Mechanik II: Deformierbare Körper

Prof. D. Mohr

Mechanik II: Deformierbare Körper für D-BAUG, D-MAVT

Informationen zur Zwischenprüfung am 24.04.2020

Die Prüfung besteht aus Deckblatt und 7 Aufgabenteilen (A-G) auf

12 Seiten.

Sie haben 90 Minuten Zeit zur Bearbeitung der Aufgaben.

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Mechanik II: Deformierbare Körper Aufgabenblatt

für D-BAUG, D-MAVT Zwischenprüfung 24/4/2020

1/12

Teil A – Spannungen

Gegeben sei der Spannungstensor im x-y-z-Koordinatensystem:

0 3 1

3 0 0

1 0 0xyz

T k

mit 0k

Frage A1 (2 Punkte):

Man bestimme die maximale Hauptnormalspannung 1 (3D Fall):

A1. 8

mögliche

Antworten 1 8k

1 10k 1 3k 1 8k

1 4k 1 2k 1 6k 1 0

Frage A2 (2 Punkte):

Man bestimme die Normalspannung p , die auf ein Flächenelement wirkt, das durch den

Normalenvektor 1

1

1xyz

p

im x-y-z Koordinatensystem definiert ist

A2. 8

mögliche

Antworten

2p

k 4

3p

k 2

3p

k pk

3p

k 10

3p

k 8

3p

k 4p

k

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2/12

Frage A3 (2 Punkt):

Man bestimme den Betrag der Schubspannung p , die auf ein Flächenelement wirkt, das

durch den Normalenvektor 1

0

0xyz

p

im x-y-z Koordinatensystem definiert ist.

A3. 8

mögliche

Antworten

4p

k 2p

k 8p

k 6p

k

10p

k 3p

k 0p

7p

k

Frage A4 (2 Punkt):

Gegeben sei 1 0 3

0 1 0

3 0 1xyz

T k

mit 0k

Man bestimme die minimale Hauptspannung 3 .

A4. 8

mögliche

Antworten 3 2k 3 4k 3 k 3 3k

3

1

2k 3

3

2k 3

3

4k 3 2k

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3/12

Teil B - Verzerrungen:

Frage B1 (1 Punkt):

Für eine Scheibe wurde aus Messungen das folgende ebene Verschiebungsfeld ermittelt:

3 3

0

3 3

0

( , ) 2 10 6 10

( , ) 2 10 3 10

u x y u x y

v x y v x y

Man bestimme die Komponenten des Verzerrungstensors im x-

y-Koordinatensystem.

B1. 8

mögliche

Antworten 3

2 410

4 3xyE

32 4

104 3xy

E

3

2 610

6 3xyE

32 4

104 3xy

E

32 6

106 3xy

E

32 6

106 3xy

E

32 4

104 3xy

E

32 6

106 3xy

E

Frage B2 (2 Punkt):

Gegeben sei der Dehnungstensor E im x-y-z-Koordinatensystem:

4

12 3 0

3 4 0 10

0 0 0xyz

E

Man bestimme die dem Betrag nach maximale Winkeländerung max

:

B2. 8 mögliche

Antworten 4

max13 10

4

max12 10

4

max6 10

4

max3 10

4

max

310

2

4

max8 10

4

max9 10

4

max10 10

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Teil C - Stoffgesetz: Frage C1 (1.5 Punkte):

An einem Materialpunkt im Inneren eines Körpers wurde mit Hilfe von

Tomographiebildern der folgende Verzerrungstensor im xyz-Koordinatensystem

bestimmt: {𝐸}𝑥𝑦𝑧 = [ 2 1 −21 1 0−2 0 4 ] 𝜀0 mit 𝜀0 > 0

Man bestimme die Normalspannung in y-Richtung unter der Annahme linear-elastischen

Stoffverhaltens (Elastizitätsmodul E, Querkontraktionszahl 𝜈 = 13). C1.

8 mögliche

Antworten 06y E 02y E

0y 08y E

0

9

5y E

0

33

4y E

0

27

4y E 03y E

Frage C2 (2 Punkte):

Ein elastischer Quader (der Höhe ℎ, Breite 𝑎 und Tiefe 𝑏 im

unverformten Zustand) wird durch die Kraft 00 AP in einen

Hohlraum derselben Querschnittsfläche 𝐴 = 𝑎𝑏 gepresst. Sowohl der

Stempel wie auch die schraffiert dargestellten Wände können als starr

angenommen werden (die Reibung mit der Wand ist zu vernachlässigen).

Wie gross ist die axiale Dehnung des Quaders entlang der y-Richtung?

(Vorzeichenkonvention: 0y

für Verlängerung, 0y

für Verkürzung) unter der

Annahme linear-elastischen Stoffverhaltens (Elastizitätsmodul E, Querkontraktionszahl 𝜈 = 14). C2.

8 mögliche

Antworten 01

3y

E

0y

E

01

2y

E

07

8y

E

02

3y

E

01

6y

E

07

9y

E

05

6y

E

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5/12

Teil D - Querschnittseigenschaften:

Gegeben sei ein rechteckiger Querschnitt (der Breite 2a und

der Höhe 3a) aus dem ein Kreis (Durchmesser a)

ausgeschnitten wurde. Die Punkte auf der Unterseite liegen

auf der -Achse )0( .

Frage D1 (1.5 Punkte):

Man ermittle die Koordinate s des Schwerpunktes im dargestellten -

Koordinatensystem. (Bemerkung: in der obigen Abbildung ist die y-Achse lediglich

schematisch dargestellt; der exakte Abstand der parallelen y- und -Achsen kann nicht aus

der Abbildung abgelesen werden). Welche der vorgeschlagenen Antworten ist die beste

Näherung?

D1.

8 mögliche

Antworten

36

24s a

9

6s a

3

6s a

18

12s a

36

24s a

9

6s a

3

6s a

18

12s a

Frage D2 (1.5 Punkte):

Man bestimme das Flächenträgheitsmoment A

z dAyI2 für den dargestellten Querschnitt.

Die y-und z-Achsen seien Hauptachsen. Welche der vorgeschlagenen Antworten ist die

beste Näherung?

D2.

8 mögliche

Antworten 42

32zI a

4132

zI a

41

64zI a

46

32zI a

43

32z

I a

436

24zI a

4264

zI a

46

64zI a

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6/12

Teil E - Verformbare Strukturen:

Eine Tragkonstruktion besteht aus einem Biegebalken (Element B-C, Biegesteifigkeit zEI )

und zwei dünnen Drähten (Draht B-D, Draht D-C) mit gleicher Steifigkeit EA. Das System

wird durch die am Balken B-C angreifende Vertikalkraft 0F belastet. Im Biegebalken ist

die Verformung infolge der Normalkraft zu vernachlässigen, d.h. BCEA . Des Weiteren

ist das Eigengewicht aller Komponenten zu vernachlässigen.

Frage E1 (1 Punkt):

Man bestimme die horizontale Kraft HB , die durch das Lager an der Stelle B aufgenommen wird

(Vorzeichenkonvention: 0HB für Zugkraft, 0HB für Druckkraft).

E1.

8 mögliche

Antworten 5/FBH FBH

1

8H

B F 1

3H

B F

1

2H

B F 5

6H

B F 3

4H

B F 1

6H

B F

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7/12

Frage E2 (1.5 Punkte):

Man bestimme die Normalkraft DCN im Draht D-C (Vorzeichenkonvention: 0DCN für

Zugkraft, 0DCN für Druckkraft).

E2.

8 mögliche

Antworten 3 2

DCN F FNDC

3

2DC

N F FN DC2

5

FNDC 5 1

2DC

N F 3

2 2DC

N F 0DC

N

Frage E3 (1.5 Punkte):

Man bestimme die Längenänderung BDl im Draht B-D (Vorzeichenkonvention: 0 BDl für

Verlängerung, 0 BDl für Verkürzung).

E3.

8 mögliche

Antworten 4BD

Fll

EA

6BD

Fll

EA

2BD

Fll

EA

BD

Fll

EA

3

4BD

Fll

EA

5

8BD

Fll

EA

7

8BD

Fll

EA

3

2BD

Fll

EA

Frage E4 (2 Punkte):

Man bestimme den Betrag cv , um den sich der Punkt C nach unten (in y-Richtung) verschiebt.

Welche der vorgeschlagenen Antworten ist die beste Näherung?

E4.

8 mögliche

Antworten 2 2c

Flv

EA

3

2 2c

Flv

EA

2c

Flv

EA

3

2c

Flv

EA

2

c

Flv

EA

3

4c

Flv

EA

1

4c

Flv

EA 0

cv

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8/12

Frage E5 (1 Punkt):

Man bestimme den Verlauf des Biegemoments )(xM z im Balken B-C.

E5.

8

mögliche

Antworten

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9/12

Teil F – Spezielle Biegung

Der Balken A-B (Biegesteifigkeit zEI ) der Länge L ist an der Stelle A eingespannt. Am Ende

B ist ein Hebelarm der Länge L/4 angeschweisst an dessen Ende (Stelle C) eine Horizontalkraft

F angreift. Die Verformung des Hebelarms sei zu vernachlässigen (EI im Bereich B-C).

Frage F1 (1 Punkt):

Man bestimme den Verlauf des Biegemomentes ( )zM x im Balken A-B.

F1.

8

mögliche

Antworten

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10/12

Frage F2 (2 Punkte):

Man bestimme die Vertikalverschiebung Bv (in y-Richtung) des Punktes B.

F2.

8 mögliche

Antworten

33

8B

z

FLv

EI

3

2B

z

FLv

EI

3

4B

z

FLv

EI

3

8B

z

FLv

EI

33

4B

z

FLv

EI

33

2B

z

FLv

EI

35

8B

z

FLv

EI

3

B

z

FLv

EI

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11/12

Teil G – Allgemeine Biegung

Ein Balken A-D der Länge 2L mit quadratischem Vollquerschnitt (a=L/10) ist an der Stelle A

eingespannt. Er wird an der Stelle C durch eine Vertikalkraft mit dem Betrag F>0 belastet.

Des Weiteren greift an der Stelle D eine Horizontalkraft mit dem Betrag 10F>0 an.

Frage G1 (1.5 Punkte):

Welches der folgenden Bilder zeigt die beste Näherung für den Verlauf der Normalspannung

in x-Richtung im Querschnitt an der Stelle C? Hinweis: Oberseite (y=-a/2), Unterseite (y=a/2)

G1.

8 mögliche

Antworten

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12/12

Frage G2 (1.5 Punkte):

Man bestimme die dem Betrag nach maximale Normalspannung, maxI x , im ganzen

Balken.

G2.

8 mögliche

Antworten 270I

F

a

240I

F

a

220I

F

a

230I

F

a

2

10I

F

a

215I

F

a

242I

F

a

280I

F

a

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