Membrii echipei & profesori

• Dr. Anton Ioana Cătălina (profesor)

• Lect. Dr. Stoleriu Iulian(cercetător)

• Bărceanu Teodora (elev)

• Coroamă Georgiana-Ioana (elev)

• Grumeza Mara-Krysta (elev)

• Hîrbu Vlad (elev)

• Neacsa Matei (elev)

• Zavadovschi Bogdan (elev)

Colegiul “Costache Negruzzi” Iasi

în colaborare cu Universitatea “Alexandru Ioan Cuza”, Iași

MATCH THE MATHS

Prezentarea problemei

• Problema noastră presupune construcția uneimingi de fotbal, construită din hexagoane șipentagoane regulate.

• Știind diametrul mingii, a trebuit să aproximămlungimea cusăturii și aria mingii. Viceversa,știind lungimea laturii unui pentagon, a trebuit săaproximăm mărimea mingii.

Cerințe

a) Determinați numărul de pentagoane si de hexagoane care constituie mingea.

b) Determinați măsura totală a cusăturii.

c) Calculați aria mingii. Este egală cu aria unei sfere cu diametrul de 25 cm? De ce?

d) Presupunând că mingea de fotbal și o sferă au aceeași arie, decideți care dintre aceste corpuri au o arie mai mare. De ce?

e) Dacă latura pentagonului este egală cu 4,5 cm, determinați diametrul mingii.

Mingea folosită la Campionatul Mondial dinMexic, 1970

• La primul subpunct am descoperit că există 12 pentagoane și20 hexagoane, folosind principiul simetriei.

(a) Determinați numărul de pentagoane si de

hexagoane care constituie mingea.

Tăierea vârfurilor unui icosaedru trunchiat

• După aceea, am folosit teorema lui Euler, care se aplică la corpurile platonice.

• Aceasta poate fi scrisă ca: F + V − E = 2, unde F este numărul de fețe, V de vârfuri și E numărul de muchii.

• Am observat că

• Numărând muchiile, ținând cont de numărul de fețe, am obținut că

• Dezvoltând relația (1), am obținut că

E – E + H = 2 3H – E = 6 6H – 2E = 12

• Și că: 6(P + H) – (5P + 6H) = 12 6P + 6H = 12

P = 12 (numărul total de pentagoane)

• O minge de fotbal are forma unui icosaedru trunchiat,având 12 vârfuri. Din relația (2) aflăm că există 90 de muchii si, din (3), că

• De altfel, ținând cont că mingea are 32 de petice, observăm că:

H = 32 – P = 32 – 12 = 20

H = 20

• În rezolvarea acestu subpunct, am aproximat mingea de fotbal ca fiind un icosaedru trunchiat.

(b) Determinați măsura totală a cusăturii.

Ținănd cont că obținem că

• Latura unui icosaedru trunchiat este egală cu latura unui

pentagon, care este

a = 5.29 cm

•Ținând cont că mingea de fotbal are 90 de muchii,

perimetrul este egal cu

L = 90a 476.1 cm

(c) Calculați aria mingii. Este egală cu aria unei sfere cu diametrul de 25 de cm? De ce?

• Aria unei sfere cu diametrul d este egală cu

• De asemenea, aria unei mingi de fotbal este egală cu

• Aria unui pentagon cu latura a este

• Aria unui hexagon de latuă a este

• Așa că, aria unei mingi de fotbal este:

• Cu alte cuvinte, calculul nostru a dus la următorul rezultat

Dintre toate corpurile care au același volum, sfera are

cea mai mică arie.

Un icosaedru și cum se trunchiază

(d) Presupunând că mingea de fotbal și o sferă au aceeași arie, decideți care dintre aceste 2 corpuri au un volum mai mare. De ce?

Aproximarea unei mingi de fotbal

• După cum putem observa, volumul mingii este mai mic decât volumul sferei. Datorită faptului că suprafața mingii este acoperită cu petice și spațiul în care aerul este plasat este mai mic decât la o sferă.

• Cu alte cuvinte, calculul nostru are următorul rezultat:

Dintre toate corpurile cu aceeași arie, sfera are cel mai

mare volum.

(e) Dacă latura pentagonului este de 4,5 cm, determinați diametrul mingii.

• Știind latura unui pentagon (a = = 4.5 cm), trebuie să găsim diametrul mingii. Astfel, am egalat volumul unei sfere cu cel al unui icosaedru trumchiat.

• Așa că,

l

3

Concluzii• La început credeam că este ușor sa construim o minge

de fotbal, folosind anumite formule matematice șilogice, dar, rezolvând problema și documentându-nedespre subiect, am văzut că este mult mai greu, multămuncă și nenumărate eșecuri.

• Raportându-ne la soluția obținută, este doar oproblemă normală de geometrie, lucrând cu un corp cu20 de fețe, decupând toate piramidele pentagonale,creând o formă de minge.

Experiența noastră la Math & Jeans

• Putem spune că experiența noastră a implicat următoarele:

• Am învățat să lucrăm în echipă și să apreciem ideilecelorlalți

• Am abordat o perspectivă analitică asupra cerințelor

• Ne-am îmbunătățit abilitățile de căutare și documentare

• Am reușit să ne înfrângem frica de a vorbi în public

Surse de documentare

• Bogdan Enescu – Match the Math work

• Wikipedia – Icosahedron and Relations

• Research about Izometrical and Izoperimetricalproperties

• Research about “How to create a soccer ball”

Mulțumim pentru atenție!