1 Métodos Energéticos

Problema 1.1 Para a estrutura representada na figura, determine ascomponentes do deslocamento do nóC e B pelo PTV. Trace a deformadaaproximada da estrutura.

20 kN

AB

C

1 m

2 m

A = 10 cm2

E = 2.06 × 105 MPa

Problema 1.2 Para a estrutura representada na figura:

D

4 m

EA = const.EI = const.

I/A = 0.1 m2

4 m

A

B

5 kN/m

C

20 kN

2 m

a) Determine o deslocamento horizontal do pontoD, a rotação relativa emBe as componentes do deslocamento do nóC, pelo método de PTV.

b) Trace a deformada aproximada.

Nota: para efeitos de deformabilidade, despreze a contribuição do esforçotransverso.

Problema 1.3 Considere estrutura representada na figuraa) em que todas asbarras são deformáveis axialmente e por flexão, sendoEI = const., EA = 5EI.ParaP = 30 kN , responda as seguintes questões:

a) Determine o deslocamento vertical do pontoB utilizando os Teoremas deCastigliano.

b) Calcule a rotação emA utilizando o princípio dos trabalhos virtuais e osTeoremas de Castigliano;

c) Considere agora a estrutura representada na figurab). Obtenha osdiagramas de esforço normal e do momento flector na estruturautilizandoo Teorema de Menabrea;

1.5 m 3 m1.5 m

A

D

C

2 m

P

B

1.5 m 3 m1.5 m

A

D

C

2 m

P

B

Problema 1.4 Sabe-se que, para uma viga simplesmente apoiada de rigidezEI,sujeita a um momento concentradoM = 6EI aplicado na uma das extremidades,o deslocamento e a rotação são dados por:

M=6EI

x

yL

y(x) = L2ξ(ξ2− 3ξ + 2); y′(x) = L(3ξ2

− 6ξ + 2); ondeξ ≡

x

L

Determine, utilizando o Teorema de Betti, os momentos de fixação para a vigabi-encastrada sujeito a uma carga concentrada, representada.

6 m

4 m 2 m

20 kN

Problema 1.5 Para as vigas representadas e aplicando os Teoremas deCastigliano determine as flexibilidades para uma acção simultânea das forçasX1, X2 eX3:

2

X1

X2

X3

L

A, I

(a)

X1

X3X2

L

A, I

(b)

Problema 1.6 Para a barra bi-encastrada representada e recorrendo aosteoremas de Castigliano determine os coeficientes de rigidez segundo as direcções3 e 5 provocadas pelos deslocamentosθ3 eu5:

L

2

13 6

5

4

A, I

Problema 1.7 Determine os ceficientes de rigidezk11, k12, k15, k21, k22, k25,k51, k52 e k55 para a barra encastrada-rotulada representada provocadaspelosdeslocamentosu1, u2 e u5 utilizando os teoremas de Castigliano. Considereu2 > u5

L

2

13

5

4

A, I

3

Problemas Propostos

Problema 1.8 Considere as duas estruturas representadas sujeitas a um sistemade forçasPi. Admite que a deformada das estruturas, quando retirada a molae sujeitadas a uma forçaF que provoca um deslocamento unitário segunda adirecção da mola, é dada por uma função conhecida,η(x). Utilizando o Teoremade Betti, mostre que, a reacçãoR que aparece na mola devida a carga aplicadapode ser calculada por:

a.)

P1 P2 Pn

F

1

ηη

η 1 2

n

k

R =∑

Pi × ηi

b.)

P1 P2 Pn

F

1

ηη

η 1 2

n

k

R =

∑Pi × ηi

1 +F

k

4