UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE MATEMATICASANALISIS REAL III

PRACTICA DIRIGIDA 07

1. Sea f : R→ R definida por

f(x) =

0, si x 6∈ [0, 1],

1, si x ∈ [0, 1] ∩Q,−1, si x ∈ [0, 1] ∩ I.

f es Lebesgue medible? Justifique su respuesta.

2. Sea s una funcion simple en R tal que s(x) = ck ≥ 0, para x ∈ [xk−1, xk[, (1 ≤ k ≤ r) y s(x) = 0para x 6∈ [x0, xr[.

(a) Expresar s como combinacion lineal de funciones caracaterısticas.

(b) Hallar

∫Rgdλ.

3. Pruebe que el producto de dos funciones simples es una funcion simple.

4. Si s es una funcion simple en Rn y Ta : Rn → Rn una traslacion, pruebe que s ◦ Ta es una funcionsimple en Rn. Ademas, si s es no negativa, pruebe que∫

Rn(s ◦ Ta)dλ =

∫Rnsdλ

5. Sea s y t funciones simples no negativas en Rm y Rn respectivamente. Defina f : Rm+n −→ R comof(x, y) = s(x)t(y),∀(x, y) ∈ Rm ×Rn = Rm+n. Pruebe que f es una funcion simple no negativa enRm+n y ∫

Rm+n

fdλ =

(∫Rm

sdλ

)(∫Rntdλ

)6. Sea (X,A, µ) un espacio de medida. Una funcion elemental es aquella que tiene solo una cantidad

numerable de valores y toma cada uno en un conjunto medible, es decir e =

∞∑k=1

αk1Ei , {Ek} ⊆ A

disjunta dos a dos tales que X =

∞⋃k=1

Ek. Sea f : X −→ [0,+∞[ una funcion medible y finita.

Pruebe que f es el lımite uniforme de una sucesion {ek} de funciones elementales. Se obtiene unresultado analogo si se consideran funciones simples en lugar de funciones elementales?.

7. Sea (X,A, µ) un espacio de medida finita y considere la sucecion de funciones medibles fn : X → Ry la funcion medible f : X → R. Decimos que fn converge a f en medida, lo que denotaremos

fnµ−→ f

si y solo si, para todo ε > 0 se cumple que

limn−→∞

µ([|fn − f | ≥ ε]) = 0

Si fnµ−→ f y gn

µ−→ g, pruebe las siguientes propiedades:

(a) (afn + bgn)µ−→ (a+ bg),∀a, b ∈ R

(b) fngµ−→ fg

(c) f2nµ−→ f2

(d) fngnµ−→ fg

8. Sea (X,A, µ) un espacio de medida y sea (fn) una sucesion de funciones medibles en X, no positivas.Entonces ∫

X

(lim sup fn)dµ ≥ lim sup

(∫X

fndµ

)9. Sea (X,A, µ) un espacio de medida y fijemos un A ∈ A. Consideremos la sucesion (fn) definida

porfn = 1A, si n es impar y fn = 1− 1A, si n es par

(a) Pruebe que (fn) es una sucecion de funciones medibles no negativas.

(b) Calcule

∫X

(lim inf fn)dµ y lim inf

(∫X

fndµ

).Que puede concluir con respecto al Lema de

Fatou?.

10. Sea (X,A, µ) un espacio de medida y sea (fn) una sucesion de funciones medibles no negativas talesque

(a) f1 ≥ f2 ≥ f3 ≥ · · ·

(b)

∫X

f1dµ < +∞

(c) limn→∞

fn(x) = f(x),∀x ∈ X.

Pruebe que F : X → [0,∞] es medible y limn→∞

∫X

fndµ =

∫X

fµ.

11. Sea (X,A, µ) un espacio de medida y sea (fn) una sucesion de funciones medibles no negati-vas, que converge uniformemente hacia la funcion constante cero. Si µ(X) < +∞, pruebe que

limn→∞

∫X

fndµ = 0.

12. Sea (X,A, µ) un espacio de medida y f : X → [0,+∞] una funcion medible tal que

∫X

fdµ = c,

donde 0 < c <∞. Si 0 < α < 1, Pruebe que

limn→∞

∫X

n ln

[1 +

(f

n

)α]dµ =∞

13. Sea (X,A, µ) un espacio de medida y f : X → [0,+∞] una funcion medible tal que

∫X

fdµ < +∞.

Pruebe que para todo ε > 0, existe θ > 0 tal que si A ∈ A y µ(A) < θ entonces

∫A

fdµ < ε.

14. Consideremos el espacio de medida (N,P(N), µ) donde µ es la medida de conteo.

(a) Si denotamos Bn = {k ∈ N; k ≥ n}, entonces pruebe que µ(Bn) = +∞ y

∞⋂n=1

Bn = ∅.

(b) Sea f : N → [0,∞] una funcion (observe que f es una sucesion de terminos no negativos),

Pruebe que f es medible y que

∫Nfdµ =

∞∑n=1

f(n).

(c) Dada f : N→ [0,∞] una funcion, denotamos An = {k ∈ N; k ≤ n} y consideremos la sucecionfn : N→ [0,∞] definida por

fn(k) =

{f(k), si 1 ≤ k ≤ n,0, si k > n.

Pruebe que fn es simple, ∀n ∈ N y

∫Nfndµ =

n∑k=1

f(k)

(d) Sea fn : N→ [0,∞[ sucesion de funciones definidas por

fn(k) =

{0, si 1 ≤ k < n,

1, si k ≥ n.

Pruebe que la sucesion (fn) es decreciente, fn → 0 (convergencia puntual) y

∫Nfndµ =∞

15. Los siguientes ejemplos muestran que no siempre es cierta la relacion

∫X

(lim fk)dµ = limk→∞

∫X

fkdµ.

Indique, en cada caso, la razon por la cual no se cumple la igualdad.

(a) Sea X = [0,+∞[, µ la medida de Lebesque y

fk(x) =

2x

k2, si x ≤ k,

0, si x > k.

Pruebe que fk → 0 pero

∫X

fkdµ = 1,∀k ∈ N.

(b) Sean X,µ y (fk) como en el ejercicio anterior. Defina (gk) como gk(x) = (−1)kfk(x),∀x ∈ X.

Pruebe que gk → 0 y que

(∫X

fkdµ

)no tiene lımite.

(c) Sea X = [0, 1], µ la medida de Lebesque y

fk(x) =

{2k, si x ≤ 2−k,

0, si x > 2−k.

Pruebe que fk → 0 y

∫X

fkdµ = 1,∀k ∈ N.

(d) Sean X y µ como en el ejercicio anterior y αk el punto medio del intervalo

[1

k + 1,

1

k

], definimos

fk(x) =

k(k + 1), si

1

k + 1≤ x ≤ αk,

−k(k + 1), si αk < x <1

k,

0, en otro caso .

Sea gk = f1 − f2 − · · · − fk. Pruebe que (gk) converge en casi todo punto a una funcion no

integrable y que

∫X

gkdµ = 0,∀k ∈ N.

16. Sea (N,P(N), µ) donde µ es la medida de conteo. Si f : N→ [0,+∞], pruebe que

∫Nfdµ =

∞∑n=1

f(n)

17. Sea (X,A, µ) un espacio de medida y f : X → [−∞,∞] una funcion medible. Pruebe que lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) f ∈ L1R(X,µ)

(b)

∫X

f+dµ,

∫X

f−dµ ∈]0,∞[

(c)

∫X

fdµ ∈ R

18. Sea (X,A, µ) un espacio de medida y f ∈ L1R(X,µ) tal que

∫A

fdµ = 0,∀A ∈ A. Pruebe que f = 0

c.t.p. de X.

19. Sea (X,A, µ) un espacio de medida, f, g ∈ L1R(X,µ) y F un cerrado de R tal que ∀A ∈ A con

µ(A) > 0, se cumple1

µ(A)

∫A

fdµ ∈ F . Pruebe que f(x) ∈ F, c.t.p. de X.

20. Sea (X,A, µ) un espacio de medida. Muestre que la medida µ es σ-finita si y solo si existe unafuncion f integrable y estrictamente positiva.

21. Sea (X,A, µ) un espacio de medida y f : X → R una funcion medible. Pruebe la equivalencia

f ∈ L1R(X,µ)⇐⇒

∑n∈Z

2nµ({2n ≤ |f | < 2n+1}) < +∞

22. Sea (X,A, µ) un espacio de medida finita y f : X → R una funcion medible.

(a) Pruebe que f ∈ L1R(X,µ) si y solo si

∞∑n=1

nµ({n ≤ |f | < n+ 1}) < +∞.

(b) Para todo n ∈ N, Pruebe que

n∑k=1

kµ({k ≤ |f | < k + 1}) =

n∑k=1

kµ({|f | ≥ k})− nµ({|f | ≥ n+ 1})

(c) Sea (un) ⊆ R sucesion decreciente y convergente a cero y suponga que la sucesion (vn), donde

vn =

n∑k=1

uk − nun+1, es acotada. Pruebe que

∞∑n=1

un < +∞

(d) Pruebe que f ∈ L1R(X,µ) si y solo si

∞∑n=1

µ({|f | ≥ n}) < +∞.

(e) Los resultados (a)− (d) siguen siendo verdaderos si µ(X) = +∞?

23. Sea (X,A, µ) un espacio de medida finita y f ∈ L1R(x, µ).

(a) Pruebe que, para todo ε > 0, existe Aε ∈ A tal que µ(Aε) < +∞, f es acotada sobre Aε y∫X−Aε

|f |dµ < ε.

(b) Deducir la continuidad de la integral con respecto a la medida:

∀ε > 0,∃δ > 0 tal que A ∈ A con µ(A) ≤ δ →∫A

|f |dµ ≤ ε.

Galindo TazaCiudad Universitaria, Octubre 2015.