1

Mechanika

Wykład 1

Paweł Staszel

2

Literatura (mechanika)

Podręczniki:1. C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika (kurs berkeleyowski, t. 1)2. A. K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, Wstęp do Fizyki t. 13. Halliday, Resnick, Podstawy Fizyki

A. Hennel, W. Krzyżnowski, W. Szuszkiewicz, K. Wódkiewicz, Zadania i problemy z fizykiJ. Walker, Podstawy Fizyki, zbiór zadań, PWN 2006

3

Polecam wykłady z mechaniki prowadzone w IF UJ w poprzednich latach:

1. Kompletne wykłady prof. R. Kulessy: http://users.uj.edu.pl/~kulessa

2. Materiały z wykładu prof. P. Salabury: http://users.uj.edu.pl/~salabura

3. Wykłady prof. J. Golaka: http://users.uj.edu.pl/~golak(skorzystałem z wielu plików graficznych i opracowań materiału)

Chciałem również podziękować dr. hab. E. Görlichowi za udostępnienie swoich notatek, które były mi bardzo pomocne przy konstruowaniu tego wykładu.

4

Wstęp matematyczny:własności liczb i algebra wektorów

(przypomnienie)

5

Algebra liczb

Dodawanie:1. a+b = b+a

2. a+(b+c) = (a+b)+c

3. a-b = a+(-b)

4. a+e = a (e=0)

Mnożenie:1. a*b = b*a

2. a*(b*c) = (a*b)*c

3. a*e = a (e=1)

Dodawanie i mnożenie:1. (a+b)*c = b*c + a*c

Grupa: para - zbiór liczb (W) i operacja (⊕)

1. a⊕b = c (jeżeli a,b ∈ W to również c ∈ W)

2. e⊕a = a (istnieje element neutralny)

3. a⊕a-1 = e (istnieje element odwrotny)

4. a⊕b = b⊕a (grupa abelowa)Zbiór liczb rzeczywistych z operacjami dodawania i mnożenia tworzy grupę.

6

Algebra wektorów

Dodawanie:

1.

2.

3.

4.

7

8

9

10

11

Iloczyn:a) iloczyn skalarny:

α

to funkcja parzysta ⇒

– rozdzielność mnożenia skalarnego względem dawania

– długość/moduł wektora

12

Przykład: prawo cosinusów

13

b) iloczyn wektorowy:

α

to funkcja nieparzysta ⇒

– rozdzielność mnożenia wektorowego względem dawania

14

Przykład: pole powierzchni równoległoboku

15

Algebra: zapis wektorów w bazie kartezjańskiej

Baza kartezjańska:

16

17

Sumujemy poszczególne składniki na zasadzie równoległoboku

18

19

dowolny inny wektor:

wektor położenia:

20

21

e2

e3

e1

22

Ćwiczenia:

1. Udowodnić następującą tożsamość wektorową:

23

Kinematyka punktu materialnego

Zajmować się będziemy opisem ruchu punktu materialnego.

Co to jest punkt materialny?

Jak opisać punkt materialny – ile potrzebujemy zmiennych?

→ liczba stopni swobody

Dygresja matematyczna (pochodne)

Prędkość średnia:

Co to jest prędkość chwilowa?

Zajmować się będziemy opisem ruchu punktu materialnego.

Co to jest punkt materialny?

Jak opisać punkt materialny – ile potrzebujemy zmiennych?

→ liczba stopni swobody

24

Przejście graniczne

25

Aby znaleźć prędkość potrzebujemy s(t)

Przykład 1:

Przykład 2: ,

Notacja:

26

Podstawowe twierdzenia o pochodnych:

pochodna funkcji mnożonej przez skalar

pochodna sumy funkcji

pochodna funkcji złożonej

pochodna iloczynu funkcji

27

Całka jest określona z dokładnością do stałej zwanej stałą całkowania

Dygresja matematyczna (Całkowanie)

Całkę oznaczamy jako

28

Interpretacja geometryczna całki (Całka Riemana)

x2

x1

29

Podstawowe twierdzenia o całkach:

Całkowanie przez części:

Wniosek: różniczkowanie i całkowanie są operacjami liniowymi

30

Wracamy do fizyki.

Prędkość:

31

Wracamy do fizyki.

Przyspieszenie:

Ćwiczenia:

1. Udowodnić powyższe związki między współrzędnymi wektora położenia a współrzędnymi wektora przyspieszenia w bazie kartezjańskiej.

W praktyce często znamy przyspieszenie i na tej podstawie chcemy wyznaczyć tor ruchu

I. w pierwszym kroku z całkując przyspieszenie po czasie

, stałą całkowania wyznaczamy z

warunków początkowych:

32

II. w drugim kroku z całkując prędkość po czasie

, stałą całkowania wyznaczamy z

warunków początkowych:

Przykład: a = const

33

Ogólnie: ⇒

34

Transformacja Galileusza (Galileo Galilei 1564-1642)

Ruch może być rozpatrywany tylko względem innych ciał, które tworzą układ odniesienia.Zasada Galileusza (ZG):Wszystkie inercjalne układy odniesienia są sobie fizycznie równoważne (obowiązują w nich takie same prawa fizyki).

Jaką mamy swobodę w wyborze układu współrzędnych:1) jednorodność czasu → dowolnie wybieramy chwilę początkową2) jednorodność przestrzeni → dowolnie wybieramy początek układu współrzędnych3) izotropowość przestrzeni → dowolnie wybieramy kierunki osi układu współrzędnych4) równoważność układów (ZG) → wybieramy dowolny układ inercjalny (poruszający się ze stałą prędkością względem jakiegoś inercjalnego układu współrzędnych)

35

Transformacja Galileusza (Galileo Galilei 1564-1642)

36

Transformacja Galileusza (Galileo Galilei 1564-1642)

Transformacja Galileusza mówi nam jak wiązać ze sobą współrzędne czasowe i przestrzenne punktu materialnego obserwowanego w dwóch różnych inercjalnych układach odniesienia.

37

Transformacja Galileusza (Galileo Galilei 1564-1642)

Transformacja z s do s'

Transformacja odwrotna z s' do s

38

Transformacja Galileusza mówi nam jak wiązać ze sobą współrzędne czasowe i przestrzenne punktu materialnego obserwowanego w dwóch różnych inercjalnych układach odniesienia.

Transformacja Galileusza (TG) zawiera pogląd o absolutności czasu. TG działa dobrze dopóki możemy zaniedbać wyrażenia postaci(V/c)2, tzn. dopóki V << c (c prędkość światła w próżni). Gdy V → c należy używać transformacji Lorentza. Transformacja „przechodzi” w TG dla małych prędkości.

Z Zasady Galileusza wynika że prawa fizyki są niezmiennicze względem TG.

39

Własności Transformacji Galileusza:(i) Odległość jest niezmiennikiem transformacji Galileusza.Załóżmy, że w chwili t w układzie s dwa punkty mają współrzędne x1,y1 ,z1 oraz x2, y2 ,z2 . W układzie s' te same dwa punkty będą miały współrzędne x'1,y'1 ,z'1 oraz  x'2, y'2 ,z'2    . Wyliczmy odległość między punktami w układzie primowanym l'12 

TG

(ii) Addytywne prawo dodawania prędkości:.Załóżmy, że w układzie s' ciało porusza się z prędkością        czyli    

40

41

(iii) Przyspieszenie ciała we wszystkich układach inercjalnych jest takie samo:

= 0

Przykłady składania ruchów:

Spadek swobodny

42

Przykłady składania ruchów:

Rzut poziomy

Rzut ukośny

Ćwiczenia:

1. „Przerobić” rzut ukośny (zasięg, wysokość, czas, tor – y(x)).