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Meshing submanifolds using Coxeter triangulations · PDF file Meshing submanifolds using Coxeter triangulations Siargey Kachanovich To cite this version: Siargey Kachanovich. Meshing

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Text of Meshing submanifolds using Coxeter triangulations · PDF file Meshing submanifolds using...

  • HAL Id: tel-02419148 https://hal.inria.fr/tel-02419148v2

    Submitted on 8 Jun 2020

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    Meshing submanifolds using Coxeter triangulations Siargey Kachanovich

    To cite this version: Siargey Kachanovich. Meshing submanifolds using Coxeter triangulations. Computational Geometry [cs.CG]. COMUE Université Côte d’Azur (2015 - 2019), 2019. English. �NNT : 2019AZUR4072�. �tel-02419148v2�

    https://hal.inria.fr/tel-02419148v2 https://hal.archives-ouvertes.fr

  • Maillage de variétés avec les triangulations de Coxeter

    Siargey KACHANOVICH Inria Sophia Antipolis – Méditerranée, Équipe-projet Datashape

    Présentée en vue de l’obtention du grade de docteur en informatique d’Université Côte d’Azur Dirigée par : Jean-Daniel BOISSONNAT Co-encadrée par : Mathijs WINTRAECKEN Soutenue le : 23/10/2019

    Devant le jury, composé de : Pierre Alliez, Inria Sophia Antipolis Aurélien Alvarez, ENS Lyon Dominique Attali, CNRS & Gipsa-lab Jean-Daniel Boissonnat, Inria Sophia Antipolis André Lieutier, Dassault Systèmes Vincent Pilaud, CNRS & École polytechnique Mathijs Wintraecken, IST Austria

    THÈSE DE DOCTORAT

  • Maillage de variétés avec les triangulations de Coxeter

    Jury :

    Président du jury : Pierre ALLIEZ INRIA Sophia Antipolis – Méditerranée

    Rapporteurs : Aurélien ALVAREZ ENS Lyon Dominique ATTALI Gipsa-lab

    Vincent PILAUD École Polytechnique

    Examinateurs : Jean-Daniel BOISSONNAT INRIA Sophia Antipolis – Méditerranée Mathijs WINTRAECKEN INRIA Sophia Antipolis – Méditerranée André LIEUTIER Dassault Systèmes

  • Mis en page avec la classe thesul.

  • Résumé

    Mots-clés: Génération de maillages, triangulations de Coxeter, triangulations de Freudenthal- Kuhn, qualité des simplexes, triangulations de l’espace Euclidien.

    Cette thèse s’adresse au problème du maillage d’une variété donné dans une dimension arbi- traire. Intuitivement, on peux supposer que l’on est donné une variété — par exemple l’interieur d’un tore plongé dans R9, et notre objectif est de construire une maillage de cette variété (par exemple une triangulation).

    Nous proposons trois contributions principales. La première est l’algorithme du tracé des var- iétés qui reconstruit un complexe cellulaire approchant une variété compacte et lisse de dimension m dans l’espace Euclidien Rd, pourm et d arbitraires. L’algorithme proposé utilise une triangula- tion T qui est supposé d’être une transformation linéaire de la triangulation de Freudenthal-Kuhn de Rd. La complexité dépend linéairement de la taille de la sortie dont chaque élément est cal- culé en temps seulement polynomial en la dimension ambiante d. Cet algorithme nécessite que la variété soit accedée par un oracle d’intersection qui répond si un simplexe (d−m)-dimensionel donné intersecte la variété. À ce titre, ce cadre est général et couvre plusieures représentations des variétés populaires, telles que le niveau d’une fonction multivariée ou les variétés données par un nuage de points.

    Notre deuxième contribution est une structure de données qui représente la triangulation de Freudenthal-Kuhn de Rd. À chaque moment de l’execution, l’espace utilisé par la structure de données est au plus O(d2). La structure de données supporte plusieures opérations d’une manière efficace telles que la localisation d’un point dans la triangulation et accès aux faces et cofaces d’un simplexe donné. Les simplexes dans une triangulation de Freudenthal-Kuhn de Rd sont encodés par une nouvelle représentation qui généralise celle de Freudenthal pour les simplexes d-dimensionels [Fre42].

    Enfin, nous étudions la géométrie et la combinatoire des deux types de triangulations étroite- ment liés : des triangulations de Freudenthal-Kuhn et des triangulations de Coxeter. Pour les triangulations de Coxeter, on démontre que la qualité des simplexes d-dimensionels est O(1/

    √ d)

    comparé au simplexe régulier. Par ailleurs, nous établissons lesquelles des triangulations sont de Delaunay. Nous considérons aussi l’extension de la propriété d’être Delaunay qui s’appelle la protection et qui mesure la généricité de la triangulation de Delaunay. En particulier, nous mon- trons qu’une famille de triangulations de Coxeter atteint la protection O(1/d2). Nous proposons une conjecture que les deux bornes sont optimaux entre les triangulations de l’espace Euclidien.

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  • Abstract

    Keywords: Mesh generation, Coxeter triangulations, Freudenthal-Kuhn triangulations, simplex quality, triangulations of the Euclidean space.

    This thesis addresses the manifold meshing problem in arbitrary dimension. Intuitively, suppose we are given a manifold — such as the interior of a torus — embedded in a space like R9, our goal is to build a mesh of this manifold (for example, a triangulation).

    We propose three principal contributions. The central one is the manifold tracing algorithm, which constructs a piecewise-linear approximation of a given compact smooth manifold of di- mension m in the Euclidean space Rd, for any m and d. The proposed algorithm operates in an ambient triangulation T that is assumed to be an affine transformation of the Freudenthal-Kuhn triangulation of Rd. It is output-sensitive and its time complexity per computed element in the output depends only polynomially on the ambient dimension d. It only requires the manifold to be accessed via an intersection oracle that answers if a given (d−m)-dimensional simplex in Rd intersects the manifold or not. As such, this framework is general, as it covers many popular manifold representations such as the level set of a multivariate function or manifolds given by a point cloud.

    Our second contribution is a data structure that represents the Freudenthal-Kuhn triangu- lation of Rd. At any moment during the execution, this data structure requires at most O(d2) storage. With this data structure, we can access in a time-efficient way the simplex that contains a given point, the faces and the cofaces of a given simplex. The simplices in the Freudenthal-Kuhn triangulation of Rd are encoded using a new representation that generalizes the representation of the d-dimensional simplices introduced by Freudenthal [Fre42].

    Lastly, we provide a geometrical and combinatorial study of the Freudenthal-Kuhn triangu- lations and the closely-related Coxeter triangulations. For Coxeter triangulations, we establish that the quality of the simplices in all d-dimensional Coxeter triangulations is O(1/

    √ d) of the

    quality of the d-dimensional regular simplex. We further investigate the Delaunay property for Coxeter triangulations. Finally, we consider an extension of the Delaunay property, namely protection, which is a measure of non-degeneracy of a Delaunay triangulation. In particular, one family of Coxeter triangulations achieves the protection O(1/d2). We conjecture that both bounds are optimal for triangulations in Euclidean space.

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  • Acknowledgments

    The research leading to the results in this thesis has received funding from the European Research Council (ERC) under the European Union’s Seventh Framework Programme (FP/2007-2013) / ERC Grant Agreement No. 339025 GUDHI (Algorithmic Foundations of Geometry Understand- ing in Higher Dimensions).

    The writing of this thesis could not be done without the massive support of the people around me. First and foremost, I would like to thank my PhD advisor Jean-Daniel Boissonnat for accepting to mentor me, his support and guidance. His comments stimulated me to make choices that shaped this thesis. I am very indebted to my co-advisor Mathijs Wintracken whose help and advice made this thesis possible. Together, Jean-Daniel and Mathijs did a tremendous work in reviewing this thesis and helping me to make it more pedagogical and I am very thankful to them for that.

    I thank Aurélien Alvarez, Dominique Attali and Vincent Pilaud for accepting to review my thesis, I am very grateful for their invaluable feedback. I also thank André Lieutier and Pierre Alliez for accepting to be in the jury during the defense.

    I would like to thank my team at Inria Sophia Antipolis who changed its name from Geo- metrica to Datashape, but never changed its friendly spirit. Many thanks go to my officemates Alba Chiara de Vitis, Owen Rouillé, Harry Lang, Hannah Schreiber, Hannah Santa Cruz Baur and Shreya Arya for making the life in the office so enjoyable. You are all wonderful people and I wish you only the best. Thank you, Arijit Ghosh, Ramsay Dyer, Alfredo Hubard, Rémy Thomasse, Mael Rouxel-Labbé, François Godi, Siddharth Pritam, Kunal Dutta, Clément Maria, David Cohen-Steiner and Guilherme Dias da Fonseca, for all the insightful discussions that we shared. All in different ways, you were models of a scientist to me, and I learned a lot from you.

    My life in Sophia Antipolis would not be the same without many friends I made there. I am grateful to pe

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