www.ziti.gr

Π ρ ό λ ο γ ο ς

Τ ο βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού:ç Θετικών σπουδώνç Οικονομίας και Πληροφορικής

Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:ç Όριο και Συνέχεια συνάρτησηςç Παράγωγος συνάρτησης

Η δομή του βιβλίου, σε γενικές γραμμές, είναι η εξής:

3 Σε κάθε ενότητα παρουσιάζεται η θεωρία σύντομα και ελκυστικά. Ακολου-θούν παρατηρήσεις και σχόλια για να αποσαφηνιστούν όλες οι έννοιες.

3 Στη συνέχεια, παρουσιάζονται χαρακτηριστικές εφαρμογές με τις απαραίτητες μεθοδολογικές οδηγίες.

3 Κάθε παράγραφος κλείνει με ένα μεγάλο αριθμό ασκήσεων, που καλύπτουν την ύλη με κάθε λεπτομέρεια.

Για τις εύκολες ασκήσεις ή για αυτές που υπάρχουν αντίστοιχες εφαρμογές, δί-νονται οι απαντήσεις στο τέλος του βιβλίου. Για τις ασκήσεις μέτριας δυσκο-λίας, δίνονται ικανοποιητικές υποδείξεις, ενώ για τις δύσκολες ασκήσεις, που σημειώνονται με αστερίσκο (*), δίνονται σύντομες λύσεις.

3 Το βιβλίο περιέχει διάσπαρτα πέντε διαγωνίσματα των τεσσάρων θεμάτων, που είναι ανάλογα με τις απαιτήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων.

3 Κάθε κεφάλαιο κλείνει με επαναληπτικές ασκήσεις. Επίσης, στο τέλος δίνε-ται ένας μεγάλος αριθμών γενικών επαναληπτικών θεμάτων και η ενασχόλη-ση του μαθητή με αυτά, θα τον βοηθήσει σημαντικά στην εμβάθυνση της ύλης της Μαθηματικής Ανάλυσης.

Με ευχαρίστηση θα δεχθώ οποιαδήποτε υπόδειξη που θα μπορούσε να συμβάλ-λει στη βελτίωση αυτού του βιβλίου.

Ιούλιος 2015Θανάσης Ξένος

Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Όριο και συνέχεια συνάρτησης

1.1. Επανάληψη βασικών εννοιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών και τα υποσύνολά του . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2. Διάταξη στο R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.3. Αξιοσημείωτες ταυτότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.4. Απόλυτες τιμές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.5. Δυνάμεις στο R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.6. Διώνυμες εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.7. Εξισώσεις δεύτερου βαθμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.8. Εξισώσεις ανώτερου βαθμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.9. Επίλυση ανισώσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.10. Άρρητες εξισώσεις και ανισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.11. Τριγωνομετρικές εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.12. Αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.13. Λογάριθμοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.14. Μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2. Συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.1. Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.2. Γραφική παράσταση συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.3. Ισότητα συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.2.4. Πράξεις συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.2.5. Σύνθεση συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.3. Μονότονες συναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.3.1. Μονοτονία συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.3.2. Ακρότατα συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.3.3. Συνάρτηση 1−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.3.4. Αντίστροφη συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7Περιεχόμενα

Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1ο Διαγώνισμα (Γενικό μέρος συναρτήσεων) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.4. Όριο συνάρτησης στο x0 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.5. Ιδιότητες των ορίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.5.1. Όριο και διάταξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.5.2. Όρια και πράξεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.5.3. Όριο σύνθετης συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.5.4. Κριτήριο παρεμβολής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1.5.5. Τριγωνομετρικά όρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 1.5.6. Σημαντική ανισότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

1.6. Μη πεπερασμένο όριο συνάρτησης στο x0 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 1.6.1. Η έννοια του άπειρου ορίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 1.6.2. Ιδιότητες του άπειρου ορίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 1.6.3. Όριο αθροίσματος και γινομένου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

1.7. Όριο συνάρτησης στο άπειρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 1.7.1. Η έννοια του ορίου στο άπειρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 1.7.2. Βασικά όρια στο άπειρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 1.7.3. Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης στο άπειρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 1.7.4. Όριο εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 1.7.5. Όριο ακολουθίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

2ο Διαγώνισμα (Όριο συνάρτησης) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

1.8. Συνέχεια συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 1.8.1. Η έννοια της συνέχειας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 1.8.2. Συνεχείς συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 1.8.3. Θεώρημα του Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 1.8.4. Πρόσημο συνεχούς συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 1.8.5. Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

8 Θ. Ξένος: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γʹ Λυκείου Περιεχόμενα

1.8.6. Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 1.8.7. Σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

3ο Διαγώνισμα (Συνέχεια συνάρτησης) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Επανάληψη κεφαλαίου 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

4ο Διαγώνισμα (Κεφάλαιο 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Παράγωγος συνάρτησης

2.1. Η έννοια της παραγώγου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 2.1.1. Η έννοια της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 2.1.2. Παραγωγισιμότητα και συνέχεια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 2.1.3. Στιγμιαία ταχύτητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 2.1.4. Εφαπτομένη γραφικής παράστασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

2.2. Παραγωγίσιμες συναρτήσεις – Παράγωγος συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 2.2.1. Παραγωγίσιμη συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 2.2.2. Παράγωγος συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 2.2.3. Παράγωγος μερικών βασικών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

2.3. Κανόνες παραγώγισης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 2.3.1. Παράγωγος αθροίσματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 2.3.2. Παράγωγος γινομένου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 2.3.3. Παράγωγος πηλίκου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 2.3.4. Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

2.4. Ρυθμός μεταβολής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

5ο Διαγώνισμα (Παράγωγος συνάρτησης) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Απαντήσεις - υποδείξεις ή σύντομες λύσεις των ασκήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

9Περιεχόμενα

Όριο και συνέχειασυνάρτησης

1.1.1 Το σύνολο των πραγματικών αριθμών και τα υποσύνολά του

�α)� Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι το � �{0,1, 2, 3, , }k , ενώ το σύνολο

των ακέραιων αριθμών είναι το � ��� � � �{ 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, , }w .

�β)� Ρητός αριθμός ονομάζεται κάθε αριθμός που γράφεται ως πηλίκο ακέραιων αριθμών. Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι το

� �� � α |α, β και β 0βn w . Οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί, όπως π.χ. οι 32 , 5 , π, e , και 1 2 , ονομάζο-

νται άρρητοι. Η ένωση των συνόλων ρητών και άρρητων αριθμών μας δίνει το σύνολο o των πραγματικών αριθμών.

�γ)� Αν �α, β o με �α β , τότε ορίζουμε τα παρακάτω φραγμένα διαστήματα.

ανοικτό διάστημα: � � � �(α, β) {x |α x β}o

κλειστό διάστημα: � � � �[α, β] {x |α x β}o

ανοικτό�–�κλειστό διάστημα: � � � �(α, β] {x |α x β}o

κλειστό�–�ανοικτό διάστημα: � � � �[α, β) {x |α x β}o .

�δ)� Αν �α o , ορίζουμε τα παρακάτω μη φραγμένα διαστήματα

� � �(α, ) {x | x α}o ,

� � �[α, ) {x | x α}o

� � � �( , α) {x | x α}o , � � � �( , α] {x | x α}o .

Επίσης, έχουμε �

�( , ) o .

�ε)� Οι πραγματικοί αριθμοί παριστάνονται με σημεία μιας ευθείας, η οποία ονομά-ζεται άξονας των πραγματικών αριθμών. Τα διαστήματα είναι υποσύνολα του o και περιέχουν άπειρα σημεία. Τα σημεία ενός διαστήματος �Δ,� που είναι δια-φορετικά από τα άκρα του, ονομάζονται εσωτερικά σημεία του �Δ.� Αν από ένα υποσύνολο �Α� του o εξαιρέσουμε τον αριθμό �0,� τότε το σύνολο �Α {0} συμ-βολίζεται συνήθως με �Α .

Για παράδειγμα, �k είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων αριθμών.

1.1. Επανάληψη βασικών εννοιών 13

1.3.1 Μονοτονία συνάρτησης

ç Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται

i) Γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα �Δ� του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε 1 2x , x Δ� με 1 2x x� ισχύει 1 2f(x ) f(x )� .

ii) Γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα �Δ� του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1 2x , x Δ� με 1 2x x� ισχύει 1 2f(x ) f(x )� .

iii) Αύξουσα στο �Δ,� όταν για κάθε 1 2x , x Δ� με 1 2x x� ισχύει 1 2f(x ) f(x )� .

iv) Φθίνουσα στο �Δ,� όταν για κάθε 1 2x , x Δ� με 1 2x x� ισχύει 1 2f(x ) f(x )� .

Αντίστοιχα συμβολίζουμε f Δ , f Δ , f Δ , f Δ.��� �

ç Αν η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε λέμε ότι είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

ç Αν η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, τότε λέμε απλώς ότι είναι γνησίως μονότονη.

1) Για την αύξουσα συνάρτηση του διπλανού σχήματος, μπορούμε να πούμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στα δι-αστήματα 1 2( ,x ], [x , )�

και σταθερή στο διάστη-μα 1 2[x , x ].

Για το λόγο αυτό δεν θα ασχοληθούμε με αύξουσες ή φθίνουσες συναρτήσεις.

Θ. Ξένος: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γʹ Λυκείου Κεφ. 1. Όριο και συνέχεια συνάρτησης 54

2) Η μονοτονία των βασικών συναρτήσεων θεωρείται γνωστή. Για παράδειγμα,

i) η εκθετική συνάρτηση xf(x) e� και η λογαριθμική συνάρτηση g(x) ln x� εί-ναι γνησίως αύξουσες στο o και (0, )

αντίστοιχα.

ii) η 2f(x) x� είναι γνησίως φθίνουσα στο ( , 0]� και γνησίως αύξουσα στο [0, )

.

iii) η 1f (x) x� είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα ( , 0)�

και (0, )

.

iv) η f (x) εφx� είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα του πεδίου ορισμού

της, δηλαδή σε κάθε διάστημα � �π πκπ , κπ , κ2 2� �w . 3) Οι συναρτήσεις f και –f έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας.

4) Είναι δυνατόν μια συνάρτηση f να είναι γνησίως μονότονη στα διαστήματα 1Δ και 2Δ του πεδίου ορισμού της, χωρίς όμως να συμβαίνει το ίδιο στο σύνολο

1 2Δ Δ .�

Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η συνάρτηση 1f (x) ,x� για την οποία έχουμε

f ( ,0) και f (0, )�

� �

Όμως, δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο *( ,0) ( 0, ) ,� �

� o

αφού για 1 2x 0 x� � ισχύει 1 2f (x ) f(x .)�

Άρα, η μονοτονία μιας συνάρτησης εξετάζεται στα διαστήματα του πεδίου ορι-σμού της.

Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σ’ ένα διάστημα fΔ D� , τότε η εξίσωση f(x) = 0 δεν μπορεί να έχει δύο ή και περισσότερες ρίζες στο Δ, αφού τότε για

1 2x x θα ίσχυε 1 2f(x ) f(x ) 0,� � που είναι άτοπο. Άρα, μια γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μια ρίζα.

551.3. Μονότονες συναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση

w Eφαρμογή 1 (Εύρεση της μονοτονίας μιας συνάρτησης) Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις

α) x 3f(x) e x� και β) 1f(x) ln xx� � .

Λύση:

Μεθοδολογία

Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης f : A ,�o θεωρούμε δύο τυχαία σημεία 1 2x , x A� με 1 2x x� και χρησιμοποιώντας ιδιότητες ανισοτήτων, κατα-λήγουμε στην ανισότητα 1 2f(x ) f(x )� ή 1 2f(x ) f(x ).�

Επίσης, με 1 2x x ,� μπορούμε να βρούμε το πρόσημο της διαφοράς 1 2f(x ) f(x ).�

Ακόμη, με � 1 2x x , μπορούμε να βρούμε το πρόσημο του λόγου � 1 21 2

f(x ) f(x )λ .x x�

��

Αν ο λ>0 η f είναι γνησίως αύξουσα και αν λ

Λύση: α) Για κάθε 1 2x , x A� με 1 2x x� ισχύει 1 2f(x ) f(x )� και 1 2g(x ) g(x )� .

Επειδή οι τιμές 1g(x ) και 2g(x ) είναι ομόσημες, ισχύει 1 2

1 1g(x ) g(x )� .

Τα μέλη των ανισοτήτων 1 2f(x ) f(x )� και 1 2

1 1g(x ) g(x )�

είναι όλα θετικά, οπότε, αν τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη, έχουμε

1 2

1 2

f(x ) f(x )g(x ) g(x )� ή 1 2

f f(x ) (x )g g� � � ��� � � �� � � � .

Άρα, η συνάρτηση fg είναι γνησίως αύξουσα στο �Α.

β) Γνωρίζουμε ότι:

� η συνάρτηση � �πf(x) εφx, x 0, 2� � είναι γνησίως αύξουσα και ισχύει f (x) 0� ,

� η συνάρτηση � �πg(x) συνx, x 0, 2� � είναι γνησίως φθίνουσα και ισχύει g(x) 0� .

Άρα, σύμφωνα με τα παραπάνω, η συνάρτηση εφxh(x) συνx� είναι γνησίως αύξουσα στο � �π0, 2 .

w Eφαρμογή 3 (Μονοτονία της σύνθεσης συναρτήσεων) α) Αν η συνάρτηση f : A B� είναι γνησίως αύξουσα και η g : B �o είναι γνη-

σίως φθίνουσα, να αποδειχθεί ότι η g f� είναι γνησίως φθίνουσα.

β) Αν xf(x) 2 x, x�� � �o να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση (f f ) f� � .

Λύση: α) Αρκεί να αποδειχθεί ότι για κάθε 1 2x , x A� με 1 2x x� ισχύει

1 2(g f )(x ) (g f )(x )�� � .

Πράγματι, επειδή η �f� είναι γνησίως αύξουσα στο �Α,� για 1 2x x� ισχύει

1 2f(x ) f(x )� .

571.3. Μονότονες συναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση

Επίσης, επειδή 1 2f(x ), f(x ) Β� και η �g� είναι γνησίως φθίνουσα στο �B,� ισχύει.

� � � �1 2g f(x ) g f(x )� , δηλαδή 1 2(g f )(x ) (g f )(x )�� � . β) Για κάθε 1 2x , x �o με 1 2x x� ισχύει 1 2x x� � � και 1 2

x x2 2� �� .

Επομένως, 1 2x x1 22 x 2 x� �� � � , δηλαδή 1 2f(x ) f(x )� , που σημαίνει ότι η �f�

είναι γνησίως φθίνουσα στο o . Έτσι, έχουμε ακόμη

� � � �1 2f f(x ) f f(x )� και � �� � � �� �1 2f f f(x ) f f f(x )� , δηλαδή � � � �1 2(f f ) f (x ) (f f ) f (x )�� � � � . Άρα, η συνάρτηση (f f ) f� � είναι γνησίως φθίνουσα στο o .

w Eφαρμογή 4 (Μονοτονία άρτιας συνάρτησης) Αν μια άρτια συνάρτηση f : �o o είναι γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα (α, β)

θετικών αριθμών, να αποδειχθεί ότι η �f� είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (–β, –α).

Λύση: Θεωρούμε δύο τυχαία σημεία 1 2x , x ( β, α)� � � με 1 2x x� και αρκεί να αποδείξου-με ότι 1 2f(x ) f(x )� . Επειδή 1 2 1 2x , x (α, β), x x� � � � � � και η �f� είναι γνησίως αύ-ξουσα στο �(α, β),� συμπεραίνουμε ότι 1 2f( x ) f( x )� � � , δηλαδή 1 2f(x ) f(x )� , αφού η �f� είναι άρτια συνάρτηση.

w Eφαρμογή 5 (Μονοτονία και επίλυση εξίσωσης) Να λυθεί στο o η εξίσωση x 3e 1 x .� �

Λύση:

Μεθοδολογία

Μια μέθοδος για να λύσουμε εξίσωση της μορφής f(x)�=�0 είναι η εξής: � Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη, οπότε έχει το πολύ μια ρίζα. � Βρίσκουμε προφανή ρίζα.

Η εξίσωση γράφεται x 3e x 1 0. � �

Η συνάρτηση x 3f(x) e x 1, x� � �o είναι γνησίως αύξουσα (βλέπε και την ε-φαρμογή 1 παραπάνω) και επειδή f(0)�=�1+0–1�=�0, μοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x)�=�0 είναι η x�=�0.

Θ. Ξένος: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γʹ Λυκείου Κεφ. 1. Όριο και συνέχεια συνάρτησης 58

-

1. Χαρακτηρίστε με «Σωστό» ή «Λάθος» καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις. Να

αιτιολογηθούν οι απαντήσεις.

α) Η συνάρτηση 2ν *f(x) x , ν� �k είναι γνησίως αύξουσα.

β) Αν για μια συνάρτηση f : �o o ισχύει f(1)�

3. Να λυθούν οι εξισώσεις

α) xe ln(x 1) 1 � , β) 9 5x 3x 4 � και γ) � �3 1x 2x 3 ln x � . 4. Θεωρούμε δύο συναρτήσεις f : A �o και g : A �o . α) Αν οι f και g είναι γνησίως αύξουσες, να αποδειχθεί ότι και η f+g είναι γνη-

σίως αύξουσα. β) Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα και η g είναι γνησίως αύξουσα, να αποδειχθεί

ότι η f–g είναι γνησίως φθίνουσα.

γ) Αν οι f, g είναι γνησίως μονότονες με διαφορετικό είδος μονοτονίας και

παίρνουν θετικές τιμές, να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση fg .

δ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση 2ημxh(x)

συν x� είναι γνησίως αύξουσα στο

διάστημα � �π0, .2

5. α) Αν π0 α β ,2� � � να αποδειχθεί ότι 2 2συνα συνβ α β� � � .

β) Αν α, β�o με α

Διδακτική ενότητα Γενικό μέρος συναρτήσεων

Α1.Α1.Α1.Α1. Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x.

Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f : A ,o όπου Α ;� o

Να δοθεί ο ορισμός της σύνθεσης δύο συναρτήσεων;

Χαρακτηρίστε με «Σωστό» ή «Λάθος» καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις.α) Η συνάρτηση

2xf (x) e είναι αντιστρέψιμη.β) Αν για μια συνάρτηση f : �o o� ισχύει f(x)>0 για κάθε x �o , τότε η

f δεν έχει ελάχιστο. γ) Αν οι συναρτήσεις f, g, h ορίζονται στο o και ισχύει f h f gh fh f , τότε

h = g. δ) Αν μια συνάρτηση f : A �o είναι 1–1, τότε η συνάρτηση 1f f � είναι

ταυτοτική. ε) Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο αντίστροφων συναρ-

τήσεων ανήκουν στην ευθεία y = x.

Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης 21f(x) 1 , x 0.21x

1 , x1 , x2

Αν x 1f(x) x� και g(x) x 2 ,xx να βρεθούν οι συναρτήσεις g f και f g .

Έστω συνάρτηση f : �o o� μεx

x2e 1x2f(x) f( x)e 1x

�f ( x)f( για κάθε x .�o

α) Να αποδειχθεί ότι x

xef(x) , x .xe

e 1x, x, x

β) Να βρεθεί η αντίστροφη της f.

Κεφ. 1. Όριο και συνέχεια συνάρτησης. 1ο Διαγώνισμα 81

Δίνεται η συνάρτηση f : �o o� με 3f(x) x x .3xx3

Να συγκριθούν οι αριθμοί f(ημ2) και f(συν2).

Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να λυθεί η ανίσωση � �1f 2 f(x) 1.� �1 f(x)f(x)�

Να βρεθεί το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2 4g(x) x (x 1)2 4x (xx (x2 4 βρίσκεται κάτω από την fC .

Αν μια συνάρτηση h : �o o� είναι «1–1», να αποδειχθεί ότι και η συνάρτη-ση 3φ(x) h(x) h (x)3h(x)h(x) είναι «1–1».

Έστω συνάρτηση *f : �o o� με f(x y) f(x) f(y)y) f(x)y) f(x) για κάθε x, y .�o

Να αποδειχθεί ότι

α) f(0) = 1, β) 1f( x)f(x)

�x) , γ) f (x)f(x y)f(y)

�y) .

Να αποδειχθεί ότι f(x) > 0 για κάθε x .�o

Αν η fC τέμνει την ευθεία y = 1 μόνο σ’ ένα σημείο, να αποδειχθεί ότι

α) η f είναι αντιστρέψιμη και

β) 1 1 11 2 1 2f (y y ) f (y ) f (y )1 1 11

1 2 1 22 11 111y ) f (y )y ) f (y )112 12 1 για κάθε y , y f( ).1 2

Θ. Ξένος: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γʹ Λυκείου Κεφ. 1. Όριο και συνέχεια συνάρτησης. 1ο Διαγώνισμα 82

Κεφάλαιο 1 Όριο και συνέχεια συνάρτησης

§ 1.2 Συναρτήσεις

α) Λ, β) Σ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Λ, στ) Λ (για α�=�0, f *D � o ), ζ) Λ, fD ( ,0)� � ,

η) Λ, θ) Σ, i) Λ, iα) Σ, iβ) Σ (η μηδενική συνάρτηση).

Οι β) και ε).

α β γ δ ε στ ζ vii i v ii iv vi iii

α) { 1,1}� �o , β) ( , 2] [0,2]� � � , γ) ( ,0)� , δ) (0, )

, ε) {1}�o , στ) ( , 1) (0,1)� � � , ζ) (0,π) (2π,3π) (4π,5π)� � �� η) (0,1) (1,π) (2π,3π) (4π,5π)� � � �� θ) Αν α�>�1, τότε fD (0, ).�

Αν α�=�1, τότε fD (0,1) (1, ).� �

Αν 0�

x

y

x

y

2111

2

–1

3

3

OO

14

x

y

α) f(x) = (x-2)2 – 1 2β) f(x) = x( )14 γ) f(x) =

x

y

12

1x–3 δ) f(x) =

11

1O

1

x

ex–1

3

1/3

x

y

3

4

1 4O3

ε) f(x) = 3– στ) f(x) = ζ) f(x) = 1–ln(x+1) η) f(x) = (x+2)3–8

x

y

1x–1

O

–8

x

y

1

O x

y

e–1

–2

–1

1

O

α�=�1 και β�=�–1

α) (2, 1) και (0, 1), β) 3f (x) g(x) (x 1) 8 x 3.� � � � � � Το σημείο (3,�36).

γ) Η f έχει σύνολο τιμών το ( , 3] [1, )� � �

, ενώ η g το 1 , 13� # (! " .

Ισχύει f(x)�=�g(x) μόνο για x�=�1 και το κοινό σημείο είναι το (1,�1).

Από τις ισότητες f(0)�=�g(0) και f(1)�=�g(1) βρίσκουμε

� �11 57α 2 , β 4� �� � ή � �7 73α 2 , β 4� ��� � . β) fD (0,1) (1, )� �

και g *D .� o

γ) 5(x 1) 3ln x 0� � (1) Για x�>�1 το αʹ μέλος της (1) είναι θετικό. Για x (0,1)� το αʹ μέλος της (1) είναι αρνητικό. Μοναδική λύση είναι η x�=�1.

8)

11)

10)

9)

7)

x

y–2

–2

2O

Θ. Ξένος: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γʹ Λυκείου 306

Βιβλία Μαθηματικών του Θανάση Ξένου

Μαθηματικά

Μαθηματικά

ΔHMOTIKOY

ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕυκλείδειαΓεωμετρία

Μαθηματικά

Α’ & Β’ Λυκείου

Α’ & Β’ Λυκείου

Τυπολόγιο

για όλες τις τάξεις

Προβλήματα & Κριτήρια A’ & Β’ Λυκείου

Μαθηματικά

Γ’ Λυκείου

Ομάδα προσανατολισμού • Θετικών Σπουδών, • Οικονομίας και Πληροφορικής

Προβλήματα& Κριτήρια

Γ’ Λυκείου

ΕΠΑΛ & ΑΣΕΠ

Μαθηματικά

ΑΕΙ-ΤΕΙ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

KENTPIKH ΔIAΘEΣH:

Aρμενοπούλου 27, 546 35 ΘεσσαλονίκηTηλ.: 2310-203720 • Fax: 2310-211305 e-mail: sales@ziti.gr