Mechanika_Szilardsagtan.pdf

Égert János – Jezsó Károly

MECHANIKA Szilárdságtan

Egyetemi alapképzésben részt vevő mérnökhallgatók számára

Készült a HEFOP 3.3.1-P.-2004-09-0102/1.0 pályázat támogatásával.

Szerző: dr. Égert János egyetemi tanár

dr. Jezsó Károly főiskolai docens

Lektor: dr. Nándori Frigyes egyetemi docens Miskolci Egyetem, Mechanika Tanszék

© Szerzők, 2006

Mechanika A dokumentum használata

A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza 3


A dokumentum használata

Mozgás a dokumentumban A dokumentumban való mozgáshoz a Windows és az Adobe Reader megszokott elemeit és módszereit használhatjuk.

Minden lap tetején és alján egy navigációs sor található, itt a megfe-lelő hivatkozásra kattintva ugorhatunk a használati útmutatóra, a tarta-lomjegyzékre, valamint a tárgymutatóra. A és a nyilakkal az előző és a következő oldalra léphetünk át, míg a Vissza mező az utoljára megnézett oldalra visz vissza bennünket.

Pozícionálás a könyvjelzőablak segítségével A bal oldali könyvjelző ablakban tartalomjegyzékfa található, amely-nek bejegyzéseire kattintva az adott fejezet/alfejezet első oldalára ju-tunk. Az aktuális pozíciónkat a tartalomjegyzékfában kiemelt bejegyzés mutatja.

A tartalomjegyzék használata

Ugrás megadott helyre a tartalomjegyzék segítségével

Kattintsunk a tartalomjegyzék megfelelő pontjára, ezzel az adott fejezet első oldalára jutunk.

Keresés a szövegben A dokumentumban való kereséshez használjuk megszokott módon a Szerkesztés menü Keresés parancsát. Az Adobe Reader az adott pozí-ciótól kezdve keres a szövegben.

Mechanika Tartalomjegyzék



Tartalomjegyzék

1. Bevezetés............................................................................................ 6

2. Alapfogalmak.................................................................................... 8

3. Matematikai alapok ....................................................................... 12 3.1. A görög ABC leggyakrabban használt betűi.................................. 12 3.2. Mátrixalgebrai összefoglaló .......................................................... 12 3.3. Vektorok skaláris, kétszeres vektoriális és diadikus szorzata ....... 15 3.4. Tenzorok előállítása ...................................................................... 17 3.5. Matematikai gyakorló feladatok.................................................... 19

4. Elemi környezet szilárdságtani állapotai ..................................... 23 4.1. Elemi környezet alakváltozási állapota ......................................... 23 4.2. Elemi környezet (pont) feszültségi állapota .................................. 25 4.3. Gyakorló feladatok elemi környezet szilárdságtani állapotaira .... 29

5. Rudak egyszerű igénybevételei...................................................... 36 5.1. Prizmatikus rudak tiszta húzás-nyomása....................................... 36 5.2. A szilárdságtani méretezés, ellenőrzés.......................................... 40 5.3. Gyakorló feladatok rudak húzás-nyomására ................................. 42 5.4. Prizmatikus rudak tiszta, egyenes hajlítása ................................... 53 5.5. Keresztmetszetek másodrendű nyomatékai................................... 60 5.6. Gyakorló feladatok rudak tiszta, egyenes hajlítására .................... 64 5.7. Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak tiszta csavarása .............. 76 5.8. Vékonyszelvényű prizmatikus rudak szabad csavarása ................ 82 5.9. Gyakorló feladatok rudak csavarására .......................................... 83

6. Karcsú, nyomott rudak kihajlása ................................................. 95 6.1. Gyakorló feladatok karcsú nyomott rudak kihajlására................ 101

7. Általános szilárdságtani állapotok .............................................. 109 7.1. Az általános feszültségi állapot ................................................... 109 7.2. Az általános alakváltozási állapot ............................................... 113 7.3. Az általános Hooke-törvény ........................................................ 115 7.4. Szilárdságtani méretezési, ellenőrzési elméletek ........................ 118 7.5. Gyakorló feladatok általános szilárdságtani állapotokra............. 122

Mechanika Tartalomjegyzék



8. Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok .................. 130 8.1. Feszültségi és alakváltozási állapot a test terheletlen felületén... 130 8.2. A felületi alakváltozási állapot meghatározása nyúlásméréssel.. 131 8.3. Mohr-féle feszültségi kördiagram felületi feszültségi állapot

esetén ........................................................................................... 133 8.4. Feladatok felületi feszültségi állapotra........................................ 135

9. Rudak összetett igénybevételei .................................................... 140 9.1. Húzás-nyomás és egyenes hajlítás .............................................. 140 9.2. Ferde hajlítás ............................................................................... 143 9.3. Excentrikus (külpontos) húzás-nyomás....................................... 145 9.4. Gyakorló feladatok egytengelyű feszültségi állapotot

eredményező összetett igénybevételekre ..................................... 148 9.5. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomás és

csavarása ...................................................................................... 157 9.6. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása.. 160 9.7. Prizmatikus rudak nyírása és hajlítása......................................... 163 9.8. Vékonyszelvényű nyitott rudak nyírása és hajlítása.................... 166 9.9. Gyakorló feladatok nem egytengelyű feszültségi állapotot

eredményező összetett igénybevételekre ..................................... 169

10. Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása........................... 186 10.1. Munka, alakváltozási energia .................................................... 186 10.2. A Betti tétel................................................................................ 187 10.3. Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása Betti tétellel ........ 189

11. Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek és igénybevételeinek meghatározása........................................... 202

11.1. A Castigliano-tétel .................................................................... 202 11.2. A Castigliánó-tétel alkalmazása statikailag határozatlan

rúdszerkezetekre .......................................................................... 203 11.3. Gyakorló feladatok statikailag határozatlan rúdszerkezetek

támasztó erőinek és igénybevételeinek meghatározására............ 206

Szakirodalom ...................................................................................... 223

Mechanika Bevezetés



1. Bevezetés

A Mechanika számos mérnöki terület fontos alaptudománya. A mérnökképzésben a mechanikának mérnöki szempontok szerinti ismer-tetésére kerül sor úgy, hogy az a mérnöki gyakorlatban közvetlenül használható legyen, és erre a tudásanyagra a mérnöki szaktárgyak to-vábbi ismereteket építhessenek.

A győri Széchenyi István Egyetem Gépész-, Informatikai és Villa-mosmérnöki Intézetében az egyetemi alapképzésben a Mechanika négy féléves tantárgy, statikai, szilárdságtani, mozgástani és rezgéstani fél-évekre tagozódik.

A gépészmérnöki és mechatronikai mérnöki egyetemi alapképzés-ben résztvevő hallgatók mind a négy félévet hallgatják, a műszaki szakoktató szakos hallgatók statikát, szilárdságtant és mozgástant, a közlekedésmérnök szakos hallgatók statikát és mozgástant, a műszaki menedzser szakos hallgatók pedig statikát és szilárdságtant tanulnak.

A Mechanika tantárgy jegyzetei - az előadásokon, gyakorlatokon és konzultációkon történő részvételt feltételezve - segítséget szándékoznak nyújtani a nappali tagozatos hallgatóknak a tantárgy elsajátításához és a vizsgára történő eredményes felkészüléshez. Hasznos segédeszközök lehetnek azonban a levelező és távoktatási tagozatos egyetemi alapkép-zésben résztvevő gépészmérnöki, mechatronikai mérnöki, műszaki szakoktató, műszaki menedzser, és közlekedésmérnöki szakos hallga-tók számára is, akik nagyobb részt önállóan készülnek fel a félévközi házi feladatok megoldására és a vizsgára. Az önálló felkészülést segíti elő a jegyzetekben például az idegen nevek, mértékegységek, görög betűk, stb. kiejtésének ismertetése is.

A jegyzetek tartalma nagyrészt megegyezik a távoktatásos hallgatók rendelkezésére bocsátott internetes tananyagokkal, tagolásuk viszont ettől kismértékben eltér. A jegyzetek olyan esetekben is lehetőséget nyújtanak a távoktatási tagozatos hallgatók számára a tárgy tanulására, amikor nem áll rendelkezésre internetes kapcsolat, vagy számítógép.

A Mechanika – Szilárdságtan jegyzet megfelelő magyarázatokkal, de tömören tartalmazza a tárgy elméleti tananyagát, részletesen kidol-gozott feladatokon mutatja be az elmélet alkalmazását, és a ki nem dol-gozott feladatokkal teremt lehetőséget a hallgatóknak az önálló munká-ra. A kidolgozott példák nagyrészt az [5] példatárból származnak. Az

Mechanika Bevezetés



önálló feladatmegoldásnak az elméleti anyag megértése és megtanulá-sa, valamint a kidolgozott feladatok gondolatmenetének megértése után célszerű hozzákezdeni. A tananyag elsajátítása a félév során folyamatos munkát igényel. A vizsgára történő eredményes felkészüléshez célszerű a tananyaggal heti 3-4 órát intenzíven foglalkozni és a jegyzetből 15-18 oldalnyi anyagot feldolgozni.

Az eredményes felkészüléshez a hallgatók a Gépszerkezettan és Mechanika Tanszék honlapján a http://www.sze.hu/ag/ címen további oktatási anyagokat, kidolgozott elméleti kérdéseket találnak.

A Mechanika – Szilárdságtan tantárgy anyagának elsajátításához a jegyzet szerzői eredményes munkát kívánnak.

A szerzők ezen a helyen mondanak köszönetet Dr. Nándori Frigyes egyetemi docensnek, a jegyzet lektorának, hasznos és érdemi szakmai észrevételeiért, amelyek a jegyzet végleges változatába beépültek. Győr, 2006. június.

Mechanika Alapfogalmak



2. Alapfogalmak

A szilárdságtan tárgya: A terhelés előtt és után is tartós nyugalomban lévő, alakváltozásra képes testek kinematikájának, dinamikájának és anyagszerkezeti viselkedésének leírása.

A definícióban előforduló fogalmak értelmezése:

Terhelés: az általunk vizsgált rendszerhez nem tartozó testektől szár-mazó ismert nagyságú hatások (ismert erőhatások).

Szilárd halmazállapotú testeknél ezek a hatások (a terhelések) általában felületi érintkezéssel valósulnak meg.

(Terhelés ≡ ismert külső erőrendszer.)

A tartós nyugalom feltételei: - a testre ható erőrendszer egyensúlyi, - a test megtámasztása nem enged meg merevtestszerű elmozdulásokat.

Alakváltozás: ha a test pontjai terhelés hatására egymáshoz képest úgy mozdulnak el, hogy a test anyagi geometriai alakzatai (hossz, szög, felület, térfogat) megváltoznak.

Anyagi geometriai alakzat: a test pontjaival együtt mozgó, együtt alak-változó geometriai forma.

Kinematika: szilárdságtanban leírja a test pontjainak a terhelés hatására bekövetkező elmozdulásait és a test alakváltozásait.

Dinamika: szilárdságtanban leírja a terhelés hatására a testben fellépő belső erőrendszert.

Anyagszerkezeti viselkedés: megadja az alakváltozás és belső erőrend-szer közötti kapcsolatot.

A valóságos testek helyett test modelleket vizsgálunk.

Test modell: olyan idealizált tulajdonságokkal rendelkező test, amely a valóságos testnek a vizsgálat szempontjából leglénye-gesebb tulajdonságait tükrözi.




(A test lényegesnek tartott tulajdonságait megtartjuk, a lényegtelennek ítélt tulajdonságokat pedig elhanyagol-juk.)

Pl. Merev test Szilárd test

α

AB

C

Bármely két pontjának távolsága állandó (a pontok távolsága terhe-lés hatására sem változik meg). ⇓ Pontjai (részei) egymáshoz képest nem mozdulnak el, nem képes alakváltozásra

Alakváltozásra képes test. Pontjainak távolsága, egyenesei-nek egymással bezárt szöge meg-változik. ⇓ Felületeinek és térfogatainak alak-ja és nagysága is megváltozik.

Merevtestszerű mozgás: ha a mozgás során a test pontjai úgy mozdul-nak el, hogy távolságuk nem változik.

A merevtestszerű mozgás két esete:

- merevtestszerű haladó mozgás,

- merevtestszerű forgó mozgás.

A szilárdságtan szilárd testek terhelés hatására bekövetkező visel-kedését vizsgálja.

A szilárdságtan részterületei

Rugalmasságtan Képlékenységtan

Lineáris Nemlineáris rugalmasságtan rugalmasságtan




Rugalmas alakváltozás: A terhelés hatására alakváltozott test a terhelés megszüntetése (levétele) után visszanyeri eredeti alakját.

Lineáris rugalmas alakváltozás: a terhelés és alakváltozás, a terhelés és belső erőrendszer, valamint az elmozdulás és az alakváltozás között lineáris függvénykapcsolat van.

Nemlineáris rugalmas alakváltozás: a terhelés és alakváltozás, a terhe-lés és belső erőrendszer, valamint az elmozdulás és az alakváltozás között nemlineáris függvénykapcsolat van.

Képlékeny alakváltozás: A test tehermentesítés után nem nyeri vissza eredeti alakját.

A szilárdságtan tantárgy lineárisan rugalmas testek kis elmozdulása-ival és kis alakváltozásaival foglalkozik. (Lineáris feladatok esetén az elmozdulások és az alakváltozások kicsik.)

Kis elmozdulás: a test pontjainak elmozdulása nagyságrendekkel ki-sebb a test jellemző geometriai méreteinél.

Kis alakváltozás: a test alakváltozását jellemző mennyiségek lényege-sen kisebbek, mint egy.

1, 1ε γ .

Elemi környezet (elemi tömeg):

Minden test végtelen sok tömegpontból felépülő rendszernek te-kinthető.

A tömegpontokhoz úgy jutunk, hogy a testet gondolatban végtelen sok kis részre bontjuk. A kis rész alakját tetszőlegesen választhatjuk meg. Lehet például kocka (elnevezése: elemi kocka).

elemi kocka

test

elemi tömegP

Tömegpont ≡ elemi tömeg ≡ elemi környezet.




Az elemi környezet állapotait az elemi környezet P pontjához kötött mennyiségekkel írjuk le.

A P ponthoz kötött mennyiségek lehetnek: - skaláris mennyiségek (Pl. tömegsűrűség, alakváltozási energia), - vektor mennyiségek (Pl. elmozdulás vektor, szögelfordulási vektor), - tenzor mennyiségek (Pl. alakváltozási tenzor, feszültségi tenzor). Vektor mennyiség: három skalár mennyiséggel adható meg. Tenzor mennyiség: kilenc (3x3) skalár mennyiséggel – mátrixszal ad-ható meg.

Mechanika Matematikai alapok



3. Matematikai alapok

3.1. A görög ABC leggyakrabban használt betűi Kisbetű Nagybetű A betű magyar fonetikus kiejtése

α Α alfa, β Β beta, vagy béta, χ Χ khí, δ ∆ delta, ε Ε epszilon, ϕ Φ fí, γ Γ gamma, η Η eta, vagy éta κ Κ kappa, λ Λ lambda, µ Μ mű, ν Ν nű, π Π pí, ϑ Θ teta, vagy téta, ρ Ρ ró, σ Σ szigma, τ Τ tau ω Ω omega, ξ Ξ kszí, ψ Ψ pszí, ζ Ζ zeta, vagy zéta

3.2. Mátrixalgebrai összefoglaló a) Mátrix értelmezése, jelölése:

Mátrix: Skaláris mennyiségeknek, számoknak megadott szabály szerint táblázatba rendezett halmaza.




Mátrix jelölése: 11 12 13

21 22 23

a a aA

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , kiejtése: A mátrix.

Mátrix mérete: Például egy (2x3)-as méretű (ejtsd: kétszer hármas mé-retű) mátrixnak két sora és három oszlopa van.

Az 13a mátrixelem jelölés kiejtése (kiolvasása): á egy három.

Oszlopmátrix: 1

2

3

aa a

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, sormátrix: [ ]1 2 3Ta a a a⎡ ⎤ =⎣ ⎦ .

Az oszlopmátrixnak egy oszlopa, a sormátrixnak egy sora van. Az osz-lopmátrix a sormátrixnak transzponáltja, ha ugyanarról a mennyiségről van szó.

Az oszlopmátrixot általában kis betűvel, a négyzetes, vagy téglalap mátrixot pedig nagybetűvel szokás jelölni.

b) Mátrixműveletek: A műveleteket (2 2)× -es, (2x1)-es és (1x2)-es mátrixokra mutatjuk be.

- Mátrix transzponáltja (tükrözés a főátlóra): Négyzetes mátrixok esetén a sor-oszlopcsere a tükrözés a főátlóra mű-veletnek felel meg. A főátlót az azonos indexű elemek alkotják.

11 1112 21

21 22 12 22

(2 2) (2 2)

Ta a a aAA

a a a a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

× ×

A transzponálási művelet jele: T (a mátrix felső indexében). A transzponálás oszlopmátrixból sormátrixot, sormátrixból pedig osz-lopmátrixot hoz létre. Az TA jelölés kiejtése (kiolvasása): á transzponált.

- Mátrixok összeadása, kivonása:




A B C± = ,

11 11 11 11 1112 12 12 12 12

21 22 21 22 21 21 22 22 21 22

( ) ( )( ) ( )

(2 2) (2 2) (2 2) (2 2)

a a b b a b a b c ca a b b a b a b c c

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

± ±± = =

± ±

× × × ×

.

- Mátrix szorzás (sor-oszlop kombináció): A B C= ,

11 11 11 11 12 2112 12 11 12 12 22

21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22

( ) ( )( ) ( )

(2 2) (2 2) (2 2)

a a b b a b a b a b a ba a b b a b a b a b a b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ +=

+ +

× × ×

A b c= ,

11 1 11 1 12 2 112

21 22 2 21 1 22 2 2

( )( )

(2 1) (2 1)(2 2) (2 1)

a a b a b a b ca a b a b a b c

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+= =

+

× ×× ×

.

T Ta dB = ,

11 121 1 11 2 21 12 1 12 2 22 2

21 22

( ) ( )

(1 2) (1 2) (1 2)(2 2)

b ba a a b a b a b a b d d

b b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

= + + =

× × ××

.

c) Különleges mátrixok:

- Egységmátrix: 1 00 1

E ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

. Tulajdonsága: E A A E A= = .

Az egységmátrixszal történő szorzás nem változtatja meg a megszor-zott mátrixot.

- Szimmetrikus mátrix: TA A= A mátrix bármelyik eleme megegyezik a főátlóra vett tükörképével.

- Ferdeszimmetrikus mátrix: TA A= − . A mátrix bármelyik eleme megegyezik a főátlóra vett tükörképének mínusz egyszeresével. Ebből következik, hogy a főátlóban csak zérus elemek lehetnek.




3.3. Vektorok skaláris, kétszeres vektoriális és diadikus szorzata

Vektor: irányított geometriai, vagy fizikai mennyiség, amelyet nagyság (előjel), irány és mértékegység jellemez.

A vektor koordinátarendszertől független mennyiség a) Vektorok skaláris szorzata:

A skaláris szorzás értelmezése: cosa b a b α⋅ = .

(α a vektorok között bezárt szög.) A skaláris szorzás kiszámítása mátrixszorzással:

x

x y z y x x y y z z

z

ba b a a a b a b a b a b

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤⋅ = = + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Az első szorzó tényező koordinátáit sormátrixba, a második szorzó té-nyező koordinátáit oszlopmátrixba rendezzük és a szorzást a mátrix-szorzás szabályai szerint (sor-oszlop kombináció) végezzük el. A szorzás eredménye egy skaláris mennyiség.

b) Vektorok kétszeres vektoriális szorzata: ( )a b c× × , vagy ( )a b c× × Kiszámítás kétféle úton lehetséges: - a két vektoriális szorzásnak a kijelölt sorrendben történő elvégzésével (a vektoriális szorzást lásd Statika jegyzetben), - a kifejtési szabállyal:

( ) ( ) ( ), ill. ( ) ( ) ( )a b c b a c a b c a b c b a c c a b× × = ⋅ − ⋅ × × = ⋅ − ⋅ .

c) Vektorok diadikus szorzata: Legyen adott az ,a b és c tetszőleges vektor. Két vektor diadikus szorzatának jelölése: a b , elnevezése: diád. Az a b jelölés kiejtése (kiolvasása): á diád bé. Két vektor diadikus szorzatát a szorzás tulajdonságainak megadásával értelmezzük:




- a diadikus szorzás, és két vektor skaláris szorzata asszociatív (csopor-tosítható, azaz szorzások elvégzésének sorrendje felcserélhető):

( ) ( )a b c a b c⋅ = ⋅ ,

- a diád a skaláris szorzás szempontjából nem kommutatív (nem mind-egy, hogy egy diádot jobbról, vagy balról szorzunk meg skalárisan egy vektorral, mert más eredményt kapunk):

( ) ( )c a b a b c⋅ ≠ ⋅ .

Ha a szorzás a fenti összefüggéseket kielégíti, akkor a szorzás diadikus.

Két vektor diadikus szorzatának kiszámítása jobbsodratú, derékszö-gű koordináta-rendszerben:

x x x x y x z

xy y z y x y y y z

z z x z y z z

a a b a b a ba b a b b b a b a b a b

a a b a b a b

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ .

Az első szorzó tényező koordinátáit oszlopmátrixba, a második szorzó tényező koordinátáit sormátrixba rendezzük és a szorzást a mát-rix szorzás szabályai szerint (sor-oszlop kombináció) végezzük el. A szorzás eredménye egy kilenc skaláris mennyiséget tartalmazó mátrix.

Egységvektorok diadikus szorzata:

[ ] [ ]1 1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 , 1 0 1 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0

i i j j⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ]0 0 0 0 1 0 1 00 0 0 1 0 0 0 , 0 0 1 0 0 0 01 0 0 1 0 0 0 0

k k i j⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦




[ ] [ ]1 0 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 , 1 0 0 1 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0

i k j k⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ]0 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 1 0 0 , 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 0 0

j i k i⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤ = = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]0 0 0 00 0 1 0 0 0 01 0 1 0

k j⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

A skalár számokkal történő szorzás mindig diadikus, vagy más szó-használattal élve: általános szorzás.

3.4. Tenzorok előállítása a) Tenzor értelmezése és tulajdonságai:

Tenzor: Homogén, lineáris vektor-vektor függvényt megvalósító leké-pezés (hozzárendelés). A tenzor koordinátarendszertől független fizikai mennyiség

( )w f v T v= = ⋅ .

A T tenzor a tetszőleges v vektorhoz a w képvektort rendeli hozzá.

A tenzor tulajdonságai:

- Homogén: A zérus vektorhoz zérus vektort rendel hozzá.

0 (0)f= .




- Lineáris: Ha egy vektort két másik vektor lineáris kombinációjaként állítunk elő, akkor a vektor képvektora egyenlő a lineáris kombináció-ban szereplő vektorok képvektorainak lineáris kombinációjával.

Ha 1 1 2 2v v vλ λ= + és 1 1( )w f v= , 2 2( )w f v= , akkor

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )w f v f v v f v f v w wλ λ λ λ λ λ= = + = + = + . Az össze-függésekben 1λ és 2λ tetszőleges skaláris együtthatók.

b) Tenzor előállítása jobbsodratú, derékszögű koordinátarendszer-ben: - Tenzor megadása: - a tenzor koordinátáival (mátixával) és azzal a koordináta-rendszerrel, amelyben a koordináták értelmezettek. - Tenzor koordinátáinak jelölése:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

xx xy xz

yx yy yzxyz

zx zy zz

T T T T T TT T T T T T T

T T TT T T

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

.

A tenzorkoordináták jelölésének kiejtése (kiolvasása): Pl.: 21T - té kettő egy, zyT - té zé ipszilon. - Tenzor előállítása:

1. Tétel: Minden tenzor egyértelműen megadható három egymásra me-rőleges vektor és ezek képvektorai (három értékpár) ismeretében.

2. Tétel: Minden tenzor előállítható három diád összegeként.

Legyen ismert három értékpár: ( ), x y zi a f i a a i a j a k→ = → = + + ,

( ), x y zj b f j b b i b j b k→ = → = + + ,

( ), x y zk c f k c c i c j c k→ = → = + + .

A tenzor diadikus előállítása: ( )T a i b j c k= + + .

A tenzor mátrixa: x x x

y y yxyz

z z z

a b cT a b c

a b c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.




A tenzor mátrixát a diadikus előállításban kijelölt diadikus szorzá-sok és az összeadások elvégzésével kapjuk.

3.5. Matematikai gyakorló feladatok

3.5.1. feladat: Skaláris, diadikus és mátrix szorzás gyakorlása

Adott: ( )4 6a i j k= + − m, ( )3b i j k= − + − m, ( )2 6c j k= − − m.

Feladat:

a) Az a b⋅ és az a b szorzatok meghatározása.

b) Az ( )a b c⋅ és a ( )c a b⋅ szorzat meghatározása.

Megoldás:

a) Az a b⋅ és az a b szorzatok meghatározása:

[ ] 2

34 6 1 1 4 ( 3) 6 1 ( 1) ( 1) 5 m

1a b

−⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ = − = − + ⋅ + − − = −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

,

( ) ( )4 6 3a b i j k i j k= + − − + − =

( ) ( ) ( )12 18 3 4 6 4 6i j k i i j k j i j k k⎡ ⎤= − − + + + − + − − +⎣ ⎦ m2.

A szögletes zárójelben lévő diádok első szorzó tényezőinek koordinátái a tenzor mátrixának oszlopaiban jelennek meg:

[ ]4 12 4 46 3 1 1 18 6 61 3 1 1

a b− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = − − = − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

m2.

b) Az ( )a b c⋅ és a ( )c a b⋅ szorzat meghatározása: ( ) ( )a b c a b c⋅ = ⋅ =




( ) ( ) ( )4 6 3 2 5i j k i j k j k⎡ ⎤= + − − + − ⋅ − − =⎣ ⎦

( ) [ ] ( )4 6 2 5 12 18 3i j k i j k= + − − + = + − m3,

[ ]12 4 4 0 8 20

( ) 18 6 6 2 12 303 1 1 5 2 5

a b c− − − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = − − − = − + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1218

3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

m3.

( ) ( )c a b c a b⋅ = ⋅ =

( ) ( ) ( )2 5 4 6 3j k i j k i j k⎡ ⎤= − − ⋅ + − − + − =⎣ ⎦

[ ] ( )12 5 3 (21 7 7 )i j k i j k= − + − + − = − + m3

[ ] [ ]12 4 4

( ) 0 2 5 18 6 63 1 1

c a b− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = − − − − =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

[ ] [ ](36 15) ( 12 5) (12 5) 21 7 7= − − + − = − m3.

3.5.2. feladat: Tenzor előállítása

Adott: 30oϕ = , (4 )Pr i j= + m.

Feladat:

a) Annak a T tenzornak az előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a helyvektorok z tengely körül ϕ szöggel elforgatott vektorait állítja elő.

b) Meghatározni azt az Ar vektort, amelyet az Pr vektor ϕ szöggel történő elforgatásával kapunk.

Megoldás:

a) A tenzor előállítása: Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: ( cos sin )i a i jϕ ϕ→ = + ,

ϕ x

y

ϕj

i

b a




( sin cos )j b i jϕ ϕ→ = − + . A két értékpárból a tenzor:

( )T a i b j= +

A tenzor mátrixa: cos sin 0,866 0,5sin cos 0,5 0,866

Tϕ ϕϕ ϕ

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

b) Az elforgatott Ar vektor meghatározása: cos sin 0,866 0,5 4 2,964sin cos 0,5 0,866 1 2,866

PA P

P

xr T r

yϕ ϕϕ ϕ

− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦m

(2,964 2,866 ) mAr i j= + .

3.5.3. feladat: Tenzor előállítása

Adott: 45oϕ = , (5 2 )Pr i j= + m.

Feladat:

a) Annak a T tenzornak az előállítása, amely az xy sík helyvektoraihoz a helyvektorok z tengely körül ϕ szöggel történő elforgatásakor a helyvektorok végpontjainak elmozdulásvektorait rendeli hozzá.

b) Meghatározni Pr vektor végpontjának Pu elmozdulásvektorát a ϕ szöggel történő elforgatásnál.

Megoldás:

a) A tenzor előállítása: Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg:

(1 cos ) sini a i jϕ ϕ→ = − − + , sin (1 cos )j b i jϕ ϕ→ = − − − .

A két értékpárból a tenzor: ( )T a i b j= +

ϕP

A

x

y

Ar

Pr

Pu




A tenzor mátrixa: (cos 1) sin

sin (cos 1)

0, 293 0,7070,707 0, 293

Tϕ ϕϕ ϕ− −⎡ ⎤

⎡ ⎤ = =⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦− −⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

b) Az Pu elmozdulásvektor meghatározása: 0, 293 0,707 5 2,8790,707 0, 293 2 2,949P Pu T r

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

m

( 2,879 2,949 ) mPu i j= − + .

ϕ

i

ja x

y

ϕ

b

Mechanika Elemi környezet szilárdságtani állapotai



4. Elemi környezet szilárdságtani állapotai

4.1. Elemi környezet alakváltozási állapota

P

A

B

C

⋅⋅⋅

ij

k

Elemi triéder: A P pontban felvett, egymás-ra kölcsönösen merőleges , ,i j k egység-vektorok, illetve a P, A, B, C pontok alkot-ják. Feltételezzük, hogy az , ,i j k egységvekto-rok A, B, C végpontjai az elemi környezeten belül helyezkednek el.

A P pont elemi környezetének alakváltozását az A, B, C pontoknak a terhelés hatására, a P ponthoz képes bekövetkező elmozdulásai jel-lemzik. Az elemi triéder alakváltozását a * * *, , ,P A B C adja:

P

C

B

A

*C( )zε+1

( )yε+1*B

j( )xε+1

*A

k

i

( )2 xzπ γ− ( )2 yz

π γ−

( )2 xyπ γ−

Elemi környezet alakváltozása: az elemi triéder A, B, C pontjának a P ponthoz képest történő azon el-mozdulásai, amelyek nem tartal-maznak merevtestszerű mozgásból származó részeket. 1i j k= = = .

Terhelés hatására a test alakváltozik, azaz megváltozik a P pontban felvett egységvektorok hossza és egymással bezárt szöge.

* * *alakváltozásPABC PA B C⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Megváltozott hosszak: Megváltozott szögek:

(1 )

(1 )

(1 )

x

y

z

PA

PB

PC

ε

ε

ε

∗

∗

∗

= +

= +

= +

,

( / 2 ) ( / 2 )

( / 2 ) ( / 2 )( / 2 ) ( / 2 )

xy yx

xz zx

yz zy

π γ π γ

π γ π γπ γ π γ

− = −

− = −− = −

,

Az értelmezésből következően: , ,xy yx yz zy xz zxγ γ γ γ γ γ= = = . Az elemi környezet alakváltozási jellemzői:




Fajlagos nyúlások: , ,x y zε ε ε .

* **1 1

1x xPA PA PA PA

PAε ε− −

= = ⇒ = + ,

* **1 1

1y yPB PB PB PB

PBε ε− −

= = ⇒ = + ,

* **1 1

1z zPC PC PC PC

PCε ε− −

= = ⇒ = + .

Mértékegység az értelmezésből következően: [m/m]=[mm/mm]=[1] Fajlagos szögváltozások (fajlagos szögtorzulások): , ,xy yz xzγ γ γ . A fajlagos szögváltozások a fajlagos nyúlásokkal analóg módon ér-

telmezhetők. Az értelmezésből következően: , ,xy yx yz zy xz xzγ γ γ γ γ γ= = = Mértékegységek az értelmezésből következően: [mm/mm]=[rad] Az alakváltozási jellemzők geometriai tartalma: Pl. xε – az x irányú egységnyi hossz megváltozása, yzγ – a terhelés előtt egymással /2π szöget bezáró y és z irá-

nyok szögváltozása. Az alakváltozási jellemzők előjele:

0ε > megnyúlás, 0ε < rövidülés, 0γ > a /2π szög csökken, 0γ < a /2π szög nő.

Az alakváltozási jellemzők mértékegysége: 1 (nincs mértékegysé-ge).

A szögtorzulásokat (önkényesen) megfelezve és a fél-fél szögválto-zást a P ponttól egységnyi távolságra lévő pontokhoz kötve, felírható az A, B, C pontok alakváltozásból származó , ,x y zα α α elmozdulás-vektora. Az , ,x y zα α α vektorokat alakváltozási vektoroknak nevezzük.




P

A B

C

⋅⋅⋅

zε yzγ21

xzγ21

yεzyγ2

1

xyγ21

xε yxγ21zxγ2

1

ij

k

( )2 xzπ γ−

( )2 yzπ γ−

( )2 xyπ γ−

Az alakváltozási vektorok: 1 12 2( )x x yx zxi j kα ε γ γ= + + ,

1 12 2( )y xy y zyi j kα γ ε γ= + + , 1 12 2( )z xz yz zi j kα γ γ ε= + + .

A három alakváltozási vektor egyér-telműen jellemzi a P pont elemi kör-nyezetének alakváltozási állapotát.

A fenti ábra a P pont elemi környezetének alakváltozási állapotát szemlélteti az , ,x y zα α α alakváltozási vektorok koordinátáinak ábrázo-lásával. Az ábrában a megváltozott szögeket leegyszerűsítve, a koordi-nátasíkokra vetítve jelöltük be.

Ismerjük azt a három értékpárt, amely a pontbeli alakváltozási álla-potot egyértelműen megadja:

, ,x y zi j kα α α→ → → . A P elemi környezetének alakváltozási állapota tenzorral írható le. Az alakváltozási tenzor: diadikus alakja: ( )x y zP

A i j kα α α= + + ,

mártixa:

1 12 2

1 12 21 12 2

x xy xz

yx y yzP

zx zy z

Aε γ γγ ε γγ γ ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Az alakváltozási tenzor mátrixa szimmetrikus ⇒ A P pont (vagy P pont elemi környezetének) alakváltozási állapotát 6 skalár mennyiség egyértelműen jellemezi.

4.2. Elemi környezet (pont) feszültségi állapota a) A feszültségvektor: a felületen megoszló

belső erőrendszer intenzitásvektora (sűrűségvek-tora).

A feszültségvektor jele: nρ




PP

PdA

nρ

nρ−

n

n−

A vizsgált szilárd testre egyensúlyi erőrendszer hat. A testet a P ponton átmenő síkkal gondolatban két részre bontjuk.

Az egyes testrészeknek külön-külön is egyensúlyban kell lenniük. Ez csak úgy lehetséges, ha a metsző síkon, felületen megoszló belső erő-rendszer ébred.

A metszet felületen ébredő erőrendszer sűrűségvektorát nevezzük fe-szültségvektornak. Jele nρ

n – a metsző felületen a testből kifelé mutató normális egységvek-tor (⊥ a felületre).

A dA elemi felületen fellépő belső erő: b ndF dAρ= . A feszültségvektor az egységnyi felületre eső belső erő. A feszültségvektor mértékegysége SI mértékrendszerben:

2

N =Pam

(Pascal, ejtsd: paszkál).

A mérnöki gyakorlatban leggyakrabban használt mértékegység:

2 2

MN N= =MPam mm

(ejtsd megapaszkál).

A feszültségvektor két dologtól függ: - a P ponton átmenő metszet felület n normálisától, - a P pont helyének megválasztásától. b) A feszültségvektor összetevői, koordinátái:




n

nρ

m

l

nσ

mnτ

nτlnτ

dA

Pnσ

n – az elemi felület normális egységvektora,

,m l – az elemi felület síkjába eső, egymásra merőleges egy-ségvektorok.

Összetevők (vektorok): - a normál feszültségvektor: ( )n n

n

n nσ ρ

σ

= ⋅ .

- a csúsztató feszültségvektor: n n n nτ ρ σ= − . Koordináták (skalárok): - a normál feszültség: n n nn nσ ρ σ= ⋅ = ⋅ . - a csúsztató feszültségek: mn n nm mτ ρ τ= ⋅ = ⋅ .

ln n nl lτ ρ τ= ⋅ = ⋅ . c) Nevezetes feszültségvektorok: (az x, y, z normálisú elemi felületeken ébredő feszültségek)

Px

y

z

P

zσ

xzτ yzτ

x

y

zzρ

z xz yz zi j kρ τ τ σ= + +

xy

z

P yσxyτ

zyτ

x

z

P

yρy

y xy y zyi j kρ τ σ τ= + +




x

y

z

P

xσyxτ

zxτPy

x

z

xρ

x x yx zxi j kρ σ τ τ= + +

Ezek a feszültségvektorok egy ábrában, a P pont környezetéből ki-ragadott elemi kocka látható (x, y, z normálisú) oldalfelületein is ábrá-zolhatók.

A nevezetes feszültégvektorok szemléltetése az elemi kockán:

P

z

xy

zσ

yσ

xσyxτ

zxτ

xyτ

zyτyzτxzτ

Az x normálisú (az yz síkkal ) oldal-felületre a xρ feszültségvektor koordiná-táit rajzoljuk fel.

Az y normálisú (a zx síkkal ) oldalfe-lületre a yρ feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel.

A z normálisú (az xy síkkal ) felület-re a zρ feszültségvektor koordinátáit raj-zoljuk fel.

Az x,y,z normálisú elemi felületeken ébredő feszültségvektorok egyér-telműen meghatározzák a P pont feszültségállapotát.

c) Pont (elemi környezet) feszültségállapota: Definíció: Az adott P ponton átmenő valamennyi irányhoz (normá-

lishoz) hozzárendelt feszültségvektorok összességét (halmazát) a P pont feszültségállapotának nevezzük.

P pont feszültségállapota a , ,x y zρ ρ ρ feszültségvektorokkal, vagy az

PF feszültségi tenzorral adható meg. A feszültségi tenzor: diadikus alakja: ( )x y zP

F i j kρ ρ ρ= + + ,




mátrixa: x xy xz

yx y yzP

zx zy z

F

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Pl. yσ – az y normálisú felületen fellépő normál feszültség,

zxτ – az x normálisú felületen fellépő z irányú csúsztató feszültség. A feszültségi tenzor mátrixa szimmetrikus:

, ,xy yx yz zy xz zxτ τ τ τ τ τ= = = . A P pont (vagy P pont elemi környezetének) feszültségi állapotát 6

skaláris mennyiség egyértelműen meghatározza: , , ,

, ,x y z

xy yx xz zx zy yz

σ σ σ

τ τ τ τ τ τ⎫⎪⎬= = = ⎪⎭

6 db. egymástól független skaláris mennyiség.

d) Feszültségvektor kiszámítása: n PF nρ = ⋅ .

A feszültségi tenzor ismeretében a P ponton átmenő valamennyi elemi síkon ébredő (bármely n normálishoz tartozó) feszültségvektor kiszá-mítható. (A feszültségi tenzor egyértelműen meghatározza a P pont feszültségi állapotát.)

4.3. Gyakorló feladatok elemi környezet szilárdságtani állapotaira

4.3.1. feladat: P pont elemi környezetének alakváltozási állapota

Adott: A P pont környezetében az alakváltozási jellemzők és az n irány egységvektor: 3 3 35 10 4 10 10 10x y zε ε ε− − −= ⋅ , = ⋅ , = ⋅ ,

30 10 10 (0 8 0 6 )xy yx yz zy xz zx n i kγ γ γ γ γ γ −= = = = , = = − ⋅ , = , + , .

Feladat:

a) A P ponti PA alakváltozási tenzor mátrixának a felírása és szemlél-

tetése az elemi triéderen.




b) Az nε fajlagos nyúlás és a nyγ fajlagos szögtorzulás meghatározása.

Megoldás:

a) Az PA alakváltozási tenzor mátrixának a felírása és szemléltetése az

elemi triéderen: 1 12 2

31 12 21 12 2

5 0 5, 0 4 0 10

5 0 10

x xy xz

yx y yzP P

zx zy z

A Aε γ γγ ε γγ γ ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Szemléltetés az elemi triéderen: A 310− -mal történő beszorzás az ábrán látható valamennyi mennyiségre vonatkozik.

b) Az nε fajlagos nyúlás és nyγ fajlagos szögtorzulás meghatározása:

n PA nα = ⋅ ,

[ ] [ ] 3 3 3

5 0 5 0 8 4 3 110 0 4 0 0 10 0 10 0

5 0 10 0 6 4 6 2n P

A nα − − −

− , −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− , − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

,

[ ] 3 3 3

10 8 0 0 6 0 10 (0 8 1 2)10 2 10

2nn nε α − − −

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ = , , = , + , = ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

2 0nny yn jγ γ α= = ⋅ = .

4.3.2. feladat: A P pont elemi környezetének feszültségi állapota

i j

k310−×

PA

10

4

55

5

P




Adott: 50 20 4020 80 3040 30 20

PF

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

MPa,

1 2 23 3 3

n i j k= + + , 2 1 23 3 3

m i j k= − − + ,

2 2 13 3 3

l i j k= − + 1n m l| |=| |=| |= ,

0n m l m n l⋅ = ⋅ = ⋅ = .

Feladat:

a) A P pontban a x y zρ ρ ρ, , feszültségvektorok meghatározása.

b) A feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán.

c) A P pontban a nρ feszültségvektor és a n mn lnσ τ τ, , feszültség koor-dináták meghatározása.

Megoldás:

A P pontban a x y zρ ρ ρ, , feszültségvektorok meghatározása:

50 20 40 1 50[ ] [ ] 20 80 30 0 20

40 30 20 0 40x P

F iρ−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

MPa.

(50 20 40 )x yx zxx i j k i j kσ τ τρ = + + = + − MPa.

50 20 40 0 20[ ] [ ] 20 80 30 1 80

40 30 20 0 30y P

F jρ−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

MPa.

(20 80 30 )xy y zyy i j k i j kτ σ τρ = + + = + + MPa.

P

z

x

y

P

z

x y50

40

20

[ ]MPa

P

z

xy

20

3080

[ ]MPa




50 20 40 0 40[ ] [ ] 20 80 30 0 30

40 30 20 1 20z P

F kρ− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

MPa.

( 40 30 20 )xz yz zz i j k i j kτ τ σρ = + + = − + − MPa.

b) A feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán: [ ] [ ] [ ]

[ ] 50 20 4020 80 3040 30 20

x y z

PF

ρ ρ ρ↓ ↓ ↓

= −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

MPa.

A feszültségi tenzor fenti alakban történő felírása arra hívja fel a fi-gyelmet, hogy a tenzor oszlopaiban a x y zρ ρ ρ, , feszültségvektorok koordinátái állnak.

c) A P pontban a nρ feszültségvektor és a n mn lnσ τ τ, , feszültség koor-dináták meghatározása:

50 40 801 103 3 3350 20 40 32 20 160 6020 80 30 803 3 3 3

40 30 20 202 40 60 40 33 3 3 3

n PF nρ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤ + −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ = = + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥ − + − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

MPa

13

10 20 2 10 160 4080 503 3 3 9 3 9

23

n n nσ ρ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ = − = + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa,

P

z

xy40

20

30

[ ]MPa

P

z

x

y

30

[ ]MPa

8020

50

20 4030

20

40




23

10 20 2 20 160 20 160803 3 3 9 3 9 3

13

ln n lτ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ = − − = − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa,

23

10 20 1 20 80 40 100803 3 3 9 3 9 3

23

mn n mτ ρ

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ = − − = − − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa.


Adott: ( 400 300 200 )n i j kρ = − + + MPa,

0 8 0 6n i k= , + , .

Feladat:

a) A nσ normál feszültség koordináta meghatározása.

b) A nτ csúsztató feszültségi vektor meghatározása.

Megoldás:

a) A nσ normál feszültség meghatározása:

( ) ( )400 300 200 0 8 0 6 200n nn i j k i kσ ρ= ⋅ = − + + ⋅ , + , = − MPa.

b) A nτ csúsztató feszültségi vektor meghatározása: A kétszeres vektoriális szorzást a kifejtési szabállyal számítjuk ki.

( ) ( ) ( )n nn n nnn n n n n n nρ σρ ρ ρτ = × × = ⋅ − ⋅ = − =

P n

nρ




( )400 300 200 ( 200) 0 8 0 6i j k i k= − + + − − , + , =

( )240 300 320i j k= − + + MPa.


Adott: ( )581 100 200n i j kρ = − + MPa,

20 5 0 52

n i j k= , + , + ,

20 5 0 52

m i j k= − , − , + ,

2 22 2

l i j= − .

Feladat:

a) A nσ normál feszültség meghatározása.

b) A mnτ csúsztató feszültség meghatározása.

c) A lnτ csúsztató feszültség meghatározása.

Megoldás:

a) 381 9nσ = , MPa.

b) 99 08mnτ = − , MPa.

c) 481 5lnτ = , MPa.

4.3.5. feladat: A P pont elemi környezetének alakváltozási állapota

nl

P

nσ

lnτ

mnτ m




Feladat:

a) A P pont alakváltozási tenzorának felírása.

b) Az , ,x xz yzε γ γ alakváltozási jellemzők meghatározása.

c) Az , ,n m nmε ε γ alakváltozási jellemzők meghatározása.

Adott: A P pont alakváltozási állapota az ábrán

látható módon és 2 22 2

n i k⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

2 22 2

m i k⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Megoldás:

a)

1 12 2

41 12 21 12 2

3 1 01 0 2 10

0 2 4

x xy xz

yx y yzP

zx zy z

Aε γ γγ ε γγ γ ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = = −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

b) 4 43 10 , 0, 4 10x xz yzε γ γ− −= − ⋅ = = ⋅ .

c) 4 4 40,5 10 , 0,5 10 , 7 10n m nmε ε γ− − −= ⋅ = ⋅ = − ⋅ .

i j

k410−×

PA

4

2

1x

2

P

3 1

y

z

Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei



5. Rudak egyszerű igénybevételei

Rúd: olyan test (alkatrész), amelynek egyik mérete lényegesen na-gyobb, mint a másik kettő

Keresztmetszet: a rúd legnagyobb méretére merőleges metszet.

Középvonal (súlyponti szál): a rúdkeresztmetszetek súlypontjai által alkotott vonal.

Mechanikai rúdmodell: a rudat egy vonallal, a középvonalával helyette-sítjük és a mechanikai viselkedését jellemző mennyiségeket ehhez a vonalhoz kötjük.

Mechanikai rúdmodell ≡ a rúd középvonala.

Prizmatikus rúd: olyan egyenes középvonalú rúd, amelynek kereszt-metszetei állandók és a rúd középvonala menti párhuzamos eltolással egymásba tolhatók.

Igénybevétel: a rúd keresztmetszetén megoszló belső erőrendszernek (a feszültségeknek) a keresztmetszet S súlypontjába redukált vektorkettő-se, illetve ennek a vektorkettősnek a skaláris koordinátái.

5.1. Prizmatikus rudak tiszta húzás-nyomása

Tiszta húzás-nyomás: a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevé-tele kizárólag rúderő. 0N > húzás, 0N < nyomás.

a) A rúdban kialakuló szilárdságtani állapotok:

l

y

x0N >0N >

y

zS

Tapasztalat: húzás-nyomás esetén egy tetszőleges keresztmetszetű prizmatikus rúdban homogén szilárdságtani állapotok jönnek létre.




Homogén állapot: ha az állapot a rúd minden pontjában azonos.

Feszültségi állapot:

0 00 0 00 0 0

x

Fσ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, xNA

σ = = állandó.

Az összefüggésben A a rúd keresztmetszetének területe.

Húzás-nyomás esetén a rúdban csak rúdirányú normál feszültségek lépnek fel.

A feszültségi állapot a rúd minden pontjában azonos. Alakváltozási állapot:

0 00 0

0 0

x

y

z

Aε

ε

ε

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Hosszirányú nyúlás: 'h x

l ll

ε ε −= = = állandó.

Keresztirányú nyúlások: k y z xε ε ε ν ε= = = − = állandó.

l – a rúd terheletlen hossza, 'l - a rúd alakváltozott hossza, ν – a Poisson tényező (anyagjellemző).

Húzás-nyomás esetén a rúdban szögtorzulások nem lépnek fel.

Az alakváltozási állapot a rúd minden pontjában azonos.

Anyagtörvény: egyszerű Hooke-törvény

x xEσ ε=

Anyagjellemzők: E – rugalmassági modulus.

Az anyagjellemzők méréssel (húzó kísérlettel) határozhatók meg. A szakító diagram jellege (alakítható anyagok, Pl. fémek esetén):




xε

xσ

α

x

x

E tgσ αε

= = .

Az E rugalmassági modulus a szakító diagram egyenes szakaszának irány-tangense.

k

h

εν

ε= .

A ν Poisson tényező a keresztirányú és a hosszirányú fajlagos nyú-lás hányadosa.

Alakváltozási energia: - a fajlagos (egységnyi térfogatra eső) alakváltozási energia:

12 x xu ε σ= .

- az egész rúdban felhalmozott alakváltozási energia:

2

( )

12V

NU u dV lAE

= =∫ , V Al= - a rúd térfogata.

Feszültségeloszlás a keresztmetszet y és z tengelye mentén: y

Sz

y

xσ

z

xσ

0>N

A feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán:




x xσ

y

z

P

0 0xN σ> ⇒ > . A feszültségi állapot a rúd minden pont-jában azonos (homogén feszültségi álla-pot). Egytengelyű feszültségi állapot: Ha a feszültségi tenzorban csak egy elem kü-lönbözik nullától, és ez a nem zérus elem a főátlóban áll.

Gyakorlati példák alkatrész húzás-nyomására: - Felvonó kötele: A felvonó mechanikai modell-

je

kG

felvonó kabin

felvonó kötél

kötéldob

A felvonó kötél igénybevétele tiszta húzás

N

N

- Dugattyús motor, dugattyús kompresszor hajtórúdja A szerkezet mechanikai mo-

dellje

forgattyúkar

hajtórúd

F

M

dugattyú

A hajtórúd igénybevétele tisz-ta húzás-nyomás

0N >

0N >

0N <

0N <

Motor üzemmód: az F adott.




Kompresszor üzemmód: az M adott. A fenti megállapítás a Statikából tanultak alapján egyszerűen indo-

kolható. - Rácsos tartószerkezetek rúdjai (lásd: a Statika tantárgyban tanul-

tak)

5.2. A szilárdságtani méretezés, ellenőrzés Az ebben a pontban leírtak húzásra minden korlátozás nélkül, nyo-

másra viszont csak zömök rudakra érvényesek. A nyomás esete a 6. fejezetben tárgyalt kiegészítésekkel kezelhető. a) A feladatok kitűzése:

A szilárdságtani ellenőrzés:

Adott a rúd anyaga, igénybevételei és keresztmetszetének méretei.

Kérdés, hogy a rúd az adott igénybevételt kellő biztonsággal el tudja-e viselni?

A szilárdsági méretezés:

Adott a rúd anyaga és igénybevételei!

Feladat a keresztmetszet méreteinek meghatározása úgy, hogy a rúd az adott igénybevételt kellő biztonsággal elviselje.

b) Tönkremenetel (határállapot): Tönkremenetel: Azon állapot, amelynek bekövetkeztekor a szerke-

zet rendeltetésszerű használatra alkalmatlanná válik. jellσ – a rúd anyagára vonatkozó tönkremenetelre jellemző érték.

A szakító diagram jellege (alakítható anyag esetén): jellσ lehet pl.:

mR , vagy Bσ – szakítószilárdság,

,2poR , vagy Fσ – folyáshatár. A választás függ a szerkezet funkciójától,

xσ

0 ,2pRmR

xε




a terhelés időbeni lefolyásától, stb. A választást gyakran szabványok előírják. c) Biztonsági tényezők: - Előírt biztonsági tényező: n

jellmeg n

σσ = megσ - megengedett feszültség.

Az 1n > előírt minimális biztonsági tényezőt szabvány, vagy ennek hiányában egyéni megfontolás alapján kell megválasztani.

-Tényleges biztonsági tényező: tn

jellt

t

nσσ

= tσ – a rúdban fellépő tényleges feszültség.

1tn > A tényleges biztonsági tényezőnek nagyobbnak kell lennie egynél.

c) Szilárdságtani ellenőrzés, méretezés: - Ellenőrzés: A rúd szilárdságtani szempontból megfelel, ha teljesülnek az alábbi

egyenlőtlenségek: jell

x meg nσ

σ σ≤ = .

Ha a fenti relációk nem állnak fenn, akkor a rúd szilárdságtani szempontból nem felel meg.

- Méretezés: A rúd keresztmetszetének méretét kell meghatározni:

x meg szüksmeg

N NA AA

σ σσ

= ≤ ⇒ ≥ = .

szüksA - a keresztmetszet szükséges területe (ahhoz szükséges, hogy a rúd az adott húzó-nyomó igénybevétel esetén ne menjen tönkre).

Az A-ból a keresztmetszet jellemző mérete kiszámítható. A keresztmetszet jellemező méretére lehetőleg szabványos értéket

kell választani, mert ezt gyártják nagy tételben. (Például a 98,56 mmd = méret választása nem szerencsés, viszont a d = 100 mm

választás jó megoldás.)




5.3. Gyakorló feladatok rudak húzás-nyomására

5.3.1. feladat: Kör keresztmetszetű rúd húzása

Adott: 350l = mm, 10d = mm,

52 1 10E = , ⋅ MPa, 0 3ν = , , 50N = kN.

Feladat:

a) A feszültségi tenzor PF⎡ ⎤⎣ ⎦ mátrixának a meghatározása a P pontban.

b) A rúd l∆ hosszváltozásának meghatározása.

c) A rúdátmérő d∆ megváltozásának kiszámítása.

Kidolgozás:

a) A feszültségi tenzor PF⎡ ⎤⎣ ⎦ mátrixának a meghatározása:

0 00 0 00 0 0

x

PF

σ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

, ahol xNA

σ = és 2

4dA π

= .

210 78 544

A π= = , mm 2 ,

350 10 636 6278 54xσ ⋅

= = ,,

MPa.

A feszültségi tenzor: 636 62 0 0

0 0 00 0 0

PF

,⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa.

P

y

x

l

N NP

y

z

dφ




b) A rúd l∆ hosszváltozásának meghatározása:

xl l ε∆ = , ahol 35

636 62 3 03 102 1 10

xx E

σε −,= = = , ⋅

, ⋅,

3350 3 03 10 1 061xl l ε −∆ = = ⋅ , ⋅ = , mm.

c) A rúdátmérő d∆ megváltozásának kiszámítása: kd d ε∆ = , 3 30 3 3 03 10 0 909 10k y z xε ε ε ν ε − −= = = − = − , ⋅ , ⋅ = − , ⋅ ,

3 210 ( 0 909 10 ) 0 909 10kd d ε − −∆ = = − , ⋅ = − , ⋅ mm.

5.3.2. feladat: Húzott rudakból álló szerkezet

Feladat:

a) A rudak igénybevételének a meghatározása.

b) A C pont elmozdulásának meghatározása.

Adott: 5l = m, 3a = m, 3d = mm, 4F = kN, 52 1 10E = , ⋅ MPa,

2 2 2 25 3 4b l a= − = − = m, 4cos 0 85

bl

α = = = , .

Kidolgozás:

a) A rudak igénybevételének a meghatározása: A C pontra ható erők egyensúlya: 0A BF F F+ + =

A vektorábrából: A BF F| |=| | , 2cosB

F

Fα

| |

=| |

,

l

a ay

x

bα

A B

CF

d

α

F

AF

BF




4000 25002cos 2 0 8A B

FN F F α| |

=| |=| |= = =⋅ ,

N.

Mindkét rúd húzott.

b) A C pont elmozdulásának meghatározása: A rudak hosszváltozásainak meghatározása:

hl lε∆ = , ahol hh E

σε = , hNA

σ = , 2

4dA π

= ,

2 2 5

4 4 2500 5000 8 423 2 1 10

N l N llA E d Eπ π

⋅ ⋅∆ = = = = ,

, ⋅mm.

A B és C pontok közötti rúd megváltozott hossza: 5000 8 42 5008 42l l l′ = + ∆ = + , = , mm.

A C pont elmozdulása: CCC r v j′ = ∆ = − ,

ahol 8 42 10 53cos 0 8C

lvα

∆ ,= = = ,

,mm,

( 10 53 )CCC r v j j′ = ∆ = − = − , mm.

5.3.3. feladat: Változó keresztmetszetű rúd húzása

1l

F1dφ 2dφ

2l

x

y

Adott: 1 600l = mm, 2 200l = mm, 1 40d = mm, 2 30d = mm, 200megσ = MPa, 52,1 10E = ⋅ MPa.

Feladat:

a) A rúd terhelhetőségének meghatározása.

l

ay

x

α

B

C

C′.

'α'αα ≅

'l




b) A rúd hosszváltozásának a meghatározása az a) pontban meghatáro-zott megengedett terhelés esetén.

Kidolgozás:

a) A rúd terhelhetőségének meghatározása:

1 21 2

F FA A

σ σ= ; = .

Mivel 1 2A A> , ezért 1 2σ σ< , így 22

max megFA

σ σ σ= = ≤ .

Ebből: 2 22

230 200 141 37

4 4meg meg megdF A π πσ σ= = = = , kN.

b) A rúd hosszváltozásának a meghatározása az a) pontban meghatáro-zott megengedett terhelés esetén:

1 2 1 21 2 1 1 2 2 1 2

1 2

l F l Fl l l l l l lE E E A E Aσ σε ε∆ = ∆ + ∆ = + = + = + =

1 22 2 2 2

1 2

4 4 141370 600 200 0 512210000 40 30

l lFE d dπ π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅= + = + = ,⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠mm.

5.3.4. feladat: Vékony falú cső húzása

Adott: 30N = kN, 40D = mm, 36d = mm, 3 12 2ne i j= − ,

140 MPamegσ =

z

y

dφ

Dφ

Sy

ne

xNN

l

60




Feladat:

a) Az F feszültségi tenzor mátrixának a meghatározása és a feszültségi állapot ábrázolása az elemi kockán.

b) A cső szilárdságtani ellenőrzése.

c) Az ne normálisú S síkon a nρ feszültségi vektor, a nσ normál fe-szültség koordináta és a nτ csúsztató feszültségi vektor meghatározása.

Kidolgozás:

a) Az F feszültségi tenzor mátrixának a meghatározása és a feszültségi állapot ábrázolása az elemi kockán:

2 2 2 2(40 36 ) 238 764 4

D dA

π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

− −= = = , mm 2,

330 10 125 65238 64x

NA

σ ⋅= = = ,

, MPa,

125,65 0 00 0 00 0 0

F⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa.

b) A cső szilárdságtani ellenőrzése: ( ), 125,65 140x megσ σ< < ,

Tehát a cső szilárdságtani szempontból megfelel.

c) Az ne normálisú S síkon a nρ feszültségi vektor, a nσ normál fe-szültség koordináta és a nτ csúsztató feszültségi vektor meghatározása:

[ ] [ ]125 65 0 0 0,5 3 108 82

0 0 0 0,5 00 0 0 0 0

nn PF eρ

⎡ ⎤, ,⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

MPa,

( )108 82n iρ = , MPa.

zx

y

[ ]MPa

65125,




A nσ normál feszültség:

( )3 1 108 82 94 242 2nn n i j ieσ ρ

⎛ ⎞= ⋅ = − , = ,⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ MPa.

A nτ csúsztató feszültségi vektor: ( ) ( )n n n n n n nnn n n n ne e e e eσρ ρ ρ ρ ρτ σ= × × = − ⋅ = − = − =

( )3 1108 82 94 24 27 21 47 122 2

i i j i j⎛ ⎞

= , − , − = , + ,⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

MPa.

A feszültség vektorok szemléltetése:

S

nρ

nenσ

nτ

5.3.5. feladat: Prizmatikus zömök rúd nyomása

a

z

y y

xN N

l

a P P n

m

S

Adott: 0,8 0 6n i j= + , , 0,6 0 8m i j= − + , , 600N = − kN, 50a = mm, 100l = mm, 200 MPamegσ = , 52 10 MPaE = ⋅ .

Feladat:

a) A keresztmetszeten ébredő feszültségek eloszlásának megrajzolása az y és a z tengelyek mentén.

b) A P pontban a feszültségi állapot meghatározása, és szemléltetése az elemi kockán.




c) A rúd szilárdságtani ellenőrzése.

d) A P pontban a nρ feszültségi vektor, a nσ normál feszültség és a

mnτ csúsztató feszültség meghatározása.

e) A rúdban felhalmozott rugalmas energia meghatározása.

Kidolgozás:

a) A keresztmetszeten ébredő feszültségek eloszlásának megrajzolása a z és az y tengelyek mentén:

y

z

y

xσ

z xσ

b) A P pontban a feszültségi állapotnak a meghatározása, és szemlélte-tése az elemi kockán:

2 250 2500A a= = = mm 2 . 3600 10 240

2500xNA

σ − ⋅= = = − MPa.

0 0 240 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

x

PF

σ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa.

c) A rúd szilárdságtani ellenőrzése: ( )240 200x megσ σ> > ,

Tehát a cső szilárdságtani szempontból nem felel meg.

z

x

y

240

[ ]MPa




d) A P pontban a nρ feszültségi vektor, a nσ normál feszültség és a

mnτ csúsztató feszültség meghatározása:

[ ] [ ]240 0 0 0,8 1920 0 0 0 6 00 0 0 0 0

n PF nρ

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= = , =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

MPa,

( )192n iρ = − MPa,

( ) ( )0,8 0 6 192 153 6n nn i j iσ ρ= ⋅ = + , ⋅ − = − , MPa,

( ) ( )0,6 0 8 192 115 2mn nm i j iτ ρ= ⋅ = − + , ⋅ − = , MPa.

e) A rúdban felhalmozott rugalmas energia meghatározása.

( )252

5

6 10 10036000Nmm 36J

2 2 2500 2 10N lUAE

⋅= = = =

⋅ ⋅ ⋅

5.3.6. feladat: Prizmatikus rúd húzása

Adott: 20a = mm, 20l µ∆ = m, 200l = mm, 52 10E = ⋅ MPa, 3Px = − mm, 5Py = mm, 0 3ν = , , 4 5a µ∆ = − , m.

a

z

y y

x

N Nl

a

PP

ζ

ηξ

45

Feladat:

a) Az xε hosszirányú, valamint az yε és az zε keresztirányú nyúlások meghatározása abban az esetben ha a rúd hosszváltozása l∆ .

b) A P pontban az PA alakváltozási tenzor mátrixának a meghatározá-

sa az xyz , valamint a ξηζ koordinátarendszerben.




c) Az PF feszültségi tenzor mátrixának a meghatározása a P pontban.

d) Az N rúderő meghatározása.

e) Az N rúderő meghatározása abban az esetben, ha az a jelű méret megváltozása a∆ .

Kidolgozás:

a) Az xε hosszirányú, valamint az yε és az zε keresztirányú nyúlások meghatározása abban az esetben ha a rúd hosszváltozása l∆ :

64 420 10 10 , 0 3 10

0 2x h y z k xl

lε ε ε ε ε ν ε

−− −∆ ⋅

= = = = = = = − = − , ⋅,

.

b) A P pontban az PA alakváltozási tenzor mátrixának a meghatározá-

sa az xyz , valamint a ξηζ koordinátarendszerbe:

5 5

( ) ( )

10 0 0 10 0 00 3 0 10 , 0 3 0 100 0 3 0 0 3

P PxyzA A

ξηζ

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

c) Az PF feszültségi tenzor mátrixának a meghatározása a P pontban:

5 4

( )

20 0 02 10 10 20MPa , 0 0 0

0 0 0x x P xyz

FEσ ε −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= = ⋅ ⋅ = = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa.

d) Az N rúderő meghatározása: 2 20 20 20 8 000xN aσ= = ⋅ ⋅ = N.

e) Az N rúderő meghatározása abban az esetben, ha az a jelű méret megváltozása a∆ :




kk h x h

a a E aEa a a

εε ε σ εν ν ν

∆ ∆ ∆= , = − = − , = = − ,

2 5 320 2 10 ( 4 5 10 ) 6000020 0 3x

A E aN Aa

σν

−∆ ⋅ ⋅ ⋅ − , ⋅= = − = − =

⋅ ,N.

5.3.7. feladat: Húzott rudakból álló szerkezet

Feladat:

a) Az 1 , 2 , és 3 jelű rúd igénybevételeinek a meghatározása.

b) Az 1 jelű rúd szilárdságtani ellenőrzése.

c) A 2 jelű rúd szilárdságtani méretezése.

d) Az 1 jelű rúdban felhalmozódó rugalmas energia meghatározása.

Adott: 150G = kN, 40d = mm, 2b a= . A 3 jelű rúd 2 darab L55x45x5 mm méretű L szelvényből áll. Mindhárom rúdra:

52 10E = ⋅ MPa, 120megσ = MPa.

m3 m3

G

m2

a b

dφ

120

1

A

3

2




Megoldás:

a) Mindhárom rúd húzott: 1 2 3 150N N N G= = = = kN.

b) 119 37xσ = , MPa.

x megσ σ< (119 37 120), < , tehát az 1 jelű rúd megfelel.

c) 25a = mm. Tehát a 2 jelű rúd keresztmetszetének szükséges méretei 25a = mm és

50b = mm.

d) 1 134 3U = , J.

5.3.8. feladat: Húzott prizmatikus rúd

Feladat:

a) A rúd 2N rúderő hatására kialakuló 2l hosszának a meghatározása, ha 1N rúderő esetén 1l a rúd hossza.

b) Annak az 3N rúderőnek a meghatározása, amelynek hatására a rúd-ban az adott xσ feszültség ébred.

c) Az anyag E rugalmassági modulusának meghatározása.

Adott: 0 250l = mm, 25d = mm, 1 100N = N, 2 50N = N,

1 250 27l = , mm, 80xσ = MPa.

d

z

y y

xN N

0l




Megoldás:

a) 2 250 135l = , mm.

b) 3 39 2699N = , kN.

c) 188 6E = , MPa.

5.4. Prizmatikus rudak tiszta, egyenes hajlítása

Tiszta hajlítás: a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevétele kizárólag hajlító nyomaték.

Homogén igénybevétel: Az igénybevétel a rúd hossza mentén nem vál-tozik

l

x

y

Sz

y

hzM hzM hzM

Feltételezés: Az y tengely a keresztmetszet szimmetria tengelye.

Kísérlet: - A rúd felületére négyzethálót rajzolunk. - Megfigyeljük (mérjük) az alakváltozást.




x

y

Sz

y

hzM

hzM hzM

lΦ

R

y

szálhúzott

szálnyomott

⋅⋅

l

O Az ábrán a rúd alakváltozás előtti helyzetét szaggatott vonal, az

alakváltozott helyzetet folytonos vonal és a súlyponti szál alakváltozás utáni alakját pedig pontvonal jelöli.

Megfigyelés: (Bernoulli hipotézis)

Tiszta, homogén hajlítás esetén a rúd keresztmetszetei síkok és merőle-gesek maradnak a rúd alakváltozott középvonalára.

a) Alakváltozási állapot: – A súlyponti szál (középvonal) terheletlen állapotban egyenes

(egybeesik az x tengellyel), alakváltozás után pedig körív. – A középvonal hossza nem változik meg: S S ll l l R′= = = Φ , ahol

Sl – a súlyponti szál hossza, R – a meggörbült rúd középvonalának görbületi sugara, lΦ a két szélső keresztmetszet egymással bezárt szöge az alakváltozott állapotban, ' az alakváltozás utáni állapotot jelöli.

– A hosszirányú fajlagos nyúlást az y helyen lévő szál hosszváltozá-sából határozzuk meg:

( )( ) állandól lx x

l

R y Rl l yy yl R R

ε ε κ+ Φ − Φ′−

= = = = = ≠Φ

.

1R

κ = - a középvonal görbülete.




– Megfigyeljük a négyzetháló deformációját:

1

1 yε+1

xε+1

0<y1

1 yε+1

1 xε+

0>y

A nyúlások között ugyanaz a kapcsolat, mint húzás-nyomás esetén:

k y z xε ε ε νε= = = − , ν - a Poisson tényező.

Különbség: ( )x xy y yR

ε κ ε= = = , ( ) ( ) ( )y z xy y yε ε ν ε= = − . Az

alakváltozási állapot nem homogén (függ az y helykoordinátától). – Valamennyi szögtorzulás nulla: 0xy yxγ γ= = , 0xz zxγ γ= = ,

0zy yzγ γ= = .

Az alakváltozási tenzor: 0 0

( ) 0 00 0

x

y

z

A yε

εε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

b) Feszültségi állapot:

Érvényes az egyszerű Hooke törvény: x xEσ ε= .

0 0( ) 0 0 0

0 0 0

x

F yσ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Az ábra az 0hzM > esetben az 0y > helyen szemlélteti a feszültségi álla-potot. x xσ

y

z

P

( ) állandóx x xEy E y E yR

σ σ ε κ= = = = ≠ .

A hajlított rúdban is egytengelyű feszültségi állapot alakul ki.




A feszültségi állapot itt azonban nem homogén. Probléma: nem ismert a középvonal görbülete (az hzM igénybevé-

tel viszont ismert). Cél: A xσ feszültséget az hzM igénybevételből akarjuk kiszámítani. c) A rúd igénybevételei: A rúd igénybevételei a keresztmetszeten ébredő, felületen megoszló

belső erőrendszerből számíthatók. A keresztmetszeten ébredő belső erőrendszer sűrűsége:

x xEi y iR

ρ σ= = .

Az eredő erő: ( ) ( ) ( )

0

0

S x xA A A

z

EF dA i dA i y dAR

S

ρ σ= = = =

=

∫ ∫ ∫ .

zS a keresztmetszet súlyponti z tengelyére számított statikai nyoma-ték.

Az y tengelyre szimmetrikus keresztmetszet súlypontjára számított eredő nyomaték:

( ) ( )

( )S x xA A

M r dA z k y j i dAρ σ= × = + × =∫ ∫

2

( ) ( )

0

hzA A

zy z

E Ej z y dA k y dA M kR R

I I

= − = −

=

∫ ∫ .

A keresztmetszet másodrendű nyomatékai: 2

( )

0zA

I y dA= >∫ –a keresztmetszet z tengelyre számított másod-

rendű (tehetetlenségi) nyomatéka,

( )yz

A

I y z dA= ∫ – a keresztmetszet yz tengelypárra számított má-

sodrendű (tehetetlenségi) nyomatéka (itt a szimmetria miatt zérus érté-kű).

Ezeken kívül értelmezhető még: 2

( )

0yA

I z dA= >∫ – a keresztmetszet y tengelyre számított másod-

rendű (tehetetlenségi) nyomatéka,




2 2 2

( ) ( )

( ) 0pA A

I r dA z y dA= = + >∫ ∫ – a keresztmetszet poláris másod-

rendű nyomatéka. Mivel az y tengely a keresztmetszet szimmetria tengelye, ezért

0yzI = . Ha ez a feltétel teljesül, akkor az y és a z tengely a keresztmet-szet S súlyponti tehetetlenségi főtengelyei.

Tétel: Minden szimmetria tengely egyben S ponti tehetetlenségi főten-gely is. ⇒ A szimmetria tengelyre merőleges S ponti tengely is tehetet-lenségi főtengely.

Egyenes hajlítás: Ha az SM nyomatékvektor párhuzamos valamelyik S

ponti tehetetlenségi főtengellyel. S hzM M k= − – ez itt fennáll!

Ezt figyelembe véve, a keresztmetszeten ébredő feszültségek S

pontra számított nyomatéka: hzS hz z

z

ME EM M k I kR R I

= − = − ⇒ = .

Ezt az eredményt behelyettesítve a xE yR

σ = összefüggésbe: feszültség-

igénybevétel kapcsolat: hzx

z

M yI

σ = . Ez az összefüggés tiszta, egyenes

hajlítás esetén érvényes. d) Kiegészítés a feszültségi állapothoz: - Feszültségeloszlás:

A hzx

z

M yI

σ = összefüggésben 0,hzM ≥

0, 0, 0 és 0hz zM I y y≤ > ≥ ≤ lehet. Az ábrán az 0hzM > esethez tartozó feszültségeloszlás látható.

Sz

y

hzM

y

xσ

xσ

z

- Zérusvonal: a keresztmetszet azon pontjai, ahol 0xσ = . A zérusvonal egyenlete: 0y = . (Tiszta egyenes hajlításnál a

zérusvonal a keresztmetszet S ponti z tengelye.) - Maximális feszültség, veszélyes pont:




Maximális feszültség a keresztmetszetnek abban a pontjában ébred, amely legmesszebb van a zérusvonaltól.

y

z S

2e

1e

hzM

y

xσ

A

max max,hzx x

z

M yI

σ σ σ= = .

max max max 1 2 max 1, max( , ), itthz hz

z z

M Me e e e e e

I Kσ = = = = .

max

zz

IKe

= a keresztmetszet z tengelyre számított keresztmetszeti té-

nyezője.

Veszélyes pont: a keresztmetszetnek az a pontja, ahol a maxσ fellép.

Itt a veszélyes pont a keresztmetszet A pontja. e) Méretezés és ellenőrzés: - Méretezés:

Megkeressük a szerkezet veszélyes keresztmetszetét.

Az a veszélyes keresztmetszet, ahol az hzM a legnagyobb.

A méretezést ezen a keresztmetszeten végezzük el:

maxhz hz

meg z z szüksz meg

M MK K

Kσ σ

σ= ≤ ⇒ ≥ = .




z szüksK – szükséges keresztmetszeti tényező (ahhoz szükséges, hogy a rúd az adott hajlító igénybevétel esetén éppen ne menjen tönkre).

A zK -ből a keresztmetszet jellemző mérete kiszámítható. - Ellenőrzés:

Megkeressük a szerkezet veszélyes keresztmetszetét.

Az a veszélyes keresztmetszet, ahol az hzM a legnagyobb.

Az ellenőrzést ezen a keresztmetszeten végezzük el:

maxjellhz

megz

MK n

σσ σ= ≤ = , n – előírt biztonsági tényező.

Ha ez a reláció teljesül, akkor a rúd szilárdságtani szempontból megfelel.

f) Alakváltozási energia:

A fajlagos (térfogategységre eső) alakváltozási energia: 12 x xu ε σ= .

Az egész rúd alakváltozási energiája: 2

( )

12

hz

zV

MU u dV lI E

= =∫ .

Ez az összefüggés akkor érvényes, ha állandóhzM = a rúd hossza mentén

g) Az S ponti szál (középvonal) differenciálegyenlete: 1 hz

z

MR I E

κ = = - a rugalmas vonal (középvonal) görbülete.

( )1 hz

z

M xv yR I E

′′ ′′= ≈ − = − ,

2 2

2 2

( )( ) ( ) hz

z

M xd v x d y xdx dx I E

= = − - közönséges, hiányos, inhomogén,

másodrendű differenciálegyenlet. A differenciálegyenlet megoldása:




- A rúd keresztmetszeteinek szögelfordulása:

1( )( ) hz

zz

M xdvx dx Cdx I E

ψ = = − +∫ .

- A lehajlás (a középvonal deformálódott alakja):

1 2( )( ) ( )hz

z

M xv x dx dx C x CI E

= − + +∫ ∫ .

A 1 2,C C konstansok peremfeltételekből számíthatók. h) Gyakorlati példa: vasúti kocsi tengelye.

F F

F F

F F

T

hM

A tengely mechanikai

modellje

A tengelyigénybevételei

5.5. Keresztmetszetek másodrendű nyomatékai a) Másodrendű nyomatéki tenzor: Keresztmetszetek másodrendű nyomatékai

a keresztmetszet S

I súlyponti tehetetlenségi

tenzorába foglalhatók: y yz

Szy z

I II

I I−⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦

S

yn

z

m

⋅




A súlyponti tehetetlenségi tenzor ismeretében bármely S súlyponti tengelyre, vagy tengelypárra számított nyomaték előállítható:

n SI n I n= ⋅ ⋅ ,

m SI m I m= ⋅ ⋅ ,

nm mn S SI I m I n n I m= = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ .

b) Steiner-tétel: Összefüggést ad az S ponti és az azzal párhuzamos tengelyekre

számított tehetetlenségi nyomatékok között:

2

2

z S

y S

zy S S

I I Ay

I I Az

I I Az y

ζ

η

ζη

⎫= +⎪⎪= + ⎬⎪= + ⎪⎭

Tétel: A párhuzamos tengelyek közül mindig az S ponti tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legkisebb.

A tétel állítása az első két egyenlet alapján könnyen belátható. c) Mohr-féle tehetetlenségi kördiagram: Tétel: Az nI és nmI összetartozó értékei egy derékszögű koordináta-

rendszerben kört határoznak meg.

S nI

nmI

yzI

yzI−

yIzI

Y

Z

1I2

P

O

22 zα2 zα

1

2

y

z

12

S 12I

η

Sz

y

S Sy

A

O

ζ

z




A kördiagram szerkesztésének lépései:

- az Y pont felvétele – koordinátái: ,y yzI I ,

- a Z pont felvétele – koordinátái: ,z yzI I−

- a kör O középpontjának felvétele: a ZY egyenes szakasz és a vízszin-tes tengely metszéspontja.

- a P pólus felvétele: a Z ponton át a z tengellyel, az Y ponton át az y tengellyel húzunk párhuzamost. (Ezek az egyenesek a körön metszik egymást.)

d) Tehetetlenségi főirányok, fő tehetetlenségi nyomatékok:

- Tehetetlenségi főirány (főtengely):

Azon 1 és 2 jelű irány (tengely), amelyekre 12 21 0I I= = .

Az 1 jelű tengely mindig ⊥ a 2 jelű tengelyre.

- Fő tehetetlenségi nyomatékok:

Az 1 és 2 jelű tehetetlenségi főtengelyekre számított 1 2,I I másodrendű nyomatékok.

- Tehetetlenségi főirányok, fő tehetetlenségi nyomatékok meghatá-rozása a kördiagramban:

Az 1I és 2I fő tehetetlenségi nyomatékot a kör és a diagram vízszin-tes tengelyének metszéspontja adja meg.

A fő tehetetlenségi nyomatékok kiszámítása:

22

1,2 2 2z y z y

zy

I I I II I

+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠,




A kör középpontjához hozzáadjuk, illetve levonjuk a kör sugarát.

Megállapodás a sorszámozásra: 1 2I I≥ .

1 jelű főirány: a P pontot összekötjük az 1 ponttal.

2 jelű főirány: a P pontot összekötjük az 2 ponttal.

A 2 jelű főiránynak a z tengellyel bezárt szöge (derékszögű

háromszögből): 2

22 zy

zz y

Itg

I Iα =

−.

Tétel: Minden keresztmetszetre van legalább egy ilyen főtengelypár.

Tétel: A keresztmetszet szimmetriatengelye mindig tehetetlenségi főtengely.

Tétel: Ha a keresztmetszetnek kettőnél több S ponti tehetetlenségi főtengelye van, akkor a keresztmetszet S pontján átmenő minden tengely tehetetlenségi főtengely, amelyekre számított tehetetlenségi nyomaték megegyezik: 1 2I I I= = .

Ebben az esetben a Mohr kör egyetlen ponttá zsugorodik.

Ilyen a kör, a körgyűrű, a négyzet és valamennyi szabályos szokszög keresztmetszet.

Megjegyzés: A főirányok meghatározásával analóg módon határozható meg a kördiagramban az S ponti n és m irányokhoz tartozó N és M pont.




5.6. Gyakorló feladatok rudak tiszta, egyenes hajlítására

5.6.1. feladat: Téglalap keresztmetszet másodrendű nyomatékai

Adott: a keresztmetszet a, b mérete.

Feladat:

a) Az S súlyponti ξ η, tengelyekre számított , , és I I Iξ η ξη tehetetlenségi nyomatékok

meghatározása.

b) Az A ponti x y, tengelyekre számított ,x yI I és xyI tehetetlenségi nyomatékok meghatározása.

Megoldás:

a) Az S súlyponti ξ η, tengelyekre számított , , és I I Iξ η ξη tehetetlen-ségi nyomatékok meghatározása:

[ ]22 2

2

22 2 2

3 32 2

( ) 3 12

bb aa

ab a bA

a bI dA d dξ ξη ξ η

ηη η ξ η ξ=−

=− =− =−

⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ,

[ ]22 2

2

22 2 2

3 32 2

( ) 3 12

ab ab

bb a aA

a bI dA d dη ηη ξ ξ

ξξ ξ ξ η η=−

=− =− =−

⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ,

2 22 2

2 2 2 2

2 2

( )

02 2

a bb a

b a a bA

I I dA d dξη ηξη ξ ξ η

ξ ηξ η ξ η ξ η=− =− =− =−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ .

b) Az A ponti x y, tengelyekre számított ,x yI I és xyI tehetetlenségi nyomatékok meghatározása: A Steiner tétel felhasználásával:

η

ξS

b

a

y

xA




23 32

12 2 3x ASa b b a bI I A y a bξ

⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

,

23 32

12 2 3y ASa b a a bI I A x a bη

⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

,

2 2

02 2 4xy yx AS ASa b a bI I I A x y a bηξ= = + = + = .

5.6.2. feladat: Kör keresztmetszet másodrendű nyomatékai

Adott: a keresztmetszet d átmérője.

Feladat:

Az S ponti x y, tengelyekre számított ,x yI I és xyI tehetetlenségi nyomatékok,

valamint az pI poláris másodrendű nyomaték meghatározása.

Megoldás:

A keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka:

22 4 42 2 3

( ) ( ) ( 0) 0

2 24 32

dd

pA A r r

r dI r dA r r dr d r dr πϕ π π= =

⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ ∫ .

A tengelyekre számított másodrendű nyomaték: Az pI felírható az xy koordinátarendszerben is:

2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )p y x

A A A A

I r dA x y dA x dA y dA I I⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= = + = + = +∫ ∫ ∫ ∫ .

Szimmetria miatt x yI I= , ezért 4

2 64p

x y

I dI I π= = = .

A tengelypárra számított másodrendű nyomaték:

dφ

dAy

xr

y

xS




( )2 2

3

( ) ( ) 0 0

sin 2cos sin2

d

xyA A r

I xydA r r r dr d r d drπ

ϕ

ϕϕ ϕ ϕ ϕ= =

= = = =∫ ∫ ∫ ∫

22 4

0 0

cos 2 04 4

d

r

rπ

ϕ

ϕ

= =

⎡ ⎤⎡ ⎤= − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

5.6.3. feladat: Körgyűrű keresztmetszet másodrendű nyomatékai

Feladat:

Az S ponti x y, tengelyekre számított ,x yI I és xyI tehetetlenségi nyo-matékok, valamint az pI poláris másodrendű nyomaték meghatározása.

Adott: a keresztmetszet D külső és d belső átmérője.

Megoldás:

A keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka:

2

2

2

2

2 2 3

( ) ( ) ( )

4 44

2

2 .4 32

D

d

D

d

pA A r

r

I r dA r r dr d r dr

D dr

ϕ π

ππ

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= = = =

−⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

A tengelyekre számított másodrendű nyomaték: Az pI felírható az xy koordinátarendszerben is:

2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )p y x

A A A A

I r dA x y dA x dA y dA I I⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= = + = + = +∫ ∫ ∫ ∫ .

Szimmetria miatt x yI I= , ezért 4 4

2 64p

x y

D dII I

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

−= = = .

A tengelypárra számított másodrendű nyomaték:

dφ

dAy

xr

y

x

Dφ

S




( )2

2

23

( ) ( ) 0

sin 2cos sin2

D

dxy

A A r

I xydA r r r dr d r d drπ

ϕ

ϕϕ ϕ ϕ ϕ= =

= = = =∫ ∫ ∫ ∫

2

2

2 4

0

cos 2 04 4

D

dr

rπ

ϕ

ϕ

= =

⎡ ⎤⎡ ⎤= − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

5.6.4. feladat: Téglalap keresztmetszetű rúd egyenes hajlítása

Adott: 0 80M = Nm, (100 5 0 )P ; ; mm, 52 10E = ⋅ MPa, 10l = m, 10a = mm, 20b = mm.

y

Al

B C x0M

y

z

a

b

S

P

.kmB

Feladat:

a) A hajlító nyomatéki ábra megrajzolása.

b) Feszültségeloszlás megrajzolása a B jelű keresztmetszeten.

c) A keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása.

d) Feszültségállapot meghatározása a B jelű keresztmetszet P pontjá-ban.

e) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség meghatározása.

f) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása.




Kidolgozás:

a) A hajlító nyomatéki ábra megrajzolása: y

A B C

hzM [ ]Nm80

x

x

b) Feszültségeloszlás megrajzolása a

B jelű keresztmetszeten: hzx

z

M yI

σ =

c) A keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása:

[ ]22 2

2

22 2 2

3 32

3 12

bb aa

ab a b

zy z

y a bI y dzdy z−

=− =− −

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ ,

[ ]22 2

2

22 2 2

3 32

3 12

ab ab

bb a a

yy z

z b aI z dzdy y−

=− =− −

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ ,

2 2

2 2

2 22 2

2 2

04 4

b a

b a

b ay z

zyb ay z y z

y zI z y dzdy= =

=− =− =− =−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ .

d) Feszültségállapot meghatározása a B jelű keresztmetszet P pontjá-ban:

3 34

0 010 20 20 0 0 , 10

12 12 30 0 0

x

zP

a bF Iσ⎡ ⎤

⋅⎢ ⎥⎡ ⎤ = = = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

mm 4 ,

y

z

y

z

xσ

xσ

hzM




3

4

80 10( ) 5 602 103

hzx P

z

MP yI

σ ⋅= = = MPa.

60 0 00 0 00 0 0

PF

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa.

e) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség meghatározása: 3

4

80 10 10 12022 103

hz hzxmax max

z z

M M byI I

σ ⋅= = = = MPa.

A z tengelyre számított zK keresztmetszeti tényezővel: 2 2

32 10 20 2 106 6 3

zz

I a bKb

⋅= = = = mm 3 ,

3

3

80 10 1202 103

hxmax

z

MK

σ ⋅= = = MPa.

f) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása:

2 3 23

4 5

1 1 (80 10 ) 10 10 2400022 2 10 2 103

hz

z

MU lI E

⋅= = ⋅ =

⋅ ⋅Nmm 24= J.

5.6.5. feladat: Kör keresztmetszetű rúd egyenes hajlítása

Adott: 5F = kN, 1 2l = m, 2 3l = m, 200megσ = MPa.

y

A1l

B C xF

F2l

y

z

dφ

S

y

x

z

MPa60




Feladat:

a) A rúd igénybevételi ábráinak a megrajzolása.

b) Feszültségeloszlás megrajzolása az AB rúdszakasz egy tetszőleges keresztmetszetén.

c) Másodrendű nyomatékok képletének felírása

d) A rúd méretezése hajlításra.

Kidolgozás:

a) A rúd igénybevételi ábráinak a megrajzolása: Az AB rúdszakaszon tiszta hajlítás van. Egyenes hajlítás, mert kör keresztmetszet esetén minden súlyponti tengely tehetetlenségi főtengely. Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak csak egyenesen hajlíthatók.

b) Feszültségeloszlás megrajzolása az AB rúdszakasz egy tetszőleges keresztmetszetén:

c) Másodrendű nyomatékok képletének felírása:

Kör keresztmetszet: 4

64z ydI I π

= = ;

Körgyűrű keresztmetszet: 4 4( )

64z yD dI I π−

= = .

d) A rúd méretezése hajlításra: Annak a feltételnek kell teljesülnie, hogy a maximális feszültség ki-sebb, vagy legfeljebb egyenlő, mint a megengedett feszültség.

Így hmaxxmax max meg

z

M yI

σ σ| |= | |≤ .

x

T [ ]kN

-5

x

hM [ ]kNm

-15

A B C

kNm15

y

z S

y

xσ

xσz

hzM




Ezt az egyenlőtlenséget átalakítva: 4 3264 32

hmax hmaxmeg

M Mdd d

σπ π

| | | |= ≤ .

Ebből a rúd átmérője: 6

3332 32 15 10 91 42

200hmax

meg

Mdπ σ π| | ⋅ ⋅

≥ = = , mm.

5.6.6. feladat: Négyzet keresztmetszetű rúd egyenes hajlítása

Adott: 120hzM = Nm, 20a = mm, (0 6 6)P ; ; mm, 52 10E = ⋅ MPa, 0 25ν = , .

SP

B

a

a

A

m2m3z

z′

yy′

x

yhzMhzM

Feladat:

a) A 0z = keresztmetszet feszültségeloszlásának a megrajzolása a z, az y , a z′ és az y′ tengelyek mentén.

b) Feszültségállapot meghatározása a P pontban.

c) Alakváltozási állapot meghatározása a P pontban.

d) Az 10y = − mm koordinátájú AB oldalél a∆ hosszváltozásának a meghatározása.

Kidolgozás:

a) A 0z = keresztmetszet feszültségeloszlásának a

y

SPz′

y′y

xσxσ

y′

z




megrajzolása a z, az y , a z′ és az y′ tengelyek mentén:

hzx

z

M yI

σ = .

b) Feszültségállapot meghatározása a P pontban:

4 4420 4 10

12 12 3zaI = = = mm 4 ,

( )3

4

120 10 6 544 103

hzx P

z

MP yI

σ ⋅= = = MPa

54 0 00 0 0 MPa0 0 0

PF

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

c) Alakváltozási állapot meghatározása a P pontban:

0 00 00 0

x

yP

z

Aε

εε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , 55

54( ) 27 102 10

xx P

Eσε −= = = ⋅ ,

⋅

5

5

( ) ( ) ( ) 0 25 27 10

6 75 10 .y z xP P Pε ε ν ε −

−

= = − = − , ⋅ ⋅ =

= − , ⋅

5

27 0 00 6 75 0 100 0 6,75

PA −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = − ,⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

d) Az 10y = − mm koordinátájú AB oldalél a∆ hosszváltozásának a meghatározása:

z

y

x

54 MPa

z

y

xP

j

k

i

756,

27

510−×

756,




A hosszváltozás: 2

2

2

0( )a

a

a

z

z y xz

a z dzε=+

⎡ ⎤⎢ ⎥

=− , =⎢ ⎥⎣ ⎦=−

∆ = |∫ .

A fajlagos nyúlás: állandóxz x E

σε ν ε ν= − = − = .

2

2 2

( )2

a

a a

zhz hz

z zz y

M y M aa dz aI E I E

ν ν=+

=− =−

⎡ ⎤⎢ ⎥∆ = − = − − =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

35

9 ( 10)0 25 20 2 25 102 10

−−= − , = , ⋅

⋅mm.

Az ábrán az eredeti (—) és az alakváltozott (...) keresztmetszet látható.


y

AB

Cz

y

xS

dφ

F

F−m3m3m6

KP

Adott: 20F| |= kN, (0 80 0)P ; ; mm, 160d = mm.

Feladat:

a) A rúd igénybevételi ábráinak a megrajzolása és a veszélyes kereszt-metszetek meghatározása.

b) Feszültségeloszlás megrajzolása az AB rúdszakasz K kereszt-metszetén.

c) Feszültségállapot meghatározása a P pontban.

Megoldás:

z

y

a a+ ∆

ShzM

x

A K B C

hzM [ ]kNm

60




a) Veszélyes keresztmetszetek: az AB rúdszakasz valamennyi keresztmetszete. b)

c) 4 4

6160 32 17 1064 64z

dI π π= = = , ⋅ mm4.

6

6

0 060 100 0 0 ( ) 80 149 2

32 17 100 0 0

xhz

x PPz

MF P yI

σσ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⋅⎡ ⎤ = , = = = ,⎣ ⎦ , ⋅MPa.

5.6.8. feladat: Téglalap keresztmetszetű rúd egyenes hajlítása

y

A

l

BC

x

y

a

Sz b

4 m

F

Adott: F F j= − , 1 5l = , m, 150megσ = MPa, 20a = mm, 40b = mm.

Feladat:

a) A rúd igénybevételi ábráinak a megrajzolása és a veszélyes kereszt-metszetek meghatározása.

y

S

P

xσ

y

xσ

z

z




b) Feszültségeloszlás megrajzolása a veszélyes keresztmetszeten, és a veszélyes pontok meghatározása.

c) Az F erő maxF ′ maximumának a meghatározása, ha a keresztmetszet a rajzoltaknak megfelelően áll.

d) Az F erő maxF ′′ maximumának a meghatározása, ha a keresztmet-szetet 90 fokkal elforgatjuk, vagyis a és b értékeit felcseréljük.

Megoldás:

a) Veszélyes keresztmetszet: az A keresztmetszet.

b) Veszélyes pontok az 2by = ± helyen találhatók

c) 3 3

420 40 10 67 1012 12z

a bI ⋅= = = , ⋅ mm4.

2 2maxhzmax

max meg megz z

M b l bFI I

σ σ σ′≤ ⇒ = ≤ .

42 150 10 67 10 533 331500 40

meg zmax

IF l b

σ ⋅ , ⋅≤ = = ,′

⋅N.

d) 3 3

440 20 2 667 1012 12y

b aI ⋅= = = , ⋅ mm4.

2 2hymax max

max meg megy y

M b l bFI I

σ σ σ′′≤ ⇒ = ≤ .

42 150 2 667 10 266 671500 20

meg ymax

IF l b

σ ⋅ , ⋅≤ = = ,′′

⋅N.


Adott: ( )5F j= − kN, 1l = m, 150megσ = MPa.

x

F l

hzM

C A B

z

y

S xσ

y

xσ

b

a

z




Feladat:

A rúd méretezése feszültségcsúcsra Mohr szerint.

y y

z SC

FA

l 4m

B x

Megoldás: max 5kNmhM = . 69,76mmd ≥ , a szabványos választás: 70mmd = .

5.7. Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak tiszta csavarása

Tiszta csavarás: a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevétele kizárólag csavaró nyomaték.

Feltételezés: a keresztmetszet kör, vagy körgyűrű alakú.

Kísérlet: - A rúd felületére négyzethálót rajzolunk.

- Megfigyeljük (mérjük) az alakváltozást.

l

x

y

cM cMSz

y

cM

d Megfigyelés (mérés):




- A rúd keresztmetszetei síkok maradnak és alakjuk nem változik: d d′ = .

- A rúd keresztmetszetei nem mozdulnak el az x tengely irányában: l l′ = .

- A rúd keresztmetszetei az x tengely körül elfordulnak. (Az elfordulás mértéke az x tengely mentén lineárisan változik.)

a) A rúd pontjainak elmozdulása: Az x helyen lévő keresztmetszet szögelfordulása: xϑΦ = . ϑ = állandó – fajlagos szögelfordulás: az egymástól egységnyi tá-

volságra levő keresztmetszetek egymáshoz képest bekövetkező szögel-fordulása.

A rúd tetszőleges P pontjának elmozdulása:

Sz

y

cM

d

xP

P′

Φ

Reϕe

R

y

cMcM

x

PP′

( )Rγ

A pont elmozdulás vektorát az R xϕ hengerkoordináta-rendszerben

írjuk fel. A hengerkoordináta-rendszer egységvektorai: Re , eϕ , xe i≡ . A P pont elmozdulás vektora: R xt ue e weϕν= + + . Az elmozdulás vektor koordinátái: 0u = , R xν γ= Φ = , 0w = . A P pont a keresztmetszet x tengely körüli elfordulása miatt eϕ

irányban mozdul el: v R x x Rϑ γ γ ϑ= = ⇒ = . b) Alakváltozási állapot:

Megfigyelés (mérés):

- nincs hosszváltozás: 0R xϕε ε ε= = = .




- csak az eϕ és xe i= egymással bezárt szöge változik meg:

0R Rϕ ϕγ γ= = , 0xR Rxγ γ= = , x x Rϕ ϕγ γ γ ϑ= = = .

Az alakváltozási tenzor:

12

( ) 12

0 0 0

0 0

0 0x

R x

x

A ϕϕ

ϕ

γ

γ

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, x x Rϕ ϕγ γ ϑ= = .

Az alakváltozási állapot nem homogén: ( )x x Rϕ ϕγ γ γ= = .

A γ szögtorzulás az R változó (helykoord.) lineáris függvénye.

c) Feszültségi állapot:

Érvényes a csavarásra vonatkozó Hooke-törvény:

,x x x xG G R G G Rϕ ϕ ϕ ϕτ γ ϑ τ γ ϑ= = = = .

G – a csúsztató rugalmassági modulus (anyagjellemző).

A G csúsztató rugalmassági modulus nem független az E rugalmassági modulustól: 2 (1 )E G ν= + .

A feszültségi tenzor:

( )

0 0 00 0 ,

0 0x x x

R xx

F G Rϕ ϕ ϕϕ

ϕ

τ τ τ ϑ

τ

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ = = =⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.




A feszültségi állapot szintén nem homogén: ( )x x Rϕ ϕτ τ τ= = . A τ feszültség az R helykoordináta lineáris függvénye. Feszültségeloszlás: ( )

állandóx x R G Rϕ ϕτ τ ϑ= = .

S

Rxϕτ

D

y

zS

Rxϕτ

D

y

z

d

Feszültség csak ott ébred, ahol anyag van (jobb oldali ábra).

Probléma: nem ismert a fajlagos szögelfordulás (az cM igénybevétel viszont ismert).

Cél: A xϕτ feszültséget az cM igénybevételből akarjuk kiszámítani.

d) A keresztmetszet igénybevételei: Az egységvektorok vektoriális szorzatai:

, ,R x x R x Re e e e e e e e eϕ ϕ ϕ× = × = × = , ,R x x R R xe e e e e e e e eϕ ϕ ϕ× = − × = − × = − .

A keresztmetszeten ébredő feszültségvektor: Re ( )x x x Re G G R e eϕ ϕ ϕρ τ ϑ ϑ= = = × .

Az eredő erő: ( ) ( )

e 0

0

S x x RA A

S

F dA G e R dA

S

ρ ϑ= = × =

=

∫ ∫ .

SS - az S pontra számított statikai nyomaték (Értelmezése a Statika tantárgyban).

Az S súlypontra számított eredő nyomaték: ( ) ( )2 2

( ).

S x R x x pA

x

M R dA G R e e dA e G R dA e G I

e állϕρ ϑ ϑ ϑ= × = × = =

=∫ ∫ ∫ .




2

( )p

A

I R dA= ∫ - a keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka.

, cS p x c x p c

p

MM G I e M e G I M GI

ϑ ϑ ϑ= = ⇒ = = .

A feszültség – igénybevétel kapcsolat: cx x

p

MG R RIϕ ϕτ τ ϑ= = = .

Az összefüggésben 0, 0, 0, 0c c pM M I R≤ ≥ > > lehet. Feszültségi tenzor, feszültségek, és körkeresztmetszetű rúd esetében

a feszültségeloszlás az xyz és xης koordinátarendszerben: 0

0 00 0

xy xz

yx

zx

Fτ τ

ττ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, ,

,c cxy yx xz zx

p p

M Mz yI I

τ τ τ τ= = − = = .

Veszélyes pontok: a palást pontjai.

η

yςxςτ

yxτ

y

zxτcM

z

z

e) Alakváltozási energia: A fajlagos (térfogategységre eső) alakvál-

tozási energia: 21 1

2 2x

x xuGϕ

ϕ ϕ

τγ τ= = .

Az egész rúd alakváltozási energiája: 21

2c

p

MU lI G

= .

f) Méretezés és ellenőrzés: - Ellenőrzés:

maxmax 2c c

xp p

M MDI Kϕτ τ= = ⋅ = ,

2 pp

IK

D= - poláris keresztmetszeti tényező.




Ha max ,jellmeg n

ττ τ≤ = akkora rúd szilárdságtani szempontból megfelel

(n – előírt biztonsági tényező).

- Méretezés: maxc c

meg p p szüksp meg

M MK KK

τ ττ

= ≤ ⇒ ≥ = .

p szüksK – a szükséges poláris keresztmetszeti tényező (ahhoz szükséges, hogy a rúd az adott csavaró igénybevételt tönkremenetel nélkül elviselje).

p szüksK D⇒ ≥… . g) Gyakorlati példa: kormányoszlop.

D

y

z

xF

F

FDMc ⋅=

FDM c ⋅=

5.8. Vékonyszelvényű prizmatikus rudak szabad csavarása

Szabad csavarás: a rúd pontjainak x tengely irányú elmozdulását semmi nem akadályozza.

Gátolt csavarás: a rúd pontjai nem mozdulhatnak el x irányban tetszőlegesen.

Itt az előző pont gondolatmenetétől eltérő módon kapunk közelítő megoldást.

a) Nyitott szelvényű keresztmetszet: - Keskeny téglalap keresztmetszet:




S

y

cM

yxτ

v

z b

ζ

c cM G Iϑ= .

Csavarási másodrendű nyomaték: 3

3cbvI = .

A feszültségeloszlás a vastagság mentén lineáris:

max2c cyx

c c

M M vI I

τ ζ τ= ⇒ = .

- Összetett szelvény: (a keskeny téglalap eredményeinek általánosí-tása)

c cM G Iϑ= .

Csavarási másodrendű nyomaték:

33

1 3i i

ci

b vI=

= ∑ .

A feszültségeloszlás a vastagság mentén

lineáris: max max2c csx

c c

M M vI I

τ ζ τ= ⇒ = .

- Görbe középvonalú szelvény:

c cM G Iϑ= .

3

( )

13c

b

I v ds= ∫ .

2csx

c

MI

τ ζ= .

s

1v

1b

2v2b

3b

3v

ζ

ζ

ζsxτy

zS cM

sxτ

sxτs

( )v sS

sb

ζ

cMsxτ




b) Zárt szelvényű keresztmetszet:

A feszültségeloszlás a vastagság mentén állandó.

c cM G Iϑ= .

Csavarási másodrendű nyomaték:

41

kc

AIds

v

=

∫.

kA a szelvény középvonala által határolt (sraffozott) terület.

Bredt képlet: maxmin

( )2 ( ) 2

c csx

k k

M MsA v s A v

τ τ= ⇒ = .

5.9. Gyakorló feladatok rudak csavarására

5.9.1. feladat: Kör keresztmetszetű rúd csavarása

Adott: 32cM = Nm, 500l = mm, 1 160l = mm, 20d = mm, 5BR = mm, 50 78 10G = , ⋅ MPa.

y

l

x

cM1K 2K

1l

cM [ ]Nm

x

ς

B

y

z

dφ

S

.1 kmKη

BR

S

cMkA

s

ζ

ysxτ

z

( )v s




Feladat:

a) A feszültségek eloszlásának a megrajzolása a 1K keresztmetszeten az η , a z és az y tengelyek mentén.

b) A 1K keresztmetszet B pontjában az BF feszültségi tenzor mátrixá-

nak meghatározása.

c) A 1K keresztmetszet B pontjában az BA alakváltozási tenzor mátri-

xának meghatározása.

d) A 2K keresztmetszet szögelfordulásának a meghatározása a 1K ke-resztmetszethez képest.

e) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása.

Kidolgozás:

a) A feszültségek eloszlásának a megrajzolása a 1K keresztmetszeten az η , a z és az y tengelyek mentén.

cx

p

M RIϕτ =

A poláris másodrendű nyomaték: 4

32pdI π

= .

b) A 1K keresztmetszet B pontjában az BF feszültségi tenzor mátrixá-

nak meghatározása: 4

4 3( ) , 0 1 16 1032

cx B p

p

M dB R I dIϕ

πτ | || |= = ≈ , = ⋅ mm 4 .

4

3

3, 2 10( ) 5 1016 10

cyx B

p

MB RI

τ | | ⋅| |= = =

⋅MPa, ( ) ( ) 10yx xyB Bτ τ= = − MPa.

y

x

MPa10

B

y

z

ηy

z yxτ

zxτ

cM

xζτ




A B pont feszültségi tenzora az xyz koordináta-rendszerben:

( )

0 0 0 10 00 0 10 0 0

0 0 0 0 0 0

xy

yxB xyzF

ττ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

MPa.

A B pontbeli feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán:

c) A 1K keresztmetszet B pontjában az BA alakváltozási tenzor mátri-

xának meghatározása: 4

5

10 1 28 100 78 10

xyxy yx G

τγ γ −−

= = = = − , ⋅, ⋅

.

Az B pont alakváltozási tenzorának a mátrixa az xyz koordináta-

rendszerben:

12

412( )

0 0 0 0 64 00 0 0 64 0 0 10

0 0 0 0 0 0

xy

yxB xyzA

γγ −

− ,⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = = − ,⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

.

d) A 2K keresztmetszet szögelfordulásának a meghatározása a 1K ke-resztmetszethez képest: A fajlagos szögelfordulás:

45

3 5

3 2 10 2 564 1016 10 0 78 10

c

p

MI G

ϑ −, ⋅= ≈ = , ⋅

⋅ ⋅ , ⋅ rad/mm.

A szögelfordulás: 5 312 1 2 564 10 160 4 1 10lϑ − −Φ = = , ⋅ ⋅ = , ⋅ rad.

e) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása:

2 2 8

3 5( )

1 10 24 10 500 205 Nmm2 2 2 16 10 0 78 10

0,205J.

c c

p pl

M MU dx lI G I G

, ⋅ ⋅= = = = =

⋅ ⋅ ⋅ , ⋅

=

∫

5.9.2. feladat: Körgyűrű keresztmetszetű rúd csavarása




y

z

dφDφ

y

l

xcMcM

Adott: 4cM = kNm, 2Dd= , 50 8 10G = , ⋅ MPa, 70megτ = MPa,

0 02megψ = , rad.

Feladat:

a) A rúd méretezése (D és d meghatározása).

b) A rúd maxl maximális hosszának meghatározása, ha a rúd két végé-nek keresztmetszete közötti szögelfordulásnak megΦ a megengedett értéke.

Kidolgozás:

a) A rúd méretezése (D és d meghatározása):

2 2pc c

max megp meg

IM MDI D

τ ττ

= ≤ ⇒ ≥ .

4 34 4

3

1 15(1 )( ) 16 16 0 09232 32 32

pp

D DID dI DD

π ππ −−= = ⇒ = = , .

6

334 10 67 72

2 0 092 2 0 092 70c

meg

MDτ

⋅≥ = = ,

⋅ , ⋅ , ⋅ mm.

Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak átmérőit szabvány írja elő. Szabványos (MSz 4337-71 Hengerelt köracélok) méretű D értéket választva, legyen 70D = mm és ezzel 35d = mm. Ezekkel a méretek-




kel számított poláris másodrendű nyomaték: 4 4 4 4

6( ) (70 35 ) 2 21 1032 32p

D dI π π− −= = = , ⋅ mm 4 .

b) A rúd maxl maximális hosszának meghatározása, ha a rúd két végé-nek keresztmetszete közötti szögelfordulásnak megΦ a megengedett értéke:

c c maxmeg

p p

M l M lI G I G

Φ = ⇒ Φ = ⇒

6 5

6

2 21 10 0 8 100 02 8844 10

pmax meg

c

I Gl

M, ⋅ ⋅ , ⋅

⇒ = Φ = , =⋅

mm.


y

l

xφ dF

y

z

Dφ

F

F

Adott: 6F = kN, 0 5D = , m, 70d = mm, 45megτ = MPa.

Feladat:

a)A rúd mechanikai modelljének a meghatározása.

b)A rúd szilárdságtani ellenőrzése.

Kidolgozás:

a) A rúd mechanikai modelljének a meghatározása: A rúd igénybevétele csavarás:

3 3 66 10 0 5 10 3 10cM F D= = ⋅ ⋅ , ⋅ = ⋅ Nmm. y

l

xcM




b) A rúd szilárdságtani ellenőrzése: 3 3

42 70, 6 73 1016 16

pcmax p

p

IM dKK d

π πτ = = = = = , ⋅ mm 3 ,

6

4

3 10 44 66 73 10

cmax

p

MK

τ ⋅= = = ,

, ⋅MPa.

A tartó megfelel, ha max megτ τ≤ . A fenti adatokkal 44 6 45, < , ezért a tartó megfelel!


Adott: 1 1M M i= − , ( )2 0 12M i= , kNm, 80G = GPa, 60megτ = MPa, 40D = mm, 20d = mm.

y

x1M

d

z

y

D

2MAK

B

150 150

S C

Feladat:

a) Az 1M nyomaték meghatározása azzal a feltétellel, hogy a rúd éppen megfeleljen.

b) A rúd A és C keresztmetszete közötti ACψ elcsavarodás szögének a meghatározása.




Kidolgozás:

a) Az 1M nyomaték meghatározása azzal a feltétellel, hogy a rúd éppen megfeleljen: A rúd igénybevétele csavarás. A rúd igénybevételi ábrája:

4 4 4 45( ) (40 20 ) 2 36 10

32 32pD dI π π− −

= = = , ⋅ mm 4 . 5

42 2 2 36 10 1 178 1040

pp

IK

D⋅ , ⋅

= = = , ⋅ mm 3 .

A rúd éppen megfelel, ha cmaxmax meg max meg

p

MK

τ τ τ τ= ⇒ = = .

41 178 10 60 706848cmax p megM K τ= = , ⋅ ⋅ = Nmm 706 858= , Nm,

cmaxM az 1M és az 1 2M M− közül a nagyobb, tehát

1 ( 0 706858 )M i= − , kNm.

b) A rúd A és C keresztmetszete közötti ACψ elcsavarodás szögének a meghatározása:

A fajlagos elcsavarodás szöge c

p

MI G

ϑ = , szakaszonként változó.

1 21 ( ) BCABAC AB BC

p pAB BC

M M lM ldz dzI G I G

ψ ϑ ϑ ψ ψ −= + = + = + =∫ ∫

25 4 5 4

706858 150 (706858 120000) 150 1 03 102 36 10 8 10 2 36 10 8 10

−⋅ − ⋅= + = , ⋅

, ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅rad.


Adott: 40cM = Nm, 500l = mm, 1 160l = mm, 20d = mm, 200E = GPa, 5Bρ = mm, 0 3ν = , .

z|M| 1

cM

|MM| 21 −




z

y

η

B BρS

dφ

l 1l

y

cM ]Nm[

40

301K 2K cM x

x40

ζ

Feladat:

a) A rúd 0x = keresztmetszetén a feszültségek eloszlásának megrajzo-lása az η , a z és az y tengelyek mentén.

b) Az 0x = keresztmetszet B pontjában az BF⎡ ⎤⎣ ⎦ feszültségi tenzor

mátrixának meghatározása és a feszültségi állapot ábrázolása az elemi kockán.

c) Az 0x = keresztmetszet B pontjában az BA⎡ ⎤⎣ ⎦ alakváltozási tenzor

mátrixának meghatározása és az alakváltozási állapot ábrázolása az elemi triéderen.

d) A rúd ϑ fajlagos szögelfordulásának, illetve a 2K és a 1K kereszt-metszet közötti 12ψ szögelfordulás meghatározása.

c) Az l hosszúságú rúdban felhalmozott U rugalmas energia meghatá-rozása.




Megoldás:

a) c

xp

MIζτ η= ,

,c czx yx

p p

M My zI I

τ τ= = − .

b) 4

4 4 3 4

3

3

0 0 0 1 0 1 20 16 10 mm320 0

40 10 5 12 5 MPa0 0 0 16 10

xy p

yxBc

xy yx Bp

dI dF

M zI

πττ

τ τ

= ≈ , = , ⋅ = ⋅ ,⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ,⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅

= = − = − = − , ,⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅

0 12,5 012,5 0 00 0 0

BF

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa.

c) 5

32 10 76 9 102 (1 ) 2 (1 0 3)

EGν

⋅= = = , ⋅

+ + , MPa.

12

412 3

0 012 50 0 1 6 10

76 9 100 0 0

xyyz

yx xy yxBA

G

γτ

γ γ γ −

⎡ ⎤− ,⎢ ⎥⎡ ⎤ = , = = = = − , ⋅ ,⎢ ⎥⎣ ⎦ , ⋅

⎢ ⎥⎣ ⎦

4

0 0,8 00,8 0 0 100 0 0

BA −

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

d) 12 0 052ψ = , rad.

e) 0 325U = , J.


y

z

ηy

z yxτ

zxτ

cM

xζτ

y

x

zMPa5,12B

B

i

kj40,8 10−⋅

40,8 10−⋅




Adott: 5F| |= kN, 0 4D = , m, 60d = mm, 60megτ = MPa.

z

y

Dφ l

y

x

F

F−

F

dφ

Feladat:

a) A rúd igénybevételeinek meghatározása.

b) A rúd x l= keresztmetszete mentén a feszültségek eloszlásának a megrajzolása a tetszőleges R, az x és az y tengelyek mentén, illetve az

pI , pK meghatározása.


Megoldás:

a) A rúd igénybevétele csavarás: 3 35 10 0 4 2 10cM F D= = ⋅ ⋅ , = ⋅ Nm.

b) 4

32pdI π

= , 4

660 1 27 1032pI π

= = , ⋅ mm 4 ,

2 pp

IK

d= ,

632 1 27 10 42 4 10

60pK ⋅ , ⋅= = , ⋅ mm 3 .

c) 6

3

2 10 47 1742 4 10

cmax

p

MK

τ ⋅= = = ,

, ⋅MPa 60< MPa, tehát a rúd megfelel.


z

R

yxϕτ

yxτz

y

zxτ

cM




Adott: 2cM = kNm, 2Dd= , 80G = GPa, 60megτ = MPa,

y

xcM

0ld

z

y

D

cMS

Feladat: A rúd méretezése.

Megoldás:

A rúd megfelel, ha 2 2

pc cmax meg

p meg

IM MDI D

τ ττ

= ≤ ⇒ ≥ ,

44 4 4116(1 )( ) 15

32 32 512pDD d DI ππ π−−

= = = és 3 15512

pI DD

π= .

33

315 0 092

512 2 2 0 092p c c

meg meg

I M MD D DD

πτ τ

= = , ≥ ⇒ ≥,

,

Behelyettesítve: 6

32 10 56 58

2 60 0 092D ⋅≥ = ,

⋅ ⋅ ,mm.


Adott: Az x tengelyű rúd igénybevétele: ( )5SM i= kNm,

150megσ = MPa.

Feladat:

A rúd méretezése feszültségcsúcsra Huber-Mises-Hencky szerint.




Megoldás:

62,15mmd ≥ , a szabványos választás: 65mmd = .

5.9.9. feladat: Vékonyszelvényű prizmatikus rúd csavarása

Adott: 10cM Nm= , 100megτ = MPa.

Feladat:

a) A rúd keresztmetszetének az cI csavarási másodrendű nyomatékának a meghatározása.

b) A keresztmetszeten ébredő maximális feszültség meghatározása.


Megoldás:

a) Az cI csavarási másodrendű nyomaték meghatározása: 3 33 3

2

1

10 216 4 20 2 436,553 3 3 3

im

ic

i

b vI

π

=

⋅⋅ ⋅= = + + =∑ mm4.

b) A keresztmetszeten ébredő maximális feszültség meghatározása:

max max10000 4 91,63436,55

c

c

M vI

τ = = = .

c) A rúd szilárdságtani ellenőrzése: 91,63 100< , tehát a rúd megfelel.

210

2

204

16

S

y

z cM

Mechanika Karcsú, nyomott rudak kihajlása



6. Karcsú, nyomott rudak kihajlása

Karcsú rúd: a rúd hossza sokkal nagyobb, mint a keresztmetszet mére-tei, és karcsúsági tényezője egy meghatározott értéknél nagyobb.

Zömök rúd: a rúd hossza nem sokkal nagyobb, mint a keresztmetszet méretei.

A rúd karcsúságát a karcsúsági tényezővel fogjuk jellemezni.

Karcsú rudak nyomásánál kihajlási jelenség léphet fel.

A nyomásról a 5.1. pontban tanultak csak zömök rúdra érvényesek to-vábbi kiegészítések nélkül.

Centrikus nyomás: az F nyomóerő a rúd keresztmetszetének S súly-pontjában támad.

F F

Tapasztalat: Az F erőt növelve, egy küszöb fölött a rúd meggörbül, hirtelen nagy elmozdulások lépnek fel (a rúd kihajlik), amelyek a rúd tönkremenetelét okozhatják.

Stabilitásvesztés: A rudat az egyenes helyzetből kis hatással kimozdít-va, a rúd nem tér vissza az egyenes alakhoz. A rúdnak két egyensúlyi helyzete van. Az egyik az egyenes alak, ami labilis, a másik a görbült alak, ami stabil egyensúlyi alak.

Kérdés: az F erő mekkora értékénél következik be a stabilitásvesz-tés?

kritF - kritikus erő: az erőnek azon értéke, amelynél a stabilitásvesztés bekövetkezik.

Az alábbiakban egy közelítő megoldást adunk a kihajlás leírására: a) A kritikus erő meghatározása:




Kiindulás: a rúd középvonala terheletlen állapotban egyenes.

Gondolatmenet:

- Feltételezzük, hogy terhelt állapotban a rúd középvonala meggörbül. (Görbült alak csak akkor alakulhat ki, ha a terhelés elérte az kritF érté-ket.)

- Keressük a görbe alak kialakulásának feltételét.

F

ol

x

y

xx

F

F

x

F

t

y

F

F

( )y x

x

( )hzM y x F=

y

( )y x

( )y x - a rúd középvonalának elmozdulása a meggörbült helyzetben.

A rúd igénybevételei a meggörbült helyzetben: - Nyomás: ( )N x F= − , ahol kritF F≥ . - Hajlítás: ( ) ( )hzM x y x F= , ahol kritF F≥ . A rugalmas vonal (S ponti szál Euler-féle) differenciálegyenlete:

2

2

( )( ) ( )hz

z z

M xd y x Fy y xd x E I E I

′′ = = − = − .

Az egyenletet egy oldalra rendezve: ( ) ( ) 0z

Fy x y xEI

′′ + = .

Ez az egyenlet másodrendű, közönséges, lineáris, állandó együttha-tójú, hiányos, homogén differenciál egyenlet.

Jelölés: 2

z

FE I

α = .




A kihajlás Euler-féle differenciál egyenlete: 2( ) ( ) 0y x y xα′′ + = . Keressük az ( ) 0y x ≠ megoldást. (Keressük a görbült alak ( )y x

egyenletét.)

Megoldás: 0 0( ) cos siny x A x B xα α= + .

Peremfeltételek:

0 00 ( 0) 0 1 0 0x y x A A= = = = ⋅ + ⇒ = .

0 0 0 0( ) 0 sinx l y x l B lα= = = = .

A 0 0sinB lα szorzat vagy akkor zérus, ha 0 0B = , vagy akkor, ha

0sin 0lα = . A 0 0B = a súlyponti szál egyenes alakját jelenti, amitől különböző

megoldást keresünk. Ha 0sin 0lα = , akkor 0 tetszőleges 0B = ≠ érték lehet! (E közelítés-

ben akármekkora nagy érték is lehet!) A megoldás a peremfeltételek figyelembevétele után:

0( ) siny x B xα= - A görbült alak szinusz félhullám, amelynek amp-litúdója határozatlan, mert 0B tetszőleges.

F

x

y

Probléma: A 0B konstans tetszőlegesen nagy is lehet. ⇓ Nagy elmozdulások lépnek fel. ⇓ A rúd tönkremegy (eltörik).

Mi a feltétele a 0 0B ≠ esetnek?

0sin 0, , ( 1, 2, , ).ol l k k nα α π= ⇒ = = …




2 2 2 2 2 2 2, .krito o

z

Fl k l kEI

α π π= ⇒ =

2 22 , ( 1, 2, , )z

krito

EIF k k nl

π= = … .

Ezek közül az erők közül a legkisebb a 1k = , és min 2zI I I= = eset-hez tartozik. Már ez a legkisebb erő is problémát okozhat:

2 minmin 2

0krit krit

EIF Fl

π= = .

Tapasztalat és az kritF -ra kapott összefüggésből is ez következik: A rúd arra a keresztmetszeti tehetetlenségi főirányra merőleges síkban hajlik ki, amelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legkisebb:

2 2min 2min 2 2

0 0krit krit

EI EIF Fl l

π π= = = .

A feladat megoldását, a végein csuklósan megtámasztott rúdra állí-tottuk elő. A megoldás más megtámasztás esetén is a fenti gondolatme-nettel határozható meg.

b) A kihajlási határgörbe: A kritikus erő (a rúd megtámasztási módja mellett) függ a rúd 0l

hosszától és a keresztmetszetnek a hajlítással szembeni legkisebb ellen-állására jellemző min 2I I= másodrendű nyomatéktól. Ennek a rúd geo-metriáját jellemző két mennyiségnek a függvényében akarjuk meghatá-rozni a rúd tönkremenetele szempontjából kritikus feszültséget.

Átalakítás: 2 2 2min

min2 20 0

kritkrit

F I E EiA A l l

σ π π= = = , ahol minmin

IiA

= a minimális

inercia sugár.

Karcsúsági tényező: 00

min min

l Ali I

λ = = .




A krit ARσ ≤ esetben az Euler-féle hiperbola adja a kritikus feszült-séget:

Euler-féle hiperbola: 22( )krit krit

Eσ σ λ πλ

= = .

Aλ - az krit ARσ = -hoz tartozó karcsúsági tényező, vagyis

AA

ER

λ π= .

Euler összefüggés rugalmas kihajlásra ( krit ARσ ≤ ), vagyis Aλ λ≥ értékekre érvényes.

A krit ARσ ≥ , vagyis Aλ λ≤ esetben a Tetmajer-féle egyenes adja meg a kritikus feszültséget:

Tetmajer-féle egyenes: 0,20,2( ) p A

krit krit pA

R RRσ σ λ λ

λ−

= = − +

Ez az összefüggés képlékeny kihajlásra érvényes. Az Euler-féle hiperbolát és a Tetmajer-féle egyenest diagramban

ábrázolva kapjuk a rúd ( )kritσ λ kihajlási határgörbéjét. Kihajlási határgörbe:

Tetmajer-egyenes

Euler- hiperbola

képlékenytartomány

rugalmas tartomány

λ

kritσ

20,pR

AR

Aλ

c) Nyomott rudak méretezése, ellenőrzése:




Nyomott rudaknál a méretezést, ellenőrzést nemcsak feszültség-csúcsra, hanem kihajlásra is el kell végezni.

Nyomott rudak esetén legtöbbször a kihajlás jelenti a nagyobb ve-szélyt.

- Méretezés, ellenőrzés feszültségcsúcsra (lásd 5.1. Prizmatikus ru-dak tiszta húzás-nyomása és 5.2. A szilárdságtani méretezés, ellenőr-zés):

jellx meg

FA n

σσ σ= ≤ = .

- Méretezés, ellenőrzés kihajlásra:

Először meg kell határozni a rúd karcsúsági tényezőjét: 0

min

li

λ = .

Ezután meg kell határozni az Euler-hiperbola és a Tetmajer-egyenes érvényességi tartományát elválasztó Aλ értéket:

22A AA A

E ERR

π λ πλ

= ⇒ = .

Ha Aλ λ≥ , akkor a kritσ értéket az Euler-féle összefüggésből szá-

mítjuk: 22krit

Eσ πλ

= .

Ha Aλ λ≤ , akkor a kritσ értéket a Tetmajer-féle összefüggésből

számítjuk: 0,20,2

p Akrit p

E

R RRσ λ

λ−

= − + .

Méretezés, ellenőrzés kihajlásra: kritx meg

FA n

σσ σ= ≤ =

d) Általánosítás más megtámasztások esetére:

A karcsúsági tényező: 0

min

li

λ = .

Általánosítás: 0l nem a rúd hossza, hanem a kihajlási fél hullám-hossz.

A kihajlási félhullámhossz meghatározása: 0l lβ= .

l – a rúd tényleges hossza.




A leggyakrabban előforduló megtámasztási módok:

F

l

2=β

F

l

1=β

F

l

50,=β

F

l

70,≈β

Gyakorlati példák kihajlásveszélyre: - Rácsos tartószerkezetek nyomott rúdjai. - Robbanó motor szelepvezérlése – szelepemelő rúd. A szelepvezérlés vázlata

szelepemelő rúdszelep

rúgó

himba

l

bütykös tárcsa

A szelepemelő rúd mechanikai modellje

F

x

y

l

0,7ol l≅

6.1. Gyakorló feladatok karcsú nyomott rudak kihajlására

6.1.1. feladat: Csuklós/görgős megtámasztású karcsú nyomott rúd ki-hajlása




y

l

xF

dφ

azy

Adott: 1 1l = , m, 9F = kN, 52 1 10E = , ⋅ MPa, 10d = mm, 20a = mm,

0 2 280pR , = MPa, 240AR = MPa, 2krn = .

Feladat:

a) A kihajlási határgörbe megrajzolása a jellemző metszékek feltünteté-sével.

b) A rúd ellenőrzése kihajlásra.

Kidolgozás:

a) A kihajlási határgörbe megrajzolása a jellemző metszékek feltünteté-sével:

Ha Aλ λ> , akkor: 22krit

Eσ πλ

= .

Ha Aλ λ< , akkor:

0,20,2

p Akrit p

A

R RRσ λ

λ−

= − + .

b) A rúd ellenőrzése kihajlásra: 5

22

2 1 10 92 93240A A

A A

E ERR

π λ π πλ

, ⋅= ⇒ = = = , .

2 22 2 1020 321 46

4 4dA a π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − = − = ,⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

mm 2 .

4 4 4 420 10 1284212 64 12 64min z ya dI I I π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

mm 4 .

λ

krσ

2,0pRAR

Aλ

Tetmajer egyenesEuler hiperbola




12842 6 32321 46

minmin z y

Ii i iA

= = = = = ,,

mm.

01 1 1100 1100l lβ β= , = = ⋅ = mm, 0 1100 1746 32min

li

λ = = =,

.

Aλ λ≥ (174 92 93)> , ⇒ A krσ meghatározására az Euler-összefüggést kell alkalmazni.

A tényleges feszültség: 9000 28321 46x

FA

σ = = =,

MPa.

A kritikus feszültség: 5

2 22 2

2 1 10 68 46174kr

Eσ π πλ

, ⋅= = = , MPa.

A rúd megfelel, ha krx

krnσ

σ ≤ .

Itt krx

krnσ

σ < teljesül 68 46(28 34 23)2,

< = , , tehát a rúd kihajlásra megfe-

lel!

6.1.2. feladat: Befalazott/görgős megtámasztású karcsú nyomott rúd kihajlása

Adott: 300l = mm, 200E = GPa, 1 5v = , mm,

30b = mm, 0 2 400pR , = MPa,

300AR = MPa.

Feladat:

a) A rúd keresztmetszeti jellemzőinek meghatározása.

b) A kritikus erő meghatározása.

Kidolgozás:

a) A rúd keresztmetszeti jellemzőinek meghatározása: 30 1 5 45A b v= = ⋅ , = mm 2 ,

y

l

xF

zy

b v




3 3 3 34 430 1 5 1 5 308 44 mm 3375 mm

12 12 12 12z yb v v bI I⋅ , , ⋅

= = = , , = = = .

Az y és z tengelyek tehetetlenségi főtengelyek 1yI I= , 2zI I= ,

( ) 8 44min z yI min I I= ; = , mm 4 , 8 44 0 43345

minmin

IiA

,= = = , mm.

b) A kritikus erő meghatározása: 5

22

2 0 10 81 1300A A

A A

E ERR

π λ π πλ

, ⋅= ⇒ = = = , .

00 7; 0 7 300 210l lβ β= , = = , ⋅ = mm, 0 210 484,990 433min

li

λ = = =,

.

Aλ λ> ( 484,99 81 1> , ) A krσ meghatározására az Euler-összefüggést kell alkalmazni.

52 2

2 2

2 0 10 8 39484,99kr

Eσ π πλ

, ⋅= = = , MPa,

45 8 39 377,55kr krF Aσ= = ⋅ , = N.

6.1.3. feladat: Görgős/befalazott megtámasztású karcsú nyomott rúd kihajlása

Adott: A rúd keresztmetszete kétféle lehet: cső, vagy négyzet. 55F = kN, 200E = GPa, 0 2 300pR , = MPa, 200AR = MPa, 2krn = , 2 60k kd R= = mm, v 3= mm, 40a = mm.

F

ml 2=

kR2φ

a

a

vx

y

x

y




Feladat:

a) A keresztmetszeti jellemzők meghatározása mindkét ke-resztmetszetre.

b) Ellenőrzés kihajlásra mindkét keresztmetszetre.

Kidolgozás:

a) A keresztmetszeti jellemzők meghatározása mindkét keresztmet-szetre: Cső keresztmetszet: 2 2 30 3 565 5kA R vπ π= = ⋅ ⋅ = , mm 2 ,

222 2 3 3

0( ) 0

sin 2( sin )2 4x k k k k

A

I y dA R v R d v R v Rππ

ϕϕ

ϕ ϕϕ ϕ π==

⎡ ⎤= = = − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

3 30 21 212 2 2

x k kmin

k

I v R RiA R v

ππ

= = = = = , mm,

0 7 2000 6621 21min

liβλ , ⋅

= = =,

.

Négyzet keresztmetszet: 2 240 1600A a= = = mm 2 , 4

12xaI = ,

4

2

/12 40 11 5512 12

xmin

I a aiA a

= = = = = , mm,

0 7 2000 121 2111 55min

liβλ , ⋅

= = = ,,

.

b) Ellenőrzés kihajlásra: 5

22

2 0 10 99 35200A A

A A

E ERR

π λ π πλ

, ⋅= ⇒ = = = , .

Cső keresztmetszet: A Tetmajer összefüggést kell alkalmazni, mert Aλ λ< (66 99 35)< , .

0 20 2

300 200300 66 233,5799 35

p Akr p

A

R RRσ λ

λ,

,

− −= − = − =

, MPa,




55000 97 26565 5z

FA

σ = = = ,,

MPa.

A rúd megfelel, ha krz

krnσσ < .

Itt a 233,57(97 26 116,78)2

krz

krnσσ < , < = teljesül, tehát a rúd kihaj-

lásra megfelel! Négyzet keresztmetszet: Az Euler összefüggést kell alkalmazni, mert Aλ λ> , (121 21 99 35), > , .

2 25

2 22 10 134 35121 21kr E π πσ

λ= = ⋅ = ,

, MPa,

55000 34 381600z

FA

σ = = = , MPa.

A rúd megfelel, ha krz

krnσσ ≤ .

Itt krz

krnσσ < 134 35(34 38 67 18)

2,

, < = , teljesül, tehát a rúd kihajlásra

megfelel!

6.1.4. feladat: Befalazott karcsú nyomott rúd kihajlása

Adott: A rúd keresztmetszete két darab összehegesztett U50-es szel-vényből áll. Egy U50-es szelvény adatai (lásd az ábrát is):

712A′ = mm 2 , 13 7e = , mm, 426 10I ς = ⋅′ mm 4 , 49 1 10I η = , ⋅′ mm 4 .

További adatok: 25F = kN,

0 2 300pR , = MPa, 200AR = MPa, 2krn = , 2l = m, 200E = GPa.

Feladat:

a) A rúd keresztmetszeti jellemzőinek a meghatározása.

y

l

xF

y

zζ

η

e

50S




b) Ellenőrzés kihajlásra.

Megoldás:

a) 1424A = mm2, 452 10zI = ⋅ mm4, 444 93 10yI = , ⋅ mm4, 444 93 10minI = , ⋅ mm 4 , 17 76mini = , mm.

b) 99 35Aλ = , , 0 4000l = mm, 225,23λ = . (225,23 99 35)Aλ λ> > , ⇒ Az Euler-összefüggést kell alkalmazni.

38 91krσ = , MPa, 17 56xσ = , MPa.

A rúd kihajlásra megfelel, mert 38 91(17 56 19 46)2

krx

krnσσ ,

< , < = , .

6.1.5. feladat: Mindkét végén befalazott karcsú nyomott rúd kihajlása

Adott: 10=a mm, 30=b mm, 3=l m, 2=n , 300=AR MPa,

60020 =,pR MPa, 5102 ⋅=E MPa.

l

b

a

F

Feladat: Az maxF terhelő erő legnagyobb értékének a meghatározása.

Megoldás: Az maxF terhelő erő legnagyobb értékének a meghatározása.

max 1,099F = kN.

Mechanika Általános szilárdságtani állapotok



7. Általános szilárdságtani állapotok

7.1. Az általános feszültségi állapot a) Pont (elemi környezet) feszültségi állapota:

Definíció: Pont (elemi környezet) feszültségi állapotát az adott P pon-ton átmenő valamennyi n irányhoz hozzárendelt nρ feszültségvekto-rok összessége, halmaza alkotja.

Megadása: a pontbeli feszültségi tenzorral.

Feszültségi tenzor: x xy xz

yx y yzP

zx zy z

F

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.

A feszültségi tenzor oszlopaiban a , ,x y zρ ρ ρ feszültségvektorok koordinátái állnak.

Tétel: A P pontbeli feszültségállapotot egyértelműen meghatározza három, egymásra kölcsönösen merőleges elemi felületen fellépő fe-szültségvektor.

A feszültségi tenzor szimmetrikus. b) Adott normálisú elemi felületen ébredő feszültségvektor és fe-

szültségkoordináták kiszámítása: A feszültségvektor:

n F nρ = ⋅ , ahol n – a felületi normális, ( 1=n ).

Tétel: A feszültségi tenzor ismeretében a P ponton átmenő valamennyi elemi síkon (felületen) ébredő feszültségvektor kiszámítható.

A feszültségi koordináták kiszámítása:

A normál feszültségi koordináta: ( )n nn n F nσ ρ= ⋅ = ⋅ ⋅ .




A csúsztató feszültségi koordináták: ( )ln nl nl l F nτ τ ρ= = ⋅ = ⋅ ⋅ , illetve

( )mn nm nm m F nτ τ ρ= = ⋅ = ⋅ ⋅ ha 0l n m n⋅ = ⋅ = , és | | | | 1l m= = .

A csúsztató feszültség vektor nagysága: 2 2 2 2

n ln mn n nτ τ τ ρ σ= + = − . c) A pontbeli feszültségi állapot szemléltetése elemi kockán:

P

z

xy

zσ

yσ

xσyxτ

zxτ

xyτ

zyτyzτxzτ

Az x normálisú lapra a xρ feszültségvektor koordinátáit, az y normálisú lapra a yρ feszültségvektor koordinátáit, a z normálisú lapra pedig a zρ feszültségvektor koordi-nátáit rajzoljuk fel.

A csúsztató feszültségek dualitásának tétele:

Bármely két, egymásra merőleges síkon, a síkok metszésvonalára me-rőleges τ feszültségek egyenlő nagyságúak, és mindkettő egyformán vagy a metszésvonal felé, vagy azzal ellentétes irányba mutat.

, , .xy yx yz zy xz zxτ τ τ τ τ τ= = =

d) Feszültségi főtengelyek, főfeszültségek:

Definíció: Ha az e egységvektorra merőleges felületen 0eτ = , azaz

e eeρ σ= , akkor az e irány feszültségi főirány (feszültségi főtengely),

eσ főfeszültség és az e -re merőleges elemi felület síkja főfeszültségi sík.

Tétel: Minden P pontban létezik legalább három főirány, amelyek köl-csönösen merőlegesek egymásra.

Feszültségállapot a főtengelyek koordináta-rendszerében:




( )

1

21,2,3

3

0 00 00 0

Fσ

σσ

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A jelölésre vonatkozó megállapodás: 3 2 1σ σ σ≤ ≤ .

e) A Mohr-féle feszültségi kördiagram: A kördiagram a P pontbeli feszültségi állapot egy másik szemlélte-

tési módszere.

Tétel: Valamely főfeszültségi síkba eső összes n irányhoz tartozó N pontok a ,n nσ τ koordináta-rendszerben kört határoznak meg.

A kördiagram megrajzolása, ha egy főirány ismert: Adott: a P pontbeli feszültségi állapot. Legyen a z irány tehetetlenségi főirány.

0

0

0 0

x xy

yx yP

z

F

σ τ

τ σ

σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

xxσ yxτ

yσ y

xyτ

z

zσ

P

Feladat: a kördiagram megrajzolása. A τ feszültség előjelét beforgatással

határozzuk meg. Legyen x,y,z és m,n,z jobbsodrású

(jobbsodratú) koordinátarendszer. n beforgatása az x és y tengelybe: – ha m és a τ iránya megegyezik: 0τ > , – ha m és a τ iránya ellentétes: 0τ < .

3e

2e2σ

3σ

1σ1e

y

x

xyτyσ

yxτ

xσ

n

mxnα

P




A kördiagram megrajzolásának gondolatmenete:

xx Pρ → , (beforgatásból: 0<yxτ ).

yy Pρ → , (beforgatásból: 0>xyτ ).

xP és yP egy kör átmérőjének két végpontja, ezért O→ .

Ezen a körön van 1P és 2P is.

3PPρ zz ≡→ .

A 1P és 3P , a 1P és 2P , valamint a 2P és 3P is egy-egy körön van.

mnτ

yxτ−

yP

xPnQ

O

12 xα

1xα

xyτ

yσ xσ

nσ2σ3zσ σ≡ 1σ

2e

1e

i

j

zP 1P2P3P

A kördiagramból meghatározhatók a főfeszültségek és főirányok.

Főfeszültségek (ügyelni kell a nagyság szerinti sorba rendezésre 3 2 1σ σ σ≤ ≤ ):

22

1 2 2x y x y

yx

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠,




22

2 2 2x y x y

xy

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠,

3 zσ σ= .

Főirányok:

nQ - a normálisok pólusa (a Px-en át az x tengellyel, a Py-on át az y tengellyel húzott párhuzamos egyenesek metszéspontja).

1e főirány: a Qn P1 egyenes, 2e főirány: a Qn P2 egyenes.

Az 1 2 3, ,e e e irányok jobbsodrású rendszert alkotnak.

A kördiagramban levő derékszögű háromszögből:

1 1

22 yx

x xx y

tgτ

α ασ σ

= ⇒ =−

…

1xα

2e1e

i

j

P

2σ

2e

1e

i

j

P

1σ

7.2. Az általános alakváltozási állapot a) Tetszőleges P pont (elemi környezet) alakváltozási állapota:

Definíció: Elemi környezet (pont) alakváltozási állapotát a ponton át-menő valamennyi n irányú egységnyi hossz és valamennyi 0n m⋅ =




irányok által bezárt 90o-os szög megváltozásának összessége, halmaza alkotja.

Megadása: a pontbeli alakváltozási tenzorral.

Alakváltozási tenzor:

1 12 2

1 12 21 12 2

x xy xz

yx y yzP

zx zy z

A

ε γ γ

γ ε γ

γ γ ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Az alakváltozási tenzor oszlopaiban az , ,x y zα α α alakváltozási vektorok koordinátái állnak.

Az alakváltozási tenzor szimmetrikus.

Tétel: A P pontbeli alakváltozási állapotot egyértelműen meghatároz-zák a P pontban felvett három, egymásra kölcsönösen merőleges egy-ségnyi hossz végpontjainak elmozdulásai.

Az n irányhoz tartozó alakváltozási vektor: n PA nα = ⋅ .

b) A pontbeli alakváltozási állapot szemléltetése az elemi triéderen:

P

i

jk

zεyzγ2

1

zyγ21

yε

xzγ21

xyγ21

yxγ21

zxγ21

xε

A P pontban felvett i , j , k egy-ségvektorok végpontjaiba felrajzoljuk az adott irányhoz tartozó alakváltozási vektorok koordinátáit.

c) A pontbeli alakváltozási jellemzők kiszámítása: Legyen: 1=n , 1=m és 0=⋅mn .

A fajlagos nyúlások: ( ), ( )n n m mn n A n m m A mε α ε α= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ .




A fajlagos szögtorzulások:

1 1 ( ) ( )2 2mn nm n mm n n A m m A nγ γ α α= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .

d) Alakváltozási főtengelyek, főnyúlások:

Definíció: Ha az e irány-egységvektorhoz tartozó alakváltozási vektor e irányú, azaz e eeα ε= , akkor az e irány alakváltozási főirány (főten-gely) és eε főnyúlás.

e) Mohr-féle alakváltozási kördiagram

12 mnγ

nε1P2P3P

2ε3ε 1ε

Ugyanaz érvényes, mint a feszültségi állapotnál.

7.3. Az általános Hooke-törvény

Az általános Hooke-törvény az izotróp, lineárisan rugalmas tulajdonsá-gú anyagok anyagtörvénye. A Hooke-törvény tenzor egyenlet.

Az anyagtörvény olyan összefüggés, amely a feszültségi és az alakvál-tozási állapot között áll fenn.

Izotróp az anyag, ha tulajdonságai iránytól függetlenek.

Pl.: fémek, kerámiák, üvegek, stb.

Anizotróp az anyag, ha tulajdonságai iránytól függőek.

Pl.: fa, szálerősített műanyag, stb.




Lineárisan rugalmas egy anyag, ha a belső erők (feszültségek) és az alakváltozási jellemzők között lineáris függvénykapcsolat áll fenn.

Az anyagi viselkedés jellege szakítódiagrammal szemléltethető: Alakítható anyag szakítódi-

agramjának jellege: xσ

0 ,2pRmR

xε

Pl.: lágyacél, alumínium,

réz, stb.

Rideg anyag szakítódiag-ramjának jellege:

xσ

mR

xε

Pl.: szerszámacél, öntött-

vas, üveg, kerámia, stb.

A Hooke-törvény a szakítódiagram lineáris (egyenes) szakaszán írja le az anyag viselkedését.

a) Az általános Hooke-törvény egyik alakja:

12 1 IA F F EG

νν

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+⎝ ⎠, ahol a G csúsztató rugalmassági modulus és a

ν Poisson tényező anyagjellemzők, 1 0 00 1 00 0 1

E⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

az egység tenzor,

1 2 3I x y zF σ σ σ σ σ σ= + + = + + , a feszültségi tenzor első skalár invari-ánsa (a tenzor főátlójában álló elemek összege).

Invariáns: értéke koordináta-rendszertől független (ugyanannyi pl. az x,y,z KR-ben, mint a főtengelyek 1,2,3 KR-ben).

Skaláris egyenletek:




( )1 1 1 1,2 1 2 2x x x y z xy xy xy xyG G G

νε σ σ σ σ γ τ γ τν

⎡ ⎤= − + + = → =⎢ ⎥+⎣ ⎦,

( )1 1 1 1,2 1 2 2y y x y z yz yz yz yzG G G


⎡ ⎤= − + + = → =⎢ ⎥+⎣ ⎦,

( )1 1 1 1,2 1 2 2z z x y z xz xz xz xzG G G


⎡ ⎤= − + + = → =⎢ ⎥+⎣ ⎦.

b) Az általános Hooke-törvény másik alakja:

21 2 IF G A A Eν

ν⎛ ⎞= +⎜ ⎟−⎝ ⎠

, ahol a G csúsztató rugalmassági modulus és

a ν Poisson tényező anyagjellemzők, 1 0 00 1 00 0 1

E⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

az egység tenzor,

1 2 3I x y zA ε ε ε ε ε ε= + + = + + az alakváltozási tenzor első skaláris inva-riánsa

Invariáns: értéke koordináta-rendszertől független (ugyanannyi pl. az x,y,z KR-ben, mint a főtengelyek 1,2,3 KR-ben).

Skaláris egyenletek:

( )2 ,1 2x x x y z xy xyG Gνσ ε ε ε ε τ γ

ν⎡ ⎤= + + + =⎢ ⎥−⎣ ⎦

,

( )2 ,1 2y y x y z yz yzG Gνσ ε ε ε ε τ γ

ν⎡ ⎤= + + + =⎢ ⎥−⎣ ⎦

,

( )2 ,1 2z z x y z xz xzG Gνσ ε ε ε ε τ γ

ν⎡ ⎤= + + + =⎢ ⎥−⎣ ⎦

.




c) A korábban megismert speciális alakok és az általános Hooke-törvény közötti kapcsolat:

– Egytengelyű feszültségi állapot (húzás-nyomás, hajlítás): 0 0 0 0

0 0 0 , 0 0 ,0 0 0 0 0

x x

y y z x

z

F Aσ ε

ε ε ε νε

ε

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Az egyszerű Hooke-törvény: x xEσ ε= . Az általános Hooke-törvényből:

( )21 2x x x x xG νσ ε ε νε νε

ν⎡ ⎤= + − − =⎢ ⎥−⎣ ⎦

( ) ( )2 1 2 2 11 2x x xG Gνε ν ε ν ε

ν⎡ ⎤= + − = +⎢ ⎥−⎣ ⎦

A két eredményt összevetve összefüggést kapunk az E és a G rugal-massági modulusok, illetve a ν Poisson szám között: ( )2 1E G ν= + .

– Csavarás: x xGϕ ϕτ γ= ezt az általános Hooke-törvényből közvetlenül megkap-

juk, ha a tenzorokat az , ,R xϕ koordináta rendszerben írjuk fel.

7.4. Szilárdságtani méretezési, ellenőrzési elméletek

a) Speciális eset - egytengelyű feszültség állapot:

jellx meg n

σσ σ≤ = , ahol jellσ a tönkremenetelre jellemző feszültség és n

az előírt biztonsági tényező.

Itt nincs probléma, mert csak egy feszültségkoordináta, a xσ nem nulla. Ezt kell összehasonlítani a tönkremenetelre jellemző feszültség-gel.




Az anyag tönkremenetelét jellemző feszültség ismert az egytenge-lyű feszültségi állapotra! (húzó-nyomó kísérlet – szakító diagram).

b) Általános eset - tetszőleges térbeli feszültség állapot:

x xy xz

yx y yzP

zx xy z

Fσ τ ττ σ ττ τ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Nem tudom, hogy melyik feszültség koordinátát hasonlítsam össze a

jellmeg n

σσ = értékkel.

Redukált feszültség/ összehasonlító feszültség/ egyenértékű feszült-ség: olyan feszültség, amely a pontbeli feszültség állapotot a károsodás szempontjából egyértelműen úgy jellemzi, mintha az egytengelyű len-ne.

A redukált feszültség bevezetésével a tetszőleges térbeli feszültség ál-lapotot egytengelyű feszültség állapotra vezetjük vissza.

c) Elméletek a redukált feszültség meghatározására:

– Coulomb elmélet:

Tönkremenetel az anyag egy pontjában akkor következik be, ha ott a legnagyobb normálfeszültség eléri a szakító, vagy a nyomó szilárdság értékét.

A Coulomb elmélet rideg anyagok esetén adja meg jól a tönkremenetel bekövetkezését abban az esetben, ha van egy domináns főfeszültség, amihez képest a másik két főfeszültség kicsi.

– A Coulomb-féle redukált feszültség:

( ) ( )1 3max ,red Coulombσ σ σ= .

Coulomb szerint a redukált feszültség egyenlő a főfeszültségek kö-zül az abszolút értékben vett legnagyobbal. Az összefüggésben 1σ a legnagyobb és 3σ a legkisebb főfeszültség. A Coulomb-féle redukált feszültséget kellő megfontolással célszerű alkalmazni.




– Mohr elmélet:

Két általános térbeli feszültségállapot tönkremenetel szempontjából akkor azonosan veszélyes, ha a hozzájuk tartozó legnagyobb Mohr-kör átmérője megegyező.

A Mohr elmélet alakítható anyagok esetén adja meg jól a tönkremene-tel bekövetkezését.

– Mohr-féle redukált feszültség: ( ) 1 3red Mohrσ σ σ= − .

Mohr szerint a pontbeli feszültségállapotot a károsodás szempontjá-ból a legnagyobb Mohr-kör átmérője jellemzi. Az összefüggésben 1σ a legnagyobb és 3σ a legkisebb főfeszültség.

– Huber-Mises-Hencky (HMH) elmélet:

Két feszültségi állapot tönkremenetel szempontjából akkor azonosan veszélyes, ha torzulási alakváltozási energiájuk megegyezik. A HMH elmélet alakítható anyagok esetén adja meg jól a tönkremenetel bekö-vetkezését. A Mohr és a HMH elmélet szerint számított redukált fe-szültség csak kis mértékben tér el egymástól.

Általában ( ) ( )red redHMH Mohrσ σ≤ .

– Huber-Mises-Hencky féle redukált feszültség

A redukált feszültség arányos az uT torzulási energiával.

A főtengelyek 1,2,3 koordináta-rendszerében vett feszültségi koordiná-tákkal:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 3 2 3

12red HMHσ σ σ σ σ σ σ⎡ ⎤= − + − + −⎣ ⎦ .




Az x,y,z koordináta-rendszerben vett feszültségi koordinátákkal:

( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 6 .2

red

x y y z x z xy yz xz

HMHσ

σ σ σ σ σ σ τ τ τ

=

⎡ ⎤= − + − + − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

d) Méretezés, ellenőrzés tetszőleges térbeli feszültségi állapot ese-tén:

A szerkezet szilárdságtani szempontból megfelel, ha a jell

red meg nσ

σ σ≤ = feltétel teljesül a szerkezet minden pontjában.

Tetszőleges térbeli feszültségi állapot esetén mindig a redukált (ösz-szehasonlító, egyenértékű) feszültséget hasonlítjuk össze az anyagra vonatkozó megengedett feszültség értékével.

A méretezés, ellenőrzés általános gondolatmenete rúdszerkezetek ese-tén:

– A rúdszerkezet veszélyes keresztmetszetének (keresztmetszeteinek) megkeresése.

A szerkezetnek az a veszélyes keresztmetszete, ahol az igénybevételek a legnagyobbak.

– A veszélyes keresztmetszeten a veszélyes pontok megkeresése.

A keresztmetszetnek az a veszélyes pontja (pontjai), ahol a redσ redu-kált feszültség a legnagyobb.

– A veszélyes pontban (pontokban) a méretezés, ellenőrzés elvégzése a maxred megσ σ≤ összefüggés alapján.




7.5. Gyakorló feladatok általános szilárdságtani állapotokra

7.5.1. feladat: Pont feszültségi állapota, általános Hooke-törvény

Adott: 70 0 400 50 040 0 10

PF

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa, 0,3ν = , 80G = GPa.

Feladat:

a) A P pont feszültségi állapotának szemléltetése az elemi kockán.

b) A feszültségi állapot Mohr-féle kördiagramjának megrajzolása.

c) A főfeszültségek és főirányok meghatározása.

d) A redukált feszültségek meghatározása.

e) A P pont alakváltozási állapotának meghatározása, és szemléltetése az elemi triéderen.

Kidolgozás:

a) A P pont feszültségi állapotának szemléltetése az elemi kockán:

y 50z

10

40

x70 [ ]MPa




b) A feszültségi állapot Mohr-féle kördiagramjának megrajzolása.

m

n

x70

40

10z

10

nmτ

10

zP

xP

yPnσ1σ2yσ σ=3σ

x

z

síkzx −

síky 1−

síky 2−

1zα

1zα

Előjelszabály az síkonxz

1

3

3

1

nQ

c) A főfeszültségek és főirányok meghatározása: 2

21 90

2 2x z x z

xzσ σ σ σσ τ+ −⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠MPa,

2 50yσ σ= = MPa, 2

23 10

2 2x z x z

xzσ σ σ σσ τ+ −⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠MPa,

2 1 1 21 1 2 35 5 5 5

40 2, , ,20ztg n i k n j n i kα = = = + = = − + ,

d) A redukált feszültségek meghatározása: ( )1 3( ) max , 90red Coulombσ σ σ= = MPa




1 3( ) 100red Mohrσ σ σ= − = MPa

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

2 2 21 2 1 3 2 3

2 22

12

1 90 50 90 10 50 10 87,18MPa2

red HMHσ σ σ σ σ σ σ⎡ ⎤= − + − + − =⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − − + − − =⎣ ⎦

e) A P pont alakváltozási állapotának meghatározása, és szemléltetése az elemi triéderen:

A Hooke-törvény: 12 1 IA F F EG

νν

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+⎝ ⎠,

1 2 3 70 50 10 130I x y zF σ σ σ σ σ σ= + + = + + = + + = MPa, 0,3 130 30

1 1 0,3IFνν

= =+ +

MPa.

( )5

410 70 30 2,5 10 , 02 0,8

xyx xy G

τε γ

−−= − = ⋅ = =

⋅

( )5

410 50 30 1, 25 10 , 02 0,8

yzy yz G

τε γ

−−= − = ⋅ = =

⋅

( )5

4 45

10 4010 30 1, 25 10 , 5 102 0,8 0,8 10

xzz xz G

τε γ−

− −= − = − ⋅ = = = ⋅⋅ ⋅

4

2,5 0 2,50 1,25 0 10

2,5 0 1,25P

A −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

7.5.2. feladat: Pont alakváltozási állapota

Feladat:

a) A P pont alakváltozási állapotának szemléltetése az elemi kockán.

b) Az alakváltozási állapot Mohr-féle kördiagramjának a megrajzolása.

c) A főnyúlások és az alakváltozási főirányok meghatározása.

5,25,2

i

25,1

5,2

25,1

jk

410−×




d) A P pont feszültségi tenzorának a meghatározása és szemléltetése az elemi kockán.

Adott: 4

12 3 03 4 0 10 , 0, 4, 80

0 0 2P

A Gν−

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = − ⋅ = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

GPa.

Kidolgozás:

a) A P pont alakváltozási állapotának szemléltetése az elemi kockán:

i j

k

12

3 4

3

2 410−×

b) Az alakváltozási állapot Mohr-féle kördiagramjának a megrajzolása:

ij

34

123

nm

zPnε1ε2ε

yε

xyγ21

yxγ21

−

mnγ21

xε

yP

xP

nQ

3εε =z

y

1xαx

410−×

síkyx −

sík1−z

sík2−z

Szabály az síkonxy

1

1

2 2




c) A főnyúlások és az alakváltozási főirányok meghatározása: 2 2

41

1 13 102 2 2

x y x yxy

ε ε ε εε γ −+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠,

2 24

21 3 10

2 2 2x y x y

xy

ε ε ε εε γ −+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠,

4 23 1

1

3 12 10 , ,9 3

xy

z zy

tgγ

ε ε αε ε

− −= = − ⋅ = = = −

−

3 31 11 2 310 10 10 10

, ,n i j n i j n k= − = + = .

d) A P pont feszültségi tenzorának a meghatározása és szemléltetése az elemi kockán.

21 2 IF G A A Eν

ν⎛ ⎞= +⎜ ⎟−⎝ ⎠

,

4 41 2 3 14 10 , 28 10

1 2I x y z IA Aνε ε ε ε ε εν

− −= + + = + + = ⋅ = ⋅−

,

( )5 42 0,8 10 12 28 10 640xσ −= ⋅ ⋅ + = MPa, 48xy xyGτ γ= = − MPa,

( )5 42 0,8 10 4 28 10 512yσ −= ⋅ ⋅ + = MPa, 0yz yzGτ γ= = MPa,

( )5 42 0,8 10 2 28 10 416zσ −= ⋅ ⋅ − + = MPa, 0xz xzGτ γ= = MPa,

640 48 048 512 00 0 416

PF

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa

7.5.3. feladat: Az általános Hooke-törvény alkalmazása

Adott: A test tetszőleges P pontja, ahol az alábbi mennyiségek ismer-tek: 522 10xε

−= ⋅ , 52 10yε−= − ⋅ , 524 10xyγ −= ⋅ , 0 25ν = , ,

(40 48 40 )z i j kρ = − + MPa, 380 10G = ⋅ MPa.

x

640

48512

416

yz

[ ]MPa




Feladat:

a) Az PA alakváltozási tenzor mátrixának a meghatározása.

b) Az PF feszültségi tenzor mátrixának meghatározása.

Kidolgozás:

a) Az PA alakváltozási tenzor mátrixának a meghatározása:

Az alakváltozási tenzor mátrixa az ismert és ismeretlen értékekkel:

5 5 12

5 5 12

1 12 2

22 10 12101210 210

xz

yzP

zx zy z

Aγγ

γ γ ε

−⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⋅ ⋅⎡ ⎤ = ⋅ − ⋅⎣ ⎦ .

A zρ feszültségi vektor koordinátái: 40 MPa, 48 MPa, 40 MPaxz yz zτ τ σ= = − = .

Az általános Hooke törvényből: 5 5

3 3

40 4850 10 , 60 1080 10 80 10

yzxzxz yzG G

ττγ γ− −−= = = ⋅ = = = − ⋅

⋅ ⋅.

2 2 ( )1 2 1 2z z I z x y zG A Gν νσ ε ε ε ε ε

ν ν

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= + = + + +⎢ ⎥− −⎣ ⎦

⇒

1 2 ( )2 (1 ) 1z z x yG

ν νε σ ε εν ν

−= − + =

− −

5 5 53

1 2 0 25 0 2540 (22 10 2 10 ) 10 102 80 10 (1 0 25) 1 0 25

− − −− ⋅ , ,= − ⋅ − ⋅ = ⋅

⋅ ⋅ − , − ,.


5

22 12 2512 2 30 1025 30 10

PA −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦

y

x

z

Pi

22 12

2

10 510−×

2512

30

30

25

jk




b) Az PF feszültségi tenzor mátrixának meghatározása:

21 2 IP P

F AG A Eνν

⎡ ⎤= +⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

5 5 5 522 10 2 10 10 10 30 10I x y zA ε ε ε − − − −= + + = ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ . Behelyettesítve:

4 5

22 12 252 8 10 12 2 30 10

25 30 10P

F −

⎧⎡ ⎤⎪⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ − − +⎨⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎢ ⎥−⎣ ⎦⎩

5

1 0 0 59 2 19 2 400 25 30 10 0 1 0 19 2 20 8 48

1 2 0 250 0 1 40 48 40

−

⎫ , ,⎡ ⎤ ⎡ ⎤, ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⋅ = , , −⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⋅ , ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎭

MPa.

y

x

z

820,

259,

219,

[ ]MPa

40

48

40

7.5.4. feladat: Az általános Hooke-törvény alkalmazása

Adott: A P pontbeli feszültségi állapot, valamint 440 GPa 4 10G = = ⋅ MPa és 0 25ν = , .

Feladat:

A P pontbeli alakváltozási állapot meghatározása.

y

x

z

60

10

30

[ ]MPa

40

20

20

P




Kidolgozás:

A test P pontjában az PF feszültségi tenzor mátrixa:

10 30 4030 60 2040 20 20

PF

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎣ ⎦

MPa.

A test P pontjában az alakváltozási koordináták: 4 4

4 4

30 407 5 10 , 10 104 10 4 10

xy xzxy xzG G

τ τγ γ− −= = = , ⋅ = = = ⋅⋅ ⋅

,

44

20 5 10 ,4 10

yzyz G

τγ −−

= = = − ⋅⋅

10 60 20 30I x y zF σ σ σ= + + = − + − = MPa,

44

1 1 0 2510 30 2 102 1 2 4 10 1 0 25x x IT

Gνε σν

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,⎡ ⎤= − = − − = − ⋅⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + ,⎣ ⎦,

44

1 1 0 2560 30 6 75 102 1 2 4 10 1 0 25y y IT

Gνε σν

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,⎡ ⎤= − = − = , ⋅⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + ,⎣ ⎦,

44

1 1 0 2520 30 3 25 102 1 2 4 10 1 0 25z z IT

Gνε σν

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,⎡ ⎤= − = − − = − , ⋅⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + ,⎣ ⎦.

Mechanika Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok



8. Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok

8.1. Feszültségi és alakváltozási állapot a test terheletlen felületén

P

z

xy

A z normálisú sík terheletlen külső felület: 0zρ = .

⇓ 0xz yz zτ τ σ= = = .

A testek terheletlen felületén síkfeszültségi állapot alakul ki:

- Feszültségi állapot a terheletlen felület P pontjában:

00

0 0 0

x xy

yx yPF

σ ττ σ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

- Alakváltozási állapot a terheletlen felület P pontjában:

12

12

00

0 0

x xy

yx yP

z

Aε γγ ε

ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

- Az alakváltozási jellemzők előállítása a feszültségekből (Hooke-törvény):

1 1( ), 2 ,

1 ( ), 0,

x x y xy xy

y y x yz xz

E E

E

νε σ νσ γ τ

ε σ νσ γ γ

+= − =

= − = =




( )1z x yνε ε εν

= − +−

– nem független koordináta, az xε és yε fajla-

gos nyúlásokból kiszámítható. - A feszültségek meghatározása az alakváltozási jellemzőkből

(Hooke-törvény):

2 ( ), ,1 2(1 )x x y xy xy

E Eσ ε νε τ γν ν

= + =− +

2 ( ), 0,1y y x yz

Eσ ε νε τν

= + =−

0, 0.z xzσ τ= =

8.2. A felületi alakváltozási állapot meghatározása nyúlásméréssel

Megfigyelés: ha megváltozik egy vezeték hossza, akkor megváltozik az elektromos ellenállása is.

Tétel: az elektromos ellenállás megváltozása arányos a hosszváltozás-sal.

Nyúlásmérő bélyeg – a felületnek arra a pontjára kell felragasztani, ahol mérni akarunk.

x

Megvalósítás: Ábrázolás / jelölés:x

Ilyen bélyeggel egy irányban (az x irányban) lehet mérni fajlagos

nyúlást. A kereskedelemben kaphatók nyúlásmérő bélyegek. Ezek között

vannak ún. rozetták, amelyek három irányban mérnek nyúlást:




o45 -os rozetta:

4545

a

b

c

o60 -os rozetta:

6060

a

b

c

A mérés eredménye: , ,a b cε ε ε A felületi alakváltozási állapot meghatározása o45 -os rozettával

történő mérés esetén:


12

12

00

0 0

x xy

yx y

z

Aε γγ ε

ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

A fajlagos nyúlásokat közvetlenül megkapjuk: ,,

x a

y c

ε εε ε

=

= ( )

1z a cνε ε εν

= − ++

.

A xy yxγ γ= szögtorzulást számítással kell meghatározni:

x

yn

45

22

22

0n

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

[ ] [ ]

2 2 212 2 422 2 21

2 2 4 2

00

0 0 0 0

x xyx xy

n yx y yx y

z

A n

ε γε γα γ ε γ ε

ε

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ = = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

,

2 22 4

2 2 2 2 1 1 1 12 2 4 2 2 4 4 20

0

x xy

b n yx y x xy yx yn

ε γ

ε α γ ε ε γ γ ε

⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎡ ⎤= ⋅ = + = + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Ebből: 2 ( )xy b a cγ ε ε ε= − + . Az alakváltozási állapot ismeretében a feszültségek a Hooke-

törvényből állíthatók elő:




2

2

,

( ), 0,1

( ), 0,1

0.2(1 )

x x y z

y y x yz

xy xy xz

E

E

E

σ ε νε σν

σ ε νε τν

τ γ τν

= + =−

= + =−

= =−

A 60o -os rozetta mérési eredményeiből hasonló gondolatmenettel lehet a pontbeli alakváltozási állapotot meghatározni.

8.3. Mohr-féle feszültségi kördiagram felületi feszültségi állapot esetén

Felületi feszültségi állapot: 00

0 0 0

x xy

yx yFσ ττ σ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Tétel: Az xy síkba eső n irányokhoz tartozó nρ feszültségvektoroknak megfelelő N pontok a n mnσ τ koordinátarendszerben egy körön helyezkednek el, ha a síkban két főirány található, mint itt.

Előjelszabály a kördiagram megrajzolásához: y

x

xyτyσ

yxτ xσ

nm

β

Alkosson az x,y és m,n jobbsodratú koordináta-rendszert.

n beforgatása ( m -mel együtt) az x, vagy y tengelybe:

- ha m és τ iránya megegyezik, akkor 0τ > .

- ha m és τ iránya ellentétes, ak-kor 0τ < .

A felületi feszültségi állapot Mohr-féle feszültségi kördiagramja:




mnτ

yxτ−

yP

xPnQ

O12 xα

1xα

xyτ

yσ xσ

nσ2σ3zσ σ=1σ

nnP

mmP

mnτ

nmτ−

2e 1e

β i

j

1P2P

A diagram megszerkesztésének gondolatmenete: - A xP és yP pontok meghatározása (a yxτ és xyτ előjelét az ,n m

vektorok beforgatásával határozzuk meg). - A kör O középpontja: a x yP P pontokat összekötő egyenes és a nσ

tengely metszéspontja. - A normálisok nQ pólusa: a xP ponton át az x tengellyel, a yP pon-

ton át az y tengellyel párhuzamos egyenesek metszéspontja. A főfeszültségek és a főirányok meghatározása a kördiagramból:

Főirány: Olyan normális, amelyre merőleges síkon nem lép fel τ feszültség. A körön a 1P és 2P pont teljesíti ezt a feltételt.

Meghatározás: A nQ -t összekötöm a 1P ponttal → 1e . A nQ -t összekötöm a 2P ponttal → 2e .

Derékszögű háromszögből: 1

2tg2 xy

xx y

τα

σ σ=

−.

3e k= (A 3. főirány a z tengely.)

Főfeszültségek: a nσ tengely metszéspontjai a körrel: 1 2,σ σ .




A főfeszültségek sorszámozása: 1 2 3σ σ σ≥ ≥ . Terheletlen felület esetén 3 0σ = , ezért 3 0zσ σ= = .

A főfeszültségek kiszámítása: a kör középpontjához hozzáadjuk, illtve levonjuk a kör sugarát:

22

1 2 2x y x y

yx

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠,

22

2 2 2x y x y

xy

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 0.σ = Tetszőleges n -hez tartozó feszültségvektornak megfelelő N pont: - Qn-ből párhuzamos egyenest húzunk n -nel: N az egyenes met-

széspontja a körrel. - Az N pont koordinátái: ,n mnσ τ . (A mnτ előjelét beforgatással hatá-

rozzuk meg ⇒ a mnτ m irányban pozitív.)

8.4. Feladatok felületi feszültségi állapotra

8.4.1. feladat: Felületi feszültségi állapot Mohr-féle feszültségi kördi-agramja

Adott: A P pont a test terheletlen felületén van. 60xσ = − MPa, 85nσ = − MPa, 15mnτ = − MPa,

2 2( )2 2

n i j= + , 2 2( )2 2

m i j= − .

Feladat:

a) A P ponti ( )xyz

F⎡ ⎤⎣ ⎦ feszültségi tenzor mátrixának meghatározása.

b) A Mohr-féle feszültségi kördiagram megrajzolása és a főfeszültsé-gek meghatározása.

Px

yn

m




Kidolgozás:

a) A P ponti ( )xyz

F⎡ ⎤⎣ ⎦ feszültségi tenzor mátrixának meghatározása:

A feszültségi tenzor ismert és ismeretlen koordinátái az , ,x y z koordi-

nátarendszerben: ( )

0 60 00 0

0 0 0 0 0 0

x xyxy

yx yxy yxyz

Fσ τ ττ σ τ σ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Az ,x y síkbeli, adott koordináták ( )n mnσ τ, felírása a tenzor koor-

dinátáival: [ ] [ ]

2 22 2

2 2 22 2 2

30 260 00

0 0 0 0 0

xyxy

yx yx yyn F n

τττ σ τ σρ

⎡ ⎤⎡ ⎤ − +−⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= = = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

1 1 1 130 302 2 2 2n xy xy y xy yn nσ τ τ σ τ σρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅ = − + + + = − + + .

2 230 22 2mn nm xyn mτ τ τρ

⎛ ⎞= = ⋅ = − + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2 22 2 2xy yτ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1 130 302 2 2 2xy xy y yτ τ σ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − + + − − = − − .

A megoldandó egyenletrendszer: 0 5 30 15 40 MPa

0 5 30 85 30 MPay xy

xy y y

σ ττ σ σ

, = − + ⎫ = − ,⎪ ⇒⎬+ , = − = − .⎪⎭

A feszültségi tenzor a kiszámolt értékekkel:

( )

60 40 040 30 00 0 0xyz

F− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa. Px

y

n

m30−

40−

60−

40−




b) A Mohr-féle feszültségi kördiagram megrajzolása és a főfeszültsé-gek meghatározása:

40

[ ]MPa

[ ]MPa

40−yP

xP

30−45−60−

nσ

mnτ

1P2P3P

1 0zσ σ= = MPa,

22 2 2

2 45 15 40 2 282 2

x y x yxy

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= + + = − + + = − ,⎜ ⎟

⎝ ⎠MPa,

22 2 2

3 45 15 40 87 722 2

x y x yxy

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= − + = − − + = − ,⎜ ⎟

⎝ ⎠MPa

8.4.2. feladat: A feszültségállapot Mohr-féle kördiagramja

Adott: Az x tengely feszültségi főtengely. 120 MPaxσ = .

(0 6 0 8 )n j k= , + , , (0 8 0 6 )m n i j k= × = , − , .

n

m

z

y

30

100

20

30

nσ

mnτz

30

30

20100P

y

zP

yPnQ




Feladat:

a) Az y,z sík Mohr-féle kördiagramja alapján az PF feszültségi tenzor

mátrixának a felírása és a feszültségi állapot ábrázolása az elemi koc-kán.

b) A nρ , a nσ és a mnτ feszültségek meghatározása számítással.

c) Az y,z sík Mohr-féle kördiagramja alapján a főfeszültségek és főirá-nyok meghatározása számítással és a nσ , mnτ feszültségek meghatáro-zása szerkesztéssel.

Kidolgozás:

a) Az y,z sík Mohr-féle kördiagramja alapján az P

F feszültségi tenzor mátrixának a felírása és a feszültségi állapot ábrázolása az elemi kockán:

120 0 00 100 300 30 20

PF

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa.

b) A nρ , a nσ és a mnτ feszültségek meghatározása számítással:

[ ] [ ]120 0 0 0 0

0 100 30 0 6 840 30 20 0 8 34

n PF nρ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= = , =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥,⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

MPa,

( ) ( )0 6 0 8 84 34 77 6n nn j k j kσ ρ= ⋅ = , + , ⋅ + = , MPa,

( ) ( )0 8 0 6 84 32 48mn nm j k j kτ ρ= ⋅ = , − , ⋅ + = MPa.

c) Az y,z sík Mohr-féle kördiagramja alapján a főfeszültségek és főirá-nyok meghatározása számítással és a nσ , mnτ feszültségek meghatáro-zása szerkesztéssel:

1 120xσ σ= = MPa,

y

z

x120 100

30

2030




22 2 2

2 60 40 30 1102 2

y z y zyz

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= + + = + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠MPa,

22 2 2

3 60 40 30 102 2

y z y zyz

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= − + = − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠MPa,

n

m

z

y

30

100

20

30

nσ

mnτ

nQ

z

2σ3σ

n

30

30

20100

mnτ

nσ

y2yα

yP

zPnP

2e

3e

21

30tg 0 3333110 20

yzy

z

τα

σ σ= = = ,

− −, ⇒ 2 18 435o

yα = , .

A kördiagramból leolvasva az N pont koordinátái:

78 MPanσ ≈ , 48 MPamnτ ≈ .

Mechanika Rudak összetett igénybevételei



9. Rudak összetett igénybevételei

Rudak összetett igénybevételeinek vizsgálatánál lineárisan rugalmas esetben alkalmazható a szuperpozíció elv.

Ez azt jelenti, hogy összetett igénybevételek esetén az egyszerű igénybevételek szilárdságtani állapotai összegezhetők.

Ilyen eset például: N, Mh ≠ 0, N, Mc ≠ 0, Mh, Mc ≠ 0, stb. Kivételes eset: Ty, Mh ≠ 0. (A nyírás csak hajlítással

együtt fordul elő.)

9.1. Húzás-nyomás és egyenes hajlítás

l

x

y

Sz

y

hzM hzMhzMN N

Az ábrán az 0>N , 0>hzM eset látható.

Feltételezés: az y tengely a keresztmetszet szimmetria tengelye.

Ha ez a feltétel teljesül, akkor az y és z tengelyek a keresztmetszet S ponti tehetetlenségi főtengelyei. → egyenes hajlítás.

A húzásból származó feszültség: Nx

NA

σ = .

A hajlításból származó feszültség: M

hzx

z

M yI

σ = .




A húzásból és az egyenes hajlításból származó feszültség (szuperpozíció):

N M

hzx x x

z

MN yA I

σ σ σ= + = + .

Feszültségeloszlás: y

Sz

y

hzM NxσMxσ xσ

oy

Vy y

maxxσ

zérusvonal

Veszélyes pont: A keresztmetszetnek az a pontja, ahol a redukált feszültség maximális (legnagyobb). Ebben az esetben a veszélyes pont: V.

maxhz

x Vz

MN yA I

σ = + .

Zérusvonal: a keresztmetszetnek azon pontjai, ahol a xσ zérus.

Zérusvonal egyenlete: 00 hzx

z

MN yA I

σ = = + → 0z

hz

INyM A

= − .

Veszélyes pont: A keresztmetszetnek a zérusvonaltól legtávolabb levő pontja.

A veszélyes pontnak ez a meghatározása csak abban az esetben igaz, amikor egytengelyű feszültségi állapot van.

Méretezés húzás + hajlítás esetében (iterációs eljárás 5 lépésben):

1. Elhanyagoljuk a húzást.

2. Meghatározzuk a szükséges geometriai méreteket csak hajlításra.




3. Kiválasztunk egy szabványos geometriai méretet, amely megfelel a szükséges geometriai méreteknek.

4. A kiválasztott szabványos méretű tartót ellenőrizzük húzás + hajlítás eredeti terhelésre.

5. Ha megfelel a tartó, akkor ezt építjük be, ha nem felel meg, akkor választunk egy ennél nagyobb szabványos méretet, és a 4. ponttól ismételjük a procedúrát.

1. Gyakorlati példa húzás és hajlításra: fúrógép oszlop igénybevételei.

Gk – a konzol súlyereje, Ff – a fúrásból származó erő. A terhelések redukciója az oszlop középvonalába: 0 f kN F G= − ,

0 f f k kM F l G l= − .

kG fF

0N

0M

konzol

oszlop

klfl

2. Gyakorlati példa nyomásra és hajlításra: beton oszlop

feszültségei szélterhelésre. Adatok:

Az oszlop méretei: 30a = cm, 60b = cm, 2,5h = m, Az oszlop tömegsűrűsége: 1600ρ = kg/m3, A szélnyomás: 260q = N/m2.

Feladat: A beton pillér (oszlop) alsó, A keresztmetszetében ébredő feszültségek meghatározása

Megoldás: Az A keresztmetszet igénybevételei:

7200 NN gV g abhρ ρ= − = − = − .

y

z

y

y

y

ShzM

xNσ

xMσ

xσ




A felületi terhelést a súlyponti szálba, vonal mentén megoszló terhelésre redukáljuk:

260 0,6 156 N/mp qb= = ⋅ = ,

156 2,5 390 N, 487,5 Nm2y hzhT p h M p h= = ⋅ = = = .

Feszültségek az A keresztmetszetben: 7200 40000 Pa 0,04 MPa

0,3 0,6xNNA

σ −= = = − = −

⋅.

39 4; 1,35 10 mm

12hz

xM zz

M bay II

σ = = = ⋅ ,

3

9

487,5 10 150 0,054MPa2 1,35 10

hzxM

z

M aI

σ ⋅= = =

⋅.

Feszültségek a bal oldalon: 0,094 MPa,xbσ = − Feszültségek a jobb oldalon: 0,014 MPax jσ = .

9.2. Ferde hajlítás Ferde hajlítás: ha az hM nyomatékvektor nem párhuzamos a

keresztmetszet egyik tehetetlenségi főtengelyével sem. Tehetetlenségi főtengely: az x és y tengely, ha Ixy=Iyx=0. Zérusvonal: a keresztmetszet azon pontjai, ahol 0xσ = .

Ferde hajlítás (másik definíció): ha az hM nyomatékvektor nem párhuzamos a zérusvonallal.

Feltételezés: y,z a keresztmetszet tehetetlenségi főtengelyei.

Sz

y

0>hzM

hM0>hyM

Megoldás: Az hM hajlítónyomatékot felbontjuk a tehetetlenségi főtengelyek irányába eső koordinátákra:

h hy hzM M j M k= −

x

q

h

y

y

z

a

bq

A




Ferde hajlítás ≡ két egyenes hajlítás szuperpozíciója (összegzése).

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000x

Fσ

,

hyhzx x x

z y

MM y zI I

σ σ σ′ ′′= + = + .

Feszültségeloszlás:

Zérusvonal: 0 hyhzx

z y

MM y zI I

σ = = + . Az összefüggést átrendezve:

( ) hy z z

hz y y

M I Iy y z z tg z z tgM I I

α β= = − = = ⋅ , ahol α - az hM

nyomatékvektornak a (pozitív) z tengellyel bezárt előjeles szöge, β - a zérusvonalnak a (pozítív) z tengellyel bezárt előjeles szöge.

.

Sz

y

hM

α

β

η

η

xσ

A

Bzérusvonal

A zérusvonal nem párhuzamos az hM nyomatékvektorral (kivéve az

1 2z yI I I I= = = esetet, amikor egyenes a hajlítás). Ha 0,hyM > 0hzM > akkor

0tgα < . A xσ feszültség a zérusvonaltól távolodva lineárisan növekszik. Veszélyes pontok (max. feszültség): a keresztmetszetnek a zérusvonaltól legtávolabb levő pontjai: itt A és B.

Gyakorlati példa: esztergakés igénybevételei. A kés szárának befogását befalazással modellezzük. Ff – a forgácsolásból származó erő, Fe – az előtolásból származó erő, ha a kés a -z tengely irányában

mozog a munkadarab mentén.

S

z

y

0>hzM

hM0>hyM

α

xσ ′

xσ ′′

z

z

y

xσ ′

y

xσ ′′α




xy

zfF

eF v

l

Mechanikai modell: térbeli terhelésű befalazott tartó.

xy

zfF

eFlA

B

Igénybevételi ábrák:

l

fFx

y

BA

x

hzM lF f

x

z

l

eF

xhyM

elF−

AB

Veszélyes keresztmetszet: B A B keresztmetszet igénybevételei: hz fM F l= − , hy eM F l= − .

Sz

y

hzM

hMhyM

α

β zérusvonal

C

D

Zérusvonal: hy z

hz y

M Iy zM I

= − . 0hzM >

és 0hyM < , ezért az iránytangens pozitív. Mivel z yI I β α> ⇒ > . Veszélyes pontok: C, D.

9.3. Excentrikus (külpontos) húzás-nyomás

Definíció: Ha a keresztmetszetre ható erőrendszer eredője a rúd tenge-lyével párhuzamos egyetlen olyan erő, amelynek hatásvonala nem megy át a keresztmetszet S pontján.




y

z Dy

Dz

D

S x

F F

y

l

,D Dz y - az F erő támadáspontjának helykoordinátái (adott értékek).

y

zDy

Dz

D

S

xF

hyM

hzM

N

Az F erőt redukáljuk a kereszt-metszet S pontjába. ⇓ húzás + ferde hajlítás. ⇓ ferde hajlítás ≡ két egyenes hajlítás. A rúd igénybevételei:

hz D

hy D

N FM F yM F z

⎫=⎪= ⎬⎪= ⎭

.

A rúd pontjaiban egytengelyű feszültség állapot alakul ki:

0 00 0 00 0 0

x

Fσ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, N M

hyhzx x x

z y

MMN y zA I I

σ σ σ= + = + + .

Az igénybevételeket behelyettesítve: D Dx

z y

N y N zN y zA I I

σ = + + .

Az inercia sugarat bevezetve: 2

2z z

y y

I i A

I i A

⎫= ⋅ ⎪⎬

= ⋅ ⎪⎭ ⇒

zz

yy

IiAI

iA

⎫= ⎪

⎪⎬⎪= ⎪⎭

.

A rúdirányú normál feszültség:




2 21 D Dx

z y

y zN y zA i i

σ⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Húzás esetén: 0N > . Nyomás esetén: 0N < .

Zérusvonal: 2 20 1 D Dx

z y

y y z zi i

σ = = + + , ⇒ ( )2 2

2z D z

y D D

i z iy y z zi y y

= = − − .

A zérusvonal nem függ az erő nagyságától és előjelétől. A zérusvonal csak az erő támadáspontjának helykoordinátáitól függ.

Az egyenes általános (matematikában szokásos) alakja: bzay += .

A zérusvonal iránytangense: 2

2z D

y D

i zai y

= − .

A zérusvonal metszése az y tengellyel: 2z

D

iby

= − .

A zérusvonal nem megy át a keresztmetszet S pontján ( 0b ≠ ). Feszültségeloszlás:

y

zDy

Dz

D

S

η

η

xσ

zérusvonal

A

2 21 D Dx

z y

y zF y zA i i

σ⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

A xσ feszültség a zérus-vonaltól távolodva lineárisan növekszik. Veszélyes pont: a keresztmetszetnek a zérusvonaltól legtávolabb eső pontja. Veszélyes pont itt az A pont.

Magidom (belső mag): azon támadáspontok mértani helye, amelyeken ható F erő esetén a keresztmetszeten csak azonos előjelű feszültségek keletkeznek.

Ha az erő támadáspontja, a magidomon belül van, akkor a hozzá tartozó zérusvonal nem metsz bele a keresztmetszetbe ⇒ a keresztmetszeten csak egynemű (+ vagy -) xσ feszültség lép fel.




y

z

akzérusvonal

a

b

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

22a;b

P

( )D D Dy y z=

)/by,/az(P 2=2=

A keresztmetszet bal alsó, P sarokpontján átmenő zérus-vonalakhoz tartozó D támadás-pontok (egyenest alkotnak) egyenlete:

2 21 0D D

z y

y y z zi i

+ + = ; 2 21 02 2

D D

z y

y zb ai i

− + = ;

( )2 2

2

2z zD D D

y

i iay z zb i b

= +.

Ez az egyenes a magidom egyik határvonala.

Méretezés ugyanúgy történik, mint az a húzás-nyomás + hajlítás esetében le van írva (lásd 9.1. Húzás-nyomás és egyenes hajlítás).

9.4. Gyakorló feladatok egytengelyű feszültségi állapotot eredményező összetett igénybevételekre

9.4.1. feladat: Nyomás és egyenes hajlítás

Adott: 40a = mm, 60b = mm, ( 120 )F i= − kN, ( 4 )S

hy

jMM

= kNm, 0 2 390p FR σ, = = MPa.

Feladat:

a) A rúd igénybevételeinek meghatározása.

b) A zérusvonal egyenletének felírása.

c) Feszültségeloszlás megrajzolása az y és a z tengelyek mentén, illetve a veszélyes pontok meghatározása.

d) A legnagyobb feszültség meghatározása.

e) A tényleges biztonsági tényező meghatározása.

x

y

bSM

F

z aS




Kidolgozás:

a) A rúd igénybevételeinek meghatározása: A rúd nyomott: 120N = − kN. A rúd y tengely körül hajlított: 4hyM = kNm.

b) A zérusvonal egyenletének a felírása: 240 60 2400 mmA a b= = ⋅ = ,

3 34 460 40 32 10 mm

12 12yb aI ⋅

= = = ⋅

0hyx x x

y

MN zA I

σ σ σ, ,,= + = + = ⇒

3 4

6

120 10 32 102400 4 10

y

hy

INzA M

− ⋅ ⋅= − = − ⇒

⋅ 4z = mm.

c) Feszültségeloszlás az y és a z tengelyek mentén, illetve a veszélyes pontok meghatározása: Veszélyes pontok: az AB oldalon lévő pontok.

d) A legnagyobb feszültség meghatározása:

3120 10 502400x

NA

σ , − ⋅= = = − MPa,

6,,

4

4 10 40( / 2) 2502 32 10 2

hyx

y

M az aI

σ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠MPa,

max ( / 2) 50 250 300x x z aσ σ= = − = + = MPa.

e) A tényleges biztonsági tényező meghatározása: 0 2 0 2

maxmax

390 1 3300

p pjellx

x

R Rn

n nσ

σσ

, ,≤ = ⇒ = = = , .

9.4.2. feladat: Húzás és egyenes hajlítás

xz

0<N

xz

0>hyM

y y y

z xσ ′ xσ ′′

y

xσ

xσ ′

xσ ′′

xσ

A

B

z

z

z

hyM




Feladat:

a) Az ACB rúd igénybevételi ábráinak megrajzolása, a veszélyes ke-resztmetszet meghatározása.

b) A feszültségeloszlás megrajzolása a veszélyes keresztmetszeten.

c) A tartó méretezése feszültségcsúcsra.

d) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása.

Adott: A tartó kör keresztmetszetű. 160megσ = MPa, 52 10E = ⋅ MPa.

Kidolgozás:

a) Az ACB rúd igénybevételi ábráinak megrajzolása, a veszélyes keresztmetszet meghatározása: A terhelés redukálása a tartó középvonalába:

y

AB

x

N [ ]kN5

[ ]kNyT

251,kNm750 ,

hzM [ ]kNm

250 ,

50 ,

kN5kNm750,

kN251,kN5

kN251,

x

x

x

C

5 kNxF = − , 5 0 15 0 75cM = ⋅ , = , kNm.

A támasztóerők meghatározása:

5 kN

300φ

200 400

xy

A C B




0 0 75 0 6a ByM F= = , + , ; 1 25ByF = − , kN. 0 0 6 0 75b AyM F= = − , + , , 1 25AyF = , kN. 0 5x BxF F= = − + ; 5BxF = kN.

Veszélyes keresztmetszet a C+ .

b) Feszültségeloszlás megrajzolása a veszélyes keresztmetszeten:

z

Py

xσ ′xσ ′′ xσ

y y y

Veszélyes pont: P.

c) A tartó méretezése feszültségcsúcsra: A tartó megfelel, ha a veszélyes keresztmetszet veszélyes pontjában

maxx megσ σ≤ . maxmax max' " hzxx x

z

MNA K

σ σ σ= + = + .

A keresztmetszeti jellemzők: 2 3

,4 32z

d dA Kπ π= = .

A keresztmetszeti jellemzőket a méretezési egyenlőtlenségbe behelyet-

tesítve: 2 3

324 hzmeg

MNd d

σπ π+ ≤ .

Ez a d ismeretlenre nézve harmadfokú egyenlet. A harmadfokú egyen-let megoldása helyett a tartót először csak hajlításra méretezzük, majd a kapott méretet megnövelve hajlításra és húzásra ellenőrizzük. Méretezés tisztán hajlításra:

6

333

32 32 32 0 5 10 31,69160

hz hzmeg

meg

M Mdd

σπ σ π π

⋅ , ⋅≤ ⇒ ≥ = = mm.

Ellenőrzés hajlításra és húzásra: Az d-re a számítottnál nagyobb szabványos d értéket (MSz 4337-64) választva, legyen: 34d = mm. Ezzel a keresztmetszeti jellemzők:




2234 907 92 mm

4A π= = , ,

3334 3858 66 mm

32zK π= = , ,

4334 65597 mm

64zI π= = .

Ellenőrzés: 3 6

max5 10 0 5 10 5,51 129,57 135,08

907,92 3858,66hz

xz

MNA K

σ ⋅ , ⋅= + = + = + = MPa.

A rúd megfelel, mivel maxx megσ σ≤ , vagyis 135,08 160< .

d) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása: húz hajl nyírU U U U= + + .

A nyírásból származó alakváltozási energiát elhanyagolva: 22

( ) ( )

1 12 2

hz

zl l

MNU dz dzA E I E

= + =∫ ∫

22 21 1 0 4 [ (0 1)] [ (0 2 )]

2 2 6CB AC

hz hzz

N l l M MA E I E

−⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

= + + , + , +

3 2 3

2 25

1 (5 10 ) 0 4 10[ (0 2 )] 4 [ (0 4)] 02 6 2 907,92 2 10

CBhz hz

z

l M MI E

+ ⋅ ⋅ , ⋅+ , + , + = +

⋅ ⋅ ⋅

36 2 6 2

5

1 0 2 10 4 ( 0 125 10 ) ( 0 25 10 )2 65597 2 10 6

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎧ , ⋅+ ⋅ − , ⋅ + − , ⋅ +⎨⋅ ⋅ ⋅ ⎩

36 2 6 20 4 10 (0 5 10 ) 4 ( 0 25 10 ) 0

6⎫, ⋅ ⎡ ⎤+ , ⋅ + ⋅ , ⋅ + =⎬⎣ ⎦⎭

27,54 1429,18 1456,72= + = Nmm 1,45672= J.

9.4.3. feladat: Ferde hajlítás

Adott: A rúd K keresztmetszetének méretei és igénybevétele: (100 160 )SM j k= − Nm,

25a = mm, 50b = mm.

Feladat:

y

z

a

bSSM

B

AC




a) A feszültségeloszlás megrajzolása és a veszélyes pontok megkeresé-se.

b) A feszültségállapot meghatározása az A, B és C pontokban.

c) A zérusvonal egyenletének meghatározása.

Kidolgozás:

a) A feszültségeloszlás megrajzolása és a veszélyes pontok megkeresése: Veszélyes pontok a B és C.

b) A feszültségállapot meghatározása az A, B és C pontokban:

Keresztmetszeti jellemzők: 22 25 50 10417

6z

zIK

b⋅

= = = mm3,

22 50 25 52086

yy

IK

a⋅

= = = mm 3 .

A keresztmetszet igénybevétele ferde hajlítás: 100hyM = Nm, 160 NmhzM = .

A xσ feszültség a keresztmetszet tetszőleges pontjában: hyhz

xz y

MM y zI I

σ = + .

Feszültségállapot az A, B és C pontokban:

( ) hy hyhz hzx A A

z y z y

M MM MA y zI I K K

σ = + = − =

3 33,84 0 0

160 10 100 10 3,84 MPa, 0 0 0 MPa.10417 5208

0 0 0B

F−⎡ ⎤

⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎡ ⎤= − = − = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) hy hyhz hzx B B

z y z y

M MM MB y zI I K K

σ = + = − =

z

y

S SM

A

B

Cxσ

y

xσ

z




3 334 56 0 0

160 10 100 10 34 56 MPa, 0 0 0 MPa.10417 5208

0 0 0B

F,⎡ ⎤

⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎡ ⎤= + = , = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

3 3

( )

34 56 0 0160 10 100 10 34 56 MPa, 0 0 0 MPa.10417 5208

0 0 0

hy hyhz hzx C C

z y z y

C

M MM MC y zI I K K

F

σ = + = − − =

− ,⎡ ⎤⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎡ ⎤= − − = − , = ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦

c) A zérusvonal egyenletének meghatározása:

0hyhzx

z y

MM y zI I

σ = + = .

hy hyz z

hz y hz y

M MI K by z zM I M K a

= − = − =

100 10417 50 2 5160 5208 25

z z= − = − ,

9.4.4. feladat: Ferde hajlítás

Adott: A rúd K keresztmetszetének méretei és igénybevétele:

(100 160 )SM j k= − kNm, 20a = mm, 40b = mm.

Feladat:

a) A feszültségeloszlás megrajzolása és a veszélyes pontok megkeresé-se.

b) A feszültségállapot meghatározása az A és B pontokban.

c) A zérusvonal egyenletének meghatározása.

z

y

S SM

z,y 52−=

y

z

a

bS

SM AB

C




Kidolgozás:

a) Veszélyes pontok: A és D.

b) Keresztmetszeti jellemzők: 35333 mmzK = , 32667 mmzK = .

A keresztmetszet igénybevételei: 150 NmhzM = − , 120 NmhyM = .

Feszültség az A pontban: ( ) 73,12 MPax Aσ = − .

Feszültség a B pontban: ( ) 16,87 MPax Bσ = .

c) 3,2y z=

9.4.5. feladat: Excentrikus nyomás

Feladat:

a) A rúd igénybevételeinek és a keresztmetszet jellemzőinek a megha-tározása az 0x = keresztmetszeten.

b) A zérusvonal egyenletének a felírása.

c) Feszültségeloszlás az y és a z tengelyek mentén és a veszélyes pont meghatározása.

d) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség meghatározása.

Adott: 10F = MN 710= N, ( )0 6 0 3D l ; , ; , m,

Kidolgozás:

a) A rúd igénybevételeinek és a keresztmetszet jellemzőinek a

z S

AB

Cz

SM

D

y y

xσ

xσ

z

yAB

C

SM

Dz,y 23=

S

S

S

D

FDy

Dz

l

m2=b m1=a

x

z

y




meghatározás az 0x = keresztmetszeten: A rúd excentrikusan nyomott. Igénybevétele húzás-nyomás és ferde hajlítás:

710MN 10 NN F= − = − = − , 7 610 0 3 3 10hy DM F z= − = − ⋅ , = − ⋅ Nm 93 10= − ⋅ Nmm, 7 610 0 6 6 10hz DM F y= − = − ⋅ , = − ⋅ Nm 96 10= − ⋅ Nmm.

1 2 2A a b= = ⋅ = m 2 6 22 10 mm= ⋅ , 3 3

4 9 42 1 0 1667 m 166,7 10 mm12 12y

b aI ⋅= = = , = ⋅ ,

3 34 9 41 2 0 6667 m 666,7 10 mm

12 12za bI ⋅

= = = , = ⋅ .

b) A zérusvonal egyenletének a felírása:

0hyhzx x x x

z y

MMN y zA I I

σ σ σ σ, ,, ,,,= + + = + + =

1

hyz z

hz hz y

z D z

D D y

MI INy zM A M I

I z I zy A y I

= − − =

= − −.

10 0 6667 3 0 66676 2 6 0 1667

0 5556 2

y z

z

− , − ,= − − =

− − ,= − , −

.

c) Feszültségeloszlás az y és a z tengelyek mentén, illetve a veszélyes pontok meghatározása:

d) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség meghatározása. A veszélyes pont: 1m, 0,5my z= = helyen.

D

S

y

zDy

Dz

m1

m2

zérusvonal

y

zS

y

xNσ

y

xMσxσ

y

z xNσ

zxMσ

xσz




maxhyhz

xz y

MMN y zA I I

σ = + + =

7 9 9

6 9 9

10 6 10 3 10100 50 5 0,9 0,9 6,8 MPa.2 10 666,7 10 166,7 10− − ⋅ − ⋅

= + + = − − − = −⋅ ⋅ ⋅

9.5. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomás és csavarása

y

x0>N

0>cMP

0>N

0>cM

Feszültségi állapot a P pontban:

( )

0 0 00 0

0x

R xx x

F ϕϕ

ϕ

τ

τ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

, Cx x

p

MN RA Iϕσ τ= = .

eϕxϕτ

xσxϕτ

Re

P i

A Mohr-féle feszültségi kördiagram a P pontban:

Pϕ xϕτ−

xP

RP1σxσ2σ3σ

nσ

mnτ

xϕτ

A rúd tetszőleges P pontjában szemlélteti a feszültségi állapotot.

Főfeszültségek a P pontban: 2

21 2 2

x xxϕ

σ σσ τ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

, 2 0Rσ σ= = , 2

23 2 2

x xxϕ

σ σσ τ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Redukált feszültségek a P pontban:




( ) ( )1 3max ,red Coulombσ σ σ= . 2

21 3( ) 2

2x

red xMohr ϕσσ σ σ τ⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

, 2 2( ) 4red x xMohr ϕσ σ τ= + .

( ) ( ) ( )2 2 21 3 2 3 1 2

1( )2red HMHσ σ σ σ σ σ σ⎡ ⎤= − + − + −⎣ ⎦ ,

2 2( ) 3red x xHMH ϕσ σ τ= + . Feszültség eloszlás a keresztmetszeten:

S

Rxϕτ

y

z

y

xσ

y

zxτ

zxσ

zyxτ

cM

Veszélyes pontok:

2DR =

Általánosítás: minden olyan esetben érvényes, amikor a feszültségi tenzorban csak egy σ és egy τ feszültség van, és ezek egy síkba esnek:

Speciális eset! (Nem ez a redukált feszültség értelmezése!)

22 += τβσσred .

Huber-Mises-Hencky: 3=β ,

Mohr: 4=β .

στ

Pτ




Méretezés húzás + csavarás esetében (iterációs eljárás 5 lépésben):

1. Elhanyagoljuk a húzást.

2. Meghatározzuk a szükséges geometriai méreteket csak csavarásra.

3. Kiválasztunk egy szabványos geometriai méretet, amely megfelel a szükséges geometriai méreteknek.

4. A kiválasztott szabványos méretű tartót ellenőrizzük húzás + csavarás eredeti terhelésre.

5. Ha megfelel a tartó, akkor ezt építjük be, ha nem felel meg, akkor választunk egy ennél nagyobb szabványos méretet, és a 4. ponttól ismételjük a procedúrát.

9.6. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása

y

x0>cM

0>hzM0>hzM

0>cMP

Feszültségi állapot a P

pontban:

( )

0 0 00 0

0x

R xx x

F ϕϕ

ϕ

τ

τ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

hzx

z

M yI

σ = , cx

p

M RIϕτ = eϕ

xϕτxσ

xϕτ

Re

P i

Feszültség eloszlás a keresztmetszeten:




S

Rxϕτ

y

z

y

xσ

y

zxτ

zxσ

zyxτ

cM

hzM

A

B

A Mohr-féle feszültségi kördiagram a P pontban:

Pϕ xϕτ−

xP

RP1σxσ2σ3σ

nσ

mnτ

xϕτ

A rúd tetszőleges P pontjában szemlélteti a feszültségi állapotot.

Főfeszültségek a P pontban: 2

21 2 2

x xxϕ

σ σσ τ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

, 2 0Rσ σ= = , 2

23 2 2

x xxϕ

σ σσ τ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Veszélyes pontok: A, B. Feszültségek a veszélyes pontokban:

max 2h h

xz z

M MdI K

σ = = , max 2c c

xp p

M MdI Kϕτ = =

Kör és körgyűrű keresztmetszet esetén: 2 2p z p zI I K K= ⇒ =




Redukált feszültség a veszélyes pontokban:

( ) ( )max 1 3 ,max ,red A B

Coulombσ σ σ= .

2 2red x xϕσ σ βτ= + , (HMH: 3=β , Mohr: 4=β .)

2 2

max 4h c red

redz z z

M M MK K K

βσ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, 2 2

4red h cM M Mβ= + .

Az redM redukált nyomaték hajlítás és csavarásnál olyan szerepet játszik, mint tiszta hajlításnál a hajlítónyomaték.

( ) ( )maxred red redA Bσ σ σ= = .

Hajlítás + csavarás esetén úgy méretezünk, hogy meghatározzuk a redukált nyomatékot, és azt úgy tekintjük, mint azt egyenes hajlítás esetében tettük.

Gyakorlati példa hajlítás és csavarásra: gépkocsi hűtővíz keringető szivattyújának tengelye.

x

y

járókerékszivattyú

tengely

csapágyak

saékszíjtárcy

zR

1F2F

A tengely igénybevételi ábrái: Egyszerűsítés: 21 FF .




Feltételezés: 1 2F F> ,

0 1 2F F F= + ,

( )0 1 2M R F F= − .

Ha a nyírási igénybevételt elhanyagoljuk, akkor a tengely igénybevétele: hajlítás + csavarás Veszélyes keresztmetszet: A.

9.7. Prizmatikus rudak nyírása és hajlítása

Rúdszerkezeteknél általában a nyírás önmagában nem lép fel, csak hajlítással együtt.

A nyírás és a hajlítás kapcsolata (A Statikában tanult egyensúly egyenlet):

( )hzy

d M T xd x

= − - az egyensúlyi egyenlet differenciális alakja,

0

( ) ( 0) ( )x

hz hz yx

M x M x T x dx=

= = − ∫ – az egyensúlyi egyenlet integrál

alakja.

Példa: kéttámaszú konzolos tartó.

x

y

oFoM oMA B

xyT

xhzM

cMx

AyF ByF




x

y

1FA B

xyT

xhzM

AFBF

2F

A nyírás és hajlítási feladat közelítő megoldása:

a) A xσ úgy számítható, mint hajlításnál.

b) A yxτ egyensúlyi feltételből határozható meg.

Feltételezések:

a) A z és y a keresztmetszet S ponti tehetetlenségi főtengelyei ⇒ egyenes hajlítás.

b) A z tengellyel párhuzamos egyenes mentén a xτ feszültségek az y tengelyen egy pontban metsződnek.

c) A z tengellyel párhuzamos egyenes mentén a yxτ állandó ⇒ ( )yττ yxyx = .

A keresztmetszeten ébredő feszültségek számítása:

Normál feszültség (hajlításból): hzx

z

M yI

σ = .




Csúsztató feszültség (nyírásból): 1 ( )( )

y zyx

z

T S yI a y

τ = − .

Az összefüggésekben: yT – a nyíróerő, hzM - a hajlító nyomaték,

zI – a keresztmetszet z tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka,

1 ( )zS y - a keresztmetszet sraffozott 1A részének statikai nyomatéka a z tengelyre,

( )a y - az .y áll= egyenes metszetének hossza (jobboldali ábra).

y

y

O

z.yx állτ =

S

0>yT

yT

y

y

z S

)(ya1A

0<yxτ

0>yT

Az O pontot a keresztmetszet kontúrjának érintői határozzák meg.

Közepes csúsztató feszültség: yköz

TA

τ = .

Feszültségi tenzor a P pontban:

0 0

0 0

x xy xz

yx

zx

F

σ τ τ

τ

τ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

. xσ és yxτ a fenti képletekből,

zxτ a xτ irányából határozható meg.

Speciális esetek (speciális keresztmetszetek): Csak a τ feszültséget vizsgáljuk. a) Téglalap keresztmetszet:




z

y

0>yT

Sy

b

a

y

yxτ

max3 , 02 köz zxτ τ τ= =

3

( ) ,12zaba y a I= = ,

11( )

2 2 2z

sraff

b bS y a y y

A

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22

2 4a b y⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

,

2

2

1( ) 64

yyx yx

T yyA b

τ τ⎛ ⎞

= = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

( )yx yτ másodfokú parabola. b) Kör keresztmetszet:

z

y

0yT >

Sy

d

y

yxτϕ

( )a y

ϕ( , )x y zτ

4

( ) cos ,64z

da y d I πϕ= = ,

33

1 ( ) cos12zdS ϕ ϕ= .

22

2

4 43 4

yyx

T d yA d

τ⎛ ⎞

= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

( )yx yτ parabola.

zxzx

yx

tgτ

ϕ ττ

= ⇒ = … a

kerületi pontokban,

max43 közτ τ= .

9.8. Vékonyszelvényű nyitott rudak nyírása és hajlítása.

Vékonyszelvény: ha a keresztmetszet v vastagsági mérete sokkal ki-sebb, mint a keresztmetszet más méretei.

Ilyenek például a szabványos idomacélok: az I, U, L, stb. szelvények.




Feltételezés: A z és az y tengelyeksúlyponti tehetetlenségi főtengelyek.

s

e

( )ex sτ

y

S

yT

hzMz TC

yT

)(sv

1A

Hajlítás: hzx

z

M yI

σ = .

Nyírás: – Az s a középvonal mentén mért

ívkoordináta. – A τ feszültség a középvonal

érintőjének irányában mutatnak: ex xeτ τ= .

– A τ feszültségek eloszlása a v vastagság mentén állandó.

A τ feszültség kiszámítása: 1 ( )( )

y zex xe

z

T S sI v s

τ τ= = .

Nyírási középpont (CT): a keresztmetszeten fellépő τ nyírófeszültségek eredőjének támadáspontja.

Tétel: A nyíró igénybevételből számított feszültségek csak akkor van-nak egyensúlyban a külső (terhelő) erőrendszer eredőjével, ha a terhelés síkja átmegy a CT nyírási középponton.

Tétel: Ha a terhelés eredője nem megy át a CT nyírási középponton, akkor a keresztmetszet (általában gátolt csavarással) csavarva is lesz. A csavaró nyomatékot a terhelés eredőjének a CT nyírási középpontra számított nyomatéka adja.

A csavarás különösen nyitott vékonyfalú szelvények esetén veszélyes, mert ezeknek kicsi a csavarással szembeni ellenállásuk.

Speciális esetek:

- A keresztmetszetnek van szimmetria tengelye: CT rajta van a szimmetriatengelyen.

- A keresztmetszetnek két szimmetria tengelye van: CT ≡S.




Példa: U szelvény nyírásból származó feszültsége.

S

0yT <z

y

S

HF

HF−

TCa

yTbyT

yT , HF és HF− a τ feszültség eredői.

Nyírási középpont: - A keresztmetszetnek az a pontja, amelyre a τ feszültségek nyomatéka nulla.

- A nyomaték akkor nulla, ha a feszültség eredője (terhelés) átmegy a ponton.

Az eredő erő: er y H H yF T F F T j= + − = .

Nyomaték a TC pontra: 0T

HC y H

y

FM aT bF a bT

= = − ⇒ = .

Megjegyzés: a) Ha a terhelés eredője átmegy a CT ponton, akkor a keresztmetszet

igénybevétele: hajlítás és nyírás. b) Ha a terhelés eredője nem megy át a CT ponton, akkor a

keresztmetszet igénybevétele: hajlítás, nyírás és csavarás.

A csavarás elkerülése:

A terhelő és a támasztó erők síkjának át kell mennie a CT ponton.

Ez sok esetben csak bonyolult szerkezeti megoldásokkal lehetséges.




9.9. Gyakorló feladatok nem egytengelyű feszültségi állapotot eredményező összetett igénybevételekre

9.9.1. feladat: Húzás-nyomás és csavarás

Feladat:

a) A keresztmetszet területének és poláris másodrendű nyomatékának a meghatározása.

b) A feszültségeloszlás ábrázolása és a veszélyes pont(ok) meghatáro-zása a rúd tetszőleges keresztmetszetén.

c) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása és szemléltetése az elemi kocka valamint a Mohr-féle kördiagram segítségével.

d) A főfeszültségek és a redukált feszültségek meghatározása a P pont-ban.

e) Az alakváltozási állapot meghatározása a P pontban.

Adott: 117 8F = , kN, 0 9818cM = , kNm,

50d = mm, 80G = GPa, 0 3ν = , .

Kidolgozás:

a) A keresztmetszet területének és poláris másodrendű nyomatékának a meghatározása:

2 250 1963 54 4

dA π π= = = , mm2,

4 4350 613 6 10

32 32pdI π π

= = = , ⋅ mm 4 .

z P

y

cMS

dφ

cM F F cM x

y




b) A feszültségeloszlás ábrázolása és a veszélyes pont(ok) meghatáro-zása a rúd tetszőleges keresztmetszetén: Veszélyes pontok: Húzásból veszélyes a keresztmetszet

valamennyi pontja. xNA

σ = .

Csavarásból veszélyesek a keresztmetszet paláston lévő

pontjai. cx

p

M RIϕτ = .

Együttesen húzásból és csavarásból veszélyesek a keresztmetszet paláston lévő pontjai.

c) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása és szemléltetése az elemi kocka valamint a Mohr-féle kördiagram segítségével:

mn

10

nmτ

10

yP

nQ xP

nσ1σ2σσ =z3σ

x

y

síkbanxyazSzabály

síkyx−

síkz 1−

síkz 3−

x

40

60

y

1e3e 3e 1e

30

117 8 100 0 60 MPa1963 5

0 0 0

x xy

yx xP

NFA

σ ττ σ⎡ ⎤

, ⋅⎢ ⎥⎡ ⎤ = , = = = ,⎢ ⎥⎣ ⎦ ,⎢ ⎥⎣ ⎦

ScM

Pz

y y y

xσ zxτ

z

z

xσ

yxτ




6

3

0 9818 10 25 40 MPa613 6 10

cyx xy P

p

M zI

τ τ , ⋅= = − = − = − .

, ⋅

60 40 040 0 00 0 0

PF

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa.

d) A főfeszültségek és a redukált feszültségek meghatározása a P pont-ban:

A főfeszültségek: 2

21 30 50 80

2 2x x

xyσ σσ τ⎛ ⎞= + + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠MPa,

2 0zσ σ= = MPa, 2

23 30 50 20

2 2x x

xyσ σσ τ⎛ ⎞= − + = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠MPa.

Redukált feszültség Coulomb szerint: 1 80 MParedσ σ= = . Redukált feszültség Mohr szerint: 1 3 100redσ σ σ= − = MPa, vagy

2 2( ) 4 100red x xyσ σ τ= + = MPa. Redukált feszültség Huber-Mises-Hencky szerint:

2 2( ) 3 91 65red x xyσ σ τ= + = , MPa.

e) Az alakváltozási állapot meghatározása a P pontban: 1 60

2 1 I I x y zP PA F F E F

Gν σ σ σν

⎡ ⎤⎡ ⎤ = − , = + + =⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ ⎦ MPa,

45

1 1 0 360 60 2 88 102 1 1 6 10 1 3x x IF

Gνε σν

−,⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − = , ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥+ , ⋅ ,⎣ ⎦ ⎣ ⎦,

45

1 1 0 30 60 0 86 102 1 1 6 10 1 3y y IF

Gνε σν

−,⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − = − , ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥+ , ⋅ ,⎣ ⎦ ⎣ ⎦,

45

1 1 0 30 60 0 86 102 1 1 6 10 1 3z z IF

Gνε σν

−,⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − = − , ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥+ , ⋅ ,⎣ ⎦ ⎣ ⎦,

x

y

z

0>xσ

0<xyτ

P




45

1 1 400 2 5 102 2 1 2 1 6 10

xyxy xy IF

G Gτνγ τ

ν−−⎡ ⎤= − ⋅ = = = − , ⋅⎢ ⎥+ , ⋅⎣ ⎦

,

12

12

4

00

0 0

2 88 2 5 02 5 0 86 0 10 .0 0 0 86

x xy

yx yP

z

Aε γγ ε

ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

−

⎡ ⎤ = =⎣ ⎦

, − ,⎡ ⎤⎢ ⎥= − , − ,⎢ ⎥⎢ ⎥− ,⎣ ⎦

9.9.2. feladat: Húzás-nyomás és csavarás

Feladat:

a) A feszültségeloszlás megrajzolása a 0x = keresztmetszeten.

b) A feszültségi és alakváltozási koordináták meghatározása a P pont-ban.

c) A tartó ellenőrzése feszültségcsúcsra Mohr és Huber-Mises-Hencky szerint.

Adott: 120N = kN, 1cM = kNm,

50d = mm, 120meg =σ MPa,

80G = GPa, 0 3= ,ν .

ij

k 88,2

5,286,0

86,05,2

410−×

PS cM N N cM

ldφ

Pz

y y

x




Kidolgozás:

a) A feszültségeloszlás megrajzolása a 0x = keresztmetszeten: Veszélyes pontok: a palást pontjai.

ScM

Pz

y y y

xσ zxτ

z

z

xσ

yxτ

b) A feszültségi és alakváltozási koordináták meghatározása a P pont-ban: A feszültségi és alakváltozási tenzor általánosan a P pontban:

12

12

00

0 0 0

0 0 0 0 0

x xyx xy

yx yx yP P

z

F Aε γσ τ

τ γ ε

ε

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= , = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

A keresztmetszeti jellemzők: 2 250 1963 54 4

dA π π= = = , mm 2 ,

4 4550 6 136 10

32 32pdI π π

= = = , ⋅ mm 4 .

A feszültségi tenzor koordinátái: 3120 10 61 1

1963 5xNA

σ ⋅= = = ,

,MPa,

6

5

10( ) ( ) ( 25) 40 746 136 10

cyx xy P

p

MP P xI

τ τ= = = − = − ,, ⋅

MPa.




A Hooke-törvény: 12 1 IP P

A F F EG

νν

⎡ ⎤= −⎢ ⎥+⎣ ⎦, 61 1I xF σ= = , MPa.

Az alakváltozási tenzor koordinátái: 4

3

1 1 0 361 1 61 1 2 94 102 1 2 80 10 1 0 3x x xG

νε σ σν

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,⎡ ⎤= − = , − , = , ⋅⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + ,⎣ ⎦,

53

1 1 0 30 61 1 8 8 102 1 2 80 10 1 0 3y y xG

νε σ σν

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,⎡ ⎤= − = − , = − , ⋅⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + ,⎣ ⎦,

53

1 1 0 30 61 1 8 8 102 1 2 80 10 1 0 3z z xG

νε σ σν

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,⎡ ⎤= − = − , = − , ⋅⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + ,⎣ ⎦,

43

1 1 ( 40 74) 5 09 1080 10yx xy xyG

γ γ τ −= = = − , = − , ⋅⋅

.

A feszültségi és az alakváltozási tenzor a P pontban: 61 1 40 74 040 74 0 0

0 0 0P

F, − ,⎡ ⎤

⎢ ⎥⎡ ⎤ = − ,⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa,

5

29 4 25 5 025 5 8 8 0 100 0 8 8

PA −

, − ,⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = − , − ,⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥− ,⎣ ⎦

.

y

x

z

161,

740 ,

[ ]MPaPF

y

x

z

Pj

88,

429,

510−×PA

425,

425, 88 ,

ik

A főfeszültségek:

2 22 2

161 1 61 1 40 74 81 47

2 2 2 2x x

yxσ σσ τ , ,⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + + , = ,⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ MPa,




2 0=σ , 2 2

2 23

61 1 61 1 40 74 20 372 2 2 2

x xyx

σ σσ τ , ,⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + , = − ,⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

MPa.

A főnyúlások: 5

1 1 3

1 1 0 381 47 61 1 42 1 102 1 2 80 10 1 0 3IF

Gνε σν

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,⎡ ⎤= − = , − , = , ⋅⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + ,⎣ ⎦

52 2 3

1 1 0 30 61 1 8 8 102 1 2 80 10 1 0 3IF

Gνε σν

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,⎡ ⎤= − = − , = − , ⋅⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + ,⎣ ⎦,

3 3 3

1 1 0 320 37 61 12 1 2 80 10 1 0 3IF

Gνε σν

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,⎡ ⎤= − = − , − , =⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ + ,⎣ ⎦

521 5 10−= − , ⋅ ,

c) A tartó ellenőrzése feszültségcsúcsra Mohr és Huber-Mises-Hencky szerint: A tartó megfelel, ha a veszélyes pontokban maxred megσ σ≤ . A P pont a paláston van, tehát veszélyes pont.

red maxσ Mohr szerint: 2 2 2 2

max ( ) 61 1 4 40 74 101 84red red x yxPσ σ σ β τ= = + = , + ⋅ , = , MPa.

Itt max 101 84redσ = , MPa 120megσ< = MPa, tehát a tartó megfelel.

maxredσ Huber-Mises-Hencky szerint: 2 2 2 2

max ( ) 61 1 3 40 74 93 34red red x yxPσ σ σ β τ= = + = , + ⋅ , = , MPa.

Itt max 93 29redσ = , MPa 120megσ< = MPa, tehát a tartó megfelel.

9.9.3. feladat: Csavarás és egyenes hajlítás




Adott: ( 150 100 )SM i k= − + Nm, 50d = mm, 200E = GPa.

x

y

dφ

y

z S SMSM

B B

Feladat:

a) Feszültségeloszlás megrajzolása az 0x = keresztmetszet z és y ten-gelye mentén.

b) A feszültségi tenzor koordinátáinak a meghatározása a B pontban.

Kidolgozás:

a) Feszültségeloszlás az 0=x keresztmetszet z és y tengelye mentén:

100 NmhzM = − , 150cM = − Nm. Veszélyes pontok: A és B .

b) A feszültségi tenzor koordinátáinak a meghatározása a B pontban: A feszültségi tenzor általánosan a B pontban:

z

y

S

y

xσ

y

zxτ

z xσ

zyxτ

cMhzM

A

B




00 0 0

0 0

x xz

P

zx

Tσ τ

τ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ . A keresztmetszeti jellemzők:

3 3350 12 27 10

32 32xdK π π

= = = , ⋅ mm 3 , 32 24 54 10p xK K= = , ⋅ mm 3 .

A feszültségi tenzor koordinátái a B pontban: 3

3

100 10 8 1512 27 10

hzx

z

MK

σ − ⋅= − = − = ,

, ⋅MPa,

3

3

150 10 6 1124 54 10

cxz zx

p

MK

τ τ − ⋅= = − = − = ,

, ⋅MPa.


Feladat:

a) A feszültségeloszlás megrajzolása az 0x = keresztmetszeten.

b) A Mohr szerinti redM redukált nyomaték meghatározása.

c) A rúd méretezése Mohr szerint.

Adott: (800 600 )SM i k= − Nm, 2D d= , 80megσ = MPa.

Kidolgozás:

SM

hz- M k

cM i

Dφ

y

x

zdφ




a) A feszültségeloszlás megrajzolása az 0x = keresztmetszeten:

z

y

S

y

xσ

y

zxτ

z xσ

zyxτ

A

B

hzM

cM

Veszélyes pontok: A és B.

b) A Mohr szerinti redM redukált nyomaték meghatározása:

2 2 2 24600 800 10004 4red h cM M Mβ

= + = + = Nm.

c) A rúd méretezése Mohr szerint: A tartó megfelel, ha: maxred megσ σ≤ .

A veszélyes pontban a redukált feszültség: maxred

redz

MK

σ = .

A keresztmetszeti tényező: 4 4( ) 2

64zD dK

Dπ−

= .

Kihasználva a 2D d= összefüggést: 315

64zdK π

= .

6

333

64 64 64 10 25 715 15 15 80

red redmeg

meg

M Mdd

σπ σ π π

⋅≤ ⇒ ≥ = = ,

⋅mm,

2 51 4D d= ≥ , mm.

Szabványos D értéket választva: 27d = mm, 54D = mm.





Adott: A d átmérőjú ABC rúd igénybevételei és

120megσ = MPa.

Feladat:

a) A feszültségeloszlás meg- rajzolása a veszélyes keresztmetszeten.

b) A Mohr szerinti redukált nyomaték meghatározása a veszélyes keresztmetszeten.

c) A rúd méretezése Mohr szerint.

Kidolgozás:

a) A feszültségeloszlás a veszélyes keresztmetszeten: Veszélyes keresztmetszet: B.

yA B x

hzM

x6

C

x

cM [ ]kNm

x

12

[ ]kNm

hyM [ ]kNm

-8




z

y

S

y

xσ ′

z xσ ′

yxτ

y

zxτxσ ′′

z

z xσ ′′

y

6 kNm

8 kNm

12 kNm

b) A Mohr szerinti redukált nyomaték meghatározása a veszélyes ke-resztmetszeten:

2 2 2 2 2 2( ) 6 8 12 15 624red hz hy cM M M Mβ

= + + = + + = , kNm.

c) A rúd méretezése Mohr szerint: A tartó megfelel, ha: maxred megσ σ≤ .

A veszélyes pontban a feszültség: maxred

redz

MK

σ = , 3

32zdK π

= .

6

333

32 32 32 15 62 10 109 86120

red redmeg

meg

M Mdd

σπ σ π π

⋅ , ⋅≤ ⇒ ≥ = = , mm.

Szabványos d értéket választva, a rúd átmérője: 110d = mm.

9.9.6. feladat: Nyírás és hajlítás

Feladat:

a) A feszültségeloszlások megrajzolása és a veszélyes pont(ok) megha-tározása.




b) Feszültségkoordináták és a Mohr-szerinti redukált feszültség megha-tározása az S, A és B pontokban.

Adott: ( 24 )S

y

F jT

= − kN, ( 0 72 )S

hz

M kM

= ,−

kNm,

(0,15,0)A mm, 40a = mm, 60b = mm.

Kidolgozás:

a) A feszültségeloszlások megrajzolása és a veszélyes pont(ok) megha-tározása.

hzx

z

M yI

σ = , ( )( )

y zyx

z

T S yI a y

τ = − ,

3

12za bI = ( )a y a=

22

2 4za bS y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

Veszélyes pontok: Hajlításból az / 2y b= ± , nyírásból az 0y =

pontok. A redukált feszültséget mindkét helyen ki kell számítani!

b) Feszültségkoordináták és a Mohr-szerinti redukált feszültség megha-tározása az S, A és B pontokban.

0 72hzM = − , kNm, 24yT = kN.

3 3640 60 0 7210

12 12za bI ⋅

= = = , mm 4 ; 40 60 2400A a b= = ⋅ = mm 2 ,

2 22 240 60( ) 15 13500

2 4 2 4z A Aa bS y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − = − = mm 3 .

A feszültségek meghatározása:

( ) 0x Sσ = MPa, 33 3 24 10( ) 15

2 2 2400y

yx

TS

Aτ ⋅ ⋅

= − = − = −⋅

MPa,

Sz

y

a

b

A

B

0>yT

0<hzM

Sz

y y y

xσ yxτ

xσ

yxτ

z

z

y

0<hzM

xy

0>yT

xy




( ) 2 ( ) 2 15 30red yxS Sσ τ= | |= ⋅ = MPa. 6

6

0 72 10( ) ( ) 15 150 72 10

hzx

z

MA y AI

σ − , ⋅= = = −

, ⋅MPa,

3 3

6

( ) 24 10 13 5 10( ) 11 250 72 10 40

y z Ayx

z

T S yA

I aτ ⋅ ⋅ , ⋅

= − = − = − ,, ⋅ ⋅

MPa,

2 2 2 2( ) [ ( )] 4 [ ( )] ( 15) 4 ( 11 25)red x yxA A Aσ σ τ= + = − + ⋅ − , = 27,04= MPa.

6

6

( ) ( )

0 72 10 30 30MPa.0 72 10

hzx

z

MB y BI

σ =

− , ⋅= = −

, ⋅

( ) 0yx Bτ = , ( ) ( ) 30red xB Bσ σ=| |= MPa.

9.9.7. feladat: Nyírás és hajlítás

Adott: (lásd ábra)

Feladat:

a) Az 0x = keresztmetszeten a feszültségeloszlások megrajzolása, és a veszélyes pont(ok) meghatározása.

b) A feszültségállapot meghatározása az 0x = keresztmetszet C pontjában.

Kidolgozás:

a) Az 0x = keresztmetszeten a feszültségeloszlások megrajzolása, és a veszélyes pont(ok) meghatározása: Veszélyes pontok: Hajlításból az 22 5y = ± , mm pontok, nyírásból az

0y = pontok. Mindkét helyet meg kell vizsgálni.

Sz

y

A

y

x

10kNF =

C

A

C2045

15

40

yT [ ]kN10

0, 4kNm

hzM [ ]kNm0, 4

x

x

S

Sz

y y y

xσ xyτ

xσ

xyτ

z

z

y




b) A feszültségállapot meghatározása az 0x = keresztmetszet C pont-jában:

0, 4hzM = kNm, 10yT = kN. Keresztmetszeti jellemzők:

3 3315 45 113 910

12 12za bI ⋅

= = = , mm 4 ,

2 22 215 45( ) 20 796 875

2 4 2 4z C Ca bS y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − = − = , mm 3.

A feszültségi állapot a C pontban: 6

3

0 4 10( ) 20 70 24113 9 10

hzx C

z

MC yI

σ , ⋅= = = ,

, ⋅MPa,

3

3

( ) 10 10 796 875( ) 4 66113 9 10 15

y z Cyx

z

T S yC

I aτ ⋅ ⋅ ,

= − = − = − ,, ⋅ ⋅

MPa,

0 70 24 4 66 00 0 4 66 0 0

0 0 0 0 0 0

x xy

yxCF

σ ττ

, − ,⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = = − ,⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

MPa.

9.9.8. feladat: feladat: Nyírás és hajlítás

Adott: A keresztmetszet és (25 ) kNSF j= ,

( )1000 NmSM k .

Feladat:

a) A feszültségeloszlások megrajzolása.

b) A feszültségállapot, valamint a Mohr szerinti redukált feszültség meghatározása a keresztmetszet A, B, C és S pontjában.

Kidolgozás:

a) A feszültségeloszlások megrajzolása:

0>hzM

xy

0>yT

xy

10

y

z

30

10

30

10

SSM F

A

B

12

C

S




y

zS

SM Fxσ

ζ

zxτ

y y

yxτ

ζ

S

b) A feszültségállapot, valamint a Mohr szerinti redukált feszültség meghatározása a keresztmetszet A, B, C és S pontjában. Az xI másodrendű nyomaték:

3 3330 50 20 30 267 5 10

12 12xI ⋅ ⋅= − = , ⋅ mm 4 .

Feszültségek az A pontban: 6

3

10( ) 0, ( ) 25 93 46267 5 10

hzyx x A

z

MA A yI

τ σ −= = = = − ,

, ⋅MPa.

3( )( ) , ( ) 10 10 20 2000mm , 10y z A

zx z Az

T S zA S z v

I vτ = − = ⋅ ⋅ = = mm,

3

3

25 10 2000( ) 18 69267 5 10 10zx Aτ ⋅ ⋅

= = ,, ⋅ ⋅

MPa.

( ) 2 2

2 2

4

93 46 4 18 69 100 66MPa.

red x zxAσ σ τ= + =

= , + ⋅ , = ,

93 46 0 18 690 0 0

18 69 0 0A

F− , ,⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥,⎣ ⎦

MPa.

Feszültségek a B pontban: 6

3

10( ) 0, ( ) 15 56 07267 5 10

hzyx x B

z

MB B yI

τ σ −= = = = − ,

, ⋅MPa.

yx

z

4693,

[ ]MPaAF

6918,




( )( ) ( ) 10 3 20 600y z B

zx z Bz

T S zB S z

I vτ = , = ⋅ ⋅ = mm 3 10v, = mm,

3

3

25 10 600( ) 5 61267 5 10 10zx Bτ ⋅ ⋅

= − = − ,, ⋅ ⋅

MPa.

56 07 0 5 610 0 0

5 61 0 0B

F− , − ,⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥− ,⎣ ⎦

MPa.

( ) 2 2 2 24 56 07 4 5 61 57 18red x zxBσ σ τ= + = , + ⋅ , = , MPa. Feszültségek a gerincen lévő C pontban: ( ) 0zx Cτ = .

3

3

( ) 25 10 10 30 20( ) 56 07267 5 10 10

y z Cyx

z

T S yC

I aτ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − = − = ,, ⋅ ⋅

MPa,

( ) ( ) 56 07x xC Bσ σ= = − , MPa. 2 2 2 24 56 07 4 56 07 125 39MPa.red x yxσ σ τ= + = , + ⋅ , = ,

56 07 56 07 056 07 0 0

0 0 0C

F− , ,⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ,⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa.

Feszültségek az S pontban: ( )

( ) 0, ( ) 0, ( ) y z Sx zx yx

z

T S yS S S

I aσ τ τ= = = − .

( ) 10 30 20 15 10 7 5 7125z SS y = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ , = mm 3 , 3

3

25 10 7125( ) 66,59267 5 10 10yx Sτ − ⋅ ⋅

= − =, ⋅ ⋅

MPa.

0 66,59 066,59 0 0

0 0 0S

F⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

MPa.

2 24 2 2 66,59 133,18 MPared x yx yxσ σ τ τ= + = = ⋅ = . A keresztmetszet veszélyes pontjai a z tengelyen vannak.

y

x

z

0756,

[ ]MPaBF

615 ,

y

x

z

0756,

[ ]MPa

CF

0756,

y

x

z[ ]MPa

SF

5966,

Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása



10. Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása

10.1. Munka, alakváltozási energia a) A külső erők munkája:

iP

jPiF

it

jM jϕ

AB

Feltételezzük, hogy a terhelés és az alakvátozás folyamatosan, egyidejűleg növekedve éri el a megadott értékét.

A szerkezetre ható külső erők munkája:

1 1

1 12 2

n m

i i j ji j

W F t M ϕ= =

= ⋅ + ⋅∑ ∑ .

iF – a szerkezet iP pontjára ható, i jelű (i-edik) koncentrált erő.

i i i ít u i v j w k= + + – a rugalmas vonal (középvonal) Pi pontjának (a Pi pontnál lévő keresztmetszet S pontjának) elmozdulása.

jM – a szerkezet jP pontjára ható, j jelű koncentrált nyomaték.

j xj yj zji j kϕ ϕ ϕ ϕ= + + – a rugalmas vonal jP pontjánál lévő keresztmetszet szögelfordulása.

b) Alakváltozási energia: – Fajlagos alakváltozási energia:

( )12 x x y y z z xy xy xz xz yz yzu σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ= + + + + + .

– Rúdszerkezet alakváltozási energiája:

( )N H C T

V

U u dV U U U U= = + + +∫ .

NU – az alakváltozási energia húzás-nyomásból származó része,

HU – az alakváltozási energia hajlításból származó része,

CU – az alakváltozási energia csavarásból származó része,

TU – az alakváltozási energia nyírásból származó része.




A nyírásból származó alakváltozási energia rész a másik három tag mellett legtöbbször elhanyagolhatóan kicsi, ezért elhanyagoljuk:

0TU ≈ . Rúdszerkezet alakváltozási energiájának közelítő kiszámítása:

222

( )2 2 2 2

hajlítás

hyhz C

z y pl

MM MNU dxAE EI EI GI

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ .

Feltételezés: az y és z a rúdkeresztmetszet tehetetlenségi főtengelyei.

10.2. A Betti tétel Egy adott szerkezetre egyidejűleg két egyensúlyi erőrendszer hat.

i

i

F

M

⎫′ ⎪⎬′⎪⎭

Az 1. jelű erőrendszer. i

i

F

M

⎫′′ ⎪⎬′′⎪⎭

A 2. jelű erőrendszer.

h

c

NMM

′ ⎫⎪′ ⎬⎪′ ⎭

Az 1. jelű erőrendszer hatására létrejövő igénybevételek.

h

c

NMM

′′ ⎫⎪′′⎬⎪′′⎭

A 2. jelű erőrendszer hatására létrejövő igénybevételek.

tϕ′ ⎫⎬′⎭

Az 1. jelű erőrendszer hatására létrejövő – elmozdulás, – szögelfordulás.

tϕ′′ ⎫⎬′′⎭

A 2. jelű erőrendszer hatására létrejövő – elmozdulás, – szögelfordulás.

Ha az 1. és 2. jelű erőrendszert egyidejűleg, vagy valamilyen sorrendben egymás után működtetjük a szerkezetre, akkor az erőrendszerek munkája az alábbi részekre bontható:

11 12 22 11 21 22W W W W W W W= + + = + + .

11W – az 1. erőrendszer munkája a saját maga okozta alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon).

12W – az 1. erőrendszer munkája a 2. erőrendszer által okozott alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon).




22W – a 2. erőrendszer munkája a saját maga okozta alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon).

21W – a 2. erőrendszer munkája az 1. erőrendszer által okozott alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon).

Idegen munka: az a munka, amelyet valamely erőrendszer egy másik erőrendszer által létrehozott alakváltozáson végez.

Ha az 1. és 2. jelű erőrendszert egyidejűleg, vagy valamilyen sorrendben egymás után működtetjük a szerkezetre, akkor az erőrendszerek hatására a rúdszerkezetben felhalmozott alakváltozási energia:

22 22

( )

( )( ) ( )( )2 2 2 2

hajlítás

hy hyhz hz C C

z y pl

M MM M M MN NU dxAE EI EI GI

⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′′+′ ′′ ′ ′′′ ′′ + ++⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

Az integranduszban elvégezve a négyzetre emelési műveleteket és a kapott tagokat célszerűen átcsoportosítva, az alakváltozási energia az alábbi részekre bontható:

11 12 22 11 21 22U U U U U U U= + + = + + .

11U – az 1. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia a saját maga okozta alakváltozásokon.

12U – az 1. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia a 2. erőrendszer okozta alakváltozásokon.

22U – a 2. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia a saját maga okozta alakváltozásokon.

21U – a 2. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia az 1. erőrendszer okozta alakváltozásokon.

Betti tétel: 12 21 12 21W W U U= = = .

A Betti tétel leggyakrabban használt alakja: 21 12W U= .

A 2. erőrendszer munkája az 1. erőrendszer által okozott alakváltozásokon egyenlő az alakváltozási energia „vegyes” részével.




211 1

n m

i i j ji j

W F t M ϕ= =

′′ ′ ′′ ′= ⋅ + ⋅∑ ∑ a 2. erőrendszer munkája az 1. erőrendszer

által okozott alakváltozásokon.

12

( )

hy hyhz hz c c

z y pl

M MM M M MN NU dxAE EI EI I G

⎛ ⎞′ ′′′ ′′ ′ ′′′ ′′= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ az alakváltozási

energia „vegyes” része.

c) Az integrálok kiszámítása: közelítő képlettel (Simpson-formulával).

bx kx jxx

)(xf

bf kf jf

f

h

bfkfjf

( ) ( )46

j

b

x

b k jx x

hf x dx f f f=

≈ + +∫ .

A közelítő képlet harmadfokú polinomig bezárólag (az integrandusz legfeljebb harmad-fokú polinom lehet) az integrálra pontos értéket szolgáltat.

10.3. Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása Betti tétellel

10.3.1. feladat: Rúdszerkezet elmozdulása és szögelfordulása

Adott: l, q, E, A, Iz .

Feladat:

a) A rúd B jelű keresztmetszeténél az S pont y irányú, Bν elmozdulásá-nak kiszámítása.

b) A rúd B jelű keresztmetszetének z tengely körüli, Bϕ szögelfordulá-sának kiszámítása.

x

y

lA B

q




Kidolgozás:

a) A rúd B jelű keresztmetszeténél az S pont (a középvonal B pontja) y irányú, Bν elmozdulásának kiszámítása: Betti tétel: 1. ER: az adott terhelés (q vonal mentén megoszló terhelés) és a hozzá tartozó támasztó erők. 2. ER: a B pontban ható, y irányú, tetszőleges nagyságú ByF erő és a hozzá tartozó támasztó erők. Az 1. ER igénybevételei: y yT T′ = és hz hzM M′ = . A 2. ER igénybevételei: y By BT F t′′ = és hz By BM F m′′ = , ahol Bt és Bm az egységnyi ByF -hoz tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték.

21 12W U= , ahol 21 B ByW Fν= és HU U≈ , ⇒ 12( )

hz hz

zl

M MU dxI E′ ′′

= ∫ .

B ByFνhz B ByM m F

=( ) zl

dxI E∫ , ⇒

( )

hz BB

zl

M m dxI E

ν = ∫ .

Az 1. ER igénybevételi ábrái: A 2. ER igénybevételi ábrái:

x

y

A B

q

2

2ql

AM =

x

yT ′

ql

ql

x

hzM ′

8

2ql

22ql

AyF ql=

AM

x

y

A B

l

xBt

xBm

=1NByF

l

1−

l− Az elmozdulás kiszámítása:

( )2 2

( )

1 4 0 06 2 8 2

hz BB

z zl

M m l ql ql ldx lI E I E

ν⎡ ⎤⎛ ⎞= = − + − + ⋅ =⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦∫




3 3 31 1 3

6 2 4 6 4z z

l ql ql l qlI E I E

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎝ ⎠.

4

8Bz

qlEI

ν = − ↓ Negatív előjel: a B pont lefelé, az ByF -nal ellenté-

tesen mozdul el.

b) A rúd B jelű keresztmetszetének z tengely körüli, Bϕ szögelfordulá-sának kiszámítása: 1. ER: az adott terhelés (q vonal mentén megoszló terhelés) és a hozzá tartozó támasztó erők. 2. ER: a B pontban ható, z irányú, tetszőleges nagyságú BzM nyomaték és a hozzá tartozó támasztó erők. Az 1. ER igénybevételei: y yT T′ = és hz hzM M′ = . A 2. ER igénybevételei: y BzT M tϕ′′= és hz BzM M mϕ′′ = , ahol tϕ és mϕ az egységnyi BzM -hez tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték.

21 12 BzW U M= ⇒ hz B zB

M m Mϕϕ =( ) zl

dxI E∫ .


x

y

A B

q

2

2ql

AM =

x

yT ′

ql

ql

x

hzM ′

8

2ql

22ql

AyF ql=

AM

x

y

A B

1Nm

x

tϕ

xmϕ

1NmBzM =

1

1−

1

1−

A szögelfordulás kiszámítása: ( ) ( )2 21 1 4 1 0

6 2 8Bz

l ql qlEI

ϕ⎡ ⎤

= − + − + =⎢ ⎥⎣ ⎦




2 2 316 2 2 6z z

l ql ql qlEI EI

⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ . Negatív előjel: a B keresztmetszet a

felvett nyomatékkal ellentétesen fordul el.


Adott: F, a, E, A, Iz.

Feladat:

a) A rúd C jelű keresztmetszeténél az S pont y irányú, Cν elmozdulásának kiszámítása.

b) A rúd C jelű keresztmetszeténél a z tengely körüli Cϕ szögelfordulás kiszámítása.

Kidolgozás:

a) A rúd C jelű keresztmetszeténél az S pont y irányú, Cν elmozdulásá-nak kiszámítása: Betti tétel: 1. ER: az adott terhelés (F koncentrált erő) és a hozzá tartozó támasztó erők. 2. ER: a C pontban ható, y irányú, tetszőleges nagyságú CyF erő és a hozzá tartozó támasztó erők. Az 1. ER igénybevételei: y yT T′ = és hz hzM M′ = . A 2. ER igénybevételei: y Cy CT F t′′= és hz Cy CM F m′′ = , ahol Ct és Cm az egységnyi CyF -hoz tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték.

21 12W U= , ahol 21 C CyW Fν= és HU U≈ , ⇒ 12( )

hz hz

zl

M MU dxI E′ ′′

= ∫ .

C CyFνhz C CyM m F

=( ) zl

dxI E∫ , ⇒

( )

hz CC

zl

M m dxI E

ν = ∫ .

Az 1. ER támasztó erői: 0 / 2a ByM F F= ⇒ = ↑ .

y

xF

A B C

a a aAyF ByF




0 / 2b AyM F F= ⇒ = ↑ .

A 2. ER támasztó erői: 30 2 3 12a By ByM aF a F N= = + ⋅ ⇒ = − ↓ ,

10 2 12b Ay AyM aF a F N= = − + ⋅ ⇒ = ↑ .


yTx

2F−

xhzM

2F

2Fa−

y

xF

A B C

a a aAyF ByF

Ctx0,5

1−x

Cm

a−0,5a−

y

x1NCyF =

A B C

a2 aAyF ByF

0,5

1−

Az elmozdulás kiszámítása:

( )

hz Cc

zl

M m dxEI

ν = =∫

1 30 4 4 06 4 4 2 2 6 2 2 4 4z

a Fa a Fa a a Fa a Fa aI E

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

2 2 2 2 31 36 4 4 6 4 4 4z z

a Fa Fa a Fa Fa FaI E I E

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + = ↑⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

. Pozitív előjel:

a C pont felfelé mozdul el.

b) A rúd C jelű keresztmetszeténél a z tengely körüli Cϕ szögelfordulás kiszámítása: Betti tétel: 1. ER: az adott terhelés (F koncentrált erő) és a hozzá tartozó támasztó erők. 2. ER: a C pontban ható, z irányú, tetszőleges nagyságú CzM nyo-maték és a hozzá tartozó támasztó erők.




Az 1. ER igénybevételei: y yT T′ = és hz hzM M′ = . A 2. ER igénybevételei: y CzT M tϕ′′= és hz CzM M mϕ′′ = , ahol tϕ és mϕ az egységnyi CzM -hez tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték.

21 12 CzW U M= ⇒ hz C zC

M m Mϕϕ =( ) zl

dxI E∫ .


yTx

2F−

xhzM

2F

2Fa−

y

xF

A B C

a a aAyF ByF

tϕxa2

1

xmϕ

1−0,5−

1

y

x1NmCzM =

A B C

a2 aa21a21

a21

A szögelfordulás kiszámítása:

( )

h zc

zl

M m dxI E

ϕ = =∫

1 1 1 1 30 4 4 06 4 4 2 2 6 2 2 4 4z

a Fa Fa a Fa FaI E

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + + =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

21 36 4 4 6 4 4 4z z

a Fa Fa a Fa Fa FaI E I E

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

. Pozitív előjel: a C ke-

resztmetszet a felvett nyomatékkal megegyező irányban fordul el. A feladat megoldásának menetéből látszik, hogy a BC rúdszakaszon minden keresztmetszetnek ugyanakkora a szögelfordulása.

10.3.3. feladat: Rúdszerkezet elmozdulása

Feladat: A tartó B keresztmetszeténél az S pont x irányú, Bu elmozdu-lásának meghatározása.

Adott: zI E = állandó, AE = állandó, F.




Kidolgozás:

Betti tétel: 1. ER: az adott terhelés (F) és a hozzá tartozó támasztó erők. 2. ER: a B pontban ható, x irányú, tetszőleges nagyságú BxF erő és a hozzá tartozó támasztó erők. Az 1. ER igénybevételei: N N′ = , T T′ = és hz hzM M′ = . A 2. ER igénybevételei: Bx BN F n′′ = , Bx BT F t′′= és hz Bx BM F m′′ = , ahol

Bn , Bt és Bm az egységnyi BxF -hez tartozó rúderő, nyíróerő, illetve hajlítónyomaték. Az 1. ER. támasztó erői: 0a ByM F F= ⇒ = ↑ ,

0c AyM F F= ⇒ = − ↓ , 0x AxF F F= ⇒ = − ← . A 2. ER. támasztó erői: 0 2 Na ByM F= ⇒ = ↑ , 0 2 Nc AyM F= ⇒ = − ↓ , 0 1 Nx AxF F= ⇒ = − ← Adott (1.) erőrendszer: A 2. erőrendszer:

y

xA

B

C

l ByFF

l

ls

D

E

AxF

AyF

s

y

xA

B

C

l ByF

1 NBxF =

l

l s

D

E

AxF

AyF

s


y

xA

B

lF

l

ls

D

E

s




T

hzM

F

Fl−

s

NF

s

s

A E D B s

F

F− F−

Fl−

F

Bt

Bm

1

l2−

2−

s

Bn2

s

s

A E D B s

l−

1

1

2−

2

21 12W U= , ahol 21 B BxW u F= és H NU U U≈ + , ⇒

12(3 ) (3 )

hz hz

zl l

M M N NU dx dxI E AE′ ′′ ′ ′′

= +∫ ∫ .

B Bxu F hz B BxM m F=

(3 )

B Bx

zl

N n Fdx

I E+∫

(3 )l

dxAE∫ ⇒

(3 ) (3 )

hz B BB

zl l

M m N nu dx dxI E AE

= +∫ ∫ .

Az integrálok kiszámítása: (3 )

hz B

zl

M m dsI E

=∫

1 30 4 4 26 2 2 6 2z

l Fl l lFl l Fl l Fl l Fl lI E

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩

2 4 06 2l FlFl l l ⎫⎡ ⎤+ ⋅ + + =⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎭

3 3 3 331 2 9 4 1 15 5

6 6 6 6 2z z z

Fl Fl Fl FlFlI E I E I E

⎧ ⎫ ⎛ ⎞= + + = =⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

.

[ ]( )

1 2 42 4 2 26l

Nn l Flds F F FAE AE AE

⎧ ⎫= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =⎨ ⎬⎩ ⎭∫ .

35 42B

z

Fl FluI E AE

= + → .





Feladat:

a) A C keresztmetszet y irányú Cv elmozdulásának meghatározása.

b) A B keresztmetszet z tengely körüli Bϕ szögelfordulásának meghatá-rozása.

Adott: A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható. 1 2l = , m,

50000zI = mm 4 ,

0 3 1M = , kNm, 52 1 10E = , ⋅ MPa.

Kidolgozás:

a) A C keresztmetszet y irányú Cv elmozdulásának meghatározása: Betti tétel: 21 12W U= Az 1. erőrendszer: az eredeti terhelés ⇒ hz hM M′ = . Az 1. erőrendszer igénybevételi ábrái:

y

xl

0MA C B

T

0Ml

hM0M

x

x

0M

0Ml

0Ml

A 2. erőrendszer: a C pontban működő y irányú egységnyi erő ⇒

y

x

l

A C B 0M




1h CyF mM =′′ . Az egységnyi CyF -hoz tartozó igénybevételi ábrák:

yx

l

A C B

1t [ ]−

1m [ ]m

x

x

kN1=yCF

kN21

4l

21

12−

kN21

1 1( ) ( )

1 1Cy C h Cy C h

z zl l

F v M F m dx v M m dxI E I E

= ⇒ =∫ ∫ .

Az integrál kiszámítása: 0 0 02 2

1 0( )

30 4 4 06 4 8 2 4 6 2 4 4 8

l l

hl

M M Ml l l lM m dx M⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

20 0 0 0 03

12 8 8 12 8 8 16M l M l M l M l M ll l⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Az elmozdulás: 2 6 2

04 5

1 3 1 10 1200 26 5716 16 5 10 2 1 10C

z

M lvI E

, ⋅ ⋅= = = ,

⋅ ⋅ ⋅ , ⋅mm ↑ .

A C pont CyF irányában, vagyis felfelé mozdul el.

b) A B keresztmetszet z tengely körüli Bϕ szögelfordulásának meg-határozása: Az 1. erőrendszer: az eredeti terhelés hz hM M′⇒ = . A 2. erőrendszer: a B pontban működő z irányú egységnyi nyomaték,

2hz BzM M m′′⇒ = . Az egységnyi BzM -hez tartozó igénybevételi ábrák:




y

xl

1kNmBzM =A B

2t1l

2m [ ]−

1

x

x

1 kNm

1l 1

l

[ ]1/ m

2 2( ) ( )

1 1Bz B h Bz B h

z zl l

M M M m dx M m dxI E I E

ϕ ϕ= ⇒ =∫ ∫ .

Az integrál kiszámítása: 0 0

2 0 0( )

10 4 1 26 2 2 6 3h

l

M M ll lM m dx M M⎡ ⎤= + + = =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ .

A szögelfordulás: 6

04 5

1 3 1 10 1200 0 1183 3 5 10 2 1 10B

z

M lI E

ϕ , ⋅ ⋅= = = ,

⋅ ⋅ ⋅ , ⋅rad .

A B keresztmetszet óramutató járásával megegyező irányban ( BzM irányában) fordul el.


Adott: 2 ml = , 4 45 10 mmzI = ⋅ ,

3 kN/mq = , 52 1 10E = , ⋅ MPa.

A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható.

Feladat:

A C keresztmetszet y irányú elmozdulásának a meghatározása.

y

x

l

A Bq C

l




Kidolgozás:

Az 1. erőrendszer: az eredeti terhelés hz hM M′⇒ = . A 2. erőrendszer: a C pontban működő y irányú egységnyi erő

hz Cy CM F m′′⇒ = . Betti tétel: 21 12W U= .

(2 ) (2 )

1 1Cy C h Cy C C h C

z zl l

F v M F m dx v M m dxI E I E

= ⇒ =∫ ∫ .

y

x

l

A

x

x

q C

lT2ql

2

4ql

2

8ql

hM

B

2ql

2ql

2ql

y

x

l

A B

x

x

C

l

Ct [ ]−

Cm [ ]m

l−

1 kNCyF =

1 kN 2 kN

1

1−

1

1−

Az integrál kiszámítása:

2 4

( )

0 4 0 0 4 0 06 8 2 6 2 24h C

l

l q l l l l q lM m dx⎡ ⎤⎛ ⎞ − −⎡ ⎤= + − + + + ⋅ ⋅ + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ .

Az elmozdulás: 434

4 5

3 2 101 190 524 24 5 10 2 1 10C

z

q lvI E

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⋅⎛ ⎞

= = = ,⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⋅ , ⋅⎝ ⎠mm↑ .

A C pont y irányába ( CyF irányába), vagyis felfelé mozdul el.


Adott: 2 21 2 3 4 5 10 mmA A A A A= = = = = ,

52 1 10E = , ⋅ MPa.




Feladat: A C pont y irányú Cv elmozdulásának a meghatározása.

Kidolgozás:

Az 1. erőrendszer: az adott terhelés i iN N′⇒ = . A 2. erőrendszer: a C pontban működő y irányú egységnyi erő és a hozzá tartozó támasztó erők i Cy iN F n′′⇒ = . Betti tétel: 21 12W U= .

5 5

1 1i

i Cy i i i iCy C C

i ii il

N F n N n lF v dl vA E A E= =

= ⇒ =∑ ∑∫ .

Rúd Ni[kN] ni[-] li[m] Ai[m2] E[kPa] i i i

i

N n lA E

[m]

1 2,83 -0,71 2,83 410− 82,1 10⋅ 42,71 10−− ⋅ 2 -2 0,5 4 410− 82,1 10⋅ 41,90 10−− ⋅ 3 -2,83 0,71 2,83 410− 82,1 10⋅ 42,71 10−− ⋅ 4 4 -1 4 410− 82,1 10⋅ 47,62 10−− ⋅ 5 -5,66 1,41 2,83 410− 82,1 10⋅ 410,75 10−− ⋅

∑ 32,569 10−− ⋅ 2,569Cyv = − mm.


Adott: 6 48 10 mmzI = ⋅ , 52 10E = ⋅ MPa.

Feladat: A C pont szögelfordulásának a meghatározása.

Megoldás: A C pont szögelfordulása: 21,67 10Cϕ−= − ⋅ rad

2m 2m 2m

2mA B

C4kN1

23

45

y

z

2m 2m 2m

2mA B

CCyF1

23

45

y

z

A

By

x

2m

2m

C

2kN

/m

Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása



11. Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek és igénybevételeinek meghatározása

Statikailag határozott szerkezet: A szerkezetre felírható, egymástól füg-getlen statikai egyensúlyi egyenletek száma megegyezik a szerkezet ismeretlen belső és támasztó erő koordinátáinak (a statikai ismeretle-nek) számával.

Statikailag határozatlan szerkezet: A szerkezetre felírható, egymástól független statikai egyensúlyi egyenletek száma kisebb, mint a szerkezet ismeretlen belső és támasztó erő koordinátáinak száma. A statikai isme-retlenek száma nagyobb mint a rendelkezésre álló statikai egyenletek száma.

Példa statikailag határozatlan szerkezetre:

A

C B

1

2 3 db.ism.

3 db.ism.

2 db.ism.

x

y

Statikai ismeretlen: , ,Ax Ay AzF F M , , ,Bx By BzF F M ,

12 12,x yF F , vagy 21 21,x yF F . Az ismeretlenek száma: 8 db. A statikai egyenletek száma: 2 3 6⋅ = db. A szerkezet statikailag kétszeresen határozatlan.

11.1. A Castigliano-tétel

iPiFiM

y

xAB

A tartó terhelése: , ( 1, 2, , )i iF M i n= … .

A tartó támasztóerői: ,A BF F




A támasztóerők és az alakváltozási energia is a terhelés függvényei:

( , ), ( , ), ( , )A A i i B B i i i iF F F M F F F M U U F M= = = .

Síkbeli terhelés esetén: ( , , )i i ix y zU U F F M=

A Castigliano-tétel (síkbeli esetben):

ixi

UuF∂

=∂

, iyi

UvF∂

=∂

, izi

UM

ϕ ∂=∂

.

Az 1. és 2. összefüggés: A szerkezetet terhelő iF erő támadáspontjának az iF erő irányba eső elmozdulása egyenlő a szerkezet alakváltozási energiájának az iF erő szerint vett deriváltjával.

A 3. összefüggés: A szerkezetet terhelő ziM nyomaték támadáspontjában levő keresztmetszet iϕ szögelfordulása egyenlő az alakváltozási energiának a iϕ szögelfordulással megegyező irányú ziM nyomaték szerint vett deriváltjával.

11.2. A Castigliánó-tétel alkalmazása statikailag határozatlan rúdszerkezetekre

Feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet támasztó erőrendszerének és igénybevételeinek meghatározása.

A feladat megoldásának gondolatmenetét egy példán mutatjuk be: a) A tartó statikailag határozottá tétele:

F

y

x

AxF

AzM

AyF

AB

ByF

Bejelöljük a támasztó erőrendszer négy skaláris koordinátáját. A szerkezet statikailag egyszeresen határozatlan.




Módosítjuk a megtámasztást ⇒ statikailag határozott tartó (törzstartó).

A szerkezet többféle módon (többféle változatban) tehető statikailag határozottá:

Változat 1. 2. 3.

Törzstartó

F

y

x

AxF

AzM

AyF

AB

ByF

F

y

x

AxF

AzM

AyF

A B

ByF

F

y

x

AxF

AzM

AyFA

B

ByF

Módosított terhelés

és ByF F

és AzF M

és AyF F

A statikailag határozottá tett tartóra továbbra is hat a megfelelő támasztóerő koordináta ⇒ ezt a koordinátát a terheléshez soroljuk.

A statikailag határozottá tett szerkezet (törzstartó) igénybevételei két részből állnak: az eredeti terhelésből származó részből és az ismeretlen támasztóerő koordinátából származó részből.

A tartó hajlító igénybevételének hzM összefüggése attól függ, hogyan tesszük a tartót statikailag határozottá:

1. változat esetén: 0 1hz h ByM M F m= + . 2. változat esetén: 0 2hz h AzM M M m= + . 3. változat esetén: 0 4hz h AyM M F m= + b) Olyan kinematikai korlátozásnak az előírása, ami az elhagyott

kényszert helyettesíti:




A kinematikai korlátozás attól függ, hogyan tesszük a tartót statikailag határozottá:

1. változat esetén: 0Bν = . 2. változat esetén: 0Aϕ = . 3. változat esetén: 0Aν = . c) A Castigliano tétel alkalmazása: - A Castigliano tétel alkalmazása az 1. változat esetén:

( )2

0 1

( )

02

h ByB

By By zl

M F mU dxF F I E

ν+∂ ∂

= = =∂ ∂ ∫ .

( ) 20 1 1 0 1 1

( ) ( ) ( )

1 1 0B h By h Byz zl l l

M F m m dx M m dx F m dxI E I E

ν⎡ ⎤

= + = + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ .

0 1( )

21

( )

hl

By

l

M m dxF

m dx= −

∫

∫.

Az ByF ismeretében a többi támasztóerő koordináta statikai egyensúlyi egyenletből meghatározható.

- A Castigliano tétel alkalmazása a 2. változat esetén: ( )2

0 2

( )

02

h AzA

Az Az zl

M M mU dxM M I E

ϕ⎡ ⎤+∂ ∂

= = = ⎢ ⎥∂ ∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ .

( ) 20 2 2 0 2 2

( ) ( ) ( )

1 1 0A h Az h Azz zl l l

M M m m dx M m dx M m dxI E I E

ϕ⎡ ⎤

= + = + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

0 2( )

22

( )

hl

Az

l

M m dxM

m dx= −

∫

∫.

Az AzM ismeretében a többi támasztóerő koordináta statikai egyensúlyi egyenletből meghatározható.

A Castigliano tétel alkalmazása a 3. változat esetén is a fentiekkel analóg módon történik.




11.3. Gyakorló feladatok statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek és igénybevételeinek meghatározására

11.3.1. feladat: Statikailag határozatlan rúd támasztó erőrendszere

Adott: q, l, Iz, E. A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható.

Feladat:

A támasztó erőrendszer meghatározása.

Megoldás:

A statikai ismeretlenek száma: 4. A statikai egyenletek száma: 3. A szerkezet statikailag egyszeresen határozatlan. - A statikailag határozottá tétel egy lehetéséges esete: A hajlító igénybevétel: 0hz h By BM M F m= + . Az alakváltozási energia:

( )2

0

( )

12

h By B

zl

M F mU dx

I E+

= ∫ .

– A kinematikai korlátozás:

( )2

0

( )

02

h By BB

By By zl

M F mU dxF F I E

ν⎧ ⎫+∂ ∂ ⎪ ⎪= = = ⎨ ⎬∂ ∂ ⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ,

20

( ) ( )

10 h B By Bz l l

M m dx F m dxI E

⎧ ⎫⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎪⎪ ⎭⎩

∫ ∫ .

– Igénybevételi ábrák a statikailag határozottá tett szerkezeten: Az eredeti terhelés a törzstartón: Az egységnyi ByF a törzstartón:

y

xAxF

AzM

AyF

AB

ByF

q

l

y

xA

Bq

lByF




x

x

yq

A Bx

l

2

2ql

AzM =

AyF ql=

0Tql

2

2ql

0hM2

2ql 2

8ql

y

A 1kNByF = B xl

kNl ⋅

1kN

Btl

1−

Bm

l−

1−x

x

– Az integrálok kiszámítása:

( )2 2

40

14 06 2 8 2 8h Bl ql ql lM m dx l ql⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − + = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ,

2 32 2 4 0

6 2 3Bl l lm dx l⎡ ⎤⎛ ⎞= + + =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ .

– Az ByF támasztóerő koordináta kiszámítása:

4

032

1388

3

h BBy

B

qlM m dx qlFlm dx

= − = = ↑∫∫

– A támasztó erőrendszer további skalár koordinátáinak meghatározása a statikai egyenletekből:

3 508 8y Ay AyF F ql ql F ql= = − + ⇒ = ↑ ,

2 2230

2 8 8a Az Azql qlM M ql M= = − + ⇒ = .

11.3.2. feladat: Statikailag határozatlan rúd támasztó erőrendszere és igénybevételi ábrái




Feladat:

A támasztó erőrendszer meghatározása és az igénybevételi ábrák meg-rajzolása.

Adott: F, a, Iz, E. A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható.

Megoldás:

1. lehetséges megoldás: – Statikailag határozottá tétel (a görgős támasz elhagyásával) és az igénybevétel meghatározása a statikailag határozott szerkezeten: Az eredeti terhelés a törzstartón: Az egységnyi ByF a törzstartón:

yF

A B x

a a

0hMFa

x

y

1kNByF =A B x

a a

1m

2a−

x

– Kinematikai korlátozás: 0 1

(2 )21

(2 )

0h

aB By

a

M m dxv F

m dx= ⇒ = −

∫

∫.


( ) ( )2 20 1

(2 )

32 4 0 2 36 2 2 6h

a

a Fa aM m dx Fa a a Fa Fa⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − + = − − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫

35

6Fa= − ,

2 2 2 31

(2 )

2 84 4 06 3a

am dx a a a⎡ ⎤= + ⋅ + =⎣ ⎦∫ .

Fy

xA B

a a




- Az ByF kiszámítása:

30 1(2 )

231

(2 )

515 56

8 48 163

ha

By

a

M m dx FaF F F

m dx a

−= − = − = = ↑

∫

∫.

– A támasztó erőrendszer további skalár koordinátáinak meghatározása statikai egyenletekből:

11016y AyF F F= ⇒ = ↑ .

50 216a AzM M aF a F= = − + ,

5 38 8AzM aF aF aF= − = .

- Az igénybevételi ábrák megrajzolása: yT

AzM

1116 F

516 F−

x

x

hzM38 aF

516 aF−

2. lehetséges megoldás: A tartót másképpen tesszük statiakilag határozottá. – Statikailag határozottá tétel (a befalazás csuklóval történő helyettesí-tésével) és az igénybevétel meghatározása a statikailag ha-tározott szerkezeten: Az eredeti terhelés a törzstartón: Az egységnyi AzM a törzstartón

Fy

xAzM

AyFA

B

516 Fa a




yF

A Bx

a a

x0hM

2Fa

y1NmAzM =

A B x

a a

2m

112 x

– Kinematikai korlátozás: 0 2

(2 )22

(2 )

0z

ha

A A

a

M m dxM

m dxϕ = ⇒ = −

∫

∫.


0 2 0 46haM m dx = +

34 4

Fa⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠(2 )

12 2a

Fa⎡ ⎤⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫

2 2 21 1 3 1 246 2 2 4 4 6 4 4 6 4 4a Fa Fa Fa Fa Fa⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − = − − + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

,

222

(2 )

2 1 4 21 4 06 2 6 3a

a am dx a⎡ ⎤⎛ ⎞= + + = =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ .

– Az AzM kiszámítása: 2

0 2(2 )

22

(2 )

342 83

z

ha

A

a

FaM m dxFaM

m dx a

−= − = − =

∫

∫.

Az AzM -re ugyanazt a megoldást kaptuk, mint az előző esetben. A támasztóerők többi koordinátáinak a kiszámítása statikai egyensúlyi egyenletekből legyen önállóan elvégzendő feladat.

11.3.3. feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet támasztó erő-rendszere

Feladat: A berajzolt támasztó erőkoordináták meghatározása.




Adott: F, a, Iz, A, E. A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható.

Megoldás:

A statikai ismeretlenek száma: 4. A statikai egyenletek száma: 3. A szerkezet statikailag egyszeresen határozatlan. – A statikailag határozottá tétel egy lehetéséges esete: Az igénybevételek: 0 1BxN N F n= + ,

0 1hz h BxM M F m= + . Az alakváltozási energia:

( ) ( )2 20 1 0 1

( ) ( )

1 12 2

h Bx Bx

zl l

M F m N F nU ds ds

I E AE+ +

= +∫ ∫ .

– A kinematikai korlátozás: ( ) ( )0 1 1 0 1 1

( ) ( )

0h Bx BxB

Bx zl l

M F m m N F n nUu ds dsF I E AE

+ +∂= = + =∂ ∫ ∫ .

– Az BxF támasztóerő koordináta meghatározása:

0 1 0 1( ) ( )

2 21 1

( ) ( )

1 1

1 1

hz l l

Bx

z l l

M m ds N n dsI E AE

Fm ds n ds

I E AE

+

= −+

∫ ∫

∫ ∫.

–Igénybevételi ábrák a statikailag határozottá tett szerkezeten:

y

xA B

a a

Fa

AxF

AyF ByF

BxF

y

xA B

a a

Fa

BxF




Az eredeti terhelés a törzstartón: Az egységnyi BxF a törzstartón:

x

Fa

y FF A B x

a a2F2

F

0NF x

x2F

0T

0hM2

Fa

2Fa−

A

y1kNBxF =

xB1kN

a a

[ ]−1n

1t1 x

x

x1m

– Az integrálok kiszámítása: 2 2

0 1 1 0 1 1(3 ) (3 ) (3 ) (3 )

0, 0, 1, 1 2ha a a a

M m ds m ds N n dx Fa n dx a= = = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ ∫ .

– Az BxF támasztóerő koordináta kiszámítása:

0 1(3 )

21

(3 )

2a

Bx

a

N n dxFF

n dx= − = − ←

∫

∫.

– A támasztóerő-rendszer további skalár koordinátáinak meghatározása statikai egyenletekből:

02 2x Ax AxF FF F F F −

= = − + ⇒ = ←

0 22a By ByFM aF aF F= = − + ⇒ = ↑

0 22b Ay AyFM aF aF F= = − − ⇒ = − ↓

11.3.4. feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet támasztó erőrend-szere és igénybevételi ábrái

y

xA B

a a

FaAxF

2F

AyF ByF




Feladat:

a) A tartó statikai ismeretleneinek és a rendelkezésre álló statikai egyenletek számának meghatározása.

b) A támasztóerők meghatározása.

c) A statikailag határozatlan szerkezet igénybevételi ábráinak megraj-zolása.

d) A tartó veszélyes keresztmetszetének meghatározása.

Adott: 2l = m, 32F = kN, 50000zI = mm 4 ,

52 1 10E = , ⋅ MPa. A nyírásból származó alakváltozási energiát elhanyagoljuk.

Kidolgozás:

a) A tartó statikai ismeretleneinek és a statikai egyenletek számának meghatározása: Az ismeretlen támasztóerő koordináták száma: 4. Statikai egyenletek száma: 3. A tartó statikailag egyszeresen határozatlan.

b) A támasztóerők meghatározása: – Statikailag határozottá tétel: A tartót háromféleképpen lehet határozottá tenni: 1. Elhagyjuk az A pontban az y irányú támasztást. 2. Elhagyjuk a B pontban az y irányú támasztást. 3. Elhagyjuk a C pontban az y irányú támasztást. Ha a harmadik esetet választjuk, akkor a tartó igénybevételei:

0 0,y Cy C hz h Cy CT T F t M M F m= + = + . – A statikailag határozottá tett tartó igénybevételi ábrái: Az eredeti terhelés a törzstartón: Az CyF a törzstartón:

y

x

l2

A CB

l l

F

D

yx

l2

A CB

l l

FAxF

ByFAyF CyF

D




yx

l2

A CB

l l

FAxF ′

ByF ′AyF ′

D

yx

l2

A CB

l l

AxF ′′

ByF ′′AyF ′′

CyF

D

0 2 3a ByM l F l F= = − ,

0 2 4a By CyM l F l F= = + 1 5ByF F⇒ = , . 2By CyF F⇒ = − .

0 2b AyM l F l F= = − − ,

0 2 2b Ay CyM l F l F= = − + 0 5AyF F⇒ = − , , Ay CyF F⇒ =

0x AxF F= = . 0x AxF F= = . Az eredeti terhelés, valamint az egységnyi CyF értékhez tartozó igény-bevételi ábrák a törzstartón:

0T [ ]kNF

12 F−

0hM [ ]kNm Fl

x

x

x

Ct [ ]1

x

Cm [ ]m

1

1−

l2 – Kinematikai előírás: a C pont y irányú elmozdulása zérus:

Castigliano tétel: 0CCy

UvF∂

= =∂

. 2

(4 ) 2hz

zl

MU dxI E

= ∫ ,

2

00

(4 ) 2h Cy C

hz h Cy Czl

M F mM M F m U dx

I E

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+= + ⇒ = ∫ .0

0(4 )

10C h Cy C CCy z l

Uv M F m m dxF I E

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∂= = = +∂ ∫ .




0(4 )2

0 2(4 ) (4 )

(4 )

10y

h Cl

h C Cy C Cz l l C

l

M m dxM m dx F m dx F

I E m dx

⎛ ⎞= + ⇒ = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫∫ ∫ ∫

Az integrálok kiszámítása:

( ) ( ) ( )0(4 )

2 0 4 26 2h C

l

l F lM m dx l F l l⎡ ⎤⎛ ⎞= + − + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫

( ) ( )33 132 4 0

6 2 2 6l F l F lF l l l⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

,

( ) ( )2 22

(4 )

2 0 4 26C

l

lm dx l l⎡ ⎤= + − + − +⎣ ⎦∫

( ) ( )3

2 22 322 4 06 6l ll l⎡ ⎤+ − + − + =⎣ ⎦ .

3

3

13136 13

32 326

yC

F l

F Fl

−= − = = kN.

Az yCF pozitív, tehát felfelé mutat.

– A hiányzó támasztóerő koordináták meghatározása statikai egyensú-lyi egyenletekből:

0x AxF F= = , 0 2 3 4a By CyM l F l F l F= = − + , 22 kNByF = .

0 2 2b Ay CyM l F l F l F= = − − + , 3 kNAyF = − . c)




x

T [ ]kN

3−

19

13−

A B CDkN3 kN22 kN13

kN32

x

hM [ ]kNm12

26−

d) A veszélyes keresztmetszet meghatározása: Veszélyes keresztmetszet: D− .

Igénybevételei: 19yT = kN ,

26hzM = − kNm . Az igénybevételek szemléltetése:


Adott: xI = állandó, 52 1 10E = , ⋅ MPa. A nyírásból

és a húzásból származó alakváltozási energiát elhanyagoljuk.

Feladat:


0hzM <

0yT >

y

z

C

kNm3

A

B

y

z

m2

m4

s





c) A statikailag határozatlan szerkezet igénybevételi ábráinak megraj-zolása.

d) A tartó veszélyes keresztmetszetének meghatározása.

Kidolgozás:

a) A tartó statikai ismeretleneinek és a statikai egyenletek számának meghatározása: Az ismeretlen támasztóerő koordináták száma: 4. Statikai egyenletek száma: 3. A tartó statikailag egyszeresen határozatlan.

b) A támasztóerők meghatározása: – Statikailag határozottá tétel: A tartót négyféleképpen lehet statikailag határozottá tenni. 1. Elhagyjuk az A pontban az y irányú megtámasztást. 2. Elhagyjuk a C pontban az y irányú megtámasztást. 3. Elhagyjuk az A pontban az z irányú megtámasztást. 4. Elhagyjuk a C pontban az z irányú megtámasztást. Ha a negyedik esetet választjuk, akkor a tartó igénybevételei:

0 0,Cz C hx h Cz CT T F t M M F m= + = + . – A statikailag határozottá tett tartó igénybevételi ábrái:

C

kNm3

A

B

y

z

m2

m4

s D

AyF

AzF

CyF

C

A

B

y

zm2

m4

s D

CzFCyF

AzF

AyF

0 4 3a CyM F= = − + , 0 4 2a Cy CzM F F= = − − ,

C

kNm3

A

B

y

zm2

m4

s

CzFCyF

AyFAzF




0 75CyF⇒ = , kN, 0 5Cy CzF F⇒ = − , , 0 4 3d AyM F= = + , 0 4 2d Cy CzM F F= = − + ,

0 75AyF⇒ = − , kN, 0 5Ay CzF F⇒ = , , 0z AzF F= = .

0z Az CzF F F= = + Az CzF F⇒ = − . Az eredeti terhelés, valamint az egységnyi CzF értékhez tartozó igény-bevételi ábrák a törzstartón:

A B C

s0M [ ]kNm

3

A B C

s

Cm [ ]m 2

– Kinematikai előírás: a C pont z irányú elmozdulása zérus:

Castigliano tétel: 0CCz

UwF∂

= =∂

. 2

(6 ) 2hx

xm

MU dsI E

= ∫ ,

0hx h Cz CM M F m= + , ⇒ ( )20

(6 ) 2h Cz C

xm

M F mU ds

I E+

= ∫ .

( )0(6 )

10C h Cz C CCz x m

Uw M F m m dsF I E∂

= = = + =∂ ∫

20

(6 ) (6 )

1 1h C Cz C

x xm m

M m ds F m dsI E I E

= + =∫ ∫

20

(6 ) (6 )

1h C Cz C

x m m

M m dz F m dzI E

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ .

Az integrálok kiszámítása:

( )( )

0( )

4 3 2 4 1 5 1 0 86

C

h CB

M m dz = − ⋅ + − , + = −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ kNm 3 ,

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 22

( )

2 40 4 1 2 2 4 1 0 86 6

C

CB

m dz ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ m 3 .




0(6 )

2

(6 )

8 18

h Cm

CzC

m

M m dzF

m dz−

= − = − =∫

∫kN.

Az CzF pozitív, tehát z irányába mutat. – A hiányzó támasztóerő koordináták meghatározása statikai egyensú-lyi egyenletekből: 0 25AyF = − , kN, 0 25CyF = , kN, 1AzF = − kN.

c) Igénybevételi ábrák: A B C s

s

s

s

N [ ]kN

[ ]kN

[ ]kNm

T

hM

0,251

1 0,25

1

2

3kNm

d) A veszélyes keresztmetszet meghatározása: Veszélyes keresztmetszetek: Hajlításra és nyírásra: B− , húzásra: B+ .

11.3.6. feladat: Statikailag határozatlan rácsos tartó támasztó erőrend-szere

Adott: , ( 1, 2,...,7)iA E állandó i= = . (A rácsos tartóra vonatkozó, Statikában tanult feltételezésből következően valamennyi rúd igénybevétele tiszta húzás-nyomás)

Feladat:


2m 2m 2m

2mA B

4kN

12 3

45

y

x6

7

C





Kidolgozás:

a) A tartó statikai ismeretleneinek és a rendelkezésre álló statikai egyenletek számának meghatározása: Ismeretlenek: , , ,Ay Ax By CxF F F F , statikai egyenletek száma 3, a tartó egy-szeresen statikailag határozatlan

b) A támasztóerők meghatározása: Elhagyjuk a C pontban a megtámasztást, és előállítjuk a rúderőket

( )0 , 1, 2,...,7i i Cx iN N F n i= + = alakban.

( )70

10

i

i Cx i iC

iCz il

N F n nUu dlF A E=

+∂= = =∂ ∑∫ ,

7

01

72

1i

i i ii

Cx

ii

N n lF

n l

=

=

= −∑

∑

Rúd N0i[kN] li[m] ni[-] N0inili[kNm] 2i in l [m]

1 0 2 -1 0 2 2 0 2 0 0 0 3 2,83 2,83 0,71 6,36 1,41 4 4 4 0 0 0 5 -2,83 2,83 -0,71 6,36 1,41 6 -2 4 0,5 -4 1 7 5,66 2,83 0 0 0 ∑ 8,72 5,82

8,72 1,55,82CxF = − = − kN, 1,5AxF = kN, 1,25AyF = − kN, 5,25ByF = kN.


A B4kN

12 3

45

y

x6

7

CCxF

AxFAyF ByF




Adott: zI E = állandó, A nyírásból származó alakváltozási energiát elhanyagoljuk.

Feladat:



Megoldás:

a) A tartó statikai ismeretleneinek és a statikai egyenletek számának meghatározása: Ismeretlenek: , , ,Ay Ax By CyF F F F , statikai egyenletek száma 3, a tartó egyszeresen statikailag határozatlan

b) A támasztóerők meghatározása. 0AxF = kN, 3AyF = kN, 10ByF = kN, 3CyF = kN


Feladat:



Adott: zI E = állandó, A nyírásból és a húzás- nyomásból származó alakváltozási energiát elhanyagoljuk.

Megoldás:

A B

y

kNm4

2m 2m

C x

A

By

x

2m

2m

C

2kN

/m




a) A tartó statikai ismeretleneinek és a statikai egyenletek számának meghatározása: Ismeretlenek: , , ,Ay Ax By BxF F F F , statikai egyenletek száma 3, a tartó egy-szeresen statikailag határozatlan


1,75AxF = − kN, 0,25AyF = kN, 2,25BxF = − kN, 0,25ByF = − kN

Mechanika Szakirodalom



Szakirodalom

[1] M. Csizmadia B. – Nándori E.: Mechanika mérnököknek Szi-lárdságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002.

[2] Beer, F.P. – Johnston, E.R.: Mechanics of materials, McGraw-Hill Inc., New-York, 1992.

[3] Budinas, R.G.: Advanced Strength and Applied Sterss Analysis, McGraw-Hill International Edition, 1999.

[4] Schell, W. – Gross, D. – Hauger, W.: Technische Mechanik 2. – Elastostatik, Springer Verlag Berlin Heidelberg New-York, 1995.

[5] NME Mechanikai Tanszék Munkaközössége: Mechanika Példa-tár II., Tankönyvkiadó Budapest, 1981.

[6] Égert J. – Jezsó K.: Szilárdságtan példatár, Universitas Győr Kht. 2004.

[7] Jenkins, C. H. M. – Khanna, S. K.:Mechanics of materials, Elsevier Academic Press, 2005.

Documents

Mechanika_Szilardsagtan.pdf