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Cours Mécanique des Fluides Mastère Professionnel-Génie Pétrolier –2009/10

Chapitre 0 : INTRODUCTION A LA GENIE DES PROCEDE

Génie des procédés : c’est la branche des sciences physique (Mayh, physique, chimie…..)

Usine : chaîne de transformation de la matière première en produit consommable par l’humanité.

Entre l’entrée et la sortie de l’usine il y a des fluides (liquide ou gaz) qui sont en écoulement d’où donc l’intérêt d’étudier les lois qui régissent ces écoulement : c’est la mécanique des fluides qu’on appel aussi le transfert de la quantité de mouvement.

Ces fluides peuvent subir des différences de transformation don des quantités de chaleur vont être échangé : c’est le transfère thermique de chaleur.

Quand il y’a un gradient ; on adopte d’on le transfert de matière Le réacteur c’est le lieu de la réaction chimique et nécessite une part importante de notre

attention, car c’est "le cœur de procédé", il ne présente pas l’investissement le plus important dans un procédé mais l’obtention d’on rendement en produit élevé est une quantité de produit intéressante si on sait faire fonctionner d’une manière optimale le réacteur et surtout si on maitrise les options unitaires qui sont en amont ( la préparation de la matière première) et les options qui sont en avale (purification des produits)

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Chapitre 1 : INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES FLUIDES

A) Généralité

La Mécanique des Fluides (MDF) est la science qui étudie l’équilibre et le mouvement des fluides (ensemble des liquides et gaz).

Un fluide est en mouvement lorsqu’il se déplace : c’est la dynamique des fluides

B) Définition d’un fluide

On peut définir un fluide comme une substance successible de déplacer (s’écouler), elle prend la forme du récipient qui le contient. Elle n’offre aucune résistance aux changements de forme

On peut répartie les fluides en liq et en gaz : les principales différences entre les liquides et gaz sont :

Les liquides

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Cours Mécanique des Fluides Mastère Professionnel-Génie Pétrolier –2009/10 Les liquides occupent des volumes bien défini et présente une surface libre horizontal, de

plus sont pratiquement incompressibles. Les gaz Les gaz se dilatent pour occuper tout le volume qui lui est offert. Ne présente pas de surface

libre et ils sont compressibles. La compressibilité d’un fluide : c’est le faite d’écraser, de diminuer le volume d’une masse

"m" d’un fluide sous l’effet d’une augmentation de pression.

Cas des liquides

Cas des gaz

La masse volumique d’un fluide compressible et fonction de P (exemple pour un gaz parfait) Pour un gaz parfait :

1) Propriété spécifique des fluidesa) masse volumique

la masse volumique d’un fluide c’est la masse de l’unité de volume du fluide :

Rappel

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Grandeur Longueur Masse Temps Température

Dimension L M T

Exercice 1

1) Trouver la dimension, l’unité SI, c.g.s et l’unité anglo-saxonne des grandeurs suivante

Surface : S Volume : V Vitesse : v Accélération : a Force : F Pression : P

2) Trouver la dimension et l’unité dans le système SI de la cte des gaz parfait R

Réponse :1)

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2)

Exercice 2

Calculer la masse volumique de l’air dans les conditions TPN %L’air se comporte comme un gaz parfait (N2O2 car l’air n’est à l’état atomique)

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2) Compressibilité isotherme d’un fluide

Dans la pratique on considère le liq pratiquement incompressible et les gaz compressible, dans la réalité tout les fluides présente un certain degré de compressibilité car quand

La compressibilité isotherme d’un fluide est définit a partir de la relation :

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Cette exemple montre que les gaz même dans les conditions parfaite doit être considérer comme fluide compressible.

3) Pression –contrainte tangentielle de viscosité

Considérons un milieu matériel contenue et isotrope (même propriété physique en tout pt de l’espace) soit la résultante des forces de contact qui applique à un élément de surface

entourant un pt M si

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Quand un fluide réel en mouvement il est soumis à une composante normale qui constitue la force motrice et des forces de frottement représenté par la contrainte qui retarde le mouvement.

L’expérience montre que lorsque la vitesse du fluide réelle diminue alors diminue, lorsque la vitesse devient nulle, .

On comprend par la que la contrainte dépend de la vitesse et que plus le mouvement est rapide que les frottements sont intense et d’autre part en statique des fluides et la seule force qui agit seul est la composante normale .

Un fluide réel est fluide visqueux c'est-à-dire un fluide parfait sa viscosité est nulle et par conséquent les forces, contrainte d’un cisaillement sont nulles, on comprend par la dépend aussi de la viscosité.

En conclusion dépend de la viscosité, dépend de la vitesse et la viscosité dynamique

Au repos STATIQUE DES FLUIDES

En mouvement DYNAMIQUE DES FLUIDES

Fluide parfait

Fluide réelle

En statique des fluides il n ya pas de ségrégation pour la nature. En effet le comportement d’un fluide parfait et le même d’un fluide réel.

Chapitre 2 : STATIQUE DES FLUIDES

A) Introduction

La statique des fluides est l’étude des fluides au repos. On a vue au chapitre précédent que le comportement d’un fluide parfait et réel sont les mêmes et que toute les actions sont normales puisque

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B) Principe fondamentale de la statique des fluides

Considérons un fluide au repos de masse volumique , soit un volume de fluide en système (x, y, z). Soit un élément de volume dV différentielle de fluide se trouvant dans la masse de fluide, l’élément de volume est stationnaire (ne dépend pas ni de temps ni de l’espace) il y a un volume dv = dx.dy.dz

Bilan des forces

L’élément du fluide est au repos car

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A l’équilibre la somme des forces de pesanteur et de pression est nul ou bien la somme des projections sur chacun des axes sont simultanément

Le P.F.S des fluides signifie que les surfaces isobare sont des plans horizontaux et que le gardien de la pression et diriger suivant (la verticale et vaut )

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Autre démonstration du PFSDF

Pour généraliser, soit un volume V de fluide au repos contourner par une seule face(A) soit dV un élément de volume à l’intérieur contourné par une petite surface dA.

Bilan des forces

C) Théorème d’Archimède

Soit un fluide au repos de masse volumique pour simplifier la démonstration on va prendre, à l’équilibre la somme du poids et la résultante de la force de pression égale à 0.

Si on remplace le volume de fluide en solide géométriquement identique et de même forme il est clair que les forces de pression et leurs résultantes ne soient pas changées.

Pour calculer la résultante des forces de pression on a deux moyens : Par le poids du fluide déplacé et donc le solide a pris le placer Soit par le calcul de et ceci n’est pas possible on a un des formes géométrique simple C-1) Enoncé Théorème d’Archimède

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Cours Mécanique des Fluides Mastère Professionnel-Génie Pétrolier –2009/10 La poussée exercée (résultante des forces de pression) par un fluide incompressible et

homogène en équilibre (repos) sur un solide immergé (totalement plongé) est une force égale et opposée au poids du fluide déplacé (qui est appliqué au centre de gravité) cette énoncé n’est pas valable intégralement si le fluide est compressible ou si le solide est plongé dans deux fluides incompressible non miscible.

D) Principe de PASCAL

Principe : une augmentation de pression intégralement dans un fluide incompressible au repos.

Application : la presse hydraulique

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Chapitre 3 : DYNAMIQUE DES FLUIDES

A) Généralité

La dynamique des fluides est l’étude des fluides en mouvement on a vue en statique des fluides que les fluides étaient au repos et que la seul force interactivité d’action la composante normale de la pression. En dynamique des fluides s’ajoute en plus de la contrainte tangentielle de viscosité s’appelle aussi la contrainte de cisaillement ou force de frottement.

La composante normale joue le rôle de la force motrice qui donne le mouvement alors que est une force de frottement qui retarde le mouvement, en dynamique des fluides il faut considérer

trois notions supplémentaires : 1) le principe de conservation de la masse a partir duquel on établi l’équation de continuité2) le principe de conservation de la quantité de mouvement a partir de la quel on établi les

équations de la quantité de mouvement3) le principe de conservation de l’énergie cinétique a partir de la quelle on établi certain

équations nécessaires a l’écoulement du fluide

B) Les régimes d’écoulement en mécanique des fluides (expérience de RYNOLDS)

L’expérience consiste à visualiser l’aspect du colorant dans le fluide pour différent débit d’écoulement par action sur la vanne R.

si R est ferméeaucun résultat pas d’écoulement

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Cours Mécanique des Fluides Mastère Professionnel-Génie Pétrolier –2009/10 si R est ranglée (débit faible)On remarque que le colorant s’écoule dans le fluide sous forme d’une ligne parallèle à l’axe du tube sans se mélangé ni oscillée dans le reste du fluide : régime LAMINAIRE cette situation va être la même pour d’autre débit plus grand par ouverture successive de la vanne la régime laminaire est un écoulement unidirectionnel, on augmentant la vitesse du fluide

dans le tube T qu’a partir d’un certain débit le filet de colorant commence à s’agiter et a onduler autour de l’axe et les oscillation augmente avec le débit: régime TRANSITION (régime intermédiaire).

A partir d’une certaine ouverture du robinet le colorant se mélange totalement avec le reste du fluide régime TURBULENT.

Reynolds a remarqué que les paramètres dépendent le passage d’un écoulement à un autre sans la nature du fluide donc .

La température donc la viscosité dynamique Du débit d’écoulement donc de la vitesse du fluide De la section du tube T donc de son section D Le problème est difficile pour le résoudre car ces paramètres sont adimensionnels.

Reynolds à chercher une relation entre ces quatre paramètres de tel façon quel soit sans dimension il a trouvé quel soit sans dimension, il a trouvé le nombre de Reynolds :

est un nombre adimensionnel c’est le nombre de REYNOLDS

en effet

C) Equation de NEWTON

Considérons un milieu fluide compris entre deux plaques planes de grande dimension, l’une fixe et l’autre mobile à la vitesse Cte v.

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La Cte de proportionnalité est appelée viscosité dynamique de fluide on généralisant cette constatation expérimentale cas d’un milieu fluide laminaire on peut établir la relation phénoménologique dit de NEWTON

avec : gradient de vitesse

: Contrainte tangentielle de viscosité ou flux conductif de la quantité de mouvement

Interprétation de la loi de NEWTON

La loi de NEWTON : peut être interpréter en terme de quantité de mouvement dans la direction des x a son tour cette couche va transformer une partie de cette quantité de mouvement au couche inférieur ou couche profonde qui permette de rester en mouvement, on peut interpréter comme un flux conductif en quantité de mouvement. veulent dire que la quantité de mouvement est suivant x et la conduction est suivant y.

Remarque : la couche qui est en contacte avec la plaque fixe ne bouge pas V=0 : c’est la condition limite dite d’adhérence ou aussi de non glissement.

Interprétation du signe – de l’équation de NEWTON

La quantité de mouvement se transmet toujours de zone haute vitesse vers les zones de plus basse vitesse c'est-à-dire comme l’indique notre figure c'est-à-dire dans le sens des y négative négatif pour que soit une constante physique positif il faut un signe –

Les fluides qui obéissent à la loi de NEWTON sont appelés fluide NEWTONIEN Tout les gaz est une grande partie du liquide usuel obéissent à la loi de NEWTON c'est-à-dire

que la contrainte tangentielle de viscosité est proportionnel au gradient de vitesse.

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D) Définition de la viscosité

i) viscosité dynamique

On peut définir la viscosité comme résistance à l’écoulement c’est l’inverse de la fluidité.Au cour de l’écoulement d’un fluide ces différentes couches glisse les unes contre les autres ce qui provoque une baisse d’énergie à cause de l’apparition des forces tangentielle de viscosité se sont des forces de frottement.

ii) viscosité cinétique

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L’absence de la dimension masse dans l’équation à la dimension de explique son dimension.

Pour les liquides Pour l’eau à 20°C à 90°C Pour les gaz quand

Pour les liquides est due force de liaison intermoléculaire exemple Vanderval, London si la liaison diminue la c’est pourquoi la viscosité

Pour les gaz est due aux chocs intermoléculaires. L’agitation thermique est le désordre moléculaire augmente avec la température c’est pourquoi la viscosité avec la température (l’entropie ).

E) Equation de continuité

Soit un fluide en écoulement à travers une section droite.Tube de courant à l’ensemble des fluides des lignes des courants.

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L’équation de continuité traduit la conservation de la masse (matière) c'est-à-dire la masse du fluide par unité de temps est Cte au cour de l’écoulement.

E-1) Généralisation de l’équation de continuité

Le bilan de conservation de la matière sur un élément de volume à l’intérieur de volume de fluide (cette élément de volume est choisit stationnaire)

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F) Equation de mouvement- équation de NAVIERS-STOCKS

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Il faut considérer se bilan 3 fois : La conservation suivant le bilan 1 de la composante donne l’équation suivant La conservation suivant le bilan 1 de la composante donne l’équation suivant La conservation suivant le bilan 1 de la composante donne l’équation suivant

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La conservation de la composante selon le bilan 1 permet d’obtenir l’équation selon . Vue les symétries on peut déduire facilement cette équation de mouvement .

La conservation de la composante selon le bilan 1 permet d’obtenir l’équation selon . Vue les symétries on peut déduire facilement cette équation de mouvement .

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Cours Mécanique des Fluides Mastère Professionnel-Génie Pétrolier –2009/10Ces trois équations constituent les équations de mouvement dans un système de cordonnées

cartésiens (x, y, z), on peut déduire par conséquent l’équation vectoriel qui va être valable après projection dans un système adéquat pour tout les écoulements.

équation vectorielle générale de mouvement applicable pour tous les mouvements et les systèmes de coordonnées : le cas limite comme statique des fluides on trouve

Remarque :On peut trouver une autre écriture de cette équation vectorielle on utilisant la notion de

dérivé particulaire cette équation s’écrit :

F-1) Equation de NAVIERS-STOCKS

Si l’équation de mouvement qu’on vient d’établir représenté le mouvement de tout milieu contenue, il faut remarquer qu’elle comprend un nombre beaucoup plus élevé d’inconnue que d’équation le problème et indéterminé.

On obtient des expressions exploitable en éliminent à l’aide des équations rhéologique les inconnues en contrainte. Dans le cas d’un milieu Newtonien on utilise les expressions du tableau 1 en annexe.

Après substitution dans les équations de mouvement on obtient un système de 3 équations aux dérivées partielles.

Se système se simplifie dans le cas d’un fluide incompressible et à viscosité et on obtient les équations de NAVIERS-STOCKS

Si le fluide et parfait on obtient l équations de EULER

Remarque :

Les équations de NAVIERS-STOCKS pour chaque système de cordonné sont portées sur les tableaux 2, 3, 4, 5 en annexe.

Exemple d’application des bilans différentiels

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Cours Mécanique des Fluides Mastère Professionnel-Génie Pétrolier –2009/10Nous venons d’établir les outils de basse de mécanicien des fluides qui est l’équation de

continuité et les 3 équations de la quantité de mouvement.La résolution des ces 4 équations donne 4 inconnue de problème sont 3 composantes de

vitesses et la pression.

F-2) Equation de l’énergie mécanique

Si on multiplie l’équation de mouvement par la vitesse on obtient l’équation de l’énergie mécanique

Chapitre 4 : EQUATION DE BERNOULLI

On va établir le théorème de BERNOULLI dans un cas limite simple c'est-à-dire moyennant certain hypothèse et on passerait par la suite au cas réelle.

A) Cas limite

Hypothèse

On suppose que le fluide est parfait et incompressible La conduite est rectiligne, lisse (≠ rugueuse), ne contenant pas d’obstacle (pas de vanne,

coude, diaphragme, pas d’élargissement ni rétrécissement de section) Le fluide n’échange pas de chaleur ou du travail avec le milieu extérieur (pas de

pompe, turbine, compresseur)Considérons alors un tube de courant (ensemble des lignes de courant)

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On écrivant qu’il ya conservation de la masse et de l’énergie cinétique c'est-à-dire que la variation de l’énergie cinétique du fluide = somme des travaux de force intérieur et extérieur on arrive au théorème BERNOULLI

On chaque point de l’écoulement du fluide, chaque thermes passe de (1) possède une

dimension de hauteur du fluide

Sous la forme (2) chaque thermes du théorème BERNOULLI est équivalent à une dimension d’énergie :

: Énergie potentielle

: Énergie cinétique

: Énergie des forces de pression

Au court d’un mouvement le fluide peut avoir transformation d’une forme d’énergie à une autre forme par exemple transformation des énergies potentielle en énergie cinétique en énergie de force des pressions, quand une véhicule traverse un oued mais la somme reste toujours constantes.

Remarque : 1)

Le terme (hauteur piézométrique) alors que le terme s’appelle la pression

dynamique exprimé en hauteur du fluide

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En terme c’est une pression dynamique exprimé en pression

2)On écrivant souvent le théorème BERNOULLI sous la forme d’une équation

BERNOULLI lorsque on écrit se théorème entre deux points du trajet du fluide :

B) Cas réel

Dans la réalité les fluides ne sont pas parfait ils ont une viscosité et lors de l’écoulement d’un fluide ces couches frotte les unes contre les autres et aussi contre les parois du tubes.

Se frottement engendre une perte d’énergie à cause des contraintes tangentielle de viscosité : on dit alors qu’il ya des PERTES DE CHARGE par frottement ou friction ou perte de charge linéaire, donc il faut corriger l’équation de BERNOULLI et tenir compte de ces pertes

Le fluide lors de son parcourt peut rencontrer des obstacles : coudes, changement de section, vannes, clapets…… : le fluide frappe l’obstacle et perte de l’énergie et reprend son mouvement (avec une énergie plus faible) : on dit alors qu’il ya PERTES DE CHARGE par accident de parcourt, il faut corriger l’équation de BERNOULLI et tenir compte des pertes de charge singulaires Au total il faut tenir compte dans l’équation de BERNOULLI de la perte de charge totale :

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C) Calcul des pertes de charge par friction

C-1) En régime laminaire

En régime turbulent on utilise pour calculer les pertes de charge l’équation de DARCY

avec f : facteur de friction ou frottement ou aussi facteur de famingf dépend uniquement de nombre de Reynolds si on reste loin des extrémité du tube il existe

dans la littérature qui donne f ou en fonction du pour plusieurs tube et différent écoulement, se pendant il est préférable d’utiliser l’abaque

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par exemple : formule de BLASIUS

D) Calcul des pertes de charge par accident de parcourt

On utilise des formules semi-empiriques valables en régime turbulent car c’est le régime le plus rencontré dans l’industrie.

D-1) Élargissement de section

k : coefficient de singularité il dépend du rapport du section , les arrête sont vive (pas d’arrondi)

cas important , on prend k = 1 (grand réservoir + tuyau)

D-2) Rétrécissement de section

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0 0.8 0.6 0.4 0.2 ≈0

k 0 0.07 0.21 0.36 0.45 0.5

Si les bords sont arrondis

D-3) Cas des coudes

0 15 30 60 90 120

k 0 0.02 0.07 0.37 1 1.86

D-4) Cas des coudes arrondi

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Remarque : dans toutes ces formules on utilise pour calculer et k dépend de la nature

de l’accident

La perte de charge totale = toute les pertes de charge par friction + toute les pertes de charge par accident de parcourt

Remarque importante :

On utilise par fois pour calculer les pertes de charge par accident de parcours à la place de

on utilise

: c’est la longueur équivalent à l’accident de parcours elle représente une

longueur de conduite rectiligne dans laquelle on obtiendrait par friction une perte de charge équivalente à la perte de charge par accident de parcours.

E) Les pompes

Une pompe est une machine qui donne de la charge au fluide, elle donne de l’énergie ou travaille et par conséquent il faut corriger l’équation de BERNOULLI pour tenir compte à la charge de la pompe

La puissance P d’une pompe est

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