Merge sort i

primjene

Što je to?

Algoritam sortiranja koji je osmislio John von Neumann

1945. godine

Složenost O(n log n)

Divide and conquer tip algoritma

Osnovni princip

Podijeli niz na n podnizova koji imaju samo 1 element

(koji se smatra sortiranim)

Spajaj podnizove u veće podnizove i sortiraj elemente

prilikom spajanja

Primjer

31 24 47 1 6 78 12 65

31 24 47 1

31 24

31 24

24 31

47 1

47 1

1 47

1 24 31 47

6 78 12 65

6 78 12 65

6 78 12 65

6 78 12 65

6 12 65 78

1 6 12 24 31 47 65 78

Zadatak – brojanje inverzija

Za zadani niz a[] ispiši koliko ima inverzija, tj. koliko

postoji parova brojeva (i,j) tako da je i<j => a[i]>a[j] .

Primjer: unosimo broj elemenata i elemente niza

5

2, 4, 1, 3, 5

Rješenje: imamo 3 inverzije: (2, 1), (4, 1), (4, 3)

Uputa

Pretpostavimo da znamo broj inverzija na lijevoj

polovici i na desnoj polovici niza i neka su to brojevi

inv1 i inv2

Njima još treba dodati broj inverzija prilikom spajanja

U procesu spajanja neka je i indeks lijevog podniza, a j

indeks desnog podniza. U svakom koraku spajanja, ako

je a[i] > a[j], onda ima (mid-i) inverzija (jer ako su

lijevi i desni podniz sortirani, svi elementi u lijevom

podnizu a[i+1], a[i+2] … a[mid] su veći od a[j])

Što nam sve treba?

Treba napisati dvije funkcije

Za spajanje

int merge(int arr[], int temp[], int left, int mid, int right);

niz koji

sortiramo pomoćni

niz u koji

spajamo

dva

podniza

lijeva

granica

desna

granica

sredina

Što nam sve treba?

I za dijeljenje niza u podnizove rekurzivno te zvanje merge-a

za spajanje

int mergeSort(int arr[], int temp[], int left, int right, int N)

veličina

niza Sve isto

kao kod

merge-a

Kako izgleda mergeSort

Alociramo memoriju za pomoćno polje

temp = (int *)malloc(sizeof(int)*N);

Ako je right>left izračunamo mid = (right + left) / 2

Izračunamo broj inverzija u lijevoj polovici

inv_count = mergeSort(arr, temp, left, mid, N);

Te dodamo još i broj inverzija u desnoj

inv_count += mergeSort(arr, temp, mid+1, right, N);

I spojimo ta dva podniza i dodamo na inv_count

inv_count += merge(arr, temp, left, mid+1, right);

na kraju vratimo inv_count

return inv_count;

Kako izgleda merge?

Inicijaliziramo indekse

i = left; /* i indeks lijevog podniza*/

j = mid; /* j indeks desnog podniza*/

k = left; /* k indeks rezultirajuceg niza*/

Krećemo se po lijevom i desnom podnizu tako dugo dok

jedan od njih ne dođe do kraja

while ((i <= mid - 1) && (j <= right))

Ako je lijevi element manji, kopiramo ga u temp, a ako

nije kopiramo desni i brojimo inverzije

inv_count = inv_count + (mid - i);

Na kraju kopiramo ostatak lijevog ili desnog podniza u

temp

Kopiramo sve iz temp u originalno polje arr te vratimo

inv_count

Zadatak - Rally

U Zagrebu se, tradicionalno, sve prestupne godine održava rally utrka. Vozači i ekipe se skupljaju u Donjeg gradu, gdje izlažu svoje automobile zainteresiranoj publici. Zatim svaki igrač dobiva startni broj i trka počinje. Vozači kreću ka Gornjem gradu prema startnim brojevima u razmacima po 3 minute. Nakon završetka utrke u Gornjem se gradu održava veliko slavlje nakon kojega i vozači i publika peru suđe. Tek nakon što je suđe oprano, proglašava se pobjednik utrke. Legenda kaže da će zavladati glad do sljedeće trke ako se pobjednik proglasi prije nego li je oprano svo posuđe.

Međutim, Ministarstvo prometa i veza smatra da je trka preopasna i želi ju zabraniti uz obrazloženje da je raspon od 3 minute premali i dovodi do mnogo jako rizičnih pretjecanja. Ako bi se interval povećao na 7 minuta, trka bi trajala do kasno u noć i nitko ne bi ostao prati suđe. Potrebno je uvjeriti predstavnike Ministarstva da i pored raspona od 3 minute ne dolazi do velikog broja pretjecanja.

Poznati su podaci vezani uz zadnju održanu trku, tj. broj vozača N (1 ≤ N ≤ 100000) i redoslijed kojim su vozači stizali u Gornji grad. Od vas se očekuje da odredite minimalan broj pretjecanja koji se mogao dogoditi na danoj trci.

Ulaz i izlaz

Ulaz: U prvoj liniji nalazi se broj vozača N. U svakoj od

sljedećih N linija nalazi se po jedan broj - u i+1-oj liniji,

startni broj vozača koji je i-ti stigao u Gornji grad.

Izlaz: U prvoj i jedinoj liniji potrebno je ispisati ostatak

minimalnog broja pretjecanja pri dijeljenju sa 10000.

Napomena: Automobili su obilježeni startnim brojevima

od 1 do N, i tim redom kreću sa starta. U prilog trci ide i

podatak da u svakom pretjecanju sudjeluju samo dva

vozača. Još se nije dogodilo da neko od vozača ne završi

trku!

Test primjeri

Ulaz

5

4

3

2

1

5

Izlaz

6

Ulaz

2

2

1

Izlaz

1

Uputa

Očito je da se u zadatku traži broj zamjena mjesta

susjednih elemenata potrebnih za sortiranje danog niza.

Broj zamjena potrebnih za sortiranje niza jednak je

zbroju zamjena potrebnih za sortiranje dva podniza i

zamjena potrebnih za raspoređivanje elemenata.

Zadatak - Ribari

Stanovnici jednog malog sela bave se ribarenjem i programiranjem. Nakon završenog ribolova, ribari svoje čamce ostavljaju duž jedne obale uskog kanala. Svaki ribar ima jedan čamac i svoj stupić negdje duž kanala koji mu služi za privezivanje čamca, pri čemu smije vezati svoj čamac isključivo za svoj stupić. Čamci moraju biti ostavljeni tako da svaki čamac bude točno uz svoj stupić, što znači da stupić mora biti negdje neposredno pored čamca, tj. između dva kraja čamca (dozvoljeno je i da stupić bude neposredno pored nekog kraja čamca). Pošto je kanal uzak, najviše jedan čamac se može nalaziti na svakom poprečnom presjeku kanala, odnosno svi čamci moraju biti privezani neposredno do obale. Čamci se mogu dodirivati svojim krajevima.

Zbog ovakvog vezivanja čamaca nije obavezno moguće da čamci svih ribara budu vezani istovremeno. Zato su ribari zamolili svoje prijatelje programere da im izračunaju koliko najviše čamaca može istovremeno biti vezano. Međutim, programerima je ovo bio pretežak zadatak, pa su se i oni počeli baviti ribarenjem, a zadatak su prepustili vama.

Ulaz i izlaz

Ulaz:

U prvom redu zapisan je samo broj ribara n (1 ≤ n ≤ 10000).

U svakom od sljedećih n redova zapisani su prirodni brojevi li i pi (1 ≤ li, pi ≤ 100000) razdvojeni jednim razmakom, koji redom označavaju dužinu čamca i položaj (koordinatu) stupića i-tog ribara. Bilo koja dva stupića nemaju istu koordinatu.

Izlaz:

Ispisati samo jedan broj - koliko najviše čamaca može biti privezano istovremeno.

Test primjeri

Primjer1:

ulaz

5 9

2 17

6 10

3 11

2 16

4 13

5 6

izlaz

5

Primjer2:

ulaz

10

4 7

2 5

1 9

5 6

1 3

2 10

1 4

3 8

4 1

5 2

izlaz

7

Objašnjenje1:Najviše je moguće 5 čamaca da bude

istovremeno vezano, na primjer čamci 1, 2, 4, 5 i 7.

Ideja Dva su moguća rješenja

Pohlepni algoritam: Punimo skup privezanih

čamaca S. Jedan po jedan čamac pokušavamo

ubaciti u taj skup idući s lijeva na desno po

koordinatama stupića. Na početku skup S sadrži

samo najljeviji čamac privezan maksimalno u lijevo.

Neka su l i r koordinate lijevog i desnog kraja

posljednjeg ubačenog čamca, i neka trenutno

promatramo čamac opisan parom (li, pi). Ako

je pi ≥ r, tada ubacujemo i-ti čamac u skup S i

privežemo ga tako da ga postavimo što je moguće

više lijevo. Ako je pi <r, tada provjeravamo je

li li < r - l i ako jest izbacujemo posljednji čamac

iz S, i umjesto njega u S ubacujemo i-ti čamac,

također što je moguće više lijevo, a ako ne

vrijedi, i-ti čamac preskačemo.

Dinamičko programiranje: razmislite sami

Zadatak - filmovi

Kako se mali Mirko nije proslavio u matematici niti programiranju, roditelji su mu smanjili džeparac. Zato je on odlučio iskoristiti svoju veliku kolekciju DVD filmova i prodati ih po niskim cijenama. Svaki film se nalazi na jednom DVD-u, a na Mirkovom hard disku može stati najviše k filmova. Procedura prženja je sljedeća: ukoliko se traženi film nalazi na hard disku, Mirko odmah počinje sa prženjem; u suprotnom on mora naći odgovarajući DVD i presnimiti ga na hard disk. Ako na disku nema slobodnog prostora, on mora obrisati neki film. Traženje DVD-a i presnimavanje iziskuje puno vremena, i zato Mirko želi smanjiti taj broj. Na početku je njegov disk prazan.

On je napravio spisak filmova i zna točno redoslijed n kupaca koji dolaze spržiti omiljeni film. Mirko je uspio minimizirati broj prebacivanja filmova na HDD (a samim tim i čekanje kupaca). Vaš je zadatak izračunati koliko će najmanje puta Mirko ipak morati presnimiti neki film na hard disk.

Ulaz i izlaz

Ulaz:

U prvom redu se nalaze dva prirodna broja n i k. Broj n predstavlja broj naručenih filmova, a broj kj e broj filmova koji može stati na disk. U sljedećih n redova nalaze se redni brojevi filmova a[i] koje kupci uzimaju, poredani po vremenu dolaska.

Izlaz:

U prvom i jedinom redu ispisati minimalan broj presnimavanja DVD-a na hard disk.

Ograničenja:

1 ≤ n ≤ 10000

1 ≤ k ≤ 500

1 ≤ a[i] ≤ 10000

vremensko ograničenje za izvršavanje programa je 1 s.

Test podaci Primjer 1:

Ulaz

2 5

1

2

2

4

1

Izlaz

3

Primjer 2:

Ulaz

3 10

2

3

2

1

5

2

4

5

3

2

Izlaz

6

Objašnjenje:

Kako je hard disk na početku prazan, Mirko

mora presnimiti film s rednim brojem 1. Zatim,

mora presnimit film broj 2. Sljedeći kupac

naručuje film koji se već nalazi na disku, tako

da ga Mirko odmah sprži. Sljedeći kupac traži

film 4, tako da Mirko briše film broj 2 i

presnimava film broj 4. Posljednji film koji se

traži je broj 1, tako da ga Mirko ne mora

tražiti, jer se na hard disku nalaze filmovi 4 i 1.