Meotodo Carga Virtual Unitaria

7/28/2019 Meotodo Carga Virtual Unitaria

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UNIDAD III. MTODOS ENERGTICOS

MTODO DE LA CARGA UNITARIAAnalicemos una barra sujeta a un sistema de cargas en equilibrio, como laindicada en la figura siguiente.

En una seccin cualquiera de la barra se producen las fuerzas internas ya

conocidasN, Vx, VyMx, Myy T(fuerza normal, fuerzas cortantes, momentosflexionantes y momento torsionante).

A continuacin nos proponemos calcular el desplazamiento lineal , en un punto

cualquiera ipara una direccin determinada, con la condicin de que en este

punto no acta fuerza alguna. Este procedimiento se expone a continuacin.

Se aplica a la barra una carga virtual Pvde magnitud cualquiera, en el punto y en

la direccin en que se desea calcular el desplazamiento. Entonces para unaseccin transversal cualquiera de la barra, esta carga origina los elementos

mecnicos que denotaremos como Nv,Vxv, Vyv, Mxv, Myv y Tv. Si elcomportamiento de la barra se mantiene dentro del rango elstico, estos

elementos mecnicos son directamente proporcionales a la carga virtual, esto se

expresa as:

vvyvvxv

vyvvxvvv

PtTPmMPmM

PvVPvVPnN

yx

yx


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Donde n, vx, vy, mx, my y trepresentan las magnitudes de los elementosmecnicos caractersticos para cualquier seccin transversal y son variablesa lo largo de la longitud de la barra, originados por la carga virtual Pv.

Generalmente y para mayor comodidad en los clculos, la carga virtual Pv

se hace unitaria (Pv= 1), consecuentemente n, vx, vy, mx, myy trepresentanahora las magnitudes de los elementos mecnicos en cualquier punto de labarra causados por una carga unitaria.

Con base en lo anterior, la Energa de Deformacin Interna o el Trabajo deDeformacin Total en la barra, considerando todos los elementos mecnicosse expresa como:

dsGJ

tPTds

EI

PmMds

EI

PmM

dsGA

PvVds

GA

PvVds

EA

nPNW

L

om

vL

oy

vyyL

ox

vxx

L

o

vyyL

o

vxxL

o

vtotal

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

222

222

A continuacin obtendremos el desplazamiento i producido por el sistema decargas externa y la carga virtual Pvaplicada, para este fin haremos uso del

primerTeorema de Castigliano.

i

i

P

W

dsGJ

tPTds

EI

PmMds

EI

PmM

dsGA

PvVds

GA

PvVds

EA

nPN

P

L

om

vL

oy

vyyL

ox

vxx

L

o

vyyL

o

vxxL

o

v

v

i

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

222

222

dsGJ

ttPTds

EI

mPmMds

EI

mPmM

dsGA

vPvV

dsGA

vPvVdsEA

nnPN

L

om

vL

oy

yvyyL

ox

xvxx

L

o

yvyyL

oxvxx

L

ovi

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

ds

GJ

PtTtds

EI

PmmMds

EI

PmmM

dsGA

PvvVds

GA

PvvVds

EA

PnNn

L

om

vL

oy

vyyyL

ox

vxxx

L

o

vyyyL

o

vxxL

o

vi

x

)()()(

)()()(

222

222


3/5

Por ltimo, para obtener el valor del desplazamiento real en el punto de estudio,

en la ecuacin anterior se proceder a anular lostrminos que dan el valor del

desplazamiento adicional con que contribuye la carga virtual unitaria.

Resultando la expresin final.

dsGJ

tTds

EI

mMds

EI

mM

dsGA

vVds

GA

vVds

EA

nN

L

om

L

oy

yyL

ox

xx

L

o

yyL

o

xxL

oi

ECUACIN GENERAL DEL MTODO DE LA CARGA VIRTUAL

UNITARIA

OBSERVACIONES

N, Vx, Vy, Mx, Myy T son los valores de los elementos mecnicos delsistema real de cargas aplicado a la barra.

n, vx, vy, mx, my y trepresentan los valores de los elementos mecnicosocasionados por la carga virtual unitaria aplicada en el punto y en la

direccin en que se pretende calcular el desplazamiento.

Si se desea calcular desplazamientos lineales(traslaciones ocorrimientos) se debe aplicar una fuerza virtual unitaria en el punto y enla direccin de inters de la estructura en anlisis.

Si se desea calcular desplazamientos angulares(giros o rotaciones) sedebe aplicar un par (o momento) virtual unitario en el punto y en ladireccin de inters de la estructura en anlisis.

Los sistemas de ejes coordenados pueden estar orientados en formadiferente, por lo tanto es ms conveniente escribir la ecuacin generaldel Mtodo de la Carga virtual Unitaria sin referenciarla a sistemacoordenado alguno, expresndose dicha ecuacin en la forma siguiente.

dsGJ

tTds

EI

Mmds

GA

Vvds

EA

nN L

om

L

o

L

o

L

oi


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SIMPLIFICACIONES DE LA ECUACIN GENERAL DE LA CARGAVIRTUAL UNITARIA

1. Cuando la configuracin de la estructura analizada este compuesta porelementos donde predominen los efectos de la deformacin por fuerza axial,

fuerza cortante y momento flexionante, como pueden ser los marcos planos,la ecuacin general del mtodo de la carga virtual unitaria se reduce a:

dsEI

Mmds

GA

Vvds

EA

nN L

o

L

o

L

oi

2. Si son de inters en la estructura nicamente los efectos de flexin, como enel caso de vigas y en marcos planos, la ecuacin general del mtodo de lacarga virtual unitaria se reduce a:

dsEI

MmL

oi

3. APLICACIN AL ANLISIS ESTRUCTURAL DE ARMADURASPLANASComo sabemos, conforme a las hiptesis establecidas en el anlisis

estructural de las armaduras, sus barras que la componen estn sometidas

exclusivamente a fuerzas axiales o normales, y son elementos de longitudes

finitas con secciones transversales constantes, por tanto la ecuacin general

del mtodo de la carga virtual unitaria toma la estructura siguiente.

n

i ii

iiL

oi

AE

nNds

EA

nN

1

.

Los ejercicios que resolveremos a continuacin ejemplifican la aplicacin del

procedimiento de solucin mediante el mtodo de la carga virtual unitaria.


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.

P

1

2

P

1

2

CargaP aplicada en el punto 1 CargaP aplicada en el punto 2

A

B

C

D

A

B

C

D

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