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Disciplina: Mecânica dos FluidosEscola de Engenharia de Lorena
EEL – USP
Profa. Dra. Daniela Helena Pelegrine Guimarães (email: [email protected])
1) CONCEITOS E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DOS FLUIDOS;
2) ESTÁTICA DOS FLUIDOS;
3) CONCEITOS LIGADOS AO ESCOAMENTO DOS FLUIDOS;
4) ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE FLUIDOS NÃO VISCOSOS;
5) ESCOAMENTO VISCOSO INCOMPRESSÍVEL.
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA;
CONCEITOS DE SISTEMA E VOLUME DE CONTROLE;
3. CONCEITOS LIGADOS AO ESCOAMENTO DOS FLUIDOS:
CARACTERÍSTICAS E DEFINIÇÕES DOS ESCOAMENTOS;
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA.
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE Q.M.;
INTRODUÇÃO Á ANÁLISE DIFERENCIAL DO MOVIMENTO DE FLUIDOS:
ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO;
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA;
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA.
I. CARACTERÍSTICAS E DEFINIÇÕES DE ESCOAMENTO:
DEFINIÇÃO: - É O ESTUDO DOS CONCEITOS REFERENTES AO MOVIMENTO DOS FLUIDOS DE UM LOCAL A OUTRO, NO INTERIOR DE UM SISTEMA DE TRANSPORTES, EM UMA PLANTA PROCESSADORA, ONDE OS FLUIDOS COMEÇAM A ESCOAR A PARTIR DE FORÇAS AGINDO SOBRE ELES. RESUMINDO, É UM BALANÇO DAS FORÇAS QUE CONTRIBUEM PARA O ESCOAMENTO E DAS QUE SE OPÕE A ESTE MOVIMENTO.
IMPORTÂNCIA:
PROJETOS DOS EQUIPAMENTOS PROCESSADORES (BOMBAS, TANQUES, TROCADORES DE CALOR, TUBULAÇÕES,...);
MINIMIZA AS PERDAS DE ENERGIA NAS INDÚSTRIAS;
EVITA UM SUB OU SUPER DIMENSIONAMENTO DOS EQUIPAMENTOS.
TROCADORDE
CALOR
TANQUE
BOMBA
FORÇAS DE INÉRICA
FORÇAS VISCOSAS
- FLUIDO ESCOA A PARTIR DE FORÇAS AGINDO SOBRE ELE (PRESSÃO, GRAVIDADE, FRICÇÃO E EFEITOS TÉRMICOS): TANTO A MAGNITUDE QUANTO A DIREÇÃO DA FORÇA QUE AGE SOBRE O FLUIDO SÃO IMPORTANTES.
UM BALANÇO DE FORÇAS EM UM ELEMENTO DE FLUIDO É ESSENCIAL PARA A DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS QUE CONTRIBUEM PARA O ESCOAMENTO E DAS QUE SE OPÕE A ESTE MOVIMENTO.
VISCOSASFINERCIAISFVELOCIDADE .,.,
SESCOAMENTODETIPOS
OBOMBEAMENTENERGIA
VEGETALÓLEOÁGUA EVISCOSIDADEVISCOSIDAD
LENTAMENTEMAISESCOAÓLEO
BOMBEARPARAPOTÊNCIA
DESCRIÇÃO QUANTITATIVA DAS CARACTERÍSTICAS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS:
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE:
NÚMERO DE REYNOLDS:
REGIMES OU MOVIMENTOS VARIADO E PERMANENTE.
VELOCIDADE MÉDIA DO ESCOAMENTO
ESCOAMENTO LAMINAR
ESCOAMENTO TURBULENTO
VARIADO: V=f(x,y,z,t)
PERMANENTE: V=f(x,y,z)
:t FLUIDO EM MOVE-SE ATÉ ,XX ,YY - PARA QUE A MATÉRIA SEJA CONSERVADA:
,, YYEMMASSAXXEMMASSA
222111 AVAV EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
1dA2dA
1x
2x,XX Y
,Y
II. EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA:
EXEMPLO:
COMBUSTÍVEL
slitrosQ 8,1
cm3?V
COMBUSTÍVEL
slitrosQ 8,1
cm,51
?V
EXEMPLO 2:
EXEMPLO 3: Um gás escoa em regime permanente no trecho de tubulação da figura. Na seção (1), tem-se A1=20 cm2, 1=4 kg/m3 e V1=30 kg/m3 . na seção (2), A2=10 cm2 e 2=12 Kg/m3. Qual é a velocidade na seção (2)?
(1) (2)
ESCOAMENTO LAMINAR:
ESCOAMENTO DE TRANSIÇÃO:
12 mm
1m
III. ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO:
ESCOAMENTO TURBULENTO:
13 mm
DmDv
ascosvisforçasinerciaisforças
NRe
4
LAMINARESCOAMENTO.Re 1002
TRANSIÇÃO.Re. 00041002
TURBULENTOESCOAMENTO.Re 0004
PARA ESCOAMENTO DE UM FLUIDO NO INTERIOR DE UM TUBO:
PARA ESCOAMENTO DE UM FLUIDO SOBRE UMA PLACA :
LAMINARESCOAMENTO 000.500Re
TURBULENTOESCOAMENTO 000.500Re
1) QUAL O TEMPO MÍNIMO PARA ENCHER TODO O TANQUE, SOB CONDIÇÕES DE ESCOAMENTO LAMINAR?
2) QUAL O TEMPO MÁXIMO PARA ENCHER TODO O TANQUE, SOB CONDIÇÕES DE ESCOAMENTO TURBULENTO?
EXEMPLO:
BOMBA
TANQUE
cm3
m5,1
m3
- FLUIDO:
3040.1m
Kg
sPa 610600.1
Z1
A B
1S
C D
2S
1P
1u
2P2u
Z2
INICIALMENTE UMA CERTA QUANTIDADE DO FLUIDO ESTÁ ENTRE OS PONTOS A E C E, APÓS UM PEQUENO INTERVALO DE TEMPO t, A MESMA QUANTIDADE DO FLUIDO MOVE-SE PARA OUTRA LOCALIZAÇÃO, SITUADA ENTRE OS PONTOS B E D.
II. EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA:
- SUPOSIÇÕES:
ESCOAMENTO CONTÍNUO E ESTACIONÁRIO, SENDO A VAZÃO MÁSSICA CONSTANTE;
PROPRIEDADES DO FLUIDO CONSTANTES;
CALOR E TRABALHO DE EIXO ENTRE O FLUIDO E A VIZINHANÇA SÃO TRANSFERIDOS À TAXA CONSTANTE.
ENERGIAS ELÉTRICA E MAGNÉTICA SÃO DESPREZÍVEIS.
Z1
A B
1S
C D
2S
1P
1u
2P2u
Z2
CADBaumento EEE
CBBACA EEE
DCCBDB EEE
BADCaumento EEE
2
222 2
1 zgVUmE DC
1
211 2
1 zgVUmE BA
122
12
212 21 zzgVVUUmEaumento (*)
- MAS DE QUE MANEIRA OCORRE A TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA ENTRE O SISTEMA E SUAS VIZINHANÇAS ?
CALOR (Q)
TRABALHO (W)
1) COMO CALOR – ENERGIA TRANSFERIDA, RESULTANTE DA DIFERENÇA DE TEMPERATURA ENTRA O SISTEMA E SUAS VIZINHANÇAS.
-T.AMB.>T.S. SISTEMA RECEBE CALOR DO AMBIENTE
-T.AMB.<T.S. AMBIENTE RECEBE CALOR DO SISTEMA
0Q
0Q2) COMO TRABALHO - ENERGIA TRANSFERIDA COMO RESULTADO DO MOVIMENTO MECÂNICO.
SISTEMA REALIZA TRABALHO ENERGIA DO SISTEMA
0W
0WVIZINHANÇA REALIZA TRABALHO ENERGIA DO SISTEMA
A B
1S
C D
2S
Z1
1P
1v
2P2v
Z2
TRABALHO DEVE SER REALIZADO SOBRE O SISTEMA PARA QUE O FLUIDO ENTRE NO SISTEMA;
TRABALHO DEVE SER REALIZADO PELO FLUIDO, SOBRE A VIZINHANÇA, PARA QUE O FLUIDO DEIXE O
SISTEMA. AMBOS OS TERMOS DEVEM SER INCLUÍDOS NA
EQUAÇÃO DO BALANÇO DE ENERGIA.
WQE CONSIDERANDO: (**)
TRABALHOS DE FLUXO E DE EIXO:
- O TRABALHO LÍQUIDO, W, REALIZADO EM UM SISTEMA ABERTO POR SUAS VIZINHANÇAS PODE SER ESCRITO COMO:
WWW fs
W s TRABALHO DE EIXO, REQUER A PRESENÇA DE UM DISPOSITIVO MECÂNICO (POR EXEMPLO, UMA BOMBA);
W f TRABALHO DE FLUXO, OU TRABALHO FEITO PELO FLUIDO NA SAÍDA DO SISTEMA MENOS O TRABALHO FEITO SOBRE O FLUIDO NA ENTRADA DO SISTEMA.
xAPxFW f
VPW f
VPW f 111
- ENTRADA DO SISTEMA: TRABALHO FEITO SOBRE ELE, PELO FLUIDO LOGO ATRÁS:
- SAÍDA DO SISTEMA: FLUIDO REALIZA TRABALHO SOBRE A VIZINHANÇA:
O TRABALHO DE FLUXO TOTAL É: VPVPW f 1122
VPW f 222
1122 VPVPWQE S PORTANTO:
(***)
- (***)=(*):
m,i
,im WEEzguPzguPQ
121
21
1
12
22
2
2
21
21
EQUAÇÃO GERAL DE ENERGIA
- PARA UM FLUIDO IDEAL, INCOMPRESSÍVEL, EM UM PROCESSO QUE NÃO ENVOLVA TRANSFERÊNCIA DE CALOR E SEM REALIZAÇÃO DE TRABALHO E COM A ENERGIA INTERNA DE ESCOAMENTO DO FLUIDO PERMANECENDO CONSTANTE:
22221
211 2
121 zguPzguP
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
EXEMPLO 1: ESCOAMENTO DE ÁGUA ATRAVÉS DE UM BOCAL, CONFORME MOSTRADO:
A1=0,1 m2
LINHA DE CORRENTEA2=0,02 m2
V2=5,0 m/sP2=Patm
1 2
DETERMINAR P1-Patm
EXEMPLO 2: UM TUBO EM U ATUA COMO UM SIFÃO DE ÁGUA. A CURVATURA DO TUBO ESTÁ A 1 METRO ACIMA DA SUPERFÍCIE DA ÁGUA E A SAÍDA DO TUBO ESTÁ A 7 METROS ABAIXO DA SUPERFÍCIE DA ÁGUA. A ÁGUA SAI PELA EXTREMIDADE INFERIOR DO SIFÃO COMO UM JATO LIVRE PARA A ATMOSFERA. DETERMINAR A VELOCIDADE DO JATO LIVRE E A PRESSÃO ABSOLUTA MÍNIMA NA CURVATURA.
(1)
(2)
(A)
8,0 m
1,0 m
III. INTRODUÇÃO Á ANÁLISE DIFERENCIAL DO MOVIMENTO DE FLUIDOS:
- PARA QUE A MATÉRIA SEJA CONSERVADA:
,, YYEMMASSAXXEMMASSA
xAxA 222111
222111 uAuA
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
1dA2dA
1x
2x,XX Y
,Y
- CONSIDERANDO UM ESCOAMENTO DE UM SISTEMA (QUANTIDADE FIXA DE UM FLUIDO) AO LONGO DE UM VOLUME DE CONTROLE:
SISTEMA
VOLUMEDECONTROLE
tt t tt
SCVCSIS
dAnVdt
dDtD ^
- COMO A MASSA PERMANECE CONSTANTE, EM UM ESCOAMENTO PERMANENTE:
0Dt
DM SIS
SCVC
dAnVdt
^
III.1 SOBRE UM ELEMENTO DE VOLUME xyz:
Z
x
Y
(x,y,z)
(x+x,y+ y,z+ z)
y
x
z xu xxu
massade
saída
detaxa
massade
entrada
detaxa
massadeacúmulo
detaxa
zyxtmassade
acúmulo
zyumassade
entradax
- NA DIREÇÃO x:
Zx
Y
(x,y,z)
(x+x,y+ y,z+ z)
z
x
y xu xxu
zyumassade
saídaxx
- NA DIREÇÃO y:
- NA DIREÇÃO Z:
zxvmassade
entraday
zxv
massade
saídayy
yxwmassade
saídayy
yxwmassade
saídayy
zzzyyy
xxx
wwyxvvxz
uuzyt
zyx
x
Y
(x,y,z)
(x+x,y+ y,z+ z)
y
x
z xu xxu
Z
0
zw
yv
xuP/ REGIME PERMANENTE, FLUIDO INCOMPRESSÍVEL:
EXEMPLO: OS COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE DE UM ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL E QUE OCORRE EM REGIME PERMANENTE SÃO DEFINIDOS POR:
DETERMINE A FORMA DO COMPONENTE DA VELOCIDADE NA DIREÇÃO Z (w) QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE.
EXEMPLO 2: NO CONJUNTO CILINDRO-PISTÃO MOSTRADO NA FIGURA ABAIXO, DETERMINAR A TAXA DE VARIAÇÃO DA MASSA ESPECÍFICA E UMA POSSÍVEL EQUAÇÃO QUE EXPRESSE TAL VARIAÇÃO EM FUNÇÃO DO TEMPO.
LxVu
mL 15,0
smV 12
zyzxyvzyxu
222
30 18 mKg
- ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO:
Vmzydx
dF,
VmM - DA FÍSICA:
- FLUIDO: ESCOA QUANDO UMA FORÇA AGE SOBRE ELE. ESTA FORÇA, CAUSA VARIAÇÃO NA QUANTIDADE DE MOVIMENTO (M).
III.4. EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO:
- FORÇAS SOBRE UM ELEMENTO DE FLUIDO:
- SUPERFÍCIE- NORMAIS
- TANGENCIAIS
PRESSÃO
CISALHAMENTO
- CORPO (OU CAMPO)- GRAVIDADE*- CAMPOS ELÉTRICOS - CAMPOS MAGNÉTICOS
- FORÇAS SOBRE UM ELEMENTO DE FLUIDO:
- SUPERFÍCIE- NORMAIS
- TANGENCIAIS
PRESSÃO
CISALHAMENTO
- CORPO (OU CAMPO)- GRAVIDADE*
- CAMPOS ELÉTRICOS
- CAMPOS MAGNÉTICOS
III.4.1 FORÇAS DEVIDO À PRESSÃO:
x
y
(x,y,z)
(x+ x,y+ y,z+z)
y
x
zXP
- FORÇA DE PRESSÃO SOBRE A FACE ESQUERDA:
- FORÇA DE PRESSÃO SOBRE A FACE DIREITA:
- FORÇA LÍQUIDA DE PRESSÃO NA DIREÇÃO DO MOVIMENTO:
z
xxP
zyPx
zyP xx
zyxxP
- COMO O EIXO Y É VERTICAL E ORIENTADO PARA CIMA:
0
0
z
y
x
g
ggg
dxdydzzpf
dxdydzgypf
dxdydzxpf
z
yy
x
III.4.2 FORÇAS VISCOSAS:
GENERALIZAÇÃO DA LEI DE NEWTON:
YV
AF
dydu
yx OU
Y 0tFLUIDO INICIALMENTE EM
REPOUSO
PLACA INFERIOR POSTA EM MOVIMENTO0t
DESENVOLVIMENTO DE VELOCIDADE EM
ESCOAMENTO TRANSIENTEpequenot
grandety
x
DISTRIBUIÇÃO FINAL DE VELOCIDADES EM
ESCOAMENTO PERMANENTE
x
y
z(x,y,z)
x
y
z
x
px
z
Pzx
y
z
y Py x
y
z
x
y
z
yyyz
yxxy
xz
xx
zyzz
zx
XXÁREA
FORÇA
yzyx
zxzy
xyxz
,,,
FORÇAS SUPERFICIAIS TANGENCIAIS
(TANGENCIAL À ÁREA DEFORMA)
zzzz
yyyy
xxxx
p,p,p,
FORÇAS SUPERFICIAIS NORMAIS(NORMAL À ÁREA)
- TENSÕES MOLECULARES: z,y,xj,ip ijijij
jise
jiseij
0
1
ijijij p Força na direção j sobre uma área unitária perpendicular à direção i.
ijijij p Fluxo de momento de direção j na direção i positiva.
- TRANSPORTE CONVECTIVO DE MOMENTO:
x
y
z(x,y,z)
yx
y
zxv
xz zv
x
yz
yv
SUMÁRIO DOS COMPONENTES DE TENSOR TENSÃO MOLECULAR (OU TENSOR FLUXO MOLECULAR DE MOMENTO):
Direção normal à área
sombreada
Vetor força por unidade de área agindo sobre a área
sombreada
Componentes das forças agindo sobre a área sombreada
x y z x xxx p xxxx p xyxy xzxz y yyy p yxyx yyyy p yzyz z zzz p zxzx zyzy zzzz p
SUMÁRIO DOS COMPONENTES DE FLUXO CONVECTIVO DE MOMENTO:
Direção normal à área
sombreada
Fluxo de momento através da superfície sombreada
Componentes do fluxo convectivo de momento x y z
x vx xx yx zx y vy xy yy zy z vz xz yz zz
O fluxo combinado de momento é: vvpvv
xxxxxxxxxx p
yxxyyxxyxy
Exemplos: xxxxxxxxxx p
-EQUAÇÕES DE BALANÇO DE MOMENTO PARA COORDENADAS RETANGULARES:
fluidoo
sobreexternataxa
momentode
saídadetaxa
momentodeentrada
detaxa
momentodeaumento
detaxa
x
Y
Z
xxx
xxxx
yyx
yyyx
zzx
zzzx
zymomentode
entradaxxx
x
zymomentode
saídaxxxx
xx
xzmomentode
entradayyx
y
xzmomentode
saídayyyx
yy
yxmomentode
entradazzx
z
yxmomentode
saídazzzx
zz
- COMPONENTE X:
2
2
2
2
2
2
zu
yu
xu
xpg
zuw
yuv
xuu
tu
x
- COMPONENTE y:
2
2
2
2
2
2
zv
yv
xv
ypg
zvw
yvv
xvu
tv
y
- COMPONENTE z:
2
2
2
2
2
2
zw
yw
xw
zpg
zww
ywv
xwu
tw
z
-EQUAÇÕES DE BALANÇO DE MOMENTO PARA COORDENADAS RETANGULARES PARA UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL:
DETERMINE:
- EXEMPLO: LÍQUIDO ESCOANDO PARA BAIXO SOBRE UMA SUPERFÍCIE PLANA, INCLINADA, EM UM FILME LAMINAR, PERMANENTE E DE ESPESSURA h.
h=1mm
Largura = 1m=15
A) AS EQUAÇÕES SIMPLIFICADAS DE NAVIER-STOKES;
B) O PERFIL DE VELOCIDADES;
C) A DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO;
D) A FORÇA QUE O LÍQUIDO FAZ SOBRE A PLACA.
- EM COORDENADAS CILÍNDRICAS:
x
z
y Força exercida pelo fluido na direção de + sobre um elemento de superfície (R)dz:
zRdRrr
r xy
(x,y,z) ou (r,,z)z
x
y
zcosrx rseny
zz
x
z
y Força exercida pelo fluido na direção de +z sobre um elemento de superfície (Rd)dz:
zRRrrz
xz
y
Força exercida pelo fluido na direção de +z sobre um elemento de superfície (dr)(dz):
rdzz 2
- COMPONENTE r:
rrr
rr
zrr
rr g
zvv
rv
rrv
rrrrp
zv
vrvv
rv
rv
vtv
2
2
22
2
2
2 211
- COMPONENTE :
g
zvv
rv
rrv
rrrp
rzv
vrvvv
rv
rv
vtv r
zr
r
2
2
22
2
2
2111
- COMPONENTE z:
zzzzz
zzz
rz g
zvv
rrv
rrrz
pzv
vv
rv
rv
vtv
2
2
2
2
2
11
- EXEMPLO: ESCOAMENTO VISCOMÉTRICO LAMINAR EM REGIME PERMANENTE DE UM LÍQUIDO NEWTONIANO NO ESPAÇO ANULAR ANTRE DOIS CILINDROS VERTICAIS CONCÊNTRICOS. O CILINDRO INTERNO É ESTACIONÁRIO E O EXTERNO GIRA COM VELOCIDADE CONSTANTE.
Z
R1
R2
z
r
DETERMINE:A)AS EQUAÇÕES SIMPLIFICADAS DE NAVIER-STOKES;B) O PERFIL DE VELOCIDADES NA FOLGA ANULAR;C) A DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO NA FOLGA ANULAR.
D
KD
V
D
KD
V
- EXEMPLO 3: CONSIDERE O SISTEMA DA FIGURA, NA QUAL UM ARAME É MOVIMENTADO NUM CILINDRO COAXIAL A UMA VELOCIDADE V. ENCONTRE A DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NO FLUIDO E A FORÇA NECESSÁRIA PARA MOVIMENTAR O ARAME. A PRESSÃO NO TANQUE 2 É LIGEIRAMENTE SUPERIOR À PRESSÃO NO TANQUE 1. O FLUIDO É INCOMPRESSÍVEL E NEWTONIANO E ESCOA EM REGIME LAMINAR. CONSIDERE REGIME PERMANENTE.
r
z