10.2.5. TRANSFORMACION DE LA FORMA GENERALIZADA EIGENPROBLEMA KΦ=λMΦ A UNA FORMA ESTANDAR

Los eigen problemas más comunes que se encuentran en el análisis científico son problemas estándar. Y la mayoría de los eigen problemas se pueden reducir a una forma estándar. Por esta razón, la solución de los problemas estándar ha llamado mucho la atención en el análisis numérico, y muchos algoritmos están disponibles.En esta sección se mostrara como el problema KΦ=λMΦ se puede reducir a una forma estándar. Primero, veremos que la eficacia del procedimiento de eigensolución empleada depende en gran medida de la decisión de si se debe o no llevar a cabo la transformación a una forma estándar.Segundo, si un problema generalizado se puede escribir en la forma estándar, las propiedades de los eigenvalores, eigenvectores y polinomios característicos de los eigenproblemas generalizados pueden deducirse de las propiedades de la cantidades correspondientes del eigenproblema estándar.Se mostrara como las propiedades de los eigenvectores y las propiedades de los polinomios característicos del problema KΦ=λMΦ se derivan de las propiedades correspondientes del eigenproblema estándar.

Este es el caso cuando M es diagonal con mii>0 ,i=1 , . . ., n, como en un análisis de masa consistente. Si M es diagonal con algunos elementos de la diagonal cero, primero necesitamos llevar a cabo la condensación estática en los grados de libertad sin masa. Asumiendo que M es definida positiva, podemos transformar el problema generalizado KΦ=λMΦ mediante el uso de una descomposición de M de la forma

M=S ST (10.30)

Donde S es cualquier matriz nos singular. Sustituyendo M en KΦ=λMΦ,

KΦ=λS STΦ (10.31)

Pre multiplicando ambos lados de (10.31) por S−1 y definiendo un vector

~Φ=STΦ (10.32)

Obtenemos el eigenproblema estándar

~K~Φ= λ~Φ (10.33)

Donde,

~K=S−1KS−T (10.34)

Una de las dos descomposiciones de M que se utiliza en general: la factorización de Cholesky de la descomposición espectral de M. La factorización de Cholesky de M es obtenida con M=~

LM~LMT .

En 10.30 a 10.34 por lo tanto tenemos

S=~LM (10.35)

La descomposición espectral de M requiere la solución del eigensistema completo de M. Denotando la matriz de eigenvectores ortonormales con R y la matriz diagonal de eigenvalores por D2, tenemos

M=R D2RT (10.36)

Y que utilizamos en (10.30) a (10.34),

S=R D (10.37)

Debe tenerse en cuenta que cuando M es diagonal, la matrices S en (10.35) y (10.37) son las mismas. Comparando la Factorización de Cholesky y la descomposición espectral en M, cabe señalar que el uso de los factores de Cholesky es en general computacionalmente más eficiente que el uso de la descomposición espectral debido a que menos operaciones están involucradas en el cálculo de

~LM

que en el de R y D. Sin embargo, la descomposición espectral de M puede producir una solución más precisa de KΦ=λMΦ . Asumiendo que M está mal condicionada, entonces el proceso de transformación al eigenproblema estándar también está condicionado. En ese caso, es importante emplear el procedimiento de transformación más estable.

Considerar los siguientes ejemplos de la transformación del problema de valor generalizado KΦ=λMΦ a una forma estándar.

EJEMPLO 10.8 Considerar el problema KΦ=λMΦ, cuando

Utilizar la factorización de Cholesky de M para calcular la matriz ~K de un eigenproblema estándar correspondiente.Primero calculamos el LDLT descomponiendo a M.

Por lo tanto, el factor de Cholesky de M es

Y

La matriz del problema estándar ~K=~LM

−1K~LM

−T es en este caso,