medida de haar

7/23/2019 medida de haar

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LA MEDIDA DE HAAR


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Prologo

Una de las mas utiles propiedades de la medida de la integral de Lebesgue essu invarianza bajo traslaciones y rotaciones. Esto es que si a Rn ,r Rnn

yfuna funcion Lebesgue integrable en Rn , entonces

Rn

f(x) dx=

Rn

f(rx+a) dx

La nocion de la medida de Haar es una generalizacion de este ejemplo. Resultaque en un grupo compacto (mas generalmente localmente compacto)G, existeuna medida m tal que

G

f(x) dm(x) = G

f(sx) dm(x)

para una funcion fsobre G, y un elemento b G.En analisis matematico, la medida de Haar es una manera de asignar un vo-lumen invariante a los subconjuntos de Grupos topologicos localmente com-pactos y de definir posteriormente una integral para las funciones sobre esosgrupos. Esta medida fue introducida por Alfred Haar, matematico hungaro,alrededor del ano 1933. El prueba que existe una medida invariante en ungrupo localmente compacto y separable. Mas tarde,Banach generaliza el teore-ma definiendo axiomaticamente la congruencia. Ademas la separabilidad no esesencial en el trabajo de Banach, ya que sus razonamientos son v alidos sustitu-yendo compacidad secuencial por compacidad. Finalmente el teorema de Haarfue generalizado a grupos localmente compactos y completado en 1936 con elteorema de unicidad debido a von Neumann. En este trabajo se estudiara laprueba de la existencia y unicidad de la medida de Haar en grupos compactosbasada en el teorema de punto fijo de Kakutani y el teorema de Riesz utili-zando el analisis funcional, al finalizar se vera la relacion de esta medida conel algebra mediante el Analisis Armonico.

i


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Indice general

Prologo I

1. Preliminares 1

2. Medida de Haar 5

3. Analisis Armonico 7

4. Transformada de Fourier en Grupos Compactos 17

ii


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Captulo 1

Preliminares

Definicion 1.1.1. Un espacio topologico es un par (X,) donde Xes un con-junto, y es una familia de subconjuntos de X que verifica las siguientescondiciones

1. X y .

2. Dada una familia{Ai ,i I} de elementos de , su union iIAitambien esta en .

3. Si A1 y A2 , entonces A1 A2 (la interseccion de dos elementosde la familia tambien es un elemento de la familia).

Diremos entonces, que la familia es una topologa sobre X, y a sus elementoslos llamaremos conjuntos abiertos de (X,).

Definicion 1.1.2. Sea Xun espacio topologico y K X.

a) Una coleccion {V: I} de subconjuntos de X es un cubrimiento deK, si K IV. Si ademas cada V es abierto, diremos que el cubrimientoes abierto.

b) Diremos que Kes compacto, si para cualquier cubrimiento abierto de K,{V: I}, se puede extraer un subcubrimiento finito.

Definicion 1.1.3. Un espacio topologico Xse dice localmente compacto en xsi hay algun subconjunto compacto Cde Xque contiene una vecindad de x. SiX es localmente compacto en cada uno de sus puntos, Xsimplemente se dicelocalmente compacto.

1


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2 CAP ITULO 1. PRELIMINARES

Definicion 1.1.4. Sea Xun espacio topologico.

a) Un conjunto DXes denso (en X) si D = X.

b) Diremos que Xes separable, si existe D Xque es denso y numerable.

Definicion 1.1.5 Una familia A de subconjuntos de Xque satisface las si-guientes condiciones se le llama una -algebra de subconjuntos de X

1. y X A

2. Si A A, entonces Ac A

3. An A(n= 1,2,...) n=1 An AAl par (X,A) se le llamara espacio medible.

Definicion 1.1.6. La -algebra de Borel sobre un espacio topologico X esuna -algebra de subconjuntos de X asociada a la topologa de X. En la li-teratura matematica se pueden encontrar dos de?niciones no equivalentes deesta:

1. La -algebra generada por los conjuntos abiertos.

2. La -algebra generada por los conjuntos compactos.

La-algebra generada por una coleccion de subconjuntos deXse define co-mo la mnima-algebra que contiene a . Los elementos del algebra de Borelse llaman conjuntos de Borel o conjuntos borelianos. En espacios topologicosgenerales, o aun en los localmente compactos, las dos estructuras definidasarriba pueden ser diferentes, aunque este fenomeno se considera patologico enel analisis matematico. De hecho, las dos estructuras coinciden si el espacio enconsideracion es un espacio localmente compacto, separable y metrico.

Definicion 1.1.7. Una medida es una funcion definida en un -algebra

Asobre un conjunto X, tal que1. ()= 0

2. (A)0, A A

3. Si{An}es una sucesion numerable de conjuntos disjuntos dos a dos, estoes (Ai Aj =, i=j), entonces

(n=1

An)=n=1

(An)

A la terna (X,A,) se le llamara espacio de medida.


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3

Definicion 1.1.8.Sean (X,A,) un espacio de medida,T:X Xuna funcioncontinua y sobreyectiva, decimos que es T-invariante si para todo A A

tenemos que T1(A) Ay (T1(A))= (A).

Definicion 1.1.9. Sea X un conjunto, T: X X una funcion. Un subcon-juntoYXse dice T-invariante si T(Y)Y.

Definicion 1.1.10. Sea G conjunto con una operacion binariadefinida por : G G Gy sea una familia de subconjuntos de G. decimos que Gesun grupo topologico si

a) (G,) es un grupo.

b) (G,) es un espacio topologico.

c) Las funciones m:G G G y j: G Gdadas por

(x,y)xy, x x1

son continuas.Aqu G Ges visto como un espacio topologico con la Topologia producto.Un grupo cualquiera provisto de la topologa discreta es un grupo topologicolocalmente compacto Hausdorff. Se usara esta topologaa cuando no se indiqueotra. Restringiremos nuestra atencion a los grupos topologicos localmente com-pactos y Hausdorff (los ejemplos usuales son Rn,S n y cualquier grupo de Lie).

Ejemplos de grupos topologicos

1. Sea G un grupo.definimos la topologa discreta como la topologa enla que cada punto es un conjunto abierto.

2. Rn con la topologa usual y la operacion suma.

3. R+=(0, ) con la operacion multiplicacion y la topologa relativa a R.

4. S1 el circulo unitario con la topologa relativa a C y la multiplicacion decomplejos.

5. Sea R el conjunto de numeros reales distinto de cero dotado por laopercion producto y la topologa que hereda como subconjunto de R. Esfacil ver que de esta manera R es un grupo topologico, que ademas eslocalmente compacto y hausdorff. Si designamos con R+ a los numerosreales positivos, entonces R+ es un subgrupo topologico de R

; mas aun,

la funcion logaritmo log:R

+ R

es un isomorfismo topologico entre elgrupo multiplicativo R y el grupo aditivo de los numeros reales.


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4 CAP ITULO 1. PRELIMINARES

6. Sea G en conjunto de matrices A22 de la forma

x y0 1

donde x,y R con x> 0. EntoncesGes un grupo con el producto usualde matrices.Se define una metrica den G:Sea A,B Gcon

A=

x y0 1

B=

z w0 1

Entonces

d(A,B) :=

(x z)2 + (y w)2

Por lo tanto G es un grupo topologico con la topologa definida con lametrica d.


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Captulo 2

Medida de Haar

Definicion(medida de haar.) Dado un grupo topologico localmente com-pacto G decimos que una medida de Borel positiva ,es una:

medida de Haar izquierda,si

(xE)=(E) para todo E B(G)y x G.

medida de Haar derecha, si

(Ex)=(E) para todo E B(G)y x G.

donde B(G)es la -algebra generada por los conjuntos abiertos.

Definicion. Sea X un espacio topologico, yf :X R una funcion con-tinua; la cerradura del conjunto

Sop(f)={x X| f(x)= 0} se llama soporte de f

Notacion:Si X es localmente compacto y Haunsdorff, denotaremos

K={ f : X R| Sop(f) es compacto }.

Sif :X R tienen soporte compactoK, entonces por definicionfes continuay por lo tanto

sup={ | f(x)|, x X}= sup={ | f(x)|, x K}


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6 CAP ITULO 2. MEDIDA DE HAAR

Teorema. Sea G grupo topologico localmente compacto.Entonces existe unamedida de Haar izquierda , que es unica salvo por multiplicacion por una

constante positiva.

Propiedades basicas

La medida de Haar izquierda es una medida semi-singular:

(K) < para todo K compacto.

(E)=nf{(U) :E U,U abierto para todo E B (G)}.

(U)=sup { (K) :K U,Kcompacto para todo U abierto}.

Ademas cumple:

(U) >0 siU es un abierto no vacio.f(x) du > 0 para toda funcion f : G R


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Captulo 3

Analisis Armonico

Grupos de Lie

Definicion 1. Los grupos de Lie son grupos continuos caracterizados por unconjunto de r parametros realesa= (a1...ar) varan de forma continua en un

intervalo dado y cumplen que g(a) g(b) =g(c) donde cpuede expresarse como

funcion analtica de ayb.

Definicion 2.consideremos los elementos del grupo correspondiente a parame-tros proximos a cero d a= (da1...dar). Los elementosg(da) estaran proximosa la unidad y por tanto pueden escribirse como

g(da) =e+ir

=1 daX

Los elementos X corresponden en un sentido amplio a las derivadas de loselementos del grupo con respecto a los parametros: los los generadores delgrupo.

Definicion 3. El rango de un grupo viene dado por el conjunto de gene-radores hermticos que conmutan entre si.

Definicion 4. El espacio vectorial de dimension r obtenido de todas las com-

binaciones lineales de los generadores del grupo, junto a la operacion internadefinida por el conmutador, forma una estructura denominada algebra deLie.A cada grupo de Lie le corresponde un algebra de Lie.

Teorema 1 . Si un algebra de Lie de dimension r de un grupo de orden rcontiene una subalgebra de dimension s, cons < r, entonces con s generadoresindependientes contenidos en el subalgebra puede generarse un subgrupo deorden s a partir del grupo original.

Definicion 5. Las constantes de estructura en si mismas una representaci on

de algebra llamada representacion adjunta, cuyas matrices vienen dadaspor

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8 CAP ITULO 3. AN ALISIS ARMONICO

[T]=C

con producto escalar

T r(Ta Tb) =ij

Definicion 6. Se llaman algebras de Lie compactas a aquellas con >0.Enesta base, las constantes de estructura son completamente anti simetricas.

C =if

Definicion 7. Aquellas algebras que no tienen subalgebras invariantes no tri-

viales se llaman algebras (semi)simples las cuales generan grupos sim-ples(abelianos)

Teorema 2. La representacion adjunta de un algebra de Lie (semi)simpleque satisfaga

T r(Ta Tb) =ij

Es irreducible.

Grupo Unitario Especial SU(n)

Transformaciones unitarias especiales en n dimensiones.isomorfo a las matricesunitarias n n con det = 1. con las entradas en el cuerpo C de los numeroscomplejos y con la operacion de grupo dada por la multiplicacion de matrices.Se escribe como SU(n). Es un subgrupo del grupo unitario U(n), a su vez unsubgrupo del grupo lineal generalGL(n,C). De ahora en adelante, asumiremosn 2.El rango del grupo es m= n 1.

Propiedades

El grupo especial unitario SU(n) es un grupo de Lie real de dimensi onn21. Es compacto, conexo, simplemente conexo, y (paran 2) simple ysemisimple. Su centro es el grupo cclicoZn. Su grupo de automorfismosexteriores para n 3 es Z2. El grupo de automorfismos exteriores deSU(2) es el grupo trivial.

El algebra de Lie que corresponde a SU(n) se denota por su(n), dichaalgebra se puede representar por las matrices complejas n nantihermi-

tianas de traza nula, con el conmutador como corchete de Lie. Observeseque esta es un algebra de Lie real y no compleja.


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El Grupo SU(2)

El grupo unitario especial de segundo orden,SU(2), es una variedad diferen-ciable de dimension 3, que puede ser identificada homeomorficamente con elconjunto de matrices de coeficientes complejos unitarias y de determinante 1.De hecho, el grupo SU(2) es isomorfo al grupo de cuaterniones de valor abso-luto 1, y es as difeomorfo a la 3-esfera. Puesto que los cuaterniones unidadse pueden utilizar para representar rotaciones en el espacio de 3 dimensiones(salvo signo), tenemos un homomorfismo sobreyectivo de los grupos de LieSU(2) SO(3,R) cuyo nucleo es{+I, I}.

Algebra de Lie SU(2)

Las matrices siguientes forman una base para su(2) sobre R.

ix =

0 ii 0

iy =

0 11 0

iz =

i 00 i

(donde i es la unidad imaginaria). Este factor se presenta porque los fsicosgustan de incluir un factor i en sus algebras de Lie reales, que es una convenciondiferente de la de los matematicos). Esta representacion se utiliza a menudo enmecanica cuantica , para representar el espn de partculas fundamentales tales

como electrones. Tambien sirven como vectores unidad para la descripcion denuestras 3 dimensiones espaciales en relatividad cuantica. Observese que elproducto de cualesquiera dos diversos generadores es otro generador, y que losgeneradores anticommutan. Junto con la matriz identidad (multiplicada pori),son tambien generadores del algebra de Lie u(2).

iI2 =

i 00 i

Aplicaciones

Topologicamente es el espacio recubridor universal del grupo de rotacionestridimensional SO(3). Debido a que el grupo de rotaciones tridimensionalesesta fsicamente relacionada con el momento angular y el espn de una partcu-la, y debido a la propiedad recubridora de SU(2), hace que SU(2) sea uno de losgrupos matematicos que con mayor frecuencia aparece en mecanica cuantica,en conexion con problemas de espn.Igualmente en teora cuantica de campos algunas simetras internas de los cam-pos fsicos, presentan invariancia ba jo transformaciones del grupo SU(2), porlo que tambien en esa area aprece con frecuencia dicho grupo. En particular elisospn es una magnitud fsica conservada en interacciones invariantes bajo el

grupo SU(2) de aroma.


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Grupo especial ortogonal

El grupo especial ortogonal (o grupo ortonormal especial),es un grupo de Lieque puede ser representado como un subgrupo del grupo ortogonal o(n). Elgrupo real SO(n) se puede identificar como el grupo de rotaciones del espacioRn.El grupo especial ortogonal ordinariamente se toma como real ;es decir; SO(n)=SO(n,Rn)aunque tambien se han definido generalizaciones complejas SO(n,C).

propiedades generales

1.SO(n) tiene dimension n(n-1)/2.

2.SO(n) es conexo.

El grupo SO(3)

Este grupo es isomorfo al grupo de rotaciones del espacio euclidiano tridi-mensional y es representable por el conjunto de matrices ortogonales de 3x3 ycon determinante igual a la unidad.

Representaciones De Los Grupos Clasicos

Representaciones irreducibles de SU(2) Comenzamos esta sec-cion definiendo el objeto de estudio

SU(2) ={sM2(C) :s es unitario y det s= 1}

El primer paso para encontrar las representaciones irreducibles de SU(2) sera ha-llar su medida de Haar.

Proposicion: SU(2) y S3 , la esfera unitaria en R4, son homeomorfos.Demostracion:

si s1

=s

existe un vector (x , y, z, w) R4

tal que

s=

x+iy z+iwa +iw x iy

(1)

ademas, si det s= 1,resulta

(x , y, z, w)21 = |x|2 + |y|2 + |z|2 (3.1)

= det s (3.2)

= 1 (3.3)

as que (x , y, z, w) S3

.Recprocamente,dado (x , y, z, w) S3

, la matriz s da-da por la ecuacion (1) es un elemento de SU(2). Ademas, es claro que esta


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correspondencia es un homeomorfismo.En consecuencia,SU(2)es homeomorfoa S3.

observacion.En Virtud de la proposicion anterior, hallar la medida de Haaren SU(2) sera equivalente a hallar una medida en S3 que sea invariante por laoperacion equivalente, segun el isomorfismo anterior, a la traslacion en SU(2).Sea E el espacio vectorial definido por

E={

x+iy z+iwa +iw x iy

: (x , y, z, w) R4}

Entonces, la traslacion izquierda Ls : SU(2) SU(2) definida por Ls(t) =S1t, se extiende a un mapa en E que, a travez de la identificaci on E R4,es lineal en R4. Ademas, tal identificacion esta dada por

x= (x , y, z, w)x =

x+iy z+iwa +iw x iy

Como

det x= (x+iy)(x iy) (z+iw)(z+iw) =x2 +y2 +z2 +w2 =x2

se tiene que

Lsx2

=det(Lsx) =det(x) =x2

x R4

, s S U(2)

as que Ls es una transformacion ortogonal de R4.Ademas, como O(4) tiene

dos componentes conexas, de acuerdo a det u= 1, concluimos que

Ls SO(4) SU(2)

analogamente, Rs SO(4) s SU(2), donde Rs denota la traslacionderecha:

Rs(t) =ts

observacion:El mapa s Lsno es sobreyectivo, puesto que

dimSO(4) = 6 y dimSU(2) = 3

observacion:De lo anterior se deduce que para encontrar la medida de Haaren SU(2), bastara encontrar la medida invariante por rotaciones de S3

Obtenemos una parametrizacion de S3 observando que si

x= cos(), con0

entonces (y,z,w) esta en la 2-esfera de radio sen().En consecuencia,

x= cos(), y = sen()cos(), z=sen()sen()cos(), w= sen()sen()sen()


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con 0 , , 0 2

e una parametrizacion de S

3

.

un resultado de geometra diferencial,afirma que la medida de S3 invarian-te por rotaciones se masa total 1 esta dada por

d= 1

22sen2()sen()ddd

observacion:Si f :S U(2) R,se tiene queSU(2)

f(s) ds= 1

22

20

0

0

sen2sen d dd

Determinamos ahora las clases de conjuncion de SU(2).Si s S U(2), el poli-nomio de caracterstica de s viene dado por

() =2 tr(s) + 1 =2 2cos + 1

Un resultado deAlgebra lineal basica nos permite afirmar que existe [0, 2]y una matriz unitaria tales que

s= h o s= h

dondeh =

ei 00 ei

Ademas. puede tomarse en SU(2) normalizando su determinante.Tenemosentonces que para toda s SU(2), existe [, ] tal que s es conjugada ahthetaen SU(2).Por lo tanto, cada funcion central f de SU(2) puede considerarsecomo una funcion en [, ] tal que f() =f(),a traves de

f(s) =f(h) =:f()

Proposicion:Toda funcion central en SU(2) se corresponde bajo la identifica-cion anterior con una funcion par en [, ]demostracion:Para todo [, ],h es conjugado a h en SU(2):

h =

ei 00 ei

=

0 11 0

ei 0

0 ei

0 11 0

=h

donde el det = 1 y corresponde a (0, 0, 1, 0) S3.En consecuencia

f() =f(h) =f(h) =f()


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Construiremos ahora una representacion irreducible de dimension n+ 1 paracada natural n.Consideremos En el C espacio de Hilbert de los polinomios

homogeneos de grado n en dos variables complejas, asociado al siguiente pro-ducto interno

n

k=0

akxkynk,

nj=0

bjxjynj=

nk=0

k!(n k)!akbk

Observacion:Notemos que la dim En=n+ 1 y

{(x+y)n, (x+y)n,...(x+wn1y)n, yn}

es una base de En donde = e2in es una raz n-esima de la unidad.

Definimos (n): SU(2) (En) a traves de

((n)s P)(z) =P(s1z) s SU(2), P En, z=

xy

C2

Proposicion: (n) es una representacion unitaria de SU(2) en Endemostracion: s(n)s es un homomorfismo:

((n)st P)(z) =P(t

1s1z) = ((n)t P)(S

1z) =(n)s ((n)t P)(z)

as que (n)st =

(n)s

(n)t

(n)st es un operador unitario para cada s S U(2) : Si

=

ab

C2 fijo, sea

P(z) := (z)n = (ax+by)n =

nk=0

akbnkxkynk

Entonces, si= a

b , v= c

d C2 se tiene

P, PvEn = n

k=0 akbnkxkynk,

nj=0 a

jbnjxjynj

=n

k=0 k!(n k)!akbnkckd

nk

= n!

Cnk akck(bd)nk

= n!(ac+bd)n =n!(C2)n

Como ((n)s P)(z) =P(s1z) = (s1z)n =Pus1(z)


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se tiene que

(n)s P, (n)s PvEn =n!s1, vs

1nC2 =n!, vnC2 =P, PvEn

De esta forma, tomando sucesivamente y v del tipo

(1, j) con j= 0, n 1 y(0, 1),

se deduce que(n)s preserva el producto interno en una base deEn.Esto implicaque

(n)s es una representacion unitaria.

Procederemos a hallar cada caractern := (n).

Observacion:sean

Pk(x, y) :=xkynk para k= 0, 1, ...n.

Entonces,{P0,...,Pn}es una base ortogonal de En, con

Pk2 =k!(n k)!.

Observacion:Como cada caracter es una funcion central, bastara encontrar

su valor en h, para cada [, ].Proposicion:Para [, ], se tiene

n(h) =sen(n+ 1)

sen

Demostracion:

(n)hPk(x, y) =Pk(h

xy

) =Pk(e

ix, eiy) = (eix)k(eiy)nk

Yen consecuencia,

n(h) =n

k=0

(n)h

Pk, Pk 1

Pk=

nk=0

ei(2kn)

Observemos que

n(ho) =n+ 1 = lm0

sen(n+ 1)

sen

n(h) =n(h) = (1)n(n+ 1) = lm

sen(n+ 1)sen


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y para cada = 0, , se obtiene

n(htheta) =nk=0 ei(2kn)= ein

nk=0 (e

2i)k

= ein(1e2i(n+1)

1e2i )

= ein(eiei(2n+1)

eiei )

= ei(n+1)ei(n+1)

eiei

= sen(n+1)sen

Recordaremos que una representacion es identicamente nula si y solo si sucaracter es la funcion nula.

Teorema: SU(2) ={(n) :n = 0, 1...}

Demostracion: En base al comentario anterior, basta demostrar que si es unarepresentacion de SU(2) cuyo caracter es ortogonal a (n) n N,entonces es= 0.

Supongamos que es como antes, y sea su caracter, que es una funcioncentral de L2(SU(2)) con la siguiente propiedad:

, n= 0n N

Observemos que lo anterior puede expresarse como

0 =, n= 2

20

()n()sen2d =

2

20

()sen()sen((n+ 1))d

Ademas, como es una funcion central, es una funcion par en [, ], por loque

() :=()sen

es una funcion impar en [, ], cuyos coeficientes de Fourier estan dados por

(n) = i

20

()sen(n)d= i

2, n1= 0 n N

Como{sen(n),cos(n), 1 : n Z}

es una base ortogonal de L2([, ]) para cada (0, ), resulta que = 0 yentonces = 0, lo cual implica que = 0


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Relacion entre SU(2) y SO(3)

Vamos a construir un homomorfismo h de SU(2) sobre SO(3), de nucleo {I, I};tal h mandara pues u u= (I).ua un mismo elemento de SO(3), estable-ciendo una correspondencia 2 a 1 entre los dos grupos. Segun acabamos de ver,para cadau0 S U(2), la aplicacionuo: H H(u0(X) =u0.X.u

10 ) es orto-

gonal y deja invariante el subespacio su(2).Llamemosh(u0) :su(2)su(2)su restriccion a su(2), de modo

h(X) =u0.X.u10 Xsu(2)Respecto de la base ortonormal se su(2) , (i1, i2, i3),

h(u0) esta dada por

una matriz ortogonal, que llamaremos h(u0). Es decir:

h(u) es la matriz (xjk(u)) siendo uiku1 =

j=3j=1

xjk(u)ij k= 1, 2, 3

Para ver que h(u0) as definida esta efectivamente en SO(3), nos falta ver que

el determinante deh(u0) es igual a 1. Por el momento, solo podemos decir queh esta definido como yendo de SU(2) al grupo O(3) de las matrices ortogonales

de 3x3. Es claro que h es homomorfismo de grupos

h(u.u) =

h(u)

h(u) y por

lo tantoh(u.u

) =h(u).h(u

). Luego, si probamos que det h(u0) = 1 para todau0 diagonal, sera tambien det h(u) = det (u0) = 1 para una u = u

.u0.u1 y

puesto que toda matriz de SU(2) es conjugada de una diagonal, ser adet h= 1para toda u SU(2).

Sea pues u0 diagonal, es decir, u0 = cos2I + isen23. Recordando quei1.i2 = i2i1 = i3 y permutaciones cclicas, realizando las cuentas seobtiene h(u0)(i1) =u0.1.u10 = (cos22)i1 (sen22)i2

h(u0)(i2) =u0.2.u10 = (sen22)i1+ (cos22)i2h(u0)(i3) =u=.3.u01 =i3

es decir

h(cos2I + isen23) =

cos22 sen22 0sen22 cos22 0

0 0 1

Vemos de aqu en primer lugar que h(u0) es una rotacion, como nos habamospropuesto probar, lo que asegura por el razonamiento de mas arriba que h es

efectivamente un homomorfismo de SU(2) en SO(3).


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Captulo 4

Transformada de Fourier enGrupos Compactos

Ya conociendo la medida de Haar ,grupos de Lie y las representaciones irredu-cibles de algunos grupos como lo son el SU(2) y SO(3) estamos en la capacidadde relacionar la mediad de Haar con la transformada de fourier, la Cual mepermite una generalizacion de esta a espacios mas generales que los Euclidianosde dimension n a Grupos topologicos Hausdorff compactos, para ello daremosen esta seccion algunas definiciones previas, luego definiremos la transformadade fourier en grupos compactos ademas de que daremos algunas definicionesde los espacios LPE(G)Definicion(caracter): Un caracter de G es un homomorfismo continuoG T.

Definicion(grupo dual): El grupo dual de G, denotado conG, es elconjunto de todos los caracteres de G, considerado con la multiplicacion puntoa punto

()(x) :=(x)(x)

y con la topologa de la convergencia uniforme sobre compactos.

Teorema(sobre el grupo dual ): El grupo dual es un grupo abe-liano localmente compacto. Si el grupo G es compacto, entoncesGes discreto.Si el grupo G es discreto, entoncesG es compacto.Definicion: Una G-representacion de dimencion finita es un par (V, V)donde V es un Cespacio vectorial de dimencion finita y

V :G E nd(V)

es un morfismo continuo de monoides(con topologia en End(V) inducida por

la de MnC

, si dimV= n). La representacion se dice irreducible si no existeWVsubespacio invariante bajo V(g) para todo g G.

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18CAP ITULO 4. TRANSFORMADA DE FOURIER EN GRUPOS COMPACTOS

Sea

G el conjunto de todas las clases de isomorfismos de las representacio-

nes irreducibles de dimension finita de G. como G es compacto, toda G-

representacion de dimension finita se descompone de manera unica(salvo iso-morfismos) en suma directa de elementos deG.

Definicion de la transformada de Fourier

Sea G un grupo topologico Hausdorff compacto equipado con una media deHaar normalizada por la condicion (G) = 1.Sea : G U(V) una repre-

sentacion unitaria irreducible de G. Escribimos d para referirnos al grado deo dimension del espacio de representacion V

Definicion:.Dado un espacio de operadores E y una funci on f L1E(G),definen el coeficiente de Fourierde f en como el operador

f() =

G

f(g)(g)d B(V, Ed)

interpretaremos la Transformada de Fourier como el operador

FG,E :L1E(G) G

Md E

Aqu (g) denota el operador adjunto de (g). Para ver a f() como unoperador lineal deV enEd , interpretamos dicha integral vectorial en sentidodebil. Es decir, dada una base ortonormal {v1, v2, ...vdpi} de V y dado un

vector V, definimos la k-esima componente de f() respecto de la basedada como el elemento E dado por

G f(g)(g), vkd(g)

Observacion:Notese que, si consideramos funciones con valores complejos,entonces nuestra definicion recupera la nocion clasica de coeficiente de Fourier.

Observacion: Puesto que (g) es un operador unitario en V para todog G, es obvio que el coeficiente de Fourier de f en esta bien definidopara toda f : G E integrable y toda representacion irreducible de .Enparticular, puesto que la medida es finita, lo mismo ocurre para f LPE(G)

con 1 p .


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Notese tambien que, si fijamos una base ortonormal de V, entonces pode-mos identificarB(V, E

d) con el espacio Md Ede las matrices cuadradas

ddcon entradas en el espacio de operadores E.A saber, no tenemos mas queasignar a cada operador d B(V, E

d) su matriz respecto de la base escogida.Por ejemplo, el operador f()se identificara con la matriz

(

G

f(g)ij(g)d(g) )1i,jd MdE

donde ij(g) denotan las entradas de la matriz que define al operador (g)respecto de la base ortonormal escogida.

Definicion:SeaG el objeto dual del grupo compacto G y sea E un espa-cio de operadores, entonces la Transformada De Fourier vectorial FG,Ese define como el operador

FG,E :L1E(G)

G

Md E

que hace corresponder a f L1E(G) con la coleccion de sus coeficientes deFourier. Naturalmente, sera necesario dotar dicho producto cartesiano de unap norma.Hablando sin mucho rigor, el motivo por el cual imponemos en E una estruc-

tura de espacio de operadores se debe a que como veremos sera necesaria todasu estructura matrical para definir la p norma

Los espacios LPE(G)

el producto cartesiano donde toma valores la transformada de Fourier seradenotado porME(G).El primer pas para estudiar la validez de la desigualdadde Hausdorff-Younges dotar ME(G) de una p norma.Definicion: Sea E un espacio de operadores y sea 1 p .Los espa-

cios LpE(G) se definen como:

LpE(G) ={A ME(G) : ALPE( G)= (

G

dAp

Spd

(E))1/p


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20CAP ITULO 4. TRANSFORMADA DE FOURIER EN GRUPOS COMPACTOS

Observacion: La familia de espacios LPE(), en este caso se tiene que el

conjunto de indices es el objeto dualG , los pesos de estan dados por losgrados de las representaciones irreducibles y E = {SPd(E) :

G} Estaobservacion nos permite impone en los espacios LPE() una estructura naturalde espacio de operadores.

Propiedades:

Dualidad:Sea 1 p , entonces el siguiente operador es un isomorfismocompletamente isometrico

A LP

E(G) G

dtr(A

) LPE(G)

Acotacion Completa: Todo operador : E1 E2 completamente ex-tiende a un operador :LPE1(G) LPE2(G) que satisfaceeb=ebInterpolacion Compleja: Sea (E0, E1) un par compatible y sea E el es-pacio de operadores interpolado para 0 <


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es constante en las clases de conjugacion de G. Denotaremos por Z(G) alconjunto de las funciones centrales. Esta notacion esta motivada por el hecho

de que las funciones de clase constituyen el centro de algebra de grupo L(G)con el producto de convolucion.Toda representacion unitaria de de G determina el siguiente homomorfismode algebras, que tambien denotaremos por , entreL1(G) yB(V)

f L1(G)(f) =

G

f(g)(g)d(g) B(V)

Interpretaremos este operador en sentido Debil. Es decir, para cada vectorv V definimos (f)v por medio de la relacion

(f)v, w= G

f(g)(g)v, wd(g)

Es obvio que(f) Vy que(f) fL1(G)

. Tambien es sencillo ver que la

aplicacion (f) :L1(G) B(V) es un homomorfismo continuo de algebras.


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Bibliografa

[1] Aranda, E. CURSO DE LATEX. Departamento de Matematicas, E.T.S.Ingenieros Industriales, Universidad de Castilla, La Mancha. (2008).

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