MECÁNICA. PROBLEMAS RESULETOS 2

5/10/2018 MECÁNICA. PROBLEMAS RESULETOS 2 - slidepdf.com

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2 Cinemática plana 39

2. PROBLEMAS DE CINEMÁTICA PLANA

2.1. Problemas resueltos

1.- Determinar, gráficamente, la posición del Centro Instantáneo de Rotación (CIR) de la barra AB

SOLUCIÓN

Para poder determinar, de forma gráfica, la posición del CIR de la barra AB es necesario conocer ladirección de las velocidades de dos puntos de dicha barra, siempre y cuando dichas velocidades no seanparalelas. En caso contrario será necesario conocer también los correspondientes módulos.

Dado que la barra OA es una manivela articulada en O a la bancada, la velocidad del punto A seráperpendicular a la dirección de dicha barra OA. Como el punto A es al propio tiempo un punto de labarra cuyo CIR se trata de determinar, puede afirmarse que dicho CIR se hallará sobre la recta ff perpendicular a la velocidad de A (ver figura de la página siguiente).

En lo que concierne al punto B, al ser un punto intermedio de la barra EF, no se puede identificar deforma directa la dirección de su velocidad y, por tanto, se deberá recurrir a un procedimiento indirecto,que permita encontrar el CIR de la barra EF.

El extremo F de esta barra tiene una velocidad que es paralela a la bancada, independientemente de

su sentido, y por tanto el CIR de EF se deberá hallar sobre la recta perpendicular a dicha velocidad, esdecir, la recta dd.

El extremo E, por su parte, está articulado a un disco cuyo movimiento está condicionado por el de losrodillos periféricos que mantienen contacto sin deslizamiento con respecto de éste . Como consecuenciade la condición de contacto sin deslizamiento los puntos del rodillo superior y del disco que coincidenen C tienen la misma velocidad. Lo propio ocurre con los puntos del rodillo inferior y del disco que

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas enleyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución deejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, así como la exportación e importación de ejemplares para su distribución y venta fuera del ámbito de la UniónEuropea.



40 Mecánica. Problemas

coinciden en D. Pese a que ambas velocidades son paralelas, lo que llevaría a una indeterminación, elhecho de que los radios de ambos rodillos y sus respectivas velocidades angulares sean iguales permiteafirmar que los módulos de las velocidades de C y D son idénticos. Dado que el CIR del disco debe estar

sobre la recta perpendicular a la dirección de la velocidad de C y D, puede afirmarse que dicho polo develocidades se halla sobre la recta aa perpendicular a ambas.

Por otra parte, el hecho de que la velocidad de los puntos de un sólido sea proporcional a la distanciaal CIR, permite afirmar que el polo se hallará sobre la recta bb que une los extremos de los respectivosvectores velocidad. El hecho de que el CIR del disco pertenezca simultáneamente a ambas rectas permiteafirmar que éste es el punto I de intersección entre ambas. En este caso, al ser ambos vectores de1

velocidad opuestos y del mismo módulo, llevan a que el punto I coincida con el centro del disco.1

Una vez identificado el punto I como CIR del disco, queda determinada la dirección de la velocidad1

de todos los puntos del mismo, y en particular la del punto E, que será ortogonal a la recta I E. Dado que1

el punto E pertenece simultáneamente al disco y a la barra EF, puede afirmarse que el polo develocidades de esta última barra se hallará sobre la recta cc perpendicular a la dirección de la velocidad

de E. La conclusión final para esta barra será que el CIR de la misma se hallará en la intersección de lasrectas cc y dd, por tanto, en el punto I .2

El razonamiento, ahora, es reiterativo; si el punto B pertenece a la barra EF, su velocidad debe serperpendicular a la recta I B. Al ser B un punto de la barra AB, el polo de velocidades de ésta última2

deberá hallarse sobre la recta ee. Por lo que el CIR de la barra AB estará en el punto I, intersección delas rectas ee y ff perpendiculares, respectivamente, a las velocidades de los puntos B y A.

© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998



r r r r ra a BD BDD B= + × × + ×

→ →

ω ω α4 4 4( )

r r

a CB CBB = − + × → →

ω α32 4


2.- La figura representa un dispositivopara prensar. En el instante consideradoen la figura, la manivela OA de longitud

es horizontal y son conocidas suvelocidad y aceleración angulares. Elángulo en B es recto. Determinar:

a) Velocidad del punto B.b) Aceleración del punto D.

SOLUCIÓN

a) El punto D sólo puede tener aceleración en la dirección horizontal dada la existencia de una guíaque fuerza el movimiento en esta dirección. El módulo de la aceleración podrá deducirse a partir de larelación entre las aceleraciones de los dos puntos, B y C, que pertenecen al mismo sólido, la barra BC:

En esta expresión son desconocidas , ω y α .4 4

Para determinar será necesario hallar ω y α , ya que, teniendo en cuenta que el punto B3 3

pertenece a la manivela CB, se podrá establecer:

Para poder determinar la velocidad angular de la manivela CB, será necesario encontrar la velocidad lineal del punto B. Para ello se recurrirá a la barra AB, cuyo CIR es fácil de localizar comoconsecuencia de que sus extremos estén enlazados a sendas manivelas, OA y CB respectivamente. Estehecho permite conocer la dirección delas velocidades de ambos puntos, A y B,y además se conoce el módulo de lavelocidad del punto A.

El punto A, por pertenencer a unamanivela que gira entorno de O, describe

una trayectoria circular alrededor dedicho punto. La velocidad de A es, portanto, perpendicular a la dirección de labarra OA y el CIR de la barra AB sehalla sobre la recta que tiene dirección radial y pasa por los puntos O y A.




I AAB =l

sen ϕ

v I AA AB= = = ⇒ =ω ωω

ϕ

ω ω ϕll

22

2

sen

sen

v I BB AB= = = =ω ωω ϕ

ϕω ϕl

ll2

2 cos

sencos

v CBB = =ω ω3 32l

ωω ϕ

3 2=

cos

ω ω ϕ4 2

= cos


El punto B pertenece también a otra manivela, CB. Por idénticas razones su velocidad es perpendicular a la barra CB y, en consecuencia, el CIR se halla en la recta que pasa por C y B.

La intersección de ambas rectas define el punto I . El triángulo AB I es un triángulo rectánguloAB AB

en B, cuyo cateto AB es de longitud conocida, y cuyo ángulo opuesto es también conocido ϕ. Enconsecuencia:

Sabidos estos datos y dado que el punto A tiene una velocidad lineal conocida se podrá determinar ω .2

Se tiene

Dado que se conoce ω , podrá determinarse la velocidad lineal del punto B2

Si se tiene en consideración que el punto B pertenece también a la barra CB, se podrá escribir:

En consecuencia, igualando ambas expresiones se llega a

La velocidad angular de la barra BD es igual y opuesta a la de la barra CB; basta considerar que ambasforman siempre ángulos suplementarios con la horizontal, de modo que la cantidad que en uno crece,el otro decrece. En consecuencia se podrá escribir:

b) Será necesario determinar el valor de la aceleración α , para ello se plantearán los diagramas de3

aceleración correspondientes al punto B como punto de la barra AB y como punto de la barra CB.




( )αα

ϕω

ϕ ϕ3

2

2 2

1= + −cos sen sen

r r ra BC CB DB BDD = + × + + ×

→ → → →

ω α ω α32

3 42

4

aD = − +4 432

3ω ϕ α ϕl lcos sen


Proyectando sobre la dirección AB, y sustituyendo el valor conocido de ω ,quedará:2

Por idénticas razones a las ya expuestas con respecto de la velocidades angulares, puede afirmarse quela aceleración angular de 4 será de sentido contrario a la de 3 y con su mismo módulo, de modo que seráposible determinar la aceleración del punto D:

El diagrama de aceleraciones que corresponde a esta ecuación vectorial permite identificar la simetríade los vectores respecto de la horizontal. De ello resulta que el punto D, como era de esperar, sólo tienecomponente horizontal de la aceleración y ésta vale, teniendo en cuenta la figura adjunta:

con los valores de ω y α antes obtenidos .3 3




r r rv v ABB A2 2= + ×

→

ω

( )r r

lr r

v r i i jB2 2 1= + −ω ω θ θsen cos

rl

r

v jB3 3= − ω θcos

r rv vB B2 3

=


3.- En el dispositivo de la figura el discono desliza en el contacto B con la barra 3, la cual gira con T y " conocidas.3 3

Hallar, para la posición considerada:a) Velocidad angular del disco 2.b) Aceleraciones angulares α y α .1 2

c) Aceleración angular del disco 2.d) Velocidad angular de la guia 6.e) Aceleración del punto E.(Datos: CD = DE = EF = EG = 2 pC

= pD = 90 )o

SOLUCIÓN

a) Tomamos el sentido trigonométricocomo positivo para las velocidadesangulares ω , ω de los sólidos 1 y 2, tal1 2

como se muestra en la figura adjunta. Lavelocidad del punto B del disco, con baseen A y aplicando la fórmula develocidades para el sólido 2, será

La figura ilustra geométricamente lafórmula anterior. Con su ayuda, yutilizando la base de proyección delenunciado, obtenemos:

Por otra parte, es evidente que lavelocidad del punto B de la barra 3 vale

Como no hay deslizamiento en elcontacto B, se cumple:




− = −= +

ω θ ω θω ω θ

3 1

2 10

l l

l

cos cossenr

ω ω1 3=

ωω θ

23= −

l cos

r

r r r ra a a aB B

rBa

Bc

2 2 2 21= + + ( )

r ra r jB

rr2

2= ω

ω ω ωr = −2 3

( )r ra r jB

r = −ω ω2 32

r rl

rl

ra a i jB

aB2 3 3

23= = −ω θ α θcos cos


Igualando las componentes de las velocidades del punto B de 2 y de 3 que acabamos de calcular, seobtiene el sistema de ecuaciones:

cuya resolución da

Estos resultados también hubieran podido hallarse determinando el CIR I del disco 2. Es fácil ver que2

I es el punto de intersección de las líneas OA y CB. A partir de este momento el proceso sería el usual2

cuando se utiliza el CIR.

b) Para determinar α y α tendremos en cuenta que el disco 2 se mueve sobre la barra 3 sin deslizar.1 2

Concretamente, estudiaremos la aceleración del punto B por composición de movimientos, tomando2

como referencia fija el laboratorio y como referencia móvil la barra 3. Se tendrá

Calculemos cada uno de los sumandos de la expresión anterior. La aceleración de B relativa a la barra2

3 es la aceleración del CIR de un disco que no desliza, y se sabe que viene dada por

donde ω es la velocidad angular relativa del disco respecto la barra, que en nuestro caso valer

Por tanto, tenemos

La aceleración de arrastre del punto B es, por definición, su aceleración absoluta como punto solidario2

de la referencia móvil, que ahora es la barra. De ahí que




r r r r r

a v vB

c

B

r

B2 2 22 2 03 3 3= × = × =ω ω /

r r ra a aB A B A2 2

= +

( ) ( )r

lr r

lr r r r

a i j i j r i r jB2 1 12

2 22 2= − + + + +α θ θ ω θ θ α ωsen cos cos sen ( )

( )

α α θ ω θ ω θ

ω α θ ω θ α θ ω ω2 1 1

2

3

2

22

1 12

3 2 32

r

r r

+ + =

− + = − + −

l l l

l l l

sen cos cos

cos sen cos

( )α α ω θ

ω ω ωθ1 3 1

2 2 3 32= + +

−tg

cos

r

l

( )α

ω ω θ α θ2

32

12

1=

− −l lcos sen

r


Para la aceleración de Coriolis, será

porque la velocidad de B respecto 3 es, por definición, la2

velocidad de deslizamiento en el contacto B, que en nuestro casoes nula.

También podemos calcular la misma aceleración de B2

aplicando la fórmula de aceleraciones para el sólido 2. Tomandocomo punto base el centro A del disco, tendremos:

La figura adjunta ilustra geométricamente la fórmula anterior.Ayudándonos de este diagrama, y utilizando la base propuesta en el enunciado, quedará

Resumiendo, para la aceleración de B tenemos la expresión (1) con los valores obtenidos2

anteriormente para la aceleración relativa, de arrastre y complementaria, y también disponemos de laexpresión (2) que acabamos de hallar. Igualando componentes en estas dos expresiones quedará

que es un sistema de dos ecuaciones con las incógnitas α y α buscadas. La segunda ecuación nos1 2

permite obtener directamente

donde ω y ω son los valores obtenidos en el apartado a). Despejando α en la primera de las ecuaciones1 2 2

del sistema, tendremos

donde ω , ω y α son los valores ya obtenidos.1 2 1




ω 4 0=

r rl

rv v jE D= = ω32 3( )

r r rv v vE E

rEa= +

r r r rl

rv v e v e v e eE E

rEa

Er= + = +2 1 2 6 12ω

( )r

lr r

v e eE = +ω θ θ3 2 12 sen cos

ω ω θ6 3= cos


c) El movimiento de la barra 4 se transmite al sólido 5 y, en definitiva, a laguía. Procedamos, pues, inicialmente al estudio de la barra 4. Las perpendiculares

a las di-recciones de y son rectas paralelas, por tanto el CIR I está en el4

infinito (o, propiamente, no existe). Esto significa que la barra 4 está en traslación

instantánea, o sea

y, en consecuencia, todos sus puntos tienen igual velocidad. Es decir:

Como la barra 5 se mueve dentro de la guía 6 que, a su vez, gira con velocidad

angular desconocida ω , procederemos a calcular la velocidad del punto E por composición de6

movimientos. Tomaremos como referencia fija el laboratorio, y como referencia móvil la guía 6. Será

La velocidad relativa de E tiene la dirección de la barra 5. Lavelocidad de arrastre de E es, por definición, la velocidad deeste punto supuesto solidario de la guía 6; en consecuencia, sudirección será perpendicular a la barra 5, y su módulo valdráω 2 . En el diagrama adjunto se resume lo obtenido.6

Proyectando en la base , de la figura, se tiene

Haciendo lo mismo con (3), tenemos:

Igualando componentes en las dos últimas expresiones, queda finalmente

Obsérvese, para concluir este apartado, que el resultado obtenido tiene una interpretación geométricainmediata. La velocidad relativa y de arrastre de E son, simplemente las componentes de en lasdirecciones 2 y 1.




( )r r r r

lr

lr

a a a a i jE D EDt

EDn= + + = − +α ω α4 3

232 2 4( )

aFx = 0

r r ra a aF D FD

t= +

a a aFx

Dx

FDx= + = − =α ω4 3

24 2 0l l

αω

432

24= ( )

rl

rl

ra i jE = − +ω α3

232


d) Para hallar utilizaremos la fórmula de aceleraciones para unsólido, tomando como punto base el D, ya que la aceleración de éste es

conocida. Es decir:

El diagrama adjunto expresa gráficamente la aceleración buscada delpunto E. Así, en cuanto conozcamos α , quedará totalmente determinada4

esta aceleración .Sabemos que, como la barra 4 tiene un movimiento de traslación

instantánea, la velocidad angular ω es nula en el instante considerado.4

Pero es importante advertir que esto no implica que también se anule la

aceleración angular de dicha barra (como ocurriría si la traslación fuera permanente en lugar de instantánea). ¿Cómo hallar, pues, α ?4

La observación del mecanismo nos dice que el punto F tiene unmovimiento rectilíneo vertical, y que, por tanto, se cumple:

Relacionando los puntos F y D, tenemos

como queda ilustrado por el diagrama adjunto. Teniendo ahora encuenta las dos últimas expresiones, y ayudándonos del diagrama,podremos escribir

De ahí que

Sólo nos falta sustituir en (4) el valor que acabamos de hallar. Quedará:




τ πω

= 2

C

( )τ

π=

+2 R r

vC

r r r r

v v v vA A E E2 1 2 3= =

r r rv v vA E AE= +


4.- El mecanismo de la figura está formado por tres ruedasdentadas. Las ruedas 1 y 3 giran alrededor de O con velocidad

angular constante, mientras que la rueda 2 se mueve con la únicarestricción de no deslizamiento en los puntos de contacto con 1 y3. Se sabe que R = 2r y que Ω = 2ω. Se pide:

a) Tiempo necesario para que la rueda 2 dé una vuelta completaalrededor de O.

b) Hallar en el caso particular que S = 0.

SOLUCIÓN

a) La rueda 2 da una vuelta completa cuando su centro C la da también, pero no otro punto, puesto quesólo C describe una trayectoria circular alrededor de O, en este caso de radio r + R. De esta manera, eltiempo necesario para que la rueda 2 dé una vuelta completa es en realidad el tiempo que emplea el punto Cen dar una vuelta alrededor de O. El tiempo se puede determinar como el cociente entre el ángulo girado porC alrededor de O en una vuelta (2π radianes) y la velocidad angular ω del punto C alrededor de OC

O bien, como el espacio recorrido por el punto C en una vuelta dividido por la velocidad del punto C.Siendo esta velocidad v el producto de la velocidad angular ω por el radio de giro r + R:C c

Sea como fuere, es necesario conocer la velocidad del punto C de la rueda 2, por lo que hay quecalcular primero la velocidad angular ω de la rueda. Para determinar la velocidad angular de un sólido2

en cinemática plana se puede buscar el CIR, o bien, relacionar dos puntos de velocidad conocidamediante la expresión de velocidades del sólido rígido. En general, para el caso de trenes epicicloidaleses preferible este segundo método.

Se necesitan, pues, dos puntos de la rueda 2 de velocidad conocida; al no haber deslizamiento en lospuntos de contacto entre esta rueda y las otras dos, resulta que

por lo que se relacionan los puntos A y E de la rueda 2 mediante la fórmula de velocidades en el sólido rígido:




( )

( )( )

ω ω

ωω

r R R r

r

R

R r

R

= − +

= ++

2 2

2

2

21

2

2

Ω

Ω

r r rv v vC A CA= +

( )v r R

r R r

RC = − = −+

ω ωω

2 2

2

2

Ω

( )( )ω

ωC R r

r R r

R=

+−

+

1

2

2

22

Ω


que gráficamente se representa como

Ahora es fácil hallar la velocidad angular ω2

Hay que tener muy en cuenta que ω es diferente de ω : una es la velocidad angular del punto C girandoC 2

alre-dedor del punto O, y otra es la velocidad angular del sólido; velocidades que, en general, sondiferentes. Conocida ω , ahora es fácil hallar :2

De la figura deducimos:

y ω valdrá:c

sustituyendo ahora Ω y R según los datos del enunciado




ω ωC k= 32

r

τπ

ωπ

ω= =

2 4

3

1

C

r r ra VE SE= − ×ω2

r rω ω

2 2= − r

Rk


y el tiempo para completar una vuelta:

b) Si Ω = 0, el cuerpo 3 está parado y, en consecuencia, el sólido 2 describe un movimiento derodadura sin deslizamiento sobre el cuerpo 3 fijo, siendo el punto E el punto de contacto entre estos doscuerpos. En estas condiciones resulta ventajoso utilizar la expresión

donde ω es la velocidad angular absoluta de la rueda 2 y , velocidad de sucesión del punto E, es la2

velocidad con la que se desplaza el punto geométrico de contacto respecto del anillo 3.La velocidad angular ω no es la misma del apartado a), al haber cambiado las condiciones2

cinemáticas. Se puede hallar fácilmente el nuevo valor de ω sustituyendo Ω = 0 en el resultado (1)2

hallado en el apartado anterior.

Para hallar la velocidad de sucesión es necesario determinar de qué manera se desplaza el puntogeométrico de contacto. Se puede determinar que el punto de contacto entre las ruedas 2 y 3 está siemprealineado con los centros O y C, tal como muestra la figura.

Con ello, el punto geométrico de contacto describe una trayectoria circular alrededor de O de radio r +2R, desplazándose solidariamente del punto C, lo que equivale a que su velocidad angular alrededor deO es la misma, ω . Sin embargo, igual que para ω , esta ω no tiene el mismo valor que en el apartadoC 2 C

anterior. Igual que antes, sólo es cuestión de sustituir en (2):




r rω ω

C k=6

r ra r r iE

C

= −−

×

= −0

0

0

5

0

5662

ω

ω ωω

r r ra a aE C EC= +

r r r r r rv v v v v vA a r r A a= + ⇒ = −


Y finalmente la aceleración del punto E:

El resultado también se puede determinar mediante la expresión más general de la aceleración de unpunto para el sólido rígido:

en la que es necesario conocer la aceleración de otro punto del sólido. Según todo lo visto, sólo el puntoC presenta un valor de aceleración conocido. La velocidad angular es ω absoluta, y α es cero al ser2 2

todas las velocidades angulares constantes. Se comprueba que para esta expresión es igualmentenecesario conocer ω y ω , y el resto de cálculos son más laboriosos.2 C

5.- Se considera el mecanismo plano de la figura, en el cualla barra AC desliza dentro del collar B de la barra OB.. Lalongitud de OB es y el ángulo en B es de 90 . Hallar, en lao

posición indicada, en función de la velocidad y aceleración

angulares de la manivela OB:a) Velocidad de la barra AC relativa a la manivela OB.b) Aceleración del punto A.

SOLUCIÓN

a) La presencia de la guía en B permite describir elmovimiento de la barra con respecto de la manivela como unmovimiento de traslación pura a lo largo de la guía. Todoslos puntos de la barra AC tendrán la misma velocidadrelativa a la manivela; en consecuencia bastará con estudiar

la velocidad relativa de cualquier punto. El punto másadecuado parece ser el A, por cuanto se conoce la dirección de su velocidad que está forzada a tenerdirección vertical, como consecuencia de la presencia de la guía exterior.

En estas condiciones, la velocidad del punto A podrá expresarse como suma de una velocidad dearrastre y una velocidad relativa:




r

vv

vA AA

=

sen

cos

θθ

r rv OA

r

rA = × =

→

ωω θ

ωtg

r

v

v r

v rrA

A=−

−

sen tg

cos

θ ω θθ ω

v r vr

A Asen tgcos

θ ω θω

θ− = ⇒ =0

r

v r = 0

r r r ra a a aA a r c= + +

r r r ra OA OA

r r

r ra = × × + × =

−

+

→ →

ω ω αα θ ω

α ω θ( )

tg

tg

2

2


La velocidad del punto A es desconocida en módulo, pero definida en cuanto a dirección:

La velocidad de arrastre, por su parte, es la velocidad del punto A, suponiendo que perteneciera a lamanivela OB, en consecuencia:

Por lo tanto, la velocidad relativa será

Teniendo en cuenta que, por la estructura del dispositivo, la velocidad relativa debe ser en la direcciónde la guía en B, la componente en dirección de la manivela OB debe ser nula, o sea:

Con este valor para la velocidad del punto A, puede encontrarse la velocidad relativa:

b) Para determinar la aceleración lineal del punto A, es necesario recordar que no se conoce laaceleración angular de la barra AC. Por otra parte, el punto A está obligado a moverse en la direcciónde la guía y por consiguiente la aceleración de dicho punto deberá tener esta dirección. En consecuencia,la aceleración del punto A puede determinarse por composición de movimientos utilizando unareferencia móvil solidaria de la manivela, que permitirá escribir:

Para determinar la aceleración de arrastre bastará aplicar la propia definición que establece que la aceleraciónde arrastre del punto A es la que tendría dicho punto si estuviera fijo en la referencia móvil OB:




r r ra vc r= × =2 0ω

ra

arr

=

0

r

ar r

r r aA

r=

−

+ +

α θ ω

α ω θ

tg

tg

2

2

ωθ

θωθ θ

2 2

0r

a ar

r rcossen

sen cos+ = ⇒ = −

54 Problemas de mecánica

Para determinar la aceleración de Coriolis, se utilizará el valor de la velocidad relativa que se haencontrado anteriormente. Al ser ésta nula, también lo será la aceleración de Coriolis.

En lo que concierne a la aceleración relativa, lo único que se conoce es su dirección, perpendicular a labarra OB, sin conocerse el módulo:

Sumando las componentes de la aceleración se llega a la expresión final de la aceleración del punto A:

Expresión que permite establecer el siguiente diagrama de aceleraciones:

En esta última expresión, la única magnitud desconocida es la aceleración relativa; por otra parte, elhecho de conocer la dirección de la aceleración absoluta del punto A permite establecer una ecuación

derivada del hecho de que no debe existir componente de la resultante en la dirección perpendicular ala guía vertical. Es decir:




r

a r rr r g

A = −−

α θ ωα ω θ

tgcot

2

2

b BC AC= = =

l

senθ

ω ω2 10 3 1= = =, ( )r r

lr

v v iC B


Sustituyendo este valor, de la aceleración relativa, en la expresión general de la aceleración del puntoA, se llega a

6.- En el dispositivo de la figura, B y Cson pasadores, el disco de centro C ruedasin deslizar en el contacto D, y la barra 4desliza dentro de la guía 5, cuyo pasadorA está montado sobre la barra OB. Seconocen T y " . Determinar en el ins-1 1

tante considerado:a) Velocidad angular de la barra 4.b) Aceleración angular de la barra BC.

Datos: OA = , AB = 2 ,pO = pQ = 90o

SOLUCIÓN

a) Si llamamos b a la distancia BC se verifica

Vamos a estudiar la barra 2. El punto B tienevelocidad perpendicular a OB, y la de C es normal aCD ya que el CIR del disco 3 está en D; por tanto,y son paralelas. De ahí que el CIR de 2 se halle enel infinito: la barra 2 tiene un movimiento instantáneode traslación, y en consecuencia

La barra 4 se mueve en la guía 5, la cual, a su vez,gira. Esto sugiere que podremos hallar ω estudiando4

el movimiento de un punto -como el C- mediante lafórmula de composición de velocidades. Así, tomandocomo referencia fija el laboratorio y como referenciamóvil la guía 5, tendremos




r r rv v vC r a= + ( )2

( )r r rv v i jr r= +cos senθ θ

r rv v ACa A= + ×

→

5

4ω

( )r

lr r r

v i b i ja = + −ω ω θ θ1 4 sen cos

3

01 1 4

4

ω θ ω ω θθ ω θ

l l= + += −

v b

v br

r

cos sen

sen cos

ωω θ

ω θ41

122

2= =l sen

senb

r r r r

lla a a con a

vC C

tCn

Cn C= + = =( )3

2

9

2

2

12ω


La velocidad relativa de C tiene valor desconocido,pero su dirección es la de la barra 4 (ver figura). Portanto, en la base del enunciado, será

La velocidad de arrastre de C es, por definición, lavelocidad absoluta de C, supuesto solidario de lareferencia móvil. (Es evidente que ω = ω ).O sea:4 5

La figura anterior ilustra esta última expresión. Utilizando la base ya considerada, tendremos

Sustituyendo en (2) las expresiones obtenidas para las velocidades relativa y de arrastre, e igualandocomponentes con (1), se obtiene el sistema de ecuaciones:

que, una vez resuelto, nos da

b) Para determinar α procederemos a analizar el2

punto C. Este punto describe una circunferencia de radio2 y centro Q; por tanto, usando componentes intrínsecas,

la aceleración de C será

El diagrama adjunto muestra geométricamente estaaceleración.




r r ra a aC B CB

t= + ( )4

92

312

12

2ω ω α θl l= − bcos

α ω θ2 123

2= − tg


Por otra parte, podemos calcular esta mismaaceleración tomando C como punto de la barra 2,aplicando para esta barra la fórmula de aceleraciones con

base en B, es decir:

Esta expresión está representada en el diagrama contiguo.Para obtener α , simplemente igualaremos las2

proyecciones de (3) y (4) sobre la perpendicular a ( quees la dirección vertical) , por cuanto el valor de la incógnitaa no precisa ser hallado. Igualando, con la ayuda de los dost

últimos diagramas, quedará:

y por tanto

7.- En el mecanismo de la figura la barra OA, de longitud, se mueve con T y " conocidas. El cursor D describe una

circunferencia de radio r. Determinar, para la posición

indicada:a) Aceleración normal del punto D.b) Aceleración angular de la barra AB.

(Datos: Las tres barras, en el instante de la figura, formanángulos de 60 con la dirección horizontal, o eje x. BC =o

BD = 2 ).

SOLUCIÓN

a) Para resolver el primer apartado hay que considerar que,dado que el punto D describe una trayectoria circular,

estará sometido a una aceleración normal. La dirección deésta será radial y su sentido será hacia el centro decurvatura de la trayectoria en el punto en cuestión. Paradeterminar el módulo de la aceleración será necesario encontrar el valor de la velocidad lineal con queel punto D recorre su trayectoria. Para hallar el valor de dicha velocidad se utilizará el CIR de la barraCD, cuya posición es fácil de localizar, dado que son conocidas las direcciones de las velocidades de dos





puntos de la barra.En efecto, la velocidad del punto D debe ser tangente a la trayectoria, por consiguiente el CIR deberá

hallarse sobre la perpendicular a dicha dirección, recta bb de la figura. Por su parte, el punto Cdescribe una trayectoria rectilínea, por lo que el CIR se hallará sobre la perpendicular a esta trayectoria(recta aa. de la figura siguiente).

Dado que las rectas aa y bb son paralelas y no coincidentes, la intersección de las mismas se produceen el infinito y, por tanto, el movimiento instantáneo carece de velocidad angular. Se trata, en

consecuencia, de un movimiento de translación instantánea y, por la definición de este movimiento,todos los puntos de sólido CD están animados de la misma velocidad. Para conocer la velocidad delpunto D bastará determinar la velocidad de cualquier otro punto de la barra; el punto B pareceespecialmente adecuado si se considera que pertenece simultáneamente a la barra AB, cuyo movimientoestá totalmente definido.

Para encontrar el valor de la velocidad del punto B será necesario recurrir al análisis del movimientodel sólido AB y a la determinación de la posición de su CIR. El punto B, por pertenecer a un sólido(CD) con movimiento de traslación, tendrá la misma velocidad que los demás puntos del mismo cuerpo;en consecuencia, el CIR deberá hallarse sobre la recta ortogonal cc. El punto A, por pertenecer a unamanivela de centro O, describe una trayectoria circular alrededor del punto O. La velocidad de A serátangente a la trayectoria y, en consecuencia, el CIR de la barra AB se encontrará sobre la recta dd que,en este instante tiene una dirección radial a la trayectoria.

El CIR de la barra AB se encontrará en la intersección de las rectas cc y dd, es decir el punto I . PorAB

la especial geometría del sistema, el triángulo ABI es un triángulo equilátero y, en consecuencia, laAB

distancia I B = I A = 2 .AB AB

La velocidad del punto A, por pertenecer a la manivela, es conocida. El hecho de que el punto Apertenezca también a la barra AB permite determinar la velocidad angular de esta última barra:




( )

( )

v Barra OA

v I A Barra AB

A

A AB

=

=

ω

ω

l

1

⇒ =ω ω1 2

v v I BD B AB= = = =ω ω ω1 12 l l

av

r rDn D= =

2 2 2ω l

r r r r ra a AB ABB A= + × × + ×

→ →

ω ω α1 1 1( )

r r ra a DCC D= + ×

→

α2


Una vez conocida la velocidad angular de la barra AB y la posición de su CIR, es fácil determinar lavelocidad del punto B y, por tanto, la de cualquier punto de la barra DC, en particular la del punto D.

Determinada la velocidad lineal del punto D, la aceleración normal del punto D será:

b) Para hallar la aceleración angular de la barra AB no podrá recurrirse a la derivación de suvelocidad angular puesto que ésta se ha hallado para una posición particular , en consecuencia se deberáutilizar un método indirecto para realizar el cálculo. Dicho procedimiento pasa por la determinación dela aceleración del punto B, dado que, al ser conocida la aceleración del punto A, ambas aceleracioneslineales se podrán relacionar a través de la expresión general

donde la única incognita que quedará será la aceleración

angular que se está buscando.Para poder realizar este proceso, de determinación de la

aceleración de B, se volverá a trabajar con la barra CD,que no posee velocidad angular instantánea pero sí puede

poseer aceleración angular α , que se deberá determinar.2

Para ello se recurrira a la ecuación que relaciona lasaceleraciones de los puntos C y D, considerando ademásque el punto C tiene movimiento rectilíneo vertical y porlo tanto su aceleración debe tener esta dirección. Laaceleración del punto C responde a la ecuación:

Hay que considerar que la aceleración tangencial delpunto D es desconocida, pero en ningún caso puede




arD

n = ⇒ =4 604 602 2

2

α αω

ll

sensen

r r ra a CBB C= + ×

→

α2

arB

x = =2 60222 2α ωl

lsen


afirmarse que no exista y también se sabe que será vertical (tangente a la trayectoria circular del puntoD). La anterior ecuación vectorial podría representarse mediante el cinema de aceleraciones adjunto,donde no se ha representado la componente tangencial de la aceleración del punto D cuya dirección será

vertical, la misma que debe tener la resultante de todas estas componentes que deben dar como resultadola aceleración del punto C, dirección forzada por la ligadura geométrica. En consecuencia, la resultante

de los vectores en la dirección horizontal debe ser nula y, por tanto, se podrá escribir:

Una vez determinada la aceleración angular del sólido CD, puede abordarse una de las componentesde la aceleración del punto B desde dos perspectivas distintas:

-Como punto de la barra CD.

-Como punto de la barra AB.

Como punto de la barra CD (figura de la derecha), laaceleración del punto B será:

En esta expresión, nuevamente, el valor de es desconocido, pero es fácil determinar el valor de lacomponente horizontal de la aceleración del punto B, que valdrá

Como punto perteneciente a la barra AB (figura izquierda), la aceleración de B será:




r r ra a BA ABB A= + + ×

→ →

ω α12

1

aBx = − + +ω α α ω2

1 1230 30 2 30 2 30l l l lsen º cos º cos º sen º

aBx = − +

3

230 30 2 302

1ω α αl l lsen º cos º cos º

ωω α α

2 22

1232

30 30 2 30l

l l lr

= − +sen º cos º cos º

αα ω

1

2

2 4 30

13 30= + −

cos ºsen º

r

l = = +OB

R rcosθ


La componente horizontal de la aceleración del punto B, en este segundo caso, responderá a la expresiónsiguiente:

Sustituyendo el valor conocido de la velocidad angular de la barra AB , ω , quedará:1

Como ambas expresiones deben ser iguales, resultará:

de donde se llega a:

8.- La rueda dentada 1 engrana con larueda dentada 3, que es solidaria de labarra AB. La manivela OA no estáacoplada con ninguna rueda. Si se hacegirar la rueda 1 con T y " conocidas,1 1

determinar en el instante considerado:a) Velocidad del punto C .2

b) Aceleración angular de la biela AB.

SOLUCIÓN

a) Llamaremos a la distancia OB. Es claro que




v v RC C3 1 1= = ω

ωω ω θ

θθ3

3

1 13= =−

=−

v

CI

R

R

R

RC

l lcos

cos

cos

v AI

R

R R rA = = − − −

ω

ω θθ θ3 3

1 cos

cos cosl

l

ωω θ

θ21

2

2=+

R

R r

sen

sen

v RR

R rC2 2

12 2

2= =

+ω

ω θθ

sen

sen

aBy = 0 1( )

r r ra a aB A BA= +


Pasemos ahora a resolver la primera parte del problema. Para ello hallaremos el CIR I del sólido 33

trazando perpendiculares a las velocidades de los puntos A y B (ver figura). La velocidad angular ω3

se hallará teniendo en cuenta que conocemos la velocidad del punto C de 3, ya que, por la condición

de contacto sin deslizamiento, se verificará

y, por tanto

La velocidad de A será

con lo cual la velocidad angular de la manivela OAvaldrá en definitiva

y la velocidad de C pedida2

b) Para determinar α , una ecuación que se debe utilizar se deduce de la condición3

con la base indicada en el enunciado.Aplicando la fórmula de aceleraciones para un

sólido:

Esta expresión se ilustra geométricamente en lafigura adjunta. Con la ayuda de este diagramala condición anterior se escribirá:




( ) ( )α θ ω θ θ α θ ω θ32

32

2 22 0 1l lsen sen cos cos sen ( )+ + + − + =R r R r

a aC C1 32τ τ= ( )

r r ra a aC A C A3 3

= +

( )α α α1 3 2R r R r= − +

αα α

23 1=

−+

r R

R r

( )α

ω θ ω θ θ α θθ θ3 2

2

3

2

12=+ − +

+R r R

r

sen sen cos cos

sen cos

l

l


que es una ecuación con las incógnitas α y α .2 3

El problema estará resuelto si conseguimos otraecuación con las mismas incógnitas. Paraconseguirla basta considerar que el contacto enC tiene lugar sin deslizamiento y, por tanto,deben ser iguales las componentes de lasaceleraciones de C y C en la dirección de la1 3

tangente τ en el contacto C. Es decir

Los dos diagramas muestran las aceleracionesde ambos puntos. No necesita comentario elvalor de la aceleración de C de 1, ya que esprácticamente un dato. En cuanto a laaceleración de C , se ha deducido de la fórmula3

Por tanto, la relación (2) dará

que es la segunda ecuación buscada. Despejando en ella α , tendremos2

Basta ahora con sustituir este valor en (1) y se deducirá fácilmente la aceleración angular buscada, cuyovalor es

donde ω , ω y son los valores obtenidos anteriormente.2 3





9.- El sistema de la figura está constituido por labarra 1, la barra 4, que puede girar alrededor delpunto fijo C, el sólido 2, que desliza a lo largo de la

barra 4, y la barra 5, que se mueve por el interior dela guía 3. Los puntos A, B, D y E son articulacionesentre la barra AE y los demás sólidos.

El disco 6 rueda sin deslizar sobre el arcosemicircular empotrado en la bancada. El punto Hes el punto de contacto entre el disco y el arcosemicircular fijo.

Las barras 4 y 5 forman, en el instante que seanaliza, el mismo ángulo θ respecto de la vertical.La barra 1, en el mismo instante, tiene direcciónhorizontal y se conoce la velocidad de su extremoA, que es constante y de módulo v. En estas

condiciones, determinar, usando la base de lafigura:

a) Velocidad angular de la barra 4.b) Aceleración angular de la barra 4.c) Velocidad relativa v del sólido 3 respecto del sólido 5.r

SOLUCIÓN

a) De todo el mecanismo, sólo se conoce la velocidad del punto A. El primer paso es, pues, determinarla velocidad angular ω de la barra 1 para, a continuación, hallar la velocidad del punto B, que es el1

punto que luego permitirá calcular la velocidad angular ω de la barra 4. Se procede a determinar el CIR4

de la barra 1

observándose que las rectas formadas son paralelas; en consecuencia, ω es nula, la barra 1 tiene en este1

momento un movimiento de traslación instantánea, y todos sus puntosse mueven a igual velocidad, porlo que




r rv vB A=

r r rv v vB a r= +

ω θ4 3

= vcosl

r r r ra a a aE A EA

nEAt= + +


Figura 1

Por otra parte, el punto B pertenece al pasador 2, que puede deslizar respecto a labarra 4 y que es arrastrado por ésta. Resulta conveniente pues, describir elmovimiento del punto B como una composición de movimientos en que lareferencia móvil es precisamente la barra 4. En estas condiciones:

que, gráficamente, se representa en la fígura 1. Igualando la velocidad de B de labarra 1 y de la barra 2, se obtiene fácilmente:

b) El proceso adecuado es en cierta manera el mismo que en el apartado a), pero con de aceleracionesangulares. El primer paso es, pues, hallar la aceleración angular α de la barra 1 relacionando dos puntos1

del sólido 1. Un punto es A, del cual se conoce que su aceleración es cero, al seguir una trayectoriarectilínea a velocidad constante. El segundo punto debe ser E, ya que no hay otro punto de la barra 1 que

tenga trayectoria conocida.El punto E describe una trayectoria circular alrededor de O , por lo que su aceleración tendrá una1

componente normal conocida dirigida hacia O y una componente tangencial desconocida. Gráficamente:1

relacionándolo con el punto A mediante la expresión

cuya parte derecha se representa en la figura que se muestra a continuación:




α1

2

2=

v

Rd

( )r r ra a aB A BA= + 1

( )r r r ra a a aB a r c= + + 2

α θ α ω1 4 43 2b v rsen = +l

αα θ ω

4 1 43

2

3= −b v

r

sen

l l


Utilizando las dos últimas figuras, e igualando componentes verticales, se deduce inmediatamente:

Conocida α , la aceleración del punto B de la barra 1 es1

Y finalmente ahora es posible determinar α , describiendo el movimiento del punto B como una4

composición de movimientos siendo la referencia móvil la barra 4:

Igualando (1) y (2), y proyectando en la dirección perpendicular a CB, paraplantear una sola ecuación con una sola incognita α , tendremos:4

de donde:

c) La velocidad relativa v ’ de la barra 3 respecto del sólido 5 es, en realidad, la velocidad relativa der

cualquier punto de 3 respecto de 5, al ser el moviento relativo entre los sólidos 3 y 5 de traslación. Así,resulta ventajoso describir v ’ como la velocidad del punto D del pasador 3 relativa a 5. El punto Dr




r rv vD = ( )3

( )r r rv v vD a r= + ' 4

r r rv v vF a r= +

v v v

v vr r

r r

= + + −= − + + −

2

0 21 5

1 5

ω θ ω θ θ θω θ ω θ θ θ

l l

l l

cos cos sen ' sen

sen sen cos ' cos


pertenece a la barra 1, que se mueve en traslación instantánea, por lo que su velocidad es conocida eigual a la velocidad de A.

Por otra parte, el pasador 3 desliza por la barra 5 al tiempo que esarrastrado por ésta, por lo que el movimiento del punto D puededescribirse como una composición de movimientos siendo 5 la referencia

móvil

y utilizar esta relación para hallar v ’. En el término de arrastre se deber

incluir la velocidad conocida de otro punto de la referencia móvil 5. Sóloel punto F puede aportar este dato. El punto F pertenece al sólido 2,sólido que presenta un movimiento resultante de una composición demovimientos, según se ha descrito en los apartados anteriores. De estemodo, se puede calcular mediante una composición de movimientos,siendo la referencia móvil la guía 4:

Conocida , se puede ahora representar gráficamente la expresión (4)según la figura adyacente. Ahora se pueden igualar (3) y (4) paraformar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, siendo éstas V ’ry ω . En este caso, a causa de la geometría concreta del mecanismo en5

este instante, no resulta especialmente ventajosa la búsqueda de una basede proyección que dé una sola ecuación con una incógnita, ya queresolviendo de esta manera apareceran ángulos 2θ. Se utiliza en este

caso la base propuesta en el enunciado, con lo que resultan lasecuaciones.




( )v v vr r' sen cos sen sen cos= − + + −θ ω θ θ θ θ4 12 2

l

AB BD=


que se pueden resolver eficazmente mediante reducción, multiplicando la primera ecuación por sen θy la segunda por -cos θ, y sumándolas después. El resultado es

según sentido y dirección indicados en el diagrama.Otra manera de calcular la velocidad de F es utilizando el punto B que, al pertenecer también al

pasador 2, simplifica el proceso al no haber componentes relativas.

10.- La excéntrica redonda 4 gira entorno del punto A con velocidad angular

constante T conocida. La biela 3 abrazadicha excéntrica, que la mueve dentro dela guía 2. En C hay un pasador. La barraDF está en contacto en F con la pieza FEque se desplaza horizontalmente comoconsecuencia del movimiento de la biela.Determinar en el instante de la figura:

a) Velocidad horizontal de la pieza 5.b) Aceleración de la biela 2 respecto la

guía 3.

SOLUCIÓN

a) Para determinar la velocidad horizontal v de la pieza 5, hallaremos en primer lugar la velocidadE

de D. En este caso la opción más simple, dada la geometría del dispositivo, está en el uso del CIR I2

de la biela 2. El punto A es de la biela y su velocidad es perpendicular a la línea CA, el punto B de

la biela tiene la velocidad en la dirección AB. Trazando perpendiculares a las direcciones de ambasvelocidades localizaremos el punto I buscado (ver figura adjunta).2

Conocido I , podemos pasar a determinar la velocidad de D. Como se cumple2

el triángulo rectángulo I BA será igual al triángulo rectángulo I BD. Por tanto, tendremos2 2




I A I D2 2=

v v rD A= = ω

∠ =AI D2 2θ

rv

r

rD = −

ω θω θ

cos

sen ( )

2

2

0

1

rv

v

E

E

=

0

0

2( )

r rv v DEE D= + ×

→

ω 4

v r

rE

0

0

2

2

0

0

0

04

= −

+

× −

ω θω θ

ω

ϕϕ

cos

sen

cos

sen

l

l


Esto significa que la velocidad de D y la de Ason iguales en módulo, ya que estos puntosestán a igual distancia del CIR I , o sea:2

Por otra parte, la velocidad de D esperpendicular a I D, y de la figura se deduce2

que

Por tanto el vector velocidad de D forma unángulo 2θ con el eje x del enunciado. O sea,conocemos la velocidad de D en módulo ydirección (ver figura ), de modo que

La velocidad que queremos determinar

tiene dirección conocida, o sea

Considerando el sólido 4 y tomando como base el punto D será:

y teniendo en cuenta (1) y (2), utilizando la base propuesta en el enunciado, podremos escribir




v r

rE = +

= − +ω θ ω ϕ

ω θ ω ϕcos sen

sen cos

2

0 24

4

l

l

ωω θ

ϕ42

=rsen

cosl

( )v rE = + →ω θ θ ϕcos tg tg ( )2 1 2 3

ω ω θ2

2

22

= =v

I A

rA senl

r r ra a aA C AC= + ( )4

r r r ra a a aA A

rAa

Ac= + + ( )5


que da lugar al sistema de ecuaciones:

De la segunda ecuación obtenemos

y sustituyendo en la primera

Con esto hemos concluido este apartado. Antes de proceder a resolver el apartado siguiente convendrácalcular ω . Observando el diagrama construido antes, es inmediato que2

b) Con objeto de calcular la aceleración de la biela respecto la guía, estudiaremos el punto A.Aplicando la fórmula de aceleraciones para la excéntrica 1 será:

En el diagrama de la página siguiente se determina geométricamente esta aceleración .También podemos calcular la misma aceleración de A

mediante composición de movimientos. Tomando comoreferencia fija el laboratorio y como referencia móvil laguía 3 , podremos escribir:

En el diagrama que acompaña se han trazado los

vectores que corresponden a esta última expresión.El valor buscado de a se obtendrá directamenter

igualando las proyecciones de (4) y (5) en la dirección

AB. Ayudándonos con las figuras anteriores tendremos:




ω θ ω2222 2r aA

rsen = + l

a rr

Ar = −

ω θ

θ2 12

sensen

l


y substityendo el valor de ω dado por (3) se obtiene:2





2.2. Problemas propuestos

11.- En el mecanismo de la figura, la manivela OA giraconT y " conocidas. Todos los puntos de articulaciónson pasadores. La guía en B se mueve horizontalmente.Para el instante de la figura el ángulo en D es recto.Determinar:

a) Velocidades angulares de las barras 1 y 3.b) Aceleración .c) Aceleración angular α (empleando una única2

ecuación escalar).(Datos: OA = AC = CB = CD = , DE = 2 )

12.- El volante de centro O del mecanismo de la figuragira con velocidad angular T conocida y constante. Lasbarras 1 y 2 transmiten el movimiento a la barra 3, quedesliza dentro del collar de centro B. Determinar, para elinstante considerado, suponiendo que la referencia móvil

es el collar en B, y utilizando el número mínimo deecuaciones:

a) Aceleración de Coriolis del punto A.b) Aceleración relativa de la barra 3.

13.- En el mecanismo de la figura, la barra AD está guiadaverticalmente y lleva en el pasador A el disco 2 sobre el que seapoya la palanca 3, la cual puede girar alrededor de O . Dicha1

palanca, de espesor despreciable, no presenta deslizamiento enel contacto B. La barra 1 está unida, en el pasador D , al sistemabiela -manivela DE-EO con O fijo. En el instante considerado2 2

se conocen v y a (en el sentido de la figura); el ángulo en EA A

es recto. Determinar:a) Velocidad del punto C.

b) Velocidad angular de la barra 5.c) Aceleración angular de la barra 3.d) Aceleración del punto E.

(Datos: DE = EO = , O B =2 , O C = 4 )2 1 1





14.- En el mecanismo de la figura, labarra 1 gira con T constanteconocida. En función de los datos de

la figura determinar, para el instanteconsiderado, el valor del módulo,dirección y sentido de:

a) Velocidad del sólido 7.b) Velocidad de la barra 4 respecto

el pasador 5.c) Aceleración del sólido 7.d)

15.- La barra 1 de la figura tiene un

pasador en A montado sobre el disco3; dicha barra desliza a lo largo de laguía de centro B situado sobre eldisco 2. Ambos discos giran convelocidades angulares constantes yconocidas. Se pide:

a) Velocidad angular de la barra 1.b) Aceleración angular de la

misma barra.c) Aceleración de B .1

16.- Los puntos D, E y F sonarticulaciones de pasador. La barraDA gira con el collar 3 y desliza porel interior del mismo. El pivote enA se mueve a lo largo de la palanca1 y ocasiona su rotación. En elinstante de la figura se conocen lavelocidad y la aceleración del pistónD. Determinar:

a) Velocidad del punto E.b) Aceleración tangencial y

normal de E.

c) Aceleración del punto Drelativa al collar 3.

d) Velocidad angular de la palancaOB.

e) Aceleración de Coriolis de A si2

la referencia móvil es la palanca 1.





17.- Un mecanismo consta de la manivela O'A quepone en movimiento la biela AB y el balancín OB. Labiela AB es solidaria de la rueda dentada de centro B

que engrana con el piñón 1, que puede girar alrededorde O. En el instante de la figura AB y OB sonperpendiculares. Si se supone que el balancín OB giracon T constante, determinar:

a) Velocidad angular de la manivela 3.b) Aceleración angular de dicha manivela.c) Aceleración del punto C .1

Datos: OB = R, BC= r

18.- El brazo telesc\pico DC del dispositivoconsiderado gira con velocidad angular ω constante yconocida; simultáneamente se alarga con velocidad vconstante y conocida. El disco 2, de radio r, est< encontacto sin deslizamiento con la barra 1 en el puntoA. En el instante de la figura el <ngulo en B es recto.Determinar, en la base de proyecci\n indicada:

a) Valores de ω y de ω .1 2

b) Valor de α , explicando la propiedad utilizada2

para deducirlo.c) Valor de las aceleraciones relativa ycomplementaria del punto A considerando como2

referencia m\vil el brazo 1.

19.- En el dispositivo de la figura, la palanca acodada AOB gira con velocidad angular ω constante yconocida. La barra 3 desliza por el interior de la guía D, situada en el extremo de la manivela 4, quepuede girar alrededor de E. La palanca 1 est< articulada por su extremo A a la barra acodada, por su otro

extremo lo está con el disco 2 que rueda sin deslizar alrededor del punto H. Determinar:a) Velocidad angular ω del disco 2 y aceleraci\n de su punto de contacto H con la bancada.2

b) Aceleraci\n angular α del disco.2

c) M\dulos y sentidos de ω y α .3 4




r r

v = vA /1 A / 2


20.- En el sistema de engranajes de la figura, elpunto B gira con ω y α conocidas en torno delB B

punto O fijo. El piñón 1, de centro O, tiene ω y α1 1

también conocidas. Se pide:a) Valor de ω y α .2 2

b) Definir la velocidad de sucesión de A.

Comprobar que .


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