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teoria de medida
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE MATEMATICASANALISIS REAL III
Practica Dirigida 09
1. Sea (X,A, ) un espacio de medida con signo, sea f L1R(X,) y sea f : A ],+] definidapor f (A) =
A
fd. Pruebe que
+f (A) =
A
f+d, f (A) =A
fd y |f |(A) =A
|f |d
2. Sea (X,A, ) un espacio de medida con signo. Un conjunto A A es llamado positivo (resp.negativo) si y solo si (A) > 0 (resp. (A) < 0). La clase de los conjuntos positivos (resp. de losconjuntos negativos) es una -algebra? Justifique su respuesta.
3. Sea una medida con signo finita y {Ak}kN una sucesion de conjuntos medibles tales que existelim{Ek}. Pruebe que lim
k(Ek) = ( lim
k{Ek}).
4. Pruebe que una funcion definida en una -algebra A no puede ser aditiva si existen dos elementosP y Q de A tales que (P ) = + y (Q) = .
5. Sean y dos medidas con signo definidas en (X,A) y finita. Pruebe que es continua conrespecto de si y solo si para cada > 0 existe un > 0 tal que ||(E) < implica que ||(E) < .
6. Sea (X,A, ) un espacio de medida -finita y sea f L1R(X,). Pruebe que para cada > 0 existe > 0 tal que si A A y (A) < entonces
A
|f |d < .
7. Sean y dos medidas -finitas tal que es continua respecto de . Pruebe que las dos afirmacionessiguientes son equivalentes:
(a) f es integrable respecto de .
(b) Existe una funcion medible g tal que fg es integrable respecto de .
En caso afirmativo, pruebe que
A
fd =
A
fgd, A medible.
8. Sea X = [0, 1] y la medida de Lebesgue correspondiente. Calcule
X
fd en cada uno de los casos
siguientes: f(x) = x y g es la medida asociada a g(x) = x2.
9. Sea (X,A) un espacio medible y denotemos
Mb(X,A) = {; es una medida con signo y acotada sobre (X,A)}
(a) Con las operaciones usuales, pruebe que Mb(X,A) es un R-espacio vectorial.(b) Dado Mb(X,A) defina = ||(X). Pruebe que . es una norma sobre Mb(X,A).
(c) Pruebe que = sup{
X
fd; |f | 1}, Mb(X,A).
10. Sea (X,A, ) un espacio de medida, el supremo esencial de una funcion medible f : X [0,+]se define como
supess(f) = inf{M > 0;([f > M ]) = 0}Si supess(f) < + pruebe que(a) M supess(f), ([f > M ]) = 0(b) M < supess(f), ([f > M ]) > 0
11. Sea (X,A, ) un espacio de medida y f : X K (donde K = R,R o C) una funcion medibleessencialmente acotada. Pruebe que f = supess(|f |).
12. Sea (X,A, ) un espacio de medida y f : X K una funcion medible. Pruebe que f LK (X,)si y solo si existe g : X K medible y acotada tal que f = g c.t.p. de X y g sup= f
13. considere el espacio de medida (N,B(N), ) donde es la medida de conteo.(a) Cuales son los subconjuntos de N que tiene -medida cero?(b) Caracterize los elementos de LpK(N, )(1 p
17. Sea (X,A, ) un espacio de medida, 1 p + y f, g LpK(X,). Establezca condicionesnecesarias y suficientes sobre f y g para que se cumpla f + g p= f p + g p
18. Sea (X,A, ) un espacio de medida, 1 p +, p, q exponentes conjugados, f LpK(X,)y g LqK(X,). Establezca condiciones necesarias y suficientes sobre f y g para que se cumpla fg 1= f p g q
19. El objetivo de los siguientes es probar las desigualdades de Clarkson
(a) Si 1 p < + y a, b 0, pruebe que (a+ b)p 2p1(ap + bp).(b) Si 0 < s < 1, pruebe que la funcion f(x) =
1 sxx
es decreciente en el intervalo ]0,+[.(c) Si 1 < p 2, 0 t 1 y q es el conjugado de p, pruebe que(
1 + t
2
)q+
(1 t
2
)q(
1 + tp
2
) 1p1
(d) Si a, b R, 1 < p 2 y q es el conjungado de p, pruebe quea+ b2q + a+ b2
q ( |a|p + |b|p2) 1
p1
(e) Si a, b R, 2 p < +, pruebe quea+ b2p + a+ b2
p |a|p + |b|p2(f) Sea (X,A, ) espacio de medida y f, g LpK(X,). Pruebe las desigualdades de Clarkson
i. Si 2 p < + entoncesf + g2pp
+
f g2pp
12fpp +
1
2gpp
ii. Si 1 < p 2 y q es el conjugado de p, entoncesf + g2qp
+
f g2qp
(
1
2fpp +
1
2gpp
)q1
20. Para f, g L2C(X,) definimos f, g =X
fgd.
(a) Pruebe que f, g C,f, g L2C(X,)(b) Es la funcion , : L2C(X,) L2C(X,) C un producto interno? Justifique su respuesta.(c) En caso que si la respuesta al tem anterior fuera negativa, que cambios debe hacerse para
tener un producto interno?
21. Sea (X,A, ) espacio de medida y f, g : X [0,+] medibles tales que fg 1.
(a) Pruebe que
(X
fd
)(X
gd
) (X)2
(b) Que puede decir de la medida si es que existe f : X ]0,+] medible tal que f y 1f
son
integrables?
22. Sea (X,A, ) espacio de medida, f : X C medible y defina :]0,+[ [0,+] como
(p) =
X
|f |pd
Sea E = {p ]0,+[, (p) 0.(a) Si r < p < s, r E y s E, demuestre que p E.(b) Demuestre que ln es convexa en el interior de E y que es continua en E.
(c) Pruebe que E es convexo. Es E necesariamente abierto? Es necesariamente cerrado? puedeconstar solo de un punto? Puede ser un subconjunto conexo cualquiera de ]0,+[?
(d) Si r < p < s, pruebe que f p max{ f s, f r}(e) Si r < p < s, pruebe que LrC(X,) LsC(X,) LpC(X,).(f) Suponiendo que f LrC(X,) para algun r