueix q. Normalment aquesta distincio es evident pelcontext. Nomes quan hi ha possibilitat de confusio, escriurem p,⇒ q per enfasitzar queja sabem la veracitat de p.

Conjunts: La paraula ‘col.leccio’ s’utilitza com a sinonim de ‘conjunt’, per evitar lacacofonia d’expressions com ara “conjunt de conjunts”. Un conjunt A es finit si te unaquantitat finita d’elements, que es denota per cardA. Un conjunt A es numerable si esfinit o infinit numerable. La resta de dos conjunts A−B es el conjunt que te els elementsde A que no son de B. Ac es el conjunt complementari de A respecte d’un conjunt de


referencia Ω fixat previament; es a dir, Ac = Ω−A. El conjunt de les parts d’un conjuntΩ es nota P(Ω) i es la col.leccio de tots els subconjunts de Ω. Una famılia de conjuntsAii∈I es una aplicacio que a cada ındex i del conjunt d’ındexs I li assigna un conjunt.La notacio Aii∈I ⊂ C indica que els conjunts de la famılia son de la col.leccio deconjunts C. Quan parlem d’unio ∪

i∈IAi o interseccio ∩

i∈IAi finita, numerable o arbitraria

d’una famılia ens referim que el conjunt d’ındexs de la famılia es, respectivament, finit,numerable o de cardinalitat qualsevol. Quan se sap que una famılia es disjunta (es adir, i 6= j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅), escriurem la seva unio com ]

i∈IAi. Normalment, una famılia

numerable s’indexa amb els nombres naturals, i s’escriu Ann∈N en el cas infinit, oAnk

n=1 en el cas finit. Les notacions ∪nAn i ]

nAn, on no s’especifica el conjunt al qual

pertany l’ındex n, indiquen que la unio es finita o infinita numerable. Una successio esuna aplicacio que te per conjunt inicial el dels nombres naturals N, i per tant es un casparticular de famılia infinita numerable. La questio de si el zero es un nombre natural ono es irrellevant quan es tracta amb successions i en general en tot aquest llibre. El mescomode a efectes practics es pensar que 0 6∈ N.

Funcions: La paraula ‘funcio’ es sinonim de ‘aplicacio’, llevat que s’indiqui explıcitamentun domini mes petit que el conjunt inicial. La restriccio d’una funcio f a un conjunt As’indica per f|A . Im f es el conjunt imatge de f . f−1 es la funcio inversa de f .

Nombres: Se suposen conegudes pel lector l’estructura d’ordre i l’aritmetica de larecta real estesa R := R∪−∞,+∞. A l’apartat 2.1 s’expliciten totes les estructuressobre R que haurem de considerar. En el context de R, l’expressio ‘a es finit’ vol dir‘a ∈ R’. Si r ∈ R, les expressions del tipus ‘a > r’ indiquen implıcitament que a ∈ R, sino es diu el contrari. Les propietats basiques dels nombres complexos tambe se suposenconegudes. Si z ∈ C, Re z i Im z denoten la part real i la part imaginaria de z. z es elconjugat de z.

Topologia: Els lımits de successions numeriques o de funcions es consideren comelements de R. En particular, si ‘el lımit existeix’, pot ser un nombre real o un infinit.Explicitem que es un nombre real escrivint ‘el lımit existeix i es finit’. Per exemple,les successions monotones de nombres reals sempre tenen lımit (finit o no.) De vegadesabreviarem f(a−) := lim

x→a−f(x) i f(a+) := lim

x→a+f(x) (lımits laterals de la funcio f en

a). La derivada n-esima de f l’escriurem f (n. L’adherencia d’un conjunt A es denota

per A, i el seu interior perA.

Ordre: Els intervals oberts els escriurem ]a, b[ (mai amb parentesis ordinaris). A ⊂ Bes una inclusio no estricta de conjunts. Reservem A B per a la inclusio estricta(A ⊂ B i A 6= B.) Un element a ∈ R es positiu si a > 0, i estrictament positiu sia > 0. Analogament amb negatiu i estrictament negatiu. Una funcio f es creixent six < y ⇒ f(x) 6 f(y) i estrictament creixent si x < y ⇒ f(x) < f(y). Analogament ambdecreixent i estrictament decreixent.

Mesures Materials 7

1. Mesures

1.1 Espais de mesura

1.1.1 DefinicioSigui Ω un conjunt qualsevol.Sigui F una col.leccio de subconjunts de Ω (F ⊂ P(Ω)).F es una σ-algebra de P(Ω) sii

1) Ω ∈ F .

2) A ∈ F ⇒ Ac ∈ F .

3) Si Ann es una famılia numerable d’elements de F, llavors ∪nAn ∈ F .

1.1.2 Observacions

1) ∅ ∈ F, per 1) i 2) de la definicio. Aquesta condicio pot substituir 1).

2) Si Ann es una famılia numerable d’elements de F, llavors ∩nAn ∈ F, gracies a les

condicions 2) i 3):

An ∈ F ⇒ Acn ∈ F ⇒ ∪

nAc

n ∈ F ⇒(

∪nAc

n

)c ∈ F ,

i(

∪nAc

n

)c= ∩

nAn .

Aquesta condicio pot substituir 3).

1.1.3 Exemples

1) F = P(Ω) es la σ-algebra de P(Ω) mes gran possible.

2) F = ∅,Ω es la σ-algebra de P(Ω) mes petita possible.

3) Si A ⊂ Ω, aleshores ∅, A,Ac,Ω es una σ-algebra. Observeu que es la σ-algebrames petita que conte al conjunt A.

Donada una col.leccio qualsevol de subconjunts de Ω, volem considerar la mınimaσ-algebra que els conte. ‘Mınima’ vol dir aquı la mes petita per la relacio d’inclusio.

1.1.4 DefinicioSigui C una col.leccio de subconjunts de Ω.


S’anomena σ-algebra generada per C la interseccio de totes les σ-algebres que contenenC. L’escriurem σ(C).

1.1.5 Exercici(Vegeu el Problema 1.1.) Per tal que la Definicio 1.1.4 tingui sentit cal comprovar quealmenys existeix una σ-algebra que conte C (trivial: P(Ω)), i que la interseccio d’unafamılia arbitraria no buida de σ-algebres es σ-algebra.Per tal que assoleixi l’objectiu, cal comprovar que la σ-algebra generada per C es en efectela σ-algebra mes petita possible a la qual pertanyen tots els elements de C. (Aixo tambees evident.)

1.1.6 DefinicioSigui Ω un conjunt.Sigui F una σ-algebra de P(Ω).Una mesura sobre F es una aplicacio

µ:F −→ [0,+∞]

complint: Si Ann ⊂ F es una famılia numerable d’elements de F disjunts dos a dos (i.e.i 6= j ⇒ Ai ∩Aj = ∅), aleshores

µ(

∪nAn

)

=∑

n

µ(An)

La condicio anterior s’anomena propietat d’additivitat numerable o de σ-additivitatde les mesures.

1.1.7 DefinicioSigui Ω un conjunt.Sigui F una σ-algebra de P(Ω).El parell (Ω,F) es un espai mesurable. Els elements de F s’anomenen conjunts mesurablesde (Ω,F).La terna (Ω,F, µ), on µ es una mesura sobre F, s’anomena espai de mesura.

1.1.8 Exemples

1) En qualsevol espai mesurable (Ω,F) s’hi poden posar mesures: µ ≡ 0 i µ ≡ +∞ sonmesures (completament inutils, per cert).

2) Sigui (Ω,F) un espai mesurable. Definim, ∀A ∈ F,

µ(A) =

cardA, si A es finit.

+∞, en cas contrari.

Llavors µ es una mesura (vegeu el Problema 1.2), que s’anomena la mesura comp-tadora en (Ω,F).

3) (Per a lectors familiaritzats amb la Teoria de la Integral de Lebesgue en Rn.) SiL(Rn) es la col.leccio de conjunts mesurables en el sentit de Lebesgue en Rn, i λ esla mesura de Lebesgue sobre L(Rn), llavors (Rn,L(Rn), λ) es un espai de mesura.(Vegeu els Exemples 1.2.19, mes endavant.)

4) (Molt important.) Sobre Ω = Rn considerem la σ-algebra generada pels conjuntsoberts de Rn per la topologia usual. Aquesta σ-algebra esta inclosa estrictamenten L(Rn) i s’anomena σ-algebra de Borel en Rn. L’escriurem B(Rn). Els elementsde B(Rn) s’anomenen borelians de Rn. La mesura de Lebesgue (exemple anterior)restringida a B(Rn) dona lloc a un espai de mesura (Rn,B(Rn), λ).

Mesures Materials 9

1.1.9 ObservacioUna propietat immediata de les mesures es:

∀A,B ∈ F, A ⊂ B ⇒ µ(A) 6 µ(B) . (1.1.1)

Efectivament, µ(B) = µ(A ] (B −A)) = µ(A) + µ(B −A) > µ(A) .La propietat (1.1.1) s’anomena Propietat de monotonia de les mesures.

1.1.10 DefinicioSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.µ es una mesura finita sii µ(Ω) < +∞ .µ es una mesura de probabilitat (o una probabilitat, simplement) sii µ(Ω) = 1; en talcas, (Ω,F, µ) s’anomena espai de probabilitat, i dels conjunts mesurables se’n diu tambeesdeveniments.

L’Observacio 1.1.9 justifica el nom de “mesura finita”: µ(Ω) < +∞ implica queµ(A) < +∞, ∀A ∈ F, i per tant l’aplicacio µ pren valors en [0,+∞[. Analogament, unaprobabilitat pren valors en [0, 1].

1.1.11 ExempleSuposem que Ω es un conjunt numerable.Associem a cada ω ∈ Ω un nombre pω > 0 de forma que

∑

ω∈Ω

pω = 1. (Obviament es

possible: qualsevol serie de termes positius de suma igual a 1 serveix.)Per a tot A ∈ P(Ω), definim µ(A) =

∑

ω∈A

pω .

Llavors, (Ω,P(Ω), µ) es un espai de probabilitat. (Vegeu el Problema 1.3.)

Veurem a continuacio algunes estructures mes generals, de les quals els espais demesura en seran un cas particular.

Una mesura es una aplicacio el domini de la qual es una σ-algebra de subconjuntsd’un cert conjunt de referencia. En general, una aplicacio que te per domini una col.lecciode subconjunts d’un conjunt univers donat, i a valors on sigui, l’anomenem una funcio deconjunt. Convenim a anomenar funcio de conjunt positiva la que pren valors a l’interval[0,+∞] (l’infinit inclos!). Podem dir doncs que una mesura es una funcio de conjuntpositiva numerablement additiva definida sobre una σ-algebra.

1.1.12 DefinicioSigui Ω un conjunt.Sigui C ⊂ P(Ω) una col.leccio qualsevol de subconjunts de Ω.Sigui µ:C −→ [0,+∞] una funcio de conjunt positiva.Diem que µ es (finitament) additiva sii

∀Aknk=1 ⊂ C famılia finita,

[

n∪k=1

Ak ∈ C i(

i 6= j ⇒ Ai ∩Aj = ∅)

]

=⇒ µ( n∪

k=1Ak

)

=n

∑

k=1

µ(Ak) ,(1.1.2)

Diem que µ es numerablement additiva (o σ-additiva) sii

∀Ann ⊂ C famılia numerable,[

∪nAn ∈ C i

(

i 6= j ⇒ Ai ∩Aj = ∅)

]

=⇒ µ(

∪nAn

)

=∑

n

µ(An) .

1.1.13 Exercicis

1) Suposem que ∅ ∈ C. Si µ es additiva i µ 6≡ +∞, aleshores µ(∅) = 0. (Vegeu elProblema 1.7.)


2) Si C es estable per unions finites (i.e. la unio de tota famılia finita de conjunts de C

es un conjunt de C), aleshores (1.1.2) es equivalent a

∀A,B ∈ C, A ∩B = ∅ ⇒ µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B) .

Comproveu tambe que l’estabilitat per unions finites equival a l’enunciat: 〈〈 A,B ∈C ⇒ A ∪B ∈ C 〉〉.

1.1.14 DefinicioSigui Ω un conjunt.Sigui A ⊂ P(Ω).A es una algebra de P(Ω) sii

1) Ω ∈ A .

2) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A .

3) Si Aknk=1 es una famılia finita d’elements de A, aleshores

n∪k=1

Ak ∈ A .

1.1.15 Observacions

1) Tota σ-algebra es una algebra. A l’inreves no es cert.

2) Valen per a algebres observacions similars a les de 1.1.2 per a σ-algebres:

i) ∅ ∈ A .

ii) Una algebra es estable per interseccions finites.

Hom pot considerar l’algebra generada per una col.leccio de conjunts, de maneratotalment analoga al cas de les σ-algebres. De fet, es facil veure que te sentit considerarla “estructura” generada per una col.leccio de conjunts, sempre que la “estructura” estiguidefinida per propietats d’estabilitat. Per exemple, hom parla de la topologia generadaper una col.leccio de conjunts (mınima topologia que fa oberts tots els conjunts de lacol.leccio).

1.1.16 DefinicioSigui C una col.leccio de subconjunts de Ω.S’anomena algebra generada per C a la interseccio de totes les algebres que contenen C.L’escriurem a(C).

1.1.17 ProposicioSigui A una algebra de P(Ω).Sigui µ:A −→ [0,+∞] una funcio de conjunt positiva additiva.Aleshores:

1) A,B ∈ A ⇒ µ(A ∪B) + µ(A ∩B) = µ(A) + µ(B) .

2) Monotonia:∀A,B ∈ A, A ⊂ B ⇒ µ(A) 6 µ(B) .

3) Subadditivitat finita:

A1, . . . , An ∈ A ⇒ µ(A1 ∪ · · · ∪An) 6 µ(A1) + · · · + µ(An) .

Suposem a mes que µ es σ-additiva. Aleshores:

4) Subadditivitat numerable:

∀Ann ⊂ A famılia numerable, ∪nAn ∈ A ⇒ µ

(

∪nAn

)

6∑

n

µ(An) .

Mesures Materials 11

Demostracio:1)

µ(A) = µ(

(A ∩B) ] (A ∩Bc))

= µ(A ∩B) + µ(A ∩Bc) . (1.1.3.a)

µ(B) = µ(

(B ∩A) ] (B ∩Ac))

= µ(B ∩A) + µ(B ∩Ac) . (1.1.3.b)

Sumant (1.1.3.a) i (1.1.3.b),

µ(A) + µ(B) = µ(A ∩B) +[

µ(A ∩Bc) + µ(B ∩Ac) + µ(B ∩A)]

(1)= µ(A ∩B) + µ

(

(A ∩Bc) ] (B ∩Ac) ] (B ∩A))

(2)= µ(A ∩B) + µ(A ∪B) .

(1) Per l’additivitat de µ, puix que els conjunts en questio son disjunts.(2) Es comprova facilment que la unio disjunta es igual a A ∪B.

2)µ(B) = µ(A ] (B ∩Ac)) = µ(A) + µ(B ∩Ac) > µ(A) .

3)

µ(A1 ∪ · · · ∪An)(1)= µ

(

A1 ] (A2 ∩Ac1) ] (A3 ∩Ac

1 ∩Ac2) ] · · · ] (An ∩Ac

1 ∩ · · · ∩Acn−1)

)

= µ(A1) + µ(A2 ∩Ac1) + µ(A3 ∩Ac

1 ∩Ac2) + · · · + µ(An ∩Ac

1 ∩ · · · ∩Acn−1)

(2)

6 µ(A1) + µ(A2) + µ(A3) + · · · + µ(An) .

(1) Aquest es el truc habitual per convertir una unio qualsevol en una unio disjunta.(2) Per la propietat de monotonia.

4) El proces de 3) es pot fer tambe amb una infinitud numerable de conjunts:

µ( ∞∪

n=1An

)

= µ( ∞]

n=1(An ∩Ac

1 ∩ · · · ∩Acn−1)

)

=∞∑

n=1

µ(An ∩Ac1 ∩ · · · ∩Ac

n−1) 6

∞∑

n=1

µ(An)

Ens interessa ara enunciar uns criteris per saber si una funcio de conjunt positivaadditiva sobre una algebra es o no σ-additiva sobre l’algebra.

Introduım primer certa nomenclatura relativa a successions de conjunts: Una suc-cessio de conjunts Ann∈N es creixent sii ∀n, An ⊂ An+1; es decreixent sii ∀n, An ⊃An+1; es monotona sii es creixent o decreixent. Per definicio, el lımit d’una successio crei-

xent de conjunts Ann∈N es limn→∞

An :=∞∪

n=1An; analogament, el lımit d’una successio

decreixent de conjunts Ann∈N es limn→∞

An :=∞∩

n=1An. De vegades escrivim An A

per abreviar [An ⊂ An+1 i A =∞∪

n=1An], i An A per abreviar [An ⊃ An+1 i

A =∞∩

n=1An]. Vegeu els Problemes 1.17 i 1.18 per mes informacio (important!) sobre

lımits de successions de conjunts.

1.1.18 ProposicioSigui Ω un conjunt.Sigui A una algebra de P(Ω).


Sigui µ:A −→ [0,+∞] una funcio de conjunt positiva additiva, µ 6≡ +∞.Aleshores:

1) (Caracteritzacio per successions creixents.)µ es σ-additiva ⇐⇒ Per a tota successio Ann∈N ⊂ A, amb An A ∈ A, es telim

n→∞µ(An) = µ(A).

2) (Caracteritzacio per successions decreixents.)

a) µ es σ-additiva =⇒ Per a tota successio Ann∈N ⊂ A, amb An A ∈ A iµ(A1) < +∞, es te lim

n→∞µ(An) = µ(A).

b) Si per a tota successio Ann∈N ⊂ A, amb An ∅, es te que limn→∞

µ(An) = 0,

aleshores µ es σ-additiva.

Demostracio:1)

⇒) Sigui Ann∈N ⊂ A creixent amb∞∪

n=1An = A ∈ A .

µ(A) = µ( ∞∪

n=1An

) (1)= µ

( ∞]n=1

(An −An−1))

=

∞∑

n=1

µ(An −An−1)

(2)=

∞∑

n=1

(

µ(An) − µ(An−1)) (3)

= limn→∞

µ(An) − µ(A0)(4)= lim

n→∞µ(An) .

(1) Posant A0 = ∅. Disjuntem els conjunts com en la Proposicio 1.1.17, 3); aquıqueda mes senzill per la monotonia de la successio.

(2) Gracies a l’additivitat finita. En la eventualitat que alguna resta no es poguesfer (∞ − ∞), la successio µ(An)n∈N seria identicament +∞ a partir d’uncert moment, i la propietat de monotonia (Proposicio 1.1.17, 2)) ens diria queµ(A) = ∞ i l’enunciat seria cert tambe.

(3) Es una serie telescopica.(4) Vegeu l’Exercici 1.1.13, 2).

⇐) Sigui Ann∈N ⊂ A una famılia numerable de conjunts disjunts dos a dos tal que∞∪

n=1An = A ∈ A .

µ(A)(1)= µ

( ∞∪n=1

( n∪k=1

Ak

))

= limn→∞

µ( n∪

k=1Ak

) (2)= lim

n→∞

n∑

k=1

µ(Ak)

=∞∑

k=1

µ(Ak) .

(1) Aquest es el truc habitual per convertir una unio numerable qualsevol en lımit

d’una successio creixent. n∪

k=1Ak

n∈Nes creixent.

(2) Per l’additivitat finita.

2)

a) Sigui Ann∈N ⊂ A decreixent amb∞∩

n=1An = A ∈ A i µ(A1) <∞ .

µ(A1) − µ(A) = µ(A1 −A) = µ(

A1 −∞∩

n=1An

) (1)= µ

( ∞∪n=1

(A1 −An))

(2)= lim

n→∞µ(A1 −An) = µ(A1) − lim

n→∞µ(An) .

(1) Usem que el complementari d’una interseccio es la unio de complementaris.(2) Aplicant l’apartat 1), puix que A1 −Ann∈N es creixent.


b) Sigui Ann∈N ⊂ A una famılia numerable de conjunts disjunts dos a dos tal que∞∪

n=1An = A ∈ A .

µ(A) = µ( n∪

k=1Ak

)

+ µ(

A− n∪k=1

Ak

)

, ∀n ⇒

µ(A)(1)= lim

n→∞µ( n∪

k=1Ak

)

= limn→∞

n∑

k=1

µ(Ak) =

∞∑

k=1

µ(Ak) .

(1) Passant al lımit.∞∩

n=1

(

A− n∪k=1

Ak

)

= ∅, i per tant, per hipotesi, el segon sumand

te lımit zero.

1.1.19 Observacions

Sobre la Proposicio 1.1.18:

1) La condicio µ(A1) < +∞ en 2a) es fonamental (vegeu el Problema 1.6), i implicaque tots els conjunts de la successio tenen mesura finita. Es clar, pero, que es potimposar simplement µ(An0

) < ∞ per un cert n0 qualsevol, puix que els canvis enels primers elements d’una successio no afecten el seu lımit.

2) La hipotesi de 2b) es equivalent a:Per a tota successio Ann∈N ⊂ A, amb An A ∈ A i µ(A1) < +∞, es te quelim

n→∞µ(An) = µ(A). (Exercici.)

L’enunciat de la proposicio ens diu que nomes cal comprovar aquesta condicio quanA = ∅.

1.1.20 Corol.lari

Si (Ω,F, µ) es un espai de probabilitat (o, mes en general, si µ es una mesura finita),aleshores

An A⇒ µ(An) µ(A) (1.1.4.a)

An A⇒ µ(An) µ(A) (1.1.4.b)

Degut a (1.1.4), es diu que les probabilitats tenen la propietat de continuıtat sobresuccessions monotones.

Introduım encara una estructura mes general que la d’algebra:

1.1.21 Definicio

Sigui Ω un conjunt.

Sigui S ⊂ P(Ω).

S es una semialgebra de P(Ω) sii

1) Ω ∈ S .

2) A,B ∈ S ⇒ A ∩B ∈ S .

3) A ∈ S ⇒ Ac es unio finita de conjunts de S disjunts dos a dos.

1.1.22 Observacions

1) Tota algebra es una semialgebra. A l’inreves no es cert.

2) Es defineix la semialgebra s(C) generada per una col.leccio de conjunts C ⊂ P(Ω) demanera analoga a la σ-algebra i l’algebra generades.

alabert

Tachado

alabert

Tachado


1.1.23 Exemple (important)Sigui Ω = R. La famılia de conjunts formada pels intervals de la forma ]a, b], ]−∞, b],]a,+∞[, ∅, R (a < b ∈ R), es una semialgebra de P(Ω) que no es algebra. La comprovacioes un exercici trivial.Hi ha un exemple analeg per a Rn (vegeu el Problema 1.10).

1.1.24 ObservacioLes propietats 1), 2), 3) i 4) de la Proposicio 1.1.17, valides per a algebres, tambe soncertes per a semialgebres, amb lleugeres precisions a l’enunciat. (Vegeu el Problema1.11.)

1.2 Determinacio de mesures

Donar una mesura sobre una σ-algebra es, en principi, donar el valor de µ(A) per a totconjunt A de la σ-algebra.

Seria interessant saber si es possible fixar el valor de µ(A) sobre uns quants conjuntsde la σ-algebra de manera que µ quedi determinada. En altres paraules, de manera queexisteixi una unica mesura que prengui els valors donats sobre la col.leccio mes petita deconjunts. Aixo es en efecte possible, i de gran utilitat.

Hem d’introduir, per comencar, una nova estructura auxiliar.

1.2.1 DefinicioSigui Ω un conjunt.Sigui M ⊂ P(Ω), M 6= ∅ .M es una classe monotona sii per a tota successio Ann∈N ⊂ M monotona es telim

n→∞An ∈ M .

1.2.2 ObservacioC es σ-algebra ⇔ C es algebra i classe monotona.La implicacio (⇒) es obvia. Implicacio contraria:Si An ∈ C, ∀n ∈ N, llavors

∞∪n=1

An =∞∪

n=1

n∪k=1

Ak = limn→∞

n∪k=1

Ak ∈ C ,

doncs n∪

k=1Ak

n∈Nes una successio creixent de conjunts de C, i per tant el seu lımit

tambe es de C.

1.2.3 DefinicioSigui C ⊂ P(Ω).S’anomena classe monotona generada per C la interseccio de totes les classes monotonesque contenen C. L’escriurem m(C).

1.2.4 Teorema de les Classes MonotonesSigui Ω un conjunt.Sigui A una algebra de P(Ω).Sigui M una classe monotona tal que A ⊂ M.Aleshores: σ(A) ⊂ M.

Demostracio:σ(A) es classe monotona, ⇒ m(A) ⊂ σ(A)

m(A) es algebra (a comprovar)m(A) es classe monotona

⇒ m(A) es σ-algebra ⇒ σ(A) ⊂ m(A)

⇒

⇒ m(A) = σ(A) . (1.2.1)


De vegades es (1.2.1) el que s’enuncia sota el nom de Teorema de les Classes Monotones.Es a dir: La classe monotona i la σ-algebra generades per una algebra coincideixen. Elnostre enunciat s’obte immediatament a partir de (1.2.1):

A ⊂ M ⇒ m(A) ⊂ M ⇒ σ(A) ⊂ M .

Ens queda un “petit” detall per comprovar:

Lema. A es algebra ⇒ m(A) es algebra.Demostracio:a) Ω ∈ m(A) ? Obvi: Ω ∈ A ⇒ Ω ∈ m(A) .

b) A ∈ m(A) ⇒ Ac ∈ m(A) ?Usarem la tecnica dels “bons conjunts”. Els bons conjunts son aquells que compleixenla propietat que un vol demostrar. En aquest cas son els elements de

mc := A ∈ m(A) : Ac ∈ m(A) .L’objectiu es veure que tots els conjunts son bons, es a dir, que mc = m(A).

i) mc es classe monotona:Sigui Ann∈N ⊂ mc una successio monotona. La successio Ac

nn∈N tambe ho sera.

∀n, An ∈ mc ⊂ m(A), ⇒ limn→∞

An ∈ m(A)

∀n, Acn ∈ mc ⊂ m(A), ⇒ lim

n→∞Ac

n(1)=

(

limn→∞

An

)c ∈ m(A)

⇒ limn→∞

An ∈ mc .

(1) El complementari d’una unio es la interseccio dels complementaris i el comple-mentari d’una interseccio es la unio dels complementaris.

ii) A ⊂ mc :

A ∈ A ⇒

A ∈ m(A)Ac ∈ A ⇒ Ac ∈ m(A)

⇒ A ∈ mc .

iii) mc = m(A) :

A(1)

⊂ mc (2)⇒ m(A) ⊂ mc

mc ⊂ m(A)

⇒ mc = m(A) .

(1) Per ii).(2) Per i).

c) A,B ∈ m(A) ⇒ A ∪B ∈ m(A) ?Definim, per a cada A ∈ m(A) fixat,

mA := B ∈ m(A) : A ∪B ∈ m(A) .Aquests seran els “bons conjunts respecte de A”. Volem veure que tots els conjunts sonbons respecte de A, per a tot A ∈ m(A) .

i) mA es classe monotona:Sigui Ann∈N ⊂ mA una successio monotona. La successio A ∪Ann∈N tambe hosera.

∀n, An ∈ mA ⊂ m(A), ⇒ limn→∞

An ∈ m(A)

∀n, A ∪An ∈ mA ⊂ m(A), ⇒ limn→∞

(A ∪An) = A ∪ limn→∞

An ∈ m(A)

⇒

⇒ limn→∞

An ∈ mA .

ii) A ⊂ mA, ∀A ∈ A :

A ∈ A

B ∈ A

⇒ A ∪B ∈ A ⊂ m(A) ⇒ B ∈ mA .

iii) mA = m(A), ∀A ∈ A :

A(1)

⊂ mA,(2)⇒ m(A) ⊂ mA

mA ⊂ m(A)

⇒ mA = m(A) .

(1) Per ii).(2) Per i).


iv) A ⊂ mA, ∀A ∈ m(A) :Siguin A ∈ m(A) i B ∈ A.

A ∈ m(A)(1)= mB ,

(2)⇒ B ∈ mA .

(1) Per iii).(2) De fet, es un ‘si i nomes si’.

v) mA = m(A), ∀A ∈ m(A) :

A(1)

⊂ mA,(2)⇒ m(A) ⊂ mA

mA ⊂ m(A)

⇒ mA = m(A) .

(1) Per iv).(2) Per i).

1.2.5 Definicio


Sigui C ⊂ P(Ω) tal que ∅ ∈ C.

Sigui µ:C −→ [0,+∞] una funcio de conjunt positiva additiva.

Diem que µ es σ-finita sii es pot posar Ω =∞∪

n=1An, amb An ∈ C i µ(An) < +∞ .

1.2.6 Exemples

1) La mesura de Lebesgue en (R,B(R)) o (R,L(R)) es σ-finita. Per exemple, podemescriure R = ∪

n∈Z[n, n+1], tenint en compte que la mesura de Lebesgue d’un interval

es la seva longitud.

2) La mesura comptadora en (R,B(R)) o en qualsevol espai amb conjunt base nonumerable no es σ-finita.

Podem ara establir un primer teorema sobre determinacio de mesures, que estableixla unicitat de l’extensio d’una funcio de conjunt definida sobre una algebra a la σ-algebragenerada.

1.2.7 Teorema


Sigui A una algebra de P(Ω).

Si µ1 i µ2 son dues mesures sobre σ(A) que coincideixen sobre A i son σ-finites sobreA, aleshores µ1 ≡ µ2.

Demostracio:

a) Cas preliminar: Suposem que µ1 i µ2 son finites.

Sigui M := A ∈ σ(A) : µ1(A) = µ2(A).Per hipotesi, A ⊂ M. Si veiem que M es classe monotona, el Teorema 1.2.4 ens dira queσ(A) ⊂ M.

En efecte: Sigui Ann∈N ⊂ M una successio monotona. Llavors,

µ1

(

limn→∞

An

) (1)= lim

n→∞µ1(An) = lim

n→∞µ2(An)

(1)= µ2

(

limn→∞

An

)

⇒ limn→∞

An ∈ M .

(1) Usant les caracteritzacions de la Proposicio 1.1.18. Per aixo imposem de momentque µ1 i µ2 siguin finites.


b) Cas general:

Sigui Ann∈N ⊂ A tal que Ω =∞]

n=1An i µ1(An) = µ2(An) < +∞, ∀n. Podem prendre

una mateixa famılia per a les dues mesures, clarament. A mes, la podem prendre disjunta:si no ho es, la disjuntem (vegeu la demostracio de la Proposicio 1.1.17).Per a cada n ∈ N, definim

µi,An(B) := µi(B ∩An) , B ∈ σ(A) , i = 1, 2 .

Es facil veure que µi,An(i = 1, 2, n ∈ N) son mesures. A mes, son finites, perque

µi(B ∩An) 6 µi(An) < +∞.Aplicant el cas preliminar anterior, obtenim µ1,An

= µ2,An, ∀n.

Finalment:

µ1(1)≡

∞∑

n=1

µ1,An≡

∞∑

n=1

µ2,An

(1)≡ µ2 .

(1) Usant que B =∞]

n=1(B ∩ An). Naturalment,

( ∞∑

n=1µi,An

)

(B) vol dir∞∑

n=1µi,An

(B).

(Vegeu tambe el problema 1.5.)

Ens ocuparem ara de l’existencia de l’extensio. Despres d’uns quants preliminars,establirem el resultat d’existencia en el Teorema 1.2.12.

1.2.8 DefinicioSigui Ω un conjunt.Una mesura exterior sobre P(Ω) es una aplicacio

µ∗:P(Ω) −→ [0,+∞]

tal que

1) µ∗(∅) = 0 .

2) µ∗ es creixent: A ⊂ B ⇒ µ∗(A) 6 µ∗(B) .

3) µ∗ es numerablement subadditiva: Ann ⊂ P(Ω) famılia numerable ⇒ µ∗(∪nAn

)

6∑

nµ∗(An) .

1.2.9 ObservacioUna mesura no es una mesura exterior, llevat que estigui definida sobre P(Ω) i no siguiidenticament infinita.Una mesura exterior no te perque ser una mesura. Pot fallar la σ-additivitat, o fins i totl’additivitat finita.

Ens demanem si una mesura exterior pot convertir-se en una mesura al restringir-laa una σ-algebra mes petita. Obviament, restringint-la a ∅,Ω s’obte una mesura. Estracta de trobar la σ-algebra mes gran possible.

1.2.10 DefinicioSigui Ω un conjunt.Sigui µ∗ una mesura exterior sobre P(Ω).Un conjunt A ⊂ Ω es µ∗-mesurable sii

∀B ∈ P(Ω) , µ∗(B) > µ∗(A ∩B) + µ∗(Ac ∩B) .

(La desigualtat contraria sempre es compleix, per la subadditivitat. Per tant, es potposar tambe una igualtat.)


1.2.11 1r Teorema de CaratheodorySigui Ω un conjunt.Sigui µ∗ una mesura exterior sobre P(Ω).Notem per Fµ∗ la col.leccio de conjunts µ∗-mesurables.Aleshores: Fµ∗ es σ-algebra i µ∗

|Fµ∗es una mesura.

Demostracio:1) Fµ∗ es algebra:

i) Ω ∈ Fµ∗ ? Sı, perque µ∗(Ω ∩B) + µ∗(∅ ∩B) = µ∗(B), ∀B ∈ P(Ω) .

ii) A ∈ Fµ∗ ⇒ Ac ∈ Fµ∗ ? Evident.

iii) A1, A2 ∈ Fµ∗ ⇒ A1 ∪A2 ∈ Fµ∗ ?

∀B ∈ P(Ω), µ∗(B) = µ∗(B ∩A1) + µ∗(B ∩Ac1)

= µ∗(B ∩A1 ∩A2) + µ∗(B ∩A1 ∩Ac2) + µ∗(B ∩Ac

1 ∩A2)

+ µ∗(B ∩Ac1 ∩Ac

2)(1)

> µ∗((B ∩A1 ∩A2) ∪ (B ∩A1 ∩Ac2) ∪ (B ∩Ac

1 ∩A2))

+ µ∗(B ∩Ac1 ∩Ac

2)(2)= µ∗(B ∩ (A1 ∪A2)

)

+ µ∗(B ∩ (A1 ∪A2)c)

.

(1) Apliquem la propietat de subadditivitat als tres primers sumands.(2) Tenint en compte que el complementari de la unio es la interseccio de comple-

mentaris.

2) ∀B ∈ P(Ω), ∀Aknk=1 ⊂ Fµ∗ disjunts dos a dos, µ∗(B∩

( n∪k=1

Ak

))

=n∑

k=1

µ∗(B∩Ak) :

Per induccio: Si n = 1, es evident. Suposem-ho cert per n i veiem-ho per n+ 1.

µ∗(B ∩( n+1∪

k=1Ak

)) (1)= µ∗(B ∩

( n+1∪k=1

Ak

)

∩( n∪

k=1Ak

))

+ µ∗(B ∩( n+1∪

k=1Ak

)

∩( n∪

k=1Ak

)c)

= µ∗(B ∩( n∪

k=1Ak

))

+ µ∗(B ∩An+1) =

n+1∑

k=1

µ∗(B ∩Ak) .

(1) Per 1), la unio finita d’elements de Fµ∗ es de Fµ∗ .

3) Fµ∗ es σ-algebra:Sigui Ann∈N ⊂ Fµ∗ famılia de conjunts disjunts dos a dos (si no ho son, es disjunten).Sigui B ∈ P(Ω).

µ∗(B) = µ∗(B ∩( n∪

k=1Ak

))

+ µ∗(B ∩( n∪

k=1Ak

)c)

(1)=

n∑

k=1

µ∗(B ∩Ak) + µ∗(B ∩( n∪

k=1Ak

)c)

>

n∑

k=1

µ∗(B ∩Ak) + µ∗(B ∩( ∞∪

k=1Ak

)c).

Passant al lımit en n i usant la subadditivitat numerable,

µ∗(B) >

∞∑

k=1

µ∗(B ∩Ak) + µ∗(B ∩( ∞∪

k=1Ak

)c)(1.2.2)

> µ∗(B ∩( ∞∪

k=1Ak

))

+ µ∗(B ∩( ∞∪

k=1Ak

)c).

(1) Per 2).


4) µ∗|Fµ∗

es σ-additiva:

En la desigualtat (1.2.2), prenem B =∞∪

k=1Ak ∈ Fµ∗ :

µ∗( ∞∪k=1

Ak

)

>

∞∑

k=1

µ∗(Ak)

Suposem ara donada una funcio de conjunt µ positiva σ-additiva sobre una algebra.En el teorema seguent escollim adequadament la mesura exterior µ∗ per tal que µ∗

|Fµ∗

sigui una mesura que estengui µ.

1.2.12 2n Teorema de Caratheodory


Sigui A una algebra de P(Ω).

Sigui µ:A −→ [0,+∞] una funcio de conjunt σ-additiva, µ 6≡ +∞.

Definim l’aplicacio

µ∗: P(Ω)−−−−−−−−−−→ [0,+∞]

B 7−−−−−→ infB⊂

∞∪

n=1An

Ann∈N⊂A

∞∑

n=1µ(An)

(i.e. l’ınfim es pren sobre tots els recobriments numerables Ann∈N ⊂ A de B).

Aleshores:

1) µ∗ es una mesura exterior.

2) A ⊂ Fµ∗ .

3) µ∗|A

= µ .

Demostracio: Comencem per la tercera afirmacio.

3) Sigui B ∈ A. Sigui Ann∈N ⊂ A un recobriment numerable de B. Podem escriure

B =∞∪

n=1(An ∩B).

µ(B) = µ( ∞∪

n=1(An ∩B)

)(1)

6

∞∑

n=1

µ(An ∩B) 6

∞∑

n=1

µ(An) .

Prenent ınfims sobre tots els recobriments possibles, obtenim µ(B) 6 µ∗(B). Per altrabanda, µ∗(B) 6 µ(B), perque sempre podem recobrir B amb ell mateix.

(1) µ es numerablement subadditiva (Proposicio 1.1.17).

1)

i) µ∗(∅) = 0 ? Sı. ∅ es pot recobrir per ell mateix i µ(∅) = 0.

ii) µ∗ es creixent?Si B1 ⊂ B2, tot recobriment numerable Ann∈N ⊂ A de B2 ho es de B1. Per tant,

µ∗(B1) = infB1⊂

∞∪

n=1An

Ann∈N⊂A

∞∑

n=1

µ(An) 6 infB2⊂

∞∪

n=1An

Ann∈N⊂A

∞∑

n=1

µ(An) = µ∗(B2) .


iii) µ∗ es numerablement subadditiva?Sigui Bnn∈N ⊂ P(Ω). Fixem ε > 0.Per a cada n, sigui An,kk∈N ⊂ A un recobriment numerable de Bn tal que

∞∑

k=1

µ(An,k) 6 µ∗(Bn) +ε

2n

Llavors An,k k∈Nn∈N

es un recobriment numerable de∞∪

n=1Bn per conjunts de A tal

que

µ∗( ∞∪n=1

Bn

)

6

∞∑

k=1n=1

µ(An,k) 6

∞∑

n=1

µ∗(Bn) +

∞∑

n=1

ε

2n=

∞∑

n=1

µ∗(Bn) + ε .

Fent ε→ 0, obtenim µ∗( ∞∪n=1

Bn

)

6∞∑

n=1µ∗(Bn) .

2) Sigui A ∈ A.Fixem B ∈ P(Ω) i ε > 0.Sigui Ann∈N ⊂ A un recobriment numerable de B tal que

∞∑

n=1

µ(An) 6 µ∗(B) + ε . (1.2.3)

Tindrem tambe

∞∑

n=1

µ(An)(1)=

∞∑

n=1

[

µ(An ∩A) + µ(An ∩Ac)]

(2)

> µ∗(B ∩A) + µ∗(B ∩Ac) . (1.2.4)

Ajuntant (1.2.3) i (1.2.4), i fent ε→ 0, obtenim

µ∗(B) > µ∗(B ∩A) + µ∗(B ∩Ac) .

(1) µ es additiva sobre l’algebra A.(2) An ∩An∈N i An ∩Acn∈N son recobriments de B ∩A i B ∩Ac, respectivament.

Estem usant la definicio de µ∗.

1.2.13 ObservacioEl Teorema 1.2.12 ens diu que si µ es σ-additiva sobre l’algebra A, µ s’esten a una mesurasobre una certa σ-algebra Fµ∗ . Aquesta σ-algebra conte, naturalment, σ(A), la generadaper A.Pregunta: Fµ∗ = σ(A) ? Resposta: NO, en general.

Es a dir: Si pretenıem obtenir una mesura sobre σ(A), “ens hem passat de llarg”. Arabe, per quedar-nos amb σ(A) cal nomes restringir-hi la mesura obtinguda. El Teorema1.2.7 ens assegura que si la funcio de conjunt µ es σ-finita, l’extensio a σ(A) es unica.

Malgrat que, en general, σ(A) Fµ∗ , la relacio entre aquestes dues σ-algebres esmolt simple. S’estableix en el Teorema 1.2.16.

1.2.14 DefinicioSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.Sigui N ∈ P(Ω).Diem que N es negligible si existeix A ∈ F tal que N ⊂ A i µ(A) = 0.Diem que (Ω,F, µ) es complet si tots els conjunts negligibles son mesurables (i.e. Nnegligible ⇒ N ∈ F.)


1.2.15 Definicio–ProposicioSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.Definim F := A ∪N : A ∈ F, N negligible.Definim la funcio de conjunt

µ: F−−−−−−→ [0,+∞]

A ∪N 7−−−−−→µ(A)

Aleshores: (Ω, F, µ) es un espai de mesura complet i s’anomena la complecio de (Ω,F, µ).

Demostracio: Es deixa com a exercici (vegeu el Problema 1.16.)

1.2.16 TeoremaSigui Ω un conjunt.Sigui A una algebra de P(Ω).Sigui µ:A −→ [0,+∞] σ-additiva i σ-finita.Aleshores: L’espai de mesura (Ω,Fµ∗ , µ∗) es la complecio de (Ω, σ(A), µ∗). (Seguint lesnotacions dels Teoremes de Caratheodory. S’enten que µ∗ es la mesura exterior definidaen el 2n Teorema de Caratheodory, restringida a la σ-algebra corresponent.)

Demostracio:1) (Ω,Fµ∗ , µ∗) es complet:Sigui N ∈ P(Ω) negligible.Sigui A ∈ Fµ∗ tal que N ⊂ A i µ∗(A) = 0.Sigui B ∈ P(Ω).

µ∗(B ∩N)(1)

6 µ∗(N)(1)

6 µ∗(A) = 0 ⇒

µ∗(B)(1)

> µ∗(B ∩N c) = µ∗(B ∩N) + µ∗(B ∩N c) ⇒ N ∈ Fµ∗ .

(1) Per la monotonia de la mesura exterior. Recordem que µ∗ esta definida per a totelement de P(Ω).

2) ∀B ∈ P(Ω), ∃A ∈ σ(A) : B ⊂ A i µ∗(B) = µ∗(A) :Per a cada n ∈ N sigui An,kk∈N ⊂ A un recobriment numerable de B tal que

∞∑

k=1

µ(An,k) 6 µ∗(B) +1

n. (1.2.5)

Prenem A :=∞∩

n=1

( ∞∪k=1

An,k

)

∈ σ(A). Llavors,

∀n, µ∗(B)(1)

6 µ∗(A)(1)

6 µ∗( ∞∪k=1

An,k

)(2)

6 µ∗(B) +1

n.

Fent n→ ∞, obtenim µ∗(B) = µ∗(A).(1) Per la monotonia de la mesura exterior.(2) Per la subadditivitat de la mesura exterior i (1.2.5).

3) Fµ∗ = A ∪N : A ∈ σ(A), N negligible :La inclusio (⊃) es evident, perque Fµ∗ conte els negligibles i σ(A) ⊂ Fµ∗ . Veurem lainclusio contraria.

i) Cas preliminar: Suposem que µ es finita.Sigui B ∈ Fµ∗ . Pel pas 2), existeix A ∈ σ(A) tal que B ⊂ A i µ∗(B) = µ∗(A) < +∞,⇒ µ∗(A−B) = 0 ⇒ A−B es negligible ⇒ ∃Z ∈ σ(A) : A−B ⊂ Z i µ∗(Z) = 0.

Definim N := B − (A− Z)(1)

⊂ Z,⇒ N negligible.

Tindrem que B = (B −N) ∪N , amb N negligible i B −N(2)

∈ σ(A).(1) Es aconsellable fer un dibuix per veure clara aquesta relacio.


(2) B −N = A−Z (facil, i amb un dibuix encara mes), i A,Z ∈ σ(A) ⇒ A−Z ∈σ(A).

ii) Cas general:

Si B ∈ Fµ∗ , B es descompon com B =∞∪

n=1Bn, amb Bn ∈ Fµ∗ i µ∗(Bn)

(1)

< +∞.

Per a cada n ∈ N, Bn = (Bn −Nn) ∪Nn, amb Nn conjunt negligible construıt comen el cas preliminar i).Llavors,

B =( ∞∪

n=1(Bn −Nn)

)

∪( ∞∪

n=1Nn

)

,

on∞∪

n=1(Bn −Nn) ∈ σ(A) i

∞∪n=1

Nn es negligible (es evident que la unio numerable

de negligibles es negligible, pel fet que la unio numerable de conjunts de mesura zerote mesura zero, gracies a la σ-additivitat).

(1) Donat que µ es σ-finita sobre A, es te Ω =∞∪

n=1An, amb µ∗(An) = µ(An) < +∞,

per certs An ∈ A. Llavors, B =∞∪

n=1(B ∩An), amb µ∗(B ∩An) < +∞. Prenem

Bn = B ∩An.

Anirem mes lluny reduint la col.leccio de conjunts sobre els que cal especificar unamesura per tal de tenir-la determinada. Concretament, veurem que es suficient fer-hosobre una semialgebra.

En primer lloc caracteritzarem de manera molt senzilla els elements de l’algebragenerada per una semialgebra. Malauradament, no existeix un resultat analeg per a laσ-algebra generada.

1.2.17 Proposicio

Sigui S una semialgebra de P(Ω).

L’algebra a(S) es la col.leccio d’unions finites i disjuntes dos a dos de conjunts de S.

Demostracio: Sigui S∪ la col.leccio d’unions finites i disjuntes dos a dos d’elements deS. Clarament, S ⊂ S∪ ⊂ a(S), puix que a(S) es estable per unions finites.

Per tant, es suficient veure que S∪ es una algebra.

1) ∅ ∈ S∪ ? Evident, perque ∅ ∈ S.

2) A,B ∈ S∪ ⇒ A ∩B ∈ S∪ ?

A = A1 ] · · · ]An, amb A1, . . . , An ∈ S

B = B1 ] · · · ]Bm, amb B1, . . . , Bm ∈ S

⇒

A ∩B = (A1 ] · · · ]An) ∩ (B1 ] · · · ]Bm) =n]

i=1

m]j=1

(Ai ∩Bj)(1)

∈ S∪ .

(1) Tenint en compte que Ai ∩Bj ∈ S .

3) A ∈ S∪ ⇒ Ac ∈ S∪ ?

A = A1 ] · · · ]An, amb A1, . . . , An ∈ S , ⇒

Ac = Ac1 ∩ · · · ∩Ac

n, amb Ac1, . . . , A

cn

(1)

∈ S∪ .

S∪ es estable per interseccions finites, segons hem vist en 2). Per tant, Ac ∈ S∪.

(1) Per la condicio 3) de la Definicio 1.1.21.


1.2.18 TeoremaSigui S una semialgebra de P(Ω).Sigui µ:S −→ [0,+∞] additiva.Aleshores:

1) Existeix una unica extensio de µ additiva sobre a(S).

2a) Si, a mes, µ es σ-additiva sobre S, tambe ho sera l’extensio sobre a(S).

2b) Si, a mes, µ es σ-finita sobre S, tambe ho sera l’extensio sobre a(S).

Demostracio:1) Sigui A ∈ a(S). Siguin A1, . . . , An ∈ S tals que A = A1]· · ·]An (Proposicio 1.2.17).Definim

µ(A) :=n

∑

i=1

µ(Ai) (1.2.6)

(estem utilitzant el mateix sımbol µ per a l’extensio i per a la funcio original). Observeuque l’additivitat es necessaria perque tingui sentit aquesta definicio.

i) La definicio es consistent:Si A = A1 ] · · · ]An = B1 ] · · · ]Bm,

n∑

i=1

µ(Ai) =n

∑

i=1

µ(

(Ai ∩B1) ] · · · ] (Ai ∩Bm))

(1)=

n∑

i=1

m∑

j=1

µ(Ai ∩Bj)

(1)=

m∑

j=1

µ(

(A1 ∩Bj) ] · · · ] (An ∩Bj))

=m

∑

j=1

µ(Bj) .

(1) Aquı estem aplicant la definicio de µ (1.2.6). Els conjunts de la forma Ai ∩Bj

son de S.

ii) µ es additiva sobre a(S):Si A,B ∈ a(S), A∩B = ∅, amb A = A1 ] · · ·]An, B = B1 ] · · ·]Bm (Ai, Bj ∈ S),

µ(A ∪B) = µ(A1 ] · · · ]An ]B1 ] · · · ]Bm)(1)= µ(A1) + · · · + µ(An) + µ(B1) + · · · + µ(Bm)(1)= µ(A) + µ(B) .

(1) Definicio de µ (1.2.6).

iii) Es la unica extensio additiva:Sigui ν una extensio additiva de µ a a(S).Sigui A ∈ a(S), amb A = A1 ] · · · ]An, Ai ∈ S .

ν(A) = ν(A1 ] · · · ]An)(1)=

n∑

i=1

ν(Ai)(2)=

n∑

i=1

µ(Ai) = µ(A) .

(1) Ha de ser additiva.(2) Ha de coincidir amb µ sobre S.


2a) Sigui Ann ⊂ a(S) una famılia numerable de conjunts disjunts dos a dos tal queA := ∪

nAn ∈ a(S).

Per a cada n, sigui Bnk mn

k=1 ⊂ S tal que An =mn]k=1

Bnk .

Sigui Cjmj=1 ⊂ S tal que A =

m]j=1

Cj .

Llavors:

µ(A)(1)=

m∑

j=1

µ(Cj) =m

∑

j=1

µ( ∞]

n=1(Cj ∩An)

)

=

m∑

j=1

µ( ∞]

n=1

mn]k=1

(Cj ∩Bnk )

) (2)=

m∑

j=1

∞∑

n=1

mn∑

k=1

µ(Cj ∩Bnk )

(3)=

∞∑

n=1

µ(An) .

(1) Definicio de µ (1.2.6).(2) Usem que els conjunts Cj ∩Bn

k son de S, que la seva unio tambe, i la σ-additivitatde µ sobre S.

(3) L’ordre de sumacio es pot intercanviar sense problemes perque estem tractant ambseries de termes positius. Altre cop s’aplica la definicio de µ (1.2.6).

2b) Serveix la mateixa descomposicio Ω =∞∪

n=1An, An ∈ S, µ(An) < +∞, doncs S ⊂

a(S).

Resumint el que hem vist en aquest apartat:Si µ es una funcio de conjunt positiva σ-additiva sobre una semialgebra S, µ es pot

estendre a una mesura sobre σ(S), la σ-algebra generada per S (Teoremes 1.2.12, 1.2.18,i Observacio 1.2.13, mes el fet trivial que σ(a(S)) = σ(S) .)

Si, a mes, µ es σ-finita, nomes hi ha una extensio possible (Teoremes 1.2.7, 1.2.18).

1.2.19 Exemples (importants)1) Considerem en R la semialgebra (vegeu Exemple 1.1.23)

S := ]a, b], ]−∞, b], ]a,+∞[, ∅, R : a < b ∈ R .

Resulta que σ(S) = B(R). Veiem-ho:

⊃)

σ(S) conte tots els intervals ]a, b](1)⇒

σ(S) conte tots els intervals ]a, b[(2)⇒

σ(S) conte tots els oberts de R ⇒σ(S) ⊃ σ(oberts de R) =: B(R) .

(1) ]a, b[=∞∪

n=1]a, b− 1

n ] .

(2) Tot obert de R es unio numerable d’intervals oberts acotats.

⊂)B(R) conte tots els oberts ⇒B(R) conte tots els intervals oberts

(1)⇒B(R) conte tots els intervals oberts i els ]a, b] (inclos a = −∞) ⇒

σ(S) ⊂ B(R) .

(1) ]a, b] =∞∩

n=1]a, b+ 1

n [ .


Per tant, especificar una funcio de conjunt positiva σ-additiva i σ-finita sobre els intervalsde R (o simplement sobre els intervals de la forma dels de S) equival a especificar unamesura sobre (R,B(R)).Encara mes: Es comprova facilment que la col.leccio I := ]a, b] : a, b ∈ R, que no esuna semialgebra, compleix σ(I) = B(R), i es pot demostrar (vegeu l’Apartat 1.3) queuna funcio de conjunt positiva σ-additiva i σ-finita sobre I s’esten de manera unica a S

i per tant determina una mesura sobre (R,B(R)).De fet, seguint el procediment dels Teoremes de Caratheodory, el que obtenim es un espaide mesura (R,B(R), µ), complecio de (R,B(R), µ). A cops pot anar be treballar amb lacomplecio, per raons tecniques, pero moltes vegades (sempre, en aquest text) es suficientconsiderar la σ-algebra B(R), que esta ben relacionada amb la topologia de R.

2) En particular: Imposem que la mesura d’un interval sigui igual a la seva longitud,

µ(]a, b]) = b− aµ(]−∞, b]) = +∞µ(]a,+∞[) = +∞µ(∅) = 0µ(R) = +∞

i obtindrem, seguint els teoremes de Caratheodory, la mesura de Lebesgue λ en (R,L(R))(vegeu l’Exemple 1.1.8, 3).) L’espai de mesura (R,L(R), λ) es per tant la complecio de(R,B(R), λ), i la relacio que hi ha entre els mesurables-Lebesgue i els borelians es:

A ∈ L(R) ⇔ A = B ∪N, B ∈ B(R), N ⊂ Z ∈ B(R) amb λ(Z) = 0.

3) Mes en general: Donat un espai topologic (Ω, τ), hom pot considerar sempre la σ-algebra generada per τ (els oberts). Llavors (Ω, σ(τ)) es un espai mesurable, ben relaci-onat amb la topologia subjacent. σ(τ) s’anomena la σ-algebra de Borel de (Ω, τ).

1.3 Mesures a R

Estudiarem en aquest apartat el cas particular important de l’espai mesurable (R,B(R)).Sabem que per a obtenir una mesura en aquest espai es suficient especificar-la sobre

els conjunts de la semialgebra

S := ]a, b], ]−∞, b], ]a,+∞[, ∅, R : a < b ∈ R . (1.3.1)

Pero en realitat n’hi ha prou de fer-ho sobre la col.leccio dels intervals semioberts acotatsI := ]a, b] : a 6 b ∈ R. Aixo es el que estableix el Corol.lari 1.3.3, que es consequenciadel Teorema 1.3.2 i els resultats generals de determinacio de mesures de l’Apartat 1.2.

1.3.1 ObservacioSi µ: I −→ [0,+∞] es una funcio de conjunt positiva additiva, les propietats 1), 2), 3) i4) de la Proposicio 1.1.17, enunciades per a algebres, son certes per a I, amb lleugeresprecisions a l’enunciat. (Vegeu el Problema 1.12, i compareu amb l’Observacio 1.1.24 iel Problema 1.11.)

1.3.2 TeoremaSigui I = ]a, b] : a 6 b ∈ R ⊂ P(R) .Sigui S la semialgebra de (1.3.1).Sigui µ: I −→ [0,+∞] σ-additiva.Aleshores:

1) Existeix una unica extensio de µ σ-additiva sobre S.

2) Si, a mes, µ es σ-finita, l’extensio es σ-finita.


Demostracio:1) Sigui A ∈ S. Clarament, A =

∞]n=1

In, per certs In ∈ I.

Definim

µ(A) :=∞∑

n=1

µ(In) .

Es demostra que la definicio de µ es consistent, que l’extensio es σ-additiva i que es l’unicapossible extensio σ-additiva, seguint les mateixes idees de la demostracio del Teorema1.2.18. La diferencia es que certes sumes finites son infinites en aquest cas, pero aixo noaporta cap dificultat addicional. Els detalls es deixen al lector.

2) R =∞∪

n=1In, per certs In ∈ I ⊂ S, amb µ(In) < +∞, ∀n. Per tant, µ es σ-finita tambe

sobre S.

1.3.3 Corol.lariUna funcio de conjunt µ: I −→ [0,+∞] σ-additiva i σ-finita determina una mesura en(R,B(R)).

Aixo ja es un gran estalvi, pero veurem que encara es poden especificar certes mesuresde manera molt mes senzilla.

1.3.4 DefinicioUna funcio de distribucio es una aplicacio F :R −→ R creixent i contınua a la dreta:

x 6 y ⇒ F (x) 6 F (y) i limx→a+

F (x) = F (a) .

1.3.5 ObservacioEs consequencia facil de la monotonia que una funcio de distribucio sempre te lımitslaterals en tot punt i en els infinits (aquests ultims poden ser infinits):

limx→a+

F (x) ∈ R , limx→a−

F (x) ∈ R ,

limx→+∞

F (x) ∈ R ∪ +∞ , limx→−∞

F (x) ∈ R ∪ −∞ .

1.3.6 ProposicioSigui F :R −→ R una funcio de distribucio.Definim

µ: I−−−−−−−→ [0,+∞]

]a, b] 7−−−−→F (b) − F (a)

Aleshores: µ es una funcio de conjunt positiva σ-additiva i σ-finita sobre I.

Demostracio:1) µ es positiva:Evidentment, µ(]a, b]) = F (b) − F (a) > 0, perque F es creixent.

2) µ es additiva:

Sigui Inmn=1 ⊂ I tal que

m]n=1

In ∈ I.

Notem In = ]an, bn], I = ]a, b]. Reordenant si cal els intervals In, tindrem

a = a1 6 b1 = a2 6 b2 = a3 6 b3 . . . . . . bm−1 = am 6 bm = b .


Llavors,m

∑

n=1

µ(In) =

m∑

n=1

F (bn) − F (an) = F (b) − F (a) = µ(I) .

3) µ es σ-additiva:Sigui Inn∈N ⊂ I una famılia infinita numerable d’intervals disjunts dos a dos tal que∞]

n=1In = I ∈ I. Notem In = ]an, bn], I = ]a, b].

Agafem els m primers intervals. Podem suposar que

a 6 a1 6 b1 6 a2 6 b2 6 · · · 6 am 6 bm 6 b

(si no, els reordenem).

m∑

n=1

µ(In) =

m∑

n=1

(

F (bn) − F (an))

(1)

6

m∑

n=1

(

F (bn) − F (an))

+m−1∑

n=1

(

F (an+1) − F (bn))

= F (bm) − F (a1)

(1)

6 F (b) − F (a) = µ(I) .

Aixo val per a cada m. Fent m→ ∞, obtenim∞∑

n=1µ(In) 6 µ(I) .

Per veure la desigualtat contraria, demostrarem primer el lema seguent:

Lema. ∀I ∈ I, ∀ε > 0, ∃J1, J2 ∈ I tals que:

a) J1 ⊂ I ⊂J2 .

b) µ(I) − µ(J1) < ε i µ(J2) − µ(I) < ε .

Demostracio: Usant la continuıtat a la dreta de F , si I = ]a, b], nomes cal prendreJ1 = ]a′, b] i J2 = ]a, b′], amb a < a′, F (a′) − F (a) < ε, i b < b′, F (b′) − F (b) < ε

Fixem ε > 0.Sigui J1 ∈ I tal que J1 ⊂ I i µ(I) − µ(J1) < ε .

Per a cada n ∈ N, sigui J2,n ∈ I tal que In ⊂J2,n i µ(J2,n) − µ(In) <

ε

2n.

Clarament, J2,nn∈N es un recobriment obert del compacte J1. Per tant, existeix un

subrecobriment finit J2,nm

n=1. Llavors,

µ(I) < µ(J1) + ε(2)

6 µ( m∪

n=1J2,n) + ε

(3)

6

m∑

n=1

µ(J2,n) + ε

6

m∑

n=1

µ(In) +

m∑

n=1

ε

2n+ ε 6

∞∑

n=1

µ(In) + 2ε .

Fent ε→ 0, obtenim µ(I) 6∞∑

n=1µ(In) .

4) µ es σ-finita: Es evident, perque F (b) − F (a) ∈ R, ∀a, b. De fet, µ pren valors a[0,+∞[.

(1) F es creixent.(2) Per la Observacio 1.3.1, µ es monotona. Tenim les inclusions J1 ⊂ J1 ⊂ m∪

n=1

J2,n ⊂

m∪n=1

J2,n, i nomes falta comprovar quem∪

n=1J2,n ∈ I.

Podem suposar que J1 ∩J2,n 6= ∅, ∀n = 1, . . . ,m. Si aixo no es compleix per algun

n, el podem treure del recobriment. Per tant, tindrem tambe J 1 ∩ J2,n 6= ∅. Aixo,

juntament amb el fet J ⊂ m∪n=1

J2,n i que J2,n ∈ I, ∀n, impliquen quem∪

n=1J2,n ∈ I.

(3) Per la propietat de subadditivitat (vegeu l’Observacio 1.3.1).


1.3.7 Corol.lariUna funcio de distribucio determina una mesura µ en (R,B(R)) mitjancant la formulaµ(]a, b]) = F (b) − F (a)

Hem obtingut un gran guany: En lloc de donar una funcio de conjunt, es suficientdonar una “funcio de punt”.

La pregunta natural subsequent es: Tota mesura sobre (R,B(R)) es pot obtenir apartir d’una funcio de distribucio mitjancant la formula µ(]a, b]) = F (b) − F (a) ? Laresposta es: No, pero gairebe.

Observeu que les mesures construıdes d’aquesta manera donen mesura finita a totinterval acotat. Veurem que son precisament aquestes les que es poden determinar ambfuncions de distribucio. Una amplia classe de mesures interessants, en particular totesles mesures finites i per tant les probabilitats, compleixen l’esmentada propietat. Les hidonem un nom a la definicio seguent.

1.3.8 DefinicioUna mesura de Lebesgue–Stieljes es una mesura µ en (R,B(R)) tal que

∀A ∈ B(R) acotat, µ(A) < +∞ .

1.3.9 Exemples

1) La mesura de Lebesgue:Ve determinada per la funcio de distribucio F (x) = x. En efecte,

λ(]a, b]) = F (b) − F (a) = b− a ,

que coincideix amb la definicio que n’hem donat als Exemples 1.2.19.

2) La probabilitat anomenada Llei Normal centrada i reduıda (abreviadament, lleiN(0, 1)):Ve determinada per la funcio de distribucio

F (x) =

∫ x

−∞

1√2πe−y2/2 dy .

(Aquesta integral es pot entendre en el sentit de la integracio impropia de Riemann,per exemple.)La probabilitat d’un interval acotat ]a, b] sera

µ(]a, b]) = F (b) − F (a) =

∫ b

a

1√2πe−y2/2 dy .

3) La probabilitat anomenada Delta de Dirac en a ∈ R:Ve donada per la funcio de distribucio

F (x) =

1, si x > a

0, si x < a .

La notacio habitual es δa. Es te, per a qualsevol A ∈ B(R),

δa(A) =

1, si a ∈ A

0, si a 6∈ A .


1.3.10 ProposicioSigui µ una mesura de Lebesgue–Stieljes.Aleshores:

1) Existeix una funcio de distribucio F tal que

∀a < b ∈ R, F (b) − F (a) = µ(]a, b]) . (1.3.2)

2) Si F1 i F2 son funcions de distribucio complint (1.3.2), aleshores F1 − F2 ≡ c, peralguna constant c ∈ R.

Demostracio:1) Assignem a F (0) qualsevol valor arbitrari. Definim

F (x) :=

F (0) + µ(]0, x]), si x > 0

F (0) − µ(]x, 0]), si x < 0 .(1.3.3)

i) F es funcio de distribucio:Es clarament creixent. Veiem la continuıtat a la dreta: Si b > 0,

limx→b+

F (x) = F (0) + limx→b+

µ(]0, x])(1)= F (0) + µ(]0, b]) = F (b) .

Si b < 0, es fa analogament.(1) Aquı estem utilitzant la caracteritzacio de la σ-additivitat per successions de-

creixents (vegeu la Proposicio 1.1.18), combinada amb la caracteritzacio de lımitd’una funcio en un punt mitjancant successions.

ii) F compleix (1.3.2): Es immediat.

2) Siguin F1 i F2 tals que F1(b) − F1(a) = µ(]a, b]) = F2(b) − F2(a), ∀a < b ∈ R.Fixem a ∈ R. Per x > a, tindrem F2(x) = F1(x)+(F2(a)−F1(a)). La mateixa expressios’obte per x < a. Per tant, F1 i F2 difereixen en la constant c = F2(a) − F1(a) .

1.3.11 ObservacioA partir de la formula (1.3.2) es poden trobar facilment les mesures d’altres tipusd’intervals en termes de la funcio de distribucio (vegeu el Problema 1.20).En particular,

µ(x) = F (x) − F (x−) . (1.3.4)

1.3.12 DefinicioUna funcio F :R −→ R complint (1.3.2) es diu que es una funcio de distribucio de lamesura µ.

1.3.13 DefinicioSi µ es una probabilitat sobre (R,B(R)), s’individualitza una funcio de distribucio par-ticular, definida com

F (x) := µ(]−∞, x]) , x ∈ R ,

i nomes a aquesta se l’anomena la funcio de distribucio de la probabilitat µ.

No hi ha res profund a prendre la funcio de distribucio d’una probabilitat tal coml’acabem de definir. Es una questio de conveni. Hem de comprovar, pero, que la nomen-clatura es coherent; o sigui, que es de debo una funcio de distribucio. Aixo forma partde la proposicio seguent.

1.3.14 ProposicioSigui µ una probabilitat en (R,B(R)).Sigui F :R −→ R la funcio definida per F (x) := µ(]−∞, x]) .Aleshores:

1) F es una funcio de distribucio de µ.


2) limx→−∞

F (x) = 0 .

3) limx→+∞

F (x) = 1 .

Demostracio:1) F es creixent per la propietat de monotonia de les mesures, i contınua a la dreta pelmateix argument usat en la Proposicio 1.3.10. Finalment, si a < b, F (b) = µ(]−∞, b]) =µ(]−∞, a]) + µ(]a, b]) = F (a) + µ(]a, b]).

2) limx→−∞

F (x) = limx→−∞

µ(]−∞, x]) = µ(∅) = 0 .

3) limx→+∞

F (x) = limx→+∞

µ(]−∞, x]) = µ(R) = 1 .

1.3.15 DefinicioSigui µ una mesura de Lebesgue–Stieljes.µ es una mesura discreta sii es de la forma

µ =∑

i∈I

piδai,

on I es un conjunt numerable, δaison deltes de Dirac en els punts ai ∈ R, i pi > 0,

∀i ∈ I.Usant (1.3.3), trobem que les funcions de distribucio d’una mesura discreta son de laforma

F (x) =

c+∑

i: 0<ai6xpi , si x > 0

c− ∑

i: x<ai60pi , si x < 0 ,

(1.3.5)

amb c una constant qualsevol. Una funcio de la forma (1.3.5) s’anomena una funcio desalts. (Fent un dibuix queda clar perque.)Si

∑

i∈I

pi = 1, aleshores µ es una probabilitat discreta.

Si µ es una probabilitat discreta, la seva funcio de distribucio es pot expressar com

F (x) = µ(]−∞, x]) =∑

i: ai6xpi .

µ modela una experiencia aleatoria en la qual s’obtenen els resultats ai amb probabilitatpi.

Advertencia sobre nomenclatura: Que una mesura sigui discreta no vol dir queai : i ∈ I sigui un conjunt discret de R (en el sentit topologic). Donat que tot conjuntdiscret de R es numerable, el recıproc sı que es cert.

Per acabar, definirem un segon tipus de mesura, en cert sentit “complementari” del’anterior.

1.3.16 DefinicioSigui µ una mesura de Lebesgue–Stieljes.µ es una mesura contınua sii ∀x ∈ R, µ(x) = 0.(A la vista de la relacio (1.3.4), es clar que si F es una funcio de distribucio de µ, aleshoresµ es contınua ⇔ F es contınua.)

1.3.17 ProposicioTota mesura de Lebesgue–Stieljes es descompon de forma unica en suma d’una mesuracontınua i una mesura discreta.

Demostracio: Demostrarem previament el lema seguent, que te interes en si mateix.


Lema. Si F :R −→ R es una funcio monotona, aleshores el conjunt de punts de discon-tinuıtat de F es numerable.Demostracio: Sigui Inn∈N una famılia numerable d’intervals acotats de R tal que R =∞∪

n=1In.

Sigui Sn,m el conjunt de punts de discontinuıtat amb salt d’amplitud mes gran que 1m de

F en In.La monotonia implica que F es acotada en cada interval acotat. Per tant, Sn,m es finit.El conjunt de punts de discontinuıtat de F es ∪

n,m∈NSn,m, i doncs numerable.

Sigui µ una mesura de Lebesgue–Stieljes i sigui F una funcio de distribucio de µ.Considerem el conjunt numerable S := y ∈ R : F es discontınua en y.Definim la funcio

Fd(x) :=

∑

y∈S0<y6x

(F (y) − F (y−)) , si x > 0

− ∑

y∈Sx<y60

(F (y) − F (y−)) , si x < 0 .

Fd es una funcio de salts amb mesura discreta associada

µd =∑

y∈S

µ(y)δy .

Definim µc := µ− µd, que es una mesura contınua: Es veu facilment que es una mesura,i la continuıtat ve del fet que, tant si µ(x) = 0 com si no,

µc(x) = µ(x) − µd(x) = 0 .

Per tant, µ = µc + µd es la descomposicio buscada.

1.4 Problemes

1.1 Es defineix la σ-algebra generada per una col.leccio de conjunts C ⊂ P(Ω) com lainterseccio de totes les σ-algebres que contenen C. Perque la definicio tingui sentit calcomprovar (comproveu-ho) que:a) Hi ha almenys una σ-algebra que conte C.b) La interseccio d’una famılia arbitraria de σ-algebres es σ-algebra.

1.2 Sigui (Ω,F) un espai mesurable. La mesura comptadora sobre (Ω,F) es defineix com

µ(A) =

cardA, si A es finit


a) Comproveu que es efectivament una mesura.b) Demostreu que, en canvi, la funcio de conjunt sobre F definida per

µ(A) =

0, si A es finit


no es en general una mesura.

1.3 Sigui Ω un conjunt numerable.Associem a cada ω ∈ Ω un nombre pω > 0 de forma que

∑

ω∈Ω

pω = 1.

Definim, per a cada A ∈ P(Ω),

µ(A) =∑

ω∈A

pω .

Comproveu que (Ω,P(Ω), µ) es un espai de probabilitat.


1.4 Sigui (Ω,F) un espai mesurable. Sigui ω ∈ Ω fixat.Definim, per a cada A ∈ F,

δω(A) =

1, si ω ∈ A

0, si ω 6∈ A .

a) Comproveu que δω es una probabilitat en (Ω,F). Aquesta probabilitat s’anomenadelta de Dirac en el punt ω i modela un experiment aleatori en que el resultat ω esprodueix segur.b) Comproveu que la probabilitat definida en el problema 1.3 es pot posar en termesde deltes de Dirac.

1.5 Es pot definir de manera natural la suma i el producte per escalars de funcions deconjunt positives definides sobre la mateixa col.leccio de conjunts C:

(µ1 + µ2)(A) := µ1(A) + µ2(A)

(αµ1)(A) := α · µ1(A) .

No hi ha cap problema tampoc per definir la suma infinita com a lımit de sumes parcials,perque tots els sumands seran positius.Sigui F una σ-algebra. Demostreu que:a) Si µ1 i µ2 son dues mesures sobre F i α i β son nombres reals positius, aleshoresαµ1 + βµ2 es una mesura.b) Si µnn∈N es una successio creixent de mesures sobre F (i.e. ∀A mesurable, ∀n ∈ N,µn(A) 6 µn+1(A)), aleshores sup

nµn es una mesura.

c) Si µnn∈N es una successio de mesures sobre F, aleshores∞∑

n=1µn es una mesura.

1.6 Mitjancant la mesura de Lebesgue en R, construıu un contraexemple que confirmi quela condicio

∃n0 ∈ N : µ(An0) <∞

no es superflua per tal que es pugui afirmar que si µ es una mesura i Ann∈N es unasuccessio decreixent de conjunts mesurables, llavors

µ(An) µ( ∞∩

n=1An

)

.

1.7 Sigui C ⊂ P(Ω) tal que ∅ ∈ C.Sigui µ:C −→ [0,+∞] una funcio de conjunt positiva additiva.Demostreu que si µ 6≡ +∞ (es a dir, en tots els casos interessants), aleshores µ(∅) = 0.

1.8 Tota σ-algebra es una algebra, i tota algebra es una semialgebra (immediat, a partir deles definicions). Els recıprocs son falsos. Proveu, per exemple, que:a) Si Ω es un conjunt infinit (numerable, si es vol), la col.leccio dels conjunts A ⊂ Ω queson finits o el seu complementari es finit es una algebra pero no una σ-algebra.b) Si A, B, C son tres conjunts disjunts tals que A∪B∪C = Ω, la col.leccio ∅, A,B,C,Ωes una semialgebra de P(Ω), pero no una algebra.

1.9 Espais mesurables finits. Un espai mesurable (Ω,F) es diu que es finit si F es un con-junt finit. (Quan es parla d’espai de mesura finit o d’espai de probabilitat finit es fareferencia a que l’espai mesurable de base es un espai mesurable finit.)Una particio de Ω es una col.leccio finita B1, . . . , Bn de subconjunts disjunts no buitsde Ω tals que B1 ] · · · ]Bn = Ω.a) Demostreu que tot element de la σ-algebra generada per una particio de Ω es, o be elbuit, o be unio finita de conjunts de la particio. Concloeu que: La σ-algebra i l’algebra


generades per una particio coincideixen i donen lloc a un espai mesurable finit. Quantsconjunts mesurables hi ha ?b) Recıprocament, demostreu que si (Ω,F) es un espai mesurable finit, llavors F esl’algebra generada per una particio de Ω (trobeu explıcitament la particio.) En con-clusio, per especificar un espai mesurable finit es suficient donar una particio de Ω.

1.10 a) Considereu Ω = R. La col.leccio de conjunts formada pels intervals dels tipus ]a, b](amb a < b ∈ R), ]−∞, b], ]a,+∞[, el propi R i el conjunt buit es una semialgebra deP(R) (que no es una algebra).b) Generalitzem-ho a Rn. Els intervals de Rn, tambe anomenats rectangles, son perdefinicio els productes cartesians d’intervals de R. Comproveu que la col.leccio de con-junts formada pels intervals de la forma ]a1, b1] × · · · × ]an, bn], amb ai ∈ R ∪ −∞,bi ∈ R ∪ +∞, i amb el conveni que ]ai,+∞] vol dir el mateix que ]ai,+∞[, es unasemialgebra de P(Rn).

1.11 Demostreu el seguent analeg de la Proposicio 1.1.17 pel cas de semialgebres:Sigui S una semialgebra de P(Ω).Sigui µ:S −→ [0,+∞] una funcio de conjunt positiva additiva.Aleshores:1) A,B ∈ S, A ∪B ∈ S ⇒ µ(A ∪B) + µ(A ∩B) = µ(A) + µ(B) .2) Monotonia:

∀A,B ∈ S, A ⊂ B ⇒ µ(A) 6 µ(B) .

3) Subadditivitat finita:

A1, . . . , An ∈ S, A1 ∪ · · · ∪An ∈ S ⇒ µ(A1 ∪ · · · ∪An) 6 µ(A1) + · · · + µ(An) .

Suposem a mes que µ es σ-additiva. Aleshores,4) Subadditivitat numerable:

∀Ann ⊂ S famılia numerable, ∪nAn ∈ S ⇒ µ

(

∪nAn

)

6∑

n

µ(An) .

1.12 Sigui I = ]a, b] : a 6 b ∈ R ⊂ P(R) (s’enten que ∅ ∈ I.) Demostreu que les propietatsenunciades al Problema 1.11 per a funcions de conjunt positives additives sobre unasemialgebra qualsevol S valen exactament igual per a la col.leccio de conjunts I.Indicacio: Adoneu-vos que si A,B ∈ I, aleshores sempre es te A ∩ B ∈ I, i tambeA ∩Bc ∈ I, llevat que B ⊂ A, el que encara simplifica mes les coses.

1.13 a) Sigui ϕ: Ω −→ [0,+∞] una aplicacio. Demostreu que µ∗(A) = supω∈A

ϕ(ω) defineix una

mesura exterior sobre P(Ω).b) Definim sobre P(Ω) l’aplicacio

µ∗(A) =

0, si A es numerable

1, si A no es numerable.

Demostreu que µ∗ es una mesura exterior i trobeu els conjunts µ∗-mesurables.

1.14 Una mesura exterior no es en general una mesura perque no te perque ser numerablementadditiva. De fet, pot fins i tot no ser ni finitament additiva. Considereu:

µ∗(A) =

√cardA, si A es finit


essent Ω un conjunt infinit.


1.15 Sigui C una col.leccio qualsevol de subconjunts de Ω. Demostreu que la semialgebragenerada per C consisteix en totes les possibles interseccions finites entre els elementsde:

∅,Ω ∪ A:A ∈ C o Ac ∈ C .

Comentari: Sabem que l’algebra generada per una semialgebra consisteix en totes lespossibles unions finites disjuntes d’elements de la semialgebra. Per tant, obtenim coma corol.lari del problema una descripcio constructiva de l’algebra generada per una col-leccio qualsevol de conjunts. Malauradament, no existeix tal descripcio constructiva dela σ-algebra generada.

1.16 Sigui (Ω,F, µ) un espai de mesura. Es defineix l’espai (Ω, F, µ) complecio de (Ω,F, µ)posant

F = A ∪N : A ∈ F, N negligible i µ(A ∪N) = µ(A) .

Comproveu que la defincio i la nomenclatura tenen sentit:a) F es una σ-algebra.b) µ esta ben definida, es a dir, el valor µ(A) no depen de la descomposicio particularde A en unio d’un conjunt de F i un negligible.c) µ es una mesura sobre F i µ coincideix amb µ sobre F.d) L’espai de mesura (Ω, F, µ) es complet.

1.17 Successions de conjunts (I). Sigui Ω un conjunt. Una successio de conjunts de Ω esuna aplicacio de N en P(Ω). Es representa amb la notacio habitual de les successionsnumeriques: Ann∈N.S’anomena lımit inferior d’una successio de conjunts Ann∈N al conjunt

limn→∞

An :=∞∪

n=1

∞∩k=n

Ak .

S’anomena lımit superior d’una successio de conjunts Ann∈N al conjunt

limn→∞

An :=∞∩

n=1

∞∪k=n

Ak .

a) Demostreu que el lımit inferior d’una successio de conjunts Ann∈N es el conjuntde ω ∈ Ω que pertanyen a tots els An a partir d’un endavant, o equivalentment, estaformat pels ω ∈ Ω que pertanyen a tots els An excepte potser un nombre finit d’ells.b) Demostreu que el lımit superior d’una successio de conjunts Ann∈N es el conjuntdels ω ∈ Ω tals que per a cada n0 es pot trobar un n > n0 amb ω ∈ An, o equivalentment,esta format pels ω ∈ Ω que pertanyen a infinits An.c) Concloeu que lim

n→∞An ⊂ lim

n→∞An.

1.18 Successions de conjunts (II). Una successio de conjunts Ann∈N ⊂ P(Ω) es diu que esconvergent sii lim

n→∞An = lim

n→∞An, i en tal cas el lımit de la successio es el conjunt

limn→∞

An := limn→∞

An = limn→∞

An .

a) Una successio de conjunts es monotona creixent sii ∀n ∈ N, An ⊂ An+1. Es monotonadecreixent sii ∀n ∈ N, An ⊃ An+1.Demostreu que tota successio de conjunts monotona (tan sigui creixent o decreixent) telımit. Quin es en cada cas? (El resultat haura de fer coherent la definicio restringida


de lımit que hem vist a l’Apartat 1.1.)b) Sigui Bnn∈N una successio parcial de Ann∈N.Demostreu que

limn→∞

An ⊂ limn→∞

Bn ⊂ limn→∞

Bn ⊂ limn→∞

An ,

i que, per tant, Ann∈N convergeix ⇒ Bnn∈N convergeix.c) Demostreu que

(

limn→∞

An

)c= lim

n→∞Ac

n ,

d’on limn→∞

An = A⇒ limn→∞

Acn = Ac .

d) Demostreu les relacions

limn→∞

(An ∪Bn) ⊃(

limn→∞

An

)

∪(

limn→∞

Bn

)

limn→∞

(An ∪Bn) =(

limn→∞

An

)

∪(

limn→∞

Bn

)

limn→∞

(An ∩Bn) =(

limn→∞

An

)

∩(

limn→∞

Bn

)

limn→∞

(An ∩Bn) ⊂(

limn→∞

An

)

∩(

limn→∞

Bn

)

i concloeu que, si limn→∞

An = A i limn→∞

Bn = B, aleshores limn→∞

(An ∪ Bn) = A ∪ B i

limn→∞

(An ∩Bn) = A ∩B .

1.19 Successions de conjunts (i III). Per a cadascuna de les successions de conjunts de P(R)que segueixen, determineu els lımits inferior i superior i, si existeix, el lımit.a)

An =

x : 0 < x 6 1 − 1n, si n es imparell

x : 1n 6 x < 1, si n es parell.

b) A1 =] − 1, 1], A2 =] − 12 , 1], A3 =] − 1, 1

3 ], A4 =] − 14 , 1], A5 =] − 1, 1

5 ], . . .

1.20 Sigui µ una mesura de Lebesgue–Stieljes sobre (R,B(R)). Sigui F una funcio de distri-bucio de µ. Sabem que, per definicio, µ(]a, b]) = F (b) − F (a), ∀a < b ∈ R.Demostreu que la mesura de tot interval de R (no necessariament de la forma ]a, b]) espot expressar facilment en termes de F . Es a dir, trobeu una formula per calcular lamesura de cadascun dels intervals seguents:]a, b[, [a, b] (inclos el cas a = b), [a, b[, ]−∞, b], ]−∞, b[, [a,+∞[, ]a,+∞[, R.

1.21 Demostreu que existeixen funcions monotones F :R → R que son contınues en cadanombre irracional i discontınues en cada nombre racional.Idea: Comproveu que es pot construir una mesura de Lebesgue–Stieljes sobre (R,B(R))tal que µ(x) 6= 0 si x es racional, i µ(x) = 0 si x es irracional.

1.22 Considereu la funcio de distribucio seguent:

F (x) =

0, si x < −1

1 + x, si −1 6 x < 0

2 + x2, si 0 6 x < 2

9, si x > 2

i sigui µ la mesura que defineix sobre (R,B(R)).a) Calculeu la mesura dels conjunts

2 , [− 12 , 3[ , ]−1, 0] ∪ ]1, 2[ , [0, 1

2 [ ∪ ]1, 2] , x: |x| + 2x2 > 1 .

b) Descomponeu µ en suma d’una mesura discreta i una mesura contınua.


1.23 A primera vista pot semblar que els conceptes de mesura de Lebesgue–Stieljes i demesura σ-finita en (R,B(R)) son equivalents. Una de les implicacions es molt facil;l’altra es falsa. Busqueu un contraexemple.

Funcions mesurables i integracio Materials 37

2. Funcions mesurables i integracio

Sempre que tenim definida una mesura en un espai mesurable, podem construir unaintegral relativa a ella. El proces que porta a la construccio de la integral de Lebesgue(integral respecte la mesura de Lebesgue en Rn) es pot reproduir semblantment per aespais de mesura qualssevol. La teoria resultant tambe s’anomena Teoria de la Integralde Lebesgue.

Suposarem sempre a partir d’ara que totes les mesures de que parlem son no trivials(µ 6≡ 0, µ 6≡ +∞), per evitar inutils distincions de casos.

2.1 Funcions mesurables

2.1.1 DefinicioSiguin (Ω1,F1), (Ω2,F2) espais mesurables.Sigui X: Ω1 −→ Ω2 una aplicacio.X es una funcio mesurable respecte F1 i F2 sii

∀A ∈ F2 , X−1(A) ∈ F1 .

Abreviem dient que X es (F1,F2)-mesurable.

2.1.2 ExerciciSi C ⊂ P(Ω2) es una col.leccio de conjunts tal que σ(C) = F2, es suficient comprovar lacondicio

∀A ∈ C , X−1(A) ∈ F1

per tal que X sigui (F1,F2)-mesurable.Nomes cal observar que A ∈ P(Ω2) : X−1(A) ∈ F1 es una σ-algebra, i aixo es dedueixde les propietats generals de les antiimatges d’una aplicacio.

2.1.3 ProposicioSiguin (Ω1,F1), (Ω2,F2), (Ω3,F3) espais mesurables.Siguin X: Ω1 −→ Ω2 i Y : Ω2 −→ Ω3 funcions mesurables respecte les σ-algebres corres-ponents.Aleshores, Y X: Ω1 −→ Ω3 es (F1,F3)-mesurable.

Demostracio:

A ∈ F3 ⇒ Y −1(A) ∈ F2 ⇒ (Y X)−1(A) = X−1(Y −1(A)) ∈ F1 .


2.1.4 DefinicioSigui Ω un conjunt.Sigui (Ei,Ei)i∈I una famılia arbitraria d’espais mesurables.Sigui Xi: Ω −→ Eii∈I una famılia d’aplicacions.S’anomena σ-algebra generada per Xii∈I a la σ-algebra de P(Ω) mes petita que famesurables totes les aplicacions de la famılia Xii∈I .La notarem σ<Xii∈I> .Tambe se l’anomena σ-algebra inicial de la famılia (observeu l’analogia amb la definiciode topologia inicial.)

2.1.5 ObservacioClarament, tambe es pot definir la σ-algebra inicial com la generada per la famılia deconjunts

X−1i (A)A∈Ei, i∈I .

2.1.6 ProposicioSigui Ω un conjunt.Sigui (Ei,Ei)i∈I una famılia arbitraria d’espais mesurables.Sigui Xi: Ω −→ Eii∈I una famılia d’aplicacions.Siguin (F,F) un altre espai mesurable, i una aplicacio Y :F −→ Ω.Aleshores:

Y es (F, σ<Xii∈I>)-mesurable ⇐⇒∀i ∈ I, Xi Y :F −→ Ei es (F,Ei)-mesurable.

(Recordeu que es dona una situacio analoga amb funcions contınues entre espais to-pologics.)

Demostracio:

⇒) Per a cada i ∈ I, Xi es (σ<Xii∈I>,Ei)-mesurable. Nomes cal aplicar que lacomposicio de funcions mesurables es mesurable (Proposicio 2.1.3).

⇐) Segons l’Exercici 2.1.2, es suficient veure que Y −1(A) ∈ F, per a tot A d’una col-leccio de conjunts que generi σ<Xii∈I> .Usant l’Observacio 2.1.5, si Ai ∈ Ei,

Y −1(X−1i (Ai)) = (Xi Y )−1(Ai) ∈ F

A partir d’aquı, ens interessa estudiar especialment el cas de les funcions numeriques,es a dir, les que prenen valors a R, a R := R ∪ −∞ ∪ +∞, o a C.

En el cas de R, prendrem (R,B(R)) com a espai mesurable. Quin espai agafem enel cas de R? Anem a precisar totes les estructures que considerarem en R:

a) Conjunt: Afegim a R dos sımbols, −∞ (‘menys infinit’) i +∞ (‘mes infinit’):

R = R ∪ −∞ ∪ +∞

(de vegades, +∞ es nota simplement ∞.)

b) Estructura d’ordre:

i) ∀a, b ∈ R, a < b en R sii a < b en R .

ii) ∀a ∈ R, −∞ < a < +∞ .


c) Estructura topologica: Podem descriure-la especificant els entorns de cada punt:

i) Entorns de −∞: Les semirectes [−∞, a[ (a ∈ R) i tot conjunt que en contingui.

ii) Entorns de +∞: Les semirectes ]a,+∞] (a ∈ R) i tot conjunt que en contingui.

iii) Entorns de a ∈ R: Els que ho siguin de a en R i tot conjunt que en contingui.

Amb aquesta topologia, R es un espai topologic compacte.

d) Estructura aritmetica: Totes les operacions entre nombres reals donen el mateixresultat que en R. Pels demes casos:

+) a+ (+∞) = +∞ , a+ (−∞) = −∞ , ∀a ∈ R(+∞) + (+∞) = +∞ , (−∞) + (−∞) = −∞

i es commutativa.

−) a− b = a+ (−1)b, si la operacio resultant esta definida.

×) a · (+∞) = +∞ , a · (−∞) = −∞ , si 0 < a 6 +∞a · (+∞) = −∞ , a · (−∞) = +∞ , si −∞ 6 a < 0

0 · (+∞) = 0 · (−∞) = 0i es commutativa.

÷)a

+∞ =a

−∞ = 0 , ∀a ∈ R.

Tota operacio que no es dedueixi d’aquestes no esta definida. En particular, R no esun cos. Totes les operacions coincideixen amb la tıpica aritmetica de lımits, excepteque aquı hi afegim el producte entre 0 i els infinits, que es defineix com 0.

e) Estructura mesurable: Com a σ-algebra en R hi posem els borelians, i.e. la σ-algebra generada pels oberts de R. La notarem B(R). Es pot veure facilment queels elements de B(R) son d’alguna de les formes

B, B ∪ −∞, B ∪ +∞, B ∪ −∞,+∞,

amb B ∈ B(R).

El cas de C no te cap dificultat especial, perque conjuntısticament C no es mes queR2. La seva topologia natural es l’habitual de R2, i com a σ-algebra prendrem la delsborelians de R2. En C no hi considerem cap estructura d’ordre. La seva aritmetica sesuposa coneguda del lector.

2.1.7 DefinicioSigui (Ω,F) un espai mesurable.Una funcio X: Ω −→ R (o R) es diu Borel-mesurable, o simplement mesurable, sii es(F,B(R))-mesurable (respectivament, (F,B(R))-mesurable.)

2.1.8 ObservacioTota funcio mesurableX: Ω −→ R es tambe mesurable considerada com a funcioX: Ω −→R. Recıprocament, si X: Ω −→ R es mesurable i la imatge de X esta continguda en R,tambe es mesurable considerada com a funcio X: Ω −→ R.Aquestes afirmacions son consequencia facil de la caracteritzacio de B(R) en termes deB(R) que acabem de veure.

Gracies a l’observacio anterior, sera suficient establir nomes per a funcions mesura-bles X: Ω −→ R propietats i conceptes valids tambe en el cas real.

2.1.9 ProposicioSigui (Ω,F) un espai mesurable.Sigui X: Ω −→ R .Aleshores, X es mesurable ⇔ ω ∈ Ω : X(ω) 6 b ∈ F, ∀b ∈ R .


Demostracio: La implicacio ⇒) es evident. Si comprovem que la col.leccio d’intervalsC = [−∞, b] : b ∈ R generen B(R), obtindrem ⇐), gracies a l’Exercici 2.1.2.A partir dels intervals de la forma [−∞, b], obtenim successivament

]a, b] = [−∞, b] − [−∞, a] , ∀a < b ∈ R]−∞, b] =

∞∪n=1

]−n, b] , ∀b ∈ R

]a,+∞[ =∞∪

n=1]a, n] , ∀a ∈ R

R = ]−∞, a] ∪ ]a,+∞[ , amb a ∈ R qualsevol

∅ = interseccio de dos intervals disjunts qualssevol.

Per tant, σ(

[−∞, b] : b ∈ R)

conte una semialgebra que genera B(R) (vegeu l’Exemple1.2.19, 1)), d’on

B(R) ⊂ σ(

[−∞, b] : b ∈ R)

.

A mes,

−∞ =∞∩

n=1[−∞,−n]

+∞ =∞∩

n=1]n,+∞] =

∞∩n=1

[−∞, n]c .

Deduım que σ(

[−∞, b] : b ∈ R)

conte

B, B ∪ −∞, B ∪ +∞, B ∪ −∞,+∞

B∈B(R)= B(R)

2.1.10 ExerciciL’expressioX(ω) 6 b de l’enunciat es pot substituir perX(ω) < b, X(ω) > b o X(ω) > b.(Vegeu el Problema 2.1.)

A Rn (i Rn) podem considerar la topologia producte de n copies de R (resp. R),es a dir, la generada pels conjunts A1 × · · · × An, amb Ai obert de R (resp. R), oequivalentment, generada per les projeccions de Rn en R (resp. de Rn en R.)

Aixo ens permet considerar els borelians de Rn i Rn (notacio: B(Rn) i B(Rn),resp.) i fer la definicio seguent sobre funcions a valors vectorials.

2.1.11 DefinicioSigui (Ω,F) un espai mesurable.Una funcio X: Ω −→ Rn (o Rn) es Borel-mesurable, o simplement mesurable, sii es(F,B(Rn))-mesurable (resp. (F,B(Rn))-mesurable.)

La seguent proposicio es l’analoga de 2.1.9 per a funcions vectorials.

2.1.12 ProposicioSigui (Ω,F) un espai mesurable.Sigui X: Ω −→ Rn .Aleshores,

X es mesurable ⇔ ω ∈ Ω : X(ω) ∈ [−∞, b] ∈ F, ∀b ∈ Rn,

on [−∞, b] := [−∞, b1] × · · · × [−∞, bn], si b = (b1, . . . , bn).

Demostracio: Es similar a la de la Proposicio 2.1.9, usant la semialgebra de P(Rn) quees proposa en el Problema 1.10. Es deixen els detalls al lector.


La proposicio seguent redueix la verificacio de la mesurabilitat d’una funcio vectoriala la de les seves components reals.

2.1.13 ProposicioSigui (Ω,F) un espai mesurable.Sigui X: Ω −→ Rn .Notem per Xi les funcions coordenades de X, o sigui, X = (X1, . . . , Xn).Aleshores, X es mesurable ⇔ Xi: Ω −→ R es mesurable, ∀i = 1, . . . , n .

Demostracio: Cada funcio Xi es pot expressar com la composicio

Xi: Ω X−−−−−−−−→ Rn πi−−−−−−−−→ R

ω 7−−−−→ (x1, . . . , xn) 7−−−−→xi

Per la Proposicio 2.1.6, X es (F, σ<πini=1>)-mesurable sii ∀i = 1, . . . , n, πi X es

(F,B(R))-mesurable.I aixo es exactament l’enunciat: Per una banda πi X = Xi; per altra banda, es teσ<πin

i=1> ⊃ B(Rn) (a partir de les definicions) i es comprova facilment que B(Rn) famesurables les projeccions, d’on σ<πin

i=1> = B(Rn).

2.1.14 NotacioEs habitual abreviar la descripcio de subconjunts de Ω relacionats amb funcions de lamanera seguent:

X ∈ B := ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B .Per exemple,

X 6 a := ω ∈ Ω : X(ω) 6 a , X 6= Y := ω ∈ Ω : X(ω) 6= Y (ω) , . . .

2.1.15 Exercicis

1) Siguin X,Y : Ω −→ R funcions mesurables. Aleshores, els conjunts

X < Y , X 6 Y , X = Y , X 6= Y

son mesurables. (Vegeu el Problema 2.2.)

2) Si X: Ω −→ Rn es una funcio constant, aleshores es mesurable.

2.1.16 ProposicioSigui (Ω,F) un espai mesurable.Siguin X,Y : Ω −→ R funcions mesurables.Aleshores:

1) X + Y es mesurable (suposant que estigui ben definida, i.e. que no involucri laoperacio ∞−∞.)

2) X · Y es mesurable.

Demostracio:1)

X mesurable(1)⇒

X + b mesurable, ∀b ∈ Rb ·X mesurable, ∀b ∈ R .

(2.1.1)

Per tant, X +Y 6 b = X 6 b−Y ∈ F, per l’Exercici 2.1.15. La Proposicio 2.1.9 ensdiu que X + Y es mesurable.

(1) Immediat usant la caracteritzacio de la Proposicio 2.1.9.


2) Sigui B ∈ B(R).Siguin A1 := X · Y ∈ B ∩ Rc i A2 := X · Y ∈ B ∩ R. Tindrem que

(X · Y )−1(B) = A1 ∪A2 ,

i volem veure que A1 i A2 son de F.Per A1, es distingeixen casos segons B ∩ Rc sigui ∅, −∞, +∞ o −∞,+∞. Perexemple, per +∞,

A1 =(

X = +∞ ∩ Y 6= −∞)

∪(

X = −∞ ∩ Y = −∞)

∪(

X 6= −∞ ∩ Y = +∞)

,

i tots aquests conjunts son de F, perque X i Y son mesurables. Els altres casos sonsemblants.Per altra banda, sobre A2, podem escriure

X · Y =1

4(X + Y )2 − 1

4(X − Y )2 .

Gracies a la implicacio (2.1.1) i a la part 1), veiem que nomes ens queda comprovar que

X mesurable ⇒ X2 mesurable.

En efecte,

X26 b =

∅ ∈ F, si b < 0

−√b 6 X 6

√b = −

√b 6 X ∩ X 6

√b

(1)

∈ F, si b > 0.

(1) Ambdos conjunts son de F, per la Proposicio 2.1.9 i l’Exercici 2.1.10.

2.1.17 ProposicioSigui (Ω,F) un espai mesurable.Sigui Xnn∈N una successio de funcions mesurables, Xn: Ω −→ R.Aleshores:

supn∈N

Xn , infn∈N

Xn , limn→∞

Xn , limn→∞

Xn

son mesurables.

Demostracio:1)

supn∈N

Xn 6 b

=∞∩

n=1Xn 6 b ∈ F .

2) infn∈N

Xn = − supn∈N

−Xn, i apliquem la mesurabilitat del suprem.

3) limn→∞

Xn = infn∈N

supm>n

Xm, per definicio, i apliquem els casos anteriors.

4) limn→∞

Xn = supn∈N

infm>n

Xm, igual que pel lımit superior.

2.1.18 Corol.lariSi X es mesurable, aleshores les funcions

|X| := supX,−X (valor absolut de X)

X+ := supX, 0 (part positiva de X)

X− := sup−X, 0 (part negativa de X)

(2.1.2)

son mesurables.

Observem de passada que X = X+ −X− i |X| = X+ +X− .


2.2 Integral respecte una mesura

2.2.1 Definicio

Si A ∈ P(Ω), la funcio 1A: Ω −→ R definida com

1A(ω) :=

1, si ω ∈ A

0, si ω 6∈ A

s’anomena indicador del conjunt A.

2.2.2 Observacio

Si (Ω,F) es un espai mesurable, aleshores

1A es una funcio mesurable ⇔ A es un conjunt mesurable .

Efectivament, si B ∈ B(R), 1−1A (B) nomes pot ser A, Ac, ∅ o Ω. Si A es mesurable, tots

aquests conjunts ho son. En cas contrari, no.

2.2.3 Definicio

Sigui (Ω,F) un espai mesurable.

Sigui X: Ω −→ R mesurable.

X es una funcio elemental sii pren nomes un nombre finit de valors. Equivalentment, siies pot expressar com

X(ω) =

n∑

i=1

ai · 1Ai(ω) (2.2.1)

per certs a1, . . . , an ∈ R i A1, . . . , An ∈ F.

Un raonament similar al de l’Observacio 2.2.2 ens mostra que una expressio del tipus(2.2.1) defineix una funcio mesurable (i per tant mereix el nom de funcio elemental) siiels conjunts A1, . . . , An son mesurables.

2.2.4 Proposicio

Les funcions elementals sobre un espai mesurable (Ω,F) constitueixen:

1) Un espai vectorial real respecte les operacions habituals de suma i producte per es-calars.

2) Un reticle respecte la relacio d’ordre habitual.

Demostracio:

1) Es conegut que el conjunt de totes les funcions reals definides sobre un conjunt qual-sevol es un espai vectorial amb les operacions habituals de suma i producte per escalars(amb R com a cos d’escalars). Per tant, nomes cal comprovar que les funcions elementalsson un subconjunt estable per aquestes operacions.

Sabem que la suma i el producte per escalars de funcions mesurables es mesurable. Peraltra banda,

X =n

∑

i=1

ai · 1Ai⇒ aX =

n∑

i=1

(aai) · 1Ai,

X =n

∑

i=1

ai · 1Ai, Y =

m∑

j=1

bj · 1Bj⇒ X + Y =

mn

∑

i=1j=1

(ai + bj) · 1Ai∩Bj.


2) Analogament, nomes cal veure que el suprem i l’ınfim de dues funcions elementalses altre cop una funcio elemental. En efecte, sabem que suprem i ınfim de funcionsmesurables son mesurables, i

sup

n∑

i=1

ai · 1Ai,

m∑

j=1

bj · 1Bj

=

mn

∑

i=1j=1

supai, bj · 1Ai∩Bj

inf

n∑

i=1

ai · 1Ai,

m∑

j=1

bj · 1Bj

=

mn

∑

i=1j=1

infai, bj · 1Ai∩Bj

Les funcions elementals, tot i constituir un conjunt molt restringit, donen lloc a totesles funcions mesurables per operacions de pas al lımit, com veurem en la proposicio icorol.lari seguents.

2.2.5 ProposicioSigui (Ω,F) un espai mesurable.Sigui X: Ω −→ [0,+∞] mesurable.Aleshores, X es lımit d’una successio creixent de funcions elementals positives.

Demostracio: Definim, per a cada n ∈ N,

Xn :=

n2n−1∑

k=1

k

2n· 1 k

2n 6X< k+12n + n · 1n6X .

Es rutinari comprovar que les Xn son funcions elementals positives, que formen unasuccessio creixent, i que lim

n→∞Xn(ω) = X(ω), ∀ω ∈ Ω.

2.2.6 Corol.lariSigui (Ω,F) un espai mesurable.Sigui X: Ω −→ R mesurable.Aleshores, X es lımit d’una successio de funcions elementals.

Demostracio: Les funcions X+ i X− son funcions mesurables positives (vegeu (2.1.2).)Sigui Ynn∈N una successio creixent de funcions elementals tal que lim

n→∞Yn = X+ .

Sigui Znn∈N una successio creixent de funcions elementals tal que limn→∞

Zn = X− .

limn→∞

(Yn − Zn) = X+ −X− = X .

Gracies a la Proposicio 2.2.4, les funcions Xn := Yn − Zn son elementals.

Introduırem primerament la integral de funcions elementals positives. La definicioreflecteix la idea que una integral ha de ser “l’area sota la corba” (en aquest cas, la sumade les arees d’uns certs rectangles.) La base de cada rectangle aporta al calcul de l’areala seva mesura, correspongui aquesta mesura o no a alguna idea intuıtiva de “longitud”que poguem tenir en Ω, com succeeix en el cas particular de la mesura de Lebesgue enΩ = R.

La integral es defineix despres per a funcions mes generals tot mantenint la intuıciode “l’area” gracies als resultats d’aproximacio 2.2.5 i 2.2.6.

2.2.7 DefinicioSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.


Sigui X =∞∑

i=1

ai · 1Aiuna funcio elemental positiva.

Definim la integral de X respecte µ com∫

Ω

X dµ :=n

∑

i=1

ai · µ(Ai) ∈ [0,+∞] .

Tambe l’escrivim

∫

Ω

X(ω)µ(dω) quan volem posar de manifest la variable de la funcio

que integrem.

No hi ha una manera unica de representar una funcio elemental en la forma (2.2.1).Per tant, com sempre en aquests casos, cal comprovar que la definicio te sentit verificantque no depen de la representacio particular que es prengui. Es recomana al lector ferl’esforc de convencer-se mentalment que es cert, i per escrit nomes si aquest intent falla.

Hi ha pero una representacio “canonica” d’una funcio elemental: Si imposem que

Ω = ]iAi i i 6= j ⇒ ai 6= aj

(algun ai pot ser zero), aleshores la representacio es unica. A partir d’ara, prendremsempre aquesta representacio canonica, sense esmentar-ho explıcitament.

2.2.8 ProposicioSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.La integral respecte µ de funcions elementals positives gaudeix de les propietats seguents:

1) a > 0 ⇒∫

Ω

aX dµ = a

∫

Ω

X dµ .

2)

∫

Ω

(X + Y ) dµ =

∫

Ω

X dµ+

∫

Ω

Y dµ .

3) X 6 Y ⇒∫

Ω

X dµ 6

∫

Ω

Y dµ .

4) Si Xnn∈N es una successio creixent de funcions elementals positives i la funcioX := lim

n→∞Xn tambe es elemental positiva, aleshores

limn→∞

∫

Ω

Xn dµ =

∫

Ω

X dµ .

Demostracio:

1) Sigui X =n∑

i=1

ai · 1Ai. Tindrem aX =

n∑

i=1

(aai) · 1Ai.

∫

Ω

aX dµ =

n∑

i=1

(aai)µ(Ai) = a

n∑

i=1

aiµ(Ai) = a

∫

Ω

X dµ .

2) Siguin

X =

n∑

i=1

ai · 1Ai, Y =

m∑

j=1

bj · 1Bj.

Llavors,

∫

Ω

(X + Y ) dµ =

∫

Ω

mn

∑

i=1j=1

(ai + bj) · 1Ai∩Bjdµ

(1)=

n∑

i=1

m∑

j=1

(ai + bj)µ(Ai ∩Bj)

=

n∑

i=1

ai

m∑

j=1

µ(Ai ∩Bj) +

m∑

j=1

bj

n∑

i=1

µ(Ai ∩Bj)

(2)=

n∑

i=1

aiµ(Ai) +

n∑

j=1

bjµ(Bj)(1)=

∫

Ω

X dµ+

∫

Ω

Y dµ .


(1) Usem la definicio d’integral d’una funcio elemental.(2) Usem que A1, . . . , An i B1, . . . , Bm son particions de Ω.

3) Siguin

X =

n∑

i=1

ai · 1Ai, Y =

m∑

j=1

bj · 1Bj.

Llavors,∫

Ω

X dµ =n

∑

i=1

aiµ(Ai) =n

∑

i=1

m∑

j=1

aiµ(Ai ∩Bj)

(1)

6

n∑

i=1

m∑

j=1

bjµ(Ai ∩Bj) =m

∑

j=1

bjµ(Bj) =

∫

Ω

Y dµ .

(1) Si Ai ∩Bj 6= ∅, ha de ser ai 6 bj .

4) Siguin

X =m

∑

i=1

ai · 1Ai, Xn =

mn∑

j=1

bnj · 1Bnj.

6)

Xn 6 X, ∀n, (1)⇒∫

Ω

Xn dµ 6

∫

Ω

X dµ, ∀n,

(2)⇒ limn→∞

∫

Ω

Xn dµ 6

∫

Ω

X dµ .

(1) Per la propietat de monotonia 3) anterior.(2) El lımit existeix perque la successio es monotona.

>) Tenim que

∫

Ω

X dµ =

m∑

i=1

aiµ(Ai)

∫

Ω

Xn dµ =

mn∑

j=1

bnj µ(Bnj )

(1)=

m∑

i=1

mn∑

j=1

bnj µ(Ai ∩Bnj ) .

(2.2.2)

Veurem que ∀i, aiµ(Ai) 6 limn→∞

mn∑

j=1

bnj µ(Ai ∩Bnj ), i haurem acabat, a la vista de les

relacions (2.2.2).Si ai = 0, es evident. Suposem que ai > 0.Fixem 0 < γ < 1.

mn∑

j=1

bnj µ(Ai ∩Bnj ) =

mn∑

j=1j: bn

j >γai

bnj µ(Ai ∩Bnj ) +

mn∑

j=1j: bn

j 6γai

bnj µ(Ai ∩Bnj )

(2)

>

mn∑

j=1j: bn

j >γai

γaiµ(Ai ∩Bnj )

(3)= γai

mn∑

j=1

µ(Ai ∩Bnj ∩ Xn > γai)

(4)= γaiµ(Ai ∩ Xn > γai) .

Fent n→ ∞,

limn→∞

mn∑

j=1

bnj µ(Ai ∩Bnj )

(5)

> γaiµ(Ai) .


Fent γ → 1,

limn→∞

mn∑

j=1

bnj µ(Ai ∩Bnj ) > aiµ(Ai) .

(1) A1, . . . , Am es una particio de Ω.(2) Suprimim el segon sumand i minorem el primer: Sobre el conjunt d’ındexos on

se suma, bnj > γai.(3) Es te j : bnj > γai = j : Xn > γai sobre Ai ∩Bn

j . Per tant, pels ındexosj que estem afegint, el sumand corresponent es µ(∅) = 0.

(4) Bn1 , . . . , B

nmn

es una particio de Ω, per a cada n.(5) Usem que Ai ∩ Xn > γai Ai, perque, sobre Ai, Xn tendeix a ai, que es

mes gran que γai.

2.2.9 DefinicioSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.Sigui X: Ω −→ [0,+∞] una funcio mesurable (positiva!)Definim la integral de X respecte µ com

∫

Ω

X dµ := limn→∞

∫

Ω

Xn dµ , (2.2.3)

on Xnn∈N es una successio creixent de funcions elementals positives que convergeix aX.Noteu que, per la propietat 3) de la Proposicio 2.2.8, la successio d’integrals es creixenti per tant el lımit existeix segur.

2.2.10 ObservacioCal comprovar que el lımit de (2.2.3) es independent de la successio de funcions elementalsescollida.Veurem que, si Xnn∈N i Ynn∈N son dues successions creixents de funcions elementals,llavors

limn→∞

Xn 6 limn→∞

Yn ⇒ limn→∞

∫

Ω

Xn dµ 6 limn→∞

∫

Ω

Yn dµ .

Aixo implicara que si els lımits de les funcions coincideixen, els lımits de les integrals hande coincidir.Observem que ∀m ∈ N, Xm = lim

n→∞infXm, Yn. Per tant,

∫

Ω

Xm dµ(1)= lim

n→∞

∫

Ω

infXm, Yn dµ(2)

6 limn→∞

∫

Ω

Yn dµ .

Fent m→ ∞:

limm→∞

∫

Ω

Xm dµ 6 limn→∞

∫

Ω

Yn dµ .

(1) Gracies a la Proposicio 2.2.4 i a la propietat 4) de la Proposicio 2.2.8. Nomes peraquest detall necessitem demostrar la propietat 4) anterior abans de fer la Definicio2.2.9.

(2) Gracies a la propietat 3) de la Proposicio 2.2.8.

2.2.11 ProposicioSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.La integral respecte µ de funcions mesurables positives gaudeix de les propietats seguents:

1) a > 0 ⇒∫

Ω

aX dµ = a

∫

Ω

X dµ .


2)

∫

Ω

X + Y dµ =

∫

Ω

X dµ+

∫

Ω

Y dµ .

3) X 6 Y ⇒∫

Ω

X dµ 6

∫

Ω

Y dµ (i en particular,

∫

Ω

X dµ > 0) .

4) Si Xnn∈N es una successio creixent de funcions mesurables positives i X :=lim

n→∞Xn, aleshores

limn→∞

∫

Ω

Xn dµ =

∫

Ω

X dµ .

5) Si Xnn∈N es una successio de funcions mesurables positives, aleshores

∫

Ω

limn→∞

Xn dµ 6 limn→∞

∫

Ω

Xn dµ .

6)

∫

Ω

X dµ < +∞ ⇒ µ(X = +∞) = 0 .

7)

∫

Ω

X dµ = 0 ⇔ µ(X > 0) = 0 .

Demostracio:1) Sigui Xnn∈N una successio creixent de funcions elementals positives amb lim

n→∞Xn =

X. Tindrem que aXnn∈N tambe es una successio creixent d’elementals positives amblımit aX.

∫

Ω

aX dµ = limn→∞

∫

Ω

aXn dµ(1)= a lim

n→∞

∫

Ω

Xn dµ = a

∫

Ω

X dµ .

(1) Proposicio 2.2.8, 1).

2) Siguin Xnn∈N i Ynn∈N successions creixents de funcions elementals positivesamb lımits X i Y , respectivament. Tindrem que Xn + Ynn∈N tambe es una successiocreixent d’elementals positives amb lımit X + Y .

∫

Ω

(X + Y ) dµ = limn→∞

∫

Ω

(Xn + Yn) dµ(1)= lim

n→∞

∫

Ω

Xn dµ+ limn→∞

∫

Ω

Yn dµ

=

∫

Ω

X dµ+

∫

Ω

Y dµ .

(1) Per la Proposicio 2.2.8, 2). No hi ha cap problema en separar el lımit en suma delımits, perque tots ells existeixen i son positius.

3) Siguin Xnn∈N i Ynn∈N successions creixents de funcions elementals positives amblımits X i Y , respectivament.Podem suposar que Xn 6 Yn, ∀n. En cas contrari, prenem en lloc de Yn les funcions Y ′

n =supXn, Yn, que son elementals positives, formen una successio creixent i lim

n→∞Y ′

n =

limn→∞

supXn, Yn = limn→∞

Yn = Y .

Obtenim∫

Ω

X dµ = limn→∞

∫

Ω

Xn dµ(1)

6 limn→∞

∫

Ω

Yn dµ =

∫

Ω

Y dµ .

En particular, la integral de tota funcio mesurable positiva pertany a [0,+∞]. Nomescal aplicar la propietat que acabem de demostrar a la desigualtat 0 6 X, i comprovar

que

∫

Ω

0 dµ = 0. Aixo ultim es immediat a partir de la definicio d’integral de la funcio

elemental 0 · 1Ω.(1) Proposicio 2.2.8, 3).


4) Observeu primerament que limn→∞

Xn existeix, per la monotonia de la successio, i es

una funcio mesurable (Proposicio 2.1.17) i positiva.Per a cada n, sigui Ym,nm∈N una successio creixent de funcions elementals amb lımitXn.Per a cada m, sigui Zm := supYm,1, . . . , Ym,m. Per la propietat de reticle (Proposicio2.2.4), Zm es una funcio elemental; i es clar que Zmm∈N es una successio creixent.Llavors, si n 6 m,

Ym,n

(1)

6 Zm

(2)

6 Xm .

Fent m→ ∞:Xn = lim

m→∞Ym,n 6 lim

m→∞Zm 6 lim

m→∞Xm = X .

Fent n→ ∞, trobemlim

m→∞Zm = X .

Hem obtingut una successio creixent de funcions elementals que convergeix a X. Tenim,per una banda,

∫

Ω

X dµ(3)= lim

m→∞

∫

Ω

Zm dµ(4)

6 limm→∞

∫

Ω

Xm dµ .

Per altra banda,

limm→∞

∫

Ω

Xm dµ(5)

6

∫

Ω

X dµ .

Per tant,

limm→∞

∫

Ω

Xm dµ =

∫

Ω

X dµ .

(1) De la definicio de Zm.(2) ∀m, ∀k 6 m, Ym,k 6 Xk 6 Xm, l’ultima desigualtat deguda al fet que Xnn∈N es

creixent.(3) Per definicio de la integral de funcions positives.(4) Usant la propietat 3) anterior, puix que Zm 6 Xm, ∀m.(5) Perque Xm 6 X, ∀m.

5)∫

Ω

limn→∞

Xn dµ(1)=

∫

Ω

limn→∞

( infm>n

Xm) dµ(2)= lim

n→∞

∫

Ω

infm>n

Xm dµ(3)

6 limn→∞

∫

Ω

Xn dµ .

(1) Per definicio de lımit inferior.(2) Apliquem la propietat 4) anterior. Observeu que infm>nXmn∈N es una successio

creixent.(3) Apliquem la propietat 3) anterior, puix que inf

m>nXm 6 Xn, ∀n. El lımit de la

dreta no sabem si existeix o no. Pero podem prendre lımits inferiors, que sempreexisteixen, i la desigualtat es conserva igualment.

6) Per a cada n ∈ N,

+∞ >

∫

Ω

X dµ(1)

>

∫

Ω

X · 1X>n dµ(1)

>

∫

Ω

n · 1X>n dµ(2)= nµ(X > n) . (2.2.4)

Dividint per n i fent n→ ∞,

µ(X = +∞) (3)= lim

n→∞µ(X > n) = lim

n→∞1

n

∫

Ω

X dµ = 0 .

(1) Apliquem la propietat 3) anterior.(2) L’integrand es una funcio elemental. Apliquem la Definicio 2.2.7.(3) X > nn∈N es una successio decreixent de conjunts de mesura finita, amb lımit

(interseccio) X = +∞. Apliquem la Proposicio 1.1.18.


7)

⇒)

µ(X > 0) (1)= lim

n→∞µ(X > 1

n) = limn→∞

∫

Ω

1X> 1n dµ

(2)

6 limn→∞

∫

Ω

nX dµ = limn→∞

n

∫

Ω

X dµ = 0 .

(1) X > 1nn∈N es una successio creixent de conjunts, amb lımit (unio) X > 0.

Apliquem la Proposicio 1.1.18.(2) Apliquem la propietat 3) anterior.

⇐)∫

Ω

X dµ =

∫

Ω

X · 1X>0 dµ+

∫

Ω

X · 1X=0 dµ

(1)

6

∫

Ω

∞ · 1X>0 dµ(2)= lim

n→∞

∫

Ω

n · 1X>0 dµ

= limn→∞

nµ(X > 0) = 0 .

(1) Majorem el primer sumand, aplicant la propietat 3) anterior. El segon inte-grand es la funcio identicament zero, que, com hem observat al demostrar 3),te integral zero.

(2) Apliquem la Definicio 2.2.9.

Finalment, definim la integral en el cas mes general. La idea es descompondre lafuncio en part positiva i part negativa, i fer que la part negativa contribueixi a la integralamb signe negatiu.

2.2.12 Definicio

Sigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.

Sigui X: Ω −→ R una funcio mesurable.

Definim la integral de X respecte µ com

∫

Ω

X dµ :=

∫

Ω

X+ dµ−∫

Ω

X− dµ , (2.2.5)

sempre que l’expressio de la dreta de (2.2.5) no sigui ∞ − ∞. Si ho es, diem que laintegral de X no existeix.

Diem que X es integrable sii

∫

Ω

X dµ existeix i es finita.

2.2.13 Observacions

1) Equivalentment,

X es integrable ⇔∫

Ω

|X| dµ < +∞

⇔∫

Ω

X+ dµ < +∞ i

∫

Ω

X− dµ < +∞ .

2) La nomenclatura es una mica confusiva. Primer es decideix si una integral existeixo no; si existeix, el seu valor pot ser finit o infinit. Nomes si es finit es diu que lafuncio es integrable.


Evidentment, quan diem que una propietat es certa en un conjunt Ω, estem dientque tots els elements ω ∈ Ω la compleixen. Hi ha un concepte mes feble que la certesaque apareix de manera natural en els espais de mesura. Introduirem aquest concepteabans de discutir les propietats de la integral de funcions mesurables arbitraries.

2.2.14 (Meta)DefinicioSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.Diem que una propietat es certa quasi per tot respecte µ (abreviat µ-q.p.t. o simplementq.p.t. si no hi ha confusio possible) sii es certa per a tot ω ∈ Ω llevat d’un conjunt demesura zero.Simbolicament, si P [ω] es un predicat sobre els elements ω ∈ Ω,

P [ω] µ-q.p.t. ⇔ ∃N ∈ F : µ(N) = 0 i (∀ω ∈ N c, P [ω]) .

Si µ es una probabilitat, es diu tambe que la propietat es certa quasi segur respecte µ(abreviat µ-q.s. o simplement q.s.)

2.2.15 Exemples

1) Si X,Y : Ω −→ R son funcions mesurables, X = Y µ-q.p.t. vol dir µ(X 6= Y ) = 0.

2) Les propietats 6) i 7) per a funcions mesurables positives que hem vist a la Proposicio2.2.11 es poden expressar de la manera seguent:

∫

Ω

X dµ < +∞ ⇒ X < +∞ µ-q.p.t.

∫

Ω

X dµ = 0 ⇔ X = 0 µ-q.p.t.

2.2.16 ProposicioSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.Siguin X,Y : Ω −→ R funcions mesurables tals que X = Y µ-q.p.t.Aleshores: Si la integral de X existeix, la integral de Y tambe existeix i coincideixen:

∫

Ω

X dµ =

∫

Ω

Y dµ .

En particular, si X es integrable, Y tambe es integrable.

Demostracio: Si X = Y q.p.t., llavors es clar que tambe X+ = Y + q.p.t. i X− = Y −

q.p.t. Considerem els conjunts de mesura zero N1 := X+ 6= Y + i N2 := X− 6= Y −.(X 6= Y = N1 ∪N2. La unio no te perque ser disjunta.)

∫

Ω

X dµ =

∫

Ω

X+ dµ−∫

Ω

X− dµ

=

∫

Ω

X+ · 1N1dµ+

∫

Ω

X+ · 1Nc1dµ−

∫

Ω

X− · 1N2dµ−

∫

Ω

X− · 1Nc2dµ

(1)=

∫

Ω

Y + · 1Nc1dµ−

∫

Ω

Y − · 1Nc2dµ

(1)=

∫

Ω

Y + · 1N1dµ+

∫

Ω

Y + · 1Nc1dµ−

∫

Ω

Y − · 1N2dµ−

∫

Ω

Y − · 1Nc2dµ

=

∫

Ω

Y + dµ−∫

Ω

Y − dµ =

∫

Ω

Y dµ .

(1) Sobre N c1 , X+ ≡ Y +. Sobre N c

2 , X− ≡ Y −. La primera integral es zero: 0 6∫

Ω

X+·1N1dµ 6

∫

Ω

∞·1N1dµ = 0 (vegeu la demostracio de 2.2.11, 7).) Analogament

per la tercera. Analogament canviant X per Y .


2.2.17 Observacio

De la Proposicio 2.2.16 es despren que per parlar de la integral d’una funcio X nomescal que X estigui definida q.p.t. Es a dir, pot haver-hi un conjunt de mesura zero N talque X no estigui definida sobre N .

Per ser rigorosos, cal donar una definicio de la integral en aquesta situacio:

〈〈 Si X esta definida q.p.t., sigui Y una funcio definida per a tot ω ∈ Ω tal que X = Yq.p.t. Definim

∫

Ω

X dµ :=

∫

Ω

Y dµ

si la segona expressio te sentit. En cas contrari, diem que la integral de X no existeix. 〉〉

Aquest petit detall aporta una economia considerable. Per exemple, hom pot escriure∫

Ω

(X + Y ) dµ sense amoınar-se per possibles expressions ∞−∞, sempre que a hom li

consti a priori que nomes poden apareixer sobre un conjunt de mesura zero.

2.2.18 Proposicio


La integracio respecte µ de funcions mesurables arbitraries te les propietats seguents:

1) Si a ∈ R, i la integral de X existeix, aleshores la integral de aX existeix i

∫

Ω

aX dµ = a

∫

Ω

X dµ .

En particular, si X es integrable, aX es integrable.

2) Si les integrals de X i Y existeixen i l’expressio

∫

Ω

X dµ +

∫

Ω

Y dµ no es ∞−∞,

aleshores X + Y esta definida q.p.t., la integral de X + Y existeix i

∫

Ω

(X + Y ) dµ =

∫

Ω

X dµ+

∫

Ω

Y dµ .

En particular, si X i Y son integrables, X + Y es integrable.

3) Si les integrals de X i Y existeixen,

X 6 Y q.p.t. ⇒∫

Ω

X dµ 6

∫

Ω

Y dµ .

4) Si la integral de X existeix, aleshores

∣

∣

∣

∫

Ω

X dµ∣

∣

∣6

∫

Ω

|X| dµ .

5) Si la integral de X existeix,

∫

Ω

X dµ < +∞ ⇒ µ(X = +∞) = 0 ,

∫

Ω

X dµ > −∞ ⇒ µ(X = −∞) = 0 .


Demostracio:

1)

∫

Ω

(aX)+ dµ =

(si a > 0)

∫

Ω

aX+ dµ = a

∫

Ω

X+ dµ

(si a < 0)

∫

Ω

(−a)X− dµ = (−a)∫

Ω

X− dµ

∫

Ω

(aX)− dµ =

(si a > 0)

∫

Ω

aX− dµ = a

∫

Ω

X− dµ

(si a < 0)

∫

Ω

(−a)X+ dµ = (−a)∫

Ω

X+ dµ

=⇒

=⇒∫

Ω

(aX)+ dµ−∫

Ω

(aX)− dµ = a(

∫

Ω

X+ dµ−∫

Ω

X− dµ)

= a

∫

Ω

X dµ .

Per tant, la integral de aX existeix i te aquest ultim valor.

2) Suposarem que∫

Ω

X dµ 6= −∞ i

∫

Ω

Y dµ 6= −∞ . (2.2.6)

Els altres casos (no totes dues integrals iguals a +∞ o una d’elles finita) es farien de

manera identica.

i) X + Y esta definida q.p.t. i la seva integral existeix:

Tenim que

∫

Ω

X dµ 6= −∞ (1)⇒∫

Ω

X− dµ < +∞ (2)⇒ µ(X− = +∞) = 0(3)⇒

(3)⇒ µ(X = −∞) = 0 .

Analogament, µ(Y = −∞) = 0 .

El conjunt on X + Y dona una expressio ∞−∞ esta inclos en X = −∞ ∪ Y =

−∞, i per tant te mesura zero. En consequencia, X + Y esta definida q.p.t.

A mes,

(X + Y )−(4)

6 X− + Y −,(5)⇒

∫

Ω

(X + Y )− dµ 6

∫

Ω

X− dµ+

∫

Ω

Y − dµ(6)

< +∞ ⇒

⇒∫

Ω

(X + Y ) dµ existeix.

(1) Per la definicio d’integral.

(2) Apliquem la propietat 6) de la Proposicio 2.2.11.

(3) Els dos conjunts son el mateix.

(4) Consequencia facil de la definicio de part negativa (vegeu les equacions (2.1.2)).

(5) Apliquem la propietat 3) de la Proposicio 2.2.11.

(6) Per (2.2.6) i la definicio d’integral.

ii) La integral de la suma es la suma d’integrals:


Les consideracions del pas i) justifiquen els calculs seguents:

(X + Y )+ − (X + Y )− = X + Y = X+ −X− + Y + − Y −

= (X+ + Y +) − (X− + Y −)

⇒ (X + Y )+ + (X− + Y −) = (X + Y )− + (X+ + Y +)

⇒∫

Ω

(X + Y )+ dµ+

∫

Ω

(X− + Y −) dµ =

∫

Ω

(X + Y )− dµ+

∫

Ω

(X+ + Y +) dµ

⇒∫

Ω

(X + Y ) dµ =

∫

Ω

(X+ + Y +) dµ−∫

Ω

(X− + Y −) dµ

=

∫

Ω

X+ dµ−∫

Ω

X− dµ+

∫

Ω

Y + dµ−∫

Ω

Y − dµ

=

∫

Ω

X dµ+

∫

Ω

Y dµ .

3)

X 6 Y q.p.t. ⇒

X+ 6 Y + q.p.t.X− > Y − q.p.t.

⇒

∫

Ω

X+ dµ(1)

6

∫

Ω

Y + dµ∫

Ω

X− dµ(1)

>

∫

Ω

Y − dµ

⇒

⇒∫

Ω

X+ dµ−∫

Ω

X− dµ 6

∫

Ω

Y + dµ−∫

Ω

Y − dµ .

(1) El q.p.t. no importa. Fet rigorosament:

∫

Ω

X+ dµ =

∫

Ω

X+ · 1X+6Y + dµ+

∫

Ω

X+ · 1X+>Y + dµ

6

∫

Ω

Y + · 1X+6Y + dµ+ 0 =

∫

Ω

Y + dµ .

Hem usat la propietat analoga per a funcions positives (Proposicio 2.2.11).

4)

−|X| 6 X 6 |X|, (1)⇒∫

Ω

−|X| dµ 6

∫

Ω

X dµ 6

∫

Ω

|X| dµ

⇒∣

∣

∣

∫

Ω

X dµ∣

∣

∣6

∫

Ω

|X| dµ .

(1) Apliquem la propietat 3) anterior.

5)

∫

Ω

X dµ < +∞ ⇔∫

Ω

X+ dµ < +∞ (1)⇒ µ(X+ = +∞) = 0 ⇒ µ(X = +∞) = 0 .

∫

Ω

X dµ > −∞ ⇔∫

Ω

X− dµ < +∞ (1)⇒ µ(X− = +∞) = 0 ⇒ µ(X = −∞) = 0 .

(1) Per la propietat 6) de la Proposicio 2.2.11.

A l’Apartat 2.3 veurem per a funcions mesurables arbitraries les propietats analoguesa les 4) i 5) de la Proposicio 2.2.11. La propietat 7) es falsa.

Quant a les funcions X: Ω −→ C, definim la seva integral mitjancant les integrals dela part real i la part imaginaria. Recordem que amb la notacio binomial a+ib, on a, b ∈ Ri i representa la unitat imaginaria, totes les operacions lineals sobre R, o sobre funcions


valuades en R, s’estenen de manera natural al cas complex fent-les actuar formalmentsobre l’expressio a+ ib.

La integral de funcions integrables es una operacio lineal (propietats 1) i 2) anteri-ors). Per tant la definicio natural d’integral per a funcions complexes es la seguent.

2.2.19 DefinicioSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.Sigui X: Ω −→ C una funcio mesurable.Definim la integral de X respecte µ com

∫

Ω

X dµ :=

∫

Ω

ReX dµ+ i

∫

Ω

ImX dµ , (2.2.7)

sempre que ReX i ImX siguin funcions reals integrables. Diem aleshores que X esintegrable. En cas contrari, diem que la integral deX no existeix o queX no es integrable.(Compareu la terminologia amb la del cas real. Aquı integrabilitat i existencia de laintegral son equivalents, perque volem que el resultat sigui un nombre complex. Nopermetem infinits.)

2.2.20 Observacio(Recordem que l’us de la mateixa notacio | · | per al valor absolut d’un nombre real i elmodul d’un nombre complex es consistent en el sentit que si a ∈ R, el modul de a com anombre complex es el valor absolut de a com a nombre real.)A la vista de les desigualtats

|ReX|| ImX|

6 max|ReX|, | ImX| 6 |X| 6 |ReX| + | ImX| ,

es dedueix facilment que X: Ω −→ C es integrable sii |X|: Ω −→ R es integrable.

Les propietats enunciades a la Proposicio 2.2.18 son automaticament propietats deles parts real i imaginaria de la integral de funcions complexes. A mes, la propietat4) tambe es valida interpretant els valors absoluts com a modul. No hi ha, pero, unademostracio tan simple com en el cas real.

2.2.21 ProposicioSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.Sigui X: Ω −→ C una funcio integrable.Aleshores

∣

∣

∣

∫

Ω

X dµ∣

∣

∣6

∫

Ω

|X| dµ .

Demostracio: Comencem demostrant un lema que te interes en si mateix.

Lema 1. (Desigualtat de Schwarz.) Si X,Y : Ω −→ R son funcions mesurables tals queX2 i Y 2 son integrables, aleshores XY es integrable i

(

∫

Ω

XY dµ)2

6

(

∫

Ω

X2 dµ)

·(

∫

Ω

Y 2 dµ)

. (2.2.8)

Demostracio:

0 6 (X − Y )2 ⇒ XY 612 (X2 + Y 2)

0 6 (X + Y )2 ⇒ XY > − 12 (X2 + Y 2)

⇒ |XY | 61

2(X2 + Y 2)

i per tant, pel fet de ser X2 i Y 2 integrables, XY tambe ho es.


Per veure la desigualtat, descartem primer un cas trivial: Si

∫

Ω

Y 2 dµ = 0, aleshores

Y = 0 q.p.t., i les dues bandes de (2.2.8) son zero.

Suposem doncs que

∫

Ω

Y 2 dµ 6= 0. Per qualsevol nombre real γ,

(X + γY )2 > 0 ⇒∫

Ω

(X + γY )2 dµ > 0

⇒∫

Ω

X2 dµ+ 2γ

∫

Ω

XY dµ+ γ2

∫

Ω

Y 2 dµ > 0 . (2.2.9)

Prenent

γ =

−∫

Ω

XY dµ∫

Ω

Y 2 dµ

i multiplicant (2.2.9) per

∫

Ω

Y 2 dµ, s’obte la desigualtat (2.2.8).

Lema 2. Si X,Y : Ω −→ R son funcions integrables, aleshores

(

∫

Ω

X dµ)2

+(

∫

Ω

Y dµ)2

6

(

∫

Ω

(X2 + Y 2)1/2 dµ)2

.

Demostracio: Siguin

f := (X2 + Y 2)1/4 , g := X · (X2 + Y 2)−1/4 , h := Y · (X2 + Y 2)−1/4 .

Llavors,(

∫

Ω

X dµ)2

=(

∫

Ω

fg dµ)2 (1)

6

(

∫

Ω

f2 dµ)

·(

∫

Ω

g2 dµ)

(

∫

Ω

Y dµ)2

=(

∫

Ω

fh dµ)2 (1)

6

(

∫

Ω

f2 dµ)

·(

∫

Ω

h2 dµ)

⇒

⇒(

∫

Ω

X dµ)2

+(

∫

Ω

Y dµ)2

6

(

∫

Ω

f2 dµ)

·(

∫

Ω

g2 dµ+

∫

Ω

h2 dµ)

=(

∫

Ω

(X2 + Y 2)1/2 dµ)

·(

∫

Ω

(

X2(X2 + Y 2)−1/2 + Y 2(X2 + Y 2)−1/2)

dµ)

=(

∫

Ω

(X2 + Y 2)1/2 dµ)2

.

(1) Apliquem el lema anterior.

Utilitzant el Lema 2, arribem a l’enunciat de la proposicio:

∣

∣

∣

∫

Ω

X dµ∣

∣

∣=

((

∫

Ω

ReX dµ)2

+(

∫

Ω

ImX dµ)2)1/2

6

∫

Ω

(

(ReX)2 + (ImX)2)1/2

dµ =

∫

Ω

|X| dµ .


2.3 Teoremes de Convergencia

Agrupem en aquest apartat tres propietats mes de les integrals de funcions mesurablesarbitraries. Son conegudes com a Teoremes de Convergencia (de Lebesgue).

En el primer teorema parlem de 〈〈 successio Xnn∈N creixent q.p.t. 〉〉. Aixo vol dir:

∃Z ∈ F : [µ(Z) = 0] i [∀n ∈ N, ∀ω 6∈ Z, Xn(ω) 6 Xn+1(ω)] .

2.3.1 Teorema de la Convergencia MonotonaSigui Xnn∈N una successio creixent q.p.t. de funcions mesurables Xn: Ω −→ R tal que

∫

Ω

X1 dµ existeix i es 6= −∞ . (2.3.1)

Sigui X = limn→∞

Xn q.p.t.

Aleshores, les integrals de Xn, ∀n, i de X existeixen i

limn→∞

∫

Ω

Xn dµ =

∫

Ω

X dµ . (2.3.2)

En particular, si el lımit de (2.3.2) es < +∞, aleshores les funcions Xn, ∀n, i X sonintegrables.

Demostracio:1) Observem primer que la condicio (2.3.1) i la monotonia de la successio impliquen que

∫

Ω

Xn dµ i

∫

Ω

X dµ existeixen i son 6= −∞ . (2.3.3)

2) Suposem que ∃n0 :

∫

Ω

Xn0dµ = +∞. (Cas trivial.)

Aleshores, per la Proposicio 2.2.18, 3),

∫

Ω

Xn dµ = +∞, ∀n > n0, i

∫

Ω

X dµ = +∞ ,

i per tant el teorema es cert.

3) Suposem que ∀n,

∫

Ω

Xn dµ 6= +∞ .

Sota aquesta condicio, es te µ(Xn = +∞) = 0, ∀n (Proposicio 2.2.18, 5).)Sabem tambe que µ(Xn = −∞) = 0, ∀n, per (2.3.3).Per tant, les funcions Xn − X1 estan ben definides q.p.t. La famılia Xn − X1n∈N esuna successio creixent q.p.t. de funcions positives q.p.t. tal que

limn→∞

(Xn −X1) = X −X1 q.p.t.

Per la propietat 4) de la Proposicio 2.2.11 (exercici: treure tots els conjunts de mesurazero que calgui per aplicar-la)

limn→∞

∫

Ω

(Xn −X1) dµ =

∫

Ω

(X −X1) dµ . (2.3.4)

Per (2.3.3) i el fet que, en el cas que estem tractant,

−∞ <

∫

Ω

X1 dµ < +∞ , (2.3.5)


podem aplicar la propietat 2) de 2.2.18 i obtenim de (2.3.4)

limn→∞

∫

Ω

Xn dµ−∫

Ω

X1 dµ =

∫

Ω

X dµ−∫

Ω

X1 dµ ,

i, gracies a (2.3.5) altre cop, podem simplificar:

limn→∞

∫

Ω

Xn dµ =

∫

Ω

X dµ .

2.3.2 Observacions

1) Observeu que el Teorema de la Convergencia Monotona s’assembla molt a l’enunciatde la Proposicio 2.2.11, 4) (propietat analoga per a funcions positives), que ara quedacom un cas particular. De fet, es aquella propietat la que s’enuncia de vegades sotael tıtol de Teorema de la Convergencia Monotona.

2) Noteu el paper de la hipotesi (2.3.1), que es essencial per poder separar en restad’integrals l’expressio (2.3.4) i fer la simplificacio posterior. El teorema no es certsense aquesta condicio. Naturalment, seria suficient que es complıs per una funcioqualsevol Xn0

de la successio, puix que el comportament en el lımit no depen delsprimers termes.

3) Pot passar perfectament que totes les funcions Xn siguin integrables i en canvi X

no ser-ho. Aixo succeeix si limn→∞

∫

Ω

Xn dµ = +∞.

4) Es valid tambe el “teorema dual”:

〈〈 Si Xnn∈N es una successio decreixent q.p.t. amb

∫

Ω

X1 dµ 6= +∞, i X = limn→∞

Xn

q.p.t., aleshores

limn→∞

∫

Ω

Xn dµ =

∫

Ω

X dµ . 〉〉

2.3.3 Teorema (Lema de Fatou)Sigui Xnn∈N una successio de funcions mesurables Xn: Ω −→ R tals que

∫

Ω

infn∈N

Xn dµ existeix i es 6= −∞ . (2.3.6)

Aleshores, les integrals de Xn, ∀n, i de limn→∞

Xn existeixen i

∫

Ω

limn→∞

Xn dµ 6 limn→∞

∫

Ω

Xn dµ . (2.3.7)

En particular, si el lımit de la dreta de (2.3.7) es < +∞, aleshores la funcio limn→∞

Xn es

integrable.

Demostracio: Notem Y := infn∈N

Xn.

1) Observem primer que:

i) La condicio (2.3.6) junt amb Y 6 Xn, ∀n, implica que∫

Ω

Xn dµ existeix i es 6= −∞, ∀n.

ii) La condicio (2.3.6) junt amb

limn→∞

Xn = limn→∞

infm>n

Xm > infm∈N

Xm = Y ,

implica que∫

Ω

limn→∞

Xn dµ existeix i es 6= −∞.


2) Suposem que

∫

Ω

Y dµ = +∞. (Cas trivial.)

limn→∞

∫

Ω

Xn dµ = limn→∞

infm>n

∫

Ω

Xm dµ > infm∈N

∫

Ω

Xm dµ

> infm∈N

∫

Ω

Y dµ =

∫

Ω

Y dµ = +∞ ,

i (2.3.7) es compleix segur.

3) Suposem que

∫

Ω

Y dµ 6= +∞.

En aquest cas tenim, de fet,

−∞ <

∫

Ω

Y dµ < +∞, ⇒ µ(Y = −∞) = µ(Y = +∞) = 0 .

Per tant, les funcions Xn − Y estan ben definides q.p.t. La famılia Xn − Y n∈N es unasuccessio de funcions positives q.p.t. Per la propietat 5) de la Proposicio 2.2.11 (exercici:treure tots els conjunts de mesura zero que calgui per aplicar-la),

∫

Ω

limn→∞

(Xn − Y ) dµ 6 limn→∞

∫

Ω

(Xn − Y ) dµ .

Estem en condicions d’aplicar la propietat 2) de la Proposicio 2.2.18, i obtenim

∫

Ω

limn→∞

Xn dµ−∫

Ω

Y dµ 6 limn→∞

∫

Ω

Xn dµ−∫

Ω

Y dµ .

Finalment, el fet que la integral de Y sigui finita ens permet simplificar i arribar a (2.3.7).

2.3.4 Observacions

1) Com en el cas del Teorema de la Convegencia Monotona, el Lema de Fatou s’enunciasovint nomes per a successions de funcions positives; es redueix llavors a la propietat5) de la Proposicio 2.2.11.

2) El Teorema no es cert sense la hipotesi (2.3.6), que es la que ens permet, en essencia,reduir-nos al cas de funcions positives.

3) Es valid tambe el seguent “Lema de Fatou invertit” (vegeu el Problema 2.4):〈〈 Si Xnn∈N es una successio de funcions mesurables i

∫

Ω

supn∈N

Xn dµ 6= +∞ ,

aleshores∫

Ω

limn→∞

Xn dµ > limn→∞

∫

Ω

Xn dµ . 〉〉

2.3.5 Teorema de la Convergencia Dominada

Sigui Xnn∈N una successio de funcions mesurables Xn: Ω −→ R tal que:

a) Existeix X(ω) = limn→∞

Xn(ω), q.p.t.

b) Existeix una funcio Y : Ω −→ R integrable tal que |Xn| 6 Y q.p.t., ∀n.


Aleshores X es integrable i

limn→∞

∫

Ω

Xn dµ =

∫

Ω

X dµ . (2.3.8)

Demostracio:

1) Integrabilitat de X:

|Xn| 6 Y q.p.t., ∀n, ⇒ |X| 6 Y q.p.t.∫

Ω

Y dµ < +∞

⇒∫

Ω

|X| dµ < +∞ ⇒

⇒ X es integrable.

2) Formula (2.3.8):∫

Ω

X dµ(1)=

∫

Ω

limn→∞

Xn dµ(2)

6 limn→∞

∫

Ω

Xn dµ

6 limn→∞

∫

Ω

Xn dµ(3)

6

∫

Ω

limn→∞

Xn dµ(1)=

∫

Ω

X dµ .

Per tant, existeix limn→∞

∫

Ω

Xn dµ (ates que els lımits inferior i superior son iguals) i

coincideix amb

∫

Ω

X dµ.

(1) El lımit existeix. No fa cap mal posar lımit inferior o lımit superior en el seu lloc.(2) Apliquem el Lema de Fatou.(3) Apliquem el “Lema de Fatou invertit” (vegeu l’Observacio 2.3.4, 3), i el Problema

2.4.)

2.3.6 Observacio

El Teorema de la Convergencia Dominada es una altra propietat que es pot enunciardirectament per a funcions complexes, nomes interpretant el valor absolut com a modul.Si una funcio Y domina el modul de X, tambe domina les seves parts real i imaginaria(max|ReX|, | ImX| 6 |X|), i per tant el Teorema 2.3.5 s’aplica a cadascuna d’elles.Finalment, la formula sobre el lımit s’obte sumant parts reals i parts imaginaries.

Acabem aquest apartat amb dues aplicacions facils del Teorema de la ConvergenciaDominada. Hom considera integrals que depenen d’un parametre i es pregunta si, com afuncio del parametre, la integral es contınua, si es derivable, i en aquest ultim cas, si lesoperacions de derivacio i integracio es poden commutar.

2.3.7 Teorema


Siguin (T, d) un espai metric, i t0 ∈ T .

Sigui X: Ω × T −→ R una funcio complint:

a) X(ω, ·):T −→ R es contınua en t0, µ-q.p.t. ω ∈ Ω.

b) X(·, t): Ω −→ R es mesurable, ∀t ∈ T .

c) ∃Y : Ω −→ R integrable tal que |X(ω, t)| 6 Y (ω), µ-q.p.t. ω ∈ Ω, ∀t ∈ T .


Aleshores, la funcio

F : T −−−−−−−−−−→R

t 7−−−−→∫

Ω

X(ω, t)µ(dω)

esta ben definida i es contınua en t0.

Demostracio:1) F esta ben definida:Gracies a la condicio c) la integral existeix i es finita, per a cada t ∈ T .

2) F es contınua en t0:Es conegut que una funcio F entre espais metrics es contınua en un punt t0 sii per a totasuccessio tnn∈N d’elements del primer espai tal que lim

n→∞tn = t0, es te lim

n→∞F (tn) =

F (t0) en el segon espai.Sigui tnn∈N ⊂ T una tal successio.

limn→∞

F (tn) = limn→∞

∫

Ω

X(ω, tn)µ(dω)(1)=

∫

Ω

limn→∞

X(ω, tn)µ(dω)

=

∫

Ω

X(ω, t0)µ(dω) = F (t0) .

(1) Apliquem el Teorema de la Convergencia Dominada.

2.3.8 TeoremaSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.Siguin I ⊂ R un interval obert, i t0 ∈ I.Sigui X: Ω × I −→ R una funcio complint:

a) X(ω, ·): I −→ R es derivable en I, µ-q.p.t. ω ∈ Ω.

b) X(·, t): Ω −→ R es mesurable, ∀t ∈ I.

c) ∃Y : Ω −→ R integrable tal que |X(ω, t)|+∣

∣

∣

dX

dt(ω, t)

∣

∣

∣6 Y (ω), µ-q.p.t. ω ∈ Ω, ∀t ∈ I.

Aleshores, la funcio

F : I−−−−−−−−−−→R

t 7−−−−→∫

Ω

X(ω, t)µ(dω)

esta ben definida, es derivable en t0, i

F ′(t0) =

∫

Ω

dX

dt(ω, t0)µ(dω) . (2.3.9)

Demostracio:1) F esta ben definida:Gracies a la majoracio |X(ω, t)| 6 Y (ω), la integral que defineix F existeix i es finita,per a cada t ∈ T .

2) F es derivable en t0 i la seva derivada ve donada per (2.3.9):Aplicant el Teorema del Valor Mitja, per cada t ∈ I − t0 es te

∣

∣

∣

X(ω, t) −X(ω, t0)

t− t0

∣

∣

∣6 sup

t∈I

∣

∣

∣

dX

dt(ω, t)

∣

∣

∣6 Y (ω)


Considerem una successio tnn∈N ⊂ I tal que limn→∞

tn = t0.

limn→∞

F (tn) − F (t0)

tn − t0= lim

n→∞

∫

Ω

X(ω, tn) −X(ω, t0)

tn − t0µ(dω)

(1)=

∫

Ω

limn→∞

X(ω, tn) −X(ω, t0)

tn − t0µ(dω) =

∫

Ω

dX

dt(ω, t0)µ(dω) .

(1) Apliquem el Teorema de la Convergencia Dominada.

2.3.9 Observacions

1) La continuıtat i la derivabilitat en un punt son propietats locals de les funcions. Sila condicio c) del Teorema 2.3.7 o el Teorema 2.3.8 es compleix nomes en un entornU del punt t0, s’obte la continuıtat o derivabilitat, segons el cas, de F :U −→ R. Siper a cada punt existeix un tal entorn, es conclou la continuıtat o derivabilitat de Fsobre tot el seu domini de definicio.La moral es, doncs, que per obtenir la propietat global nomes cal que per a cada puntt0 existeixi un entorn Ut0 i una funcio YUt0

integrable tal que |X(ω, t)| 6 YUt0(ω),

µ-q.p.t. ω ∈ Ω, ∀t ∈ Ut0 (per la continuıtat) o |X(ω, t)| +∣

∣

∣

dX

dt(ω, t)

∣

∣

∣6 YUt0

(ω),

µ-q.p.t. ω ∈ Ω, ∀t ∈ Ut0 (per la derivabilitat.)

2) Els Teoremes 2.3.7 i 2.3.8 valen exactament igual per a funcions X a valors en C,interpretant els valors absoluts | · | com a moduls. Es dedueix del fet que si Ydomina el modul d’una funcio, tambe domina els valors absoluts de les seves partsreal i imaginaria, com ja hem observat abans. I, per definicio, si F es una funciocomplexa (de variable real), F ′ = (ReF )′ + i(ImF )′.

2.4 Teoremes de la Mesura Imatge i de Radon–Nikodym

En aquest apartat veurem dos importants teoremes encaminats a facilitar el calcul efectiude les integrals.

2.4.1 DefinicioSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.Sigui (E,E) un espai mesurable.Sigui X: Ω −→ E una funcio mesurable.La funcio de conjunt µX sobre E definida com

µX(B) := µ(X−1(B)) , ∀B ∈ E ,

es una mesura en (E,E) (es comprova facilment) que s’anomena mesura imatge de µ perX.De vegades s’escriu tambe com µ X−1.

2.4.2 Teorema de la Mesura ImatgeEn la situacio de la definicio anterior:Sigui g:E −→ R mesurable.Aleshores, la integral de g en (E,E, µX) existeix sii la integral de g X en (Ω,F, µ)existeix, i, en cas afirmatiu,

∫

Ω

g X dµ =

∫

E

g dµX .

En particular, g es integrable sii g X es integrable, en els respectius espais.


Demostracio: Demostrarem la igualtat suposant successivament que g es un indicador,una funcio elemental positiva, una funcio mesurable positiva i una funcio mesurablearbitraria. Aquest es un procediment habitual per provar enunciats que involucren inte-grals.1) Indicadors: g = 1B , B ∈ E.

∫

Ω

1B X dµ =

∫

Ω

1X−1(B) dµ = µ(X−1(B)) = µX(B) =

∫

E

1B dµX .

2) Elementals positives: g =n∑

i=1

ai · 1Bi, Bi ∈ E.

∫

Ω

g X dµ =

n∑

i=1

ai

∫

Ω

1BiX dµ

(1)=

n∑

i=1

ai

∫

E

1BidµX =

∫

E

g dµX .

(1) Usem el cas 1).

3) Mesurables positives: Sigui gnn∈N una successio creixent de funcions elementalspositives amb lim

n→∞gn = g.

Observem que gn Xn∈N es una successio creixent de funcions elementals positivessobre (Ω,F) que convergeixen a g X. Per tant,

∫

Ω

g X dµ = limn→∞

∫

Ω

gn X dµ(1)= lim

n→∞

∫

E

gn dµX =

∫

E

g dµX .

(1) Usem el cas 2).

4) Mesurables arbitraries:Pel cas anterior,

∫

Ω

(g X)+ dµ =

∫

Ω

g+ X dµ =

∫

E

g+ dµX

∫

Ω

(g X)− dµ =

∫

Ω

g− X dµ =

∫

E

g− dµX .

Per tant, la integral de g respecte µX existeix sii la integral de g X respecte µ existeix.En cas afirmatiu,

∫

Ω

gX dµ =

∫

Ω

(gX)+ dµ−∫

Ω

(gX)− dµ =

∫

E

g+ dµX −∫

E

g− dµX =

∫

E

g dµX

2.4.3 ObservacioEl Teorema de la Mesura Imatge es de fet un teorema de canvi de variable, molt general.El classic teorema de canvi de variable per integrals sobre R n’es un cas particular. Vegeuel Problema 2.8.

2.4.4 NotacioSi (Ω,F, µ) es un espai de mesura, X: Ω −→ R es una funcio mesurable, A ∈ F, i laintegral de X · 1A existeix, introduım el sımbol

∫

A

X dµ :=

∫

Ω

X · 1A dµ

(purament per comoditat de notacio.)


Observeu que si la integral de X existeix, aleshores la integral de X ·1A existeix (ates que

(X ·1A)+ 6 X+ i (X ·1A)− 6 X−), i el sımbol

∫

A

X dµ esta ben definit; en particular,

si X es integrable, X · 1A tambe ho es.Observem tambe que, si A,B ∈ F i A ∩B = ∅, llavors

∫

A∪B

X dµ =

∫

A

X dµ+

∫

B

X dµ (2.4.1)

La propietat (2.4.1) es referencia a cops com “propietat d’additivitat de la integralrespecte el conjunt d’integracio”. Es deixa com a exercici per al lector comprovar que, de

fet, i amb la sola hipotesi addicional de la positivitat de X, la funcio de conjunt

∫

A

X dµ,

definida per a tot A ∈ F, es una mesura sobre F. Aixo justifica la definicio seguent.

2.4.5 DefinicioSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.Sigui f : Ω −→ [0,+∞] una funcio mesurable.Definim sobre F la mesura

ν(A) :=

∫

A

f dµ , A ∈ F .

En aquesta situacio, diem que f es la densitat de ν respecte µ i s’escriu f =dν

dµ. Tambe

es diu que f es la derivada de Radon–Nikodym de ν respecte µ.

2.4.6 Observacions

1) Es immediat que:

a) Si µ es σ-finita i f < +∞ µ-q.p.t., llavors ν es σ-finita.

(Si Ω =∞∪

n=0An amb µ(An) < +∞, Bm = m − 1 6 f < m (m > 1), i

B0 = f = +∞, nomes cal considerar la famılia An ∩Bm∞n,m=0 .)

b) Si f es integrable, llavors ν es finita.

c) Si

∫

Ω

f dµ = 1, llavors ν es una probabilitat.

2) Gracies a la Proposicio 2.2.16, si g: Ω −→ R es una altra funcio mesurable tal que

g = f µ-q.p.t., aleshores tambe es te ν(A) =

∫

A

g dµ, ∀A ∈ F. Per tant, estrictament

parlant, “la densitat” es de fet “una densitat”. Pero es pot veure que es “unica µ-q.p.t.”, es a dir, que dues densitats difereixen en un conjunt de mesura µ zero, enles dues situacions seguents:

a) Si f es integrable.

b) Si µ es σ-finita.

En el primer cas es consequencia del Problema 2.3, b), i en el segon del Problema2.3, c).

2.4.7 ExempleEn (R,B(R), λ), amb λ la mesura de Lebesgue, considerem la funcio f(x) = 1√

2πe−x2/2

i definim

ν(A) =

∫

A

f(x)λ(dx) , A ∈ B(R) .

Aleshores ν es la llei N(0, 1) (vegeu els Exemples 1.3.9.) Si canviem f per una altrafuncio igual a f λ-q.p.t., continuem obtenint la mateixa probabilitat.


2.4.8 DefinicioSiguin µ i ν dues mesures sobre un espai mesurable (Ω,F).ν es absolutament contınua respecte µ sii

∀A ∈ F, µ(A) = 0 ⇒ ν(A) = 0 .

Ho escrivim ν µ.

2.4.9 Teorema de Radon–NikodymSiguin µ i ν dues mesures sobre un espai mesurable (Ω,F), amb µ σ-finita.Aleshores son equivalents:

i) ν µ .

ii) Existeix f : Ω −→ [0,+∞] tal que f =dν

dµ.

Demostracio: Que ii)⇒i) es evident, i no cal la σ-finitud de µ:

µ(A) = 0 ⇒ ν(A) =

∫

A

f dµ =

∫

Ω

0 dµ = 0 ,

perque f · 1A = 0 µ-q.p.t.La part interessant es i)⇒ii). La demostracio es llarga i no l’escriurem aquı.

2.4.10 ProposicioSigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.

Sigui ν una mesura absolutament contınua respecte µ amb densitat f =dν

dµ.

Sigui X: Ω −→ R una funcio mesurable.Aleshores, la integral de X respecte ν existeix sii la integral de X · f respecte µ existeix,i, en cas afirmatiu,

∫

Ω

X dν =

∫

Ω

X · f dµ . (2.4.2)

En particular, X es integrable respecte ν sii X · f es integrable respecte µ.

Demostracio: Farem la demostracio suposant successivament que X es un indicador, unafuncio elemental positiva, una funcio mesurable positiva i una funcio mesurable arbitraria.

1) Indicadors: X = 1A, A ∈ F.

∫

Ω

1A dν = ν(A) =

∫

A

f dµ =

∫

Ω

1A · f dν .

2) Elementals positives: X =n∑

i=1

ai · 1Ai, Ai ∈ F.

∫

Ω

X dν =n

∑

i=1

ai

∫

Ω

1Aidν =

n∑

i=1

ai

∫

Ω

1Ai· f dµ =

∫

Ω

X · f dµ .

3) Mesurables positives: Sigui Xnn∈N una successio creixent de funcions elementalspositives amb lim

n→∞Xn = X.

Observem que Xn · fn∈N es una successio creixent de funcions positives convergent aX · f .

∫

Ω

X dν = limn→∞

∫

Ω

Xn dν = limn→∞

∫

Ω

Xn · f dµ (1)=

∫

Ω

X · f dµ .

(1) Utilitzem aquı el Teorema de la Convergencia Monotona, o, si es vol, com que lesfuncions son positives, la Proposicio 2.2.11, propietat 4).


4) Mesurables arbitraries:Gracies al cas anterior,

∫

Ω

X+ dν =

∫

Ω

X+ · f dµ =

∫

Ω

(X · f)+ dµ

∫

Ω

X− dν =

∫

Ω

X− · f dµ =

∫

Ω

(X · f)− dµ .

Per tant, la integral de X respecte ν existeix sii la integral de X · f respecte µ existeix.En cas afirmatiu,

∫

Ω

X dν =

∫

Ω

X+ dν −∫

Ω

X− dν =

∫

Ω

(X · f)+ dµ−∫

Ω

(X · f)− dµ =

∫

Ω

X · f dµ

La proposicio anterior explica el perque de la notaciodν

dµper representar la densitat

f : la formula (2.4.2) s’obte fent la substitucio formal dν = f dµ.

2.4.11 AplicacionsVeurem l’aplicacio dels resultats d’aquest apartat al calcul efectiu d’integrals.

1) Considerem l’espai de mesura (R,B(R), µ), amb µ λ (essent λ, com sempre, la

mesura de Lebesgue). Sigui f =dµ

dλ.

Sigui g:R −→ R una funcio mesurable. Volem calcular la seva integral respecte µ.Tindrem que

∫

R

g(x)µ(dx) =

∫

R

g(x)f(x)λ(dx) , (2.4.3)

i aquesta ultima es la integral ordinaria sobre R que habitualment notem

∫

R

g(x)f(x) dx .

Naturalment, el primer que ens interessa saber es si la integral de g respecte µexisteix o no. Pero gracies a la Proposicio 2.4.10, aixo es equivalent a la mateixaquestio formulada per a la integral de gf respecte λ.

2) Considerem l’espai de mesura (R,B(R),m), on m(A) = card(A∩N), A ∈ B(R). Lafuncio de conjunt m es una mesura que s’anomena mesura comptadora de naturals,per raons evidents.Sigui g:R −→ R una funcio mesurable. La integral de g respecte m es

∫

R

g(x)m(dx) =

∞∑

n=1

g(n) . (2.4.4)

Es deixa com a exercici comprovar (2.4.4) usant la via habitual indicadors → ele-mentals → positives → arbitraries. La funcio g es integrable respecte m sii la serie∑

n>1

g(n) es absolutament convergent. El cas de les series condicionalment conver-

gents es correspon a les anomenades integrals impropies, que no ens interessen pera res aquı. Deixant de banda aquestes series, en les quals el concepte de suma estalligat a un particular ordre de sumacio, podem dir que la Teoria de Series es la Teoriade la Integracio a l’espai de mesura (R,B(R),m).Una mesura µ en (R,B(R)) es absolutament contınua respecte m sii es pot escriurecom

µ =

∞∑

n=1

αnδn ,


on ∀n ∈ N, αn ∈ R i δn es la delta de Dirac en el punt n. Una tal mesura no esabsolutament contınua respecte la mesura de Lebesgue (a menys que sigui µ ≡ 0)doncs aquesta dona mesura zero als conjunts d’un sol element.

La densitat f =dµ

dmcompleix f(n) = αn, ∀n ∈ N. (Fora dels naturals es pot definir

de qualsevol manera, puix que m(R− N) = 0.) En efecte,

µ(A) =

∞∑

n=1

αnδn(A) =∑

n∈A

αn =

∫

A

f(x)m(dx) .

Si X:R −→ R,∫

R

X dµ =

∫

R

Xf dm =

∞∑

n=1

X(n)f(n) .

Finalment, observem que tota funcio X:R −→ R es igual m-q.p.t. a una funciodefinida nomes sobre els naturals (la restriccio de X a N.) Per tant, pel que fa a laintegracio, l’espai (R,B(R),m) es equivalent a (N,P(N),m), que resulta de restringirm a la σ-algebra P(N) ⊂ B(R).

3) En els casos 1) i 2) hem partit de probabilitats en (R,B(R)). Farem jugar ara elTeorema de la Mesura Imatge, partint d’un espai de mesura qualsevol.Siguin (Ω,F, µ) un espai de mesura i X: Ω −→ R una funcio mesurable. Per calcular

la integral

∫

Ω

X dµ, la idea es trobar una integral equivalent sobre (R,B(R)). Fem

l’artifici seguent:

ΩX−−−−→ R

I−−−−→ R ,

on I es l’aplicacio identitat x 7→ x. Apliquem el Teorema de la Mesura Imatge aaquesta situacio:

∫

Ω

X dµ =

∫

Ω

I X dµ =

∫

R

I dµX =

∫

R

xµX(dx) ,

i ja estem en el cas real. Ara, per exemple, si f =dµX

dλ, l’ultima integral es igual a

∫

R

xf(x) dx ,

i si f =dµX

dm, no es mes que

∞∑

n=1

nf(n) .

Mes en general, si volem calcular

∫

Ω

gX dµ, on g:R −→ R es una funcio mesurable,

i coneixem la mesura imatge µX , llavors considerem

ΩX−−−−→ R

g−−−−→ R ,

i obtenim∫

Ω

g X dµ =

∫

R

g dµX .


2.5 Variables aleatories

2.5.1 DefinicioQuan es considera una probabilitat P en un espai (Ω,F), una funcio mesurable X: Ω −→R (o R) s’anomena tambe variable aleatoria (o variable, per abreujar).En general, si (E,E) es un altre espai de mesura, una funcio mesurable X: Ω −→ Es’anomena variable aleatoria E-valuada. En el cas (E,E) = (Rn,B(Rn)) o (Rn,B(Rn)),es diu tambe que es un vector aleatori.

Un espai de probabilitat (Ω,F, P ) es l’objecte matematic que s’utilitza per modelarun experiment aleatori. Cada element ω ∈ Ω es un possible resultat de l’experiment iP (A) es la probabilitat que el resultat pertanyi a l’esdeveniment A.

Una variable aleatoria representa el mecanisme mitjancant el qual s’observa l’experiment.Precisant una mica mes, se suposa que no s’observa ω directament, sino que per a totB ∈ B(R), es pot decidir si X(ω) ∈ B o X(ω) 6∈ B.

2.5.2 DefinicioSigui (Ω,F, P ) un espai de probabilitat.Sigui X: Ω −→ R una variable aleatoria.La mesura imatge de P per X es una probabilitat PX en (R,B(R)) (recordem: PX(B) :=P (X−1(B))) que s’anomena llei de la variable X (o tambe, distribucio de X).

2.5.3 ObservacioEs immediat veure que si una probabilitat P en (R,B(R)) es tal que P (−∞,+∞) = 0,aleshores restringida a (R,B(R)) es tambe una probabilitat.Recıprocament, tota probabilitat en (R,B(R)) s’esten de manera unica a una probabilitaten (R,B(R)): la que compleix P (B) = P (B ∩ R), per a tot B ∈ B(R).Per tant, si X es una variable aleatoria complint P (X ∈ −∞,+∞) = 0, es potdefinir la seva llei com una probabilitat en (R,B(R)), i aixı es considera sempre.

2.5.4 ExerciciSi dues variables aleatories son iguals P -q.s., aleshores tenen la mateixa llei (vegeu elProblema 2.6). En particular, si X: Ω −→ R es una variable aleatoria tal que P (X ∈−∞,+∞) = 0, aleshores te la mateixa llei que una certa variable Y : Ω −→ R.

2.5.5 DefinicioSigui X: Ω −→ R una variable aleatoria tal que P (X ∈ −∞,+∞) = 0.S’anomena funcio de distribucio de X la funcio de distribucio de la llei de X (consideradaen (R,B(R)), naturalment). Se sol escriure FX .

FX(x) := PX(]−∞, x]) = P (X 6 x) , x ∈ R .

2.5.6 DefinicioSigui (Ω,F, P ) un espai de probabilitat.Sigui X: Ω −→ R una variable aleatoria tal que la seva integral respecte P existeix.Aquesta integral s’anomena tambe esperanca de X. S’escriu E[X].

E[X] :=

∫

Ω

X dP .

2.5.7 Observacio


Gracies al Teorema de la Mesura Imatge, l’esperanca de X es pot calcular (o determinarla seva existencia) mitjancant una integral sobre R, si coneixem la seva llei:

E[X] =

∫

R

xPX(dx) .

Mes en general, si g: R −→ R es mesurable,

E[g X] =

∫

R

g(x)PX(dx) . (2.5.1)

En cas que P (X ∈ −∞,+∞) = 0, la integral (2.5.1) es sobre R, per l’Observacio2.5.3. I llavors, si PX resulta ser absolutament contınua respecte la mesura de Lebesgueo la mesura comptadora de naturals, el calcul es redueix a una integral ordinaria o a lasuma d’una serie, respectivament.

2.5.8 DefinicioSigui p > 1.E[Xp], si existeix, s’anomena moment d’ordre p de X.S’anomena variancia (Var[X]) d’una variable aleatoria X el moment d’ordre 2 de X −E[X], si aquesta expressio te sentit. Es a dir,

Var[X] := E[

(X − E[X])2]

.

Observeu que la variancia sempre es positiva. S’anomena desviacio tipus de X (σ[X])l’arrel quadrada positiva de la variancia de X.

σ[X] :=√

Var[X] .

Es tambe habitual escriure la variancia com σ2[X].

2.5.9 ExerciciLa variancia es igual al moment d’ordre 2 menys el quadrat del moment d’ordre 1, sempreque aquest ultim sigui finit.

2.5.10 ObservacioEls conceptes d’esperanca, variancia i desviacio tıpica, i en general el moment d’ordre pd’una variable i qualsevol quantitat que en sigui funcio, nomes depenen de la llei de lavariable, no de la variable en si, per la qual cosa es parla tambe d’esperanca, variancia,etc. d’una probabilitat en (R,B(R)).Es molt important distingir entre variable aleatoria (funcio) i llei de la variable aleatoria(probabilitat). Dues variables diferents, definides fins i tot sobre espais de probabilitatdiferents, poden tenir la mateixa llei.

2.6 Espais Lp

En aquest apartat no farem cap detall. Es deixen com a exercici al lector emprenedor.Vegeu el Problema 2.10 (alguns apartats son difıcils).

Sigui (Ω,F, P ) un espai de probabilitat.Notem per L0 el conjunt de totes les variables aleatories X: Ω −→ R (no permetem demoment valors infinits.) S’escriu L0(Ω,F, P ) si cal indicar a quin espai de probabilitatens referim.L0 es un espai vectorial sobre R, amb les operacions naturals de suma de funcions iproducte per escalars.


Sigui p > 1.Definim Lp :=

X ∈ L0 : E[|X|p] < +∞

.Lp es un subspai vectorial de L0.Si 1 6 p 6 q, aleshores Lq ⊂ Lp. Es te:

L0 ⊃ L1 ⊃ · · · ⊃ Lp ⊃ Lq ⊃ · · · (2.6.1)

En cada espai Lp, definim la relacio d’equivalencia

X ∼ Y ⇐⇒ X = Y q.s.

La relacio ∼ es compatible amb l’estructura d’espai vectorial, es a dir,

X1 ∼ Y1

X2 ∼ Y2

=⇒ X1 +X2 ∼ Y1 + Y2

X ∼ Y =⇒ aX ∼ aY (a ∈ R) .

Gracies a aquesta compatibilitat es pot definir l’espai vectorial quocient Lp := Lp/∼ .

Els elements de Lp son classes de variables aleatories. Cada classe esta formada per unavariable aleatoria i totes les que son iguals a ella quasi segur. Aixo no obstant, quan estraballa a l’espai Lp, en lloc expressions com ara 〈〈 [X] = [Y ] 〉〉 per denotar la igualtat, sesegueix escrivint 〈〈 X = Y q.s. 〉〉 o be 〈〈 X = Y en Lp 〉〉, i en general es contınua pensanten termes de variables aleatories, encara que conceptualment els elements de Lp no hoson. Per exemple, hom escriu: 〈〈 Sigui X: Ω −→ R tal que X ∈ Lp 〉〉. I encara mes:Com que una variable aleatoria a valors en R es susceptible de coincidir quasi segur ambuna variable a valors en R (aixo passa sii P (X ∈ −∞,+∞) = 0), te sentit escriure:〈〈 Sigui X: Ω −→ R tal que X ∈ Lp 〉〉.

Per p > 1, definim en Lp una norma:

||X||p :=(

∫

Ω

|X|p dP)1/p

.

En efecte, || · ||p es una norma. O sigui,

1) ||X||p = 0 ⇔ X = 0 (en Lp !; i.e. X = 0 q.s.)

2) ∀a ∈ R, ||aX||p = |a| · ||X||p .

3) ||X + Y ||p 6 ||X||p + ||Y ||p .

(El pas al quocient s’ha fet exclusivament per tenir la implicacio ||X||p = 0 ⇒ X = 0.)Un espai vectorial amb una norma es un espai normat:

(Lp, || · ||p) es un espai normat.

Tot espai normat es un espai metric, amb la distancia

d(X,Y ) = ||X − Y || .

En el nostre cas, estem definint en Lp la distancia

dp(X,Y ) = ||X − Y ||p =(

∫

Ω

|X − Y |p dP)1/p

.

L’espai metric (Lp, dp) es complet, es a dir, tota successio de Cauchy es convergent.

No hi ha cap inconvenient a definir analogament els espais Lp(Ω,F, µ), amb µ una mesuraqualsevol, pero la cadena d’inclusions (2.6.1) nomes es pot assegurar si µ es finita.


2.7 Problemes

2.1 Sigui (Ω,F) un espai mesurable. Sabem que una funcio X: Ω −→ R es mesurable siiω ∈ Ω : X(ω) 6 b ∈ F, ∀b ∈ R.Demostreu que si en aquesta expressio substituım X(ω) 6 b per X(ω) < b, X(ω) > bo X(ω) > b, s’obtenen condicions equivalents.

2.2 Sigui (Ω,F) un espai mesurable, i siguin X, Y : Ω −→ R funcions mesurables.Demostreu que els subconjunts de Ω seguents son mesurables:

X < Y , X 6 Y , X = Y i X 6= Y .

Atencio: No val utilitzar que la suma de funcions mesurables es mesurable, perqueprecisament la demostracio que tenim d’aixo (Proposicio 2.1.16) es basa en el que esvol demostrar aquı.Idea: Demostreu que el primer conjunt es mesurable usant d’alguna manera que elconjunt dels nombres racionals es numerable i dens en R. La mesurabilitat dels altresconjunts es dedueix facilment a partir de la del primer.

2.3 Sigui (Ω,F, µ) un espai de mesura.a) Sigui X: Ω −→ R mesurable tal que

∫

A

X dµ = 0 , ∀A ∈ F .

Demostreu que X = 0 µ-q.p.t.b) Suposant que X,Y : Ω −→ R son integrables, demostreu utilitzant l’apartat a) que

∫

A

X dµ 6

∫

A

Y dµ , ∀A ∈ F =⇒ X 6 Y µ-q.p.t.

c) Sota la hipotesi addicional que µ sigui σ-finita, demostreu el mateix que a l’apartatb) suposant nomes que les integrals de X i Y existeixen.Idea: Suposant que µ es finita, considereu els conjunts An = ω ∈ Ω : X(ω) >

Y (ω) + 1n , |Y (ω)| 6 n i obteniu µ

( ∞∪n=1

An

)

= 0. Despres considereu Bn = ω ∈ Ω :

Y (ω) = −∞, X(ω) > −n i obteniu µ( ∞∪

n=1Bn

)

= 0 .

2.4 Demostreu, a partir del Lema de Fatou, el seguent “Lema de Fatou invertit” ques’utilitza en la demostracio del Teorema de la Convergencia Dominada:Sigui Xnn∈N una successio de funcions mesurables Xn: Ω −→ R tal que

∫

Ω

supn∈N

Xn dµ existeix i es 6= +∞ .

Aleshores, les integrals de Xn, ∀n, i de limn→∞

Xn existeixen i

∫

Ω

limn→∞

Xn dµ > limn→∞

∫

Ω

Xn dµ .

2.5 Sigui (Ω,F, µ) un espai de mesura. En la situacio

ΩX−−−−→ R

g−−−−→ R


sabem que

∫

Ω

g(X) dµ =

∫

R

g(x)µX(dx) (Teorema de la Mesura Imatge), i l’ultima

integral es pot calcular com una integral respecte una mesura mes facil ν si µX ν(Teorema de Radon–Nikodym).a) Comproveu que si X pren valors en N (i.e. ImX ⊂ N), aleshores µX m (on mrepresenta la mesura comptadora de naturals) amb densitat f(n) = µX = n. Pertant, es te la formula

∫

Ω

g(X) dµ =

∞∑

n=0

g(n)µX = n .

En particular, si (Ω,F, P ) es un espai de probabilitat, l’esperanca de la variable aleatoriag(X) es pot calcular com

E[g(X)] =∞∑

n=0

g(n)PX = n .

b) Generalitzem la situacio anterior: Sigui M un subconjunt numerable de R. Definimla mesura comptadora d’elements de M com

mM (A) := card(A ∩M) , A ∈ B(R) .

Comproveu que mM es una mesura discreta.Suposem que ImX ⊂M . Demostreu que µX mM , que aixo implica que µX es tambediscreta, i que

∫

Ω

g(X) dµ =∑

m∈M

g(m)µX = m .

Nota: Si l’espai (Ω,F, µ) ja es ell mateix numerable, llavors es pot demostrar directamentque

∫

Ω

g(X) dµ =∑

ω∈Ω

g(X(ω))µ(ω) .

No cal doncs usar el Teorema de la Mesura Imatge ni el de Radon–Nikodym en aquest casper tenir una formula facil. Tanmateix, el punt de vista que hem desenvolupat permetoblidar totalment l’estructura de l’espai de mesura (Ω,F, µ) i unifica procediments.

2.6 Siguin (Ω,F, µ) un espai de mesura i (E,E) un espai mesurable.Siguin X,Y : Ω −→ E funcions mesurables tal que X = Y µ-q.p.t.Demostreu que les mesures imatge de µ per X i per Y coincideixen.

2.7 Considereu un experiment aleatori en que se sorteja un nombre natural n amb proba-bilitat P (n) = 1

2n , ∀n = 1, 2, 3 . . . . Segons el nombre resultant, rebem una certaquantitat de diners, especificada per una funcio X(n).En l’espai de probabilitat convenient, X sera una variable aleatoria que ens donarael guany obtingut en una realitzacio del joc descrit. Com veurem mes endavant,l’esperanca E[X] representa, si existeix, el guany mitja que un pot esperar a la llarga sihi juga moltes vegades.Calculeu E[X] (si existeix!) en cadascun dels casos seguents:a) X(n) = n .b) X(n) = −2n .

c) X(n) = (−1)n+12n

n (en aquest cas paguem o cobrem segons el nombre sigui parell oimparell, respectivament).


2.8 Els classics teoremes de canvi de variable del Calcul d’Integrals son casos particularsdel Teorema de la Mesura Imatge. Considereu per exemple la situacio seguent:

RX−−−−→ R

g−−−−→ R

amb X de classe C1, estrictament creixent i bijectiva.Demostreu que

∫

R

(g X)(t) dt =

∫

R

g(x)(

X−1(x))′dx .

D’habitud, ens referim a aquesta formula dient que 〈〈 fem el canvi t = X−1(x) en∫

R

(g X)(t) dt 〉〉.

Idea: En vista del Teorema de la Mesura Imatge, es tracta de demostrar que, essent λ

la mesura de Lebesgue, es tedµX

dλ= (X−1)′ .

2.9 Siguin I =]a, b[ i J =]c, d[ dos intervals oberts de R (no necessariament acotats), isigui g: I −→ J un difeomorfisme de classe C1.Sigui X: Ω −→ R una variable aleatoria que pren valors en I (ImX ⊂ I), i la llei de laqual te una densitat fX respecte la mesura de Lebesgue.a) Demostreu que la variable aleatoria Y = g(X) tambe te una llei absolutamentcontınua respecte la mesura de Lebesgue i calculeu la seva densitat.b) Aplicacio: La funcio f(x) = 1

b−a1[a,b](x), on a < b, es la densitat d’una probabilitaten (R,B(R)) que s’anomena llei Uniforme en [a, b]. Sigui X una variable aleatoria ambaquesta llei. Calculeu E[X2] de dues maneres:

1) Usant nomes la llei de X.2) Calculant primer la llei de X2.

c) Aplicacio: La funcio f(x) = λe−λx1[0,+∞[(x), on λ ∈ ]0,+∞[, es la densitat d’unaprobabilitat en (R,B(R)) que s’anomena llei Exponencial de parametre λ. Sigui Xuna variable aleatoria amb aquesta llei. Calculeu l’esperanca i la variancia de Y = eX

obtenint primer la densitat de la llei de Y .

2.10 Espais Lp. Sigui (Ω,F, P ) un espai de probabilitat. Notem per L0 l’espai vectorialsobre R de totes les variables aleatories X: Ω −→ R. Per p > 1, sigui Lp el conjunt devariables aleatories que tenen moment d’ordre p finit.a) Comproveu que Lp es un subspai vectorial de L0. Idea: Useu |a+b|p 6 2p(|a|p+|b|p).b) Demostreu la Desigualtat de Holder:Si p, q > 1 estan relacionats per 1

p + 1q = 1, i X ∈ Lp i Y ∈ Lq, aleshores XY ∈ L1 i

∫

Ω

|XY | dP 6

(

∫

Ω

|X|p dP)1/p(

∫

Ω

|Y |q dP)1/q

.

c) Demostreu la Desigualtat de Minkowski:Si p > 1 i X,Y ∈ Lp, aleshores

(

∫

Ω

|X + Y |p dP)1/p

6

(

∫

Ω

|X|p dP)1/p

+(

∫

Ω

|Y |p dP)1/p

.

Idea: Useu la Desigualtat de Holder.d) Demostreu que 1 6 p 6 q ⇒ Lq ⊂ Lp. Idea: Useu la Desigualtat de Holder.e) En cada Lp, definim la relacio X ∼ Y ⇔ X = Y q.s. Comproveu que es una relaciod’equivalencia compatible amb l’estructura d’espai vectorial. Notem Lp := Lp

/∼ l’espaivectorial quocient.f) Per p > 1, definim en Lp la norma

||X||p :=(

∫

Ω

|X|p dP)1/p

.


Comproveu que efectivament es tracta d’una norma.g) Comproveu que una variable aleatoria acotada esta en tots els espais Lp.h) Lp es un espai metric amb la distancia

dp(X,Y ) = ||X − Y ||p .

Demostreu que es tracta d’un espai metric complet (i.e. tota successio de Cauchy esconvergent.)

2.11 Si µ i ν son dues mesures, aleshores una funcio mesurable X es integrable respecte µ+νsii es integrable respecte µ i respecte ν, i en cas afirmatiu es te

∫

Ω

X d(µ+ ν) =

∫

Ω

X dµ+

∫

Ω

X dν .

2.12 Sigui X una variable aleatoria amb funcio de distribucio F contınua.a) Demostreu que la variable Y = F (X) segueix la llei Unif([0, 1]) (uniforme en [0, 1]).Idea: Si F te inversa F−1, es facil. Si F no te inversa, es defineix la pseudo-inversa deF com

F (−1)(y) := supx:F (x) 6 y, y ∈ ]0, 1[ .

Comproveu que F (F (−1)(y)) = y, ∀y ∈ ]0, 1[, i per tant la demostracio es fa analogamental cas en que existeix inversa.b) El resultat de l’apartat a) es util per fer que un ordinador generi valors d’una variablealeatoria amb una llei determinada:La majoria de llenguatges de programacio incorporen una funcio que fa que l’ordinadorgeneri un valor en [0, 1] seguint la llei Unif([0, 1]) (com es fa aixo es una altra questio,gens trivial). Suposeu que teniu aquest generador de valors d’una variable Y ambllei Unif([0, 1]). Expliqueu com, usant l’apartat anterior, pot simular-se una variablealeatoria X amb llei exponencial de parametre λ.

2.13 Sigui (Ω,F, µ) un espai de mesura amb µ una mesura finita. Sigui Xnn∈N una successiode funcions Xn: Ω −→ R integrables respecte µ que convergeix uniformement a unafuncio X: Ω −→ R.Demostreu que X es integrable respecte a µ i

∫

Ω

X dµ = limn→∞

∫

Ω

Xn dµ .

Nota: Aixo s’anomena de vegades Teorema de la Convergencia Uniforme. Es l’unicteorema de convergencia que val en la Teoria de la Integral de Riemann.

2.14 Donat un espai mesurable (Ω,F), podem considerar el conjunt M de totes les mesuressobre aquest espai. Definim en M la relacio µ ∼ ν ⇔ (µ ν i ν µ).a) Demostreu que ∼ es una relacio d’equivalencia en M.

b) Demostreu que, per mesures µ i ν σ-finites, es te µ ∼ ν sii la densitat f =dµ

dνcompleix f > 0 ν-q.s.

Producte d’espais de mesura Materials 75

3. Producte d’espais de mesura

3.1 Producte d’espais mesurables

3.1.1 Definicio

Sigui (Ωi,Fi)i∈I una famılia arbitraria d’espais mesurables.

Sigui Ω := ×i∈I

Ωi (producte cartesia de la famılia Ωii∈I .)

Siguin πi: Ω −→ Ωi, i ∈ I, les projeccions de Ω sobre els seus factors.

S’anomena σ-algebra producte de Fii∈I la σ-algebra de P(Ω) generada per πii∈I . Lanotarem F = ⊗

i∈IFi. (Observeu l’analogia amb la definicio de topologia producte, que es

la mınima topologia que fa contınues les projeccions.)

Equivalentment, ⊗i∈I

Fi = σ<π−1i (Ai) : Ai ∈ Fi, i ∈ I>. Un conjunt de la forma

π−1i (Ai) es un cilindre de base Ai.

(Ω,F) es l’espai mesurable producte de (Ωi,Fi)i∈I .

3.1.2 Observacio

En la situacio de la definicio anterior, si (E,E) es un altre espai mesurable, aleshoresX:E −→ Ω es mesurable sii ∀i ∈ I, πi X:E −→ Ωi es mesurable. Es consequenciadirecta de la Proposicio 2.1.6.

La definicio anterior es molt general, pero nomes ens interessara el cas en que lafamılia d’espais mesurables es finita. En tal situacio, la σ-algebra producte es pot definird’una altra manera equivalent, en termes de “rectangles” en lloc de “cilindres”.

3.1.3 Definicio

Sigui (Ω,F) l’espai mesurable producte de la famılia finita (Ωi,Fi)ni=1 .

S’anomena rectangle mesurable tot subconjunt de Ω de la forma A1×· · ·×An (productecartesia), amb Ai ∈ Fi.

3.1.4 Observacio

La σ-algebra generada pels rectangles coincideix amb la generada pels cilindres. Aixo esimmediat del fet que tot cilindre es un rectangle mesurable,

π−1i (Ai) = Ω1 × · · · × Ωi−1 ×Ai × Ωi+1 × · · · × Ωn ,


i tot rectangle es interseccio finita de cilindres,

A1 × · · · ×An =n∩

i=1π−1

i (Ai) .

3.1.5 Exercici

La col.leccio dels rectangles mesurables es una semialgebra. Es demostra igual que en elcas dels intervals de Rn (vegeu el Problema 1.10).

3.1.6 Proposicio

Sigui (Ω,F) l’espai mesurable producte de (Ω1,F1) i (Ω2,F2).

Sigui (E,E) un espai mesurable.

Sigui X: Ω −→ E una funcio mesurable.

Aleshores, per a cada ω1 ∈ Ω1, la funcio parcial

Ω2X(ω1, ·)−−−−−−−−−−−−→E

ω2 7−−−−−−−−→X(ω1, ω2)

es mesurable.

Demostracio: Gracies a l’Observacio 3.1.2, la injeccio

Ω2iω1−−−−−→Ω1 × Ω2

ω2 7−−−−−→ (ω1, ω2)

es mesurable, perque composta amb cadascuna de les projeccions dona lloc a una funciomesurable (obtenim la identitat o be una funcio constant).

X(ω1, ·) es la composicio de mesurables X iω1, i per tant es mesurable.

L’enunciat val tambe, es clar, per l’altre funcio parcial X(·, ω2): Ω1 −→ E, i per unproducte finit qualsevol d’espais mesurables.

3.2 Producte finit d’espais de mesura

Volem construir mesures en un espai mesurable producte (finit) a partir de mesures en elsespais factors. De fet, ho farem per dos espais. Aplicant iterativament el procediment esfa la construccio sobre un producte finit qualsevol (Observacio 3.2.4, 3), mes endavant).L’eina basica es el concepte que definim tot seguit.

3.2.1 Definicio

Una mesura de transicio d’un espai mesurable (Ω1,F1) en un altre espai mesurable(Ω2,F2) es una aplicacio

τ : Ω1 × F2 −−−−→ [0,+∞]

tal que

1) ∀ω1 ∈ Ω1, τ(ω1, ·):F2 −→ [0,+∞] es una mesura en (Ω2,F2).

2) ∀A2 ∈ F2, τ(·, A2): Ω1 −→ [0,+∞] es mesurable.


Quan la imatge de la funcio τ es [0, 1], diem que es una probabilitat de transicio.

Les probabilitats de transicio modelen la situacio seguent: Si Ω1 i Ω2 son els conjuntsde resultats de dos experiments aleatoris, τ(ω1, A2) representa la probabilitat que esprodueixi A2 en el segon experiment sabent que ω1 es el resultat del primer.

Un cas particular important es aquell en que τ(·, A2) es una constant τ(A2), per acada A2 ∈ F2. Aleshores

τ : F2 −−−−−→ [0, 1]

A2 7−−−−→ τ(A2)

es una probabilitat en (Ω2,F2). Aixo vol dir que el segon experiment no esta influıt pelresultat del primer. Podem dir que son “experiments independents”. Precisarem mesendavant el concepte d’independencia, que es fonamental.

3.2.2 Definicio

Una famılia de mesures µii∈I en un espai mesurable (Ω,F) es uniformement σ-finita

sii existeix una descomposicio Ω =∞∪

n=1Bn, amb Bn ∈ F, i constants Kn ∈ R tals que

∀n ∈ N, ∀i ∈ I, µi(Bn) 6 Kn .

3.2.3 Teorema de la Mesura Producte

Sigui (Ω1,F1, µ) un espai de mesura, amb µ σ-finita.

Sigui (Ω2,F2) un espai mesurable.

Sigui τ : Ω1 × F2 −→ [0,+∞] una mesura de transicio tal que la famılia de mesuresτ(ω1, ·)ω1∈Ω1

es uniformement σ-finita.

Aleshores:

1) Existeix una unica mesura ν en (Ω1 × Ω2,F1 ⊗ F2) tal que

ν(A1 ×A2) =

∫

A1

τ(ω1, A2)µ(dω1) . (3.2.1)

2) Si X: Ω1 × Ω2 −→ R es una funcio (F1 ⊗ F2,B(R))-mesurable i la integral de Xrespecte ν existeix, aleshores:La funcio

Ω1 −−−−−−−−−−−−−→ R

ω1 7−−−−→∫

Ω2

X(ω1, ω2) τ(ω1, dω2)

esta ben definida µ-q.p.t. ω1 ∈ Ω1, es mesurable (definida com a zero, per exemple,alla on la integral no existeixi), la seva integral respecte µ existeix i

∫

Ω1×Ω2

X dν =

∫

Ω1

(

∫

Ω2

X(ω1, ω2) τ(ω1, dω2))

µ(dω1) . (3.2.2)


Demostracio:1) Veurem que ν definida per (3.2.1) es una funcio de conjunt positiva σ-additiva i σ-finita sobre la semialgebra dels rectangles mesurables. Pels resultats de l’Apartat 1.2,ν determinara una unica mesura en la σ-algebra generada pels rectangles, es a dir, enF1 ⊗ F2.La positivitat es evident. Vegem que ν es σ-finita:

Sigui B``∈N ⊂ F1 tal que Ω1 =∞∪

`=1B` i µ(B`) < +∞.

Sigui Cmm∈N ⊂ F2 tal que Ω2 =∞∪

m=1Cm i τ(·, Cm) 6 Km < +∞.

Llavors, Ω1 × Ω2 =∞∪

`,m=1B` × Cm i

ν(B` × Cm) =

∫

B`

τ(ω1, Cm)µ(dω1) 6

∫

B`

Km µ(dω1) = Kmµ(B`) < +∞ .

Vegem finalment que ν es σ-additiva: Sigui A1 × A2 =∞]

n=1An

1 × An2 , amb An

1 ∈ F1 i

An2 ∈ F2.

∞∑

n=1

ν(An1 ×An

2 ) =

∞∑

n=1

∫

Ω1

1An1(ω1)τ(ω1, A

n2 )µ(dω1)

(1)=

∞∑

n=1

∫

Ω1

1An1(ω1)

∫

Ω2

1An2(ω2) τ(ω1, dω2)µ(dω1)

=

∞∑

n=1

∫

Ω1

∫

Ω2

1An1 ×An

2(ω1, ω2) τ(ω1, dω2)µ(dω1)

(2)=

∫

Ω1

∫

Ω2

1A1×A2(ω1, ω2) τ(ω1, dω2)µ(dω1)

(1)=

∫

Ω1

1A1(ω1) τ(ω1, A2)µ(dω1) = ν(A1 ×A2) .

(1) Definicio de τ .(2) Pel Teorema de la Convergencia Monotona (dues vegades). Nomes cal pensar la

serie com a lımit de sumes parcials.

2) Usem el camı habitual indicadors → elementals → positives → arbitraries.

a) Indicadors: X(ω1, ω2) = 1A(ω1, ω2).Farem un argument de “bons conjunts”. Definim

C =

A ∈ F1 ⊗ F2 :

ω1 7−→∫

Ω2

1A(ω1, ω2) τ(ω1, dω2) esta ben definida µ-q.p.t. i es mesurable,

ν(A) =

∫

Ω1

(

∫

Ω2

1A(ω1, ω2) τ(ω1, dω2))

µ(dω1)

.

Volem veure que C = F1 ⊗ F2.

i) C conte la semialgebra S dels rectangles mesurables:Sigui A = A1 × A2. L’existencia, ∀ω1, de la integral sobre Ω2, es obvia perquel’integrand es positiu. La funcio es igual a 1A1

(ω1)τ(ω1, A2), producte de duesfuncions mesurables, i doncs mesurable. Finalment,

ν(A1 ×A2) =

∫

Ω1

1A1(ω1)τ(ω1, A2)µ(dω1)

=

∫

Ω1

(

∫

Ω2

1A1(ω1)1A2

(ω2) τ(ω1, dω2))

µ(dω1)

=

∫

Ω1

(

∫

Ω2

1A1×A2(ω1, ω2) τ(ω1, dω2)

)

µ(dω1) .


ii) C conte l’algebra a(S):

Sigui A =n]

k=1Ak

1 ×Ak2 , amb Ak

1 ∈ F1, Ak2 ∈ F2.

La funcio ω1 7−→∫

Ω2

1A(ω1, ω2) τ(ω1, dω2) es suma de les funcions ω1 7−→∫

Ω2

1Ak1×Ak

2(ω1, ω2) τ(ω1, dω2), que son mesurables per i).

ν(A) =

n∑

k=1

ν(Ak1 ×Ak

2)

=

n∑

k=1

∫

Ω1

(

∫

Ω2

1Ak1×Ak

2(ω1, ω2) τ(ω1, dω2)

)

µ(dω1)

=

∫

Ω1

(

∫

Ω2

1A(ω1, ω2) τ(ω1, dω2))

µ(dω1) .

iii) C es classe monotona:

(En el cas en que τ(ω1, ·) i µ son mesures finites, el que segueix queda conside-

rablement simplificat. Es recomana escriure la demostracio en aquest cas.)

Siguin B``∈N i Cmm∈N com en 1).

Definim

µ`(A1) := µ(A1 ∩B`) , A1 ∈ F1

τm(ω1, A2) := τ(ω1, A2 ∩ Cm) , A2 ∈ F2 .

Es comprova immediatament que µ` son mesures finites sobre F1, que τm son

mesures de transicio de (Ω1,F1) en (Ω2,F2) complint τm(ω1,Ω2) 6 Km, ∀ω1, i

que

µ =∞∑

`=1

µ` i τ(ω1, ·) =∞∑

m=1

τm(ω1, ·) .

Sigui ν`,m la mesura construıda com en 1) partint de τm i µ`. Es te que ν`,m es

finita i que∞∑

m=1

∞∑

`=1

ν`,m = ν

(es suficient comprovar la igualtat sobre rectangles mesurables; cal usar una

versio del problema 2.11 per a sumes infinites de mesures i integrand positiu;

es deixa com a exercici al lector).

Sigui Ann∈N una successio monotona d’elements de C. Sigui A = limn→∞

An.

Aplicant el Teorema de la Convergencia Dominada (la funcio identicament igual

a 1 domina), la successio de funcions

ω1 7−→∫

Ω2

1An(ω1, ω2) τm(ω1, dω2) (3.2.3)

convergeix a

ω1 7−→∫

Ω2

1A(ω1, ω2) τm(ω1, dω2)

Com que les funcions (3.2.3) son mesurables, el seu lımit tambe ho es.


Finalment,

ν(A) =

∞∑

m=1

∞∑

`=1

ν`,m(A)(1)=

∞∑

m=1

∞∑

`=1

limn→∞

ν`,m(An)

=

∞∑

m=1

∞∑

`=1

limn→∞

∫

Ω1

(

∫

Ω2

1An(ω1, ω2)τm(ω1, dω2)

)

µ`(dω1)

(2)=

∞∑

m=1

∞∑

`=1

∫

Ω1

(

∫

Ω2

1A(ω1, ω2)τm(ω1, dω2))

µ`(dω1)

=

∞∑

m=1

∫

Ω1

(

∫

Ω2

1A(ω1, ω2)τm(ω1, dω2))

µ(dω1)

(3)=

∫

Ω1

∞∑

m=1

(

∫

Ω2

1A(ω1, ω2)τm(ω1, dω2))

µ(dω1)

=

∫

Ω1

(

∫

Ω2

1A(ω1, ω2)τ(ω1, dω2))

µ(dω1) .

(1) Per la continuıtat de les mesures finites sobre successions monotones.(2) Apliquem dues vegades el Teorema de la Convergencia Dominada.(3) Apliquem el Teorema de la Convergencia Monotona.

iv) C = F1 ⊗ F2 :Es consequencia de ii), iii), i el Teorema de les Classes Monotones.

b) Elementals positives:Nomes cal aplicar que la suma de funcions mesurables es mesurable i la integral dela suma es la suma d’integrals, tenint en compte que totes les funcions involucradesson positives.

c) Mesurables positives:Sigui X = lim

n→∞Xn, on Xnn∈N es una successio creixent de funcions elementals

positives. Per definicio,∫

Ω2

X(ω1, ω2) τ(ω1, dω2) = limn→∞

∫

Ω2

Xn(ω1, ω2) τ(ω1, dω2) . (3.2.4)

La funcio

ω1 7−→∫

Ω2

X(ω1, ω2) τ(ω1, dω2)

es doncs mesurable pel fet de ser lımit de mesurables.∫

Ω1×Ω2

X dν = limn→∞

∫

Ω1×Ω2

Xn dν(1)= lim

n→∞

∫

Ω1

(

∫

Ω2

Xn(ω1, ω2) τ(ω1, dω2))

µ(dω1)

(2)=

∫

Ω1

(

∫

Ω2

X(ω1, ω2) τ(ω1, dω2))

µ(dω1) .

(1) Per b).(2) Apliquem el Teorema de la Convergencia Monotona dues vegades. La successio

d’integrals de (3.2.4) es creixent i positiva.

d) Mesurables arbitraries:

Suposem que

∫

Ω1×Ω2

X− dν < +∞. El resultat de c) aplicat a X− implica

µ(

ω1 ∈ Ω1 :

∫

Ω2

X−(ω1, ω2) τ(ω1, dω2) = +∞)

= 0 ,


i per tant, la funcio

ω1 7−→∫

Ω2

X(ω1, ω2) τ(ω1, dω2)

=

∫

Ω2

X+(ω1, ω2) τ(ω1, dω2) −∫

Ω2

X−(ω1, ω2) τ(ω1, dω2)

esta ben definida µ-q.p.t. ω1 ∈ Ω1. Finalment, obtenim∫

Ω1×Ω2

X dν =

∫

Ω1×Ω2

X+ dν −∫

Ω1×Ω2

X− dν

(1)=

∫

Ω1

(

∫

Ω2

X(ω1, ω2) τ(ω1, dω2))

µ(dω1) .

Es fa analogament si suposem

∫

Ω1×Ω2

X+ dν < +∞ .

(1) Per c).

3.2.4 Observacions

1) El Teorema parteix de l’existencia de la integral de X respecte ν. Es natural pre-guntar si el calcul de les integrals iterades de (3.2.2), suposant que tingui sentit, ensdiu alguna cosa sobre l’existencia del primer membre de (3.2.2) i la igualtat. Enprincipi, la resposta es no; pero sı que la igualtat es certa si

∫

Ω1

(

∫

Ω2

|X(ω1, ω2)| τ(ω1, dω2))

µ(dω1) < +∞

(vegeu el Problema 3.7).

2) En el cas particular en que la mesura de transicio no depen de ω1 ( i aleshores τ essimplement una mesura σ-finita en (Ω2,F2)), la formula (3.2.2) queda

∫

Ω1×Ω2

X dν =

∫

Ω1

∫

Ω2

X(ω1, ω2) τ(dω2)µ(dω1) ,

i es coneguda com a Teorema de Fubini. El classic Teorema de Fubini en R2, on µ iτ coincideixen amb la mesura de Lebesgue, n’es un cas particular.El Teorema de la Mesura Producte tambe es cert, naturalment, partint d’una mesuraτ en (Ω2,F2) i una mesura de transicio µ de (Ω2,F2) en (Ω1,F1), obtenint-se laformula

∫

Ω1×Ω2

X dν =

∫

Ω2

(

∫

Ω1

X(ω1, ω2)µ(dω1, ω2))

τ(dω2) ,

Per tant, si µ es una mesura en (Ω1,F1) i τ una mesura en (Ω2,F2)), i sota leshipotesis del teorema, hom te la formula d’intercanvi de l’ordre d’integracio

∫

Ω1

∫

Ω2

X(ω1, ω2) τ(dω2)µ(dω1) =

∫

Ω2

∫

Ω1

X(ω1, ω2)µ(dω1) τ(dω2) .

3) El Teorema de la Mesura Producte es generalitza facilment al cas d’un producte ambmes de dos factors. Nomes cal identificar Ω1×· · ·×Ωn = (Ω1×· · ·×Ωn−1)×Ωn, ambla qual cosa queden identificades les σ-algebres F1⊗· · ·⊗Fn i (F1⊗· · ·⊗Fn−1)⊗Fn,i procedir iterativament: a partir d’una mesura en (Ω1,F1) i una mesura de transicioτ2 es construeix una mesura ν2 en (Ω1 ×Ω2,F1 ⊗ F2); amb una mesura de transicioτ3 d’aquest ultim espai mesurable en (Ω3,F3) s’obte una mesura en el producte delstres espais, i aixı successivament. La formula (3.2.2) pel cas de tres factors seria∫

Ω1×Ω2×Ω3

X dν3 =

∫

Ω1

∫

Ω2

∫

Ω3

X(ω1, ω2, ω3) τ3(ω1, ω2, dω3) τ2(ω1, dω2)µ(dω1) .


3.2.5 DefinicioEn el cas en que τ es una mesura en el segon espai (Ω2,F2), aleshores la mesura ν en elproducte (Ω1×Ω2,F1⊗F2) s’anomena la mesura producte de µ i τ , i s’escriu ν = µ×τ .

Observeu que la nomenclatura es una mica incoherent: el Teorema 3.2.3 s’hauriad’anomenar mes propiament “Teorema de la Mesura a l’Espai Producte”, ja que nomesdona lloc a l’anomenada “mesura producte” en un cas particular.

3.3 Independencia

El concepte d’independencia ocupa un lloc central en la Teoria de la Probabilitat. Escaracterıstic dels espais de probabilitat; no te extensio a mesures generals.

3.3.1 DefinicioSigui (Ω,F, P ) un espai de probabilitat.Dos esdeveniments A,B son independents sii

P (A ∩B) = P (A) · P (B) .

Mes en general, una famılia arbitraria d’esdeveniments Aii∈I es independent sii ∀J ⊂ I,J finit, es te

P(

∩j∈J

Aj

)

=∏

j∈J

P (Aj)

La independencia d’una famılia d’esdeveniments no es equivalent al fet que els seuselements siguin independents dos a dos (vegeu el Problema 3.1).

3.3.2 DefinicioSigui Cii∈I , Ci ⊂ F, una famılia de col.leccions d’esdeveniments.Diem que Cii∈I es independent sii tota famılia d’esdeveniments Aii∈I , amb Ai ∈ Ci,∀i ∈ I, es independent.

3.3.3 DefinicioSigui Xi: Ω −→ Ri∈I una famılia de variables aleatories.Diem que Xii∈I es independent sii la famılia de σ-algebres σ<Xi>i∈I es indepen-dent.

3.3.4 ObservacioAnant enrera en les tres definicions anteriors, podem posar el concepte d’independenciade variables aleatories en termes d’independencia d’esdeveniments:Xii∈I es independent sii per a tot subconjunt finit i1, . . . , in ⊂ I, i per a totsB1, . . . , Bn ∈ B(R), es compleix

P (Xi1 ∈ B1, . . . , Xin∈ Bn) = P (Xi1 ∈ B1) · . . . · P (Xin

∈ Bn) . (3.3.1)

L’expressio a l’esquerra de la igualtat (3.3.1) es la manera habitual abreviada d’escriure

P (Xi1 ∈ B1 ∩ · · · ∩ Xin∈ Bn)

en aquest context. Una altra forma equivalent es

P ((Xi1 , . . . , Xin) ∈ B1 × · · · ×Bn)


Generalitzant la definicio 3.3.3:

3.3.5 DefinicioSigui (Ei,Ei)i∈I una famılia d’espais mesurables.Per a cada i ∈ I, sigui Xi: Ω −→ Ei una variable aleatoria Ei-valuada.Diem que Xii∈I es independent sii σ<Xi>i∈I es una famılia de σ-algebres indepen-dents.

Per abus de llenguatge, es parla d’esdeveniments, col.leccions d’esdeveniments i vari-ables aleatories independents, en lloc de famılies independents d’esdeveniments, etc. Calno confondre-ho amb la independencia dos a dos.

Es defineix la llei i la funcio de distribucio d’un vector aleatori de manera similar alcas de les variables aleatories reals.

3.3.6 DefinicionsSigui (Ω,F, P ) un espai de probabilitat.Sigui X: Ω −→ Rn un vector aleatori, X = (X1, . . . , Xn).La mesura imatge de P per X es una probabilitat PX en (Rn,B(Rn)) que s’anomena lleide X (o llei conjunta de X1, . . . , Xn).En aquest context, la llei de Xi es diu que es la llei marginal de Xi en X = (X1, . . . , Xn).Analogament al cas X: Ω −→ R, si P (X ∈ −∞,+∞n) = 0, la llei es pot considerarcom una probabilitat en (Rn,B(Rn)) i es pot definir la funcio de distribucio FX de X(o funcio de distribucio conjunta de X1, . . . , Xn):Si x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn,

FX(x) := PX(]−∞, x]) = P (X1 6 x1, . . . , Xn 6 xn) .

Com en el cas real, la funcio de distribucio determina la llei de X. No ho demostrarem.

3.3.7 ObservacioLa llei conjunta de X1, . . . , Xn determina les lleis marginals. En efecte,

P (Xi ∈ B) = P (X1 ∈ R, . . . , Xi−1 ∈ R, Xi ∈ B,Xi+1 ∈ R, . . . , Xn ∈ R) .

Quan te sentit parlar de funcions de distribucio, la funcio de distribucio d’una llei mar-ginal es determina immediatament a partir de la conjunta:

FXi(xi) = P (Xi 6 xi)

= P (X1 ∈ R, . . . , Xi−1 ∈ R, Xi 6 xi, Xi+1 ∈ R, . . . , Xn ∈ R)(1)= lim

xj→∞j 6=i

P (X1 6 x1, . . . , Xi−1 6 xi−1, Xi 6 xi, Xi+1 6 xi+1, . . . , Xn 6 xn)

= limxj→∞

j 6=i

FX(x1, . . . , xn) .

En canvi, les lleis marginals no determinen la llei conjunta.(1) Aplicant la propietat de continuıtat de les mesures per successions creixents.

3.3.8 ExerciciSi PX µ1 ×· · ·×µn (una mesura producte en (Rn,B(Rn)) amb densitat fX , aleshorescada Xi te densitat

fXi(xi) =

∫

Rn−1

fX(x1, . . . , xn)µ1(dx1) · · ·µi−1(dxi−1)µi+1(dxi+1) · · ·µn(dxn)

respecte µi (vegeu el Problema 3.8).


3.3.9 Proposicio

Siguin Xi: Ω −→ R, i = 1, . . . , n, variables aleatories amb lleis PXi.

Aleshores:

1) X1, . . . , Xn son independents sii la llei del vector X = (X1, . . . , Xn) es producte deles lleis marginals:

PX = PX1× · · · × PXn

.

2) X1, . . . , Xn son independents sii FX(x1, . . . , xn) = FX1(x1) · . . . · FXn

(xn), suposantque tingui sentit parlar de funcions de distribucio (vegeu les Definicions 3.3.6).

Demostracio:

1) Siguin B1, . . . , Bn ∈ B(R).

⇒)

PX(B1 × · · · ×Bn) = P (X1 ∈ B1, . . . , Xn ∈ Bn)= P (X1 ∈ B1) · . . . · P (Xn ∈ Bn)= PX1

(B1) · . . . · PXn(Bn) .

⇐)

P (Xi1 ∈ Bi1 , . . . , Xim∈ Bim

)= P (Xi1 ∈ Bi1 , . . . , Xim

∈ Bim;Xj ∈ R,∀j 6= i1, . . . , im)

= P (Xi1 ∈ Bi1) · . . . · P (Xim∈ Bim

) .

2) La funcio de distribucio de la probabilitat producte de PX1, . . . , PXn

es

(

PX1× · · · × PXn

)

(]−∞, x]) = PX1(]−∞, x1]) · . . . · PXn

(]−∞, xn])

= FX1(x1) · . . . · FXn

(xn) .

Aquesta funcio de distribucio es igual a la de PX sii X1, . . . , Xn son independents, per1).

Les propietats de la Proposicio 3.3.9 son caracteritzacions (condicions necessaries isuficients) de la independencia. A la proposicio seguent s’enuncien condicions que sonnecessaries, pero no suficients.

3.3.10 Proposicio

1) Siguin (Ei,Ei)i∈I i (Gi,Gi)i∈I dues famılies d’espais mesurables.Sigui Xii∈I una famılia independent de variables aleatories Xi: Ω −→ Ei, i gii∈I

una famılia de funcions mesurables gi:Ei −→ Gi.Aleshores giXii∈I es una famılia independent de variables aleatories giXi: Ω −→Gi.

2) Siguin X1, . . . , Xn variables aleatories independents amb esperanca finita (o sigui,integrables).Aleshores, X1 · . . . ·Xn te esperanca finita i

E[X1 · . . . ·Xn] = E[X1] · . . . · E[Xn] .

3) Siguin X1, . . . , Xn variables aleatories independents amb esperanca finita.Aleshores,

Var[X1 + · · · +Xn] = Var[X1] + · · · + Var[Xn] .


Demostracio:

1) De la igualtat(

gi Xi

)−1(B) = X−1

i

(

g−1i (B)

)

, resulta que

σ<gi Xi> ⊂ σ<Xi> , ∀i ∈ I .

I es clar que si tenim una famılia de σ-algebres independents, agafant sub-σ-algebres decadascuna obtindrem tambe una famılia independent.

2)

i) Cas preliminar: Suposem que X1, . . . , Xn son positives.Posem X = (X1, . . . , Xn).

E[X1 · . . . ·Xn](1)=

∫

Rn

x1 · . . . · xn PX

(

d(x1, . . . , xn))

(2)=

∫

Rn

x1 · . . . · xn PX1× · · · × PXn

(

d(x1, . . . , xn))

(3)=

(

∫

R

x1 PX1(dx1)

)

· . . . ·(

∫

R

xn PXn(dxn)

)

= E[X1] · . . . · E[Xn] .

(1) L’esperanca del producte existeix per la positivitat. Pero no cal utilitzar-hoen aquest moment, perque segons l’Observacio 2.5.7 podem escriure aquestaigualtat en tot cas.

(2) Per la Proposicio 3.3.9, 1).(3) L’integrand es positiu quasi segur respecte la mesura que integra. Per tant la

integral existeix i podem aplicar el Teorema de la Mesura Producte (de fet, elTeorema de Fubini, vegeu l’Observacio 3.2.4, 2).

ii) Cas general:

E[|X1 · . . . ·Xn|] (1)= E[|X1|] · . . . · E[|Xn|] < +∞ ,

i per tant X1 · . . . ·Xn te esperanca finita i val tambe el calcul anterior.(1) Pel cas preliminar i). De pas, observem que en el cas de variables positives no

es necessaria la hipotesi d’integrabilitat.

3)

Var[X1 + · · · +Xn](1)= E

[(

X1 + · · · +Xn − E[X1 + · · · +Xn])2]

= E[(

n∑

i=1

Xi − E[Xi])2]

= E[

n∑

i=1

(

Xi − E[Xi])2

]

+ E[

n∑

i,j=1i6=j

(

Xi − E[Xi])(

Xj − E[Xj ])

]

(2)=

n∑

i=1

Var[Xi] .

(1) La hipotesi d’integrabilitat assegura que l’expressio sota l’esperanca te sentit, i pertant la variancia de la suma esta definida.

(2) Apliquem aquı la hipotesi d’independencia i 1) i 2).


3.4 Probabilitat condicionada

3.4.1 DefinicioSigui (Ω,F, P ) un espai de probabilitat.Siguin A,B ∈ F amb P (B) > 0.La probabilitat de A condicionada a B es

P(

A/B)

:=P (A ∩B)

P (B)

Es comprova facilment que la funcio de conjunt P(·/B

)

:F −→ [0, 1] es una probabi-litat. La probabilitat condicionada te la interpretacio seguent: quan tenim la informacioaddicional que un cert esdeveniment B s’ha realitzat (es a dir, que ω ∈ B), cal modificarconvenientment el model inicial que havıem construıt. Per exemple, B ha de passar atenir probabilitat 1.

3.4.2 ObservacioEn la situacio de la Definicio 3.4.1, A i B son esdeveniments independents sii P

(

A/B)

=P (A). Intuıtivament, aquesta igualtat vol dir que la informacio que s’ha realitzat B noaporta res de nou sobre A.Aquesta podria ser la definicio d’independencia. L’avantatge de fer la Definicio 3.3.1 esque no cal demanar P (B) > 0.

3.4.3 Exercicis (Formules del Calcul de Probabilitats Elemental)Les formules classiques seguents es demostren molt facilment a partir de la definicio deprobabilitat condicionada.

1) Formula de les probabilitats compostes.Siguin A1, . . . , An ∈ F amb P (A1 ∩ · · · ∩An−1) > 0.Aleshores:

P (A1 ∩ · · · ∩An) =P(

An/A1 ∩ · · · ∩An−1

)

· P(

An−1/A1 ∩ · · · ∩An−2

)

· . . .. . . · P

(

A3/A1 ∩A2

)

· P(

A2/A1

)

· P (A1) .

2) Formula de les probabilitats totals.Sigui A1, . . . , An una particio de Ω, amb Ai ∈ F i P (Ai) > 0, ∀i.Aleshores:

∀A ∈ F, P (A) =

n∑

i=1

P(

A/Ai

)

P (Ai) .

3) Formula d’inversio de les condicions.Siguin A,B ∈ F, amb P (A) > 0, P (B) > 0.Aleshores:

P(

A/B)

= P(

B/A)

· P (A)

P (B).

4) Formula de Bayes.Sigui A1, . . . , An una particio de Ω, amb Ai ∈ F i P (Ai) > 0, ∀i.Sigui B ∈ F, amb P (B) > 0.Aleshores:

P(

Ai/B)

=P

(

B/Ai

)

P (Ai)n∑

k=1

P(

B/Ak

)

P (Ak), ∀i


Volem estendre la definicio de probabilitat condicionada per tal de poder condicionarper esdeveniments de probabilitat zero. Aixo no te res d’estrany o patologic; al contrari,cal considerar aquest tipus de condicionament en molts models probabilıstics habituals.

3.4.4 DefinicioSiguin X,Y : Ω −→ R variables aleatories.S’anomena llei de Y condicionada per X a tota probabilitat de transicio p de (R,B(R))en (R,B(R)) que compleixi

P (X ∈ A, Y ∈ B) =

∫

A

p(x,B)PX(dx) , ∀A,B ∈ B(R) .

3.4.5 NotacioDe vegades s’escriu p(x,B) =: P

Y ∈ B/X = x

. Aquesta notacio es consistent amb laintroduıda a la Definicio 3.4.1:Si P (X = x) > 0,

P (X = x, Y ∈ B) =

∫

xp(y,B)PX(dy) = p(x,B)P (X = x)

⇒ P (x,B) =P (X = x, Y ∈ B)

P (X = x)

No es immediat que existeixin sempre lleis condicionades. Es cert, pero no ho de-mostrarem. Concretament, es te la proposicio seguent.

3.4.6 ProposicioDonades dues variables aleatories X,Y : Ω −→ R, sempre existeix una llei de Y condici-onada per X.Si p es una d’elles, aleshores p′ tambe ho es sii per a cada B ∈ B(R), p(x,B) = p′(x,B)quasi segur en x respecte PX .

3.4.7 ExemplesVegem uns quants casos particulars de la situacio anterior.

1) X,Y independents.Sabem que

P (X ∈ A, Y ∈ B) = P (X ∈ A)P (Y ∈ B) =

∫

A

PY (B)PX(dx) .

Com a llei de Y condicionada per X podem prendre p(x,B) ≡ PY (B), es a dir, lapropia llei de Y .

2) Llei de X discreta.

Sigui PX =∞∑

i=1

pi · δai, amb pi > 0.

Sigui com sigui Y , podem prendre

p(x,B) :=

P (X = x, Y ∈ B)P (X = x) , si x = ai, per algun i,

Q(B), si x 6= ai, per a tot i,

on Q es qualsevol probabilitat.Comprovacio:

P (X ∈ A, Y ∈ B) =∑

ai∈A

P (X = ai, Y ∈ B)

(1)=

∑

ai∈A

p(ai, B)P (X = ai) =

∫

A

p(x,B)PX(dx) .

(1) Usant la definicio proposada de p(x,B).


3) (X,Y ) vector absolutament continu respecte la mesura de Lebesgue en R2, ambfuncio de densitat fXY .

Sigui fX(x) =

∫

R

fXY (x, y) dy (densitat de la llei marginal; vegeu l’Exercici 3.3.8.)

Podem prendre

p(x,B) :=

∫

B

fXY (x, y)

fX(x)dy, si fX(x) 6= 0,

Q(B), si fX(x) = 0,

on Q es qualsevol probabilitat.Comprovacio:

P (X ∈ A, Y ∈ B) =

∫

A×B

fXY (x, y) dx dy

(1)=

∫

A

∫

B

fXY (x, y) · 1fX(x)6=0 dy dx

+

∫

A

∫

B

fXY (x, y) · 1fX(x)=0 dy dx

(2)=

∫

A

∫

B

fX(x)fXY (x, y)

fX(x)· 1fX(x)6=0 dy dx

(3)=

∫

A

p(x,B)fX(x) dx .

(1) Apliquem el Teorema de Fubini.(2) La segona integral es mes petita o igual que

∫

A

1fX(x)=0

∫

R

fXY (x, y) dy dx =

∫

A

1fX(x)=0fX(x) dx = 0 .

(3) Apliquem la formula proposada de p(x,B). Despres, l’indicador es pot suprimirperque, fora del conjunt que indica, l’integrand es zero.

Observem que per a tot x tal que fX(x) 6= 0, la probabilitat p(x, ·) es absolutament

contınua amb densitatfXY (x, y)

fX(x). S’anomena densitat condicionada de Y perX = x.

S’escriu

fY|X=x(y) :=

fXY (x, y)

fX(x).

3.4.8 DefinicioSiguin X,Y : Ω −→ R variables aleatories.Sigui p una llei de Y condicionada per X.Sigui g:R −→ R tal que existeix la integral de g respecte p(x, ·).Es defineix

E[

g(Y )/X = x]

:=

∫

R

g(y) p(x, dy) ,

que s’anomena esperanca condicionada de g(Y ) per X = x.

3.4.9 ObservacioAquesta definicio te alguns punts delicats i no es del tot precisa. El problema es que hemescollit una llei de Y condicionada per X. Que passa si n’escollim una altra?Nomes sabem que si p i p′ son dues lleis condicionades, aleshores, per a cada B fixat,p(x,B) coincideix amb p′(x,B) excepte potser en un conjunt de probabilitat zero respecte


la llei de X (Proposicio 3.4.6). Per tant, per un valor de x determinat les probabilitatsp(x, ·) i p′(x, ·) poden ser completament diferents i el nombre real “esperanca condicionadade g(Y ) per X = x” no esta ben definit.Es millor que deixem x variable, demanem que existeixi la integral de g respecte p(x, ·),PX -q.p.t. x, i pensem en la funcio

x 7−→ E[

g(Y )/X = x]

.

Veurem que aquesta funcio esta ben definida excepte conjunts de probabilitat PX zero(Proposicio 3.4.10). En el llenguatge de l’Apartat 2.6, es un element de L0(R,B(R), PX).

3.4.10 ProposicioSiguin X,Y : Ω −→ R variables aleatories.Siguin p i p′ dues lleis de Y condicionades per X.Sigui g:R −→ R tal que existeix la integral de g respecte p(x, ·), PX-q.p.t. x.Aleshores, existeix la integral de g respecte p′(x, ·), PX-q.p.t. x, i

∫

R

g(y) p(x, dy) =

∫

R

g(y) p′(x, dy) , PX-q.s.

Demostracio:1) Indicadors: Si g = 1B , hem de veure que p(x,B) = p′(x,B) q.s., i aixo ja sabem quees cert (Proposicio 3.4.6).

2) Elementals: Si g =n∑

i=1

ai ·1Bi, sabem pel cas anterior que p(x,Bi) = p′(x,Bi) excepte

en un conjunt Ni de probabilitat zero, i per tant

n∑

i=1

ai · p(x,Bi) =

n∑

i=1

ai · p′(x,Bi)

excepte en el conjunt de probabilitat zeron∪

i=1Ni.

3) Mesurables positives: Si g es mesurable positiva, aleshores g = limn→∞

gn, per una certa

successio creixent gnn∈N de funcions elementals positives. Pel cas anterior,

∫

R

gn(y) p(x, dy) =

∫

R

gn(y) p′(x, dy)

excepte sobre un conjunt Nn de probabilitat zero. Per tant, excepte sobre∞∪

n=1Nn, que

tambe te probabilitat zero,

∫

R

g(y) p(x, dy) = limn→∞

∫

R

gn(y) p(x, dy) = limn→∞

∫

R

gn(y) p′(x, dy) =

∫

R

g(y) p′(x, dy) .

4) Mesurables arbitraries: Nomes cal descompondre g en part positiva i part negativa.Es dedueix immediatament que si les integrals respecte les probabilitats p(x, ·) exis-teixen, aleshores tambe existeixen respecte les probabilitats p′(x, ·), i que coincideixenPX -q.s.

L’esperanca d’una variable es pot calcular amb l’ajuda d’una esperanca condicio-nada.

3.4.11 TeoremaSuposem que E[g(Y )] existeix.


Aleshores, E[

g(Y )/X = x]

existeix PX-q.s. x ∈ R, i

E[g(Y )] =

∫

R

E[

g(Y )/X = x]

PX(dx) .

En particular, si g(Y ) es integrable respecte P , aleshores E[

g(Y )/X = x]

es finita PX-q.s.

Demostracio:

E[g(Y )](1)=

∫

R2

g(y)PXY

(

d(x, y))

(2)=

∫

R

(

∫

R

g(y) p(x, dy))

PX(dx) =

∫

R

E[

g(Y )/X = x]

PX(dx) .

(1) Pel Teorema de la Mesura Imatge.(2) Pel Teorema de la Mesura Producte. Observeu que de la Definicio 3.4.4 es dedu-

eix que la llei de (X,Y ) es la probabilitat que el Teorema de la Mesura Producteconstrueix a partir de la probabilitat PX i la probabilitat de transicio p.

3.5 Problemes

3.1 Demostreu amb un contraexemple que no es cert que una famılia d’esdeveniments esindependent si i nomes si els esdeveniments son independents dos a dos.

3.2 Demostreu que tot esdeveniment de probabilitat 0 o 1 es independent de qualsevol altreesdeveniment. Concloeu que una variable aleatoria constant q.s. es independent dequalsevol altra variable aleatoria.

3.3 Sabem que si X1 i X2 son variables aleatories independents, aleshores E[X1X2] =E[X1] · E[X2] i Var[X1 + X2] = Var[X1] + Var[X2]. Trobeu contraexemples quedemostrin que cap de les igualtats anteriors no implica la independencia.

3.4 Siguin X i Y dues variables aleatories de l’espai L2(Ω,F, P ). Es defineix la covarianciade X i Y com

Cov[X,Y ] := E[(

X − E[X])

·(

Y − E[Y ])]

.

Dues variables X, Y es diu que son incorrelacionades sii Cov[X,Y ] = 0.a) Demostreu que si X i Y son independents, aleshores son incorrelacionades.b) Demostreu que el recıproc es fals: considereu, per exemple, una variable θ amb lleiUnif([0, 2π]) i les variables X = cos θ i Y = sin θ.

3.5 Siguin X i Y dues variables de l’espai L2(Ω,F, P ) amb variancia diferent de zero. Esdefineix el coeficient de correlacio entre X i Y com

ρXY :=Cov[X,Y ]

√

Var[X] Var[Y ].

A l’espai vectorial L2(Ω,F, P ) s’hi pot posar un producte escalar,

〈X,Y 〉 :=

∫

Ω

XY dP ,


ben relacionat amb la norma per la formula ||X||22 = 〈X,X〉. En tot espai vectorial ambproducte escalar relacionat d’aquesta manera amb la norma es compleix la desigualtatde Schwarz:

|〈X,Y 〉| 6 ||X|| · ||Y || .

a) Demostreu la desigualtat de Schwarz per a l’espai L2, a partir de la desigualtat deHolder (Problema 2.11).Nota: Al Lema 1 de la Proposicio 2.2.21 hi tenim una demostracio directa.b) Aplicant la desigualtat de Schwarz, demostreu que |ρXY | 6 1.c) Comproveu que si X i Y son independents, aleshores ρXY = 0.d) Demostreu que |ρ| = 1 ⇐⇒ Y = aX + b, per certes constants a i b.Idea: Demostreu primer que la desigualtat de Schwarz es una igualtat si i nomes si elsvectors X i Y son linealment dependents.

3.6 Formula de Bayes. Sabem que malalties diferents poden presentar els mateixos sımptomes.Sigui H un conjunt particular de sımptomes que nomes poden ser provocats per tresmalalties diferents, A, B i C, mutuament excloents. Uns estudis estadıstics ens demos-tren que el 10 per mil de la poblacio te la malaltia A, que el 0.5 per mil te la B, i queel 2 per mil te la C. Desenvolupen els sımptomes H un 70% dels malalts que tenen laA, un 90% dels que tenen la B i un 60% dels que tenen la C. Quina probabilitat hi haque un malalt que presenta aquests sımptomes H tingui la malaltia A?

3.7 Sigui (Ω1,F1, µ) un espai de mesura, amb µ σ-finita, (Ω2,F2) un altre espai mesurable iτ : Ω1×F2 −→ [0,+∞] una mesura de transicio tal que τ(ω1, ·)ω1∈Ω1

es uniformementσ-finita, i ν la mesura en (Ω1 × Ω2,F1 ⊗ F2) construıda en el Teorema de la MesuraProducte.a) Comproveu que la formula

∫

Ω1×Ω2

X dν =

∫

Ω1

(

∫

Ω2

X(ω1, ω2) τ(ω1, dω2))

µ(dω1) (3.5.1)

es valida per a tota funcio mesurable X: Ω1 × Ω2 −→ R positiva.b) Demostreu el Criteri d’Integrabilitat de Tonelli–Hobson: Si X: Ω1 ×Ω2 −→ R es unafuncio mesurable tal que

∫

Ω1

(

∫

Ω2

|X(ω1, ω2)| τ(ω1, dω2))

µ(dω1) < +∞ , (3.5.2)

aleshores X es integrable respecte ν i es valida la formula (3.5.1).c) Comproveu mitjancant un contraexemple que si treiem el valor absolut de (3.5.2) laconclusio no es valida.

3.8 Sigui ν = µ× · · · × µn una mesura producte en (R,B(R)).Sigui X: Ω −→ Rn un vector aleatori, X = (X1, . . . , Xn).a) Demostreu que si la llei de X es absolutament contınua respecte ν, aleshores lallei marginal de Xi es absolutament contınua respecte µi, i doneu una expressio de ladensitat.b) Comproveu amb un contraexemple que el fet que la llei marginal de Xi sigui abso-lutament contınua respecte µi, per a tot i = 1, . . . , n, no implica que la llei de X siguiabsolutament contınua respecte ν.c) Suposem que X1, . . . , Xn tenen lleis absolutament contınues respecte µ1, . . . , µn, res-pectivament, amb densitats fX1

, . . . , fXn.

Demostreu queX1, . . . , Xn son independents sii la llei conjunta es absolutament contınuaamb densitat

fX(x1, . . . , xn) = fX1(x1) · . . . · fXn

(xn)

respecte la mesura ν.


3.9 Agafem un nombre completament a l’atzar X de l’interval [0, 1]. Fixat X, escollim unnombre Y completament a l’atzar de l’interval [X, 1]. (“Completament a l’atzar” es unamanera de dir “seguint una llei uniforme”.)a) Determineu la llei conjunta de les variables aleatories X i Y .b) Calculeu la llei marginal de Y en el vector (X,Y ).c) Calculeu el valor mitja (i.e. l’esperanca) de XY .d) Trobeu la llei de X condicionada per Y .

3.10 Sigui X una variable aleatoria tal que PX = n = 12n , per n > 1.

Sigui Y una variable que te una llei condicionada per l’esdeveniment X = n dedensitat n(1 − y)n−1 · 1[0,1](y) respecte la mesura de Lebesgue.a) Calculeu E[(X + 1)Y ].b) Trobeu la llei de Y .c) Trobeu la llei de X condicionada per Y .

3.11 Considerem dues variables aleatories X i Y amb llei conjunta donada per la funcio dedensitat respecte la mesura de Lebesgue en R2

f(x, y) = 3x · 1D(x, y) ,

on D es el triangle de vertexs (0, 0), (1, 0) i (1, 1).

a) Trobeu les lleis marginals de X i de Y . Calculeu E[

eY/X = x

]

per x ∈ ]0, 1[.b) Trobeu un altre vector aleatori (X ′, Y ′) que tingui les mateixes lleis marginals que(X,Y ) pero diferent llei conjunta.c) Trobeu la funcio de densitat de la variable aleatoria Z = Y −X. Calculeu E[Z].

3.12 Siguin X, Y , Z, tres variables aleatories tals que:

1) X ∼ Unif([0, 1]).

2) Y te una densitat condicionada per X donada per

fY|X=x(y) = (y − x)e−(y−x) · 1]x,+∞[)(y), si x ∈ [0, 1] .

3) Z te una densitat condicionada per (X,Y ) donada per

fZ|X=x,Y =y(z) = (y − x)e−z(y−x) · 1]0,+∞[(z), si x ∈ [0, 1] i y > x .

a) Trobeu la llei del vector (X,Y, Z).b) Trobeu la llei de Z.c) Trobeu la llei (X,Y ) condicionada per Z.

d) Calculeu E[√

Y −X/Z = z

]

i E[√Y −X

]

.

Successions de variables aleatories Materials 93

4. Successions de variables aleatories

4.1 Desigualtat de Txebixev i lemes de Borel–Cantelli

Establim en aquest apartat uns resultats preliminars utils per a l’estudi de la convergenciade successions de variables aleatories.

4.1.1 Proposicio (Desigualtat de Txebixev)

Sigui (Ω,F, P ) un espai de probabilitat.

Sigui X: Ω −→ R una variable aleatoria.

Sigui f : R −→ [0,+∞] una funcio creixent.

Sigui a ∈ R tal que 0 < f(a) < +∞.

Aleshores,

P (X > a) 6E[f(X)]

f(a).

Demostracio:

f(a) · 1X>a 6 f(X) .

Prenent esperances,

f(a)P (X > a) 6 E[f(X)] .

4.1.2 Corol.lari

Son casos particulars de la Desigualtat de Txebixev els seguents:

1) Si p > 0 i a > 0,

P (|X| > a) 6E[|X|p]ap

.

2) Si E[X] existeix i a > 0,

P (|X − E[X]| > a) 6Var[X]

a2.


De vegades el nom de Desigualtat de Txebixev s’aplica nomes a aquesta ultima.

4.1.3 Proposicio (1r Lema de Borel–Cantelli)

Sigui Ann∈N una successio qualsevol d’esdeveniments.

Aleshores, es te la implicacio

∞∑

n=1

P (An) < +∞ ⇒ P ( limn→∞

An) = 0 .

Demostracio:

P(

limn→∞

An

)

= P( ∞∩

n=1

∞∪k=n

Ak

) (1)= lim

n→∞P

( ∞∪k=n

Ak

)

6 limn→∞

∞∑

k=n

P (Ak) = 0 .

(1) La successio ∞∪

k=nAk

n∈Nes decreixent.

4.1.4 Exercici

Tant la desigualtat de Txebixev com el 1r Lema de Borel–Cantelli valen per a mesuresqualssevol, no necessariament probabilitats.

4.1.5 Proposicio (2n Lema de Borel–Cantelli)

Sigui Ann∈N una successio d’esdeveniments independents.

Aleshores es te la implicacio

∞∑

n=1

P (An) = +∞ ⇒ P(

limn→∞

An

)

= 1 .

Demostracio:

P(

limn→∞

An

)

= 1(1)⇔ P

( ∞∪n=1

∞∩k=n

Ack

)

= 0 ⇐ P( ∞∩

k=nAc

k

)

= 0, ∀n .

Veurem aixo ultim: Per a tot m ∈ N,

P( n+m∩

k=nAc

k

) (2)=

n+m∏

k=n

(1 − P (Ak))(3)

6

n+m∏

k=n

e−P (Ak) = exp

−n+m∑

k=n

P (Ak)

.

Fent m→ ∞,

P( ∞∩

k=nAc

k

)

= 0 .

(1) Passant al complementari. Recordem que(

limn→∞

An

)c= lim

n→∞Ac

n (vegeu el Pro-

blema 1.18).(2) Per la independencia.(3) Usem la desigualtat 1 − x 6 e−x.


4.2 Convergencia quasi segura, en probabilitat i en Lp

Suposarem ara i fins al final del capıtol que les variables aleatories X amb que tractemestan totes definides en un mateix espai (Ω,F, P ). Suposarem tambe que compleixenP (X ∈ −∞,+∞) = 0 (o podem pensar directament que prenen valors a R, senseque res no canviı). Recordem que al considerar les variables com a elements dels espaisL0(Ω,F, P ) o Lp(Ω,F, P ), p > 1, dues variables aleatories iguals quasi segur quedenidentificades.

En parlar de successions de variables aleatories hi ha diverses definicions naturalsde convergencia a considerar. Establirem primer les definicions i veurem despres com esrelacionen entre si.

4.2.1 DefinicionsUna successio Xnn∈N de variables aleatories convergeix quasi segur a una variablealeatoria X sii

P(

ω ∈ Ω : limn→∞

Xn(ω) = X(ω))

= 1 .

Es a dir, sii per a tot ω llevat d’un conjunt de probabilitat zero, el lımit de la successionumerica Xn(ω)n∈N existeix i val X(ω).

Ho abreviarem Xnq.s.−−−→

n→∞X .

La successio Xnn∈N es de Cauchy quasi segur sii

P(

ω ∈ Ω : Xn(ω)n∈N es de Cauchy)

= 1 .

4.2.2 Observacions

1) La variable lımit es unica com a element de L0(Ω,F, P ). Es consequencia de launicitat del lımit de successions numeriques.

2) Xnn∈N convergeix q.s. sii es de Cauchy q.s. Tambe es consequencia de la propietatcorresponent per a succesions numeriques.

3) La definicio de la convergencia quasi segura encara te sentit per a variablesXn: Ω −→R generals. Pero no podem parlar de successions de Cauchy si no definim primeruna distancia en R.

4.2.3 DefinicionsUna successio Xnn∈N de variables aleatories convergeix en probabilitat a una variablealeatoria X sii

∀ε > 0, limn→∞

P(

|Xn −X| > ε)

= 0 .

Ho abreviarem XnP−−−→

n→∞X .

La successio Xnn∈N es de Cauchy en probabilitat sii

∀ε > 0, limn,m→∞

P(

|Xn −Xm| > ε)

= 0 .

Mes explıcitament, sii

∀ε > 0,∀δ > 0, ∃n0 : n,m > n0 ⇒ P(

|Xn −Xm| > ε)

< δ .

4.2.4 Observacio


En L0 es pot posar una distancia d tal que els conceptes de successio convergent a X enprobabilitat i successio de Cauchy en probabilitat son equivalents als corresponents del’espai metric (L0, d). Concretament es pot prendre

d(X,Y ) := E[ |X − Y |1 + |X − Y |

]

. (4.2.1)

Per tant, com en tot espai metric, el lımit es unic i tota successio convergent es de Cauchy.Veurem mes endavant que es un espai metric complet; es a dir, que tota successio deCauchy es convergent.

4.2.5 DefinicioUna successio Xnn∈N ⊂ Lp de variables aleatories amb moment d’ordre p finit (p > 1)convergeix en Lp a una variable aleatoria X ∈ Lp sii convergeix a X en l’espai metricLp; o sigui, sii

limn→∞

E[

|Xn −X|p]

= 0 .

Ho abreviarem XnLp

−−−→n→∞

X .

4.2.6 Observacions

1) Sabem que Lp es un espai metric complet (vegeu l’Apartat 2.6). Per tant, hi haunicitat del lımit (com a element de Lp), i una successio es convergent sii es deCauchy.

2) Si p < q, la convergencia en Lq implica la convergencia en Lp (l’argument es moltsemblant al que cal utilitzar en el Problema 2.10, d; es deixa com exercici). Enaltres paraules, la injeccio Lq → Lp es contınua.

La relacio entre els diversos tipus de convergencia es pot resumir basicament ambl’esquema seguent:

q.s. =⇒ P ⇐= Lp

i no hi ha cap altre implicacio, en general.

4.2.7 Teorema

1) Xnq.s.−−−→

n→∞X ⇒ Xn

P−−−→n→∞

X .

2) XnP−−−→

n→∞X ⇒ Existeix una parcial Xnk

k∈N tal que Xnk

q.s.−−−→k→∞

X .

Demostracio:1)

Xnq.s.−−−→

n→∞X

(1)⇔ ∀ε > 0, P(

limn→∞

|Xn −X| 6 ε)

= 1

(2)⇔ ∀ε > 0, P(

limn→∞

|Xn −X| > ε)

= 0 .

Ens interessaria convertir aquesta probabilitat d’un lımit en lımit de probabilitats. SiAnn∈N es una successio qualsevol d’esdeveniments,

P(

limn→∞

An

)

= P(

∩n

∪m>n

Am

)

= limn→∞

P(

∪m>n

Am

)

> limn→∞

supm>n

P (Am) = limn→∞

P (An) .

Per tant, en el nostre cas, obtenim, per a cada ε > 0,

limn→∞

P(

|Xn −X| > ε)

6 P(

limn→∞

|Xn −X| > ε)

= 0 ,

d’onXn

P−−−→n→∞

X .

(1) El lımit inferior consisteix en els ω ∈ Ω tals que |Xn(ω) −X(ω)| 6 ε a partir d’uncert n. L’equivalencia es, doncs, evident.

(2) Passant al complementari.


2) Per veure que existeix una successio parcial convergent quasi segur, usarem nomes elfet que Xnn∈N es de Cauchy en probabilitat:

∀ε > 0, limn,m→∞

P(

|Xn −Xm| > ε)

= 0 .

Siguin∑

n>1

εn i∑

n>1

δn dues series convergents de termes positius.

Considerem la seguent successio estrictament creixent de naturals:

n1 = 1;

per k > 1,

nk: Primer natural > nk−1 tal que P(

|Xn −Xm| > εk)

< δk, ∀n,m > nk .

La successio Xnkk∈N sera la que busquem:

∞∑

k=1

P(

|Xnk+1−Xnk

| > εk)

<

∞∑

k=1

δk <∞ ,

(1)⇒ P(

limk→∞

|Xnk+1−Xnk

| > εk)

= 0 ⇒ P(

limk→∞

|Xnk+1−Xnk

| 6 εk)

= 1

⇒[

P -q.s. ω ∈ Ω, ∃k0(ω) : k > k0(ω) ⇒ |Xnk+1−Xnk

| 6 εk

]

⇒[

P -q.s. ω ∈ Ω,∑

k>1

(

Xnk+1(ω) −Xnk

(ω))

es convergent]

⇒[

P -q.s. ω ∈ Ω,

Xnk(ω) = X1(ω) +

k−1∑

`=1

(

Xn`+1(ω) −Xn`

(ω))

es una successio convergent]

.

Sabut que Xnkconvergeix q.s., el seu lımit ha de coincidir amb X: Si Y es el lımit,

Xnk

P−−−→k→∞

Y , per 1), Xnk

P−−−→k→∞

X, per hipotesi, i el lımit en probabilitat es unic.

(1) Pel 1r Lema de Borel–Cantelli.

4.2.8 ObservacioContingut a la demostracio anterior hi ha el seguent fet, que te interes independent:Si

∑

n>1

εn es una serie convergent de termes positius, i

∞∑

n=1

P(

|Xn+1 −Xn| > εn)

<∞ ,

aleshores Xnn∈N convergeix q.s.

4.2.9 Corol.lariL’espai L0, dotat de la convergencia i les successions de Cauchy en probabilitat (o sigui,amb la distancia d de (4.2.1)) es un espai metric complet.

Demostracio:Sigui Xnn∈N una successio de Cauchy en probabilitat.Sigui Xnk

k∈N una parcial convergent quasi segur (recordeu que en la demostracio delTeorema 4.2.7, 2), nomes hem utilitzat que la successio original es de Cauchy), i sigui Xel seu lımit.Per a tots n, k ∈ N,

P(

|Xn −X| > ε)

6 P(

|Xn −Xnk| + |Xnk

−X| > ε)

6 P(

|Xn −Xnk| > ε

2 ∪ |Xnk−X| > ε

2)

6 P(

|Xn −Xnk| > ε

2)

+ P(

|Xnk−X| > ε

2)

.


Els dos sumands son tan petits com es vulgui, agafant n i k prou grans, el primer perquela successio original es de Cauchy, i el segon perque la parcial convergeix a X quasi seguri per tant en probabilitat.

4.2.10 TeoremaXn

Lp

−−−→n→∞

X ⇒ XnP−−−→

n→∞X .

Demostracio:Aplicant la desigualtat de Txebixev,

P(

|Xn −X| > ε)

6E

[

|Xn −X|p]

εp−−−→n→∞

0

La convergencia quasi segura i la convergencia en Lp no tenen relacio, en general.N’hi ha en una direccio si hi afegim una hipotesi addicional.

4.2.11 TeoremaXn

q.s.−−−→n→∞

X

|Xn| 6 Y , amb Y ∈ Lp (p > 1)

⇒ XnLp

−−−→n→∞

X .

Demostracio: Tenim que |Xn −X|p q.s.−−−→n→∞

0, i

|Xn −X|p 6(

|Xn| + |X|)p

6 2p−1(

|Xn|p + |X|p)

6 2p−1(

Y p + |X|p)

(1)

6 2pY p, q.s.

La funcio Y p es integrable per hipotesi. Per tant, podem aplicar el Teorema de laConvergencia Dominada, i obtenim

limn→∞

E[

|Xn −X|p]

= 0 .

(1) Perque Y > limn→∞

|Xn|p = |X|p, q.s.

Es possible definir, per a successions de funcions mesurables sobre un espai de me-sura general (Ω,F, µ), les nocions de convergencia quasi segura (que s’anomena aleshoresconvergencia quasi per tot), convergencia en probabilitat (que sera convergencia en me-sura), i convergencia en Lp, de manera analoga al cas de probabilitats. La majoria deresultats que hem vist continuen essent valids, pero cal anar amb compte amb alguns.Per exemple, la convergencia quasi per tot nomes implica la convergencia en mesura si µes finita.

4.3 Lleis dels grans nombres

L’expressio “Lleis dels grans nombres” (inventada per Simeon-Denis Poisson, 1781-1840)es refereix a la situacio seguent:

Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories independents.Sigui Snn∈N la successio de sumes parcials de Xnn∈N :

Sn := X1 + · · · +Xn , n ∈ N .

Ens demanem per la convergencia en probabilitat o quasi segura de la successioSn/nn∈N. Resultats de convergencia en probabilitat s’anomenen Lleis Febles dels Grans


Nombres; resultats de convergencia quasi segura s’anomenen Lleis Fortes dels GransNombres.

Deixem de banda per un moment les matematiques i observem la situacio realseguent: considerem una circumstancia A que pot produir-se o no en un cert experi-ment aleatori. Suposem que repetim indefinidament aquest experiment en identiquescondicions. Sigui xnn∈N la successio de nombres associada a una successio concretad’experiments d’aquesta manera:

xn :=

1, si s’ha produıt A a l’experiment n-esim

0, en cas contrari.

Aleshores, si Sn = x1 + · · · + xn, el quocient Sn/n es la frequencia relativa de A en elsprimers n experiments.

Sembla intuıtiu que Sn/nn∈N ha de convergir a un cert nombre entre 0 i 1, re-lacionat intrınsecament amb l’experiment i la circumstancia A, que hauria de ser la‘probabilitat’ (en el sentit del llenguatge ordinari) que es realitzi A en un qualsevol delsexperiments. Aquesta es l’anomenada definicio frequentista de la probabilitat:

P (A) := limn→∞

Sn

n. (4.3.1)

Construir una teoria matematica rigorosa sobre aquesta definicio comporta considerablesdificultats logiques. Per exemple, cal comencar concretant quin tipus de successions d’unsi zeros i quin tipus de circumstancies A son l’objecte d’estudi.

En lloc d’intentar definir el concepte de probabilitat com una propietat fısica as-sociada a certs “experiments” i “circumstancies”, el rus Andrei Kolmogorov (1933) vaproposar prendre com a punt de partida la nostra Definicio 1.1.10: una probabilitat esuna mesura de massa total igual a 1. Aixo equival a no definir el concepte fısic de proba-bilitat. Simplement s’agafen com a axiomes algunes de les propietats que ha de complir,i es dedueixen les altres a partir d’aquests axiomes, estrictament dins de l’ambit de lesmatematiques. Aquesta “fonamentacio buida” de la Probabilitat es coneix com TeoriaAxiomatica.

Matematicament parlant, el planteig axiomatic es plenament satisfactori. Aixı doncs,per nosaltres la ‘probabilitat’ no es una propietat relativa a certs fenomens naturals, sinoun concepte purament abstracte, inexistent a la natura. El fet que es pugui aplicar ono a l’estudi de certs problemes reals es, com per a tota la matematica, una questiod’adequacio del model formal a la realitat, questio sobre la qual la matematica no potdir res.

A partir de la Teoria Axiomatica, l’expressio (4.3.1) es dedueix com a teorema. Noes una definicio.

La convergencia en probabilitat de les frequencies relatives al nombre P (A) ja va serenunciada pel suıs Jakob Bernoulli, i publicada el 1713, despres de la seva mort. Pero nil’enunciat ni la demostracio van ser massa entesos fins que no se’ls ha col.locat dins dela Teoria Axiomatica. Cal tenir en compte que Bernoulli no tenia ni el llenguatge ni lanotacio necessaris per escriure una formula tan simple com

Sn

n

P−−−→n→∞

P (A)

(vegeu l’Exercici 4.3.10).

Comencarem amb l’enunciat d’una Llei Feble. Es diu que les variables aleatories d’unafamılia son identicament distribuıdes sii tenen la mateixa llei. En particular, llurs mo-ments son els mateixos, si existeixen.


4.3.1 Teorema (Llei Feble dels Grans Nombres)

Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories de L2, independents, identicamentdistribuıdes.

Notem m := E[Xi] i Sn = X1 + · · · +Xn, per n ∈ N.

Aleshores,Sn

n

L2

−−−→n→∞

m .

Demostracio:

E[

∣

∣

Sn

n−m

∣

∣

2]

=1

n2E

[

|Sn − nm|2]

=1

n2Var[Sn] =

1

nVar[X1] −−−→

n→∞0

El nostre objectiu es enunciar i demostrar una Llei Forta dels Grans Nombres (Teo-rema 4.3.9). La demostracio es llarga i utilitza un seguit d’ingredients que tenen interesen si mateixos. Els estudiarem previament anomenant-los ‘lemes’.

4.3.2 Lema (Desigualtat de Kolmogorov)

Siguin X1, . . . , Xn variables aleatories de L2, independents, tals que E[Xi] = 0, ∀i =1, . . . , n.

Sigui Sk := X1 + · · · +Xk, per k = 1, . . . , n.

Aleshores,

∀ε > 0, P(

max16k6n

|Sk| > ε)

6Var[Sn]

ε2.

Demostracio: Notem

Ak :=

|Sk| > ε; |Sj | 6 ε, per 1 6 j < k

, k = 1, . . . , n ,

A :=

max16k6n

|Sk| > ε

.

Tenim que A = A1 ] · · · ]An.

Var[Sn](1)=

∫

Ω

S2n dP >

∫

A

S2n dP =

n∑

k=1

∫

Ak

S2n dP

=

n∑

k=1

∫

Ak

[

Sk + (Sn − Sk)]2dP >

n∑

k=1

∫

Ak

S2k dP +

n∑

k=1

∫

Ak

2Sk(Sn − Sk) dP

> ε2n

∑

k=1

P (Ak) + 2

n∑

k=1

E[

Sk · 1Ak· (Sn − Sk)

]

(2)= ε2P (A) + 2

n∑

k=1

E[Sk · 1Ak] · E[Sn − Sk]

(3)= ε2P (A) .

(1) Usant que l’esperanca de Sn es zero, la variancia coincideix amb el moment de segonordre.

(2) Sk ·1Aki Sn−Sk son funcio, respectivament, de (X1, . . . , Xk) i (Xk+1, . . . , Xn), que

son vectors independents. Per tant, per la Proposicio 3.3.10, 1, Sk · 1Aki Sn − Sk

son variables aleatories independents.(3) La segona esperanca es zero, perque totes les Xi tenen esperanca zero.


4.3.3 ObservacioQuan n = 1, obtenim com a cas particular la desigualtat de Txebixev (Proposicio 4.1.1)amb f(a) = a2.

4.3.4 Lema (Criteri de convergencia q.s. de series)Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories de L2, independents, tals que:

1) E[Xn] = 0, ∀n ∈ N.

2)∞∑

n=1Var[Xn] <∞.

Aleshores,∑

n>1

Xn convergeix quasi segur.

Demostracio:Notem, com abans, Sn := X1 + · · · +Xn, n ∈ N. Per a cada m ∈ N,

P(

supk∈N

|Sm+k − Sm| > ε) (1)

= limn→∞

P(

sup16k6n

|Sm+k − Sm| > ε)

(2)

6 limn→∞

Var[Sm+n − Sm]

ε2(3)= lim

n→∞1

ε2

m+n∑

k=m+1

Var[Xk] =1

ε2

∞∑

k=m+1

Var[Xk] .

Fent m→ ∞, obtenim

supk∈N

|Sm+k − Sm| P−−−−→m→∞

0 ,

⇒ supk∈N

|Smi+k − Smi| q.s.−−−→

i→∞0 , per certa parcial Smi

i∈N , (4.3.2)

(4)⇔ Snn∈N es de Cauchy q.s. (i per tant convergent q.s.)

(1) Apliquem la continuıtat de les probabilitats sobre successions creixents.(2) Apliquem la Desigualtat de Kolmogorov.(3) Per la independencia de les variables involucrades.(4) (4.3.2) es pot escriure: ∀ε > 0, ∃mi : p > mi ⇒ |Sp − Smi

| < ε, es a dir,∀p, q > mi, |Sp − Sq| < 2ε, i per tant Snn∈N es de Cauchy.

El seguent es un enunciat sobre series de nombres reals. No hi ha cap probabilitatinvolucrada.

4.3.5 Lema de KroneckerSigui xnn∈N ⊂ R una successio de nombres reals.Sigui ann∈N ⊂ R una successio creixent de nombres reals positius amb lımit +∞.Suposem que la serie

∑

n>1

xn

anes convergent.

Aleshores,

limn→∞

1

an

n∑

k=1

xk = 0 .

Demostracio: Definim a0 = 0, b0=0, i bn =n∑

i=1

xi

ai, per n > 1. Tindrem

1

an

n∑

k=1

xk(1)=

1

an

n∑

k=1

ak(bk − bk−1)(2)= bn − 1

an

n−1∑

k=1

bk(ak+1 − ak) .


Abreviem b∞ := limn→∞

bn. El que volem veure es que

limn→∞

1

an

n−1∑

k=0

bk(ak+1 − ak) = b∞ .

Per qualssevol m < n,

∣

∣

∣

1

an

n−1∑

k=0

bk(ak+1 − ak) − b∞∣

∣

∣

(3)=

∣

∣

∣

1

an

n−1∑

k=0

(bk − b∞)(ak+1 − ak)∣

∣

∣

61

an

∣

∣

∣

m−1∑

k=0

(bk − b∞)(ak+1 − ak)∣

∣

∣+

1

an

∣

∣

∣

n−1∑

k=m

(bk − b∞)(ak+1 − ak)∣

∣

∣. (4.3.3)

Fixem ε > 0. Fixem m ∈ N tal que |bk − b∞| < ε, ∀k > m.

Prenent lımits superiors en (4.3.3), el primer sumand tendeix clarament a zero. Per tant,

limn→∞

∣

∣

∣

1

an

n−1∑

k=0

bk(ak+1 − ak) − b∞∣

∣

∣6 lim

n→∞ε

an

n−1∑

k=m

(ak+1 − ak) = ε .

Fent ara ε→ 0, hem acabat.

(1) Es dedueix de les notacions tot just introduıdes.(2) Gracies a la formula de sumacio parcial d’Abel (que no es mes que una formula

d’integracio per parts per a series).

(3) Utilitzem que, trivialment, 1an

n−1∑

k=0

(ak+1 − ak) = 1 .

4.3.6 Lema (Llei Forta per a variables de L2)

Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories de L2, independents, amb E[Xn] = 0,∀n ∈ N.

Sigui Sn := X1 + · · · +Xn, n ∈ N.

Sigui ann∈N ⊂ R una successio creixent de nombres reals positius amb lımit +∞.

Suposem que

∞∑

n=1

Var[Xn]

a2n

<∞ .

Aleshores,Sn

an

q.s.−−−→n→∞

0 .

Demostracio:∞∑

n=1

Var[Xn

an

]

=

∞∑

n=1

Var[Xn]

a2n

<∞

(1)⇒∑

n>1

Xn

anconvergeix q.s.

(2)⇒ limn→∞

1

an

n∑

k=1

Xk = 0, q.s.

(1) Apliquem el criteri de convergencia quasi segura de series (Lema 4.3.4.)(2) Apliquem el Lema de Kronecker (Lema 4.3.5).


4.3.7 Corol.lariSigui Xnn∈N una successio de variables aleatories de L2, independents, identicamentdistribuıdes.Notem m := E[Xi] i Sn = X1 + · · · +Xn, n ∈ N.Aleshores,

Sn

n

q.s.−−−→n→∞

m .

Demostracio: Aplicarem el Lema 4.3.6 a les variables Yn := Xn−m i la successio an := n.Sigui σ2 := Var[Yi] = Var[Xi].Es compleixen les hipotesis: E[Yn] = 0, ∀n, i

∞∑

n=1

Var[Yn]

n2= σ2

∞∑

n=1

1

n2<∞ .

Per tant,

Sn

n−m =

n∑

k=1

(Xk −m)

n=

n∑

k=1

Yk

n−−−→n→∞

0 .

4.3.8 Lema (Criteri d’integrabilitat de variables aleatories)Per a tota variable aleatoria X, es compleix

∞∑

n=1

P(

|X| > n)

6 E[|X|] 6 1 +∞∑

n=1

P(

|X| > n)

.

En particular,

X es integrable ⇔∑

n>1

P(

|X| > n)

convergeix.

Demostracio:1) Primera desigualtat:

∞∑

n=1

P(

|X| > n)

=∞∑

n=1

∞∑

k=n

P(

k 6 |X| < k + 1) (1)

=∞∑

k=1

k∑

n=1

P(

k 6 |X| < k + 1)

=∞∑

k=0

k · P(

k 6 |X| < k + 1)

6

∞∑

k=0

∫

k6|X|<k+1|X| dP

=

∫

Ω

|X| dP = E[|X|] .

(1) Podem intercanviar segur l’ordre de sumacio perque els termes de la serie son posi-tius (aixo no es mes que el Teorema de Fubini aplicat a series, o sigui, a la mesuracomptadora de naturals).

2) Segona desigualtat:

E[|X|] =∞∑

k=0

∫

k6|X|<k+1|X| dP 6

∞∑

k=0

(k + 1) · P(

k 6 |X| < k + 1)

=

∞∑

k=0

k · P(

k 6 |X| < k + 1)

+

∞∑

k=0

P(

k 6 |X| < k + 1)

=

∞∑

k=1

P(

|X| > k)

+ 1 .


4.3.9 Teorema (Llei Forta dels Grans Nombres)Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories independents, identicament dis-tribuıdes.Aleshores:

1) E[|Xi|] <∞ ⇒ Sn

n

q.s.−−−→n→∞

m = E[Xi] .

2) E[|Xi|] = ∞ ⇒ limn→∞

|Sn|n

= +∞ q.s.

Demostracio:1) Definim Yn := Xn · 1|Xn|<n, ∀n ∈ N, i escrivim

1

n

n∑

i=1

Xi =1

n

n∑

i=1

(Xi − Yi) +1

n

n∑

i=1

(Yi − E[Yi]) +1

n

n∑

i=1

E[Yi] .

Vegem que, quan n → ∞, els dos primers sumands tenen lımit 0 quasi segur, i que eltercer te lımit m:

a)∞∑

n=1

P(

Xn 6= Yn)

=

∞∑

n=1

P(

|Xn| > n)

(1)

6 E[|X1|] <∞

(2)⇒ P(

limn→∞

Xn 6= Yn)

= 0 ⇒ P(

limn→∞

Xn = Yn)

= 1

⇒ 1

n

n∑

i=1

(Xi − Yi)q.s.−−−→

n→∞0 .

(1) Apliquem el Lema 4.3.8. Donat que les variables Xn son identicament dis-tribuıdes, podem posar X1 en lloc de Xn, per exemple. Aixo ho apliquemrepetidament a la resta de la demostracio.

(2) Pel 1r Lema de Borel–Cantelli.

b) Sera consequencia del Lema 4.3.6. Comprovem que es pot aplicar:

∞∑

n=1

Var[

Yn − E[Yn]]

n2=

∞∑

n=1

Var[Yn]

n26

∞∑

n=1

E[Y 2n ]

n2=

∞∑

n=1

1

n2E[X2

n · 1|Xn|<n]

=

∞∑

n=1

1

n2

n∑

k=1

E[X21 · 1k−16|X1|<k]

(1)=

∞∑

k=1

E[X21 · 1k−16|X1|<k]

∞∑

n=k

1

n2

(2)

6

∞∑

k=1

k · E[|X1| · 1k−16|X1|<k] ·2

k

(3)= 2E[|X1|] <∞ .

(1) Podem intercanviar l’ordre de sumacio perque tots els termes son positius (Te-orema de Fubini, Observacio 3.2.4, 2), per a mesures comptadores de naturals.)

(2) Fem l’acotacio seguent:

∞∑

n=k

1

n26

1

k2+

∫ ∞

k

1

x2dx =

1

k2+

1

k6

2

k.

(3) Pel Teorema de la Convergencia Dominada o el de Convergencia Monotona, avoluntad.


c)

E[Yn] = E[Xn · 1|Xn|<n] = E[X1 · 1|X1|<n](1)

−−−→n→∞

E[X1] = m

(2)⇒ 1

n

n∑

i=1

E[Yi] −−−→n→∞

m .

(1) Pel Teorema de la Convergencia Dominada (|X1| domina la successio.)(2) Pel Criteri de la Mitjana Aritmetica de convergencia de successions de nombres

reals.

2) Fixem K ∈ N.

∞∑

n=1

P( |Xn|

n> K

)

=∞∑

n=1

P( |X1|

K> n

) (1)

>E[|X1|]K

− 1 = +∞

(2)⇒ P(

limn→∞

|Xn|n

> K)

= 1 .

Donat que la interseccio numerable d’esdeveniments de probabilitat 1 te probabilitat 1,obtenim P (A) = 1, essent

A :=∞∩

K=1lim

n→∞

|Xn|n

> K

.

En paraules, A es el conjunt de ω ∈ Ω tals que, per a cada K ∈ N, existeixen infinitsn ∈ N complint |Xn(ω)|

n > K.

On posa |Xn| podem posar |Sn|, perque:

K 6|Xn|n

=|Sn − Sn−1|

n<

|Sn|n

+|Sn−1|n− 1

⇒ |Sn|n

>K

2o

|Sn−1|n− 1

>K

2.

En conclusio,

limn→∞

|Sn(ω)|n

= +∞, ∀ω d’un conjunt de probabilitat 1.

(1) Apliquem el Lema 4.3.8.(2) Pel 2n Lema de Borel–Cantelli.

4.3.10 Exercici (per a lectors fanatics de les v.o.)

Traduıu i interpreteu el text seguent (Llei Feble dels Grans Nombres):

Ut circumlocutionis taedium vitem, vocabo casus illos, quibus eventus quidam contingerepotest, foecundos seu fertiles; & steriles illos, quibus idem eventus potest non contingere:nec non experimenta foecunda sive fertilia illa, quibus aliquis casuum fertilium eveniredepreher ditur; & infoecunda sive sterilia, quibus sterilium aliquis contingere observatur.Sit igitur numerus casuum fertilium ad numerum sterilium vel praecise vel proxime inratione r/s, adeoque ad numerum omnium in ratione r/(r + s) seu r/t, quam rationemterminent limites (r + 1)/t & (r − 1)/t. Ostendendum est, tot posse capi experimenta,ut datis quotlibet (puta c) vicibus versimilius evadat, numerum fertilium observationumintra hos limites quam extra casurum esse, h. e. numerum fertilium ad numerum omniumobservationum rationem habiturum nec majorem quam (r + 1)/t, nec minorem quam(r − 1)/t.

Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi, 1713.


4.4 Problemes

4.1 Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories independents tals que PXn = 0 =1 − 1

n i PXn = 1 = 1n . Demostreu que:

a) XnP−−−→

n→∞0 .

b) Xnn∈N no convergeix q.s.c) La parcial Xk2k∈N convergeix q.s.

4.2 El problema anterior proporciona un exemple de convergencia en probabilitat que noes quasi segura. Comproveu amb els seguents exemples que no hi ha relacio entre laconvergencia en Lp i la convergencia quasi segura:a) A l’espai de probabilitat (R,B(R), µ), amb µ = Unif([0, 1]), considereu les variablesaleatories Xn(ω) = en ·1[0, 1

n](ω). La successio Xnn∈N convergeix q.s. pero no conver-

geix en cap espai Lp.b) Considereu el mateix espai de probabilitat anterior, i les variables aleatories Xn(ω) =1[q2−p,(q+1)2−p](ω), on p i q son els unics naturals tals que n = 2p + q, p > 0, 0 6 q < 2p.La successio Xnn∈N convergeix en tots els Lp, pero no convergeix q.s.De fet, aquest constitueix un altre exemple de successio que convergeix en probabilitatpero no q.s.

4.3 Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories definides sobre un espai de proba-bilitat (Ω,F, P ), complint

PXn = n =1

n2i PXn =

1

n = 1 − 1

n2, ∀n > 1.

Estudieu la convergencia en probabilitat, quasi segura i en L2 d’aquesta successio.

4.4 Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories independents.

Demostreu que si limn→∞

|Xn|n

< 1 q.s., aleshores∞∑

n=1P|Xn| > n < +∞ .

4.5 En la situacio del problema anterior:a) Demostreu que el recıproc es cert si imposem a mes que les variables siguin identicamentdistribuıdes.Idea: Useu el criteri d’integrabilitat de variables aleatories del Lema 4.3.8.b) Doneu un exemple que mostri que sense cap mes hipotesi addicional el recıproc noes cert.

4.6 Siguin Xnn∈N i Ynn∈N dues successions de variables aleatories tals que XnP−−−→

n→∞

X i YnP−−−→

n→∞Y , per certes variables aleatories X i Y . Sigui g:R2 → R una funcio

contınua.Demostreu que g(Xn, Yn)

P−−−→n→∞

g(X,Y ).

4.7 Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories independents i identicament dis-tribuıdes, seguint una llei amb funcio de densitat respecte la mesura de Lebesgue

f(x) = 2ax e−ax2 · 1[0,+∞[(x) ,

on a > 0.Demostreu que

P(

limn→∞

X2n

log n= a−1

)

= 1 .


Idea: Deduıu el resultat a partir de

P(

limn→∞

X2n

log n> a−1

)

= 1 i P(

limn→∞

X2n

log n6 a−1

)

= 1 .

Per demostrar la segona igualtat, reduıu-la a la condicio equivalent

P(

limn→∞

X2n

log n> ca−1

)

= 0 , ∀c > 1 .

4.8 Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories independents, totes elles amb lleiexponencial de parametre 1: es a dir, amb densitat respecte la mesura de Lebesgue

f(x) = e−x · 1[0,∞[(x) .

a) Comproveu que, per a tot α > 0,

P(

Xn > α log n)

= n−α .

b) Demostreu que

P(

limn→∞

Xn > α log n)

=

0, si α > 1

1, si α 6 1 .

c) Sigui L = limn→∞

Xn

log n. Demostreu que L = 1 quasi segur.

4.9 Per a cada nombre real ω ∈ [0, 1[, sigui Xn(ω) la n-esima xifra en el desenvolupament

decimal de ω. (O sigui, ω =∞∑

n=1Xn(ω) · 10−n).

a) Comproveu que en l’espai de probabilitat ([0, 1[,B([0, 1[),Unif([0, 1[)) la famılia devariables Xnn∈N es independent i identicament distribuıda.b) Direm que un nombre ω ∈ [0, 1[ es normal si la frequencia relativa amb que el dıgitk apareix en les seves primeres n xifres decimals tendeix a 1/10 quan n → ∞, per acada k ∈ 0, 1, 2, . . . , 9. (Es a dir, parlant informalment, si, a la llarga, tots els dıgitsapareixen en la mateixa proporcio.)Demostreu que tot nombre en [0, 1[ es normal quasi segur, respecte la mesura de Lebes-gue en [0, 1[ (o sigui, respecte la probabilitat Unif([0, 1[).)

Idea: Considereu les variables aleatories X(k)n (ω) = 1Xn=k(ω) (Son variables que pre-

nen el valor 1 si la n-esima xifra decimal de ω es k, i zero en cas contrari.) Utilitzeu laLlei Forta dels Grans Nombres.

4.10 Siguin ν i µ dues mesures sobre un espai mesurable qualsevol (Ω,F).a) Demostreu que la condicio

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que ∀A ∈ F, µ(A) < δ ⇒ ν(A) < ε

implica que ν es absolutament contınua respecte µ.b) Demostreu que si ν es una mesura finita, aleshores es cert tambe el recıproc de laimplicacio anterior.Idea: Useu el 1r Lema de Borel–Cantelli, que es valid per a mesures arbitraries, segonsl’Exercici 4.1.4.c) Doneu un exemple, amb ν infinita (pero σ-finita) que mostri que el recıproc no escert si traiem la condicio de finitud de ν.


4.11 Demostreu la generalitzacio seguent del Teorema 4.3.1 (Llei Feble dels Grans Nombresper a variables de L2):Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories de L2, independents, amb varianciesuniformement acotades per una certa constant M :

Var[Xn] 6 M < +∞, ∀n .

Sigui Sn = X1 + · · · +Xn, n ∈ N.Aleshores,

Sn − E[Sn]

n

L2

−−−→n→∞

0 .

Successions de probabilitats i funcions caracterıstiques Materials 109

5. Successions de probabilitats i funcions caracterıstiques

5.1 Convergencia feble de probabilitats

Volem definir un concepte de convergencia per a successions de probabilitats µnn∈N en(R,B(R)) o, mes en general, en (Rn,B(Rn)). Sembla natural establir que µn −−−→

n→∞µ si

limn→∞

µn(B) = µ(B) , ∀B ∈ B(Rn) ,

pero aquesta exigencia resulta ser massa forta i no es util.

5.1.1 DefinicioDiem que una successio de probabilitats µnn∈N en (Rn,B(Rn)) convergeix feblementa una probabilitat µ sii per a tota funcio f :Rn → R contınua i acotada,

limn→∞

∫

Rn

f dµn =

∫

Rn

f dµ .

Ho abreviarem µnw−−−→

n→∞µ.

La convergencia feble te una caracteritzacio facil en termes de funcions de distribucio.L’estudiarem nomes en el cas real, pero es valida tambe en Rn.

5.1.2 TeoremaSigui µnn∈N una successio de probabilitats en (R,B(R)), amb funcions de distribucioassociades Fnn∈N.Sigui µ una probabilitat amb funcio de distribucio F .Aleshores,

µnw−−−→

n→∞µ⇔ Fn(x) −−−→

n→∞F (x) ∀x punt de continuıtat de F .

Demostracio:⇒) Sigui x ∈ R tal que F es contınua en x.

Fn(x) = µn(]−∞, x]) =

∫

R

1]−∞,x](y)µn(dy) .


L’integrand no es una funcio contınua de y, i per tant no podem aplicar aquı la hipotesidirectament. L’aproximarem inferiorment i superiorment per funcions contınues.Per qualsevol ε > 0, podem considerar dues funcions contınues f−ε i fε tals que

f−ε(y) =

1, si y 6 x− ε

0, si x 6 y, fε(y) =

1, si y 6 x

0, si x+ ε 6 y.

Tindrem les desigualtats

1]−∞,x−ε] 6 f−ε 6 1]−∞,x] 6 fε 6 1]−∞,x+ε] .

Ara,

F (x− ε) =

∫

R

1]−∞,x−ε] dµ 6

∫

R

f−ε dµ(1)= lim

n→∞

∫

R

f−ε dµn

(2)

6 limn→∞

Fn(x) 6 limn→∞

Fn(x)

(3)

6 limn→∞

∫

R

fε dµn(1)=

∫

R

fε dµ 6 F (x+ ε) .

Fem ε→ 0:F (x) 6 lim

n→∞Fn(x) 6 lim

n→∞Fn(x) 6 F (x) .

(1) Per hipotesi.

(2) Usem que

∫

R

f−ε dµn 6 Fn(x), pero no sabem si el lımit de la dreta existeix.

(3) Usem que Fn(x) 6

∫

R

fε dµn. Aquı sı sabem que el lımit de la dreta existeix.

⇐) Observem primer que si a, b son punts de continuıtat de F , aleshores

µn(]a, b]c) = Fn(a) + 1 − Fn(b) −−−→n→∞

F (a) + 1 − F (b) = µ(]a, b]c) . (5.1.1)

Aplicarem repetidament aquest fet en el que segueix.Sigui f :R→ R contınua i acotada.Fixem ε > 0.Siguin a, b punts de continuıtat de F tals que µ(]a, b]c) < ε.f es uniformement contınua en ]a, b]. Sigui δ > 0 tal que x, y ∈ ]a, b], |x − y| < δ ⇒|f(x) − f(y)| < ε.

Descomponem ]a, b] =m]

k=1]ak, bk], amb ak, bk punts de continuıtat de F i bk − ak < δ.

Notem Ik := ]ak, bk].(Tots aquests punts a, b, ak, bk existeixen gracies al fet que F te lımits 0 i 1 en els infinitsi al fet que en tot interval no degenerat es possible trobar punts de continuitat de F :vegeu la demostracio de la Proposicio 1.3.17.)

∣

∣

∣

∫

R

f dµn −∫

R

f dµ∣

∣

∣=

∣

∣

∣

∫

]a,b]cf dµn +

m∑

k=1

∫

Ik

f dµn −∫

]a,b]cf dµ−

m∑

k=1

∫

Ik

f dµ∣

∣

∣

6 sup |f | ·(

µn(]a, b]c) + µ(]a, b]c))

+m

∑

k=1

∣

∣

∣

∫

Ik

f dµn −∫

Ik

f dµ∣

∣

∣.

El primer sumand convergeix a 2 sup |f |µ(]a, b]c), per (5.1.1). Quant als altres,

∣

∣

∣

∫

Ik

f dµn −∫

Ik

f dµ∣

∣

∣

6

∣

∣

∣

∫

Ik

(f − f(ak)) dµn

∣

∣

∣+

∣

∣

∣

∫

Ik

f(ak) dµn −∫

Ik

f(ak) dµ∣

∣

∣+

∣

∣

∣

∫

Ik

(f(ak) − f) dµ∣

∣

∣

6 εµn(Ik) +∣

∣f(ak)(

µn(Ik) − µ(Ik))∣

∣ + εµ(Ik)(1)

−−−→n→∞

2εµ(Ik) .


Per tant,

limn→∞

∣

∣

∣

∫

R

f dµn −∫

R

f dµ∣

∣

∣6 2 sup |f |µ(]a, b]c) +

m∑

k=1

2εµ(Ik) 6 2ε(sup |f | + 1) .

Fent ε→ 0, hem acabat.

(1) Aplicant (5.1.1), els dos primers sumands convergeixen a εµ(Ik) i zero, respectiva-ment.

5.1.3 Corol.lari

El lımit feble, si existeix, es unic.

Demostracio: Segons el teorema anterior, les funcions de distribucio de dos possibleslımits han de coincidir en tot punt de continuıtat. Pero si dues funcions de distribuciocoincideixen en tot punt de continuıtat, han de coincidir arreu, perque els punts decontinuıtat son densos en R i les funcions han de ser contınues a la dreta.

La unicitat del lımit feble es certa tambe en (Rn,B(Rn)).

Es possible introduir una distancia en el conjunt P de totes les probabilitats quemetritzi la convergencia feble. Per exemple, en R, hom pot definir-la de la maneraseguent: Si µ i ν son dues probabilitats amb funcions de distribucio F i G, la distanciaentre µ i ν es

dw(µ, ν) := infε > 0 : G(x− ε) − ε 6 F (x) 6 G(x+ ε) + ε . (5.1.2)

Tota variable aleatoria X: Ω → R indueix una probabilitat en (R,B(R)). Podemdoncs transportar el concepte de convergencia feble de probabilitats a un concepte deconvergencia de variables aleatories. No es res mes, pero, que un conveni per simplificarnotacio.

5.1.4 Definicio

Una successio Xnn∈N de variables aleatories (no cal que estiguin definides sobre elmateix espai de probabilitat) convergeix en llei a una variable aleatoria X sii les lleis deXn convergeixen feblement a la llei de X.

Ho abreviarem XnL−−−→

n→∞X.

Obviament, es pot posar en lloc de X qualsevol variable que tingui la mateixa llei queX, i per tant el lımit no es unic. Per aixo, si µ es la llei lımit, te sentit tambe escriure

XnL−−−→

n→∞µ.

La convergencia en llei es la mes feble de totes les definides:

5.1.5 Proposicio

XnP−−−→

n→∞X ⇒ Xn

L−−−→n→∞

X .

Demostracio:

Sigui (Ω,F, P ) l’espai de probabilitat on estan definides totes les variables.

Siguin µn les lleis de Xn i µ la llei de X.

Sigui f :R → R contınua i acotada. Farem servir el mateix truc de la demostracio delTeorema 5.1.2 per poder utilitzar la continuıtat uniforme de f sobre intervals acotats.


Fixem ε > 0. Siguin a, b ∈ R tal que µ(]a, b]c) < ε. Sigui 1 > δ > 0 tal que x, y ∈]a− 1, b+ 1], |x− y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε.

∣

∣

∣

∫

R

f dµn −∫

R

f dµ∣

∣

∣

(1)=

∣

∣

∣

∫

Ω

(

f(Xn) − f(X))

dP∣

∣

∣

6

∫

|Xn−X|6δ,X∈]a,b]

∣

∣f(Xn) − f(X)∣

∣ dP +

∫

|Xn−X|>δ,X∈]a,b]

∣

∣f(Xn) − f(X)∣

∣ dP

+

∫

X∈]a,b]c

∣

∣f(Xn) − f(X)∣

∣ dP

6 ε+ 2 sup |f |P (|Xn −X| > δ) + 2 sup |f |P (X ∈ ]a, b]c) .

Prenent lımits superiors,

limn→∞

∣

∣

∣

∫

R

f dµn −∫

R

f dµ∣

∣

∣

(2)

6 ε · (2 sup |f | + 1) .

Fent ε→ 0, hem acabat.(1) Pel Teorema de la Mesura Imatge.(2) El segon sumand convergeix a zero per hipotesi.

5.1.6 ExerciciEl recıproc nomes es pot afirmar quan la convergencia en llei es a una variable aleatoriaconstant (vegeu el Problema 5.1).

5.2 Funcions caracterıstiques

5.2.1 DefinicioSigui µ una probabilitat en (R,B(R)).La funcio caracterıstica de µ es

ϕµ: R−−−−−−−−−→C

t 7−−−−→∫

R

eitx µ(dx)

Es a dir, escrita d’una altra manera,

ϕµ(t) :=

∫

R

cos tx µ(dx) + i

∫

R

sin tx µ(dx) ,

usant la definicio de la funcio exponencial complexa i la d’integral d’una funcio complexa.Si X: Ω → R es una variable aleatoria, la funcio caracterıstica de X es la funcio carac-terıstica de la seva llei:

ϕX(t) :=

∫

R

eitx PX(dx) = E[eitX ]

Hom pot definir tambe la funcio caracterıstica de probabilitats en (Rn,B(Rn)).

5.2.2 DefinicioSigui µ una probabilitat en (Rn,B(Rn)).


Definim la seva funcio caracterıstica com

ϕµ: Rn −−−−−−−−−−→C

t 7−−−−−→∫

Rn

ei〈t,x〉 µ(dx)

on 〈t, x〉 es el producte escalar habitual en Rn.Si X: Ω → Rn es un vector aleatori,

ϕX(t) :=

∫

Rn

ei〈t,x〉 PX(dx) = E[ei〈t,X〉] .

5.2.3 Proposicio (Propietats de les funcions caracterıstiques)Sigui µ una probabilitat en (Rn,B(Rn)). La funcio caracterıstica de µ gaudeix de lespropietats seguents:

1) ϕµ(0) = 1.

2) |ϕµ(t)| 6 1, ∀t ∈ Rn.

3) ϕµ(−t) = ϕµ(t), ∀t ∈ Rn.

4) ϕµ es uniformement contınua.

Demostracio:1)

∫

Rn

ei〈0,x〉 µ(dx) =

∫

Rn

1µ(dx) = 1 .

2)∣

∣

∣

∫

Rn

ei〈t,x〉 µ(dx)∣

∣

∣

(1)

6

∫

Rn

|ei〈t,x〉|µ(dx)(2)=

∫

Rn

1µ(dx) = 1 .

(1) Per la Proposicio 2.2.21.(2) El modul de l’exponencial complexa es 1.

3)

ϕµ(−t) =

∫

Rn

e−i〈t,x〉 µ(dx)(1)=

∫

Rn

ei〈t,x〉 µ(dx)(2)=

∫

Rn

ei〈t,x〉 µ(dx) = ϕµ(t) .

(1) Propietat de l’exponencial complexa que es immediata a partir de la seva defincioen termes de sinus i cosinus.

(2) Immediat de la definicio d’integral d’una funcio complexa.

4)

|ϕµ(t) − ϕµ(s)| =∣

∣

∣

∫

Rn

(ei〈t,x〉 − ei〈s,x〉)µ(dx)∣

∣

∣

(1)

6

∫

Rn

∣

∣ei〈t,x〉 − ei〈s,x〉∣∣µ(dx) =

∫

Rn

∣

∣ei〈s,x〉(ei〈t−s,x〉 − 1)∣

∣µ(dx)

=

∫

Rn

∣

∣ei〈t−s,x〉 − 1∣

∣µ(dx)(2)

−−−−−→|t−s|→0

0 .

Es a dir: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |t− s| < δ ⇒ |ϕµ(t) − ϕµ(s)| < ε .

(1) Per la Proposicio 2.2.21.(2) Pel Teorema de la Convergencia Dominada, puix que el lımit puntual de la integral

es zero i∣

∣ei〈t−s,x〉 − 1∣

∣ 6 2 .


5.2.4 Exemples

1) µ = δa:

ϕµ(t) =

∫

R

eitx µ(dx) = eita .

2) µ = Bern(p) (Llei de Bernouilli de parametre p, caracteritzada per µ(1) = p iµ(0) = 1 − p):

ϕµ(t) =

∫

R

eitx µ(dx) = peit + 1 − p .

3) µ = N(0, 1):

ϕµ(t) =

∫

R

eitx 1√2πe−x2/2 dx

(1)=

1√2π

∫

R

e−x2/2 cos tx dx .

ϕ′µ(t)

(2)=

−1√2π

∫

R

xe−x2/2 sin tx dx(3)=

−1√2π

∫

R

e−x2/2t cos tx dx = −tϕµ(t) .

Hem obtingut una equacio diferencial per a ϕµ(t). Usant ϕµ(0) = 1 com a condicio

inicial, l’unica solucio es ϕµ(t) = e−t2/2. Observeu que en aquest cas particular lafuncio caracterıstica es real (vegeu tambe el Problema 5.5).

(1) La part imaginaria es la integral d’una funcio imparella, i per tant zero.(2) Apliquem el Teorema 2.3.8 per commutar la derivada respecte t amb la integral

respecte x.(3) Integrant per parts.

La funcio caracterıstica d’una probabilitat en (R,B(R)) esta relacionada de formasenzilla amb els seus moments, com veurem a les dues proposicions seguents.

5.2.5 ProposicioSigui µ una probabilitat en (R,B(R)) amb moment d’ordre n finit (n ∈ N).Aleshores, ϕµ es n vegades derivable i

ϕ(kµ (t) = ik

∫

R

xkeitx µ(dx) , ∀k = 1, . . . , n .

Demostracio: Aplicarem el Teorema 2.3.8 (vegeu tambe l’Observacio 2.3.9, 2) per com-mutar la derivada respecte t amb la integral respecte x:

|eitx| +∣

∣

∣

∂

∂teitx

∣

∣

∣= 1 + |ixeitx| = 1 + |x| .

Si el moment d’ordre 1 es finit (es a dir, si |x| es integrable respecte µ), aleshores

ϕ′µ(t) = i

∫

R

xeitx µ(dx) .

Analogament,

|ixeitx| +∣

∣

∣

∂

∂tixeitx

∣

∣

∣= |x| + | − x2eitx| = |x| + x2 ,

i per tant, si el moment d’ordre 2 es finit,

ϕ′′µ(t) = i2

∫

R

x2eitx µ(dx) .


I aixı successivament mentre existeixin moments finits, utilitzant que∂k

∂tkeitx = ikxkeitx.

5.2.6 Corol.lariEn la situacio de la proposicio anterior,

ϕ(kµ (0) = ik

∫

R

xk µ(dx) , ∀k = 1, . . . , n (5.2.1)

La formula (5.2.1) ens proporciona, si coneixem ϕµ, un metode eficient per calcularmoments de µ.

L’enunciat seguent es una mena de recıproc de la Proposicio 5.2.5.

5.2.7 ProposicioSigui µ una probabilitat en (R,B(R)).Suposem que ϕµ es n vegades derivable en un entorn de zero, amb n parell.Aleshores, µ te moment d’ordre n finit.

Demostracio: Notarem mk :=

∫

R

xk µ(dx), per abreviar.

Fixem n > 2. Veurem per induccio sobre k que existeixen moments d’ordre 2k, si 2k 6 n.Per k = 1:

ϕ′′µ(0) = lim

h→0

ϕµ(h) − 2ϕµ(0) + ϕµ(−h)h2

= limh→0

∫

R

eihx − 2 + e−ihx

h2µ(dx)

(1)= −2 lim

h→0

∫

R

1 − coshx

h2µ(dx)

(2)

6 −2

∫

R

limh→0

1 − coshx

h2µ(dx) = −

∫

R

x2 µ(dx) ,

⇒∫

R

x2 µ(dx) 6 −ϕ′′µ(0) ∈ R . (5.2.2)

Suposem que m2(k−1) es finit i 2k 6 n. Si m2(k−1) = 0 (cas trivial), aleshores forcosamentµ = δ0, que te moments de tots els ordres. Suposem que m2(k−1) > 0.

Aplicant la Proposicio 5.2.5, tenim que ϕ(2k−2µ existeix i

ϕ(2k−2µ (t) = (−1)k−1

∫

R

x2k−2eitx µ(dx) . (5.2.3)

Considerem la probabilitat ν µ amb densitatdν

dµ=

x2k−2

m2k−2. La seva funcio carac-

terıstica es

ϕν(t) =

∫

R

eitx ν(dx) =

∫

R

eitx x2k−2

m2k−2µ(dx)

(3)=

(−1)k−1ϕ(2k−2µ (t)

m2k−2.

Per la hipotesi de derivabilitat sobre ϕµ, existeix ϕ′′ν(t) en un entorn de zero. Aplicant

(5.2.2) a ν,

− ϕ′′ν(0) >

∫

R

x2 ν(dx) =1

m2k−2

∫

R

x2k µ(dx)

⇒ 0 6 m2k 6 −ϕ′′ν(0) ·m2k−2 ,

i per tant m2k es finit.(1) eihx + e−ihx = 2 coshx.(2) Pel Lema de Fatou.(3) Apliquem (5.2.3).


Es possible reconstruir una probabilitat a partir de la seva funcio caracterıstica. Es adir, la funcio caracterıstica justifica el seu nom i realment “caracteritza” la probabilitat.Aixo es deduira d’una formula que ens determina la funcio de distribucio a partir de lafuncio caracterıstica.

5.2.8 Teorema (Formula d’Inversio)Sigui µ una probabilitat en (R,B(R)), amb funcio caracterıstica ϕ i funcio de distribucioF .Aleshores, per a tots a < b punts de continuıtat de F ,

F (b) − F (a) = limM→∞

1

2π

∫ M

−M

e−ita − e−itb

itϕ(t) dt . (5.2.4)

Demostracio:

1

2π

∫ M

−M

e−ita − e−itb

itϕ(t) dt

(1)=

1

2π

∫ M

−M

e−ita − e−itb

it

∫

R

eitx µ(dx) dt

(2)=

1

2π

∫

R

∫ M

−M

e−ita − e−itb

iteitx dt µ(dx)

(3)=

1

2π

∫

R

[

∫ M

−M

cos(t(x− a)) − cos(t(x− b))

itdt

+ i

∫ M

−M

sin(t(x− a)) − sin(t(x− b))

itdt

]

µ(dx)

(4)=

1

2π

∫

R

[

∫ M

−M

sin(t(x− a))

tdt−

∫ M

−M

sin(t(x− b))

tdt

]

µ(dx)

(5)=

1

2π

∫

R

[

∫ M(x−a)

−M(x−a)

sinu

udu−

∫ M(x−b)

−M(x−b)

sinu

udu

]

µ(dx) .

Sabem que

limK→∞

∫ K

−K

sinu

udu

(6)= π .

Aixo ens diu que la famılia de funcions

x 7−→∫ M(x−a)

−M(x−a)

sinu

udu−

∫ M(x−b)

−M(x−b)

sinu

udu

esta acotada (per la constant 2 supK

∫ K

−K

sinu

udu) i que el seu lımit quan M → ∞ es

x 7−→

0, si x < a o x > b

2π, si a < x < b

π, si x = a o x = b .

Podem aplicar doncs el Teorema de la Convergencia Dominada i obtenim

limM→∞

1

2π

∫ M

−M

e−ita − e−itb

itϕ(t) dt =

∫

R

(

1]a,b[(x) +1

21a,b(x)

)

µ(dx)

(7)= F (b−) − F (a) +

1

2(F (a) − F (a−) + F (b) − F (b−))

=F (b) + F (b−)

2− F (a) + F (a−)

2. (5.2.5)


No hem usat enlloc que a i b siguin punts de continuıtat de F . Per tant, aquest resultates valid per a tots a, b. Si son punts de continuıtat, (5.2.5) es igual a F (b) − F (a) iobtenim l’enunciat del teorema.

(1) Definicio de ϕ.(2) Podem aplicar el Teorema de Fubini, perque

∣

∣

∣

e−ita − e−itb

iteitx

∣

∣

∣=

∣

∣

∣

∫ b

a

e−itx dx∣

∣

∣6

∫ b

a

|e−itx| dx = b− a ,

i per tant la funcioe−ita − e−itb

iteitx es integrable a l’espai producte (R× [−M,M ],

B(R× [−M,M ]), µ× λ), on λ es la mesura de Lebesgue restringida a B([−M,M ]).Per t = 0 la funcio no esta definida, pero es tracta d’una discontinuıtat evitable (ellımit en zero es b−a) i per tant no importa a efectes d’integracio respecte la mesurade Lebesgue.

(3) Apliquem la definicio de la funcio exponencial complexa.(4) La primera integral val zero, perque es tracta d’una funcio imparella (deixant de

banda la unitat imaginaria i, que es una constant) integrada sobre un intervalsimetric al voltant del zero.

(5) Fem el canvi de variable u = t(x−a) a la primera integral i u = t(x−b) a la segona.(6) La manera mes facil i instructiva de calcular aquesta integral requereix tecniques

d’Analisi Complexa. Ens creurem aquı el resultat, que es pot trobar en els llibres

de taules d’integrals, normalment escrit com 〈〈

∫ ∞

−∞

sinu

udu = π 〉〉, encara que en la

nostra teoria la integral no existeix, perque

∫

R

( sinu

u

)+

du = ∞ i

∫

R

( sinu

u

)−du =

∞.(7) Vegeu l’Observacio 1.3.11 i el Problema 1.20.

5.2.9 Corol.lariSi µ i ν son dues probabilitats en (R,B(R)) amb la mateixa funcio caracterıstica, ales-hores µ = ν.

Demostracio: La funcio caracterıstica determina la funcio de distribucio en els seus puntsde continuıtat, i per tant a tot arreu (vegeu la demostracio del Corol.lari 5.1.3).

Hi ha una formula similar a (5.2.4) en (Rn,B(Rn)), i se’n dedueix tambe en aquestcas el Corol.lari 5.2.9.

5.2.10 Observacions

1) Suposem que una funcio caracterıstica ϕ es integrable respecte la mesura de Lebesgueλ. Aleshores:

a) La Formula d’Inversio esdeve mes simple: Com que

∣

∣

∣1[−M,M ](t)

e−ita − e−itb

itϕ(t)

∣

∣

∣6

∣

∣

∣

∫ b

a

e−itx dx · ϕ(t)∣

∣

∣6 (b− a)|ϕ(t)| ,

pel Teorema de la Convergencia Dominada i el Teorema de Fubini,

F (b) − F (a) = limM→∞

1

2π

∫ M

−M

e−ita − e−itb

itϕ(t) dt

=1

2π

∫

R

∫ b

a

e−itxϕ(t) dx dt =1

2π

∫ b

a

∫

R

e−itxϕ(t) dt dx ,

per a tots a, b punts de continuıtat de F . A mes, la integral respecte dx es unafuncio contınua dels lımits d’integracio. Per tant, F es contınua i la formula val∀a, b ∈ R.


b) Es te µ λ: En efecte, la funcio

x 7−→∫

R

e−itxϕ(t) dt

es contınua, gracies al Teorema 2.3.7. Pel Teorema Fonamental del Calcul, Fes derivable i

0 6 F ′(x) =1

2π

∫

R

e−itxϕ(t) dt .

Per tant,1

2π

∫

R

e−itxϕ(t) dt es la densitat de µ respecte la mesura de Lebesgue.

2) El fet que aparegui un lımit a la formula (5.2.4) es nomes per solucionar el problemaque ϕ pot no ser integrable (per exemple, si µ = δ0, llavors ϕ ≡ 1). Hi ha altresmaneres de solucionar la no integrabilitat a priori de ϕ, i per tant es poden escriurediferents formules d’inversio. Per exemple,

F (b) − F (a) = limε→0

1

2π

∫

R

e−εt2 e−ita − e−itb

itϕ(t) dt .

En lloc de multiplicar per indicadors que tendeixen a 1 de manera simetrica, esmultiplica aquı per funcions suaus, que tambe tendeixen a 1 de manera simetrica ique decreixen prou rapid en els infinits per tal que la integral tingui sentit.

3) El fet que µ sigui absolutament contınua respecte la mesura de Lebesgue no implicaque ϕ sigui integrable.

Enunciem dues propietats mes de les funcions caracterıstiques, que tenen relacioamb la independencia de variables aleatories.

5.2.11 Proposicio (Mes propietats de les funcions caracterıstiques)

5) Sigui X = (X1, . . . , Xn) un vector aleatori.X1, . . . , Xn son variables aleatories independents sii

ϕX(t1, . . . , tn) = ϕX1(t1) · . . . · ϕXn

(tn) .

6) Si X1, . . . , Xn son variables independents, aleshores

ϕX1+···+Xn(t) = ϕX1

(t) · . . . · ϕXn(t) .

Demostracio:

5)

X1, . . . , Xn independents(1)⇔ PX = PX1

× · · · × PXn

(2)⇔ϕPX

(t1, . . . , tn) = ϕPX1×···×PXn

(t1, . . . , tn)

=

∫

Rn

ei〈t,x〉 (

PX1× · · · × PXn

)

(d(x1, . . . , xn))

=

∫

R

eit1x1 PX1(dx1) · . . . ·

∫

R

eitnxn PXn(dxn) = ϕX1

(t1) · . . . · ϕXn(tn) .

(1) Per la Proposicio 3.3.9.(2) Pel Corol.lari 5.2.9 (en Rn).


6)

ϕX1+···+Xn(t) = E

[

eit(X1+···+Xn)]

= E[

eitX1]

· . . . · E[

eitXn]

= ϕX1(t) · . . . · ϕXn

(t) .

5.2.12 Exemples

1) µ = Bin(n, p) (Llei binomial de parametres n i p, que es la de la suma de n variablesBern(p) independents):Usant la propietat 6) de la Proposicio 5.2.11,

ϕµ(t) =(

ϕBern(p)(t))n

=(

peit + 1 − p)n

.

2) µ = N(m,σ2) (Llei Normal de mitjana m i variancia σ2, que es defineix com la que

te densitat respecte la mesura de Lebesgue f(x) = 1√2πσ2

e−(x−m)2/2σ2

):

Usant la propietat 6) anterior es demostra facilment que

ϕµ(t) = eitm−σ2t2/2

(vegeu el Problema 5.6).

5.3 El Teorema de Continuıtat

Si una successio de probabilitats convergeix feblement, aleshores les funcions carac-terıstiques convergeixen puntualment a la funcio caracterıstica del lımit, i recıprocament.Aquest resultat es coneix com el Teorema de Continuıtat de Levy. La implicacio directaes molt facil; pel recıproc, ens calen uns resultats previs que anomenarem ‘lemes’.

5.3.1 Lema (Teorema de Helly)Sigui µnn∈N una successio de probabilitats en (R,B(R)), amb funcions de distribucioassociades Fnn∈N.Aleshores: Existeix una successio parcial Fnk

k∈N de Fnn∈N i una funcio de distribucioF d’una mesura finita (no necessariament una probabilitat) tals que

limk→∞

Fnk(x) = F (x) ∀x punt de continuıtat de F .

Demostracio: Sigui rm, m > 1 el conjunt dels nombres racionals Q indexats per N.Es clar que per a cada rm, la successio Fn(rm)n∈N te una parcial convergent a un certlımit L(rm), perque els seus termes estan en [0, 1].Voldrıem tenir, primer de tot, una parcial que valgui per a tots els racionals a la vegada.Considerem l’esquema seguent:

F1,1(r1), F1,2(r1), F1,3(r1), . . . . . . −→L(r1)F2,1(r2), F2,2(r2), F2,3(r2), . . . . . . −→L(r2)F3,1(r3), F3,2(r3), F3,3(r3), . . . . . . −→L(r3)...

......

on les funcions de la fila m formen una successio parcial de les de la fila m−1, convergenten el punt rm, i les de la primera formen una successio parcial de la successio original.Aleshores, la successio Fn,nn∈N es una parcial de Fnn∈N. Per cada punt rm ∈ Q,Fn,n(rm)n∈N es una parcial de Fm,n(rm)n∈N, i per tant convergeix a L(rm).


Tenim doncs una parcial que convergeix sobre Q a una certa funcio L. Ens falta definir-laen els punts no racionals i fer-la contınua per la dreta. Aixo s’aconsegueix definint

F (x) := infx<rr∈Q

L(r) .

Comprovarem que Fn,nn∈N i F compleixen l’enunciat.

1) F es creixent:x < y ⇒ inf

x<rr∈Q

L(r) 6 infy<rr∈Q

L(r) .

2) F es contınua a la dreta:Fixem x ∈ R i ε > 0.Sigui r ∈ Q tal que x < r i L(r) < F (x) + ε .Si x < y < r, aleshores F (y) 6 L(r) < F (x) + ε, i obtenim la continuıtat a la dreta.

3) Els lımits de F en −∞ i +∞ existeixen i estan en [0, 1]:Existeixen per la monotonia de F , i han d’estar en [0, 1] per construccio.

4) limn→∞

Fn,n(x) = F (x), ∀x on F sigui contınua:

Fixem ε > 0.Si F es contınua en x, siguin r, s ∈ Q tals que r < x < s i F (x) − L(r) < ε,L(s) − F (x) < ε. Llavors,

F (x) − ε < L(r) = limn→∞

Fn,n(r)(1)

6 limn→∞

Fn,n(x)

6 limn→∞

Fn,n(x)(1)

6 limn→∞

Fn,n(s) = L(s) < F (x) + ε .

Fent ε→ 0, obtenim la convergencia desitjada.(1) Cada Fn,n es monotona.

Sigui µn = δn (Delta de Dirac en el punt n.) Les funcions de distribucio associadesFnn∈N convergeixen puntualment a F ≡ 0. Aquest exemple trivial mostra que la funciolımit del Teorema de Helly no te per que ser la funcio de distribucio d’una probabilitat.

El concepte que veurem a continuacio defineix la propietat justa que es necessitaper evitar que passin coses com la d’aquest exemple i la convergencia sigui segur a unaprobabilitat.

5.3.2 DefinicioSigui M un conjunt de probabilitats en (R,B(R)).Es diu que M es un conjunt ajustat sii

∀ε > 0, ∃a < b ∈ R : ∀µ ∈ M, µ(]a, b]c) < ε .

Clarament, si a un conjunt ajustat li afegim un nombre finit de probabilitats, el conjuntresultant torna a ser ajustat.

5.3.3 Lema (Teorema de Prokhorov)Un conjunt de probabilitats M sobre (R,B(R)) es ajustat sii M es un conjunt relativa-ment compacte de l’espai metric (P, dw) definit per (5.1.2). En altres paraules, sii totasuccessio µnn∈N ⊂ M te una parcial convergent en (P, dw).

Demostracio:⇒) Suposem que M es un conjunt ajustat.Sigui µnn∈N ⊂ M i sigui Fnn∈N la successio de funcions de distribucio associades.Volem veure que µnn∈N te una parcial convergent en (P, dw).


Pel Teorema de Helly, existeixen una parcial Fnkk∈N de Fnn∈N i una funcio de distri-

bucio F tals que limk→∞

Fnk(x) = F (x), per a tot x punt de continuıtat de F . Comprovarem

que F es la funcio de distribucio d’una probabilitat.Fixem ε > 0. Siguin a, b tals que µnk

(]a, b]c) < ε, per a tot k. Podem suposar que a i bson punts de continuıtat de F . Llavors:

F (b) = limk→∞

Fnk(b) = µnk

(]−∞, b]) > µnk(]a, b]) > 1 − ε ,

F (a) = limk→∞

Fnk(a) = µnk

(]−∞, a]) 6 µnk(]a, b]c) < ε .

De l’arbitrarietat de ε, deduım que F pren valors tant propers com es vulgui a 0 i a 1.En consequencia,

limx→−∞

F (x) = 0 i limx→+∞

F (x) = 1 ,

i F es la funcio de distribucio d’una certa probabilitat µ. Hem obtingut

µnk

w−−−→k→∞

µ .

⇐) Suposem que M es un conjunt relativament compacte.Si M no es ajustat, existeixen ε > 0 i una successio µnn∈N ⊂ M tals que µn(]−n, n]c) >ε.Per hipotesi, existira una parcial µnk

k∈N de µnn∈N convergent feblement a una pro-babilitat µ.Per a tots a < b punts de continuıtat de la funcio de distribucio de µ, es tindra ]a, b] ⊂]−n, n] per n prou gran, i per tant

ε 6 µn(]−n, n]c) 6 µn(]a, b]c) −−−→n→∞

µ(]a, b]c) ,

i µ no pot ser una probabilitat.

5.3.4 Lema (Desigualtat de Truncacio)Sigui µ una probabilitat en (R,B(R)), amb funcio caracterıstica ϕ.Aleshores, ∀a > 0,

µ(

x : |x| >2a

)

61

a

∫ a

−a

(1 − ϕ(t)) dt .

Demostracio:

1

a

∫ a

−a

(1 − ϕ(t)) dt =1

a

∫ a

−a

∫

R

(1 − eitx)µ(dx) dt

(1)=

1

a

∫

R

∫ a

−a

(1 − eitx) dt µ(dx)(2)=

1

a

∫

R

∫ a

−a

(1 − cos tx) dt µ(dx)

=1

a

∫

R

2(

a− sin ax

x

)

µ(dx) >

∫

x: |ax|>22(

1 − sin ax

ax

)

µ(dx)

(3)

> 2 inf|u|>2

(

1 − sinu

u

)

· µ(x : |ax| > 2)(4)

> µ(x : |x| >2

a) .

(1) |1 − eitx| 6 2. Podem aplicar el Teorema de Fubini.(2) Usant la definicio de la funcio exponencial complexa i que el sinus es una funcio

imparella.(3) Substituım l’integrand per una constant que l’acota inferiorment i fem la integral

resultant.(4) inf

|u|>2(1 − sin u

u ) >12 .


5.3.5 Teorema de Continuıtat de Levy

Sigui µnn∈N una successio de probabilitats en (R,B(R)) amb funcions caracterıstiquesassociades ϕnn∈N.

Aleshores:

1) Si µnw−−−→

n→∞µ, i ϕ es la funcio caracterıstica de la probabilitat µ, es te

ϕn(t) −−−→n→∞

ϕ(t) , ∀t ∈ R .

2) Si ϕn(t) −−−→n→∞

ϕ(t), ∀t ∈ R, amb ϕ una funcio contınua en zero, aleshores ϕ es la

funcio caracterıstica d’una certa probabilitat µ i

µnw−−−→

n→∞µ .

Demostracio:

1) Per a cada t, les parts reals i imaginaria de eitx son funcions de x contınues i acotades.Per tant, per les definicions de convergencia feble i integral complexa,

ϕn(t) =

∫

R

eitx µn(dx) −−−→n→∞

∫

R

eitx µ(dx) = ϕ(t) .

2) Veurem primer que els elements de la successio µnn∈N constitueixen un conjuntajustat de probabilitats.

Fixem ε > 0.

Per a > 0,

µn([−2

a,2

a]c) = µn(x : |x| >

2

a)

(1)

61

a

∫ a

−a

(1−ϕn(t)) dt(2)

61

a

∫ a

−a

(1−ϕ(t)) dt+ε

2

(3)

6 ε .

Per tant, µn : n > n0 es ajustat, el que implica que µn : n ∈ N tambe ho es.

El Teorema de Prokhorov aplicat a aquest ultim conjunt ens diu en particular que totasuccessio parcial µnk

k∈N te una parcial convergent µnk``∈N a un cert lımit µ. Per la

part 1) del teorema,

ϕµ(t) = lim`→∞

ϕnk`(t) = ϕ(t) .

En resum, tota parcial de µnn∈N te una parcial convergent a un mateix lımit µ. Comen tot espai metric, aixo es equivalent al fet que µnn∈N convergeix a µ.

(1) Per la Desigualtat de Truncacio.(2) Desigualtat valida per n > n0 prou gran. En efecte, com que |1 − ϕn(t)| 6 2, es

te1

a

∫ a

−a

(1 − ϕn(t)) dt −−−→n→∞

1

a

∫ a

−a

(1 − ϕ(t)) dt, pel Teorema de la Convergencia

Dominada.(3) Desigualtat valida per a prou petit. En efecte, gracies a la continuıtat de ϕ en t = 0,

el Teorema Fonamental del Calcul implica que1

a

∫ a

−a

(1−ϕ(t)) dt −−−→a→0

2(1−ϕ(0)) =

0.

El Teorema de Continuıtat tambe es cert en (Rn,B(Rn)).


5.4 El Teorema Central del Lımit

La Llei Forta dels Grans Nombres ens diu que la successio Sn/nn∈N, on Sn es la sumade n variables aleatories independents identicament distribuıdes amb moment de primerordre finit m, convergeix quasi segur a m. Per tant, les lleis de Sn/n convergeixenfeblement a la llei δm.

Si les variables tenen variancia finita σ2 podem impedir aquesta degeneracio de leslleis cap a δm: Restant a Sn/n la seva esperanca i dividint despres per la desviacio tipus,obtenim variables d’esperanca 0 i variancia 1:

Sn

n − E[Sn

n ]√

Var[Sn

n ]=

Sn

n −mσ√n

=Sn − nm

σ√n

.

Ara ja no es possible la convergencia a un punt. De fet, no es pot esperar la con-

vergencia quasi segura, en Lp o en probabilitat de la successioSn − nm

σ√n

a cap variable

aleatoria concreta. Pero sı podem esperar encara que convergeixi en llei.El resultat mes antic en aquest sentit es de l’angles Abraham De Moivre (1756): Si

Xnn∈N es una successio de variables aleatories independents que prenen els valors 0 i1 amb probabilitat 1/2, aleshores les lleis de

Sn − 12n

12

√n

convergeixen feblement a la llei N(0,1).Veurem una versio mes general pero encara prou simple d’aquest resultat.

5.4.1 Teorema Central del Lımit (versio de Levy–Lindeberg)Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories de L2, independents, identicamentdistribuıdes.Notem m = E[Xi], σ

2 = Var[Xi] i Sn = X1 + · · · +Xn.Aleshores:

Sn − nm

σ√n

L−−−→n→∞

N(0, 1) .

Demostracio: Volem veure que les funcions caracterıstiques de Tn =Sn − nm

σ√n

conver-

geixen a la funcio caracterıstica de la llei N(0, 1), que es e−t2/2 (vegeu l’Exemple 5.2.4,3).

Sigui ϕn la funcio caracterıstica deX1 −m

σ√n

. Per la propietat 6) de la Proposicio 5.2.11,

i tenint en compte que les variables son independents i tenen la mateixa llei,

ϕTn(t) = (ϕn(t))n =

(

E[

exp

itX1 −m

σ√n

])n

.

Com que X1 es de L2, ϕn es dues vegades derivable i

ϕ′n(t) = iE

[X1 −m

σ√n

exp

itX1 −m

σ√n

]

,

ϕ′′n(t) = −E

[(X1 −m

σ√n

)2

exp

itX1 −m

σ√n

]

.

Aplicant la formula de Taylor,

ϕn(t) = ϕn(0) + ϕ′n(0)t+

1

2ϕ′′

n(ξ)t2

= 1 + 0 +t2

2ϕ′′

n(ξ) , per algun ξ ∈ ]0, t[ .


Es sabut que si ann∈N es una successio creixent amb lımit +∞ i existeix el lımit debnn∈N, aleshores

limn→∞

(

1 +1

an

)anbn

= e

(

limn→∞

bn

)

. (5.4.1)

Escrivim(

1 +t2

2ϕ′′

n(ξ))n

=(

1 +1

(

t2

2 ϕ′′n(ξ)

)−1

)

(

t2

2 ϕ′′n(ξ)

)−1( t2

2 ϕ′′n(ξ)

)

n

.

Nomes ens cal comprovar que nϕ′′n(ξ) −−−→

n→∞−1. Aleshores estarem en condicions

d’aplicar la idea de (5.4.1) i hi haura convergencia precisament a e−t2/2.En efecte,

nϕ′′n(ξ) = −E

[(X1 −m

σ

)2

exp

iξX1 −m

σ√n

]

−−−→n→∞

−E[(X1 −m

σ

)2]

= −1 ,

gracies al Teorema de la Convergencia Dominada.

5.5 Problemes

5.1 Demostreu que la convergencia en llei a una variable aleatoria constant implica la con-vergencia en probabilitat.Idea: Useu que f(x) = inf1, |x−a| es contınua i acotada, combinat amb la Desigualtatde Txebixev.

5.2 Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories independents amb llei Unif([0, 1]).Estudieu la convergencia en llei de la successio Ynn∈N definida per:

Yn := nminX1, . . . , Xn .

5.3 a) Sigui µnn∈N una successio de probabilitats sobre (R,B(R)), donades per les fun-cions de densitat respecte la mesura de Lebesgue

fn(x) = (1 + cos 2πnx) · 1[0,1](x) .

Demostreu que µnn∈N convergeix feblement i determineu el lımit.b) Si una successio de probabilitats µnn∈N sobre (R,B(R)), absolutament contınuesrespecte la mesura de Lebesgue, convergeix feblement, ¿es pot assegurar que la corres-ponent successio de funcions de densitat fnn∈N convergeix quasi per tot en R respectela mesura de Lebesgue?Idea: Considereu l’exemple de a).

5.4 Calculeu els moments d’ordre p, per a qualsevol p ∈ N, de la llei N(0, 1).

5.5 Sigui τ :R → R la transformacio donada per τ(x) = −x. Notarem per µτ la mesuraimatge de µ per τ .Sigui ϕµ la funcio caracterıstica d’una probabilitat µ en (R,B(R)). Notarem per ϕµ la

funcio conjugada de ϕµ. Es a dir, si ϕµ(t) = a(t) + ib(t), llavors ϕµ(t) = a(t) − ib(t).a) Demostreu que, per a tota probabilitat µ sobre (R,B(R)), es te ϕµ = ϕµτ

.Idea: Apliqueu el Teorema de la Mesura Imatge a la funcio f(x) = eitx.b) Una mesura µ sobre (R,B(R)) es diu que es simetrica sii si µ(B) = µ(−B), per a totB ∈ B(R), on

−B := x ∈ R : −x ∈ B .Demostreu que per a tota µ simetrica es te µ = µτ .c) Usant els resultats de a) i b), demostreu que una probabilitat es simetrica sii la sevafuncio caracterıstica es real.


5.6 a) Calculeu la funcio caracterıstica de la llei N(m,σ2) (el mes facil es utilitzar que si Xte una llei N(0, 1), aleshores Y = m + σX te llei N(m,σ2) i aplicar la propietat 6) dela Proposicio 5.2.11.)b) Demostreu que si µn = N(mn, σ

2n), aleshores µn convergeix feblement si i nomes si

mnn∈N i σ2nn∈N convergeixen, i en tal cas el lımit es tambe una llei Normal.

Nota: En cas que σ2n −−−→

n→∞0, la convergencia es a una Delta de Dirac, que podem

considerar com a cas particular de llei Normal, si fem el conveni N(m, 0) := δm .

5.7 Podrıem definir una convergencia “forta” de probabilitats en (R,B(R)) posant simple-ment

µnf−−−→

n→∞µ⇔ µn(B) −−−→

n→∞µ(B) , ∀B ∈ B(R) .

Comprovarem que no es equivalent a la convergencia feble:

a) Demostreu que µnf−−−→

n→∞µ⇒ µn

w−−−→n→∞

µ .

b) Si Xnn∈N es una successio de variables aleatories amb llei Bern(p), el TeoremaCentral del Lımit ens diu que la llei de

Yn =

n∑

i=1

Xi − np

√

np(1 − p)

convergeix feblement a la probabilitat N(0, 1) quan n→ ∞.Demostreu que no hi ha convergencia “forta”.Idea: Considereu el conjunt

A =

x ∈ R : P (Yn = x) > 0, per algun n

.

c) Sigui µn = Bin(n, pn) amb n i pn tals que limn→∞

n · pn = λ > 0.

Demostreu que µn convergeix feblement a µ = Pois(λ), la llei de Poisson de parametre

λ, que ve determinada per µ(k) = e−λλk

k!, per k enter positiu. (Feu-ho veient que

µn(k) −−−→n→∞

µ(k), ∀k ∈ N; deduıu d’aquı que en aquest cas es te en realitat

µnf−−−→

n→∞µ.)

5.8 Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories independents, identicament dis-tribuıdes, amb llei Exp(λ) (Exponencial de parametre λ, que te per densitat f(x) =λe−λx1[0,+∞[(x).)

a) Per a cada n, notem Xn =1

n

(

X1 + · · · +Xn

)

.

Estudieu la convergencia en llei de la successio

n1/2(λXn − 1)n∈N .

b) Per a cada n, sigui Mn = maxX1, . . . , Xn .Estudieu la convergencia en llei de la successio

Mn − log n

λ

n∈N.

5.9 a) Calculeu la funcio caracterıstica de la llei Pois(λ).b) Usant el Teorema de Continuıtat de Levy, repetiu l’apartat c) del problema 5.7.c) Si X1, . . . , Xn son variables aleatories independents tals que Xi te una llei Pois(λi),

trobeu la llei den∑

i=1

Xi.


5.10 La funcio caracterıstica es un exemple del que s’anomenen transformades. En el contextde l’Analisi Matematica general rep el nom de transformada de Fourier. Hom pot definirtambe la transformada de Laplace d’una mesura µ en (R,B(R)). Es la funcio

ψµ: R−−−−−−−−→R

t 7−−−−→∫

R

etx µ(dx)

Quan µ es una probabilitat el nom tradicional es funcio generatriu de moments, a causa

que ψ(nµ (0) es el moment d’ordre n de µ, si aquest existeix i es finit (comproveu-ho com

per la propietat analoga de les funcions caracterıstiques).El problema amb la transformada de Laplace es que pot no estar definida per a tott ∈ R. En particular, si t = 0 no esta a l’interior del seu domini, la formula anterior pelsmoments d’una probabilitat no val (es diu llavors que la funcio generatriu de momentsno existeix).a) Comproveu que, en el domini de ψ, es te ψ(t) = ϕ(−it). Deduıu que, si la funciogeneratriu de moments existeix, aleshores caracteritza tambe la probabilitat.b) Demostreu que si X1, . . . , Xn son variables aleatories independents, aleshores

ψX1+···+Xn(t) = ψX1

(t) · . . . · ψXn(t) .

c) Aplicacio: La llei Gamma(λ, α) (Gamma de parametres λ > 0 i α > 0) ve definidaper la densitat respecte la mesura de Lebesgue

f(x) =λα

Γ(α)xα−1e−λx · 1[0,+∞[(x) ,

on Γ es la funcio Gamma de Euler.Calculeu la funcio caracterıstica de la llei Gamma(λ, 1) (que no es mes que Exp(λ)).Constateu la dificultat de calcular-la per α general.Calculeu la funcio generatriu de moments de Gamma(λ, α).Si X1, . . . , Xn son variables aleatories independents i la llei de Xi es Gamma(λ, αi),

trobeu la llei den∑

i=1

Xi.

5.11 Sigui Xnn∈N una successio de variables aleatories independents identicament dis-tribuıdes, complint P (Xn = k) = 1

10 , per k ∈ 0, 1, . . . , 9.Definim X =

∞∑

n=1Xn · 10−n. (X sera el nombre real en [0, 1[ que te desenvolupament

decimal 0.X1X2X3 . . . ).Demostreu que X ∼ Unif([0, 1]).

5.12 Demostreu que la convergencia feble de Deltes de Dirac δan

w−−−→n→∞

δa es equivalent a la

convergencia de nombres reals an −−−→n→∞

a.

5.13 Demostreu que

limn→∞

e−nn

∑

k=0

nk

k!=

1

2

usant la idea seguent:Considereu una successio Xnn∈N de variables aleatories amb llei Pois(1), indepen-dents, i calculeu P (X1 + · · · +Xn 6 n).


5.14 Se sap per experiencia que el nombre d’accidents en un cert tram de 15 km de carreteraes una variable aleatoria amb distribucio de Poisson i una mitjana de 2 per setmana.Quina es la probabilitat (aproximada) que hi hagi menys de 100 accidents en aquesttram durant un any?

5.15 Quan fan un calcul numeric, els ordinadors emmagatzemen els nombres amb que tre-ballen amb una precisio determinada, es a dir, amb un cert nombre de xifres decimals.Aixo implica que nombres tan simples com 1/3, per exemple, no es poden representarexactament, qualsevol que sigui la precisio, ja que no tenen una sequencia finita dedecimals.Cada cop que s’emmagatzema un nombre, per tant, es comet un error. Concretament,si arrodonim un nombre a k xifres decimals, estem cometent un error ε, que pertanya l’interval [− 1

210−k, 1210−k]. Quan sumem dos nombres que han estat arrodonits a k

xifres decimals, la suma tindra un error entre −10−k i 10−k. Es diu que els errors espropaguen quan es fan operacions amb els nombres.a) Si sumem 10 000 nombres arrodonits a k xifres decimals, quin es l’error maxim quepot tenir la suma?b) Introduint probabilitats en el problema, veurem que la situacio no es tant desespe-rada com pugui semblar a la vista de l’apartat a):Suposem que l’error en un nombre es una variable aleatoria amb llei uniforme sobrel’interval [− 1

210−k, 1210−k], i que els errors de diferents nombres son independents entre

si. Calculeu ara entre quins lımits, amb una probabilitat no menor de 0.99, es troba lasuma de 10 000 nombres.

Index alfabetic Materials 129

Index alfabetic

additivitat numerable, 8algebra, 10, 13, 14

generada, 10, 22Ars Conjectandi, 105

Bernoulli, Jakob, 99, 105“bons conjunts”, 15borelians

de R, 39de Rn, 40de R, 25de Rn, 8, 40

canvi de variable, 73cilindre, 75classe monotona, 14

generada, 14coeficient de correlacio, 90“completament a l’atzar”, 92conjunt ajustat de probabilitats, 120conjunt discret, 30conjunt mesurable, 8conjunt negligible, 20conjunt relativament compacte de probabilitats, 120convergencia en Lp, 96, 98convergencia en llei, 124convergencia en mesura, 98convergencia en probabilitat, 95, 124convergencia feble de probabilitats, 125convergencia “forta” de probabilitats, 125convergencia quasi per tot, 98convergencia quasi segura, 95, 98covariancia, 90Criteri d’integrabilitat de Tonelli–Hobson, 91Criteri d’integrabilitat de variables aleatories, 103, 106Criteri de convergencia q.s. de series, 101Criteri de la mitjana aritmetica, 105


De Moivre, Abraham, 123delta de Dirac, 28, 32, 67, 114, 120, 123, 125, 126densitat, 64densitat condicionada, 88derivada de Radon–Nikodym, 64Desigualtat de Holder, 73, 91Desigualtat de Kolmogorov, 100Desigualtat de Minkowski, 73Desigualtat de Schwarz, 55, 91Desigualtat de truncacio, 121Desigualtat de Txebixev, 93, 94

esdeveniments, 9famılia independent, 82, 90famılia independent de col.leccions, 82independencia, 82, 86independencia dos a dos, 90

espai L0, 69, 73espai de mesura, 8

complecio, 21, 25, 34complet, 20, 34finit, 32

espai de probabilitat, 9finit, 32

espai metric complet, 70espai mesurable, 8

finit, 32producte, 75

espai normat, 70espai topologic, 25espais Lp, 70, 73espais Lp, 70, 73

norma, 70esperanca, 68esperanca condicionada, 88, 89estabilitat per interseccions finites, 10estabilitat per unions finites, 10estructura generada, 10

Formula d’integracio per parts per a series, 102Formula d’inversio, 116–118Formula d’inversio de les condicions, 86Formula de Bayes, 86, 91Formula de les probabilitats compostes, 86Formula de les probabilitats totals, 86Formula de sumacio parcial d’Abel, 102frequencia relativa, 99funcio Borel-mesurable, 39, 40funcio caracterıstica, 112, 113

propietats, 113, 118funcio complexa, 55

integrable, 55integral, 55

funcio constant, 41funcio de conjunt, 9


extensio, 16, 17, 23, 25finitament additiva, 9numerablement additiva, 9positiva, 9

additiva, 11, 12producte per escalars, 32σ-additiva, 9, 11, 19σ-finita, 16suma, 32

funcio de distribucio, 26, 29conjunta, 83d’una variable aleatoria, 68de vectors aleatoris, 83

“funcio de punt”, 28funcio de salts, 30funcio elemental, 43

positiva, 44integral, 45successio creixent, 45

representacio “canonica”, 45funcio exponencial complexa, 112funcio Gamma de Euler, 126funcio generatriu de moments, 126funcio indicador, 43funcio integrable, 51funcio mesurable, 37

integral, 50positiva

integral, 47successio, 48successio creixent, 48

funcio numerica, 38funcio part negativa, 42funcio part positiva, 42funcio valor absolut, 42

independencia, 82, 86dos a dos, 83

integraladditivitat respecte el conjunt d’integracio, 64de funcions complexes, 55, 112de funcions elementals positives, 45

propietats, 45de funcions mesurables, 50

propietats, 52de funcions mesurables positives, 47

propietats, 48de Lebesgue, 8, 37existencia, 51, 55idea intuıtiva, 44impropia, 66que depen d’un parametre, 60

Kolmogorov, Andrei, 99

Lema de Borel–Cantelli, 1r, 94, 107


Lema de Borel–Cantelli, 2n, 94Lema de Fatou, 58, 59

invertit, 59, 71Lema de Kronecker, 101llei binomial, 119, 125llei condicionada, 87llei conjunta, 83llei de Bernoulli, 114llei de Poisson, 125–127llei exponencial, 73, 125Llei Feble dels Grans Nombres, 100, 105, 108Llei Forta dels Grans Nombres, 104, 107, 123

per a variables de L2, 102llei Gamma, 126llei marginal, 83, 88, 91llei normal, 28, 64, 114, 119, 124, 125llei uniforme, 73, 74, 92, 106, 124, 126“Lleis dels Grans Nombres”, 98Lleis Febles dels Grans Nombres, 99Lleis Fortes dels Grans Nombres, 99

mes infinit (+∞), 38menys infinit (−∞), 38mesura, 8

contınua, 30, 35de probabilitat, 9discreta, 30, 35

funcio de distribucio, 30famılia uniformement σ-finita, 77finita, 9σ-finita, 36simetrica, 124successio creixent, 32

mesura comptadora, 8, 16, 31, 72mesura comptadora de naturals, 66, 69, 72mesura de Lebesgue, 8, 16, 25, 28, 32, 44, 66, 69, 81, 88, 117mesura de Lebesgue–Stieljes, 28, 30, 35, 36

funcio de distribucio, 29mesura de transicio, 76mesura exterior, 17, 33mesura imatge, 62, 68mesura producte, 82mesurables Lebesgue, 8, 25moment d’ordre p, 69monotonia, propietat de, 9, 10, 33µ∗-mesurable, 17

nombre normal, 107

particio, 32Poisson, Simeon-Denis, 98probabilitat, 9

continuıtat sobre successions monotones, 13definicio frequentista, 99discreta, 30

funcio de distribucio, 30


funcio de distribucio, 29Teoria Axiomatica, 99

probabilitat condicionada, 86probabilitat de transicio, 77probabilitat simetrica, 124propagacio dels errors, 127

q.p.t., 51q.s., 51quasi per tot, 51quasi segur, 51

R

conjunt, 38estructura aritmetica, 39estructura d’ordre, 38estructura mesurable, 39estructura topologica, 39

recobriment, 19rectangle, 33

mesurable, 75

serie telescopica, 12semialgebra, 13, 22

generada, 13σ-algebra, 7, 14

generada, 8, 31, 38inicial, 38producte, 75

σ-algebra de Borel, 25en Rn, 8

σ-additivitat, 8subadditivitat

finita, 10, 33numerable, 10, 33

successio convergent en Lp, 96, 98successio convergent en llei, 111successio convergent en probabilitat, 95successio convergent feblement, 109successio convergent quasi segur, 95, 98successio creixent q.p.t., 57successio de Cauchy en Lp, 96successio de Cauchy en probabilitat, 95successio de Cauchy quasi segur, 95successio de conjunts, 11, 34, 35

convergent, 34creixent, 11, 34

lımit, 11decreixent, 11, 34

lımit, 11lımit, 11, 34, 35lımit inferior, 34, 35lımit superior, 34, 35monotona, 11

Teorema Central del Lımit, 123, 125


Teorema de Caratheodory, 1r, 18Teorema de Caratheodory, 2n, 19Teorema de Continuıtat de Levy, 119, 122Teorema de Fubini, 81, 85Teorema de Helly, 119, 120Teorema de la Convergencia Dominada, 59, 60Teorema de la Convergencia Monotona, 57, 58

teorema dual, 58Teorema de la Convergencia Uniforme, 74“Teorema de la Mesura a l’Espai Producte”, 82Teorema de la Mesura Imatge, 62, 67, 72, 73Teorema de la Mesura Producte, 77, 81, 85, 91Teorema de les Classes Monotones, 14Teorema de Prokhorov, 120Teorema de Radon–Nikodym, 65, 72Teorema Fonamental del Calcul, 118, 122Teoremes de Convergencia de Lebesgue, 57Teoria de la Integral de Lebesgue, 8, 37Teoria de la Integral de Riemann, 74Teoria de Series, 66topologia, 25

de Rn, 40de Rn, 40generada, 10

transformada de Fourier, 126transformada de Laplace, 126transformades, 126

variancia, 69variable aleatoria, 68

distribucio, 68llei, 68

variables aleatoriescriteri d’integrabilitat, 103famılia independent, 82–84, 91identicament distribuıdes, 99

variables aleatories incorrelacionades, 90variables aleatories independents, 118vector aleatori, 68

funcio de distribucio, 83llei, 83

Documents

Mesura i Probabilitat - Pàgines de la UABgent.uab.cat/aureli_alabert/sites/gent.uab.cat.aureli_alabert/... · 6 Materials Aureli Alabert refer encia xat pr eviament; es a dir, Ac