MecanicaClasica-Tema7-MACOSX

8/16/2019 MecanicaClasica-Tema7-MACOSX

http://slidepdf.com/reader/full/mecanicaclasica-tema7-macosx 1/18

Teoría general de las oscilaciones acopladas.

Consideremos sistemas conservativos en los cuales la energía potencial es función de la

posición solamente. Vamos a suponer que las ecuaciones de transformación que definen las

coordenadas generalizadas del sistema q1,q2,…,qn, no contienen al tiempos explícitamente.Así pues, se excluirán las limitaciones dependientes del tiempo. Se dice que el sistema está en

equilibrio cuando se anulan las fuerzas generalizadas que actuán en él. Por lo tanto la energía

potencial tiene un valor extremo en la configuración de equilibrio del sistema.

Nos va a interesar el movimiento del sistema en la inmediata proximidad de una

configuración de equilibrio estable. Como las desviaciones respecto al equilibrio han de ser pequeñas, todas las funciones se podrán desarrollar en series de Taylor en torno al equilibrio,

conservándose solamente los términos de segundo orden e inferior. Representaremos por ! j

las desviaciones de las coordenadas generalizadas respecto al equilibrio:

qi = qoi +!i

Desarrollando la energía potencial en torno a qo.

U q1,q

2,!,qn( ) = U qo1

,qo2,!,qon( )+

!U

!qi

" # $

% & '

qoi

(

)**

+

,--.

i +1

2

!2U

!qi!q j

"

# $%

& ' qoi

(

)**

+

,--.

i.

j

Qi =

!U

!qi

" # $

% & '

qoi

= 0 = fuerzas generalizadas



Los términos lineales en !i se anulan automáticamente a consecuencia de la aplicación de

condición de equilibrio. Si desplazamos el cero arbitrario de energía potencial, para que

coincida con el potencial de equilibrio, se anula este término. Por tanto nos quedan

únicamente los términos cuadráticos.

U q1,q

2,!,qn( ) =

1

2

!2U

!qi!q j

"

# $%

& ' qoi

(

)**

+

,--.

i.

j =

1

2U ij .

i.

j

En donde las segundas derivadas de U se han designado por las

constantes U ij que sólo dependen de los valores de equilibrio de las

coordenadas qi. De su definición, resulta que las U ij son simétricas, es

decir U ij = U ji. Los mismos argumentos se utilizan para la energía

cinética.

T =1

2T ij !!i

!! j

Por tanto la

lagrangiana está

dada por: L =

1

2 T ij !!i

!! j

"

U ij !i! j

( )

Así, la ecuación

de movimiento se

obtiene de:

d

dt

! L

! !qi

"

# $

%

& ' (

! L

!qi

= 0

! L

! !"i

=

1

2T ij !" j

d

dt

! L! !"i

# $ %

& ' ( =

1

2T ij !!" j

!! L

!"i

= # 1

2U ij " j

y

1

2

T ij !!! j +U ij ! j

( )= 0 !

T ij !!! j +U ij ! j = 0



Dado que proviene de un oscilador, Se propone una solución del tipo: ! j = C j e

" i# t

!! j

= "i# C j

e" i# t

!!! j

= "# 2C

j

e"i# t

! ! T ij

!" 2C

j

e! i" t

( )+U

ij

C j

e! i" t

( )= 0

U ij !" 2T ij = 0Simplificando queda:

Sustituyendo los valores de los elementos de las energías cinética y potencial, nos queda un

determinante que está representado por:

U 11 !

" 2T

11 U

12 !"

2T 12

! U 1n !

" 2T

1n

U 21 !"

2T

21 U

22 !"

2T

22 ! U

2n !"

2T

2n

" " # "

U n1 !"

2T n1

U n2 !"

2T n2

! U nn !"

2T nn

= 0

Está condición es de hecho una ecuación algebraica de grado n en "2 y las raices del

determinante nos dan las frecuencias para las cuales representa una solución correcta a las

ecuaciones de movimiento.

Es decir que este determinante nos da las frecuencias naturales a las cuales oscila el sistema.



Coordenadas normales para oscilaciones acopladas

Un movimiento oscilatorio de esta clase puede ser muy complejo (incluso puede ser no

periódico), pero siempre es posible, a través del procedimiento matricial descrito, caracterizar

el movimiento de un sistema oscilante en función de las coordenadas normales, que tienen la propiedad de que cada una de ellas oscila con una pulsación bien definida. Es decir las

coordenadas normales se construyen de tal forma que no existe acoplamiento entre ellas, aún

cuando haya acoplamiento entre las coordenadas ordinarias (rectangulares) que definen las

condiciones de las partículas.

Cuando se resuelve un sistema acoplado con coordenadas normales, se hallan los modos

normales de oscilación, que son las formas naturales en que se mueve el sistema, a los cualescorresponde una frecuencia de oscilación.

La característica fundamental de un sistema acoplado, es que las ecuaciones diferenciales de

movimiento dependen de las velocidades, aceleraciones y posiciones de las otras

coordenadas, por ejemplo:

estas dos ecuaciones diferenciales están acopladas, así un sistema de coordenadas normales es

aquel que nos da ecuaciones generalizadas de movimiento independientes o desacopladas,

por ejemplo:

m!! x = !kx ! k ( x ! y)

m!! y = !ky + k ( x ! y);

m!! x = !kx ! b! x

m!! y = !ky ! b! y;

Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales desacopladas se conocen como los modos

normales del sistema.



Problema.- Dos objetos, uno de masa m y el otro de masa 2m están conectados por un resorte

de constante k . a) Halle las energías cinética y potencial del sistema. b) Halle la frecuencia

angular de oscilación para los modos normales.

m m2k

!1n !

2n Solución. Si ponemos nuestro origen en la masa m y las energías

cinética y potencial para este sistema son:

La primera línea para la matriz de

coeficientes de energía potencial, es:

!U !n

1

= k n2 " n

1( ) "1( )

T =1

2m !n

1

2+ 2m !n

2

2( ) U =1

2k n

2 ! n

1( )2

;

! U 11

= !

2

U !n

1

2 = k U

12 = !

2

U !n

2!n

1

= "k ;

!U

!n2

= k n2 " n

1( ) ! U 22

=

!2U

!n2

2 = k U

21 =

!2U

!n1!n

2

= "k ;

Para la segunda línea, tenemos:

U ij !" 2T ij =

k !" 2

m !k

!k k ! 2" 2

m= 0

El determinante es:

! 0=! ! = ±3k

2m

;k !" 2m

( ) k ! 2"

2m

( )! k

2= 0

Cuya solución para la frecuencia es:



Problema.- Dos péndulos simples de longitud l están unidos uno a otro por un resorte de de

constante k . cada péndulo tiene una lenteja de masa m. Halle la frecuencia angular de

oscilación para los modos normales.

! 1

m

l !

2

m

l

k

Solución.- Escribiendo las energías cinéticas de ambos péndulos como si estuvieran desacoplados.

T =1

2ml

2 !! 1

2+ ml

2 !! 2

2( )

U = !mgl cos"

2 ! mgl cos"

1+1

2k l sin"

2 ! l sin"

1( )

2La energía potencial es:

!U

!" 1

= mgl sin" 1+ kl 2 sin"

1 # sin"

2( ) cos"

1( )

U 11 =

!!"

1

!U !"

1

#

$ %

&

' ( = mgl cos" 1 + kl 2

cos

2

" 1 + sin" 1 ) sin" 2( )sin" 1*+ ,-

Para pequeñas oscilaciones se tiene que # 1 ! # 2 :

U 11 =

!

!" 1

!U

!" 1

#

$ %

&

' ( = mgl + kl 2

Para la primera fila



U 12

=

!!"

2

!U

!" 1

#

$ %&

' ( = 0) kl 2cos"

2cos"

1 * )kl

2

!U !"

2

= mgl sin" 2 + kl 2 sin"

2 # sin"

1( ) cos"

2( )Para la segunda fila

U 21

=

!!"

1

!U

!" 2

#

$ %&

' ( = 0) kl 2cos"

1cos"

2 * )kl

2

U 22 =

!!"

2

!U !"

2

# $ %

& ' ( = mgl cos"

2 + kl 2 cos

2"

2 + sin"

2 ) sin"

1( )sin"

2*+ ,-

U 22 =

!!"

2

!U !"

2

#

$ %&

' ( = mgl + kl 2

U ij !"

2T ij =

mgl + kl 2 !" 2ml 2 !kl

2

!kl 2 mgl + kl 2 !" 2ml 2

= 0El determinante es:

! 2=

mgl + kl 2 ± kl 2

ml 2

!

! 1

2=

mgl + 2kl 2

ml 2

! 2

2=

g

l

;



La lagrangiana para este sistema es:

L =1

2ml 2 !!

1

2+ml 2 !!

2

2( )+mgl cos! 2 +mgl cos!

1"

1

2kl 2 sin!

2 " sin!

1( )

2

Aplicando la ecuación de

Euler- Lagrange para "1:

! L! !"

1

= ml2 !"

1 #

d

dt

! L! !"

1

$ % &

' ( ) = ml

2 !!" 1

! L

!" 1

= #mglsin" 1 # kl

2sin"

2 # sin"

1( ) #cos" 1( )

Reuniendo los términos se tiene:

Para "2:

ml2 !!!

1+mglsin!

1" kl

2sin!

2 " sin!

1( ) cos! 1( ) = 0 ………. (1)

! L

! !"

2

= ml2 !"

2 #

d

dt

! L

! !"

2

$

% &

'

( ) = ml

2 !!" 2

! L

!" 2

= #mglsin" 2 # kl

2sin"

2 # sin"

1( ) cos" 2( )

ml2 !!!

2 +mglsin!

2 + kl

2sin!

2 " sin!

1( ) cos! 2( ) = 0 ………. (2)



ml2 !!!

1+mgl!

1" kl

2!

2 "!

1( ) = 0 ………. (1)

ml2 !!!

2 +mgl!

2 + kl

2!

2 "!

1( ) = 0 ………. (2)

! 1 = C

1e" i# t

$ !! 1 = "i# C

1e"i# t

$ !!! 1 = "#

2C

1e"i# t

! 2 = C

2e"i# t

$ !! 2 = "i# C

2e"i# t

$ !!! 2 = "#

2C

2e"i# t

! 1 = C

1e" i# t

$ !! 1 = "i# C

1e"i# t

$ !!! 1 = "#

2C

1e" i# t

! 2 = C 2e"i# t

$ !! 2 = "i# C 2e

" i# t

$ !!! 2 = "#

2

C 2e" i# t

ml2!"

2C

1e! i" t ( )+ mgl C

1e!i" t ( )! kl

2C

2e!i" t

!C 1e! i" t ( ) = 0 ………. (3)

ml2!"

2C

2e! i" t ( )+ mgl C

2e! i" t ( )+ kl

2C

2e! i" t

!C 1e!i" t ( ) = 0 ………. (4)

mgl + kl2

!

"

2

ml2

( )C 1e!i" t

!kl

2

C 2e! i" t

= 0 ………. (5)

!kl2C

1e! i" t

+ mgl + kl2!"

2ml

2( )C 2e! i" t

= 0 ………. (6)

mgl + kl 2 !" 2ml 2 !kl 2

!kl 2 mgl + kl 2 !" 2ml 2

= 0



Problema.- tres cuerpos están conectados por medio de resortes, y están restringidos a

moverse en un círculo de radio R. Los puntos de equilibrio están apartados 120° y las

constantes de los resortes son todas iguales a k. Dos cuerpos tienen masa m, y el restante tiene

masa 2m. a) Escriba la lagrangiana para este sistema en términos de las desviacionesangulares de los tres cuerpos. b) Encuentre la frecuencia de pequeñas oscilaciones para este

sistema, y describa los modos normales.

Solución.1n

2n

3n

m

m m2

R

Sabemos que la longitud de arco está dada por:

! Rl = En donde " es el ángulo que se ha

corrido a partir de su posición de

equilibrio. Así entonces:

11 ! Rn = 22

! Rn =33

! Rn =

La energía cinética desacoplada de este sistema es:

T = 1

2mR

2

!! 1

2+ 2mR

2

!! 2

2+ mR

2

!! 3

2( )

La energía potencial acoplada de este sistema es:

U =1

2

k R! 2 " R!

1( )2

+1

2

k R! 3 " R!

1( )2

+1

2

k R! 3 " R!

2( )2



La matriz de coeficientes de la energía cinética es:

T m =

mR2

0 0

0 2mR2

0

0 0 mR2

!

"

###

$

%

&&&

Para formar la matriz de coeficientes de la energía potencial, lo haremos línea por línea:

Para la primera línea, tenemos:

!U

!" 1

= k R" 2 # R"

1( ) # R( )+ k R" 3 # R"

1( ) # R( )

U 11

=

!2U

!" 1

2 = 2kR

2U

12 =

!2U

!" 2!"

1

= #kR2

U 13

=

!2U

!" 3!"

1

= #kR2

Para la segunda línea, tenemos:

!U

!" 2

= k R" 2 # R"

1( ) R + k R" 3 # R"

2( ) # R( )

U 22

=

!2U

!" 2

2 = 2kR

2U

21 =

!2U

!" 1!"

2

= #kR2

U 23

=

!2U

!" 3!"

2

= #kR2



Para la tercera línea, tenemos:

!U

!" 3

= k R" 3 # R"

1( ) R + k R" 3 # R"

2( ) R

U 33

=

!2U

!" 3

2 = 2kR

2U

31 =

!2U

!" 1!"

3

= #kR2

U 32

=

!2U

!" 2!"

3

= #kR2

La matriz de coeficientes de la energía potencial es:

U m =

2kR2 !kR2 !kR2

!kR22kR

2 !kR2

!kR2 !kR22kR

2

"

#

$$$

%

&

'''

El determinante que se plantea de |U m-"2

T m|=0, está dado por:

2kR2!"

2mR

2!kR

2!kR

2

!kR2

2kR2! 2"

2mR

2!kR

2

!kR2

!kR2

2kR2!"

2mR

2

= 0



Realizando las operaciones para este determinante de tres por tres, obtenemos:

2kR2 !"

2mR

2( ) 2kR2 ! 2"

2mR

2( ) 2kR2 !" 2mR

2( ) ! kR2( )

2#$

%&

! !kR2( ) !kR

2( ) 2kR2

!" 2mR2( ) ! kR2( )2

#$ %&

+ !kR2( ) kR2( )

2

! 2kR2 ! 2"

2mR

2( ) !kR2( )#$

%& = 0

Multiplicando nos queda:

2k !" 2m

( ) 4k

2! 2km"

2! 4km"

2+ 4m

2"

4! k

2

( )+ k !2k

2+ km"

2! k

2

( )!k 3k

2! 2km"

2( ) = 0Multiplicando y reduciendo términos semejantes:

!12mk 2"

2+14m

2k "

2! 4m

3"

4= 0 2m!

2"6k

2+ 7mk " 2m

2!

2( ) = 0!

Al ser una de las frecuencias iguales a cero, se tiene para ese caso un desplazamiento rígido,

mientras que para # $ 0 si existe un desplazamiento relativo de los cuerpos.

! = 0 ! =

7mk "6k 2

2m2

y



Problema.- Tres objetos de masas m1, m2 y m3 están unidos uno a otro por dos resortes de

constante k . Considere que la relación entre las masas es de m1 = 3m ; m2 = 5m y m3 = 7m .

Halle la frecuencia angular de oscilación para los modos normales.

1m

2m

k k m

3

k k

x1

x2

x3

m1!! x1 =

!kx1! k ( x

1! x

2)

m2!! x2 =

!k ( x2 ! x

1)! k ( x

2 ! x

3);

m3!! x3 =

!k ( x3 ! x

2)! kx

3

m1!! x1+ 2kx

1! kx

2 = 0

m2!! x2 ! kx

1+ 2kx

2 ! kx

3 = 0

m3!! x3 ! kx

2 + 2kx

3 = 0

x1 = C

1e! i" t

x2 = C

2e! i" t

x3 = C

3e!i" t ; ;

!! x1 = !"

2C

1e

!i" t

!! x2 = !"

2C

2e

! i" t

!! x3 = !"

2C

3e

!i" t ; ;



m1 !"

2C

1e

! i" t ( )+ 2k C 1

e!i" t ( )! k C

2e

! i" t ( ) = 0

m2 !"

2C

2e

!i" t

( )! k C

1e

!i" t

( )+ 2k C

2e

!i" t

( )! k C

3e

! i" t

( )= 0

m3 !"

2C

3e

! i" t ( )! k C 2

e!i" t ( )+ 2k C

3e

! i" t ( ) = 0

2k !" 2m

1( )C 1 ! kC 2 = 0

!kC 1 + 2k

!

" 2m2( )C 2 ! kC 3 = 0

!kC 2 + 2k !"

2m

3( )C 3 = 0

2k !" 2m

1

( ) !k 0

!k 2k !" 2m

2( ) !k

0 !k 2k !" 2m

3( )

= 0



Realizando este ejercicio con el método matricial, se tiene:

T =1

2

m1 ! x1

2+m

2 ! x2

2+m

3 ! x3

2

( )

U =1

2kx

1

2+1

2k x

2 ! x

1( )

2

+1

2k x

3! x

2( )

2

+1

2kx

3

2

!U

! x1

= kx1+ k x

2 " x

1( ) "1( )

U 11

=

!! x

1

!U

! x1

"

# $%

& ' = 2k

Para la primera fila

U 12

=

!! x

2

!U

! x1

"

# $%

& ' = (k

U

13 = 0

!U

! x2

= +k x2 " x

1( ) + k x3 " x

2( ) "1( )

U 21

=

!

! x

1

!U

! x

2

"

#

$%

&

' = (k

Para la segunda fila

U 22 =

!

! x

2

!U

! x

2

"

#

$%

&

' = k + k = 2k

U 23

=

!! x

3

!U

! x2

"

#

$%

&

' = (k



!U

! x3

= +k x3 " x

2( ) + kx

3

U 31

=

!! x

1

!U

! x3

"

# $%

& ' = 0

Para la tercera fila

U 32

=

!! x

2

!U

! x3

"

# $%

& ' = (k

U 23

=

!! x

3

!U

! x3

"

# $%

& ' = 2k

U ij !

" 2

T ij =

2k !" 2m

1( ) !k 0

!k 2k

!

" 2

m2( ) !k

0 !k 2k !" 2m

3( )

= 0



Problema.- Dos objetos de masas m1 y m2 están unidos uno a otro por un resorte de constante

k . El segundo objeto además está unido a una superficie rígida, como se muestra en la figura.

Considere que la relación entre las masas es de m1 = 16m y m2 = 12m. Halle la frecuencia

angular de oscilación para los modos normales.

1m

2m

k

k

Problema.- Tres objetos de masas m1, m2 y m3 están unidos uno a otro por dos resortes deconstante k . Considere que la relación entre las masas es de m1 = 3m ; m2 = 5m y m3 = 7m .

Halle la frecuencia angular de oscilación para los modos normales.

1m

2m

k k m

3

Documents

MecanicaClasica-Tema7-MACOSX