Mecânica dos Fluidos II.pdf

5/26/2018 Mecnica dos Fluidos II.pdf

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MECNICA DOS FLUIDOS II

Affonso Silva TellesProfessor da Escola de Qumica da UFRJ

PREMBULO ............................................................ ............................................................ .......................................... 2

1. CORPO CONTNUO.............................................................................................31.1 Cinemtica........................................................... ..................................................................... ....................... 31.2 Objetividade Material ............................................................ ............................................................ .............. 51.3 Dinmica................................................................................... .......................................................... ............. 61.4 Escoamentos Viscomtricos......................................................... ................................................................ ... 7

2 EQUAES CONSTITUTIVAS ....................................................... ................................................................ ... 82.1 Princpio de Determinismo................ ................................................................ .............................................. 9

2.2 Princpio de Objetividade Material......................... ................................................................ ......................... 92.3 Material Simples..................................... ........................................................... .............................................. 92.4 Materiais Viscoelsticos............................................................ .................................................................. .. 10

3. TURBULNCIA...................................................................................................10 3.1 Introduo ........................................................ .............................................................. ........................................ 113.2 Flutuaes......................... ................................................................ .......................................................... ... 113.3 Equaes Bsicas da Turbulncia..................................... ................................................................. ............ 133.4 Equaes de Transporte da Turbulncia .................................................................. ...................................... 143.5 Transporte do fluxo trmico turbulento ............................................................ ............................................. 143.6 Modelos Algbricos................................................................. .......................................................... ............ 163.7 Comprimento de Mistura de Prandtl........................................................................................ ...................... 173.8 Comentrios crticos....................................................... ......................................................... ...................... 18

3.9 Modelos multi- equaes.................... ................................................................ ........................................... 20

4. FECHAMENTO SEQUENCIAL .......................................................... .......................................................... ... 234.1 Introduo............................. ................................................................ ...................................................... ... 244.2 Definies preliminares e flutuaes turbulentas .............................................................. ............................ 264.3 O Mtodo da Termodinmica Extendida................................................ ....................................................... 294.4 Tenses de Reynolds e Fluxos Trmico e de Massa................................................... ................................... 314.5 Referncias. ............................................................ ................................................................. ...................... 31

5. CAMADA LIMITE...............................................................................................................................................335.1 Definies Preliminares.................................................................. ............................................................. .. 34

A. Apndice A.............................................................................................................................................................35

A.1 Espao Euclidiano e Espao Vetorial.............................................. .................................... 35A.2 Tensores............................................................. ............................................................. ............................... 37A.3 Transposio, Inverso, Simetria e Ortogonalidade. ............................................................ ......................... 38A.4 Trao e Determinante ............................................................. ........................................................... ............ 38A.5 Tensores Positivo-Definidos e Teorema Espectral ...................................................... .................................. 39A.6 Teorema de Cayley Hamilton.............................................................. ....................................................... 40A.7 Decomposio Polar de Cauchy ............................................................. ....................................................... 41A.8 Sistemas Gerais de Coordenadas................................................... ............................................................. ... 41A.9 Derivadas e Operadores Diferenciais ............................................................................................................ 42A.10 Componentes dos Operadores, Derivada Covariante. ................................................................................... 43

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PREMBULO

possvel dividir a mecnica clssica em dois grandes captulos. O primeiro deles, aMecnica de Sistemas Finitos, i.e., aplicvel a sistemas com nmero finito de objetos usualmente atribudo a Isaac Newton (1642-1727), por seu trabalho sobre as leis domovimento e da gravitao universal. Entretanto teve precursores e sucessoresimportantes como:Leonardo da Vinci (1452 1519) que realizou experincias sobre asleis do movimento e do atrito; Nicolaus Copernicus (1473 1543), que formulou aastronomia heliocntrica; Galileo Galilei (1564 1642) pioneiro no emprego daobservao e mtodo experimental, demonstrando a importncia da acelerao nadescrio do movimento; Johannes Kepler (1571 1630) que formulou as leis domovimento planetrio; Ren Descartes (1596 1650) criador da geometria analtica;GillesRoberval (1602 1675) que em primeiro formulou as leis da composio de foras;Christiaan Huygens (1629 1695) que obteve a descrio do movimento dos pndulos deonde resulta o isocronismo das pequenas oscilaes; Robert Hooke (1635 1703) queformulou a Lei de Hooke para a descrio da elasticidade; Gottfried Leibnitz (1646 1716)

que formulou o clculo diferencial e integral contemporaneamente a Newton; JohannBernoulli, (1667 1748) o princpio do trabalho virtual; Daniel Bernoulli, (1700 1782)teoria do escoamento de fluidos; Leonhard Euler (1707 1783) corpo rgido, mecnicados fluidos, e slidos; Joseph-Louis Lagrange (1736 1813) mecnica analtica;SimonPoisson (1781 1840) leis de conservao da mecnica;Augustin Cauchy (1789 1857)equaes do movimento, tensor tenso, teoria da elasticidade e a Mecnica doContnuo, i.e., aplicvel a corpos com nmero infinito (1) de pontos materiais, anlogosaos pontos do espao Euclidiano tridimensional; Carl Jacobi (1804 1851) equaesdiferenciais parciais do movimento; WilliamHamilton (1805 1865) mecnica cannica.

A mecnica do contnuo inclui o estudo de materiais slidos, fluidos e de outrosmateriais mais complexos que no podem ser includos nesta classificao. Nossa

apresentao ser restrita descrio de fluidos e de seus movimentos. De fato, a maiorparte ser restrita a fluidos incompressveis. Entretanto estudaremos a formulao deequaes constitutivas, dando espao para a considerao de fluidos no-newtonianoscom formulao bastante geral. Os escoamentos viscomtricos serviro de importantesexemplos. Entretanto a formulao da teoria da camada limite, e da apresentao dealguns exemplos, permitir um salto considervel para a discusso de escoamentos maiscomplexos, por mtodos analticos, hbridos e numricos.

indispensvel, em adio, estudar os escoamentos turbulentos de uma forma maisaprofundada do que aquela apresentada na grande parte dos livros didticos de Mecnicados Fluidos. As principais formas de fechamento dos balanos em escoamentosturbulentos sero apresentadas e discutidas.

A formulao que emprega coordenadas curvilneas gerais torna-se necessria apresentao de mtodos da mecnica dos fluidos computacional. Reafirmando as trsgrandes reas deste curso: Equaes constitutivas de fluidos no-newtonianos,turbulncia, e teoria da camada limite, com uma abertura para a mecnica dos fluidoscomputacional.

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1. CORPO CONTNUO

1.1 Cinemtica

Um corpo contnuo um conjunto , cujos elementos so chamados pontos materiais( ). Em tm-se uma classe de subconjuntos, chamados de partes do corpo, sobrea qual est definida uma medida denominada distribuio de massa. Esta medida, manloga medida de Borel associada ao espao euclidiano tridimensional. A massa decada parte est definida de uma vez por todas, independentemente do movimento e detodos os demais processos a que o corpo submetido. Esta uma declaraoequivalente conservao da massa.

X

Sobre o corpo est definida uma classe de configuraes, , ,: , para o espaoeuclidiano tridimensional, . Estas configuraes satisfazem s seguintes condies: so injetoras, i.e., se (X) (Y), ento X Y. = = Existem portanto as inversas restritas

s imagens do corpo. B1

:

B, onde B = (B). (X) representa a posio doponto material X na configurao , e 1 (x) representa o ponto material que, naconfigurao ocupa a posio x.

Dadas duas configuraes , e ento as composies 1 -1, e 1 = = so

homeomorfismos diferenciveis que transformam respectivamente BB,e BB.Estes homeomorfismos so chamados de deformaes. Uma deformao transformauma dada configurao em outra, e dado uma deformao e uma configuraoqualquer constri-se uma nova configurao = .

Homeomorfismos so funes inversveis e contnuas; razo pelas quais preservam ascaractersticas topolgicas de conjuntos. As imagens de conjuntos com volume no nulotm volumes no-nulos; superfcies so transformadas em novas superfcies, linhas emlinhas, etc. Estas caractersticas so as esperadas para as deformaes de corposcontnuos. Por outro lado os homeomorfismos preservam tambm a conectividade departes dos corpos, transformando conexos em conexos, simplesmente conexos emsimplesmente conexos. A rigor, por conseqncia corpos contnuos, pela definio dada,no podem ser divididos em diversas partes, no podem ser perfurados, etc. Um movimento uma famlia de configuraes que tem o tempo como parmetro,

(X,t)= x , que d a posio do ponto material X a cada instante t. Dado ummovimento podemos calcular a velocidade e a acelerao de cada ponto material:

2

2

(X,t) (X,t)

,t t

= = v a . (1.1)Dada uma configurao tomada como referncia, ser possvel escrever na

qual X a posio do ponto material X nesta configurao de referncia. A eliminao doponto material X entre o movimento e a referncia tem-se uma expresso para a posioa cada instante do ponto material que na referncia ocupava a posio X.

(X),= X

. (1.2)k ( ,t) ( ,t)= = x X XO subscrito k refere-se configurao de referncia e ser omitido sempre que nocausar indeciso. A equao (2.1) conduz a:

2k

2

( ,t) ( ,t),

t t

= =

X

v a k

X. (1.3)

Alm de velocidade e acelerao possvel calcular-se o gradiente de deformaoF.

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2

( ,t) ( ,t) grad ( ,t) o( )

grad ( ,t) ( ,t)

+ = + +

=

X X X X X X

X F X. (1.4)

O gradiente da deformao um tensor no-singular e, portanto admite asdecomposies de Cauchy direita e esquerda

T T 1 1 T, , , , .

= =

= = = = = =

F RU VR

U F F V FF R FU V F V RUR U R VRT (1.5)R o tensor rotao; Ue Vso os tensores distenso direita e esquerda. Os tensoresde Cauchy-Green direita e esquerda Ce Bso definidos por

(1.6)2 T

2 T

,

.

= =

= =

C U F F

B V FF Em termos das coordenadas curvilneas estes dois ltimos tensores tm as seguintesrepresentaes:

1 2 3k l i j kl i j i i

i j kl i j k l k k

(X ,X ,X ,t)C g F F , e B g F F , onde F

X

= = =

. (1.7)

As distenses U, e V, so tensores simtricos e positivo-definidos, possuemautovetores mutuamente ortogonais correspondentes s distenses principais,(1.8)i i i i j i,= = Ue e e e j.

O gradiente da deformao Fcorresponde a trs distenses principais levadas a efeitoao longo dos eixos principais, seguidas da rotao dada por R. i i i= = F RU R e e . Vpossui os mesmos autovalores que U, mas seus autovetores so obtidos pela rotao doseixos de U. ( T i i i i i i( ) ( )= = R VRe e V Re Re .Note tambm que a derivada do gradiente de deformao em relao ao tempo d:

1

( ,t) ( ,t) ( ,t)( ) ( ) (grad ) ;

t t t

= = = = = =

=

F X X v x xF v

X X x XL FF

eF LF

. (1.9)

A configurao atual tambm pode ser tomada como configurao de referncia.Obtm-se da uma descrio relativa, cuja construo feita considerando-se, (X,t), e (X, ),= = x z (1.10)as posies do mesmo ponto material, no mesmo movimento, a dois instantes diferentes.Isto z o ponto ocupado ao instante pelo ponto material que ocupa x em t. Aeliminao de X entre estas equaes d:

(1.11)( ) 1 t[ ( ,t), ] ( , ) = = z x .x

Esta ltima funo chamada de deformao relativa, a configurao atual. Toma

como referncia a posio atual e d a posio do ponto material que agora ocupa x, paratodos os outros instantes. A velocidade do ponto material X no instante dada peladerivada ( )z e esta funo deve satisfazer equao diferencial

. (1.12)( ) ( )( , = z v z )

.

Com a descrio relativa (1.11), pode-se calcular o gradiente da deformao relativa.Note que t ( ,t) =x x

(1.13)( )t t t t, grad ( , ). ( ,t)= = =F F x x F x 1 A decomposio de Cauchy para o gradiente de deformao relativa tambm deimportncia:

(1.14)2 2

t t t t t t t t t

2 T Tt t t t t t

, , e ,

, .

= = = =

= =

F R U VR C U B V

U F F C FF

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Cada uma destas funo de , e reduzem-se ao tensor unitrio para = t..t t t t t( , t) ( ,t) ( ,t) ( , t) ( ,t)= = = =R X U X V X C X B X 1=

T =

As derivadas em relao ao tempo da deformao relativa e dos tensores de Cauchy-Green so:

. (1.15)t t t t,= = = = = +L F D U V W R L D W

D, a parte simtrica do gradiente da velocidade chamada de taxa de deformao.Expressa a taxa de variao temporal da distenso de uma vizinhana do ponto materialque ocupa x. W o giro (spin), e expressa a taxa de rotao. Ut simtrico e emconseqncia D tambm o , mas deixa de ser necessariamente positivo definido. Aderivada temporal de o giro anti-simtrico. Derivadas

de ordem mais elevada das taxas de dissenso podem ter importncia na descrio do

escoamento. Em especial as derivadas da

Tt t mostra que= +R R 1 W W 0

nt

t n n

t

( , ),

=

=

C X

C A so chamadas de

tensores de Rivlin-Ericksen, que so particularmente importantes na formulao deequaes constitutivas para fluidos no-newtonianos.

A equao (1.11)permite a definio da histria do movimento, contem informaosobre o passado do movimento, desde seu incio at o instante atual. Uma histria dafuno f(t) at o instante atual tf (s) f(t s)= , fixado t no instante atual. Assim a histria

do movimento dada por:t ( , ) xtt t( ,s) ( , s) x x . V-se que medida que a

varivel s cresce, desde zero a histria tt retraa o passado do movimento desde opassado remoto at o instante atual. As histrias de todos outros parmetros cinemticoscomo .. podem ser definidos, e so de importncia na formulao

de equaes constitutivas. .

t t t tt t, , , e etc.F C F C

t t t tk k t t t t( ,t s), ( ,t s), ( ,t s), (X,t s)= = = = F F X C C X F F X C C

1.2 Objetividade MaterialA mais geral mudana de referencial combina uma mudana de origem com uma

rotao de eixos, (mudana de base) que preserva os ngulos e distancia entre pontos..* *(t) (t)( )= + x o Q x o

Diz-se que um ponto do espao que se desloca em relao ao ponto o, e um tensor ortogonal dependente do tempo. Uma quantidade dita ser indiferente aoreferencial, ou objetiva se:

*(t )o (t)Q

(1.16)

*

*

* T

se um escalar;

se um vetor;

se um tensor.

=

=

=

u Qu u

S QSQ S Um escalar no alterado pela mudana de referencial, seu valor no se altera se vistopor observadores diferentes. Um vetor objetivo se a mesma seta, pois se

Um tensor objetivo transforma vetores objetivos

em vetores objetivos, i.e.: u S . Nafsica algumas grandezas so objetivas, outras no. Os movimentos, por exemplo, soobviamente dependentes do observador, e sob uma mudana de referencial o movimentotransforma-se como:

* *e , ento * .= = = u x y u Qu u x y*

= = =w u Qu w Qw * * * * Tento = =u S w S QSQ

* )

* *, , ,

(no objetivo). (1.17)* *(t) (t)[ ( ,t) ] ( ,t)= + = x c Q X o X A diferenciao em relao a t gera a velocidade, com a seguinte regra detransformao:

(no objetivo). (1.18)* [ ] (x = + = + v Qv c Q o c A c

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onde representa um campo tensorial; E{} um campo de ordem superior em 1 ordemde , e que representa o fluxo de atravs da fronteira de A; e s{} e a gerao de no interior de A.Sob as suposies de continuidade e diferenciabilidade tem-se:

A A A A

ddm) dm, e E{ } dS divE{ } divE{ } s{ }.

dt = = = + n (1.26)

. (1.27)div = + v T

g

)0.

Esta primeira lei da Mecnica do Contnuo devida a Cauchy, segundo Truesdell.Um balano pode ser feito equacionando a taxa de variao do momento angular aotorque das foras em relao a um ponto arbitrrio. Da resulta a segunda lei da Mecnicado Contnuo, que equivale proposio sobre a simetria do tensor tenso.

. (1.28)T=T T

1.4 Escoamentos Viscomtr icos

O movimento de um fluido denominado de cisalhamento simplesquando existir umsistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) para o qual o campo de velocidades

da forma:( ,t=v v x

(1.29)x y zv y, v 0, v= = =

onde uma constantes denominada da a taxa de cisalhamento xdv

dy

=

. Um exemplo

deste tipo de escoamento ocorre entre duas placas planas paralelas, separadas peladistancia d, onde uma delas desloca-se com velocidade V, constante em relao outra.Supe-se que o fluido fique aderente s placas. Para este caso tem-se o perfil linear para

o campo de velocidade do fluido, xV

vd

= y

0.

. A descrio relativa deste movimento satisfaz

equao diferencial(1.29), que se simplifica para

( ) ( ) ( )

x y z;

, 0,

= + + = =

z e e e

z

(1.30)

A soluo deste sistema, para a condio inicial em = t :( )x t , y, = + = = . (1.31)

A partir desta soluo possvel calcular todas as variveis que descrevem acinemtica deste movimento. Assim, por exemplo, a matriz do gradiente da deformaorelativa :

. (1.32)( ) ( )t

1 0 0

t 1 0

0 0 1

=

F

Da conclui-se que a historia do gradiente deformao relativa tem a forma(1.33)( ) 1 s ,= F s M

onde M um tensor cuja matriz :

. (1.34)[ ]

0 0 0

0 0

0 0 0

=

M

A transposio desta matriz permite o clculo dos tensores de Cauchy-Green conforme

a eq.(1.14)2

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[ ] [ ]

T 2 Tt t t t t t t t

2 2

2t t

, ;

1 s s 0 1 s 0

s 1 0 s 1 s 0

0 0 1 0 0

= = = =

+

1

= = +

2B U F F C V FF

B C. (1.35)

O gradiente da velocidade, a taxa de distenso, e o giro decorrem das eqs.(1.15),( )( ) ( )

[ ] [ ] [ ] [ ]

t T T

s 0

d s, , ;

ds

0 0 0 0 0 0 01 1

0 0 , 0 0 , 0 0 .2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0

=

= = + =

= = = =

1 12 2

FL D L L W L L

L M D W

(1.36)

Os autovalores de B B

t, ou de Ct podem ser determinados pela soluo da equaocbica.

. (1.37)( )

( ) ( ) ( )

2 2t

2 2 2 2 2

1 s 0

det 0, det s 1 s 0 00 0 1

1 1 s 1 s 0

= + =

+ =

C 1

A cbica em questo possui a raiz = 1, que pode ser fatorada, resultando da umaequao do segundo grau que possui 2 razes reais, com as quais se calcula Ut, e Vt.

2 EQUAES CONSTITUTIVAS A equao do movimento de Cauchy (2.23) possui um termo que caracteriza o materialdo ponto de vista reolgico. Reologia definida como a cincia do escoamento e dadeformao da matria. Trata da inter-relao entre as foras aplicadas e as deformaesdo material em funo do tempo e do espao. Rheos grego para fluxo, e reologia oestudo do escoamento de todos os materiais como resposta s foras aplicadas, e doponto de vista de suas propriedades fsicas. H uma grande diversidade decomportamentos reolgicos descritos primitivamente por termos como: slido rgido slido elstico material elasto-plstico material visco-elstico fluido ideal

fluido newtoniano fluido no-newtoniano fluido visco-elstico

Slidos rgidos e fluidos ideais no existem. Estes dois termos expressam casoslimites, em um extremo tem-se um material que no se deforma, no escoa e no outro ummaterial que no oferece qualquer resistncia ao escoamento. Na realidade todos ostermos acima querem expressar comportamentos idealizados dados por equaes querelacionam o movimento com a tenso. Estas equaes so chamadas de equaesconstitutivas, e elas representam propriedades fsicas. Algumas destas propriedades socondensadas em um nmero, coeficiente de elasticidade, mdulo de Young, viscosidade,etc.; para outras so necessrias curvas materiais que podem ou no serem ajustadascom diversos parmetros.

Uma equao constitutiva uma relao entre foras e movimentos. Foras iguaisaplicadas a materiais diferentes resultam em movimentos diferentes. As diferenas

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observadas permitem a classificao dos materiais em razo das observaes. Truesdellenuncia uma srie de princpios a serem satisfeitos pelas equaes constitutivas. (Noteque parte deste captulo quase uma traduo do The Elements of ContinuumMechanics, C. Truesdell; Springer Verlag(1966).)

2.1 Princpio de DeterminismoEssencialmente este princpio elimina toda a possibilidade de eventos futuros

influenciarem o presente. Do ponto de vista da determinao da tenso tem-se: a tensosobre o ponto material X no instante t determinado pela histria do movimento do corpo

at o instante atual.tk

. (2.1)tk(X,t) ( ,X,t)= T

um funcional, e com isto se quer salientar que seu valor no determinado apenaspelo valor presente (i.: para s =0) de tk , mas por toda a histria do movimento desde opresente, incluindo todo o passado ou pelo menos uma vizinhana de s= 0.

2.2 Princpio de Objetividade MaterialUma vez que as equaes constitutivas expressam propriedades materiais, ento

devem ser independentes do observador e indiferentes s mudanas de referenciais.Assim em dois processos dinmicos que diferem apenas por uma mudana de referencialdeve-se, necessariamente ter:

(2.2)* *t T tk( ,t) ( , ,t) ( ,t) ( , ,t) ,= = = T X X QT X Q Q X QT

t

(2.3)*k konde (X,t) ( ) [ (X,t) )], = + c t Q o

um processo dinmico equivalente a k , diferindo deste apenas por uma mudana dereferencial.

2.3 Material SimplesUm movimento dito homogneoem relao a uma configurao de referncia se

(2.4)k 0( ,t) (t)( ) (t),= = +x X F X X x 0

F X X

t

tP

onde x0 um ponto mvel do espao. Nesta expresso o gradiente da deformao F(t)pode depender do tempo, mas no da posio. Uma deformao homognea transformatoda linha reta em outra. Um material dito um material simples se existir umaconfigurao de referncia ktal que

(2.5)t tk k k ks 0

(X,t) ( ,X,t) ( ( ,s), ).

== = T

Isto , a tenso no local xocupado pelo ponto material X ao instante t determinada pelahistria do gradiente da deformao relativo configurao k, desde instantes remotosat o instante atual. O funcional de resposta, , representa propriedades fsicas domaterial e tem o nome de equao constitutiva. Em geral omite-se a varivel se outrassimplificaes de notao podem ser usadas, com o mesmo significado, como porexemplo:

. (2.6)tk ( ) ( )= = T F FDadas duas configuraes de refernciaCom esta frmula obtm-se a regra de transformao de equaes constitutivas relativasa configuraes diferentes.

1

1 2 1 2 2 1k e k , escreve-se: , onde grad(k k )

= =F F P P .. (2.7)t tk1 k1 k2 k1( ) ( ) ( ) ( ) = = F FP F F

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importante compreender o fato de que todas as variveis do escoamento que podemser calculadas a partir da histria do gradiente da deformao podem ser incorporadascomo novas variveis para formulao de casos particulares da equao constitutiva(2.5).Assim, por exemplo, so materiais simples:1 os materiais elsticos , para os quais a tenso

depende apenas do valor atual do gradiente da deformao;

t( ), onde (0)= =T g F F F

2 os fluidos newtonianos 2= T D ,3 os fluidos pseudo- newtonianos ( ) 22 , t= =T D D D rD ,

4 os fluidos stokesianos ( ) ( ) ( ) 2( ) 2= = + + T f D D 1 D D D D ,

5 os fluidos de Rivlin Eriksennn

tt1 2 n n n

t

( )( , ,.. ), onde (t)

t=

= =

C

T g A A A A C =

M

.

6 os materiais visco-elsticos

Modelos para a viscosidadeGumberg e Nissan

mix i iln x ln = xifrao molar do componente da misturaKati e Chaudhri

mix mix i i iln x ln = ivolume molar do componente, da mistura M/; i iM x= Modelo de Carreau-Yasuda

( )(n 1) / aa

0

1

= + D , constante de tempo, n o expoente da lei da potencia, e a

descreve a transio entre a taxa nula e a lei da potencia.Lei da potencia

n 1

c

= T D D c uma constante cuja dimenso depende do expoente n.

Modelo de Seo1

1 2 3

01 3

log m tg m log m

2 1m log , m log

2

= +

= =

D

0

Estes e outros modelos de materiais esto descritos na literatura.Vamos analisar o comportamento de alguns destes modelos de fluidos para o caso de

escoamentos viscomtricos.2.4 Materiais Viscoelsticos

2.4.1 Fluido de LodgeEstes fluidos tm um comportamento anlogo borracha, apresentando um limite elsticopara deformaes rpidas G

3. TURBULNCIA

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3.1 IntroduoEste captulo destina-se a resumir os conceitos principais e mais bsicos ligados turbulncia. Tem-se o ponto de vista do engenheiro qumico, que pretende propor eresolver modelos realistas para inmeras configuraes de equipamentos presentes emimportantes processos qumicos. Para tanto, so insuficientes as teorias simplificadas, e

aplicveis apenas em situaes muito especiais. Os casos de escoamentosunidirecionais, de cisalhamento simples, como os que ocorrem no interior de dutos, prmais educativos que sejam no servem como modelos aplicveis previso docomportamento no interior de equipamentos da Indstria Qumica. Um grau degeneralizao muito maior necessrio, e em conseqncia a teoria mais geral apresentada.O movimento de fluidos newtonianos nas mais diversas situaes e geometrias instvel,e existe sempre um valor crtico da velocidade, de fato um nmero de Reynolds crtico,acima do qual pequenas perturbaes so amplificadas. Em conseqncia a configuraodo escoamento altera-se significativamente e passa a apresentar flutuaes, em todaaparncia, aleatrias. Neste ponto reside a origem da turbulncia como um processo parao qual os campos de velocidade, presso, temperatura e concentraes so fortementedependentes do tempo, com componentes de uma ampla faixa, contnua, do espectro defreqncias. Estes campos possuem ento, componentes aleatrios que modificamprofundamente as caractersticas do escoamento, principalmente no que dizem respeitos taxas de transferncia de momentum, calor, e massa.O assunto comeou a ser estudado pr Reynolds (2), e em sua homenagem as tensesturbulentas so denominadas tenses de Reynolds. Outros pioneiros da rea, que athoje continuam sendo citados so Prandtl, (3, e 4), Kolmogorov (5) e Boussinesq (6).O livro clssico Turbulence de J. O. Hinze (1) de 1975 permanece sendo o texto maisimportante, contendo uma grande quantidade de informaes sobre a anlise terica de

parmetros, caractersticas e propriedades da turbulncia.Uma parte destas notas baseia-se reviso feita pr Speziale (7), mas cobrem tambmuma parcela mais recente da literatura, e os efeitos da turbulncia sobre as taxas detransferncia de calor e massa.

3.2 FlutuaesComo j foi dito, num escoamento turbulento ocorrem flutuaes em todas os campospertinentes como da velocidade, v, (componentes cartesianos, v i ), da temperatura, T, dapresso p,e das concentraes, , das substncias que compe o fluido.c

No caso geral ocorrem flutuaes nas propriedades fsicas, como a densidade, , e calor

especfico C e outras; nestas notas todas as propriedades fsicas so consideradasconstantes .Os campos de velocidade, temperatura e concentraes, funes da posio e do tempo,so substitudos pr famlias de campos parametrizados pr uma varivel , e umoperador que fornece os campos de valores mdios e permite a definio da flutuao emtorno desta mdia. O parmetro pode designar o resultado de um experimento em umaconfigurao do escoamento, onde so realizadas medida de diversos desses camposem funo do tempo e da posio espacial. Cada valor de designa um experimento,todos eles na mesma configurao, e indiscernveis do ponto de vista das condiesoperacionais. Colecionados os resultados das medidas realiza-se a operao de

determinao dos valores mdios, ainda em funo do tempo e do espao, e da obtm-se o componente flutuante.( ) ( ) ( ) ( ) ( ),t, ,t , ,t, ,t ,t, = + x x x x x . (3.1)

11


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O valor mdio das flutuaes obviamente nulo, mas o produto de duas ou maisflutuaes possui valores mdios diferentes de zero, indicando a existncia de correlaoentre e os campos em questo. Assim, por exemplo, tem-se:

0; 0, e se 0, = = (3.2)ento diz-se que as duas variveis so independentes, ou no esto correlacionadas. Emparticular as correlaes entre os componentes da velocidade so as tenses deReynolds, a correlao entre a velocidade e a temperatura proporcional ao fluxo trmicoturbulento, e entre a velocidade e as concentraes so os fluxos massa turbulentos.

t

t

tenses de Reynolds

T fluxo trmico turbulento

c fluxo de massa turbulento.

=

=

=

v v R

v q

v J

(3.3)

As razes para estas interpretaes iro tornarem-se aparentes mais adiante, com aobservao das equaes de balanos de momentum, energia e massa.

div ( ) onde p / gh,t

+ + = = +

v

v v I T f (3.4)

T

Tdiv (T ) r ,

t

+ + =

v q (3.5)

cdiv (c ) r ,

t

+ + =

v J

;D

(3.6)

Nc Nc Nc

1 1 1

div 0, onde 0, r 0, e c 0, constante.

= = =

= = = = = v J (3.7)Estas trs equaes possuem a mesma estrutura formal, um termo de acumulao local(derivada parcial em relao ao tempo), o divergente de um fluxo que a soma de umaparcela convectiva, proporcional velocidade, uma parcela condutiva, e um termo de

gerao, este ao lado direito das igualdades. Note que o campo gravitacional foiincorporado presso compondo a presso piezomtrica. Assim o termo direita dobalano de momentum est associado ao efeito de outros campos, como os camposcentrfugos, eletromagnticos, etc. A forma destes trs balanos macroscpicosresultantes de movimento e interaes ao nvel molecular. O movimento desordenado dasmolculas aleatrio, mas o valor mdio de suas velocidades macroscopicamenteobservvel. Deste movimento aleatrio resultam as parcelas para os fluxos condutivos demomentum, calor e massa. A passagem do nvel molecular para o nvel macroscpico, edeste para os valores mdios nos escoamentos turbulentos guarda grandes semelhanas.As equaes de balano formaro um sistema fechado apenas quando a elas soadicionadas as equaes constitutivas. So elas, para o caso mais simples assumem aforma das leis de Newton para a viscosidade, de Fourier para o fluxo trmico, e de Fickpara a difuso.

2= T (3.8)gradT;= q (3.9)

D gradc . = J (3.10)Relaes entre os fluxos e propriedades dos campos das variveis intensivas, anlogass expresses acima so chamadas equaes constitutivas. Como foram escritas estoenunciadas para o caso mais simples. A sua forma linear, e a independncia de cada umaem relao s demais so suposies demasiadamente restritivas em inmerassituaes. Todos os efeitos cruzados de fluxo trmico provocado por diferenas decomposio, fluxos de massas causados por diferena de temperatura, por exemplo, sodesprezados. Saliente-se, entretanto, que elas realizam o fechamento das equaes debalano transformando-as num sistema, a princpio solucionvel, do qual resultam

12


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informaes sobre as variveis v, T, e ca, em funo da posio e do tempopara casosde interesse terico ou prtico. Obtm-se:

2(grad ) grad ;t

+ = + +

v

v v v f (3.11)

2T

TgradT T r ;

t

+ = +

v (3.12)

cgradc D c r .

t

+ = +

v 2 (3.13)

Os termos esquerda so compostos pelas derivadas locais e convectivas dos fatoresintensivos do momentum, da energia, e da massa dos componentes qumicos da mistura.Os termos direita apresentam o Laplaciano destes mesmos fatores, com um coeficientechamado difusividade, cuja dimenso L2/t.

3.3 Equaes Bsicas da Turbulncia

Agora parte-se das equaes (3.11) a (3.13) escritas para a velocidade, a presso, atemperatura e as concentraes:;

T T T ;

c c c .

= + +

= +

= +

v v v =

(3.14)

Estas so substitudas nas equaes (3.11) a(3.13), e suas mdias so efetuadas. Osresultados abaixo dependem da constatao de que os fluxos turbulentos so dadospelas correlaes entre as flutuaes dos campos de velocidade, temperatura econcentraes.

t

t

;

T T T T ;

c c c c

= + = +

= + = +

= + = +

v v v v v v v v R

v v v v q

v v v v J

(3.15)

Com isso, novas equaes para os campos mdios so obtidas, contendo agora os fluxosturbulentos.

2

i

(grad ) div ;t x

+ = +

v

v v v R (3.16)

2t T

TgradT T div r ;

t

+ = +

v q (3.17)

Nc Nc2t t

1 1

c gradc D c div r , , r 0.t

= =

+ = + = = v J J 0 (3.18)

div 0.=v (3.19)Este sistema , em sua forma, absolutamente anlogo ao sistema composto pelas

equaes(3.4) a(3.7), parecendo requerer, para seu fechamento, de equaesconstitutivas para os fluxos turbulentos de momentum, calor e massa. Pr outro lado seas equaes para os campos instantneos (3.11)a (3.13)devem ser satisfeitas em todasas circunstncias, e suas solues poderiam, em princpio, ser obtidas, e os fluxosturbulentos seriam determinados pelas equaes (3.3)que os definem. As equaes paraos valores mdios(3.16), a (3.18)seriam identicamente satisfeitas, pois a rigor elas so,

simplesmente, identidades sem maior significado. Evidentemente tais comentrios sovlidos apenas sob a hiptese de ser possvel a determinao de solues completas eprecisas das equaes para os campos instantneos. Tal no o caso e instala-se

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novamente um problema de fechamento das equaes para os campos mdios.Acrescente-se, que atualmente j se encontram disponveis supercomputadores, ecdigos paralelos de alto desempenho capazes de simular escoamentos turbulentos.Ainda assim os modelos de fechamento das equaes da turbulncia so necessrios.Alguns aspectos desta questo sero debatidos posteriormente.

3.4 Equaes de Transporte da TurbulnciaOs mtodos de fechamento so diversos, alguns completamente empricos, outrosbaseados apenas na anlise dimensional, outros ainda com ligaes s equaes detransporte das flutuaes. Estas ltimas so obtidas pr subtrao das equaes mdiasdas instantneas. Assim de (3.11)a (3.15)obtm-se:

2(grad ) (grad ) (grad ) grad div ;t

+ = + +v

v v v v v v v v R (3.20)

2t T

TT gradT gradT gradT T div

t

+ = + + +

v v v q r ; (3.21)

2

t

c

c gradc gradc gradc D c div r .t

+ = + + + v v v J

(3.22)Sob a forma de operadores pode-se escrever ento, para obter-se as derivadas dosprodutos das flutuaes, em seus valores mdios.

vN 0; N = =v v vv 0; (3.23)

T T vN T 0 N T T N 0; = + =v v (3.24)

c c vN c 0 N c c N 0. = + =v v (3.25)

Como pode ser observado estas trs representam equaes para o transporte dos fluxosturbulentos. Na sua forma completa cada uma delas dada pelas seguintes expresses:Transporte das tenses de Reynolds (tenses turbulentas)

T(grad ) div [ grad ];t

;

2 ;

;

+ = +

=

=

= + +

RR R v RL LR G E M R

G D

E L L

M v v v v I I v

(3.26)

Analisando os termos desta equao sob o ponto de vista de uma equao de balanotem-se, ao lado esquerdo o termo de acumulao na forma da derivada substantiva dastenses de Reynolds. Ao lado direito aparece um fluxo difusivo das tenses de Reynoldscomposto de duas parcelas. Na primeira destas aparece uma correlao tripla entre asflutuaes de velocidade, adicionada s correlaes entre flutuaes de presso evelocidade. A segunda parcela deste fluxo difusivo tem a forma clssica proporcional aogradiente das tenses de Reynolds. Os outros termos representam um balano entreproduo e destruio dos componentes das tenses. Primeiro tem-se termos de potnciadas tenses turbulentas face ao gradiente do campo mdio de velocidade, com sinal noespecificado. Os outros dois termos G, e E, envolvem correlaes duplas entre variveisflutuantes. O termo E, proporcional ao quadrado do gradiente da flutuao de velocidade, sempre positivo e representa a dissipao viscosa dos componentes da tensoturbulenta. O termo G envolve a flutuao da presso, e interpreta-se como a geraodestes mesmos componentes.

3.5 Transporte do fluxo trmico turbulento

t tgradT T grad divT . = q R Lq v v (3.27)

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A interpretao dos termos desta equao anloga anterior. Ao lado esquerdo tem-sea acumulao do fluxo trmico turbulento, e do lado direito uma correlao tripla deflutuaes de temperatura e velocidade, dentro do divergente representando o fluxodifusivo do fluxo trmico turbulento. Os demais termos somam a gerao deste fluxo porinteraes diversas entre flutuaes e valores mdios.Transporte do fluxo de massa turbulento

tgradc c grad div c = tJ R LJ v v . (3.28)Possveis comentrios sobre o significado dos termos desta equao, apenas repetiriamos comentrios anteriores.Em termos dos componentes cartesianos dos campos vetoriais e tensoriais elas podemser escritas sob as formas:

i j i j j i jk 2ik ik jk i j i j i j

k k k j

j ji ii j i j

j i k k

i jk i j k i jk j ik

R R v Mvv R R G E R ; onde

t x x x x

v vv vG ; E 2 ;

x x x x

M v v v v v ;

+ = + +

= + = = + +

(3.29)

ti ti i jik ij t j

k j j i

q q v vvTv R q T

t x x x x xj

T;

+ =

(3.30)

ti ti i jik ij t j

k j j i

J J v v cvcv R J c

t x x x x x

j

.

+ =

(3.31)

O problema bsico do fechamento das equaes da turbulncia apresenta-se

plenamente nestes resultados. Na equao de transporte das tenses de Reynoldsaparecem novas correlaes como as correlaes triplas entre os trs componentesflutuantes da velocidade, M, entre a flutuao na presso e a de gradiente da velocidade,G, e ainda o termo de dissipao viscosa da turbulncia, E. Tambm nas equaes paraos componentes do fluxo trmico e fluxo de massa aparecem correlaes de ordemtrplice, e da flutuao da varivel intensiva com o gradiente das flutuaes de presso. Acontinuao do procedimento de determinao de equaes de transporte para estasnovas correlaes conduz ao aparecimento de correlaes entre termos adicionais,envolvendo correlaes qudruplos, e etc... A rigor, portanto pr este procedimento nose alcana o fechamento. So necessrias hipteses adicionais sobre as correlaes deordem superior, pr exemplo pela formulao de hipteses constitutivas, eliminando-as

das equaes, e formando um sistema fechado. Idntica estrutura apresenta-se nasequaes de transporte de energia e de massa.Se hipteses constitutivas so formuladas diretamente sobre os fluxos turbulentospresentes nas equaes(3.16), a(3.18), sem qualquer considerao sobre as equaesde ordem superior obtm-se modelos ditos modelos algbricos. Consideraes sobre aestrutura das 6 equaes para as tenses de Reynolds conduzem a modelos a Uma, ouDuas (ou mais) Equaes, ou a modelos ainda mais complexos.A forma correta para tratar os problemas de turbulncia a de obteno de soluestridimensionais em funo do tempo das equaes de Navier-Stokes. Atualmente esteprocedimento j vivel e denominado simulao numrica direta, (direct numericalsimulation) DNS. O problema numrico aparenta no ser excessivamente severo, mas

deve ser tratado com tamanho de malha suficientemente pequeno para alcanar osmenores turbilhes. O incremento no tempo deve ser suficientemente pequeno para sercapaz analisar o fenmeno na escala de tempo associada a estes pequenos turbilhes.

15


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Milhes de pontos de malha so necessrios mesmo para os mais modestosexperimentos computacionais relacionados a estruturas da pratica de engenharia. Destaforma a DNS, presentemente uma ferramenta de pesquisa, que comea a competir comexperincias de laboratrio. Seu emprego como auxiliar no projeto ou na previso dedesempenho de equipamentos para a simulao de processos ainda uma ferramentaproibitivamente cara. Segundo Bradshaw (1996) todo substitutivo para o DNS uma

soluo barata para um problema caro. Comenta-se que o procedimento de determinaodas mdias levando s equaes de Reynolds elimina tanta informao que,possivelmente, nenhum modelo baseado nestas equaes possa dar resultados deprevises com preciso aceitvel para problemas de engenharia, com coeficientesempricos constantes e vlidos para toda a faixa de escoamentos de interesse. um fatoque todos os coeficientes de um modelo devem ser obtidos com base em determinaesexperimentais, ou de DNS. Dificilmente seus valores permanecero constantes em todasas categorias de escoamentos. Entretanto a busca de modelos de turbulncia, com baseem equaes constitutivas para as correlaes entre flutuaes de ordem 2 ou 3 deveobjetivar exatamente isto, i.e. a mais extensa faixa de validade. A situao ideal seria aposse de equaes constitutivas aplicveis e validadas para todas as configuraes de

escoamentos. Para tanto elas devem ser independentes da posio, pois posiodescreve a geometria. As equaes constitutivas dependem de diversas variveis quedescrevem a forma dos campos de velocidade, presso, temperatura e concentraes.

3.6 Modelos AlgbricosConsidera-se inicialmente o estudo de hipteses para a determinao das tenses deReynolds. Ao final deste captulo sero adicionados elementos sobre os demais fluxosturbulentos de calor e massa. Bousinesq (7) foi o primeiro a formular uma equaoconstitutiva para a turbulncia. Props um modelo quase newtoniano na forma:

t

2K 2

3

= R 1 ;D (3.32)

Onde:

i i

1 1K tr( ) v v ;

2 2 = =R (3.33)

a energia cintica mdia da turbulncia, tambm chamada de intensidade daturbulncia, e a viscosidade turbulenta. Note que a viscosidade turbulenta determinaapenas os componentes cisalhantes das tenses de Reynolds, mas nada diz sobre astenses normais. A equao de Bousinesq afirma a existncia da relao entre a parceladesviante da tenso turbulenta e a parte simtrica do gradiente da velocidade mdia.Como estas duas grandezas so mensurveis em cada tipo de escoamento, as relaesentre elas podem sempre ser calculadas. A hiptese de Bousinesq a de que estarelao no depende das direes no espao. Do ponto de vista matemtico aviscosidade turbulenta bem definida. Entretanto ela no uma propriedade do fluido, ese altera de forma considervel em diferentes escoamentos. No pode ser constante,caso em que o comportamento turbulento seria nada alm do de um fluido comviscosidade aumentada, e este no o caso. Portanto uma funo de parmetrosgeomtricos e cinemticos que descrevam a configurao do escoamento, e a simplesproposio ou constatao de sua existncia de pouca utilidade. importante salientarque a viscosidade turbulenta a relao entre uma grandeza turbulenta para umagrandeza do escoamento mdio, e no deve se esperar que seja determinadoexclusivamente pr escalas associadas ao escoamento mdio, e nem mesmo apenas de

escalas da turbulncia.

t

t

O primeiro modelo aplicvel a escoamentos confinados, plenamente desenvolvidos, desimples cisalhamento foi desenvolvido pr Prandtl (8 e 9).

16


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3.7 Comprimento de Mistura de PrandtlRigorosamente, Prandtl tratou de um modelo aplicvel a escoamentos de simples

cisalhamento, onde apenas um dos componentes da velocidade difere de zero, sendoeste funo da distncia a uma parede que confina o escoamento. A difusividadeturbulenta escrita como:

20

t0

l;t = (3.34)

onde uma escala de comprimento, dito comprimento de mistura, e uma escala detempo da turbulncia. Nos modelos a algbricos as duas escalas so especificadasempiricamente, e no modelo de Prandtl, do Comprimento de Mistura faz-se:

l0

t0

112

0 02

dvt ; l

dx

= mk x= . (3.35)

Destas hipteses resulta:1 1

2 2 2 12 2 2 2T m m2

dv dv dvk (x ) , e R k (x ) ,

dx dx dx

= =1

2 2 (3.36)

km a constante de von Krmn ( ), uma constante supostamente universal, com valoraproximado de 0,4.O modelo original de Prandtl produz a bem conhecida lei da parede, uma soluoaproximada, vlida na proximidade da parede de uma tubulao, obtida a partir daequao:

( )12 2 1 1 2

22 2m 2 2

0 0 0 0

R r x dv dv x1 k x 1

r r dx dx r

= = + =

0 . (3.37)

As chamadas variveis da lei da paredeso introduzidas,*1 2 *

* 00 0*

2 2m

0

r vv x v

v ; v ; y ; y obtem-se:v

dv dv y1 k y 1 .

dy dy y

+ + +

+ + ++

+ + +

= = = =

+ =

(3.38)

Perto da parede, onde a tenso viscosa so superiores tenso de Reynolds o termoentre colchetes aproximadamente 1, e y+


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19/44

Como a viscosidade turbulenta no pode ser constante, ento a relao entre tenso etaxa de deformao no pode ser linear, e a expresso dada no a forma maiscompleta da representao de funes tensoriais invariantes s mudanas de referencial.A princpio dever-se-ia escrever uma expresso geral, que como foi visto tem a forma deuma expresso do segundo grau em D.e) modelo stokesiano

2d t

2 3D D D

, onde os 3 coeficientes so funesde 3 invariantes escalares de ;

I tr ; II tr , e III =tr .

= + +

= =

1 D DD

D D D

(3.43)

Em se tratando de fluidos incompressveis tem-se a relao tr divD v= =0 , e portanto oprimeiro dos invariantes nulo, o segundo pode ser escrito na forma da norma para oespao dos vetores, e para os escoamento mais simples o terceiro invariante tambmnulo. Pr conseqncia o invariante mais importante, que em todos os casos maior quezero, o segundo invariante. Escreve-se ento:

[ ]1 1 12 2 2T[tr ] [tr ] (II ) 0

0 .

= = =

= =

DD D D DD DD

D D 0 (3.44)

V-se que como a taxa de deformao tem dimenso de inverso de tempo, ento esteseu invariante pode ser tomado para generalizar a proposta de Prandtl, apresentandouma escala de tempo independente da configurao, do sistema de coordenadas, donmero de componentes no nulos da velocidade, e de como estes dependem dascoordenadas.

1

0t

= D . (3.45)

A forma geral de relao entre a tenso turbulenta e a taxa de deformao tem a forma:2

0 t 0 0

020

(t ) (t ) (t )

(t )tr( ) 2K 3 2Kt

= + +

= + =

R 1 D

R

D

. (3.46)

Da resulta uma expresso para as tenses de Reynolds, que generaliza a proposta deBousinesq.

2 22t 0 0 03 K (t ) (t ) 3t= + + +R 1 D 1 D . (3.47)

O comprimento de mistura de Prandtl pode ser introduzido nesta equao, dando umaexpresso geral para a tenso de Reynolds.

22 220 03 K l ( )l 3= + +

2R 1 D D D D 1 D . (3.48)

Para os escoamentos de simples cisalhamento o componente R reduz-se proposta pr

Prandtl, da equao

12

(3.34) e, em conseqncia, conduz a previses idnticas santeriores. Constata-se um novo efeito no aparecimento de tenses normais, no-

isotrpicas,2

2 1211 22 0 333

2

dvR R K 2 l ; e R K

dx

= = =

23 .. Como no caso dos fluidos

stokesianos, h a previso errnea da igualdade entre as duas tenses normais, o queno confirmado no caso de escoamentos mais complexos. Deve ficar evidente que nose trata de deficincia do modelo de Prandtl, mas de uma incapacidade do modelo deBousinesq, para o qual as tenses normais so isotrpicas e proporcionais energiacintica da turbulncia, deficincia esta que permanece presente no caso mais geral demodelo tipo stokesiano, que conduz a resultados no isotrpicos.O modelo proposto pr Baldwin onde a escala de tempo da turbulncia consideradaigual ao mdulo do rotacional da velocidade, o que equivale ao mdulo da parteantissimtrica do gradiente da velocidade, apresenta os mesmos defeitos, tanto para os

19


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escoamentos de simples cisalhamento como para os escoamentos em camada limite.Este comentrio demonstrado pela constatao de que para tais escoamentos verifica-se, as igualdades, aproximadas vlidas sob as hipteses da teoria da camada limite.

1

2

dv

dx L D W . (3.49)

Pope (Pope, S.B., A more general effective-viscosity hypothesis, J. Fluid Mech 72, 331-340,(1975)) apresentou argumentos para justificar a introduo da vorticidade, W, naequao constitutiva da turbulncia, e deduziu a expresso polinomial, com coeficientesajustados com base nas equaes de transporte de Reynolds, modelada pr Launder(Launder, B.E., Reece, G.J. e Rodi, W., Progress in the development of a Reynolds stressturbulence closure.,J. Fluid Mech. 68, 537-566, (1975). Estes trabalhos servem de base aformulaes mais completas para a turbulncia, gerando duas correntes de trabalhos,como se ver no estudo dos modelos multi-equaes.

3.9 Modelos mult i- equaesOs modelos mais apurados da turbulncia tm pr base as equaes de transporte para

as tenses de Reynolds.ij i j j i jk 2i

i j k ik jk i j i j i jk k k k

jii j

j i

jii j

k k

i jk i j k i jk j ik

R R v MvR v R R G E R ; onde

t x x x x

vvG ;

x x

vvE 2 ;

x x

M v v v v v

= + = + +

= +

=

= + +

(3.50)

Esta equao pode ser escrita, sob a forma de uma expresso tensorial vlida tambmpara referenciais no inerciais apresentando rotao em relao a um referencialgalileano. Tem-se:

+ + + =R DR RD WR RW F , onde (3.51)

( )

i jk i j2i j ij i j i j i j i j i jk

k k

M RF G E R G E M

x x

div grad ;

k

;x

= + + = + +

= + + F G E M R

(3.52)

ji

i j i jk kj i

vv1W

2 x x

= +

e ; (3.53)

e onde k a velocidade de rotao do referencial. F, na equao(3.52), contem ascorrelaes no conhecidas G, E, M, e para as quais so necessrias suposiesadicionais para transformao das equaes de Reynolds num sistema fechado. Note quesob esta forma ficam colecionados, de um lado os termos contendo as tenses deReynolds e variveis macroscpicas, e do outro agrupadas em F todas as correlaesentre as diferentes flutuaes. A determinao do trao da equao (3.51)leva equao

para a energia cintica da turbulncia K.(Note que iiii

vG 2 0

x

= =

, em conseqncia da

incompressibilidade).

20


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K K K K Kj j j j

j j

K K K K iij

j

KK J , onde J M , e M M

x x

vK div e R .

x

= + = + = =

= + =

J

ii j

(3.54)

Esta tem a forma de um simples balano onde a taxa de variao da quantidadetransportada igual a sua produo (trabalho das tenses), menos sua destruio(dissipao), mais o fluxo difusivo da energia cintica da turbulncia, JK. Outras variveisescalares associadas turbulncia obedecem a equaes estruturalmente idnticas debalano de Kcomo as equaes para:

dissipao

div ; = + J (3.55)

modelos

div .

= + J (3.56)

As expresses destas variveis para alguns dos mais importantes modelos da turbulncia

so apresentados na tabela 4.1. Todos os modelos a uma ou a duas equaes empregama expresso de Boussinesq, ou expresses no lineares como equaes constitutivas, eos coeficientes dos diversos termos so adimensionalisados com base em doisparmetros do modelo escolhidos entre as variveis K, , , ,D W , como apresentado no

item anterior.Uma outra abordagem parte da equao (3.51) e sobre esta so feitas suposies, epropostas diferentes aproximaes para as correlaes colecionadas em F. H indicaesde que o termo dominante, e consideravelmente superior aos demais termos de F, o dacorrelao entre as flutuaes de presso e o gradiente da velocidade. Mas os termos degerao Ge de dissipao Eno podem ser considerados desprezveis. Os outros termosaparecem no divergente de tensores de terceira ordem, so nulos na turbulnciahomognea (como a que se apresenta no escoamento livre, longe de paredes slidas), esupostos, quase sempre, desprezveis. Este fluxo, pr analogia ao que feito para o fluxotrmico, tenses viscosas deveria ser especificado pr uma equao constitutiva pelogradiente de uma varivel macroscpica de segunda ordem tensorial, como gr . Esta a suposio compatvel com a forma da equao

adR(3.54) da energia cintica da

turbulncia; i.e.:[ ]tdiv ( )grad= + F G E R+ .

Isto no feito, mas supe-se, em todos os modelos, que Fseja determinada em funode . Com esta suposio ento a equao, eR L (3.54)pode ser resolvida em conjuntocom a equao de transporte de momentum, pois estas formam um sistema fechado deequaes. O trabalho computacional de resoluo deste sistema , quase sempre, a noser para os escoamentos de mais simplificada configurao, muito extenso. Tendo prbase esta constatao buscou-se transformar a equao(3.54), modelada, em umaequao constitutiva para a turbulncia. Isto concretizado com auxlio da proposta deRodi (Rodi, W., The prediction of free turbulent boundary layers by use of a two-equationmodel of turbulence. Ph.D. thesis, University of London, 1972). Em palavras esta propostaversa:

transporte de transporte de K ( )K K

= =

R RR , onde a taxa de produo de

energia cintica da turbulncia,i

ijj

v

R x

= = R D .

21


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(KK K

= =

R RR ) . (3.57)

A introduo desta hiptese na equao (3.51)d:

( ) ( , , )K

+ + + =

RDR RD WR RW F R D W 0 . (3.58)

A introduo de variveis adimensionais

( ) ( ) ( )K K ; ; ;

K= = = =

R

R D D W W F1

F , leva ao seguinte resultado:

( , , )= + + +R DR RD WR RW F R D W . (3.59)Esta uma equao algbrica para a tenso de Reynolds adimensional em funo dataxa de deformao, e do giro, adimensionais, cuja soluo d a expresso algbrica paraRcompatvel com a equao de transporte de Reynolds modelada. Esta soluo possuidois parmetros K, e , (e no ), que devem ser determinados pr equaesadicionais.

K K ( , ) ,( ) ( )

= R R D W R D W

=

)

. (3.60)

Alguns dos mais significativos modelos destas duas linhas de trabalho seroapresentados a seguir.Em todos os modelos baseados na equao (3.51) feita a suposio de que F umafuno, separadamente linear nas trs variveis. Nestas circunstncias, a forma maisgeral para F:

0 1 2 3 4 ( ) (= + + + + + F 1 R D RD DR RW WR . (3.61)

Os coeficientes, que para a representao geral de funes isotrpicas dependeriam dosinvariantes relacionados s trs variveis, para o caso linear depender apenas do trao

de cada uma delas. Mas tem-se: tr 1, tr 0, tr 0,= =R D W= e em conseqncia estescoeficientes so constantes. A substituio deste resultado em (4.10) d, aps a coleode termos semelhantes.

2

1 2 3

K K KK ( ( + + + +

R 1 D RD DR RW W0= ) R),

)

(3.62)

onde os coeficientes so determinados pelos coeficiente , e portanto so tambmconstantes. A expresso (3.62) uma equao linear para as tenses de Reynolds, comum termo independente da forma da equao de Bousinesq. Existe soluo exata destaequao e da forma da base tensorial do teorema de representao de funesisotrpicas. Os tensores desta base so apresentados na tabela 4.

2 2 2 20 1 2 3 4 5 6

2 27

( ) ( ( ),

= + + + + + + ++

R 1 D D W DW WD WDW D W D WWDW W DW

(3.63)

onde os coeficientes so, no caso geral, funes dos invariantes combinados de De W.Esta forma no utiliza as restries impostas pela equao (4.10), j que umarepresentao geral. Mas a substituio de (4.13) em (4.11) permite a verificao do fatodeles serem constantes, e de que alguns deles sejam nulos. Obtm-se:

2 3 32

0 1 2 42 2

42 2

6 3

K K KK (

( ) ( )

K

( ).( )

= + + + +

+

R 1 D D DW WD

D W WD

)

(3.64)

O clculo do trao desta equao permite a eliminao de 0, para obter-se a expressofinal com a seguinte forma:

22


23/44

2 2 32 2 2t t 3 t1 22 1

t3 3 2 3 20 0 0

2

t 0

CC CK ( tr ) ( ) (

C K C K C K

Konde C .

= + + + +

=

R 1 D D D DW WD D W WD2 )

(3.65)

O resultado obtido pr Gatzki e Speziale so mais completos pr conterem mais termos

da representao geral. Os modelos completos so apresentados na tabela 4.1. A basepara esta tabela reside nas equaes para os parmetros da turbulncia K, , . ouTem-se :

2

t

K KC f = =

. (3.66)

tj j j

K

t

K K Kv D [( )

t x x x

K div[( )gradK];

+ = + +

= + +

j];

(3.67)

2t

j 1 1 2 2j j j

2t

1 1 2 2

v C f C f E [( )t x K K x x

C f C f div[( )grad ];K K

+ = + +

= + +

]; (3.68)

2 tj 1 2j j j

2 t1 2

v C C [( )t x K x x

C C div[( )grad ].K

];

+ = + +

= + +

(3.69)

As constantes e outros parmetros e funes relativos a diferentes modelos so

apresentados na tabela anexa.

4. FECHAMENTO SEQUENCIAL(com a colaborao de Marcelo Alfradique)O fechamento seqencial que agora iniciamos tem por base alguns dos mtodos determodinmica estendida. A principal vantagem reside na eliminao de todaarbitrariedade na seleo das variveis constitutivas, e do modelo bsico para os camposmdios presentes nas diversas equaes para os momentos turbulentos. Partindo dasequaes para as flutuaes da velocidade e dos campos de escalares passivos possvel escrever sucessivas equaes para os momentos de ordens crescentes naforma de balanos em termos de uma derivada em relao ao tempo, um fluxoconvectivo, e de um campo fonte. Os termos desconhecidos de cada ordem supe-se quesejam determinados por equaes constitutivas em funo de todos os momentos deordem inferior. A nica escolha livre diz respeito ao nvel da descrio, determinada pelaordem da mais alta correlao considerada. As equaes necessrias para os doisprimeiros nveis dos momentos da flutuao da velocidade e dos escalares passivosrepresentando a flutuao da temperatura e das concentraes de solutos soapresentadas e discutidas com referencia aos movimentos de cisalhamento simples. Osefeitos da transferncia de calor e massa so considerados e demonstra-se a existnciade interferncias entre estes processos sob uma forma completamente anloga aosefeitos Dufour e Soret, apresentando uma anisotropia marcante ligada ao tensor de

Reynolds

23


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4.1 Introduo

As inmeras proposies para o fechamento das equaes para os campos mdiosassociados a escoamentos turbulentos esto constantemente submetidas a apreciaescrticas, reexame e incluso de fatores de correo de formas diversas e diferentesformas de justificao. Esta situao reflexo da insuficincia do conceito de viscosidade

turbulenta e da inexistncia de uma metodologia sistemtica para a formulao dasequaes de fechamento para os fluxos turbulentos. A adio de termos Stokesianos, dosegundo grau como foi feito na eq.(3.48)no leva a expresses satisfatrias, capazes derevelar a multiplicidade de aspectos encontrados na turbulncia. Como salientamos estasdificuldades levaram proposio de esquemas complexos de modelos multi- equaes,que a despeito de sua complexidade permanecem requerendo o uso de correes deparede determinadas em funo da posio. Expresses assim corrigidas, no seconstituem em equaes constitutivas uma vez que no esto determinadas em funode propriedades das flutuaes turbulentas, e a rigor, so vlidas apenas para aquelaconfigurao para a qual foram determinadas. Comentrios anlogos aplicam-se sproposies de fechamento completo apresentadas no item 4.9.

Uma abordagem diferente para a formulao de equaes constitutivas para a tenso deReynolds foi originalmente proposta por Pope, [1975], e denominada fechamento desegunda ordem. Pope baseou-se nos trabalhos de Launder, Reece, and Rodi, [1975], quese baseiam nas equaes de balano para as tenses de Reynolds e as transformamnuma equao algbrica no-linear. Este trabalho foi estendido por Gatski and Speziale,[1993] para escoamentos tridimensionais e pela incluso dos efeitos de rotaes sobreferenciais no-inerciais. Estas proposies podem ser resumidas pela declarao deque as tenses de Reynolds so determinadas pelo gradiente da velocidade decompostonas parcelas simtrica e anti-simtrica.

( ) (1ij ij ab ab ij ij ji2R R D ,W , W L L= = ). (4.1)

Noll, [1958] proclamou para a mecnica do contnuo o uso da objetividade material sob asmudanas de referencial sob o grupo Euclideano. O argumento tem por base o fato deque este grupo corresponde ao movimento de corpos rgidos, sob os quais aspropriedades materiais so preservadas. A eq.(4.1)1 no descreve propriedadesmateriais; descreve propriedades mdias de um movimento turbulento de um fluido comdensidade e viscosidade conhecidas. Alem do mais os movimentos de fluidos ocorrem emcontacto com superfcies slidas, possivelmente em movimento e provendo um referencialespecial em relao ao qual velocidade e spin so determinados. Speziale, [1988] propsa adoo do grupo de Einstein, que admite aceleraes lineares arbitrrias, mas nopermite spin, como o grupo determinante das propiedades de invarincia dos diversosmomentos associados turbulncia (veja tambm Speziale, [1998]). O emprego defunes isotrpicas que dependam simultaneamente das duas parcelas do gradiente davelocidade elimina as limitaes pertinentes previso errnea da igualdade das tensesnormais.Um passo importante na direo do estabelecimento de uma teoria sistemtica para aformulao de equaes constitutivas foi apresentada por Liu and Muller, [1983], sob onome de termodinmica estendida. Esta disciplina, inicialmente proposta como umaextenso da termodinmica de processos irreversveis, e cujo objetivo principal era o deeliminar os defeitos pertinentes s equaes parablicas resultantes do emprego dassuposies constitutivas de Navier-Stokes, Fourier, e Fick nas equaes de balano demomento, energia e massa. O mtodo suficientemente descrito no texto de Muller e

Ruggeri, [1998]; referencia adicionais so apresentadas por Ruggeri e Strumia, [1981],Ruggeri, [1989], Boillat e Ruggeri, [1997].Resultou destes trabalhos uma teoria bem fundamentada para a formulao de equaesconstitutivas, que reduz a arbitrariedade associada escolha das variveis constitutivas

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independentes. Em certas aplicaes as equaes de balano so obtidas a partir dosmomentos da distribuio de velocidades derivadas da equao de Boltzman. O estadodo sistema definido a priori e no resta qualquer dubiedade para a seleo das variveisconstitutivas para o estabelecimento das propriedades do sistema. As equaes debalano para os momentos de ordem progressiva so estabelecidas, e as equaesconstitutivas so postuladas para os termos desconhecidos presentes nas equaes de

ordem mais elevada, em funo de todos os momentos de ordem inferior. A cadeia deequaes interdependentes pode, em princpio, ser resolvidas simultaneamente. Uma vezque a ordem para o momento mais elevado escolhida as variveis dependentes eindependentes so estabelecidas pelo procedimento acima descrito, sem espao paraarbitrariedades.As funes constitutivas devem satisfazer o princpio de indiferena a mudanas dereferencial, com relao ao grupo galileano. Este e um dos paradigmas da termodinmicaestendida, em flagrante aposio termodinmica do contnuo desenvolvida por Colemanand Noll, [1963], e por Truesdell and Noll, [1965]. Devem satisfazer, adicionalmente asegunda lei, e adicionalmente uma hiptese de convexidade que traz como conseqnciao carter hiperblico das equaes de balano e consequentemente, velocidade finita de

propagao de pulsos.Atualmente a termodinmica estendida superou sua motivao original e tornou-se umateoria macroscpica auxiliar na formulao de equaes constitutivas para sistemascomplexos.A primeira aplicao desta metodologia ao fechamento dos fluxos turbulentos foi realizadapor Huang and Rajagopal, [1996], motivada pela existncia de semelhanas entre asequaes constitutiva para o movimento turbulento de fluidos newtonianos e oescoamento laminar de fluidos no-newtonianos. Os autores seguiram a metodologiaproposta e chegaram s equaes para um modelo no-linear. Este trabalho mereceua crtica de Speziale, [1999], tanto em relao incapacidade do modelo de prever orelaxamento das tenses turbulentas, quanto em relao validade da analogia entre aturbulncia e fluidos no-newtonianos. Questiona adicionalmente, a adequao dadesigualdade de Clausius-Duhem para impor restries s equaes de fechamento dosfluxos turbulentos.Em sua rplica Rajagopal, [1999] apresenta como vlidos todos os aspectosquestionados.Motiva o presente captulo a possibilidade de obter equaes capazes de contornar osproblemas associados ao fechamento dos fluxos turbulentos. Uma vez que se aspropriedades dos escoamentos turbulentos so governadas pelo sistema de Navier-Stokes e pelos balanos de massas e de energia, ento possvel deduzir equaes paraos valores mdios de todas as propriedades cinemticas, temperatura e concentraes.

Mas estas equaes contem termos de correlaes de ordem mais elevada e o conjunto insolvel. O conjunto dos valores mdios dos produtos das flutuaes de velocidade deordens progressivas pode ser arranjado em formato anlogo ao das equaes datermodinmica estendida, onde as equaes de balano das flutuaes dos componentesda velocidade, temperatura e concentraes assumem um papel semelhante ao dasequaes de Maxwell. A similaridade entre as flutuaes ao nvel molecular, responsveispelos fluxos macroscopicamente observveis de momento, e as flutuaes de velocidaderesponsveis pelas tenses de Reynolds e os demais fluxos turbulentos permite atransposio dos mtodos da termodinmica estendida ao fechamento das equaespara os fluxos turbulentos. Estas so escritas sob a forma proposta pela teoria onde ficadefinido um fluxo, e uma fonte, dois termos que se supem constitutivos, e determinados

por todas as correlaes de ordem inferior.

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Empregamos o conjunto tradicional de balanos baseados no principio de que os camposinstantneos satisfazem os balanos de momento energia e massas, e com estesbalanos as equaes para as correlaes de todas as ordens podem ser estabelecidas.Na proximidade de paredes perto das quais o fluido escoa, os gradientes dos valoresmdios das propriedades do escoamento apresentam grande inclinao. Este fato podesignificar a necessidade de se considerar os efeitos de correlaes de ordem elevadas.

Este fato relaciona-se principal reivindicao da termodinmica estendida baseada emequaes mltiplas envolvendo correlaes de ordem crescente.

4.2 Defin ies preliminares e flutuaes turbulentas

Considere o movimento turbulento de um fluido incompressvel, newtoniano prximo auma parede, possivelmente em movimento. A parede uma variedade bidimensionaldescrita por uma seqncia de mapas entre um intervalo aberto de R2e um subconjunto

do espao euclidiano tridimensional E,

. (4.2)(i i 2x ,= ),t

.

A dependncia no tempo expressa o movimento, e se a parede for rgida o movimentocombina uma translao com uma rotao rgida determinada por uma transformaoortogonal dependente do tempo.

. (4.3)( ) ( ) ( )i ij j 1 2 ix Q t , d t= +O campo das velocidades dado pela seguinte expresso:

(4.4)( ) ( )i ij j j i ij ik jkx W t x d d t , W Q Q = + =

O ponto sobreposto significa a derivada temporal, e ijW o giro da superfcie. A

importncia e necessidade de incluir propriedades da superfcie nas equaesconstitutivas associadas aos escoamentos turbulentos foi examinada por Telles, [2000].Neste trabalho sero consideradas paredes rgidas exclusivamente, mas que podem estarse movendo, e as duas variveis cinemticas , eid ijW

sero utilizadas para compor a lista

de variveis das equaes constitutivas.Um referencial inercial empregado para a descrio cinemtica, como preconizado

pela termodinmica estendida. Assim as mudanas de referencial ficam restritas ao grupogalileano, e mudanas de coordenadas so determinadas por:*x x (4.5)*i ik kx Q x c= + it,

i,

onde Qij uma transformao ortogonal e ciuma velocidade constante.Os campos de velocidade e de presso so divididos nos valores mdios e flutuantes

ei iv u = + P p = + . Os balanos de massa e momento para as parcelas de flutuao

so escritos sob a forma apresentada no livro clssico de Hinze, [1975].i

i

u0,

x

=

(4.6)

2ii p p i i p ip i

p i

u p /v u v u (uu R ) u ,

t x x

+ + + =

(4.7)

onde ij i jR uu= so as tenses de Reynolds, e a barra sobreposta designa o operador de

mdia. Esta equao a base para o clculo da equao de evoluo para os momentosque assumem o papel das quantidades bsicas da teoria. A forma da Eq. (4.7) no nica, pois cada um ou ambos os termos do lado direito podem ser includos no

divergente esquerda. A forma escolhida aquela em que os valores mdios de todos osprodutos de componentes flutuantes do campo de velocidades, de ordem crescente,aparecem dentro do divergente. Este contm ainda, e exclusivamente, momentos de

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ordens inferiores. Equaes de balano para os seguintes produtos podem sernecessrias:

(4.8)i j i j k i j k lu u ; u u u ; uu u u ...

As derivadas em relao ao tempo de cada um destes produtos podem sercalculadas, a comear pela equao (4.7)levando a equaes que poder ser postas soba forma das eqs, (4.9), (4.11), e (4.12)como abaixo:

ipii

p

JuK

t x + =

, (4.9)

onde,

( ) 2ip i p p i i p ip i ii

p /J v u v u uu R , and K u

x

= + + =

, (4.10)

i j ijpij ijp j ip i jp

p

uu JK , where J u J uJ

t x

+ = = +

. (4.11)

i j k ijkp ijk ijkp j k ip k j ip k i jpp

uu uJ K , where J u u J u u J u uJt x

+ = = + + (4.12)

O presente mtodo depende das equaes de balano para os valores mdios dos

produtos

i i j ij i j k ijk i ij ij ijk ijku 0; uu R ; uu u R ; K 0; K S ; K S .= = = = = = (4.13)

Estas levam a equaes para os valores mdios das seguintes propriedades:a velocidade vi, a tenso de Reynolds Rij, e para todas as correlaes de ordem mais

elevadas, como necessrio para alcanar a preciso necessria. So elas:a velocidade mdia

2ii p ip i

p i

v P /v v R vt x x

+ + = (4.14)

a correlao dupla, i.e. a tenso de Reynolds

ij ijpjp i ip j ij p ij

p p

R RR v R v R v S , ou

t x x

+ + + + = (4.15)

j ijpiij jp ip ij

p p p

v RvR R R S

x x x.

+ + + =

(4.16)

a correlao tripla

ijk

jkp i ikp j ijp k ijk pp

ij kp jk ip ik jp ijkp ijkp

R

R v R v R v R vt x

R R R R R R R Sx

+ + + + +

+ + =

(4.17)

O conjunto de equaes (4.14) a (4.17) constitui-se na base para a aplicao domtodo da termodinmica extendida para o fechamento da turbulncia. Claramentetermos de ordem mais elevada podem ser incorporados na medida da necessidade.

A estrutura deste conjunto caracterizada pelo fato de que os termos de divergnciaem cada equao contm correlaes de ordem crescente, e o termo de fonte contmcorrelaes mais complexas envolvendo flutuaes da velocidade e do gradiente de

presso. Para referncia futura a eq.(4.15) est reescrita em termos da derivadasubstantiva.A temperatura e concentrao das espcies qumicas so, por hiptese

determinadas por equaes nas quais as propriedades fsicas so consideradas

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constantes. Uma equao de balano para o campo de temperatura instantneo, e que separado nas parcelas do valor mdio e do componente flutuante,

, = + (4.18)satisfaz seguinte equao:

p 2 2q

p

c

t x

+ = + +

, (4.19)

onde a difusividade trmica, o termo de fonte de energia absorvida da radiaoincidente, e

qso os coeficientes materiais responsveis pelos efeitos Dufour do fluxotrmico laminar associado aos gradientes de concentrao.

De forma anloga a concentrao dos diversos solutos obedece a equaes debalano de mesma forma, com concentrao instantnea separada em dois termos devalor mdio e componente flutuante:

(c c c = + ), (4.20)

p 2 2

p

ccD c

t x

,

+ = + +

(4.21)

onde os coeficientes de difuso trmica determinantes dos fluxos de massas de cadacomponente sob a ao do gradiente de temperatura (efeito Soret), e D o coeficientede auto difuso, enquanto que D( ) d os acoplamentos entre a difuso provocadapelos gradientes de concentraes dos demais componentes qumicos.

A substituio da decomposio (4.18) na eq.(4.19), e aplicao do funcional demdias, e subseqente subtrao da equao original gera a equao de balano para aparcela de flutuao do campo de temperatura. Os mesmos passos seguidos a partir dosbalanos instantneos de massas, do origem aos componentes de flutuao dasconcentraes das espcies qumicas.

( )p p p pp u v u qt x

+ + + k= , (4.22)

( )p p p pp

cu c v c u c l n

t x

+ + +

=

(4.23)

Note que estas equaes so independentes de todos os coeficientes de transporte paramassa e energia. Fato que parece eliminar os efeitos Soret e Dufour associados turbulncia.

Estas duas ltimas equaes em conjunto com a equao (4.7)permitem o clculodos seguintes produtos:

and (4.24)i i j i j ku , uu , uu u , i i j i j kuc , uu c , uu u c ,

Estes podem ser transformados em equaes com a mesma estrutura das equaes(4.9)to(4.12).

(p p p p p pp

jk, where j u v u q ,

t x

+ = = + +

) (4.25)

ipii ip ip

p

juk , where j J u j ,

t x

+ = = +

i p (4.26)

. i j ijp ij ijp ijp i j pm

uu jk , where j J uu j ,

t x

+ = = +

(4.27)

A mesma estrutura reproduzida quando se considera as concentraes dassubstncias qumicas.

Os valores mdios destes produtos considerados nas equaes de fechamentonecessrios para a presente proposta de metodologia so os seguintes momentos:

28


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i i ij i j ijk i j kq u , q uu , q uu u = = = , e (4.28)

i i ij i j ijk i j km uc , m uu c , m uu u c = = = . (4.29)

Temperature mdia

2 2k k q

k

v q c ;t x

+ + = + + (4.30)

Correlao dupla, ou fluxo trmico turbulento

iip i p ip i

p

qR q v q

t x

+ + +

s= ; (4.31)

Correlao tripla

ijijp jp i ip j ij p jp i ip j

p p

ij p ijp ij

p

qR q v q v q v R q R q

t x x

R v q s .

x

+ + + +

=

(4.32)

Equaes para os campos mdios de concentraes podem ser escritas sob a forma:Concentrao mdia

2 2p p

p

cv c m D c ,

t x

+ + = + + (4.33)

Correlao dupla, ou fluxo de massa turbulento

iip i p ip i

p

mR c m v m n ,

t x

+ + +

= (4.34)

Correlao tripla

ijijp ip j jp i

p

ij p jp i ip j ij p ijp ijp p

m R c m v m vt x

m v R m R m R m m n .x x

+ + + +

+ + =

(4.35)

4.3 O Mtodo da Termodinmica Extendida

Em escoamentos turbulentos est-se interessado na determinao dos valoresmdios do campo de velocidades e de outros escalares passivos, em mdias adicionaisdas variveis cinemticas e, ainda, de correlaes de ordem mais elevadas compondo obalano da turbulncia. O tensor de Reynolds que aparece na equao do movimentomdio deve ser determinado com o auxlio de um mtodo de fechamento.

A presente proposio no se desvia completamente de outros mtodos previamenteconsiderados. De certa forma ela pode ser feito reproduzir, ao menos parcialmente, todosos mtodos j mencionados. Uma progresso de aproximaes aos balanos decorrelaes apresentadas nesta seo forma sua base.

As variveis constitutivas para todos termos desconhecidos das equaes debalanos de um determinado nvel sero:

as variveis cinemticas que especificam o movimento da superfcie, a velocidade mdia do fluido em cada ponto e para cada instante, a tenso de Reynolds,

os fluxos turbulentos de calor e massas.Ao escrever as equaes constitutivas, e tendo em mente o princpio de indiferenaao referencial a velocidade do fluido considerada em relao velocidade linear

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instantnea da parede na proximidade de que o escoamento se processa. A dependnciaem relao ao giro da parede concorda com a restrio de invarincia em relao aogrupo galileano de transformaes. A observao das propriedades de simetria dascorrelaes modeladas de importncia equivalente. fcil observar que as correlaesque geram as variveis dependentes so completamente simtricas em relao a todosos seus ndices.

O fechamento de primeiro nvel obtido considerando a equao (4.16), para atenso de Reynolds e especificao de equaes constitutivas para a correlao deterceira ordem e para o termo de fonte daquela equao.

( )sijk ijk ab a ab a a ijk jki kijR R W ,v ,R ,q ,m , onde R R R ,= = =

(4.36)

( )sij ij ab a ab a a ij jiS S W ,v ,R ,q ,m , restrito por S S .= =

(4.37)

Neste ponto apela-se para a equipresena para confirmar que os termosdesconhecidos nas equaes (4.16), (4.31), e (4.34) so determinados pelas mesmasvariveis, i.e.:

( )sij ij ab a ab a a ij jiq q W ,v ,R ,q ,m , restrito por q q ,= =

, (4.38)

( si i ab a ab a as s W ,v ,R ,q ,m )=

, (4.39)

( )sij ij ab a ab a a ij jim m W ,v ,R ,q ,m , restrito por m m , = =

(4.40)

( si i ab a ab a an n W ,v ,R ,q ,m )=

. (4.41)

O conhecimento destas relaes, uma tarefa no muito simples, permite asubstituio destas ltimas 6 equaes nos balanos para os respectivos momentos, poiselas transformam as eqs. (4.16), (4.31), e (4.34)em equaes de campo, respectivamentepara a velocidade, temperatura e concentraes, e ainda para a tenso de Reynolds, ofluxo trmico, e ainda para os fluxos de massas.

O segundo, e cada nvel subseqente de fechamento obtido por especificao das

equaes de equaes constitutivas para as correlaes de uma determinada ordem epara os termos de fontes de todas as equaes prvias. Assim, em princpio todas ascorrelaes de ordens inferiores podem ser determinadas e, adicionalmente calculam-seos campos de velocidades, temperaturas e concentraes. As equaes constitutivasnecessrias para o segundo nvel so:

( sijkl ijkl ab a ab a a abc ab abR R W ,v ,R ,q ,m ,R ,q ,m= )

(4.42)

( sijk ijk ab a ab a a abc ab abS S W ,v ,R ,q ,m ,R ,q ,m= )

(4.43)

( sijk ijk ab a ab a a abc ab abq q W ,v ,R ,q ,m ,R ,q ,m= )

, (4.44)

(

sij ij ab a ab a a abc ab abs s W ,v ,R ,q ,m ,R ,q ,m

=

)

, (4.45)

( sijk ijk ab a ab a a abc ab abm m W ,v ,R ,q ,m ,R ,q ,m = )

, (4.46)

( sij ij ab a ab a a abc ab abn n W ,v ,R ,q ,m ,R ,q ,m = ),

(4.47)

e pelas eqs. (4.39), e (4.41). Estas transformam as equaes as equaes (4.17), e (4.15)assim como as equaes (4.31) a (4.35) em equaes de campo para ,ijk ij iR ,R , and v

ij i ij iq , q , , m , m ,c

.

Deve ficar claro que nveis adicionais, que levam em conta equaes de balano decorrelaes de ordem mais elevada podem ser estabelecidos, para as quais sonecessrias novas equaes constitutivas. Apenas a preciso necessria limita o nvel da

descrio.Neste texto apenas equaes constitutivas para as seguintes correlaes sero

apresentadas: , e . Estas devem ser limitadas pelo grupo galileano deijk ij ijR ,S ,q i ij is ,m ,n

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transformaes de referenciais, que permite a dependncia no giro, Ws, e deve-selembrar que a velocidade do fluido presente nas equaes constitutivas propostas, paratodo nvel de representao e uma velocidade relativa velocidade linear de um pontofixo da parede em torno da qual o fluido escoa. Se Qai uma transformao ortogonal quedefine a mudana de referencial, , as velocidades e correlaes neste novo

referencial sero:

*a ai ix Q x c= +

*at

(4.48)

Smith, [1971] demonstrou um teorema geral de representao de funes isotrpicasde vetores tensores simtricos e anti-simtricos de segunda ordem. Este teorema permiteo estabelecimento da representao das funes constitutivas propostas em

* *a ai i ab ai bj ij

* * *a..e ai el i..l a ai i a..e ai el i..l

v Q v , R Q Q R ,

R Q ..Q R , S Q S , S Q ..Q S .

= =

= = =

(4.36) a(4.47). O teste deste mtodo de fechamento das equaes par a velocidade, tenses deReynolds ser restrito a escoamentos viscomtricos, com transferncia de calor e massa.

4.4 Tenses de Reynolds e Fluxos Trmico e de Massa

Para a determinao do fluxo de momento, no primeiro nvel, so necessriasequaes provenientes das propostas constitutivas para Rijk, e Sij como funes davelocidade e das tenses de Reynolds. Simplificando as equaes para a forma linear naequao de balano para as tenses de Reynolds, eq.(4.16), e para os fluxos de massa ede calor chega-se s seguintes expresses:

11j 1 1 0 ii

ij jm im 1 ij 0 ijm m j i

v aa vvR R R b R b

x x x x

+ + + = + +

0 jv

, (4.49)

v

i q ip 0 i qc ip 0 i

p p

cq L R f v L R h v

x x,

= + + +

v

(4.50)

v

i m ip 0 i mc ip 0 i

p p

cm L R f v L R h vx x

.

= + + +

v

1

(4.51)

A primeira destas trs equaes semelhante que representa os fluidos A de Maxwell,com tempo de relaxamento e cujos termos de fonte ao lado direito contm no

exatamente o gradiente da velocidade, mas o de um vetor proporcional a ela.

1R 1/b ,

1

T1 10R 01 1

1 1

b 1grad a grad a .

b b

= R R 1 v v0 (4.52)As expresses para os fluxos de energia e massas so bem interessantes por trs

aspectos originais. Primeiramente h o acoplamento entre os dois fluxos, anlogos aos

efeitos Dufour e Soret. Soma-se a este um acoplamento com a velocidade, que no seapresenta, nem pode estar presente no nvel das flutuaes moleculares responsveispelos fenmenos de transporte laminar.

O terceiro aspecto diz respeito anisotropia imposta pelo tensor de Reynolds quedetermina direes preferenciais alinhadas com seus autovalores.

4.5 Referncias.

Boillat, G., & Ruggeri, T. (1997). Hyperbolic principal subsystems: Entropy convexity andsubcharactheristic conditions.Arch.Rational Mech.Anal., 137.Boussinesq, J. (1877). Theorie de lecoulement tourbillant. Mem.Pre.par Div.Sav.,Acad.Sci.Inst.Fr., 23, 31-64.Busuioc, V. (1999). On second grade fluids with vanishing viscosity. Comptes Rendus de lAcademie des Sciences Serie I-Mathematique, 328(12), 1241-1246.

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Coleman, B.D., & Noll, W. (1963). The thermomechanics of elastic materials with heatconduction and viscosity.Arch.Rational Mech.Anal., 13.Gatski, T.B., & Speziale, C.G. (1993). On Explicit Algebraic Stress Models for ComplexTurbulent Flows. Journal of Fluid Mechanics, 254, 59-78.Gibson, M.M., Spalding, D.B., & Zinser, W. (1978). Boundary-Layer Calculations UsingHassid-Poreh One-Equation Energy-Model. Letters in Heat and Mass Transfer, 5(2), 73-

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