Mecánica Celeste.

MECANICA CELESTE.

Sistemas geocéntrico y heliocéntrico.Leyes de KeplerLeyes de Newton

Contribuciones de Lagrange y de Laplace Poincare (¿es estable el Sistema Solar?) Conceptos de relatividad especial y general.

La Mecánica Cuántica

Modelo de Filolao

Epiciclos

El dibujo de la derecha presenta las observaciones efectuadas por Galileo del 7-24 de Enero de 1610, del movimiento de los 4 satélites mas brillantes de Júpiter: Europa, Io (que a veces no se ve por su cercanía con Júpiter) , Calisto (muchas veces fuera del campo).

El descubrimiento de estas lunas, le dio un fuerte apoyo al modelo geocéntrico de Copernico, ya quepuede verse como un pequeño sistema Solar, en el que en este caso, Júpiter es el cuerpo central.

Keppler descubre que Marte y los demás planetas se mueven en orbitas elípticas.

Es la gran esfera imaginaria que rodea a la Tierra, en la cual podemos localizar cualquier objeto celeste. Esta esfera tiene un movimiento de rotación aparente de Este a Oeste y su eje de giro coincide con el eje de rotación de la Tierra.

En el hemisferio Norte, la estrella Polaris se encuentra muy cerca de la dirección del eje polar.

Polaris

Cenit

Horizonte

Nadir

Eje Polar

Eclíptica

Ecuador

Celeste

Solsticio de Verano

Solsticio de Invierno

Punto VernalEquinoccio de Primavera

23.5º

NS

Conceptos Sobre la Esfera Celeste

• Eje Polar: Eje alrededor del cual tiene su movimiento aparente la esfera celeste. Es paralelo al eje terrestre e intercepta a la esfera celeste en los polos N y S.

• Polaris: es la estrella que nos indica la dirección del polo Norte celeste. Su elevación sobre el horizonte (altitud), nos da la latitud del lugar donde se encuentra el observador.

• Paralelos Celestes: son los círculos paralelos al ecuador celeste.

• Ecuador celeste: es el paralelo celeste de circulo máximo.• Meridiano celestes: son los círculos que interceptan los

polos celestes.• El Meridiano: meridiano celeste que pasa por el cenit.

Eclíptica: trayectoria aparente del sol en su paso anual por las constelaciones. Este plano existe, debido a que la Tierra se mueve en un plano alrededor del Sol. Como todos los planetas se mueven cerca de dicho plano, ellos siempre se observan cerca de la eclíptica. Por esta razón, los planetas son fáciles de identificar si se conocen las constelaciones del zodiaco. Entre el plano de la eclíptica y el ecuador hay un ángulo de 23.5º, que es debido a la inclinación del eje terrestre respecto al plano Tierra-Sol.

Constelaciones del Zodiaco: las 12 constelaciones interceptadas por la eclíptica.

Piscis

Virgo

Acuario

Capricornio

Sagitario

Tauro

Escorpión

Libra

Aries

Tauro

Géminis

Cáncer

Leo

Eq. Vernal

21 de Diciembre

4 de Enero

Distancia

mínima

Solsticio de Verano

Las Estaciones del Año

Constelaciones, etc.

Ascención Recta (α):Similar a la longitudgeográfica. Pero se mide en unidades de tiempo en horas,minutos y segundos a lo largo del ecuador celeste, usando al punto Vernal de refencia.

Declinación (δ): similar a la latitud. Se mide en (grados, m, y s angulares, al norte o al sur del ecuador terrestre.

23h

δ

0h 1h 2h 3h 4hα

N

SEn este ejemplo, las coordenadas son:

α δ =25° 0‘ 0" =04h 0m 0s

Para describir movimientos de objetos que se encuentran en el sistema Solar, conviene usar coordenadas eclípticas. Las cuales se miden tomando como referencia al plano de la eclíptica.

Para movimientos en la Vía Láctea se utilizan las coordenadas Galácticas. Para lo cual se toma como referencia el plano de nuestra Galaxia, tomando como origen la posición del centro Galáctico en: (l,b)=α=17h 42m 24s, δ=-28º 55´El polo norte Galactico está en: 12h49m, +27o24´

Leyes de Kepler

• 1.- Cada planeta se mueve en una orbita elíptica con el Sol en uno de sus focos.

• 2.- La línea entre el Sol y un planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.

• 3.- El cuadrado del periodo de un planeta es proporcional al cubo del semieje mayor. 

2a

2baeF´ F

Propiedades de la Elípse

2a Ley de Kepler

Circulo: corte II (paralelo) a la base

Elipse: resulta de un corte oblicuo

Hipérbola: corte II al ejeParábola: corte IIal lado del triángulo

Planeta P(año) A(AU) T2 R3

Mercurio 0.24 0.39 0.06 0.06

Venus 0.62 0.72 0.39 0.37

Tierra 1.00 1.00 1.00 1.00

Marte 1.88 1.52 3.53 3.51

Júpiter 11.9 5.20 142 141

Saturno 29.5 9.54 870 868

Tercera Ley de Kepler

T2

R3

Leyes de Newton

 • 1.- Ley de la Inercia: Un cuerpo permanece en

reposo o en movimiento constante a menos que se le aplique una fuerza externa.

 • 2.- Ley de Fuerza: La fuerza es igual a la masa

por la aceleración (F=ma) • 3.- Ley de Acción y Reacción: para cada fuerza

de acción corresponde una fuerza de reacción que es igual pero en sentido contrario.

Las leyes de Newton son básicas para comprender los movimientos que ocurren en el sistema solar. Son fundamentales en la astronáutica. Todo satélite obedece las leyes de Newton. Las mismas leyes sirven para entender el movimiento de sistemas estelares en cúmulos a nivel galáctico, etc. es decir tienen un carácter universal.

Consideremos una órbita circular alrededor de la superficie de la Tierra (R = 6370 km). ¿Qué velocidad debe tener un cuerpo para entrar en órbita terrestre?

mv2 /R = mg Rv

mv = √gR = √9.8x6370000 m/s V = 7.91 km/s

Ley de Gravitación Universal

 

• Cada cuerpo en el Universo es atraído por todos los demás cuerpos con una fuerza que son iguales al producto de las masas de los cuerpos divididos entre el cuadrado de la distancia

  F = -G m1m2

r2

Newton demostró a partir de su leyes, las leyes de Kepler, las cuales habían sido encontradas empíricamente por Kepler. Y que no solo son aplicables al movimiento de los planetas, sino a todo tipo de orbitas.

Después de Newton, La 3a Ley de Kepler queda como sigue:

P2 = 4 π2 a3 / [ G (m1 + m2) ]

Donde m1 y m2 son las masas de los cuerpos 1 y 2, P es el período orbital y a es el semieje mayor.

Debido a que normalmente la masa de un satélite es mucho menor que la del cuerpo que está orbitando, basta conocer el período P y el semieje mayor a de un satélite para encontrar la masa del cuerpo central.

Por ejemplo, para el satélite Io sabemos que:P = 1.77 díasa = 4.22x1010 cm.

Demuestre que la masa de Júpiter es 1.9x1030gramos=318 MTierra

Satélite Distance(km) Periodo(h)

Io 422,000 42.46

Europa 671,000 85.22

Ganimede 1,070,000 171.70

Calisto 1,883,000 400.56

Verifique que obtiene resultados consistentes con las otras LunasGalileanas.

Otro ejemplo útil es el de los satélites geoestacionarios, para los que P = 1 día. Sabiendo que MTierra = 5.974x1027 gr.¿A que altura deben orbitar a la Tierra?

RTX

Porbital = 1 día= Protacional

de la Tierra

Es la velocidad que debe superar un cuerpo para poder abandonar completamente a su cuerpo central. La condición que se debe cumplir es, que su energía total sea igual a 0.

ETotal = Ecinética + Epotencial = 0

= mV2/2 - GMm/r = 0V = √2GM/r

Substituyendo valores para la Tierra tenemos:Vescape = 11.2 km/s.

Calcule Vescape para el Sol y para la Galaxia.

Después del descubrimiento de Urano por Hershel en 1794, surgió un gran interés por encontrar más planetas en el Sistema Solar.

Pronto se supo que el movimiento de Urano, no parecía obedecer las leyes de Newton, a menos de que este planeta estuviera siendo perturbado por otro planeta más lejano.

John Adams y Le Verrier trabajando en forma independiente (en Inglaterra y Francia) con las perturbaciones, predijeron la existencia de Neptuno. Dicho planeta fue observado por Galle y D’arrest el 23 de septiembre de 1846.

El primero en observar el paralaje y utilizarlo para medir distancias a las estrellas. En 1838 descubre que la estrella 61 del Cisne tiene un paralaje de 0.314” (el valor correcto es 0.292”), por lo que se encuentra a 10 años luz del Sol. Un parsec equivale a 3.2 años luz de distancia.

Friederich Bessel (1784-1846),

“El más grande y glorioso triunfo que

ha experimentado la Astronomía práctica” John Hershell

“Puso por primera vez nuestras ideas sobre el Universo sobre una base sólida” Heinrich Olbers

Es famoso, por descubrir a Sirio B, la compañera de Sirio (enana blanca, la primera estrella compacta en ser descubierta). Esto se estudiará más adelante en esta sesión. En matemáticas son sumamente conocidas las funciones de Bessel, que encontró por primera vez en sus estudios sobre perturbaciones planetarias. Estudios geodésicos de arcos meridianos, que le permitieron encontrar que la elipticidad de la Tierra es de aproximadamente 1/299. Estudio las perturbaciones producidas sobre Urano por un planeta desconocido (Neptuno), pero murió antes de concluir sus calculo.

Otras contribuciones de Bessel

Las leyes de Newton son también validaspara describir sistemas estelares.

W. Hershel demostró a través de cálculos y observaciones que los sistemas binarios de estrellas obedecen la 3a Ley de Keppler y que estos pueden utilizarse para medir la masa de las estrellas. Hasta la fecha esta es la técnica más confiable para obtener las masas estelares.

1950

1910

1870

1830

1790

Sistema Binario de Castor

Sistema Binario de Sirio

Movimiento del Sistema de Sirio

C.M

M1

M2

R2

R1

Ri es la distancia a la estrella con masa mi medida desde el centro de masa C.M. del sistema. Por definición de C.M., M1R1=M2R2.

Por la 3a Ley de Kepler, M = R3/P2,donde M=M1+M2 (en masas solares), R=R1+R2 (en A.U) y P es el periodo (en años terrestres).

La Masa de las Estrellas

Para el Sistema binario de Sirio tenemos:R= 20.0 A.U, P=50 años. La 3a Ley de Kepler nos da: M = 3.2 Msol. Y como R2/R1=2, M1/M2=2. Entonces M1+M2=M1+M1/2= 3.2 Msol. Y M1 = 3.2 Msol/1.5 = 2.13 Msol y M2 = 1.07Msol.La estrella 2 es una enana blanca.

Materia Obscura

F. Zwicky en 1933, descubrió que existe másmateria en el Universo que lo que podemos ver con nuestros ojos.

http://neo.jpl.nasa.gov/orbits/

Es sumamente importante conocer lasorbitas de todos los asteroides que nos puedan impactar. Este es un ejemplo en el cual podemos ver la importancia de la observación astronómica y de la mecánica celeste.

Hasta el momento se conocen 462 NEO´s, que son considerados como potencialmente peligrosos. Entre los más famosos podemos mencionar a: 2002 NY40 y el 1997 XF11, que han causado alarma poco después de haber sido descubiertos.

Aún no se sabe de ningún NEO que valla a impactar a nuestro planeta. Lo que si es cierto es que de alguna forma debemos estar preparados, por si esto llegara a ocurrir.

http://cass.jsc.nasa.gov/publications/slidesets/craters.html

Localización: 21.3°N 89.6°W al norte de la Península de Yucatán   Diámetro: ~250-280 km        Edad: 64.98 ± 0.05 millones de años

LPI, NASA

Proyecto de ESA para estudiar la posibilidad de desviar asteroides.

La mecánica celeste parael estudio de satélites artificiales y basura en el espacio.

El insólito caso del objeto J002 E3.

Actualmente se utilizan 2 escalas para medir el riesgo de impacto: la de Palermo y la de Torino. De acuerdo con estas, el objeto que tiene la mayor probabilidad de impacto es el 2000 LG6, teniendo una probabilidad de unas cuantas diez milésimas, para el año 2088. Por lo que no hay que preocuparse demasiado.

Los registros de cráteres más conocidos en la Tierra son: el de Meteoro (Arizona), Chicxulub (Yucatan, México), el de Aorounga (Chad), Manicouagan (Canada), y el de Roter Kamm (Namibia). En el sistema solar: Shumaker-Levy 9 (Júpiter), las cadenas de cráteres en la Luna, en Calisto y en Gamínides.

a semieje mayore eccentricidádw argumento de preiapsis (valor medio)M anomalía mediai inclinación c.r a la eclíptica (valor medio)node longitud del modo ascendenten razón de longitud (valor medio)P periodo sideral (valor medio)Pw argumento del periodo de precesión periapsis Pnode longitud del modo de ascensiónTilt ángulo entre el ecuador del planeta y el plano Laplacianoα y δ del polo c.r al plano Laplaciano.

Luz corridaal azul

Luz corrida al rojo

Se puede inferir la presencia de un planeta, estudiando el bamboleo de una estrella, por medio del efecto Doppler.

Planeta

Estrella

http://obswww.unige.ch/~udry/planet/planet.html

Lagrange Joseph Louis, Conde de (1736 - 1813) Laplace Pierre Simon, Marqués de (1749 – 1827)

Incluyeron los efectos producidos por la masa de los planetas (perturbaciones) en la descripción de los movimientos del sistema solar. Su conclusión fue, que debido a que las razones de las masas de los planetas en el sistema solar, c.r a la masa del Sol son pequeñas (10-3 a 10-9 y a que las eccentricidades (e~10-2) e inclinaciones (i ~10-2 rad), el movimiento de los planetas en el sistema solar es estable.

L5

L1L3 L2

L4

Los puntos L4 y L5 son los únicos estables aperturbaciones. Es el sitio de los asteroides troyanos en la órbita de Júpiter.

¿Tiene Troyanosla órbita terrestre?

Jules Henri Poincare (1854-1912)

Uno de los más grandes matemáticos del siglo pasado.Descubrió que el movimiento de los cuerpos del sistema solar son muy sensibles a las condiciones iniciales. Con su trabajo puso en duda las conclusiones de estabilidad del sistema solar que propusieron Lagrange y Laplace.

Pionero en el estudio de sistemas caóticos.

Teoría Especial de la Relatividad

Creador: Albert Einstein

Nace el 14 de Marzo de 1879 en Ulm, Alemania y muere en Princeton, Pensilvania, USA en 1955.

Las 2 hipótesis:

1.-Las leyes de la física tienen las misma forma en todos los sistemas inerciales.

2.-La velocidad de la luz en el vacío es constante en cualquier sistema de referencia en que se propague.

Algunos Resultados de la T. E. de la Relatividad

Contracción de la distancia

L = L0(1-v2/c2)1/2

Dilatación del tiempo Δt = Δt0/(1-v2/c2)1/2

Paradoja de los gemelos.

V

Distintos Tipos de Geometrías

Si todos los sistemas acelerados son equivalentes, el espacio no puede serEuclidiano.

Ecuaciones de Einstein:

Curvatura= G (Densidad de materia y energía)

Confirmación de la TG de la Relatividad

Lentes Gravitacionales