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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Seance 1 deMecanique des fluides :
ondes, couches limites et turbulence
Emmanuel Plaut, Mathieu Jenny, Jean-Sebastien Kroll-Rabotin
Page web : http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mf
Completer le module Mecanique des fluides 1
• en continuant a reflechir a la physique
• en enrichissant celle-ci de nouveaux phenomenes : compressibilite, interfaces...
• en allant plus vers le « calcul »
pour affronter
ρdv
dt= − ∇�p + ηΔv . (NS)
1
Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Seance 1 deMecanique des fluides :
ondes, couches limites et turbulence
Emmanuel Plaut, Mathieu Jenny, Jean-Sebastien Kroll-Rabotin
Page web : http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mf
Completer le module Mecanique des fluides 1
• en continuant a reflechir a la physique
• en enrichissant celle-ci de nouveaux phenomenes : compressibilite, interfaces...
• en allant plus vers le « calcul » en fonction des situations
• ondes → analyses lineaires de stabilite analytiques
• couches limites → eq. de Prandtl → EDO resolues num. avec Matlab
• turbulence → modeles de Prandtl & Karman, modele k − �,
fouille d’une base de donnees de simulations numeriques avancees...
pour affronter
ρdv
dt= ρ
�∂v
∂t+
�∇v
�· v
�= − ∇�p + ηΔv . (NS)
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Seance 1 de Mecanique des fluides 2 : O, CL, T
Emmanuel Plaut
Modele du fluide parfait applique aux ecoulements instationnaires :
ondes sonores...
1 Les ondes sonores, ou de la compressibilite des fluides...
...exemple d’ondes non dispersives...
2 Critere d’effets de compressibilite dans les fluides
3 TD
Emmanuel Plaut, Mathieu Jenny, Jean-Sebastien Kroll-Rabotin
3
Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Elles sont calculees par analyse lineaire de stabilite (cf. la section 3.1.1) de l’etat de repos
p = p0 , ρ = ρ0 , v = 0 ,
d’un fluide parfait compressible non pesant (cf. le pb de TD 3.1).
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Elles sont calculees par analyse lineaire de stabilite (cf. la section 3.1.1) de l’etat de repos
p = p0 , ρ = ρ0 , v = 0 ,
d’un fluide parfait compressible non pesant (cf. le pb de TD 3.1).
Ondes ←→ petites perturbations
p = p0 + p� , ρ = ρ0 + ρ� , v = 0 + v� = v� ,
rapidement oscillantes, par ex. les ondes planes sont en
exp[i(kx − ωt)] avec ω = 2πf , 16 Hz � f � 16 kHz
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Elles sont calculees par analyse lineaire de stabilite (cf. la section 3.1.1) de l’etat de repos
p = p0 , ρ = ρ0 , v = 0 ,
d’un fluide parfait compressible non pesant (cf. le pb de TD 3.1).
Ondes ←→ petites perturbations
p = p0 + p� , ρ = ρ0 + ρ� , v = 0 + v� = v� ,
rapidement oscillantes, par ex. les ondes planes sont en
exp[i(kx − ωt)] avec ω = 2πf , 16 Hz � f � 16 kHz
=⇒ les particules fluides n’ont pas le temps d’echanger de la chaleur
←→ evolution adiabatique reversible ou isentropique
Avec le coefficient de compressibilite isentropique
κS =1
ρ
∂ρ
∂p
���S
= − 1
V∂V∂p
���S
on aδρ
ρ0= κS δp ⇐⇒ ρ� = ρ0κS p� . (Thermo)
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Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Ondes ←→ petites perturbations
p = p0 + p� , ρ = ρ0 + ρ� , v = 0 + v� = v� ,
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Ondes ←→ petites perturbations
p = p0 + p� , ρ = ρ0 + ρ� , v = 0 + v� = v� ,
Loi de conservation de la masse∂ρ
∂t+ div(ρv) = 0 (masse)
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Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Ondes ←→ petites perturbations
p = p0 + p� , ρ = ρ0 + ρ� , v = 0 + v� = v� ,
Loi de conservation de la masse∂ρ
∂t+ div(ρv) = 0 (masse)
linearisee∂ρ�
∂t= − ρ0 divv (masse)
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Ondes ←→ petites perturbations
p = p0 + p� , ρ = ρ0 + ρ� , v = 0 + v� = v� ,
Loi de conservation de la masse∂ρ
∂t+ div(ρv) = 0 (masse)
linearisee∂ρ�
∂t= − ρ0 divv (masse)
Interpretation Φ : cas d’un champ v = λ1x1e1 + λ2x2e2 :
(λ1,λ2) = (1,1), (−1,− 1)
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Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Ondes ←→ petites perturbations
p = p0 + p� , ρ = ρ0 + ρ� , v = 0 + v� = v� ,
Loi de conservation de la masse∂ρ
∂t+ div(ρv) = 0 (masse)
linearisee∂ρ�
∂t= − ρ0 divv (masse)
Interpretation Φ : cas d’un champ v = λ1x1e1 + λ2x2e2 :
(λ1,λ2) = (1,1), (−1,− 1)
divv > 0 =⇒ ∂ρ�
∂t< 0, ρ� ↓ | divv < 0 =⇒ ∂ρ�
∂t> 0, ρ� ↑
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Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Ondes ←→ petites perturbations
p = p0 + p� , ρ = ρ0 + ρ� , v = 0 + v� = v� ,
Equation d’evolution de la quantite de mouvement, pour un fluide parfait ?
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Ondes ←→ petites perturbations
p = p0 + p� , ρ = ρ0 + ρ� , v = 0 + v� = v� ,
Equation d’evolution de la quantite de mouvement, pour un fluide parfait ?
Une fois linearisee, l’equation d’Euler s’ecrira
ρ0∂v
∂t= −∇p� (Euler)
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Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Ondes ←→ petites perturbations
p = p0 + p� , ρ = ρ0 + ρ� , v = 0 + v� = v� ,
Equation d’evolution de la quantite de mouvement, pour un fluide parfait ?
Une fois linearisee, l’equation d’Euler s’ecrira
ρ0∂v
∂t= −∇p� (Euler)
Interpretation Φ : cas avec un minimum � et maximum ⊕ local de pression :
� ⊕
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Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Equations couplees :
ρ� = ρ0κS p� (Thermo)
∂ρ�
∂t= − ρ0 divv (masse)
ρ0∂v
∂t= −∇p� (Euler)
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Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Equations couplees :
ρ� = ρ0κS p� = p�/c2 (Thermo)
∂ρ�
∂t= − ρ0 divv (masse)
ρ0∂v
∂t= −∇p� (Euler)
=⇒ equation de propagation (de d’Alembert)
∂2p�
∂t2=
1
ρ0κSΔp� .
Modes normaux ondes planes neutres en exp[i(kx − ωt)] avec
vphase =ω
k= c =
1√ρ0 κS
=⇒ ∂2p�
∂t2= c2Δp� .
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Equations couplees :
ρ� = ρ0κS p� = p�/c2 (Thermo)
∂ρ�
∂t= − ρ0 divv (masse)
ρ0∂v
∂t= −∇p� (Euler)
=⇒ equation de propagation (de d’Alembert)
∂2p�
∂t2=
1
ρ0κSΔp� .
Modes normaux ondes planes neutres en exp[i(kx − ωt)] avec
vphase =ω
k= c =
1√ρ0 κS
=⇒ ∂2p�
∂t2= c2Δp� .
• gaz = air en condition atmos. :
modele du gaz parfait =⇒ κS = (γgp)−1 = 7,05 10−6 Pa−1
=⇒ c = 343 m/s verifie experimentalement !9
Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Equations couplees :
ρ� = ρ0κS p� = p�/c2 (Thermo)
∂ρ�
∂t= − ρ0 divv (masse)
ρ0∂v
∂t= −∇p� (Euler)
=⇒ equation de propagation (de d’Alembert)
∂2p�
∂t2=
1
ρ0κSΔp� .
Modes normaux ondes planes neutres en exp[i(kx − ωt)] avec
vphase =ω
k= c =
1√ρ κS
=⇒ ∂2p�
∂t2= c2Δp� .
• liquide = eau en condition atmos. :
mesures experimentales =⇒ c � 1400 m/s
=⇒ κS � 5 10−10 Pa−1
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
De la dispersion d’ondes en general
Connaissant la relation ω = ω(k), on considere, dans une situation quasi-1D,
un « paquet d’ondes » centrees sur le nombre d’onde k :
ζ(x ,t) =�
q�k
�A(k + q) exp{i [(k + q)x − ω(k + q)t]} + c.c.
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
De la dispersion d’ondes en general
Connaissant la relation ω = ω(k), on considere, dans une situation quasi-1D,
un « paquet d’ondes » centrees sur le nombre d’onde k :
ζ(x ,t) =�
q�k
�A(k + q) exp{i [(k + q)x − ω(k + q)t]} + c.c.
Le developpement limite ω(k + q) = ω(k) + ω�(k) q + O(q2) =⇒
ζ(x ,t) =
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
De la dispersion d’ondes en general
Connaissant la relation ω = ω(k), on considere, dans une situation quasi-1D,
un « paquet d’ondes » centrees sur le nombre d’onde k :
ζ(x ,t) =�
q�k
�A(k + q) exp{i [(k + q)x − ω(k + q)t]} + c.c.
Le developpement limite ω(k + q) = ω(k) + ω�(k) q + O(q2) =⇒
ζ(x ,t) = E(x ,t)� �� �enveloppe lentement variable
exp{i [kx − ω(k)t]}� �� �porteuse
+ c.c.
En 1ere approximation l’enveloppe qui decrit les modulations de la porteuse
est une onde se propageant a la vitesse de groupe
vg (k) = ω�(k) =dω
dk.
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
De la dispersion d’ondes en general
Connaissant la relation ω = ω(k), on considere, dans une situation quasi-1D,
un « paquet d’ondes » centrees sur le nombre d’onde k :
ζ(x ,t) =�
q�k
�A(k + q) exp{i [(k + q)x − ω(k + q)t]} + c.c.
Le developpement limite ω(k + q) = ω(k) + ω�(k) q + O(q2) =⇒
ζ(x ,t) = E(x ,t)� �� �enveloppe lentement variable
exp{i [kx − ω(k)t]}� �� �porteuse
+ c.c.
En 1ere approximation l’enveloppe qui decrit les modulations de la porteuse
est une onde se propageant a la vitesse de groupe
vg (k) = ω�(k) =dω
dk.
Ondes dispersives ⇔ vg depend de k (ou ω) ⇔ vp =ω
kdepend de k (ou ω).
Ondes non dispersives
⇔ vg =dω
dk= constante = c ⇐⇒ ω = ck ⇐⇒ vp =
ω
k= c independant de k .
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
De la dispersion d’ondes en general
Connaissant la relation ω = ω(k), on considere, dans une situation quasi-1D,
un « paquet d’ondes » centrees sur le nombre d’onde k :
ζ(x ,t) =�
q�k
�A(k + q) exp{i [(k + q)x − ω(k + q)t]} + c.c.
Le developpement limite ω(k + q) = ω(k) + ω�(k) q + O(q2) =⇒
ζ(x ,t) = E(x ,t)� �� �enveloppe lentement variable
exp{i [kx − ω(k)t]}� �� �porteuse
+ c.c.
En 1ere approximation l’enveloppe qui decrit les modulations de la porteuse
est une onde se propageant a la vitesse de groupe
vg (k) = ω�(k) =dω
dk.
Ondes dispersives ⇔ vg depend de k (ou ω) ⇔ vp =ω
kdepend de k (ou ω).
Ondes non dispersives
⇔ vg =dω
dk= constante = c ⇐⇒ ω = ck ⇐⇒ vp =
ω
k= c independant de k .
Les ondes sonores sont non dispersives !12
Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Equation de propagation (de d’Alembert)
∂2p�
∂t2= c2Δp�
Discussion sur la forme des solutions
• en geometrie 1D cartesienne, p� = p�(x ,t) = F (x − ct) + G(x + ct)
• en geometrie 3D spherique, p� = p�(r ,t), l’equation devient
∂2p�
∂t2=
c2
r
∂2(rp�)
∂r 2⇐⇒ ∂2rp�
∂t2= c2
∂2(rp�)
∂r 2
donc les solutions sont de la forme
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Ondes sonores... ou de la compressibilite des fluides
Equation de propagation (de d’Alembert)
∂2p�
∂t2= c2Δp�
Discussion sur la forme des solutions
• en geometrie 1D cartesienne, p� = p�(x ,t) = F (x − ct) + G(x + ct)
• en geometrie 3D spherique, p� = p�(r ,t), l’equation devient
∂2p�
∂t2=
c2
r
∂2(rp�)
∂r 2⇐⇒ ∂2rp�
∂t2= c2
∂2(rp�)
∂r 2
donc les solutions sont de la forme
p� =1
rF (r − ct) +
1
rG(r + ct)
←→ effet d’attenuation (pas d’amortissement !)...
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Critere d’effets de compressibilite dans les fluides
• Ecoulement de vitesse caracteristique V
• Theoremes de Bernoulli =⇒ p� � ρ0V2
• Relation thermodynamique
ρ� =
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
Critere d’effets de compressibilite dans les fluides
• Ecoulement de vitesse caracteristique V
• Theoremes de Bernoulli =⇒ p� � ρ0V2
• Relation thermodynamique
ρ� =p�
c2� ρ0V
2
c2=⇒ ρ�
ρ0� V 2
c2= M2
avec le nombre de Mach
M =V
c
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Plan Ondes sonores Critere de compressibilite TD
TD de 14h45 a 16h45
Groupe Charge de TD Laboratoire
G1 Mathieu Jenny Lemta
G2 Emmanuel Plaut Lemta
G3 Jean-Sebastien Kroll-Rabotin IJL
Pb 3.1 Etude detaillee d’ondes sonores planes
• quantifier les approximations faites en cours
• cacracteriser la structure fine de l’onde, jusqu’au champ de deplacement
• definir differentes intensites acoustiques
• determiner les ordres de grandeur...
Ex 3.1 Etude de l’effet coup de belier
• effet important et dangereux pour des installations industrielles !
x
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