Mecánica de fluidos

7/10/2019 Mecánica de fluidos

http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-de-fluidos-559ca260555cc 1/177

MECÁNICA DEFLUIDOS Apunte para alumnos de Ingeniería Metalúrgica

Lilian Velásquez YébenesDepartamento de Ingeniería Metalúrgica

Facultad de Ingeniería y Ciencias GeológicasUniversidad Católica del Norte



i

S E R I E D E A P U N T E S P A R A L O S A L U M N O S

Mecánica de Fluidos

Universidad Católica del Norte Av. Angamos 0610, Antofagasta, Chile.

Teléfono (56) 55 355662 • Fax (56) 55 355664 Antofagasta, Mayo 2003.



Mecánica de Fluidos2

Índice

ÍNDICE .......................................................................................................................2

OBJETIVOS ....................................................................................................................5

CAPITULO I INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE FLUIDOS..........................6

1.1 GENERALIDADES.................................................................................................................. 6

1.2 SISTEMAS DE UNIDADES..................................................................................................... 7

CAPITULO II DESCRIPCIÓN DE LOS FLUIDOS.................................................. 10

2.1 ¿QUÉ ES UN FLUIDO?...........................................................................................................10

2.2 CLASIFICACIÓN DE UN FLUJO DE FLUIDO...............................................................10

2.2.1 Gases vs. Líquidos ................................................................................................................102.2.2 Fluidos continuos vs. Fluidos discretos.............................................................................102.2.3 Fluidos Perfectos vs. Fluidos Reales..................................................................................102.2.4 Fluido Newtonianos vs. No Newtonianos ....................................................................... 112.2.5 Fluidos Compresibles vs. Incompresibles.........................................................................112.2.6 Flujo Continuo y no Continuo ...........................................................................................11

2.3PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS ................................................................................................ 11

2.3.1 Masa........................................................................................................................................112.3.2 Peso.........................................................................................................................................122.3.3 Densidad ................................................................................................................................ 122.3.4 Peso Específico....................................................................................................................122.3.5 Gravedad específica..............................................................................................................122.3.6 Presión....................................................................................................................................122.3.7 Viscosidad absoluta y dinámica ..........................................................................................122.3.8 Viscosidad cinemática ..........................................................................................................122.3.9 Tensión superficial................................................................................................................12

CAPITULO III ESTÁTICA DE FLUIDO................................................................... 13

3.1FUERZA ESFUERZO PRESIÓN DE PUNTO ................................................................................13

3.2ECUACIÓN B ÁSICA DE L A ESTÁTICA DE FLUIDOS................................................................ 16

3.3 UNIDADES DE ESCALA PARA MEDIDA DE LA PRESIÓN..................................... 20

3.4 MANÓMETRO......................................................................................................................... 25




3.5 ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES Y SUMERGIDOS ................................29

CAPITULO IV CONCEPTOS DE FLUJO DE FLUIDOS Y ECUACIONESBÁSICAS DE VOLUMEN DE CONTROL.................................................................33

4.1CONCEPTO DE FLUJO Y CINEMATICA....................................................................................... 33

4.2 L A ECUACIÓN GENERAL DE CONSERVACIÓN EN UN VOLUMEN DE CONTROL .................35

4.3 LA CONSERVACIÓN DE LA MASA..................................................................................38

4.4 LA ECUACIÓN DE ENERGÍA ............................................................................................40

4.5 APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE ENERGÍA PARA SITUCIONES DE FLUJOPERMATENTE DE FLUIDOS.................................................................................................... 42

4.6 ECUACIÓN DEL MOMENTUM LINEAL DEL VOLUMEN DE CONTROL ........43

4.7APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOMENTUM LINEAL........................................................ 47

CAPITULO V ................................................................................................................ 52

FORMA DIFERENCIAL DEL COMPORTAMIENTO DE LOS FLUIDOS........... 52

5.1 CINEMÁTICA, MOVIMIENTO Y DEFORMACIÓN ....................................................52

5.2 ECUACIÓN GENERAL DE TRANSPORTE DE REYNOLDS ................................... 62

5.3 LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD................................................................................63

5.4 LA ECUACIÓN DE MOMENTUM .....................................................................................65

5.5 LA CONSERVACIÓN DE ENERGÍA MECÁNICA Y LA ECUACIÓN DE

BERNOULLI.................................................................................................................................... 695.6 LA ECUACION DE ENERGÍA ............................................................................................76

CAPÍTULO VI ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD DINÁMICA ............... 80

6.1 HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Y RELACIONES ADIMENSIONALES......81

6.2 DIMENSIONES Y UNIDADES............................................................................................83

6.3 TEOREMA ∏: MOMENTUM Y ENERGÍA ...................................................................................84

6.4 ESTUDIOS EN MODELOS Y SIMILITUD .......................................................................88

CAPÍTULO VII ............................................................................................................. 96

FLUJO VISCOSO TUBERÍAS Y CANALES............................................................... 96

7.1 FLUJOS LAMINARES Y TURBULENTOS: FLUJOS INTERNOS Y EXTERNOS..96

7.2FLUJO LAMINAR , INCOMPRENSIBLE Y PERMANENTE ENTRE PLACAS PARALELAS ............100




7.3FLUJO LAMINAR EN TUBERÍAS Y ANILLOS CIRCULARES .......................................................105

7.4 RELACIONES PARA FLUJO TURBULENTO ...............................................................110

7.5 PÉRDIDAS DE ENERGÍA EN FLUJO TURBULENTO EN CONDUCTOS

ABIERTOS Y CERRADOS................................ ................................ .........................................1187.6 FLUJOS PERMANENTES UNIFORMES EN CANALES ABIERTOS.....................120

7.7 FLUJO PERMANENTE INCOMPRESIBLE A TRAVÉS DE TUBERÍAS SIMPLES ...........................122

CAPITULO VIII FLUJOS EXTERNOS.....................................................................130

8.1 FUERZAS DE CORTE Y DE PRESIÓN...........................................................................130

8.2 CONCEPTOS DE CAPA LÍMITE: CAPAS PLANAS.....................................................132

8.3 FLUJO Y ARRASTRE: ESFERAS........................................................................................140

CAPITULO IX FLUJO DE FLUIDOS IDEALES......................................................145

9.1 REQUISITOS PARA EL FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL..........................................145

9.2 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE EULER................................................................146

9.3 FLUJO IRROTACIONAL: POTENCIAL DE VELOCIDAD.......................................148

9.4 INTEGRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE EULER........................................................150

9.5 FUNCION DE CORRIENTE CONDICION FRONTERA..........................................152

9.6 FLUJO EN DOS DIMENSIONES ......................................................................................156

CAPITULO X BOMBAS.............................................................................................16110.1 EQUIPOS DE IMPULSIÓN .........................................................................................................161

10.2 BOMBAS CENTRÍFUGAS...........................................................................................................161

10.3 CURVAS CARACTERÍSTICAS DE UNA BOMBA CENTRÍFUGA.......................................163

10.3 POTENCIA Y EFICIENCIA DE BOMBEO ..................................................................................169

ANEXOS GRÁFICOS..................................................................................................173

BIBLIOGRAFÍA...........................................................................................................176




OBJETIVOS

Proporcionar fundamentos sólidos en cuanto a conceptos y principios de los fluidos.

En términos generales, se entregarán las herramientas de uso práctico para el diseñode almacenamientos y movimiento de fluidos. De esta forma se motivará al alumnopara que continué su autoaprendizaje.

La finalidad de este es que los alumnos deberán ser capaces de reconocer y definir laspropiedades físicas de los fluidos, reconocer y resolver problemas de hidrostática;conocer, calcular y diseñar un sistema de circulación de fluidos en tuberías realizandoanálisis dimensional y similitudes dinámicas.

Utilización de los conceptos teóricos para la resolución de problemas reales en lametalurgia, a través de un diseño para el almacenamiento y movimiento de losfluidos.

Integración de conocimientos adquiridos en asignaturas anteriores para la resoluciónde problemas por métodos numéricos.

Dar una visión global, indicando la proyección de la asignatura en el que hacerpráctico de un ingeniero. Adquirir una relación amigable con los conceptos básicos.

Deducir las ecuaciones básicas que permitirán predecir el comportamiento de losfluidos.




CAPITULO I

INTRODUCCIÓN ALA MECÁNICA DEFLUIDOS

1.1 GENERALIDADES

La rama de la mecánica aplicada queestudia el comportamiento de los fluidosya sea en reposo o en movimientoconstituye la mecánica de los fluidos y lahidráulica. En el desarrollo de losprincipios de la mecánica de los fluidosalgunas de las propiedades de los fluidos

juegan un papel preponderante, mientrasque otras o fluyen muy poco o nada. En laestática de los fluidos, el peso específico esla propiedad importante, mientras que en

el flujo de fluidos la densidad y la viscosidad son las que predominan. Alintervenir presión manométricas negativasla tensión de vapor pasa a ser importante y la tensión superficial afecta a la estática ocinemática de los fluidos cuando lassecciones de paso son pequeñas.

Un fluido se define como una sustanciaque cambia su forma continuamentesimple que esté sometida a un esfuerzo

cortante, sin importar que tan pequeño sea.En contraste un sólido experimenta undesplazamiento definido (o se rompecompletamente) cuando se somete a unfuerza cortante.

Figura 1.1: esfuerzo cortante en un sólido y en un fluido.

Por ejemplo, el bloque sólido que semuestra a la izquierda de la figura cambiasu forma de una manera caracterizadaconvenientemente por el ángulo cuando se somete a un esfuerzo cortante.Si esté fuera un elemento de fluido (comose muestra a la derecha en la figura), noexistiría un fijo ni aun para un esfuerzocortante infinitesimal. En lugar de esto,

persiste una deformación continua siempreque se aplique el esfuerzo cortante .

En materiales que se conocen algunas veces como plásticos, como la parafina,cualquiera de estos tipos de deformación alcorte puede presentarse dependiendo de lamagnitud del esfuerzo cortante. Esfuerzoscortantes por debajo de cierto valorinducen desplazamientos definidos

FluidoSólido

Esfuerzo

c rtante




similares a los cuerpos sólidos, mientrasque esfuerzo cortante divisorios dependedel tipo y del estado del material.

Al considerar varios tipos de fluidos encondiciones estáticas, algunas presentancambios muy pequeños en su densidad apesar de estar sometidos a grandespresiones. Invariablemente, estos fluidos seencuentran en estado líquido cuandopresentan este comportamiento. En talescircunstancias, el fluido se denominaincompresible y se supone que su densidades constante para los cálculos. El estudiode fluidos incompresibles en condiciones

estáticas se conoce como hidrostático.Cuando la densidad no puede considerarseconstante bajo condiciones estáticas, comoen un gas, el fluido se denominacompresible y algunas veces, se utiliza eltérmino aerostática para identificar a estaclase de problemas.

Los fluidos están compuestos pormoléculas con movimiento y colisiónconstantes. Para ser exacto en un análisis,deben tenerse en cuenta la acción de cada

molécula o en un flujo. Talesprocedimientos se adoptan en la teoríacinética de los gases y en la mecánicaestadística, pero son, en general,demasiados complejos para utilizarlos enaplicaciones de ingeniería. En la mayorparte de los cálculos de ingeniería, elinterés se centra en manifestacionespromedio medibles de muchas moléculas,como por ejemplo, densidad, presión y temperatura.

1.2 SISTEMAS DEUNIDADES

Dimensiones y unidades

Las abstracciones utilizadas para describirlas manifestaciones o características de un

cuerpo se denominan dimensiones.

Existen dos tipos de dimensiones

Las básicas que sonindependientes de otra

dimensión

Las secundarias son función delas dimensiones básicas.

Las dimensiones básicas más utilizadas

son las siguientes:

Longitud

Tiempo

Masa

Temperatura

Existen diferentes tipos de sistemas de

unidades siendo los más utilizados:

cgs (centímetro-gramo-segundo) mks (metro-kilogramo-segundo)

inglés (pie-libra-segundo)

Cantidad físicaEs aquella donde está definidaclaramente la dimensión, la unidad y la

magnitud (Ej: 10ºC).

¿Qué se mide?

¿Cómo se mide?

¿Cuánto mide?




Ejemplos de unidades secundarias:

Propiedades de los fluidos

Sistema Internacional

LongitudL [m] Masa M [kg] Tiempo t [s] Temperatura T [K]

Fuerza F [N]

Donde:

Sistema técnico inglés

LongitudL [pie] Masa M [lb] Tiempo t [s] Temperatura T [ºR]

Fuerza F [lbf ó lb]

Donde:

Ejemplo 1

Suponga que g=9,7 m/s2,encuentre:

– cuánto pesan 10 kg de unasustancia?

– exprese el resultado en el

sistema inglés

Se define la densidad específica oabsoluta como la cantidad de masa porunidad de volumen de una sustancia(densidad)

El peso específico corresponde a lacantidad de peso por unidad de volumen de una sustancia

Se define la densidad específica oabsoluta como la cantidad de masa porunidad de volumen de una sustancia(densidad)

El peso específico corresponde a lacantidad de peso por unidad de volumen de una sustancia

Ejemplo 2

Si la densidad del agua es de 1000kg/m3, encuentre:

– la densidad en lbm/pie3

– la densidad en slug/pie3

– el peso específico en N/m3

amFfuerza

t

Ln vaceleració

t

Lvvelocidad

2

2C

c

mkg9,80665nalgravitacioconversióndefactor:g

g

amkgf

skgf

2C

lb32,174nalgravitacioconversióndefactor:gslbf

pie

t

WPotpotencia

LFW

trabajo




– el peso específico enlbf/pie3

– si la densidad relativa delmercurio es 13,6, encuentre

la densidad y el pesoespecífico en el sistemaMKS.

La viscosidad de un fluido es aquellapropiedad que determina la cantidad deresistencia que opone el fluido al

movimiento relativo de sus moléculas(fluidos newtonianos).

Se define la viscosidad cinemática de un

fluido como el cuociente entre la viscosidad absoluta y la densidad delfluido.

s

m2




CAPITULO IIDESCRIPCIÓN DE

LOS FLUIDOS

2.1 ¿QUÉ ES UN FLUIDO?

Definiciones:

Fluido es aquella sustancia que, debido asu poca cohesión intermolecular, carece

de forma propia y adopta la forma delrecipiente que lo contiene.

Un fluido es una sustancia que sedeforma continuamente cuando estásometido a un esfuerzo cortante, sinimportar la magnitud de éste.

Un fluido ofrece poca resistencia alcambio de forma pero alta resistencia alcambio de volumen.

2.2 CLASIFICACIÓN DE UNFLUJO DE FLUIDO

2.2.1 Gases v s. Líquidos

Los líquidos son incompresibles.

Los gases son compresibles.

Los líquidos tienden a tomar la forma de losrecipientes que los contengan. Y su superficieesta en contacto con la atmósfera,manteniendo un nivel uniforme. A medida aque el recipiente se inclina, el líquido tiende aderramarse, la rapidez con que este se

derrama depende de una propiedad conocidacomo, viscosidad.

En cambio cuando se tiene un gas en unrecipiente cerrado, este tiende a expandirse y llenar completamente el recipiente que locontiene. Si este se abre, el gas tiene a seguirexpandiéndose. La diferencia es que los gasesson sólo ligeramente compresibles y losgases son fácilmente compresibles.

2.2.2 Fluidos cont inuos vs.Fluidos discretos

2.2.3 Fluidos Perfect os vs.Fluidos Reales

Fluidos perfectos: Se puede definir comoun fluido en el que no existe la fricción, esdecir su viscosidad es cero. Su tensiónsuperficial y presión de vapor son cero. Unlíquido ideal también es incompresible.

Fluidos reales: La viscosidad esinevitablemente en un fluido real. Lacirculación de un fluido real implica laconversión de energía mecánica en energíatérmica.

Por lo tato, las fuerza internas en su Fluido

ideal es aquel fluido en que se ha supuesto velocidad nula y se ha consideradototalmente incompresible. No existen casosreales, pero el agua se puede considerar comoideal.




2.2.4 Fluido Newt onianos vs.No New tonianos

En el primero la viscosidad es constanteindependientemente del esfuerzo de corteal cual se somete el fluido. Y en el segundola viscosidad depende del esfuerzo de corteaplicado.

Fluido Newtonianos: Es aquel donde elesfuerzo tangencial que provoca una ciertadeformación, es directamente proporcionala la rapidez de esta deformación. A laconstante de proporcionalidad se ledenomina Viscosidad.

Ejemplos de este tipo de fluidos son: elagua, el aire, soluciones diluidas y pulpasde baja viscosidad.

Fluido no Newtonianos: Es aquel que el valor de su viscosidad varía según larapidez de deformación, pero en generalesta variación es pequeña.Ejemplos de este tipo de fluidos son: laspulpas hiperconcentradas como las arenasde ciclones de relaves.

2.2.5 Fluidos Comp resible s vs.Incompresibles

Compresibilidad

Es el cambio en el volumen de una sustanciacuando hay un cambio en la presión queexperimenta. La cantidad usadanormalmente para medir este fenómeno es élmodulo volumétrico de elasticidad o, módulo volumétrico, E.

E= -p / (( v)/V)

Los fluidos compresible: Son aquello loscuales su densidad es variable. Y si a estos se

le aplica fuerzas o presión de gran magnitud,este disminuye su volumen ocupado enforma importante.

Los fluidos incompresibles: Son aquelloscon densidad constante.

El agua, pulpas no espumosas, aire de baja velocidad pueden considerarse normalmentecomo incompresibles.

2.2.6 Flujo Cont inuo y noContinuoEs la cantidad de fuerza ejercida sobre unárea unitaria de una sustancia. La cual seestablece como:

P = F / A

2.3 Propiedades de losFluidos

2.3.1 MasaPropiedad de un cuerpo de fluido que semide por su inercia o resistencia a un cambiode movimiento. Es también una medida de lacantidad de fluido y se designa con la letra m .




2.3.2 Peso

Es la cantidad que pesa un cuerpo, es decir la

fuerza con que el cuerpo es atraído a la tierrapor la acción de gravedad, se designa con laletra W y su formula es:

W = m * g

2.3.3 DensidadEs la cantidad de masa por unidad de volumen de una sustancia. Se designa con laletra griega y su formula es:

= m / V.

2.3.4 Peso Específ ico

Es la cantidad de peso por unidad de volumen de una sustancia.

Se le designa con la letra y su formula es:

= w / V.

2.3.5 Gravedad espec íf ica

Es la razón de la densidad de un fluido a la dealguna sustancia o fluido estándar. Para loslíquidos, este estándar es el agua, usualmentea 4°C.

2.3.6 Presión

La presión en un punto es la relación entre lafuerza normal y el área del plano a medidaque dicha área se aproxima a un valor muy pequeño que incluya el punto. La presióntiene unidades de fuerza por unidad de área.

2.3.7 Visco sidad absoluta ydinámica

Un fluido no puede soportar esfuerzoscortantes en condiciones estáticas. Sinembargo cuando existe una fuerza cortante y el flujo tiene lugar, entonces la velocidad a lacual el fluido cede a la fuerza varía paradiferentes fluidos. La ley de la viscosidad deNewton afirma que el esfuerzo cortante esdirectamente proporcional a la velocidad dedeformación por corte (gradiente de velocidad), donde la constante deproporcionalidad está definida como el

coeficiente de viscosidad absoluta.

2.3.8 Viscosidad c inemát ic a

Su símbolo es y se define como la razónde la viscosidad absoluta a la densidad delfluido.

2.3.9 Tensión superf ic ial

Es la resistencia que un líquido presenta ala penetración de su superficie.

Factores que afectan la tensión superficial

Naturaleza del líquido. Medio que la rodea. Temperatura.

En general la tensión superficial disminuyecon la temperatura, ya que las fuerzas de

cohesión disminuyen al aumentar laagitación térmica. La influencia del medioexterior se comprende ya que las moléculasdel medio ejercen acciones atractivas sobrelas moléculas situadas en la superficie dellíquido. Contrarrestando las acciones de lasmoléculas del líquido.




CAPITULO III

ESTÁTICA DEFLUIDO

3.1 Fuerza Esfuerzo Presiónde Punto

En un paquete de fluido existen dos clasesgenerales de fuerzas: las fuerzas de cuerpo y las de superficie. Una fuerza de cuerpo actúasobre el paquete mediante una acción adistancia. Las fuerzas electromagnéticas y gravitacionales son las únicas dos fuerzasde cuerpo considerada en este texto.

Una fuerza de superficie existe comoresultado del contacto directo entrepaquete de fluido. Considérese un grupo

de partículas todas unidas tal como semuestra en la figura 2.1.a, cada una de ellastiene una velocidad que puede ser diferentetanto en magnitud como dirección a la desus vecinas. Para proceder con el análisis sedebe reemplazar el efecto de las partículasalrededor del paquete por un sistema defuerzas resultantes equivalentes que actúansobre el área de contacto entre laspartículas alrededor y la partícula central ( figura 3.1.b). El problema aquí, en primer

lugar, es definir una terminología para ladistribución del vector fuerza en términosdel sistema global de coordenadas. En loscapítulos posteriores se detallará cómoeste vector fuerza se relaciona con elmovimiento de fluido.

Figura 2.1 movimiento de un paquete de fluido y distribución de fuerza equivalente.




Considérese una de las áreas de contacto,por ejemplo entre los paquetes 1 y 6, talcomo se muestra en la figura 3.2.a. El vector unitario normal al área superficial se

define con respecto a un plano definidopor los vectores direccionales unitarios s1 y s2 que son tangentes al punto de contactopor consiguiente, se puede definir unsistema coordenado local en el plano localy el vector fuerza se descompone en tresdirecciones ortogonales,

nssn F F yF F ,, 21 es la fuerza normal

mientras yF s1 2sF son las fuerzastangenciales.Dado que el área es una cantidad vectorial

y que las áreas superficiales están rodandoy cambiando con el tiempo, esextremadamente difícil seguir la trayectoriadel vector área. Por consiguiente es

conveniente definir una representaciónintensiva conocida como esfuerzo.Ocurren dos clases generales de esfuerzos,normales y cortantes. Ambos se definen en

un sentido de límites a medida que el áreade contacto incremental tiende cero. Esdecir.

A

F lim n

An

0 (3.1.1)

A

F lim s

Ass

1

01

A

F lim

s

Ass

2

02

Figura 3.2 definición de fuerza y esfuerzo para un área de contacto de paquete elemental.




Aquí el área especifica para el ejemplo es

216 ,, ssssn y A son respectivamente, elesfuerzo normal y los dos esfuerzoscortantes tal como se define en

coordenadas locales (figura 2.2.b). Ladimensión del esfuerzo es fuerza porunidad de área.Existe un número muy grande si noinfinito de planos (áreas) que puedenaparecer en un punto en el continuo fluidoy, tal como se anotó, es aconsejableeliminar el proceso analítico de guardar lainformación requerida para seguir latrayectoria de las coordenadas locales delárea. Por consiguiente es necesario definir

el esfuerzo en términos de un sistemaortogonal de fuerzas, referenciado acoordenadas globales y a una serie deplanos ortogonales asociados que pasen através del origen. Al hacer esto, el estadode esfuerzos puede definirse sinambigüedades con un número mínimo decomponentes.Para llegar a esta descripción se requiereuna derivación geométrica extensa quepuede encontrarse en un gran número de

libros de mecánica, y aquí solamente se dauna descripción conceptual. Con referenciaa la figura 3.3, el campo de esfuerzos del

ejemplo en coordenadas locales seproyecta a coordenadas globales siguiendodos pasos. En primer lugar, el plano localdefinido por s1 y s2 se proyecta en sus tres

componentes ortogonales que pasan através del origen. Dado que existen 3planos con los 3 sistemas de esfuerzoacompañante, se requiere un total de 9componentes de esfuerzos para describircompletamente el estado de esfuerzo en unpunto sobre una superficie arbitraria, entérminos de un sistema global decoordenadas fijas. Luego la ecuación 3.1.2contiene el tensor total que contiene los 9esfuerzos requeridos.

zz yz xz

zy yy xy

zx yx xx

(3.1.2)

La notación aquí es como sigue: xy es el

esfuerzo cortante que actúa en dirección ax , en un plano perpendicular al eje y , y

yy es el esfuerzo normal que actúa en la

dirección y, en el plano perpendicular al eje y. todos los vectores esfuerzos están definidos como positivos.




Figura 2.3 distribución de esfuerzos

3.2 Ecuación Básica De LaEstát ica De Fluidos

Variación de la Presión en un fluidoestático

Las fuerzas que actúan sobre un elementode fluido en reposo (figura 3, 5) consistenen fuerzas de superficie y fuerzas decuerpo. Si la gravedad es la única fuerza decuerpo que actúa, tomando el eje y verticalmente hacia arriba, ésta vale -y .Formulas en la dirección y. Con unapresión P en su centro ( x,y,z ), la fuerzaejercida en el lado perpendicular al eje y más cercano al origen es aproximadamente

z x y

y

p p

2

Y la fuerza ejercida en el lado opuesto es

z x y

y

p p

2

Donde δy/2 es la distancia desde el centroa una cara perpendicular a y. Sumando lasfuerzas que actúan en el elemento en ladirección y se obtiene

z y x z y x y

pF y




Figura 3.5 Paralelepípedo rectangular elemental de un fluido en reposo.Para las direcciones x y z , debido a que no actúa ninguna fuerza de cuerpo,

z y x y

pF x

z y x z

pF z

El vector de fuerza elemental δF está dadopor

z y x z y x z

p

y

p

x

pF F F z y x

j j jik jiF

Si el elemento se reduce a un tamaño cero,después de dividir toda la ecuación porδxδy δz =δ, la expresión se vuelveexactamente

j-k ji

F p

z y x

Lim 0 (3.2.1)

Esta es la fuerza por unidad de volumenresultante en un punto, que es igual a ceropara un fluido en reposo. La cantidadentre paréntesis es el gradiente, conocidocomo (nabla),

z y x

k ji (3.2.2)

El gradiente negativo de p, - p, es el vector de campo f de la fuerza de presiónsuperficial por unidad de volumen,




f = - p (3.2.3)

Por consiguiente, la ley de fluido estáticode variación de presión es

f -jγ = 0 (3.2.4)

Para un fluido no viscoso en movimiento opara un fluido en movimiento de talmanera que el esfuerzo cortante es cero encualquier parte, la segunda ley de Newtontoma la forma

f -jγ=ρa (3.2.5)

Donde a es la aceleración del elemento defluido y f - jγ es la fuerza resultante cuandola gravedad es la única fuerza que actúasobre el cuerpo. La ecuación (3.2.5) en ladeducción de las ecuaciones de Euler enlos capítulos 4 y 7.En forma de componente, la combinaciónde las ecuaciones (3.2.3) y (3.2.4) seconvierte en

0

x

p

y

p0

z

p(3.2.6)

Las ecuaciones diferenciales parciales, para variaciones en las direcciones horizontales,son una forma de la ley de Pascal; éstasestablecen que dos puntos a la mismaelevación, en la misma masa continua defluido en reposo, tienen la misma presión.Como p es función únicamente de y

dp = - dy (3.2.8)

Esta ecuación diferencial simple relacionael cambio de presión con el peso específicoy el cambio de elevación, y es válida tantopara fluidos compresibles comoincompresibles.

Variación de la presión en un fluidoincompresiblePara fluidos que puedan ser consideradoscomo homogéneos e incompresibles, y es

constante, y la ecuación (3.2.7), una vezintegrada, se convierte en

p= -γ y + c

En la cual c es la constante de integración.La ley hidrostática de la variación de lapresión frecuentemente se escribe en laforma

p = γh (3.2.8)

En la cual h se mide verticalmente haciaabajo ( h=-y ) a partir de una superficie librede líquido y p es el incremento en lapresión desde aquélla encontrada en lasuperficie libre. La ecuación (2.2.8) puedeser deducida tomando como cuerpo librede fluido una columna vertical de líquidode altura finita h con su superficie superioren la superficie libre. Esto se deja como unejercicio para el estudiante.

Ejemplo 3.1Un oceanógrafo necesita diseñar unlaboratorio marino de 5 m de altura quedebe soportar una inmersión hasta 100 m,medida desde el nivel del mar hasta la partesuperior del laboratorio. Encontrar la variación de la presión en el lado delcontenedor y la presión en su partesuperior, si la densidad relativa del aguasalada es 1.020.

Solución

γ=1.020(9806 N/m3 ) =10 kN/m3

En la parte superior h=100m, y

p = γ h =1MN/m2=1MPa




Si y se mide desde la parte superior dellaboratorio marino hacia abajo, la variación

de la presión es

P=10( y +100)kPa

A menudo debido a calentamientodiferencial o a la presencia de masaañadida, como sal o sedimento, ladensidad en un fluido incompresiblehomogéneo estático puede estratificarse oreordenarse así misma en capas donde las

capas más pesadas o más densas de fluidosquedan por debajo de las más livianas. Ladensidad en cada capa permanececonstante y la presión varía linealmente ohidrostáticamente con la profundidad en lacolumna de agua. La figura 3.6 contiene undiagrama idealizado de densidad versusprofundidad para un cuerpo de agua saladacon tres regiones de densidad constante.La figura también contiene una gráfica dedistribución de presiones con respecto a laprofundidad y se nota que la presión es

constante en las interfaces. En la práctica,la difusión molecular y turbulenta de la salmarginalmente “suavizará” lasdiscontinuidades en la interfaz de densidad,Pero este enfoque de analizar por capas lasdistribuciones de presiones en condicionesde estratificación en capas ha sidofundamental para los limnólogos y oceanógrafos por más de 100 años. Algunos aspectos se pueden notar en lafigura 2.6. En primer lugar, la presión en

cada capa se incrementa linealmente conla profundidad. Por consiguiente, dentrode la capa 1 y las capas obsecuentes, las variaciones de presión son

P (0 <h<h 1 ) = p0 + ρ1 g(h) (3.2.9)

P (h 1 <h<h 2 ) = p1 + ρ2 g(h-h 1 )(3.2.10)

O para cualquier capa n,P (h n-1 <h<hn) = pn-1 + ρn g(h-

h n-1 ) (3.2.11)

Variación de la presión en un fluidocompresibleCuando el fluido es un gas perfecto enreposo a temperatura constante de laecuación

0

0

p p(3.2.12)

En la cual p es la presión absoluta. Cuandoel valor de y en la ecuación (3.2.7) sereemplaza por pg y se elimina entre lasecuaciones (3.2.7 ) y (3.2.9),

p

dp

g

pdy

0

0

(3.2.13)

Se debe recordar que si p se expresa enlibras masa por pie cúbico, entoncesy=gρ/g 0 con g 0 = 32.174 Ibm pie/Ib s2. Sip= p0 entonces ρ=ρ0, la integración entrelos límites

p

p

y

y p

dp

g

pdy

000

0

arroja

00

0

0 p

p

g

p y y ln

(3.2.14)

En donde In es el logaritmo natural.Entonces

00

0

0g p

y y p p

/ exp (3.2.15)




Que es la ecuación para la variación de lapresión con la elevación en un gas

isotérmico.Frecuentemente se supone que laatmósfera tiene un gradiente detemperatura constante que puedeexpresarse por

T=T 0 +βy (3.2.16)

Para la atmósfera estándar, β=-0.00357grados fahrenheit por pie (-0.00651 K/m)hasta la estratosfera. La densidad puede

expresarse en términos de la presión y laelevación utilizando la ley del gas perfecto:

)( yT R

p

RT

p

0

(3.2.17)

La sustitución en dp= -ρgdy (ecuación (3.2.7) )permite que las variables se separen y que p seencuentre en función de y medianteintegración.

Ejemplo 3.3Suponiendo que en la atmósferaprevalecen condiciones isotérmicas,calcular la presión y la densidad a unaelevación de 2000 m si p=105 Pa abs y p=1.24 kg/m3 a nivel del mar.

SoluciónDe la ecuación (3.2.15)

p = (105N/m2 )

exp

3225 241806910

2000

mkgsmm N

m

/ . / . / ) / (

=78.4 kPa absPor consiguiente, de la ecuación (3.2.12),

33

0

0 kg/m9720100,000

78,400kg/m241 , .

p

p

Ejercicios

La presión del aire por encima de unasuperficie de petróleo (S=0.75), en untanque, es 115- kPa abs. La presión 2.0 mpor debajo de la superficie del petróleo, enkPa, es(a) 14.71. (b) 116.5. (c) 129.71. (d)134.1. (e) ninguna de estas respuestas.

La presión manométrica, en milímetros demercurio, equivalente a 80-mm H20 más 60mm de fluido manométrico, con densidad

relativa 2.94, es(a) 10.3. (b) 18.8. (c) 20.4. (d)30.6. (e)ninguna de estas respuestas.

3.3 UNIDADES DE ESCALAPARA MEDIDA DE LAPRESIÓN

La presión puede expresarse a cualquiernivel de referencia arbitraria. Los nivelesarbitrarios de referencias más usuales sonel cero absoluto y la presión atmosférica local.Cuando la presión se expresa como unadiferencia entre su valor y un vacíocompleto, se conocen como presión




absoluta. Cuando se expresa comodiferencia entre su valor y la presiónatmosférica local, se conoce como presiónmanométrica.

El manómetro Bourdon ( figura 3.7) es típicode los aparatos utilizados para medir

presiones manométrica. El elemento depresión un tubo metálico plano, hueco y curvado, cerrado en uno de los extremo; elotro extremo se conecta a la presione que

va a ser medida

Figura 3.7 Esquema de tubo de bourdon.

Cuando la presión interna, el tubo tiende a

enderezarse, arrastrando un mecanismo deconexión que se encuentra unido a unindicador y haciendo que éste se mueva. Laescala marca cero cuando las partesinternas y externas del tubo están a lamisma presión sin importar su valorparticular. La escala puede graduarse acualquier sistema de unidadesconvenientes, las más comunes sonpascales, libras por pulgada cuadrada, libraspor pie cuadrado, pulgadas de mercurio,

pies de agua, centímetros de mercurio.Debido a su concentración inherente, elmanómetro mide la presión relativa a lapresión del medio alrededor del tubo, lacual es la atmósfera local.La figura 3.8 ilustra la información y lasrelaciones entre las unidades comunes de

medidas de presión. La atmósfera estándar

es la presión media al nivel del mar, 2992pulg Hg. Una presión, expresadas entérminos de longitud de una columna líquido,es equivalente a la fuerza por unidad deárea en la base de la columna. La relaciónde variación de la presión con la altura deun líquido h p (ecuación (2.2.8))muestra la relación entre la cabeza h enlongitud de columna de fluido de pesoespecífico , y la presión p. en unidadesconsistentes, p está dado en pascales, γ en

newton por metro cúbico y h en metros, o p está dado por libras por pie cúbico y h en pies. Con el peso específico decualquier líquido expresado como sudensidad relativa S multiplicada




Figura 3.8 Unidades y escalas para la medida de la presión

Por el peso específico del agua, la ecuación

(3.2.8) se convierte en= γ w Sh (3.3.1)

Para agua γ w , puede tomarse como 9806N/m3 o 62.4 Ib/pie3.Cuando se quiere dar la presión en libraspor pulgada cuadrada, ambos lados de laecuación se dividen por 144:

ppsi = ShSh 4330

144

462 .

. (3.3.2)

En la cual h permanece en pies†.

La presión atmosférica local se mide

mediante un barómetro de mercurio(figura 3.9) o a través de un barómetroaneroide , que mide la diferencia de presiónentre la atmósfera y una caja o tubo vacíoen forma análoga al manómetro bourdon,excepto en que el tubo se encuentra vacíoy sellado. Un barómetro de mercurio estácompuesto por un tubo de vidrio cerradoen uno de sus extremos, lleno de mercurioe invertido, de tal forma que su extremoabierto se sumerge en mercurio. Tiene unaescala colocada de tal manera que se puede

determinar la altura de la columna R (figura3.9). El espacio por encima del mercuriocontiene vapor de mercurio.




Figura 3.9 Barómetro de mercurio

†En la ecuación (3.3.2) se puede expresarla presión atmosférica estándar en libras

por pulgada cuadrada,

ppsi = 71412

9229613

144

462 .

. .

.

Cuando S=13.6 para mercurio. Cuando14.7 se multiplica por 144, la atmósferaestándar se convierte en 2116 Ib/ pie2.Luego 2116 dividido por 62.4 arroja 33.91pies de H20. Cualquiera de estasdesignaciones es para la atmósfera

estándar y puede llamarse una atmósfera sisiempre se entiende que es la atmósferaestándar y se mide desde el cero absoluto.Estas diferentes designaciones para unaatmósfera estándar (figura 3.8) sonequivalentes y dan un medio convenientepara convertir de un conjunto de unidades

a otro. Por ejemplo, para expresar 100pies de H20 en libras por pulgada cuadrada

se usa

psi3437149133

100 . .

.

Debido a que 100/33.91 es el número deatmósferas estándar y cada atmósferaestándar es 14.7 psi

Si la presión del vapor de mercurio h v está

dada en milímetros de mercurio y R semide en las mismas unidades, la presión en A puede expresarse como

h v + R = h A mmHg




A pesar de que h v es una función de latemperatura, es muy pequeña atemperaturas atmosféricas usuales. Lapresión barométrica varía con el lugar, es

decir con la elevación y con lascondiciones del tiempo.En la figura 3.8 una presión se puedelocalizar verticalmente, lo cual indica surelación con respecto al cero absoluto o ala presión atmosférica local. Si el punto seencuentra por debajo de la línea depresión atmosférica local y se utiliza elnivel de referencia manométrico, la presiónes negativa, de succión o de vacío. Por ejemplo,la presión de 460-mm Hg abs, como en 1,

con una lectura barométrica de 720-mmHg, puede expresarse como –260-mm Hg,11 pulg Hg de succión o como 11 pulg Hg de vacío. Se debe notar que

pabs =P bar + Pman

Para evitar cualquier confusión, en estetexto se adopta la convención de que unapresión es manométrica a menos queespecíficamente se marque como absoluta,con excepción de la atmósfera, la cual es

una unidad de presión absoluta.

Ejemplo 3.4La tasa de cambio de la temperatura en laatmósfera, con respecto a cambios enelevación, se conoce como la tasa de lapso.El movimiento de un paquete de airedepende de la densidad del paquete conrespecto a la densidad del aire que lo rodea(ambiente). Sin embargo, a medida que el

paquete asciende a través de la atmósfera,la presión del aire disminuye, el paquete seexpande y su temperatura disminuye a unatasa conocida como la tasa de lapso secaadiabática. Una compañía desea quemaruna gran cantidad de basura. Se estima quela temperatura de la columna de humo a 10

m por encima del suelo será 11°C mayorque la del aire ambiente. Determinar quépasará con el humo(a) a una tasa de lapso atmosférica estándar

β= -0.00651°C por metro y t0 =20°C y (b) a una tasa de lapso invertida β=0.00365 C por metro.

SoluciónCombinando las ecuaciones (3.2.7) y (3.2.17) se obtiene

y p

p yT

dy

R

g

p

dp

00

0

o

Rg

T

y

p

p /

00

1

La relación entre la presión y latemperatura, para una masa de gas que seexpande sin transferencia de calor, es

k k

p

p

T

T / )( 1

01

En donde T 1 es la temperatura absolutainicial del humo; p0 es la presión absolutainicial, y k es la relación de calorespecífico, 1.4 para aire y otros gasesdiatómicos. Eliminando p/p0 en las últimasdos ecuaciones de cómo resultado

Rgk k

T

yT T

/ / 1

0

1 1

Debido a que el gas ascenderá hasta que sutemperatura sea igual a la temperaturaambiente,

T=T0 + Bγ




Las últimas dos ecuaciones pueden serresueltas para y. Sea

11

1

kRgk a

/ entonces

1

1

00

a

T

T T y

a. Para β=-0.00651°C por metro, R =287MN/(kg¨K), a= 2.002, y y=3201m

b. Para la inversión de la temperaturaatmosférica β=0.003665 °C por metro,a =-0.2721, y y=809.2 m.

3.4 MANÓMETRO

Los manómetros son dispositivos queemplean columnas de líquido paradeterminar diferencias de presiones.

Piezómetro

h

p A

h g

h g p

man A

0 A

p

p

p0




Manómetro enU

Ejemplo 3.4

En la figura, calcular la presión absoluta y la manométrica en el punto A. El estanque contieneagua y el líquido manométrico es mercurio

A

Tanque

a presión

d1

d2

MN A

210 A

N M

1 A M

20 N

d g d g- p

p p como

d g p

d g p

Hg A

A

Hg

p

p

p

p0

Hg

0,25 m

0,15 m

A




Manómetro diferencial

Ejemplo 3.5

En la figura, calcular la diferencia de presiones entre A y B. Los estanques contienen aceites y el líquido manométrico es agua.

g p

p

p

Bman A

B

man A

) d - d d ( p-

d g p

d g d g p

1 2 3 B A

1 B N

2 3 A M

d1

d3

d2

M N

A

B

29,5”

4,25”

Aceite = 0,86

A B




Manómetro diferencial para tuberías

Ejemplo 3.6Calcular h en la figura. ¿Cuál sería el valor de h si los espacios llenos de aire en la figuraestuvieran llenos de agua?

1d g p

p

p

Am

m A

A

)-( p-

d g d g p

) d (d g p

21

1 2 2 N

211 M

p1 p2 Flujo de A

d1

d2

m

M N

h150cm

90 cm

Aire




3.5 ESTABILIDAD DECUERPOS FLOTANTES YSUMERGIDOS

Un cuerpo que flota en un líquido estáticotiene una estabilidad vertical. Un pequeñodesplazamiento hacia arriba disminuye el volumen del líquido desplazado, lo cual dacomo resultado una fuerza no balanceadahacia abajo que tiende a retornar el cuerpoa su posición original. Similarmente, unpequeño desplazamiento hacia abajogenera una fuerza de boyamiento mayor, lacual causa un desbalance hacia arriba.

Un cuerpo tiene una estabilidad linealcuando un pequeño desplazamiento lineal,en cualquier dirección genera fuerzas derestablecimiento que tiende a retornarlo asu posición original. Tiene estabilidad

rotacional cuando se genera un parrestaurador por cualquier pequeñodesplazamiento angular.

En la siguiente discusión se desarrollanmétodos para determinar la estabilidadrotacional. Un cuerpo puede flotar enequilibrio estable, inestable o neutro.Cuando un cuerpo se encuentra enequilibrio inestable, cualquier pequeñodesplazamiento angular genera un par quetiende a incrementar dicho desplazamiento.Si el cuerpo se encuentra en equilibrioneutral, cualquier pequeño desplazamientoangular no genera ningún par. Se ilustran

los tres casos de equilibrio; en la figura2.31a, una ligera pieza de madera con uncontrapeso metálico en su parte inferior esestable. En la figura 3.31b el contrapesometálico se encuentra en la parte superior,el cuerpo está en equilibrio.

Figura 3.31 Ejemplo de equilibrio estable e inestable indiferente (neutro)




Figura 3.32 cuerpos sumergidos con estabilidad rotacional.

Pero cualquier pequeño desplazamientoangular haría que tomara la posición de a ;en la figura3.31c , se muestra una esferahomogénea o un cilindro recto circularhomogéneo, el cual está en equilibrio paracualquier rotación angular, es decir, decualquier desplazamiento angular noresulta un par.Un objeto completamente sumergido esrotacionalmente estable solamente cuandosu centro de gravedad se encuentra pordebajo del centro de boyamiento, tal comose muestra en la figura 3.32a . cuando elelemento rota en el sentido contrario al delas agujas del reloj, como en las figuras3.32b , la fuerza de boyamiento y el pesoproduce un par en la dirección de lasmanecillas del reloj.Normalmente cuando un cuerpo esdemasiado pesado para flotar, se hunde y baja hasta el fondo. A pesar de que el peso

específico del líquido aumenta ligeramentecon la profundidad, las altas presionestienden a comprimir el cuerpo o hacen queel líquido penetre en los poros desustancias sólidas y, por consiguiente,

disminuye el boyamiento del cuerpo. Porejemplo es seguro que un barco se hundahasta el fondo una vez que se encuentrecompletamente sumergido, debido a lacompresión del aire atrapado en susdiferentes partes.Cualquier objeto flotante con su centro degravedad por debajo de su centro deboyamiento (centroide del volumendesplazado) flota en equilibrio estable, talcomo se muestra en la figura 3.31 a . Sinembargo, ciertos objetos flotantes seencuentran en equilibrio cuando su centrode gravedad está por encima del centro deboyamiento. En primer lugar se considerala estabilidad de cuerpos prismáticos,seguida por un análisis de cuerpos flotantesgenerales para pequeños ángulos deinclinación.La figura3.33 a muestra la seccióntransversal de un cuerpo que tiene sus

otras secciones transversales paralelasidénticas. El centro de boyamientosiempre es el centroide de volumendesplazado, el cual es el centroide del áreade la sección transversal




Figura 3.33 estabilidad de un cuerpo prismático.

Por debajo de la superficie líquida en estecaso. Por consiguiente, cuando el cuerpose inclina, como en la figura 2.33b , elcentro de boyamiento está en el centroideB’ del trapezoide ABCD, la fuerza deboyamiento actúa hacia arriba a través deB’ interseca la línea central original porencima de G, el centro de gravedad delcuerpo. Cuando la vertical pasa a través deB’ interseca la línea central original porencima de G, como en M , se produce unpar restaurador; el cuerpo se encuentra en

equilibrio estable. La intersección de lafuerza de boyamiento y la línea central seconoce como el metacentro, denominado M .cuando M se encuentra por encima de G elcuerpo es estable. Cuando se encuentrapor debajo de G es inestable; y cuando seencuentra en G está en equilibrio neutral .

La distancia MG se conoce como la altura metacéntrica y es una medida directa de laestabilidad del cuerpo. El par restauradores

W MG sen

en el cual es el desplazamiento angular y W es el peso del cuerpo.

Ejemplo 3.7En la figura 2.33 un planchón de 20 piesde ancho y 60 pies de longitud tiene unpeso bruto de 225 toneladas (1 tonelada =2000lb). Su centro de gravedad seencuentra 1.0 pie por encima de lasuperficie del agua. Encontrar la alturametacéntrica y el par restaurador cuando y = 1.0 pies.

Solución

La profundidad de sumergencia h en elagua es

h =)4.62)(60(20

)2000(225= 6.0 pies

El centroide en la posición inclinada selocaliza tomando momentos alrededor de AB y BC ,

)20(6

)320(21)20(2)10)(20(5 x =

9.46 pies




)20(6

)325)(21)(20(2)25)(20(5 y =

3.03 pies

Utilizando los triángulos similares AEO y B` PM,

MP

P B

b

y `

2

MP =1

)10(54.0= 5.40 pies

G es 7.0 pies desde el fondo; porconsiguiente

GP = 7.00 -3.03 = 3.97 pies Y

MG = MP - GP =5.40 – 3.97 = 1.43pies

El planchón es estable debido a que MG

es positivo. El momento restaurador es

W MG sen

=225(2000)(1.43)1011 = 64,000 lb · pieentonces pies

P Bb y

;54.046.910

',102 / ,1




CAPITULO IVCONCEPTOS DE

FLUJO DE FLUIDOSY ECUACIONES

BÁSICAS DE

VOLUMEN DECONTROL

Este capítulo introducirá los conceptosnecesarios para el análisis del movimientode un fluido .de aquí se deducen lasprincipales ecuaciones que permitiránpredecir el comportamiento del fluido;éstas ecuaciones son la de continuidad y momentum, las primera y segunda leyes dela termodinámica y la conservación de la

masa en mezclas. En este capítulo se utilizael enfoque de volumen de control para

estas deducciones.

4.1 Concepto de flujo yCinematica

Enfoques de análisisPara expresar las leyes de la mecánica enuna forma útil para la mecánica de fluidosy transporte se requiere un punto de vistadiferente al utilizado para deducir las leyesde mecánica de sólidos. En mecánica desólido se utiliza el enfoque Lagrangiano(por Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813)En donde las ecuaciones básicas sededucen para una masa de fluido dada.Esta aproximación es análoga al “sistemacerrado” utilizado en termodinámica. Laenergía y el momentum pueden transferirsehacia al sistema y desde éste, y se puedenutilizar ya sea sistemas de coordenadas fijaso móviles para deducir las ecuaciones.




Figura 4.1 Trayectoria de paquetes de sólidos y fluidos.

Tomando en cuenta el esquema 4.1 elladrillo sólido posee una masa conocida,m b , en el tiempo t 0, y en los tiempos t 1 y t 2

posteriores el ladrillo ha cambiado deposición, de momentum lineal, angular y energía que pueden describirse mediante

las leyes de la mecánica de sólidos. También se debe notar que en un sólido laposición relativa de las diferentes partículasque componen la masa permanece en lamisma posición relativa durante elmovimiento subsecuente.Un sistema se refiere a una masa fijadefinida de material y se distingue de todala demás materia, conocida como sus vecinos. Las fronteras del sistema formanuna superficie cerrada. Esta superficiepuede variar con el tiempo, de tal manera

que contengan la misma masa durante loscambios en su condición.

Ejemplo 4.1Un kilogramo de gas puede confinarse enun cilindro y comprimirse por elmovimiento de un pistón; el sistema de

frontera que coincide con el extremo delpistón se mueve con éste, el sistema puedecontener ya sea una masa infinitesimal ouna gran masa finita de fluidos y sólidostal como lo requiere el investigador.

Desde el punto de vista del sistema, laecuación de conservación de la masaestablece que la masa dentro del sistemapermanece constante con el tiempo.En forma de ecuación

dm/dt =0 (4.1.1)

donde m es la masa total

la segunda ley de movimiento de Newton

usualmente se expresa para un sistemacomo

)mdt

d F v( (4.1.2)




4.2 La ecuación general deconservación en unvolumen de control

No importando mucho su naturaleza,todas las situaciones de flujo están sujetas alas siguientes relaciones, las cuales puedenexpresarse en forma analítica:

1. Las leyes de movimiento de Newton,es decir, las cuales deben cumplirsepara cualquier partícula en cualquierinstante.

2. La relación de continuidad, es decir, laley de la conservación de la masa.

3. La conservación de la masa aplicada amezclas de componentes dentro delfluido.

4. La primera y segunda leyes de latermodinámica.

5. Las condiciones de frontera:declaraciones analíticas como porejemplo que un fluido real tiene velocidad cero con respecto a una

frontera en la frontera o que los fluidossin fricción no pueden penetrar unafrontera.

También pueden entrar otras relaciones y ecuaciones, tales como una ecuación deestado o ley de viscosidad de Newton.La siguiente deducción es el concepto devolumen de control, la cual se relaciona con elsistema en términos de una propiedad

general del sistema.Para establecer la relación entre lasecuaciones que se aplican a un sistema y aquellas que se aplican a un volumen de control, considérese algunas situacionesgenerales de flujo, como se aprecia en lafigura 4.2, en las cuales la velocidad de unfluido está dada con respecto a un sistemade coordenadas xyz . En el tiempo t .




Figura 4.2 Sistema con volumen de control idéntico en el tiempo t en un campo de velocidad.

Hay que considerar una cierta masa defluido contenida dentro de un sistema, el

cual tiene las fronteras de líneas punteadasindicadas. También considérese un volumen de control, fijo con relación a losejes xyz , que coincide exactamente con elsistema en el tiempo t. en t+δt el sistema seha movido un poco, debido a que cadapartícula de masa se mueve a una velocidadasociada con su posición.Seda N la cantidad total de algunapropiedad (por ejemplo, masa, energía omomentum) dentro del sistema en eltiempo t y se η la cantidad de estapropiedad, por unidad de masa, a travésdel fluido.La tasa temporal de incremento de N parael sistema se formula ahora en términos de volumen de control.

En t+δt (figura 4.2 b) el sistemacomprende los volúmenes II y III,

mientras que en el tiempo t éste ocupa el volumen II (figura 4.2 a). el incremento enla propiedad N en el sistema en el tiempoδt esta dado por

II tt t II III

sissist d d d N N

t t t

En donde d es el elemento del volumen.Reordenando, después de sumar y restar

t t I d




En la derecha y luego dividiendo por t sellego a

t

d d d

t

N N II tt t II III sissist t t t

(4.2.1)

+t

d

t

d t t I tt t III

La tasa temporal promedio de incrementode N dentro del sistema durante el tiempo

δt, es el término que aparece en laizquierda. En el límite, a medida que δt seaproxima a cero, éste se convierte endN/dt . Si se toma el límite a medida que δt se aproxima a cero en el primer terminodel lado derecho de la ecuación, lasprimeras dos integrales son la cantidad de N dentro del volumen de control en t + δt y la tercera integral es la cantidad de N enel volumen de control en el tiempo t . ellímite es

d t

vc

Donde se ha utilizado derivadas parcialesdebido a que el tamaño del volumen decontrol se mantiene constante a medidaque δt 0.La tasa temporal del flujo de N hacia fueradel volumen de control, en el límite y puede escribirse como

AAv

d vcosd

t

d

salidade flujodeareat t III

t

....

0lim

(4.2.2)

En la cual d A, (figura 4.2c) es el vector querepresenta un elemento de área del área desalida del flujo. Éste tiene una direcciónperpendicular al elemento de área

superficial del volumen de control, siendopositivo hacia fuera, y α es el ángulo entreel vector velocidad y el vector velocidad y el vector de área elemental.Similarmente, el último termino es la tasade flujo de N hacia adentro del volumen decontrol, es, en el límite, igual a

A

Av

d vcos

d t

d

salidade flujodearea

t t III

t

....0lim

(4.2.3)

El signo negativo es necesario debido aque v*dA (ocos α) es negativo para el flujode entrada, (figura 4.2d). Finalmente losdos últimos términos de la ecuación (4.2.1),dados por las ecuaciones (4.2.2) y (4.2.3),pueden simplificarse en un término único

que es una integral sobre toda la superficiedel volumen de control (sc)

AAv

d vcosd

t

d

t

d

scsc

t t I t t III

t

0lim

En donde no exista flujo de entrada o desalida v*dA=0; por consiguiente la

ecuación puede evaluarse sobre toda lasuperficie de control. Reuniendo y reorganizando los términos de la ecuación(4.2.1) lleva a




AvA

d d t dt

dN scvc

(4.2.4)

En palabras, la ecuación (4.2.4) estableceque la tasa temporal de incremento de Ndentro de un sistema es exactamente iguala la tasa temporal de incremento de lapropiedad N dentro del volumen decontrol (fijo con respecto a xyz) más la tasaneta de flujo de N a través de la fronteradel volumen de control.La ecuación (4.2.4) se usa para convertir dela forma de sistema a la forma de volumen

de control. La forma de sistema, la cual enefecto sigue el movimiento de lospaquetes, se conoce como el métodolagrangiano de análisis; la aproximación de volumen de control se conoce como elmétodo euleriano de análisis, ya queobserva el flujo desde un sistema dereferencia fijo relativo Al volumen decontrol.Dado que el marco de referencia xyz se lepuede dar una velocidad constante

arbitraria sin afectar la dinámica del sistemaa sus alrededores, la ecuación (4.2.4) es válida si este volumen de control, fijo entamaño y forma, tiene una velocidad detranslación uniforme.

4.3 LA CONSERVACIÓN DELA MASA

La forma de sistema de la conservación dela masa

dt

dm= 0

La cual establece que la masa, m, dentrodel sistema permanece constante en eltiempo. En la ecuación (4.2.4) sea N= m,entonces η es la masa por unidad de masade η = 1. Entonces

AvA

d d t

scvc0 (4.3.1)

La ecuación de conservación de la masaestablece que la tasa temporal de cambiode la masa en el volumen de control, másla tasa neta a la cual la masa sale del volumen de control a través de susuperficie es igual a cero.Considérese el tubo cilíndrico de la figura

4.7. El flujo entra al tubo en la sección 1 y sale en la sección 2. No se permite flujo através de la superficie sólida que describe eltubo. La aplicación de la conservación dela masa prosigue así:

1. El volumen de control se define de talmanera que incluya todo el fluido en eltubo dentro de la pared sólida y desdela sección 1 a la 2. Si es posible, todasla secciones de entrada y salida debendefinirse o localizarse en regionesdonde la líneas de corriente (o tubos)sean paralelas a la frontera, de talmanera que las velocidades de entraday salida sean perpendiculares a lasrespectivas áreas.




Figura 4.3 Representación del volumen de un flujo a través de una tubería (a) campo deflujo b representación de cuerpo libre.

2. Si el enunciado del problema lopermite, es útil suponer flujopermanente, en cuyo caso la ecuación(4.3.1) se reduce a

Av d sc0 (4.3.2)

3. La ecuación (4.3.2) se debe aplicar acada superficie de control (sc) donde la

masa del fluido (o en seccionesposteriores, el momentum y la energía)está entrando o saliendo; porconsiguiente

02211 2211 AvAv d d scsc

4. Si los vectores de velocidad a la entraday a la salida son, en cada entrada y salida, perpendiculares a sus respectivasáreas, entonces en las salidas las

integrales de los productos puntos(figura 4.2) se evalúan como ρ2 v 2* d A2 y en las entradas se evalúan comoρ1V1*d A1 = ρ1ν 1*d A1 por consiguiente

21 AA d vd v 2sc1sc 2211 (4.3.3)

Nótese que ρ y ν todavía sonfunciones de A1 y A1 y podrían variardentro de sus

Respectivas áreas. Esto esespecialmente cierto para las velocidades.

5. Si ρ1 y ρ2 no varían en las seccionestransversales de entrada y salida,entonces

21 AA d vd v 2sc1sc 2211

6. Conviene evitar las velocidades que varíen especialmente en los cálculosiniciales. Por consiguiente, se invoca la velocidad promedio espacial parareducir a una representaciónunidimensional. Luego

1A d v AV 1sc111

2A d v AV 2sc222

Y .

m AV AV 222111 (4.3.4)




Aquí m es la tasa de flujo de masa en k/seg o en slugs/ seg. Para el problema de flujopermanente planteado aquí, la ecuación de

continuidad dice que la tasa de flujo demasa es constante. Si el caudal Q(conocido también como la tasa de flujo volumétrico o flujo de descarga) se definecomo

AV Q (4.3.5)

La ecuación de continuidad puede tomar laforma

2211 QQm .

(4.3.6)

Para flujo incompresible permanente

2211 AV AV Q (4.3.7)

Es una forma muy útil de la ecuación.Para flujo con densidad constante,permanente o no permanente, la ecuación(4.3.1) se convierte en

0Avsc d (4.3.8)

La cual establece que el flujo de volumenneto es cero (esto implica que el volumende control está lleno de líquido en todomomento).

4.4 LA ECUACIÓN DE

ENERGÍALa ecuación básica

La primera ley de la termodinámica paraun sistema establece que el calor QH

añadido a un sistema, menos el trabajo W

hecho por el sistema, depende únicamentede los estado inicial y final del sistema. Ladiferencia del estado del sistema, siendoindependiente de la trayectoria desde el

estado inicial al final, debe ser unapropiedad del sistema. Ésta se conocecomo la energía interna E. la primera ley en forma de ecuación es

QH – W = E2 – E1 (4.4.1)

La energía interna por unidad de masa sedenota por e; por consiguiente, aplicandola ecuación (4.2.4), N = E y η = e

scvcd eed

t dt dE Av (4.4.2)

O utilizando la ecuación (4.4.1)

t dt

dE

t

W

t

Q H

scvc

d eed Av (4.4.3)

El trabajo hecho por el sistema sobre susalrededores puede dividirse en dos partes:el trabajo W pr hecho por las fuerzas depresión sobre las fronteras móviles y eltrabajo W s hecho por las fuerzas cortantestales como el torque ejercido sobre un ejeque rota. El trabajo hecho por las fuerzasde presión en el tiempo δt es

Ad t W pr v

(4.4.4)

Utilizando las definiciones de los términosde trabajo, la ecuación (4.4.3) se convierteen




t t

W

t

Q s H

scvc d e

ped Av (4.4.5)

En ausencia de efectos nucleares,eléctricos, magnéticos o de tensiónsuperficial, la energía interna e de unasustancia para es la suma de las energíaspotenciales, cinética e intrínseca. La energíaintrínseca u por unidad de masa estácausada por el espacio molecular y lasfuerzas moleculares (dependientes de p, ρ o

T). Luego, la energía interna se definecomo:

e = gz + V 2 + u ** (4.4.6)

Las dimensiones de e son unidades detrabajo por unidad de masa o (FL/M), quese reduce a dimensiones de (L2/ t2 ). Sedebe notar que la variable de elevación z,en el término de energía potencial requierela definición de un nivel de referencia odatum para cada problema. Como senecesitan elevaciones relativas, el datum notiene que ser absoluto o universal. La velocidad en el término de energía cinéticaes la magnitud de la velocidad total en elpunto en cuestión en el campo de flujo. Al aplicar la ecuación (4.4.5) a un volumende control, se puede considerar la cámarade mezcla definida en la figura 4.4.Utilizando los procedimientos para laaplicación y simplificación del volumen de

control, la ecuación de energía se desarrollacomo sigue.

1. Establecer las fronteras del volumen decontrol, de tal manera que las áreas deentrada y de salida sean regiones deflujo uniforme donde, hasta donde sea

posible, las líneas de corriente seanparalelas a la pared de entrada y los vectores de velocidad seanperpendiculares a sus respectivas áreassuperficiales.

2. Establecer un datum para la medida deelevación.

3. Si el flujo es permanente, entonces laecuación (4.4.5) se convierte en

t

W

t

Q s H

scd e

p Av

(4.4.7)4. Luego se aplica la ecuación (4.4.7) a

cada área de superficie de control.

t

W

t

Q s H

1

11

1

1

scd e

p1 A1v

222

2

2

scd e p

2 A2v

(4.4.8)

5. Con los vectores de velocidadperpendiculares a las áreas, se evalúanlos productos punto, como en el pasonúmero 4 de la sección previa.

t

W

t

Q s H

1

11

1

1

scd e

p1 A1v

222

2

2

sc d e

p 2 A2v




Figura 4.4 Volumen de control con flujo a través de una superficie de control perpendiculara la superficie.

Figura 4.5 Energía potencial.

6. Sustituir la definición de e en la anteriorecuación hasta obtener

t

W

t

Q s H

1

11

2

11

1

1

2scd u

vgz

p1 A1v

222

2

22

2

2

2scd u

vgz

p 2 A2v

La simplificación de los términos de laecuación requerirá algúnprocedimiento matemático cuidadosoo algunas suposiciones, pero tal comose plantea ahora, la ecuación escompletamente válida para la cámara

de mezcla.

4.5 APLICACIÓN DE LAECUACIÓN DE ENERGÍA

1 p1u1z1

2 p2 u2 z2

V1 V2

W

W

z

Datum




PARA SITUCIONES DEFLUJO PERMATENTE DEFLUIDOS

Los siguientes son una serie de ejemplosque utilizan, clarifican o amplían elmaterial.

Embalses y grandes tanques dealmacenamiento

Las condiciones de entrada – salida del volumen de control para las que se dedujola ecuación de energía, automáticamente

incluyeron tanto energía potencial comoenergía cinética en las entradas y salidas.Considérese un embalse muy grande delcual sale agua a través de una pequeñaabertura (con respecto al embalse). Aquíexisten dos superficies de volumen decontrol, una en la salida y la “entrada” quese considera ser toda la superficie delembalse. Si se dibuja un datum a través dela línea central de la salida, entonces lacabeza piezamétrica en la entrada es

constante y el punto uno puedeestablecerse esencialmente en cualquierparte de la superficie del embalse.

Pérdidas y eficiencia

Cuando turbinas y generadores estánintercambiando energía a través del volumen de control, existen varias medidasde comportamiento del sistema. En amboscasos de conversión de energía, en trabajoen el eje, representa la energía por unidadde masa que los alabes o el impulsorsuministran al fluido (bomba) o extraen del

fluido (turbina). Este valor se conocecomo la cabeza de la bomba, o la cabezade la turbina, y tiene unidades de trabajopor unidad de peso.

4.6 ECUACIÓN DELMOMENTUM LINEAL DELVOLUMEN DE CONTROL

Ecuación básica

Para un sistema la base par determinar la

forma del volumen de control de laecuación del momentun lineal es lasegunda ley de Newton. En la ecuación (),sea N el momentun lineal del sistema m v y η el momentum lineal por unidad de masaρ v/ρ = v. Entonces la ecuación () seconvierte en

F=

scvc

Ad d t dt

)md vvv

v(

(4.6.1)

En palabras, la suma vectorial de lasfuerzas externas reales aplicadas queactúan sobre el volumen de control es iguala la tasa temporal de incremento delmomentum lineal dentro del volumen decontrol, más la tasa neta a la cual elmomentum está dejando la superficie decontrol.

Análisis de la ecuación de estado

permanenteEl análisis se realizará utilizando losmismos criterios anteriores. Para esto seconsiderara una sección de tubería la cualse muestra en la figura 4.20 con la entradaen 1 y la salida en 2.




1. primero se definirá el volumen decontrol, con las superficies de controllocalizadas donde el área sea

perpendicular a las líneas de corrientesy el campo de flujo este bien definidocon las líneas de corrientes paralelas ala pared de la sección de flujo.

2. considerando que el flujo espermanente.

3. se establece el sistema de fuerzasequivalentes o resultantes y losparámetros del flujo sobre el sistemade control, el cual consta de las fuerzas

resultantes como de los intercambiosde momentum equivalentes en laentrada y salida.

4. la suma vectorial de las fuerzasexternas reales aplicadas consta de lossiguientes componentesF=W + FP1 + FP2 + FF W

(4.6.2)

Figura 4.6 Fuerza sobre un codo reductor, incluyen la solución vectorial.

Cada uno de los términos se define como:

W es la fuerza de peso. El fluido dentrodel volumen de control tiene un peso

que actúa en la dirección de lagravedad, y la magnitud es igual al volumen del volumen de controlmultiplicado por el peso específico.

FP1 y FP2 son las fuerzas depresión en los extremos. La

presión del fluido en la entrada y enla salida crea una fuerza de presiónen cada cara. La fuerza vectorial totalseria

F p= sc sc

dA p pdA n (4.6.3)

Donde n es la normal unitaria delárea superficial la cual siempre sedirige positivamente hacia fueradel área superficial. La fuerza de




presión puede calcularseutilizando los métodos paraencontrar las fuerzas individuales vertical y horizontal, o el vector

completo FP puede calcularse. Enla mayoría de los casos la presiónpromedio de área es p o la presiónes constante, entonces FP = p A y el vector FP es perpendicular alárea de entrada y se dirige hacia el volumen de control.

F y F W son las fuerzas de presión y elcorte en las paredes, respectivamente. Lasparedes

ejercen tanto esfuerzos cortantescomo normales sobre el fluido. Elesfuerzo cortante en la pared τ0,ejerce una fricción sobre el fluido y actúa en el plano de la superficiedel volumen de control pararetardar el flujo. El esfuerzocortante en la pared es una funcióndel tipo de material de la frontera y rugosidad, de la densidad del fluidoy su velocidad y de la geometría delflujo. En general varía de punto apunto dentro del flujo. Flujos entuberías y ciertos flujos en capaslímites son los únicos dondepueden hacerse cálculos exactos deτ0 y Fl esfuerzo normal, Fw , enla pared de la superficie de controles el responsable primordialmentede mantener la geometría delcampo de flujo. Por ejemplo, elflujo de la figura () se curva a lasalida 2 debido a que el esfuerzo

normal es mayor en la partesuperior, dando como resultadouna deflexión del flujo. Así mismo,si no existiese esfuerzo normal enla “parte inferior” del flujo, éstesimplemente “caería fajo el efectode la gravedad.

La fuerza de esfuerzo normal, juntocon Fes muy difícil de separar;por consiguiente, éstas se unen eneste punto en una fuerza de

reacción resultante, F, la cualactuara en el centro de gravedaddel volumen de control. Típicamente la dirección y laintensidad de F se determinan en lasolución.

5. El intercambio de momentum , M1 y M2, ala entrada y salida, respectivamente,deben ser analizados ahora. Para flujopermanente, la parte derecha de la

ecuación () se escribe en la entrada y en la salida como

M1 + M2 = )dA( 111sc

vv1

+ )dA( 22sc

2vv2

(4.6.4)

Si la velocidad en la superficie decontrol es perpendicular al área, y la velocidad es uniforme a travésdel área respectiva, entonces la

forma más simple de la ecuación(4.6.4) es

M1 + M2

= )1 AV ( 11 V 1+ )2 AV ( 2 2 V 2(4.6.5)

Aquí el signo menos indica que elmomentum está entrando al volumen de control. Debido a quelos términos han sido analizados

únicamente con respecto al sistemalocal de coordenadas de lasuperficie de control, se debemantener el vector velocidad. Cadatermino individual de la ecuación ()se define como el vector deintercambio de momentum




M1 = 1V Q1 (4.6.6)

M2 = 2V Q2

Por consiguiente, en cada área, Mes perpendicular a la superficie y sedirige hacia fuera de la superficie decontrol sin importar si se está a laentrada o la salida.

6. La forma final de la forma de volumende control permanente, a la segunda ley de Newton, es

W + F p1 + F p2 + F = M1 + M2

(4.6.7)

El factor de corrección de momentum

En la ecuación de energía, el producto delos promedios de áreas no es igual alpromedio de los productos. Cuando la velocidad varía en el plano de la seccióntransversal de la superficie de control, sedebe introducir un factor de corrección demomentum antes de que la velocidad

promedio se pueda utilizar.

AV dAv A

22 (4.6.8)

En la cual es adimensional. Resolviendopara se encuentra

dAV

v

A A

21

(4.6.9)

La cual es análoga a α, el factor decorrección de energía cinética, ecuación(4.4.14). Para flujo laminar en tuboredondo recto se demostrará que esigual a 4/3 en la sección 6.3. Éste es igual a

1 para flujo uniforme y nunca puede tomarun valor menor que 1. La ecuación (4.6.7)se transforma ahora en

W + F p1 + F p2 + F = 1 M1 + 2 M2

(4.6.10)

Superficie de control múltiple

Con solamente una entrada y una salida, elflujo a través del sistema es constante y V 1 A 1 = Q1 = V 2 A 2 = Q2 = Q. La ecuación(4.6.10) con = 1, puede escribirse como

W + FP1 + FP2 + FQ(V 2 – V 1)(4.6.11)

Si existe una entrada adicional, por ejemploen la sección 3, como se muestra en lafigura (4.9), requiere una fuerza de presiónen el extremo adicional F p3 (que apuntahacia el volumen de control y esperpendicular a la superficie de control 3)y un vector de intercambio de momentum

adicional. La ecuación vectorial finalentonces se convierte en

W + FP1 + FP2 + FP3 +F

OW + FP1 + FP2 + FP3 + F = Q2 V 2 – (Q1 V 1 + Q3 V 3)(4.6.13)

Una extensión similar ocurre para unasalida adicional en la sección 4

W + FP1 + FP2 + FP3 + FP4 +F4.6.14




o

W + FP1 + FP2 + FP3 + FP4 + F (Q1 V 1 + Q4 V 4 ) – (Q1 V 1 +

Q3 V 3 ) (4.6.15)

4.7 Aplicación de laecuación de momentumlineal

En este capítulo se mostraran algunos

ejemplos que ilustran algunos aspectos deluso de la ecuación de momentum lineal.

Una solución básica

Es cuando la ecuación (4.6.7) se escribe detal forma que todos los términos quedanen un extremo de la ecuación entonces nosqueda

W + FP1 + FP2 + F

Esto tiene un efecto de invertir lasdirecciones de la flecha de los vectores de

intercambio de momentum, de tal maneraque ambos apunten hacia el centro del volumen de control, al igual que lo hacenlos vectores de fuerza de presión.

Ejemplos 4.7.1

Suponga que en las figuras 4.20 y 4.21 seaplican las siguientes condiciones detubería. Los radios de entrada y salida delflujo son 25 y 15 cm, respectivamente; losángulos de entrada y salida del flujo conrespecto a la horizontal ( 1 y 2 ), son 45° y 30°, respectivamente; Q es 50 L/s; las

presiones promediadas en las áreas deentrada y salida son 8.5 kPa y 5.83kPa; y elpeso total del fluido dentro de la tubería es2.0 N. Encontrar las fuerzas horizontal y vertical requeridas para mantener quieta latubería (es decir, el vector fuerza Fresultante).

Solución

Los vectores de intercambio demomentum y de fuerza se dibujan en lafigura 4.21. Las direcciones de los vectores( FP y siempre son conocidas como enla deducción original.

Figura 4.7 Definiciones vectoriales de fuerzas y momentum para el volumen




La dirección de los vectores de reacción Fx

y F y no son conocidas, por consiguiente, sesupondrá y se procederá con el cálculo. Sila suposición es incorrecta, los valores de

Fx y F y serán negativos sugiriendo que lasdirecciones originales tienen que serinvertidas. Las magnitudes de Fx y F y

permanecen iguales en cualquier caso.Los valores de la magnitud de FP1 y FP2 secalculan como

FP1 = p1 A 1 = (8500)π(.25) = 1669.0 N

FP2 = p2 A 2 = (5830)π(.15) = 412.1 N

La magnitud de los valores de M se calculacomo sigue

V 1 = Q/A 1 = 0.255 m/sM1 = ρQV 1 = ρA 1 V 1 V 1 =(1000)(0.196)(0.255)2 = 12.75 N

V 2 = Q/A 2 = 0.707 m/sM2 = ρQV 2 = ρA 2 V 2 V 2 =

(1000)(0.071)(0.707)2 = 13.48 N

Las componentes de F se calculan como

-Fx – FP2 cos 30 + FP1 cos 45 = - M1 cos 45

+ M2 cos 30- W + F y – FP2 sen 30 + FP1 sen 45 = - M1

sen 45 + M2 sen 30

Sustituyendo los valores encontradosanteriormente y resolviendo para F w y F y

lleva a

Fx – 412.1 (0.866) + 1669.0 (0.707) =12.75 (0.707) + 35.48 (0.866)-2.0 + F y – 412.1 (0.500) + 1669.0 (0.707)

= 12.75 (0.707) + 35.48 (0.500)OFx = -801.4 NF y = -963.2 N

Los signos negativos indican que lasdirecciones supuestas para Fx y F y sonincorrectas. Las fuerzas reales actúan haciala derecha y hacia abajo con magnitudes de801.4 y 963.2 N, respectivamente.

Figura 4.8 Fuerza sobre un codo reductor, que incluyen la solución vectorial.

Ejemplo 4.7.2




El codo reductor de la figura () seencuentra en un plano vertical. En él fluyeagua con D1= 6 pies, D2 = 4 pies, Q = 300

pcs, W = 18,000 lb,z = 10 pies, = 120°, p1 = 40 psi, x = 6 pies, y las pérdidas através del codo son 0.5 V 2

2/2g pies*lb/lb.Determinar Fx y Fy y la línea de acción dela fuerza resultante. 1 = 2 = 1.SoluciónLa superficie interior del codo reductordefine la superficie del volumen de controlpara la porción de la superficie que notiene flujo a través de ella. Las seccionesperpendiculares 1 y 2 completan la

superficie de control.

V 1 = pies/s611046

3002

1

. / )(

A

Q

V 2 = pies/s872344

3002

2

. / )(

A

Q

Aplicando la ecuación de conservación deenergía, ecuación (4.4.21) con Hs = 0,

212

2

221

2

11

22

pérdidas z

g

V p z

g

V p

4.64

87.235.010

4.64

87.23

4.62

04.64

61.10

4.62

)144(40

22

2

2

p

En donde p2 = 4420 lb/pie2 = 30.7 psi.Una forma para determinar F x. la ecuación(4.6.7) arroja

p1 A1 – p2 A2 cos – Fx = 12 V V Q cos

40(144)( 62 )/4 - 4420( 42 )/4 cos 120° - F x=1.935(300) (23.87 cos120° - 10.61)

Debido a que cos 120° = -0.5, entonces162,900 + 27,750 - F x = 580.5 (-11.94 – 10.61)F x = 230,740 lb

Para la dirección y

12 y y y V V QF

F y – W –P 2 A2 sen θ =ρQV 2 senθF y =18,000 - 4420( 42 )/4 sen 120°= 1.935(300) (23.87) sen 120°F y = 78,100 lb

Para encontrar la línea de acción de lafuerza resultante, utilizando los vectores deflujo de momentum, (figura), ρQV 1 =6160 lb, ρQV 2 = 13,860 lb, p1 A1 = 162,900lb y p2 A2 = 55,560 lb. Combinando estos vectores y el peso W , en la figura , secalcula la fuerza final la cual debe estaropuesta por F x y F y .

Tal como se mostró en el ejemplo anterior,un cambio de dirección de una tuberíacausa fuerzas que se ejercen sobre la línea,a menos que la curva o el codo seencuentren anclada en un sitio. Estasfuerzas se deben tanto a la presión estáticaen la línea como a las reacciones dinámicasen la corriente curvada del fluido. Entuberías grandes se colocan juntas deexpansión para evitar esfuerzos en la

tubería, en una dirección axial, ya seacausado por el fluido o por cambios en latemperatura. Estas juntas de expansiónpermiten un movimiento relativamentelibre de la tubería en la dirección axial, y por consiguiente las fuerzas estáticas y




dinámicas deben ser soportadas en lacurva.

Ejemplo 4.7.3

Un chorro de agua de 80mm de diámetrocon una velocidad de 40 m/s se descargaen una dirección horizontal desde unaboquilla montada en un bote. ¿Cuál es lafuerza requerida para mantener quieto elbote?

SoluciónCuando se selecciona el volumen de

control mostrado en la figura, el flujo neto

de momentum hacia fuera es (ecuación4.6.6)

ρQV sal = (1000 kg/m3 )π/4*(0.08 m)2(40

m/s)2

= 8.04 kN

La fuerza ejercida contra el bote es 8.04kN en la dirección x.

Ejemplo 4.7.4

Encontrar la fuerza ejercida por la boquillade la tubería mostrada en la figura . Notener en cuenta las perdidas. El fluido es

aceite, con una densidad relativa de 0.85 y p1 = 100 psi.

Figura 4.9 Boquilla ensamblada en un bote

SoluciónPara determinar el caudal, se escribe laecuación de energía para la corriente desdela sección 1 hasta el extremo de aguasdebajo de la boquilla, donde la presión es

cero.

02

/ 4.6285.0

/ 144 / 1000

2

2

22

3

22

11

g

V z

pielb

pielg pulg pulb

g

V z

22

Debido a que z1 = z2 y V 2 = (D 1/D 2 )2V 1 ,

después de sustituir,




0

462850

1441000811

2 3

22

1 pielb

pielg pulg pulb

g

V 22

/ . .

/ /

Y V 1 = 14.78 pies/sV 2 = 133 pies/s

s piesQ / . . 3

2

72504

1

47814

Sea F x (figura) la fuerza ejercida sobre el volumen de control líquido por la boquilla;entonces, con la ecuación (4.6.7),

(100 lb/pulg 2

)π/4*(3 pulg)2

- F x =(1.935slug/pie3 )(0.85)(0.725 pies3/s)(133 pies/s – 14.78 pies/s)

O F x = 565 lb. El aceite ejerce una fuerzasobre la boquilla de 565 lb hacia laderecha; y una fuerza de tensión de 565 lbes ejercida por la boquilla sobre la tubería.




CAPITULO V

FORMADIFERENCIAL DEL

COMPORTAMIENTODE LOS FLUIDOS

5.1 CINEMÁTICA,

MOVIMIENTO YDEFORMACIÓN

El uso del enfoque euleriano en el análisisde fluidos requiere una descripción máscuidadosa del movimiento de un paquetede fluidos y la distribución de paquetesresultante del movimiento. En esta secciónse presentan métodos para describir la velocidad y la aceleración de paquetes defluido. Los métodos se extienden aderivadas temporales generales y sonutilizados para describir cuantitativamentelos cuatro tipos de movimientos a los quese puede ver sujeto el paquete de fluido.

Aceleración de un punto

Considérese, en la figura 5.1, un paquete defluido moviéndose desde el punto 1 alpunto 2 durante el tiempo dt . El vectorposición R se define como en la ecuación

(5.1.1)

k jiR z(t) y(t) x(t) (5.1.1)

La tasa temporal de cambio de R seencuentra con la diferenciación total de laecuación (5.1.1)

k jiR

dt

dt

dt

dz

dt

dt

dt

dy

dt

dt

dt

dx

dt

d (5.1.2)

El vector velocidad total v en un punto sedefine notando que dt/dt = 1 y que, porejemplo, laComponente de velocidad del paquete defluido en la dirección x es dx/dt = u; entonces

k jiR

wudt

d t) z, y,(x, v (5.1.3)

Se debe notar que el vector velocidad esuna función de la posición del tiempo.El vector aceleración se encuentramediante el siguiente procedimiento

k jiv

dt

dw

dt

d

dt

du

dt

t) z, y,(x,d t) z, y,(x,

a

Mirando la componente x , la regla dediferenciación en cadena da

t) z, y,(x,dt

du X a

dt

dz

z

u

dt

dy

dy

du

dt

dx

x

u

dt

dt

t

u




Figura 5.1 Definiciones de coordenadas y de velocidad

La cual puede ser escrito como

dt

du X a

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

(5.1.4.a)

se pueden encontrar expresiones similarespara a y y a z ,

dt

d y

a

zw

yv

xu

t

(5.1.5b)

dt

wd z a

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

(5.1.5c)

Utilizando las operaciones diferenciales vectoriales resumidas en el apéndice E, lasecuaciones (5.1.5 a-c) pueden escribirse enforma vectorial como

t

v a

)vv

vvvv

(t zw yv xu (5.1.5)

Aquí v * es un operador vectorial de laforma

zw

yv

xu

) )()

( ((

)()v

Ejemplo 5.1Para un vector de posición dada por

k

jiR

)t x

(-3zt

3yt) zt t (-2.5y zt) xyt

2

222

2

(5

Encontrar las funciones de velocidad y aceleración.

Solución Utilizando la ecuación (5.1.2)

k

j

i

R

v

)t x

(-3zt dt

d

3yt) zt t (-2.5ydt

d

zt) xyt dt

d

dt

d

2

22

2

2

(5(

o

k

jiv

) xt (-3z

3y) zt (-5y z) xyt 2

(10

Utilizando la ecuación (5.1.5) se encuentrael vector aceleración




z) xt (-3z y3y) zt (-5y

x z) xyt

t

2

vv

vva (10

Examinando individualmente las derivadasparciales

k jiv

x y xyt

2510

k jiv

t yt x

010

k j(-iv

0)30110

yt xt

y

k jiv

311 z

y recogiendo todos los términos se obtiene

ia

xt)3z xyt

xyt yz zt xt xy 22

30

10101050

k

j

)9310(

9301020502

z x xt zt t xy

y xt yzt yt y30t y

2

223

La inspección de las ecuaciones (5.1.4) y

(5.1.5) revela que la aceleración estácompuesta por dos clases generales detérminos, la aceleración temporal , es decir lasgradientes temporales del vector velocidady la aceleración inercial que incluye lostérminos de los productos de la velocidad y los gradientes espaciales del flujo. El que

los términos incluyen los gradientesespaciales sean llamados aceleraciones esuno de los resultados de la aproximacióneuleriana y es contra intuitivo en la

descripción lagrangiana que únicamenteincluyen gradientes temporales. Un cortoejemplo cualitativo sirve para explicar ladiferencia entre los dos.

Ejemplo 5.2

Considérese el pistón bombeando fluido através de la boquilla de la figura 5.2ª y lasdos configuraciones simples de las figuras5.2b y c . En la figura 5.2b el diámetro es

constante y el cambio en la velocidad en elpunto P se debe únicamente almovimiento oscilatorio o de bombeo delpistón. El trazo temporal de V p indica estaaceleración temporal. La figura 5.2c es unejemplo de flujo permanente a través deuna boquilla, donde la ecuación decontinuidad aplicada entre los puntos 1 y 2que rodean el punto P,V 2>V 1, es decir aocurrido un cambio de velocidadcorrespondiente a una aceleración inercialde V p(V 2 –V 1)/x que en el límite,cuando x tiende a 0, se convierte u u /x.Esta aceleración es un resultado puro delencogimiento del campo de fluidointroducido por el cambio

La derivada total

La tasa temporal total de cambio decualquier variable en el sistema euleriano seencuentra en forma análoga a las

ecuaciones (5.1.2) o (5.1.4). Cualquier variable, ya sea un escalar o un vector, porejemplo a , cuyos valores son función de laposición y del tiempo, se deriva comosigue




dt

dz

zdt

dy

dy

d

dt

dx

xdt

dt

t

t z y xdt

d

),,,(

o

)( v z

wdy

d

xu

t dt

d

(5.1.6)

La operación general se conoce como laderivada total o sustancial .Para diferenciar los distintos tipos de

derivadas temporales que un ingenieroencuentra a continuación se cita ladescripción en Bird, Stewart y Lightfoot( transport phenomena, John Wiley Co., 1968): A un ingeniero se le pide contar y representar gráficamente la tasa temporalde cambio de pájaros b , lo cual se puedehacer de tres formas:

El ingeniero se sienta en un sitio fijo y mide la tasa de cambio de b en un punto de

observación fijo en el cielo; esta derivadaes

t

b

dt

db

Figura 5.2 ( a ) Aceleración total, (b)temporal y (c) inercial

Un piloto lleva al ingeniero a bordo de un

avión que viaja con el vector velocidad fijo v p = u p i + , j + w p k. El ingeniero midela tasa de cambio de pájaros tal como laobserva por la ventana del avión ; entonces,la tasa temporal de cambio de b es

t

bw

t

b

t

bu

t

b

dt

db p p p

Finalmente, el ingeniero mide la tasatemporal de cambio de las aves desde un

globo que flota a la velocidad local del viento o del fluido, v = u i + j + w k ;entonces la derivada se expresa




t

bw

t

b

t

bu

t

b

dt

db

la cual es la forma utilizada en el enfoquede análisis euleriano adoptado aquí.

Movimiento y deformación

A medida que un paquete de fluido semueve de un instante a otro, existen cuatroposibles tipos de movimientos y/odeformación de la forma del paquete.Estos incluyen la translación y la rotación

simples, al igual que la dilatación del volumen y la deformación angular. Los dos primerosson ejemplos de movimiento lineal endonde la forma original del paquete nocambia aunque cambie su posición y orientación. Las dos segundas representanun cambio en la forma original. Aquí sehará una pequeña introducción geométricaa estos procesos, relacionando los cambiosde velocidad con el movimiento y ladeformación resultantes. Se debe notar que

todas las formas de estos movimientospueden ocurrir simultáneamente, pero paracomprender cada una de ellas seconsiderarán en forma separada y en dosdimensiones. Se supondrá que lageneralización en tres dimensiones se haráluego.La translación (figura 5.3a ) simplementesignifica tomar el paquete y moverlo unadistancia durante el periodo de tiempocorto dt . no se permite ni rotación delpaquete ni ninguna deformación. La

deformación será medida por el grado aque el ángulo entre cualquier par de líneas,que originalmente eran ortogonales entresí, se deforme durante el tiempo dt . Para elcaso de la traslación el ángulo de 90º entrecualquier par de líneas ortogonales quedefinen cualquier plano en el paquete debe

permanecer constante. La translación pura,sin ninguna deformación o rotación, puedeocurrir solamente en un campo de velocidad muy especial; es decir, el flujo

debe ser uniforme especialmente y nopuede contener gradientes espaciales.La dilatación (figura 5.3b ) se refiere al

estiramiento o encogimiento del paqueteinducido por un gradiente espacial en elcampo de velocidad. No se permitedeformación; en lugar de esto, únicamentese permite una extensión o comprensiónlineal de los ejes ortogonales que definen elplano. El campo de velocidad queacompaña este cambio, nuevamente es

restringido. Por ejemplo, en la figura 5.3b ,el cambio de forma en la configuración delíneas punteadas conserva el ángulo de 90ºentre todos los ejes ortogonales, pero elcambio de velocidad se restringe a cambiosúnicamente en l dirección de los ejes. Porconsiguiente, para la figura en la direcciónx , únicamente puede variar y no u . si elcambio de forma da como resultado uncambio de volumen es una cuestiónextremadamente importante. De la figura,el volumen originales dx dy. En la formareordenada, los cambios incrementales enlongitud durante el periodo de tiempo dt seencuentran mediante una expansión deseries de Taylor (correcta hasta el primerorden) tal como se muestra en la figura5.3; por consiguiente, el volumen en untiempo dt posterior es

dydt ydydxdt x

udxdt t

Después de multiplicar los términos, y dejando de lado los términos de segundoorden y órdenes superiores, la tasa




temporal de cambio relativo del volumenR se puede encontrar entérminos del campo de velocidad como

y x

u

dt

d d R

t

t dt t

En las tres dimensiones,

v

z

w

y x

u

dt

d R

(5.1.7)

Por consiguiente, la dilatación de volumenpuede relacionarse directamente con laestructura espacial de los gradientes de velocidad y esta relación tomará unsignificado físico importantísimo conrespecto a la ecuación de continuidad de lasección 5.3.

Figura 5.3 (a) Translación y (b) dilatación de fluido y su relación con los gradientes delcampo de velocidad. (Continua en la página siguiente)




La rotación se define como la velocidadangular promedio de dos elementos queoriginalmente se encontraban haciendo

ángulos rectos entre sí. Tal como se puede ver en la figura 5.3c , debe haber gradientesen el campo de velocidad o esfuerzoscortantes, para sostener la rotación sobre elperiodo dt . Teniendo en cuenta el elementodx , y para ángulospequeños,

tan dθ 1+ ~ dθ 1 ~ dxdxdt x

Por consiguiente,

θ’ = xdt

d

Para el elemento vertical dy

tan dθ 2 ~ dθ 2 ~ -

dydt y

por consiguiente,

θ’ = ydt

d

2

El promedio de estos dos es la velocidadangular del paquete alrededor del eje z

212

1

2

1''

y

u

x

v z

(5.1.8.a)

La rotación alrededor de los otros dos ejesse define como

x

w

z

u y

2

1(5.1.8.b)

z y

w x

2

1(5.1.8.c)

La velocidad angular es una cantidad vectorial

k ji z y x




Figura 5.3 c) rotación y d) deformación de un paquete de fluido y su relación con losgradientes del campo de velocidad.

La velocidad se define como dos veces la velocidad angular; por consiguiente,

k

ji

y

u

x

x

w

z

u

z y

w

2

(5.1.9)

Se deja al lector demostrar que

v (5.1.10)

El flujo irrotacional ocurre cuando losgradientes cruzados de la velocidad (oesfuerzo cortante) son cero o (en el casopoco probable) se cancelan entre sí. Lafigura 5.4 contiene el esquema de unpaquete de fluidos viajando a lo largo deuna línea de corriente de un vertederogradual. Los paquetes de la figura 5.4a seestán moviendo en un flujo irrotacional y no existen rotación de ningún par de ejesortogonales incluidos en el paquete. Lafigura 5.4.b muestra la analogía rotacional.La deformación angular o tasa de deformación sedefine como el promedio de la diferenciaen las velocidades angulares de doselementos originales perpendiculares.Nuevamente gradientes de velocidad o




esfuerzos cortantes, deben estar presentes.De la figura 5.3d la deformación previa semantiene, y para el campo de velocidadindicado en el esquema,

tan dθ 2 ~ dθ 2 ~ dt y

udydydt

y

u

/

θ’2 = y

u

dt

d

2

El signo menos ocurre como un resultadode la rotación en el sentido de las agujasdel reloj es negativo. Una deducciónsimilar para’ 1 arroja

θ’1 = xdt

d

1

Figura 5.4 a) flujo irrotacional y b) rotacional

por consiguiente,




)''( 212

1 z =

y

u

x2

1

(5.1.11.a)

En las otras dos dimensiones

x

y

w

z2

1(5.1.11.b)

Y

x

w

z

u

2

1(5.1.11c)

Ejemplo 5.3

En un plano vertical bidimensional sepueden describir muchas ondas de aguacreadas por el viento mediante un campode velocidad linealizado de la forma

(z)cos A

T

t

L

x2 A(z)cosu

2

(z)sen B

T

t

L

x2 B(z)senw

2

Donde L es la longitud de onda, T es elperiodo de onda, y de la física elemental larelación L/T es la velocidad de fase deonda C . A(z) y B(z) son las funciones deamplitud que dependen de la profundidad,z, medida desde el nivel de agua en reposoo la superficie de aguapromedio. Éstos se definen como

d/L)d)/L(z2

LgT

2h A(z)

cosh(2cosh

d/L)

d)/L(z2

L

gT

2

h B(z)

cosh(2

senh

El problema es encontrar la verticidad y la taza de deformación de la superficie deagua ( z = 0) y a una profundidad z = 5 m,

cuando la velocidad horizontales máximasuponer una altura de onda H = 2 m, unalongitud de onda L = 50m, un periodo T = 6s.

SoluciónUtilizando la ecuación (5.1.8b ) se encuentrala velocidad angular en el plano xy ,mientrasque la ecuación (5.1.9) establece que la verticidad es igual a 2 es decir,

x

w

z

u y

De la ecuación anterior para las velocidades de onda

B(z)sen x

(z)cos A z

y

O

sen

x B(z) z A

zcos y )(

Después de llevar a cabo transformacionesalgebraicas, la expresión final para la velocidad angular es

T

t

L

x2

cos

d/L)

d)/L(z2gTH

L y

2

cosh(2

senh2




T

t

L

x2cos

d/L)

d)/L(z2gTH

L

2

cosh(2

senh2

O y = 0. En otras palabras, no existerotación de los paquetes de fluido en elcampo deflujo. De hecho la suposición de flujo

irrotacional es fundamentalen la deducción del

campo de ondas lineales del campo

capítulo 9.

La tasa de deformación y es considerable

Y

x

w

z

u

2

1

x

T

t

L

x2

cos

d/L)

d)/L(z2

L

gTH

2

cosh(2

senh22

Si esta ecuación se evalúa para la condicióncuando la velocidad horizontal es máxima,entonces cos =1 y para z = 0

Y 1201362

612950

s .

.

. .

Y 108401362

6702950

s .

.

. .

Para z = -5 m

5.2 ECUACIÓN GENERALDE TRANSPORTE DEREYNOLDS

Con el fin de derivar las ecuacionesdiferenciales generales válidas en un punto,existen dos posibilidades. La primera es laexpansión simple de las variablesrelevantes, utilizando una expansión deseries de Taylor alrededor de un elementode volumen, seguida por un análisis límitea medida que el volumen se contrae a unpunto. Un segundo enfoque, que lleva a losmismos resultados, deduce una

representación sistemática de la ecuaciónde volumen de control de Reynolds[ecuación (4.2.4)], valida para cualquierpropiedad de conservación.

La ecuación de volumen de control deReynolds es

vc sc

d d t dt

dN Av

Donde es la masa del constituyente porunidad de masa de la mezcla. Es deseableque la integradle superficie sea una integralde volumen y para hacer esto se emplea elteorema de la divergencia de Gauss. Siexiste un vector B y sus derivadosespaciales, es decir, no se permite ningunadiscontinuidad en ellos, el teorema de ladivergencia establece que

dAnd vc sc

' BB

En el teorema n’es el vector unitarionormal. La prueba de este teorema sepuede encontrar en muchos textos, porejemplo E. Kreyszig, Advance Engineering




Mathematics, 7a. ed.,oI. H. Shames,Mechanics of Fluids. En una forma no vectorial esta ecuación establece que

dAosc Bosc Bosc Bd z

B

y

B

x

B

vc sc

z z y y x x z y x

Donde x, z son los ángulos entre lanormal unitaria, ^n y los ejes positivos x,y y z , respectivamente.

Utilizando este teorema en la formulaciónde volumen de control se obtiene

d t dt

dN

vc

v (5.2.1)

N se define como la integral de volumende la cantidad intensiva (por unidad de volumen) n, es decir,

nd N vc

Entonces la ecuación (5.2.1) puedereescribirse

d t

nd dt

d

vcvc

v

Permitiendo que el paquete se encoja a untamaño infinitesimal (pero no a un tamañomolecular), prevalece el teorema de valormedio y el volumen de partícula f d secancela dejando

v

t dt

dn(5.2.2)

La ecuación (5.2.2) es el teorema detransporte diferencial de Reynolds.

5.3 LA ECUACIÓN DECONTINUIDAD

La conservación de la masa o ecuación decontinuidad es de importancia fundamentalya que debe mantenerse en cualquiercampo de flujo sin importar que tipo desuposiciones simplificadoras se hayanhecho. La tasa temporal de cambio total de

masa por unidad de volumen debe ser iguala cero; por consiguiente, dn/dt = 0, y , lamasa por unidad de masa, es igual a 1. Laecuación (4.2.2) se convierte en

0

vt

(5.3.1)

O

0

z

w

y x

u

t (5.3.2)

Esta ecuación se mantiene para todos loscampos de flujo.Utilizando la regla de cadena, los términosde diferenciación pueden reagruparse paradar

0

zw

y xu

zw

yv

xu

t

(5.3.3.a)




Y de la ecuación (5.1.5) se puede ver queesta se puede escribir en forma vectorialcomo o

0

vvt

(5.3.3.b)

O

01

v

Dt

D(5.3.3.c)

Donde D/Dt representa la derivadasustancial o total.Para un flujo incomprensible, r esconstante; por consiguiente,

01

Dt

D

Lo cual da

0

z

w

y x

uv (5.3.4)

Como la ecuación de continuidad paraflujo incomprensible.Una vista física a la restricción que laecuación (5.1.7), donde se ha demostradoque la dilatación de volumen o la tasatemporal de cambio relativo de volumenestaba relacionada con

vdt

d r

Contrastando la ecuación (5.1.7) con laecuación de continuidad para un fluidoincompresible en la ecuación (5.3.4), sepuede ver que la tasa temporal de cambiorelativo del volumen para un fluido

incomprensible siempre debe ser igual acero. Un vector velocidad no es apropiadosi no satisface la ecuación (5.3.4) para unfluido incomprensible o las ecuaciones

(5.3.3a-c ) para un fluido compresible.

Ejemplo 5.3.1¿El campo de velocidad del ejemplo deaceleración (ejemplo 5.1) satisface laecuación de continuidad?

SoluciónEn el ejemplo 5.1 el vector velocidad era

k

jiv

) xt (-3z

3y) zt (-5y z) xyt 2

(10

Para aplicar la continuidad, . v = 0,luego

yt z xy x x

u1010

3-10yt 3y) zt (-5y y y

2

-3) xt (-3z z z

w

Sumando

0331010 yt yt

Satisface la continuidad.Para práctica adicional, el lector deberá verificar que la ecuación bidimensional de

continuidad

o z

w

x

u




Se satisfaga en el campo de velocidad deonda lineal dado en el ejemplo 5.3.

5.4 LA ECUACIÓN DEMOMENTUM

La ecuación vectorial básica

El balance fuerza-momento da comoresultado una ecuación diferencial vectorialque consta de tres ecuaciones diferencialesparciales no lineales. Estas son lasecuaciones más difíciles de resolver enmecánicas de fluidos. Con referencia a laecuación (5.2.2) ahora es el momentumpor unidad de masa o m v/m = v, mientrasque dn/dt es igual al vector de fuerza porunidad de volumen f. entonces, de laecuación (5.2.2)

vvvf

t

(5.4.1)

El producto vv se conoce como el

producto diádico, el cual puede serrápidamente simplificado utilizando laregla de cadena de diferenciación y laexpansión de la ecuación (5.2.1) para dar

vvv

vvf t t

(5.4.2)

El primer término entre paréntesis es laecuación de continuidad la cual según laecuación (5.3.1) es igual a cero. El segundotérmino entre paréntesis es el vectoraceleración a de la ecuación (5.1.5); porconsiguiente, se reconoce que la ecuación(5.4.2) es la forma auleriana de la segunda

ley de Newton, expresada en una base “porunidad de volumen”. La formacomponente de la ecuación vectorial es

zuw

yu

xuu

t u f x (5.5.3.a)

z

w y x

ut

f y (5.3.3.b)

z

ww

y

w

x

wu

t

w f z

(5.3.3.c)

Las ecuaciones (5.3.1), (5.3.2) y (5.4.3a-c )deberían confirmar un conjunto completode ecuaciones que se pueden resolver. Sinembargo, aún si se supone que esconocido, todavía existen cuatroecuaciones incógnitas ( u,w, fx, fy y f z ).Por consiguiente, f debe especificarse entérminos de u ,v y w o de aspectos de lageometría de flujo (el cual es conocido).

La descripción de la fuerza

El vector fuerza se divide en una fuerzasuperficial y una fuerza de cuerpo porunidad de volumen

f =f s + f g




Figura 5.5 Un volumen elemental deun fluido

Donde el vector fuerza de cuerpo es sóloel resultado de la gravedad, y la fuerza desuperficie se produce por el contactodirecto de partículas de fluido. Se configuraun volumen elemental (…4,5) en unsistema coordenado x,y,z tal que esté

rotado, localmente, respecto a un sistemacoordenada donde la coordenada vertical h ,se alinea con la gravedad. La componentedel peso por unidad… volumen delpaquete ( g ) en cada dirección coordenadaestá dada por

f g = k ji z y x coscocosg

Aquí se ha dividido para colocar laexpresión en una base por unidad de volumen tal como lo requiere la ecuación(5.4.3). Los ángulos ( a x , ay, az ) son losángulos entre la coordenada vertical y elsistema de coordenadas locales. En

notación vectorial una forma equivalentees

f g = hg (5.4.4)

Una forma popular equivalente de expresarla fuerza de gravedad en coordenadaslocales es la de crear un nuevo campo deaceleración debido a la gravedad, quecoincida con las coordenadas locales

k ji z y x ggg gf

Donde por ejemplo,

Finalmente se nota que cuando lossistemas de coordenadas local y globalcoinciden,

x = 90° y = 90° z = 0°

Entonces

cosx = 0 cosy = 0 cosz= 1

Y

f g = kg (5.4.5)

El vector esfuerzo por unidad de volumense encuentra mediante una expansión enseries de Taylor. Utilizando la definición deesfuerzo del capítulo2, se configura unadistribución de esfuerzo en elparalelepípedo mostrado en la figura 5.6.En este caso únicamente se utiliza comoejemplo la componente x de la fuerza por

unidad de volumen. Se utiliza unaexpansión en series de Taylor para permitir valores diferencialmente distintos entre losplanos de las figura.




Figura 5.6 Componentes de esfuerzo en la dirección x

dxdydxdzdydz

dxdydz z

dxdzdy y

dydzdx x

F

zx yx xx

zx zx

yx

yx xx

xx

x

Expandiendo los términos, eliminando lostérminos de orden superior y dividiendopor el volumen dy dz , se obtiene

z y x f zx yx xx

sx

(5.4.6.a)

Expresiones similares para lascomponentes y y z dan como resultado

z y x f

zy yy xy

sy

(5.4.6.b)

z y x f zz yz xz

SZ

(5.4.6.c)

Es costumbre separar la expresión deltérmino de esfuerzo cortanteperpendicular. Esto se lleva a cabosustrayendo el término de esfuerzo

volumétrico de cada uno de los trestérminos de esfuerzos normales y empleando la relación entre el esfuerzo volumétrico y la presión, es decir, p = -;por consiguiente, por ejemplo, yy +yy – p = yy y las ecuaciones (5.4.6a-c )se rescriben como

z y x x

p f zx yx xx

sx

(5.4.7.a)

z y x y

p f

zy yy xy

sy

(5.4.7.b)

z y x x

p f zz yz xz

SZ

(5.4.7.c)

Estos términos se pueden combinar conlas ecuaciones (5.4.3) y (5.4.4) y rescribirseen forma vectorial como




*

phgt

vvv

(5.4.8)

La notación * representa el tensoresfuerzo en las ecuaciones (5.4.7). Sinembargo, se nota que el análisis hechohasta ahora sólo empeora el problema en elsentido en que existen 13 incógnitas w,p y el campo de esfuerzos) mientras que setienen únicamente cuatro ecuaciones.

Las ecuaciones de Navier-StokesFinalmente Navier (Louis Marie Henri,1785-1836) y Stokes (George Gabriel,1819-1903) terminaron la deducciónrelacionando el campo de esfuerzos con ladeformación del campo resultante delcampo de velocidad variable en el espacioy tiempo. Aquí se invoca la ley de viscosidad de Stokes, una generalizaciónde la ley de viscosidad de Newton (ver I.H.Shames, Mechanics of fluids, para unadiscusión teórica). Si se supone que elfluido es incompresible, entonces sepueden mantener las siguientes relaciones

x

u xx

2 (5.4.9)

y yy

2

z

w zz

2

y

x y

u z yx xy 2 (5.4.10)

z

u

x

w y zx xz 2

y

w

z x zy yz 2

Por consiguiente, el núcleo de la relaciónde esfuerzo cortante es la dependencialineal del esfuerzo cortante con respecto ala tasa de deformación [ecuaciones(4.1.11a-c )] en donde el coeficiente…proporcionalidad es el coeficiente de viscosidad de Newton.

Ensamblando las ecuaciones (5.4.9) y (5.4.10) en la ecuación (5.4.8) se obtienenlas ecuaciones de Navier-Stokes

v

vvvv

2

phg

t Dt

D

(5.4.11)

O en forma de componentes

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

x

p

x

hg

zuw

yuv

xuu

t u

Dt Du

(5.4.12)

2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

v

y

p

y

hg

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

Dt

Dv

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

Dt

Dw




2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w

z

p

z

hg

Mientras que un cierto número de loscapítulos subsecuentes estarán dedicados acasos especiales y a soluciones de estasecuaciones, se deben tener en cuenta. Sitodo el movimiento del fluido se detiene(v = 0 y a = 0) y z se selecciona verticalmente hacia arriba en la línea deacción de la gravedad, de la ecuaciónhidrostática emerge como un caso especialdel caso general de un movimientocompleto de fluidos. Ciertamente, elestudio de las ecuaciones de Navier-Stokesse debe concentrar en conjuntos desoluciones especializadas tales como éstapara condiciones de flujo específicas porla siguiente razón. Debido a la nolinealidad de estas ecuaciones, existe unadesconcertante variedad de posiblesresultados, tanto, que estas ecuacionesnunca han sido resueltas en formacompleta de manera analítica general. Dehecho la Academia Nacional de Cienciasde los Estados Unidos (U.S.National

Academy of Sciences) ha catalogado susolución completa como prioridad en sulista de sus Grandes Retos, la cual contienelos problemas más importantes que debenser tratados por la comunidad científica.

5.5 LA CONSERVACIÓN DEENERGÍA MECÁNICA Y LA

ECUACIÓN DEBERNOULLI

La ecuación de Euler a lo largo de unalínea de corriente

Uno de los primeros enfoques para

resolver las ecuaciones de Navier-Stokes essimplemente argumentar que los términosde fricción son bastante pequeños conrespecto a los demás y, por consiguiente,eliminarlos. Esta suposición da comoresultado las ecuaciones de Euler delmovimiento para un campo de flujo no viscoso. De la ecuación (5.4.11), lasecuaciones se convierten en

phgt Dt

D vvvv

(5.5.1)

En una forma tridimensional completaestas ecuaciones siguen siendo retadoras.Sin embargo, considerando el movimientoa lo largo de una línea de corriente, sepueden desarrollar las ecuaciones de Eulerpara esta línea. Cuando se integran, se

obtiene la ecuación de Bernoulli queestablece la conservación de energíamecánica cualquier par de puntos a lo largode una línea de corriente.En la figura 5.7 se selecciona un volumende control prismático de tamaño, muy pequeño, con un área de seccióntransversal A y una longituds . teniendoen cuenta la definición de una línea decorriente, la única velocidad permitida seencuentra a lo largo de la línea de corriente

s .




Figura 5.7 Aplicación de la continuidad y del movimiento y del momentum a un flujo através de volumen de control en la dirección de la línea de corriente s

Suponiendo que la viscosidad es cero, oque el flujo no tiene fricción, las únicasfuerzas que actúan sobre el volumen decontrol en la dirección s son las fuerzas enlos extremos y el peso. Se aplica laecuación de momentum al volumen decontrol para componente s.

Fs = Asvt

)( + v v dA (5.5.2)

donde A y s no son funciones deltiempo. Las fuerzas actuantes son

Fs=pδA –

Ass

zg As

s

p

Asg Ass

p A p

cos

(5.5.3)

Debido a que, a medida que s seincrementa, la coordenada vertical seincrementa en forma tal que cos s z /

El flujo neto de momentum s hacia fueradebe considerar el flujo a través de lasuperficie cilíndrica m t , al igual que el flujoa través de las caras extremas (figura 5.7c).

s As

A

Amd v t

sc

22

2.

Av

(5.5.4)

Para determinar el valor de m t , se aplica laecuación de continuidad [ecuación 5.3.2)]al volumen de control (figura 5.7d )

s As

ms At

pt

.

0 (5.55)

Ahora, eliminando m t en las ecuaciones(5.5.4) y (5.5.5) y simplificando se obtiene

s At

ps

d sc

Av (5.5.6)




Posteriormente, sustituyendo lasecuaciones (5.5.3) y (5.5.6) en la ecuación(5.5.2) se obtiene

0

s A

t ss zg

s p

(5.5.7)

Después de dividir todo por s y tomando el límite cuando A y s seaproximan a cero, la ecuación se reduce a

01

t sv

s

zg

s

p(5.5.7)

Se han hecho dos suposiciones: (1) que elflujo ocurre a lo largo de una línea decorriente y (2) que el flujo no tienefricción. Si adicionalmente el flujo espermanente, la ecuación (5.5.7) se reduce a

01

ss

zg

s

p(5.5.8)

Ahora s es la única variable independiente

y las derivadas parciales puedenreemplazarse por derivadas totales.

0

d gdzdp

(5.5.9)

La ecuación (5.5.9) es la ecuación de Eulera lo largo de una línea de corriente.

Una deducción alternativa de la ecuación

de Euler es como sigue : En un puntodentro del campo de flujo, construir unelemento s sobre la línea de corriente, cons sobre la línea de corriente , con z tomado de la dirección vertical hacia

arriba, luego la componente de la ecuación(2.2.5) en la dirección s es

0

s

as

z

s

p(5.5.7)

Debido a que la componente deaceleración a s de la partícula a lo largo dela línea de corriente es una función de ladistancia s a lo largo de la línea de corrientey del tiempo, entonces la derivadatotal de a s es

t sv

t dt

ds

sdt

d as

como ds/dt es la tasa temporal dedesplazamiento de la partícula, la cual es la velocidad v . rápidamente se puede notarque ésta es una forma simplificada de ladefinición de aceleración encontrada en lasección 5.1. Después de reordenar laecuación (5.5.10) sustituyendo a s , seobtiene la ecuación (5.5.7). En ladeducción de la ecuación (2.2.5) se supusoun fluido sin fricción, y la componente a lo

largo de s , la línea de corriente, se tomó enla ecuación (5.5.10); por consiguiente, sehacen las mismas suposiciones paraobtener la ecuación (5.5.7).La ecuación (5.5.9) es una forma de laecuación de Euler, la requiere tressuposiciones (1) flujo sin fricción, (2)movimiento a lo largo de una línea decorriente y (3) flujo permanente. Esta sepuede integrar si es una función de p osi es constante. Cuando es constante, se

obtiene la ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli




La integración de la ecuación (5.5.9) parauna densidad constante da como resultadola ecuación de Bernoulli

p

2gz

2

Constante(5.5.11)

La constante de integración (conocidacomo la constante de Bernoulli ) generalmente varía de una línea de corriente a otra, peropermanece constante a lo largo de una línea de corriente en flujo permanente, sin fricción e incomprensible. Estas cuatro suposicionesson necesarias y se deben tener presentesal aplicar esta ecuación. Cada término tiene

dimensiones de (L/T)2 o unidades demetrosnewtons por kilogramo

2

22

s

m

kg

m/skgm

kg

Nm

debido a que 1 N = 1kg . m/s2. porconsiguiente, la ecuación (4.5.11) seinterpreta como energía por unidad demasa. Cuando ésta se divide por g,

p

2g z

2

Constante (5.5.12)

puede interpretarse como energía porunidad de peso, metros-newton pornewton (o pies-libra por libra). Esta formaes particularmente conveniente paradesarrollar problemas de líquidos con unasuperficie libre.Cada uno de los términos de la ecuación de

Bernoulli [ecuación (4.5.12)] puedeinterpretarse como una forma de energíadisponible. Esta ecuación también seconoce como la ecuación de conservaciónde energía mecánica. Es particularmenteimportante notar que esta ecuación deenergía se dedujo de la ecuación de

conservación de momentum. Las pérdidasde energía debida a la fricción y a latransferencia de calor solamente puedeincorporarse a la ecuación diferencial de

energía completa, la cual se analiza en lasiguiente sección. Al aplicar la ecuación (5.5.12) a dos puntossobre una línea de corriente,

2g

p z

2g

p z1

2

222

2

11

(5.5.13)

o

022

2121

2

2g

p p z z1

Esta ecuación muestra que lo importantees la diferencia en energía potencial,energía de flujo y energía cinética. Porconsiguiente, z1 –z2 es independiente delnivel de referencia particular, al igual que ladiferencia en la elevación de los dospuntos. Simplemente, p1/y – p2 /y es ladiferencia en las cabezas de presión,expresada en unidades de longitud delfluido fluyendo, y no se altera por lapresión de referencia particularseleccionada. Debido a que los términos de velocidad son no lineales, su nivel dereferencia es fijo.

Ejemplo 5.5En un canal abierto (figura 5.8) fluye aguaa una profundidad de 2 m y a una

velocidad de 3m/s. Posteriormente fluyehacia abajo por una rápida que se contraehasta otro canal donde la profundidad es 1m y la velocidad 10 m/s. Suponiendo unflujo sin fricción, determinar la diferenciaen elevación de los fondos de canales.




Solución

Se supone que las velocidades sonuniformes a través de las secciones

transversales que las presiones sonhidrostáticas. Los puntos 1 y2 se puedenseleccionar sobre la superficie libre, talcomo se muestra, o a otras profundidades.Si la diferencia de elevación entre losfondos es y, la ecuación de Bernoulli es

22

2

11

1

2

1

22 z

p

g

V z

p

g

V

entonces z1

= y + 2, z2

= 1, V 1

= 3 m/s y p1 = p2 = 0.

10)806.9(2

1020

)806.9(2

3 22

y

y y =3.64 m.

Figura 5.8 Canal abierto

Figura 5.9 Medidor vénturi

Ejemplo 5.6Un medidor vénturi el cual consta unaporción convergente seguida por unagarganta de diámetro constante y luego por

una porción gradualmente divergente- seutiliza para determinar el caudal en unatubería (figura5.9). El diámetro en lasección 1 es 6.0 pulg, y en la sección 2 es4.0 pulg. Encontrar el caudal a través de latubería cuando fluye aceite con densidadrelativa 0.9 y p1 – p2 = 3 psi.

Solución De la ecuación de continuidad

2122113616

V V V AV AQ

en la cual Q es el caudal (volumen porunidad de tiempo). Al aplicar la ecuación(5.5.13) para z 1 = z 2




p1 – p2 = 3(144) = 432 lb/pie2 γ =0.90(62.4) = 56.16 lb/pie3

g

V

g

V p p

22

2

1

2

221

O

22

2

2

16362

1

1656

432

g

Q

.

resolviendo para el caudal se encuentraque Q = 2.20 pcs.

Teniendo cuidado pueden relajarse las

cuatro suposiciones básicas de la ecuaciónde Bernoulli y las ecuaciones puedenutilizarse en las siguientes cuatrocondiciones.

Cuando todas las líneas de corriente seorigina en un embalse, donde el contenidode energía es el mismo en todas partes, laconstante de integración no cambia de unalínea de corriente a otra y los puntos 1 y2para la aplicación de la ecuación deBernoulli pueden seleccionarsearbitrariamente, es decir, nonecesariamente sobre la misma línea decorriente.

En el flujo de un gas, como ocurre en unsistema de ventilación, donde el cambio dela presión es solo una pequeña fracción (unpequeño porcentaje) de la presión absoluta,

se puede considerar el gas comoincompresible.

para un flujo no permanece concondiciones que cambia gradualmente, porejemplo, al vaciar un embalse, se puedeaplicar la ecuación de Bernoulli sin unerror apreciable.

la ecuación de Bernoulli es útil en elanálisis preliminar de casos de flujo defluidos reales, despreciando en un primerlugar el esfuerzo cortante para obtener losresultados. Luego, se pueden obtener los

resultados de diseño utilizando la ecuaciónde energía desarrollada en la secciones 3.4y 4.6.

Ejemplo 5.7El embalse para el suministro de aguamostrado en la figura 4.10 tiene unaprofundidadpromedio de 20m, un área superficial de 20km2 y una salida cuya línea central se

encuentra 15m por debajo de la superficiedel agua. Si el diámetro de la salida es 1 m,¿Cuál es el caudal de salida y su velocidadasociada? ¿Cuál sería la disminución denivel (caída en la elevación de la superficiedel agua) durante periodos de una semanay un día?




Figura 5.10 Flujo a través de una boquilla desde un embalse

Solución En la figura 4.10 el datum se localiza en lalínea central ( z 2 = 0) de la salida y se aplicala forma de flujo permanente de laecuación de Bernoulli

2

2

21

2

1

22 z

g

V z

g

V |

Debido a que las presiones en los puntos 1y 2 son atmosféricos, los términos detrabajo de presión se cancelan.Se supone que la velocidad de la superficiedel agua (punto1) es igual a cero y que la velocidad en la salida, V 2, es constante através del área de salida, entonces

12 2gzV

Y utilizando los datos

V 2 = 15.15 m/s

Por consiguiente, el correspondientecaudal de salida es

461322 . V AQ M3/s

Se han utilizado las condiciones 1 y 3 antesmencionadas con el fin de llegar a estasolución. El impacto o la aplicabilidad deestas se verifica tal como sigue. Conrespecto a la condición 1es fácil mover elpunto 1 de la figura 5.10 a otros lugares dela superficie libre y calcular el mismoresultado. La condición 3 estableceesencialmente que si el flujo es ligeramenteno permanente, puede seguir siendo

tratado como flujo permanente. Para verificarlo se puede calcular el volumen delfluido que sale del embalse en un día y unasemana. El volumen extraído durante undía es

)( . ) )( ( 6

1 101631360024 Q m3

el volumen extraído en 7 días es

)( . ) )( )( ( 6

7 1014183600247 Q m3

como porcentaje del volumen original delembalse, estas remociones representan 0.3y 2.0% del volumen total, respectivamente;estos representan porcentajes muy pequeños.




Estas remociones dan como resultado unacaída permanente en la superficie del agua:la caída en un día es

0.003(20m) = 0.06 m = 6cm

y en 7 días es 42cm. La caída de 7 díasrepresenta el .1% de la elevación total, locual da como resultado una disminuciónen la velocidad de salida de 17.15 m/s a16.9 m/s, un cambio de -1.4%. Incluso,esta caída de nivel en 7 días, con lasuperficie de agua variable con el tiempo,puede aproximarse bastante bien mediante

una suposición de flujo permanente.Finalmente, la caída permanente de 6cm/día se traduce en una “velocidad” de0.06/(24 x 3600) = 6.9 (10-7 ) m/s.Ciertamente, la suposición de flujopermanente trabaja bastante bien para volúmenes grandes de embalsa conrespecto a los volúmenes de descargadiarios.

5.6 LA ECUACION DEENERGÍA

La ecuación de conservación de energíadebe tener en cuenta las fuentes,intercambios y disposición de energía entodas sus formas. En desarrollo formalprocederá, tal como se hizo en lassecciones de continuidad y momentum,definiendo y n y procediendo a la

ecuación no lineal tridimensionalcompleta. Sin embargo, la incorporaciónde la segunda ley de la termodinámica y laexplicación de los términos de pérdidaspueden manejarse más fácilmentemediante una deducción simple en la cualla energía entre cualquier par de puntos del

flujo se conserva. Por consiguiente, estasección comienza con la ecuación deenergía de dos puntos. En contraste con laecuación de Bernoulli, se eliminan tanto la

aproximación de flujo como la suposiciónde movimiento a lo largo de una línea decorriente, y se deduce una ecuacióngeneralizada entre los dos puntos.

La ecuación de energía de dos puntos

La figura 5.11 muestra un tubo decorriente en el campo de flujo con dossecciones transversales diferencialmentepequeñas a la entrada y salida con áreas

y respectivamente. La longituddel tubo de corriente es s. Suponiendoúnicamente el flujo permanente, se aplicala ecuación de energía del volumen decontrol [ecuación (4.4.15)] a este volumende control elemental

222

**

2

2

22

2

2

111

**

1

2

11

1

1

2

2

Avugz p

t

W

Avugz p

t

Q

s

H

Dividiendo por el flujo de masa constantea través del volumen elemental,,se obtiene

**

2

2

22

2

2

**

1

2

11

1

1

2

2

ugz p

w

ugz p

q

s

H

Tomar esta ecuación de volumen decontrol y encontrar una ecuacióndiferencial válida en un punto en el campode flujo es conceptualmente simple. En




primer lugar, se reordena la ecuación enuna ecuación de diferencias (por ahora seignora el trabajo de eje sin pérdida derigor)

0

22

**

1

**

2

12

2

1

2

2

1

1

2

2

H quu

z zg p p

Cuando se permite que el volumen decontrol se contraiga a un punto, laecuación se convierte en

0

H dqdud gdz pd **

(5.6.1)

Figura 5.11 Tubo de corriente permanente




Ésta es una forma de la primera Ley de la Termodinámica. Al reordenar se obtiene

01

H dq pd dud gdzdp **

(5.6.2)

Para flujo sin fricción la suma de los tresprimeros términos es igual a cero en laecuación de Euler [ecuación (5.5.8)] y lostres últimos términos se igualan

**du pd dq H

1 (5.6.3)

Ahora, para flujo reversible, la entropía, s por unidad de masa se define mediante

rev

H

T

dqds

(5.6.4)

en la cual T es la temperatura absoluta. Seha demostrado que la entropía es unapropiedad del fluido en los textos determodinámica. En esta ecuación, éstapuede tener unidades de Btu por slug y grados Ranking o pies-libras por slug y grados Ranking, ya que el calor puedeexpresar en pies-libras (1Btu = 778 pie · lb ). En unidades SI, s se encuentra en juliospor kilómetros –Kelvin. Debido a que laecuación (5.6.3) esta dada para un fluido

sin fricción (reversibles), dq H puedeeliminarse de las ecuaciones (5.6.3) y (5.6.4),

1

pd duTds** (5.6.5)

la cual es una importante relacióntermodinámica. Aunque se dedujo para unproceso reversible, debido a que todos lostérminos son propiedades termodinámicas,también se debe mantener para flujosirreversibles. Lo que sigue es una brevediscusión en torno a la especificación delas pérdidas, utilizando la segunda Ley de la Termodinámica.

Pérdidas y la segunda Ley de la

Termodinámicala primera Ley de la Termodinámica debeser “cerrada” en el sentido en que lostérminos de energía Interna y transferenciade calor deben expresarse en variablesrelacionadas al campo de flujo. Se utiliza lasegunda Ley de la Termodinámica.Sustituyendo du ** + pd (1/ ) en la ecuación(5.6.2) lleva a

0

H s dqTdsd gdzdp

dw

(5.6.6)

En este momento se introduce el términode trabajo. La desigualdad de Clausius, osegunda Ley de la Termodinámica,establece que

T dqds H

o

H dqTds (5.6.7)




Luego, T ds-dq H = >0. el signo igual seaplica a un proceso reversible. Si lacantidad conocidas como pérdidas oirreversible se identifica como

D ( pérdidas) = Tds - dq H (5.6.8)

Esta es la forma más importante de laecuación de energía. En general, laspérdidas deben determinarse medianteexperimentación. Esto implica que parte dela energía disponible se convierte enenergía intrínseca durante un procesoirreversible. Las perdidas ocurren cuandoparte de la energía disponible en el flujo de

un fluido se convierte en energía térmica através de esfuerzo cortante viscoso oturbulencia. Esta ecuación en ausencia deltrabajo de eje, solo defiere de la ecuaciónde Euler en el término de pérdida. Enforma integrada.

swgzdp

gz 2

2

2

2

1

1

2

1

22

pérdidas1-2 (5.6.9)

Si se hace trabajo sobre el fluido dentro deltubo de corriente, por ejemplo medianteuna bomba, entonces w , es negativo. Laestación 1 se encuentra aguas arriba y laestación 2 aguas abajo.Si el flujo es incomprensible entonces =/ f ( p ), =y la ecuación (4.6.10) seconvierte en

sw p

gz p

gz 22

2

211

2

1

22

pérdidas1-2 (5.6.10.a)

o dividiendo por g

s H p

zg

p z

g

22

2

211

2

1

22h 1-

2(5.6.10.b)

Donde H , es la cabeza de trabajo de eje y hl 1-2 es el término de pérdidas en unidadesde cabeza o cabeza pérdida.

Al comparar con el volumen de control deuna entrada y una salida se encuentra unasimilitud considerable en la formamatemática de las dos ecuaciones.Formalmente, la forma de volumen decontrol está compuesta por cantidadesglobales o promedio tales como las velocidades o presiones promedio de áreaa la entrada y a la salida, mientras quedebido a sus orígenes diferenciales, las

ecuaciones (5.6.10) están compuestas porcantidades válidas en un punto en elcampo de flujo. Sin embargo, los orígenesde tubo de corriente de las ecuaciones(5.6.10) sugieren que va a existir untraslapo o coincidencia considerable enestos enfoques, particularmente a medidaque la geometría del volumen de control sehace pequeña y el tubo de corriente se vuelve más largo. El análisis de sistemas deconductos, de tubería o de bombeopueden ser presa de está fusión o mezcla

de ecuaciones. Lo importante es que sedebe tener cuidado en recordar losrequisitos matemáticos de las formasdiferenciales de punto y de volumen decontrol. Debido a que esta última requierepromedios, mientras que la primeranecesita datos de punto, el tipo deinformación suministrada por lasobservaciones de campo, por ejemplo,debe ser bien conocido. Se ha dado el casode que por falta de información promedio

de área, se toma información puntual, amanera de un flujo uniforme. Esteprocedimiento no es recomendable, talcomo se demostró a través del factor decorrección de energía cinética.




CAPÍTULO VI

ANÁLISISDIMENSIONAL Y

SIMILITUDDINÁMICA

Los parámetros adimensionalesprofundizan en forma significativa nuestroentendimiento sobre los fenómenos delflujo de fluidos en forma análoga al casodel gato hidráulico, donde la relación entrelos diámetros del pistón, un númeroadimensional que es independiente deltamaño real del gato, determina la ventajamecánica. Estos parámetros permiten queresultados experimentales limitados seanaplicados a situaciones que involucrandimensiones físicas diferentes y a menudo

propiedades fluidas diferentes. Losconceptos de análisis adimensionalintroducidos en este capítulo junto con unentendimiento de la mecánica del tipo deflujo bajo estudio hacen posible generalizarla información experimental. Laconsecuencia de tal generalización esmúltiple, debido a que ahora es posibledescribir el fenómeno completamente y nose restringe a la discusión del experimentoespecializado realizado. Por consiguiente,

es posible llevar a cabo menos, aunquealtamente selectivos, experimentos con elfin de descubrir las facetas escondidas delproblema y por lo tanto lograr importantesahorros en tiempo y dinero. Los resultadosde una investigación pueden presentarsetambién a otros ingenieros y científicos en

forma más compacta y significativa con elfin de facilitar su uso. Es igualmenteimportante el hecho de que, a través de

esta presentación incisiva y ordenada deinformación, los investigadores puedandescubrir nuevos aspectos y áreas sobre elconocimiento del problema estudiado.Este avance directo de nuestroentendimiento de un fenómeno dedebilitará si las herramientas del análisisdimensional no estuvieran disponibles. Enel siguiente capítulo, el cual trataprincipalmente los efectos viscosos, elnúmero de Reynolds es un parámetro

altamente importante. En el capítulo 12,relacionados con canales abiertos, elnúmero de Fraude tiene la mayorimportancia.

Muchos de los parámetros adimensionalespueden ser vistos como la relación de unpar de fuerzas fluidas, cuya magnitudrelativa indica la importancia relativa deuna de las fuerzas con respecto a la otra. Sialgunas fuerzas en una situación de flujoparticular son mucho más grandes que las

otras, a menudo es posible despreciar elefecto de las fuerzas menores y tratar elfenómeno como si estuvieracompletamente determinado por lasfuerzas mayores. Esto significa que sepueden utilizar procedimientosmatemáticos y experimentales más simples,aunque no necesariamente fáciles, pararesolver el problema. En aquellassituaciones con varias fuerzas con la mismamagnitud, tales como las fuerzas inerciales,

viscosas y gravitacionales, se requierentécnicas especiales. Después de unadiscusión de dimensiones, se presentan elanálisis dimensional y los parámetrosadimensionales, la similitud dinámica y losestudios en modelos.




6.1 HOMOGENEIDADDIMENSIONAL YRELACIONES

ADIMENSIONALES

Para resolver problemas de diseño enmecánica de fluidos, usualmente serequiere desarrollos teóricos como losresultados experimentales. Al agrupar lascantidades importe en parámetrosadimensionales, es posible reducir elnúmero de variables y hacer que esteresultado compacto (ecuaciones o gráficasde datos) sea aplicable a otras situacionessimilares.

Si uno fuera a escribir la ecuación demovimiento F = ma para un paquete defluido, incluyendo todos los tipos de fuerzaque pueden actuar sobre el paquete, talescomo las fuerzas de gravedad, presión viscosas, elásticas y de tensión superficial,resultaría una ecuación donde la suma deestas fuerzas es igual a m , la fuerza inercial. Al igual que con todas las ecuaciones

físicas, cada término debe tener las mismasdimensiones, en este caso de fuerza. Ladivisión de cada término de la ecuaciónpor uno cualquiera de los otros haría que laecuación fuera adimensional. Por ejemplo,dividiendo por el término fuerza inicial,resultaría en la suma de parámetrosadimensionales igual a la unidad. Eltamaño relativo de cada parámetro,respecto a la unidad, indicaría suimportancia si se fuera a dividir la ecuación

de fuerza por un término diferente, porejemplo el término de viscosas, seobtendría otro conjunto de parámetrosadimensionales. Sin experiencia en el flujoes difícil determinar que parámetros seríanlos más útiles.

Un ejemplo para el uso del análisisdimensional y sus ventajas está dadomediante la consideración del resaltohidráulico, tratado en la sección 4.8. Para

este caso la ecuación de momentum

)( 122

211

2

2

2

1 V V g

yV y y

(6.1.1)

Puede rescribirse como

2

1

1

21

2

1

2

1

22

1 112 y

y

y

y y

gV

y

y y

Claramente, el lado derecho de la ecuaciónrepresenta las fuerzas inerciales y elizquierdo las fuerzas de presión debidas ala gravedad. Estas dos fuerzas son igualesen magnitud, debido a una determinada laotra en esta ecuación. Es más, el término

2

1 y /2, tiene dimensiones de fuerza porUnidad de ancho y multiplica un númeroadimensional que está especificado por lageometríaresalto hidráulico.Si se divide esta ecuación por el términogeométrico 1- y 2 / y 1 y un númerorepresentativo de las fuerzasgravitacionales, se tiene

1

2

1

2

1

2

1 12

1

y

y

y

y

gy

V (6.1.2)

Ahora es claro que l lado izquierdo es larelación entre las fuerzas inerciales y lasgravitacionales aunque la representaciónexplícita de las fuerzas se ha oscurecidodebido a la cancelación de términoscomunes en el numerador y en eldenominador. Esta relación es equivalente




a un parámetro adimensional, el cuadradodel número de Froude , el cual se discutiráposteriormente con más detalle en estecapítulo. También es interesante notar que

esta relación de fuerza se conoce una vezque la relación y 2 /y 1 esté dada, sin importarlos valores de y 2 y y 1. De esta observación sepuede ver que el alcance de la ecuación(6.1.2) se ha incrementado con respecto ala ecuación (6.1.1) a pesar de que essolamente un reordenamiento de la otra.

Al escribir la ecuación de momentum quecondujo a la ecuación (6.1.2), solo seincluyeron las fuerzas inerciales y

gravitacionales en el enunciado delproblema original. Pero otras fuerzas talescomo la tensión superficial y la viscosidad,están presentes. Éstas se despreciaron porser pequeñas en comparación a las fuerzasgravitacionales e inerciales; sin embargo,solo la experiencia con el fenómeno o confenómenos similares justificaría talsimplificación inicial. Por ejemplo, si sehubiese incluido la viscosidad debido a queno se estaba seguro de la magnitud de suefecto, la ecuación de momentum hubiera

sido

)( cos 122

211

2

2

2

1 V V g

yV F y y

avis

Con el resultado que

1

2

1

2

2121

2

1

2

1 12

1

y

y

y

y

y y y

yF

gy

V avis

)(

cos

Este planteamiento es más completo que eldado por la ecuación (6.1.2). Sin embargo,la experimentación hubiera demostradoque el segundo término del lado izquierdo

de la ecuación usualmente es una pequeñafracción del primer término, por tantopuede ser despreciado al haber las pruebasiniciales de un resultado hidráulico.

Es la última ecuación la relación y 2 /y 1puede considerarse como la variabledependiente determinada para cada uno delos valores de las relaciones de fuerza

1

2

1 / gyV y F viscosa / 2

1 y , las cuales son las

variables independientes. Del análisisprecedente parece que la última variablejuega sólo un papel menor al determinarlos valores de y 2 /y 1. Sin embargo, seobserva que la relación de fuerzas,

1

2

1 / gyV y F viscosa / 2

1 y tiene los mismos

valores de y 2/ y 1 sean los mismos en las dossituaciones. Si la relación para 1

2

1 / gyV es lamisma en las dos pruebas pero la relaciónF viscosa /γ y 1, que sólo tiene una influenciamenor para este caso, no lo fuera, sepodría concluir que los valores de y 2 /y 1,para los dos casos serían casi iguales.

Lo anterior es la clave para mucho de loque sigue. Si se pudiera crear un modelo

experimental con la misma geometría y lasrelaciones de fuerza que ocurren en launidad a escala completa, entonces lasolución adimensional para el modelo es válida también para el prototipo. Amenudo tal como se verá, no es posibletener todas las relaciones iguales enmodelo y prototipo. Por consiguiente sedebe planear la experimentación de talforma que las relaciones entre fuerzasdominantes sean tan cercanas como seaposible. Los resultados obtenidos en tal

modelación incompleta usualmente sonsuficientes para describir el fenómeno en eldetalle que se desea.

Escribir la ecuación de fuerza para unasituación compleja puede no ser posible,por consiguiente se utiliza otro proceso, el




análisis dimensional , si se conocen lascantidades pertinentes que entran en elproblema.

En una situación dada, varias de las fuerzaspueden tener poca importancia, dejando tal vez dos o tres fuerzas con el mismo ordende magnitud. Con tres fuerzas del mismoorden de magnitud, se obtienen dosparámetros adimensionales; un conjuntode datos experimentales, tomados de unmodelo geométricamente similar, dan lasrelaciones entre parámetros para todos loscasos similares de flujo.

Ejercicio 6.1.1

6.5Entre los siguientes numerales,seleccionar un parámetro adimensionalcomún en mecánica de fluidos: ( a ) velocidad angular; ( b) viscosidadcinemática; ( c ) densidad relativa; ( d) pesoespecífico; ( e) ninguna de estas respuestas.

6.2 DIMENSIONES YUNIDADES

Las dimensiones de la mecánica son:fuerza, masa, longitud y tiempo; éstas serelacionan mediante la segunda ley demovimiento de Newton.

F = ma

Las unidades de fuerza y masa se discuten

en la sección 1.2. Para todos los sistemasprobablemente sería necesario introducirotras dos dimensiones, una relacionada conel electromagnetismo y la otra con losefectos térmicos. Para la gran mayoría deltrabajo en este texto, no es necesarioincluir una unidad térmica, debido a quelas ecuaciones de estado relacionanpresión, densidad y temperatura.

En forma dimensional, la segunda ley de

movimiento de Newton esF = MLT-2

la cual demuestra que únicamente tresdimensiones son independientes. F es ladimensión de M la dimensión de masa, L la dimensión de longitud y T la dimensiónde tiempo. Un sistema utilizado en elanálisis dimensional es el sistema MLT ,donde es la dimensión de temperatura.La tabla 6.1 indica algunas de lascantidades utilizadas en el flujo de fluidos,junto con sus símbolos y dimensiones.Con el fin de evitar confusiones, se hadenominado la temperatura como T’ Paraeste capítulo únicamente.




Tabla 6.1 Dimensiones y cantidades físicasUtilizadas en mecánica de fluido

Cantidad Símbolo DimensionesLongitud TiempoMasaFuerza Velocidad Aceleración ÁreaCaudalPresiónGravedad

DensidadPeso Específico Viscosidad dinámica Viscosidad cinemática Tensión superficialModulo de elasticidad volumétrica TemperaturaConcentración de masaConductividad térmicaDifusividad térmicaDifusividad de masaCapacidad de calor Tasa de reacción

l t m F V a A Q p g

ργ μ ν σ K T’ C kα D

c pk1

L T M MLT -2

LT -1

LT - 2

L 2

L 3T - 1

ML - 1T - 2

LT - 2

ML

- 3

ML - 2T --2

ML - 1T --1

LT --1

MT --2

ML - 1T --2

ML - 3

ML - 3-1

L 2T - 1

L 2T - 1

L

2

T

- 2

-1

T -1

Ejercicios 6.2.1

Una combinación adimensional de p, ρ, ly Q es

a) 2l

Q p

b) 2 pl

Q

c) 2 pQ

l

d)

plQe)

2l

Q

p

6 .3 Teorema ∏ : momentumy energía

El teorema ∏Buckingham [1] †prueba queen un problema físico que incluye n cantidades en las cuales hay m dimensiones, las cantidades puedenreordenarse en n-m Parámetros adimensionales independiente.Sean A 1, A 2, A 3,…., An las cantidades




involucradas, tales como presión, viscosidad, velocidad, etc. Se sabe quetodas las cantidades son esenciales para lasolución y por consiguiente debe existir

alguna relación funcional

F ( A 1, A 2, A 3,…., An) = 0 (6.3.1)

Si ∏1, ∏2,…., representan agrupacionesadimensionales de las cantidades A1, A2, A3,…, entonces con las m dimensionesinvolucradas, existe una ecuación de laforma

F (∏1, ∏2, ∏3,…, ∏n-m) = 0 (6.3.2)

La prueba del teorema ∏ puedeencontrarse en [1,2]. El método paradeterminar los parámetros ∏ consiste enseleccionar m de las A cantidades, condiferentes dimensiones que contenganentre ellas las m dimensiones y utilizarlascomo variables repetitivas junto con unade las otras cantidades A para cada ∏*.Por ejemplo, sean A1 , A2 , A3, quecontienen M, L y T , no necesariamentecada una de ellas, sino en forma colectiva.

Entonces el primer parámetro ∏ se definecomo

∏1 = A1x1 A2

y1 A3z1 A4 (6.3.3)

El segundo como

∏2 = A1x2 A2

y2 A3z2 A5

Y así sucesivamente hasta que

∏n-m = A1x n-m A2

y n-m A3z n-m An

En estas ecuaciones se deben determinar

los exponentes de tal manera que cada ∏sea adimensional. Las dimensiones de lascantidades A se sustituyen y losexponentes de M, L y T se igualan a 0respectivamente. Esto produce tresecuaciones con tres incógnitas para cadaparámetro ∏, de tal manera que se puedendeterminar los exponentes x, y, z y, porconsiguiente, el parámetro ∏.Si solamente están involucradas dosdimensiones, entonces se seleccionan dos

de las cantidades A como variablerespectivas y se obtienen dos ecuacionespara los exponentes desconocidos, paracada termino ∏.En muchos casos la agrupación de lostérminos A es tal que el númeroadimensional es evidente medianteinspección. El caso más simple es cuandodos de las cantidades tienen las mismasdimensiones, por ejemplo, longitud, larelación de los dos términos es elparámetro ∏. A continuación el

procedimiento se ilustra mejor mediantealgunos ejemplos.

Ejemplo 6.3.1

El caudal a través de un tubo capilarhorizontal depende de la caída de presiónpor unidad de longitud, del diámetro y dela viscosidad. Encontrar la forma de laecuación.




SoluciónLas cantidades y sus dimensiones se encuentran a continuación:

Cantidad Símbolo DimensionesCaudalCaída de presión por longitudDiámetro Viscosidad

Q∆p/l D Μ

L 3T -1

ML -2T -2

L ML -1T -1

Entonces

0

, , , Dl

pQF

Se utilizan tres dimensiones, y con cuatro

cantidades solamente existe un parámetro∏:

1

1

1 Z

Y

X Dl

pQ ,

Sustituyendo las dimensiones se llega a

000111122113T L M T ML LT MLT L

Z Y x

Los exponentes de cada dimensión debenser los mismos en ambos lados de laecuación. Con L primero

3x 1 – 2 y 1 + z 1 – 1 = 0

Y similarmente para M y T

y1 + 1 = 0-x 1 – 2 y 1 – 1 = 0

de donde x 1 = 1, y 1 = -1, z 1 = -4 y

LP D

Q

/

,

4

Después de resolver para Q,

Q=

4 D

l

pC

El análisis dimensional no da información

acerca del valor numérico de la constanteadimensional C . Los experimentos (oanálisis) demuestran que éste es π/128[ecuación (7.3.10a)].Cuando se utiliza el análisis dimensional, sedebe conocer las variables en un problema.Si en el último ejemplo se hubiese utilizadola viscosidad cinemática en lugar de la viscosidad dinámica, se hubiera encontradouna fórmula incorrecta.

Ejemplo 6.3.2

Un vertedero en V es una placa verticalcon una muesca del ángulo Φ cortada ensu parte superior y localizada en un canalabierto. El líquido en el canal es represadoy forzado a pasar a través de la muesca. Elcaudal Q es una función de la elevación H de la superficie del líquido aguas arriba, porencima del fondo del vértice de la mueca. Adicionalmente, el cual depende de la

gravedad y de la velocidad deaproximación V 0 al vertedero. Determinarla forma de la ecuación de caudal.

SoluciónUna relación funcional




F ( Q, H, g, V 0, Φ ) = 0

Debe ser reagrupada en parámetros

adimensionales. Debido a que Φ esadimensional, es uno de los parámetros ∏.Sólo se utilizan dos dimensiones L y T . si g y H son las variables repetitivas

∏1 = H x 1g y 1 Q = L x1 (LT -2 ) y1L 3T -1

∏2 = H x 2g y 2V 0 = L x2 (LT -2 ) y2 LT -1

Entonces

x 1 + y 1 + 3 = 0x 2 + y 2 + 1 = 0

-2 y 1 – 1 = 0-2 y 2 – 1 = 0

De donde x 1 = -5/2, y 1 = -1/2, x 2 = -1/2, y 2 = -1/2, y

251

/ gH

Q

gH

V 02

3

O

00

25

, ,

/ gH

V

gH

Q f

Esto puede escribirse como

,

/ gH V f

gH Q 0

125

En la cual tanto f como f 1 son funcionesdesconocidas. Después de despejar Q,

, /

gH

V f gH Q 0

1

25

Se requiere ya sea experimentos o análisisadicionales para obtener la función f 1. Si H y V 0 se hubieran seleccionado como las variables repetitivas en lugar de g y H

∏1 = H x 1V o y 1 Q = L x1 (LT -1 ) y1L 3T -1

∏2 = H x 2g V 0 y2 = L x2 (LT -1 ) y2 LT -2

Entonces

x 1 + y 1 + 3 = 0x 2 + y 2 + 1 = 0

- y 1 – 1 = 0- y 2 – 2 = 0

De donde x 1 = -2, y 1 = -1, x 2 = 1, y 2 =-2, y

O

oV H

Q21

2

0

2V

gH 3

O

02

0

2

0

, ,

V

gH

H V

Q f

Debido a que cualquiera de los parámetros∏ puede ser invertido o elevado acualquier potencia sin afectar su estatusadimensional, entonces

,

gH

V f H V Q 0

2

2

0




La función desconocida f 2 tiene los mismosparámetros de f 1, pero no puede ser lamisma función. La última forma no es muy

útil en general, debido a quefrecuentemente V 0 puede ser despreciadaen vertederos en V. Esto demuestra que untérmino de importancia menor no se debeseleccionar como una variable repetitiva.

Otro método para determinar conjuntosalternativos de parámetros ∏ podría ser larecombinación arbitraria del primerconjunto. Si se conocen 4 parámetros ∏independientes ∏1, ∏2, ∏3 y ∏4, el término

∏a = ∏1ª 1∏2ª

2∏3ª 3∏4ª

4

Con los exponentes escogidos a voluntad,daría un nuevo parámetro. Entonces ∏1,∏2, ∏3 y ∏4, constituirían un nuevoconjunto. Este procedimiento podríacontinuar hasta encontrar todos losconjuntos posibles.

Los pasos en un análisis dimensional pueden resumirse como sigue:

Seleccionar las variables pertinentes. Estorequiere algún conocimiento del proceso.

Escribir las relaciones funcionales porejemplo F ( V, D, ρ, μ, c, H ) = 0

Seleccionar las variables repetitivas. (Noincluir la cantidad dependiente como un variable repetitiva). Estas variables debencontener todas las m dimensiones del

problema. Usualmente se escoge una variable por que especifica la escala y otrapor que específica las condicionescinemáticas. En los casos de mayorinterés en este capítulo, una variableque relaciona las fuerzas o las masas

del sistema, por ejemplo, D , V o ρesescogida.

Escribir los parámetros ∏ en función de

exponentes desconocidos, por ejemplo,∏1= V x 1D y 1ρz 1 μ = ( LT -1 )x1L y1( ML -3 )z 1 ML -1T -1

Para cada una de las expresiones ∏,escribir las ecuaciones de los exponentes,de tal manera que la suma de losexponentes de cada dimensión sea cero.

Resolver simultáneamente las ecuaciones.

Sustituir nuevamente las expresiones ∏del paso 5, los exponentes para obtenerlos parámetros adimensionales ∏.

Establecer la relación funcional f 1 (∏1, ∏2, ∏3…. ∏n-m ) = 0despejar explícitamente uno de los ∏: ∏2

= f 1 (∏1, ∏3….∏n-m )

Recombinar, si se desea, para alterar lasformas de los parámetros ∏,manteniendo el mismo número de

parámetros independientes.

6.4 ESTUDIOS ENMODELOS Y SIMILITUD

Frecuentemente se emprenden estudiossobre modelos de estructuras y máquinashidráulicas propuestas como una ayuda enel diseño. Esto permite una observación

visual del flujo y hace posible obtenercierta información numérica, por ejemplo,calibraciones de vertederos y compuertas,profundidades de flujo, distribuciones de velocidad, fuerza sobre compuertas,eficiencia y capacidades de bombas y




turbinas, distribuciones de presión y pérdidas.Si se desea obtener informacióncuantitativa acertada de un estudio con un

modelo, debe existir similitud dinámicaentre el modelo y el prototipo. Estasimilitud requiere (1) que exista similitudgeométrica exacta con y (2) que la relaciónde presiones dinámicas en puntoscorrespondientes sea una constante. Estesegundo requerimiento también puedeexpresarse como una similitud cinemática,es decir, que las líneas de corriente debenser geométricamente similares.La similitud geométrica se extiende a la

rugosidad superficial real del modelo y elprototipo. Si el modelo tiene un décimodel tamaño del prototipo en cualquierdimensión lineal, la altura de lasproyecciones de la rugosidad debe tener lamisma relación para que las presionesdinámicas tengan la misma relación enpuntos correspondientes del modelo y elprototipo, las relaciones de los diferentestipos de fuerzas deben ser las mismas en

puntos correspondientes. Por consiguiente,para una similitud dinámica estricta, losnúmeros de Mach, Reynolds, Fraude, Weber deben ser los mismos tanto en el

modelo como en el prototipo.Cumplir estrictamente con estosrequerimientos, generalmente, es algoimposible de alcanzar, excepto para el casode una relación de escala 1:1. Afortunadamente, en muchas situacionessolamente dos de las fuerzas tienen lamisma magnitud. La discusión de algunoscasos aclarará este concepto.Como una ayuda para entender losrequerimientos de la similitud se puede

considerar el análisis del flujo alrededor deuna esfera en un laboratorio; las esferasprototipo (mundo real) y modelos semuestran en la figura (6.2). Por supuesto, lasimilitud geométrica se asegura si elmodelo también es una esfera. Adicionalmente cada dimensión lineal debecumplir con la relación Dm/Dp. estoincluye también la proyecciones de larugosidad de pequeña escala.

Figura 6.1 Similitud geométrica y dinámica para el flujo sobre una esfera




La similitud dinámica se asegura haciendoque los polígonos de “fuerza” en elmodelo y en el prototipo sean similares.Sobre cada esfera están actuando tres

fuerzas netas, la fuerza de presión, f p; lafuerza viscosa o de corte, f τ y la fuerzainercial debida a la aceleración f i. Estasfuerzas deben formar un polígono cerradotal como se muestra en la figura 6.2. Elpolígono de fuerzas para el modelo debeser similar al del prototipo en el sentido deque debe ser cerrado y escaladolinealmente. Para asegurar tal similitud, larelación de cada lado debe mantenerse, esdecir,

i

p

f

f prototipo =

i

p

f

f modelo

(6.4.0)

Y

i f

f prototipo =

i f

f modelo

(6.4.1)

Nótese que estas relaciones están formadaspor agrupaciones adimensionales de lasección previa. Los polígonos de fuerza seconsideran similares si

Ep = Em

R p = R m

En otras palabras, el asegurar la igualdadentre los polígonos de fuerza de modelo y prototipo, se consigue igualar los númerosadimensionales entre modelo y prototipo.Cumplir estrictamente con estosrequerimientos generalmente es algoimposible de alcanzar, a menos que la

relación de escala sea 1:1. A continuaciónse presentan algunos casos ejemplos parailustrar estos requerimientos.

Pruebas de túneles de viento y aguaEste equipo se utiliza para examinar laslíneas de corriente y las fuerzas con queson inducidas a medida que el fluido pasaalrededor de un cuerpo completamentesumergido. El tipo de prueba realizada y ladisponibilidad del equipo determinan quétipo de túnel debe ser usado. Debido a quela viscosidad cinemática del agua esalrededor de 1/10 de la del aire, un túnel

de agua puede utilizarse para estudiarmodelos con número de Reynoldsrelativamente altos.¡El efecto de arrastre dediferentes tipos de paracaídas fueestudiado en un túnel de agua! A velocidades muy altas los efectos decompresibilidad, y consecuentemente elnúmero de Mach, deben tenerse enconsideración y ciertamente pueden ser larazón principal para llevar a cabo estainvestigación. La figura 6.3 muestra elmodelo de un portaviones que está siendo

probado en un túnel de baja velocidad paraestudiar el patrón de flujo alrededor de lasuperestructura del buque. El modelo seencuentra invertido y suspendido deltecho, de tal manera que los trozos lanapueden utilizarse para dar una indicaciónde la dirección del flujo. Detrás del modelose encuentra un aparto para medir la velocidad del aire y sus direcciones endiferentes lugares de la trayectoria deplaneo del portaviones.

Flujo en tuberíasEn el flujo permanente en una tubería lasfuerzas viscosas e inerciales son las quetienen consecuencias importantes; porconsiguiente, cuando se cumple la similitudgeométrica, tener el mismo número de




Reynolds en el modelo y prototipoasegura la similitud dinámica. Losdiferentes coeficientes de presióncorrespondiente son los mismos. Para

pruebas con fluidos que tienen la misma viscosidad cinemática en el modelo y prototipo, el producto, VD, debe ser elmismo. Frecuentemente esto requiere velocidades muy altas en modelospequeños.

Estructura hidráulicas abiertasEstructuras tales como vertederos, piscinasde disipación, transiciones en canales y vertederos, generalmente tienen fuerzas

debidas a la gravedad (causadas porcambios en la elevación de superficie delos líquidos) y fuerzas inerciales que sonmayores que las fuerzas viscosas y deesfuerzo cortante turbulento. En estoscasos la similitud geométrica y el mismo valor del número de Fraude en

Figura 6.2 pruebas en túnel de vientopara la superestructura de un portaviones.

el modelo se encuentra invertido y suspendido del techo.

El modelo y el prototipo producen unabuena aproximación a la similituddinámica, es decir

p p

p

mm

m

lg

V

lg

V 22

Debido a que la gravedad es la misma, larelación de velocidad varía según la raízcuadrada de la relación de escala λ =l p/l m ,

V p = V m

Los tiempos correspondientes paraeventos que ocurren (por ejemplo para eltiempo de viaje de una partícula a través deuna transición) esta relacionados,; luego

tm =m

m

V

l tp = p

p

V

l

tp = tm m

p

m

m

pt

V

V

l

l

La relación Qp / Qm es

25

3

3

/

/

/

mm

p p

m

p

t l

t l

Q

Q

Las relaciones de fuerzas por ejemplosobre compuertas F p / F m , son

3

2

2

mm

p p

m

p

lh

lh

F

F

Donde h es la cabeza. En forma similar,otras relaciones pertinentes pueden

derivarse de tal amanera que los modelosde los resultados sean interpretados comocomportamiento del prototipo.La figura (6.3) muestra la prueba sobre unmodelo llevado a cabo para determinar elefecto de un rompeolas sobre la formaciónde ondas en un puerto.




Figura 6.3 Pruebas sobre un modelo de un puerto.

Resistencia de buques

La resistencia al movimiento de un buque através del agua está compuesta por elarrastre de presión, la fricción superficial y la resistencia debido a las ondas. Losestudios en modelos se complican por lostres tipos de fuerzas que son importantes;inerciales viscosas y gravitacionales. Losestudios sobre fricción superficial debenbasarse en números de Reynolds igualesen el modelo y prototipo, pero laresistencia de las ondas depende delnúmero de Fraude. Para satisfacer ambosrequerimientos, el modelo y el prototipodeberían ser del mismo tamaño.Esta dificultad puede superarse utilizando

un modelo pequeño y midiendo el arrastretotal sobre éste cuando es remolcado.Luego, se calcula la fricción superficial parael modelo y se sustrae del arrastre total. Elarrastre restante es escalado hacia eltamaño del prototipo, utilizandomodelación de Fraude, la formación de la

onda y el arrastre que ocurrirá en elprototipo.

Maquinaria hidráulica

La velocidad rotacional de la maquinariahidráulica introduce una variable extra. Laspartes móviles en una maquinariahidráulica requieren un parámetro extrapara asegurar que los patrones de líneas decorrientes sean similares en el modelo y enel prototipo. Este parámetro debe

relacionar el fluido que pasa a través(descarga) con la velocidad de las partesmóviles. Para máquinas geométricamentesimilares, si los diagramas de velocidad deentrada o de salida de las partes móvilesson similares, entonces las unidades sonhomólogas, es decir para propósitos prácticos




existe similitud dinámica. El número deFroude no es importante, pero los efectosdel número de Reynolds (conocidos comoefectos de escala debidos a que es imposible

mantener el mismo número de Reynoldsen unidades homólogas) pueden causaruna discrepancia del 2 al 3 por ciento de laeficiencia entre el modelo y el prototipo. Elnúmero de Mach también es importante encompresores de flujo axial y turbinas degas.

Ejemplo 6.4.1

El coeficiente de válvula K = p/(ρV

2

/2)para una válvula de 600mm de diámetrotiene que determinarse de pruebas sobreuna válvula geométricamente similar de300 mm de diámetro, utilizando aireatmosférico a 80° F. el rango de laspruebas debe ser para un flujo de aguas a

70° F y desde 1 a 2.5 m/s. ¿Cuáles son losrangos necesarios de flujo de aire?

Solución

El rango para el número de Reynolds parala válvula prototipo es

225

min m/pies3048.0 /spies10059.1

m6.0m/s1

v

VD

= 610,000

000,525,1)5.2(000,610min

v

VD

Para pruebas con aire a 80° F

v = (1.8 410 /spies2 ) (0.3048 m/pies)2 =

1.672 510 m2/s




Figura 6.4 Pruebas sobre modelos mostrando la influencia de una proa en forma de bulbosobre la formación de ondas




Entonces los rangos para las velocidadesde aire son

000,610 /sm10672.1

m)3.0(25

min

V

V min = 30,6 m/s

000,525,1 /sm10672.1

m)3.0(25

max

V

V max = 85 m/s

Qmin = /sm2.16m/s)6.30(m)3.0(4

32

Qmax = /sm6.0m/s)85(m)3.0(4

32




CAPÍTULO VIIFLUJO VISCOSO

TUBERÍAS YCANALES

7.1 FLUJOS LAMINARES Y

TURBULENTOS: FLUJOSINTERNOS Y EXTERNOS

El número de ReynoldsEl flujo laminar se le conoce como el flujoque se mueve en capas, o laminas que sedeslizan suavemente una sobre otraadyacente, únicamente con intercambiomolecular de momentum. Cualquiertendencia a la inestabilidad y turbulenciason atenuadas por las fuerzas cortantes viscosas que resisten el movimientorelativos de capas fluidas adyacentes. Sinembargo, en el flujo turbulento laspartículas fluidas tienen un movimientomuy errático, con un intercambio demomentum transversal violento. Lanaturaleza del flujo, es decir, si es laminar oturbulento, y su posición relativa en unaescala que muestra la importancia relativade las tendencias turbulentas o laminaresestán indicada por el número de Reynolds.

El concepto de número de Reynolds y suinterpretación se analizara a continuación.Como se explico en los capítulos anterioresse dice que dos casos de flujo sondinámicamente similares cuando

1.-Éstos son geométricamente similares, esdecir, que las dimensiones lineales

correspondientes tienen una relaciónconstante.

2.-los correspondientes polígonos defuerzas son geométricamente similares, oque las presiones en puntoscorrespondiente tienen una relaciónconstante.

Al considerar dos situaciones de flujogeométricamente similares, Reynolds

dedujo que éstos serían dinámicamentesimilares si las ecuaciones diferencialesgenerales describían sus flujos fueranidénticas. Al cambiar las unidades de masa,longitud y tiempo en un conjunto deecuaciones y al determinar la condiciónque debe ser satisfecha para hacerlasidénticas a las ecuaciones originales,Reynolds encontró que el grupoadimensional ulρ/ d debe ser igual paraambos casos. La cantidad u es la velocidadcaracterística, l es una longitudcaracterística, ρ es la densidad de masa y la viscosidad. Este grupo, o parámetro, hoy en dia se conoce como el número deReynolds R el cual es igual a

R =

ul(7.1.1)

Para determinar el significado del grupoadimensional, Reynolds llevó a cabo sus

experimentos sobre un flujo de agua através de un tubo de vidrio, tal cono seilustra en la figura (6.1). Un tubo de vidriose montaba horizontalmente con uno desus extremos en un tanque y una válvula enel extremo opuesto. Una entrada suave enforma de campana se coloca en el extremo




de aguas arriba, con un chorro de tintapuesto de tal forma que se pudiera inyectaruna pequeña corriente de tinta en cualquierpunto al frente de la boca de campana,

Reynolds tomó la velocidad promedio V como la velocidad característica y eldiámetro del tubo D como la longitudcaracterística, de tal manera que R =VDρ/.Para caudales pequeños, la corriente detinta se movía como una línea recta a lo

largo de la tubería, demostrando que elflujo era laminar. A medida que el caudalaumentaba, el número de Reynolds seincrementaba, debido a que D , ρ y eran

constantes y V era directamenteproporcional al caudal. Al aumentar elcaudal, se alcanzaba una condición en lacual la corriente de tinta ondeaba y luegosúbitamente se rompía y se difundía odispersaba por el tubo. El flujo habíacambiado a

Figura 7.1 Aparato de Reynolds

Turbulento con su intercambio violento demomentum, lo que había afectadocompletamente el movimiento ordenadodel flujo laminar. Manejandocuidadosamente su aparato, Reynoldsobtuvo un valor de R = 12,000 antes deque se estableciera la turbulencia. Uninvestigados posterior, utilizando el equipooriginal de Reynolds, obtuvo un valor de40,000, permitiendo que el aguapermaneciera en el tanque algunos díasantes de iniciarse el experimento y tomando precauciones para evitar vibraciones en el agua o en el equipo.Estos números conocidos como losnúmeros críticos superiores de Reynolds, no tieneimportancia práctica en el sentido de queuna instalación de tuberías ordinarias tieneirregularidades que causan flujosturbulentos con valores del números deReynolds mucho menores.

Empezando con flujo turbulento en latubería de vidrio, Reynolds encontró queeste siempre se volvía laminar cuando al velocidad se reducida para ser que R fueramenor que 2000. Este es el número criticoinferior de Reynold s para flujo en tubería esde importancia practica. En instalacionesusuales de tuberías el flujo cambiará delaminar a turbulento en el rango denúmero de Reynolds de 2000 a 4000. Parapropósitos generales se supone que elcambio ocurre cuando R = 2000. El flujolaminar las pérdidas son directamenteproporcionales a la velocidad promedio,mientras que el flujo turbulento las

pérdidas son proporcionales a la velocidad,elevada a una potencia que varía entre 1.7 y 2.0.

Hoy en día se utilizan muchos números deReynolds además de aquél para tuboscirculares rectos. Por ejemplo, el




movimiento de una esfera a través de unfluido pueda caracterizarse medianteUDρ/μ, donde U es la velocidad de laesfera, D es el diámetro de la esfera y ρ y

son la densidad y viscosidad del fluido,respectivamente.La naturaleza de un flujo dado de un fluidoincompresible se caracteriza por sunúmero de Reynolds. Para valores grandesde R, uno o todos los términos en elnumerador son grandes comparados con eldenominador. Esto implica una granextensión del fluido, altas velocidades, altasdensidades, viscosidades extremadamentepequeñas o combinaciones de estos

extremos. Los términos del numeradorestán relacionados con las fuerzas inerciales ocon las fuerzas causadas por la aceleracióno desaceleración del fluido. El término deldenominador es la causa de las fuerzascortantes viscosas, por consiguiente, elparámetro número de Reynolds puedetambién considerarse como la relaciónentre las fuerzas inerciales y las viscosas.Un R grande indica que el flujo altamenteturbulento con pérdidas proporcionales alcuadrado de la velocidad. La turbulenciapuede ser de escala fina , compuesta por unagran cantidad de pequeños remolinos que,en forma rápida, convierten energíamecánica en irreversibilidades a través de laacción viscosa, o puede ser de escala grande,como los grandes vórtices, remolinos enun río o ráfagas en la atmósfera. Losgrandes remolinos generan pequeñosremolinos, los que a su vez crean unaturbulencia de escala fina. Se puede pensaren el flujo turbulento como un flujo suave,

posiblemente uniforme, con un flujosecundario superpuesto en él. Un flujoturbulento de escala fina tiene pequeñasfluctuaciones en la velocidad, que ocurrena alta frecuencia.La raíz cuadrada del promedio de lasfluctuaciones al cuadrado y la frecuencia de

cambio de signo de las fluctuaciones sonmedidas cuantitativas de la turbulencia. Engeneral, la intensidad de la turbulencia seincrementa a medida que el número de

Reynolds aumenta. Para valoresintermedios de R, tanto los efectos viscosos como los inerciales sonimportantes, y los cambios en la viscosidadmodifican la distribución de velocidad y laresistencia al flujo.Para el mismo valor R dos sistemas deconductos cerrados geométricamentesimilares (uno, por ejemplo, con el dobledel tamaño del otro) tendrán la mismarelación de pérdidas con respecto a la

cabeza de velocidad. El número deReynolds es proporciona un medio parautilizar los resultados experimentalesencontrados con un fluido y predecir losresultados en un caso similar con otrofluido.

Flujos internos y externos

Otro método para clasificar los flujosconsiste en examinar la geometría delcampo de flujo. Los flujos internos

involucran el flujo en una región cerrada,tal como lo indica el nombre. Los flujosexternos involucran un fluido en unaregión sin fronteras en la cual el foco deatención está en el patrón del flujoalrededor de un cuerpo sumergido en elfluido.El movimiento de un fluido real estásignificativamente influenciado por lapresencia de la frontera. Las partículas delfluido en la pared permanecen en reposo

en contacto con ella. En el campo de flujoexiste un fuerte gradiente de velocidad enlas vecindades de la pared, una regiónconocida como capa límite es la región deesfuerzos cortantes importantes.Este capítulo estudia flujos restringidospor paredes en las cuales el efecto de capa




límite se puede extender a través de todo elflujo. La influencia de la frontera se visualiza fácilmente a la entrada de latubería de una tubería desde un embalse

(figura). En la sección A-A cerca de laentrad bien redondeada, el perfil de velocidad es casi uniforme a través de lasección transversal. La acción del esfuerzocortante en la pared consiste en retardar elfluido cerca de la pared. Comoconsecuencia de la continuidad, la velocidad se debe incrementar en la regióncentral. Después de una longitudtransicional L’, el perfil de la velocidad esfijo debido a que la influencia de la

frontera se ha extendido hasta la líneacentral de la tubería. La longitud detransición es una función del número deReynolds; para flujo laminar, Langharr [2]desarrolló la forma teórica

R.'

0580D

L (7.1.2)

La cual está bastante de acuerdo con la

observación. En flujo turbulento la capalímite crece más rápidamente y la longitudde transición es considerablemente máscorta que aquélla dada por la ecuación(7.1.2).En flujos externos, con un objeto en unfluido sin fronteras, los efectos fricciónalesestán confinados a la capa límite cercana alcuerpo. Ejemplo de esto incluye una bolade golf en vuelo, una partícula quesedimenta y un bote. El perfil de

velocidad completamente desarrollado,presentado en la figura (7.2) para un flujointerno, no existe en flujos externos. Elinterés típicamente, se encuentra

Figura 7.2 Zona de entrada a una tubería

Centrado en las fuerzas de arrastre sobre elobjeto o en las características desustentación desarrollada sobre los cuerpospor el patrón de flujo particular. Estassituaciones de flujo serán tratadas en el

siguiente capítulo.

Las ecuaciones de Navier – Stokes

Para describir la variación de losparámetros del campo de flujo en cualquierpunto en el continuo se aplica lasecuaciones de Navier – Stokes, enunciadasen el capítulo 5, las ecuaciones (5.4.12) se

anotan para completar el análisis.




x

p

x

hg

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

Dt

Du

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

x p

xhg

zw

yv

xu

t Dt D

2

2

2

2

2

2

z y x

x

p

x

hg

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

Dt

Dw

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w

Lo que sigue e este capítulo y en lossiguientes son técnicas de análisis para

simplificar estas ecuaciones y resolverlaspara casos prácticos. Los casos de flujolaminar simple se introducen en lassiguientes dos secciones.

Ejercicios

El número crítico superior de Reynolds es( a) importante desde el punto de vista dediseño ( b ) el número al cual el flujo

turbulento cambia a flujo laminar; ( c )alrededor de 2000; ( d ) no mayor que 2000;( e ) no tiene importancia práctica enproblemas de flujo en tuberías.El número de Reynolds para el flujo entuberías está dado por ( a ) VD/v; ( b )VDμ/ρ; ( c ) VDρ/v; ( d ) VD/μ; ( e ) ningunade estas repuestas.El número crítico inferior de Reynoldspara flujo en tuberías tiene un valor de( a ) 200; ( b ) 1200; ( c ) 12,000; ( d ) 40,000; ( e )ninguna de estas repuestas.El número de Reynolds para una esfera de30 mm de diámetro que se mueve a 3m/s a

través de aceite, S = 0.90 y = 0.10 kg/m*s, es ( a ) 404; ( b ) 808; ( c ) 900; ( d ) 8080; ( e )

ninguna de estas repuestas.El número de Reynolds para un caudal de10 pcs de agua a 68°F a través de unatubería de 12 pulg de diámetro es ( a ) 2460;( b ) 980,000; ( c ) 1,178,000; ( d ) 14,120,000;( e ) ninguna de estas repuestas.

7.2 Flujo laminar,

incomprensible ypermanente entre placasparalelas

Distribución de velocidad

El caso general de flujo permanente entreplacas paralelas inclinadas se desarrolla enprimer lugar para flujo laminar, con laplaca superior moviéndose a una velocidad constante U figura (figura 6.3).El




Figura 7.3 Flujo entrada paralelos con la placa superior en movimiento

Flujo entre placas fijas es un caso especialque se obtiene haciendo que U =0. En lafigura 6.3, la placa superior se mueveparalelamente a la dirección del flujo, y existe una variación de la presión en ladirección l. el flujo se analiza tomando unalamina delgada de espesor unitario comocuerpo libre. En flujo permanente lalamina se mueve con una velocidad

constante u . la ecuación de movimientoarroja

0

sen yll y y

ll yll

p y p y p

Dividiendo por el volumen del elemento,utilizando sen θ = -∂h / ∂l y simplificando

y

= )( h pl

Dado que u es función de y únicamente,

y

=dy

d ; y debido a que p + γh no cambia

de valor en la dirección y (no existeaceleración), p + γh únicamente es unafunción de l . por consiguiente, ∂( p +γh)/∂ = d( p + γh)/dl, y

Integrando la ecuación (7.2.1) conrespecto a y se encuentra

μ Ah pdl

d y

dy

du )(

Integrando nuevamente con respecto a y se obtiene

μ = B y A

yh pdl

d

2

2

1 )(

en la cual A y B son constantes deintegración. Para evaluarlas, se toma y = 0,u = 0, y y = a, u=U y se obtiene




B = 0

U = B y Aa

ah pdl

d

2

2

1 )(

Eliminando A y B se obtiene

u = ) )( ( 2

2

1 yayh p

dl

d

a

Uy

(7.2.2)

Para placas horizontales, h = C unaconstante; si no existe gradiente debido ala presión o a la elevación, es decir, unadistribución hidrostática de presión,

C h p )( y la velocidad tiene unadistribución de línea recta. Para placasfijas, U = 0 y la distribución de velocidades parabólica.El caudal que pasa a través de una seccióntransversal fija se obtiene integrando laecuación (7.2.2) con respecto a y , paraobtener

3

0 12

1

2ah p

dl

d UaudyQ

a

)(

(7.2.3)

En general, la velocidad máxima no seencuentra en el plano medio.

Ejemplo 7.1.1

En la figura 7.4 un aplaca se mueve conrespecto a la otra tal como se muestra; μ =

0.08 Ns/m2

y ρ = 850 kg/m3

. Determinarla distribución de velocidades, el caudal y el esfuerzo cortante ejercido sobre la placasuperior.

SoluciónEn el punto superior

3 / 603523

405,26800)(

m N m

PaPah p

dl

d

De la figura, a = 0.006m y U = -lm/s; y dela ecuación (7.2.2)

u=

)006.0(

) / 08.0(2

/ 6035

m0.006

m))( / 1(

2

2

3

m y- y

ms N

m N

ysm

2

= 59.646 y -37,718 y 2 m/s




Figura 7.4 Flujos entre placas inclinadas planas

La velocidad positiva máxima ocurrecuando du/dy = 0 o y = 0.00079 m y esu max = 0.0236 m/s. La velocidad máximaabsoluta ocurre en la placa enmovimiento, y , = 0.006 m donde la velocidad es -1.0 m/s. El caudal por metrode ancho es

2

006.0

0

32

006.0

0

m00164.0

573,12823.29

y yudyQ

el cual es hacia arriba. Para encontrar elesfuerzo cortante sobre la placa superior,

1

00600060 s973924367564659 . , . . . y y

dy

du

y

Pa3144973920080 ) .( .dy

du

Éste es el esfuerzo cortante fluido en laplaca superior; por consiguiente, la fuerza

cortante por unidad de área sobre la placaes 31.44 N resistiendo el movimiento de laplaca.

Pérdidas en flujo laminar

Las expresiones para las irreversibilidadesse desarrollan para un flujounidimensional, incompresible,permanente y laminar. Para flujopermanente en una tubería, entre placasparalelas o en una película de flujo de

profundidad constante, la energía cinéticano cambia y la reducción en p+ γh representa el trabajo hecho sobre el fluidopor unidad de volumen. El trabajo hechose convierte irreversiblemente mediante laacción del esfuerzo cortante viscoso. Aquíse muestra que las pérdidas en la longitudL son Q( p+ γh) por unidad de tiempo.Si u es función de y , la direccióntransversal, y el cambio en p+ γh es unafunción de la distancia x en la dirección

del flujo, se puede utilizar las derivadastotales en toda la deducción. En primerlugar, la ecuación (7.2.19)




dy

d d

dx

) h p( (7.2.4)

Con referencias a la figura 7.5, unapartícula de fluido de forma rectangular,de ancho unitario, tiene su centro en ( x,y ),donde el esfuerzo cortante es τ, la presiónes p,la velocidad es u, y la elevación es h.Esta partícula del fluido se mueve en ladirección x . En un tiempo unitario se haceun trabajo unitario sobre ella, causado porlas fronteras superficiales tal como semuestra, y pierde energía potencial yδx δ y u senθ . Como no existe cambio en la energía cinética de límite a medida que δx δy tiende a cero, se

encuentra que

unitariovolumen

potenciadenetaentrada

dy

d u

dy

du

dx

dhu

dx

dpu

(7.2.5)

Combinando con la ecuación (7.2.4)

unitariovolumen

potenciadenetaentrada=

dy

du =

22

dy

duu (7.2.6)

Figura 7.5 Trabajo hecho y pérdida de energía potencial para una partículade fluido en un flujo unidimensional.

Integrando esta expresión a lo largo de la

longitud L entre dos placas paralelas, conla ecuación (7.2.2) para U = 0 se obtiene

Entrada neta de potencia

=

a

Ldydy

duu

0

2

= μL dya ydx

h pd a2

02

2

1

)( )(

Sustituyendo para Q de la ecuación (7.2.3)para U = 0 se obtiene




Pérdidas = entrada neta de potencia

=-Q )( )(

h pQ Ldx

h pd

En la cual )( h p es la caída de )( h p a lo largo de la longitud L . La

expresión para la entrada de potencia porunidad de volumen [ecuación (7.2.6)]también es aplicable al flujo laminar enuna tubería. Las irreversibilidades son másgrandes cuando du/dy es mayor.Ejercicios

7.2.1 El esfuerzo cortante en un fluido quefluye entre dos placas paralelas fijas(a) es constante a través de la seccióntransversal;(b) es cero en placas y se incrementalinealmente hasta el punto central;(c) varía parabólicamente a través de lasección(d) es cero en el plano medio y varíalinealmente con la distancia desde el puntomedio;(e) ninguna de estas respuestas.

7.2.2 El caudal entre dos placas paralelas,separadas una distancia a , cuando unatiene una velocidad U y el esfuerzocortante es cero en la placa fija, es

(a) Ua/3. (b) Ua/2. (c) 2Ua/3.(d) Ua. (e) ninguna de estasrespuestas.

7.2.3 La relación entre la presión y elesfuerzo cortante en un flujo laminarunidimensional en la dirección x es

a)dy

du . (b)

. (c)dy

du . (d)

2

dy

du(e) ninguna de estas respuestas

7.2.4 Cuando un líquido se encuentra enmovimiento laminar con profundidadconstante y fluye hacia abajo por un planoinclinado ( y se mide perpendiculares a lasuperficie),

a) El esfuerzo cortante es cero entodo el líquido.

b) 0

dy

d

en la placa.c) τ = 0 en la superficie líquida.d) La velocidad es constante en todo

el líquido.e) No existe pérdidas.

7.2.5 Un eje de 4 pulg de diámetro rota a240 rpm en una carcaza con una luz radialde 0.006 pulg. El esfuerzo cortante en unapelícula de aceite, μ = 0.1 P es, en libraspor pie cuadrado.

a) 0.15 (b) 1.75 (c) 3.50(d) 16.70 (e) ninguna de estasrespuestas

7.3 Flujo laminar entuberías y anil los circ ulares

Tubos con forma anular

Para flujo laminar incompresible,permanente través de un tubo circular oun anillo, se toma como cuerpo libre unahoja cilíndrica infinitesimal (figura 7.6). seaplica la ecuación de movimiento en la




dirección l , con una aceleración igual acero. De la figura,

r lr dr

d lr

lr ldl

dp

r r rpr rpr

)2(2

2222

02 lsenr r

Reemplazando senθ por –dh/dl y dividiendo por el volumen del cuerpolibre, lr r 2 , se obtiene

01 )( )( r dr d

r h p

dld

Figura 7.6 Diagrama de cuerpo libre para un elemento cilíndrico delgado para flujolaminar en un tubo circular inclinado

Debido a que d )( h p /dl no es unafunción de r , la ecuación puedemultiplicarse por r r e integrarse conrespecto a r, para obtener

Ar h pdl

d r )(

2

2

(7.3.2)

En la cual a es la constante de integración.Para un tubo circular esta ecuación sedebe satisfacer cuando r = 0; porconsiguiente, A = 0 para este caso.

Sustituyendo

dr

du




r

dr Ardr h p

dl

d du

)(

2

1

En el caso anular, para evaluar A y B, u =

0 cuando r = b, el radio interno de latubería y u = 0 cuando r =a (figura 7.7).cuando se elimina A y B,

r

a

(b/a)

bar ah p

dl

d u ln

ln4

1 2222

)(

(7.3.4)

y para el cual a través de un anillo (figura7.7)

(b/a)

bar ah p

dl

d

rudr Qa

b

ln

)()(

8

2

22244

(7.3.5)

Figura 7.7 Flujo a través de un anillo.

Tubería circular: la ecuación deHagen-Poiseuille

Para la tubería circular, A = 0 en la

ecuación (7.3.3) y u = 0 para r = a ,

h pdl

d bau

4

22

La velocidad máxima u max está dada para r = 0 como

h pdld au

4

2

max

Debido a que la distribución de velocidades un paraboloide de revolución (figura7.8), su volumen es la mitad del cilindroque lo circunscribe; por lo tanto, la




velocidad promedio es la mitad de la velocidad máxima

h pdl

d a

V 8

2

El caudal Q es igual a V π a 2; porconsiguiente,

h pdl

d a

Q

8

4

Figura 7.8 distribución de la velocidad, el esfuerzo cortante y laspérdidas por unidad de volumen en un tubo circular

El caudal también puede obtenersemediante integración de la velocidad u ,sobre el área, es decir,

Q = a

0

2 π r u dr

Para una tubería horizontal, h = constante;escribiendo la caída de presión p en lalongitud L se tiene

p = dpL dl

Y sustituyendo el diámetro D se obtiene

L

D pQ

128

4

(únicamente horizontal) (7.3.10.a)

En términos de velocidad media,

L

pDV

32

2

(únicamente horizontal)

(7.3.10.b)

La ecuación (7.3.10a ) puede resolversepara la caída de presión, la cual representalas pérdidas por unidad de volumen, como

4

128

D

LQ p

(únicamente horizontal )

Se puede ver que las pérdidas varíandirectamente con la viscosidad, la longitudy el caudal, e inversamente con la cuartapotencia del diámetro. Se debe notar quela rugosidad de la tubería no entra enestas ecuaciones. La ecuación (7.3.10 a ) seconoce como la ecuación de Hagen-Poiseuille; esta fue determinada




experimentalmente por Hagen en 1839 eindependientemente por Poiseuille en1840.

Ejemplo7.3.1

Determinar la dirección del flujo a travésde la tubería de la figura 7.9, en la cual γ =8000 N/m2 y u = 0.04 kg/m s. Encontrarla cantidad que fluye en litros por segundo

y calcular el número de Reynolds para elflujo

Figura 7.9 Flujo a través de un tubo inclinado

SoluciónEn la sección 1

Ρ + γ h = 200,000 N/ m2 + (8000 N/m)(5 m) = 240 kPa

Y en la sección 2

Ρ + γ h = 300 kPa

Si el nivel de referencia se toma en lasección 2. el flujo ocurre desde la sección2 hasta la 1, debido a que la energía esmayor en la sección 2 (la energía cinéticadebe ser la misma en cada sección) que enla sección 1. Para determinar la cantidadque fluye, se escribe la expresión

2

2

N/m6000

m10

N/m000,240000,300

h p

dl

d

con l positiva desde la sección 1 hasta la2. Sustituyendo en la ecuación (7.3.9) sellega a

L/s0.0368-s / m0000368.0

N/m6000)s/mN(0.048

(0.005m)

3

3

2

4

Q

La velocidad media es

m/s468605m0(0.0

sm000036802

3

. )

/ .

V

y el número de Reynolds es




6.95m/s806.9

N/m8000

)s/mN4(0.0

s / )m/s)(0.01m4686.0(

2

3

2

VD R

Si el número de Reynolds hubiese sidomayor que 2000, la ecuación de Hagen-Poiseuille ya no sería aplicable, tal como seanalizó en la sección 7.1.

Nota

El factor de corrección de energía cinética,puede determinarse para el flujo laminaren una tubería utilizando las ecuaciones(7.3.6) y (7.3.7)

2

122a

r

u

u

V

u

max

(7.3.12)

Sustituyendo la expresión para α seobtiene

2

21211

0

2

2

3

rdr a

r

adA

V

u

A

a

(7.3.13)

Existe el doble de energía en el flujo conrespecto a un flujo uniforme con la misma velocidad media. El factor de correcciónde momentum se obtiene reemplazando el

exponente 3 por el exponente 2,obteniéndose β =4/3. La distribución deesfuerzo cortante, velocidad y pérdida porunidad de volumen se muestra en la figura7.8 para una tubería circular.

Ejercicios

7.3.1 El esfuerzo cortante en un fluido quefluye dentro de una tubería circular

a) Es constante a través de la seccióntransversal.b) Es cero en la pared y se incrementalinealmente hacia el centro.c) Varía parabólicamente a través de lasección.d) es cero en el centro y varía linealmentecon el radio.e) ninguna de estas respuestas.

7.3.2 Cuando la caída de presión en unatubería de 24 pulg de diámetro es10 psi en 100 pies, el esfuerzocortante en la pared, en libras porpie cuadrado, es

a) 0 b) 7.2 c) 14.4d) 720 e) ninguna de estasrespuestas

7.3.3 En flujo laminar a través de unatubería circular el caudal varia

a) linealmente con la viscosidad.b) con el cuadrado del radio.c) inversamente con la caída de presión.d) inversamente con la viscosidad.e) Con el cubo del diámetro.

7.4 RELACIONES PARAFLUJO TURBULENTO

Promedio temporal




En un flujo turbulento las fluctuacionesaleatorias de cada componente de velocidad y el término de presión en lasecuaciones ( 5.4.12 ) hacen que el análisis

exacto sea muy difícil, si no imposible, aúncon métodos numéricos. Es másconveniente separar las cantidades en valores medios o promedios en el tiempoy en partes fluctuantes. Por ejemplo lacomponente x de la velocidad u serepresenta por

uuu (7.4.1)

tal como se muestra en la figura 7.10, en lacual el valor medio es la cantidadpromediada en el tiempo, definida por

0

0

1 T t

t udt

T u (7.4.2)

El límite T 0 en la integral es el periodo detiempo promedio, adecuado para elproblema particular, el caudal es mayorque cualquier periodo de las variacionesturbulentas de escala fina. Se nota en lafigura 7.10 y en la definición de que lafluctuación tiene un valor

Figura 7.10 Fluctuaciones turbulentas en la dirección del flujo

7.10 y en la definición de que lafluctuación tiene un valor medio cero

01 0

0

uudt uu

T

uT t

t

)(

(7.4.3)

Sin embargo, el promedio cuadrado decada fluctuación no es cero.

01 0 2

0

2 T t

t dt uu

T u )( (7.4.4)

La raíz cuadrada de esta cantidad, la raízmedia cuadrad de los valores medidos de

las fluctuaciones, es una medida de laintensidad de la turbulencia. Reynolds [4]partió cada propiedad en variables mediasy fluctuantes

www p p p




En cada caso el valor medio de lasfluctuaciones es cero y la media cuadradano lo es. Tampoco lo son los productos

medios de las fluctuaciones, tales comowuu , etc.,cero.

Sustituyendo las partes medias y fluctuantes de las variables en la ecuaciónde continuidad, para un flujoincompresible arroja

0

z

w

y x

u

Las ecuaciones de momentumpromediado temporalmente contienen alproducto de las componentes de velocidadfluctuantes x, y y z . En la dirección x la ecuación seconvierte en

2

2

2

2

2

2

zu

yu

xuh p

x

uw x

u x

uu xt

u

Debido a que u ωu ,uu y representapromedios temporales de los términos deaceleración inercial no tiene una formamanejable. Es necesario tenerlos en formade productos de promedios más no comopromedios de productos. En lugar debuscar una formulación similar al enfoque

empleados con los factores de correcciónde energía cinética o momentum,Reynolds utilizó una descomposiciónpromedio de los términos de aceleración,los cuales, después de algunastransformaciones algebraicas, dieron comoresultados lo siguiente

uuuuuuuuuuuu

similarmente

uuu

wuwuwu

Reemplazando estos términos en laecuación anterior, lleva a

uh p

x

wuwu x

uu x

uuuu xt

u

ρ uu , ρ u , ρ wu son términosfísicamente complejos pero para los flujosturbulentos simples, analizados porReynolds, se demostró (y fue verificadopor otros desde entonces) que estostérminos proveen un efecto parecido al

esfuerzo. Consecuentemente, estostérminos, al igual que aquéllos en lasecuaciones y y z, se conocen como losesfuerzos de Reynolds. Estos términos son losresponsables de una considerable mezcla eintercambio de momentum en flujoturbulento, y su magnitud dominacompletamente los términos de esfuerzos viscosos en flujos turbulentos. Sinembargo se debe recordar que tiene suorigen en los términos de aceleración

inercial y para muchos flujos geofísicostienen una física más compleja que elsimple comportamiento “como esfuerzo”.Por consiguiente el término “esfuerzo deReynolds” no se refiere a una descripciónfísica fuerte sino a un homenaje al autor




de este concepto de análisis y de punto de vista.

La serie compleja de ecuaciones se escribepara la dirección x como

h p x

z

u

w y

u

v x

u

ut

u

Dt

u D

(7.4.6.a)

+

z

uwu

y

uvu

x

uuu

x

o

z y x

h p x Dt

u D zx yx xx

donde

τxx = x

uuu

, etc.

para la dirección y como

h p y

zw

y xu

t Dt

v D

(7.4.6.b)

+

zw

y xu

y

z y x

h p x Dt

D zy yy xy

y para la dirección z como

h p z

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

Dt

w D

(7.4.6.c)

+

z

www

y

wwv

x

wwu

z

z y x

h p z Dt

w D zz yz xz

Debido a que en general, los esfuerzos deReynolds son desconocidos, se utilizanmétodos empíricos basados en

razonamiento intuitivo, análisisdimensional, o experimentos físicos paraayudar en su análisis. En un flujo




unidimensional, en la dirección x, el

esfuerzo turbulento -ρ u es el másimportante, y la ecuación de momentumlineal puede aproximarse por

t

u

yh p

x

(7.4.7)

en la cual

u y

u xy (7.4.8)

es un esfuerzo total formado por

componentes laminar τ1 y turbulento τt.El esfuerzo cortante aparente en flujoturbulento se expresa en forma similar a laley de viscosidad de Newton, es decir

y

uu

1 (7.4.9)

donde η es un coeficiente empíricoconocido como la viscosidad de remolino.

Longitud de mezcla de Prandtl

En la teoría de Prantl [6] se obtieneexpresiones para u΄ y υ΄ en términos deuna distancia de longitud de mezcla l y del

gradiente de velocidad du/dy , en la cual u es la velocidad media temporal en unpunto (la barra encima de u se ha dejadode lado) y y es la distancia perpendicular a

u , usualmente medida desde la frontera.En un gas una molécula, antes de chocarcon otra, viaja a una distancia promedioconocida como la trayectoria libre media delgas. Utilizando esto como una analogíafigura (7.11 a), Prantl supuso que unapartícula de fluido se desplaza unadistancia l antes de que su momentum seacambiado por el nuevo ambiente. Luego lafluctuación u΄ sea relacionada con l mediante

u~ l dy

du

lo cual significa que la cantidad de cambioen la velocidad depende de las variacionesen la velocidad media temporal, en dospuntos apartados a una distancia l en ladirección y. utilizando la ecuación decontinuidad, él dedujo que debe existir unacorrelación entre u΄ y υ΄ (figura 7.1.1b), de

tal manera que υ΄ sea proporcional a u΄

υ΄ ~ u΄~ l dy

du

Figura 7.11 Notación para la teoría de longitud de mezcla




Sustituyendo para u΄ y υ΄ y dejando que l absorba el coeficiente de

proporcionalidad, la ecuación que define lalongitud para mezcla se obtiene como

2

2

1

dy

dulu

t xy

(7.4.10)

τ siempre actúa en el sentido que hace quela distribución de velocidad se vuelva másuniforme. Cuando se compara la ecuación(7.4.9) con la (7.4.10), se encuentra que la viscosidad de remolino es

dy

dul 2 (7.4.10)

Pero η no es una propiedad del fluido talcomo la viscosidad dinámica; en lugar deesto, η depende de la densidad, delgradiente de velocidad y longitud demezcla l , y en general varía de punto a

punto en el campo de flujo. En flujoturbulento existe un intercambio violentode paquetes de fluido excepto en lafrontera, o muy cerca de ésta, donde dichointercambio se reduce a cero, porconsiguiente, l debe aproximarse en lafrontera del fluido. la relación particular del con la distancia a la pared y , no está dadapor la deducción de Prandtl. Von Kármán[7] sugirió , después de considerarrelaciones de similitud en un flujoturbulento, que

22dyud

dyduk l

/

/ (7.4.12)

Donde k es una constante universal en elflujo turbulento, sin importar la

configuración de la frontera o el valor delnúmero de Reynolds. El coeficiente de

Von Kármán, k, tiene un valor de 0.4.En flujos turbulentos η, la viscosidad deremolino, es generalmente mucho mayorque μ. Puede considerarse como uncoeficiente de transferencia demomentum, el cual expresa latransferencia de momentum desde puntosdonde la concentración es alta hastapuntos donde es baja. Es convenienteutilizar una viscosidad de remolino cinemática є =η/ ρ, la cual depende de los parámetros

de flujo únicamente, y es análoga a la viscosidad cinemática.

Distribución de velocidad

En flujos turbulentos, las condicionescercanas a una superficie sonconsiderablemente más complejas que enflujos laminares. Es conveniente visualizarla capa de esfuerzo turbulento cerca deuna pared lisa como dividida en tres capas(figura 7.12). En la capa viscosa cercana a

la pared o subcapa laminar, el esfuerzocortante en el fluido es esencialmenteconstante e igual al esfuerzo cortante en lapared τ0. La distribución de velocidad estárelacionada con el esfuerzo cortante y la viscosidad absoluta dentro de la región y δ’ mediante la ley de viscosidad deNewton.

y

uv

y

u

0

(7.4.13)

Aquí δ’ es el espesor de la subcapa laminar

y el término /

tienedimensiones de velocidad y se conoce




como la velocidad de esfuerzo cortante o velocidad de fricción u * . Por consiguiente,

v

yu

u

u

(7.4.14)

muestra una relación lineal entre u y y en lapelícula laminar. Éste se extiende hasta un valor de u 0 y/v = 5 es decir,

uv5 (7.4.15)

Figura 7.12 Esquema de distribución de (a) esfuerzo cortante (b) velocidad cercade una pared en flujo turbulento

En la capa de translapo se supone que elesfuerzo cortante es aproximadamenteigual al esfuerzo cortante en la pared(figura 7.12), pero la turbulencia domina y el esfuerzo cortante viscoso expresado enla ecuación (7.4.13) no es importante. Porconsiguiente, la ecuación (7.4.9) produce

2

2

0

dy

dul (7.4.16)

Debido a que l tiene dimensiones delongitud, y basados en consideracionesdimensionales, debería ser proporcional a y ( la única dimensión lineal importante),

se supone l = k y . Sustituyendo en laecuación (7.4.16) y reordenando

y

dy

k u

du 1

(7.4.17)

Y la integración lleva a

constanteln1

y

k u

u(7.4.18)

Se debe notar que al sustituir este valor deu en la ecuación (7.4.12) tambiéndetermina 1 como proporcional a y (d2u /d y 2 es negativo, debido a que elgradiente de velocidad disminuye a medida




que y crece). La ecuación (7.4.18) coincidebastante con los experimentos, y dehecho también es útil cuando τ es funciónde y , debido a que la mayor parte del

cambio de velocidad ocurre cerca de lapared, donde τ es sustancialmenteconstante. Es bastante satisfactorio aplicarla ecuación al flujo turbulento en tuberías.

Ejemplo 7.4.1

Integrando la ecuación (7.4.18), encontrarla relación entre la velocidad media V y lamáxima velocidad u m en flujo turbulentoen una tubería.

SoluciónCuando y = r 0, entonces u=u m , de talmanera que

0rln

1 y

k u

u

u

u m

El caudal Vπ 2

0r se obtiene integrando la velocidad a través del área como

dy yr r

y

k

uu

urdr r V

0

m

r

r

0*

0

2

0

ln2

2

0

0

La integración no puede llevarse hasta y =0debido a que la ecuación únicamente escierta en la zona turbulenta. El volumenpor segundo que fluye en la zona laminar

es tan pequeño que puede ser despreciado.

Entonces1

2 uV or

m

/

En la cual la variable de integración es y/r 0.

Integrando se llega a

1

/

2

00

2

0000

*

2

00

0

4

1ln

2

1ln

2

1

2

r

m

r

y

r

y

r

y

r

y

r

y

r

y

k

u

r

y

r

y

u

V

Debido a que δ΄/r 0 es muy pequeño,términos tales como δ΄/r 0 y δ΄/r 0 ln( δ΄/r 0 )se vuelven despreciables (lim→0 x lnx =0);luego

k

u

uV m

*

2

3

o

k u

V um

2

3

*

Ejemplo 7.4.2

En el flujo en un canal abierto con unaprofundidad d, encontrar una relaciónentre la velocidad media V y los valoresmedidos en forma puntual para la velocidad en la capa límite. Encontrar laprofundidad a la cual la velocidad puntuales igual a la velocidad media.

Solución Aplicando la ecuación (7.4.18) a un flujo asuperficie libre

0

1

y

y

k u

uln

*

Donde y 0 es un factor de integraciónderivado de la condición que esta muy




cerca del fondo rugoso del canal donde y = y 0. Como resultado u = 0. La velocidadmedia se encuentra de

dy y

y

k

u

yd V

d

y

000

1 ln*

o, con y 0/d << 1, como

k

u

y

d

k

uV ** ln

0

Se encuentra una ley de déficit de velocidad como

k y

d

k u

uV 11

ln

*

o

V k

u

y

d

k

uu ** ln

Igualando u = V , la profundidad a la cualla velocidad puntual es igual a la velocidad.

En la práctica, la velocidad puntualalgunas veces se mide en y = 0.4d , y este

valor se utiliza como la velocidad media en vez de medir la distribución de la velocidad para encontrar el promedio. Alternativamente, el promedio de dos

mediciones puntuales, en y = 0.8d y y =0.2d , usualmente se utiliza como velocidadmedia.

7.5 PÉRDIDAS DE ENERGÍAEN FLUJO TURBULENTOEN CONDUCTOSABIERTOS Y CERRADOS

En flujo permanente, uniforme,turbulento incompresible en conductos desección transversal constante, el esfuerzocortante en la pared varíaaproximadamente en proporción alcuadrado de la velocidad promedio

2

02

V

(7.5.1)

Figura 7.15 Fuerzas axiales en un volumen de control en un conducto




En la cual λ es un coeficienteadimensional. En canales abiertos y conductos cerrados no circulares, es

esfuerzo es cortante no constante en lasuperficie. En estos casos τ0 se utilizacomo el esfuerzo cortante promedio en lapared.En la figura 7.15, se indica un flujouniforme permanente ya sea en conductoabierto o cerrado. Para un canal abierto p1

y p2 son iguales y el flujo ocurre comoresultado de la reducción en energíapotencial, z 1 – z 2 m*N/N. Para flujos enconductos cerrados, la energía puede ser

suministrada por la caída en la energíapotencial al igual que por la caída en lapresión p1 – p2 . en una tubería con flujo vertical hacia abajo, p2 podría aumentar enla dirección del flujo, pero la caída en laenergía potencial z 1 – z 2 tendría que sermayor que ( p1 – p2 )/ γ a fin de suministrarla energía necesaria para contrarrestar elesfuerzo cortante en la pared.Se puede escribir la ecuación de energía,para relacionar las pérdidas con lareducción en energía disponible.

212

2

221

2

11

22

perdida z

g

V p z

g

V p

Dado que la velocidad V 2 /2g es la misma.

Pérdida1-2= 2121 z z

p p

(7.5.2)

Debido a la suposición de flujo uniforme,se aplica la ecuación de momentum linealen la dirección l para obtener

LP ALsen A p pF 0211 0

En donde P es el perímetro mojado delconducto, es decir, la porción delperímetro en la cual la pared se encuentraen contacto con el fluido (excluyendo lasuperficie libre del líquido). Debido a queL sen θ = z 1 – z 2

2121 z z

p p

=

A

LP

0 (7.5.3)

De las ecuaciones (7.5.2) y (7.5.3),utilizando la ecuación (7.5.1)

Pérdida1-2= A

LP

0 = A

LPV

2

2

=g

V

R

L

2

2

(7.5.4)

En donde R = A/P ha sido sustituido. R,conocido como el radio hidráulico delconducto, es bastante útil al tratar canalesabiertos. Para una tubería R = D/4.El término pérdidas de la ecuación (7.5.4)se encuentra en unidades de metros-newtons por newton o pies-libras porlibra. Se le conoce como h f , las pérdidas de cabeza debidas a la fricción. Definiendo S como las pérdidas por unidad de peso porunidad de longitud del canal, se llega a

g

V

R L

h

S f

2

2 (7.5.5)

Después de despejar V ,




RSaC RS g

V

2

(7.5.6)

El coeficiente λ, o coeficiente C , debeencontrarse experimentalmente. Ésta es lafórmula de Chézy, en la cual originalmentese pensó que el coeficiente C de Chézy erauna constante para cualquier tamaño deconducto o condición superficial de pared.Hoy en día se utilizan diferentes fórmulaspara C .Para tuberías, cuando λ = f/4 y R = D/4,se obtiene la ecuación de Darcy- Weisbachcomo

g

V

D

L f h f

2

2

(7.5.7)

en la cual D es el diámetro interno de latubería. Esta ecuación puede aplicarse acanales abiertos en la forma

RS f

gV

8 (7.5.8)

con valores de f que deben determinarse apartir de experimentos en tuberías.

Ejercicios

7.5.1 El radio hidráulico esta dado por

a) el perímetro mojado dividido porel área.

b) el área dividida por el cuadrado delperímetro mojado.c) la raíz cuadrada de las áreas.d) el área dividida por el perímetro

mojado.e) ninguna de las anteriores.

7.5.2 El radio hidráulico para un canalabierto de 60mm de ancho y 120mm deprofundidad es, en milímetros

a) 20 b) 24 c) 40 d)60 e) ninguna de las anteriores

7.6 FLUJOSPERMANENTESUNIFORMES EN CANALESABIERTOS

Para flujo incompresible permanente, conprofundidad constante en un canal abiertoprismático, con pendiente del lecho, S 0, lafórmula de Manning es ampliamenteutilizada. Ésta se puede obtener de laformula de Chézy (7.5.6) haciendo que

61 / Rn

C C m (7.6.1)

De tal manera que

2132 / / S Rn

C V m (7.6.2)

Formula

La cual es la fórmula de Manning.El valor de C m es 1.49 y 1.0 para unidadesUSC y SI, respectivamente; V es la velocidad promedio en la sección

transversal; R es el radio hidráulico(sección 7.5); y S son las pérdidas porunidad de peso y unidad de longitud delcanal. Para flujo uniforme permanente,fácilmente se puede demostrar que S esigual a S 0 la pendiente del fondo del canal. También es la pendiente de la superficie




del agua, la cual para un flujo uniforme esparalela al fondo del canal. Se pensaba queel coeficiente n era un coeficiente derugosidad absoluta, es decir, dependiente

únicamente de la rugosidad superficial,pero realmente depende del tamaño y laforma de la sección transversal del canalde madera desconocida. En la tabla 7.1 sedan los valores de los coeficientes n determinando mediante pruebas encanales reales. La ecuación (7.6.2) debetener unidades consistentes USC o SI talcomo se indicó, para utilizar los valoresdados en la tabla 7.1.†

Tabla 7.1 Valores promedios para elcoeficiente de Rugosidad de Manning paradiferentes materiales de pared ‡

Materiales de pared n deManning

Madera cepilladaMadera sin cepillarConcreto bien terminadoConcreto sin pulirHierro fundido

Ladrillo Acero ribeteadoMetal corrugadoCanto rodado Tierra Tierra, con piedras y plantasGrava

0.0120.0130.0120.0140.015

0.0160.0180.0220.0250.0250.0350.029

‡ El trabajo hecho por el U.S Bureau of reclamation y otras agencias gubernamentales indica que el facyor de rugosidad de Manning debería incrementarse ( por ejemplo, 10 o 15 por ciento) para radios hidráulicos superiores a 10 pies. La pérdida de capacidad en canales grande se debe al aumento de a rugosidad con la edad, el crecimiento de plantas, los depósitos y la adición de pilas puente u otras constricciones en el canal

Cuando la ecuación (7.6.2) se multiplicapor el área de la sección transversal A, lafórmula de Manning toma la forma

2132 / / S ARn

C Q m (7.6.3)

Cuando el área de la sección transversal esconocida, cualquiera de las otrascantidades puede obtenerse de la ecuación(7.6.3) mediante solución directa.

Ejemplo 7.6.1

Determinar el caudal para un canaltrapezoidal (figura 7.16) con un ancho defondo de b=8 pies y taludes laterales de 1a 1. La profundidad es 6 pies y lapendiente del fondo es 0.0009. El canaltiene un revestimiento de concreto bienterminado.

SoluciónDe la tabla 7.1, n = 0.012. El área es

A = 8(6) + 6(6) = 84 pies2

y el perímetro mojado es

P = 8 + 2(6 2 ) = 24.96 pies

Sustituyendo la ecuación (7.6.3)

703000909624

8484

00120

491 21

32

/

/

. . .

.Q pc

s

En algunos casos se requieren solucionesde prueba y error cuando el área de lasección transversal es conocida. Lasexpresiones tanto para el radio hidráulicocomo para el área contienen la




profundidad en una forma que no puedeser resuelta explícitamente.

Ejemplo 7.6.2

Las autoridades de regulación ambientalhan obligado a un urbanizador a construirun canal abierto con el fin de prevenirerosión. El canal tiene una seccióntransversal trapezoidal y una pendiente de0.0009. El ancho del fondo es 10 pies y lostaludes laterales son 2:1 (horizontal a vertical). Si se utiliza cantos rodadosesféricos rugosos ( γ s = 135 lb/pie3 ) comorecubrimiento, encontrar el mínimo D 50 de

los cantos que pueden utilizarse. El caudalde diseño es 1000 pcs. Suponer que elesfuerzo cortante que soportan los cantosestá descrito mediante

500400 Ds . lb/pie2

En donde γ s es el peso específico de laroca y D 50 es el diámetro promedio de laroca en pies.

SoluciónUn n de Manning de 0.03 es apropiadopara los cantos rodados. Para encontrar eltamaño del canal, de la ecuación (7.7.3)

0305210

210

030

4911000

32

35

. .

. /

/

y

y y

Mediante solución por pruebas y error, laprofundidad es y = 8.62 pies y el radiohidráulico es R = 4.84 pies. De la ecuación(7.5.4) y (7.5.5)

27200009084446200 . . . . RS lb/pie2

Parta encontrar el tamaño de D 50 para

movimiento incipiente, τ = τ0 y

0.040(135 – 62.4) D 50 = 0.272

Por consiguiente, D 50 = 0.0936 pies.

7.7 flujo permanenteincompresible a través detuberías simples

Fórmula de Colebrook

Un balance de fuerzas para flujopermanente (sin aceleración) en unatubería horizontal (figura 7.17) arroja

Lr r p 00

2

0 2

Ésta se simplifica a

2

00

r

L

p

(7.7.1)

La cual se mantiene para flujo laminar oturbulento. La ecuación de Darcy- Weisbach (7.5.7) puede escribirse como

22

2

0

V

r

L f h p f

Eliminando Δ p en las dos ecuaciones y simplificando se obtiene

V f

8

0

(7.7.2)

La cual relaciona el esfuerzo cortante en lapared, el factor de fricción y la velocidad




media. La velocidad media V puedeobtenerse de la ecuación (7.4.20)integrando a través de la seccióntransversal. Sustituyendo V en la ecuación

(7.7.2) y simplificando, se produce laecuación para el factor de fricción para elflujo de tuberías lisas

f B A f

ss Rln( 1

(7.7.3)

Utilizando los datos de Nikuradse [9] paratuberías lisas, la ecuación se convierte en

8086901

. )ln( . f f

R (7.7.4)

Para tuberías rugosas en la zonacompletamente turbulenta,

D B

DmF

f r

ln ,2

1(7.7.5)

Figura 7.17 Condiciones de equilibrio para flujo permanente en una tubería

En la cual F 2 es, en general, una constantepara la forma y los espaciamientos de loselementos de rugosidad dados. Para larugosidad artificial de granos de arena deNikuradse, la ecuación (7.7.5) se convierteen

D f

ln . . 8690141

1

La altura de la rugosidad є para las tuberías

con rugosidad de arena puede utilizarsecomo una medida de la rugosidad entuberías comerciales. Si se conoce el valorde f para una tubería comercial en la zonade turbulencia, en la pared completamentedesarrollada, es decir, para número deReynolds grandes y pérdidas

proporcionales al cuadrado de la velocidad,el valor de є puede calcularse utilizando laecuación (7.7.6). en la región de transición,done f depende tanto de є/D como de R ,las tuberías con rugosidad de arenaproducen resultados diferentes a los de lastuberías comerciales. Esto se hace evidenteen la gráfica basadas en las ecuaciones(7.7.4) y (7.7.6) que muestran las pruebasrealizadas tanto en tuberías con rugosidadde arena como en tuberías como entuberías comerciales. Reordenando la

ecuación (7.7.6) arroja

14186901

.ln .

D f




Y añadiendo 0.869 ln (є/D ) a ambos ladosde la ecuación (7.7.4) lleva a

80869086901

.ln .ln .

D

f

D f

R

Seleccionando 1/ 8690 . f ln (є/D )

como la ordenada y ln ( R f (є/D )) comola abscisa (figura 7.18), los resultados de laspruebas sobre tuberías lisas dan una gráficacon una línea recta con pendiente + 0.869,y las pruebas en tuberías rugosas, en lazona completamente turbulenta, dan unalínea horizontal. Los resultados de las

pruebas con rugosidad artificial de arena deNikuradse se muestra mediante la líneapunteada en la región de transición, y losresultados de las pruebas en tuberíascomerciales se representan gráficamentemediante la línea curva más baja.

La razón de la diferencia en la forma entrela curva de rugosidad artificial de

Nikuradse y la de rugosidad comercial esque la subcapa laminar o película laminar,cubre todas las rugosidades artificiales opermiten que estas sobresalganuniformemente a medida que el espesor dela película disminuye. Para la rugosidadcomercial, la cual varía enormemente enuniformidad, pequeñas porciones seextienden por fuera de la película enprimer lugar, a medida que la películadisminuye en espesor con el aumento del

número de Reynolds. Una función detransición empírica para tuberíascomerciales desde la región de tuberíaslisas hasta la zona de turbulencia completaha sido desarrollada por

Figura 7.18 Función de transición de Colebrook

Colebrook

f

D

f R

5232

73ln8690

1 .

.

/ . (7.7.7)

La cual es la base para el diagrama deMoody ( figura 7.21) analizada en detalleen la siguiente sección.




Flujo en tuberías

En flujo permanente incompresible en unatubería, las irreversibilidades se expresan en

términos de pérdida de cabeza o caída en lalínea piezométrica. La línea piezométrica seencuentra p/γ por encima del centro de latubería , y si z es la elevación del centro dela tubería, entonces z + p/γ es la elevaciónde un punto de la línea piezométrica. Ellugar geométrico de los valores de z + p/γ a lo largo de la tubería es la líneapiezométrica. Las pérdidas, oirreversibilidades, hacen que esta líneacaiga en la dirección del flujo. La ecuación

de Darcy-Weisbach (ecuación (7.5.7))

g

V

D

L f h f

2

2

Generalmente se adopta para el cálculo delflujo en tuberías. h f es la pérdida decabeza, o caída en la línea piezométrica, enla tubería de longitud L , un diámetrointerno D y una velocidad promedio V . h f tiene dimensiones de longitud y se expresa

en términos de pie-libras por libra ometros –newton por newton. El factor defricción f es un factor adimensional que serequiere para hacer que la ecuaciónproduzca valores correctos de las pérdidas. Todas las cantidades de la ecuación (7.5.7)exceptuando f , puede medirseexperimentalmente. Un montaje típico semuestra en la figura 7.19. Midiendo elcaudal y el diámetro interno, se puedecalcular la velocidad promedio. Las

pérdidas de cabeza h f se mide utilizando unmanómetro diferencial unido a aperturaspiezométrica en las secciones 1 y 2,separadas a una distancia L.

La experimentación demuestra que losiguiente es cierto en flujo turbulento:

1. La pérdida de cabeza varíadirectamente con la longitud de latubería.

2. La pérdida de cabeza varía con casi elcuadrado de la velocidad.

3. La pérdida de cabeza varía con casi el

inverso del diámetro.4. La pérdida de cabeza depende de la

rugosidad superficial de la paredinterior de la tubería.

5. La pérdida de cabeza depende de laspropiedades del fluido, densidad y viscosidad.

6. La pérdida de cabeza es independientede la presión.

El factor de fricción f debe seleccionarsede tal manera que la ecuación (7.5.7) arrojecorrectamente la pérdida de la cabeza; porconsiguiente, f no puede ser constante sinoque debe depender de la velocidad V , eldiámetro D , de la densidad ρ de la viscosidad μ y de ciertas características dela rugosidad de




Figura 7.19 Montaje experimental para determinar la pérdida de cabeza en una tubería

La pared representadas por la paredrepresentadas por є, є’ y m , donde є es unamedida del tamaño de las proyecciones dela rugosidad y tiene dimensiones delongitud, є’ es una medida delordenamiento o espaciamiento de loselementos de la rugosidad y también tienedimensiones de longitud, y m es un factorde forma que depende de la forma de loselementos de rugosidad individual, y esadimensional. El término f , en lugar de seruna constante simple, depende de sietecantidades:

f = f ( V,D,ρ, μ,,’,m ) (7.7.8)

Debido a que f es un factor adimensional,éste debe depender de la agrupación deestas cantidades en parámetrosadimensionales. Para una tubería lisa є =є’= m = 0, dejando f dependientes de lasprimeras cuatro cantidades. Éstas solopueden ordenarse en una forma parahacerlas adimensionales, es decir VDρ/μ ,que es el número de Reynolds. Paratuberías rugosas, los términos y ’

pueden hacerse adimensionalesdividiéndolos por D . por consiguiente

m

D D

VD f f ,

' , ,

(7.7.9)

La comprobación de esta relación se deja ala experimentación. Para tuberías lisas, unagráfica de de todos los resultadosexperimentales muestra la relaciónfuncional, sujeta a una dispersión de ± 5por ciento. La grafica del factor de friccióncon respecto al número de Reynolds enuna escala log-log se conoce como eldiagrama de Stanton . Blablius El primero encorrelacionar los experimentos sobretuberías lisas en flujo turbulento, presentólos resultados mediante una fórmulaempírica que es válida hasta alrededor de R = 100,000. La fórmula de Blasius es

1/4

3160

R

. f (7.7.10)

En tuberías rugosas el termino /D seconoce como rugosidad relativa. Nikuradseprobó la validez del concepto de rugosidadrelativa utilizando sus pruebas sobretuberías con rugosidad de arena. Él utilizótres tamaños de tuberías a las que les pegogranos de arena (є = diámetro de losgranos de arena) de tamaño prácticamente

constante al interior de las paredes, de talmanera que tenía los mismos valores deє/D para diferentes tuberías. estosexperimentos (figura 7.20) demostraron.




Figura 7.20 pruebas de Nikuradse con tubería de rugosidad de arena

Que para valores de /D la curva de f versus R se conecta suavemente sinimportar el diámetro real de la tubería.Estas pruebas no permitieron la variaciónde є’/D o m pero probaron la validez de laecuación para un tipo de rugosidad

DR, f f

Debido a la gran complejidad de lassuperficies rugosas naturales, la mayoría delos avances en el entendimiento de lasrelaciones básicas se han desarrollado apartir de experimentos en tuberías conrugosidad artificial. Moody (13) haconstruido una de las gráficas KXr3apropiadas para determinar los factores defricción en tuberías comerciales limpias. Lagráfica 7.21 es la base para los cálculos deflujo en tuberías. La gráfica es un diagramade Stanton que expresa f como función dela rugosidad relativa y del número deReynolds. Los valores de la rugosidad

absoluta para tuberías comerciales sedeterminan mediante experimentos en loscuales f y R se encuentran y se sustituye enla fórmula de Colebrook, ecuación (7.7.7),la cual representa apropiadamente latendencia de tuberías naturales. Estos valores se expresan en la tabla, en la

esquina inferior izquierda de la figura 7.21.La formula de Colebrook da la forma delas curvas /D = constante en la región detransición.La línea marcada como “flujo laminar” enla figura 7.21 es la ecuación Hagen-Poiseuille.La ecuación (7.3.10.b),

L

pr V

8

2

0

Puede transformarse en la ecuación (7.5.7)con f h p y resolviendo para h f




g

V

D

L

ρ DV/μ

64

g

V

D

L

ρ D

64μ

γ r

VL8 μh

2

0

f 22

2

o

g

V

D

L64

g

V

D

L f h f

22

22

R (7.7.11)

de la cual

R

64 f (7.7.12)

Esta ecuación la cual se representa como

una línea recta con pendiente -1 en unagráfica log-log, puede utilizarse en lasolución de problemas con flujo laminar entuberías. Ésta se aplica a todas lasrugosidades, debido a que la perdida decabeza en el flujo laminar es independientede la rugosidad de la pared.




Figura 7.21 Diagrama Moody




CAPITULO VIII

Flujos externos8.1 FUERZAS DE CORTE YDE PRESIÓN

El arrastre y la sustentación se definencomo las componentes de fuerza paralelay normal, respectivamente, ejercidos sobreun cuerpo por el fluido en movimiento, ala velocidad relativa de aproximación. Tanto los esfuerzos debidos a la presióncomo los viscosos actúan sobre uncuerpo sumergido y uno de los doscontribuyen a las fuerzas resultantes. Laacción dinámica del fluido en movimientoes la que desarrolla el arrastre y lasustentación; otras fuerzas tales como lafuerza gravitacional del cuerpo y lasfuerzas de boyamiento no se incluyen en elarrastre ni en la sustentación.

El flujo alrededor de un ala provee unejemplo introductorio. Los esfuerzoscortantes pueden visualizarse comoaquellos que actúan a lo largo de lasuperficie del ala (figura 8.1) la velocidaddel flujo sobre la parte superior del ala esmayor que la velocidad de corriente libre;

por consiguiente, aplicando la ecuación deBernoulli, la presión en la parte superior esmenor que la presión de corriente libre. La velocidad en la parte inferior es menor que

la velocidad de corriente libre, lo que dacomo resultado una presión mayor que lade la velocidad de corriente libre. Estegradiente de presión es el responsable de lafuerza de sustentación sobre el ala,mientras que la fuerza de arrastre es elresultado tanto de las diferencias depresión como de los esfuerzos cortantes.

Conceptualmente la sustentación y elarrastre pueden calcularse directamente a

partir de los esfuerzos de presión y losesfuerzos viscosos. Un ala bidimensionalse visualiza en la figura 8.1, con el flujo enel plano de la página. La atención se dirigea una tajada del ala con espesor unitario. Alcentrarse en un área superficial diferencialdA (figura 7.1), la fuerza de arrastre estadada por

cos )( dA pdAsenarrastred 0 (8.1.1)Integrado sobre el área superficial, con una

presión positiva por debajo del ala y unapresión negativa por encima, la fuerza dearrastre total se obtiene como

Arrastre = dA p cossen 0

(8.1.2)




Figura 8.1 Fuerzas viscosas y de presión sobre un ala.

Similarmente la fuerza elemental desustentación

D ( Sustentación )= dAsen pdA 0 cos

(8.1.3)

Produce la sustentación total después deintegrar sobre el área superficial

Sustentación = dAsen p 0 cos

(8.1.4)

El esfuerzo cortante en el ala contribuye auna porción muy pequeña de lasustentación total y, generalmente, puededespreciarse. El patrón de flujo alrededordel cuerpo sumergido controla la magnitudde las fuerzas de arrastre y sustentación, y el desarrollo de la capa límite juega unpapel importante de definir las fuerzas.Infortunadamente en la mayoría de loscuerpos el patrón del flujo completo y de

la presión no se puede calcular conexactitud, y las ecuaciones (8.1.2) y (8.1.4),a pesar de ser muy formales, tienen un valor práctico limitado. Más comúnmente,las fuerzas se calculan con coeficientes de

arrastre y sustentación definidosempíricamente.Como ilustración se usa una placa delgadade ancho unitario. Cuando la placa seencuentra en la dirección del flujo (figura8.2a ), la fuerza de arrastre se puede calcularutilizando la ecuación (8.1.2) y (8.1.4). Noexiste sustentación sobre la placa debido aque el flujo es totalmente simétrico,cuando la placa se coloca en ángulo rectocon respecto al flujo (8.2b ), se desarrolla

una presión positiva en la parte frontal dela placa mientras que en la parte de atrás(sotavento) existe una presión mucho másbaja, como resultado de la separación queocurre en los bordes de la placa. En estecaso el primer término de la ecuación(8.1.2) es el único que contribuye a la




fuerza de arrastre sobre la placa.Nuevamente, debido a la simetría, la fuerzade sustentación es cero. Es necesario hacerexperimentos para identificar la fuerza de

arrastre sobre una placa orientada, talcomo muestra en el figura 7.2b . En objetosredondeados, el punto en el cual el límitese separa del objeto no se predice

fácilmente, lo que hace difícil la aplicacióndirecta de la ecuación (8.1.2). Lassiguientes secciones ilustran casos para loscuales los cálculos son factibles y proveen

coeficientes para la determinación empíricapara muchas otras formas prácticas delcuerpo.

Figura 8.2 Flujo alrededor de una placa plana

8.2 CONCEPTOS DE CAPALÍMITE: CAPAS PLANAS

En 1904, Prandtl [1] desarrolló el conceptode la capa límite. Éste provee un vínculoimportante entre el flujo de fluidos idealesy el flujo de fluidos reales. Para fluidos que tienen viscosidades relativamente pequeñas, el efecto

de la fricción interna de fluidos es apreciable únicamente en una pequeña región que rodea las fronteras de fluidos. De esta hipótesis, el flujopor fuera de la región angosta cerca de lasfronteras sólidas puede considerarse comoun flujo ideal o potencial. Las relacionesdentro de la región de la capa de límite

pueden calcularse utilizando las ecuacionesgenerales para fluidos viscosos, pero el usode la ecuación de momentum permite eldesarrollo de ecuaciones aproximadas parael crecimiento y el arrastre de la capalímite. En esta sección, la capa límite sedescribe y se le aplica la ecuación demomentum. Se estudia el flujobidimensional a lo largo de placas planas

por medio de las relaciones de momentumtanto para capas límites laminares comoturbulentas. Se describe el fenómeno de laseparación de la capa límite y la formaciónde la estela.




Descripción de la capa límite

Cuando empieza el movimiento en unfluido que tiene una viscosidad muy

pequeña, el flujo esencialmente esirrotacional (secciones 3.1 y 4.1) en losprimeros instantes. Debido a que el fluidotiene velocidad cero en las fronteras conrespecto a éstas, existe un alto gradiente de velocidad desde la frontera hacia el flujo.Este gradiente, en fluidos reales, originafuerza de corte cerca de la frontera quereduce la velocidad del flujo a la de lafrontera. La capa de fluido cuya velocidadha sido afectada por el esfuerzo cortante

de la frontera se conoce como la capa límite .La velocidad en la capa límite se aproximaa la velocidad en el flujo principal, enforma asintótica. La capa límite es muy delgada en el extremo de aguas arriba deun cuerpo aerodinámico en reposo sujeto aun flujo uniforme. A medida que esta capase mueve a lo largo del cuerpo, la accióncontinua de los esfuerzos cortantes tiendea desacelerar partículas adicionales defluido, haciendo que el espesor de la capalímite aumente con la distancia del punto

de aguas arriba. El fluido en la capa límitetambién está sujeto a un gradiente depresión, impuesto y determinado por unflujo potencial, que incrementa lemomentum en la capa si la presión decrecehacia aguas abajo y lo disminuye si la

presión se incrementa hacia aguas abajo(gradiente de presión adversa). El flujo porfuera de la capa límite también puedeinyectar momentum en la capa.

Para fronteras lisas aguas arriba, la capalímite empieza como una capa límite laminar dentro de la cual las partículas de fluido semueven en capas lisas. A medida que lacapa límite aumenta su espesor se vuelveinestable y finalmente se transforma en unacapa límite turbulenta en la cual las partículasde fluido se mueven en trayectoriasaleatorias, a pesar de que su velocidad hasido reducida por la acción viscosa en la

frontera. Cuando la capa límite se ha hechoturbulenta, una pequeña capa muy delgadacon movimiento laminar, sigue existiendocerca de la frontera. Ésta se conoce comola subcapa laminar. Para el espesor de lacapa límite se han sugerido variasdefiniciones. La más básica se refiere aldesplazamiento del flujo principal debido ala desaceleración de las partículas de fluidoen la zona de la frontera. Este espesor 1,

conocido como el espesor de desplazamiento seexpresa mediante

0

1 dyuU U (8.2.1)




Figura 8.3 Definición del espesor de la capa límite

En donde es el valor de y para el cual u =U en el flujo no perturbado. En la

figura8.3a, la línea y = 1 se dibuja de talmanera que las áreas achuradas seaniguales. Esta distancia no es, en sí misma,la que va bastante afectada por la fronterasino que es la distancia a la que el flujoprincipal debe alejarse de la frontera. Dehecho, esa región frecuentemente se tomacomo 31. Otra definición, expresada en lafigura 7.3b , es la distancia hasta el puntodonde u/U = 0.99.

Ecuación de momentum aplicada a lacapa límite

Utilizando el método de Von Kármán [2],se puede aplicar directamente el principiode conservación de momentum a la capalímite, en un flujo permanente a lo largo deuna placa plana. En la figura 8.4 se tomaun volumen de control que encierra el

fluido por encima de la placa, tal como semuestra, extendiéndose una distancia x a lo

largo de la placa. En la dirección y seextiende hasta una distancia h tan grandeque la velocidad no se perturba en ladirección x , a pesar de que a lo largo de lasuperficie superior algún caudal, sale del volumen de control.La ecuación de momentum en la direcciónx es

vc sc

x dAuud t

F v

Y será aplicada al caso de un flujopermanente incomprensible. La únicafuerza que actúa sobre el volumen decontrol se debe al arrastre o esfuerzocortante en la placa, dado que la presión esconstante.

Figura 8.4 Volumen de control aplicado a un fluido en movimientoSobre uno de los lados de la placa plana.

Alrededor de la periferia del volumen decontrol. Para la placa con ancho unitarioperpendicular al papel

- Arrastre =

hh

dyuU U hU dyu0

2

0

2

El primer término del lado derecho de laecuación es el flujo de momentum x que




sale por CD , y el segundo término es elflujo de momentum x que entra por AB y CD el cual, por continuidad, esexactamente igual al flujo de salida de

volumen a través de BC . Combinando lasintegrales se obtiene

Arrastre = h

udyuU 0

(8.2.2)

El arrastre D(x) sobre la placa está en ladirección contraria, de tal manera que

D( x) = h

udyuU 0

(8.2.3)

El arrastre sobre la placa también puedeexpresarse como la integral del esfuerzocortante a lo largo de la placa así:

D( x) = x

dx0

0 (8.2.4)

Igualando las dos últimas expresiones y derivándolas con respecto a x se llega a

x

0 h

udyuU 0

(8.2.5)La ecuación de momentum para el flujobidimensional a lo largo de una placaplana.

En general, los cálculos sobre elcrecimiento de la capa límite soncomplejos y requieren tratamientosmatemáticos avanzados. Los casos deflujos paralelos, ya sean laminares oturbulentos, a lo largo de una placa plana

pueden resolver en forma aproximada,utilizando métodos de momentum que nodan ningún detalle con respecto a ladistribución de velocidad. De hecho, sedebe suponer una distribución de velocidad. Los resultados están más omenos de acuerdo con los resultados más

exactos, obtenidos utilizando lasecuaciones diferenciales generales de flujo viscoso.

Para una distribución supuesta quesatisface las condiciones de frontera u =0, y u =U , y= se pueden determinar el espesorde la capa límite al igual que el esfuerzocortante en la frontera. Se supone que ladistribución de la velocidad es la mismapara cada valor de x ,

F y

F U

u

y

Cuando es desconocido.

Capa límite laminar

Para la capa límite laminar Prandtl supusoque

22

3 3 F

U

u y0

Y F = 1 y

Que satisface las condiciones de frontera.Se puede reescribir la ecuación (7.2.5)

xU

2

0

1

01 d

U

u

U

u

xU

2

0

xU d

2

1

0

33

139.022

3

22

3

1

En la frontera




U

2

3μ

2

ηη

2

3

η

U μ

η

F

δ

U μ

y

uμ

0

3

00 y0

(8.2.6)

Igualando las dos expresiones

xU

U

2

2139.03

Y reordenando

U

dxd

78.10

Debido a que es una función únicamentede x en esta ecuación. Integrando seobtiene

constante xU

v 78.10

2

2

Si = 0 para x = 0, la constante deintegración es cero. Resolviendo para /x lleva a

xR

654654

. .

Ux

v

x

(8.2.7)

Donde R x = Ux/v es el número deReynolds basado en la distancia x desde elborde de ataque de la placa. Esta ecuaciónpara espesor de la capa límite en flujos

laminares muestra que se incrementa conla raíz cuadrada de la distancia al borde deataque.Sustituyendo el valor de en la ecuación

(7.2.6)

x

U 3

0 322.0

(8.2.8)

El esfuerzo cortante varía inversamentecon la raíz cuadrada de x y directamentecon la potencia de la velocidad. El arrastreen uno de los lados de la placa, de anchounitario, es

Arrastre = 1

00 lρ U 0.644 xd 3 (8.2.9)

Si se seleccionan otras distribuciones de velocidad, estos resultados no cambianradicalmente la Solución exacta, obtenidapor Blasius [11] a partir de las ecuacionesgenerales de movimientos viscosas arrojacoeficientes de 0.332 y 0.664 para lasecuaciones (7.2.8) y (7.2.9),respectivamente.

El arrastre puede ser expresado entérminos de un coeficiente de arrastre Cpmultiplicado por presión de estancamiento pU 2 /2 y el área de la placa l (por unidad deancho),

Arrastre =C D lU

2

2




Figura 8.5 Crecimiento de la capa límite; la escala vertical esta muy ampliada

En la cual, la capa límite laminar,

Formulal

DC R328.1 (8.2.10)

Y R l = Ul/v.

La capa límite se vuelve turbulenta cuandoel numero de Reynolds para la placa tiene valores entre 500,000 y 1,000,000. Lafigura 7.5 indica el crecimiento y latransición de una capa límite laminar a unaturbulenta. El número de reynolds crítico

depende de la turbulencia inicial en lacorriente de fluido, del borde de aguasarriba de la placa, y la rugosidad de ésta.

Capa límite turbulento

Se puede utilizar la ecuación demomentum para determinar el crecimientode la capa límite turbulenta y el esfuerzocortante a lo largo de una placa lisa enforma análoga al tratamiento hecho para la

capa límite laminar. La ley universal dedistribución de velocidad para tuberíaslisas, ecuación (6.4.20) proporciona lamejor base, pero los cálculos sonlaboriosos. Una manera más simple esutilizar la ley de la potencia 1/7 de Prandtl.Ésta es u/u max = ( y/r o )

1/7, en la cual se mide

desde la red de la tubería y r o es el radio dela tubería. Aplicándola a una placa plana,

produce

7 / 1

7 / 1

y

U

uF

Y

1/4

2

0U δ

v0.0228 ρ .

(8.2.11)

En la cual la última expresión es elesfuerzo cortante en la pared de una placalisa con una capa límite laminar da

x

ρ U 72

7 d η1

x

δρ U

21

0

1/7 1/7 2

0

(8.2.12)

Igualando las expresiones para el esfuerzo

cortante, se obtiene la ecuación diferencialpara el espeso de la capa límite como

dxU

v0.234d δ1/4

41 /




Después de integrar y suponer que la capalímite es turbulenta a lo largo de toda lalongitud de la placa, de tal manera que sepueden utilizar las condiciones x = 0 y =

0,

xU

v0.292

5/4

41 /

Despejando se obtiene

5151

54

51370370

/ /

/

/ .

/

.

xvUx

x x

U

v0.37

R

(8.2.13)

El espesor se incrementa más rápidamenteen la capa límite turbulento. En ésta, elespesor se incrementa con x 4/5, mientrasque la capa límite laminar varía con x 1/2.Para determinar el arrastre sobre una placaplana lisa, se elimina en las ecuaciones(7.2.11), y

1/5

20

UxvU 0.029

(8.2.14)

El arrastre por unidad de ancho en uno delos lados de la placa es

Arrastre=

1/5

l

21

0

1/5

2

0

l0.036 ρ .

Ul

vlU 0.036 dx

R

(8.2.15)En términos del coeficiente de arrastre,

C D = 0.072 R l-1/5 (8.2.16)

En la cual R l es el número de Reynolds,basado en la longitud de la placa.

Las ecuaciones anteriores son válidasúnicamente en el rango de validez de laecuación de resistencia de Blasius. Paranúmeros de Reynolds más grandes en flujopor tuberías lisas, el exponente de la ley dedistribución de velocidad se reduce. Para R = 400,000, n = 1/8 y para R = 4,000,000, n = 1/10. La ley de arrastre, ecuación(7.2.15), es válida para el rango

5 x 10

5

< R l < 10

7

Experimentos demuestran que el arrastrees ligeramente mayor que el predicho porla ecuación (7.2.16).

C D = 0.074R l -1/5 (8.2.17)

La capa límite es realmente laminar en lasección de aguas arriba de la placa. Prandtl[3] restó el arrastre de la ecuación para elextremo de aguas arriba de la placa hasta elnúmero de Reynolds crítico y luego añadióel arrastre dado por la ecuación laminarpara esta porción de la placa, llegando a

C D = 0.074R l - 1/5 -

lR

1700

5105 R l107

En la figura 8.6, una gráfica log-log de C D

versus R l maestra la tendencia de los

coeficientes de arrastre.




Figura 8.6 El arrastre para placas planas lisas

El uso de la distribución logarítmica de velocidad, ecuación (6.4.18), produce

C D = 582log

4550 .

.

lR

106R 109 (8.2.19)

En la cual el término constante se haseleccionado de tal manera que se obtenga

el mejor ajuste con los resultadosexperimentales.

Ejemplo 7.2.1Una placa plana lisa de 3 m de ancho y 30m de longitud es remolcada en agua quieta20ºC con una velocidad de 6 m/s.Determinar el arrastre en uno de los ladosde la placa y en los primeros 3m de ésta.

NotaLos cálculos de la capa límite turbulentosobre placas rugosas se desarrollan enforma similar empezando con las pruebasde tuberías rugosas, utilizando rugosidadde arena. En el extremo de aguas arriba de

la placa plana, el flujo puede ser laminar;luego, en la capa límite turbulenta, dondela capa límite aún es pequeña y la relaciónde la altura entre la rugosidad y el espesorde la capa límite es importante, ocurreuna región de rugosidad completamentedesarrollada y el arrastre es proporcional alcuadrado de la velocidad. Para placas largasesta región es seguida por una región

transición donde se vuelve cada vezmás pequeña y eventualmente, la placa se vuelve hidráulicamente lisa, es decir, lapérdida no se disminuirá reduciendo larugosidad. Prandtl y Schlichting [4]llevaron a cabo estos cálculos, los cualesson demasiado complicados parareproducirse aquí.

EJERCICIOSEl espesor de desplazamiento de la capalímite: ( a ) la distancia desde la fronteraafecta por el esfuerzo cortante en lafrontera; ( b ) la mitad del espesor real de lacapa límite; ( c ) la distancia hasta el puntodonde u /U = 0.99; ( d ) la distancia a la cual




el flujo principal es trasladado; ( e ) ningunade estas respuestas.¿Cuáles de las siguientes distribuciones de velocidad u/U satisfacen condiciones de

frontera para el flujo a lo largo de unaplaca plana si y a e ; ( b )cos( c ) d ) 2η2. ( e ) ningunade estas respuestas.

8.3 FLUJO Y ARRASTRE:ESFERASFlujo horizontal

Otro flujo externo de considerableimportancia es el flujo alrededor de esferas.Las esferas se utilizan como sustitutos departículas con formas irregulares queincluyen (entre muchos otros ejemplostransporte de sedimentos, reactores delecho fluidizado, polvo en la atmósfera y contaminación atmosférica, así comoprocesos de plantas de tratamiento de

Figura 8.7 Flujo de baja velocidad alrededor de una esfera

Aguas residuales. El flujo y el arrastrecorrespondiente fueron calculadosoriginalmente por Stokes en 1851 [5] conuna elaboración en mecánica de fluidosadicional, reportada por Schilchting [11].La solución exacta más elemental seobtiene suponiendo un flujo permanentemuy lento con un número de Reynolds( UD/v ) basado en el diámetro de unaesfera equivalente, D (basado en laconservación de volumen) menor que 1.

Esta suposición asegura que las líneas decorriente muy cercanas a la superficie de laesfera permanecen unidas o siguen la formade ésta. Si el flujo alrededor de la esfera eshorizontal (figura 8.7), entonces se puedeconsiderar que las fuerzas gravitacionalesno son importantes y las ecuaciones de

Navier Stokes [ecuaciones (5.4.11)] sereducen a p = v (8.3.1)

Las condiciones de frontera son la de nodeslizamiento en la pared ( r = a ) y la noexistencia de flujo perpendicular a la pared( r = a ). Los correspondientes campos de velocidad y de presión para estascondiciones son

u= U

13

4

11

4

32

2

2

2

3

2

r

a

r

a

r

a

r

ax

(8.3.2.a)

υ = U

1

4

32

2

3 r

a

r

axy(8.3.2.b)




w = U

1

4

32

2

3 r

a

r

axz(8.3.2.c)

p=pref

- 32

3

r

axU (8.3.2.d)

En este caso el origen de los ejes es elcentro de la esfera con el eje x coincidiendo con la dirección de la velocidad de corriente libre, U. Utilizandolas ecuaciones (8.3.2a-d ) antes establecidasy las definiciones para el arrastre[ecuaciones (8.1.1) y (8.1.2)] y lasustentación [ecuaciones (8.1.3) y (8.1.4), sepuede demostrar que la sustentación netasobre la esfera es cero debido a que los

campos de flujo y de presión sonsimétricos por encima y por debajo de lalínea central. El arrastre sobre la esfera estádado porArrastre = Arrastre de forma + Arrastre

de fricción superficial = DU + 2DU

= 3DU (8.3.3)Se puede ver que en la ecuación (8.3.3)existen dos componentes para el arrastretotal: el arrastre de forma y el arrastre de fricción

superficial . El arrastre de forma estáasociado con la caída total de presión ogradiente de presión entre el frente (aguasarriba) y la parte

Figura 8.8 Distribución de presiones parael flujo horizontal alrededor de una esfera

De atrás (aguas abajo) de la esfera. Lafigura 8.8 es una gráfica del campo depresión normalizado por debajo de la líneacentral de la esfera. Las grandes diferencias

de presión entre el punto de estancamientoen x = r = a y la parte de atrás de la esferaoriginan el arrastre de forma. Lacomponente de fricción superficial es elresultado del esfuerzo cortante viscoso queactúa sobre la pared de la esfera a medidaque el flujo pasa alrededor de ésta.Mientras que la relación entre los arrastresde forma y de fricción superficial para laesfera es 1:2, en muchos flujos el arrastrede forma domina sobre la fricción

superficial. La geometría del objeto y elnúmero de Reynolds determinan larelación relativa. Utilizando elconcepto de arrastre introducido en lasección previa, es fácil demostrar que

Arrastre = 32

2U

AC DU D (8.3.4)

O que para el flujo lento alrededor de unaesfera

CD = 24/R (8.3.5)Donde el número de Reynolds se define

con base en el diámetro de una partículaesférica equivalente, D . Velocidad de asentamientoCuando una partícula está compuesta deun material con una densidad relativamayor que la de fluido desplazado, su pesoabsoluto será mayor que el peso del fluidodesplazado y la partícula se hundirá oasentará debido a la gravedad. La velocidad de asentamiento es útil para determinar la viscosidad del fluido, en el diseño detanques de sedimentación para separarpartículas sólidas del fluido y desarenar elfluido en los ríos. Si la velocidad deasentamiento, o velocidad terminal, w l seutiliza en la definición del número deReynolds y si el número de Reynolds




resultante aún es menor que 1, entonces unbalance de fuerza de momentum arroja

st f γ2

Dπ

3

43μ μ π D

2

Dπ

3

4

(8.3.6)

Donde y , es el peso específico del fluido y y x es el peso específico de la partícula. Paraalcanzar la velocidad w t

s f

2

t γ18 μ

Dw (8.3.7)

En términos del coeficiente de arrastre

s f

D

2

t γρ C

Dw

3

4(8.3.8)

Para un flujo de Stokes, definido como R < 1, C D = 24/R, la ecuación 8.3.7 ha

probado ser exacta.

8.4 sustentacion

Tal como se definió, el arrastre es lacomponente de la fuerza fluida sobre un

cuerpo que forma un ángulo recto con la velocidad relativa de aproximación. Si lafuerza de sustentación no coincide con lagravedad pero se encuentra a ángulos

rectos con la velocidad de aproximación,usualmente se conoce como una fuerza transversa. El coeficiente de sustentación C L

se define mediante.

Sustentación = C L A2

2U

(8.4.1)

En el diseño de cuerpos de sustentación,tales como hidroalas, alas o álabes, elobjetivo es crear una fuerza grande,

perpendicular al flujo de corriente libre,minimizando al mismo tiempo el arrastre.La figura 8.16 muestra los coeficientes dearrastre y sustentación para

Figura 7.16 Coeficientes típicos de sustentación y arrastre para un ala;Ci y CD están basados en el área máxima proyectada.




Una sección de ala. En los cálculos delarrastre y sustentación en las ecuaciones(8.3.4) y (8.6.1) el área se define comolongitud de la cuerda multiplicada por la

longitud del ala (área proyectada máximadel ala). Se ha adaptado esta convencióndebido a que la sección transversal del alacambia con el ángulo de ataque a es elángulo entre la cuerda de la sección de lasuperficie y el vector velocidad de lacorriente libre.Para pequeños ángulos de ataque la capalímite se adhiere al ala y a pesar de que hay un gradiente de presión adverso en lassuperficies de atrás, existe poca separación.

La falta de simetría produce unasustentación a un ángulo de ataque de 0º. A medida que el ángulo se incrementa, elgradiente adverso en la superficie superiorse hace más fuerte y el punto de separaciónse mueve hacia delante. Aaproximadamente 20º, dependiendo deldiseño del ala, se alcanza la sustentaciónmáxima. Incrementos adicionales en elángulo de ataque causan un decrecimientosúbito en el coeficiente de sustentación y un incremento en el coeficiente de arrastre.

Esta condición se conoce como pérdida .

Se disponen de varias técnicas para mejorarlas características de sustentación y arrastrede las alas para propósitos espaciales talescomo el despegue y el aterrizaje. Éstas

generalmente incluyen variaciones en lasección del ala mediante el uso de aleroneso métodos de control de la capa límite, apartir de la adición de ranuras.Superficies en movimiento que incluyensobre la capa límite y los puntos deseparación en cuerpos también aparecenen varias situaciones físicas comunes. Lasesferas que giran juegan un papelimportante en muchos eventos deportivos,incluyendo las bolas en espiral en béisbol,

así como los ganchos o chanfles en fútbolo golf. La figura 8.17a muestra las velocidades desarrolladas en la capa límitede un cuerpo que gira dentro de un fluidoen reposo. Si esto se le superpone a unfluido en movimiento, se desarrolla lacondición mostrada en la figura 8.17b , lacual señala un cambio en los puntos deseparación del cuerpo, con una estelacolocada asimétricamente. Se crea unafuerza de sustentación en la direcciónmostrada debido a que la presión se reduce

a en la superficie superior y se




Figura 8.18 Coeficiente de sustentación y arrastre para esfera que gira

Incrementa en la superficie inferior. La figura 8.18 muestra el coeficiente de su arrastre [9,10]para diferentes relaciones adimensionales de giro en esferas que giran




CAPITULO IXFLUJO DE FLUIDOS

IDEALES

9.1 REQUISITOS PARA ELFLUJO DE UN FLUIDO

IDEALLa Hipótesis Prant (sección 8.2) establece quepara fluidos de baja viscosidad los efectos deésta son apreciables únicamente en la delgadaregión de la capa límite que rodea lasfronteras del fluido o en las interfaces delfluido con gradiente de densidad grandes.Para situaciones de flujo incompresibledonde la capa límite permanece delgado, losresultados del fluido ideal pueden aplicarse alflujo de un fluido real como aproximacióninicial. Generalmente las situaciones de flujoconvergente o .acelerándose tiene capaslimites delgadas, pero los flujosdesacelerándose pueden presentar separaciónde la capa límite y desarrollar estelas grandes,lo cual es difícil de predecir analíticamente.

Un fluido ideal debe satisfacer los siguientesrequisitos:

1. La ecuación de continuidad (sección 5.3) * v = 0, o

0

z

w

y x

u

2. La segunda ley de movimiento deNewton en cualquier punto, en cualquierinstante.

3. Ninguna frontera sólida puede serpenetrada por el flujo ni puede existir

vacíos entre el fluido y la frontera.

Si adicionalmente a los requerimientos 1, 2 y 3, se hace la suposición de flujo

Irrotacional, el movimiento del fluidoresultante se asemeja bastante al movimientode fluidos reales para fluidos con baja viscosidad por fuera de las capas límite.

Utilizando las condiciones anteriores, laaplicación de la segunda ley Newton a unpaquete de fluido origina la ecuación deEuler. La cual, junto con la suposición deflujo irrotacional, puede integrarse paraobtener la ecuación de Bernoulli. Lasincógnitas en una situación de flujo de fluidopara una frontera dada son la velocidad y lapresión en cada punto. Desafortunadamente,en la mayoría de los casos es imposiblepredecir directamente a las ecuaciones de velocidad y distribución de presiones, a partir

de las condiciones de frontera.




9.2 ECUACIÓN DEMOVIMIENTO DE EULER

Sistemas coordenados cartesianos

La ecuación de movimiento de Euler fuedesarrollada en la sección 5.5 ecuación (5.5.1)

Utilizando las ecuaciones de momentum y continuidad. Las componentes de la ecuación(5.5.1) son

t

u

z

uw y

u

x

uuh p x

1

(9.2.1)

t z

w y

v x

uh p y

1

(9.2.2)

t

w

z

ww y

w

x

wuh p z

1

(9.2.3)

Tal como se anotó previamente los tresprimeros términos del lado derecho de lasecuaciones son los términos de aceleración inercial. Que dependen de los cambios de la velocidad con respecto al espacio. El últimotérmino es la aceleración local o temporal , quedepende del cambio en la velocidad conrespecto al tiempo en un punto.

Coordenadas naturales en un flujo en dosdimensiones

Ecuaciones de Euler en dos dimensiones seobtienen de las ecuaciones componentesgenerales haciendo que w = 0 y /z = 0;entonces.

t

u

y

u

x

uuh p

x

1

(9.2.4)

t y

v

xuh p

y

1

(9.2.5)

Tomando direcciones particulares para losejes x y y , éstas se pueden reducir a unaforma que las más fáciles de entender. Si el

eje x , conocido como el eje s , se tomaparalelo al vector de velocidad en un punto(figura9.1), entonces es tangente a la línea decorriente en el punto. El eje y , conocidocomo el eje n , está en la direcciónperpendicular a la coordenada de la línea decorriente s, el cual para el caso de la figura 9.1apunta hacia el centro de la curvatura de lalínea de corriente. La componente de la velocidad u es s, es cero en el punto, laecuación (9.2.4) se convierte en

t s

h ps

sss

1(9.2.6)




A pesar de que n es cero en el punto (s, n),sus tasa de cambio con respecto a s y a t nonecesariamente son cero. La ecuación (9.2.5)se convierte en

t s

h pn

nn

s

1(9.2.7)

Cuando la velocidad en s y en s + s , a lolargo de la línea de corriente, se toma en

consideración n . Con r como el radio decurvatura de la línea de corriente en s ,utilizando triángulos semejantes (figura 9.1)

s

n

r s

o

r s

sn

Sustituyendo en la ecuación (9.2.7)

t r

h pn

ns

21

(9.2.8)

Figura 9.1Notación para coordenadas naturales.




Para el flujo permanente de un fluidoincompresible, las ecuaciones (9.2.4) y (9.2.8)pueden escribirse como

2

12

s

sh p

s

(9.2.9)

y

r

h pn

s

21

(9.2.10)

La ecuación (9.2.9) puede integrarse conrespecto a s para producir la ecuación(5.5.10), con la constante de integración variando con n , es decir, desde una línea decorriente hasta la otra, la ecuación (9.2.10)muestra como varía la presión a través de laslíneas de corriente. Con v y r como funcionesdesconocidas de n , se puede integrar laecuación (9.210)

Ejemplo 9.2.1

Un recipiente con líquido rota a una velocidad angular , alrededor de un eje vertical como un sólido. Determinar la variación de la presión en el líquido.

Solución

n es la distancia radial, medida hacia adentro;dn = -dr y s = r , integrando la ecuación(9.2.10) se obtiene

r

dr r h p

221

o

r

dr r h p

221

Para evaluar la constante, si p =p0 cuando r =0 y h = 0,

2

22

0

r h p p

lo cual demuestra que la presión eshidrostática a lo largo de una línea vertical y se incrementa con el cuadrado del radio. Laintegración de la ecuación (9.2.9) muestra quela presión es constante para h y s dados, esdecir, a lo largo de una línea de corriente.Estos resultados son los mimos que para larotación en equilibrio relativo.

9.3 FLUJO IRROTACIONAL:POTENCIAL DE VELOCIDAD

En esta sección que la suposición de flujoirrotacional lleva a la existencia de unpotencial de velocidad. Utilizando estasrelaciones y suponiendo una fuerza de cuerpoconservadora, se puede integrar la ecuaciónde Euler.

Los paquetes individuales de un fluidoincompresible sin fricción, inicialmente enreposo, no pueden ser obligados a rotar. Estopuede visualizarse considerando un pequeñocuerpo libre de fluido con una forma esférica.Las fuerzas superficiales actúanperpendiculares a la superficie debido a que el




fluido no tiene fricción y, por consiguiente,actúan a través del centro de la esfera.Similarmente, la fuerza del cuerpo actúa en elcentro de masa. Por lo tanto, no se puede

ejercer ningún torque sobre la esfera, y éstapermanece sin rotación. En forma similar,una vez que un fluido real este rotando, noexiste forma de alterarlo, debido a que no sepuede ejercer torque sobre ninguna esferaelemental del fluido.

Una expresión analítica para la rotación de unpaquete de fluido alrededor de un eje paraleloal eje z se dedujo en la sección 5.1.Suponiendo que el fluido no tiene rotación,es

Decir, que es irrotacional, v = 0.

y

u

x

v

z y

w

x

w

z

u

(9.3.1)

Estas restricciones sobre la velocidad sedeben cumplir en cualquier punto (conexcepción de puntos o líneas especiales

singulares). La primera ecuación es lacondición de irrotacionalidad para un flujoen dos dimensiones en el plano xy . Ésta es lacondición que hace la expresión diferencial.

udx + υdy

Formula Sea exacta, es decir

udx + υdy= dy ydx xd

(9.3.2)

El signo menos es arbitrario; es unaconvención que hace que el valor de La

suposición de un potencial de velocidad esequivalente decrezca en la dirección de la velocidad. Comparando los términos en laecuación (9.3.2), u = /x y = -/ y .

Esto prueba la existencia, en un flujo en dosdimensiones, de una función tal, que suderivada negativa con respecto a cualquierdirección es la componente de la velocidaden esa dirección. Esto también se puededemostrar para un flujo en tres dimensiones.En forma vectorial,

v = - (9.3.3)

Es equivalente a

xu

y

z

w

(9.3.4)

La suposición de un potencial de velocidad esequivalente a la suposición de flujoirrotacional, como

Curl (-grad ) = 0 (9.3.5)

Debido a que 0 . Esto se demuestrautilizando la ecuación (9.3.4) mediantediferenciación cruzada

y x y

u

2

x y x

u

2

Siempre que yu x / / , etc.Sustituyendo las ecuaciones (9.3.4) en laecuación de continuidad

0

z

w

y x

u




lleva a

02

2

2

2

2

2

z y x(9.3.6)

En forma vectorial ésta es

* v =- * = -2= 2= 0 (9.3.7)

Y se escribe como 2=0. La ecuación

(9.3.6)(9.3.7) es la ecuación de Laplace. Cualquierfunción que satisfaga la ecuación deLaplace es un de flujo irrotacional posible.Como existe un número infinito desoluciones a la ecuación de Laplace, cada unade las cuales satisface ciertas condiciones defrontera, el problema principal es seleccionarla función apropiada para cada caso particularde flujo.

Dado que aparece elevada a la primera

potencia en cada término, la ecuación (9.3.6)es una ecuación lineal y la suma de sussoluciones también es una solución. Porejemplo, si 1 y 2 son soluciones de laecuación (9.3.6), entonces 1 + 2 es unasolución ; luego,

21 = 0 22 = 0

Y

2( 1 + 2 )= 21 + 22 =0

Lo mismo sucede para 1 es una solución,C 1 es una solución si C es una constante.

Ejercicios

9.3.1 Seleccionar el valor de que satisface lacontinuidad:

a) x 2 + y 2 b) sen x c) ln( x + y ) d) x + y e)ninguna de estas respuestas

9.3.2 Una función que satisface la ecuaciónde Laplace

a) Debe ser lineal en x y y .b) Es un caso posible de flujo de fluido

rotacional.

c) No necesariamente satisface la ecuaciónde continuidad.

d) Es un posible caso de flujo de fluido.e) Ninguna de estas respuestas.

9.3.3 Seleccionar la relación que debemantener si el flujo es irrotacional

a) 0 x yu ; b)

yv

xu

;

c) 022

2

y x

u ; d)

x y

u

;

e)ninguna de las anteriores

9.4 INTEGRACIÓN DE LAECUACIÓN DE EULER

Ecuación (9.2.1) puede reordenarse de talmanera de que cada término contenga una




derivada para cada componente respecto a x .De la ecuación (9.3.1)

2

2

x x y

u

2

2w

x x

ww

z

uw

de la ecuación (9.3.4)

t xt

u

reduciendo estas sustituciones en la ecuación(9.2.1) y reordenando, se obtiene

0222

222

t

wugh

p

x

Suponiendo q 2 = u2 + v2+w2 † como elcuadrado de las velocidades, se obtiene

02

2

t

qgh

p

x

(9.4.1)

Similarmente, para las direcciones y y z ,

0

2

2

t

qgh

p

y

(9.4.2)

02

2

t

qgh

p

z

(9.4.3)

Las cantidades entre los paréntesis son lasmismas que en las ecuaciones (9.4.1) a (9.4.3). la ecuación (9.4.1) establece que lacantidad no es una función de x , debido a

que la derivada con respecto a x es cero.Similarmente, las otras ecuacionesdemuestran que la cantidad no es función dex por consiguiente, únicamente puede ser unafunción de t , por ejemplo F(t)

)(2

2

t F t

qgh

p

(9.4.4)

un flujo permanente t = 0 y F(t) seconvierte en una constante E

E q

gh p

2

2(9.4.5)

la energía disponible en todo lugar esconstante en todo el fluido, esta es laecuación de Bernoulli en un fluidoirrotacional.

El termino de presión puede separarse en dospartes, la presión hidrostática y la presióndinámica de tal manera que p = ps + pd. Alsustituir en la ecuación (9.4.5) se obtiene

E q p p

gh d s 2

2

si los primeros términos pueden escribirsecomo

h p p

gh ss

1




h se mide verticalmente hacia arriba. Laexpresión es una constante, debido a queexpresa presión hidrostática de variación dela presión. Estos dos términos pueden

incluirse en la constante E después de dejarde lado el subíndice para la presión dinámica,queda

E q p

2

2(9.4.6)

la ecuación simple permite determinar la variación de la presión si se conoce la velocidad o viceversa. Suponiendo que tantola velocidad q 0 como la presión dinámica p0

son conocidas en un punto,

22

22

00 q pq p

2

0

2

0

0 1

2 q

qq p p

(9.4.7)

Ejemplo 9.4.1

Un submarino se mueve en el agua a30pies/s. En un punto A, sobre elsubmarino, de 5 pies por encima de la nariz,la velocidad del submarino con respecto alagua es 50 pies/s. Determinar la diferencia enpresión dinámica entre estos puntos y lanariz, y determinar la diferencia en la presióntotal entre los dos puntos.

Solución

si considera que el submarino está quieto y elagua se mueve a su alrededor, la velocidad enla nariz es cero y en el punto A es 50 pies/s.Seleccionando la presión dinámica en infinito

como cero, de la ecuación (9.4.6)

lb/slugpies4502

30

20

22

0 q

E

por la nariz

450 E p

2lb/pie870)935.1(450 p

para el punto A

2

50450

2

22

q

E p

y

222

lb/pie15482

50

2

30935.1

p

9.5 FUNCION DECORRIENTE CONDICIONFRONTERA




Se definen dos funciones de corriente, una espara un flujo en dos dimensiones, donde laslíneas de movimiento son paralelas a unplano fijo, por ejemplo el plano xy , y el flujo

es idéntico uno de estos planos. El otro espara flujo tridimensional con simetría axial, esdecir, que toda la línea de flujo se encuentraen planos que interceptan la misma línea oeje, y el flujo es idéntico en cada uno de estosplanos.

Condición de corriente en dosdimensiones

A y P representas dos puntos en uno de losplanos de flujo, por ejemplo, el plano xy (figura 9.2), y cuyo plano que tiene unespesor unitario, el caudal a través decualquier par de líneas ACP y ABP debe serel mimo si la densidad es constante y no estacreando ni destruyendo un fluido dentro dela región.

Figura 9.2 Región de flujo mostrando la dirección positiva del flujo,

utilizada en la definición de una función de corriente

Como una consecuencia de la continuidad. Si A es un punto fijo y P es un punto móvil, elcaudal a través de cualquier línea que conectaestos puntos es una función de la posición deP. si esta función es , y se toma comoconvención de signos aquella que indica elcaudal desde la derecha hacia la izquierdacuando el observador mira la línea desde Ahacia P, entonces

= ( x, y )

se define como la función de corriente.

Si 1 y 2 representan los valores de la

función de corriente en los puntos P1 y P2 ( figura 9.3) respectivamente, entonces 2 - 1

es el caudal a través de P1P2 y esindependiente de la localización de Atomando otro punto O en lugar del punto Acambia el valor de 1 y 2 en la misma




cantidad, es decir, el caudal a través de OA.Entonces es indeterminada por unaconstante arbitraria.

Las componentes de velocidad u, en lasdirecciones x,y pueden obtenerse de la

función de corriente. En la figura 9.4.a el

caudal a través de PA = y , desde laderecha hacia la izquierda es

Figura 9.4 Flujo entre dos puntos en una región fluida

Figura 9.3 Flujo entre dos puntos en una región fluida




y yu

(9.5.1)

similarmente

y yu

(9.5.2)

la derivada parcial de la función de corrientecon respecto a cualquier dirección de lacomponente de la velocidad +90° ( ensentido antihorario). En coordenadas polaresplanas.

r

r

1

r

De la figura 9.4.b

Cuando los dos puntos P1 y P2 de la figura 9.3están sobre la misma línea de corriente, 1 -2 = 0.

Comparando las ecuaciones (9.3.4) con lasecuaciones (9.5.1) y (9.5.2)

y x

x y

(9.5.3)

Condiciones frontera

En una frontera fija la componente de la velocidad perpendicular a la frontera debe sercero en cualquier punto de ésta (figura 9.5)

q*n1 = 0 (9.5.4)

Figura 9.5 Notación para la condición defrontera en una frontera fija

Figura 9.6 Notación para la condición defrontera en una frontera móvil

Donde n1 es un vector unitario normal a lafrontera. En notación escalar esto se expresa




fácilmente en términos del potencial de velocidad.

0

n

(9.5.5)

En todos los puntos de la frontera. Para unafrontera móvil (figura 9.7) donde un puntoen ella tiene una velocidad V, la componentede la velocidad del fluido perpendicular a lafrontera debe ser igual a la velocidad de lafrontera normal a ésta; por consiguiente,

q*n1 = V* n1 (9.5.6)

(q – V)*n1 = 0 (9.5.7)

para dos fluidos en contacto, se requiere unacondición de frontera dinámica, es decir, lapresión debe ser continua en la interface.

Una superficie de corriente en un flujopermanente (fronteras fijas) satisface lacondición para una frontera y se puedeconsiderar como frontera sólida.

Ejercicio 9.5

La función de corriente en dos dimensiones

a). es constante a lo largo de una superficieequipotencial.

b). es constante a lo largo de una línea decorriente.

c). únicamente se define para flujo

irrotacional.d). relaciona la velocidad y la presión.

e). ninguna de setas respuestas.

9.6 FLUJO EN DOSDIMENSIONES

Red de flujo

En general las distribuciones de y seobtienen resolviendo la ecuación de Laplace.Para geometrías irregulares se empleanmétodos numéricos centrados en métodos derelajación.

Para los ejemplos de flujos en esta sección sepuede obtener un cierto número desoluciones exactas para flujos con geometríasy condiciones de frontera relativamentesimple. Se obtienen las funciones quedescriben la distribución espacial de y encada punto del campo de flujo. Con el fin de visualizar las distribuciones resultantes de lasfunciones de corriente y de potencia de velocidad, se acostumbra a crear una red deflujo, la cual está compuesta por una familiade líneas (o niveles) de constante. Una línea(o nivel) de constante se conoce como unalínea equipotencial y, fácilmente, se puededemostrar que el vector velocidad esperpendicular a la línea equipotencial encualquier lugar. Una línea (o nivel) de constante es tangente al vector velocidad en




cualquier lugar y siempre intersecará una líneaequipotencial formando ángulos rectos. Enotras palabras, las líneas de corriente y lasequipotenciales son ortogonales. Al dibujar la

red de flujo se acostumbra (figura 9.8) dejarque el cambio en la constante entre las líneasequipotenciales adyacentes y entre las líneasde corriente correspondientes sea igual.Luego, con referencia a la figura 9.8 se puedeencontrar la velocidad u s exactamenteinsertando las coordenadas de la posición enlas funciones para ( x, y ) y ( x,y ) y derivándolas. Alternativamente, se puedeestimar a partir de la red de flujo como

sc

sc

su s

similarmente para s

n

c

ns

En el límite, a medida que n y s seaproximan a cero, se obtiene el estimadofuncional de la solución exacta. La cabeza de

presión dinámica correspondiente puedeencontrarse utilizando la ecuación deBernoulli (ecuación 9.4.6)

Figura 9.7 Elementos en una red de flujos

Debido a la similitud de la ecuacióndiferenciales que describen el flujo de aguassubterráneas y el flujo irrotacional, la red deflujo puede utilizarse para determinar las

líneas de corriente y las líneas de cabeza delpiezométrica constante ( h + p/γ) para lapercolación a través de un medio porosohomogéneo. Por consiguiente, los siguientescasos pueden también interpretarse comoflujos altamente rotacional, lento y viscoso, através de un medio poroso.

En primer lugar se examinan dos casos deflujos simples que pueden interpretarsecomo flujos a lo largo de la frontera rectas.Luego se discuten las fuentes, los vórtices, losdobletes, el flujo uniforme y el flujo alrededorde un cilindro con y sin circulación.

Flujo alrededor de una esquina

La función potencial )( 22

y x A

tiene como función de corriente

22 2sen Ar Axy

en la cual r y θ son las coordenadas polaresen la figura 9.9 se muestra la gráfica paraincrementos iguales en y . Lascondiciones en el origen no están definidasdebido a que este punto es un punto deestacionamiento. Dado que cualquier línea decorriente se puede considerar como unafrontera fija, los ejes positivos pueden




tomarse como las paredes. Que producen elflujo alrededor de las esquinas de 90°. Laslíneas equipotenciales son hipérbolas cuyosejes coinciden con los ejes coordenados y sus

asuntotas están dadas por x y . Laslíneas de corrientes son hipérbolasrectangulares que tiene x y como ejes y los ejes coordenados como asuntotas.Utilizando la forma polar nos puede producirun flujo alrededor de una esquina con unángulo.

Examinando

cos / Ar

sen Ar /

se nota que la línea de corriente = 0 ahoraestá dada por = 0 y = . En la figura9.10 se muestra dos redes de flujo para =225° y = 45°

Figura 9.8 Red de flujo para el flujo alrededor de una curva de 90°




Figura 9.9 red de flujo para el flujo a lo largo de dos superficies inclinadas.

Fuente en resumidero

Una línea perpendicular al plano xy de la cualen forma imaginaria sale del flujouniformemente en todas las direccionesángulos rectos con respecto a ésta, es unafuente. Ella aparece como un punto en undiagrama usual de flujo bidimensional. Elflujo total por unidad de tiempo y unidad delongitud de la línea se conoce como el flujoradial desde la fuente, la velocidad a unadistancia r desde la fuente se determinadividiendo la intensidad por el área del flujoal cilindro, o 2/2r , en la cual la intensidades 2. Entonces, debido a que por laecuación (9.3.4), la velocidad en cualquierdirección está dada por la derivada negativadel potencial de velocidad con respecto a ladirección,

r

=r

u0

y

r ln

es el potencial de la velocidad, en donde r esla distancia desde la fuente. Este valor de satisface la ecuación de Laplace en dosdimensiones.

Las líneas de corriente son líneas radialesdesde la fuente, es decir

0r r

u

r r

1

de la segunda ecuación




Las líneas de constante (líneasequipotenciales) y constante se muestraen la figura 9.11 un sumidero es unafuente negativa, una línea hacia la cualfluye el fluido.

Vórtice

Para el caso del flujo encontradoseleccionando la función de corriente de lafuente como el potencial de velocidad

r lnel cual también satisface la ecuación deLaplace se ve que las líneasequipotenciales son líneas radiales y laslíneas de corrientes son círculos. La velocidad tiene dirección tangencialúnicamente,

Figura 9.10 Red de flujo para una fuente o un vórtice.




Capitulo X bombas10.1 equipos de impulsión

Una turbomáquina es un aparato en el cualel movimiento de un fluido no confinadose altera de manera que transmite potenciadesde o hacia el eje.

También se dice que crea un empuje de

propulsión.Los equipos pueden ser:

Bombas, el fluido es un líquido. Compresor, transmite energía a

un gas de manera de obtener altapresión pero con velocidad baja

Ventiladores, causa movimientode un gas con un pequeñocambio de presión.

Sopladores, imparte velocidad y presión sustanciales en un gas

10.2 Bombas centrífugas

En una bomba centrífuga, la energíacinética de un fluido que le imparte eldifusor, se transforma en energía depresión. La diferencia de presión entre ladescarga y la succión depende de laeficiencia con que se realiza dichaconversión.

Impulsor

Difusor




Balance de masa

Balance de energía mecánica entre 1 Y 2:

ORDENANDO:

El término del lado izquierdocorresponde al trabajo mecánicoutilizable transmitido por labomba al fluido que impulsa.

El primer término del ladoderecho de la ecuación recibe elnombre de carga total dedescarga, Hd

El segundo término, recibe elnombre de carga total de succión,Hs

Por lo tanto:

Observaciones:

El trabajo mecánico se expresa en metrosLa altura de bombeo H, es independientede la densidad del fluido.La densidad determina la presión de labomba e interviene en la potencia

absorbida por la misma.Si entre los puntos 1 y 2 se desprecia laaltura y los efectos de la velocidad:

w1,v1,A

1

w2,v2,A2

1 2

2 211

2

Av Av

w

21

1w

0 g

W P- P Z- Z

v-v

0W E P- P

Z- Z gv-v

1 21 2

2

1

2

2

v1 2

1 2

2

1

2

2

gg2

2

1

1

2

1

2

2

2

2

Z

Pv

- Z

Pv

g

W

gggg 22

s H - H d H

1 2 p- p H




10.3 Curvascaracteríst icas de una

bomba c entrífuga

En una bomba centrífuga de velocidadconstante, el caudal aumenta cuandodisminuye la altura de impulsión. Elcaudal depende de: la potencia absorbida,

P el rendimiento, carga neta deaspiración positiva, NPSH

Sea el sistema Al aplicar un B.E.M. entre (1) y (2),tenemos

Caudal (Q)

PE

Hbomba




La ecuación se puede dividir en dos términos: la componente estática, que es independientedel caudal, la componente dinámica, que depende del caudal.

Modificación del punto detrabajo

Modificando la curva de labomba Bombas geométricamente

similares Bombas en paralelo

1

2

Ev P- P Z- Zv-v gW - 1 2

1 2

2

1

2

2

gg

H sistema2

Caudal (Q)

H Ev

v-v 2

1

2

2

g2

g

1 21 2

P- P Z- Z




Bombas en serie

Modificando la curva del sistema

Modificando la curva de labomba y la curva del sistema

Bombas geométricamente similares

Se puede conseguir con la misma bomba variando el diámetro del impulsor o la

velocidad de giro.Para bombas geométricamente similares,se cumple que:

Ejemplo 10.3.1

Cómo se desplazan la curva de la bomba si la velocidad de giro se aumenta desde N1 a N3?

Bombas centrífugas en paralelo.

Se utiliza para aumentar el caudal del sistema

5

2

3

2

2

5

1

3

1

1

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

3

22

2

3

11

1

D N

P

D N

P

D N

H

D N

H

D N

Q

D N

Q

Q = flujo volumétricoD = diámetro rodeteN = velocidad giro impulsor P = potencia

H = carga

H

N1

N2

N

3

B1B2

B3




Bombas centrífugas en serie.

Se utiliza para aumentar la altura de servicio del sistema

H

Bomba Dosbombas

En paralelo

Curva del sistema

H

Q

Bomba

Dos bombas en serie

Curva delsistema

Tres bombas en serie




Modificación de la curva del sistema Modificando las pérdidas por fricción entre la succión y la descarga Instalando accesorios de pérdida de carga variable Cambiando diámetro de la tubería Colocando otra tubería en paralelo con la primera Colocando otro ramal en serie con la primera

Sistema de bombeos en paralelo.Se utiliza para aumentar el caudal del sistema

H

Q

SistemaEn paralelo

Q

1

Q2 Q1+Q2




Sistema de bombeos en serie.Se utiliza para aumentar la altura de servicio del sistema

Altura de succión y cavilación

En la práctica, el límite inferior de la presión de succión está fijado por la presión de vapor

del fluido.Cuando la presión de vapor se iguala a la presión de succión, se produce capitación(evaporación repentina del fluido).Para que no ocurra esto, la suma de las cargas de velocidady presión en la succión deben ser mayores que la presión de vapor. A esta diferencia se le llama carga neta de succión positiva (NPSH).

Caudal (Q)

PE

Hbomba

H

Q

Sistemaen serie

H1

H2

H1+ H2




Toda bomba centrífuga sitúa su punto defuncionamiento en la intersección de sucurva característica con la curva delSistema Sistema con carga de succión.

Al aplicar un B.E.M. entre (1) y (a),tenemos:

Sistema con carga de succión

Suposiciones:

Estado estacionarioH = 0<V1> 0Z1 = 0

10.3 Potencia y ef ic ienc iade bombeo

Potencia Hidráulica: energía neta querecibe el fluido por unidad de tiempo. W w H w H P

1

a

z1

za

Fuerza

externa

Motor BombaPE PF PH

fluido

gg N

v(T) a 2 P- Pv

PSH 2

g

E P- P Z- Z

v-v 1)-v(a1 a1 a

2

1

2

a

gg H sistema

2

g

E- Z-

P- P NPSH

g

E- Z-

P Pv

a)-v(1

a

v(T)1

a)-v(1

a1 a

2

a

g

ggg

2




Potencia al freno: energía suministrada porun motor eléctrico al eje de la bomba porunidad de tiempo.

H wF P

Potencia eléctrica: energía suministradapor una fuente externa a un motoreléctrico por unidad de tiempo

Rendimientos.

E

H

E

F

F

H

P

P: bomba- moto grupo dim Re

P

P: motor dim Re

P

P: bomba mecánico dim Re

G

M

ienton

ienton

ienton

Selección de una bomba centrífuga.

Se deben considerar los siguientesaspectos:

Capacidad requerida (capacidadde flujo)

Carga que requiere el fluido ( H) Potencia requerida por el fluido Eficiencia del grupo moto-

bomba NPSH del sistema Naturaleza del fluido Presión de descarga requerida Localización de la bomba Tipo de servicio (continuo o

permanente)

Ejemplo 10.4.1Se tiene un sistema como el de la figura

por el cual circula agua a 20ºC. La tuberíaes de acero comercial de 6 pulgadas dediámetro. En la succión, la longitudequivalente es de 10 m y en la descarga de340 m. Si la curva característica de labomba a 1750 rpm está representada por:

A) ¿cuál es el caudal que circula por elsistema?B) Si el NPSH es de 2,5 m (Pv = 0,016atm), ¿cuál es la altura crítica del nivel de labomba para cavitar?C) si las revoluciones de la bombacambian a 2000 rpm, ¿cuál es el nuevocaudal?

30 m

) cos( V : alterna corriente

V : contínua corriente

3 I P

I P

E

E




Ejemplo 10.4.2

A) ¿Para el sistema de la figura, cual es el

caudal que circula?B) ¿cuál es el porcentaje de aumento de caudal si se instala en el sistema una bomba centrífuga con las sig

C) si las revoluciones bajan a 800 rpm,¿cual es el nuevo caudal que circula por elsistema?

D) para un caudal de 10000 (L/min),¿cuáles la máxima presión a la que puedeestar cerrado el tanque 2?

Ejemplo 10.4.3

A) Para el sistema mostrado en la figura, verifique la bomba instalada (rpm = 1500).

¿Cuál deberá ser el diámetro de la tuberíapara transportar como máximo 3000 lts?

35 m

16 m

35 m

65 m

K = 0,4

K = 1

K = 0,9 mm0,09

mm150

Aire

Aire

9 m Agua

Agua

2,4 10 Pa

6,9 10 Pa

152 m 152 m

12 m

Nivel de referencia

K = 0,9

Válvula abiertaK = 1

K = 0,4Bomba

3 m

L/s2350Q

Pa 3100 P

mm0,0001 D

24"

v(abs)




Ejemplo 10.4.4

A) ¿Cuál es el caudal para el sistema que se

muestra en la figura?B) ¿Cuál es la potencia requerida?C) La tubería es de acero comercial y D=6”

Air

Air

30 A u

Agu

35 lb/pulg

10 lb/pulg

500 500

40

Nivel de

K =

Válvulaabierta

K =Bomb

10,3



173

ANEXOS GRÁFICOS

11.1 Datos de los fabricantes de bombas centrifugas.

Gráfica de funcionamiento de una bomba para diferentes diámetros del impulsor.Grafica del funcionamiento de una bomba centrífuga de 10 a 3500 rpm..

11.2 Funcionamiento de una bomba centrífuga de 2*3-10 operando a 1750 rpm.



174

11.3 Curva de funcionamiento para una bomba centrifuga-cabeza total ver sus capacidad

11.4 Curva de funcionamiento para una bomba centrifuga.



175

11.5 Funcionamiento de una bomba centrifuga de 1 ½ *3 a 1750 rpm

11.6 Funcionamiento de una bomba centrífuga de 3*4 -10 a 1750 rpm



Bibliografía

VICTOR L. STREETER, Mecánica de Fluidos. Novena Edición, 2000 Editorial Mc. Graw Hill.

Joseph B. Franzini, E. John Finnemore, Mecánica de fluidos con aplicaciones en Ingeniería,

Novena Edición 1999. Editorial Mc. Graw Hill.

Robert L. Mott, Mecánica de fluidos Aplicada. Cuarta Edición. 1996.

G Boxer, Mecánica de Fluidos, 1994 Addison- Wesley Iberoamericana

Irving Herman Shames, Mecánica de fluidos

Robert S. Brodkey, The Phenomena of fluid motions, 1995 Dover Publications Inc. New York.

Robert A. Granger, Fluid mechanics, 1995 Dover Publications Inc. New York.

Mecánica de fluido, V, Streeter E. Benjamín. K Bedford, J.Saldarriaga, G. Santos Novena Edición 1999 Editorial Mc Graw Hill

Documents

Mecánica de fluidos