1 El Mtodo de Elementos Finitos (MEF)

1.1 Funciones de prueba por tramos

Los mtodos de residuos ponderados son muy poderosos, principalmente el mtodo de Galerkin, peropresentan una limitacin importante: no establecen una manera sistemtica para elegir el conjunto defunciones de prueba necesario para determinar la forma de las aproximaciones

^u (que se establecen para

todo el dominio ).

Las funciones de prueba que se utilizan para armar^u son arbitrarias, salvo por los requisitos de

independencia, continuidad y deribabilidad que deben cumplirse para todo el dominio . Quien quieraresolver un problema deber elegir entre distintas posibilidades, lo cual puede no resultar muy claro enalgunos casos. Lo que s esta claro es que la calidad de la solucin que se obtenga depender fuertementede las propiedades de las funciones que se elijan. El problema empeora cuando se trata de probemas endos y tres dimensiones donde el contorno del dominio suele ser de geometra complicada y las funcionesNm deben disearsepara satisfacer las condiciones en esos bordes. Por otra parte, una mala eleccinde las funciones de prueba puede resultar en una matriz de coecientes K mal condicionada lo cual haceque sea difcil o imposible encontrar su solucin con un grado de aproximacin suciente.Una manera alternativa de armar

^u es hacerlo por tramos. Esto signica dividir el dominio en

subdominios e a los que llamaremos elementos, los cuales no deben superponerse, y elegir las expresionespara

^u que valdrn para cada uno de los subdominios de la particin. La integral del residuo que

esta denida sobre todo el dominio, por propiedad de las integrales, se obtendr como la suma de lascontribuciones de las integrales sobre cada uno de los subdominios o elementos, es decir:

Z

Wl R d =

NEXe=1

0@Z

e

Wl R d

1A (1a)Z

W l R d =NEXe=1

0@Ze

W l R d

1A (1b)No perdiendo de vista que:

=NEXe=1

e (2a)

=NEXe=1

e (2b)

donde NE representa el nmero de subdivisiones e (nmero de elementos) en los que se ha divididoel dominio y e es la parte del subdominio e que se encuentra sobre .

1

Figura1: Discretizacin conelementos

1.1.1 Aproximacin mediante funciones de forma denidas por tramo

En la Fig.[2] el dominio = [0; L] se ha dividido eligiendo puntos xi (i = 1; 2; :::;M) que pertenecen a ,siendo x1 = 0 y xM = L. Cada elemento e se dene como el intervalo xe x xe+1. A la subdivisindel dominio la denominaremos discretizacin. En la misma gura se muestra la aproximacin de unafuncin u cualquiera en un dominio unidimensional utilizando colocacin por puntos, eligiendo comopuntos de colocacin a los puntos medios de cada elemento, a los que denominaremos nodos.

Figura 2: Aproximacin con elementos constantes

Como resultado de esto, la aproximacin^u tiene valor constante dentro de cada elemento (subdo-

minio), resultando una funcin discontinua en los puntos donde un elemento se conecta con sus vecinos.

2

Figura 3: Funciones de prueba constantes

La funcin^u puede escribirse en este caso:

u ' ^u =M1Xm=1

^umNm en (3)

Nm =

1 si e = m0 si e 6= m

(4)

Donde Nm es una funcin de forma global discontinua, como puede observarse en Fig.[3], que tiene

valor 1 en el elemento m y cero en el resto del dominio;^um es el parmetro que toma el valor de la

funcin u en el nodo m.Si se piensa la aproximacin desde el punto de vista de los elementos, esta resulta:

u ' ^u = ueNe = ^ue en el elemento e (5)La aproximacin que se obtendr no va a coincidir en los extremos (x = 0 y x = L) con los valores

que toma la funcin original u en esos puntos. Una manera de obtener una mejor aproximacin seradisminuir la longitud de los elementos que tienen como punto medio a los nodos 1 y M 1.Otro aspecto de la gura, que guarda relacin con el mtodo de elementos nitos, es que se numeran

los nodos y los elementos (las numeraciones son independientes una de la otra) numeracin que en estecaso tan simple es muy obvia.En Fig.[4] se muestra la misma subdivision del dominio que en Fig.[2], pero se utilizan funciones

lineales dentro de cada elemento, resultando una mejor aproximacin. En este caso los nodos coincidencon los extremos del elemento. Otra particularidad es que a cada nodo m se le asocia una funcin Nmglobal con las siguientes propiedades:

es no nula dentro de los elementos que se encuentran conectados por el nodo m es nula en los restantes elementos (elementos que no contienen al nodo m) Nm = 1 en x = xm Nm = 0 en xj 6= xm (xj y xm son las coordenadas x de los nodos j y m respectivamente)

3

Figura 4: Aproximacin con elementos lineales

Desde un punto de vista global, nuevamente:

u ' ^u =M1Xm=1

^umNm en (6)

Figura 5: Funciones de prueba lineales

Donde, ahora tenemos que, si los nodos consecutivos i; j; k:

Nj (x) =

8

u ' ^u = uiNei + ujNej en el elemento e (9)Donde:ui y uj son los valores que toma la funcin u en el nodo i y en el nodo j respectivamenteNei y N

ej son funciones de interpolacinlineales que se denen como:

Nei =he (x xi)

he(10)

Nej =(x xi)he

he = xj xiPara encontrar los coecientes de la aproximacin debemos plantear el residuo, si se utiliza Galerkin

(Wl = Nl), puede escribirse como:

LZx=0

Nl

u ^u

dx (11)

Restan ahora seguir los pasos ya vistos para residuos ponderados.(Se sugiere utilizar funciones denidas por tramos lineales para encontar una aproximacin a la funcin

propuesta en el ejemplo 1 de la seccin Antecedentes del mtodo de elementos nitos).

1.2 Aproximacin a la solucin de ecuaciones diferenciales.

Veremos ahora como utilizar las funciones de prueba denidas en la seccin anterior para resolver ecua-ciones diferenciales. La forma general de una ecuacin diferencial:

A(u) = L(u) + p = 0 en (12)y de las condiciones de borde asociadas

B(u) =M(u) + r = 0 en (13)Si aplicamos residuos ponderados para obtener una aproximacin discretaZ

Wl R d+

Z

W l R d = 0 (14)

R = A(^u) = L(^u) + p en (15a)

R = B(^u) =M(^u) + r en (15b)

Cuando se denieron las funciones por tramos en la seccin anterior, en el primer caso teniamos unafuncin discontinua entre elementos y en el segundo una funcin continua pero con derivadas discontinuasentre elementos. Observando (14) vemos que contiene derivadas de la funcin aproximada. Surge ahorala pregunta: ser posible utilizar este tipo de funciones de aproximacin?

5

1.2.1 Condiciones de continuidad

Para obtener una respuesta a la pregunta planteada, se analizan los siguientes tres tipos de funciones deaproximacin en la vecindad del punto de unin o entre dos elemetos:

funcin discontinua en o (Fig.[6a)]) funcin continua en o, pero su derivada primera es discontinua en o (Fig.[6b)]) la funcin y su derivada primera son continuas en o pero la derivada segunda de la funcin esdiscontinua en o (Fig.[6c)])

Figura 6: Funciones de forma y sus derivadas en la union de dos elementos (1D)

Estas tres funciones tendrn valores innitos de la derivada primera, segunda y tercera en el punto orespectivamente. Para evaluar las integrales de la expresin de residuos ponderados (14) sera deseableno tener esos valores innitos porque se indetermina la forma integral.Entonces podemos observar que si los operadores L() yM() contienen derivadas de orden d, apare-

cern derivadas de orden d en nuestra expresin (14), entonces debemos asegurarnos que las funciones Nmtengan derivadas continuas de orden d1. Diremos entonces que nuestras funciones requieren continuidadde orden d 1, y utilizaremos la notacin Cd1.

6

Si en L() y M() no aparecen derivadas (d = 0) podremos utilizar la primera funcin denida portramos (Fig.[6a) ]); si aparecen derivadas primeras (d = 1) podremos utilizar la segunda funcion denidapor tramos (Fig.[ 6b)]) continuidad C0 y si aparecen derivadas segundas utilizar concontinuidad C1

(Fig.[6c ]).Las condiciones de continuidad que deben cumplir las funciones de prueba tambin son exigibles a las

funciones de peso Wl. En el caso de colocacin por puntos, estos requerimientos no se cumplen pero estaexcepcin es permisible dado que la integral del residuo toma un valor nito. En general no se utilizanfunciones de peso especiales. Las condiciones de continuidad establecidas constituyen condicin sucientepara que sea vlido utilizar las funciones de peso Wl.Si reemplazamos a u por

^u denida como en (9) en la expresin del residuo (14) se tiene:

Z

Wl

L(^u) + p

d+

Z

W l

M(^u) + r

d = 0 (16)

Z

Wl L(^u)d+Z

Wlp d+

Z

W lM(^u)d +Z

W lrd = 0

Al agrupar trminos convenientemente, se obtienen:

Klm =

Z

Wl L(^u)d+Z

W lM(^u)d (17)

fl =

Z

Wlp d+

Z

W lrd

1.3 Clculos bsicos del mtodo de elementos nitos. Problemas unidimen-sionales (1D)

Los pasos a seguir para obtener la solucin aproximada a un problema especco, combinando las opcionesmas ventajosas ya presentadas, pueden ordenarse segn la siguiente lista:

Establecer el problema (ecuacin diferencial y condiciones de contorno, -forma fuerte del problema-) Planteo del residuo Encontrar la forma dbil del residuo Eleccin de las funciones de peso y de prueba (denidas por tramos y teniendo en cuenta lascondiciones de continuidad, -Galerkin-)

Discretizar el dominio (establecer los subdominios) Evaluar las integrales (obtener los coecientes Klm y fl ) Aplicar las condiciones de borde (*) Resolver el sistema de ecuaciones algebraicas.

((*) Este item ha estado implcito en el proceso de clculo, pero deja de estarlo cuando se utiliza ladescripcin local y el proceso de ensamble que se presentan ms adelante).Antes de proceder a aplicar estos pasos a un ejemplo, se analizan algunas consideraciones a tener en

cuenta al utilizar funciones de discontinuas denidas por tramo para resolver ecuaciones difereciales.

7

1.3.1 Propiedades de la matriz K y del vector f

Examinaremos algunas propiedades de la matriz de coecientes y del vector de trminos independientes.

Aditividad Esta propiedad se deriva de la propiedad del clculo de integrales, respecto de su dominio.La expresin general para obtener el coeciente Klm es:

Klm =

Z

Wl L(Nm) d (18)

Si adoptamos un dominio unidimensional, = [0; L] (solo a los nes de aportar mayor claridad)podemos escribir la expresin anterior como:

Klm =

LZ0

Wl (x) L(Nm (x)) dx (19)

=

x1Zx0=0

Wl (x) L(Nm (x)) dx+x2Zx1

Wl (x) L(Nm (x)) dx+ :::+x=LZxM1

Wl (x) L(Nm (x)) dx

=NEXe=1

Z

e

Wl (x) L(Nm (x)) d

=

NEXe=1

Kelm

En las expresiones (19) conZ

e

se denota la integracin sobre dominio e del elemento; en el interior

del elemento e se cumple que Nm = Nem (si por ejemplo utilizamos (7)) (lo mismo valdra para Wl = Nel )

entonces:

Kelm =

Z

e

W el (x) L(Nem (x)) d (20)

y como consecuencia

Klm =NEXe=1

Kelm (21)

Lo mismo sucede con fl, haciendo las mismas consideraciones que para Klm:

fl =

Z

Wl p d+

Z

W l r d (22)

=

x1Zx0=0

Wl (x) p dx+

x2Zx1

Wl (x) p dx+ ::+

x=LZxM1

Wl (x) p dx+W l(0) r +W l(L) r

=NEXe=1

24Z

e

Wl (x) p d

35+R=

NEXe=1

fel

8

R =W l(0) r +W l(L) r (23)

fel =

Z

e

W el (x) p d+R (24)

fl =NEXe=1

fel (25)

donde fel es la componente del vector de trminos independientes para el elemento

e = [xe1; xe].

Para los elementos que tengan nodos en el contorno del dominio R estar dada por alguno de lostrminos de la (23) (siendo R = 0 para los elementos que no tengan ningn nodo que pertenezca a ).Esta propiedad permite que sea posible obtener la matriz K y el vector f , para resolver el problema

en todo el dominio , calculando los coecientes de las matrices Ke y el vector fe de cada elemento tpico

e y sumar luego las contribuciones de cada uno como establecen (21) y (25). Se denomina ensamble alproceso de sumar las contribuciones a K y f de cada elemento, procedimiento que se abordar con msdetalle ms adelante.

Matriz K es bandeada Las funciones de forma Nk se denen de modo tal que pueden ser pensadascomo que estn asociadas al nodo k, como se esquematiza en la siguiente gura:

Figura 7: Funciones de forma lineales en sistema global

Entonces, la funcin global Nm 6= 0 en m y m+1 y nula en el resto del dominio. Si el elemento eque comprende e esta denido en una dimensin, podr compartir su nodo i con el elemento e 1 y sunodo j con elelemento e+ 1. De modo que Ni 6= 0 en el dominio de los elementos e 1 y e y nula en elresto del dominio similarmente con Nj 6= 0 en los elementos e y e+ 1 y nula en los restantes elementos.Lo mismo sucede con las derivadas, lo que produce que Kij = 0 si el elemento no contine a los nodos i oj. Esto produce una matriz que tendr elementos no nulos en la diagonal principal y cerca de ella. Loselementos no nulos forman una banda, lo que le da nombre a las matrices con esta caracterstica. Elancho que tenga la banda depender de como se hayan numerado los nodos, por lo cual se debe prestaratencin a este aspecto.Por ejemplo, observando la Fig.[7], la funcin N2 es no nula para los elementos 2 (2) y 3 (3), y

nula en los restantes elementos (subdominios).

Matriz K es simtrica Debido a que se est utilizando residuos ponderados con funciones de pesode tipo Galerkin, si se intercambian los indices en las expresiones de los coecientes de la matriz derigidez, se observa que Kij = Kji por lo cual la matriz K es simtrica. (La simetra de K depende deloperador diferencial del cual se ha obtenido la forma dbil, es vlida para los operadores denominadosautoadjuntos).Esta propiedad es muy importante en el momento de denir el algoritmo a programar.

EJEMPLO 1:Se procede a aplicar los pasos enumerados para resolver el siguiente ejemplo unidimensional.

9

@2

@x2+ = f(x) para 0 x 1

f(x) = x

= 0 en x = 0

= 0 en x = 1

Se adoptan las Nm denidas en forma global como en (7), por lo cual solo debe minimizarse el residuoen el dominio (las funciones cumplen con las condiciones de contorno).

1Z0

Wl

0@@2^@x2

+^ f(x)

1A dx = 0Si se integra por partes el primer trmino para obtener la forma dbil del residuo:

1Z0

Wl@2

^

@x2dx =

24Wl0@@^@x

1Ax=1

Wl0@@^@x

1Ax=0

35 1Z0

@Wl@x

@^

@xdx

8

1.3.2 Descripcin global y local del elemento

A partir de la propiedad de aditividad, podemos observar que debemos repetir los mismos clculos paracada elemento. Por esto solo debemos hacer stos clculos sobre un elemento tpo al que denominaremoselemento maestro. Para ello, conviene introducir el punto de vista del elemento (local) como se muestraen la siguiente gura:

Figura 8: Descripcin global y local de un elemento

En la siguiente tabla se enumeran las caractersticas del elemento desde una descripcin global y desdela descripcin local

Descripcin global Descripcin local1) Dominio [xi; xj ] 1) Dominio [1; 2]2) Nodos fi; jg 2) Nodos f1; 2g3) Grados de libertad fui; ujg 3) Grados de libertad fu1; u2g4) Funciones de forma

Nei (x) ; N

ej (x)

4) Funciones de forma fNe1 () ; Ne2 ()g

5) Funcin de interpolacin (prueba) 5) Funcin de interpolacin (prueba)^e = aiN

ei (x) + ajN

ej (x)

^e

= a1Ne1 () + a2N

e2 ()

Para relacionar los dominios global y local, se utiliza una transformacin an que se dene como:

: [xi; xj ]! [1; 2] tal que (xi) = 1 y (xj) = 2 (26)Es usual adoptar 1 = 1 y 2 = 1, entonces (x) puede escribirse como:

(x) = a+ bx (27)

11

para obtener los valores de a y b se debe resolver el siguiente sistema:

1 = a+ bxi (28)1 = a+ bxj (29)

con lo cual se obtiene que:

(x) =2x xi xjxj xi (30a)

Pero el tamao del elemento es he = xj xi entonces:

(x) =2x xi xj

he(31)

La funcin inversa a (x) se obtiene despejando de la anterior la variable x

x () =he + xi + xj

2(32a)

x () =(xj xi)

2 +

(xj + xi)

2(32b)

Si se utiliza esta ltima expresin es posible denir funciones de prueba (o de forma o de interpolacin)en forma local a partir de las correspondientes funciones globales. Ya se haba denido que, por ejemplo:

Nei (x) =he (x xi)

he

Nej (x) =(x xi)he

he = xj xisi reemplazamos x () en las expresiones anteriores obtenemos:

Ne1 () =1

2(1 ) (33)

Ne2 () =1

2(1 + )

Con lo cual se completa el punto de vista local del elemento.Si se utilizan las expresiones (33) se puede escribir (32a) como:

x () = Ne1 ()xi +Ne2 ()xj (34)

La (34)muestra que la interpolacin del dominio es la misma que para la funcin incgnita . A laexpresin (34) se la denomina mapeamiento de la geometra.

Se sintetizan a continuacin algunas expresiones que sern tiles para continuar con los clculosnecesarios.Integracin por partes (teorema de Green): sea la funcin u y el operador diferencial dv,

denidas en el dominio cuyo contorno es , entonces:Z

udv = uv j Z

vdu (35)

Cambio de variables: sea una funcin real integrable f denida en el intervalo [x1; x2] que se nota:

12

f : [x1; x2]! Ry sea x una funcin continuamente diferenciable que cumple con x (1) = x1 y x (2) = x2 cuya

notacin es:

x : [1; 2]! [x1; x2]entonces

x2Zx1

f (x) dx =

2Z1

f (x ())@x ()

@d (36)

Regla de la cadena: sea una funcin f integrable y diferenciable (f : [x1; x2]! R) y x una funcincontinuamente diferenciable (x : [1; 2]! [x1; x2]), entonces:

@

@f (x ()) =

@f (x ())

@x

@x ()

@(37)

1.3.3 Clculo de la matriz de coecientes o matriz de rigidez

La matriz de coecientes Klm en el contexto del mtodo de elementos nitos es comunmente denominadamatriz de rigidez debido a que este mtodo surgi en el mbito del clculo de estructuras donde loscoecientes representan la rigidez de la estructura asociada a un desplazamiento generalizado unitario.La expresin para obtener la matriz de coecientes Klm (20), con las Nem (x) denidas globalmente

por tramos:

Kelm =

Z

e

W el (x) L(Nem (x)) d

puede ahora ser calculada a partir de la visin local del elemento utilizando el cambio de variables yla regla de la cadena para el clculo de las derivadas de la siguiente manera (por simplicidad se presentapara un dominio unidimensional):

Kelm =

Zhe

W el (x) L(Nem (x))dx (38)

=

1Z1W el (x ())L(Nem (x ()))

@x ()

@d

1.3.4 Clculo del vector de trminos independientes o vector de cargas

El vector de trminos independientes fl en el contexto del mtodo de elementos nitos es conocido comovector de cargasya que en el clculo de estructuras, sus componentes representan las fuerzas externasque actan sobre la estructura.La expresin para obtener el vector fl (24)

fel =

Z

e

W el (x) p d

Utilizando el cambio de variables y la regla de la cadena se puede calcular con la visin local delelemento de la siguiente manera ( si el dominio es unidimensional):

13

fel =

1Z1W el (x ()) f (x) dx (39)

Esta expresin contiene a la funcin f (x) contnua, adems de la funcin de peso (que en el casode utilizar Galerkin ser Nl). Si se piensa sistematizar el clculo haciendo uso de la descripcin local,tener una funcin denida en forma continua complica el proceso. Ahora bien, nada impide que se utiliceuna aproximacin paramtrica a f (x). En el caso que resulte conveniente podrian utilizarse las mismasfuciones de forma y escribir entonces:

f (x) 'NEXe=1

fe (x) =NEXe=1

f (xi)N

ei (x) + f (xj)N

ej (x)

(40)

f (xi) y f (xj) son los valores que toma f (x) en las coordenadas de los nodos i y j, con lo cual seobtiene una forma discreta tambin para f (x). (Cabe aclarar que es posible utilizar otro conjunto defunciones de forma para discretizar f (x) si fuera ms apropiado). Entonces:

fel =

1Z1W el (x ())

(NEXe=1

f (xi)N

ei (x) + f (xj)N

ej (x)

)dx (41)

EJEMPLO 2:Tomando un problema similar al denido en el ejemplo 4 del captulo anterior:

@2

@x2+ + f (x) = 0

f (x) = x

= 0 en x = 0

@

@x= 1 en x = 1

El residuo entonces es:

1Z0

Wl

0@@2^@x2

+^+ f (x)

1A dx+ Wl ^ 0x=0

+

Wl

@

@x 1

x=1

= 0

Integrando por partes:

1Z0

Wl@2

^

@x2dx =

24Wl @^@x

35x=1

24Wl @^

@x

35x=0

1Z0

@Wl@x

@^

@xdx

Reemplazando

24Wl @^@x

35x=1

24Wl @^

@x

35x=0

1Z0

@Wl@x

@^

@xdx+

1Z0

Wl^dx

1Z0

Wlf (x) dx+

Wl

^ 0

x=0

+

Wl@

@x+Wl (1)

x=1

= 0

Si se adoptaWlx=1

= (Wl)x=1 y se utiliza Galerkin, quedan:

1Z0

@Wl@x

@^

@xdx+

1Z0

Wl^dx

1Z0

Wlf (x) dx+

24Wl @^@x

35x=0

+

Wl

^ 0

x=0

+(1)Wl

x=1

= 0

14

La solucin aproximada estar dada por:

'^ = 1N1 + 2N2 + 3N3 + 4N4 + 5N5

donde k son los parmetros incgnitas, que representan al valor de la funcin en la coordenada nodalxk como en (6).Reemplazando la solucin aproximada y agrupando convenientemente, las expresiones de los coe-

cientes de la matriz de rigidez y del vector de cargas generales son:

Klm =

1

Z0

@Nl@x

@Nm@x

dx+

1Z0

NlNmdx

fl =

1Z0

Nl f (x) dx

Los trminos

R =

Wl

^ 0

x=0

+

24Wl @^@x

35x=0

+(1)Wl

x=1

no estan incluidosKlm y fl se tendrn en cuenta en el momento de aplicar las condiciones en los contornos.El sistema puede escribirse como:

K+ f = 0

Si ahora subdividimos el dominio en cuatro subdominios de igual longitud (discretizamos con cuatroelementos), de modo tal que el nodo 1 tenga coordenada x = 0 y el nodo 5 x = 1, como en la gura:

Si adoptamos las funciones de forma denidas por

Nei (x) =he(xxi)

he@Nei (x)@x =

1he

Nej (x) =(xxi)he

@Nej (x)

@x =1he

he = xj xix() =

(xjxi)2 +

(xj+xi)2

@x()@ =

he

2

y utilizamos estas funciones para calcular las integrales tendremos:

Kelm = Zhe

@Nel (x)

@x

@Nem (x)

@xdx+

Zhe

Nl (x)Nm (x) dx

Si se utiliza el cambio de variable x () y la regla de la cadena se tiene

Kelm = 1Z1

@Nel (x ())

@

@ (x)

@x

@Nem (x ())

@

@ (x)

@x

@x ()

@d +

1Z1Nl (x ())Nm (x ())

@x ()

@d

donde:

15

Ne1 () =12 (1 ) dN

e1 ()d =

12

Ne2 () =12 (1 + )

dNe2 ()d =

12

(x) =2xxixj

he@(x)@x =

2he

notar que

@ (x)

@x=

@x()

@

1

dx =dx ()

dd

=

xidNe1 ()

d+ xj

dNe2 ()

d

d

=

12xi +

1

2xj

d =

xj xi2

d

dx =

he

2

d

Kelm = 1Z1

@Nel ()

@

2

he@Nem ()

@

2

hehe

2d +

1Z1Nl ()Nm ()

he

2d

Haciendo las mismas consideraciones para el vector de cargas, utilizaremos una parametrizacin dela funcin fuente f(x) mediante sus valores nodales y las funciones de interpolacin de cada elemento,entonces:

f(x) '4Xe=1

fe (x) =4Xe=1

f (xi)N

ei (x) + f (xj)N

ej (x)

i = 1; 2; 3; 4

j = 2; 3; 4; 5

si se reemplaza en la anterior y se utiliza el cambio de variable (del mapeamiento)

fel =

Zhe

Nel (x ())f (xi)N

ei (x ()) + f (xj)N

ej (x ())

@x ()@

d

fei =

1Z1Nei ()

f (xi)N

ei () + f (xj)N

ej ()

he2d para l = i

fej =

1Z1Nej ()

f (xi)N

ei () + f (xj)N

ej ()

he2d para l = j

Para el elemento e genrico:

16

Ke =

Ke11 K

e12

Ke21 Ke22

fe =

fe1fe2

explcitamente:

Ke11 = 1Z1

@Ne1 ()@

2he

@Ne1 ()@

2he

he

2 d +

1Z1N1 ()N1 ()

he

2 d

= 1Z1

12

12

2he d +

1Z1

12 (1 ) 12 (1 ) h

e

2 d =he

3 1he

Ke12 = 1Z1

@Ne1 ()@

2he

@Ne2 ()@

2he

he

2 d +

1Z1N1 ()N2 ()

he

2 d

= 1Z1

12

12

2he d +

1Z1

12 (1 ) 12 (1 + ) h

e

2 d =he

6 +1he

fe1 =

1Z1Ne1 () [f (xi)N

e1 () + f (xj)N

e2 ()]

he

2 d

=

1Z1

12 (1 )

f1

12 (1 ) + f2 12 (1 + )

he

2 d =hef13 +

hef26

Ke21 = 1Z1

@Ne2 ()@

2he

@Ne1 ()@

2he

he

2 d +

1Z1N2 ()N1 ()

he

2 d

= 1Z1

12

12

2he d +

1Z1

12 (1 + )

12 (1 ) h

e

2 d =he

6 +1he

Ke22 = 1Z1

@Ne2 ()@

2he

@Ne2 ()@

2he

he

2 d +

1Z1N2 ()N2 ()

he

2 d

= 1Z1

12

12

2he d +

1Z1

12 (1 + )

12 (1 + )

he

2 d =he

3 1he

fe2 =

1Z1Ne2 () [f (xi)N

e1 () + f (xj)N

e2 ()]

he

2 d

=

1Z1

12 (1 + )

f1

12 (1 ) + f2 12 (1 + )

he

2 d =hef16 +

hef23

Ke =

he

3 1he he

6 +1he

he

6 +1he

he

3 1he

fe =

he

6

2f1 + f2f1 + 2f2

e =

e1e2

Para e = 1, he = 1=4, f1 = f(0) = 0, f2 = f(1=4) = 1=4,

11 = 1,

12 = 2

17

K1 = 124

94 9797 94

f1 = 124

1=41=2

1 =

1112

=

12

Para e = 2, he = 1=4, f1 = f(1=4) = 1=4, f2 = f(1=2) = 1=2,

21 = 2,

22 = 3

K2 = 124

94 9797 94

f2 = 124

15=4

2 =

2122

=

23

Para e = 3, he = 1=4, f1 = f(1=2) = 1=2, f2 = f(3=4) = 3=4,

31 = 3,

32 = 4

K3 = 124

94 9797 94

f3 = 124

7=42

3 =

3132

=

34

Para e = 4, he = 1=4, f1 = f(3=4) = 3=4, f2 = f(1) = 1,

41 = 4,

42 = 5

K4 = 124

94 9797 94

f4 = 124

5=211=4

4 =

4142

=

45

Debido a la propiedad de aditividad de las matrices Ke y del vector fe, tendremos que

K= K 1 +K2 +K3 +K4

f= f 1 + f2 + f3 + f4

K+ f = 0

Debemos tener en cuenta que el sistema a resolver tiene 5 incgnitas f1; 2; 3; 4; 5g por lo cual lamatriz global K tendr dimensin 5 x 5, el vector global f tendr 5 componentes. Entonces, el elemento1 contribuye a la matriz global y vector de trminos independientes con:

K1= 124

26666494 97 0 0 097 94 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

377775 f1= 124266664

14 ()12000

377775 =26666412345

377775el elemento 2 con:

K2= 124

2666640 0 0 0 00 94 97 0 00 97 94 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

377775 f = 124266664015400

377775 =26666412345

377775el elemento 3 con:

K3= 124

2666640 0 0 0 00 0 0 0 00 0 94 97 00 0 97 94 00 0 0 0 0

377775 f3= 124266664007420

377775 =26666412345

377775y el elemento 4 con:

K4= 124

2666640 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 94 970 0 0 97 94

377775 f = 124266664

00052

114 ()

377775 =26666412345

377775Sumando obtenemos:

18

K =1

24

26666494 97 0 0 097 94 94 97 0 00 97 94 94 97 00 0 97 94 94 970 0 0 97 94

377775

f =1

24

26666414 ()12 + 154 +

74

2 + 52114 ()

377775

=

26666412345

377775K+ f = 0

Al procedimiento que se basa en la propiedad de aditividad y nos permite encontrar K, f , delproblema se lo denomina ensamble.Observaciones:1) La matriz K obtenida por la propiedad de aditividad, tal como est escrita hasta el momento es

una matriz singular, lo cual dice entre otras cosas que no tiene inversa.2) Dado que se ha utilizado la descripcin local para encontrar Ke y fe, y que se tuvieron en cuenta

solo las expresiones vlidas para todos los elementos, aun no se han tenido en cuenta las condiciones deborde ni el trmino remanente de la integracin por partes que se agruparon en R.

R =

Wl

^ 0

x=0

+

24Wl @^@x

35x=0

+(1)Wl

x=1

Condicin esencial : (primer trmino en R) establece que = 0 en x = 0. Esto involucra a la primer

ecuacin del elemento 1. Para hacer cumplir estrictamente esta condicin (0) =^ (0) = 1N1, pero

N1 (0) = 1 entonces 1 = 0, con lo cual se cumple la condicin de contorno y no tenemos residuo enx = 0 (la primer ecuacin en realidad no existira). Adems 1 = 0 multiplica a los coecientes Ki1 por0. Como consecuencia el sistema se reduce en una ecuacin (en este caso la primera) y en una incgnita(1que no es tal por ser conocida por la condicin de contorno en x = 0).

Condicin natural : como remanente de la integracin por partes qued el trminoWl

@^@x

x=0

.

Recordando que se adopt Wl (1) = Wl (1). Reescribiendo la ecuacin del sistema original eliminadaa nivel matricial por estar asociada a la condicin Dirichlet (en este caso la primera) y recordando que1 = 0, N1 (x = 0) = 1, entonces:

K111 +K122 = f1 24N1 @^

@x

35x=0

97

242 =

1

4

1

24 1

0@@^@x

1Ax=0

despejando@

@x

x=0

' 196 97242

19

El ltimo trmino en R provena de la condicin de contorno en x = 1. Esto afecta a la segundaecuacin del elemento 4. Reescribiendo la ltima ecuacin:

K544 +K555 = f5 (1)Wl

x=1

Pero Wl (1) = Wl (1) = N5 (x = 1) = 1, entonces el trmino independiente asociado a la ltimaecuacin del sistema se modica.

f5 = 124

11

4 (1) (1) = 107

96=124

107

4

Con estas consideraciones, el sistema a resolver ser:

1

24

2664188 97 0 097 188 97 00 97 188 970 0 97 94

377526642345

3775 = 1242664

323921074

3775Observese que si no se tiene la condicin = 0 en x = 0 (condicin esencial), la matriz K seguira

siendo singular (de alli su nombre), en cuyo caso existiran innitas soluciones que diferirn en un valorconstante (compatible indeterminado).El sistema de de cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas puede ahora resolverse para obtener:

=

26641234

3775 =26640:66219681431:2679690831:7643824402:105266986

3775Para escribir la solucin aproximada, podemos encontrar Nem (x) que por la (10) sern:e = 1 he = 1=4 xi = 0 N

1i (x) = 1 4x N1j (x) = 4x

e = 2 he = 1=4 xi =14 N

2i (x) = 4x N2j (x) = 4x 1

e = 3 he = 1=4 xi =12 N

3i (x) = 3 4x N3j (x) = 4x 2

e = 4 he = 1=4 xi =34 N

4i (x) = 4 4x N4j (x) = 4x 3

entonces:

^ =

8>>>:1N

1i (x) + 2N

1j (x) 0 x 14

2N2i (x) + 3N

2j (x)

14 x 12

3N3i (x) + 4N

3j (x)

12 x 34

4N4i (x) + 5N

4j (x)

34 x 1

9>>=>>;1.4 Detalles de la formulacin del problema de segundo orden y su modelado

por elementos nitos

En los problemas que suelen presentarse para resolver, originados en algn problema de ingeniera, suelencontener distintos tipos de discontinuidades. Se analizar como se debe formular un problema con elobjeto de claricar las consideraciones a tener al momento de discretizar el dominio y el contorno pararesolver el problema utilizando el mtodo de elementos nitos.Se supone que el caso a resolver est planteado en la siguiente gura:

20

Figura 9: Discontinuidades tpicas

Muchos problemas de fsica se formulan utilizando dos variables, una denominada variable de estadou y el ujo . Estas dos variables se relacionan entre s por medio de la ecuacin constitutiva que describeel comportamiento del material sometido al proceso en estudio. Si dicho comportamiento es lineal, larelacin constitutiva tiene la siguiente forma:

(x) = k (x) @u (x)@x

(42)

k (x) se denomina mdulo del material, y es un dato del problema, y se asume que es siempre positivoo siempre negativo.La ley de conservacin establece que para un dado dominio el ujo neto es cero. El ujo puede estar

presente de una forma distribuda, descripta por la funcin f (x), de una forma puntual, descripta porf (x) (x xd) o a traves de los bordes de la regin, condiciones de contorno.Adems de las condiciones que establecen la ley de conservacin y la ecuacin constitutiva sobre la

variable de estado u (x), se pide que u sea una funcin continua de x. Otra condicin que se puede pedir esque u (x) tome un valor determinado en uno o ambos extremos, a lo que hemos denominado condicin deborde esencial. Las dems condiciones que pueden imponerse pueden derivarse de la ley de conservacin.En la gura se observa que se tienen las siguientes discontinuidades:

en la funcin que describe el ujo distribudo f (x) en x = x1 en la funcin que describe el ujo distribudo f (x) en x = x3 donde presenta una discontinuidaddada por la funcin delta de Dirac

en el mdulo k en x = x2 (se supone que k es continuo dentro de cada subdominio)

Las discontinuidades en los datos llevan a denir cuatro subdominios dentro de los cuales los datosson suaves y un total de cinco puntos donde hay discontinuidades, los dos extremos y los tres puntosdentro del dominio, enumerados recientemente, donde se tiene alguna discontinuidad en los datos.A continuacin se escribe la expresin general de una ecuacin diferencial de segundo orden:

a0 (x)@2u (x)

@x2+ a1 (x)

@u (x)

@x+ a2 (x)u (x) = f (x) (43)

Donde las ak (x) nunca se anulan ni cambian de signo en el dominio (esto est relacionado con elhecho de estar tratando problemas de tipo elpticos).La forma ms general de expresar las condiciones de borde relacionadas con una ecuacin diferencial

de segundo orden es:

21

0@u (0)

@x+ 0u (0) = 0 en x = x0 (44)

L@u (L)

@x+ Lu (L) = L en x = xL

Porcin del dominio donde los datos son suaves Analizaremos el planteo matemtico sobre unaporcin a-b del dominio, donde todos los datos son continuos y suaves, como se esquematiza en la siguientegura:

Por la ley de conservacin, el ujo debe conservarse para todo punto, entonces:

(b) (a) =bZa

f (x) dx (45)

tomando lmite en ambos miembros:

limb!x+

(b) lima!x

(a) = limb!x+a!x

0@ bZa

f (x) dx

1Acomo f (x) es acotada, en el lmite de la integral es 0, entonces:

[ (x)] = limb!x+

(b) lima!x

(a) = 0 (46)

siendo [ (x)] el saltodel ujo en el punto x.El resultado de la (46) dice que, si no hay discontinuidades, el ujo es continuo en todos los puntos

de un dominio suave.Como f (x) es continua, puede utilizarse el teorema del valor medio del clculo integral

bZa

f (x) dx = (b a) f () con a b

donde f () es el valor promedio de f (x) en [a; b]. Entonces

(b) (a) =bZa

f (x) dx

= (b a) f ()

y

(b) (a)(b a) = f ()

22

tomando lmites en ambos miembros:

limb!x+a!x

(b) (a)(b a)

= lim

b!x+a!x

(f ())

como la funcin es continua, el lmite de la parte izquierda existe y es la derivada, por lo tanto el otrolmite existe entonces, para toda regin suave puede escribirse:

@ (x)

@x= f (x)

Reemplazando en esta ltima la expresin de la ecuacin constitutiva (42) se tiene:

f (x) =@ (x)

@x

=@k (x) @u(x)@x

@x

= @@x

k (x)

@u (x)

@x

entoces, sepuede decir que:

f (x) = @@x

k (x)

@u (x)

@x

como k (x) es suave, entonces la expresin anterior puede expandirse a:

@k (x)@x

@u (x)

@x k (x) @

2u (x)

@x2= f (x) (47)

Si comparamos esta ltima con la (43), y consideramos que:a0 (x) = k (x)a1 (x) = @k(x)@xa2 (x) = 0tenemos que (47) es una ecuacin diferencial del tipo (43).

Porciones del dominio donde los datos no son suaves. Discontinuidades nitas. Discon-tinuidad nita en la fuente distribuda f (x)Es el caso que se produce en el punto x = x1 de la Fig.[9]. Anlizaremos una porcin que incluye la

discontinuidad, como se muestra en la siguiente gura:

Por la ley de conservacin se tiene:

(b) (a) =bZa

f (x) dx

23

tomando lmites

limb!x+

(b) lima!x

(a) = limb!x+a!x

0@ bZa

f (x) dx

1Alimb!x+a!x

0@ bZa

f (x) dx

1A = 0con lo que tenemos:

[ (x)] = 0

que el saltodel ujo en el punto x sigue siendo homogeneo, pero debido a la discontinuidad de f (x)

no es aplicable el teorema del valor medio. Aunque k (x) @u(x)@x fuera continua @@xhk (x) @u(x)@x

ino

existe por no existir el lmite, lo cual signica que en x = x1 no tenemos ecuacin diferencial.

Discontinuidad en la ecuacin constitutiva k (x) (cambio de material)Este tipo de discontinuidad es del tipo que se produce en la zona de contacto entre dos materiales

diferentes, y por lo tanto de relaciones constitutivas distintas, como en el punto x = x2.

Por la ley de conservacin:

(b) (a) =bZa

f (x) dx

Al aplicar lmites, nuevamente tenemos que el salto en el punto x donde se produce la discontinuidades homogeneo, matemticamente [ (x)] = 0. Como f (x) es continua, se puede aplicar el teorema delvalor medio del clculo integral, obteniendo que:

limb!x+a!x

(b) (a)(b a)

= lim

b!x+a!x

(f ())

@ (x)

@x= f (x)

Si ahora se reemplaza la expresin de la ecuacin constitutiva en esta ltima se tiene:

@

@x

k (x) @u (x)

@x

= f (x)

pero en este caso, k (x) es discontinua y no puede expandierse como en (47). La ecuacin diferencialexiste en el punto pero no puede ser expandida.

Discontinuidad simple en la fuente distribuda dada por la funcin delta de Dirac (fuentepuntual)Es el caso representado por el punto x = x3 en Fig.[9], donde se presenta una fuente puntual.

24

Nuevamente, por la ley de conservacin del ujo

(b) (a) =bZa

f (x) dx+

bZa

f (x x3) dx

recordando que:f (x) : parte suave y continua de la fuente

f (x x3) : fuente puntualTomando lmites en ambos miembros:

limb!x+

(b) lima!x

(a) = limb!x+a!x

0@ bZa

f (x) dx

1A+ limb!x+a!x

0@ bZa

f (x x3) dx1A

se tiene que:

limb!x+a!x

0@ bZa

f (x) dx

1A = 0limb!x+a!x

0@ bZa

f (x x3) dx1A = f (x3)

por lo tanto:

[ (x)] = f

Esta ltima indica que en este caso se tiene un salto no homogeneo en el ujo. Adems, limb!x+a!x

bRa

f (x x3) dx!

es independiente de los lmites de integracin, por lo tanto @(x)@x x=x3 no est denida lo que impide deniral ecuacin diferencial en ese punto.Discontinuidad producida por la presencia de un borde del dominioHasta ahora no hemos analizado a las condiciones de borde como una discontinuidad. En los bordes

se presenta la particularidad que a un lado del punto se tiene dominio y del otro lado no, lo cual puedeinterpretarse como una discontinuidad donde se dene la interaccin del sistema que se esta estudiandocon el medio que lo rodea especicando en los bordes el valor de la variable de estado o del ujo.

25

En los segmentos de extremo tambin se cumple la ley de conservacin, en consecuancia:

(b) (0) =bZ0

f (x) dx

tomando lmites, cuando b+ ! 0 se tiene que (0)! 0, y cuando a ! L que (L)! L. Por laley constitutiva, entonces:

0 = k (0) @u (0)@x

(48)

L = k (L) @u (L)@x

lo cual lleva a que estas condiciones estan jando el valor de la derivada de la variable de estado en losextremos. Las expresiones anteriores presentan la forma general de expresar las condiciones naturales.En otras situaciones (como en el caso de transferencia de calor por conveccin, referido a la ecuacin

de calor) se supone que el ujo es proporcional a la diferencia entre el valor de la variable de estado enel borde u (0) o u (L) y su valor de referencia en el medio circundante u1 (conocida como temperaturade la fuente innita). Este tipo de condicin se escribe matemticamente como:

0 = K0 [u (0) u1]L = KL [u (L) u1]

donde Ko y KL en general es una constante que depende del mdulo que corresponde al material delmedio circuandante. Si se reemplaza la anterior en (48):

k (0) @u (0)@x

= K0 [u (0) u1]

k (L) @u (L)@x

= KL [u (L) u1]

estas expresiones tambin son condiciones de contorno de tipo natural (por el hecho de estar involu-crada la derivada de la variable de estado u).En el caso de problemas donde se especican solo condiciones de tipo natural en el borde, deber

satisfacerse una condicin global de conservacin dada por:

0 + L =

LZ0

f (x) dx (49)

(Nota: en este ltimo caso, la expresion (49) garantiza la existencia de la solucin, no garantiza launicidad.)

IMPORTANTE: las discontinuidades condicionan la discretizacin, esto se debe a que las funcionesde forma no podrn acomodarse a las discontinuidades. En otras palabras, en el momento de particionarel dominio en elementos se colocar un nodo en los puntos donde se produzca algn tipo de dicontinuidaden los datos. Los trminos que involucran a las discontinuidades no pertenecern a la descripcin localcaracterstica de los elementos, apareciendo cuando se suman las contribuciones de todos los elementosa la matriz de rigidez (matriz de coecientes) y al trmino de carga (vector de trminos independientes).

26

1.4.1 Funciones de forma (o de interpolacin o aproximantes). Polinomios de Lagrange.

Cuando se utilizan como funciones de interpolacin a polinomios de Lagrange se obtiene la formulacin deun elemento de tipo Lagrangeano. Los polinomios se denen en el sistema local del elemento 2 [1; 1]y se utiliza la transformacin (31) para asociar a la variable local con la variable global x. Debemosrecordar que las funciones de forma Ni () tienen las siguientes propiedades:

Nij=

1 si i = j0 si i 6= j

que muestra que las m+1 funciones Ni () forman un conjunto linealmente independiente, conformandouna base para cualquier polinomio de grado m o menor. Esta propiedad se traslada a las funcionesglobales por tramo que se obtienen a partir de estos polinomios que forman la base. Recordando ladenicin de los polinomios de Lagrange de orden m:

Pm () = fi

m+1Yj=1

j 6=i

j

i j

y su orden de error de truncamiento asociado es:

E ' O hm+1siendo h la separacin entre nodos vecinos y fi = 1 para el caso de las funciones de forma, con lo cual laexpresin general para un polinomio de orden m (que involucrar a m+ 1 puntos o nodos) ser:

Ni () =m+1Yj=1

j 6=i

j

i j

La condicin de completitud para los polinomios de Lagrange deviene de la condicin impuesta a la

familia de funciones con las cuales se armala solucin aproximada. Esta condicin deca que la funcinaproximante deba tener la posibilidad de representar cualquier variacin de la funcin incgnita en eldominio. Esta condicin es muy importante. Por ejemplo, si faltara el trmino proporcional a x1 estandopresentes los que son proporcionales a x0; x2; x3; :::; xm esto tendr como consecuencia inmediata queE ' O (h) y no a E ' O hm+1. Si el trmino faltante fuera el proporcional a x0 puede suceder quelas funciones de interpolacin no tengan ninguna convergencia. Otra implicancia es que, si la funcinincgnita tiene derivadas hasta orden s, con s m, no importar cuanto se aumente el grado m delpolinomio en la funcin aproximante ya que solo los primeros s trminos servirn para aproximar a lafuncin, estando el error dado por E ' O (hs), por lo tanto si se quiere mejorar la convergencia lo que sedebe hacer es disminuir el tamao de los elementos (subdominios).

1.4.2 Condiciones de borde

Se presentan a continuacin los tres casos principales que se obtienen a partir de la expresin general(presentada para un dominio unidimensional):

0@u (0)

@x+ 0u (0) = 0 en x = x0

L@u (L)

@x+ Lu (L) = L en x = xL

Una vez sumadas las contribuciones elementales, el sistema global tiene la forma:

27

26666666664

k111 k112 0 ::: 0 0

k121 k122 + k

211 k

212 ::: 0 0

0 k221 k222 + k

311 ::: 0 0

0 0 k321 ::: 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 ::: km122 + k

m11 k

m12

0 0 0 ::: km21 km22

37777777775

26666666664

u1u2u3u4...

um1um

37777777775=

26666666664

f11 + (0)

f12 + f21

f22 + f31

f32 + f41

...fm11 + f

m1

fm2 + (L)

37777777775( (0) y (L) si correspondiesen)Condicin esencial o de DirichletSe especican los valores de la variable de estado en los extremos:

0 = L = 0; u0 = u (0) =

00

y uL = u (L) =

LL

(50)

Esto produce que el nmero de incgnitas se reduce en dos, lo que permite reducir el sistema deecuaciones en dos (no hay residuo en los bordes)

2666664k122 + k

211 k

212 ::: 0 0

k221 k222 + k

311 ::: 0 0

0 k321 ::: 0 0...

.... . .

......

0 0 ::: km122 + km11 k

m12

3777775

2666664u2u3u4...

um1

3777775 =2666664

f12 + f21 k121u0

f22 + f31

f32 + f41

...fm11 + f

m1 km12uL

3777775Condiciones naturales generalesCorresponden al caso que se especica en el contorno una combinacin lineal de la variable de estado

y del ujo.

@u (0)

@x=

0 0u (0)0

(51)

@u (L)

@x=

L Lu (L)L

u0 = u (0)

uL = u (L)

Haciendo uso de la relacin constitutiva (42) resulta:

0 = k (0) @u (0)@x

= k (0)

0 0u (0)

0

L = k (L) @u (L)

@x= k (L)

L Lu (L)

L

(Observacin: @u(0)@n = @u(0)@x y @u(L)@n = @u(L)@x )que al ser reemplazadas en el sitema global queda:

266666666664

k111 k(0)00 k112 0 ::: 0 0k121 k

122 + k

211 k

212 ::: 0 0

0 k221 k222 + k

311 ::: 0 0

0 0 k321 ::: 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 ::: km122 + k

m11 k

m12

0 0 0 ::: km21 km22 +

k(L)LL

377777777775

26666666664

u1u2u3u4...

um1um

37777777775=

266666666664

f11 k(0)00f12 + f

21

f22 + f31

f32 + f41

...fm12 + f

m1

fm2 +k(L)LL

37777777777528

Sistema que puede ser resuelto para las m incgnitas.

Condicin natural de NewmanEn este caso se especica el valor del ujo en los extremos.

@u (0)

@x=

00

y@u (L)

@x=

LL

(52)

Este tipo de condicin requiere se tengan ciertas consideraciones, en relacin al tipo de ecuacin quese est resolviendo. La ecuacin general de gobierno:

a0 (x) @@x

k (x)

@u (x)

@x

+ a1 (x)

@u (x)

@x+ a2 (x)u (x) = f (x)

si a1 (x) = a2 (x) = 0, queda:

a0 (x) @@x

k (x)

@u (x)

@x

= f (x) (53)

@

@x

k (x)

@u (x)

@x

= f (x)

a0 (x)

Si u es solucin de (53) con las condiciones (52), entonces u + C0 (C0 una constante arbitraria)tambin es solucin del mismo problema. Esto signica que la matriz de rigidez es singular (sistemacompatible indeterminado).Las constantes que denen las condiciones (52) no pueden ser arbitrarias, ya que debe satisfacerse la

condicin de conservacin global del ujo (que establece que se debe conservar el ujo en todo el dominio).Para el caso ms general la forma dbil del problema tendr la forma:

LZ0

k (x)@W

@x

@Nm@x

dx =

LZ0

Wf (x) dx+ fW (x) k (0) 00+ k (L)

LL

vlido para cualquier funcin W . Si una solucin del problema es u = Co lo cual hace que:

LZ0

k (x)@W

@x

@Nm@x

dx = 0

por lo cual:

LZ0

Wf (x) dx+ fW (x) k (0) 00+ k (L)

LL

= 0 (54)

La expresin (54) es una condicin de compatibilidad, y constituye una condicin necesaria paraque exista la solucin. Para determinar la solucin es imprescindible especicar o asignar un valor alparmetro uj (correspondiente a un nodo j de la discretizacin).(Suele asociarse a este problema con un problema de mcanica del slido, donde C0 representa un

movimiento de cuerpo rgido)

Referencias:El Mtodo de elementos nitos, O: C. ZienkiewiczFinite Elements and Approximation; O. C. Zienkiewicz & K. Morgan

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