Mecanic a 00

Apuntesde

Mecánica Teórica

José Agustín García García

Badajoz, enero de 2010.

Índice general

1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales 1

1.1. Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Desplazamiento y trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2. Trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Cálculo de la energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6. Geometrización de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . 9

1.6.1. Las coordenadas no dependen explicitamente del tiempo . . 9

1.6.2. Las coordenadas gi dependen explicitamente del tiempo . . 12

1.7. Ecuaciones de Lagrange en Coordenadas Naturales . . . . . . . . . . 13

1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Fuerzas de ligadura 19

2.1. Fuerzas dadas y fuerzas de ligadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Fuerzas de ligadura ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Fuerza de ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4. Fuerzas de ligadura no holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5. Componentes generalizadas de las fuerzas holónomas y no holónomas 24

2.6. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

ii ÍNDICE GENERAL

3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y anholónomos 31

3.1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos . . . . . . . . . . 31

3.1.1. Componentes generalizadas de la fuerza en sistemas holónomos 33

3.2. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos . . . . . . . . . . 34

3.2.1. Relación entre las ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales y las ecuaciones de

3.2.2. Determinación de la fuerzas de ligadura en sistemas holónomos 36

3.3. Ecuaciones de Lagrange para sistemas anholónomos . . . . . . . . . 44

3.4. Potenciales generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5. Formulación covariante de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . 55

3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4. Principios disponibles para la integración 63

4.1. Forma explícita de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 63

4.2. Integración de las ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3. Sistemas con coordenadas ignorables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4. Simetrías y propiedades de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.6. Leyes de conservación para lagrangianos gauge-variantes . . . . . . 80

4.6.1. Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.7. Introducción a los sistema dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.7.1. Sistemas no autonomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.7.2. Estabilidad de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.7.3. Sistemas casi lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5. Dinámica hamiltoniana 95

5.1. Transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2.1. Coordenadas ignorables en la formulación hamiltoniana . . 102

5.3. Una introducción a la geometría simplética . . . . . . . . . . . . . . 104

6. Principios Variacionales 111

6.1. Principio de D’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.3. El principio de Hamilton para fuerzas que no proceden de un potencial119

ÍNDICE GENERAL iii

6.4. Obtención de las ecuaciones canónicas de Hamilton . . . . . . . . . 121

6.5. Expresión de la función principal de Hamilton . . . . . . . . . . . . . 122

6.6. Simetría y acción. El teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.6.1. Invariancia gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.7. Principio de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.8. Una introducción a la mecánica lagrangiana para medios continuos152

7. Teoría de transformaciones 157

7.1. Transformaciones de Contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.1.1. Transformaciones de contacto para un número cualquiera de dimensiones163

7.2. Formulas explicitas para las transformaciones de contacto . . . . . 164

7.3. Solucciones alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7.4. Relaciones entre las derivadas parciales de los dos conjuntos de variables170

7.5. Algunos ejemplos de transformaciones de contacto . . . . . . . . . . 172

7.5.1. Transformación puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.5.2. Transformación identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.5.3. Transformación de permutación . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.5.4. Transformación de contacto infinitesimal . . . . . . . . . . . 174

7.6. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.7. Teorema de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8. Corchetes de Poisson 183

8.1. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.1.1. Algunas propiedades de los corchetes de Poisson . . . . . . . 185

8.1.2. Las ecuaciones del movimiento en término de los corchetes de Poisson187

8.1.3. Corchetes de Poisson y Transformaciones de contacto infinitesimales189

8.2. Corchetes de Poisson cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9. El método Hamilton - Jacobi 197

9.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

9.2. La ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

9.3. Sistemas autónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

9.4. Variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

9.5. El método de variación de las constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 215

iv ÍNDICE GENERAL

9.6. Relación entre la teoría de Hamilton – Jacobi y la mecánica cuántica225

10.Variables acción – ángulo 231

10.1.Sistemas ciclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

10.2.Variables acción ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

10.3.El movimiento del sistema en términos de las variables acción–ángulo234

11.Mecánica de medios continuos 245

11.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

11.2.Noción del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

11.3.Concepto de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

11.4.Imagenes euleriana y lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

11.5.Derivada másica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

11.6.Líneas de corriente, trayectorias y líneas de emisión . . . . . . . . . 254

11.6.1. Líneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

11.6.2. Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

11.6.3. Líneas de emisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

11.7.Estudio de la deformabilidad del continuo . . . . . . . . . . . . . . . 259

11.7.1. Deformación del vector desplazamiento, vector superficie y volumen259

11.8.Velocidad de deformacion de los elementos de longitud, superficie y volumen262

11.9.Teorema de conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

11.10.Tensor velocidad de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

11.10.1.Tensor de Cauchy y Green–Venant . . . . . . . . . . . . . . . . 279

11.11.Teorema de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

11.12.Dinámica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

11.13.tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

11.14.Fluidos newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

11.15.Principio de conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

11.15.1.Ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido 305

A.1. Ecuaciones del movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

A.2. Teorema de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

A.3. Momentos cinético y lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

ÍNDICE GENERAL v

A.3.1. Teorema de Koenigs relativo al momento cinético . . . . . . . 311

A.4. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

A.4.1. Teorema de Koenigs relativo a la energía cinética . . . . . . . 314

A.5. Teorema de Steiner generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

A.5.1. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

A.6. Movimiento de dos sólidos en contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

A.7. Teoremas generales de la mecánica del sólido rígido . . . . . . . . . 322

A.7.1. Trabajo de las fuerzas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

A.8. Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

B. Algunos conceptos de geometría diferencial 335

B.1. Concepto de espacio topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

B.2. Concepto de aplicación continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

B.3. Concepto de homeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

B.4. Concepto de carta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

B.5. Concepto de variedad topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

B.6. Concepto de transformación de coordenadas . . . . . . . . . . . . . 338

B.7. Variedades lisas. Difeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

B.8. Algunos ejemplos de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

B.9. Vectores tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

B.10.Una definición de vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

B.11.El espacio Tangente TP0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

B.12.Derivada direccional de una función. Otra definición de vector tangente347

B.13.El fibrado tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

B.14.Diferencial de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

B.15.Notacion de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

B.16.Vectores covariantes y contravariantes. El espacio de formas lineales359

B.17.Espacios euclídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

B.17.1.Subir y bajar indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

B.18.Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

B.19.Tensores covariantes antisimétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

B.20.Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

B.20.1.Definición divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . 384

vi ÍNDICE GENERAL

B.21.Diferencial exterior de una forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . 386

B.22.Estructuras simpléticas sobre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . 387

B.23.El sistema de coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

B.24.Campos de vectores. Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

B.25.Expresión del campo vectorial en el fibrado tangente . . . . . . . . . 402

B.26.Expresión en coordenadas naturales de la derivada de Lie . . . . . . 403

Capítulo 1

Ecuaciones de Lagrange para

sistemas elementales

1.1. Coordenadas Generalizadas

Vamo en este capítulo introductorio a analizar las ecuaciones del movimien-

to en coordenadas generalizadas como paso previo para el análisis de las ecua-

ciones de Lagrange.

Para ello consideremos un sistema de N partículas cada una de ellas con

masas m(n). Con referencia a un sistema de referencia inercial con un sistema

de coordenadas ortogonales euclídeas, las ecuaciones del movimiento de la n-

éxima partícula toma la forma

m(n)xi (n)= fi (n), i = 1,2,3, n = 1, . . . ,N

siendo xi (n) la i-éxima componente euclídea de la n-éxima partícula y fi (n) la

i-éxima componente euclídea de la fuerza aplicada sobre la n-éxima partícula.

Vamos a introducir una nueva notación y pasar de estudiar nuestro problema

2 Capítulo – 1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales

en un espacio de 3 dimensiones a uno de 3N dimensiones. Para ello hagamos

xi (n) ≡ x3(n−1)+i

fi (n) ≡ f3(n−1)+i

m(n) ≡ m3n−2

≡ m3n−1

≡ m3n

de tal forma que las posiciones de las N partículas vienen dadas por un vector

x = x1, . . . , x3N , y la fuerza por un vector f = f1, . . . , f3N . En estas condiciones

las ecuaciones del movimiento se escriben como

mi xi = fi i = 1, . . . 3N

1.2. Coordenadas generalizadas

En la sección anterior, se escribieron las ecuaciones del movimiento en un

sistema euclídeo, ahora bien no necesariamente tenermos que especificar las

coordenadas de las particulas en un sistema euclídeo, podemos utilizar un sis-

tema de coordenadas cualesquiera, donde las posiciones de las partículas venga

dada por un conjunto de 3N coordenadas g 1, g 2, . . . , g 3N , llamadas coordenadas

generalizadas. La única condición que se exige, desde un punto de vista mate-

mático, para que podamos emplear este nuevo sistema es que el jacobiano de la

transformacion x i → g j sea distinto de cero, en al menos un punto, lo que nos

garantiza por el teorema de la función implícita que la transformación de coor-

denadas es un difeomorfismo (existe la aplicación inversa, es continua y deriva-

da continua) en un entorno del punto. Así mismo, designaremos por g i , . . . , g 3N

las componentes generalizadas de la velocidad. Al espacio donde se definen las

coordenadas generalizadas se le denomina espacio de las configuraciones

1.3 Desplazamiento y trabajo virtual 3

1.3. Desplazamiento y trabajo virtual

1.3.1. Desplazamiento virtual

Consideremos dos confifuraciones del sistemas infinitamente próximas

g i , . . . , g 3N y g i +δg i , . . . , g 3N +δg 3N

Se denomina desplazamiento virtual al paso de una configuración del sistema a

otra infinitamente próxima en un instante t . Designaremos por δg el vector des-

plazamiento virtual. Se diferencia este desplazameinto virtual respecto de uno

real en que este último se realiza en un tiempo δt mientras que el primero es

instantaneo. Así mismo, el desplazamiento virtual no corresponde en general

con el desplazamiento que sufre el sistema como resultado de las fuerzas ac-

tuando sobre él. Un ejemplo claro de esta situación se da cuando el sistema esta

sometido a ligaduras que dependen del tiempo. Considerar una partícula que

está situada sobre una mesa giratoria, que gira con velocidad angular constante

ω. Considerar un desplazamiento que consiste en una variación del radio. En

un desplazamiento virtual únicamente varía la distancia al centro de la partícu-

la. En un desplazamiento real varían tanto la distancia al centro como el ángulo

respecto de un recta fija en el plano.

1.3.2. Trabajo virtual

Consideremos un desplazamiento virtual, denominaremos trabajo virtual al

producto escalar de la fuera por el desplazamiento

δW = F ·δg (1.1)

en un sistema de coordenadas cartesianas la anterior expresión foma la forma

δW = fiδx i


en un sistema de coordenadas cualesquiera, g i la anterior expresión toma la

forma

δW =Giδg i

donde Gi son las componentes covariantes en el sistema g i de la fuerza actuan-

do sobre el sistema (esto es sobre cada partícula del sistema)1

Puesto que el desplazamiento virtual se realiza en un instante t , a la hora de

evaluar el trabajo virtual emplearemos el valor de la fuerza en dicho instante.

Dado que Gi son las componentes covariantes de la fuerza, si empleamos

otro sistema de coordenadas g i , las componentes cavariantes de la fuerza en

este nuevo sistema de coordenadas se pueden obtener a partir de la antiguas

mediante la ecuación

Gi =∂g j

∂g iG j (1.2)

Tenemos que destacar que las componentes covariantes Gi de la fuerza no

tienen siempre dimensiones de fuerza, depende de las dimensiones de la coor-

denada g i . Así por ejemplo si g i es un ángulo, Gi tiene dimensiones de momen-

to. Es posible obtener lo que se llaman componentes físicas de la fuerza a partir

de sus componentes covariantes. Para ello lo único que tenemos que hacer es

calcular las componentes covariantes no en la base general g i si no en una base

unitaria obtenida a partir de la base general. Para obtener la base unitaria basta

dividir cada vector base gi por su longitud. Como se demustra en el apendice

B, si gi j son las componentes del tensor métrico, las componentes físicas de la

fuerza se pueden obtener mediante la expresión

Fi =G j g i jpgi i

y en el caso de que el sistema sea ortogonal g i j = δi j (1/g j j ), de donde

Fi =Gi /p

gi i

Así pues para obtener las componentes covariantes de la fuerza en un sis-

1Empleamos aquí la notación de Einstein, en la que un índice repetido indica una suma en elíndice. Tenemos

∑

i fi x i = fi x i .

1.4 Ecuaciones de Lagrange 5

tema basta calcular el trabajo virtual y ver cuales son los coeficientes de cada

desplazamiento virtual.

1.4. Ecuaciones de Lagrange

Considerar un sistema dinámico con N partículas, el movimiento de cada

partícula viene gobernada por una una ecuación del tipo mi xi = fi en un sis-

tema de coordenadas cartesiano euclídeo ortonormal. El propósito de esta sec-

ción es generalizar estas ecuaciones para un sistema de coordenadas cualquiera

g i . El término sistema elemental designa un sistema dinámico conteniendo un

número de partículas conocido sobre el que actua un sistema de fuerzas cono-

cidas. Antes de comenzar la demostración de la obtención de las ecuaciones de

Lagrange vamos a demostrar dos lemas que nos van a permitir obtener dichas

ecuaciones. Estos dos lemas nos van a permitir pasar del espacio de las confi-

guraciones que vamos a suponer que es una varidedad diferencial, al espacio

fibrado tangente.

Lema 1.4.1 Sean g ≡ g 1, . . . , g N y g′ ≡ g ′1, . . . , g ′N dos sistemas de coordena-

das generalizadas y g, g′ sus correspondientes velocidades generalizadas, se tie-

ne que∂g ′i (g, g, t )

∂g j=

d

dt

[

∂g ′i (g, t )

∂g j

]

(1.3)

y

Lema 1.4.2∂g ′i (g, g, t )

∂g j=

∂g ′i (g, t )

∂g j(1.4)

DEMOSTRACIÓN

Puesto que estamos suponiendo que el espacio de las configuraciones es una

variedad diferenciable, tendremos que el nuevo sistema de coordenadas será

una función del antiguo sistema y del tiempo

g ′k = g ′k (g j , t )


Dado que las velocidades generalizadas son las componentes de un vector con-

travariante, en ambos sistemas estan relacionadas dadas por la expresión

g ′k =∂g ′k

∂g ig i +

∂g ′k

∂t

La anterior expresión nos muestra como obtener las componentes de la veloci-

dad (que es un vector del espacio tangente) en el sistema de coordenadas prima-

do a partir de sus correspondentes coordenadas en el sistema sin primar, pero

nos mantenemos en el espacio tangente. Vamos a considerar ahora que en la an-

terior expresión las coordenadas y las velocidades son independientes, esto es

consideramos a la expresión anterior como una expresión en el fibrado tangente

donde los elementos que pertenecen a él no solo dependen de las coordenadas

g j si no tambien de las velocidades generalizadas g j . Esto es supondremos que

g ′k = g ′k(g, g, t ). Derivando parcialmente respecto de g j manteniendo las velo-

cidades constantes, obtenemos

∂g ′k (g, g, t )

∂g j=

∂

∂g j

∂g ′k (g, t )

∂g ig i +

∂

∂g j

∂g ′k (g, t )

∂t=

=∂

∂g i

∂g ′k(g, t )

∂g jg i +

∂

∂t

∂g ′k(g, t )

g j=

d

dt

∂g ′k(g, t )

∂g j

como queriamos demostrar. Así mismo partiendo de la expresión de las veloci-

dades generalizadas, derivando parcialmente respecto de g j , tenemos

∂g ′k (g, g, t )

∂g j=

∂g ′k (g, t )

∂g i

∂g i

∂g j=

∂g ′k (g, t )

∂g iδi

j =∂g ′k (g, t )

∂g j

como queriamos demostrar.

Pasemos a estudiar ya cuales son las expresiones de las ecuaciones de La-

grange.

Teorema 1.4.1 Si un sistema dinámico compuesto de N partículas se mueve ba-

jo la acción de un conjunto de fuerzas conocido, función única de las posiciones

de las partículas, las ecuaciones del movimiento en coordenadas generalizadas

1.4 Ecuaciones de Lagrange 7

se puede poner como

d

dt

(

∂T (g, g, t )

∂g k

)

−∂T (g, g, t )

∂g k=Gk k = 1, . . . ,N (1.5)

DEMOSTRACIÓN

Partiendo de la segunda ley de Newton, en coordenadas cartesianas

mi xi = fi (x)

teniendo en cuenta que

mi xi =d

dt

∂

∂x i

[

1

2m j (x j )2

]

=d

dt

∂T (x, t )

∂x i

obtenemosd

dt

[

∂T (x, t )

∂x i

]

= fi (1.6)

siendo

T (x, t )=1

2m j (x j )2

la energía cinética. Multiplicando ahora por ∂x i

∂g j y sumando en i

d

dt

[

∂T (x, t )

∂x i

]

∂x i

∂g j=

∂x i

∂g jfi (x)

puesto que fi (x) son las componentes covariantes de la fuerza en el sistema car-

tesiano,∂x i

∂g jfi (x1, . . . , x3N )=Gi (g 1, . . . , g 3N )

serán las componentes covariantes de la fuerza en la nueva base, en cuanto al

primer miembro, tenemos

d

dt

[

∂T (x, t )

∂x i

]

∂x i

∂g j=

=d

dt

[

∂T (x, t )

∂x i

∂x i

∂g j

]

−∂T (x, t )

∂x i

d

dt

[

∂x i

∂g j

]


teniendo en cuenta los lemas anteriores

d

dt

[

∂x i

∂g j

]

=∂x i (g, g, t )

∂g j

y∂x i

∂g j=

∂x i (g, g, t )

∂g j

sustituyendo, tenemos

d

dt

[

∂T (x, t )

∂x i

]

∂x i

∂g j=

d

dt

[

∂T (x, t )

∂x i

∂x i (g, g, t )

∂g j

]

−∂T (x, t )

∂x i

∂x i (g, g, t )

∂g j

=d

dt

[

∂T (g, g, t )

∂g j

]

−∂T (g, g, t )

∂g j

por lo que

d

dt

[

∂T (g, g, t )

∂g j

]

−∂T (g, g, t )

∂g j=G j , j = 1,2, . . . ,N (1.7)

que son las ecuaciones de Lagrange en coordenadas generalizadas. Puesto que

el miembro de la derecha representa la componente covariante de la fuerza, el

miembro de la izquierda representa la componente covariante de la aceleración

multiplicada por su correspondiente "masa". De los dos términos del primer

miembro, únicamente el primero aparece en la correspondiente expresión de

las ecuaciones de Lagrange en coordenadas cartesianas euclídeas, ver la ecua-

cion 1.6. El segundo término ha aparecido debido a que estamos en un sistema

de coordenadas no cartesiano y corresponde con los llamados símbolos de Ch-

ristoffel del análisis tensorial.

1.5. Cálculo de la energía cinética

Vamos a ver como poder calcular la energía cinética en un sistema de coor-

denadas cualesquiera, para ello tengamos en cuenta que

x i = x i (g, t )

1.6 Geometrización de las ecuaciones de Lagrange 9

de donde

x i =∂x i

∂g jg j +

∂x i

∂t

de donde

T =1

2mi x i x i =

1

2mi (

∂x i

∂g jg j +

∂x i

∂t)(∂x i

∂g kg k +

∂x i

∂t) =

T =1

2mi (

∂x i

∂g j

∂x i

∂g kg j g k )+mi (

∂x i

∂g j

∂x i

∂tg j )+

1

2mi (

∂x i

∂t)(∂x i

∂t)

que podemos poner como

T (g, g, t )=1

2T j k (g, t )g j g k +T j (g, t )g j +

1

2T0(g, t ) (1.8)

siendo

T j k = mi∂x i

∂g j

∂x i

∂g k

T j = mi∂x i

∂g j

∂x i

∂t

T0 = mi (∂x i

∂t)(∂x i

∂t)

1.6. Geometrización de las ecuaciones de Lagrange

1.6.1. Las coordenadas no dependen explicitamente del tiempo

En el caso que las coordenadas g i no dependan explicitamente del tiempo,

la energía cinética la podemos poner como

2T =Ti j g i g j

al ser 2T > 0, la anterior ecuación define una forma cuadrática definida positiva

con relación a las velocidades generalizadas. Se puede asociar al anterior siste-

ma dinámico un espacio de Riemann con una métrica definida por la ecuación

ds2 = 2T dt 2


de donde

ds2 = Ti j dg i dg j (1.9)

A toda configuración del sistema le corresponde un punto M bien determi-

nado del espacio de configuración de tal modo que a todo movimiento del siste-

ma dinámico queda asociado el movimiento del punto M en el espacio rieman-

niano. Vamos a ver como traducir la dinámica del sistema en una dinámica del

punto M en el espacio de Riemann. En primer lugar las componentes contrava-

riantes de la velocidad del punto M vienen dadas por la expresión

v i =dg i

dt= g i

por lo que las componentes covariantes de la velocidad valen

vi = Ti j v j = Ti j g j

ahora bien, de la expresión de la energía cinética T,

Ti j g j =∂T

∂g i

de donde

vi =∂T

∂g i(1.10)

que como veremos más adeltante constituye la expresión de los momentos ge-

neralizados del sistema.

Vamos a relacionar las ecuaciones de Lagrange con las componentes cova-

riantes de la aceleración, para ello partiremos de la expresión

ai = gi h ah = gi h

(

dvh

dt+Γ

hpq vp vq

)

= gi hdvh

dt+ gi hΓ

hpq vp vq =

=d

dt

(

gi h vh)

−vh dgi h

dt+ gi hΓ

hpq vp vq

1.6 Geometrización de las ecuaciones de Lagrange 11


vi = gi h vh , Γi ,pq = gi hΓhpq

y quedgi h

dt=

∂gi h

∂g lv l

obtenemos

ai =dvi

dt−vh ∂gi h

∂g lv l +Γi ,pq vp vq

substituyendo los índices mudos h, l por p, q

ai =dvi

dt−vp

∂gi p

∂g qvq +Γi ,pq vp vq

teniendo en cuenta la expresión de Γi ,pq en términos del tensor métrico

Γi ,pq =1

2[∂p gi q +∂q gi p −∂i gpq ]

donde ∂i gpq = ∂gpq /∂gi , podemos escribir

ai =dvi

dt+

1

2[∂p gi q −∂q gi p]vp vq −

1

2∂i gpq vp vq

ahora bien, el término entre corchetes es antisimétrico, intercambiando los ín-

dices p, q cambia de signo el término, y vp vq es simétrico por lo que su producto

contraido se anula, y por tanto

ai =dvi

dt−

1

2

∂gpq

∂g ivp vq .

Dada la expresión del tensor métrico

gpq = Tpq

tenemos

vi = gi j v j =Ti j g j =∂T

∂g i


y1

2

∂gpq

∂g ivp vq =

1

2

∂Tpq

∂g ig p g q =

∂T

∂g i

pues T = (1/2)Tpq g p g q , por lo que

ai =d

dt

∂T

∂g i−

∂T

∂g i=Gi

siendo Gi la componente covariante de las fuerzas aplicadas. Por lo tanto en

nuestro espacio de Riemann, la partícula parece tener masa unidad.

Nota

Las componentes covariantes de la aceleracion no coinciden con la derivada

total covariante de las componentes covariantes de la velocidad pues

Dvp

Dt=

dvp

dt−Γ

ipq vi vq =

dvp

dt−Γ

ipq gi k vk vq =

dvp

dt−Γk ,pq vk vq

mientras que

ap =dvp

dt−

1

2

∂grs

∂g kvr vs

y

Γk ,pq 6=1

2

∂grs

∂g k

Se puede ver que∂grs

∂g k= Γs,rk +Γr,sk

1.6.2. Las coordenadas gi dependen explicitamente del tiempo

Las cosas ahora son similares al caso anterior con tal de introducir una nue-

va coordenada g 0 dada por la condición

g 0 = t g 0 = 1

1.7 Ecuaciones de Lagrange en Coordenadas Naturales 13

1.7. Ecuaciones de Lagrange en Coordenadas Naturales

En física se refiere uno al sistema de coordenada naturales como aquel sis-

tema en el que una de las líneas coordenadas es la propia trayectoria de la par-

tícula. En forma matemática podemos expresar esta condicion de la forma

d y1

dt= v (1.11)

siendo v el módulo de la velocidad, que en coordenadas g j toma la forma

v =√

g j k v j vk =√

g j k g j g k

Como hemos visto en la sección anterior podemos considerar al sistema me-

cánico como una partícula que se mueve en el espacio de las configuraciones

dotado de una métrica dada por la expresión,

ds2 = Ti j dg i dg j

de donde,

(ds/dt )2 = Ti j g i g j

que no es otra cosa que el módulo al cuadrado del vector velocidad, por lo que

ds

dt= v =

√

Ti j g i g j =p

2T

Así pues y1 coincide con la longitud del arco.

Dada nuestra definición de coordenadas naturales, el vector v lo podemos

poner como

v = v∂

∂y1= v

∂

∂s= vu

siendo u, por construcción, un vector unitario tangente a la trayectoria, cuya

expresión en el sistema g i es

∂

∂s=

∂

∂g i

∂g i

∂s.


Puesto que en este sistema de coordenadas la energía cinética tiene por expre-

sión

T =1

2v2

solo tendremos una ecuación de Lagrange

d

dt

(

∂T

∂y1

)

=Gy 1

o sead

dt

(

∂T

∂v

)

=Gy 1

de dondedv

dt=Gy 1 (1.12)

siendo

Gy 1 =Gi∂g i

∂y1

la componente generalizada de la fuerza en este sistema de coordenadas. Una

expresión igual a esta se obtiene mediante el método tradiciónal en el apendice

B. Así pues, la única ecuación de Lagrange en este sistema de coordenadas nos

da solamente la ley horaria del movimiento. Para encontrar la forma de la tra-

yectoria debemos de actuar de otra forma, ver apendice B, donde se obtienen

un conjunto de n ecuaciones

ma i(n) = mv2

(

d2g i

ds2+

dg p

ds

dg q

dsΓ

ipq

)

=(

g i jG j −G jdg j

ds

dg i

ds

)

(1.13)

cuya solucción nos da la ecuación de la trayectoria.

1.8. Ejercicios

Ejercicio 1.1 Considerad la superficie de revolución x = r cosθ, y = r sinθ, z =αr 2. Esta superficie se puede considerar como una variedad de dimensión 2 em-

bebida en el espacio Euclídeo usual. Encontrar la expresión de los vectores base

del espacio tangente en la variedad de dimensión 2 en términos de los vectores

1.8 Ejercicios 15

i, j,k de la base euclídea usual. Evaluar las componentes de la velocidad.

Ejercicio 1.2 La expresión de la energía cinética de un punto en un sistema de

coordenadas curvilineo a, b, c es

2T = Aa2 +Bb2 +C c2 +2F bc +2Gca +2Hab

Demostrar que p, q, r, las componentes físicas de la aceleración en la dirección

tangente a las lineas coordenadas estan dadas por 3 ecuaciones del tipo

d

dt

(

∂T

∂a

)

−∂T

∂a= p

pA+

Hp

Bq +

Gp

Cr

Ejercicio 1.3 Hallense la velocidad y aceleración, angular y radial, de un punto

que se mueve a lo largo de una circunferencia cuyo radio varía sinusoidalmente

con el tiempo mediante las ecuaciones de Lagrange. Suponer que el punto tiene

masa unidad.

Ejercicio 1.4 Considerar una partícula de masa unidad sin peso que se mueve

sobre la superficie de un toro liso sobre la que no actua ninguna fuerza excepto

la normal al toro. El elemento de línea geométrica viene dado por ls expresión

ds2 = (a−b cosθ)2dφ2+b2dθ2 siendoφ el ángulo azimutal yθ el desplazamineto

angular desde el plano ecuatorial. Calcular a) las componentes, contravarian-

tes, covariantes y físicas de la velocidad. b) las componentes, contravariantes,

covariantes y físicas de la aceleración. Demostrar que (a − b cosθ)2dφ/ds = h,

constante y que

b2(

dθ

dφ

)2

= (a −b cosθ)4/h2 − (a −b cosθ)2

Ejercicio 1.5 Considerar la superficie de revolución

x = r cosθ

y = r senθ

z = z(r).


Calcular las componentes tangencial y radial de la aceleración de una partícula

que se mueve sobre ella utilizando las ecuaciones de Lagrange.

Ejercicio 1.6 Considerar una partícula de masa unidad que se mueve a lo largo

de la espiral plana de ecuación r = kθ que se muestra en la figura 1.1

Figura 1.1:

Calcular las componentes contravariantes, covariantes y física de la velo-

cidad y la aceleración.

Calcular la componente tangencial de la velocidad. Calcular las compo-

nentes tangencial y normal de la aceleración. A la vista de los resultados

obtenidos interpretar los resultados obtenidos en el apartado anterior.

Calcular el radio de curvatura.

Calcular la reacción de la curva.

Ejercicio 1.7 Calcular las ecuaciones del movimiento de un punto no pesado

que se mueve sobre una parabola que gira alrededor de su eje vertical con una

velocidad angular ω constante y es atraido hacia el origen con una fuerza pro-

porcional a la distancia.

Ejercicio 1.8 Una partícula pesada de masa m se mueve a lo largo de un cicloide

liso (sin rozamiento) cuyas ecuación viene dada por las expresiones

x = a(θ−senθ)

y = a(1+cosθ)

1.8 Ejercicios 17

siendo θ el ángulo de la tangente a la curva. Estudiar la ley horaria y la reacción

de la curva utilizando las ecuaciones del movimiento en coordenadas naturales.

Ejercicio 1.9 Se define el producto vectorial de dos vectores Ai y B i mediante la

expresión

Li =pg g i jǫ j pq Ap Bq

siendo g el determinante del tensor métrico y ǫi j k el símbolo de Levi-Civita, que

vale +1 si i , j , k es una permutacion par de 1,2,3 y -1 en caso contrario, vale

cero si los índices se repiten. Calcular las componentes del momento angular en

esféricas. Calcular las componentes físicas. Evaluar la componente Lz .


Capítulo 2

Fuerzas de ligadura

2.1. Fuerzas dadas y fuerzas de ligadura

Se denomima fuerza dada o fuerza activa aquella fuerza actuando en un sis-

tema dinámico que es una función conocida de la configuración, movimiento

del sistema y a caso del tiempo.

Una fuerza de ligadura o pasiva es la fuerza ejercida por un agente, llama-

do ligadura, cuya acción en un sistema dinámico consiste en impedir que este

asuma ciertas configuraciones o realize algunos movimientos.

Al resolver un problema real, las fuerzas de ligadura no se puede de tratar

de la misma forma que las fuerzas dadas, puesto que el valor de las fuerzas de

ligadura no es conocido hasta despues de haber resuelto el problema dinámico.

Es por tanto importante distinguir entre fuerzas de ligadura y fuerzas activas a

la hora de resolver un problema de dinámica. Vamos a denominar con G a las

fuerzas activas y con R a las fuerzas de ligadura.

Vamos a distinguir asi mismo entre fuerzas de ligadura geométricas y fuer-

zas de ligadura cinemáticas. Las primeras limitan las posibles configuraciones

en que puede estar el sistema mientras que las segundas limitan los posibles

desplazamientos o movimientos del mismo.

Cada fuerza de ligadura geometrica es tambien una fuerza de ligadura cine-

mática puesto que es imposible restringir las posibles configuraciones del siste-

ma sin restringir su capacidad de movimiento. Sin embargo es posible restringir

20 Capítulo – 2. Fuerzas de ligadura

su capacidad de movimiento sin restringir sus posibles configuraciones. Un ca-

so que ilustra esta diferencia es el caso de una esfera que rueda sin deslizar sobre

una mesa. La ligadura geométrica consiste en que la esfera no abandone la me-

sa, si no estuviese ésta, la esfera caería bajo la acción de la gravedad, puesto que

no cae, la acción de la mesa equivale a la existencia de otra fuerza que se opone a

la acción de la gravedad, es la reacción normal de la mesa. Ahora bien si la esfera

rueda sin deslizar, la fuerza tangencial debida a las rugosidades de la mesa cons-

tituye una fuerza de ligadura cinemática pues actua acoplando el movimiento

rotacional de la bola con el movimiento translacional de su centro de masas,

pues en caso de rodadura sin deslizamiento no se puede producir un desplaza-

miento del centro de masas a lo largo de la mesa sin que venga acompañado por

una rotación de la esfera. Esta fuerza de rozamiento es una fuerza puramente

cinemática, pues no impide que el centro de masas y la orientación de la esfera

tengan un valor arbitrario, por tanto esta fuerza no impide que se alcancen cier-

tas configuraciones del sistema. La fuerza tangencial ejercida por una superficie

puede ser tambien una ligadura geométrica. Considerar por ejemplo un cilin-

dro que rueda sin deslizar sobre un plano, en este caso todas las ligaduras son

geométricas.

2.2. Fuerzas de ligadura ideales

Se denomina fuerzas de ligadura ideal aquellas fuerzas de ligadura que en

cualquier desplazamiento virtual compatible con las ligaduras no realizan tra-

bajo. Aunque esta restricción parece muy importante, existe una gran cantidad

de problemas interesantes donde se puede considerar que las furzas de ligadu-

ras son ideales. Vamos a citar algunos ejemplos.

1. En el caso de un solido rígido, en el que las distancias se mantienen cons-

tantes, las fuerzas de ligadura se pueden considerar ideales. Para verlo,

vamos a calcular el trabajo virtual realizado por las fuerzas de ligadura

compatibles con las ligaduras del sistema. Sea F(i ) la fuerza plicada sobre

2.2 Fuerzas de ligadura ideales 21

la partícula i por el resto de partículas del sólido,

F(i )=∑

j 6=i

f(i j )

siendo f(i j ) la fuerza que realiza la partícula j sobre la i. El trabajo virtual

realizado en el sistema por todas las fuerzas será

δW =∑

i

F(i ) ·δr(i ) =∑

i

∑

j

f(i j ) ·δr

ahora bien supuesto que las fuerzas de interacción entre particulas sean

proporcionales al vector que las une

f(i j )=−f( j i )= c(i j )r(i j )

por lo que

δW =∑

i

F(i ) ·δr(i ) =∑

p

c(i j )r(i j ) ·δr(i j )

donde la anterior suma está extendida a todos los pares de partículas. La

condición de que las partículas mantengan constante la distancia la po-

demos poner como

r(i j ) ·r(i j )= ct e

por lo que

r(i j ) ·δr(i j )= 0

y por tanto

δW = 0

2. Si un cuerpo se desliza sin rozamiento sobre una superficie lisa, la reac-

ción normal a la superficie no realiza trabajo, pues el movimiento del cuer-

po es ortogonal a la reacción y el trabajo virtual compatible con la ligadura

es nulo.

3. Si un cuerpo rueda sin deslizar sobre una superficie, el trabajo ejercido por

la superficie sobre el cuerpo es nulo. Esto se deduce del hecho de que el


proceso de rodadura sin deslizamiento exige que la velocidad del punto de

contacto sea nula, esto es el desplazamiento virtual del punto de contacto

es nulo y por tanto es nulo el trabajo realizado. Efectivamente, considerar

dos cuerpos en contacto, el cuerpo 1 y el cuerpo 2, el cuerpo 1 ejerce una

fuerza de ligadura que denominaremos R1/2 y que el sólido 2 ejerce una

fuerza de ligadura R2/1 sobre el 1. Obviamente, por el principio de acción

reacción R1/2 = −R2/1. Sea A ∈ 1, B ∈ 2 los puntos de contacto de ambos

sólidos en el instante t , la potencia desarrollada por dichas reacciones es

dW =R2/1VA/0 +R1/2VB/0

siendo VA/0 y VB/0 las velocidades referidas a cierto sistema de referencia.

De acuerdo con la ley de transformación de velocidades

VA/0 = VA/2 +VA2/0

esto es la velocidad del punto A respecto del sistema de referencia O, se

puede poner como la velocidad del punto A respecto del sistema 2 más la

velocidad del punto A unida al sistema 2 respecto del sistema de referen-

cia O. Ahora bien, esta velocidad es precisamente la velocidad del punto

B, por tanto

VA2/0 =VB/0

por lo que

dW = R2/1VA/2 + (R2/1 +R1/2)VB/0.

El término entre paréntesis es nulo, por el principio de acción–reacción,

de donde

dW = R2/1VA/2.

Si los sólidos ruedan sin deslizar, VA/2 = 0, resultando que

dW = 0

como queríamos demostrar.

2.3 Fuerza de ligaduras holónomas 23

2.3. Fuerza de ligaduras holónomas

Se dice que tenemos una fuerza de ligadura holónoma, si es una fuerza de

ligadura geométrica ideal que restringe las posibles configuraciones del sistema,

a aquellas que satisface una ecuación del tipo

ψ(g, t )= 0

o equivalentemente, es una fuerza de ligadura cinemática ideal, que restringe

los posibles movimientos del sistema a aquellos que satisfacen una ecuación de

la forma

Ai (g, t )dg i + A0dt = 0

siendo la cantidad Ai (g, t )dg i + A0dt la diferencial exacta de alguna funcion, o

se puede reducir con algún factor de multiplicidad apropiado a una diferencial

exacta.

En la definición anterior se ha supuesto que la ligadura limitaba las configu-

raciones del sistema a aquellas satisfaciendo una única ecuación ψ(g, t ) = 0. Es

posible que existan ligaduras que limiten las posibles configuraciones a aquellas

que satisafen M ecuaciones del tipo ψi (g, t ) = 0. En este caso lo que se hace es

suponer que exiten M fuerzas de ligadura, una por cada ecuación. Ejemplos de

fuerzas de ligadura holónomas son las fuerzas que mantienen fijas las distancias

de las partículas en el interior de un sólido rígido.

2.4. Fuerzas de ligadura no holónomas

Una fuerza de ligadura no holónóma es una fuerza de ligadura ideal que

restringe los posibles movimientos del sistema a aquellos que satisfacen una

ecuación de la forma

∑

i

Ai (g, t )dg i + A0(g, t )dt = 0

donde la cantidad∑

i Ai (g, t )dg i + A0(g, t )dt no es una diferencial exacta ni se

puede convertir en diferencial exacta multiplicandola por alguna función de g y


t .

Un ejemplo de este tipo de ligadura se obtiene cuando se imponen condi-

ciones generales de rodadura sin deslizamiento.

2.5. Componentes generalizadas de las fuerzas holónomas

y no holónomas

Como se dijo anteriormente no podemos dar una expresión de las fuerzas

de ligadura como función de las coordenadas generalizadas, sus velocidades y el

tiempo antes de resolver las ecuaciones del movimiento, sin embargo, podemos

en ciertas ocasiones dar algún paso en dicha dirección. En particular, en caso

de tener ligaduras holónomas o no holónomas (esto es ideales y que sea posible

encontrar una ecuacion de restricción) se pueden determinar las componentes

de la fuerza de ligadura salvo un factor común.

Teorema 2.5.1 Si un sistema dinámico compuesto de N partículas está sujeto a

una fuerza de ligadura R, holónoma o no holónoma, la cual restringe los despla-

zamientos del sistema a aquellos que satisfacen la ecuación

∑

i

Ai (g, t )dg i + A0(g, t )dt = 0

donde las cantidades A0, A1, . . . , A3N son funciones conocidas de g y t , las com-

ponentes generalizadas de la fuerza R1,R2, . . . ,R3N satisfacen las ecuaciones

R1

A1=

R2

A2= ·· · =

R3N

A3N(2.1)

o bien existe una cierta cantidad λ, llamado mutiplicador de Lagrange, tal que

Ri =λAi

DEMOSTRACIÓN

Sea δg un desplazamiento virtual del sistema, la condición de ligadura impone

la restricción

Aiδg i = 0

2.6 Grados de libertad 25

lo que nos indica que no todos los δg i son independientes, si no que tendremos

3N − 1 independientes, ahora bien, dado que la fuerza de ligadura es ideal, el

trabajo producido por esta en un desplazamiento virtual vale

Riδg i = 0.

Puesto que los δg i no son libres, la anterior expresión no nos permite hacer

Ri = 0. Sin embargo si mutiplicamos la ecuación de ligadura por un cierto factor

−λ y la sumamos a la anterior ecuación, obtenemos

(R1 −λA1)δg 1 +·· ·+ (R3N −λA3N )δg 3N = 0

este factor λ lo podemos elegir de tal forma que

(R1 −λA1) = 0

de donde

(R2 −λA2)δg 2 +·· ·+ (R3N −λA3N )δg 3N = 0

Ahora bien, estos 3N −1δg i son independientes por lo que

Ri −λAi = 0, i = 2, . . . ,3N

por lo queR1

A1=

R2

A2= ·· · =

R3N

A3N=λ (2.2)

por lo que salvo un factor λ podemos calcular las componentes de las fuerza de

ligadura, supuestas conocidas los coeficentes Ai de la ligadura holónoma o no

holónoma.

2.6. Grados de libertad

Considerar un sistema dinámico consistente en N partículas sujetas a L fuer-

zas de ligadura no holónomas y a M fuerzas de ligadura holónomas, en estas

condiciones se dice que el sistema poseé 3N −M grados de libertad configu-


racionales y 3N −M −L grados de libertad cinemáticos. El numero de grados de

libertad configuraciones es igual al número de coordenadas independientes que

junto con las condiciones de ligadura permiten de forma inequívoca especificar

la configuración del sistema. El número de grados de libertad cinemáticos es el

número de desplazamientos independientes δg i que son requeridos para que

junto a las condiciones de ligadura (holónomas y no holónomas) especifiquen

inequívocamente un desplazamiento general del sistema δg.

Ejemplo 2.1 Considerar que un disco de radio a rueda sin deslizar sobre un

plano horizontal. El plano del disco permanece vertical pero es libre de rotar

respecto de un eje vertical que pasa por el centro del disco. Discutir las ligadu-

ras

SOLUCCIÓN

Como es de todos conocido, para especificar la configuración de cualquier soli-

do rigido es necesario dar 6 coordenadas que corresponden en general con las

tres coordenadas del centro de masas del sólido y tres ángulos de Euler, que per-

mitan dar la orientación en el espacio del sólido. En este caso exigimos que el

disco ruede sin deslizar ortogonalmente al plano, lo que significa que la distan-

cia del centro del disco, que es el centro de masas, al plano es constante e igual

al radio del mismo, por lo que tenemos una ecuación de ligadura

zg = a

que es holónoma. Por otra parte, dado que el plano del disco se mantiene verti-

cal, de los tres ángulos de Euler, uno de ellos vale π/2 y constituye la otra con-

2.6 Grados de libertad 27

dición de ligadura holónoma, por lo que nos quedan 4 grados de libertad, las

posiciones xg , yg del centro de masas y φ,ψ dos ángulos de Euler. Ahora bien

la condición de rodadura sin deslizamiento impone una condición de ligadura

cinemática, que se expresa mediante el hecho de que el punto de contacto entre

el disco y el plano tenga velocidad nula

vc = vg +ω×GC = 0

siendo vc la velocidad del punto de contacto, vg la velocidad del centro de ma-

sas, ω el vector velocidad instantanea de rotación y r(g c) el radio vector que une

le centro de masas con el punto de contacto. En un sistema de referencia inercial

con el eje k en la dirección ortogonal al plano tenemos

vg = xg i+ yg j,

GC =−ak

y

ω= φk− ψu

siendo u un vector unitario ortogonal al plano del disco y por tanto paralelo al

plano, por lo que

u = cosφi+senφj

y por tanto

ω= φk− ψcosφi− ψsenφj

sustituyendo

vc = (xg +aψsenφ)i+ (yg −aψcosφ)j = 0

de donde

xg = −aψsenφ

yg = aψcosφ


de donde se deduce que en un desplazamiento virtual se debe de cumplir que

δxg = −a senφδψ

δyg = a cosφδψ

Estas ecuaciones no las podemos integrar y puesto que podemos mover el dis-

co de tal forma que todos las configuraciones xg , yg ,ψ,φ son accesibles, dichas

ecuaciones son las ecuaciones de ligadura no holónomas, por lo que solo nos

queda 2 grados de libertad cinemáticos.

Ejemplo 2.2 Evaluar las componentes de las fuerzas de ligadura del ejemplo an-

terior

SOLUCCIÓN

Según hemos visto, tenemos 4 ecuaciones de ligadura, 2 holónomas

zG −a = 0

θ−π/2 = 0


dzG = 0 (ligadura1)

dθ = 0 (ligadura2)

y dos anholónomas

dxG +a senφdψ = 0 (ligadura3)

d yG −a cosφdψ = 0 (ligadura4)

De acuerdo con lo explicado en secciones anteriores, tendremos 4 fuerzas

de ligadura cuyas componentes son de la forma

R j (i )=λ(i )A j (i )

2.7 Ejercicios 29

siendo A j los coeficientes de las ecuaciones de ligadura puestas como

A j (i )dg j + A0(i )dt = 0.

El índice i nos indica de que fuerza de ligadura se trata. En el caso que nos ocupa

las ecuciones de ligadura toman la forma general

Ax dx + Ay d y + Az dz + Aθdθ+ Aφdφ+ Aψdψ= 0

Identificando coeficientes, tenemos

ligadura1 : Ax = 0 Ay = 0 Az = 1 Aθ = 0 Aφ = 0 Aψ = 0

ligadura2 : Ax = 0 Ay = 0 Az = 0 Aθ = 1 Aφ = 0 Aψ = 0

ligadura3 : Ax = 1 Ay = 0 Az = 0 Aθ = 0 Aφ = 0 Aψ = a senφ

ligadura4 : Ax = 0 Ay = 1 Az = 0 Aθ = 0 Aφ = 0 Aψ =−a cosφ

por lo que las componentes de las fuerzas de ligadura valen

ligadura1 : Rx = 0 Ry = 0 Rz =λ1 Rθ = 0 Rφ = 0 Rψ = 0

ligadura2 : Rx = 0 Ry = 0 Rz = 0 Rθ =λ2 Rφ = 0 Rψ = 0

ligadura3 : Rx =λ3 Ry = 0 Rz = 0 Rθ = 0 Rφ = 0 Rψ =+λ3a senφ

ligadura4 : Rx = 0 Ry =λ4 Rz = 0 Rθ = 0 Rφ = 0 Rψ =−λ4a cosφ

2.7. Ejercicios

Ejercicio 2.1 Considerar el Lagrangiano

L(x, y, z, x, y , z) =1

2(x2 + y2 + z2)−mg z

con las ligaduras

y x −x y = 0

(a) >Las ligaduras son holónomas o no holónomas ?

(b) Escribir las ecuaciones del movimiento no holonómicas


Ejercicio 2.2 Considerar el Lagrangiano

L(x, y, z, x, y , z) =1

2(x2 + y2 + z2)−mg z

con las ligaduras

z − y x = 0

Escribir las ecuaciones del movimiento no holonómicas

Ejercicio 2.3 Escribir las ecuaciones de ligadura del patinador o filo de cuchi-

llo en donde se prohibe el movimiento ortogonal a la dirección en la que esta

orientado el filo.

Capítulo 3

Ecuaciones de Lagrange para

sistema holónomos y

anholónomos

3.1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos

Considerar un sistema dinámico en el que hay impuestas un conjunto de M

ligaduras holónomas que se pueden escribir en la forma

φ1(g 1, . . . , g 3N , t ) = 0

φ2(g 1, . . . , g 3N , t ) = 0... =

...

φM (g 1, . . . , g 3N , t ) = 0

Este conjunto de M ecuaciones son independientes, por lo que de las 3N coor-

denadas originales tendremos que ahora únicamente 3N-M son independien-

tes. Sea f=3N-M el número de grados de libertad, supongamos por simplicidad

que consideremos como independientes las 3N-M primeras coordenadas, pues-

to que las anteriores ecuaciones de ligadura son independientes, podemos des-

pejar las M últimas coordenadas como función de las 3N-M primeras coordena-

32Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y

anholónomos

das,

g j = g j (g 1, . . . , g 3N−M , t ), j = 3N −M +1, . . . ,3N (3.1)

Ahora bien siempre es posible emplear un conjunto de 3N-M coordenadas cua-

lesquiera q j , con tal que el jacobiano de la transformación de las g j → qk sea

distinto de cero. De tal forma que

g i = g i (q1, . . . , q f , t ) i = 1, . . . , f (3.2)

y a partir de las ecuaciones (3.1) obtenemos el resto de las coordenadas

g i = g i (q1, . . . , q f , t ) i = 3N −M +1, . . . ,3N (3.3)

por lo que tenemos que resolver el problema únicamente en términos de las

f coordenadas q i que ya son independientes. El conjunto de ecuaciones (3.2) y

(3.3) contienen las ecuaciones de ligadura, pues si eliminamos las q i , i = 1, . . . , f =3N −M en términos de las g j , j = 1, . . . ,3N obtendremos el conjunto de M

ecuaciones de ligadura. Al conjunto de f coordenadas cualesquiera q i , que jun-

to con las M ecuaciones de ligadura especifica por completo la configuración del

sistema se le denomina coordenadas generalizadas para sistemas holónomos.

El movimiento de un sistema mecánico con N partículas puede ser repre-

sentado por el movimiento de un punto en el espacio de las configuraciones,

que es un espacio de 3N dimensiones. El de un sistema holónomo teniendo f

grados de libertad puede ser representado por el movimiento de un punto en

un subespacio del espacio de las configuraciones de f dimensiones. Nos refe-

riremos a este subespacio como espacio de las configuraciones de un sistema

holónomo. Vimos en un capítulo anterior que el movimiento del sistema en el

espacio de las configuraciones para sistemas elementales está gobernado por

3N ecuaciones de Lagrange, vamos a ver que el movimiento del sistema dentro

del subespacio de las configuraciones para sistemas holónomos está tambien

representado por f ecuaciones de Lagrange en las variables q j

3.1 Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos 33

3.1.1. Componentes generalizadas de la fuerza en sistemas holóno-

mos

Como vimos anteriormente, el trabajo realizado sobre el sistema por el con-

junto de fuerzas exteriores en un desplazamiento virtual viene dado por

δW =Giδg i

En los sistemas elementales, los desplazamientos δg i eran independientes, en

un sistema con ligaduras dejan ya de ser independientes. Si restringimos nues-

tros desplazamientos a aquellos que no violan las ligaduras, introduciendo las

coordenadas q j tenemos

δg i =∂g i

∂q jδq j , , i = 1, . . . ,3N ; j = 1, . . . , f

sustituyendo

δW =∂g i

∂q jGiδq j

llamando

Q j =∂g i

∂q jGi

tenemos

δW =Q jδq j

Las cantidades Q j reciben el nombre de componentes generalizadas de la fuerza

para sistemas holónomos.

Teorema 3.1.1 Las componentes generalizadas Qi de las fuerzas de ligadura ac-

tuando sobre un sistema holónomo son cero

Dada nuestra hipótesis de que las fuerzas de ligadura son perfectas, el trabajo

realizado por ellas en un desplazamiento virtual es cero, nos lleva a que

0 =δW (ligadura) =Q j (ligadura)δq j


anholónomos

puesto que las δq j son independientes, para que la anterior combinación lineal

sea cero, sus coeficientes han de ser cero

Q j (ligadura) = 0

Darse cuenta que en caso de haber empleado coordenadas g i no hubiesemos

podido hacer cero los coeficientes dado que las δg i no son independientes.

3.2. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos

Para obtener las ecuaciones de Lagrange en sistemas holónomos vamos a

partir de las ecuaciones de Lagrange en sistemas elementales. De acuerdo con

nuestras ecuaciones desarrolladas en el capítulo 1,

d

dt

(

∂T (g, g, t )

∂g i

)

−∂T (g, g, t )

∂g i=Gi

en un sistema con ligaduras, las fuerzas generalizadas Gi contiene los términos

desconocidos asociados con las fuerzas de ligadura, por lo que el sistema ante-

rior no lo podemos resolver. Dividamos las Gi entre aquellas que son conocidas

y las de ligadura

Gi =Gi +∑

k

Ri (k)

donde las Ri (k), k = 1,M son las componentes generalizadas de las M fuerzas de

ligadura. Por no complicar más la notación hemos empleado el mismo simbo-

lo para las fuerzas generalizadas totales y las fuerzas generalizadas de aquellas

fuerzas conocidas. Sustituyendo

d

dt

(

∂T (g, g, t )

∂g i

)

−∂T (g, g, t )

∂g i=Gi +

∑

k

Ri (k)

Vamos a seguir los mismos pasos que en la demostración hecha en el capítulo 2

cuando se paso de coordenadas cartesianas a generalizadas. Multiplicando por

∂g i

∂q j


y sumando en i (empleamos la notacion de Einstein de suma en índices repeti-

do)d

dt

(

∂T (g, g, t )

∂g i

)

∂g i

∂q j−∂T (g, g, t )

∂g i

∂g i

∂q j= (Gi +

∑

k

Ri (k))∂g i

∂q j

de lo visto en la sección anterior

Gi∂g i

∂q j=Q j

y∑

k

Ri (k)∂g i

∂q j=

∑

k

Q j (k)(ligaduras) = 0

En cuanto al miembro de la izquierda siguiendo el mismo tratamiento seguido

en el capítulo 1 llegamos a

d

dt

(

∂T (g, g, t )

∂g i

)

∂g i

∂q j−∂T (g, g, t )

∂g i

∂g i

∂q j=

d

dt

(

∂T (q, q, t )

∂q j

)

−∂T (q, q, t )

∂q j=Q j (3.4)

que consituyen las ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos. Como ve-

mos la hipótesis de que los trabajos virtuales de las fuerzas de ligadura sean cero

hace que esto no entren de forma explicita en las ecuaciones lo que nos permite

que podamos en principio integrarlas, pues de haber permanecido en ellas esto

no hubiese sido posible pues las fuerzas de ligadura son desconocidas y única-

mente es posible evaluarlas una vez se ha resuelto el problema.

3.2.1. Relación entre las ecuaciones de Lagrange para sistemas ele-

mentales y las ecuaciones de Lagrange para sistemas holóno-

mos

El movimiento de un sistema dinámico compuesto por N partículas puede

ser representado por el movimiento de un punto en un espacio de 3N dimen-

siones, llamado espacio de las configuraciones g, movimiento descrito por las

ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales. Si el sistema, es un sistema

holónomo, con f grados de libertad, f < 3N , el movimiento del sistema pue-

de ser representado por el movimiento de un punto en un subespacio q de f

dimensiones incluido en el espacio de las configuraciones. El movimiento de


anholónomos

dicho punto viene descrito por las ecuaciones de Lagrange para sistemas holó-

nomos. Aparentemente ambas ecuaciones son idénticas, pero hay importantes

diferencias. En primer lugar la expresión de la energía cinética en los sistemas

elementales presupone movimientos arbitrarios de las partículas del sistema.

En el caso de los sistemas holónomos, la energía cinética solo incluye los movi-

mientos restringidos del sistema. En segundo lugar, las fuerzas generalizadas en

los sistemas elementales incluyen tanto las fuerzas dadas como las fuerzas de

ligadura y están definidas en término del trabajo virtual realizado en desplaza-

mientos virtuales arbitrarios de las partículas, mientras que las fuerzas genera-

lizadas que aparecen en las ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos

solo incluyen fuerzas dadas y están definidas en terminos de trabajo virtual rea-

lizado en desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras del sistema.

3.2.2. Determinación de la fuerzas de ligadura en sistemas holóno-

mos

Suponer que tenemos un sistema con N partículas y M ligaduras holónomas

y queremos determinar la fuerza de ligadura asociada con la M-exima condición

de ligadura sin estar interesado en las M-1 primeras ligaduras. En estas condi-

ciones podemos tratar las M-1 primeras fuerzas de ligadura como hacemos en

cualquier sistema holónomo (esto es considerar movimientos virtuales compa-

tibles con estas M-1 condiciones de ligadura) y considerar la M-exima fuerza

de ligadura como una fuerza dada. Así pues vamos a considerar un sistema con

3N-M+1 grados de libertad. La ecuaciones de Lagrange para este sistema serán

d

dt

(

∂T (q, q, t )

∂q j

)

−∂T (q, q, t )

∂q j=Q j +R j (M) j = 1, . . . ,3N −M +1

Suponer que la M-exima condición de ligadura la podemos expresar por la con-

dición

φM (q1, . . . , q3N−M+1, t )= 0.


De acuerdo con la relación derivada anteriormente entre las componentes ge-

neralizadas de las fuerzas de ligadura y las ecuciones de ligadura, tenemos

R j (M) =λ∂φM

∂q j, j = 1, . . . ,3N −M +1

por lo que

d

dt

(

∂T (q, q, t )

∂q j

)

−∂T (q, q, t )

∂q j=Q j +λ

∂φM

∂q jj = 1, . . . ,3N −M +1

que junto a la ecuación

φ(q1, . . . , q3N−M+1, t )= 0

nos dan 3N-M+2 ecuaciones que nos sirven para calcular las 3N-M+1 incógnitas

q1(t ), . . . q3N−M+1(t ) y λ(t ). Una vez resuelto el sistema de ecuaciones podemos

calcular la reacción

R j (M) =λ(t )∂φM

∂q j

Ejemplo 3.1 Una bola de masa m desliza libremente sobre una alambre enro-

llada en forma helicoidal, cuya ecuación en coordenadas cilíndricas es

ρ= a z = bφ

La gravedad actua en la dirección z positiva. La bola se abandona con velocidad

cero en el punto ρ= a, φ= 0, z = 0. Determinar, mediante las ecuaciones de La-

grange, las componentes físicas z,φ de la reacción que ejerce el alambre sobre

la bola como función de φ.

SOLUCCIÓN

La energía cinética de la bola, supuesta puntual, vale

T =1

2m

(

x2 + y2 + z2)


anholónomos

pasando a coordenadas cilíndricas

x = ρcosφ

y = ρsenφ

z = z

de donde

x = ρcosφ−ρφsenφ

y = ρsenφ+ρφcosφ

z = z

sustituyendo

T =1

2m

(

ρ2 +ρ2φ2 + z2)

Las condiciones de ligadura son

ρ−a = 0

z −bφ = 0

por lo que

T =1

2m

a2 +b2

b2z2

La fuerza generalizada debida a la gravedad vale

Qz = mg

por lo que las ecuaciones de Lagrange resultan

a2 +b2

b2z = g

de donde, teniendo en cuenta las condiciones frontera, obtenemos

z(t )=1

2

g b2

a2 +b2t 2


o sea, la bola recorre el alambre con un movimiento uniformemente acelerado

cuya aceleración vale

a =b2

a2 +b2g

La ley horaria para el ángulo resulta ser,

φ=1

2

g b

a2 +b2t 2

Vamos a analizar ahora las fuerzas de ligadura. Supongamos ahora que la coor-

denada φ la tratamos explicitamente, en estas condiciones la energía cinética

vale

T =1

2m

(

a2φ2 + z2)

Las componentes z,φ de la fuerza vale

Qz = mg , Qφ = 0.

Puesto que la ecuación de ligadura es

z −bφ= 0

las componentes de la reacción asociadas a esta ligadura valen

Rz = λ∂(z −bφ)

∂z=λ

Rφ = λ∂(z −bφ)

∂φ=−λb

De donde las ecuaciones de Lagrange toman la forma

mz = mg +λ

ma2φ = −λb

que junto con la ecuación de ligadura

z −bφ= 0


anholónomos

nos dan tres ecuaciones para el cálculo de z(t ), φ(t ) y λ(t ). Resolviendo el siste-

ma se obtiene para λ

λ=−mg a2

a2 +b2

las componentes generalizadas de la fuerza valen

Rz = −mg a2

a2 +b2

Rφ =mg a2b

a2 +b2

Para el cálculo de las componentes físicas, calculamos primero las componen-

tes contravariantes, por lo que multiplicamos por el recíproco del tensor métri-

co, g i j para a continuación multiplicar porp

gi i . Dado que el tensor métrico es

diagonal (obsérvese la expresión de la energía cinética), estas operaciones equi-

valen a dividir porp

gi i , que en el caso de la variable angular vale ρ, y por la

condición de ligadura es igual a a, por lo que

Rz (fis) = −mg a2

a2 +b2

Rφ(fis) =mg ab

a2 +b2

El signo negativo de la componente z indica que se opone a la gravedad, la fuer-

za neta vertical a la que se ve sometida la partícula vale

F z (neta) = mg −mg a2

a2 +b2= mg

b2

a2 +b2

de donde la aceleración vendrá dada por la expresión

z = gb2

a2 +b2

que coincide con la expresión obtenida a partir de la ecuación de Lagrange. Así

mismo, la componente φ de la fuerza es positiva lo que nos indica que es la

fuerza que junto con la fuerza neta calculada anteriormente hace moverse a la

partícula a lo largo de la hélice. Ver la figura 3.1


mg

Rz

Rφ

Ft

Figura 3.1:

Efectivamente, como la fuerza que hace mover a la partícula es la gravedad,

necesitamos una fuerza adicional que haga que la partícula se mueva siguiendo

a la hélice, esta es la reacción del alambre.

Vamos a ver como hacer los cálculos anteriores empleando las técnicas de la

mecánica clásica.

El vector posición de la partícula en cualquier instante viene dado por la

expresión

r = ρρ+ zk

La velocidad vale

v = r = ρρ+ρφφ+ zk

Puesto que ρ= a

v = aφφ+ zk

De donde vemos que la componente (física) φ vale aφ y la componente z vale z.

Este vector lo podemos poner como

v = vt

siendo v el módulo de v y t el vector unitario tangente a la curva. El modulo v

vale

v =√

a2φ2 + z2


anholónomos

que teniendo en cuenta que se verifica que z = bφ se tiene

v =1

b

√

a2 +b2z =√

a2 +b2φ

La componente contravariante de la velocidad es z , y teniendo en cuenta la for-

ma de la energía cinética (T = (1/2)mv2 = (1/2)m(a2 +b2)/b2 z2), el coeficiente

del tensor métrico es gzz = (a2 +b2)/b2 por lo que las componentes físicas son

v( f i s)=1

b

√

a2 +b2z

esto es el módulo de la velocidad. Si hubiesemos empleado como variable inde-

pendiente φ, la componente contravariante hubiese sido φ, la energía cinética

sería T = (1/2)m(a2 +b2)φ2 por lo que la componente física sería

v( f i s)=√

a2 +b2φ

Obviamente, la misma que antes pues φ = z/b El vector unitario tangente a la

hélice se puede expresar como

t = cosαφ+senαk

donde cosα y senα los podemos obtener de la expresión

v = vt = v cosαφ+v senαk = aφφ+ zk

de donde

v cosα= aφ

v senα= z

teniendo en cuenta la expresión para v, tenemos

cosα=a

pa2 +b2


y

senα=b

pa2 +b2

La aceleración viene dada como la derivada de la velocidad

a = v = aφφ−aφ2ρ+ zk

El término −aφ2ρ corresponde a la aceleración centrípeta, el resto corresponde

con la aceleración tangencial a la hélice, esto es

atant = aφφ+ zk

de donde, multiplicando por t y teniendo en cuenta la expresión obtenida antes

para cosα y senα llegamos a

atan =√

a2 +b2φ=p

a2 +b2

bz

Si calculamos la componente covariante de la aceleración a partir de las ecua-

ciones de Lagrange

at =d

dt

(

∂T

∂z

)

−(

∂T

∂z

)

=a2 +b2

b2z

y las componentes físicas (elevando el índice y multiplicando porp

gi i )

at (fis) = at /(√

a2 +b2/b)=p

a2 +b2

bz

que coincide con la componente tangencial atan a la hélice de la aceleración ob-

tenida anteriormente. Sustituyendo la expresión obtenida anteriormente para

z, se obtiene

at (fis) = gb

pa2 +b2

Podemos calcular la fuerza tangencial F t sin mas que sumar las componen-

tes Rφ(fis) y la fuerza neta F z (neta) obtenidas anteriormente

F t =√

(Rφ)2(fis)+ (F z )2(neta) = mg1

a2 +b2

√

a2b2 +b4 = mgb

pa2 +b2


anholónomos

que obviamente es igual a mat (fis). Os animo a calcular la componente normal

de la fuerza mediante el método de Lagrange y comprobar que vale

F n =−mv2

a

3.3. Ecuaciones de Lagrange para sistemas anholónomos

Vamos a suponer ahora que además de las ligaduras holónomas, que co-

mo sabemos restringen el movimiento del sistema a un subespacio del espa-

cio de las configuraciones, tenemos un conjunto de ligaduras anholónomas que

imponen ciertas restriciones al movimiento del sistema dentro del subespacio

de las configuraciones. Así pues, consideremos un sistema mecánico compues-

to por N partículas sobre las que actuan un conjunto de fuerzas conocidas,

M fuerzas de ligaduras holónomas y L fuerzas de ligadura anholónomas. Sean

q1, . . . , q3N−M coordenadas generalizadas que junto con las M condiciones de

ligadura nos dan una descripción completa del sistema. Suponer que tenemos

R1, . . . ,RL fuerzas de ligadura anholónomas, que restrigen los desplazamientos

del sistema a aquellos que cumplen el conjunto de ecuaciones,

∑

i

Aki (q, t )dq i + Ak0dt = 0, k = 1, . . . ,L

Vamos a suponer que el conjunto de L fuerzas de ligadura anholónomas actuan

como fuerzas dadas, de tal forma que las ecuaciones de Lagrange con 3N-M

grados de libertad dan lugar a 3N-M ecuaciones del tipo

d

dt

(

∂T

∂q i

)

−∂T

∂q i=Qi +

∑

k

Rki , i = 1, . . . ,3N −M

de acuerdo con lo demostrado anteriormente, siempre que las ligaduras sean

perfectas se cumple que

Rki =λk Aki

3.3 Ecuaciones de Lagrange para sistemas anholónomos 45

por lo que las ecuaciones de Lagrange toman la forma

d

dt

(

∂T

∂q i

)

−∂T

∂q i=Qi +

∑

k

λk Aki , i = 1, . . . ,3N −M

que junto con las L ecuaciones de ligadura dan lugar a 3N-M+L ecuaciones para

calcular las 3N-M incognitas q i (t ) y las L λk (t )

Ejemplo 3.2 Un disco de radio a y masa m, cuyo plano está restringido a per-

manecer vertical, rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal bajo la ac-

ción de una fuerza f cuya línea de acción pasa a través del centro de masas del

disco. Obener las ecuaciones del movimiento del disco.

SOLUCCIÓN

Las ligaduras holónomas vienen dadas por el hecho de que el disco permanece

vertical que implica que el ángulo que forma con la horizontal es π/2 y por el

hecho de que la distancia al plano de su centro de masas es constante e igual al

radio a del disco. Las ligaduras anholónomas vienen dadas por el hecho de que

rueda sin deslizar. Tal y como vimos en un ejemplo anterior esta condición se

puede poner como

x +aψsenφ = 0

y −aψcosφ = 0

La energía cinética del disco se puede poner como suma de la energía cinética de

su centro masas, supuesto que toda la masa está concentrada allí, más la energía

de rotación respecto del centro de masas. La energía del centro de masas vale

T =1

2m

(

x2 + y2)

La energía cinética de rotación vale

T =1

2ωIGω

siendo IG el tensor de inercía respecto de un sistema de referencia situado en el

centro de masas y que se mueve con movimiento de translación. Puesto que la


anholónomos

energía cinética es un escalar su valor no cambia si la calculamos en un sistema

de referencia unido al cuerpo. En el sistema de referencia unido al disco el tensor

de inercia vale

I=

Idd 0 0

0 Idd 0

0 0 I3

siendo Idd el momento de inercia respecto de un diámetro e I3 es el momento

de inercia respecto del eje del disco. La velocidad de rotación ω vale

ω=−ψu+ φk =

que en la base unida al disco (tomando el eje del disco como eje z ′,esto es u = k′,

y dos ejes cualesquiera en el plano del dico como ejes x ′, y ′) toma la forma

ω=−ψk′+ φcosψj′− φsenψi′

De donde la energía cinética de rotación vale

T =1

2(−φsenψ, φcosψ,−ψ)

Idd 0 0

0 Idd 0

0 0 I3

−φsenψ

φcosψ

−ψ

=1

2Idd φ

2 +1

2I3ψ

2

y la energía total

T =1

2m(x2 + y2)+

1

2Idd φ

2 +1

2I3ψ

2

La condición de ligadura anholónoma viene dada por el hecho que el punto de

contacto del disco con la superficie horizontal O tenga velocidad nula,

VO = VG +ω×GO = 0

que podemos poner como,

x +aψsenφ = 0

y −aψcosφ = 0

3.3 Ecuaciones de Lagrange para sistemas anholónomos 47

que no son integrables, pues aparece el ángulo φ sin tener ninguna ecuación

asociada a él. En término de desplazamientos, las anteriores ecuaciones las po-

demos poner como

δx +aδψsenφ = 0

δy −aδψcosφ = 0

Podemos introducir dos fuerzas de ligadura R1 y R2, cuyas componentes valen

R1x =λ,R1y = 0,R1,φ = 0,R1,ψ =+λa senφ

y

R2x = 0,R2y =µ,R2,φ= 0,R2,ψ =−µa cosφ

Nos dice el enunciado que las fuerzas aplicadas pasan por el centro de masas,

por lo que el momento de estas respecto del mismo son nulos y por tanto deben

tener nulas sus componentes generalizadas respecto de las variables angulares.

Sean Gx y Gy las componentes generalizadas respecto del eje x e y , las ecuacio-

nes del movimiento toman la forma

mx = Gx +λ

m y = Gy +µ

Id φ = 0

I3ψ = λa senφ−µa cosφ

que junto con las dos ecuciones de ligadura

x +aψsenφ = 0

y −aψcosφ = 0

nos dan 6 ecuaciones para calcular x(t ), y(t ),φ(t ),ψ(t ),λ,µ. Intentad calcular

cuanto vale la fuerza asociada a la ligadura zG = cte


anholónomos

3.4. Potenciales generalizados

Suponer que tenemos un sistema dinámico con f grados de libertad, con f

coordenadas generalizadas q1, . . . , q f y f componentes generalizadas Q1, . . . ,Q f

de las fuerzas externas. Suponer que pasamos a otro sistema de referencia h1, . . . , h f

con componentes generalizadas de las fuerzas aplicadas H1, . . . ,H f . Podemos

expresar el siguiente teorema

Teorema 3.4.1 Si existe una función U(q, q, t ) tal que

Q j =d

dt

(

∂U

∂q j

)

−∂U

∂q j

entonces

Hk =d

dt

(

∂U

∂hk

)

−∂U

∂hk

DEMOSTRACIÓN

Puesto que las componentes de la fuerza se comporta como un vector covarian-

te en el cambio de base, se verifica

Hk =∂q j

∂hkQ j

puesto que

Q j =d

dt

(

∂U

∂q j

)

−∂U

∂q j

tenemos

Hk =∂q j

∂hk

[

d

dt

(

∂U

∂q j

)

−∂U

∂q j

]

=

=d

dt

(

∂U

∂q j

)

∂q j

∂hk−

∂U

∂q j

∂q j

∂hk=

=d

dt

(

∂U

∂q j

∂q j

∂hk

)

−∂U

∂q j

d

dt

(

∂q j

∂hk

)

−∂U

∂q j

∂q j

∂hk

ahora bien∂q j

∂hk=

∂q j

∂hk, y

d

dt

(

∂q j

∂hk

)

=∂q j

∂hk

3.4 Potenciales generalizados 49

por lo que

Hk =d

dt

(

∂U

∂q j

∂q j

∂hk

)

−[

∂U

∂q j

∂q j

∂hk+

∂U

∂q j

∂q j

∂hk

]

=d

dt

(

∂U

∂hk

)

−∂U

∂hk

como queriamos demostrar. Podemos decir entonces que la función U(q, q, t )

actua como una función potencial generalizada. En el caso en queU no dependa

de las velocidades, tenemos

Q j =−∂U

∂q j

y por tanto en el nuevo sistema de coordenadas

Hk =−∂U

∂hk

En el caso de tener una función potencial generalizado U, tenemos

Q j =d

dt

(

∂U

∂q j

)

−∂U

∂q j

así mismo de acuerdo con las ecuaciones de Lagrange

Q j =d

dt

(

∂T

∂q j

)

−∂T

∂q j

restando miembro a miembro

d

dt

(

∂L

∂q j

)

−∂L

∂q j= 0 (3.5)

siendo L = T −U la función de Lagrange o lagrangiana.

Ejemplo 3.3 Calcular el potencial generalizado de una partícula cargada some-

tida a un campo electromagnético externo

SOLUCCIÓN

Como es bien sabido la fuerza que actua sobre una partícula cargada sometida

a un campo electromagnético externo viene dada por la expresión (en unidades


anholónomos

gaussianas)

F = q

[

E+1

c(v×B)

]

siendo q la carga de la partícula, E el campo eléctrico y B el campo magnético,

que vienen dados por las ecuaciones de Maxwell

∇×E+1

c

∂B

∂t= 0

∇×H−1

c

∂D

∂t=

4π

cj

∇·D = 4πρ

∇·B = 0

Puesto que ∇·B = 0 siempre podemos elegir al campo B de la forma

B =∇×A

siendo A el potencial vector. Sustituyendo en la primera ecuación de Maxwell,

∇×E+1

c

∂

∂t(∇×A) = 0


∇× (E+1

c

∂A

∂t) = 0

lo que nos indica que podemos igualar lo que esta entre paréntesis al gradiente

de una función escalar

E+1

c

∂A

∂t=−∇φ

de donde

E =−∇φ−1

c

∂A

∂t

sustituyendo en la expresión de la fuerza, obtenemos

F = q

[

(−∇φ−∂A

∂t)+

1

c(v× (∇×A))

]

.


La componente i del término (v× (∇×A)) la podemos poner como

v j

∂A j

∂x i−v j

∂Ai

∂x j

por lo que la i-exima componente de la fuerza vale

Fi = q

[

−∂φ

∂x i−

1

c

∂Ai

∂t+

1

cv j

∂A j

∂x i−

1

cv j

∂Ai

∂x j

]

.

Ahora bien teniendo en cuenta la expresión de la derivada total de un vector

d Ai

dt=

1

c

∂Ai

∂t+

1

cv j

∂Ai

∂x j

podemos poner la i-exima componente de la fuerza como

Fi = q

[

−∂φ

∂x i−

1

c

d Ai

dt+

1

cv j

∂A j

∂x i

]

.

Supongamos a partir de este momento que las velocidades y la coordenadas son

independientes, podemos poner

v j

∂A j

∂x i=

∂(v j A j )

∂x i=

∂(v ·A)

∂x i

sustituyendo

Fi = q

[

−∂

∂x i(φ−

1

cA ·v)−

1

c

d Ai

dt

]

el término d Ai /dt lo podemos poner como

d Ai

dt=

d

dt

(

∂

∂vi(A j v j )

)

=d

dt

(

∂

∂vi(A ·v)

)

por lo que

Fi = q

[

−∂

∂x i(φ−

1

cA ·v)−

1

c

d

dt

(

∂

∂vi(A ·v)

)]

.

Puesto que φ no depende de v, podemos reescribir la anterior expresión como

Fi = q

[

−∂

∂x i(φ−

1

cA ·v)+

d

dt

(

∂

∂vi(φ−

1

cA ·v)

)]

.


anholónomos

Sea U la función

U = q

(

φ−1

cA ·v

)

tendremos

Fi =d

dt

(

∂U

∂vi

)

−∂U

∂xi

así pues U tiene la forma de un potencial generalizado. Formando la lagrangiana

L = T −U = T −qφ+q

cA ·v =

1

2mv2 −qφ+

q

cA ·v

Desde el punto de vista de la Mecánica Clásica, son los campos E y H los que

tienen importancia desde un punto de vista dinámico pues de acuerdo con la

expresión de la fuerza Lorentz son los únicos que intervienen en las ecuaciones

del movimiento de la partícula cargada. Los potenciales φ y A son funciones au-

xililiares que nos ayudan, desde el punto de vista matématico, a resolver el pro-

blema (Esto no es así en Mecánica Cuántica, donde los potenciales juegan un

papel similar al de los campos). Puesto que los campos se obtienen por diferen-

ciación de los potenciales, estos no varían cuando se somete a los potenciales a

operaciones del tipo

φ −→ φ−1

c∂tΛ

A −→ A+∇Λ

Estas transformaciones reciben el nombre de transformaciones gauge. Si susti-

tuimos los potenciales por sus transformados en la expresión de la Lagrangiana

se obtiene

L −→ L+q1

c∂tΛ+

q

c∇Λ ·v = L+q

1

c

dΛ

dt

Ahora bien según veremos más adelante, la función de Lagrange está definida

de forma única salvo la derivada total de una cierta función. Esto significa que

las ecuciones diferenciales obtenidas mediante la funcion L y su transformada

son idénticas. Por tanto la función de Lagrange es un invariente gauge.


Teorema 3.4.2 Si existe una función W (q, q, t ) de tal forma que las componen-

tes generalizadas de la fuerza se pueden poner como

Q j =−∂W (q, q, t )

∂q j,

al cambiar a cualquier otro sistema de coordenadas hk , tenemos

Hk =−∂W (h, h, t )

∂hk

DEMOSTRACIÓN

Puesto que las componentes generalizadas de la fuerza se comportan como un

vector covariante, tenemos

Hk =∂q j

∂hkQ j

ahora bien puesto que por definición

Q j =−∂W (q, q, t )

∂q j

y de acuerdo con los lemmas demostrados

∂q j

∂hk=

∂q j

∂hk

se obtiene

Hk =−∂W (q, q, t )

∂q j

∂q j

∂hk=−

∂W (h, h, t )

∂hk

como queriamos demostrar. La función potencial W recibe el nombre de fun-

ción de disipación de Raileygh. Las ecuaciones de lagrange toman la forma

d

dt

(

∂T

∂q j

)

−∂T

∂q j=−

∂W (q, q, t )

∂q j(3.6)

Teorema 3.4.3 La función de Lagrange está definida salvo la derivada temporal

de una funcion F (q, t )


anholónomos

DEMOSTRACIÓN Suponer que tenemos una función F (q, t ), la derivada temporal

vale

F (q, q, t ) =∑

j

∂F

∂q jq j +

∂F

∂t

derivando respecto a qk

∂F (q, q, t )

∂qk

∣

∣

∣

∣

q j ,q j ,t

=∑

j

∂2F

∂qk∂q jq j +

∂2F

∂qk∂t(3.7)

puesto que∂F (q,q, t )

∂q j=

∂F (q, t )

∂q j

derivando esta expresión respecto del tiempo

d

dt

(

∂F (q,q, t )

∂q j

)

=d

dt

(

∂F (q, t )

∂q j

)

=∑

k

∂2F

∂qk∂q jqk +

∂2F

∂qk∂t(3.8)

restando las ecuaciones 3.8 y 3.7 tenemos

d

dt

(

∂F (q,q, t )

∂q j

)

−∂F (q, q, t )

∂qk

∣

∣

∣

∣

q j ,q j ,t

= 0 (3.9)

Por lo que si tenemos dos funciones de Lagrange, L y L′ tal que

L′ = L+ F

entonces ambas verificarán las mismas ecuaciones de Lagrange

d

dt

(

∂L′

∂q j

)

−∂L′

∂q j=

d

dt

(

∂L

∂q j

)

−∂L

∂q j= 0

3.5 Formulación covariante de las ecuaciones de Lagrange 55

3.5. Formulación covariante de las ecuaciones de Lagran-

ge

Considerar el fibrado tangente TQ sobre el que están definidos las ecuacio-

nes de Lagrange. Considerar la 1 – forma diferencial

ω=∂L

∂q jdq j = p j dq j =Ti dx i

cuyas 2n componentes son (∂L/∂q1, . . . ,∂L/∂qn ,0, . . . ,0). Calculemos la derivada

de Lie de la anterior 1 – forma a lo largo de la trayectoria recorrida por el sistema.

De acuerdo con la definición de derivada de Lie, tenemos

ω′ = L∆(ω) = L∆(Ti )dx i +Ti d(L∆x i )

siendo Ti las componentes de la 1 – forma y ∆i las componentes del vector tan-

gente a la curva integral cuyas componentes en este caso son (q i , q i ), pues de

acuerdo con nuestra hipótesis la curva integral es la trayectoria seguida por el

sistema dinámico. Puesto que

Ti =∂L

∂q i

en las primera n variables y cero en el resto, obtenemos

L∆(ω) = L∆

(

∂L

∂q i

)

dq i +∂L

∂q id(L∆q i )

teniendo en cuenta que la derivada de Lie de una función equivale a la derivada

a lo largo de la curva integral, tenemos

L∆

(

∂L

∂q i

)

=d

dt

(

∂L

∂q i

)

y de la misma forma

d(L∆q i )= d(d

dtq i )= dq i .


anholónomos

Así mismo, de acuerdo con las ecuaciones de Lagrange.

d

dt

(

∂L

∂q i

)

−∂L

∂q i= 0

por lo que,

L∆

(

∂L

∂q i

)

=∂L

∂q i


L∆(ω) =∂L

∂q idq i +

∂L

∂q idq i

Ahora bien, el miembro de la derecha representa la diferencial de la función de

Lagrange, por lo que

L∆(ω)−dL = 0 (3.10)

que constituye la forma covariante de las ecuaciones de Lagrange que estaba-

mos buscando. Todos lo elementos de la anterior ecuacion son objetos geomé-

tricos independientes del sistema de referencia que estemos empleando. Así te-

nemos, la 1 – forma ω, la diferencial de la función de Lagrange dL, el vector tan-

gente ∆ a la trayectoria del sistema y por último la propia función de Lagrange.

Ejemplo 3.4 Considerar el caso de un oscilador armónico unidimensional in-

vertido, cuyo potencial viene dado por la expresión V = −(1/2)kx2. a) Dibujar

las trayectorias en el espacio de las fases x–v (espacio de las fases de las velo-

cidades). b) Escribir el campo vectorial dinámico ∆. c) Obtener las ecuaciones

para las curvas integrales (esto es la ecuacion de las trayectorias) en el fibra-

do tangente. d) Calcular las derivadas de Lie respecto de ∆ de la energía E y el

momento p = mx. e) Mostrar, calculando la derivada de Lie respecto de ∆ que

x −ωx va converge hacia cero exponencialmente en el tiempo.

SOLUCCIÓN:

a) Para evaluar las trayectorias debemos de calcular las ecuaciones del movi-

miento y elimiar el tiempo entre las ecuaciones que describen las posiciones y

3.5 Formulación covariante de las ecuaciones de Lagrange 57

las velocidades. Ahora bien es posible tomarun atajo dado que la energía total

es una constante del movimiento tenemos

E =1

2mx2 −

1

2kx2

que nos describen la trayectoria en el espacio de fases de velocidades. Una ex-

presión de este campo se puede ver en la figura 3.2

-1 -0.5 0 0.5 1x

-1

-0.5

0

0.5

1

v

Figura 3.2:

b) Por definición el campo ∆ es el vector tangente a la trayectoria en el espacio

de las fases(x, x) y por tanto tiene como componentes x, x, así pues la expresión

vectorial del campo ∆ es

∆= x∂

∂x+ x

∂

∂x

ahora bien de las ecuaciones del movimiento

mx = Fx =−∂V

∂x= kx

llamando ω2 = k/x se tiene que x =ω2x por lo que

∆= x∂

∂x+ω2x

∂

∂x

Así pues ∆ es un campo que tiene como componente x a la velocidad x y como

componente y a la posición x multiplicada por ω2. La representación de este

campo lo acabamos de ver representado en la figura 3.2.


anholónomos

c) Para el cálculo de la curva integral solo tenemos que integrar el campo ∆.

Vamos a llamar x1 a la coordenada x y x2 a la coordenada y que en este caso es

x. Del hecho que el vector ∆ es tangente a la curva integral (x1(t ), x2(t )) tenemos

dx1

dt= x2

dx2

dt= ω2x1

cuya solucción es

x(t )= x1(t ) = a coshω(t − t0)+b sinhω(t − t0)

x(t ) = x2(t )= aωsinhω(t − t0)+bωcoshω(t − t0)

d) La derivada de Lie de la energía E(x, x) vale 1

L∆(E) =∂E

∂xx +

∂E

∂xx

teniendo en cuenta la expresión de E

L∆(E)=−mω2xx +mω2xx = 0

lo que significa que E se mantiene constante a lo largo de la curva integral. Esto

ya lo sabiamos pues E es una constante del movimiento (ver el próximo capítu-

lo). Respecto de la derivada de Lie del momento tenemos

L∆(mx) =∂mx

∂xx +

∂mx

∂xx = mx = kx

como vemos la deriva de Lie del momento es la fuerza.

e) La derivada de Lie de la función (x −ωx) vale

L∆(x −ωx) =∂(x −ωx)

∂xx +

∂(x −ωx)

∂xx =−ω(x −ωx)

1Podemos interpretar también la derivada de Lie de una función a lo largo de un campo inte-gral asociado al campo vectorial ξ como ξ( f ) e interpretar al vector tangente como una manera dederivar y por tanto Lξ = ξ( f ) = ξi (∂/∂x i ) f = ξi ∂ f /∂x i . En este caso las componentes del vector ∆

son x i , x i

3.6 Ejercicios 59

LLamando ξ = (x −ωx) y teniendo en cuenta que la deriva de Lie a lo largo del

campo ∆ es la derivada total, la expresión anterior se puede escribir como

dξ

dt=−ωξ

integrando

(x −ωx) = ξ(t )= ξ0 exp(−ωt )

así pues para tiempos grandes x →ωx

3.6. Ejercicios

Ejercicio 3.1 Una partícula de masa m se mueve a lo largo de un alambre que

forma una circunferencia vertical de radio a. El alambre gira en torno a un diá-

metro vertical fijo con velocidad angular ω. Encontrar las ecuaciones del movi-

miento de la partícula suponiendo que no existe rozamiento y que la partícula

es pesada.

Ejercicio 3.2 Considerar una moneda homogénea que rueda sin deslizar sobre

una mesa horizontal. Encontrar las ecuaciones del movimiento en términos de

los ángulos de Euler y las coordenadas del punto de contacto de la moneda con

la mesa.

Figura 3.3:


anholónomos

Ejercicio 3.3 Considerar una barra que se mueve en un plano vertical mante-

niendo uno de sus extremos moviendose a lo largo de una recta horizontal sin

rozamiento. Calcular las ecuaciones del movimiento y la reacción N que se pro-

duce en el extremo.

Ejercicio 3.4 Encontrar las ecuaciones del movimiento del trompo que se loca-

liza sobre una plataforma de masa m sometida a una fuerza F dirigida a lo largo

del eje y y restringida a moverse a lo largo de este eje. Al trompo se le aplica un

momento M en su cima tal y como se muestra en la figura 3.4.

Figura 3.4:

Ejercicio 3.5 Considerar el sistema que se muestra en la figura 3.5. Evaluar la

lagrangiana. El disco inferior rueda sin deslizar.

Figura 3.5:

3.6 Ejercicios 61

Ejercicio 3.6 Calcular la energía cinética de una barra que se mueve libremente

en el espacio. Utilizar los ángulos de Euler

Ejercicio 3.7 Dar las ecuaciones del movimiento de una barra que se mueve

libremente en un plano vertical y este a su vez gira con velocidad angular cons-

tante ω en torno a su eje vertical.

Ejercicio 3.8 Dar las ecuaciones del movimiento de un cono de semiángulo β

que rueda sin deslizar sobre un plano inclinado.

Ejercicio 3.9 Estudiar el movimiento de una barra pesada que rueda sin des-

lizar sobre un círculo fijo de radio R. El centro de masas de la barra coincide,

inicialmente, con el punto superior del círculo.

Ejercicio 3.10 La figura 3.6 nos muestra a un collar de masa m que desliza a lo

largo de una barra de masa M y longitud 2L. El coeficiente de fricción entre el

collar y la barra es µ. Hay una fuerza F actuando como se muestra en la figura en

el extremo de la barra. Encontrar las ecuaciones del movimiento utilizando las

ecuaciaones de Lagrange.

Figura 3.6:


anholónomos

Capítulo 4

Principios disponibles para la

integración

4.1. Forma explícita de las ecuaciones de Lagrange

Como vimos en el capitulo anterior, el movimiento de un sistema mecáni-

co viene regido por las ecuaciones de Lagrange. Vamos a demostrar que estas

ecuaciones se reducen a un conjunto de n ecuaciones diferenciales de segun-

do orden. Para ello supongamos que tenemos un sistema mecánico en el que la

energía cinética sea una función cuadrática de las velocidades, esto tiene lugar

normalmente si el sistema tiene ligaduras que no dependen del tiempo,

2T = Ti j q i q j .

Las ecuaciones de Lagrange toman la forma

d

dt

(

∂T

∂qk

)

−∂T

∂qk=Qk

Como vimos en un capítulo anterior introduciendo la métrica inducida por la

energía cinética

ds2 = 2T dt 2

64 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración

podemos escribir las ecuaciones de Lagrange mediante la expresión

ak =Qk

siendo Qk la componente generalizada de la fuerza y ak la ’aceleración’ genera-

lizada. Teniendo en cuenta que ak = Tk j a j , que

a j =dv j

dt+Γ

j

i lv i v l

y que v i = q i , tenemos

Tk j q j +Tk jΓj

i lq i q l =Qk

multiplicando por el tensor recíproco T hk

T hk Tk j q j +T hk Tk jΓj

i lq i q l = T hkQk


T hk Tk j = δhj

tenemos

δhj q j +δh

j Γj

i lq i q l = qh +Γ

hi l q i q l =T hkQk

de donde

qh =−Γhi l q i q l +T hkQk (4.1)

que constituyen la forma explícita de las ecuaciones de Lagrange. Vemos pues

que las ecuaciones de Lagrange dan lugar a un sistema de n ecuaciones dife-

renciales de segundo orden lo que nos da por tanto un sistema de ecuaciones

diferenciales de orden 2n.

4.2. Integración de las ecuaciones diferenciales

La teoría de las ecuciones diferenciales ordinarias nos dice que en la soluc-

ción de un sistema de ecuaciones diferenciales de orden 2n aparecen 2n cons-

tantes de integración que tendremos que calcular a partir de las condiciones

iniciales.

4.2 Integración de las ecuaciones diferenciales 65

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de orden k, el sistema se puede

reducir a k ecuaciones diferenciales de la forma

dxr

dt= Xr (x1, x2, . . . , xk ), , r = 1,2, . . . , k

donde Xr son funciones conocidas de las variables xi , siendo las variables xi

iguales a la originales qi o a sus derivadas hasta el orden (sin incluirlo) de la

derivada más elevada que aparece en cada ecuación diferencial. Así por ejemplo

suponer que tenemos el sistema

d2q1

dt 2= Q1(q1, q2, q1, q2)

d2q2

dt 2= Q2(q1, q2, q1, q2)

hagamos

x1 = q1, , x2 = q2, , x3 = q1, , x4 = q2

el sistema de orden 4 se reduce a un sistema de 4 ecuaciones diferenciales de

primer orden dado por la expresión,

x1 = x3

x3 = Q1(x1, x2, x3, x4)

x2 = x4

x4 = Q2(x1, x2, x3, x4)

así pues cualquier sistema de ecuaciones diferenciales de orden k se puede re-

ducir a un sistema de k ecuaciones diferenciales de la forma

dxr

dt= Xr (x1, x2, . . . , xk ), r = 1,2, . . . , k (4.2)

Consideremos una función f (x1, x2, . . . , xk , t ), tal que d f /dt = 0 cuando sus

argumentos son soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales, se dice en-


tonces que

f (x1, x2, . . . , xk , t )=C t e.

es una integral primera del sistema de ecuaciones diferenciales. La condición

para que una función f constituya una integral primera del sistema se encuen-

tra facilmente. Partiendo del hecho que d f /dt = 0, tenemos

∂ f

∂x1x1 +

∂ f

∂x2x2 + . . .+

∂ f

∂xk

xk +∂ f

∂t= 0

puesto que las xi verifican el sistema, xi = Xi , se debe de verificar

∂ f

∂x1X1 +

∂ f

∂x2X2 + . . .+

∂ f

∂xk

Xk +∂ f

∂t= 0

La solucción completa de un conjunto de ecuaciones diferenciales de orden k

requiere conocer k integrales primeras independientes

fr (x1, x2, . . . , xk , t )=αr , r = 1,2, . . . k

siendo αr un conjunto de k constantes arbitrarias. Dado que el anterior sistema

es independiente, podemos despejar las xr ,

xr =φr (α1,α2, . . . ,αk , t ), r = 1,2, . . . k

que es la solucción que andamos buscando. Considerar por ejemplo la ecuación

diferencial

q =−q

hagamos x1 = q y x2 = q, la ecuación diferencial se reduce al sistema

x1 = x2

x2 = −x1

4.3 Sistemas con coordenadas ignorables 67

el cual posee dos integrales primeras

x21 +x2

2 = α1

arctan

(

x1

x2

)

− t = α2.

Resolviendo este sistema, se obtiene

x1 = α1/21 sen(t +α2)

x2 = α1/21 cos(t +α2)

que consituyen la solucción de la ecuación diferencial de segundo orden.

Una división elemental de los problemas que se plantean en mecánica viene

dada por aquellos que son solubles mediante funciones elementales conocidas

o integrales indefinidas de estas y aquellos no resolubles por funciones elemen-

tales o sus integrales indefinidas. Nos referiremos a los primeros como proble-

mas solubles mediante cuadraturas. Los probelmas de dinámica en general no

son solubles mediante cuadraturas y en aquellos casos en los que sí son solu-

bles se debe a que existe alguna razón especial. El objeto del presente capítulo

es analizar que condiciones especiales debe de cumplir la lagrangiana para que

el sistema se pueda integrar por cuadraturas.

4.3. Sistemas con coordenadas ignorables

Considerar un sistema holonómico cuyas fuerzas procedan de un potencial,

en estas condicionesd

dt

(

∂L

∂qk

)

−∂L

∂qk= 0

la cantidad

pk =∂L

∂qk

recibe el nombre de momento generalizado correspondiente a la variable qk .

Suponer que algunas de las variables qk no aparecen explicitamente en la ex-

presión de la lagrangiana, aunque puedan estar presentes sus velocidades qk .


Suponer que sean la r primeras q1, q2, . . . , qr . De acuerdo con las ecuciones de

Lagrange, para este conjunto de r variables tendremos

d

dt

(

∂L

∂qk

)

= 0

por lo que por integración directa

∂L

∂qk= pk =βk , k = 1,2, . . . , r

siendo βk constantes de integración. Este conjunto de r ecuaciones constituyen

r integrales primeras del sistema. A las r variables q1, q2, . . . qr que no aparecen

en la lagrangiana se las denomina ignorables o cíclicas. La anterior ecuación

nos dice que el momento generalizado asociado a toda variable cíclica es una

constante del movimiento.

Vamos a ver como podemos emplear las r constantes del movimiento para

reducir el orden del sistema de 2n a 2n −2r .

Considerar la función

R = L−∑

k

qk ∂L

∂qk, k = 1,2, . . . , r

Por medio de las r ecuaciones

∂L

∂qk= βk , k = 1,2, . . . , r

podemos expresar las r velocidades generalizadas q1, q2, . . . , qr como función de

qr+1, qr+2, . . . , qn , qr+1, qr+2, . . . , qn ,β1,β2, . . . ,βr

de tal forma que la función R solo depende del grupo anterior de variables. Con-

siderar ahora una variación arbitraria de los argumentos de la función R, la va-

riación de la propia función vendrá dada po la expresión

δR = δ(L−∑

k

qk ∂L

∂qk)

4.3 Sistemas con coordenadas ignorables 69

ahora bien

δL =n∑

r+1

∂L

∂qkδqk +

r∑

1

∂L

∂qkδqk +

n∑

r+1

∂L

∂qkδqk

y

δ

(

r∑

k=1

qk ∂L

∂qk

)

=r

∑

1

∂L

∂qkδqk +

r∑

1qkδβk

puesto que∂L

∂qk=βk

Tenemos que

δR =n∑

r+1

∂L

∂qkδqk +

n∑

r+1

∂L

∂qkδqk −

r∑

1qkδβk

Así pues

∂R

∂qk=

∂L

∂qkk = r +1, r +2, . . . , n

∂R

∂qk=

∂L

∂qkk = r +1, r +2, . . . , n

qk = −∂R

∂βk

k = 1,2, . . . , r

sustituyendo en las ecuaciones de Lagrange

d

dt

(

∂R

∂qk

)

−∂R

∂qk= 0 k = r +1, r +2, . . . , n (4.3)

donde la función R es función únicamente de las qr+1, qr+2, . . . , qn , qr+1, qr+2, . . . , qn ,β1,β2, . . . ,βr ,

por lo que el numero de grados de libertad ha pasado a ser n − r y el orden del

sistema del orden 2(n − r). Una vez resuelto este sistema, podemos sustituir sus

soluciones en la funcion R y calcular el resto de coordenadas mediante las ecua-

ciones

qk =−∫

∂R

∂βk

dt , k = 1,2, . . . , r (4.4)

La función R recibe el nombre de función de Routh, pues fué introducida por

este investigador en 1876.

Si el problema original se refiere a un problema de un sistema dinámico con-

servativo (las fuerzas dependen de un potencial independiente de las velocida-


des) en el que las ligaduras no dependen del tiempo, la lagrangiana depende

unicamente de las velocidades en el término cuadrático que aparece en la ex-

presión de la energía cinética. Ahora bien la función de Routh, no puede ser

separada en dos partes como antes. En general la función de Routh puede de-

pender de forma lineal de las velocidades.

Ejemplo 4.1 Considerar un sistema dinámico con dos grados de libertad cuya

energía cinética toma la forma

T =1

2

q21

a +bq22

+1

2q2

2

y la energía potencial vale

V = c +dq22

Calcular las ecuaciones del movimiento.

SOLUCCIÓN

La lagrangiana toma la forma

L =1

2

q21

a +bq22

+1

2q2

2 − c −dq22

puesto que q1 no aparece en la ecuación, la función

1

a +bq22

q1 =β

es una integral primera del sistema. La funcion de Routh vale

R = L− q1∂L

∂q1=

1

2q2

2 − c −dq22 −

1

2β2(a +bq2

2 )

y las ecuaciones de Lagrange para la función R toma la forma

q2 + (2d +bβ2)q2 = 0

cuya integral vale

q2 = Asen[

(2d +bβ2)1/2 +ǫ]

4.4 Simetrías y propiedades de conservación 71

de donde

q1 =∫

β(a +bq22 )dt

obteniendose la expresión

q1 = (βa +1

2βb A2)t −

βb A2

4(2d +bβ2)1/2sen2

[

(2d +bβ2)1/2 +ǫ]

lo que completa la solucción del problema.

4.4. Simetrías y propiedades de conservación

Vamos en primer lugar a ver que se entiende por una transformación de si-

metría. Para ello supondremos que tenemos un sistema mecánico, supongamos

que cada partícula del sistema mecánico es sometida a una misma operación,

por ejemplo trasladamos cada partícula en una cierta dirección, o por ejemplo

rotamos cada partícula un cierto ángulo alrededor de un mismo eje. Si el siste-

ma tiene el mismo aspecto al final que tenia al principio diremos que el sistema

es simétrico respecto de la operación que acabamos de realizar. Una manera al-

ternativa de realizar las operaciones de transformación es variar la posición del

observador. En vez de trasladar el sistema una cierta cantidad, trasladamos en

la dirección opuesta al observador. La operación inicial (trasladamos el sistema)

se llama activa, la segunda (trasladamos al observador) se llama pasiva. Vamos

a fijarnos en esta segunda manera de trabajar. Equivale a una transformación

de coordenadas. Si se produce una traslación, las nuevas coordenadas serán las

antiguas mas o menos un cierta cantidad

x ′ = x +ax

y ′ = y +ay

z ′ = z +az

siendo a = (ax , ay , az ) el vector de traslación. Este cambio de coordenadas es

simplemente un mapeo del espacio original en el nuevo espacio, en el que cada

punto del sistema de coordenadas inicial se transforma un su correspondiente


punto del sistema de coordenadas final. Bajo esta transformación de coordena-

das el Lagrangiano del sistema L(x, x, t ) se transforma en un nuevo lagrangiano

L′(x′, x′, t ), funcionalmente diferente del lagrangiano original, pero tal que en

cada punto correspondiente el valor es el mismo (es un escalar). Esto es,

L′(x′, x′, t )= L(x, x, t )

Ahora bien, si la transformación es una transformación de simetría, la forma

del lagrangiano es la misma, Esto es

L′(x′, x′, t )= L(x′, x′, t )

Como L′(x′, x′, t )= L(x, x, t ), se tendrá bajo una transformación de simetría que

L(x′, x′, t )= L(x, x, t )

esto es,

δL = L(x′, x′, t )−L(x, x, t )= 0

Esto significa que el lagrangiano en los puntos original y transformado no ha

cambiado y por tanto la dinámica que describe tampoco y el sistema por tanto

se ve de la misma manera por ambos observadores.

Veamos un ejemplo. Suponed una partícula en un campo central. El lagran-

giano viene dado por la expresión

L =1

2m(x2 + y2 + z2)+

k√

x2 + y2 + z2

Hagamos una transformación consistente en rotar el sistema de coordenadas un

ángulo φ en torno al eje z. Bajo esta transformación de coordenadas las nuevas

variables son

x ′ = x cosθ+ y sinθ

y ′ = −x sinθ+ y cosθ

z ′ = z


Bajo esta transformación de coordenadas es fácil ver que el nuevo lagrangiano

vale

L′(x ′, x ′, t )=1

2m(x ′2 + y ′2 + z ′2)+

k√

x ′2 + y ′2 + z ′2

y por tanto L′(x ′, x, t )= L(x ′, x ′, t ). Veamos que sucede cuando hay simetrias por

traslación, rotación y traslación temporal.

Teorema 4.4.1 Considerar un sistema de N partículas de masas m(i ), posición

r(i ) y velocidad v(i ). Si el comportamiento del sistema está representado por

una función de Lagrange L(r(i ),v(i ), t ) que es invariante por translación en una

cierta la dirección, la componente de la cantidad∑

∂L(r,v, t )/∂v(i ) en la direc-

ción de translación es una constante del movimiento. Si además el potencial

generalizado no es función de las velocidades v(i ), entonces∑

∂L(r,v, t )/∂v(i ) =∑

m(i )v(i ) ≡P, siendo P el momento lineal total del sistema respecto del origen

del sistema.

DEMOSTRACIÓN

Considerar un desplazamiento virtual del sistema en el cual el sistema sufre una

translación uniforme infinitesimal ǫ. Entonces

δr(1) = δr(2) = ·· · = δr(N) = ǫ

δv(1) =δv(2) = ·· · =δv(N) = 0

Si el lagrangiano es invariante bajo esta translación, se tiene que 1

δL = L(r+δr,v+δv, t )−L(r,v, t ) = 0

por lo que,

δL =∑

i

∂L(r,v, t )

∂r(i )·δr(i )+

∑

i

∂L(r,v, t )

∂v(i )·δv(i ) = ǫ ·

∑

i

∂L(r,v, t )

∂r(i )= 0

1Emplearemos la siguiente notación, suponiendo que r = x1i1+x2i2+x3i3, ∂L/∂r= i1∂L/∂x1+i2∂L/∂x2 + i3∂L/∂x3, esto es el gradiente de L respecto de r.


Ahora bien de las ecuaciones de Lagrange

d

dt

(

∂L

∂v(i )

)

−∂L

∂r(i )= 0

y por tanto∂L

∂r(i )=

d

dt

(

∂L

∂v(i )

)

por lo que

ǫ ·d

dt

(

∑

i

∂L

∂v(i )

)

= 0

Esta igualdad se verificará cualquiera que sea la magnitud de ǫ, en particular se

verificará para un desplazamiento unidad

ǫ

ǫ·

d

dt

(

∑

i

∂L

∂v(i )

)

= 0

od

dt

(

ǫ

ǫ·∑

i

∂L

∂v(i )

)

= 0

lo que nos dice que la cantidad

(

ǫ

ǫ·∑

i

∂L

∂v(i )

)

es una integral primera del sistema. Ahora bien esta cantidad representa la pro-

yección en la dirección de translación de la cantidad∑

i ∂L/∂v(i ), con lo que

queda demostrado el teorema. Si además el potencial U no es función de las

velocidades, entonces

∑

i

∂L

∂v(i )=

∑

i

∂T

∂v(i )=

∑

i

∂

∂v(i )

1

2

∑

j

m( j )v( j ) ·v( j )

=∑

m(i )v(i ) ≡ P

lo que completa la demostración del teorema. Así pues vemos que si el lagran-

giano es invariante por translación en una cierta dirección la proyección del mo-

mento en la dirección de traslación es una constante del movimiento. Así pues

este teorema (y los que siguen) nos liga las propiedades de simetría del sistema


con las propiedades de conservación. Si tenemos un sistema aislado, las pro-

piedades de homogeneidad del espacio, hace que el sistema sea invariante por

translación en cualquiera de las direcciones del espacio y por tanto la proyec-

ción momento lineal del sistema sobre cualquiera de las direcciones de trasla-

ción es constante y por tanto el momento total del sistema es una constante del

movimiento. Esto liga a una de las propiedades más importante de los sistemas

mecánicos, la conservación del momento, con la homogeneidad del espacio

Teorema 4.4.2 Considerar un sistema de N partículas de masas m(i ), posición

r(i ) y velocidad v(i ). Si el comportamiento del sistema está representado por

una función de Lagrange L(r(i ),v(i ), t ) que es invariante por rotación respecto

de un cierto eje que pasa por el origen de coordenadas, la componente de la

cantidad∑

r(i )×∂L(r,v, t )/∂v(i ) en la dirección del eje de rotación es una cons-

tante del movimiento. Si además el potencial generalizado no es función de las

velocidades v(i ), entonces∑

r(i )×∂L(r,v, t )/∂v(i ) =∑

r(i )×m(i )v(i ) ≡ H, siendo

H el momento angular total del sistema respecto del origen del sistema.

DEMOSTRACIÓN

Considerar un desplazamiento virtual del sistema que consiste en una rotación

infinitesimal ǫ en torno a un cierto eje que pasa por el origen de coordendas,

donde ǫ representa un vector cuya dirección es la del eje de rotación y cuya mag-

nitud coincide con el ángulo de rotación. Se verificara

δr(i ) = ǫ×r(i )

δv(i ) = ǫ×v(i ) =d

dt(ǫ×r(i ))

Si el lagrangiano es invariante por rotación

δL = L(r+δr,v+δv, t )−L(r,v, t ) = 0


Ahora bien,

δL =∑

i

∂L(r,v, t )

∂r(i )·δr(i )+

∑

i

∂L(r,v, t )

∂v(i )·δv(i )

=∑

i

∂L(r,v, t )

∂r(i )· [ǫ×r(i )]+

∑

i

∂L(r,v, t )

∂v(i )·

d

dt[ǫ×r(i )]

teniendo en cuenta las ecuaciones de Lagrange

∂L

∂r(i )=

d

dt

(

∂L

∂v(i )

)

de donde

δL =∑

i

d

dt

[

∂L(r,v, t )

∂v(i )

]

· [ǫ×r(i )]+∑

i

∂L(r,v, t )

∂v(i )·

d

dt[ǫ×r(i )]

=d

dt

∑

i

[

∂L(r,v, t )

∂v(i )

]

· [ǫ×r(i )]

=d

dt

∑

i

ǫ ·[

r(i )×∂L(r,v, t )

∂v(i )

]

= 0

La igualdad anterior es valida cualquiera que sea la magnitud de ǫ, en particular

para un desplazamiento unidad, por lo que

d

dt

∑

i

ǫ

ǫ·[

r(i )×∂L(r,v, t )

∂v(i )

]

= 0

de donde se sigue que la cantidad

∑

i

ǫ

ǫ·[

r(i )×∂L(r,v, t )

∂v(i )

]

es una constante de movimiento, por lo que la proyección de la cantidad

∑

i

[

r(i )×∂L(r,v, t )

∂v(i )

]

en la dirección del eje de rotación es una constante del movimiento, con lo que

hemos demostrado el teorema. El resto de la demostración es similar a la reali-


zada en el teorema anterior, esto es

∂L(r,v, t )

∂v(i )= mi vi

por lo que∑

i

[

r(i )×∂L(r,v, t )

∂v(i )

]

=∑

i

r(i )×mi vi = H

siendo H el momento angular total del sistema, por lo que resulta que

ǫ ·H = ct e.

esto es la proyección del momento angular en la dirección de rotación es una

constante del movimiento. Así pues vemos que si el lagrangiano es invariante

por rotación en una cierta dirección la proyección del momento en la dirección

de rotación es una constante del movimiento. Si tenemos un sistema aislado,

las propiedades de isotropía del espacio, hace que el sistema sea invariante por

rotación en cualquiera de las direcciones del espacio y por tanto la proyección

momento angular del sistema sobre cualquiera de las direcciones de rotación es

constante y por tanto el momento angular total del sistema es una constante del

movimiento. Esto liga a una de las propiedades más importante de los sistemas

mecánicos, la conservación del momento angular , con la isotropía del espacio,

Teorema 4.4.3 Considerar un sistema mecánico con f grados de libertad cu-

ya configuración esta definida por f coordenadas q1, q2, . . . , q f . Si el compor-

tamiento dínamico del sistema está definido por un lagrangiano L(q, q) que es

independiente explicitamente del tiempo, la cantidad

H(q, q)=∑

i

∂L(q, q)

∂q iq i −L(q, q)

es una constante del movimiento. Si además el potencial generalizado U es una

función unívoca de q y la energía cinética solo contiene términos cuadráticos,

entonces H(q, q) =T (q, q)+U(q) = E la energía total del sistema.

DEMOSTRACIÓN


Derivando respecto del tiempo la cantidad H(q, q)

dH

dt=

∑

i

d

dt

[

∂L

∂q i

]

q i +∑

i

∂L

∂q iq i −

∑

i

∂L

∂q iq i −

∑

i

∂L

∂q iq i

=∑

i

d

dt

[

∂L

∂q i

]

−∂L

∂q i

q i

ahora bien por las ecuciones de Lagrange el termino entre llaves es nulo, por lo

que dH/dt = 0 y por tanto la cantidad H es una constante del movimiento o in-

tegral primera del sistema. H recibe el nombre de integral de Painlevé o integral

de Jacobi. Tal y como vimos antes, en general

T =1

2Ti j (q)q i q j +Ti (q)q i +

1

2T0(q) =

por lo que si el potencial U no depende de las velocidades, tenemos

H(q, q) = Ti j (q)q i q j +Ti (q)q i −L =

=1

2Ti j (q)q i q j −

1

2T0(q)+U(q)

Si la energía cinética es función cuadrática de la velocidades, el término T0 es

nulo, por lo que

H(q, q)=1

2Ti j (q)q i q j +U(q) = T (q, q)+U(q)

como queriamos demostrar. Este teorema constituye otro de los grandes teore-

mas de conservación, pues liga uno de los teoremas fundamentales de la física

clásica, la de la conservación de la energía, con una de las propiedades de sime-

tría fundamenteles, la homogeneidad del tiempo.

4.5. Teorema de Noether

Los teoremas anteriores se pueden obtener como consecuecia de un teore-

ma más general que recibe el nombre de teorema de Noether.

Teorema 4.5.1 Si la función de Lagrange L de un sistema dinámico es invariante

4.5 Teorema de Noether 79

a lo largo de una curva integral asociada a un campo vectorial ξ entonces

ξi ∂L

∂q i= ξi pi

es una constante del movimiento, esto es, es una función invariante a lo largo

de la trayectoria del sistema.

Para la demostración vamos a emplear las coordenadas naturales en las que una

de las líneas coordenadas es la curva integral asociada al campo vectorial ξ. En

este sistema

ξi ∂L

∂q i= 1

∂L

∂y1

la derivada de Lie de esta función a lo largo de la trayectoria del sistema es

L∆

(

1 ·∂L

∂y1

)

Si nos fijamos en la expresión de las ecuaciones de Lagrange obtenidas en el

capitulo anterior, obtenemos

L∆

(

∂L

∂y1

)

=∂L

∂y1

de donde

L∆

(

1 ·∂L

∂y1

)

=∂L

∂y1.

Ahora bien si si L es invariante a lo largo del campo ξ la derivada de Lie a lo largo

de este campo es nula

Lξ(L) =∂L

∂y1= 0

por lo que

L∆

(

1 ·∂L

∂y1

)

=∂L

∂y1= 0.

Puesto que

1 ·∂L

∂y1= ξi ·

∂L

∂q i


tenemos

L∆

(

ξi ·∂L

∂q i

)

= 0

y por tanto

ξi ·∂L

∂q i

es una constante del movimiento, como queriamos demostrar. Teniendo en cuen-

ta que∂L

∂q i= pi

son los momentos generalizados. Resulta por tanto que la proyección del mo-

mento generalizado a lo largo del campo ξ es una constante del movimiento, de

donde se pueden deducir los teoremas anteriores.

4.6. Leyes de conservación para lagrangianos gauge-variantes

En ls secciones anteriores se ha supuesto que las transformaciones de si-

metría tenían como consecuencia la invarianza del Lagrangiano, de tal forma

que δL = 0 en dichas transformaciones. Ahora bien, lo que importa es que en

las transformaciones de simetría lo que no cambie son las ecuaciones del movi-

miento, no tanto la función de Lagrange. Como hemos visto antes dos lagrangia-

nas que difieran en la diferencial respecto del tiempo de una función cualquiera

dan lugar a las mismas ecuaciones del movimiento, por tanto vamos a exigir que

en una transformación de simetría, δL no es cero si o que

δL = ǫdΛ

dt

Sunpóngase que se hace una transformación de simetría que produce una va-

riación en las coordenadas de la forma

δq = ǫ f (q, q, t )

4.6 Leyes de conservación para lagrangianos gauge-variantes 81

y que bajo esta transformación se verifica que

δL = ǫdΛ

dt

Teniendo en cuenta que,

δL =∂L

∂qδq +

∂L

∂qδq,

suponiendo que las operaciones δ y d/dt son independientes,

d

dtδq = δq

y las ecuaciones de Lagrange

∂L

∂q=

d

dt

(

∂L

∂q

)

se tiene

δL =d

dt

(

∂L

∂q

)

δq +∂L

∂q

d

dtδq

de donde,

δL =d

dt

(

∂L

∂q

)

δq

Teniendo en cuenta que

δL = ǫdΛ

dt

Obtenemosd

dt

(

∂L

∂qδq −ǫΛ

)

= 0

y puesto que δq = ǫ f (q, q, t ) se obtiene

d

dt

(

∂L

∂qf −ǫΛ

)

= 0

y por tanto∂L

∂qf −ǫΛ= cte (4.5)

es una constante del movimiento.


4.6.1. Conservación de la energía

Si nos fijamos en las demostraciones realizadas anteriormente, para la con-

servación del momento lineal y cinético hemos hecho uso de la invarianza del

lagrangiano, cosa que no hemos hecho para la energía, en este caso hemos ac-

tuado de forma diferente y es que en la transformación de traslación temporal,

si la energía se conserva (T+V = cte), no se conserva el lagrangiano (T-V), aho-

ra bien si se verifica la tranformacion gauge δL = ǫdΛ/dt . Para verlo, suponed

que el tiempo no esta en la función de Lagrange, esto es L = L(q, q), en estas

condicionesdL

dt=

∂L

∂qq +

∂L

∂qq

Si hacemos una transformación de simetría que sea una traslación temporal δt ,

la variacion del lagrangiano sera

δL =∂L

∂qδq +

∂L

∂qδq,

ambas ecuaciones se verificaran simultaneamente si

δL =dL

dtδt

y δq = δt q. Tomando ǫ = δt podemos ver que f = q y que Λ = L, por lo que

utilizando el teorema de Noether ampliado se tiene

q∂L

∂q−L = ct e

Ahora bien, el lado izquierdo de la expresión anterior no es otra cosa que el ha-

miltoniano, por lo que

H = ct e

por lo que queda demostrado el teorema. Aconsejo al lector que lea el trabajo

de Jean Marc Levy Leblond (Conservation laws for gauge-variant lagrangians in

classical mechanics, American Journal Physics,vol 39, pp 502, mayo 1971), de

donde se ha sacado esta sección, donde aparecen algunos ejemplos adicionales

de aplicación de este teorema de Noether ampliado.

4.7 Introducción a los sistema dinámicos 83

4.7. Introducción a los sistema dinámicos

Antes de acabar el capítulo merece la pena discutir las propiedades del sis-

tema de ecuaciones diferenciales al que nos ha conducido las ecuaciones de

Lagrangedx

dt= f(x, t ) (4.6)

siendo x = (x1, x2, . . . , xn) y f = ( f 1, f 2, . . . , f n). Podemos considerar al conjunto

de funciones f i como un campo vectorial y a x(t ) la curva integral al cual es

tangente el campo f.

En primer lugar se demuestra que si las funciones f i (x, t ) son funciones con-

tinuas en su dominio de definición y si sus derivadas parciales ∂ f i /∂x j son tam-

bien continuas, es decir, f es de clase C 1, entonces el sistema 4.6 tiene solucción

y esta es única. Vamos a distinguir los sistemas dinámicos según que el tiempo

aparezca o no explicitamente en la definición de f. En el primer caso diremos

que el sistema es no autonomo y en el segundo sistema autonomo. Vamos a es-

tudiar en primer lugar el caso de sistemas no autonomos.

4.7.1. Sistemas no autonomos

Como acabamos de decir, en esta clase de sistemas el tiempo t no entra a

formar parte de la definición de las funciones f, de tal forma que tenemos el

sistema de ecuacionesdx

dt= f(x) (4.7)

Supongamos que la función f es de clase C 1 de tal forma que el sistema anterior

tenga solucción y esta sea única. Dada una condición inicial xi0 el sistema a cabo

del tiempo pasará por el punto

x = (t ,x0, t0) (4.8)

que es la solucción de la ecuacion diferencial que estamos buscando. Los siste-

mas autonomos tienen importantes propiedades, entre ellas resulta que si x(t )

es una solucción, x(t +a) es tambien una solucción. O sea los sistemas autono-

mos son invariantes por translación temporal. Por lo tanto si x(t ) es la solucción


que pasa por el punto x(0) = x0 en el instante t = 0, entonces x(t − t0) es la soluc-

ción del sistema para el cual x(t0) = x0. Esto significa que la solucción 4.8 es de

la forma

x = (t − t0,x0) (4.9)

Las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales se pueden represen-

tar en un espacio de n dimensiones en el que cada uno de los ejes representa

una variable x i . Este espacio recibe el nombre de espacio de las fases. Para cada

instante t el vector x1(t ), . . . , xn(t ) recibe el nombre de vector estado del sistema.

Podemos representar la solucción del sistema como un punto que se mueve en

el espacio de la fases. La tangente a esta curva en cada apunto coincide con el

campo vectorial f, esta propiedad permite visualizar como han de ser las trayec-

torias. Para ello basta visualizar el campo vectorial f, en cada punto del espacio

f es tangente a la curva integral que pasa por ese punto. Puesto que el tiempo

no aparece explicitamente en f, una trayectoria no debe de cortarse a si mismo

pues si lo hiciese, en el punto de corte, la tangente tomaría dos valores dife-

rentes y por tanto la función f tomaría también dos valores distintos en dicho

punto o cual no es posible. Esto no tiene porque suceder en el caso de sistema

no autonomos, pues la funciónf toma valores distintos en un mismo punto en

el transcurso del tiempo.

Se dice que el punto c es un punto crítico del sistema

dx

dt= f

si y solo si f(c) = 0, en cuyo caso x(t ) = c es una solucción del sistema. La órbita

que parte de este punto se reduce al propio punto. Este punto c corresponde

con el estado de equilibrio del sistema.

Ejemplo 4.2 Considerar la ecuación del oscilador armónico

θ+g

Lsenθ= 0


haciendo x1 = θ y x2 = θ, la anterior ecuación de segundo orden se transforma

en el sistema

x1 = x2

x2 =−g

Lsen x1

cuyos puntos críticos son (nπ,0), n = 0,±1,±2, . . .

Ejemplo 4.3 Considerar el sistema lineal

x1 = −2x1

x2 = −3x2

que en forma matricial podemos poner

(

x1

x2

)

=(

−2 0

0 −3

)(

x1

x2

)

= A

(

x1

x2

)

Puesto que el determinante de A es distintio de cero, el único punto crítico es el

origen. La solucción del sistema es

(

x1

x2

)

=(

e−2t x10

e−3t x20

)

Podemos dibujar las diferentes trayectorias del sistema anterior que parten de

diferentes puntos iniciales. Estos grafos reciben el nombre de diagrama de fa-

ses del sistema. Como vemos de la anterior solucción las trayectorias convergen

hacia el origen, que es como hemos dicho antes el único punto crítico. Se dice

entonces que el sistema es asintóticamente estable. La figura 4.1 nos muestra el

diagrama de fases del sistema.

Sistemas bidimensionales

Dada su sencillez y facilidad de representación vamos a considerar los sis-

temas bidimensionales. Vamos a suponer así mismo que la función f se puede


-40 -20 20 40

-100

-50

50

100

Figura 4.1:

poner como

f(x)= Ax+g(x)

de tal forma que el determinante de la matriz A es distinto de cero y la función

g es de clase C 1 en un dominio d que contiene el origen. Supongamos tambien

que la función g es “pequeña”cuando x es “pequeño”. LLamaremos a g el ter-

mino perturbativo. Puesto que g es pequeño cerca del origen, podemos pensar

que el comportamiento del sistema cerca del origen viene dada por el sistema

x = Ax

que es más facil de analizar. Puesto que por hipotesis el determinante de A es

distinto de cero, el único punto crítico es el origen. Se puede demostar que la hi-

pótesis de que el comportamiento del sistema viene bien descrito por su parte

lineal es esencialmente cierta pero no completamente cierta. La parte no lineal

puede odificar notoriamente la parte lineal del sistema. Suponer que hacemo el

cambio de variable y = T x, siendo T no singular. En el nuevo sistema de coorde-

nadas el sistema toma la forma

y = (T −1 AT )y =By

siendo la nueva matriz coeficientes B equivalente a la matriz original A,

B = (T −1 AT )


Puesto que por hipótesis el determinante de A es diferente de cero, esta matriz

no tiene autovalores nulos. La teoria de matrices nos dice que es posible encon-

trar una matriz T tal que la matriz B puede tomar las siguientes formas

1.(

λ 0

0 µ

)

con µ<λ< 0 o 0 <µ<λ

2.(

λ 0

0 λ

)

con λ> 0 o λ< 0

3.(

λ 0

0 µ

)

con µ< 0 <λ

4.(

λ 1

0 λ

)

con λ> 0 o λ< 0

5.(

σ ν

−ν σ

)

con σ,ν 6= 0, siendo σ> 0 o σ< 0.

6.(

0 ν

−ν 0

)

siendo ν 6= 0

Los casos 5,6 corresponden con autovalores complejos σ± iν y ±iν respectiva-

mente.


Vamos a representar los diagrama de fase de los anteriores modelos. Hemos

de recalcar que estas representaciones son válidas únicamente para el modelo

lineal, el modelo perturbado puede tener una comportamiento completamente

diferente, aunque nuestra esperanza es que para valores de x pequeños esto no

ocurra. Así mismo la representación que vamos mostrar es cierta en el sistema

de coordenadas rotado, en el sistema original puede ser diferente.

Caso 1 En este caso la solución es de la forma

(

x1(t )

x2(t )

)

=(

eλt x10

eµt x20

)

Si µ<λ< 0 entonces x → 0 cuanto t →∞. La figura 4.2 representa un caso

típico. El caso 0 < µ < λ se muestra en la figura 4.3. Las orbitas tienden a

Figura 4.2:Figura 4.3:

alejarse del origen al tender t →∞.

Caso 2 las solucciones en este caso son de la forma

(

x1(t )

x2(t )

)

=(

eλt x10

eλt x20

)

cuyos diagramas se representa en las figuras 4.4 y 4.5 En el primer caso las


Figura 4.4: Figura 4.5:

orbitas convergen hacia el origen, en el segundo parten de él.

Caso 3 En este caso la solucciones son

(

x1(t )

x2(t )

)

=(

eλt x10

eµt x20

)

cuyo campo viene representado en la figura 4.6 En este caso la solucciones

Figura 4.6:Figura 4.7:


tienden a infinito a lo largo del eje x y a cero a lo largo del eje y , el origen

recibe el nombre de punto de ‘ensilladura”.

Caso 4 Las soluciones en este caso son

(

x1(t )

x2(t )

)

=(

eλt (x10 +x2

0 t )

eλt x20

)

cuyo campo se representa en la figura ??. Cuando λ< 0, el flujo converge

hacia el origen y cuando es positivo diverge.

Caso 5 Las soluciones son de la forma

(

x1(t )

x2(t )

)

= eσt

(

ρcos(νt −α)

ρsen(νt −α)

)

siendo ρ =√

(x10 )2 + (x2

0 )2 y tanα = x20 /x1

0 , cuyo campo da lugar a un es-

piral. Si sigma es positivo el flujo diverge y si el negativo el flujo converge

hacia el origen. Si sigma es cero, este campo da lugar a una circunferencia

que corresponde con el caso 6. Ver las figuras 4.8 y 4.9.

Figura 4.8: Figura 4.9:


En todos los casos examinados, la órbitas convergen hacia el origen si y solo

si la parte real de los autovalores es negativa. Se dice entonces que el origen es

un atractor del sistema lineal. Se puede demostrar que el origen sigue siendo un

atractor cuando se añade la perturbación g. En el caso del punto de ensilladura

el origen deja de ser un atractor y es uno de los caso más complicados de analizar

cuando se añade el término perturbativo.

4.7.2. Estabilidad de los sistemas

La resolución de los sistemas de ecuaciones diferenciales para cualesquiera

que sean las condiciones iniciales es un problema muy complejo y sólo se han

obtenido soluciones explicitas en unos cuantos casos. Incluso si el sistema es

lineal existen importantes dificultades si el orden del sistema es muy grande.

No obstante podemos obtener información del tipo de solucción que se puede

obtener sin tener que resolver explicitamente.

Uno de los fenómenos cualitativos de gran interés es la noción de estabilidad

Definiciones de estabilidad

Considerar el sistema autonomo

x = f(x)

estando f definida en un cierto dominio D, donde supondremos que es de clase

C 1, lo que nos garantiza que existe una solucción y esta es única. Sea c un punto

crítico, por tanto f(c) = 0 por tanto x = c es una solucción del sistema. El punto

critico c es un punto de equilibrio o reposo dels sistema físico asociado. Suponer

que desplazamos el sistema de su posición de equilibrio c a un punto x0 cercano.

Nos preguntamos donde estará el sistema al cabo de un tiempo t , >se habrá

alejado mucho del punto c ?, >Convergerá hacia el punto c ?. Podemos dar las

siguientes definiciones

Definición 1 La solución de equilibrio c de un sistema dinámico autonomo se

dice que es estable si ∀ǫ> 0 podemos encontrar un δ (que depende de ǫ) tal que


si x(t ) es una solucción tal que ||x(t0)−c|| < δ entonces e ||x(t0)−c|| < ǫ para todo

t > t0 (ver figura 4.10)

δ

ε

x0

x(t)

Figura 4.10:

δ

x0

Figura 4.11:

Definición 2 La solución de equilibrio c se dice asintoticamente estable si y solo

si es estable y si existe un δ tal que si x(t ) es una solucción del sistema dinámico

tal que ||x(t0)−c|| < δ entonces lımt−>∞ = c (ver la figura 4.11)

Sistemas lineales

El caso más simple al cual aplicar la definición dada anteriormente es el de

un sistema lineal en el que el sistem dinámico viene descrito por la ecuación

diferencial

x = Ax

Teorema 4.7.1 Si todos los autovalores de A tiene partes reales no positivas y

todos los autovalores con parte real cero son simples, entonces la solución x = 0

es estable. Si y solo si todos los autovalores tienen parte real negativa, la so-

luccuón 0 es asintoticamente estable. De hecho en este caso, si Ψ(t , t0) deno-

ta la matriz fundamental, que se reduce a la identidad en el instante t = t0,

Ψ(t , t0) = exp(A(t − t0)) y existen constantes K y σ tales que

|Ψ(t , t0)| ≤K exp(−σ(t − t0))


con σ> 0 en el caso que todos los autovalores de A tengan partes reales negati-

vas y σ = 0 si ellas son sencillas con parte real cero. Si una o mas de los autova-

lores de A tienen parte real positiva, la solucción cero es inestable.

4.7.3. Sistemas casi lineales

Supooner que tenemos un sistema dinámic autonomo descrito por el siste-

ma de ecuaciones

x = f(x)

con un punto crítico en xo . Pongamos a la solucción del sistema en la forma

x(t )= x0 +z(t )

Las nuevas variables z verifica la ecuación

z = f(x0 +z(t ))

que aplicando el teorema del valor medio podemos poner el sistema casi lineal

z = fx(x0)z+g(z)

siendo g(z) continua y tal que

lım|z|→0

|g(z)||z|

= 0

por lo que g(0) = 0. fx(x0) es una matriz constante cuyo elemento i , j vale ∂ fi /∂x j .

Claramente si z = 0 es un punto crítico estable o asintoticamente estable de este

sistema, x0 será un punto crítico estable del primero. Podemos considerar a la

anterior ecuación como la ecuación de un sistema perturbado respecto al siste-

ma lineal. así pues este tipo de problemas es bastante interesante.

Teorema 4.7.2 Considerar el sistema

x = Ax+ f(t ,x)


siendo la matriz A constante, f(t ,x) y (∂f/∂x j ) continuas en la región D = (t ,x)|0 ≤t <∞, |x| < k, donde k > 0 es una constante y f ‘pequeña’ en el sentido que

lım|x|→0

|f(t ,x)||x|

= 0

uniformemente en t . Si todos los autovalores de A tienen parte real negativa, la

solucción x = 0 es asintoticamente estable.

Así pues la adición de un termino no lineal ‘pequeño’ al sistema lineal no afecta

la estabilidad asintótica del sistema. Sin embargo la solucción cero no es global-

mente asintóticamente estable.

Es posible extender los anteriores resultados a sistemas de la forma

x = (A+B(t ))x+ f(t ,x)

siendo B(t ) una matriz, tal que lımt→∞ B(t )= 0

Ejemplo 4.4 Estudiar la estabilidad del pendulo simple amortiguado, cuya ecua-

ción diferencial viene dada por la expresión

θ+k

mθ+

g

Lsenθ= 0

SOLUCIÓN

Ejercicios

Ejercicio 4.1 Calcular la función de Routh de un trompo simétrico.

Capítulo 5

Dinámica hamiltoniana

Cuando uno estudia un sistema dinámico mediante las ecuaciones de La-

grange, se estudia el sistema mediante ecuaciones diferenciales en las que in-

tervienen las coordenadas generalizadas y sus velocidades. Vamos a pasar, me-

diante una transformación de Legendre, a estudiar el sistema en términos de

las coordenadas generalizadas y sus momentos generalizados. En dinámica de

Lagrange, los momentos generalizados son magnitudes derivadas a partir del

lagrangiano, las variables fundamentales son las coordenadas generalizadas. En

la dinámica de Hamilton, los momentos generalizados son unas coordenadas

más del problema. A cambio de introducir N coordenadas adicionales, vamos

a disminuir el orden de cada ecuación. En Lagrange tenemos N ecuaciones de

orden 2, en Hamilton vamos a tener 2N ecuaciones de orden 1.

5.1. Transformación de Legendre

Suponer que tenemos una función

y = y(x1, x2, . . . , xn ),

y queremos construir una nueva función g tal que hayamos sustituido alguna de

las variables xi por su correspondiente derivada parcial p = ∂y/∂x de tal forma

que la transformación sea uno a uno, lo cual significa que comenzando con la

96 Capítulo – 5. Dinámica hamiltoniana

función transformada podamos recuperar la función original de forma unívoca.

En otras palabras, es esencial que el contenido matematico y por tanto el conte-

nido físico sea conservado por la transformación. Para ilustrar el problema y su

solucción, considerar el ejemplo de una única variable, tenemos por tanto una

función de la forma

y = y(x) (5.1)

que respresenta una curva en el plano x, y . La pendiente de la curva en cada

punto viene dada por

p =d y

dx

podríamos eliminar a partir de esta ecuación x como función de p y sustituirla

en la ecuacion original con lo que obtendríamos una función

y = y(p)

Ahora bien si queremos reconstruir la función original a partir de esta última

se encuentra que no existe una solucción única, lo que es contrario a nuestro

requerimiento de que la solucción sea única. La razon formal para esto es que

la anterior ecuación, representa una ecuación diferencial cuya solucción repre-

senta una familia de curvas en el plano x, y .

La solución al problema, satisfaciendo nuestros requisitos, la podemos en-

contrar en el hecho que una curva en el plano x, y la podemos ver como el lugar

geométrico de los puntos que cumplen una cierta condición (y = y(x)), o como

la envolvente de la familia de tangentes a la curva y = y(x). Sea

ψ=ψ(p) (5.2)

esta familia de tangentes, en la que ψ representa la intersección con el eje y de

la tangente a la curva en el punto x.

La expresión de esta recta es

y −ψ= p(x −0)

5.1 Transformación de Legendre 97

ϕ

x

y

p

Figura 5.1:

o lo que es lo mismo

ψ= y −px (5.3)

eliminado y, x a partir de la ecuación original y = y(x) y de la ecuación d y/dx =p obtenemos la función

ψ=ψ(p)

Para que el proceso anterior se pueda realizar tenemos que despejar x de la ex-

presión d y/dx = p para lo cual, por el teorema de la función implicita, es nece-

sario y suficiente que ∂p/∂x sea distinto de cero. El proceso lo podemos invertir.

Derivando la ecuación (5.3)

dψ= d y −pdx −xdp =−xdp

donde se ha tenido en cuenta que d y = pdx. Por lo que

x =−dψ

dp(5.4)

eliminando ψ y p entre las ecuaciones (5.2) y (5.3) y teniendo en cuenta la ecua-

ción (5.4) obtenemos la ecuación original. El proceso de eliminación de varia-

bles es solo posible si p es función de x.

Podemos representar el proceso anterior esquemáticamente de la siguiente


maneray = y(x) ψ=ψ(p)

p = d y

dxx =−dψ

dp

ψ=−px + y y = xp+ψ

la eliminación de x, y da ψ(p), la eliminación de p,ψ nos da y(x).

La transformación de Legendre no resulta en asignar a cada punto del plano

x, y en un punto del plano p,ψ. Esta transformación asigna de manera única y

reversible un punto sobre la curva ψ(p) un punto sobre la curva y(x). La trans-

formación se puede extender a un caso de n variables de las cuales solo quere-

mos transformar un subgrupo de k varibles. El esquema es el siguiente

y = y(x1, x2, . . . , xk , . . . , xn) ψ=ψ(p1, . . . , pk , xk+1, . . . , xn)

pi =∂y

∂xi(i = 1, . . . , n)

xi =+ ∂ψ∂pi

(i = 1, . . . , k)

pi =− ∂ψ∂xi

(i = k +1, . . . , n)

d y =∑i=n

i=1 pi dxi dψ=+∑i=k

i=1 xi dpi −∑i=n

i=k+1 pi dxi

ψ=∑i=k

i=1 xi pi − y y =∑i=k

i=1 xi pi −ψ

La eliminación de y, x1, . . . , xk daψ(p1, . . . , pk , xk+1, . . . xn). La eliminación deψ, p1, . . . , pk

da y(x1, x2, . . . , xn). La eliminación de (x1, . . . , xk ) exige que el jacobiano (∂p1 , . . . ,∂pk )/(∂x1, . . . ,∂xk )

sea distinto de cero.

Ejemplo 5.1 Dada la función z(x, y) = 3x2 y , construir una nueva funciónψ(p, y)

tal que p = ∂z/∂x

SOLUCCIÓN

p =∂z

∂x= 6x y

de donde x = p/6y , y por tanto,

ψ= px − z(x, y)= p

(

p

6y

)

−3

(

p

6y

)2

y =p2

6y−3

p2

36y2y =

p2

12y

5.2 Ecuaciones de Hamilton 99

como podemos comprobar

∂ψ

∂p=

2p

12y=

2×6x y

12y= x

y

−∂ψ

∂y=

p2

12

1

y2=

(6x y)2

12

1

y2= 3x2 =

∂z

∂y

5.2. Ecuaciones de Hamilton

En el caso de que tengamos una funcion de Lagrange L(q, q, t ), queremos

sustituir la velocidad generalizada q por ∂L/∂q. De acuerdo con lo visto antes

H = q∂L

∂q−L

ahora bien ∂L/∂q es igual al momento generalizado p con lo que

H(p, q) = pq −L

donde ya H es una función de p, q. Como vimos antes

q =∂H

∂p

−∂H

∂q=

∂L

∂q

ahora bien de las ecuaciones de Lagrange

d

dt

(

∂L

∂q

)

= p =∂L

∂q


por lo que

q =∂H

∂p(5.5)

p = −∂H

∂q(5.6)

que constiuyen las ecuaciones de Hamilton.

En el caso de tener varias variables q, tenemos

H(pi , q i )=∑

i

pi q i −L.

Como antes

qi =∂H

∂pi(5.7)

pi = −∂H

∂q i(5.8)

que son las ecuaciones canónicas de Hamilton1. En el caso que la lagrangiana

sea función explícita del tiempo t , esta variable se comporta en la transforma-

ción de Legendre como si fuese una variable q i , por lo que

∂H

∂t=−

∂L

∂t

Como vemos ahora tenemos un sistema de 2N ecuaciones diferenciales de or-

den 1. Como vimos en el capitulo anterior, tambien es posible, en el caso de las

ecuaciones de Lagrange, obtener un conjunto de 2N ecuaciones diferenciales

de primer orden introduciendo N nuevas variables xi = q i . Ahora bien en este

caso, contrariamente a las ecuaciones de Hamilton, no existe en general ningu-

na funcion H tal que las derivadas temporales de xi se obtengan a partir de una

1Este importante sistema de ecuaciones aparece por primera vez en uno de los trabajos deLagrange(1809) sobre la teoria de perturbaciones en sistemas mecánicos. Lagrange no reconocióla conexión básica de estas ecuaciones con las ecuaciones del movimiento. Fué Cauchy el que ( enun trabajo no publicado de 1831) dió a estas ecuaciones sus verdadero significado. Hamilton hizode las mismas la base de sus trabajos sobre mecánica. La referencia a las .Ecuaciones canónicas deHamilton.está completamente justificada aunque el trabajo de Hamilton apareciera en 1835


función H . en dinámica de Hamilton, la función H caracteriza por completo el

conjunto entero de ecuaciones.

El proceso anterior de obtencioon de las ecuaciones y función de Hamil-

ton exige poder despejar las velocidades generalizadas de las expresiones pi =∂L/∂q i , lo cual solo es posible si las pi son independientes esto es si el determi-

nante Jacobiano ‖∂2L/∂q i∂q j‖ es distinto de cero.

Teorema 5.2.1 Demostrar que

dH

dt=−

∂H

∂t

DEMOSTRACION

dH

dt=

∑

i

∂H

∂pipi +

∑

i

∂H

∂qiq i +

∂H

∂t

de las ecuaciones de Hamilton

dH

dt=

∑

i

q i pi −∑

i

pi q i +∂H

∂t=

∂H

∂t=−

∂L

∂t

Si el tiempo, no aparece explicitamente en la lagrangiana,

−∂L

∂t= 0

por lo quedH

dt= 0

y H(p,q) es una integral primera del sistema, que como vimos antes recibe el

nombre de integral de Painleve o Jacobi. Esta constante H no es la energía total

del sistema, como ya vimos en el capítulo anterior únicamente cuando la ener-

gía cinética es una función cuadrática de las velocidades H es la energía total del

sistema.


5.2.1. Coordenadas ignorables en la formulación hamiltoniana

Vimos en el capítulo anterior, que si una coordenada no aparece en la la-

grangiana el momento generalizado era una constante del movimiento. Ahora

bien que no aparezca una coordenada no evita que aparezca su velocidad y por

tanto su aceleración, por lo que no disminuye el orden del sistema. Vimos no

obstante que con una transformación apropiada podiamos disminuir el orden

del sistema a integrar. Vamos a ver como ahora podemos ignorar directamente

dicha coordenada, por lo que el sistema se reduce a 2(n −1) ecuaciones de pri-

mer orden. Supongamos que la n-exima coordenada sea ciclíca. Si no aparece

en el lagrangiano tampoco debe de aparecer en el hamiltoniano, por lo que H

será una función de la forma

H = H(q1, q2, . . . , qn−1, p1, p2, . . . , pn )

ahora bien, si qn es cíclica su correspondiente momento generalizado es cons-

tante, por lo que

H = H(q1, q2, . . . , qn−1, p1, p2, . . . , pn−1,γn)

siendo γn la constante del movimiento. De esta expresión del hamiltoniano ve-

mos que el problema se ha reducido a un problema de orden 2(n-1)

q i =∂H

∂pi, i = 1,2, . . . , n −1

pi = −∂H

∂q i, i = 1,2, . . . , n −1

Una vez resuelto el problema para las n −1 primeras variables es posible resol-

verlo para la n-exima mediante la ecuación

qn =∫

∂H

∂γndt


Ejemplo 5.2 Calcular el hamiltoniano de una partícula cargada eléctricamente

sometida a un campo electromágnetico externo.

SOLUCCIÓN Como vimos en un capítulo anterior, el lagrangiano de una partícula

en un campo electromágnético viene dada por la expresión

L =1

2mv2 −qφ+

q

cA ·v

de donde el momento generalizado vale

p =∂L

∂v= mv+

q

cA

de donde

v =1

m(p−

q

cA)

por lo que

H =p ·v−L = mv2 +q

cA ·v−

1

2mv2 +qφ−

q

cA ·v =

1

2mv2 +qφ

sustituyendo el valor de v tenemos

H =1

2m(p−

q

cA)2 +qφ

A partir de la anterior expresión es facil deducir cual es el correspondiente ope-

rador hamiltoninao en mecánica cuántica, para ello basta sustituir p por −i~∇,

de donde

H =1

2m(−i~∇−

q

cA)2 +qφ=

1

2m

(

−~2∇2 + (

q

c)2A2 +

q

ci~∇·A+

q

ci~A ·∇

)

+qφ

Ejemplo 5.3 Evaluar el hamiltoniano de una partícula de masa m sometida a

un campo de fuerza central.

SOLUCCIÓN


Puesto que el campo de fuerzas es central, el potencial será una cierta función

de V (r) por lo que el lagrangiano será

L =1

2m(x2 + y2 + z2)−V (r)

pasando a polares esféricas,

x = r senθcosψ

y = r senθsenψ

z = r cosθ

tenemos

L =1

2m(r 2 + r 2θ2 + r 2 senθ2ψ2)−V (r)

teniendo en cuenta las definiciones de momentos generalizados tenemos

pr =∂L

∂r= mr

pθ =∂L

∂θ= mr 2θ

pψ =∂L

∂ψ= mr 2 senθ2ψ

de donde eliminando las velocidades generalizadas (r , θ,ψ) la función de Ha-

milton

H = v ·p−L

se escribe como

H =1

2

(

p2r

m+

p2θ

mr 2+

p2ψ

mr 2 senθ2

)

+V (r) (5.9)

5.3. Una introducción a la geometría simplética

Al igual que hicimos en la dinámica lagrangiana vamos a tratar de geometri-

zar la dinámica hamiltoniana con objeto de encontar una ecuación que repre-

5.3 Una introducción a la geometría simplética 105

sente las ecuaciones de Hamilton en forma independiente del sistema de coor-

denadas. En dinámica lagrangiana introdujimos el fibrado tangente (o espacio

de fases de velocidades) como la unión de todos los espacios tangentes a la va-

riedad de tal forma que un punto de este espacio en un sistema local de coorde-

nadas estuviese representado por las coordenadas q1, . . . , qn , q1, . . . qn. Ahora

vamos a introducir un nuevo espacio llamado figrado cotangente (o espacio de

las fases) en el que en un sistema de coordenadas locales cada punto viene re-

presentado por 2n coordenadas q1, . . . , qn , p1, . . . , pn, siendo pi las componen-

tes del momento generalizado que como sabemos viene definido mediante la

expresión

pi =∂L

∂q i

Mientras que q i tiene las propiedades de un vector del espacio tangente, esto

es se transforman de forma contravariante en una transformación de coorde-

nadas, pi se transforman como una 1-forma, esto es tiene unas propiedades de

transformación covariante. Esto hace que la variedad fibrado cotangente (union

de todos los espacios cotangentes a un punto dado) tenga unas propiedades

completamente diferente de las del fibrado tangente. En este espacio, el cam-

po vectorial dinámico ∆ cuyas componenentes en el espacio de fases era q i , q i ,

ahora tiene como expresión

∆H = q i ∂

∂q i+ pi

∂

∂pi

En este contexto de espacio fibrado tangente y espacio fibrado cotangente, la

transformación de Legendre no es sino una transformación de un espacio en

el otro. Nos envia un objeto geometrico de un espacio a otro, en particular del

campo vectorial ∆, en particular envia a la 1-forma

∂L

∂q idq i

en donde ∂L/∂q i depende de q i , q i en la 1-forma

pi dq i


donde las componentes dependen solo de pi

Vamos a introducir en esta variedad cotangenta, una estructura simplética.

De acuerdo con la definición (ver apéndice B), una estructura simplética es una

2-forma, ω (una forma bilineal antisimétrica) no singular y cerrada, esto es

dω= 0

Al igual que el tensor métrico (una forma bilinial simétrica) nos permitió

asociar a cada vector v i su correspondiente covector vi mediante la operación

de subir y bajar índices. La 2-forma ω nos permite asociar al vector v i la 1-forma

ωi j v j . O reciprocamente nos permite asociar a la 1-forma vi el vector v i =ωi j vi .

Vamos, en este sentido, a considerar la 1-forma dH(p, q), siendo H el hamilto-

niano cuya expresión en el sistema local de coordenadas q i , pi tiene como ex-

presión

dH =∂H

∂q idq i +

∂H

∂pidpi

y cuyas componentes son por tanto ∂H/∂q i ,∂H/∂pi . La cuestión ahora es >có-

mo ha de ser la expresión de la 2-forma ω tal que la 1-forma asociada al campo

vectorial dinámico ∆H coincida con la diferencial del hamiltoniano dH , esto es

ω(∆H ) = dH

La expresión general de ω será

ω=ωij dq j ∧dpi +

1

2(ai j dq i ∧dq j +b i j dpi ∧dp j )

Si aplicamos esta forma al campo ∆ tenemos

[

ωij dq j ∧dpi +

1

2(ai j dq i ∧dq j +b i j dpi ∧dp j )

](

qk ∂

∂qk+ pk

∂

∂pk

)


dq j ∧dpi = dq j dpi −dp j dq i


y que

dq i (∂

∂q j) = δi

j , dpi (∂

∂p j) = δi

j , dq i (∂

∂p j) = dpi (

∂

∂q j) = 0

tenemos

ω(∆) = qk[

ωik dpi +ak j dq j

]

− pk

[

ωkj dq j −bki dpi

]

para que esta expresión sea igual a dH , teniendo en cuenta las ecuaciones de

Hamilton vistas anteriormente se debe de cumplir

ω(∆) = qk[

ωik dpi +ak j dq j

]

− pk

[

ωkj dq j −bki dpi

]

= dH =−pk dqk + qk dpk

de donde necesariamente

ai j = b i j = 0

y

ωij = δi

j

y por tanto

ω= dq i ∧dpi

y la ecuación de Hamilton

ω(∆H )= dH (5.10)

que es la forma geométrica y por tanto independiente del sistema local de coor-

denadas. Nos queda por demostrar que ω es no singular y cerrada. La demostra-

ción de que es cerrada es sencilla pues ω es igual a la diferencial exterior de la

1-forma θ= pi dq i , pues

ω=−dθ=−d(pi dq i ) =−dpi ∧dq i = dq i ∧dpi

y se sabe que la diferencial de la diferencial de una 1-forma es nula, así pues

dω= d(dθ) = 0

por lo que ω es cerrada. Vamos a ver que es no singular. En primer lugar tenemos

si representamos por una matriz Ω a los coeficientes de la 2-forma se puede ver


que tiene la forma(

0 I

−I 0

)

siendo I la matriz identidad de dimensión n. Se puede ver fácilmente que

ΩΩ=−I

De tal forma que el determinante de Ω vale la unidad y esto nos garantiza la no

singularidad de Ω. Así mismo de la relación anterior

Ω−1 =−Ω

Ejemplo 5.4 Calcular la forma explicita de la 2-formaωpara un espacio de fases

tetradimensional

SOLUCCION

La forma general de una 2-forma tetradimensional es

ω= 0dq1dq1 +a1dq1dq2 +a2dq1dp1 +a3dq1dp2

−a1dq2dq1 +0dq2dq2 +a4dq2dp1 +a5dq2dp2

−a2dp1dq1 −a4dp1dq2 +0dp1dp1 +a6dp1dp2

−a3dp2dq1 −a5dp2dq2 −a6dp2dp1 +0dp2dp2

nuestra 2-forma ω tiene como expresión

ω= dq i ∧dpi

lo que significa que los coeficientes de los términos donde no aparece una q y


una p pertenecientes a la misma coordenada son cero y el resto 1 o -1 . Así pues

ω= 0dq1dq1 +0dq1dq2 +1dq1dp1 +0dq1dp2+

−0dq2dq1 +0dq2dq2 +0dq2dp1 +1dq2dp2+

−1dp1dq1 −0dp1dq2 +0dp1dp1 +0dp1dp2

−0dp2dq1 −1dp2dq2 −0dp2dp1 +0dp2dp2

de donde podemos ve que

Ω=

0 0 1 0

0 0 0 1

−1 0 0 0

0 −1 0 0

La no singularidad de ω nos garantiza que la operación de bajar y subir indices

es un isomorfismo. Así pues dado un Hamiltoniano H a la 1-forma dH sólo se le

asocia un único vector dinámico ∆, pues si existitese otro tendriamos

ω(∆1) = dH

ω(∆2) = dH

restando

ω(∆1 −∆2)= 0

y como ω es no singular ∆1 = ∆2. El reciproco no es cierto, en el sentido que

puede existirt más de un hamiltoniano asociado a un único camino ∆, pues si

ω(∆1) = dH1

ω(∆1) = dH2

necesariamente dH1 = dH2 de donde H1 = H2 +cte y por tanto H está definido

salvo una cosnstante reflejando la indeterminación que existe en la elección del

potencial.


Capítulo 6

Principios Variacionales

Los principios variacionales tienen su origen, tal y como los conocemos hoy,

en un problema que Jean Bernoulli propone en 1696 a la comunidad científica

de su época, y que se conoce como el problema de la braquistocrona (‘braquis-

tos’ : más corto, ‘cronos’: tiempo). El problema consistia en calcular la curva que

une dos puntos, no tituados en la misma vertical, de tal forma que una partícula

vaya de un punto a otro en un tiempo mínimo. El problema fué resulto por el

propio Jean Bernoulli y por Daniel Bernoulli, Leibnitz, l’Hopital, y Newton. Pa-

rece ser que este último lo hizo de forma anónima, sin embargo al leer el trabajo,

Jean Bernoulli reconoció el trabajo de Newton, proclamando que “uno reconoce

a un león por la huella de sus garras”

6.1. Principio de D’Alambert

Considerar un sistema de N partículas sometidas a un campo de fuerzas cu-

ya resultante sobre cada partícula viene dada por una fuerza f(i ), las ecuaciones

de Newton para cada partícula se expresan mediante la ecuación,

mi x i = fi , i = 1,3N

Este problema mecánico lo podemos tratar como un problema de estática sin

mas que introducir unas fuerzas ficticias o de inercia dadas por −mi x i de tal

112 Capítulo – 6. Principios Variacionales

forma que

fi −mi x i = 0

Bajo un desplazamiento virtual arbitrario, la anterior expresión toma la forma

∑

i

( fi −mi x i )δx i = 0

Viceversa, si se cumple la anterior ecuación bajo un desplazamiento virtual ar-

bitrario δx i , los coeficientes de la combinación lineal han de ser tambien nulos,

por lo que

( fi −mi x i ) = 0

Así pues las ecuaciones de Newton son equivalentes al hecho de que el trabajo

virtual relizado por las fuerzas reales y las de inercia es nulo. Este teorema será

válido en cualquier sistema de coordenadas, por lo que

∑

i

(Gi −ai )δg i = 0

siendo Gi la componente covariante o generalizada de la fuerza en el sistema de

coordenadas g i y ai1 la componente covariante de la aceleración. Tal y como vi-

mos en el capítulo 3, dicha componente covariante viene dada por la expresión

ai =d

dt

(

∂T

∂g i

)

−∂T

∂g i

por lo que∑

i

[

Gi −d

dt

(

∂T

∂g i

)

+∂T

∂g i

]

δg i = 0 (6.1)

que constituye la expresión del principio de D’Alambert en un sistema de coor-

denadas generalizadas. Puesto que los desplazamientos virtuales son arbitra-

rios, la anterior expresión equivale a que

Gi −d

dt

(

∂T

∂g i

)

+∂T

∂g i= 0

1Recordar que el movimiento del sistema mecánico lo podemos visualizar como el movimien-to de un punto de masa unidad en el espacio de las configuraciones con la métrica inducida porla energía cinética

6.2 Principio de Hamilton 113

que son las ecuaciones de Lagrange. Así pues el principio de D’Alambert equi-

vale a las ecuaciones de Lagrange. En el caso que tengamos fuerzas de ligadura,

las componentes Gi las vamos a dividir en componentes de fuerzas aplicadas o

conocidas y componentes de fuerzas de ligadura o desconocidas, por lo que el

principio de D’Alambert toma la forma

∑

i

[

Gi +Ri −d

dt

(

∂T

∂g i

)

+∂T

∂g i

]

δg i = 0 (6.2)

Supuesto que las fuerzas de ligadura sean perfectas, el trabajo de las fuerzas de

ligadura es nulo por lo que∑

i

Riδg i = 0

siendo los desplazamientos δg i compatibles con las ligaduras, por lo que

∑

i

[

Gi −d

dt

(

∂T

∂g i

)

+∂T

∂g i

]

δg i = 0 (6.3)

lo que sucede ahora es que ya no podemos hacer la expresión entre corchetes

igual cero pues los desplazamientos no son independientes, si no que deben de

ser compatibles con las ligaduras. Si ahora introducimos un nuevo sistema de

coordenadas q i , i = 1, . . . , f siendo f el número de grados de libertad, la anterior

expresión se puede poner como

∑

i

[

Qi −d

dt

(

∂T

∂q i

)

+∂T

∂q i

]

δq i = 0 (6.4)

estando la suma extendida al numero de grados de libertad. Ahora los despla-

zamientos δq i compatibles con las ligaduras son independientes por lo que la

expresión entre corchetes vale cero y obtenemos de nuevo la expresión de las

ecuaciones de Lagrange en coordenadas cualesquiera.

6.2. Principio de Hamilton

Podemos considerar el movimiento de un sistema mecánico como descrito

por el movimiento de un punto en un sistema de coordenadas de f dimensio-


nes. Consideremos una trayectoria de este punto, que pasa por el punto q i (t1)

en el instante t1 y por el punto q i (t 2) en el instante t2. Supongamos que el pun-

to puede ir de la posición inicial a la final a lo largo de diferentes trayectorias tal

que podemos obtener cualquier trayectoria a partir de una dada mediante des-

plazamientos virtuales compatibles con las ligaduras. Partiendo del principio de

D’Alambert, tendremos que en cada instante t

∑

i

[

Qi −d

dt

(

∂T

∂q i

)

+∂T

∂q i

]

δq i (t ) = 0

por lo que∫t2

t1

∑

i

[

Qi −d

dt

(

∂T

∂q i

)

+∂T

∂q i

]

δq i (t )dt = 0


∫t2

t1

[

δW −∑

i

d

dt

(

∂T

∂q iδq i

)

+∑

i

∂T

∂q i

d

dtδq i +

∂T

∂q iδq i

]

dt = 0. (6.5)

Según acabamos de decir, se toma una trayectoria cualquiera q i como camino

dado, y las trayectorias alternativas se toman a partir de esta sin mas que dar

un desplazamiento virtual δq i , este desplazamiento lo podemos poner de la

siguiente manera. Sea q i (t ) el camino dado y q i (t )+ ǫiη(q i (t )), siendo ǫi una

cantidad tan pequeña como queramos y η una función cualquiera, el camino

alternativo. Esta claro que δq i = ǫiη(q i (t )) y por tanto

d

dtδq i = ǫi d

dtη

Asimismo,

δdq i

dt=

d

dt

(

q i (t )+ǫiη(q i (t )))

−d

dtq i (t )) = ǫi d

dtη

Por lo que

δdq i

dt=

d

dtδq i

de donde vemos que podemos intercambiar los signos de derivada temporal


y desplazamiento virtual. Teniendo en cuenta esta intercambiabilidad entre las

dos derivadas, la integral 6.5 la podemos poner como

−∫t2

t1

∑

i

d

dt

(

∂T

∂q iδq i

)

dt +∫t2

t1

[

δW +∑

i

∂T

∂q iδq i +

∂T

∂q iδq i

]

dt = 0

integrando, y teniendo en cuenta que en un desplazamiento virtual (t fijo)

δT (q, q, t )=∑

i

∂T

∂q iδq i +

∂T

∂q iδq i

tenemos∑

i

(

∂T

∂q iδq i

)

∣

∣

∣

∣

∣

t2

t1

+∫t2

t1

(δW +δT )dt = 0

ahora bien puesto que en los puntos inicial y final δq i = 0, tenemos

∫t2

t1

(δW +δT )dt = 0 (6.6)

que constituye la expresión del principio de Hamilton, válida tanto para siste-

mas holónomos como anholónomos. En el caso de sistemas holónomos

δW =∑

i

Qiδq i

y en el caso de sistema anholónomos

δW =∑

i

Qiδq i +∑

i

∑

1≤k≤M

λ(k)δq i Ai (k)

siendo M el número de ligaduras.

En el caso de sistemas holónomos, en los que las fuerzas dependan de un

potencial generalizado

∫

∑

Qiδq i dt =∫

∑

[

d

dt

(

∂U

∂q i

)

−∂U

∂q i

]

δq i dt =

=∫[

d

dt

(

∂U

∂q iδq i

)

−∂U

∂q i

d

dtδq i −

∂U

∂q iδq i

]

dt =


=∑

i

(

∂U

∂q iδq i

)

∣

∣

∣

∣

∣

t2

t1

−∫[

∑ ∂U

∂q iδq i +

∂U

∂q iδq i

]

dt =

=−∫

δUdt

por lo que∫

(δW +δT )dt =∫

(δT −δU)dt =∫

δL = 0

ahora bien puesto que los instantes y puntos iniciales y finales son fijos

∫t2

t1

δLdt =δ

∫t2

t1

Ldt = 0 (6.7)

lo que significa que de todas las trayectorias posibles desde q i (t1) hasta q i (t2)

el sistema elige aquella para la cual la integral (6.7) toma valores estacionarios.

Hemos de recalcar que los punto inicial y final son fijos así como el tiempo que

tarda el sistema para ir desde el punto inicial al final, cualquiera que sea la tra-

yectoria elegida. Al funcional

S[q(t )]=∫t2

t1

L(q, q, t )dt (6.8)

se la denomina función principal de Hamilton o Acción (recordar, es un funcio-

nal) y el principio de Hamilton recibe el nombre de principio de minima acción.

Vamos a ver que este principio es equivalente a las ecuaciones de Lagrange.

Para ello supondremos que solo tenemos un grado de libertad q. Del principio

de Hamilton, tenemos

δ

∫t2

t1

L(q, q, t )dt =∫t2

t1

δLdt

pues los puntos inicial y final son fijos. La variación δL vale

δL =∂L

∂qδq +

∂L

∂qδq

pues al ser las δ′s variaciones virtuales no aparece el término derivada con res-


pecto al tiempo. Según vimos antes

δq =d

dtδq

sustituyendo

∫t2

t1

δLdt =∫t2

t1

∂L

∂qδq +

∂L

∂q

d

dtδq

dt

=∫t2

t1

∂L

∂qδq +

d

dt

[

∂L

∂qδq

]

−d

dt

(

∂L

∂q

)

δq

dt

=∂L

∂qδq

∣

∣

∣

∣

t2

t1

+∫t2

t1

∂L

∂q−

d

dt

(

∂L

∂q

)

δqdt

(6.9)

El primer término se anula pues en los límites las variaciones δq son nulas, por

lo que, en estas condiciones por el principio de Hamilton

∫t2

t1

∂L

∂q−

d

dt

(

∂L

∂q

)

δqdt = 0

Puesto que las variaciones δq son libres y las podemos elegir como queramos,

podemos tomar unas δq que son cero en toda la trayectoria de la partícula ex-

cepto en un cierto intervalo, tan pequeño como queramos, ∆t . En estas condi-

ciones la integral se puede aproximar mediante la expresión

∫t2

t1

∂L

∂q−

d

dt

(

∂L

∂q

)

δqdt =

∂L

∂q−

d

dt

(

∂L

∂q

)

δq∆t = 0

que nos lleva a que el término entre llaves es nulo. Eligiendo el intervalo tempo-

ral en el que no se anula las δq a lo largo de toda la trayectoria de la partícúla se

llega a que∂L

∂q−

d

dt

(

∂L

∂q

)

= 0

en todo instante. Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones de Euler-

Lagrange, pues fueron descubiertas independientmente por Euler y Lagrange

como solucción del problema variacional.


Ejemplo 6.1 Resolver el problema de la braquistocrona.

Como se expresó en la introducción, estamos interesados en encontrar la curva

que recorre una partícula que va de un punto A a otro B en el mínimo tiempo

posible bajo la acción de un campo gravitatorio, cuando A y B no están en la

misma vertical. Así pues debemos de minimizar la integral

∫B

Adt

De la definición de velocidad

dt =ds

v

Así pues debemos de mínimizar la integral

∫B

A

ds

v

El elemento de longitud ds se puede poner como

ds2 = dx2 +d y2

siendo x la coordenada vertical e y la horizontal (Consideraremos el problema

en el plano x, y). De donde

ds =√

1+ (d y/dx)2dx =√

1+ y ′(x)2dx

de donde∫B

A

ds

v=

∫B

A

1

v

√

1+ y ′(x)2dx

La velocidad v la podemos poner como función de x sin más que emplear el

teorema de conservación de la energía. Eligiendo la dirección positiva de x hacia

abajo, el potencial V vale

V =−mg x

y tendremos

E = 1/2mv2 −mg x

6.3 El principio de Hamilton para fuerzas que no proceden de unpotencial 119

de donde

v =√

2(E +mg x)/m

En el instante inicial E = 0 pues v = 0 y x = 0, así pues

v =√

2gp

x

de donde∫B

A

ds

v=

1√

2g

∫B

A

1p

x

√

1+ y ′(x)2dx

La función L(y(t ), y ′(t ), t ) tiene como expresión ahora

1p

x

√

1+ y ′(x)2

donde se ha sustituido la variable independiente t por la variable independiente

x. Así pues las ecuaciones de Euler-Lagrange resuta ser

d

dx

(

∂L

∂y ′

)

−∂L

∂x= 0

La solucción de esta ecuación diferencial es

y(x)=−√

x(2r −x)+2r arcsin( x

2r

)

siendo r una constante de integración.

6.3. El principio de Hamilton para fuerzas que no proce-

den de un potencial

La forma del principio de Hamilton que acabamos de exponer es válida para

sistemas en los que la fuerza procede de un potencial. Si parte de las fuerzas

no procede de un potencial debemos de emplear el principio de Hamilton dado

por la expresión 6.6∫t2

t1

(δW +δT )dt = 0


Si parte de las fuerzas aplicadas no proceden de un potencial, podemos poner

δW =−δU +δWnp =−δU +∑

Fiδq i

de tal forma que el principio de Hamilton toma la forma

∫t2

t1

(δW +δT )dt =∫t2

t1

(−δU +δT )dt +∫t2

t1

∑

Fiδq i dt

= δ

∫t2

t1

Ldt +∫t2

t1

∑

Fiδq i dt = 0 (6.10)

Un caso particular de este principio se da cuando las ligarduras son no holóno-

mas, en este caso vimos que

Ri (k) =λk Ak ,i

por lo que

= δ

∫t2

t1

Ldt +∫t2

t1

∑

λk Ak ,iδq i dt = 0 (6.11)

Haciendo el mismo tratramiento, para el primer término de la anterior expre-

sión, que hicimos en las sección anterior y que nos condujo a la ecuacion de

Euler-Lagrange, nos permite llegar a la expresión

∫t2

t1

1

dt

(

∂L

∂q i

)

−∂L

∂q i+

∑

λk Ak ,i

δq i dt = 0. (6.12)

Junto con esta ecuación tenemos las M ecuaciones de ligadura

Ak ,iδq i = 0, k = 1,2, · · · ,M

Esto hace que las δq i no sean libres, si no que tengamos f −M de ellas libres y M

ligadas, siendo f el número de grados de libertad total. Supongamos que las M

coordenadas ligadas son las M primeras coordenadas, entonces podemos elegir

los multiplicadores de Lagrange de tal forma que los M primeros corchetes son

cero identicamente. Respecto de los f −M corcchestes para los cuales los des-

plazamientos son libres, podemos seguir el mismo tratamiento que el seguido

para la dedución de las ecuaciones de Euler-Lagrande de un sistema holónomo

6.4 Obtención de las ecuaciones canónicas de Hamilton 121

y por tanto se tiene que todo los corchestes se anulan y por tanto,

1

dt

(

∂L

∂q i

)

−∂L

∂q i+

∑

λk Ak ,i = 0 (6.13)

que junto con el las ecuaciones de ligadura

Ak ,iδq i = 0, k = 1,2, · · · ,M

son las ecuaciones de Euler–Lagrange para sistemas no holónomos, deducidas

ya anteriormente.

6.4. Obtención de las ecuaciones canónicas de Hamilton

Vamos a ver como podemos obtener las ecuaciones canónicas de Hamilton

a partir del principio de Hamilton. Para ello, teniendo en cuenta que

L =∑

pi q i −H(q,p, t )

tenemos

0 = δ

∫t2

t1

Ldt = δ

∫t2

t1

∑


dt

Llamemos

I(q, q,p, p, t )=∑


por lo que

0 =δ

∫

Idt

aplicando la deducción anterior, obtenemos

d

dt

(

∂I

∂q i

)

−∂I

∂q i= 0

d

dt

(

∂I

∂pi

)

−∂I

∂pi= 0


ahora bien∂I

∂q i= pi ,

∂I

∂q i=−

∂H

∂q i

∂I

∂pi= 0 ,

∂I

∂pi= q i −

∂H

∂pi

por lo que

pi = −∂H

∂q i

q i =∂H

∂pi

que son las ecuaciones canónicas de Hamilton. La anterior deducción nos mues-

tra que no es necesario partir de una función de Lagrange y realizar una trans-

formación de Legendre para obtener las ecuaciones de Hamilton, si no que se

pueden deducir directamente de un principio variacional. La integral de acción

a partir de la cual hemos obtenido las ecuaciones de Hamilton,

∫t2

t1

∑


dt

tiene la forma de energía cinética menos energia portencial, puesto que el se-

gundo término del integrando es función únicamente de las coordenadas, que

ahora son (qi , pi ), y el primero depende de las velocidades. En este caso la .energía

cinética"deja de ser una función cuadrática de las velocidades convitiendose en

función lineal de las mismas,

p1q1 +p2q2 + . . . , pn qn

6.5. Expresión de la función principal de Hamilton

En la elaboración del principio de mínima acción demostrabamos que cuan-

do los límites se mantenian fijos la función principal de Hamilton

S[q(t )]=∫t2

t1

L(q, q, t )dt

6.5 Expresión de la función principal de Hamilton 123

se mantiene estacionaria cuando vamos del punto 1 al punto 2 a través de re-

corridos alternativos. Consideramos por tanto a S[q(t )] como un funcional, esto

es para diversos caminos q(t ), S toma diversos valores. En esta sección vamos a

considerar a S como una función, esto es vamos a tratar de evaluar cuanto va-

ría la función S cuando variamos los argumentos de los que depende. Para ello

vamos, en primer lugar, a analizar de que argumentos depende la función S.

En primer lugar, tenemos que para poder hacer la integral de la función de

Lagrange es necesario que sepamos como son q y q como función del tiempo

y de las condiciones iniciales (q1, q1, t1)2. Sustituyendo estas expresiones en la

definición de L e integrando llegaremos a una expresión S que será función de

(q1, q1, t1, t2). Puesto que se supone que conocemos la solucción del problema,

q2(t2) =q2(q1, q1, t2, t1)

eliminando de esta expresión las velocidades iniciales (supondremos que el Ja-

cobiano ∂(q2)/∂(q1) es distinto de cero),

q1 = q1(q2,q1, t2, t1)

sustituyendo en la expresión de S(q1, q1, t1, t2) llegamos a que S depende de

(q2,q1, t2, t1), esto es S depende de las posiciones iniciales y finales así como de

los instantes inicial y final.

Vayamos ya a resolver nuestro problema, de analizar cuanto varía S cuando

cambiamos q1,q2, t1, o t2 haremos la demostración suponiendo que solo tene-

mos un grado de libertad. De acuerdo con la expresión (6.9) obtenida anterior-

mente

δS = δ

∫t2

t1

L(q, q, t )dt =∂L

∂qδq

∣

∣

∣

∣

t2

t1

+∫t2

t1

∂L

∂q−

d

dt

(

∂L

∂q

)

δqdt

Suponer ahora que fijamos los tiempos de salida y llegada, que vamos del punto

1 al 2 mediante una trayectoria real y que únicamente hacemos variar el punto

final q(2) de llegada en el tiempo t2. Ver la figura 6.1. Puesto que la integral se

2Esto significa que necesitamos haber resuelto el problema mecánico. Veremos más adelantecomo evaluar S de forma independiente para que nos sirva para integrar el problema mecánico


t

q

q2

q1

q2+δq2

Figura 6.1:

hace a lo largo de un camino real, se han de cumplir las ecuaciones de Lagrange,

por lo que el integrando en la expresión anterior es nulo y por tanto

δS =∂L

∂qδq

∣

∣

∣

∣

t2

t1

= p(2)δq(2) = pδq

donde hemos puesto por definicion que ∂L/∂q = p y se ha tenido en cuenta que

en t1, δq = 0. Para un número cualquiera de grados de libertad

δS =∑

piδq i

por lo que

pi =∂S

∂q i(6.14)

De manera analoga vamos a ver la dependencia respecto del tiempo, para ello

tengamos en cuenta que

S =∫t2

t1

Ldt ′


suponiendo que dejamos variable el límite superior

S(t )=∫t

t1

Ldt ′

de dondedS(t )

dt= L

Así mismo, podemos escribir que

dS

dt=

∂S

∂t+

∑ ∂S

∂q iq i

teniendo en cuenta que ∂S/∂q i = pi , tenemos

L =dS

dt=

∂S

∂t+

∑

pi q i

por lo que teniendo en cuenta la espresión de la función de Hamilton H =∑

pi q i−L tenemos

∂S

∂t=−H (6.15)

por lo que

δS =∑

piδq i −Hδt (6.16)

Si variamos tanto el punto final como el inicial obtendríamos para la variación

de S la expresión

δS =∑

pi (2)δq i (2)−H(2)δt (2)−∑

pi (1)δq i (1)+H(1)δt (1) (6.17)

Esta relación muestra que cualquiera que sea la acción exterior a la que se some-

te al sistema durante su movimiento, su estado final no puede ser una función

arbitraria de su estado inicial: sólo son posibles aquellos movimientos para los

cuales la expresión (6.17) es una diferencial total exacta. Es importante tener en

cuenta las condiciones en las que se ha obtenido la expresión 6.17. Según hemos

desarrolado la sección, la variación δS es la diferencia entre dos funciones S(en

realidad, S es un funcional que depende de las trayectorias elegidas para calcu-

lar el lagrangiano L) evaluadas al ir desde el punto inicial al final a lo largo de


dos trayectorias reales diferentes. Esta varición δ es diferente de la variación δ

obtenida en el principio de Hamilton. En éste, δ representa una variación entre

la trayectoria real y la variada (no real), mientras que ahora δ representa, según

acamos de decir, la variación entre dos trayectorias reales. Es decir a lo largo

de cada trayectoria real, el sistema se mueve eligiendo aquel camino que hace

mínima la integral de acción, pero este mínimo varia dependiendo de las condi-

ciones impuestas, la expresión 6.17 nos dice como cambia al integral de acción

de trayectoria a trayectoria

De la definición de S,

S =∫

L(t ′)dt ′

teniendo en cuenta que L =∑

i pi q i −H , obtenemos que forma integral de la

función S toma la forma

S =∫

∑

pi dq i −Hdt

(6.18)

Ejemplo 6.2 Evaluar la función S para una partícula de masa unidad sometida

a un campo gravitatorio uniforme. Suponer que el movimiento es plano

SOLUCCIÓN

La función de Lagrange para este problema vale

L =1

2(x2 + y2)− g y

y las ecuaciones de Lagrange son

x = 0

y =−g


integrando

x = u0(t − t0)+x0

y = y0 +v0(t − t0)−1

2g (t − t0)2

siendo u0 y v0 las componentes de la velocidad inicial. Sustituyendo en la fun-

ción de Lagrange

L =1

2

(

u20 + [v0 − g (t − t0)]2)− g y0 − g v0(t − t0)+

1

2g 2(t − t0)2

de donde

S =∫

Ldt =1

2(u2

0 +v20 − g y0)(t1 − t0)− g v0(t1 − t0)2 +

1

3g 2(t1 − t0)3

eliminando u0, v0 de las soluciones de las ecuaciones del movimiento,

u0 =x1 −x0

t1 − t0

v0 =y1 − y0

t1 − t0+

1

2g (t1 − t0)

sustituyendo en la la expresión de S obtenida previamente obtenemos la fun-

ción principal de Hamilton como función de (x1, x0, y1, y0, t1, t0),

S =1

2(t1 − t0)

[

(x1 −x0)2 + (y1 − y0)2 −1

2g (t1 − t0)2(y1 + y0)−

1

24g 2(t1 − t0)3

]

derivando respecto de x0 e y0 obtenemos

u0 = −∂S

∂x0=

x1 −x0

t1 − t0

v0 = −∂S

∂y0=

y1 − y0

t1 − t0+

1

2g (t1− t0)

de donde podemos obtener las ecuciones del movimiento. Así pues si podemos


conocer la función principal de Hamilton S por otros medios, las expresiones

pi 0 =−∂S

∂q i0

nos permiten obtener las integrales de las ecuaciones del movimiento.

Ejemplo 6.3 Evaluar la función S para una oscilador armónico.

SOLUCCIÓN La ecuacion diferencial del oscilador vale

x +ω2x = 0

cuya solucion vale

x = x0 cos w(t − t0)+u0

ωsenω(t − t0)

Llevando la anterior expresión a la ecuación de S

S =∫

Ldt =∫

1

2(x2 −ω2x2)dt

se obtiene

S =1

2ω(x2

1 +x20 )cotω(t1 − t0)−

ωx1x0

senω(t1 − t0)

supuesto que ω(t1 − t0) no sea múltiplo entero de π. Como antes

−u0 =−∂S

∂x0=ωx0 cotω(t1 − t0)−

ωx1

senω(t1 − t0)

de donde despejando x1 obtenemos la solución del problema

x1 = x0 cos w(t − t0)+u0

ωsenω(t1 − t0)

6.6 Simetría y acción. El teorema de Noether 129

6.6. Simetría y acción. El teorema de Noether

En el capítulo cuatro obtuvimos que bajo una transformación de simetría la

forma del Lagrangiano no cambiaba, de tal forma que las ecuaciones del mo-

vimiento resultaban ser forma-invariantes. Esta forma-invariancia de las trans-

formaciones de simetría se traduce en una invariancia de la integral de acción.

Efectivamente bajo una transformación de simetría la forma en la que un obser-

vador ve el movimiento del sistema es la misma que la que dicho observador ve

antes de realizar la transformación de simetría. Por ejemplo si el sistema es in-

variante por traslación, las observaciones que realiza un observador en Madrid

deben de ser las mismas que las que realiza un observador en Londres, supuesto

que el sistema físico y sus condiciones frontera e iniciales sean las mismas.

En la sección anterior hemos visto como al cambiar las posiciones iniciales

y finales y los tiempos iniciales y finales, la integral de acción variaba en

∆S =−Hδt |2 +Hδt1 +∑

piδq i |2 −∑

piδq i |1

Si la transformación es una transformación de simetría, ∆S = 0, por lo que

−Hδt |2 +∑

piδq i |2 =−Hδt1 +∑

piδq i |1

o sea

−Hδt +∑

piδq i = cte (6.19)

Que es la expresión del teorema de Noether y que nos dice que si existe una

simetría del sistema, hay una cantidad que se conserva, la dada por la expresión

6.19.

Suponed por ejemplo que un sistema mecánico es invariante por traslación

temporal, esto es al hacer el cambio t = t +δt0 el sistema permanece invariable.

Suponiendo por tanto que δqi = 0 y δt0= cte. Se tiene

H = ct e

esto es el hamiltoniano se mantiene constante. Suponed que el sistema es in-

variante por traslación en una cierta dirección. Realizando una transformación


consistente en una traslación en dicha dirección, suponiendo que utilizamos

coordenadas cartesianas, tendremos

∑

pi x cosθxǫ+∑

pi y cosθyǫ+∑

pi z cosθzǫ= cte

siendo cosθx,y,z los cosenos directores de un vector unitario en la dirección de

traslación y ǫ su modulo. La anterior expresión no es otra cosa que la proyección

del momento en la dirección de traslación. Obtenemos por tanto los resultados

del capitulo cuatro. Supongase ahora que el sistema es invariante por rotación

a lo largo del eje z, en estas condiciones las variaciones de las coordenadas de

cada partícula viene dadas por

δxi = ri cos(θi +δθ)− ri cos(θi )

δyi = ri sen(θi +δθ)− ri sen(θi )

Teniendo en cuenta las expresiones para el coseno y el seno del ángulo suma, y

que para ángulos muy pequeños cosδθ≈ 1 y senδθ≈ δθ, tenemos

δxi = −yiδθ

δyi = xiδθ

Por lo tanto, suponiendo que hagamos una rotación a lo largo del eje z mante-

niendo fijo el tiempo, tendremos

∑

piδqi =∑

(−pxi yiδθ+py i xiδθ) = Lzδθ= cte

y por tanto Lz , la componente z del momento angular se mantiene constante,

esto es la proyección a lo largo del eje de rotación del momento angular se con-

serva. Obtenemos de nuevo los resultados del capítulo cuatro.

6.6.1. Invariancia gauge

Podemos generalizar los resultados obtenidos en esta sección y los del ca-

pitulo cuatro teniendo en cuenta que la simetría no está en que el Lagrangiano

6.7 Principio de Maupertuis 131

o la acción sean invariantes de la transformación de simetría sino en el hecho

que el movimiento del sistema permanezca invariable bajo la transformación

de simetría. Sabemos que dos lagrangianos que difieran en la diferencial de una

cierta función dan lugar a las mismas ecuaciones del movimiento, así pues ba-

jo una transformación de simetría se debe e verificar no que ∆L = 0 sino que

∆L = dF /dt . Como la integral de acción es la integral del Lagrangiano, dos fun-

ciones de acción que difieran en la integral de dF /dt darán lugar a las mismas

ecuaciones del movimiento,

S ′ = S +F (t2, q i2)−F (t1, q i

1)

Esto es bajo una transformación de simetría, ∆S no es cero si no vale

∆S = F (t2, q i2)−F (t1, q i

1)

como

∆S =−Hδt |2 +Hδt1 +∑

piδq i |2 −∑

piδq i |1

se tiene,

−Hδt |2 +Hδt1 +∑

piδq i |2 −∑

piδq i |1 = F2 −F1

de donde

−Hδt +∑

piδq i +F(t , q)= cte (6.20)

6.7. Principio de Maupertuis

Vamos a introducir en esta sección un nuevo principio variacional, similar,

pero diferente, al principio de Hamilton, el llamado principio de Maupertuis.

Para su demostración vamos a ser uso de los resultados obtenidos en la sección

anterior.

Consideremos el problema del movimiento de un sistema en el que el tiem-

po no interviene de forma explícita en la lagrangiana y por tanto tampoco en

la función de Hamilton. En estas condiciones hemos visto que el hamiltoniano

(o integral de Jacobi)H es una constante del movimiento, dH/dt = ∂H/∂t = 0.

Hagamos, H =E .


Vamos a suponer que tanto a lo largo de la trayectoria real como a lo largo de

las trayectorias variadas se verifica la constancia del hamiltoniano, eso significa

que los desplazamientos virtuales entre trayectoria y trayectoria no pueden ser

cualesquiera si no que deben de hacerse a lo largo de la hipersuperficie H =cte.

Por otra parte vamos a suponer que los tiempos de llegada y salida no son cons-

tante como en el principio de Hamilton si no que son libres, mientras que si se

mantienen fijas las posiciones iniciales y finales.

De acuerdo con lo visto en la sección anterior, cuando se varían las posicio-

nes iniciales y finales, así como los tiempos iniciales y finales, la variación de la

función principal de Hamilton S, no es nula, si no que vale vale

δS =∑

i

piδq i |2 −∑

i

piδq i |1 −Hδt |2 +Hδt |1

Supongamos que mantenemos fijas las posición inicial y final del sistema pe-

ro permitimos que los intantes de llegada puedan variar, en estas condiciones,

puesto que δq i (1) = δq i (2) = 0 resulta que

δS =∑

i

piδq i |2 −∑

i

piδq i |1 −Hδt |2 +Hδt |1 =−Hδt |2 +Hδt |1

de todos los desplazamiento virtuales, sólo vamos a considerar aquellos que son

compatibles con el hecho que la integral de Jacobi es una constante del movi-

miento, esto es, sólo consideraremos aquellas trayectorias que cumplan con es-

ta condición. Así pues H1 = H2 =E , y por tanto

δS =−H(δt2 −δt1) =−Eδ(t2 − t1) =−Eδt

de tal forma que

δ(S −E(t2 − t1)) = 0

por lo que ahora es la función S −E(t2 − t1) la que alcanza el valor estacionario.

Como sabemos

S =∫

Ldt =∫

(∑

pi dq i −Hdt )


integrando en t puesto que H = E es constante, resulta que

S =∫

∑

pi dq i −E(t − t0)

Llamemos S0 a la expresión

S0 =∫

∑

pi dq i

que recibe el nombre de acción reducida. Teniendo en cuenta que ahora es la

función S −E(t2 − t1) la que alcanza el valor estacionario, tenemos

δS0 = δ(S −E(t − t0)) = δ

∫

∑

pi dq i = 0

que es el principio de Maupertuis3 o principio de mínima acción reducida. El

anterior principio nos indica que de todas las trayectorias posibles, compati-

bles con la conservación de la energía, esto es, de todas las trayectorias posibles

contenidas en la hipersuperficie H(p, q) = E , manteniendo fijas las posiciones

iniciales y finales, el sistema sigue aquella que hace mínima a la cantidad S0.

Hay que tener en cuenta que el uso del principio de Maupertuis, sólo nos per-

mite obtener las ecuaciones de la trayectoria no su ley horaria. Recuerdese, no

obstante que la variación δ ha de hacerse en todo caso a E =cte.

Para poder utilizar la ecuación anterior debemos de eliminar el tiempo. Va-

mos a ver como hacerlo. Supongamos que la lagrangiana toma la forma

L =1

2

∑

i , j

Ti j q i q j −U(q)

3Clasicamente el principio de Maupertuis ha recibido el nombre de minima acción y la canti-dad

∫∑

pi dqi ha recibido el nombre de acción. Siguiento la nomenglatura de los libros de Lan-dau y Goldstein (últimas ediciones) se ha dado el nombre de acción a la funcion principal deHamilton S =

∫

(∑

pi dqi −Hdt ) y de acción reducida S0 a la cantidad∫

∑

pi dqi . El principiode mínima acción reducida se atribuye usualmente a Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698–1759), cuyo ensayo Essai de Cosmologie apareció en 1751. Si embargo, su teoría, que apareció endicha memoria, era vaga, estaba basada en fundamentos metafísicos y no en hechos científicos.En realiada fue Euler quien la dedujo de forma científicamente satisfactoria


Los momentos generalizados toman la forma

pi =∂L

∂q i=

∑

j

Ti j q j

y la energía total ( dada la expresión de L en este caso la constante E coincide

con la energía total)

E = T +U =1

2

∑

i , j

Ti j q i q j +U(q)

De esta última expresión

dt =

√

∑

Ti j dq i dq j

2(E −U)

que llevado a la expresión

∑

i

pi dq i =∑

i , j

Ti , jdq j

dtdq i

nos da para la acción reducida la expresión

S0 =∫

∑

i , j Ti j dq j dq i

√

∑

Ti j dq i dq j

2(E−U)

=∫

√

2(E −U)∑

Ti j dq j dq i

Habiamos visto que podiamos definir una métrica en el espacio de las configu-

raciones a traves de la expresión

ds2 = 2T dt 2 =∑

Ti , j dq i dq j

de tal forma que

S0 =∫

√

2(E −U)ds

por lo que el principio de mínima acción toma la forma

δ

∫

√

2(E −U)ds = 0


que es otra expresión del principio de Maupertuis4. Si el potencial es cero (no

existen fuerzas), como E es constante, el principio de Maupertuis toma la forma

δ

∫

ds = 0

esto es la trayectoria se realiza a lo largo del camino mas corto o, dicho de otra

forma, se realiza a lo largo de las geodésicas del espacio de las configuraciones.

Podemos ahora ligar la mecanica con la óptica. De acuerdo con el principio

de Fermat, los rayos siguen aquellas trayectorias que hacen mínima la expresión

∫

nds

siendo n el índice de refracción. Podemos por tanto identíficar al índice de re-

fracción del medio n con la cantidadp

2(E −U).

Una vez obtenida la ecuación de la trayectoria, podemos dar su ley horaria.

Para ello tengamos en cuenta que según obtuvimos antes

dt =

√

∑

Ti , j dq i dq j

2(E −U)

de donde

t − t0 =∫

√

∑

Ti , j dq i dq j

2(E −U)

Ejemplo 6.4 Siguiendo las directrices del principio de Maupertuis encontrar las

ecuaciones que rigen el movimiento de un sistema con coordenadas ignorables

SOLUCCIÓN Vamos a suponer que tenemos un sistema mecánico en el que exis-

4Nota: Podiamos haber tomado como métrica

ds =√

2(E −U)Ti j dqi dq j

, en cuyo caso S0 =∫

ds y el principio de Maupertuis toma la forma δ∫

ds = 0 de tal forma queel sistema mecánico sigue las trayectorias de distancia mínima, esto es sigue las geodésicas delespacio de las configuraciones dotado con la métrica anterior


te una coordenada que no a aparece en el lagrangiano. Como sabemos el co-

rrespondiente momento generalizado es una constante del movimiento. Sea qn

dicha coordenada, el momento generalizado pn = ∂L/∂qn es una constante del

movimiento. Restringamos nuestros desplazamientos virtuales a aquellos des-

plazamientos compatibles con este hecho a la vez que dejemos libres los des-

plazamientos correspondientes a la variable qn . En estas condiciones, δS no es

cero si no que vale

δS = pn(2)δqn (2)−pn (1)δqn (1) = pnδ(qn(2)−qn (1)) = pnδ

∫t2

t1

qdt = δ

∫t2

t1

pn qn dt

por lo que

δ(S −∫t2

t1

pn qdt )= δ(∫

Ldt −∫t2

t1

pn qn dt =δ

∫

(L−pn qn)dt = 0

Llamemos R a la función L−pn qn y utilicemos la ecución pn = ∂L/∂qn =βn=cte,

para eliminar qn , tenemos el problema variacional

δ

∫

R(q1, . . . , qn−1, q1, qn−1,βn , t )dt = 0

cuya solucción son las ecuaciones de Euler–Lagrange con lagragiana igual a R.

Ahora bien, R no es otra cosa que la función de Routh, por lo que hemos dedu-

cido las ecuaciones del método de Routh mediante un principio variacional.

Ejemplo 6.5 Partiendo del principio Maupertuis, encontrar la ecuación dife-

rencial de la trayectoria

SOLUCCIÓN

Según hemos visto el principio de Maupertuis se puede expresar como

δ

∫

nds = 0

siendo n =p

2(E −U) en mecánica y el índice de refracción en óptica. Introduc-


ciendo el operador δ dentro de la integral tenemos

δ

∫

nds =∫

δnds +∫

nδds

que podemos expresar de la siguiente manera

∫

δnds =∫

∇nδrds

siendo δr = δq1q1 + . . .+δqn qn . Por otra parte

ds2 = dr ·dr

por lo que

2dsδds = 2dr ·δdr

ahora bien vimos antes que δdr = dδr por lo que

δds =dr

dsdδr

y por tanto∫

nδds =∫

ndr

dsdδr

integrando por partes

∫

nδds = ndr

dsδr

∣

∣

∣

∣

2

1−

∫

d

ndr

ds

δr

si tenemos en cuenta que en los puntos finales e iniciales δr = 0, tenemos

∫

nδds =−∫

d

ds

ndr

ds

dsδr

por lo que

δ

∫

nds =∫

∇nδrds −∫

d

ds

ndr

ds

dsδr =∫

∇n −d

ds

(

ndr

ds

)

δrds = 0


puesto que esta ecuación es válida para cuaquier δr, tenemos que

∇n −d

ds

(

ndr

ds

)

= 0 (6.21)

que es la ecuación diferencial del rayo o del punto en mecánica, el equivalen-

te a la ecuación de Euler–Lagrange obtenida a partir del principio de Hamiton.

Teniendo en cuenta quedn

ds=∇n ·

dr

ds

y que dr/ds es el vector tangente T a la trayectoria, tenemos

∇n − (∇n ·T)T−nd2r

ds2= 0

ahora bien1

ρN =

d2r

ds2(6.22)

nos da el radio de curvatura ρ y la normal a la trayectoria N, por lo que tenemos

∇n = (∇n ·T)T+n1

ρN (6.23)

que es la ecuación del rayo. En mecánica, n =p

2(E −U), por lo que teniendo en

cuenta que E es constante tenemos

∇√

2(E −U) =1

p2(E −U)

∇U =−1

p2(E −U)

F

sustituyendo tenemos

√

2(E −U)1

ρN =

1p

2(E −U)(F−F ·TT)

y teniendo en cuenta la ecuación de la normal (6.22), tenemos

d2r

ds2=

1

2(E −U)(F−F ·TT) (6.24)

La cantidad (F−F ·TT) es la componente normal de la fuerza FN . Por lo que la


anterior ecuacion la podemos poner como

1

ρN =

1

2(E −U)FN

que teniendo en cuenta que 2(E −U) = 2T = v2, tenemos

1

ρv2N = FN (6.25)

Darse cuenta que sólo somos capaces de obtener la ecuación de la trayectoria.

La ley horaria dv/dt = Ft tendremos que obtenerla a partir de otros principios.

Si nos fijamos detenidamente en la forma en la que se ha obtenido la ecua-

ción diferencial de la trayectoria del rayo (o de la partícula), ecuacion 6.21, ve-

mos que es completamente diferente a la forma en la que se dedujo la ecuación

de Euler-Lagrange a partir del principio de Hamilton. En ambos casos se partió

de sendos principios variacionales,

δ

∫

Ldt = 0

en Hamilton y

δ

∫

nds = 0

en Maupertuis. Si embargo cuando se introduce el operador δ dentro de la inte-

gral, en el caso del principio de Hamilton el operador δ sólo afecta a al función

L, mientras que cuando se ha introducido dentro de la integral en el principio

de Maupertuis afecta tanto a n como a s. Esto se debe a que ambos operadores δ

son diferentes. En el caso del principio de Hamilton, este operador era indepen-

diente del parámetro t , parámetro empleado en describir la trayectoria. Según

nuestras hipétesis, el camino variado se obtiene mediante un desplazamiento

virtual, esto es a t cosntante. En el principio de Maupertuis, el desplazamiento

es entre aquella trayectorias posibles, cuyos origenes y destinos son iguales, pe-

ro que los realizan a diferente marcha. El sistema elige aquella cuya integral de

acción es un extremal. En este segundo caso, podemos introducir un parame-

tro τ para describir la trayectoria seguida por la partícula, de tal forma que este

parametro sea independiente del operador δ. En este caso tendremos que hacer


estacionaria la integral

δ

∫

nds = δ

∫

nds

dτdτ= 0

donde5

ds

dτ=

√

(

dx

dτ

)2

+(

d y

dτ

)2

+(

dz

dτ

)2

=√

x2 + y2 + z2

Sustituyendo

δ

∫

nds

dτdτ=δ

∫

n

√

x2 + y2 + z2dτ

expresión equivalente al principio de Hamilton con un lagrangiano dado por

L = n

√

x2 + y2 + z2

y cuya ecuación de Euler-Lagrange es (sólo voy a escribir la correspondiente a la

coordenada x),1

dτ

(

∂L

∂x

)

−∂L

∂x= 0 (6.26)

Teniendo en cuenta la expresión de L, tenemos que esta ecuación se transforma

en1

dτ

(

n(

x2 + y2 + z2)−1/2x)

−(

x2 + y2 + z2)1/2 ∂n

∂x= 0

Si tenemos en cuenta las correspondientes expresiones para el resto de las va-

riables, podemos escribir en forma vectorial

1

dτ

(

n(

x2 + y2 + z2)−1/2 dr

dτ

)

−(

x2 + y2 + z2)1/2∇n = 0

Hasta ahora el párametro τ utilizado para describir el movimiento del punto a

lo largo de su trayectoria queda sin especificar. >Qué pasa si lo hacemos igual al

elemento de longitud ds a lo largo de la trayectorial real de la partícula ?. En este

caso(

x2 + y2 + z2)1/2 = ds/dτ= 1

5Voy a utilizar por sencillez coordenadas cartesianas, en el caso más general ds =√

gi j dg i dg j

de tal forma que ds/dτ =√

gi j g i g j


y por tanto1

ds

(

ndr

ds

)

−∇n = 0

que coincide con la ecuación 6.21 obtenida anteriormente.

Ejemplo 6.6 Aplicar el principio de mínima acción al caso de problema de Kep-

pler

SOLUCCIÓN

Vamos a aplicar en este ejemplo los resultados obtenidos en la segunda parte

del ejemplo anterior. Ahora n =p

2(E −V ) siendo

V (r) =–GMm

r=

−k2m

r

Supuesto que la órbita es plana (nos lo garantiza la conservación del momento

angular al ser un problema de fuerzas centrales), el elemento de longitud vale

ds =√

Ti j dq i dq j = m√

dr 2 + r 2dθ2

En esta ocasión, vamos a utilizar como párametro τ la variable θ de tal forma

que

ds =√

Ti j dq i dq j = m√

dr 2 + r 2dθ2 = m√

r ′2 + r 2dθ

siendo r ′ = dr/dθ por lo que el principio de Maupertuis toma la forma

δ

∫

√

2m(E +k2m

r)(r 2 + r ′2)dθ= δ

∫

L(r, r ′)dθ

siendo el lagrangiano L

L(r, r ′) =

√

2m(E +k2m

r)(r 2 + r ′2).

Como sabemos, la solucción del anterior problema variacional viene dada por


las ecuaciones de Euler–Lagrange

d

dθ

∂L

∂r ′−∂L

∂r= 0

Sin embargo, en vez de tratar de resolver esta ecuación diferencial directamente,

vamos a aprovechar la existencia de una integral primera del sistema. Puesto

que θ ha tomado el papel que jugaba el tiempo en el principio de Hamilton,

podemos definir un nuevo ’hamiltoniano’, mediante la expresión

h = r ′∂L

∂r ′−L

en la que r ′ desempeña el papel de velocidad generalida (similar al q) y ∂L/∂r ′

desempeña el papel de momento generalizado (similar al ∂L/∂q). Al igual que

pasa con el hamiltoniano usual, se verifica que

dh

dθ=

∂h

∂θ=−

∂L

∂θ

Ahora bien puesto que θ no aparece explicitamente en la función L, al igual que

sucede cuando t no está en el lagrangiano, h es una constante del movimiento

y por tanto, tenemos

r ′∂L

∂r ′−L =C

Sustituyendo√

2m(E +k2m/r)

r 2 + r ′2r 2 =−C .

Teniendo en cuenta que r = r ′θ, es posible demostrar que la constante −C es

igual al momento angular L . Reordenando

(

dr

dθ

)2

=2mr 2

C 2

(

Er 2 +k2mr −C 2

2m

)


θ=C

p2m

∫

dr

rp

Er 2 +k2mr −C 2/2m.


Integrando, tomando como origen de coordenadas la posición del perigeo6

θ= sen−1(

k2mr −C 2/m

rp

k4m2 +2EC 2/m

)

−π

2

reordenanado se obtiene

r =C 2/k2m2

1+p

1+2EC 2/k4m3 cosθ.

Teniendo en cuenta que la ecuación polar de la elipse es

r =a(1− e2)

1+ e cos v

siendo a el semieje mayor, e la excentricidad y v la anomália verdadera (ángulo

medido a partir del perigeo), se tiene que la excentricidad e vale,

e =√

1+2EC 2/k4m3

y p = a(1− e2) =C 2/k2m2

Ejemplo 6.7 Calcular el hamiltoniano de una partícula de masa m sometida a

una fuerza conservativa referido a un sistema no inercial.

SOLUCCIÓN Considerar un sistema inercial O′ y un sistema no inercial O cuyo

origen se mueve con velocidad v0 respecto del sistema inercial a la vez que ro-

ta con velocidad ω respecto del mismo sistema. Considerar un punto de masa

m cuya posición viene dada por R en el sistema inercial y por r en el sistema

no inercial. Como es bien sabido las velocidades en el sistema inercial va y no

6En el perigeo y en el apogeo, la componente radial de la velocidad es nula, por lo que la energíatotal E vale

E =1

2mv2

θ −k2m

r=

1

2mr 2

0 θ20 −

k2m

r

lo que hace que el valor de la integral en el perigeo sea π/2


Figura 6.2:

inercial v del punto P están relacionadas mediante la expresión

va = va0 +v+ω×r

siendo va0 la velocidad en el sistema inercial del punto P y ω la velocidad angular

del sistema de referencia no inercial respecto del sistema de referencia inercial.

Se supone que las velociades va0 y ω son funciones conocidas del tiempo.

La lagrangiana del sistema en el sistema de referencia inercial viene dada

por la expresión

L =1

2m(va )2 −V (R)

Sustituyendo la expresión para va obtenemos

L =1

2m(va

0 +v+ω×r)2 −V (r)

elevando al cuadrado obtenemos,

L =1

2mv2 +

1

2m(va

0 )2 +1

2m(ω×r)2 +mv0 · (v+ω×r)+mv · (ω×r)−V (r)

El término (ω×r)2 = (ω×r) ·(ω×r) se puede considerar como el producto mixto

a · (b×c), siendo a = (ω×r), b =ω y c= r. Teniendo en cuanta que

a · (b×c) = c(a×b)

tenemos

(ω×r) · (ω×r) = r · (ω×r×ω) =−r · (ω× (ω×r))


y el triple producto mixto lo podemos poner como

ω× (ω×r) =ω(ω ·r)−rω2

por lo que

(ω×r)2 =−r · (ω× (ω×r)) =−r · (ω(ω ·r)−rω2) = r 2ω2 − (ω ·r) · (r ·ω) =ωIω

siendo I= r 2I− rr el tensor de inercia del punto respecto del origen del sistema

no inercial. De acuerdo con la reglas del producto mixto, el término

mv · (ω×r)

lo podemos poner como

mω · (r×v) =ω ·L

siendo L el momento angular relativo.

Por otra parte tenemos,

v+ω× r =(

dr

dt

)

no inercial+ω× r =

(

dr

dt

)

inercial

por lo que el término

mv0 · (v+ω×r)

lo podemos poner como

mv0 · (v+ω×r) = mv0 ·(

dr

dt

)

inercial= m

(

dv0 ·r

dt

)

inercial−mr ·a0

siendo a0 = dv0/dt la aceleración del punto origen del sistema movil.

De todo lo anterior podemos poner para la lagrangiana

L =1

2mv2 +

1

2ωIω−mr ·a0 +mω ·L +

1

2mv2

0 +m

(

dv0 ·r

dt

)

inercial−V (r)

Ahora bien el término

v20


es una función conocida del tiempo, por lo que en principio se puede poner

como la derivada con respecto al tiempo de una cierta función F (t ), por lo que

L =1

2mv2 +

1

2ωIω−mr ·a0 +mω ·L +

1

2m

dF

dt+m

(

dv0 ·r

dt

)

inercial−V (r)

Ahora bien sabemos que dos lagrangianas que difieran únicamente en la de-

rivada respecto del tiempo de una cierta función son equivalentes, por lo que

podemos eliminar de la lagrangiana los términos

1

2m

dF

dt+m

(

dv0 ·r

dt

)

inercial

resultando entonces

L′ =1

2mv2 +

1

2ωIω−mr ·a0 +mω ·L −V (r) (6.27)

Vamos a considerar a esta expresión como lagrangiano referido al sistema mo-

vil. Partiendo del principio de Hamilton, el sistema se mueve a lo largo de una

trayectoria que hace estacionaria la función principal de Hamilton

∫

L(r,v, t )

independientemente del sistema de referencia elegido (una vez elegida de for-

ma conveniente la lagrangiana). Del principio de Hamilton, obtuvimos como

ecuaciones del movimiento

d

dt

(

∂L

∂v

)

−(

∂L

∂r

)

= 0

donde el operador d/dt está referido al sistema movil. Vamos a aplicar las ante-

riores ecuaciones a tres casos diferentes

a.- Supongamos que a0 = 0 y ω= 0, esto es el sistema movil se mueve en movi-

miento de translacion con velocidad uniforme, en estas condiciones

L′ =1

2mv2 −V (r)


de donde vemos que la expresión del lagrangiano es el mismo que respec-

to del sistema inercial, y por tanto las ecuaciones que se obtiene de ellas

serán identicas a las obtenidas en el sistema inercial. Obtenemos pues el

principio de Galileo. Las ecuaciones del movimiento son identicas respec-

to de sistemas que esten moviendose uno respecto del otro en movimien-

to de translación unifome

b.- Suponer ahora que únicmante ω= 0, el sistema se mueve con movimiento

de translación no uniforme en este caso

L′ =1

2mv2 −mr ·a0 −V (r)

lo que equivale a sustituir el potencial V (r) por V ′(r) = r ·a0 +V (r) por lo

que las ecuciones del movimiento resultan

mdv

dt=−ma0 −∇V = F−ma0

esto es reproducimos las ecuaciones de Newton con una fuerza igual a la

fuerza aplicada menos la fuerza inercial.

c.- Supongamos que ω es constante, por lo que

L′ =1

2mv2 +

1

2ωIω−mr ·a0 +mω ·L −V (r)

teniendo en cuanta que mω ·L = mω · (r×v) = mv(ω×r), tenemos

∂L′

∂v= mv+m(ω×r)

yd

dt

∂L′

∂v= m

dv

dt+m(ω×v)

así mismo,∂L′

∂r=

1

2

∂

∂r(ωIω)−ma0 +m(v×ω)−∇V (r).


De la expresión del tensor de inercia

∂

∂r(ωIω) =

∂

∂rm[ω2rr− (ω ·r)(r ·ω)]

= m[2ω2r−ω(r ·ω)− (ω ·r)ω]

= 2m[ω2r−ω(ω ·r)]

= −2mω× (ω×r)


∂L′

∂r=−mω× (ω×r)−ma0 +m(v×ω)−∇V (r)

de donde las ecuaciones de Lagrange, resultan

mdv

dt+m(ω×v)+mω× (ω×r)+ma0 −m(v×ω)+∇V (r) = 0

esto es

mdv

dt=−∇V (r)−mω× (ω×r)−ma0 −2m(ω×v) (6.28)

que son las ecuaciones correspondientes al teorema de Coriolis para el

movimiento respecto de un sistema no inercial que se mueve con veloci-

dad angular constante.

De las anteriores ecuaciones se deduce que el momento generalizado vale

p =∂L′

∂v= mv+m(ω×r) (6.29)

La velocidad de la partícula respecto de un sistema que se mueve respecto del

sistema inercial en movimiento de translación vale

v′ = v+ω×r

por lo que el momento de la partícula respecto de este sistema vale

p′ = mv′ = mv+mω×r = p


A partir de las ecuaciones que definen el hamiltoniano, tenemos

H = p ·v−L = mv2 +mv · (ω×r)−[

1

2mv2 +

1

2ωIω−mr ·a0 +mω ·L −V (r)

]

=

1

2mv2 −

1

2ωIω+mr ·a0 +V (r)


v =1

m[p−m(ω×r)]

sustituyendo

H =1

2mp2 +

1

2(ω×r)2 −p · (ω×r)−

1

2ωIω+mr ·a0 +V (r)

teniendo en cuenta, según demostramos antes que

1

2(ω×r)2 =

1

2ωIω

llegamos a

H =1

2mp2 −p · (ω×r)+mr ·a0 +V (r)

Un observador en el sistema movil, que no conociese su estado de movimiento

escribiria para el hamiltoniano

H ′ =1

2mp2 +V (r)

debido al hecho que el sitema es no inercial, debemos de modificar el anterior

hamiltoniano para obtener el hamiltoniano correcto

H = H ′−p · (ω×r)+mr ·a0


p · (ω×r) =ω(r×p) =ω ·L

tenemos

H = H ′+mr ·a0 −ω ·L (6.30)


si a0 = 0

H = H ′−ω ·L =1

2mp2 +V (r)−ω ·L (6.31)

Se puede considerar a este hamiltoniano, como el hamiltoniano en un sistema

de referencia inercial pero con un potencial efectivo dado por

V ′(r)= V (r)−ω ·L

así pues el hamiltoniano de una partícula material en un sistema de referencia

no inercial es el correspondiente al inercial solo que sometido a un potencial

efectivo dado por la expresión 6.7

Podemos aplicar la anterior ecuación al caso de una partícula cargada de

masa m sometida a un campo magnético B uniforme. Como vimos en secciones

anteriores el hamiltoniano de una partícula en un campo electromagnético vale,

H ′ =1

2m(p−

q

cA)2 +qφ(r)

por lo que en el sistema movil vale

H =1

2m(p−

q

cA)2 +qφ(r)−ω ·L

Para que B sea constante podemos elegir el potencial vector de la forma

A =−1

2(r×B)

por lo que

H =1

2m(p+

q

c

1

2(r×B))2+qφ(r)−ω·L =

1

2mp2+

1

2

q

2mc(r×B)2+

q

2mcp·(r×B)+qφ(r)−p·(ω×r) =

=1

2mp2 +

1

2

q

2mc(r×B)2 +qφ(r)+p ·

[ q

2mc(r×B)+ (r×ω)

]

elijamos ω de tal forma que

ωL =−q

2mcB

o sea que el sistema rotante tenga el eje de rotación a lo largo del campo unifor-

me y el sentido de giro se oponga al campo uniforme aplicado. Esta frecuencia


recibe el nombre de frecuencia de LARMOR. En estas condiciones

H =1

2mp2 +qφ(r)+

1

2(r×ωL)2,

tomando como sistema de coordenadas uno en el que uno de los ejes vaya a lo

largo del campo B, tenemos

H =1

2mp2 +qφ(r)+

1

2ω2

Lr 2⊥

siendo r⊥ el radio vector perpendicular al tercer eje. Supuesto que ωL sea muy

pequeña, podemos despreciar el término cuadrático y por tanto

H =1

2mp2 +qφ(r)

donde ya no aparece el campo magnético B. Así pues podemos anular el cam-

po magnetico moviendonos con una velocidad angular de rotación dada por la

expresión

ωL =−q

2mcB

si q es negativo ωL tiene el mismo signo que el campo B.

Podemos imaginar que el campo magnético se lo aplicamos a un electrón

que gira en el campo eléctrico de un núcleo. Podemos suponer que el electrón

realiza una órbita circular. Según acabamos de ver podemos anular el efecto del

campo magnético moviendonos nosotros en un sistema de referencia que gira

con la frecuencia de Larmor en la dirección del campo magnético o lo que es

lo mismo, la órbita gira en sentido contrario respecto de nosotros. Así pues la

aplicación de un campo magnético tiene como resultado la precesión de la ór-

bita del electrón en sentido contrario a la del campo manético aplicado y cuya

frecuencia de precesión viene dada por la frecuencia de Larmor.


6.8. Una introducción a la mecánica lagrangiana para me-

dios continuos

Hasta el momento se ha considerado que en la definición de la acción, el La-

grangiano dependía de una sola variable independiente t . Se puede extender de

forma natural los resultados anteriores al caso de que el Lagrangiano depende

de varias variables independientes, esto es podemos tener un Lagrangiano de la

forma

L (q(x, t ),∂q

∂x,∂q

∂t, x, t )

En este caso, el principio de Hamilton se expresa de la siguiente manera,

δ

∫

L dxdt = 0 (6.32)

y la ecuación de Euler-Lagrange viene dada por la expresión

∂L

∂q−

∂

∂x

(

∂L

∂∂q

∂x

)

−∂

∂t

(

∂L

∂∂q

∂t

)

= 0 (6.33)

Una de las situaciones en las que aparece un Lagrangiano de este tipo es al es-

tudiar los medios continuos. En este caso pasamos de estudiar un problema de

n grados de libertad donde la configuración del mismo viene expresada por n

variables q1, q2, . . . , qn a estudiar un problema con infinitos grados de libertad en

donde la configuración del sistema viene expesada por una ecuación de la for-

ma q(x), siendo x un parámetro que nos etiqueta cada partícula del continuo.

En este caso, la lagrangiana se expresa como

L =∫

L dx

siendo L la densidad lagrangiana.

Ejemplo 6.8 Obtener las ecuaciones del movimiento mediante la aplicación del

principio de Hamilton, de un hilo extensible de longitud muy grande tensionado

6.8 Una introducción a la mecánica lagrangiana para medios continuos153

uniformemente entre dos puntos A,B situados a los largo del eje x. Suponed que

el hilo solo puede moverse a lo largo del eje y

SOLUCCIÓN

Vamos a considerar un hilo que en reposo está situado a lo largo del eje x entre

dos puntos A y B y que lo perturbamos deformandolo ligeramente, ver la figura

6.3 Soltamos el hilo y dejamos que se mueva suponiendo despreciable los efec-

A B

Figura 6.3:

tos de bordes al suponer que los punto A y B estan muy alejados uno del otro.

Como estamos suponiendo que el hilo se mueve en el eje vertical, la energía

cinética de un elemento de masa del hilo vale

∆T =1

2∆m

(

∂y

∂t

)2

y la energía cinética total

T =∫

1

2∆m

(

∂y

∂t

)2

Ahora aparece una derivada parcial porque para cada elemento del hilo la ve-

locidad vertical puede ser diferente. El cálculo de la energía potencial es algo

más complicado. Cada elemento del hilo se ve sometido a una tensión τ hacia

su derecha y una tensión τ hacia su izquierda (excepto obviamente en los ex-

tremos). Sea δs el incremento producido en el elemento del hilo a cuenta de

la tensión. Podemos suponer que cada tensión (que suppondremos uniforme)

produce una estiramiento δs/2. Así pues el trabajo realizado por la tensión del

hilo vale

∆W = 2τδs/2 = τδs

Veamos cuanto se ha estirado. Si inicialmente la longitud del elemento es ∆x,


cuando lo hayamos deformado su longitud será

∆s =√

∆x2 +∆y2 =

√

1+∆y2

∆x2∆x =

√

1+(

∂y

∂x

)2

∆x

Puesto que estamos suponiendo que la deformación es pequeña, la pendiente

de la curva que forma el hilo es pequeña y por tanto podemos desarrollar en

serie el término correspondiente a la raiz cuadrada, de tal forma que

∆s ≈ (1+1

2

(

∂y

∂x

)2

)∆x

y por tanto la deformación δs =∆s −∆x vale

δs =1

2

(

∂y

∂x

)2

δx

y el trabajo

∆W = τ1

2

(

∂y

∂x

)2

δx

Cuando consideremos el trabajo realizado sobre todo el hilo, este valdrá

W =∫

τ1

2

(

∂y

∂x

)2

dx (6.34)

Este trabajo se almacenerá en forma de energía potencial elástica y por tanto

V =∫

τ1

2

(

∂y

∂x

)2

dx

Una vez obtenida el potencial, el lagrangiano vale

L =∫

1

2∆m

(

∂y

∂t

)2

−∫

τ1

2

(

∂y

∂x

)2

dx

Puesto que la masa del hilo no cambia, podemos suponer que ∆m =λ∆x, sien-

do λ la densidad lineal de masa. Así pues,

L =1

2

∫[

λ

(

∂y

∂t

)2

−τ

(

∂y

∂x

)2]

dx

6.8 Una introducción a la mecánica lagrangiana para medios continuos155

y la acción

S =∫

L dxdt =1

2

∫∫[

λ

(

∂y

∂t

)2

−τ

(

∂y

∂x

)2]

dxdt

Así pues

L =[

λ

(

∂y

∂t

)2

−τ

(

∂y

∂x

)2]

De donde la ecuación de Euler–Lagrange es

λ∂2 y

∂t 2−τ

∂2 y

∂x2= 0

que no es otra cosa que la ecuación de ondas cuya velocidad de fase es

c2 =τ

λ


Capítulo 7

Teoría de transformaciones

7.1. Transformaciones de Contacto

El origen de las transformaciones de contacto se puede encontrar en una

celebre memoria sobre óptica que Hamilton presentó a la Royal Iris Academy

en 1824. Los principios que alli se introdujeron fueron luego transportados al

campo de la dinámica. Esta extensión de la óptica a la mecánica no debe de

extrañarnos pues según hemos visto en el capítulo anterior podemos conside-

rar que el comportamiento de un sistema dinámico viene caracterizado por el

movimiento de un punto en el espacio de las configuraciones cuya trayectoria

la podemos obtener a partir del principio de Maupertois. Así mismo en óptica,

la trayectoria seguida por un rayo se puede determinar a partir del principio de

Fermat. Vimos que podiamos identificar ambos principios haciendo correspon-

der el índice de refracción n(x, y, z) con la cantidadp

2(E −U).

En la época en la que Hamiltón presentó su memoria a la academia irlande-

sa este resultado no estrañó demasiado pues todavía tenia cierto peso la teoría

corpuscular de la luz. Ahora bien el principio de Fermat sigue siendo válido en

la teoría ondulatoria de la luz. En esta teoría podemos describir la propagación

de la luz bien como rayos luminosos bien como frentes de ondas siendo los pri-

meros ortogonales a los segundos en cada punto del espacio1. De acuerdo con

1En realidad una descripción de la luz en términos de rayos y frentes de ondas constituye unlímite para longitudes de onda muy cortas de la teoría más general definida por la ecuación de

158 Capítulo – 7. Teoría de transformaciones

la teoría introducida por Huygens y posteriormente ampliada por Fresnel pode-

mos considerar a los frentes de ondas como una perturbación del medio, que

en un instante determinado t forma una superficie σ. Cada elemento de está

superficie se puede considerar como centro emisor de ondas secundarias que

se propagan en el espacio, de tal forma que la perturbación que se originó en el

punto (x, y, z) se extenderá sobre una cierta superficie (ver la figura 7.1, nótese

que la notación usada en la figura es la inversa de la usada en el texto. En la fi-

gura V (xt , x0) da la posición del frente emanado desde el punto x0 al cabo de un

tiempo t. En el texto esta superficie aparece como V (x0, xt ), aparece primero el

punto de donde emanan las ondas y despues el punto donde llegan.)

x0

V(xs,x0)

V(xt,x0)

xs V(xt,xs)

Figura 7.1:

Para obtener la ecuación de esta superficie, debemos de observar que el

tiempo que tarda la luz en ir de un punto (x, y, z) a otro (x ′, y ′, z ′) depende úni-

camente de las seis cantidades (x, y, z, x ′, y ′, z ′), denominemos a esta cantidad

V (x, y, z, x ′, y ′, z ′) que fué llamada por Hamilton función característica2 Una per-

turbación que se origina en un punto (x, y, z) en un instante t se extenderá en

un instante t ′ posterior a lo largo de una superficie cuya expresión en terminos

ondas2De acuerdo con el principio de Fermat la luz va de un punto (x, y, z) a otro (x′, y ′, z′) de tal

forma que la integral∫x′,y ′,z′

x,y,zdt

sea mínima. Lo que significa que esta integral depende únicamente de los puntos inicial y finalno del camino seguido.

7.1 Transformaciones de Contacto 159

de (x ′, y ′, z ′) es

V (x, y, z, x ′, y ′, z ′) = t ′− t =∫x′,t ′

x,tdt ∼

∫x′,t ′

x,tnds (7.1)

Ahora bien, de acuerdo con el principio de Huygens–Fresnel, el frente ondas

que representa a la perturbación completa en el instante t ′ es la envolvente de

la onditas generadas a lo largo del frente de ondas en el instante t . Llamemos Σ

a este nuevo frente de ondas, caracterizado por la función V (x0, y0, z0, x ′, y ′, z ′),

siendo x0, y0, z0 el punto emisor del frente de ondas. Sean (l , m, n) los cosenos

directores de la normal al frente de ondas σ (caracterizado por la superficie

V (x0, y0, z0, x, y, z)) en el punto x, y, z, esto es los cosenos directores del rayo en

el punto (x, y, z)3. Sean (l ′, m′, n′) los cosenos directores de la normal al frente de

ondas Σ el punto (x ′, y ′, z ′) siendo el punto (x ′, y ′, z ′) el punto en que el frente Σ

es tangente a las ondistas generadas en (x, y, z), diremos entonces que los pun-

tos (x, y, z) e (x ′, y ′, z ′) son correspondientes. De la teoría general de envolventes,

puesto que Σ es la envolvente de las superficies V (x, y, z, x ′, y ′, z ′) generadas en

los puntos (x, y, z) de la superficie σ, se debe de verificar que,

∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)

∂xdx +

∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)

∂yd y +

∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)

∂zdz = 0

donde el vector desplazamiento dr de componentes dx, d y, dz se debe hacer a

lo largo de la superficie σ, en estas condiciones, se verifica también que

ldx+md y +ndz = 0

puesto que l , m, n son las componentes de un vector unitario ortogonal al fren-

te de ondas σ, esto es a la superficie V (x0, y0, z0, x, y, z) en (x, y, z). Para que se

cumplan a la vez las dos ecuaciones anteriores, se debe de verificar que

1

l

∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)

∂x=

1

m

∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)

∂y=

1

n

∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)

∂z(7.2)

3Por simplicidad supondremos que el medio en el que se propagan los rayos es isótropo, encuyo caso los rayos son normales a los frentes de ondas. En medios no isótropos esto no es cierto


Ademas en el punto (x ′, y ′, z ′) de contacto entre la ondita y el frente de onda el

rayo es normal a ambas superficies por lo que

1

l ′∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)

∂x ′ =1

m′∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)

∂y ′ =1

n′∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)

∂z ′ (7.3)

Un rayo que pasa por el punto (x, y, z) en la dirección (l , m, n) en el instante t ,

pasa por el punto (x ′, y ′, z ′) en la dirección (l ′, m′, n′) en el instante t ′, estas 6

últimas cantidades se pueden obtener a partir de las ecuaciones 5 ecuaciones

(7.1) a (7.3) junto con la ecuación

l ′2 +m′2 +n′2 = 1 (7.4)

Así pues el comportamiento del rayo está completamente especificado por un

única función

V (x, y, z, x ′, y ′, z ′).

Podemos observar que las anteriores ecuaciones son ecuaciones algebráicas no

ecuaciones diferenciales, por lo que ellas dan, en forma integrada, los cambios

sufridos en una haz de rayos después de que haya transcurrido un intervalo fi-

nito de tiempo.

Desde el punto de vista matemático, podemos considerar al paso de las va-

riables (x, y, z, l , m, n) a las variables (x ′, y ′, z ′, l ′, m′, n′) o para expresarlo geo-

métricamente de las superficies σ a las superficies Σ, como una transformación.

La función V puede por tanto caracterizar la transformación de las superficies

σ en las superficies Σ o del conjunto de variables (x, y, z, l , m, n) en el conjun-

to de variables (x ′, y ′, z ′, l ′, m′, n′). Si dos superficies σ se tocan en un punto, las

superficies transformadas Σ se tocan en el punto correspondiente al punto de

contacto de las superficies σ. Por esta razón, Sophus Lie denominó a este tipo

de transformación transformaciones de contacto.

Siguiendo con el razonamiento de Hamilton, las ecuaciones (7.2) y (7.3) las

podemos poner como

∂V∂x

= kl ∂V∂y

= km ∂V∂z

= kn

∂V∂x ′ = k ′l ′ ∂V

∂y ′ = k ′m′ ∂V∂z ′ = k ′n′


donde k, k ′ son cantidades a determinar. De las anteriores ecuaciones

dV = k(ldx+md y +ndz)+k ′(l ′dx ′+m′d y ′+n′dz ′)

Si ahora si hacemos un cambio ds′ a lo largo del rayo en (x ′, y ′, z ′) incrementa-

mos V en el tiempo tomado por el rayo en recorrer ds′, esto es

dV = ds′/v =1

cµ′ds′ =

1

cµ′(l ′2 +m′2 +n′2)ds′ =

1

cµ′(l ′dx ′+m′d y ′+n′dz ′)

de donde se deduce que k ′ =µ′/c , siendo µ′ el índice de refracción del medio en

el punto (x ′, y ′, z ′). Lo mismo sucede ahora en el punto (x, y, z) solo que el tiem-

po se disminuirá en una cantidad similar, por lo que salvo el factor constante

1/c

dV =µ′(l ′dx ′+m′d y ′+n′dz ′)−µ(ldx +md y +ndz) (7.5)

Esta ecuación no muestra que el movimiento del rayo entre los punto (x, y, z)

y (x ′, y ′, z ′) se realiza de tal forma que la forma de Paff, dada por el miembro

de la derecha de la anterior ecuación es la diferencial exacta de una función.

Llamando

µl = ξ, µm = η, µn = ζ, µ′l ′ = ξ′, µ′m′ = η′, µ′n′ = ζ′

tenemos

dV = ξ′dx ′+η′d y ′+ζ′dz ′−ξdx −ηd y −ζdz. (7.6)

Considerar ahora el caso en que el tiempo t ′− t es muy pequeño, en cuyo

caso la transformación de contacto se llama transformación de contacto infini-

tesimal, en esa situación,

x ′ = x +α∆t y ′ = y +β∆t z ′ = z +γ∆t

ξ′ = ξ+u∆t η′ = η+v∆t ζ′ = ζ+w∆t

V = W∆t

de donde

dW = udx +vd y +wdz +ξdα+ηdβ+ζdγ


o

d(−W +ξα+ηβ+ζγ) =αdξ+βdη+γdζ−udx −vd y −wdz

llamando H = ξα+ηβ+ζγ−W llegamos a

dH =αdξ+βdη+γdζ−udx −vd y −wdz

en el límite cuando ∆t → 0 tenemos que α= dx/dt , etc., por lo que

dH =dx

dtdξ+

d y

dtdη+

dz

dtdζ−

dξ

dtdx −

dη

dtd y −

dζ

dtdz

y por tantodxdt = ∂H

∂ξd y

dt = ∂H∂η

dzdt = ∂H

∂ζ

dξdt

=−∂H∂x

dηdt

=−∂H∂y

dζdt

=−∂H∂ζ

(7.7)

que coincide con el sistema hamiltoniano de ecuaciones tal y como ocurre en di-

námica. Por lo tanto el anterior desarrollo muestra que el sistema hamiltoniano

se puede considerar que representa una transformación de contacto infinitesi-

mal, esto es el movimiento de un frente de ondas de una posición a otra infinita-

mente próxima. La integral de este sistema hamiltoniano viene dada por las ex-

presiones (7.1), (7.2),(7.3),(7.4) obtenidas anteriormente y que representan una

tranformación de contacto fínita. Vemos por tanto como Hamilton, empleando

la teoría ondulatoria de la luz, obtuvo una forma integrada de las ecuaciones de

la dinámica que depende de una única función, la la función caracteristica de

Hamilton V (x, y, z, x ′, y ′, z ′), que hemos visto que podemos poner como

V =∫

nds

y dada la similitud entre dinámica y óptica equivale a la acción reducida

S0 =∫

∑

i

pi dq i

así mismo puesto que ξi = ∂V /∂x ′ i y pi = ∂S0/∂q i podemos identificar a ξi con

los momentos pi .


7.1.1. Transformaciones de contacto para un número cualquiera de

dimensiones

Las anteriores demostraciones se han hecho en un espacio de tres dimen-

siones. Vamos a extender los anteriores conceptos, en particular la expresión

7.6, a un espacio de n dimensiones. Para ello consideremos un espacio de 2n di-

mensiones. Sean (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn ) un conjunto de 2n variables y sean

(Q1,Q2, . . . ,Qn ,P1,P2, . . . ,Pn ) otro conjunto de 2n variables definidas en térmi-

nos del conjunto inicial. Si las ecuaciones que conectan los dos conjunto de va-

riables son tales que la forma diferencial

P1dQ1 +P2dQ2 + . . .+Pn dQn −p1dq1 −p2dq2 −pn dqn

es, cuando se expresen en terminos de (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn)y sus diferen-

ciales, la diferencial exacta de una función de (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn ), se di-

ce entonces que la transformación entre (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn) y (Q1,Q2, . . . ,Qn ,P1,P2, . . . ,Pn )

es una transformación de contacto. Si las n variables (Q1,Q2, . . . ,Qn) dependen

únicamente del conjunto (q1, q2, . . . , qn) la transformación de contacto es lla-

mada una transformación puntual extendida y las ecuaciones que conectan las

Q’s y las q’s es llamada una transformación puntual. A la vista del origen de

las transformaciones de contacto, (propagación del frente de ondas) podemos

considerar que la transformación que nos lleva de unas condiciones iniciales

(q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn)0 a una posición cualquiera (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn )

en un instante t se puede hacer mediante una transformación de contacto por

lo que

dV = (∑

i

pi dq i )t − (∑

i

pi dq i )t 0 = dS0

Está claro que dos transformaciones de contacto sucesivas es una transforma-

ción de contacto, que existe la transformación de contacto neutra y que existe

la transformación de contacto inversa, por lo que el conjunto de transforma-

ciones de contacto constituyen un grupo. A la vista de la forma en la que se

ha definido la transformación de contacto, transformación del conjunto de va-

riables (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn) en (Q1,Q2, . . . ,Qn ,P1,P2, . . . ,Pn ), el tiempo no

interviene de forma explicita, por lo que a partir de esta transformación, sola-


mente podemos obtener la ecuación de la trayectoria. Podemos considerar una

transformación algo más general que nos lleve de (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn , t )

a (Q1,Q2, . . . ,Qn ,P1,P2, . . . ,Pn ), en cuyo caso para que sea una transformación de

contacto se debe de verificar que

∑

i

Pi dQi −∑

i

pi dq i = dV +Udt

7.2. Formulas explicitas para las transformaciones de con-

tacto

Consideremos una transformación de las variables

q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn

a las variables

Q1,Q2, . . . ,Qn ,P1,P2, . . . ,Pn

definidas por un conjunto de funciones

Qr = ϕr (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn , t ), r = 1, . . . , n (7.8)

Pr = ϕn+r (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn , t ), r = 1, . . . , n (7.9)

siendo ϕ de clase C 2. Para cada t , el conjunto anterior de ecuaciones representa

una aplicación de una dominio D sobre un dominio Et . Puesto que la transfor-

mación es reversible es posible despejar las variables (q, p) en términos de las

variables (Q,P),

qr = ψr (Q,P, t )

pr = ψn+r (Q,P, t )

Suponer que las transformaciones anteriores son de contacto, en estas condi-

ciones∑

r

Pr dQr −∑

r

pr dqr = dV (q,p, t )+Udt (7.10)

7.2 Formulas explicitas para las transformaciones de contacto 165

dada nuestras hipótesis, las funciones U y V dependen de (q,p, t ). Vamos a su-

poner diferentes casos

Suponed que el conjunto de variables Q, q son independientes, en estas

condiciones, si queremos pasar de las variables p, q a la variables Q, q, el

jacobiano

∂(Q1,Q2, . . . ,Qn , q1, q2, . . . , qn)

∂(q1, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn)=−(1)n ∂(Q1,Q2, . . . ,Qn)

∂(p1, p2, . . . , pn)(7.11)

debe de ser diferente de cero. El hecho de que el jacobiano del miembro de

la derecha sea distinto de cero permite que en el grupo de ecuaciones (7.8)

podemos despejar las pr en términos de qr ,Qr , t , siendo las variables qr y

Qr independientes4. Este tipo de transformaciones de contacto se llaman

transformaciones de contacto libres. Sustituyendo en la definición de las

Pr , obtenemos que la forma de Paff (7.10) toma la forma

∑

r

Pr dQr −∑

r

pr dqr = dW 1(q,Q, t )+Udt (7.12)

siendo W 1(q,Q, t ) = V (q,p, t ) de donde, dada la independencia entre q y

Q, tenemos

pr = −∂W 1(q,Q, t )

∂qrr = 1, . . . , n (7.13)

Pr =∂W 1(q,Q, t )

∂Qrr = 1, . . . , n (7.14)

U = −∂W 1(q,Q, t )

∂t(7.15)

a partir del conjunto de ecuaciones (7.13) podemos despejar las variables

Qr , para lo cual debemos de suponer que el Hessiano

∂2W 1(q,Q, t )

∂qr∂Qs

es distinto de cero, como función de (qr , pr , t ). Sustituyendo en las expre-

4Hemos de notar que el conjunto de varialbes no cosntituyen un sistema de coordenadas delespacio de fases, si no del producto cartesiano Rn

q ×RnQ


siones ( 7.14) obtenemos las expresiones para Pr . Así pues si conociese-

mos la expresion de W 1(q,Q, t ) conoceriamos las ecuaciones de transfor-

mación. A la funcion W 1(q,Q, t ) se la denomina función generadora de la

transformación de contacto.

Reciprocamente, suponer que tenemos una función W 1(q,Q, t ), el con-

junto anterior de ecuaciones 7.13 – 7.16 definen una transformación de

contacto suponiendo que la matriz

(

∂2W 1(q,Q, t )

∂qr∂Qs

)

sea no singular. Efectivamente, en estas condiciones podemos despejar

las Qr del conjunto de ecuaciones (7.13) en términos de (q, p, t ) y susti-

tuirlas en (7.14) para obtener las Pr también en términos de (q, p, t ). Es

obvio que, de las definiciones 7.13 – 7.16, tenemos

∑

r

Pr dQr −∑

r

pr dqr =∑

r

∂W 1(q,Q, t )

∂QrdQr +

∂W 1(q,Q, t )

∂qrdqr =

= dW 1(q,Q, t )−∂W 1(q,Q, t )

∂tdt = dW 1(q,Q, t )+Udt

que cuando sustituyamos Qr como función de q, p, t nos dará una diferen-

cial exacta de una cierta función de (p, q, t ) por lo que la transformación

es de contacto. Para veer que es libre, si sustituimos la definición de Qr en

las ecuciones (7.13) estas se verificarán identicamente, por lo que

∂pr

∂ps|(q,p,t ) = δr

s =∂

∂ps

(

∂W 1(q,Q(q, p, t ), t )

∂qr

)

(q,p,t )=

∂

∂qr

(

∂W 1(q,Q(q, p, t ), t )

∂ps

)

(q,p,t )=

=∂

∂qr

(

∂W 1(q,Q(q, p, t ), t )

∂Qm

∣

∣

∣

∣

q

(

∂Qm

∂ps

)

(q,p,t )

)

=(

∂2W 1(q,Q(q, p, t ), t )

∂Qm∂qr

)

q,Q l ,t )

∂Qm

∂ps

puesto que de acuerdo con nuestras hipótesis la matriz

(

∂2W 1(q,Q, t )

∂qr∂Qm

)

7.2 Formulas explicitas para las transformaciones de contacto 167

es no sigular, la ecuacion anterior nos indica que la matriz

∂Qm

∂ps

es no signular lo que nos asegura que las ecuaciones (7.13–7.14) definen

una transformación de contacto libre.

Suponer que el Jacobiano (7.11) es cero, pero que al menos existe un me-

nor de orden n −k distinto de cero, esto significa que existen k funciones

que ligan las variables q,Q,

Ωs (q1, . . . , qn ,Q1,Q2, . . . ,Qn , t )= 0, s = 1, . . . , k (7.16)

en estas condiciones, de la ecuación (7.10) no se pueden obtener las ecua-

ciones (7.13–7.14) pues las q y Q no son independientes. Ahora bien deri-

vando en las Ω′s,

∂Ωs

∂q1dq1+. . .+

∂Ωs

∂qndqn+

∂Ωs

∂Q1dQ1+. . .+

∂Ωs

∂QndQn+

∂Ωs

∂tdt = 0, , s = 1, k

podemos multiplicar estas k ecuaciones por ciertos mutiplicadoresλ1 , . . . ,λk

y sumarlas a la ecuación que define la transformación de contacto (7.10),

obteniendo

∑

r

(

Pr +∑

s

λs∂Ωs

∂Qr

)

dQr −∑

r

(

pr −∑

s

λs∂Ωs

∂qr

)

dqr =

=∑

r

∂W 1

∂QrdQr +

∑

r

∂W 1

∂qrdqr +

(

U +∑

s

λs∂Ωs

∂t

)

dt (7.17)

eligiendo los λs de tal forma que los primeros k parentesis en dQr y dqr

se anulen identicamente obtenemos

pr = −∂W 1

∂qr−

∑

s

λs∂Ωs

∂qr(7.18)

Pr =∂W 1

∂Qr+

∑

s

λs∂Ωs

∂Qr(7.19)

U = −∂W 1

∂t−

∑

s

λs∂Ωs

∂t(7.20)


El anterior conjunto de (2n+1) ecuaciones junto con las k ecuaciones (7.19)

nos permiten obtener los k coeficientes λs junto con las 2n+1 funciones

Pr ,Qr y U.

7.3. Solucciones alternativas

En la sección anterior vimo como obtener una ecuación explicita de las trans-

formaciones de contacto cuando el jacobiano (7.11) es cero, ahora bien puede

que no sea cero el Jacobiano

∂(ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕn )

∂(q1, q2, . . . , qn)(7.21)

por lo que la transformación de contacto

∑

r

PdQr −∑

r

pr dqr = dW 1+Udt

la podemos poner como

∑

r

Pr dQr −∑

r

d(pqr )+∑

r

qr dpr = dW 1+Udt

de donde∑

r

Pr dQr +∑

r

qr dpr = dW 2+Udt (7.22)

siendo W 2 = W 1+∑

r pr qr la nueva función generadora de la transformación de

contacto. Despejando las qr ,Pr en términos de las Qr , pr llegamos a que

Pr =∂W 2(Q,p, t )

∂Qr(7.23)

qr =∂W 2(Q,p, t )

∂pr(7.24)

U = −∂W 2(Q,p, t )

∂t(7.25)

La anterior transformación se puede considerar como una transformación de

Legendre que nos permite pasar de la función W 1(q,Q, t ) a W 2(p,Q, t ). Pode-

7.3 Solucciones alternativas 169

mos pensar también en una transformación de Legendre que nos permita pasar

a una nueva función generadora W 3(q,P, t ) = W 1(q,Q, t )−∑

r PrQr , para ello

basta que pongamos la transformación de contacto en la forma

d(∑

PrQr )−∑

r

Qr dPr −∑

r

pr dqr = dW 1+Udt

por lo que

−∑

r

Qr dPr −∑

r

pr dqr = dW 3(q,P, t )+Udt (7.26)

y

Qr = −∂W 3(q,P, t )

∂Pr(7.27)

pr = −∂W 3(q,P, t )

∂qr(7.28)

U = −∂W 3(q,P, t )

∂t(7.29)

por último, podemos hacer una transformación de Legendre que afecto tanto a

la Q′s como a las q′s pasando a una nueva función generadora de la transfor-

mación de contacto W 4(p,P, t ) =W 1(q,Q, t )−∑

r PrQr +∑

r pr qr . En este caso la

transformación de contacto viene definida por la expresión

−∑

r

Qr dPr +∑

r

qr dpr = dW 4(p,P, t )+Udt (7.30)

y la forma explícita viene dada por la expresión

Qr = −∂W 4(p,P, t )

∂Pr(7.31)

qr =∂W 4(p,P, t )

∂pr(7.32)

U = −∂W 4(p,P, t )

∂t(7.33)


7.4. Relaciones entre las derivadas parciales de los dos con-

juntos de variables

Las diferentes relaciones anteriores que nos determinan si una transforma-

ción es de contacto las podemos resumir en

∑

r

Pr dQr −∑

s

ps dqs = dW 1(q,Q, t )+Udt

∑

r

Pr dQr +∑

s

qs dps = dW 2(p,Q, t )+Udt

−∑

r

Qr dPr −∑

s

ps dqs = dW 3(q,P, t )+Udt

−∑

r

Qr dPr +∑

s

qs dps = dW 4(p,P, t )+Udt

Para t fijo, los miembros de la derecha son diferenciales exactas, por lo que se

ha de verificar

∂Pr

∂qs=−

∂ps

∂Qr

∂Pr

∂ps=

∂qs

∂Qr(7.34)

∂Qr

∂qs=

∂ps

∂Pr

∂Qr

∂ps=−

∂qs

∂Pr(7.35)

Así mismo considerando la transformación W 1 como función de P,Q, tene-

mos

∑

r

Pr dQr−∑

s

ps

(

∑

r

∂qs

∂QrdQr +

∂qs

∂PrdPr

)

=∑

r

(

Pr −∑

s

ps∂qs

∂Qr

)

dQr−∑

r

(

∑

s

ps∂qs

∂Pr

)

dPr =

= dW 1(Q,P, t )+Udt

al igual que antes para t fijo, puesto que el término de la derecha es una diferen-

7.4 Relaciones entre las derivadas parciales de los dos conjuntos devariables 171

cial exacta, tenemos que se debe de verificar que

∂

∂Qs

(

∑

i

pi∂q i

∂Qr−Pr

)

=∂

∂Qr

(

∑

i

pi∂q i

∂Qs−Ps

)

∂

∂Ps

(

∑

i

pi∂q i

∂Pr

)

=∂

∂Pr

(

∑

i

pi∂q i

∂Ps

)

∂

∂Ps

(

∑

i

pi∂q i

∂Qr−Pr

)

=∂

∂Qr

(

∑

i

pi∂q i

∂Ps

)

de donde

∑

i

(

∂pi

∂Qs

∂q i

∂Qr−

∂pi

∂Qr

∂q i

∂Qs

)

= 0

∑

i

(

∂pi

∂Ps

∂q i

∂Pr−

∂pi

∂Pr

∂q i

∂Ps

)

= 0

∑

i

(

∂pi

∂Ps

∂q i

∂Qr−

∂pi

∂Qr

∂q i

∂Ps

)

= δrs

las anteriores expresiones definen los llamados paréntesis de Lagrange funda-

mentales, que podemos poner como

(Pr ,Ps )(p,q) =∑

i

(

∂pi

∂Ps

∂q i

∂Pr−∂pi

∂Pr

∂q i

∂Ps

)

(Qr ,Qs )(p,q) =∑

i

(

∂pi

∂Qs

∂q i

∂Qr−

∂pi

∂Qr

∂q i

∂Qs

)

(Pr ,Qs )(p,q) =∑

i

(

∂pi

∂Ps

∂q i

∂Qr−

∂pi

∂Qr

∂q i

∂Ps

)

y por tanto tenemos

(Pr ,Ps )(p,q) = 0 (7.36)

(Qr ,Qs )(p,q) = 0 (7.37)

(Pr ,Qs )(p,q) = δsr (7.38)


7.5. Algunos ejemplos de transformaciones de contacto

7.5.1. Transformación puntual

Considerar una transformación de contacto definida mediante una función

generadora de la forma

W 2(p,Q, t ) =∑

r

pr F r (Q)

siendo F r (Q) una función cualquiera de las Q’s. De las ecuaciones explícitas de

la transformación de contacto, tenemos

qs =∂W 2(Q,p, t )

∂ps= F s (Q)

lo que nos dice que la funcion generadora W 2, así definida, define una transfor-

mación puntual extendida, lo que corresponde en el lenguaje lagrangiano con

una transformación puntual. El resto de las variables las obtenemos a partir de

la expresión

Ps =∂W 2(Q,p, t )

∂Qs=

∑

r

pr∂F r

∂Qs

lo que nos dice que los nuevos momentos son una transformación covariante

de los antiguos.

7.5.2. Transformación identidad

Un caso interesante viene dada por la transformación cuya función genera-

dora viene dada por la expresión

W 3(q,P, t ) =−∑

r

qr Pr

en este caso, tenemos

pi = −∂W 3

∂q i= Pi

Qi = −∂W 3

∂Pi= q i

7.5 Algunos ejemplos de transformaciones de contacto 173

de donde vemos que W 3 es la función generadora de la transformación de con-

tacto identidad. Si hubiesemos tomado como función generadora la función W 3

más general

W 3 =−∑

r

F r (q, t )Pr

tendríamos para las ecuaciones explícitas

pi = −∂W 3

∂q i=

∑

r

∂F r

∂q iPr

Qi = −∂W 3

∂Pi= F r (q, t )

que constituye la ecuación de transformación puntual extendida que vimos en

la sección anterior.

7.5.3. Transformación de permutación

Otro caso interesante es aquel en el que

W 1(q,Q, t ) =∑

r

qrQr

en este caso

pi = −∂W 1

∂q i=−Qi

Pi =∂W 1

∂Qi= q i

en este caso vemos que se cambia el papel de las p’s y la q’s. Como veremos más

adelante las transformacines de contacto conservan invariante las ecuaciones

de Hamilton, esto es, las P’s y Q’s verificarán tambien las ecuaciones de Hamil-

ton. Vemos de la transformación de contacto anterior que los nuevos momentos

coinciden con las antiguas coordenadas y las nueva coordenadas coinciden con

los antiguos momentos por lo que la división entre coordenadas y momentos

deja de tener sentido en las ecuaciones de Hamilton.


7.5.4. Transformación de contacto infinitesimal

Considerar la función generadora W 3 obtenida a partir de la transformación

identidad

W 3(q,P, t )=−∑

qr Pr −M(q,P, t )

de donde tenemos

pi = −∂W 3

∂q i= Pi +

∂M

∂q i

Qi = −∂W 3

∂Pi= q i +

∂M

∂Pi

esto es

Pi = pi −∂M

∂q i

Qi = qi +∂M

∂Pi

Suponer que M(q,P, t ) lo podemos poner comoµϕ(q,P, t ) siendoµuna can-

tidad muy pequeña. En estas condiciones

Pi = pi −µ∂ϕ

∂q i

Qi = q i +µ∂ϕ

∂Pi

por lo que las P’s y las Q’s difieren en una cantidad muy pequeña respecto de las

p’s y q’s. En estas condiciones, despreciando términos de segundo orden en µ,

podemos considerar que

∂ϕ(q,P, t )

∂Pi=ψ(q,P, t ) =ψ(q, p +µϕ′, t )≈ψ(q, p, t )+µ

∂ψ

∂p

de donde

µ∂ϕ(q,P, t )

∂Pi=µψ(q, p, t )+µ2 ∂ψ

∂p

7.6 Teorema de Liouville 175

por lo que en primer orden,

µ∂ϕ(q,P, t )

∂Pi=µψ(q, p, t )=µ

∂ϕ(q,p, t )

∂pi

por lo que

Pi = pi −µ∂ϕ(q,p, t )

∂q i(7.39)

Qi = q i +µ∂ϕ(q,p, t )

∂pi(7.40)

que constituyen las ecuaciones de una transformación de contacto infinitesi-

mal. La función ϕ recibe el nombre de función generadora de la transformación

de contacto infinitesimal. Si µ = dt y ϕ = H(p,q, t ), podemos considerar que la

anterior ecuación representa la evolución del sistema dinámico en el espacio de

las fases, por lo que se puede considerar que el hamiltoniano es la función ge-

neradora de una transformación de contacto infinitesimal que nos va dando la

descripción del sistema en el espacio de las fases.

7.6. Teorema de Liouville

Las transformaciones de contacto son isócoras. Considerar la transforma-

ción de contacto

Qi = Qi (q,p, t )

Pi = Pi (q,p, t )

cuyo jacobiano ∂(Q,P)/∂(q,p) sea distinto de cero. Vamos a probar que este ja-

cobiano no solo es distinto de cero si no que vale la unidad, para ello fijemonos

en que∂(Q,P)

∂(q,p)=

∂(Q,P)

∂(q,Q)/∂(q,p)

∂(q,Q)= (−1)n ∂(P)

∂(q)/∂(p)

∂(Q)


Ahora bien, puesto que las nuevas variables están relacionadas con las antiguas

mediante una transformación de contacto

Pi = −∂W

∂Qi

pi =∂W

∂q i

por lo que

(−1)n ∂(P)

∂(q)/∂(p)

∂(Q)=

∂( ∂W∂Qi )

∂(q)/∂(∂W

∂q i )

∂(Q)= 1

lo que demuestra que las transformaciones de contacto son isócoras pues

V =∫

dQ1 . . . dPn =∫

∂(Q,P)

∂(q,p)dq1 . . . dpn =

∫

dq1 . . . dpn = v

7.7. Teorema de equivalencia

Restrinjamos nuestro dominio de actuación a aquellas variables p, q que ve-

rifiquen las ecuaciones de Hamilton. De acuerdo con lo visto en el capítulo an-

terior, la función principal de Hamilton S(q,q0, t ) tiene la propiedad

dS =∑

r

pr dqr −∑

r

pr0 dqr0 −Hdt

siendo H(p,q, t ) el hamiltoniano. Si en las anteriores expresiones sustituimos las

q por su valor en función de q0,p0 y t , obtendremos una función ψ(q0,p0, t ) tal

que

S(q,q0, t )=ψ(q0,p0, t )

al sustituir en dS, obtendremos

∑

r

pr dqr −Hdt = dψ(q0,p0, t )+∑

r

pr0dqr0

por lo que el Paffiano∑

r pr dqr −Hdt expresado en terminos de q0,p0, t es igual

a la suma de la diferencial exacta de una función ψ y el paffiano∑

r pr0dqr0. Más

generalmente, si en vez de utilizar como condiciones iniciales las q0,p0 emplea-

7.7 Teorema de equivalencia 177

mos un conjunto cualquiera de valores iniciales γs , s = 1, . . . ,2n en vez de q0,p0,

tendremos∑

r

pr dqr −Hdt = dψ+∑

s

Ks dγs (7.41)

donde ψ =ψ(γ, t ) y K son funciones de las γs . La forma∑

s Ks dγs5 sustituye a

la forma∑

r pr0dqr0 cuando hagamos el cambio de variables (q0, p0) a γs . Debe-

mos de hacer notar que la suma en r va hasta n, mientras que la suma en s va

hasta 2n.

Está claro por el camino seguido, que si las q(γ, t ), p(γ, t ) verifican las ecua-

ciones de Hamilton se debe de verificar la ecuación (7.41). Al fin y al cabo para

llegar a la expresión de la S hemos supuesto que las funciones q, p verificaban

las ecuaciones de Hamilton. Vamos a demostrar el reciproco esto es,

Teorema 7.7.1 Si el Paffiano∑

r pr dqr −Hdt cuando se exprese en términos de

las variables γ y el tiempo t es tal que

∑

r

pr dqr −Hdt = dψ(γs , t )+∑

s

Ks (γ)dγs

siendo ψ y Ks sendas funciones dependientes de γs , t y γs respectivamente, en-

tonces la funciones q = q(γs , t ), p = p(γs , t ) verifican las ecuaciones de Hamil-

ton

∂qr

∂t=

∂H

∂pr(7.42)

∂pr

∂t= −

∂H

∂qr(7.43)

5De acuerdo con el primer teorema de Paff, la forma diferencial∑s=2n

s=1 K (γs )dγs se puede po-ner como

∑r=nr=1 αr dβr siendo αr y βr independientes, de talr forma que

∑

rpr0dqr0 =

∑

rαr dβr .

La anterior ecuacion nos muestra que el conjunto de variables (pr0, qr0) y (αr ,βr ) estan ligadospor una transformación de contacto en la que dV = 0 y U = 0. Tal transformación de contac-to recibe el nombre de transformación de contacto homogénea o de Matieu. De esta forma, losteoremas que siguen son váidos cuando tenemos una expresión de la forma

∑

rpr dqr −Hdt = dψ+

∑

rαr dβr


DEMOSTRACIÓN

Puesto que por hipótesis

∑


s

Ks dγs

y

dqr (γs,t ) =∑

s

∂qr

∂γsdγs +

∂qr

∂tdt

dψ(γs,t ) =∑

s

∂ψ

∂γsdγs +

∂ψ

∂tdt ,

sustituyendo, se debe de verificar

∑

r

pr

(

∂qr

∂t

)

γ

−H =(

∂ψ

∂t

)

γ

∑

r

pr

(

∂qr

∂γs

)

t

=(

∂ψ

∂γs

)

t

+Ks

de donde, derivando la primera por γs y la segunda por t , restando

∂

∂t

(

∑

r

pr∂qr

∂γs

)

−∂

∂γs

(

∑

r

pr∂qr

∂t

)

=−∂H

∂γs=−

∑

r

(

∂H

∂qr

∂qr

∂γs+

∂H

∂pr

∂pr

∂γs

)

donde hemos tenido en cuenta que

∂2ψ

∂t∂γs=

∂2ψ

∂γs∂t

Así mismo dado que∂2qr

∂t∂γs=

∂2qr

∂γs∂t

tenemos∑

r

∂qr

∂γs

(

∂pr

∂t+

∂H

∂qr

)

+∂pr

∂γs

(

−∂qr

∂t+

∂H

∂pr

)

= 0

Ahora bien el determinante del anterior sistema de ecuaciones coincide con el


el Jacobiano∂(q1, . . . qn , p1, . . . , pn)

∂(γ1, . . . ,γ2s)

que por hipótesis es distinto de cero, por lo tanto se han de hacer cero los térmi-

nos entre paréntesis que son las ecuaciones de Hamilton

∂qr

∂t=

∂H

∂pr

∂pr

∂t= −

∂H

∂qr

que es lo que queriamos demostrar.

Teorema 7.7.2 Las transformaciones de contacto dejan invariante las ecuacio-

nes de Hamilton.

Consideremos un sistema dinámico cuya función hamiltoniana es H(q1 , . . . , qn , p1, . . . , pn , t )

y cuyas ecuaciones del movimiento son

dqr

dt=

∂H

∂pr

dpr

dt= −

∂H

∂qr

Vamos a suponer que hacemos una transformación de contacto a un conjunto

de nuevas variables Qr (q1, . . . qn , p1, . . . , pn , t ), Pr (q1, . . . qn , p1, . . . , pn , t ) tal que

∑

r

Pr dQr −∑

r

pr dqr = dW +Udt

tenemos que demostrar que el nuevo conjunto de variables Q,P tambien veri-

fica las ecuaciones de Hamilton. De acuerdo con el principio de equivalencia

demostrado anteriormente, si las variables (q, p) son soluciones de las ecuacio-

nes de Hamilton, se verifica que

∑

r


s

Ks dγs

y reciprocamente si se verifica la anterior ecuación se verifican las ecuaciones


de Hamilton. Podemos expresar las funciones (Q,P) a través de las (q, p) en tér-

mino de las constantes γ. Sustituyendo la anterior expresión en la ecuación de

la transformación de contacto, tenemos

∑

r

Pr dQr − (H +U) = d(ψ+W )+∑

s

Ks dγs = dψ′+∑

s

Ks dγs

Ahora bien, de acuerdo con el teorema de equivalencia se ha de verificar que

dQr

dt=

∂K

∂Pr(7.44)

dPr

dt= −

∂K

∂Qr(7.45)

K = H −∂W

∂t(7.46)

donde hemos utilizado el hecho que U = −∂W /∂t . Vemos por tanto que las

(Q,P) verifican las ecuaciones de Hamilton, con un nuevo hamiltoniano dado

por K

Ejemplo 7.1 Considerar una partícula que se mueve en el plano sometida a una

fuerza central caracterizada por un potencial V(r). Calcular cual es el nuevo ha-

miltonianao cuando se realiza una transformación de contacto dada por la fun-

ción generadora

W (q,P) =−PX (x cosωt + y senωt )−PY (y cosωt −x senωt )

SOLUCCIÓN La función generadora de la transformación de contacto es de la

forma W 3, por lo que

Qr = −∂W 3(q,P, t )

∂Pr

pr = −∂W 3(q,P, t )

∂qr

U = −∂W 3(q,P, t )

∂t


de tal forma que

X = (x cosωt + y senωt )

Y = (y cosωt −x senωt )

px = PX cosωt −PY senωt

py = PY senωt +Py cosωt

U = PXω(−x senωt + y cosωt )−PY ω(y senω+x cosωt )

esto es

U =ω(PX Y −PY X )=−ω ·L

siendo L el momento angular. Por tanto

K =H −ω ·L =1

2(P2

X +P2Y )+V (X ,Y )−ω ·L

ahora bien, de los resultados obtenidos en el capitulo anterior, vemos que el ha-

miltoniano K es el hamiltoniano de una partícula sometida a un campo central

respecto de un sistema de referencia movil que se mueve respecto de un sistema

de referencia inercial con velocidad angular ω

Ejercicios

Ejercicio 7.1 Demostrar que la transformación definida por las ecuaciones

Q = (2q)1/2ek cos p

P = (2q)1/2e−k sen p

es de contacto. Encontrar cual es la función generadora.

Ejercicio 7.2 Demostrar que la transformación definida por las ecuaciones

Q = ln(1+q1/2 cos p)

P = 2(1+q1/2 cos p)q1/2 sen p

es de contacto encontrando cual es una función generadora de la forma W(p,Q,t).


Ejercicio 7.3 Considerar la transformacion

p = f (P)cosQ

q =f (P)

mωsenQ

Demostrar que es de contacto encontrando una función generadora de la trans-

formación. Aplicar dicha transformación al problema del oscilador armónico

donde

H =1

2mp2 +

1

2mω2q2

encontrando un nuevo Hamiltoniano. Resolver las ecuaciones de Hamilton en

la nuevas variables y de sus solucciones encontrar las solucciones del problema

original.

Capítulo 8

Corchetes de Poisson

Dada la importancia teórica de los corchetes de Poisson vamos a dedicar un

capítulo a su estudio.

8.1. Corchetes de Poisson

Considerar un par de variables u(q,p, t ) y v(q,p, t ), se define el corchete de

Poisson de estas variables como

[u, v]p,q =∑

r

∂u

∂qr

∂v

∂pr−

∂u

∂pr

∂v

∂qr

tenemos una serie de corchetes de Poisson especiales,

[q i , q j ] = 0, [pi , p j ] = 0, [q i , p j ] =δij

Para demostrarlo, basta sustituir las funciones q i , p j en lugar de las u, v y

tener en cuenta que las variables p, q son independientes.

Teorema 8.1.1 Si tenemos una tranformación de contacto

Qi = Qi (q,p, t )

Pi = Pi (q,p, t )

184 Capítulo – 8. Corchetes de Poisson

entonces se verifica que

[Pi ,P j ]p,q = 0 [Qi ,Q j ]p,q = 0 [Pi ,Q j ]p,q = δj

i(8.1)

DEMOSTRACIÓN

De acuerdo con la definición

[Pi ,P j ]p,q =∑

r

(

∂Pi

∂qr

∂P j

∂pr−

∂Pi

∂pr

∂P j

∂qr

)

teniendo en cuenta las relaciones entre las derivadas parciales de las transfor-

maciones de contacto obtenidas previamente (ecuaciones 7.34 y 7.35) tenemos

∑

r

(

∂Pi

∂qr

∂P j

∂pr−

∂Pi

∂pr

∂P j

∂qr

)

=∑

r

(

−∂qr

∂Qi

∂pr

∂Q j+∂pr

∂Qi

∂qr

∂Q j

)

= (Qi ,Q j )

por lo que

[Pi ,P j ]p,q = (Qi ,Q j )p,q = 0 (8.2)

siendo (Qi ,Q j )p,q uno de los paréntesis de Lagrange fundamentales que como

vimos en el capítulo anterior es nulo. Así mismo se demuestra que

[Qi ,Q j ] = (Pi ,P j ) = 0 (8.3)

y

[Qi ,P j ] = δj

i(8.4)

Los anteriores parantesis de Poisson caracterizan a una transformación de con-

tacto, esto es una transformación es de contacto si los paréntesis de Poisson

fundamentales cumplen las anteriores propiedades.

Teorema 8.1.2 Los paréntesis de Poisson son invariantes de una transforma-

ción de contacto.

DEMOSTRACIÓN

Considerar dos funciones u(q,p, t ) y v(q,p, t ). Considerar que bajo una trans-

formación de contacto estas dos funciones se transforman en el nuevo sistema

de coordenadas en U(Q,P, t ) y V (Q,P, t ). De acuerdo con el enterior teorema

8.1 Corchetes de Poisson 185

debemos de demostrar que

[u, v]p,q = [U,V ]P,Q

partiendo de la definición de corchete de Poisson

[u, v]=∑

r

∂u

∂qr

∂v

∂pr−

∂u

∂pr

∂v

∂qr

pasando a las nuevas coordenadas tenemos (utilizando la notación de Einstein

de suma en índices repetidos)

[u, v]=(

∂U

∂Qs

∂Qs

∂qr+

∂U

∂Ps

∂Ps

∂qr

)(

∂V

∂Qt

∂Qt

∂pr+

∂V

∂Pt

∂Pt

∂pr

)

−(

∂U

∂Qs

∂Qs

∂pr+

∂U

∂Ps

∂Ps

∂pr

)(

∂V

∂Qt

∂Qt

∂qr+

∂V

∂Pt

∂Pt

∂qr

)

=

=∂U

∂Qs

∂V

∂Qt[Qt ,Qs ]+

∂U

∂Qs

∂V

∂P t[Qs ,Pt ]+

∂U

∂Ps

∂V

∂Qt[Ps ,Qt ]+

∂U

∂Ps

∂V

∂Pt[Qs ,Qt ] =

= [U,V ]Q,P

donde hemos tenido en cuenta que [Pt ,Qs ] =−[Qt ,Ps ]

8.1.1. Algunas propiedades de los corchetes de Poisson

A partir de la definición del corchete de Poisson se verifica fácilmente que

[u, u]= 0

[u, v]=−[v, u]

[u, c]= 0, siendo c una constante

[u1+u2, v]= [u1, v]+ [u2, v]

[u, vw]= [u, v]w +v[u, w]

∂

∂r[u, v]= [

∂u

∂r, v]+ [u,

∂u

∂r]

, siendo r igual a t , q o p


[u, [v, w]]+[w, [u, v]]+[v, [w, u]]= 0 (identidad de Jacobi, Teorema de Pois-

son). Para demostrar este teorema consideremos los corchetes primero y

tercero que podemos poner como [u, [v, w]]− [v, [u, w]]. Cabe considerar

el corchete de Poisson como un operador diferencial definido por

[v, w] =∑

r

(

∂v

∂qr

∂

∂pr−

∂v

∂pr

∂

∂qr

)

w = Dv w

que podemos expresar como

Dv =∑

i

αi∂

∂ξi

teniendo en cuenta la anterior expresión

[u, [v, w]]−[v, [u, w]]= (DuDv−Dv Du)w =∑

i

∑

j

βi∂

∂ηi

(

α j∂w

∂ξ j

)

−αi∂

∂ξi

(

β j∂w

∂η j

)

De la expresión anterior, los únicos términos donde aparecen derivadas

segundas de w son

∑

i

∑

j

βiα j

(

∂2w

∂ηi∂ξ j

)

−αiβ j

(

∂2w

∂ξi∂η j

)

que se anulan idénticamente, por lo que solo nos va a aparecer derivadas

primeras de w, que podemos poner como

[u, [v, w]]− [v, [u, w]]=∑

k

Ak∂w

∂pk+Bk

∂w

∂qk

donde las funciones Ak , Bk son funciones de u, v pero no de w. Hagamos

w igual a p j , tendremos

[u, [v, p j ]]− [v, [u, p j ]] =∑

k

Ak

∂p j

∂pk

= A j

Ahora bien,

[v, p j ] =∑

r

∂v

∂qr

∂p j

∂pr−

∂v

∂pr

∂p j

∂qr=

∂v

∂q j


de donde

[u, [v, p j ]]− [v, [u, p j ]] = [u,∂v

∂q j]− [v,

∂u

∂q j] =

∂

∂q j[u, v]= A j

Así mismo, hagamos w = q j , al igual que antes tendremos

[u, [v, q j ]]− [v, [u, q j ]] =∑

k

Bk∂q j

∂qk=B j

Desarrollando, como hicimos antes, el término de la izquierda de la ante-

rior expresión llegamos a que

−∂

∂p j[u, v]= B j

sustituyendo

[u, [v, w]]− [v, [u, w]]=∑

k

∂[u, v]

∂qk

∂w

∂pk

−∂[u, v]

∂p j

∂w

∂qk

= [[u, v], w]

de donde se sigue la igualdad de Jacobi.

8.1.2. Las ecuaciones del movimiento en término de los corchetes de

Poisson

Suponer que tenemos una función f (q1, . . . , qn , p1, . . . , pn , t ) que depende de

un conjunto de variables que verifican las ecuaciones de Hamilton,

q i =∂H

∂pi

pi = −∂H

∂q i

entonces la derivada respecto del tiempo f la podemos poner como

d f

dt=

∂ f

∂t+

∑

r

(

∂ f

∂qrqr +

∂ f

∂prpr

)


teniendo en cuenta las ecuaciones de Hamilton

d f

dt=

∂ f

∂t+

∑

r

(

∂ f

∂qr

∂H

∂pr−

∂ f

∂pr

∂H

∂qr

)

=∂ f

∂t+ [ f ,H]

de tal forma que si f no depende explícitamente del tiempo, f es una constante

del movimiento si y solo si su corchete de Poisson con el hamiltoniano es cero.

La anterior expresión no sirve para escribir las ecuaciones del movimiento en

términos de los corchetes de Poisson,

dq i

dt= [q i ,H]

dpi

dt= [pi ,H]

Asi mismo, puesto que [H ,H]= 0, tendremos que

dH

dt=

∂H

∂t

Teorema 8.1.3 El corchete de Poisson de dos constantes del movimiento, es una

constante del movimiento.

DEMOSTRACION Sean u, v dos constantes del movimiento, según vimos antes

∂u

∂t= −[u,H]

∂v

∂t= −[v,H]

Formemos el corchete de Poisson de u, v, tendremos

∂[u, v]

∂t= [

∂u

∂t, v]+ [u,

∂v

∂t]

teniendo en cuenta que u, v son constantes del movimiento y la igualdad de

Jacobi, tenemos

∂[u, v]

∂t=−[[u,H], v]− [u, [v,H]]=+[H , [u, v]]=−[[u, v],H]


donde vemos que w = [u, v] es una constante del movimiento. Así pues los cor-

chetes de Poisson nos pueden servir para formar constantes del movimiento.

Vimos en un capítulo anterior que dado un sistema de N ecuaciones de orden

uno, podiamos hacer la integración del sistema si conociesemos N constantes

del movimiento o integrales primeras del sistema. Así pues a priori es posible

emplear el metodo de corchetes de Poisson para generar las N constantes del

movimiento. Localizamos dos de ellas y por aplicación del corchete de Poisson

vamos generando el resto. La dificultad estriba en que en la mayor parte de las

veces, el corchete de Poisson generado a partir de dos constantes del movimein-

to no representa una nueva constante del movimiento independiente de las an-

teriores.

8.1.3. Corchetes de Poisson y Transformaciones de contacto infinite-

simales

Suponer que estmos en el espacio de las fases, en un punto (q,p). Suponer

que tenemos una función escalar u(q,p). Suponer que hacemos una transfor-

mación de contacto a un nuevo sistema (Q,P), la función u se habrá transfor-

mado en la U(Q,P). Ahora bien el valor en el punto (Q,P) transformado del (q,p)

tendrá el mismo valor que u en el punto (q,p). Suponer ahora que calculamos

no U(Q,P) si no u(Q,P), esto es mantenemos la forma de la función original. Su-

poner que el paso de las coordenadas (q,p) a las (Q,P) se ha realiado mediante

una transformación de contacto infinitesimal, según vimos antes

Qi = q i +ǫ∂G

∂pi

Pi = pi −ǫ∂G

∂q i

siendo G(q,p) la función generadora de la transformación de contacto infinite-

simal. Así pues debemos de evaluar la función u(q i + ǫ∂G/∂pi , pi − ǫ∂G/∂q i ) lo

que equivale a evaluar u en un punto infinitamente próximo. Desarrolando en


serie

u(q i+ǫ∂G/∂pi , pi−ǫ∂G/∂q i ) = u(q i , pi )+∑

i

(

ǫ∂u

∂q i

∂G

∂pi−ǫ

∂u

∂pi

∂G

∂q i

)

+·· · = u(q i , pi )+ǫ[u,G]

por lo que

δu = ǫ[u,G]

en particular si u = H

δH = ǫ[H ,G]

por lo que si G es una constante del movimiento, δH = 0, esto es las constan-

tes del movimiento son funciones generadoras de transformaciones de contacto

infinitesimales que dejan invariante la hamiltoniana.

Los teorema de conservación del momento lineal y del momento cinético

aparecen ahora como casos particulares del anterior resultado. Si una coorde-

nada qr es cíclica, entonces no aparece en la expresión de la hamiltoniana, por

lo que cualquier cualquier transformación infinitesimal que implique única-

mente una variación de dicha coordenada no afectará a la hamiltoniana, esto

es δH = 0 y por tanto la función generadora de tal transformación de contacto

es una constante del movimiento. Así mismo el momento conjungado tampoco

varía.

Vamos a imaginar una transformación de contacto en la que únicamente

variamos la coordenada cíclica qi , de acuerdo con las ecuaciones de la transfor-

mación de contacto infinitesimales

δq i = ǫ∂G

∂pi

δpi = −ǫ∂G

∂q i

Puesto que δpi = 0(la variable qi es cíclica), G = G(p1, . . . , pn , t ) y como única-

mante varia una q i , tendremos que G(pi , t ), tomando δq i = ǫ, tendremos

ǫ= ǫdG

dpi

8.2 Corchetes de Poisson cuánticos 191

de donde G = pi . Por lo tanto si q es una coordenada cíclica, su momento conju-

gado es la función generadora de una transformacion de contacto infinitesimal

que deja invariante la hamiltoniana.

8.2. Corchetes de Poisson cuánticos

Como es bien sabido del formalismo de la mecánica cuántica, a cada ob-

servable o variable dinámica de la mecánica clásica (posición, momento lineal,

momento angular, etc.) le corresponde un operador en la mecánica cuántica

(imagen de Heisenberg). Estos operadores no tiene por qué conmutar, por lo

que el algebra de las variables dinámicas en mecánica cuántica es diferente del

algebra de dichas variables en mecánica clásica. Existen no obstante en mecá-

nica clasica y en mecánica cuántica objetos que sigen el mismo álgebra. Nos

referimos a los cochetes de Poisson y a los comutadores, de tal forma que, salvo

una constante, dadas un par de variables dinámicas u, v cuyos operadores en

mecánica cuántica sean u, v, el operador comutación uv − v u es proporcional

al operador corchete de Poisson [uv]

u v − v u = i~[u, v]

Para verlo explicitamtente, vamos a suponer que tenemos 4 operadores u1 , u2, v1, v2,

formemos el corchete de [u1u2, v1v2] que vamos a desarrollar siguiendo las mis-

mas reglas dadas para los corchetes de Poisson clásicos, pero manteniendo el

orden de los operadores. Así tenemos

[u1u2, v1v2] = [u1, v1v2]u2 + u1[u2, v1v2]

= [u1, v1]v2u2 + v1[u1, v2]u2 + u1[u2, v1]v2 + u1 v1[u2, v2]

asi mismo

[u1u2, v1v2] = [u1u2, v1]v2 + v1[u1u2, v2]

= [u1, v1]u2v2 + u1[u2, v1]v2 + v1[u1, v2]u2 + u1 v1[u2, v2]


Igualando, obtenemos

[u1, v1](u2v2 − v2u2)= (u1 v1 − v1u1)[u2, v2] (8.5)

puesto que estos resultados han de verificarse cualesquiera que sean u1 , u2, v1, v2,

se debe verificar que

u1v1 − v1u1 = i~[u1, v1]

u2v2 − v2u2 = i~[u2, v2]

siendo ~ una constante con dimensiones de acción e igual a la constante de

Planck h/2π.

En orden a obtener las reglas de conmutación, la subsiguiente hipótesis es

la de suponer que los corchetes de Poisson cuánticos tienen el mismo valor que

los corchetes de Poisson clásicos. Así por ejemplo hemos visto que

[qr , qs ] = 0, [pr , ps ] = 0, [qr , ps ] = δrs

de tal forma que

[qr , qs ] = 0, [pr , ps ] = 0, [qr , ps ] = δrs

y por tanto

qr qs − qs qr = 0

pr ps − ps pr = 0

qr ps − ps qr = i~δrs

que son las condiciones cuánticas fundamentales de Heisenberg.

Ejemplo 8.1 Evaluar los corchetes de Poisson del momento angular [Li ,L j ].

SOLUCCIÓN

Vamos a calcular primero cuanto vale [Lz , x], [Lz , y], [Lz , z] así como [Lz , px ], [Lz , py ], [Lz , pz ],


para ello tengamos en cuenta la definicición de Lz = xpy − y px por lo que

[Lz , x] = [xpy−y px , x] = [xpy , x]−[y px , x] = x[py , x]+[x, x]py−y[px , x]−[y, x]px =+[x, px ]y = y

Haciendo de la misma forma

[Lz , y] = [xpy−y px , y]= [xpy , y]−[y px , y]= x[py , y]+[x, y]py−y[px , y]−[y, y]px =−x[y, py ] =−x

y

[Lz , z] = [xpy−y px , z] = [xpy , z]−[y px , z] = x[py , z]+[x, z]py−y[px , z]−[y, z]px = 0

Así mismo

[Lz , px ] = [xpy − y px , px ] = [xpy , px ]− [y px , px ] =

= x[py , px ]+ [x, px ]py − y[px , px ]− [y, px ]px = py

[Lz , py ] = [xpy − y px , py ] = [xpy , py ]− [y px , py ]

= x[py , py ]+ [x, py ]py − y[px , py ]− [y, py ]px =−px

[Lz , pz ] = [xpy − y px , pz ] = [xpy , pz ]− [y px , pz ]

= x[py , pz ]+ [x, pz ]py − y[px , pz ]− [y, pz ]px = 0

por lo que

[Ly ,Lz ] = [zpx −xpz ,Lz ] = [zpx ,Lz ]− [xpz ,Lz ]

= z[px ,Lz ]+ [z,Lz ]px −x[pz ,Lz ]− [x,Lz ]pz =−zpy + y pz

= Lx

y de la misma forma se calculan los otros dos. Puesto que hemos quedado que

en mecánica los corchetes de Poisson valen lo mismo que en mecánica clásica

tenemos

Ly Lz − Lz Ly = i~[Ly , Lz ] = i~Lx

Considerar una función escalar u que depende de r, p. Vamos a demostrar

que conmuta con Lz . Para ello devemos de hacer notar que u debe depender de


r, p en forma de r2,p2,ó,r ·p de tal forma que

[Lz , u] = [xpy − y px , u]= [x, u]py +x[py , u]− [y, u]px − y[px , u]

calculemos cuanto vale [x,u]

[x, u]=∂x

∂x

∂u

∂p−∂x

∂p

∂u

∂x

puesto que x, p son independientes ∂x∂p = 0, así mismo, ∂x

∂x = δxi , por lo que

[x, u]=∂u

∂px

de la misma forma

[px , u] =−∂u

∂x

por lo que

[Lz , u]=∂u

∂pxpy −

∂u

∂pypx + y

∂u

∂x−x

∂u

∂y


[Lz , u] = k ·

∇p u ×p+∇r u ×r


∇r u =∂u

∂(r2)2r+

∂u

∂(rp)p

y que

∇p u =∂u

∂(p2)2p+

∂u

∂(rp)r

tenemos

[Lz , u] = k ·

∂u

∂(rp)2(r×p)+

∂u

∂(rp)2(p×r)

= 0

Así pues las componentes del momento angular conmutan con cualquier esca-

lar formado a partir de momentos y posiciones. En particular podemos formar

el escalar L2, por lo que

[Lx ,L2] = [Ly ,L2] = [Lz ,L2] = 0 (8.6)


o bien el hamiltoniano

[Lx ,H] = [Ly ,H]= [Lz ,H]= 0 (8.7)

Por otra parte, dada una función vectorial de u de r, p, esta debe ser de la forma

u = u1(r, p)r+u2(r, p)p+u3(r, p)(r×p)

Teniendo en cuenta las reglas vistas hasta ahora de como son los corchetes de

Poisson de Lz con x, y, z, px , py , pz , Lx , Ly , Lz asi como teniendo en cuenta que

los corchetes de Poisson con funciones escalares son nulas, podemos ver que

[Lz ,u] = k×u

y en general

[L ·n,u] = [Ln ,u] = n×u (8.8)

Considerar ahora un sistema y que hacemos rotar al sistema un ángulo δθ en-

torno a un eje n. Dada una función vectorial u función de posiciones y momen-

tos, la variación que sufre esta función al variar el ángulo es

δu =u× (δθn)

por lo que teniendo en cuenta los resultados anteriores

δu =−δθ[L ·n,u] = δθ[u,L ·n]

Obtuvimos antes, que la variación sufrida por una función u bajo una transfor-

mación de contacto infinitesimal era en general

δu = ǫ[u,G]

siendo G la función generadora de la transformación de contacto infinitesimal.

Vemos por tanto que L ·n es la función generadora de la transformación de con-

tacto infinitesimal consisten en girar un cierto ángulo. En este caso ǫ = δθ. Así


pues si el sistema es invariante en una transformación de contacto que consiste

en un giro, (esto es existe simetría de rotación) el hamiltoniano no varia, con lo

que la función generadora de la transformación de contacto es una constante

del movimiento, esto es la proyección del momento angular a lo largo del eje de

rotación permanece constante.

Capítulo 9

El método Hamilton - Jacobi

9.1. Introduction

El método de Hamilton-Jacobi tiene como objetivo la integración de las ecua-

ciones de Hamilton. Sin embargo en vez de tratar de hacerlo de forma directa,

esto es, integrando el conjunto de 2n ecuaciones diferenciales que constituyen

el conjunto de ecuaciones de Hamilton trata de hacerlo mediante una transfor-

mación de contacto. Ya vimos en el tema dedicado a las transformaciones de

contacto, como Hamilton trata de resolver las ecuaciones del rayo (trayectoria

más corta de la propagación de la luz o trayectoria de los fotones) mediante la in-

troducción de una función caracteristica a partir de la cual y mediante métodos

algebraicos resolver el problema del cáculo de la trayectoria de los rayos. Según

vimos, esta función caracteristica es la función generadora de una transforma-

ción de contacto. En el método de Hamilton-Jacobi vamos a tratar de buscar una

función caracteristica, una transformación de contacto, que nos sirva para algo,

la integración de las ecuaciones de Hamilton.

9.2. La ecuación de Hamilton-Jacobi

En el capítulo anterior hemos visto que por medio de una transformación de

contacto es posible transformar nuestro problema en otro en el que la nuevas

variables sigan verificando las ecuaciones de Hamilton con un nuevo hamilto-

198 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi

niano dado por

K = H +∂W

∂t

siendo W la función generadora de la transformación de contacto1. En el nuevo

sistema tendremos que

Qi =∂K

∂Pi

Pi = −∂K

∂Qi

Ahora bien, podemos elegir la transformación de contacto de tal forma que, K =0 por lo que en el nuevo sistema

Qi = −βi = ct e

Pi = αi = ct e

(hemos elegido el signo menos en las constantes βi por conveniencia) por lo

que la solución de las ecuaciones en el nuevo sistema es trivial. Si elegimos una

función generadora de la forma W (q,P, t ) para hacer la transformación de con-

tacto, tenemos que

pi =∂W (q,P, t )

∂q i

Qi =∂W (q,P, t )

∂P i

ahora bien como las nuevas variables se reducen a constantes, tenemos

pi =∂W (q,α, t )

∂q i

−βi =∂W (q,α, t )

∂αi

Del segundo grupo de ecuaciones podemos despejar, suponiendo que el Hes-

siano ‖∂2W /∂q∂α‖ sea distinto de cero, la q’s como función de α,β y el tiempo

y sustituyendo en la primera obtenemos los momentos, por lo que queda re-

1Hemos cambiado de signo a la función generadora

9.2 La ecuación de Hamilton-Jacobi 199

suelto nuestro problema de la integración de la ecuación de Hamilton. Así pues,

al igual que sucedía en Óptica, podemos integrar las ecuaciones del movimien-

to por métodos algebraicos, a partir del conocimiento de la función W . ¿ Que

condiciones debe de cumplir la función generadora para que se anule idéntica-

mente el nuevo hamiltoniano?. Pues que

H(q,p, t )+∂W (q,P, t )

∂t= 0.

Puesto que bajo la transformación de contacto W (q,P, t )

pi =∂W

∂q i

tenemos2

H(q,∂W

∂q, t )+

∂W (q,P, t )

∂t= 0

y puesto que P i =αi tenemos

H(q,∂W

∂q, t )+

∂W (q,α, t )

∂t= 0 (9.1)

que es la ecuación de Hamilton – Jacobi.

Diremos que hemos obtenido una integral completa de una ecuación dife-

rencial de primer orden y n derivadas parciales cuando obtengamos una solu-

ción con n constantes. La ecuación de Hamilton-Jacobi es de orden n+1, ahora

bien, puesto que en la ecuación de Hamilton–Jacobi, la función W entra única-

mente en forma diferencial, las soluciones de dicha ecuación contendrán una

constante aditiva que no tiene ninguna importancia, diremos entonces que he-

mos obtenido una integral completa de la ecuación de Hamilton – Jacobi cuan-

do hayamos obtenido una solución de la forma

W (q1, . . . , qn ,α1, . . . ,αn , t )

en la que ninguna de las α’s aparece como constante aditiva.

Dada una ecuación diferencial en derivadas parciales existen en principio

2Con (∂W /∂q) queremos indicar ∂W /∂qi , i = 1,2, . . . , n


una gran variedad de integrales completas de dicha ecuación en derivadas par-

ciales, la pregunta es ¿Cualquier integral completa de dicha ecuación sirve para

resolver las ecuaciones de Hamilton a partir del sistema

pi =∂W (q,α, t )

∂q i

βi = −∂W (q,α, t )

∂αi?

La respuesta es afirmativa. De acuerdo con nuestras hipótesis la función W es

un integral completa de la ecuación de Hamilton–Jacobi y por tanto contiene n

constantes no aditivas a la vez que el Hessiano es distinto de cero, por lo que

del anterior grupo de ecuaciones podemos despejar q, p en función de α,β y el

tiempo t .

q i = q i (α,β, t )

pi = pi (α,β, t )

tenemos que demostrar que estas funciones son soluciones de las ecuaciones

de Hamilton. Para ello vamos a formar el Paffiano∑

r pr dqr −Hdt . Puesto que

por nuestras hipótesis

pi =∂W (q,α, t )

∂q i

y

H =−∂W (q,α, t )

∂t

tenemos

∑

r

pr dqr −Hdt =∑

r

∂W (q,α, t )

∂qrdqr +

∂W (q,α, t )

∂tdt

= dW (q,α, t )−∑

r

∂W (q,α, t )

∂αrdαr

= dψ(α,β, t )+∑

r

βr dαr

9.2 La ecuación de Hamilton-Jacobi 201

donde hemos substituido las q’s como función de α,β y hemos hecho uso de

βr =−∂W

∂αr

Ahora bien del teorema de equivalencia, las funciones

qr = qr (α,β, t )

pr = pr (α,β, t )

son soluciones de las ecuaciones de Hamilton.

Así pues una vez encontrada una integral completa de la ecuación de Hamil-

ton – Jacobi tenemos resuelto nuestro problema de integración de las ecuacio-

nes diferenciales de Hamilton. Ahora bien el problema de encontrar soluciones

de la ecuaciones en derivadas parciales no es trivial. Estudiaremos bajo que con-

diciones es relativamente fácil encontrar soluciones de dicha ecuación.

De todas las integrales completas que se pueden obtener a partir de la ecua-

ción de Hamilton–Jacobi hay una de particular interés, aquella en la que las

constantes de integración se reducen a las posiciones y momentos iniciales. Por

lo que, según lo deducido anteriormente,

∑

r

pr dqr −Hdt = dψ−∑

r

pr0dqr0

ahora bien de las ecuaciones deducidas en el capítulo dedicado a los métodos

variacionales, vemos que salvo una constante sin importancia

ψ= S =∫

Ldt

esto es, la integral completa coincide con la función principal de Hamilton.


9.3. Sistemas autónomos

En el caso de que el sistema sea autónomo, el tiempo t no esta en el hamil-

toniano por lo que la integral de Jacobi es una constante del movimiento

H(q,p) = h

En este caso la ecuación de Hamilton–Jacobi resulta ser

h = H(q,∂W

∂q) =−

∂W

∂t

por lo que podemos tomar

W (q,α, t )=−ht +W∗(q, h,α2, . . . ,αn )

(hemos elegido a h como la primera constante de integración ) y la ecuación de

Hamilton toma la forma

H(q,∂W∗(q, h,α2, . . . ,αn )

∂q) = h

Las integrales de las ecuaciones del movimiento quedan

β1 =−∂W

∂α1=−

∂(−ht +W∗(q, h,α2, . . . ,αn)

∂h= t −

∂W∗(q, h,α2, . . . ,αn)

∂h

tomando β1 = t0 tenemos

t − t0 =∂W∗(q, h,α2, . . . ,αn)

∂h(9.2)

que nos da la ley horaria. El resto de las ecuaciones quedan

−βr =∂W∗

∂αr, r = 2, . . . , n (9.3)

pr =∂W∗

∂qr, r = 1, . . . , n (9.4)

9.3 Sistemas autónomos 203

que nos dan la ecuación de la trayectoria. La función W∗ recibe el nombre de

función característica de Hamilton.

En el párrafo anterior hemos visto que si el tiempo no está en el hamilto-

niano, la integral de Jacobi es una constante del movimiento y podemos separar

la función W en dos partes, una que incluye solo el tiempo (en la que apare-

ce el tiempo y su variable conjugada la integral de Jacobi) y otra independiente

de él. En el caso en que exista alguna coordenada ignorable , por ejemplo qn ,

sabemos que su momento generalizado γn es una constante del movimiento,

podemos así mismo separar la función característica en la forma

W = W∗(q1, . . . , qn−1, h,α2, . . . ,αn−1,γ)+γqn −ht

siendo γ el momento generalizado asociado a la coordenada qn . Llevando la

anterior expresión a las ecuaciones que definen la trayectoria del sistema y su

ley horaria tendremos

t − t0 =∂W∗(q1, . . . , qn−1, h,α2, . . . ,αn−1,γ)

∂h(9.5)

−βi =∂W∗(q1, . . . , qn−1, h,α2, . . . ,αn−1,γ)

∂αi, i = 2, . . . , n −1 (9.6)

−qn0 =∂W∗(q1, . . . , qn−1, h,α2, . . . ,αn−1,γ)

∂γ+qn (9.7)

pi =∂W∗(q1, . . . , qn−1, h,α2, . . . ,αn−1,γ)

∂q i, , i = 1, . . . , n −1 (9.8)

pn = γ. (9.9)

donde hemos tomadoβn = qn0. Ahora la función W∗(q1, . . . , qn−1, h,α2, . . . ,αn−1,γ)

será solución de la ecuación de Hamilton

H(q1, . . . , qn−1,∂W∗(q1, . . . , qn−1, h,α2, . . . ,αn−1,γ)

∂q i)= h (9.10)

Ejemplo 9.1 Resolver por el método de la ecuación de Hamilton-Jacobi el pro-


blema del oscilador armónico unidimensional.

SOLUCIÓN Como es bien sabido, el hamiltoniano de un oscilador armónico vie-

ne dado por la expresión

H =1

2mp2 +

1

2kq2

Como el hamiltoniano no depende del tiempo podemos separar la función W

en dos partes

W (q, h, t )= W∗(q, h)−ht

de tal forma que la ecuación de Hamilton–Jacobi resulta

H(q,∂W

∂q) =

1

2kq2 +

1

2m

(

∂W∗

∂q

)2

= h

de donde∂W∗

∂q=

√

2mh −kmq2

integrando

W∗ =p

km

∫

√

2h

k−q2dq

por lo que

W =p

km

∫

dq

√

2h

k−q2 −ht

La integración no es necesario realizarla, pues nos interesa la derivada de la fun-

ción W respecto de las constantes de integración. La ley horaria se obtiene fácil-

mente de la ecuación

t − t0 =∂W∗

∂h=

√

m

k

∫

dq1

√

2hk−q2

integrando

t − t0 =√

m

k

arcsin q

√

k

2h−φ


tomado ω=p

k/m nos queda

q =

√

2h

ksen(ω(t − t0)+φ)

que es la ecuación del movimiento. Los momentos lo podemos deducir a partir

de la expresión

p =∂W

∂q=p

mk

√

2h

k−q2

que, teniendo en cuenta la expresión de q, obtenemos

p =p

2hm cos(ω(t − t0)+φ)

Suponiendo que en el instante inicial t = t0, p0 = 0, q = q0, tenemos

p0 = 0 =p

2hm cos(φ)

de donde

φ=π

2

y por tanto

q0 =

√

2h

ksen(π/2)

esto es la energía total vale

h =1

2kq2

0

por lo que la expresión de q queda

q = q0 sen(ω(t − t0)+π/2) = q0 cos(ω(t − t0))

Si en vez de tomar p(t0) = 0, q(t0) = q0 hubiésemos tomado p(t0) = p0, q(t0) = 0,

tendríamos que φ= 0, por lo que

p0 =p

mkp

2h/k =p

2hm


y p2h/k =

p0pmk

de donde

p = p0 cosω(t − t0)

q =p0pmk

senω(t − t0)

Ejemplo 9.2 Resolver las ecuaciones del movimiento mediante el método de

Hamilton–Jacobi para el problema de una partícula que se mueve en un plano

sometida a una fuerza central.

SOLUCIÓN

Poniendo la expresión de la energía cinética en polares se llega a

T =1

2m(r 2 + r 2θ2)

por lo que la lagrangiana vale

L =1

2m(r 2 + r 2θ2)−V (r)

los momentos generalizados son

pr =∂L

∂r= mr

pθ =∂L

∂θ= mr 2θ

de donde

r =1

mpr

θ =1

mr 2pθ


por lo que el hamiltoniano vale

H = pr r +pθθ−L =1

2m

(

p2r +

p2θ

r 2

)

+V (r)

Como el tiempo no esta en el hamiltoniano y θ es una variable ignorable, tene-

mos

W =W∗(r, h,γ)+γθ−ht

de donde la ecuación de Hamilton - Jacobi

H(q,∂W

∂q)+

∂W

∂t= 0

resulta ser1

2m

[(

∂W∗

∂r

)2

+γ2

r 2

]

+V (r) = h

de donde∂W∗(r, h,γ)

∂r=

√

2m(h −V (r))−γ

r 2

por lo que

W =∫

dr

√

2m(h −V (r))−γ

r 2+γθ−ht

y las ecuaciones del movimiento las podemos obtener del sistema

t − t0 =∂W∗(r, h,γ)

∂h=

∫

mdr√

2m(h −V )− γ2

r2

que nos da la ley horaria. El resto de las ecuaciones quedan

−β=∂W∗

∂γ=−

∫

γdr

r 2√

2m(h −V )− γ2

r2

+θ

que nos da la ecuación de la trayectoria.


9.4. Variables separables

Considerar el caso en que dado un sistema dinámico, la función caracterís-

tica de Hamilton

W∗(q1, . . . , qn ,α1, . . . ,αn−1, h)

solución de la ecuación en derivadas parciales

H(q,∂W∗

∂q)=αn

se puede separar de la siguiente manera

W∗(q1, . . . , qn ,α1, . . . ,αn ) =∑

i

W∗i (q i ,α1, . . . ,αn )

de tal forma que separe la ecuación en derivadas parciales de Hamilton – Jacobi

en n ecuaciones de la forma

Hi (qi ,∂W∗

i

∂q i,α1, . . . ,αn) =αi

en las que en cada ecuación solo se hace referencia a una q i . Estas ecuaciones

diferenciales en general se pueden integrar por cuadraturas. Como hemos visto

antes, siempre que existan coordenadas ignorables podemos separar la función

característica, pero en general no existe una regla que nos permita decir cuando

un sistema es separable o no. Así mismo la separabilidad del sistema depen-

de del tipo de coordenadas elegidas. Así por ejemplo, el caso de una partícula

sometida a un campo central es de variables separables en polares pero no en

cartesianas. Existe un teorema debido a Liouville, que no vamos a demostrar,

que nos dice que si la energía cinética se puede poner como

T =1

2(X1 +X2 + . . .+Xn)

(

q21

P1+

q22

P2+ . . .+

qn1

Pn

)

y el potencial V vale

V =ξ1 +ξ2 + . . . ,ξr

X1 +X2 + . . .+Xn

9.4 Variables separables 209

donde Xr ,Pr ,ξr son funciones de qr . El sistema es de variables separables.

Ejemplo 9.3 Resolver por el método de la ecuación de Hamilton-Jacobi el pro-

blema de Kepler en tres dimensiones

SOLUCIÓN Consideremos el problema de una partícula sometida a una fuerza

central definida por un potencial V (r) = −k2/r . La energía cinética de la partí-

cula vale3

T =1

2(r 2 + r 2θ2 + r 2 cos2θφ2)

siendo θ el ángulo polar del cuerpo respecto del plano de referencia. Los mo-

mentos generalizados valen pr = r , pθ = r 2θ, pφ = r 2 cos2θφ, de donde podemos

obtener las velocidades generalizadas, r , θ, φ y el hamiltoniano H = T +V ,

H =1

2

(

p2r +

p2θ

r 2+

p2φ

r 2 cos2θ

)

+−k2

r

Puesto que el tiempo no está en el hamiltoniano,

W (r,θ,φ, h,α2,α3, t )=W∗(r,θ,φ, h,α2,α3)−ht

(done hemos puesto α1 = h) y como φ no aparece en el hamiltoniano, su mo-

mento conjugado γ es una constante del movimiento y por tanto podemos to-

mar W como

W∗(r,θ,φ, h,α2,γ)= W∗(r,θ, h,α2,γ)+γφ

por lo que

W (r,θ,φ,α1,α2,α3, t )= W∗(r,θ, h,α2,γ)+γφ−ht

(donde hemos llamado γ a la constante α3). La ecuación de Hamilton–Jacobi

3En el problema de Kepler, se puede considerar que la partícula tiene masa unidad y la cons-tante k2 que aparece en el potencial vale k2 = G(m1 + m2), siendo m1 y m2 las masas de loscuerpos


H(q, ∂W∂q ) = h se expresa como

1

2

((

∂W∗

∂r

)2

+1

r 2

(

∂W∗

∂θ

)2

+γ2

r 2 cos2θ

)

−k2

r= h

Busquemos una solución de la forma,

W∗ = R(r)+Θ(θ)

Sustituyendo

r 2(

R′2 −2k2

r−2h

)

=−(

Θ′2 +

γ2

cos2θ

)

El miembro de la derecha solo depende de θ y el de la izquierda de r , para que

sean iguales debe de ser iguales a una constante, y por tanto

(

Θ′2 +

γ2

cos2θ

)

=α22 r 2

(

R′2 −2k2

r−2h

)

=−α22

y por tanto

Θ′2 =α2

2 −γ2

cos2θR′2 = 2h +

2k2

r−α2

2

r 2

En ambas ecuaciones, para que los miembros de la izquierda sea positivos, r

y θ tienen que tener limitados su valores y por tanto los movimientos en estas

coordenadas son libraciones. Para que Θ′2 ≥ 0 se necesita que α2 > γ. Vamos a

quedarnos con aquellos movimientos para los que la energía h es negativa y que

como se sabe son aquellos que dan lugar a órbitas elípticas. En estas condiciones

la forma cuadrática 2hr 2 + 2k2r −α22 tiene dos raíces reales r1, r2, (r1 < r2) que

corresponden con el perigeo y apogeo de la órbita elíptica.

Integrando y sustituyendo en la definición, tenemos

W (r,θ,φ, h,α2,γ, t )=∫r

r1

√

2h +2k2

r−α2

2

r 2dr +

∫θ

0

√

α22 −

γ2

cos2θdθ+γφ−ht


De donde las ecuaciones del movimiento resultan ser:

t − t0 =∫r

r1

dr√

2h + 2k2

r− α2

2r2

−β2 = −∫r

r1

α2dr/r 2

√

2h + 2k2

r − α22

r2

+∫θ

0

α2dθ√

α22 −

γ2

cos2 θ

−β3 = −∫θ

0

γdθ/cos2θ√

α22 −

γ2

cos2 θ

+φ

Vamos a analizar la interpretación de las diferentes constantes. Para ello la

última ecuación la podemos poner como (teniendo en cuenta que d(tanθ) =1/cos2θ)

φ+β3 =∫θ

0

d(tanθ)√

(

α22

γ2 −1)

− tan2θ

De donde,

tanθ=

√

√

√

√

(

α22

γ2−1

)

sen(φ+β3)

Lo que nos índica que la órbita es plana, pues implica una relación lineal en-

tre los cosenos directores(cosθcosφ,cosθsenφ, senθ). La ’planitud’ de la órbita

se obtiene asimismo de la constancia del momento angular (que es normal al

plano de la órbita), al ser la fuerza una fuerza central. Sea Ω la longitud del nodo

ascendente e i el ángulo de inclinación del plano de la órbita (ver la figura 9.1.

De las relaciones de geometría de triángulos esféricos se verifica que

tanθ= tan i sen(φ−Ω)

de donde Ω = −β3 y por tanto β3 representa la longitud del nodo ascendente.

Así mismo

cos i =γ

α2

Respecto de la segunda de las ecuaciones del movimiento vamos a llamar a


Figura 9.1: Coordenadas de la órbita respecto del equinoccio vernal

ψ a la integral

ψ=∫r

r1

α2dr/r 2

√

2h + 2k2

r− α2

2r2

que en términos de los radios r1, r2 anteriormente definidos, se puede poner

como

ψ=∫r

r1

dr/r 2

√

(

1r1− 1

r

)(

1r− 1

r2

)

integrando,1

r=

1

2

(

1

r1+

1

r2

)

+1

2

(

1

r1−

1

r2

)

cosψ (9.11)

que es una de las formas polares de la elipse. Es fácil de ver que para ψ= 0, r = r1

estamos en el perigeo y para ψ = π, r = r2 estamos en el apogeo. En la segunda

integral de dicha ecuación,∫θ

0

α2dθ√

α22 −

γ2

cos2 θ

Se puede demostrar utilizando la trigonometría esférica que

senθ= sen i sen u

siendo u =ω+ν el desplazamiento angular a partir del nodo ascendente, donde


ω es el argumento del perigeo y ν la anomalía verdadera, se tiene

∫θ

0

α2dθ√

α22 −

γ2

cos2 θ

=∫θ

0

cosθdθp

cos2θ−cos2 i

donde hemos tenido en cuenta que cos i = γ/α2. Puesto que i es constante,

cosθdθ= sen i cos udu y por tanto

∫θ

0

cosθdθp

cos2θ−cos2 i=

∫u

0

sen i cos udup

sen2 i −sen2θ= u

Así pues

ψ= u +β2

y puesto que ψ= 0 para r = r1, esto es en el perigeo, tenemos

β2 =−u0 =−ω

La ecuación de la órbita resulta

1

r=

1

2

(

1

r1+

1

r2

)

+1

2

(

1

r1−

1

r2

)

cos(u −u0) =1

2

(

1

r1+

1

r2

)

+1

2

(

1

r1−

1

r2

)

cos(ν)

Introduciendo como constantes el semieje mayor de la elipse a y la excentri-

cidad e, se tiene r1 = a(1− e) y r2 = a(1+ e) y como r1 y r2 son los ceros de la

ecuación cuadrática 2hr 2 +2k2r −α22 se tiene

−k2

h= r1 + r2 = 2a, r1r2 =−

α22

2h1= a2(1− e2)

de donde

h =−k2

2a

y por tanto la energía total inicial determina el semieje mayor de la elipse. Así

mismo,

α2 =√

k2p


siendo p = a(1− e2) y por tanto

γ=√

k2p cos i

Para deducir la ley horaria, debemos de tener en cuenta la ecuación para-

métrica de la elipse

x = a cosE

y = b senE

siendo E la anomalía excéntrica, de donde es posible deducir que

r = a(1− e cos E)

y que a = (1/2)(r1 + r2); e = (r2 − r1)/(r2 + r1). Por lo que

r = r1 cos2 1

2E + r2 sen2 1

2E

Teniendo en cuenta esta expresión la expresión de la ley horaria de la órbita,

t−t0 =∫r

r1

dr√

2h + 2k2

r − α22

r2

=∫r

r1

rdrp−2h

p(r2 − r)(r − r1)

=√

a

k2

∫r

r1

rdrp

(r2 − r)(r − r1)

la podemos poner como

t − t0 =√

a

k2

∫E

0rdE =

√

a3

k2(E − e senE)

que es la llamada ecuación de Kepler. LLamando

n =

√

k2

a3

se tiene

E −senE = n(t − t 0)

9.5 El método de variación de las constantes 215

de tal forma que para t = t0, E = 0: estamos en el perigeo (El ángulo E se mide

desde el centro de la elipse a partir del perigeo), para E = 2π hemos dado la

vuelta completa y por tanto

2π= nT

por lo que

n =2π

T

o

T =2π

n= 2π

√

a3

k2

de donde se deduce que

a3 = k2(

T

2π

)2

esto es, los cubos del semieje mayor de la elipse es proporcional al cuadrado del

periodo. Segunda ley de Kepler. Con esto tenemos resuelto completamente el

problema. Pues tenemos la ley horaria y la ecuación de la trayectoria e identifi-

cado las constantes del movimiento que vamos a resumir

h = −k2

2a

α2 =√

k2p

γ =√

k2p cos i

β1 = t0 (instante de paso por el perigeo)

β2 = ω (argumento el perigeo)

β3 = −ψ0 (longitud del nodo ascendente)

9.5. El método de variación de las constantes

Considerar que tenemos un problema mecánico cuyo hamiltoniano lo po-

demos poner como H = H0 +H1. Suponed que el problema mecánico cuyo ha-

miltoniano es H0 lo hemos resuelto mediante el método de Hamilton-Jacobi.


Esto es hemos encontrado una transformación de contacto W que nos lleva a

una nuevas variables α,β, donde le hamiltoniano se anula idénticamente y por

tanto las nuevas variables son constantes del movimiento. Según acabamos de

ver

pi =∂W (q,α, t )

∂q i

βi = −∂W (q,α, t )

∂αi?

Ahora bien, una transformación que es de contacto para un hamiltoniano es de

contacto para todo hamiltoniano y por tanto podemos aplicar esta trasforma-

ción de contacto al hamiltoniano H = H0 +H1, lo que nos permite pasar de las

variables q, p a las variables α,β y en estas nuevas variables las ecuaciones de

Hamilton se escriben

βi =∂K

∂αi

αi = −∂K

∂βi

siendo el nuevo hamiltoniano igual al antiguo menos la derivada parcial respec-

to del tiempo de la función generadora de la transformación de contacto reali-

zada, esto es

K = H −∂W

∂t= H0 +H1 −

∂W

∂t

Ahora bien,

H0 −∂W

∂t= 0

y por tanto

K = H1

escrito obviamente en términos de las nuevas variables. Así pues tenemos

βi =∂H1

∂αi

αi = −∂H1

∂βi


y por tanto las coordenadas α,β verifican las ecuaciones de Hamilton, con el

hamiltoniano original H1 escrito en términos de las constanteα,β del problema

de Hamilton-Jacobi del hamiltoniano H0

Ejemplo 9.4 Resolver por el método de variación de las constantes el caso de

una partícula sometida al campo gravitatorio producido por un cuerpo con for-

ma de esferoide.

SOLUCIÓN En el caso de un cuerpo con forma de esferoide, caso de una Tierra

ideal (homogénea y sin relive), el potencial gravitatorio se puede poner como

suma de el potencial gravitatorio de la Tierra supuesta esférica mas un término

perturbativo. De tal forma que el Hamiltoniano de una partícula de masa m so-

metida al campo gravitatorio terrestre se puede poner como suma del hamilto-

niano asociado a la tierra esférica más el asociado al término perturbativo. El

problema de una tierra esférica es el mismo que el de una masa puntual situada

en el origen y por tanto que resolvimos anteriormente. Vamos a aplicar el mé-

todo de variación de las constantes para ver como varían los parámetros de la

órbita en función del término perturbativo.

Vamos a llamar H1 al término perturbativo, tendremos, según acabamos de

demostrar, seis ecuaciones (3 para las α’s y 3 para la β’s )

βi =∂H1

∂αi

αi = −∂H1

∂βi

que podemos poner en términos de los parámetros de la órbita

αi = αi (a, e, i , t0,Ω,ω)

βi = βi (a, e, i , t0,Ω,ω)

Llamemos λi a cada uno de estos seis parámetros. Invirtiendo las anteriores

ecuaciones tendremos seis ecuaciones del tipo λi = λi (αi ,βi ), derivando res-

pecto del tiempo (utilizando la notacion de Einstein de suma en el índice repe-


tido)

λi =∂λi

∂α jα j +

∂λi

∂β jβ j

puesto que α j y β j verifican las ecuaciones de Hamilton

λi =−∂λi

∂α j

(

∂H1

∂β j

)

+∂λi

∂β j

(

∂H1

∂α j

)

que en términos de las λ’s queda

λi =−∂λi

∂α j

(

∂H1

∂λk

∂λk

∂β j

)

+∂λi

∂β j

(

∂H1

∂λk

∂λk

∂α j

)

De la resolución del problema de Kepler obtuvimos que

h = −k2

2a

α2 =√

k2a(1− e2)

γ =√

k2a(1− e2)cos i

β1 = t0 (instante de paso por el perigeo)

β2 = −ω (argumento el perigeo)

β3 = −Ω (longitud del nodo ascendente)

de donde

a = −k2

2h

e2 = 1+α2

2h

k4

cos i =γ

α2

t0 = β1

ω = −β2

Ω = −β3


Derivando respecto del tiempo, tenemos para la primera ecuación

a =k2

2h2h =−

k2

2(k2/2a)2h =

2a2

k2h

Teniendo en cuenta las ecuaciones de Hamilton que acabamos de obtener para

las constantes, llegamos a

a =2a2

k2

∂H1

∂β1=

2a2

k2

∑

k

∂H1

∂λk

∂λk

∂β1

Puesto que β1 solo depende de t0 tendremos

a =−2a2

k2

∂H1(a, e, i ,Ω,ω, t0)

∂t0

teniendo en cuenta que k2 = n2a3 tenemos

a =−2

n2a

∂H1(a, e, i ,Ω,ω, t0)

∂t0

Llamando M = n(t − t0), que recibe el nombre de anomalía media (ángulo reco-

rrido por un cuerpo que se mueve con velocidad angular uniforme n), tenemos

a =−2

n2a

∂H1(a, e, i ,Ω,ω, t0)

∂M

∂M

∂t0=

2

na

∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)

∂M(9.12)

Haciendo lo mismo con el resto de ecuaciones y teniendo en cuenta que de la

definición de MdM

dt= n(1−

dt0

dt) = n −n

dt0

dt


se obtiene

e =(1− e2)

na2e

∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)

∂M−p

1− e2

nea2

∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)

∂ω(9.13)

di

dt=

cot i

na2p

1− e2

∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)

∂ω−

1

na2 sen ip

1− e2

∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)

∂Ω(9.14)

M = n −2

na

∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)

∂a−p

1− e2

na2e

∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)

∂e(9.15)

ω =1− e2

na2e

∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)

∂e−

cot i

na2p

1− e2

∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)

∂i(9.16)

Ω =1

sen i

1

na2p

1− e2

∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)

∂i(9.17)

Nos queda por evaluar H1 y esto obviamente depende del problema a tratar.

En este caso vamos a considerar el campo gravitatorio creado por una Tierra

elíptica. Para ello debemos de considerar que el potencial gravitatorio creado

en el punto r por una masa δm situada en el punto ρ vale

δV (r) =−Gδm

|r−ρ|

y el campo gravitatorio V vale

V (r) =−∫

Gδm

|r−ρ|=

El denominador de las anteriores expresiones se puede poner como

|r−ρ| =√

(r−ρ) · (r−ρ) =√

r 2 +ρ2 −2rρcosψ

siendo ψ el ángulo entre los vectores r y ρ. Teniendo en cuenta los cosenos di-

rectores de ambos vectores este coseno lo podemos poner como

cosψ= senθsenθ′+cosθcosθ′ cos(φ−φ′)

De tal forma que el potencial elemental vale

δV =−Gdm

√

r 2 +ρ2 −2rρcosψ


que se puede expandir en términos de los polinomios de Legendre de la siguien-

te manera

δV =−Gdm

√

r 2 +ρ2 −2rρcosψ=−

Gdm

r

∞∑

n=0

(ρ

r

)nPn (cosψ)

Existen un teorema de expansión de los polinomios de Legendre que nos mues-

tra que

Pn(cosψ) =Pn (senθsenθ′+cosθcosθ′ cos(φ−φ′)) =n∑

p=0αnp P

(p)n (senθ)P

(p)n (senθ′)cos(p(φ−φ′))

donde

αnp =

1 n = 0(n−p)!(n+p)! n 6= 0

Así pues sustituyendo

δV =−Gdm

r

∞∑

n=0

n∑

p=0αnp

(ρ

n

)nP

(p)n (senθ)P

(p)n (senθ′)cos(p(φ−φ′)) =

Integrando a la masa de la Tierra

V =−G

r

∞∑

n=0

n∑

p=0αnp

P(p)n (senθ)

r n

[

cos pφ

∫

P(p)n (senθ′)ρn cos pφ′dm +sen pφ

∫

P(p)n (senθ′)ρn sen pφ′dm

]

Sean

anp =∫

P(p)n (senθ′)ρn cos pφ′dm bnp =

∫

P(p)n (senθ′)ρn sen pφ′dm

Vamos a calcular estos coeficientes para los primeros valores de n

n = 0, p = 0

a00 =∫

dm = M , b00 = 0


n=1, p=0,1

a10 =∫

ρsenθ′dm =∫

zdm = mZG (9.18)

a11 =∫

ρcosθ′ cosφ′dm =∫

xdm = mXG (9.19)

b11 =∫

ρcosθ′ senφ′dm =∫

ydm = mYG (9.20)

n=2, p=0,1,2

a2,0 =∫

ρ2(3

2sen2θ′−

1

2)dm =

3

2

∫

z2dm−1

2

∫

(x2 + y2 + z2)dm

(9.21)

a2,1 =∫

ρ2(3senθ′ cosθ′)cosφ′dm = 3∫

xzdm (9.22)

a2,2 =∫

ρ2(3cos2θ′)(2cos2φ′−1)dm = 6∫

x2dm−3∫

(x2 + y2)dm

(9.23)

b2,1 =∫

ρ2(3senθcosθ)senφ′dm = 3∫

y zdm (9.24)

b2,2 =∫

ρ2(3cos2θ′)(2senφ′cosφ′)dm = 6∫

x ydm (9.25)

Teniendo en cuenta la definición de los momentos de inercia

A =∫

(y2 + z2)dm,B =∫

(x2 + z2)dm,C =∫

(x2 + y2)dm

y de los productos de inercia

E =∫

y zdm,F =∫

xzdm,G =∫

y zdm

se tiene que

a20 =1

2(A+B)−C , a21 = 3E , a22 = 3(B − A)

b21 = 3D, b22 = 6F


Sustituyendo se tiene

V =−GM

r−

GM

r 2(Xg cosθcosφ+YG cosθsenφ+ZG senθ)−

GM

r 3

[(

A+B

2−C

)(

3

2sen2θ−

1

2

)

+

3senθcosθ(E cosφ+F senφ)+

3cos2θ

(

B − A

4cos 2φ+

1

2F sen2φ

)]

−

....

(9.26)

Supuesto que la Tierra tenga la forma de un elipsoide de revolución, entonces

E = F = 0 y A = B y suponiendo que el origen está en el centro de masas (XG =YG =ZG = 0) se tiene

V =−GM

r−

GM

r 3(A−C )

(

3

2sen2θ−

1

2

)

−·· ·

Ecuación que puede expresarse en forma de serie de la siguiente manera

V =−GM

r

[

1+R2

r 2J2P2(cosθ)+

R4

r 4J4P4(cosθ)+·· ·

]

(9.27)

siendo

J2 =A−C

MR2

y R el radio ecuatorial. Para la Tierra J2 = 0,001082625 y J4 = 0,000001623, por lo

que el tercer término de la expansion en serie es muy pequeño frente al segundo

y en muchas de las aplicaciones se puede despreciar, por lo que

V =−GM

r

(

1+R2

r 2J2P2(cosθ)

)

(9.28)

El segundo término se puede considerar como el termino perturbativo del ha-

miltoniano

H1 =−k2R2

r 3J2P2(cosθ) =

k2R2

2r 3J2(1−3sen2θ) (9.29)


que utilizando la expresión

senθ= sen i sen u = sen i sen(ω+v)

siendo i el ángulo de inclinación de la órbita, ω el argumento del perigeo y v la

anomalía verdadera, podemos poner como

H1 =k2R2

2r 3J2(1−3sen2 i sen2(ω+v)) =

k2R2

2r 3J2

(

1

3−

1

2sen2 i +

1

2sen2 i cos 2(ω+v)

)

(9.30)

donde hemos hecho uso de la fórmula sen2 x = (1/2)(1−cos 2x)

En general los elementos de la órbita sufrirán variaciones que podemos agru-

par en: variaciones seculares, variaciones periódicas de periodo corto y varia-

ciones periódicas de periodo largo. Las variaciones seculares implican una cre-

cimiento continuo con el tiempo, mientras que las otras como su nombre indica

son funciones periódicas de este. Las variaciones seculares de primer orden (en

J2) se obtienen integrando la perturbación H1 a lo largo de una giro completo

esto es

H1 =∫2π

0H1dM

Se puede ver que

H1=3

2

k2R2

a3 J2(1− e2)−3/2

(

1

3−

1

2sen2 i

)

de donde podemos obtener la variación (secular) de los parámetros orbitales,

Ωs = −3

2

J2R2

a2(1− e2)2n cos i (9.31)

ωs =3

2

J2R2

a2(1− e2)2n

(

2−5

2sen2 i

)

(9.32)

Ms = n +3

2

J2R2

a2(1− e2)3/2n

(

1−3

2sen2 i

)

(9.33)

Ecuaciones que nos permiten obtener, en primera aproximación las variaciones

seculares de la órbita. La primera de ella nos da la tasa a la cual precesiona el no-

do ascendente de la órbita. La segunda la velocidad a la que varía el argumento

9.6 Relación entre la teoría de Hamilton – Jacobi y la mecánicacuántica 225

del perigeo y la tercera la variación de la velocidad angular media con la que se

recorre la órbita. En el caso de un satélite de órbita polar pura i =π/2, la veloci-

dad de precesión es nula y por tanto se mantiene el plano de la órbita. Podemos

emplear este conjunto de ecuaciones para ver que inclinación se tiene que dar a

un satélite para que tenga una velocidad de precesión conocida. Así por ejemplo

en Meteorología se requiere que el satélite precesione a la misma velocidad que

el Sol, que es de 2π en 365.2419 días, de donde es posible evaluar la inclinación

de la órbita. Esta resulta ser de unos 110.

9.6. Relación entre la teoría de Hamilton – Jacobi y la me-

cánica cuántica

Hemos visto como podemos resolver las ecuaciones del movimiento me-

diante una función generadora de una transformación de contacto que verifica

la ecuación de Hamilton – Jacobi.

H(q,∂W

∂q, t )=−

∂W

∂t

Según hemos visto, podemos tomar como función generadora a la función prin-

cipal de Hamilton

S =∫

Ldt

que en el caso en que el tiempo no esté en el hamiltoniano, podemos separar en

S = W∗−Et =∫

∑

i

pi dq i −Et

de tal forma que

W∗ =∫

∑

i

pi dq i


W∗ =∫

√

2(E −V )ds =∫p

2T ds


siendo ds2 =∑

Ti j dq i dq j . De la anterior ecuación se deduce que

dW∗

ds=p

2T .

Así mismo, hemos visto que

pi =∂W∗

∂q i

que en forma vectorial toma la forma,

p =∇W∗

puesto que el momento es tangente a la trayectoria de la partícula en el espa-

cio de la configuración, la anterior ecuación nos dice que la partícula se mueve

normal a las superficies W∗ constante.

Así mismo en óptica geométrica, el principio variacional de Fermat cuya for-

ma matemática viene dada por

δ

∫

nds = 0

nos dice que el rayo viaja a lo largo de trayectorias de tiempo mínimo. LLaman-

do

L =∫

nds

El principio de Fermat, nos garantiza que la anterior integral no depende del

camino elegido y por tanto,dL

ds= n

podemos identificar a la función L de la óptica geométrica con la función W∗ de

la mecánica. Como vimos en el capítulo anterior, la función L (que allí llamamos

V) nos permitía el cálculo de la trayectoria de los rayos en la óptica geométrica al

igual que W∗ nos permite el cálculo de la trayectoria en mecánica clásica. Ahora

bien, la óptica geométrica es el límite, cuando la longitud de onda se hace muy

pequeña, de la óptica ondulatoria.

Vamos a ver ahora que significado tiene la función L en el dominio de la

óptica ondulatoria obteniendo los anteriores resultados a partir de principios


ondulatorios cuando la longitud de onda se hace muy pequeña. La ecuación

fundamental de la óptica ondulatoria es

∇2ψ−n2

c2

∂2ψ

∂t 2= 0

Suponiendo que tenemos ondas monocromáticas

∇2ψ+k2ψ= 0

Si n es constante, una solución de la ecuación anterior es una onda plana

ψ=ψ0e i (kr−ωt )

siendo φ= (kr−ωt ) la fase. Las superficies de igual fase, en un instante t0 son

kr−ωt0 = ct e

que son planos ortogonales al vector k. La velocidad de fase viene dada por la

expresión

kdr

dt=ω−→ ku =ω

de donde

u =ω

k2k, u =

ω

k

En el caso que n sea función de la posición ya no es válida la solución anterior.

Vamos a suponer que las soluciones son de la forma

ψ(r, t )= A(r)exp i k0(L(r)− ct )

siendo L(r) la superficie de igual fase y recibe el nombre de eikonal (del grie-

go imagen). Substituyendo en la ecuación de ondas, llegamos a que se debe de

verificar

∇2 A+ (∇A)2 +k0(

n2 − (∇L)2)

= 0

lo que nos dice, que si la longitud de onda tiende a cero, k0 → ∞, para que la


anterior ecuación siga siendo válida se debe de verificar que

n2 = (∇L)2

En estas condiciones, el vector unitario normal a la superficie de igual fase L(r)

viene dada por

s =∇L

|∇L|y por tanto

∇L = ns

Como el rotor del gradiente es cero ∇× (ns) = 0 por lo que por el teorema de

Stokes∮

nsdr=∫∫

∇× (ns)dσ= 0

por lo que la integral∫

nsdr

es independiente del camino y dado que ns=∇L, tenemos que se verifica que

L =∫

∇Ldr =∫

nsdr=∫

nds

y por tanto la eikonal coincide con el camino óptico.

La fase completa de la onda viene dada por φ = kL−ωt , en el dominio de

la óptica geométrica, L coincide con el camino óptico. En mecánica clásica te-

nemos que S = W −Et , por lo que vemos que el papel de la fase lo cumple la

función principal de Hamilton y el papel de la eikonal lo desempeña la función

característica de Hamilton. Podemos por tanto calcular cual es la velocidad de

fase en mecánica. En óptica hacemos

dφ

dt= 0

en mecánicadS

dt=

dW

dt−E = 0


por lo quedW

dt= E

teniendo en cuenta que dW /ds =p

2T , tenemos

dW

dt=

dW

ds

ds

dt=p

2T u = E

de donde

u =E

p2T

que nos da a que velocidad se mueven los frentes de onda en el espacio de las

fases. No nos da la velocidad de la partícula, que esp

2T . Cual sería la longitud

de onda asignada a la partícula. Para ello identifiquemos las fases en óptica y en

mecánica, teniendo en cuenta que la fase óptica no tiene dimensiones y la de

mecánica tiene dimensiones de acción tenemos

W −Et = ~(k0L−ωt )

de donde

E = ~ω= hν

que es la relación de De Broglie para la energía asociada a una partícula. La lon-

gitud de onda la podemos evaluar como

λ= uT =u

ν=

E/p

2T

ν=

hp

2T

ahora bienp

2T = p el momento de la partícula, por lo que

λ=h

p

La ecuación de ondas en óptica ondulatoria es

∇2ψ+k2ψ= 0

cual es la correspondiente ecuación en mecánica. Pues la misma, con tal de em-


plear la correspondiente longitud de onda

∇2ψ+(

2πp

2T

h

)2

ψ= 0

que reordenando

~2∇2ψ+ (E −V )ψ= 0

que es la ecuación de Schrodinger. La idea ahora es la siguiente, hemos identi-

ficado la mecánica clásica con la óptica geométrica, siendo esta el límite de la

óptica ondulatoria, cerrando el círculo podemos considerar a la mecánica clási-

ca como el límite de la mecánica cuántica cuando la longitud de onda asociada a

la partícula se hace muy pequeña. Como la longitud de onda asociada a la partí-

cula es proporcional a la constante de Planck, el límite λ→ 0 se alcanza cuando

h → 0.

Ejercicios

Ejercicio 9.1 Obtener las ecuaciones del movimiento de un péndulo esférico de

masa m y longitud l en un campo gravitatorio mediante el método de Hamilton

– Jacobi.

Ejercicio 9.2 Calcular las ecuaciones del movimiento de un trompo simétrico

mediante el método de Hamilton - Jacobi.

Ejercicio 9.3 Calcular el movimiento de un partícula en un campo de fuerzas

de la forma F = At mediante el método de Hamilton – Jacobi

Ejercicio 9.4 Encontrar las ecuaciones del movimiento de una barra que se mue-

ve a lo largo de una superficie la cual rota en torno a un eje horizontal.

Capítulo 10

Variables acción – ángulo

La teoría de Hamilton-Jacobi nos proporciona una función generatriz de una

transformación de contacto que nos transforma el par de variables canonicas

p,q en otro par P,Q que son constantes del movimiento. En este capítulo vamos

a considerar otra transformación que nos pasa a un nuevo sistema de variables

que ya no tienen por qué ser constantes del movimiento pero que permiten ob-

tener información muy interesante de la solucción del problema dinámico en

ciertos tipos de sistemas.

10.1. Sistemas ciclicos

Considerar un sistema dinámico caracterizado por un conjunto de variables

canónicas q1, q2, . . . , qn , p1, p2 . . . , pn . Según evoluciona con el tiempo el sistema

mecánico, el punto representativo en el espacio de las fases describe una órbita.

La proyección de este movimiento sobre cada plano q i , pi , dará lugar a un órbita

en dicho plano. En general esta órbita vendrá dada por una ecuación del tipo

q i = q i (pi ). Vamos a suponer que esta órbita puede ser de dos tipos

libración, en este caso la órbita q i = q i (pi ) es una curva cerrada, lo que

significa que tanto la posición q i como el momento pi son funciones pe-

riódicas, en el sentido que al cabo de un cierto tiempo la proyección del

punto en este plano vuelve a ocupar la misma posición y tiene el mismo

232 Capítulo – 10. Variables acción – ángulo

momento, aunque no lo haga en identicos periodos de tiempo. Ejemplo

típico de este movimiento es el del pendulo

rotación, en este caso la órbita es tal que el momento pi es una función pe-

riódica de q i , mientras que la variable q i aumenta indefinidamente con el

tiempo. Un movimiento típico obsiamente es la rotación de un sólido al-

rededor de un eje. En este caso, el ángulo de rotación aumenta continua-

mente con el tiempo, mientras que el momento vuelve a tener el mismo

valor al cabo de un periodo.

Si cada órbita en cada plano q i , pi es de cualquiera de los dos tipos anteriores,

diremos entonces que el sistema es cíclico. Aunque en cada plano el sistema

puede ser cíclico, no necesariamente el movimiento en el espacio de las fases

tiene por que volver a ocupar idénticas posiciones. Un mismo sistema mecánico

puede realizar una libración o una rotación. Cosiderar por ejemplo el caso de

un péndulo. La energía total vale (z se toma positiva hacia abajo y θ es el ángulo

respecto de la vertical)

E =1

2mv2 −mg z =

1

2ml2p2θ −mg l cosθ

de donde

pθ =√

2ml2(E +mg l cosθ)

si E > mg l , θ puede tomar culaquier valor y por tanto el movimiento es una

rotación. Si E < mg l , el movimiento está restringido a aquellos ángulos que ve-

rifican |θ| ≤ θ0, siendo

cosθ0 =−E

mg l

En estas condiciones el péndulo oscila entre −θ0 y +θ0, el movimiento es una

libración.

10.2. Variables acción ángulo

Considerar un sistema cíclico con n grados de libertad, cuyo estado dinámi-

co esta caracterizado por un conjunto de variables canónicas (q,p). Sea H(q,p)

10.2 Variables acción ángulo 233

el hamiltoniano del sistema y sea

W (q,α) =∑

i

Wi (qi ,α)

la función característica de Hamilton solucción completa de la ecuación en de-

rivadas parciales de Hamilton – Jacobi

H(q,∂W

q) = h.

Sean J = J1, J2, . . . , Jn un conjunto de constantes definidas por las ecuaciones

Ji (α)=∮

∂Wi (qi ,α)

∂qidqi (10.1)

donde la integral está extendida a un ciclo completo de la variable qi . Supuesto

que el Jacobiano de las J’s respecto de lasα’s es distinto de cero, podemos utilizar

como función generadora, la función

W (q,J) =∑

i

Wi (qi ,α(J)) =∑

i

Wi (qi ,J) (10.2)

que nos lleva del conjunto original de variables (q,p) a un nuevo conjunto (w,J)

definido de forma explícita mediante las ecuaciones de transformación

pi =∂W (q,J)

∂q i=

∂Wi (qi ,J)

∂q i(10.3)

wi =∂W (q,J)

∂Ji. (10.4)

Las variables wi reciben el nombre de variables ángulo y las variables Ji reciben

el nombre de variables acción1

Puesto que

pi =∂W (q,J)

∂q i=

∂Wi (qi ,α)

∂q i

1Al fín y al cabo las Ji tienen dimensiones de acción


podemos poner como definición de las variables de acción

Ji (α) =∮

pi (qi ,α)dqi (10.5)

La ecuación pi = pi (qi ,α) es la ecuación de la proyección de la órbita p = p(q)

sobre al plano pi , qi , de tal forma que la integral en la expresión (10.5) es la inte-

gral a lo largo de la proyección de la orbita en el plano (qi , pi ), que por hipótesis

es cerrada. Así pues Ji representa el área encerrada por dicha proyección. Este

área depende de las constantes α, esto es depende de las condiciones iniciales.

Históricamente el paso de la mecánica clásica a la cuántica consistió en suponer

que estas áreas debían de ser un múltiplo entero de ~.

10.3. El movimiento del sistema en términos de las varia-

bles acción–ángulo

Teorema 10.3.1 Considerar un sistema cíclico de n grados de libertad cuyo es-

tado dinámico está definido por 2n variables canónicas (q,p) y cuyo comporta-

miento está regido por un hamiltoniano H(p,q). Si hacemos un cambio de va-

riables, mediante una transformación de contacto a las variables acción–angulo

(w,J), en estas nuevas variables el kamiltoniano solo depende de (J), esto es

K = K (J). El movimiento del sistema en esta situación viene descrito por las ex-

presiones

Ji = γi (10.6)

wi = νi t +φi (10.7)

donde las γi y φi son constantes que dependen de las condiciones iniciales y νi

son las frecuencias del sistema definidas por las relaciones

νi =(

∂H(J)

Ji

)

J=γ(10.8)

DEMOSTRACIÓN

Dado que la tranformación de contacto de las variables iniciales a finales no

10.3 El movimiento del sistema en términos de las variablesacción–ángulo 235

depende del tiempo,

K (w,J) = H(q,p)

por lo que

K (w,J) = H(q(w,J),p(wJ))

= H

(

q(w,J),∂W (q,J)

∂q

)

= H

(

q(w,J),∂W (q,α(J))

∂q

)

= h (10.9)

Puesto que hemos supuesto que somos capaces de obtener las constantes α’s

en terminos de las J, en particular la energía total h será una cierta función de

las constantes J, esto es

h = h(J)

por lo que

K (w,J) = h(J) (10.10)

como queriamos desmostrar.

Las ecuaciones de Hamilton en las nuevas variables se esriben

Ji = −∂K

∂wi= 0 (10.11)

wi =∂K

∂Ji(10.12)

que son facilmente integrables

Ji = γi (10.13)

y

wi =∫(

∂K

∂Ji

)

J=γdt = νi t +φi (10.14)

siendo

νi =(

∂K

∂Ji

)

J=γ

con lo que queda demostrado el teorema.

Teorema 10.3.2 Si consideramos un movimiento del sistetam que consiste en


que todas las coordenadas q j se mantienen constantes excepto la coordenada

qi , entonces en el paso de qi a lo largo de un ciclo, todas las coordenadas w j

vuelven a sus valores originales excepto la wi que cambia en una unidad. Re-

ciprocamente si todas las w j se mantienen constantes excepto wi que varía en

una unidad, las coordenadas q j se mantienen constantes y la qi recorrerá un

ciclo constante.

DEMOSTRACIÓN

De las ecuaciones (10.4) que nos dan la transformación de forma explícita

wi =∂W (q,J)

Ji

puesto que la coordenadas Ji se mantienen constantes a lo largo del sistema

dw j =∑

k

∂

∂qk

(

∂W (q,J)

J j

)

dqk =∂

∂J j

∑

k

∂W (q,J)

qkdqk

si todas las q’s se mantiene fijas excepto la q i , tenemos

dw j =∂

∂J j

∂W (q,J)

q idq i

integrando a un ciclo completo

∆w j =∮

∂

∂J j

∂W (q,J)

q idq i =

∂

∂J j

∮

∂W (q,J)

q idq i

de la definición de las variables J

Ji =∮

∂W (q,α)

q i=

∮

∂W (q,α(J))

q i=

∮

∂W (q,J)

q i

de donde

∆w j =∂

∂J j(Ji ) =δi j

esto es ∆w j vale 1 si i = j y vale cero en cualqueir otro caso, como queriamos

demostrar. El recíproco también es cierto. Si todos las w j las mantenemos cons-

tantes excepto la i − exi ma que la variamos en una unidad, todas las qi vuel-


ven a su valor original. Para demostrarlo debemos de hacer notar que para que

W (q,J) sea una función generadora de la transformación de contacto válida es

necesario que el hessiano∣

∣

∣

∣

∣

∂2W (q,J)

∂q i∂J j

∣

∣

∣

∣

∣

sea distinto de cero. Teniendo en cuenta la definición de las wi esta condición

nos lleva a que∣

∣

∣

∣

∂w j (q,J)

∂q i

∣

∣

∣

∣

6= 0

lo que significa del teorema de la implícita que podemos despejar las variables

q como función de w y J,

q =q(w,J)

de tal forma que si dado un valor de q genera un valor de w , cada valor de w

debe de corresponder con este valor de q.

Corolario

Cualquier función F de las variables qi tiene las siguientes propiedades

1. F es una función multiplemente periódica del conjunto de coordenadas

(w1, w2, . . . , wn) con periodos fundamentales (1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1).

2. F se puede expandir en series de Fourier de la forma

F =∑

n1

∑

n2

∑

nn

An1,n2,...,nnsen[2π(n1w1 +n2w2 + . . . , nn wn)]+

+Bn1,n2,...,nncos[2π(n1w1 +n2w2 + . . . , nn wn)]

o bien

F =∑

n1

∑

n2

∑

nn

Cn1 ,n2,...,nnsen[2π(n1ν1 +n2ν2 + . . . , nnνn)t ]+

+Dn1,n2,...,nncos[2π(n1ν1 +n2ν2 + . . . , nnνn)t ]

donde A,B,C ,D son constantes.

3. Si F , cuando se expresa en términos de las variables acción – ángulo, es


función de las variables de acción y de algún subconjunto de las variables

ángulo (w1, w2, . . . , wr ) donde r < n, entonces F será una función periódi-

ca del tiempo si las recíprocas de las frecuencias (ν1,ν2, . . . ,νr ) tienen un

factor común, esto es, si

k1

ν1=

k2

ν2= ·· · =

kr

νr

Ejemplo 10.1 El hamiltoniano de un oscilador armónico simple viene dado por

H(q, p)=1

2mp2 +

1

2kq2

demostrar que la frecuencia ν es igual a

1

2π

(

k

m

)1/2

DEMOSTRACIÓN

Puesto que H es una constante de movimiento la órbita en el el espacio de las

fases viene dada por la elipse

h =1

2mp2 +

1

2kq2

de semiejes (2mh)1/2 y (2h/k)1/2 . De acuerdo con la definición de variables de

acción como el área encerrada por la trayectoria, tenemos

J =π(2mh)1/2(2h/k)1/2 = 2π(m

k

)1/2h

por lo que

h = H(J) =1

2π

(

k

m

)1/2

J

y la frecuencia

ν=∂H(J)

∂J=

1

2π

(

k

m

)1/2

Ejemplo 10.2 Usar las variables acción–ángulo para analizar el movimiento de


una partícula que se mueve en un plano bajo la acción de una fuerza central

procedente de un potencial definido por la expresión

V (r) =−k

r−

β

r 2

siendo k,β constantes y β<< kr sobre el rango de r exhibido por la partícula en

su movimiento.

DEMOSTRACIÓN

Como hemos visto anteriormente el hamiltoniano en polares toma la forma

H(r,ψ, pr , pψ) =1

2mp2

r +1

2mr 2p2ψ−

k

r−

β

r 2

Puesto que el tiempo no esta en el hamiltoniano y ψ es una coordenada ignora-

ble tenemos

W = W∗(r, pψ, h)+pψψ−ht

de donde la ecuación de Hamilton–Jacobi resulta,

1

2m

(

∂W∗

∂r

)2

+1

2mr 2p2ψ−

k

r−

β

r 2= h

despejando e integrando, obtenemos

W∗(r, pψ, h)= (2m)1/2∫(

h +k

r+

β

r 2−

1

2mr 2p2ψ

)1/2

dr

las órbitas en el subespacio de las fases (r, pr ) y (ψ, pp si ) las podemos obtener a

partir de las ecuaciones

pr =∂W

∂r= (2m)1/2

(

h +k

r+

β

r 2−

1

2mr 2p2ψ

)

pp si =∂W

∂ψ= γ

siendo γ una constante.


Si suponemos quemk2

4mβ−2p2ψ

< h < 0

la orbita pr = pr (r) es cerrada y simétrica alrdedor del eje r . estando los valores

de r restringidos al rango r1, r2 dado por las raices de la ecuación

h +k

r+

β

r 2−

1

2mr 2p2ψ = 0

La orbita en el plano (pψ,ψ) es tambien cerrada, reduciendose a una línea rec-

ta. El sistema es por lo tanto cíclico. Como es de variables separables podemos

definir las variables acción–ángulo.

Jr =∮

pr dr =∮

(2m)1/2(

h +k

r+

β

r 2−

1

2mr 2p2ψ

)

dr =

= (2m)1/22∫r2

r1

(

h +k

r+

β

r 2−

1

2mr 2p2ψ

)

=−2π(p2ψ−2mβ)1/2 + (−

2m

h)1/2πk

y

Jψ =∮

pψdψ= 2πpψ

despejando h y pψ en terminos de Jr y Jψ,

h =2mπ2k2

[

J2r +

(

J2ψ−8π2mβ

)1/2]2

y

pψ =Jψ

2π

de donde

H(Jr , Jψ) = h =2mπ2k2

[

J2r +

(

J2ψ−8π2mβ

)1/2]2


por lo que las frecuencias vienen dadas por las expresiones

νr =∂H

∂Jr=

4mπ2k2

[

J2r +

(

J2ψ−8π2mβ

)1/2]3

=(−2mh)3/2

2m2πk

νψ =∂H

∂Jψ=

Jψ(

J2ψ−8π2mβ

)1/2νr .

De la definición de las variables ángulo

wr =∂W

∂Jr=

∂W

∂h

∂h

∂Jr+

∂W

∂pψ

∂pψ

∂Jr=

=∂W∗(r, h, pψ)

hνr = νr F (r)

siendo

F (r) =(m

2

)1/2∫(

h +k

r+

β

r 2−

h2

2mr 2

)−1/2

dr

de la misma manera

wψ = νψF (r)−G(r)+ψ

2π

siendo

G(r) =1

2π

(m

2

)1/2∫(

h +k

r+

β

r 2−

h2

2mr 2

)−1/2 (

h

mr 2

)

dr.

De la ecuacion que nos define wr podemos despejar r = r(wr ). La cantidad

r es una función periódica de wr con periodo unidad. Puesto que wr cambia en

una unidad en un tiempo τr = 1/νr , se deduce que r es una función periodica

del tiempo con periodo 1/νr . De la ecuación que nos da wψ obtenemos que

ψ=ψ(wr , wψ)

El ángulo ψ es una función doblemente periódica de (wr , wψ) con frecuencias

fundamentales (1,0), (0,1). Puesto que wr cambia en una unidad en un tiempo

1/νr y wψ cambia en una unidad en un tiempo 1/νψ, el ángulo ψ no será una

función periódica del tiempo a no ser que νr /νψ sea un número racional. Una

vez que conozcamos r(wr ) y ψ(wr , wψ) podemos encontrar r(t ) y ψ(t ) sin más


que tener en cuenta que

wr = νr t +λr

wψ = νψt +λψ

Si β = 0, el problema se reduce al movimiento de una partícula bajo una

fuerza central función inversa de la distancia al cuadrado. En este caso

νψ = νr = ν=(−2mh)3/2

2m2πk

que coincide con la ley de Kepler de que el periodo al cuadrado es proporcional

al cubo del semieje mayor de la órbita. La órbita en el espacio es cerrada y se

puede demostrar que es una elipse.

Si β es pequeña, per no cero, la órbita, aunque no cerrada, es prácticamente

una elipse y el pericentro ( punto mas cercano al centro de fuerzas) precesiona

ligeramente alrededor del centro de fuerzas, cuya velocidad se puede deducir

sin tener en cuenta las expresiones explícitas de r(t ) y ψ(t ). De la expresión para

wψ, despejando ψ

ψ= 2πνψt −2πνψF (r)+2πG(r)+2πλψ

Puesto que r(t ) es función periodica de periodo τr = 1/νr , durante este periodo,

las funciones F (r) y G(r) no cambian por lo que el cambio en ψ será

∆ψ= 2πνψτr = 2π

(

νψ

νr

)

si νψ =νr entonces ∆ψ= 2π y no hay avance en el pericentro. Si ambas frecuen-

cias son diferentes entonces el pericentro avanza un cantidad que vale 2π(νψ/νr )−2π. La velocidad de avance del pericentro viene dada por

R =2π(νψ/νr )−2π

τr= 2π(νr −νψ)



νψ =Jψ

(Jψ−8π2mβ)1/2νr

para β pequeño, podemos desarrollar en serie por lo que

νψ =(

1+4π2mβ

J2ψ

)

νr

Sustituyendo

R =8π3mβ

J2ψ

νr

teniendo en cuenta que Jψ = 2πh,

R =2πmβ

h2νr


Capítulo 11

Mecánica de medios continuos

11.1. Introduction

Aunque la mecánica de medios continuos no tiene porque ceñirse a la me-

cánica de fluidos, si que podemos considerar a la mecánica de fluidos como un

ejemplo típico de mecánica de medios continuos. Por esta razón vamos a utili-

zar la mecánica de fluidos como un medio para estudiar la mecánica de medios

continuos.

11.2. Noción del continuo

Esta hoy en día perfectamente asumido que la materia es discreta, esto es

está formada por átomos, los cuales a su vez están compuestos por núcleos y

electrones "girando.entorno a sus núcleos. Estos a su vez estan compuesto por

otras partículas los cuales a su vez estan compuesto por otras partículas, etc. No

obstante podemos todavia en ciertos problemas considerar a la materia como

continua esto es con propiedades macroscópicas que son función continua de

la posición en el seno de la materia. Para analizar en que condiciones podemos

considerar a la materia como un continuo. Considerar el concepto de densidad

ρ. Para definir la densidad en un punto, devemos de tomar un volumen muy pe-

queño entorno a dicho punto y calcular la densidad como la suma de las masas

246 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos

de las partículas contenidas en dicho volumen y lo dividiremos por el volumen

ρ(δVx ) =∑

i m(i )

δVx

Si el volumen es muy pequeño el anterior valor fluctuará fuermente cuando va-

yamos de un punto a otro, aunque sea próximo, pues el valor de la densidad de-

penderá de si hemos cogido alguna partícula o no dentro de nuestro volumen

elemental, con lo que la idea de un valor de la densidad función continua de la

posición no es posible. Así mismo si cambiamos el tamaño de nuestro volumen

la densidad cambiará fuertemente pues como antes es psoible que el numero de

partículas contenidas en el interior del volumen varíe fuertemente y por tanto

nuestra definición de densidad dependerá enormemente del volumen elegido

para definirla. Si vamos aumentando nuestro volumen, poco a poco se irá esta-

bilizando el valor de la densidad hasta que este apenas varie pues la inclusión

de nuevas partículas no va alterar el valor de la densidad. Sea V0 el valor para el

cual esto ocurre. Si dicho valor es muy pequeño frente al tamaño macroscópico

del problema que nos ocupa, podemos considerar a la densidad definida en ese

volumen como un valor local, en realidad la vamos a tomar como la densidad

en el punto origen de dicho volumen, esto es

ρ(x)= ρ(δV0)

El problema surge cuando dicho volumen es grande comparado con el tamaño

del problema de tal forma que no lo podemos considerar como local. En estas

condiciones debemos de acudir a otra teoría como puede ser la teoría cinética

de gases. Lo mismos que hemos hecho para la densidad se puede hacer para

otras propiedades macroscopicas como son la velocidad, la temperatura, la pre-

sión etc. En cualquier casos vamos a suponer que todas estas propiedades son

función continua de la posición, salvo en un conjunto de medida nula.

11.3 Concepto de flujo 247

11.3. Concepto de flujo

En los problemas de sistemas de partículas, se supone que tenemos resuel-

to nuestro problema cuando conocemos la treyectoria de cada una de las par-

tículas, esto es cuando tenemos funciones de la forma xi = xi (xi 0, t ) que nos

permiten conocer la posición de la partícula en cada instante como función de

la posición inicial. En el caso de mecanica de medios continuos vamos a tener

una infinitud no numerable de partículas y en vez de tener un índice que nos las

cuente tendremos un numero (o numeros) real (reales). Sea ξ el parámetro que

nos designa las partículas del medio continuo, Este parámetro puede ser por

ejemplo la posición en un instante inicial. Como antes supondremos que existe

un mapa o aplicación que nos lleva cada partícula ξ en un instante dado a la

posición en un instante posterior. Esto es supondremos que existe una función

ψ tal que

x =ψt (ξ)= x(ξ, t )

Vamos a suponer que se verifican las siguientes propiedades

1. La aplicación ψt (ξ) es una aplicación uno a uno y la inversa es tambien

uno a uno. Esto significa que una partícula no se puede dividir en dos y

que dos partículas no se pueden juntar y dar lugar a una nueva partícula.

2. La aplicación ψt (ξ) es una función continua y con derivada continua de

la posición ξ, de tal forma que el fluido se puede deformar todo cuanto

queremos sin llegar a romperse. La aplicación inversa verifica tambien es-

tas propiedades. En estas condiciones diremos que la aplicación ψ es un

difeomorfismo

3. La aplicaciónψt tiene las propiedades de un grupo, de tal forma queψt+s =ψtψs , ψ0 es la identidad y ψ−t es el elemento inverso de ψt . Este grupo re-

cibe el nombre de grupo uniparamétrico.


11.4. Imagenes euleriana y lagrangiana

El estudio de los fluidos se puede abordar desde dos imagenes o visiones

diferentes. En primer lugar podemos fijarnos en cada una de las partículas que

componen el fluido1 y analizar que ocurre con cada una de ellas en el curso del

tiempo. Esto constituye la imagen lagrangiana del fluido. O bien en vez de ver

que le ocurre a cada partícula podemos ver que pasa en cada punto del espacio

en cada instante de tiempo. En este caso hablaremos de imagen euleriana. La

imagen euleriana equivale a una teoría de campos. >Que relación existe entre

una y la otra ?. Para ello imaginemos una propiedad de una partícula ξ que en el

instante t se encuentra en el punto x. Obviamente dicha propiedad coincidirá

con la propiedad del punto x en dicho instante. Así pues

P (ξ, t )=P (x(ξ, t ), t )

La anterior ecuación nos dice, que la propiedad P que tiene la partícula ξ en

el instante t , coincide con el valor de la propiedad P en el punto x en el cual

está la partícula ξ en el instante t . Así mismo la propiedad P en el punto x en el

instante t coincidirá con la propiedad de la partícula que este en ese instante en

dicho punto

P (x(ξ, t ), t )=P (ξ, t ) (11.1)

11.5. Derivada másica

Es interesante poder relacionar las variaciones temporales que tiene una

propiedad P en las dos imagenes de Lagrange y Euler. Esta cuestión es funda-

menteal pues las leyes de la mecánica y la termodinámica son leyes que se apli-

can a un sistema mecánico o termico fijado de antemano. Cuando aplicamos la

leyes de Newton, lo primero que hacemos es fijar el sistema mecánico y luego

anlaizamos cuales su evolución en el tiempo. Esto significa cuando apliquemos

estas misma leyes en mecánica de fluido que debemos de fijar a que partícu-

1La idea de partícula aquí, no es el mismo que en la mecánica de sistemas, pues estamos su-poniendo que el medio es continuo. Una partícula aquí es un pequeño volumen en torno a unpunto dado.

11.5 Derivada másica 249

las se las debemos de aplicar esto es debemos de utilizar la imagen lagrangiana

para poder aplicar las leyes de Newton. Lo mismo sucede con las leyes termo-

dinámicas. Ahora bien es normal que conozcamos las propiedades espaciales y

por tanto tengamos un conocimiento euleriano del sistema. >como relacionar

las variaciones temporales en una imagen y otra ?. La respuesta está en las ecua-

ciones dadas en la sección anterior. Partiendo de la expresión (11.1) y derivando

respecto del tiempo, manteniendo ξ constante,

DP

Dt=

∂P (x(ξ, t ), t )

∂t

∣

∣

∣

∣

x+∂P (x(ξ, t ), t )

∂x

∂x(ξ, t )

∂t

∣

∣

∣

∣

ξ

Ahora bien∂x(ξ, t )

∂t

∣

∣

∣

∣

ξ

no es otra cosa que la velocidad de la partícula ξ en el instante t que por la mis-

ma ecuacion (11.1) es la velocidad en el punto x ocupado en ese instante por la

partícula ξ, por lo tanto tenemos

DP

Dt=

∂P (x(ξ, t ), t )

∂t

∣

∣

∣

∣

x+v(x, t ) ·

∂P (x(ξ, t ), t )

∂x(11.2)

La cantidad∂P (x(ξ, t ), t )

∂t

∣

∣

∣

∣

x

recibe el nombre de variación local de la proiedad P y

v ·∂P (x(ξ, t ), t )

∂x= v ·GRADP

recibe el nombre de advección de la propiedad P . Podemos poner por tanto

DP

Dt=

∂P

∂t

∣

∣

∣

∣

x+v ·GRADP . (11.3)

Podemos aplicar la anterior ecuación para calcular la aceleración de una partí-

cula del fluido a partir del campo de velocidades. En este caso P = v y por tanto

a =Dv

Dt=

∂v

∂t

∣

∣

∣

∣

x+v ·GRADv (11.4)


Respecto de la anterior ecuación debemos de decir que mientras Dv/Dt es una

verdadera aceleración la cantidad ∂v/∂t no es una aceleración si no la variación

local de la velocidad. Mientras que Dv/Dt es la propiedad de una burbuja deter-

minada, ∂v/∂t afecta a burbujas diferentes y por tanto no se puede considerar

como propiedad de una partícula determinada. Vamos a ver un ejemplo que

nos permita ver la diferencia entre ambos términos. Para ello considerar que

estais en una plácida tarde de verano bajo la sombra de una magnífica encina

observando la marcha de un rio en la cercania de a unos rápidos del mismo.

Supuesto que el flujo es estacionario, observais que los pequeños troncos y ra-

mas que transporta el rio al pasar por delante de vosotros mantienen la misma

velocidad, pero que, según se acercan a los rápidos estos van aumentando de

velocidad. >Que es lo que sucede ?. Pues que, cuando nosotros observamos que

todos los troncos que pasan delante de nuestros ojos tienen la misma velocidad,

estamos evaluando la variación local de velocidad, como todos lo troncos tienen

la misma, este término es nulo. Ahora bien cuando nos fijamos en uno de ellos,

vemos que se acelera cuando se acerca a los rapidos. >Cual es la aceleración de

uno de estos troncos? . Pues obviamente la diferencia de velocidades dividido

por la diferencia de tiempos∆v

∆t

ahora bien ∆t =∆x/v, por lo que la aceleración vale

v∆v

∆x

en el límite cuando ∆x tiende a cero obtenemos

v∂v

∂x

La cantidad v ·GRADv recibe el nombre de advención de velocidad. Desde un

punto de vista puramente matématico esta cantidad constituye la derivada de

Lie del campo vectorial v a lo largo del campo integral del propio campo v. El

operador GRAD no es otra cosa que la derivada covariante. Empleando el sim-

bolo ∇ en vez del GRAD para designa al gradiente del campo de velocidades, el


término adventivo lo podemos poner como

v∇v

En un lenguaje de diadas podemos considerar al gradiente de velocidades como

la diada ∇v y la anterior expresión como la aplicación a la izquierda de la diada

∇v, por tanto tenemos

(v ·∇)v

término que en coordenadas cartesianas eulerianas toma la forma,

[(v ·∇)v]i =(

vα∂

∂xα

)

vi

donde con el subindice α repetido queremos indicar una suma en α.

Ejemplo 11.1 Considerar el fujo definido por el conjunto de ecuaciones

x = ξt

y = η(1+ t 2)

z = ζ(1+ t )2

Calcular la velocidad y aceleración del anterior flujo tanto en la imagen lagran-

giana como en la imagen euleriana.

SOLUCCION

De acuerdo con la definición la velocidad lagrangiana viene dada por la expre-

sión v = (∂x/∂t )ξ, por lo que derivando las anteriores ecuaciones respecto a t

manteniendo constantes ξ,η,ζ, tenemos

vx (ξ,η,ζ, t ) = ξ

vy (ξ,η,ζ, t ) = 2ηt

vz (ξ,η,ζ, t ) = 2ζ(1+ t )


Para caclcular la imagen euleriana debemos de utilizar las ecuaciones del flujo

para eliminar ξ,η,ζ, resultando

vx (x, y, z, t ) =x

t

vy (x, y, z, t ) = 2yt

1+ t 2

vz (x, y, z, t ) = 2z1

(1+ t )

Para calcular la aceleración partiendo de la expresión de la velocidad en la ima-

gen lagrangiana, solo debemos de derivar respecto del tiempo, por lo que

ax (ξ,η,ζ, t ) = 0

ay (ξ,η,ζ, t ) = 2η

az (ξ,η,ζ, t ) = 2ζ

que utilizando las ecuaciones del flujo podemos escribir en la imagen euleriana

ax (x, y, z, t ) = 0

ay (x, y, z, t ) = 2y1

1+ t 2

az (x, y, z, t ) = 2z1

(1+ t )2

Ahora bien si partimos de la expresión euleriana de la velocidad para calcular

la aceleración debemos de emplear la expresión Dv/Dt para calcular la acelera-

ción

ax (x, y, z, t ) =∂vx

∂t+ (vα

∂

∂xα)vx = 0

ay (x, y, z, t ) =∂vy

∂t+ (vα

∂

∂xα)vy = 2y

1

1+ t 2

ay (x, y, z, t ) =∂vz

∂t+ (vα

∂

∂xα)vz = 2z

1

(1+ t )2

siendo(

vα∂

∂xα

)

= vx∂

∂x+vy

∂

∂y+vz

∂

∂z


obteniendo los mismos resultados que a través de la imagen lagrangiana. Ob-

servesé que cuando calculamos la aceleración a partir de la imagen euleriana

obtenemos la aceleración tambien en la imagen euleriana.

Ejemplo 11.2 Calcular la expresión de la diada (∇v) en coordenadas cilíndricas.

SOLUCCIÓN

El operador ∇ en cilíndricas vale

∇= r∂

∂r+θ

1

r

∂

∂θ+k

∂

∂z

y

v = vr r+vθθ+vz k

siendo (vr , vθ, vz ) las componentes físicas de la velocidad en cilíndricas (vr =r , vθ = r θ, vz = z). Aplicando el operador ∇ a la velocidad v, obtenemos

∇v = rr∂vr

∂r+rθ

∂vθ

∂r+rk

∂vz

∂r+

θr1

r

∂vr

∂θ+θθ

1

r

∂vθ

∂θ+θk

1

r

∂vz

∂θ+

kr∂vr

∂z+kθ

∂vθ

∂z+kk

∂vz

∂z+

vr

rθ∂r

∂θ+

vθ

rθ∂θ

∂θ

donde hemos tenido en cuenta que la derivada de los vectores base respecto de

r y z vale cero. Dado que∂r

∂θ= θ

y que∂θ

∂θ=−r


obtenemos

∇v = rr∂vr

∂r+rθ

∂vθ

∂r+rk

∂vz

∂r+

θr(−vθ

r+

1

r

∂vr

∂θ)+θθ(

vr

r+

1

r

∂vθ

∂θ)+θk

1

r

∂vz

∂θ+

kr∂vr

∂z+kθ

∂vθ

∂z+kk

∂vz

∂z

Si aplicamos el anterior operador al vector v por la izquierda, obtenemos

v ·∇v = vr

(

r∂vr

∂r+θ

∂vθ

∂r+k

∂vz

∂r

)

+

vθ

(

r(−vθ

r+

1

r

∂vr

∂θ)+θ(

vr

r+

1

r

∂vθ

∂θ)+k

1

r

∂vz

∂θ

)

+

vz

(

r∂vr

∂z+θ

∂vθ

∂z+k

∂vz

∂z

)

que reordenando

v ·∇v = r

(

vr∂vr

∂r+

vθ

r

∂vr

∂θ+vz

∂vr

∂z−

v2θ

r

)

+

θ

(

vr∂vθ

∂r+vθ(

vr

r+

1

r

∂vθ

∂θ)+vz

∂vθ

∂z

)

+

k

(

vr∂vz

∂r+vθ

1

r

∂vz

∂θ+vz

∂vz

∂z

)

La traza del tensor ∇v = ∂vα/∂xα constituye la divergencia del campo, por lo que

∇·v =∂vr

∂r+

1

r

∂vθ

∂θ+∂vz

∂z+

vr

r

11.6. Líneas de corriente, trayectorias y líneas de emisión

11.6.1. Líneas de corriente

Se define una línea de corriente como aquella curva en el espacio que en

un instante determinado t es tangente al campo de velocidades en cada punto

11.6 Líneas de corriente, trayectorias y líneas de emisión 255

del espacio. Es como una imagen instantanea del campo de velocidades del flui-

do. La ecuación de la línea de corriente vendrá dada por una expresión del tipo

x = x(s) siendo s un cierto parámetro. En coordenadas cartesianas eulerianas, el

vector tangente a la curva tiene por componentes (dx/ds, d y/ds, dz/ds) Puesto

que este campo es tangente al campo de velocidades, sus componentes han de

ser proporcionales, por lo que

dx/ds

vx (x, y, z, t )=

d y/ds

vy (x, y, z, t )=

dz/ds

vz (x, y, z, t )

que podemos poner de diferentes formas. Eliminando ds

dx

vx (x, y, z, t )=

d y

vy (x, y, z, t )=

dz

vz (x, y, z, t )(11.5)

que nos permite obtener un par de superficies cuya intersección nos da la línea

buscada. Podemos tambien utilizar como ecuación de las líneas de corriente las

expresiones

dx

ds= vx (x, y, z, t )

d y

ds= vy (x, y, z, t ) (11.6)

dz

ds= vx (x, y, z, t )

que nos permite obtener las ecuaciones paramétricas. En todas las expresiones

anteriores el tiempo juega el papel de parámetro y denota el instante en el que

estamos calculando la línea de corriente. Las ecuaciones y por tanto lás líneas de

corriente cambian de un instante a otro excepto si el tiempo no está presente en

la expresión del campo de velocidades. En esta asituación diremos que el flujo

es estacionario


11.6.2. Trayectorias

Como en la mecánica de sistemas, la trayectoria es la curva integral del cam-

po de velocidades, esto es

dx

dt= vx (x, y, z, t )

d y

dt= vy (x, y, z, t ) (11.7)

dz

dt= vx (x, y, z, t )

En este caso el tiempo juega el papel de variable independiente y no de simple

parámetro como sucedía en el caso de las líneas de corriente. En el caso en que

flujo sea estacionario el tiempo no está presente en la expresión de campo de

velocidades por lo que formalmente las expresiones para las líneas de corriente

y las trayectorias son identicas por lo que ambas curvas coinciden.

11.6.3. Líneas de emisión

Son las curvas más facilmente obtenibles de forma experimental, basta in-

yectar un colorante, por ejemplo mediante una aguja hipodérmica, en el seno

del fluido. Todos los punto de la curva cumplen la condición de haber pasado

en un instante determinado por el punto de emisión del colorante. Así pues lla-

maremos curva de emisión la curva que une equellos puntos materiales que han

pasado en un cierto instante po una posición dada en el seno del fluido. Para ver

las ecuaciones de las curvas de emisión consideremos la definición de flujo

x = x(ξ, t )

Vamos a evaluar a partir de la anterior expresión que partículas han pasado por

un cierto punto y en el instante s tal que 0 ≤ s ≤ t . Puesto que la anterior expre-

sión es invertible, estas partículas vendran dadas por la expresión

ξ= ξ(y, s)

11.6 Líneas de corriente, trayectorias y líneas de emisión 257

una vez que conocemos las partículas, vamos a ver que posición ocupan en un

cierto instante t , sustituyendo la anterior extresión en la ecuación del flujo

x = x(ξ(y, s), t ) (11.8)

En la anterior expresión, s juega el papel de parámetro que nos describe la cur-

va y t el instant en el que consideramos la curva. La línea de emisión al igual

que la línea de corriente está formada por diferentes partículas, mientras que

la trayectoria se refiere a la curva descrita por una única partícula. En el caso

de flujo estacionario, la línea de emisión coincide con la líneas de corriente y la

trayectoria.

ç

Ejemplo 11.3 Considerar el campo de velocidades vx = x/(1+ t ), vy = y, vz = 0.

Calcular las expresiones de las líneas de corriente, trayectorias y lineas de emi-

sión.

SOLUCCIÓN

Para el cálculo de las líneras de corriente emplearemos la expresión

dx

vx=

d y

vy=

dz

vz

que en nuestro caso partícular toma la forma

dx

x/(1+ t )=

d y

y=

0

dz

Está claro que las líneas de corriente deben de obtenerse a lo largo de los planos

z = constante. Integrando la primera igualdad

(1+ t ) log(x

x0) = log(

y

y0)

de dondey

y0=

(

x

x0

)1+t


siendo t un parámetro. Por ejemplo para t = 0 serán rectas, mientras que para

t = 1 serán parábolas.

Para el cálculo de la trayectoria, tenemos

dx

dt=

x

1+ td y

dt= y

dz

dt= 0

integrando, obtenemos

x

x0= 1+ t

y

y0= exp(t )

z = constante

eliminando t , obtenemos

y = y0 exp

(

x

x0−1

)

Para el cálculo de las líneas de emisión, transformamos la ecuación de la

trayectoria en una ecuación para el flujo, llmando ξ= x0 y η= y0, obtenemos

y = ηe t

x = ξ(1+ t )

>Que partículas han pasado por el punto (a, b) en un cierto instante s? Basta

eliminar de las expresiones del flujo (ξ,η),

ξ =a

1+ sη = be−s

sustotiyendo en la expresión del flujo para evaluar en que posición se encuen-

11.7 Estudio de la deformabilidad del continuo 259

tran las partículas en el instante t obtenemos

y = be(t−s)

x =a

1+ s(1+ t )

11.7. Estudio de la deformabilidad del continuo

Una de las propiedades del continuo es su capacidad de sufrir deformacio-

nes sin romperse, pues según nuestras hipótesis le fluido no se rompe, salvo en

un conjunto de medida nula.

11.7.1. Deformación del vector desplazamiento, vector superficie y vo-

lumen

Vector desplazamiento

Vamos a considerar que tenemos dos partículas próximas cuya posición re-

lativa en un instante inicial viene dada por el vector δξ. En el curso del tiempo

las partículas cambian de posición de tal forma que en un cierto instante t la po-

sición relativa viene dada por el vector δx. Supuesto que no haya transcurrido

un intervalo de tiempo muy grande y dada nuestra hipótesis de que dos partícu-

las muy próximas van a parmanece proximas, podemos suponer que existe una

relación líneal entre ambos vectores, esto es supondremos que

δx i =∂x i

δξ jδξ j

Expresada en forma vectoria la anterior relación, tenemos

δx = GRADξx ·δξ

Esta ecuación nos dice como se deforman los vectores desplazamientos.


Vector superficie

Vamos a ver como se deforman los elementos de superficie. Como sabemos

la ecuación paremetríca de una superficie viene dada por una expresión de la

forma

x = x(u, v)

estando los parámetros (u, v) definidos en un cierto dominio de R2. El elemento

de superficie se puede expresar como

δσ= δx×δy

siendo δx y δy sendos vectores a lo largo de las líneas coordenadas v = cte y u =cte respectivamente. En coordenadas cartesianas eulerianas las componentes

las podemeos poner como

δσi = ǫi j kδx jδy k

ahora bien de acuerdo a las expresiones para la deformación de los desplaza-

mientos, δx i = ∂x i /∂ξ jδξ j , podemos poner

δσi = ǫi j k∂x i

∂ξp

∂xk

∂ξqδξpδηq

multiplicando por ∂x i /∂ξr , tenemos

∂x i

∂ξrδσi = ǫi j k

∂x i

∂ξr

∂x i

∂ξp

∂xk

∂ξqδξpδηq

de la definición de Jacobiano,

∂x i

∂ξrδσi = ǫpqr Jδξpδηq

ahora bien puesto que

ǫpqrδξpδηq = δΣr

11.7 Estudio de la deformabilidad del continuo 261

siendo δΣr el elemento de superficie en el instante inicial, tenemos

∂x i

∂ξrδσi = JδΣr

que en forma vectorial podemos poner

GRADξx ·δσ(x) = Jδσ(ξ)

que no dice como se deforman los elementos de superficie.

Volumen

Mutiplicando a la izquierda y a la derecha por δξr , obtenemos

δξr ∂x i

∂ξrδσi = JδΣrδξ

r

ahora bien, la cantidad

δΣrδξr = δV (ξ)

representa el elemento de volumen en el instante inicial, minetras que

δξr ∂x i

∂ξrδσi = δx iδσi = δV (x)

representa el elemento de volumen en el instante t , por lo que podemos escribir,

δV (x) = JδV (ξ)

que nos dice como se deforman los elementos de volumen. Podemos invertir las

ecuaciones que nos dan las deformaciones y escribir

δξ = GRADxξ ·δx

GRADxξ ·δσ(ξ) = jδσ(x)

δV (ξ) = jδV (x)

siendo j el inverso del jacobiano J.


Nos interesa ahora en analizar como se deforma no las componentes de los

vectores si no sus valores absolutos, para ello consideremos que

ds2 = dx i dx i =∂x i

∂ξ j

∂x i

∂ξkδξ jδξk

LLamemos C al tensor

C| j k =∂x i

∂ξ j

∂x i

∂ξk

tendremos

ds =

√

δξ

|δξ|C

δξ

|δξ||δξ|

puesto que δξ/|δξ| = M es un vector unitario, la cantidad

λ=dsx

dsξ=p

MCM

nos da la tasa de extensión o estiramiento,

11.8. Velocidad de deformacion de los elementos de lon-

gitud, superficie y volumen

En la sección anterior nos hemos preocupado de estudiar como se defor-

man los elementos de longitud, superficie y volumen, vamos a analizar en esta

sección a que velocidad lo hacen. Para ello vamos a considerar en primer lugar

la velocidad de deformación del vector desplazamiento elemental,

D

Dt(δx i ) =

∂

∂tξ(δx i ) =

pasando a coordenadas lagrangianas

=∂

∂tξ

(

∂x i

∂ξ jδξ j

)

=∂

∂tξ

(

∂x i

∂ξ j

)

δξ j =∂

∂ξ j

(

∂x i

∂t

)

δξ j =∂v i

∂ξ jδξ j

11.8 Velocidad de deformacion de los elementos de longitud, superficiey volumen 263

volviendo otra vez a las coordenadas eulerianas,

D

Dt(δx i ) =

∂v i

∂ξ jδξ j =

∂v i

∂xk

∂xk

∂ξ jδξ j =

∂v i

∂xkδxk = δv i

en forma vectorial podemos escribir la anterior expresión como

D

Dt(δx) =δv = GRADv ·δx

Multiplicando por δx,

δx ·D

Dt(δx) = δx ·GRADv ·δx

Teniendo en cuenta que δs2 = δx ·δx es por lo que

δsDδs

Dt= δx ·

D

Dt(δx)

y por tanto

δsDδs

Dt=δx ·GRADv ·δx

dividiendo por δs2

1

δs

Dδs

Dt= M ·GRADv ·M (11.9)

siendo M el vector unitario

M =δx

δs

En cuanto a la variación temporal del elemento de superficie tenemos,

D

Dt

(

∂x i

∂ξ jδσi

)

=∂

∂tξ(JδΣ j ) =

∂J

∂tξδΣ j

puesto que el jacobiano J tiene por expresión

J =1

3!ǫi j kǫ

pqr ∂x i

∂ξp

∂x j

∂ξq

∂xk

∂ξr

tenemos∂J

∂tξ= 3

1

3!ǫi j kǫ

pqr ∂

∂tξ

(

∂x i

∂ξp

)

∂x j

∂ξq

∂xk

∂ξr=


= 31

3!ǫi j kǫ

pqr

(

∂v i

∂ξp

)

∂x j

∂ξq

∂xk

∂ξr= 3

1

3!ǫi j kǫ

pqr

(

∂v i

∂x l

∂x l

∂∂ξp

)

∂x j

∂ξq

∂xk

∂ξr=

= 3∂v i

∂x l

1

3!ǫi j kǫ

pqr ∂x l

∂∂ξp

∂x j

∂ξq

∂xk

∂ξr= 3

∂v i

∂x l

1

3!ǫi j kǫ

l j k J

Ahora bien puesto que

ǫi j kǫl j k = 2δl

i

tenemos∂J

∂tξ= 6

1

3!

∂v i

∂x lδl

i J =∂v i

∂x iJ = DIVvJ

Así pues hemos obtenido el importante resultado que

D

DtJ = J DIVv (11.10)

sustituyendo,∂

∂tξ

(

∂x i

∂ξ jδσi

)

= DIVvJδΣ j

desarrollando el miembro de la izquierda

∂

∂tξ

(

∂x i

∂ξ jδσi

)

=∂

∂tξ

(

∂x i

∂ξ j

)

δσi +∂

∂tξ(δσi )

∂x i

∂ξ j

puesto que∂

∂tξ

(

∂x i

∂ξ j

)

=∂v i

∂ξ j

tenemos∂

∂tξ

(

∂x i

∂ξ jδσi

)

=∂v i

∂ξ jδσi +

∂x i

∂ξ j

∂

∂tξ(δσi ) = DIVvJδΣ j

despejando,

∂x i

∂ξ j

∂

∂tξ(δσi ) = DIVvJδΣ j −

∂v i

∂ξ jδσi = DIVvJδΣ j −

∂v i

∂xk

∂xk

∂ξ jδσi

intercambiando los índices i y k en el último término del segundo miembro,

∂x i

∂ξ j

∂

∂tξ(δσi )= DIVvJδΣ j −

∂vk

∂x i

∂x i

∂ξ jδσk

11.8 Velocidad de deformacion de los elementos de longitud, superficiey volumen 265

teneiendo en cuenta que

JδΣJ =∂x i

∂ξ jδσi

tenemos∂x i

∂ξ j

∂

∂tξ(δσi ) = DIVv

∂x i

∂ξ jδσi −

∂vk

∂x i

∂x i

∂ξ jδσk

sacando factor común a (∂x i /∂ξ j ) y anulando, tenemos

D

Dtδσi = DIVvδσi −

∂vk

∂x iδσk

que en forma vectorial resulta

D

Dtδσ= DIVvδσ−GRADv ·δσ (11.11)

multiplicando por δσ

δσD

Dtδσ= DIVvδσ ·δσ−δσ ·GRADv ·δσ


δσD

Dtδσ=

1

2

D

Dt|δσ|2

obtenemos1

2

D

Dt|δσ|2 = DIVv|δσ|2 −N ·GRADv ·N|δσ|2

siendo N el vector unitario

N =δσ

|δσ|

diviendiendo por |δσ|2 tenemos

1

|δσ|D

Dt|δσ| = DIVv−N ·GRADv ·N (11.12)

que nos da la tasa de expansión del valor absoluto del elemento de superficie.

En cuanto a la tasa de expansión del elemento de volumen, tenemos

D

DtVx =

∂

∂tξ(JVξ) =

∂J

∂tξVξ = DIVvJVξ = DIVvVx


donde hemos tenido en cuenta que Vx = JVξ y que D J/Dt = DIVvJ, así pues

1

Vx

D

DtVx = DIVv (11.13)

que nos da la tasa de expansión relativa del elemento de volumen.

11.9. Teorema de conservación de la masa

Consideremos una porción de materia que no pierde su individualidad en el

curso del tiempo, o sea, está compuesto por las mismas partículas. En el curso

del tiempo esta porción de materia se deformará cuanto quiera pero siempre

tendrá la misma masa pues esta compuesto simpre de las mismas partículas,

así pues δMξ = δMx y por tanto ρξδVξ = ρxδVx . Vimos antes que

Vx = JVξ

y por tanto

ρξ = Jρx (11.14)

de donde se deduce que la densidad no es una magnitud escalar si no una densi-

dad tensorial de peso uno. Tomando la derivada másica (las partículas que com-

ponen la porción del fluido son siempre las mismas)

D Jρx

Dt=

Dρξ

Dt=

∂

∂tξρξ = 0

ahora bienD Jρx

Dt= J

Dρx

Dt+ρx

D J

Dt

y puesto queD J

Dt= J DIVv

tenemos

JDρx

Dt+ρx J DIVv = 0

11.10 Tensor velocidad de deformación 267

y puesto que el jacobiano es distinto de cero, resulta

Dρx

Dt+ρx DIVv = 0 (11.15)

que es la ecuación de continuidad. Teniendo en cuenta que

Dρx

Dt=

∂

∂tρx +GRADρx

la ecuación de continuidad la podemos escribir en coordendas eulerianas como

∂

∂tρx +DIV(ρx v) = 0 (11.16)

La cantidad (ρx v) expresa el flujo de masa a través de una superficie y la diver-

gencia de esta cantidad espresa cuanta masa se ha ganado o perdido a través de

una superficie cerrada fija en el espacio y por tanto expresa la variación de la

densidad, pues el volumen encerrado por la superficie es el mismo.

11.10. Tensor velocidad de deformación

Tanto en el estudio de la velocidad de deformación de los elementos de linea

y superficie aparece el tensor GRADv, vamos a a analizar con mayor profundidad

este tensor. En coordenadas cartesianas eulerianas este tensor tienes por expre-

sión∂vi

∂x j

que podemos descomponer en su parte simétrica y antisimétrica de la siguiente

manera∂vi

∂x j=

1

2

(

∂vi

∂x j+∂v j

∂x i

)

+1

2

(

∂vi

∂x j−∂v j

∂x i

)

Designemos por

ei j =1

2

(

∂vi

∂x j+∂v j

∂x i

)

a la parte simétrica y

Ωi j =1

2

(

∂vi

∂x j−∂v j

∂x i

)


a la parte antisimétrica. Utilizando estos nuevos tensores, la tasa de deforma-

ción del elemento de longitud resulta ser

1

δs

D

Dtδs =

δx i

δs(ei j +Ωi j )

δx j

δs

Se tiene por otra parte que el producto contraido de un tensor simétrico y otro

antisimétrico es nulo, por lo que en la anterior expresión resulta que

δx i

δsΩi j

δx j

δs=Ωi j

δx i

δs

δx j

δs= 0

pues Ωi j es antisimetrico por construcción y

δx i

δs

δx j

δs

es simétrico. Así pues1

δs

D

Dtδs =M ·E ·M

siendo E la parte simétrica del tensor GRADv. Este tensor recibe el nombre de

Tensor velocidad de deformación. Vamos a ver el significado de sus elemen-

tos. Para ello consideremos un vector desplazamiento elemental que tiene como

componentes (δx1,0,0), esto es un vector de longitud δs =δx1 situado a lo largo

del eje 1, la tasa de deformación de este vector vale

1

δs

D

Dtδs =

1

δx1

D

Dtδx1 = Mi ei j M j =δi

1ei jδj1 = e11 =

∂v1

∂x1

Así pues e11 representa la tasa de extensión relativa de un vector situado a lo lar-

go del eje 1, lo mismo sucederá cono el eje 2 y eje 3. Podemos concluir por tanto

que los elementos de la diagonal del tensor velocidad de deformación represen-

tan la tasa de extensión de sendos vectores situados a lo largo de cada eje. La

traza del tensor viene dada por

∂v1

∂x1+∂v2

∂x2+∂v3

∂x3


que la divergencia del tensor y como vimos antes representa la tasa de cambio

del elemento de volumen. Para ver que representan los elementos fuera de la

diagonal, considerar dos vectores desplazamiento que forman un cierto ángulo

entre ellos El coseno del angulo podemos calcularmo como el producto escalar

Θ

δx

δy

Figura 11.1:

entre los dos vectores

δx ·δy =δsδs′ cosΘ= δx iδy i

siendo δs y δs′ la longitud de los vectores. Derivanda en ambos miembros tene-

mosD

Dt(δsδs′ cosΘ) =

D

Dt(δx iδy i )

expandiendo las derivadas,

D

Dt(δs)δs′ cosΘ+δs

D

Dt(δs′)−δsδs′ senΘ

D

DtΘ= δv i

xδy i +δv iyδx i

tomando Θ=π/2,

−δsδs′D

DtΘ|90 = δv i

xδy i +δv iyδx i =

∂v i

∂xkδxkδy i +

∂v i

∂xkδx iδy k

cambiando los indices repetidos del último témino del segundo miembro,

−δsδs′D

DtΘ|90 =

∂v i

∂xkδxkδy i+

∂vk

∂x iδxkδy i =

(

∂v i

∂xk+∂vk

∂x i

)

δxkδy i =−2ei kδxkδy i


dividieno por δsδs′, tenemos

D

DtΘ|90 =−2M i ei j M

′ j

siendo M i , M′i sendo vectores unitarios en la dirección de los vectores δx, δy

Suponer ahora que tomamos los dos vectores a lo largo de dos vectores base de

una base ortogonal, por ejemplo uno a lo largo del eje x y el otro el eje y , en este

caso M i = δi1 y M

′i =δi2 por tanto

D

DtΘ|90 =−2δi

1ei jδj

2 =−2e12

Así pues e12 representa la velocidad a la que dos vectores situados a lo largo del

los ejes 1,2 se estan acercando o alejando. Para ilustrar de forma gráfica lo que

acabamos de demostrar, considerar un punto en un fluido cuyas coordenadas

son (0,0), considerar un sistema de referencia ortogonal con origen en el an-

terior punto. Considerar otro dos puntos con coordenadas (δx,0) y (0,δy). La

[0, (∂v /∂x )δx ]

δα

δβ

[(∂u /∂y )δy , 0]

[0,0]

1

2∆x

∆y

Figura 11.2:

velocidad relativa de estos dos punto relativo al origen será, para el punto 1

δu =∂u

∂xδx +

∂u

∂yδy =

∂u

∂xδx

δv =∂v

∂xδx +

∂v

∂yδy =

∂v

∂xδx


y para el punto 2

δu =∂u

∂xδx +

∂u

∂yδy =

∂u

∂yδy

δv =∂v

∂xδx +

∂v

∂yδy =

∂v

∂yδy

Consideremos únicamente el efecto transversal sobre cada punto, pues los efec-

tos longitudinales (δu para el punto 1 y δv para el punto 2) lo que hacen es sepa-

rar a ambos puntos respecto del origen. Debido a estos efectos transversales, la

recta unida al punto 1 barre un angulo δα y la recta unida al punto 2 barre un án-

gulo δβ. Considerando ángulos muy pequeños en los que podamos aproximar

el angulo por su seno o su tangente, tenemos

δα=∆y

δx=

1

δx

(

∂v

∂xδxδt

)

=∂v

∂xδt

y

δβ=∆x

δy=

1

δy

(

∂u

∂yδyδt

)

=∂u

∂yδt

y por tanto

dα

dt=

∂v

∂xdβ

dt=

∂u

∂y

La velocidad con la que el angulo de 90 grados va diminuyendo será

D

Dt(Θ) =−

(

dα

dt+

dβ

dt

)

=−(

∂v

∂x+∂u

∂y

)

=−2ex y

qjue es el resultado que obtuvimos antes de forma más rigurosa.

Según hemos visto en las secciones anteriores, e11, e22 y e33 representan la

tasa de extensión de sendos vectores situados a lo largo de los ejes (1,2,3). Obvia-

mente estas tasas de expansión dependeran de como hayamos elejido el sistema

de referencia. La pregunta que nos hacemos es >Cual es el sistema de referencia,

si existe, para el cual e11, e22 y e33 representen las máximas tasas de extensión ?.


Para contestar a esta pregunta recordemos que la tasa de extensión relativa vie-

ne dada por1

ds

D

Dtδs = mi ei j m j

siendo mi las componentes del vector unitario que nos marcan la dirección del

vector cuya tasa de extensión estamos analizando. Derivando respecto a mi e

gualando a cero. Teniendo en cuenta que los vectores son unitarios y por tan-

to mi mi −1 = 0 por lo que debemos de emplear un multipilczado de lagrange

tenemos∂

∂mk

(mi ei j m j +µ(1−mi mi )) = 0, k = 1,2,3

derivando

δi k ei j m j +mi ei jδ j k −2µδi k mi = 0

de donde

ek j m j +mi ei k −2µmk = 0

llamando i al indice mudo j en el primer término y dada la simetria de ei j tene-

mos

mi ei k −µmk = 0

que en forma de matriz

[E][M]=µ[M]

que es una ecuación en valores propios, cuyos autovalores son los multiplicado-

res de lagrange y los vectores propios son la direcciones que estamos buscando.

Como el tensor E es simétrico esta ecuación siempre tiene solucciones, asi pues

la base donde el tensor E es diagonal nos marca las direcciones en las que las ta-

sas de expansión son máximas y sus autovalores nos marcan cuales son las tasas

de expansión, pues en esta nueva base

[E]=

µ1 0 0

0 µ2 0

0 0 µ3

Como en esta nueva base los elementos fuera de la diagonal son ceros, sólo se


estan produciendo estiramientos o contracciones a lo largo de los vectores base.

Volvamos a nuestro tensor gradiente de velocidades y analicemos su parte

antisimétrica

Ωi j =1

2

(

∂u i

∂x j−∂u j

∂x i

)

Este tensor tiene únicamente tres elementos distintos y le podemos asociar un

vector de tres componentes2 de la siguiente manera. De la definición de Ωi j

Ωi j =1

2

(

∂u i

∂x j−∂u j

∂x i

)


δi jpq Apq = Ai j − A j i

tenemos que

Ωi j =1

2δ

pq

i j

∂vp

∂xq=

1

2ǫkpqǫki j

∂vp

∂xq=−

1

2ǫkqpǫki j

∂vp

∂xq

Ahora bien

ǫkqp ∂vp

∂xq= (∇×v)k = ξk

y por tanto

Ωi j =−1

2ǫki jξk =−

1

2ǫki j (∇×v)k

Multiplicando en ambos miembros por ǫli j tenemos

ǫli jΩi j =−1

2ǫli j ǫki jξk =−δk

l ξk =−ξl =−(∇×v)l

Así pues vemos que la parte antisimétrica del tensor gradiente de velocidades

coincide con el rotacional de dicho campo. >Que significado físico podemos

asociar al tensor Ωi j . Para ello fijemonos en la figura ??. La velocidad rotacio-

nal media vendra dada por

ω=1

2

(

dα

dt−

dβ

dt

)

2Este proceso de asociar un vector a un tensor antisimétrico de segundo orden solo es posibleen R

3


pues las variaciones de los angulos α y β son de signo contrario, perso según

vimo antes

dα

dt=

∂v

∂xdβ

dt=

∂u

∂y

de donde

ω=1

2

(

∂v

∂x−∂u

∂y

)

=1

2(∇×v)z

así pues el un medio del rotor nos da la velocidad angular de rotación media.

Hay que tener en cuenta que el fluido no es un sólido rígido y por tanto solo

podemos hablar de una velocidad angular media. Resumiendo, hemos visto que

la deformación relativa en el entorno de un punto viene dada por la diferencia

de velocidades entre un punto cualquiera de entorno y otro punto que tomamos

como origen, esto es por

δv i =∂v i

∂x jδx j

separando en las partes simetrica y antisimétrica tenemos

δv i = ei jδx j+Ωi jδx j = ei jδx j−1

2ǫki jξkδx j = ei jδx j+

1

2ǫi k jξkδx j = ei jδx j+(ω×δx)i

la primera parte mide la deformación mientras que la segunda parte mide la

rotación.

Ejemplo 11.4 Analizar el flujo bidimensional cuyo campo de velocidades viene

dado por la expresión

v = u(y)i

Este tipo de flujo rcibe el nombre de cizalla.

SOLUCCIÓN


El tensor gradiente de velocidades viene dada por la expresión

GRADv =

∂u∂x

∂u∂y

∂u∂z

∂v∂x

∂v∂y

∂v∂z

∂w∂x

∂w∂y

∂w∂z

=

0 2β 0

0 0 0

0 0 0

siendo 2β= ∂u/∂y . Puesto que la traza del tensor es cero, la divergencia es cero

y por tanto el flujo es isócoro. La parte simétrica y antisimetrica valen

E=

0 β 0

β 0 0

0 0 0

, Ω=

0 β 0

−β 0 0

0 0 0

Puesto que los elementos de la diagonal del tensor E valen cero, no exisaten es-

tiramientoy contracciones en las direciones (i, j,k). Así mismo los ejes (x, y) se

estan acercando con una velocidad dada por β. Para ver en que dirección se

producen los máximos estiramientos diagonalizamos la matriz anterior. Como

en el eje z no existe flujo, vamos a preocuparnos únicamente de lo que pasa en

el plano (x, y). La diagonalización de la matriz

(

0 β

β 0

)

conduce a un par de autovalores, µ=±β y dos autovectores

v1 =1p

2(i+ j)

v2 =1p

2(−i+ j)

De acuerdo con lo dicho anteriormente el flujo prodeuce un estiramiento en las

direcciones dadas por los dos vectores anterioes. Supongamos que β> 0, como

µ=±β una de las direciones marcará un estiramiento y la otra una contracción.

Supongamos que el estiramiento se produce en la dirección v1 y la contracción

en la dirección v2. >Como son las lineas de corriente en torno a un punto dado

que tomamos como origen y con velocidad cero supuesto que el flujo única-


mente tenga en cuenta al tensor E ?. el campo de velocidades en torno a dicho

punto será

δv = Eδx

En la base (v1,v2)

δv =(

β 0

0 −β

)

δx

Un punto situado en el eje 1 tendrá como velocidad relativa

δv =(

β 0

0 −β

)(

δx1

0

)

=(

βδx1

0

)

y por tanto se estará elejando del origen tanto para punto s tomados en el semi-

eje positivo δx1 > 0 como el semieje negativo. Lo contario sucede para un punto

situado a lo largo del eje 2

δv =(

β 0

0 −β

)(

0

δx2

)

=(

0

−βδx2

)

Ahora los puntos situados en la parte positiva del eje se estan acercando al ori-

gen y los de la parte negativa también. >Que pasa para punto situados en los

antiguos ejes (x, y)

El punto de coordenadas δx(p

2,0) en la base antigua, tiene como coorde-

nadas δx(1,−1) en la base nueva y por tanto su velocidad será

δv =(

β 0

0 −β

)(

δx

−δx

)

=(

βδx

βδx

)

que es un vector dirigido en la dirección del eje +y original. Si consideramos

que el punto esta en δx(−1,1), esto es en la parte negativa del eje x de la base

antigua, ahora

δv =(

β 0

0 −β

)(

−δx

δx

)

=(

−βδx

−βδx

)

que es un vector dirigido hacia el eje −y de la base original. Si tomamos nuestro

punto en el eje +y de la base original, en la base nueva tiene por coordenadas


δy(1,1) y por tanto

δv =(

β 0

0 −β

)(

δy

δy

)

=(

βδy

−βδy

)

que es un vector dirigido a lo largo del eje +x de la base original. Por el contrario

si el punto esta en el eje −y , en la base nueva tiene por coordenadas −δy(1,1) y

su velocidad relativa será

δv =(

β 0

0 −β

)(

−δy

−δy

)

=(

−βδy

+βδy

)

que es un vector dirigido a lo largo del eje −x de la base original. Podemos ex-

presar mediante la figura 11.3 todo lo dicho anteriormente. que constituye un

vv12

Figura 11.3:

movimiento de deformación pura sin cambio de volumen, pues su divergencia

es cero.

>Que pasa con la parte antisimétrica ?. En este caso según vimos antes

δv = ω×δx

siendo ω = 12∇× v. Teniendo en cuenta que en el caso que nos ocupa ∇× v =


−∂u/∂y k =−2βk, tenemos, ω=−βk, por lo que

δv =−βk×δx =(

βδy

−βδx

)

Si representamos este movimiento obtendremos una rotación en torno al ori-

gen, ver figura 11.4. Si superponemos los dos movimientos, vemos que en los

vv12

Figura 11.4:

vv12

Figura 11.5:

puntos a lo largo del eje x se anulan ambos flujos resultando una cizalla a lo lar-

go del eje y , ver la figura 11.5. Vemos pues que una cizalla es en realidad suma

de una rotación y una deformación pura sin cambio de volumen. Este resultado

es importante pues cerca de superficies sólidas donde se producen las cizallas

más importantes el flujo va a ser rotacional. Que una cizalla da lugar a un flujo

rotacional lo podemo visualizar poniendo en el seno de la cizalla un molinete y

ver que efectivamente este molinete gira. Otro punto a destacar es el hecho que

no tenemos que tener un giros para que el rotor del campo sea distinto de cero.


11.10.1. Tensor de Cauchy y Green–Venant

En la teoría de la elasticidad no importa tanto la velocidad con la que se

deforma el continuo si no cuanto lo hace. Suponer que tenemos un par de punto

(A,B) separados por un vector δξ. Suponer que a cuenta de la deformación el

punto A ha pasado a ocupar la posición A′ y el B la posición B′ formando con los

puntos originales dos vectores u y u′. El segmento original AB tiene una longitud

al cuadrado dada por la cantidad

δs20 =δ j kδξ

jδξk

y el segmento A′B′ resultante de la deformación tiene como cuadrado de la lon-

gitud la cantidad

δs2 = δx iδx i =∂x i

∂ξ j

∂x i

∂ξkδξ jδξk

la variación sufrida vendrá dada por

δs2 −δs20 =

(

∂x i

∂ξ j

∂x i

∂ξk−δ j k

)

δξ jδξk

La cantidad entre corchetes recibe el nombre de tensor de Green–Venant. En

imagen euleriana la anterior expresión toma la forma

δs2 −δs20 =

(

δ j k −∂ξi

∂x j

∂ξi

∂xk

)

δx jδxk

La cantidad entre corchetes recibe el nombre de tensor de Cauchy

Nos interesa poner los anteriores tensores en términos de los desplazamien-

to u sufridos por cada partícula. Llamando u i = x i −ξi , tenemos

∂ξi

∂x j=

∂x i

∂x j−∂u i

∂x j= δi

j −∂u i

∂x j

Calculando a partir de esta expresión el tensor de Cauchy, tenemos

δs2−δs20 =

[

δ j k −(

δij −

∂u i

∂x j

)(

δik −

∂u i

∂xk

)]

δx jδxk =[

∂u i

∂x j+

∂u i

∂xk−∂u i

∂x j

∂u i

∂xk

]

δx jδxk


despreciando términos de segundo orden,

δs2 −δs20 = (δs −δs0)(δs +δs0) =

(

∂u i

∂x j+∂u i

∂xk

)

δx jδxk

supuesto que δs ≈δs0, tenemos δs +δs0 ≈ 2δs, por lo que

1

δs(δs −δs0) =

1

2

(

∂u i

∂x j+

∂u i

∂xk

)

δx j

δs

δxk

δs

expresión análoga a la encontrada para fluidos en las que se ha sustituido el

vector velocidad por el vector desplazamiento en la definición del tensor de de-

formación.

11.11. Teorema de Reynolds

Diremos que un volumen del fluido es un volumen del sistema, si este volu-

men esta siempre compuesto por las mismas partículas. Considerar un volumen

del sistema V (t ), se verifica que

D

Dt

∫

V (t )φ(x, y, z, t )δV =

∫

V (t )

[

Dφ

dt+φ(DIVv)

]

δV (11.17)

Para su demostración, pasemos a hacer la integral en términos de imagen la-

grangiana ξ,D

Dt

∫

V (t )φ(x, y, z, t )δV =

∂

∂tξ

∫

Vξ

φJδVξ

puesto que las partículas son simpre las mismas, podemos introducir el tiempo

dentro de la integral por lo que

∂

∂tξ

∫

Vξ

φJδVξ =∫

Vξ

∂

∂tξ(φJ)δVx =

∫

Vξ

(

J∂

∂tξφ+φ

∂

∂tξJ

)

δVξ

teniendo en cuenta la expresión obtenida previamente para la variación del ja-

cobiano con el tiempo tenemos,

∂

∂tξ

∫

Vξ

φJδVξ =∫

Vξ

(

∂

∂tξφ+φDIVv

)

JδVξ

11.11 Teorema de Reynolds 281

volviendo otra vez a la imagen euleriana

D

Dt

∫

V

φ=∫

Vξ

(

D

Dtφ+φDIVv

)

δV


Resulta especialmente interesante el caso en el que φ se puede poner como

ρ f siendo ρ la densidad y f una propiedad cualqueira del fluido. En este caso

D

Dt

∫

V (t )ρ f δV =

∫

V (t )

[

D(ρ f )

Dt+ρ f DIVv

]

δV =∫

V (t )

ρD f

Dt+ f

[

ρDIVv+Dρ

Dt

]

δV

Ahora bien habida cuenta de la ecuación de continuidad el término entre cor-

chetes se anula, por lo que resulta

D

Dt

∫

V (t )ρ f δV =

∫

V (t )ρ

D f

DtδV

Se puede reformular la forma del teorema de Reynolds en términos del lla-

mado volumen de control. Contrariamente al volumen del sistema que se mue-

ve con el fluido de tal forma que siempre está compuesto de las mismas partícu-

las, el volumen de control está fijo en el espacio y las partículas de fluido entran

y salen de él. Para deducir esta nueva forma del teorema de Reynolds volvamos

a la expresión general

D

Dt

∫

V (t )φ(x, y, z, t )δV =

∫

V (t )

[

Dφ

dt+φ(DIVv)

]

δV

desarrolando la derivada másica del interior de la integral tenemos

D

Dt

∫

V (t )φ(x, y, z, t )δV =

∫

V (t )

[

∂φ

∂tx+v ·GRADφ+φ(DIVv)

]

δV

ahora bien

v ·GRADφ+φ(DIVv) = DIV(φv)

por lo que

D

Dt

∫

V (t )φ(x, y, z, t )δV =

∫

V (t )

∂φ

∂txδV +

∫

V (t )DIV(φv)δV


y empleando el teorema de Ostrogradsky–Gauss

D

Dt

∫

V (t )φ(x, y, z, t )δV =

∫

V (t )

∂φ

∂txδV +

∫

∂V

φv ·δΣ

siendo ∂V la superficie cerrada que rodea al volumen. Como en la integral de

volumen del término de la derecha aparece la derivada local, podemos consi-

derar a dicho volumen como un volumen fijo que en un instante dado coincide

con el volumen del sistema que en ese instante ocupa dicha posicion, así pues

D

Dt

∫

V (t )φ(x, y, z, t )δV =

∫

V (x)

∂φ

∂txδV +

∫

∂V (x)φv ·δΣ (11.18)

Podemos analizar varios ejemplos. Suponiendo que φ sea la densidad ρ,

D

Dt

∫

V (t )ρ(x, y, z, t )δV =

∫

V (x)

∂ρ

∂txδV +

∫

∂V (x)ρv ·δΣ

ahora bien el término de la derecha es cero, pues representa la derivada másica

de la masa del volumen del sistema, por lo que

∫

V (x)

∂ρ

∂txδV +

∫

∂V (x)ρv ·δΣ= 0

o lo que es lo mismo

∂

∂tx

∫

V (x)ρδV +

∫

∂V (x)ρv ·δΣ= 0

que es otra expresion de la ecuación de continuidad. La cantidad

∫

∂V (x)ρv ·δΣ=

∫

∂V (x)ρ(v ·n)δΣ

donde hemos puesto que el elemento de superficie δΣ= nδΣ, representa el flujo

de masa a través de la superficie, mientras que

∂

∂tx

∫

V (x)ρδV

representa la variación local de la masa. Podemos por tanto decir a la luz de las

11.11 Teorema de Reynolds 283

anteriores expresiones que la variación de masa en un volumen de control es

igual al flujo de masa a través de su superficie.

Otro caso interesante es aquel en el que φ= ρv, por lo que

D

Dt

∫

V (t )ρvδV =

∫

V (x)

∂(ρv)

∂txδV +

∫

∂V

ρv(v·n)δΣ=∫

V (x)

∂(ρv)

∂txδV +

∫

∂V

ρ(vv)nδΣ

Como antes, la integral de superficie representa el flujo de momento mientras

que la variación temporal de la integral extendida al volumen de control repre-

senta la variación local del momento. Al igual que el flujo local de masa lo po-

demos poner como el vector ρv, el flujo local de momento lo podemos expresar

como el tensor ρvv.

Ejercicio 11.1 Calcular cuanto vale la variación temporal de la integral de línea

∫

C (t )φδr

siendo C (t ) un circuito compuesto siempre por las mismas partículas.

SOLUCCIÓN

Debemos de evaluarla expresión

D

Dt

∫

C (t )φδr

Para poder introducir dentro del signo integral la derivada temporal al igual que

en el caso del teorema de Reynolds vamo a pasar a la imagen lagrangiana

D

Dt

∫

C (t )φδr =

∂

∂tξ

∫

C (ξ)φ(ξ, t )

∂x

∂ξδξ

donde con∂x

∂ξ

queremos denotar al tensor ∂x i /∂ξ j . Introduciendo ahora la derivad temporal

dentro de la integral tenemos

D

Dt

∫

C (t )φδr =

∫

C (ξ)

∂φ(ξ, t )

∂tξ

∂x

∂ξδξ+

∫

C (ξ)φ(ξ, t )

∂

∂tξ(∂x

∂ξ)δξ


puesto que la derivada respecto de t y ξ conmutan

∂

∂tξ(∂x

∂ξ) =

∂v

∂ξ


D

Dt

∫

C (t )φδr =

∫

C (ξ)

∂φ(ξ, t )

∂tξ

∂x

∂ξδξ+

∫

C (ξ)φ(ξ, t )(

∂v

∂ξ)δξ=

=∫

C (ξ)

∂φ(ξ, t )

∂tξδr+

∫

C (ξ)φ(ξ, t )δv

pasando de nuevo a la imagen euleriana

D

Dt

∫

C (t )φδr =

∫

C (t )

Dφ(x, t )

Dtδr+

∫

C (t )φ(x, t )GRADvδr

que es la expresión que andabamos buscando. Se propone al lector que calcule

cual es la variación temporal de la integral de superficie cuando esta está com-

puesta simepre por las mismas partículas.

11.12. Dinámica de fluidos

En las anteriores secciones hemos hablado del movimiento del fluido sin

tener en cuenta las causas que lo producen, vamos a introducir en esta sección

el tipo de fuerzas a las que esta sometido el fluido para acabar con las ecuaciones

del movimiento que nos permite estudiar de forma completa el movimiento del

fluido.

Consideremos una porción del fluido que tomaremos como nuestro sistema

mecánico, fuerzas que afectan esta porción del fluido las podemos dividir en dos

clases

Fuerzas de Volumen Son aquellas que afectan a todas las partículas que for-

man el sistema por igual. Ejemplo de este tipo de fuerzas son el campo

gravitatorio, el campo electromagnético, fuerzas inerciales, etc.

Fuerzas de Superficie Son fuerzas de corto alcance afectando únicamente a la

11.12 Dinámica de fluidos 285

superficie que separa a nuestro sistema del resto del fluido. Obviamente

las fuerzas no afectan a superficies si no a volumenes, ahora bien el expe-

sor de la capa afectada por las fuerzas superficiales es mucho menor que

la extensión de la superficie y desde luego mucho menor que el tamaño

típico del sistema mecánico que estamos considerando. El origen de estas

fuerzas es molecular. Un ejemplo clásico para comprender este tipo de

fuerzas es el siguiente. Considerar una superficie imaginaria que separa

nuestro sistema mecánico del resto del fluido. Suponer que las velocida-

des de las moleculas son diferentes a un lado y otro de la superficie. Al

atraversar la superficie las moleculas llevan consigo el momento de la re-

gión origen, este momento es entregado a la región destino haciendo que

las regiones se aceleren o se frenen induciendo por tanto una fuerza. Po-

demo imaginar este proceso como un par de trenes que viajan por dos vias

paralelas con velocidades diferentes que representan el estado del fluido

a un lado y otro de la superficie que los separa. Imaginar que unos obre-

ros lanzan sacos terreros de un tren a otro (las moléculas que atraviesan

la superficie). Los sacos terreros que salen del tren rapido cuando llegen

al tren lento le comunicaran su momento y este tenderá a acelerarse, por

el contrario los saco que salgan del tre lento cuando lleguen al tren rapido

adquiriran momento en la dirección de marcha del tren tendiendo este a

frenarse. Como resultado de este intercamio un tren se acelera y otro se

frena, se produce por tanto una fuerza. Este fuerza tiene un alcance muy

limitado, el del recorrido libre medio. Como en mecanica del continuo no

sabemos nada de moleculas ni de sacos terreros, vamos a parametrizar

estas fuerzas superficiales mediante un vector t(x,n) que depende de la

posición xy de la orientación de la superfice n de tal forma que t(x,n)δΣ

representa la fuerza que ejerce la región hacia donde apunta n sobre la re-

gión desde donde emerge n

Considerando por tanto ambos tipos de fuerzas la fuerza total ejercida sobre

nuestro sistema mecánico vale,

F =∫

V

ρfδV +∫

∂V

t(x,n)δΣ


t(x,n)

dΣ

Figura 11.6:

siendo f la fuerza volúmica por unidad de masa.

Teorema 11.12.1 Las fuerzas de superficie están localmente en equilibrio.

Consideremos un sistema mecánico que consiste en una porción del fluido,

de acuerdo con las leyes de Newton se debe de verificar que la variación tempoe-

ral de la cantidad de momento ha de ser igual a la suma de las fuerzas exteriores

jeercidas sobre el sistema,

D

Dt

∫

V

ρvδV =∫

V

ρfδV +∫

∂V

t(x,n)δΣ

siendo V un volumen del sistema. De acuerdo con el teorema de Reynolds re-

sultq queD

Dt

∫

V

ρvδV =∫

V

ρD

DtvδV =

∫

V

ρaδV

por lo que∫

V

ρaδV =∫

V

ρfδV +∫

∂V

t(x,n)δΣ

Si hacemos tender el volumen a cero, la anterior expresión toma la forma

aδV = ρfδV + t(x,n)δΣ

Si nos fijamos en esta expresión vemos que el término de la izaquierda tiend

a cero como r 3, siendo r el radio del pequeño elemento de volumen. De los

miembros del término de la derecha, el primero tiende a cero tambien como r 3

minetras que el segundo tiende a cero como r 2 por lo que para que se mantenga

la igualdad hemos de anular identicvamente este termino esto es cuando δV

11.13 tensor de esfuerzos 287

tiende acero necesariamente∫

∂V

t(x,n)δΣ

ha de hacerse cero. Esto significa que las fuerzas superficiales han de estar en

equilibrio mecánico localmente.

11.13. tensor de esfuerzos

Vamos a aprobechar el teorema anterior para poner de forma explícita la

dependencia del vector de fuerzas superficiales t(x,n) respecto de la normal n.

Para ello considerar el tetraedro que se muestra en la figura 11.7 De acuerdo con

a

b

c

dΣ(n)

dΣ(-c)

dΣ(- b)dΣ(- a)

Figura 11.7:

el teorema anterior se debe de verificar que

t(x,n)δΣ(n)+ t(x,−a)δΣ(−a)+ t(x,−b)δΣ(−b)+ t(x,−c)δΣ(−c) = 0

cuando el volumen del sistema tiende a cero. Según el principio de acción y

reacción

t(x,−c) =−t(x,c)

por lo que

t(x,n)δΣ(n)− t(x,a)δΣ(−a)− t(x,b)δΣ(−b)− t(x,c)δΣ(−c) = 0

Ahora bien resulta que las áreas laterales son la proyección del area transversal

esto es

δΣ(−a) = δΣ(n)a ·n



t(x,n)δΣ(n)− (t(x,a)a− t(x,b)b− t(x,c)c) ·nδΣ(n) = 0

por lo que

t(x,n) = (t(x,a)a− t(x,b)b− t(x,c)c) ·n

La cantidad entre parentesis no depende de n, lo llamaremos tensor de esfuerzos

y lo representaremos por T por lo que

t(x,n) =Tn (11.19)

donde vemos que hemos separado la dependencia de n. Dado que hemos em-

pleado una base genérica la anterior ecuación es una ecuación tensorial, esto

es, es valida cualquiera que sea la base elegida. En terminos de componentes la

ecuación anterior se escribe

ti (x,n) = Ti j (x)n j

Para ver el significado de cada elemento del tensor Ti j , consideremos un parale-

lepipedo. Sea n = (1,0,0) un vector unitario en la dirección del eje 1 (eje x), o sea

es un vector unitario normal a la superficie (zy). La fuerza superficial aplicada a

esta cara tendrá como componentes (T11,T21,T31). Por tanto vemos que T11 es

la componente normal a la cara 1, T21 representa la componente a lo largo del

eje 2 (y) de la fuerza ejercida sobra la cara 1 y T31 representa la componente 3(z)

de la fuerza ejercida sobra la cara 1. Identico significado tendran para el resto

de las caras. Así pues el primer indice representa la componente y el segundo la

cara sobre la que se ejerce la fuerza.

Ejercicio 11.2 Demostrar basandose en el hecho que las fuerzas superficiales

estan localmente en equilibrio el principio de acción y reacción

SOLUCCIÓN


Considerar una esfera de volumen tan pequeño como queramos, de acuerdo

con el teorema anterior, los esfuerzos superficiales aplicados a la esfera se anu-

lan identicamente cuando hacemos tender el volumen a cero. Suponer ahora

que dividimos mentalmente a la esfera en dos semiesferas, de acuerdo con el

anterior teorema la distribución de esfuerzos sobre cada semiesfera es nula,

t(n)dΣ(c11)+ t(n)dΣ(c12) = 0

t(n)dΣ(c21)+ t(n)dΣ(c22) = 0

siendo c11, c12 la cara externa e interna de la semiesfera uno y c21, c22 la cara

externa e interna de la semiesfera dos. Sumando ambas ecuaciones

t(n)dΣ(c11)+ t(n)dΣ(c21)+ t(n)dΣ(c12)+ t(n)dΣ(c22) = 0

Ahora bien las caras c11, c21 reproducen la superficie exterior de la esfera y por

tanto según dejimos al principio estan en equilibrio por lo que

t(n)dΣ(c12)+ t(n)dΣ(c22) = 0

ahora bien las normales a las dos caras son iguales salvo el signo, de donde re-

sulta que,

t(n)dΣ(c12)− t(−n)dΣ(c12) = 0

y por tanto

t(n) =−t(−n)

como queriamos demostrar. Podiamos haber pensado el teorema de forma in-

versa, esto es para que se siga verficando el principio de acción y reacción es ne-

cesario que se verifique que las fuerzas superficiales estén localmente en equi-

librio.

Teorema 11.13.1 El Tensor de esfuerzos es simétrico

DEMOSTRACIÓN


Para la demostración del anterior teorema vamos a partir del teorema de con-

servación del momento angular

DL

Dt= N

siendo L el momento angular y N el momento de las fuerza exteriores. Teniendo

en cuenta que

L =∫

V (t )ρ(r×v)δV

tenemosD

Dt

∫

V (t )ρ(r×v)δV = N

aplicando el teorema de tranporte de Reynolds

∫

V (t )ρ

D

Dt(r×v)δV = N

ahora bien

D

Dt(r×v) =

Dr

Dt×v+r×

Dv

Dt= v×v+r×

Dv

Dt= r×a

por lo que∫

V (t )ρr×a =N

El momento de las fuerzas exteriores procede tanto de las fuerzas de volumen

como de suoperficie, tedremos

N =∫

V (t )ρ(r× f)δV +

∫

∂V

[r× t(x,n)]δΣ

sustituyendo tenemos

∫

V (t )ρr×a =

∫


∫

∂V

[r× t(x,n)]δΣ

utilizando el teorema de la divergencia podemos pasar de la integra de super-

ficie a una de volumen resultando que la anterior expresión la podemos poner


como∫

V (t )ρr×a =

∫


∫

V (t )DIV[r× t(x,n)]δV

en forma de componentes, teniendo en cuenta que

t(x,n) =Tn

tenemos

∫

V (t )ρǫi j k r j ak =

∫

V (t )ρǫi j k r j fkδV +

∫

V (t )

∂

∂x l(ǫi j k r j Tkl )δV

Derivando en el segundo termino del miembro de la derecha,

∂

∂x l(ǫi j k r j Tkl ) = ǫi j k

∂r j

∂x lTkl+ǫi j k r j

∂Tkl

∂x l= δ j l Tkl+ǫi j k r j

∂Tkl

∂x l= ǫi j k Tk j+ǫi j k r j

∂Tkl

∂x l

sustituyendo

∫

V (t )ρǫi j k r j ak =

∫

V (t )ρǫi j k r j fk +

∫

V (t )ǫi j k r j

∂Tkl

∂x lδV +

∫

V (t )ǫi j k Tk jδV

Haciendo ahora que el volumen del sistema tienda a cero, vemos que los tres

primeros términso tienden a cero como r 4 mientras que el último término tien-

de a cero como r 3 por lo tanto para que la igualdad se mantenga es necesario

que

ǫi j k Tk j = 0

y por tanto dado que

ǫ123T32 +ǫ132T23 = 0

ǫ312T21 +ǫ321T12 = 0

ǫ231T13 +ǫ213T31 = 0

teniendo en cuenta que ǫi j k vale uno si (i j k) es una permitación par de (123) y


menos uno si es impar tendremos

T32 −T23 = 0

T21 −T12 = 0

T13 −T31 = 0

y por tanto el tensor T es simétrico3. Debido a esta simetría siempre es posible

encontar una base en la que el tensor es diagonal. En esta base dado un para-

lelepipedo con aristas paralelas a los ejes coordenados, los esfuerzo ejercidos

sobre sus caras son ortogonales a ellas, esto es solo tenemos esfuerzos normales

no tangenciales. Es facil ver que la componente normal del esfuerzo vale

tn = n · t = n ·T ·n = ni Ti j n j

si el tensor es diagonal

tn = T11n21 +T12n2

2 +T13n23

sobre la cara 1 del paralelepipedo (n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0) por lo que

tn(1) = T11

y lo mismo sucede con el resto de las caras. La componente tangencial viene

dada por la expresión (teorema de Pitágoras)

tt =√

ti ti − t 2n =

√

(Ti j n j )2 − (ni Ti j n j )2

El tensor de esfuerzos lo vamos a separar en dos partes, una de ellas isótropa

y el resto que llamaremos desviatoria

Ti j =1

3Ti iδi j +Di j

3Aunque no lo hemos dicho explicitamente se ha supuesto que el fluido no es polar y por tantono existe momentos intrisecos internos


siendo Ti i = T11 +T22 +T33 y por tanto

1

3Ti i

representa el valor medio de los esfuerzos normales. En forma matricial la ante-

rior separación la podemos representar mediante la ecuación

T11 T12 T13

T21 T22 T23

T31 T32 T33

=1

3

Ti i 0 0

0 Ti i 0

0 0 Ti i

+

T11 − 13 Ti i T12 T13

T21 T22 − 13 Ti i T23

T31 T32 T33 − 13 Ti i

Teorema 11.13.2 La parte desviatoria del tensor de esfuerzos es nula cuando el

fluido está en reposo

DEMOSTRACIÓN

Por hipótesis un fluido es incapaz de soportar aquellos esfuerzos que tiendan a

deformarlo sin cambiar de volumen. Llamemos presión p a la cantidad−(1/3)Ti i

de tal forma que p en general es una cantidad positiva. La fuerza ejercida por la

parte isótropa vale,

ti =−pδi j n j =−pni

esto es

t(n) =−pn

la fuerza solo tiene componente normal y puesto que p > 0 esta fuerza des una

compresión isótropa. Supuesto que nuestro pequeño volumen sea una esfdra la

fuerza va a ser igual en todas la direcciones y la esfera va a tender a disminuir de

tamaño, y por tanto el fluido se va a oponer a nuestra tension exterior, esto es si

queremos seguir deformando la esfera debemos de continuar aumenta nuestra

fuerza. En cuanto a la fuerza ejercida por la parte desviatoria será

ti = Ti j n j

tal que la suma de las furzas a lo largo de los ejes coordenadossea cero. Esto

significa que habra compresiones y expansiones , estas compresiones y expan-


siones derorman a la esfera sin que esta tenga que cambiar de volumen, como el

fluido es incapazar de soportar esfuerzos externos que no cambien el volumen,

la esfera se deformará continuamente y por tanto su estado de movimiento se

hace incompatible con el reposo. Se tiene por tanto que en situación de equili-

brio únicamente es distinto de cero la parte isótropa y por tanto,

t(x,n) =−p(x)n (11.20)

Puesto que estamos en equilibrio la suma de las fuerzas exteriores será nula y

por tanto

0 =∫

V

ρfδV −∫

∂V

pnδΣ

apliando el teorema de la divergencia

0 =∫

V

(ρf−GRADp)δV

y como la anterior ecuación es válida para cualquier volumen

0 = ρf−GRADp (11.21)

que es la ecuación general de la hidrostática. Si las fuerzas de volumen depen-

den de un potencial f =−GRADΩ y por tanto

GRADp =−ρGRADΩ

que es otra forma de la ecuación general de la hidrostática para el caso de fuer-

zas de volumen que dependan de un potencial. La anterior expresión no mues-

tra que los vectores gradientes de p y Ω son paralelos y por tanto las superficies

de p constantec coincidcen con las superficies de Omeg a constante. Tomando

el rotacional en la anterior expresión nos lleva a la ecuación

0 = GRADρ×GRADΩ

y por tanto vemos que las supercies equipotenciales son paralelas a las superfi-

cies de densidad constante y deducimos tambien que las superficies de densi-


dad constante son tambien superficies de presión constante. De la ecuación de

estado vemos tambien que estas superficies coinciden con superficies de tem-

peratura constante.

Teorema 11.13.3 Un sólido sumergído en un fluido sufre un empuje igual al

volumen del fluido que desaloja (Arquimedes)

Considerar un sólido sumergido en el seno de un fluido en equilbrio hidrotático.

La fuerza de pfresión ejercida por el fluido sobre el sólido será

∫

∂V

−pnδΣ

siendo n la normal exterior al sólido. Nuestra idea es sustituir la anterior expre-

sión por una integral de volumen. Para ello suponer que sustituimos nuestro

sólido por una porción de fluido con tal que esta porción de fluido esté en equi-

librio hidrostático con el fluido que rodea al sólido. Como el area que rodea al

solido no varia cuando lo sustituyo por el fluido la anterior integral no cambia.

Ahora bien como esmos suponiendo que el fluido que introduzco está en equli-

brio con el fluido exterior podemos aplicar la ecuación hidrostática y por tanto

∫

∂V

−pnδΣ=−∫

V

ρfδV

supuesto que la fuerza exterior sea el camo gravitatorio tenemos que f = −g y

por tanto las fuerzas de superficie valen

∫

∂V

−pnδΣ=∫

V

ρgδV

esto es coinciden con el peso del volumen de fluido desalojado como queriamos

demostrar.


11.14. Fluidos newtonianos

Volvamos a nuestro problema general de la dínamica y planteemos las ecua-

ciones del movimiento, del teorema de conservación del momento

D

Dt

∫

V (t )ρvδV =

∫

V (t )ρfδV +

∫

∂V

TnδΣ

aplicando el teorema de la divergencia al último termino

D

Dt

∫

V (t )ρvδV =

∫

V (t )ρfδV +

∫

V

DIVTδV

Aplicando el teroma del transporte de Reynolds y llevano todas las inetrales a un

mismo miembro obtenemos

∫

V (t )

(

ρDv

Dt−ρf−DIVT

)

δV = 0.

Puesto que la anterior integral se anula para cualquier volumen, el argumento

debe de ser identicamente cero y por tanto

ρDv

Dt= ρf+DIVT

que es la ecuación del movimiento. Separando el tensor de esfuerzos en la parte

ísotropa y desviatoria y manteniendo el nombre de presión p para −(1/3)Ti i4

tenemos

ρDv

Dt= ρf−GRADp +DIVD (11.22)

Esta ecuación no la podemos resolver hasta que tengamos una expresión para

la parte desviatoria del tensor de esfuerzos. Siguiendo la ley de Hook de que los

esfuerzos son proporcionales a las deformaciones vamos a suponer que

D= f (V)

4Hemos de hacer constar que esta definición de la presión es la mimsa que para el caso estáticoaunque su valor no coincida con el de la presión hidrostática cuando estemos fuera del equilibrio

11.14 Fluidos newtonianos 297

siendo V el tensor gradiente de velocidad

V|i j =∂v i

x j

y f una función lineal. Bajo la hipótesis que el fluido es isótropo, la anterior

expresión toma la forma

D=A ·V

siendo A un tensor isótropo de cuarto orden. Se sabe del algebra que el tensor

de cuarto orden isótropo se puede poner como

Ai j kl =λδi jδkl +µδi kδ j l +µ′δi lδ j k

siendo λ,µ,µ′ constantes. Sustituyendo

Di j =(

λδi jδkl +µδi kδ j l +µ′δi lδ j k

)

vkl

puesto que Di j es simétrico tenemos

Di j = D j i =(

λδ j iδkl +µδ j kδi l +µ′δ j lδi k

)

vkl

de donde

(

λδi jδkl +µδi kδ j l +µ′δi lδ j k

)

vkl =(

λδ j iδkl +µδ j kδi l +µ′δ j lδi k

)

vkl

operando llegamos a

λvi iδi j +µvi j +µ′v j i =λvi iδi j +µv j i +µ′vi j

de donde

(µ−µ′)vi j = (µ−µ′)v j i

Puesto que en general vi j 6= v j i se debe de verificar que µ=µ′. Por lo que

Di j =λδi j vi i +µ(vi j +v j i )


ahora bien, vi i = ei i y vi j +v j i = 2ei j siendo ei j el tensor velocidad de deforma-

ción, resultando por tanto

Di j =λei iδi j +2µei j

puesto que ei i = DIVv, resulta que

Di j =λDIVvδi j +2µei j

Tal y como hemos definido el tensor desviatorio D resulta que su traza Di i es

nula, por lo que

Di i = 3λei i +2µei i = 0

de donde resulta que

3λ=−2µ

que constituye la relacion de Stokes5. Tenemos por tanto

Di j = 2µ(ei j −1

3ei iδi j ) (11.23)

El coeficiente µ recibe el nombre de coeficiente de viscosidad dinámico. LLevan-

do la anterior expresión a la ecuación que define el tensor de esfuerzos tenemos

Ti j =−pδi j +2µ(ei j −1

3ei iδi j )

Si huviesemos utilizado la presión termodinámica hubiesemos obtenido la ecua-

ción

Ti j =−pT δi j +2µei j +λei iδi j

Calculando la traza e igualando tenemos

pT −p =(

2

3µ+λ

)

ei i

5Este resultado se ha obtenido por el hecho de haber definido la presión p como −(1/3)Ti i ,definición que no depende del estado de equilibrio en que se encuentre el fluido. Existen algunoslibros que definen a la presión p como la presión termodinámica pT (presión que solo tiene sen-tido en equilibrio) en cuyo caso Di i 6= 0 y por tanto no se verifica la relación de Stokes y aparecen2 coeficientes en la definición de Di j

11.14 Fluidos newtonianos 299

llamaremos k al coeficiente

k =2

3µ+λ

que recibe le nombre de coeficiente de segunda viscosidad. Resulta por tanto

Ti j =−pT δi j +2µ(ei j −1

3ei iδi j )+kei iδi j

El coeficiente de segunda viscosidad es muy pequeño y solo es importante cuan-

do tenemos ondas sononoras intensas en el seno del fluido. En general se toma

como cero (hipótesis de Stokes) y por tanto

Ti j =−pT δi j +2µ(ei j −1

3ei iδi j )

LLevando esta expresión a la ecuación del movimiento obtenemos

ρDvi

Dt= ρ fi +

∂

∂x j

(

−pδi j +2µ(ei j −1

3ei iδi j )

)

operando, se obtiene

ρDvi

Dt= ρ fi −

∂p

∂x i+2µ

(

∂ei j

∂x j−

1

3

∂ei i

∂x i

)


ei j =1

2

(

∂v i

∂x j+∂v j

∂x i

)

se llega a

ρDvi

Dt= ρ fi −

∂p

∂x i+µ

∂2v i

∂x j∂x j+

1

3µ

∂

∂x i

∂v j

∂x j

que en forma vectorial toma la forma

ρDv

Dt= ρf−GRADp +µ∇2v+

1

3µGRAD(DIVv) (11.24)

ecuación que recibe el nombre de Navier–Stokes y constituye la expresión de

conservación del momento.


11.15. Principio de conservación de la energía

Hasta el momento hemos analizado el principio de conservación de la masa

que dío lugar a la ecuación de continuidad, a continuación hemos analizado el

principio de conservación del momento que dió lugar a la ecuación de Navier–

Stokes. Si nos fijamos en estas ecuaciones descubrimos que tenemos 5 variables,

la densidad, la presión, y las tres componentes de la velocidad, se supone que la

viscosidad es una propiedad del fluido y es conocida de antemano. El numero

de ecuaciones presentes son 4, la ecuación de continuidad y las 3 ecuaciones a

que da lugar la ecuación vectorial de conservación del momento. Así pues te-

nemos un sistema no resoluble, necesitamos una ecuación más. Una ecuación

que tenemos a manao es la ecuación de estado

f (ρ, p,T )= 0

que nos da una relación entre la densidad ρ, la presión p y la temperatura T , per

nos introduce en el sistema una nueva variable, la temperatura, necesitamos por

tanto una nueva ecuación. Esta nueva ecuación nos la va a dar el primero ó el

segundo principio.

Como es bien conocido el primer principio establece que la variación de la

energía interna de un sistema termodinámico es igual al calor dado al sistema

menos el trabajo realizado por el mismo. Consideremos una porción finita del

fluido como nuestro sistema termodinámico, supuesta válida la ley de Fick, el

flujo de calor (cantidad de energía for unidad de tiempo) dado al sistema viene

dado por la expresión∫

∂V

kGRADTδΣ

siendo k la conductividad. En cuanto al trabajo realizado por el sistema, la velo-

cidad a la realizan trabajo las fuerzas exteriores vale,

∫

V

ρf ·vδV +∫

∂V

t ·vδV

siendo v la velocidad, f la fuerza por unidad de masa y t el vector de Cauchy que

representa la distribución de esfuerzos superficiales. Teniendo en cuenta que

11.15 Principio de conservación de la energía 301

t =T ·n y aplicando el teorema de Ostrogradsky–Gauss a la integral de superficie

se obtiene para la velocidad a la que se realiza trabajo la expresión

∫

V

ρf ·vδV +∫

V

DIV(Tv)δV

que en componentes cartesianas eulerianas vale

∫

V

ρ fi v iδV +∫

V

∂

∂x j(Ti j v i )δV

operando en el segundo término y reorganizando tenemos

∫

V

(

ρ fi +∂Ti j

∂x j

)

v iδV +∫

V

Ti j∂v i

∂x jδV

Teniendo en cuenta la ecuación del movimiento

ρDv i

Dt= ρ fi +

∂Ti j

∂x j

la primera integral vale

∫

V

ρDv i

Dtv iδV =

D

Dt

∫

V

1

2v2δV

esto es representa la variación de energía cinética. En cuanto a la segunda inte-

gral∫

V

Ti j∂v i

∂x jδV

teniendo en cuenta que Ti j es un tensor simétrico, separando ∂v i /∂x j en su par-

te simétrica ei j y antisimetrica Ωi j y considerando que el producto contraido de

un tensor simétrico por otro antisimétrico vale cero, tenemos que esta segunda

integral vale∫

V

Ti j ei jδV

que representa la variación de energía interna a cuenta del trabajo de las fuerzas

exteriores. Así pues teniendo en cuenta la anterior expresión así como la expre-

sión obtenida para el flujo de calor, podemos escribir para el primer principio la


expresiónD

Dt

∫

V

ρuδV =∫

V

Ti j ei jδV +∫

∂V

kGRADTδΣ

siendo u la energía interna por unidad de masa. Puesto que Ti j =−pδi j+2µ(ei j−(1/3)ei iδi j ) y aplicando el teorema de Ostrogradski–Gauss a la integral de super-

ficie llegamos a

D

Dt

∫

V

ρuδV =∫

V

[

−pei i +2µ(ei j −1

3ei iδi j )ei j

]

δV +∫

V

∂

∂x j

(

k∂T

∂x j

)

δV

Es facil de demostrar que

(ei j −1

3ei iδi j )ei j = (ei j −

1

3ei iδi j )2

por lo que

D

Dt

∫

V

ρuδV =∫

V

[

−pei i +2µ(ei j −1

3ei iδi j )2

]

δV +∫

V

∂

∂x j

(

k∂T

∂x j

)

δV

aplicando el teorema del transporte al primer miembro, llevando todo a una sola

integal y anulando el argumento de esta y teniendo en cuenta que ei i = DIVv, se

obtiene

ρDu

Dt=−pDIVv+2µ(ei j −

1

3DIVvδi j )2 +

∂

∂x j

(

k∂T

∂x j

)

(11.25)

que es la expresión en forma diferencial del primer principio. De los tres térmi-

nos de la derecha, el primero representa el trabajo de expansión/compresión,

puede ser positivo o negativo de acuerdo con el hecho que sea una compresion

(DIVv < 0) o una expansión (DIVv > 0 ) respectivamente. El segundo término que

es siempre positivo representa la tasa de disipación viscosa de energía cinéti-

ca. Puesto que es positivo representa siempre un incremento de enegía interna.

El tercer término representa el flujo de calor a través de la superficie y puede ser

positivo o negativo. La presión que aparece en la expresión anterior es la presión

dinámica, teniendo en cuenta que

pT −p = kDIVv

11.15 Principio de conservación de la energía 303

obtenemos

ρDu

Dt=−pT DIVv+k(DIVv)2 +2µ(ei j −

1

3DIVvδi j )2 +

∂

∂x j

(

k∂T

∂x j

)

(11.26)


ρDu

Dt+pT DIVv =ρT

Ds

Dt

siendo s la entropia especifica, obtenemos

ρTDs

Dt= k(DIVv)2 +2µ(ei j −

1

3DIVvδi j )2 +

∂

∂x j

(

k∂T

∂x j

)

(11.27)

que es la expresión del segundo principio. En un sistema adiabático el último

término es nulo por lo que

ρTDs


1

3DIVvδi j )2

puesto que por el segundo principio, en un sistema adiabatico la entropía solo

puede crecer, por lo que

ρTDs


1

3DIVvδi j )2 > 0

la anterior ecuación nos dice que necesariamente los coeficientes de viscosidad

µ y segunda viscosidad k han de ser positivos. La termodinámica nos dice que

ρTDs

Dt= cp

DT

Dt−β

DpT

Dt

de donde

cpDT

Dt=β

DpT

Dt+k(DIVv)2 +2µ(ei j −

1

3DIVvδi j )2 +

∂

∂x j

(

k∂T

∂x j

)

que constituye la ecuación de evolución de la temperatura. Es la sexta ecuación

que andabamos buscando y que cierra el sistema de ecuaciones.


11.15.1. Ecuacion de Bernoulli

Necesitamos en primer lugar evaluar encontrar cual es la ecuación de evolu-

ción de la energía cinética. Para ello partiremos de la ecuación de conservación

del momento,

ρDv

Dt=−GRADp +ρf+DIVD

siendo D la parte desviatoria del tensor de esfuerzos,

Di j = 2µ(ei j −1

3ei iδi j )

Multiplicando la ecuación del conservación del momento escalarmente por v,

obtenemos la expresión

ρv ·Dv

Dt=−v ·GRADp +ρv · f+v ·DIVD


v ·Dv

Dt=

1

2

Dv2

Dt=

DEc

Dt

siendo Ec la energía cinética por unidad de masa, llegamos a

ρDEc

Dt=−v ·GRAD p+ρv · f+v ·DIVD (11.28)

Combinando la anterior ecuación junto con la ecuación del primer principio

(11.25) obtenemos la expresión

ρDEc

Dt+ρ

Du

Dt=−v ·GRADp +ρv · f−pDIVv+2µ(ei j −

1

3DIVvδi j )2 +

∂

∂x j

(

k∂T

∂x j

)

Apéndice A

Elementos de cinemática y

dinámica del sólido rígido

A.1. Ecuaciones del movimiento relativo

Considerar dos sistemas de referencia (O,R) y (O′,R′) de origenes O y O′ res-

pectivamente, el primero de ellos inercial (aunque esto no es necesario) y el se-

gundo en movimiento rototranslacional respecto del primero. Sea P un punto

material y OP y O′P los radios vectores que marcan la posición de dicho punto

en las referencias R y R′ respectivamente. Estos radios vectores están relaciona-

dos mediante la expresión

OP = OO′+O′P

derivando respecto del tiempo en la referencia R,

R dOP

dt=

R dOO′

dt+

R dO′P

dt

SeaRvP =

R dOP

dt

la velocidad del punto P respecto del sistema R. La anterior expresión la pode-

mos poner como

RvP =R vO ′ +R dO′P

dt(A.1)

306 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido

Teniendo en cuenta que en el sistema de referencia primado,

O′P = x ′i′+ y ′j′+ z ′k′

siendo (i′, j′,k′) una base euclídea ortonormal. Derivando

R dO′P

dt=

R dx ′

dti′+

R d y ′

dtj′+

R dz ′

dtk′+x ′

R di′

dt+ y ′

R dj′

dt+ z ′

R dk′

dt

los tres primero términos del miembro de la derecha representa la velocidad re-

lativa del punto P respecto del sistema primado. Hay que tener en cuenta que

la derivada de un escalar (como son las coordenadas individuales) en R y la de-

rivada en R′ son iguales. Podemos pensar también que durante esta parte del

proceso de derivación la base primada se mantiene fija, esto es, las referencias

R y R′ se mueven una respecto de la otra con un movimiento de traslación y por

tanto las derivadas en un referencial y otro son equivalentes, así pues

R dO′P

dt=

R ′dx ′

dti′+

R ′d y ′

dtj′+

R ′dz ′

dtk′+x ′

R di′

dt+y ′

R dj′

dt+z ′

R di′

dt=R ′

vP+x ′R di′

dt+y ′

R dj′

dt+z ′

R di′

dt.

Es posible demostrar queR di′

dt=ω(R′/R)× i′

siendo ω(R′/R) la velocidad de rotación del sistema primado R′ respecto del sis-

tema R. Sustituyendo (Para no complicar la notación ω≡ω(R′/R)),

R dO′P

dt=R ′

vP +ω× (x ′i′+ y ′j′+ z ′k′)=R ′vP +ω×O′P (A.2)

Esta expresión nos muestra que dado un vector A, la derivada temporal en un

sistema R′ esta relacionada con la derivada en un sistema R, respecto del cual

está rotando por la expresión

R dA

dt=

R ′dA

dt+ω×A (A.3)

A.1 Ecuaciones del movimiento relativo 307

llevando la expresión (A.2) a la expresión (A.1) obtenemos

RvP =R vO ′ +R ′vP +ω×O′P (A.4)

Podemos interpretar la anterior ecuación de la siguiente forma. La velocidad

en el sistema R, RvP es suma de la velocidad relativa R ′vP , esto es la velocidad

del punto P ignorando el estado de movimiento del sistema primado, más la

velocidad de arrastre RvO ′ +ω×O′P que es la velocidad del punto P como si

estuviese fijo (R ′vP = 0) en el sistema primado. Así mismo podemos interpretar

la expresión A.4 como la suma de la velocidad del punto O’ respecto del sistema

R más la velocidad del punto P respecto de un sistema con origen en O′ y que se

mueve con movimiento de translación respecto de R

Ejercicio A.1 Demostrar que en un movimiento de rotación puro,

di

dt=ω× i

SOLUCCIÓN Considerar un sistema de referencia i′, j′,k′, con respecto del cual el

vector i esté rotando. Sea ω el vector velocidad de rotación y supongamos por

simplicidad que ω esté en la dirección k′. En este sistema el vector i tiene como

expresión

i = senθcosφi′+senθsenφj′+cosθk′

Derivando respecto del tiempo, teniendo en cuenta que el vector i esta rotando

respecto del eje k′ y por tanto en su movimiento solo varía el ángulo φ, tenemos

di

dt=−φsenθsenφi′+φsenθcosφj′ = φsenθ(−senφi′+cosφj′) =ωsenθ(−senφi′+cosφj′)

en donde hemos tenido en cuenta que φ=ω. Por otra parte

ω× i =ωk′× (senθcosφi′+senθsenφj′+cosθk′) =ωsenθ(−senφi′+cosφj′)

y por tanto,di

dt=ω× i


como queríiamos demostrar.

Figura A.1:

Una demostración alternativa, aunque menos analíti-

ca, la podemos hacer fijándonos en la figura A.1 donde po-

demos observar un vector B que rota alrededor de un eje

Q con velocidad angular ω. La derivada temporal del vec-

tor B la calcularemos como el límite cuando el incremento

temporal tiende a cero del vector

B = lım∆t→0

∆B

∆t

sustituyendo el arco por la cuerda,

∆B = B senθω∆t n

siendo n un vector unitario en la dirección ortogonal a B. Sustituyendo

∆B

∆t= B senθωn

Ahora bien por la definición del producto vectorial,

ω×B =ωB senθn

y por tanto

B =ω×B

como queríamos demostrar.

A.2. Teorema de Coriolis

Vamos a suponer que queremos relacionar la aceleración del punto P en los

sistemas R y R′. Para ello basta derivar con respecto al tiempo en la expresión

(A.4)R d

dt(R vP ) =

R d

dt(R vO ′)+

R d

dt(R ′

vP )+R d

dt(ω×O′P).

A.2 Teorema de Coriolis 309

El términoR d

dt(R vO ′)

representa la aceleracion del punto O′. Teniendo en cuenta la ecuación (A.3)

que nos relaciona la derivada temporal en sistemas de referencia en movimiento

relativo tenemos

R d

dt(R ′

vP ) =R ′

d

dt(R ′

vP )+ω×v′p =R ′aP +ω×v′p

siendo R ′aP la aceleración relativa. Así mismo

R d

dt(ω×O′P) = (

R d

dtω)×O′P+ω× (

R d

dtO′P) =

= (R d

dtω)×O′P+ω× (

R ′d

dtO′P+ω×O′P) =

teniendo en cuenta queR ′

d

dtO′P =R ′

vP

es la velocidad relativa, tenemos

R d

dt(ω×O′P) = (

R dω

dt×O′P+ω×R ′

vP +ω× (ω×O′P)

recolectando términos, resulta que

RaP =R ′aP +R aO ′ +2ω×R ′

vP +R dω

dt+ω× (ω×O′P) (A.5)

que nos dice que la aceleración en un sistema de referencia inercial es igual a la

aceleración relativa R ′aP más la aceleración de arrastre

RaO ′ +R dω

dt+ω× (ω×O′P)

más la aceleración de Coriolis

2ω×R ′vP .


El término

ω× (ω×O′P)

recibe el nombrre de aceleración centrífuga.

A.3. Momentos cinético y lineal

Consideremos un sólido rígido, se define el momento lineal y el momento

cinético del sólido con referencia a un sistema de referencia R y a un punto fijo

del mismo que podemos considerar como origen mediante las ecuaciones

R P =∫

D

Rvdm

R LO =∫

D(r×R v)dm; r =

−→OAi , Ai ∈ D

por definición del centro de masas tenemos

RP =∫

D

Rvdm =MRvG

siendo RvG la velocidad del centro de masas y M la masa total del sólido. Te-

ner en cuenta que cuando se habla del momento cinético hemos de tener en

cuenta tanto el sistema de referencia que estemos empleando para dar la ve-

locidad como el punto de referencia empleado para el cálculo del momento.

Así por ejemplo podemos calcular el momento cinético respecto del centro de

masas del sólido, aunque la velocidad la sigamos referenciando al sistema de

referencia original R, en este caso tendremos

R LG =∫

DrRG ×Rvdm

siendo rRG el radio vector de cualquier punto del sólido respecto del centro de

masas. Supuesto que en G colocamos un sistema RG que se mueve con movi-

miento de traslación pura respecto del sistem R situado en O, la velocidad vR

valeR v = RG v+RvG

A.3 Momentos cinético y lineal 311

por lo que

RLG =∫

DrRG×Rvdm =

∫

DrRG×RG vdm+

∫

DrRG×RvG dm = L

RG

G+

(∫

DrRG dm

)

×RvG = RG LG

pues la integral∫

D rRG dm es nula, por la definición del centro de masas.

A.3.1. Teorema de Koenigs relativo al momento cinético

Teorema A.3.1 El momento cinético en O de un sistema material es igual al mo-

mento cinético del sistema en el centro de masas G más el momento respecto

de O del momento lineal total aplicado en el centro de masas

RLO = RG LG +OG×RP (A.6)

De acuerdo con la definición del momento cinético

RLO =∫

D

R r×Rvdm =∫

D

RG r×R vdm +∫

DOG×R vdm

donde hemos puesto que el radio vector Rr = OG+RG r. La segunda integral del

segundo miembro vale

∫

DOG×Rvdm = OG×

∫

D

Rvdm =OG×R P

y la primera integral del segundo miembro es igual al momento cinético en G

RLG =∫

D

RG r×R vdm

que como vimos antes es igual a LRG

G por lo que

RLO = RG LG +OG×RP

Recordar que las referencias R y RG están en movimiento de translación pura

una respecto de la otra . Este teorema es válido tambien para un sistema de

partículas. Vamos a aplicar los anteriores teoremas a tres casos particulares


Movimiento de translación

Si el sólido está en movimiento de translación todos sus punto tienen la mis-

ma velocidad por lo que la cantidad de movimento o momento lineal total vale

RP = MRvG = Mv

y el momento cinético, puesto que la velocidad relativa respecto del centro ma-

sas es cero, RG LG = 0 , de acuerdo con el teorema de Koenigs

RLO = OG×R P

Movimiento de rotación respecto de un punto fijo

En este caso la velocidad de un punto del sólido respecto del punto fijo O

donde hemos situado el sistema de referencia, vale

Rv =ω×r

El momento lineal al igual que en los casos anteriores vale

RP =∫

D

Rvdm =MRvG = Mω×OG

En cuanto al momento cinético,

RLO =∫

D

R r×R vdm =∫

D

Rr× (ω×Rr)dm

de acuerdo con las reglas del cálculo vectorial (por simplicidad r = Rr)

r× (ω×r) = r 2ω−r(r ·ω)

de acuerdo con la definición de una diada (o tensor), la cantidad r(r ·ω) la po-

demos poner como la diada (rr) aplicada al vector ω. De donde el momento

cinético valeRLO =

∫

D(r 2I−rr)ωdm = IOω (A.7)

A.4 Energía cinética 313

La cantidad

I=∫

D(r 2I−rr)dm

recibe el nombre de tensor de inercia, siendo I la diada identidad. La ecuación

(A.7) nos dice que en general el momento cinético no es colineal con la velocidad

de rotación instantanea de sólido. Para que esto fuese así, se debería de producir

Iω=λω

esto es ω debe de ser un vector propio del tensor de inercia. Puesto que el tensor

de inercia es simétrico, siempre es diagonalizable, esto es podemos encontrar

una base donde el tensor de inercia es diagonal. Los vectores base de esta nueva

base reciben el nombre de ejes principales de inercia. Así pues para que el vector

rotación instantanea sea paralelo al momento cinético, debe ser colineal con un

eje principal de inercía.

Estamos ya en condiciones de expresar el teorema de Koenigs para el mo-

mento cinético en términos del tensor de inercia. De la ecuación (A.6) vemos

que el momento cinético en G lo podemos poner como

RG LG = IGω

de tal forma que el teorema de Koenigs se expresa como

RLO = IGω+rG ×R P (A.8)

No olvidar que las referencias en R y RG estan en movimiento de translación

pura una respecto de la otra.

A.4. Energía cinética

Como ya sabemos la energía cinética de un sólido respecto de un sistema de

referencia R valeREc =

1

2

∫

D(R v)2dm

siendo R v la velocidad del elemento de masa dm respecto de la referencia R.


A.4.1. Teorema de Koenigs relativo a la energía cinética

Teorema A.4.1 La energía cinética de un sistema material respecto de un siste-

ma de referencia R es igual a la suma de la energía cinética del sistema respecto

de un sistema de referencia RG en movimiento de translación pura respecto de

R, situado en el centro de masas, más la energía cinética de toda la masa del

sistema concentrada en el centro de masas respecto del sistema referencia R.

DEMOSTRACIÓN

Puesto que las referencias R y RG están en movimiento de translación pura,

la velocidad de un punto A del sólido la podemos poner como

R vA = RvG +RG vA

de donde

(RvA)2 = (R vG +RG vA)2 = (R vG )2 + (RG vA)2 +2R vG ·RG vA

de tal forma que la energía cinética vale

R Ec =1

2M(R vG )2 +

1

2

∫

D(RG vA)2dm+R vG ·

∫

D

RG vAdm

puesto que estamos en el centro de masas

∫

D

RG vAdm = 0

por lo que

REc =1

2M(RvG )2 +

1

2

∫

D(RG vA)2dm =

1

2M(R vG )2 +RG Ec .

Como en el caso de momento cinético, vamos a calcular la energía cinética para

diversos movimientos particulares del sólido.

A.4 Energía cinética 315

Movimiento de translación

En este caso todos los puntos del sólido viajan con la misma velocidad por

lo queREc =

1

2Mv2

G =1

2Mv2

Movimiento de rotación pura

En este casoREc =

1

2

∫

D(R v)2dm

puesto que R nt v =ω×r, tenemos

REc =1

2

∫

D

Rv ·R vdm =1

2

∫

D(ω×r) ·R vdm

que de acuerdo con las leyes del producto mixto podemos poner como

R Ec =1

2

∫

Dω · (r×R v)dm

puesto que la velocidad angular no depende de m y teniendo en cuenta la defi-

nición del momento angular, obtenemos

REc =1

2ω ·R LO (A.9)

o bien, puesto que RLO = IOω, resulta

REc =1

2ωIOω (A.10)

La velocidad de rotación instantanea ω la podemos poner como ωeu , siendo eu

un vector unitario en la dirección del eje instantaneo de rotación, por lo que

R Ec =1

2ω2eu IOeu =

1

2ω2Iu

siendo Iu la proyección del tensor de inercia sobre el eje instantaneo de rotación

y es el momento de inercia respecto de dicho eje.


Movimiento cualquiera

En el caso del movimiento cualquiera, de acuerdo con el teorema de Koe-

nigs, la energía cinética la hemos separado en energía cinética del centro de

masas con toda la masa concentrada allí y energía cinética respecto del centro

de masas. Esta última, de acuerdo con lo visto en la sección anterior, se puede

poner comoRG Ec =

1

2ωIGω

por lo queREc =

1

2Mv2

G +1

2ωIGω

A.5. Teorema de Steiner generalizado

Hemos visto antes que tanto la energía cinética como el momento angular

son funciones del tensor de inercia

IO =∫

D(r 2I−rr)dm

siendo r = OA el radio vector respecto del punto O de un elemento A del sólido

de masa dm. Podemos separar el tensor de inercia, al igual que hemos hecho

con la energía cinética y el momento angular, en un tensor de inercia respecto

del centro de masas más otro que representa el tensor de inercia de toda la masa

respecto de O. Para verlo tengamos en cuenta que

OA = OG+GA

por lo que

∫

D(r 2I−rr)dm =

∫

D[(OG+GA)2I− (OG+GA)(OG+GA)]dm

teniendo en cuenta que por ser G el centro de masas se cumple que

∫

DGAdm = 0

A.5 Teorema de Steiner generalizado 317

de donde

∫

D(r 2I−rr)dm = (OG2I−OGOG)M +

∫

D(GA2I−GAGA)dm

llamando R al radio vector del centro masas y r el radio vector respecto del cen-

tro de masas, tenemos

IO = (R2I−RR)M +∫

D(r2I−rr)dm = (R2I−RR)M + IG (A.11)

A.5.1. Cambio de base

Dado un vector v y una base cualquiera (que supondremos en general euclí-

dea y ortonormal) en un espacio vectorial dotado de producto escalar, lo pode-

mos poner como

v = v i ei

(usaremos la notación de Einstein, en la cual un índice repetido indica una suma

en el índice). Las componentes v i reciben el nombre de componentes covarian-

tes del vector v. A la proyección del vector v sobre el j−eximo vector base biene

dado por

vi = v ·ei

y reciben el nombre de componentes covariantes. De la definición del vector v

en término de los vectores base ei tenemos

vi = v ·ei = vk (ek ·ei )= vkδki = vk

de donde vemos que las componentes cotravariantes y covariantes coinciden

en una base ortonormal. Si la base no fuese ortonormal tendriamos en general

que

ei ·e j = gi j 6= δi j

y las componente covariantes y contravariantes no coinciden. Es fácil ver que

en este caso

vi = gi j v j


Dado un tensor cualquiera T, lo podemos expresar como

T= t i j ei e j

en la base ei . Al igual que antes, las componentes covariantes del tensor ti j son

la proyección del tensor sobre los vectores base

tkl = ekTel = ek (t i j ei e j )el = t i j (ek ·ei )(e j ·el )= t i jδkiδ j l = t kl

Al igual que en el caso de un vector referido a una base ortonormal, las compo-

nentes contravariantes y covariantes coinciden. Esto no es así en bases cuales-

quiera en los que ei ·e j = gi j . En este caso, basta sustituir en la formula anterior

los simbolos δ por los g y tendríamos

tkl = gki t i j g j l

Si hacemos un cambio de base (supondremos que todas nuestras bases son

cartesianas ortonormales), los vectores de la nueva base base se pueden poner

como

Ei = aj

ie j

siendo aj

ila matriz de cambio de base. De la misma forma

ei =αj

iE j

Sustituyendo el vector e en términos de su definición, tenemos

Ei = aj

iαk

j Ek

de donde

aj

iαk

j =δi j

esto es las matrices A= a ij

y α=αkj

son la inversa una de la otra.

En la nueva base, un vector v, cuya expresión en la base antigua es

v = v j e j

A.5 Teorema de Steiner generalizado 319

lo podemos como

v = V i Ei

y por tanto

V i Ei = v j e j

Teniendo en cuenta la expresión de los vectores de la base antigua como función

de los vectores de la base nueva, tenemos

V i Ei = v j e j = v jαkj Ek

de donde

V k =αkj v j

de donde vemos que la forma de transformarse las componentes de los vecto-

res es diferente de la forma en la que se transforman los vectores base. De aqui

que las componentes de un vector las hayamos llamado contravariantes Habia-

mos llamado componentes covariantes a las proyecciones del vector v sobre las

correspondientes bases, por lo que tendremos

Vi = v ·Ei = v ·aj

ie j = a

j

iv ·e j = a

j

iv j

y por tanto las componentes vi se transforman como los vectores bases. De aquí

el nombre de covariante.

Si las bases son ortonormales se tiene que

δi j = Ei ·E j = ap

iep ·a

q

jeq = a

p

ia

q

jep ·eq = a

p

ia

q

jδpq = a

q

ia

q

j

Esta ecuación se puede poner en forma matricial como

AAt = I

siendo At la matriz traspuesta de A, que es la relación de ortonormalidad de las

bases. Esto significa que

At =A

−1


y puesto que la matrizα era la inversa de la matrizA se tiene que la matrizα=At

y por tanto

V =At v (A.12)

Para el caso de un tensor tenemos

T= T i j Ei E j = t pq ep eq


ep =αmp Em

se tiene que

T i j =αip t pqα

jq

que teniendo en cuenta la matriz α=At se tiene que

T′ =A

tTA

esto es válido para cualquier tensor por lo que será válido también para el tensor

de inercia.

A.6. Movimiento de dos sólidos en contacto

Figura A.2:

Vamos a considerar en esta

sección el movimiento relativo de

dos sólidos S1 y S2 en contac-

to. Para analizar el movimiento

nos fijaremos en la figura A.2. De

acuerdo con esta figura, sean A y

B sendos puntos de los sólidos S1

y S2, respectivamente, que en un

instante dado están en contacto.

Sea C el punto del espacio que

en ese instante coincide con los

A.6 Movimiento de dos sólidos en contacto 321

puntos A,B. Sea C/1 la trayectoria

que sobre el sólido S1 realiza el punto C , esto es C/1 es el lugar geométrico de

los puntos del sólido S1 que han estado o estarán en contacto con el sólido S2.

Análogamente podemos decir de la curva C/2.

La velocidad del punto C respecto de un sistema de referencia íntimamente

unido al sólido S2 valeR2 vC =R1 vC +R2 vC1

siendo R1 vC la velocidad relativa de C respecto del sólido S1 y R2 vC1 la velocidad

de arrastre, esto es la velocidad de C íntimimente unido al sólido S1 respecto del

sólido S2. Obviamente esta velocidad vale R2 vA. Sustituyendo,

R2 vA =R2 vC −R1 vC

De la misma manera, considerando el movimiento de C respecto del sólido S1 a

través del sólido S2 se llega a que

R1 vB =R1 vC −R2 vC

Así puesR2 vA =−R1 vB =R2 vC −R1 vC (A.13)

Se dice que ambos sólidos ruedan sin deslizar si

R2 vA =−R1 vB = 0 (A.14)

y por tantoR2 vC =R1 vC

Sean RvA y RvB las velocidades de los puntos A y B en un sistema de referencia

R. TendremosRvA =R2 vA +R vA2

siendo R2 vA la velocidad relativa del punto A respecto del sólido S2 y RvA2 la

velocidad de arrastre del punto A respecto del referencial R, que como sabemos

es igual a la velocidad del punto A unido al solido S2 respecto de R, es por tanto


igual a la velocidad del punto B respecto de R, así pues

RvA =R2 vA +R vB

y por tantoR2 vA =R vA −R vB

De la misma maneraR1 vB =R vB −R vA

Si los sólidos ruedan sin deslizar hemos visto que R2 vA =R1 vB = 0 por lo que

RvB =R vA

Si uno de lo sólidos está fijo en el sistema R, por ejemplo el sólido S2, entonces

RvB = 0

por lo que la condición de rodadura sin deslizamiento equivale a que

RvA = 0

A.7. Teoremas generales de la mecánica del sólido rígido

Existen dos grandes teoremas que son válidos tanto para sistemas de puntos

materiales como para el sólido rígido y que corresponden con la conservación

del momento lineal y la conservación del momento angular.

La conservación del momento lineal nos dice que la variación temporal del

momento lineal respecto de una referencia galileana R es igual a la suma de las

fuerzas exteriores aplicadas al sistema

dRP

dt= Fext (A.15)

La conservación del momento angular nos dice que la variación temporal del

momento angular respecto de un punto fijo en un sistema galileano R es igual

A.7 Teoremas generales de la mecánica del sólido rígido 323

al momento de las fuerzas exteriores respecto de dicho punto

dRLO

dt= MO(Fext) (A.16)

Vamos a suponer que en vez de tomar como referencia para calcular el momen-

to el punto O origen del sistema tomamo un punto Q, en este caso el teorema

anterior se escribedRLQ

dt= MQ(Fext) (A.17)

siendoR LQ =

∫

DQA×Rvdm

donde A es un punto del sólido de masa dm y MQ(Fext) es el momento de las

fuerzas exteriores en Q. >Que sucede si el punto Q se mueve ?. Vamos a ver en

primer lugar como se transforman las derivadas del momento cinético. En pri-

mer lugar de acuerdo con el teorema del transporte de momentos

RLQ = RLO +QO×RP

si derivamos en esta expresión respecto del tiempo

(

dRLQ

dt

)

Qmovil

=dRLO

dt+QO×

dRP

dt+

dQO

dt×RP =

(

dRLQ

dt

)

Qfijo

+R P×R vQ

ahora bien puesto que por el teorema de conservación del momento cinético

(

dRLQ

dt

)

Qfijo

= MQ(Fext)

de donde(

dRLQ

dt

)

Qmovil

= MQ(Fext)+R P×R vQ (A.18)

>Que pasa si el punto Q coincide con G?, en este caso

R P×R vQ = R P×R vG


ahora bienR P =MRvG

por lo queRP×RvG = 0

y por tanto(

dRLG

dt

)

Gmovil= MG (Fext). (A.19)

Ahora bien vimos antes que RLG = RG LG , por lo que

(

dRG LG

dt

)

Gmovil=MG (Fext) (A.20)

estando el sistema de referencia RG en movimiento de translación respecto de

la referencia galileana R. La ecuación anterior es la expresión de la conservación

del momento cinético en el centro de masas. Como vimos anteriormente

RG LG = IGω

por lo que la ecuación de conservación del momento cinético en G resulta ser

[

d(IGω)

dt

]

RG

= MG (Fext) (A.21)

Si escogiesemos una base R′G que estuviese unida al cuerpo (RG está en movi-

miento de translación) la derivada en la base RG y R′G están conectadas por la

expresión(

d

dt

)

RG

=(

d

dt

)

R ′G

+ω×

por lo que[

d(IGω)

dt

]

RG

=[

d(IGω)

dt

]

R ′G

+ω× IGω= MG (Fext) (A.22)

puesto que en la base unida al cuerpo el tensor de inercia no varía, tenemos

IGdω

dt+ω× IGω= MG (Fext) (A.23)

A.7 Teoremas generales de la mecánica del sólido rígido 325

que constituyen las ecuaciones de Euler, donde se ha tenido en cuenta que

(

dω

dt

)

RG

=(

dω

dt

)

R ′G

.

Si utilizamos como base unida al cuerpo la base en la que el tensor de inercia

es diagonal la ecuación vectorial de Euler toma la forma

I1dω1

dt+ (I3 − I2)ω3ω2 = M1

I2dω2

dt+ (I1 − I3)ω1ω3 = M1

I3dω1

dt+ (I2 − I1)ω2ω1 = M1

siendo I1, I2, I3 los momentos principales de inercia y ω1,ω2,ω3 las componen-

tes de la velocidad angular respecto de los ejes principales de inercia, lo mismo

sucede para M1,M2,M3.

A.7.1. Trabajo de las fuerzas exteriores

Considerar que tenemos un conjunto de fuerzas Fi aplicadas en sendos pun-

tos Ai , el trabajo elemental realizado por este conjunto de fuerzas es

dW =∑

i

Fi ·R vAi dt

Puesto que la velocidad de cualquier punto del sólido se puede poner como

RvAi = RvG +ωR ′/R ×GAi

tenemos

dW /dt = RvG ·∑

i

Fi +ωR ′/R ·∑

i

(GAi ×Fi ) = RvG ·∑

i

Fi +ωR ′/R ·MG (Fext) (A.24)


donde hemos aplicado la invariancia del producto mixto a una rotación de sus

factores. Ahora bien por las ley de conservación del momento lineal y cinético

∑

i

Fi =dRP

dt= M

dRvG

dty MG (Fext)=

[

d(IGω)

dt

]

RG

sustituyendo

dW /dt = MRvG ·dRvG

dt+ωR ′/R

[

d(IGωR ′/R)

dt

]

RG


[

d(IGω)

dt

]

RG

=[

d(IGω)

dt

]

R ′G

+(

ωR ′G /R × IGωR ′

G /R

)

tenemos


dt+ωR ′

G /R ·[

d(IGω)

dt

]

R ′G

+ωR ′G /R ·

(

ωR ′G /R × IGωR ′

G /R

)

Ahora bien, en la anterior expresión el término entre paréntesis es ortogonal al

término fuera del mismo y por tanto el producto escalar es cero, por lo que


dt+ωR ′

G/R ·

[

d(IGω)

dt

]

R ′G

Como IG en la referencia R′G es constante tenemos

ωR ′G

/R ·[

d(IGω)

dt

]

R ′G

=ωR ′G

/R IG

[

dω

dt

]

R ′G

=R ′

G d

dt

[

1

2ωR ′

G/R IGωR ′

G/R

]

Ahora bien, el término entre corchete es la energía cinética de rotación evaluada

en el sistema de referencia unida al sólido. Como la energía cinética es un esca-

lar y la variación temporal de un escalar vale lo mismo en cualquier sistema de

referencia podemos poner

ωR ′G /R ·

[

d(IGω)

dt

]

R ′G

=d

dt

[

1

2ωR ′

G /R IGωR ′G /R

]

A.8 Angulos de Euler 327

y por tanto

dW /dt =d

dt

[

1

2M(RvG )2 +

1

2ωIGω

]

=dEc

dt

así pues el trabajo realizado sobre el sistema se emplea en variar la energía ciné-

tica del mismo.

A.8. Angulos de Euler

Para describir dinámicamente un sólido rígido necesitamos dar sus coorde-

nadas. En general se emplean las tres coordenadas del centro de masas del siste-

ma, que nos dan la posición del sólido en el espacio, y tres ángulos que nos per-

mitan dar su orientación. Esta orientación se puede hacer con tres ángulos cua-

lesquiera, dado que, mediante tres rotaciones independientes siempre podemos

llevar cualquier base unida al cuerpo a coincidir con la base en movimiento de

traslación situada en el centro de masas. De todas estas posibles rotaciones, es

muy frecuente utilizar el llamado conjunto de Euler. Para verlo consideremos

un sistema de referencia inicial, para llevar a este sistema a coincidir con un sis-

tema unido al cuerpo consideremos un primera rotación respecto del eje z de

angulo φ. Sean i, j, k los vectores de la base original e i′, j′, k′ los vectores de

Figura A.3: Ángulos de Euler

la nueva base que estaran relacionados por la ecuación matricial

i′

j′

k′

=

cosφ senφ 0

−senφ cosφ 0

0 0 1

i

j

k


Hagamos ahora una nueva rotación de ángulo θ en torno a eje i′, la nueva base

i′′, j′′, k′′ toma la forma

i′′

j′′

k′′

=

1 0 0

0 cosθ senθ

0 −senθ cosθ

i′

j′

k′

Por último hagamos un giro de ángulo ψ en torno al eje z ′′ hasta llevar al nuevo

sistema a coincidir con la base unida el cuerpo. Sean ξ, η, ζ los vectores uni-

tarios de la base unida al cuerpo que estará relacionada con la base i′′, j′′, k′′

mediante la ecuación

ξ

η

ζ

=

cosψ senψ 0

−senψ cosψ 0

0 0 1

i′′

j′′

k′′

Para obtener los vectores base finales en función de los iniciales tenemos que

multiplicar las tres matrices de rotación

ξ

η

ζ

=

cosψcosφ−cosθsenφsenψ cosψsenφ+cosθcosφsenψ senψsenθ

−senψcosφ−cosθsenφcosψ −senψsenφ+cosθcosφcosψ cosψsenθ

senθsenφ −senθcosφ cosθ

i

j

k

y mediante la transpuesta podemos obtener la base fija i, j, k como función de

la movil ξ, η, ζ. La velocidad angular de la base unida al cuerpo respecto de la

base fija será suma de las tres rotaciones realizadas

ω= φk+ θi′+ ψζ

teniendo en cuenta la relación existente entre las diferentes bases, la velocidad

angular ω en la base fija vale

ω= (θcosφ+ ψsenθsenφ)i+ (θsenφ− ψsenθcosφ)j+ (ψcosθ+ φ)k (A.25)


y en la base unida al cuerpo

ω= (φsenθsenψ+ θcosψ)ξ+ (φsenθcosψ− θsenψ)η+ (φcosθ+ ψ)ζ (A.26)

Ejercicios

Ejercicio A.2 Suponed que teneis tres sistemas de referencia en movimiento re-

lativo R1,R2,R3 con orígenes O1,O2,O3 cuyo movimiento viene dado por las velo-

cidades R1 vO2 y R2 vO3 y R2/R1ω y R3/R2ω. Expresar en término de estas velocidades

la velocidad de un punto P que se mueve con velocidad relativa R3 VP respecto

del sistema R3

Ejercicio A.3 Suponed que teneis tres sistemas de referencia en movimiento re-

lativo R1,R2,R3 con orígenes en el mimo punto O1, velocidades angulares R2/R1ω

y R3/R2ω y aceleraciones angulares.R2/R1α y R3/R2α. Calculad la aceleración angu-

lar absoluta

Ejercicio A.4 Calcular el momento de inercia de un cono homogeneo de altura

h y radio de la base a respecto de una generatriz

Ejercicio A.5 Calcular el tensor de inercia respecto del sistema de referencia

(x, y, z) de tres discos de radio a situados como se muestra en la figura A.4

Figura A.4:


Ejercicio A.6 Suponer que tenemos un punto movil Q, podemos definir el mo-

mento cinético en Q respecto de un sistema de referencia RQ que se mueve con

movimiento de tranlación respecto de un sistema de referencia inercia R de la

siguiente forma,RQ LQ =

∫

QA×RQ vAdm

siend A un punto cualquiera del sólido. Desmostrar que la ecuación de conser-

vación del momento cinético utilizando RQ LQ se expresa de la siguiente forma

dRQ LQ

dt= MQ(Fexteriores)−QG×R aQ

siendo R aQ la aceleración del punto Q. El momento RQ LQ se puede expresar en

téminos del momento de inercia como

RQ LQ = IQ

Ejercicio A.7 Un punto material A de masa m está restringido a moverse sobre

un disco circular homogéneo de masa M y radio R. Sea O’ el centro del disco y

R′O ′ =O′x ′y ′z ′ una referencia ligada a D tal que O′x ′y ′ se confunde con el plano

del disco. Sea S el sistem material constituido por el disco y el punto material

y supondremos que S esté aislado. Se quiere estudiar el movimiento de S con

referencia a un referencial galileano R =Ox y z cuando se imprime al punto A de

coordenadas (x ′, y ′,0) en R′O ′ el movimiento definido por las expresiones x ′(t ) =

α(t ), y ′(t ) = β(t ), z ′ = 0. Las condiciones iniciales del movimiento son en t=0:RvO ′ = 0,R vA,ωD/R = 0.

1. Expresar el tensor de inercia en O’ del disco D

2. Sea G el centro de masas del sistema S. Demostrar que

a) G es fijo en RO

b) El momento cinético de S en O′ respecto de RO es nulo

3. Sea ω=ωx ′ i′+ωy ′ j′+ωz ′k′ el vector de rotación instantáneo de D respecto

de RO . A partir de 2a determinar la forma vectorial de R VO ′ en función deR ′

vA,ω y O′A.


4. Determinar las componentes de LO ′(S) sobre los ejes R′O ′. Deducir de 2b

los valores de ωx ′ y ωy ′

5. Establecer la relación que liga a ωz ′ con dθ/dt siendo θ el ángulo polar

representando a A en RO ′ (α(t ) =ρcosθ,β(t ) =ρsenθ)

Ejercicio A.8 En un instante determinado las velocidades de tres puntos, A(0,0,0),

B(0,9,0) y C(3p

3,9,0) de un sólido rígido referido a un sistema cartesiano orto-

gonal son respectivamente

vA = −3p

3i+3j+3k

vB = 0i +λj+3k

vC = µi+νj+3k

Determinar λ,µ,ν. Determinar la velocidad angular del sólido.

Ejercicio A.9 La varilla de 7 cm de longitud que muestra la figura A.5 está arti-

culada al disco por medio de una rótula y al collar B por medio de una horquilla.

El disco gira en el plano OY Z con una velocidad angular constante ω= 12 rad/s,

mientras que el collar puede desplazarse libremente a lo largo de la varilla hori-

zontal CD. Para θ = 0 calcular: La velocidad del collar y la velocidad angular de

la varilla AB.

Figura A.5:

Ejercicio A.10 La plataforma que se muestra en la figura A.6 rota con una ve-

locidad angular constante ω= 0.2 rad/s. Sobre dicha plataforma pivota un tubo

cuya velocidad angular viene dada por la expresión θ(t ) = π/6sen 2t rad. Una


partícula de masa m se mueve sin deslizar sobre el tubo. La partícula esta uni-

da al final del tubo mediante un muelle de constante k y a un amortiguador de

constante c. Encontrar la velocidad de la partícula en t = 3,6 s, en cuyo momento

la posición de la partícula relativo al tubo es y = 40 cm y y =−30 cm/s. Encontrar

la aceleración de la partícula.

Figura A.6:

Ejercicio A.11 Considerar el robot que se muestra en la figura A.7.El brazo del

robot está unido al eje vertical del robot. Con un movimiento telescópico un se-

gundo brazo avanza o retrocede a lo largo del primero. Suponiendo que las leyes

horarias de los ángulos θ y φ son θ(t ) = 0,2t rad y φ(t ) =π/4(1+senπt )rad y que

el segundo brazo se extiende de acuerdo con la relación r(t ) = 3t . Encontrar la

velociadd y aceleración angular del brazo. Encontrar la velocidad y aceleración

del extremo del brazo tedlescópico.

Figura A.7:


Ejercicio A.12 Un aeroplano, mostrado en la figura A.8 se mueve con una velo-

cidad de 420 mph. Un asistente de vuelo que pesa 120 lb se encuentra 15 ft desde

el centro de masas. Para evitar una zona de turbulenencia, el piloto realiza una

maniobra de emergencia. El aeroplano empieza a cabecear (pitch) hacia arri-

ba con una velocidad angular constante de 0.1 rad/s y comienza a virar hacia

la izquierda describiendo una curva cuyo radio de curvatura vale 30 000 ft. La

velocidad (escalar) del centro de masas no cambia durante la maniobra. Encon-

trar la fuerza ejercida sobre el pie del asistente si este pretende moverse hacia

adelante con una velocidad de 2 ft/s.

Figura A.8:


Apéndice B

Algunos conceptos de geometría

diferencial

B.1. Concepto de espacio topológico

Sea X un conjunto, se dice que se tiene una topología sobre X si

a) El conjunto entero X y el vacio son abiertos

b) La unión de una familia numerable o no de conjuntos abiertos es un abierto

y la intersección de una familia finita de abiertos es un abierto.

Un conjunto X dotado de un topología es un espacio topológico.

B.2. Concepto de aplicación continua

Sea f : X −−→ Y una aplicación de un espacio topológico X en un espa-

cio topológico Y . La aplicación f se dice que es continua en x0 ∈ X si para to-

do abierto V conteniendo a f (x0) existe un abierto U conteniendo a x0 tal que

f (U) ⊂ V

336 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial

B.3. Concepto de homeomorfismo

Considerar dos espacios topológicos M1 y M2, Considerar una aplicación

continua de M1 en M2 que es biyectiva y tal que la inversa f −1 es tambien con-

tinua. En estas condiciones se dice que la aplicación f es un homeomorfismo y

los espacios M1 y M2 son homeomorfos. El homeomorfismo, no solo establece

una correspondencia entre los conjunto en sí, si no tambien entre las topologías

definidas sobre los conjuntos.

B.4. Concepto de carta

Sea x0 un punto de un espacio topológico M . Se define una carta (U,ϕ) en

x0 como un homeomorfismo de un subconjunto abierto U ⊂ M que contiene a

x0 en un abierto V contenido en el espacio Euclidiano Rn .

B.5. Concepto de variedad topológica

Se dice que un espacio topológico M es una variedad topológica n-dimensional

si para todo elemento x ∈ M existe una carta (U,ϕ) en x. Por tanto si M es una

variedad podemos encontar una familia de abiertos Ui numerable o no y una

familia de homeomorfismos ϕi de Ui → Vi ⊂Rn tal que M =∪Ui

Suponer que podemos definir en Rn un sistema de coordenadas cartesiano

(x1, . . . , xn), entonces para cada P ∈Ui , las coordenadas cartesianas deϕi (P) ∈ Vi

se pueden considerar como la parametrización numérica de P. Al homeomorfis-

mo ϕi se le denomina homeomorfismo coordenado y las coordenadas cartesia-

nas (x1, . . . , xn) son las coordenadas locales de P y se denotan por xk = xk (P). Al

conjunto de funciones xk = xk (P) definidas sobre el abierto Ui conteniendo a P

se le denomina sistema de coordenadas locales. El abierto U junto con el sistema

de coordenadas locales recibe el nombre de carta de la variedad M . Al conjunto

de cartas que recubre la variedad M recibe el nombre de Atlas. Un punto P ∈ M

puede pertenecer a varias cartas (Ui ,ϕi ).

Ejemplo B.1 Un ejemplo de cartas y Atlas lo constituyen los mapas empleados

en Geografía. Cuando se hace un mapa, lo que se está haciendo en realidad es

B.5 Concepto de variedad topológica 337

U1

U2

U3

U4

Figura B.1: La variedad S1 con cuatro cartasa definidas sobre ella

un aplicación (proyección) de una parte del globo terraqueo sobre R2, con algún

tipo propiedad dependiendo del tipo de proyecciones (las hay que conservan

areas, que conservan ángulos). Cada uno de los mapas constituye una carta y

el conjunto de todos los mapas constituye un atlas. No se puede dar un único

mapa que nos proyecte la Tierra sobre R2, es necesario al menos dos mapas,

esto es dos cartas.

Ejemplo B.2 Considerar el conjunto S1 consistente en el círculo

x2 + y2 = 1

en R2. Puesto que (x, y) están relacionados por la anterior ecuación basta con

dar una coordenada para tener descrito el círculo. Podemos definir 4 cartas tal y

como se muestran en la figura B.1 definidas mediante los abiertos

U1 = (x, y) ∈ S1 : y > 0 U2 = (x, y) ∈ S1 : y < 0

U3 = (x, y) ∈ S1 : x > 0 U4 = (x, y) ∈ S1 : x < 0

y los homemorfismos (se puede demostrar que las aplicaciones inversas son

continuas)

ϕ1(x, y)y>0 = x ϕ2(x, y)y<0 = x

ϕ3(x, y)x>0 = y ϕ2(x,−y)x<0 = y

que nos llevan a los conjunto Ui sobre los abiertos Vi que coincide con el inter-

valo (-1,1) ∈R1. Está claro que la unión de los abiertos Ui recubren S1 y por tanto

S1 es una variedad topológica.


Otra forma de recubrir S1 lo podemos hacer mediante las cartas definidas

por el homeomorfismo que nos lleva a cada punto (x, y) al valor del ángulo que

forma dicho punto cualquiera con el eje x. El problema es que tenemos que res-

tringir el dominio de variación del ángulo al abierto (0,2π), con lo que el punto

de cooordenadas cartesianas (1,0) se queda sin imagen y por tanto con una sola

carta no podemos recubrir S1. Tenemos que recubrir S1 con al menos dos cartas.

Sea p0 el punto (1,0) y q0 el punto (0,1). Sea U2 = S1\p0 y U2 = S1\q0 para todo

p ∈U1 designemos por ϕ1(p) el ángulo en (−π,π) que forma el radio vector de p

con el semieje x positivo y ϕ2(q) el ángulo en (−π,π) que forma el radio vector

de q con el semieje x negativo. Desde luego las aplicaciones ϕ1 y ϕ2 son home-

morfismos y por tanto los pares (U1,ϕ1) y (U2,ϕ2) son dos cartas que recubren

S1 que es por tanto una variedad

B.6. Concepto de transformación de coordenadas

Considerar una variedad M , una función continua f : M −→Rdefinida en un

entorno de un punto P ∈ M la podemos identificar con una función h(x1, . . . , xn)

de n variables reales (x1, . . . , xn) definida en un dominio de Rn . Para ello basta

considerar una carta (U,ϕ) que nos lleve del punto P ∈ M al punto (x1(P), . . . , xn(P)) ∈R

n . Podemos poner h(x1, . . . , xn) ≡ f (ϕ−1(x)), siendo x el vector x = (x1(P), . . . , xn(P)).

Reciprocamente dada una función h(x1, . . . , xn) definida sobre un dominio V

de Rn , podemos asociar con h una funcion f : U ⊂ M −→ R tal que f (P) =

h(x1(P), . . . , xn(P)). Si cambiamos el sistema de coordenadas utilizado la función

h asociada a la funcion f tambien cambiará. >Cual será la forma en la que se

modifica h?. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que tenemos la mis-

ma carta (U,ϕ). Sean h y h′ funciones de coordenadas (x1, . . . , xn) y (y1, . . . , y n)

respectivamente que representan a f , tenemos

f (P) = h(x1, . . . , xn) = h′(y1, . . . , y n)

puesto que las coordenadas y1, . . . , y n son funciones continuas en U (recordar

que las hemos obtenido a partir de un homeomorfismo de U en V ), las podemos

B.6 Concepto de transformación de coordenadas 339

U1

U2

φ1

φ2

V1

V2M R

V11

V21

U12 (φ1) φ2(−1)

Figura B.2:

representar como funciones independientes de x1, . . . , xn ,

y1(P) = y1(x1(P), . . . xn(P))...

...

y n(P) = y n(x1(P), . . . xn(P))

donde hemos empleado el mismo simbolo y k para el punto como para la fun-

ción. Sustituyendo en la anterior ecuación obtenemos

h(x1, . . . , xn) = h′(y1(x1(P), . . . xn(P)), . . . , y n(x1(P), . . . xn(P)))

Las funciones y k ((x1(P), . . . xn(P)) representan las funciones transformación de

coordenadas. Podemos por tanto dar la siguiente

Definición 3 Sea M una variedad n-dimensional,

Ui ,ϕi

uno de sus atlas y

xki

un sistemas local de coordenadas, en cada interserccion de dos cartas Ui j =Ui ∩U j dos sistemas de coordenadas son validos

xki

y

xkj

tal que xki

(P) =xk

j(x1

i(P), . . . , xn

i(P)), P ∈Ui j . Las funciones xk

i= xk

j(x1

i, . . . , xn

i) se las denomina

funciones transformación de coordenadas o funciones de transición.

Las funciones de transición no tienen porque estar definidas en el dominio en-

tero V j solo sobre la parte Vi j =ϕ j (Ui j ). La figura B.2 nos muestra un diagrama

de un cambio de coordenadas. Si nos fijamos en dicha figura, ϕ1 nos lleva del


abierto U1 perteneciente a la variedad M en el abierto V1 ∈ Rn . Lo mismo su-

cede con ϕ2. Puesto que ambas aplicaciones son homeomorfismos, podemos

considerar sobra la imagen V12 de la intersección de los abiertos U1 y U2 la apli-

cación ϕ−11 ϕ2, que es tambien un homeomorfismo, que nos mapea V12 ∈ R

n

sobre V21 ∈Rn . Estas funciones son las funciones de transformación de coorde-

nadas.

Definición 4 Una variedad lisa n-dimensional, es una variedad n-dimensional

M con un atlas Ui ,ϕi teniendo un sistema de coordenadas locales xki

tales

que las funciones de transición xki= xk

i(x1

j, . . . , xn

j) son funciones continuamen-

te diferenciables (diferenciables con derivadas parciales continuas) para cual-

quier par de cartas (Ui ,ϕi ) y (U j ,ϕ j ) en el dominio entero de su definición.

El hecho de que las funciones de transición sean de este tipo particular, conti-

nuamente diferenciables, nos garantiza que si tenemos una función f definida

sobre una variedad M cuya expresión en un sistema local de coordenadas es

h(x1, . . . , xn) es diferenciable con continuidad lo sea tambien su expresión en

otro sistema de coordenadas locales.

Definición 5 Una función f : M −→ R definida sobre una variedad lisa M es

llamada continuamente diferenciable en un punto P0 ∈ M si en cualquier siste-

ma de coordenadas locales (x1i

, . . . xni

) la función f puede ser representada por

una función h(x1i

, . . . , xni

) continuamente diferenciable en un entorno del punto

(x1i

(P0), . . . xni

(P0))

Podemos restringir aún más nuestra clase de funciones a aquellas funciones

h(x1, . . . , xn) que tienen derivadas parciales continuas hasta el orden r que a su

vez son continuas. Las llamaremos de clase C r

Definición 6 Una variedad n-dimensional diferenciable de clase C r , es una va-

riedad lisa n-dimensional M con un atlas Ui ,ϕi teniendo un sistema de coor-

denadas locales xki

tales que las funciones de transición xki= xk

i(x1

j, . . . , xn

j) son

funciones de clase C r para cualquier par de cartas (Ui ,ϕi ) y (U j ,ϕ j ) en el domi-

nio entero de su definición.

B.7 Variedades lisas. Difeomorfismos 341

Definición 7 Una función f : M −→ R definida sobre una variedad de clase C r

M es de clase C s , s ≤ r en un punto P0 ∈ M si en cualquier sistema de coorde-

nadas locales (x1i

, . . . xni

) la función f puede ser representada por una función

h(x1i

, . . . , xni

) de clase C s en un entorno del punto (x1i

(P0), . . . xni

(P0))

B.7. Variedades lisas. Difeomorfismos

Definición 8 Una aplicacion f : M1 −→ M2 de variedades lisas es de clase C r si

para cada sistema de coordenadas locales (x1, . . . , xn) en el entorno de un pun-

to P0 ∈ M1 y (y1, . . . , y m) en el entorno de un punto Q0 = f (P0) ∈ M2 la repre-

sentacion de f como función vectorial y = (y k ) = (hk (x1, . . . , xn)) = h(x) es una

función vector de clase C r

Suponer ahora que f es un homeomorfismo de clase C r y que su inversa

tambien es un homeomorfismo de clase C r , se dice entonces que f es un difeo-

morfismo de clase C r . Cualquier propiedad de variedades lisas, funciones lisas

o aplicaciones sobre variedades pueden ser transferidas a cualquier variedad di-

feomorfa. No se distinguirá por tanto entre variedades difeomorfas. Es posible

demostrar por ejemplo que dos variedades difeomorfas tiene la misma dimen-

sión.

Está claro de la definición de difeomorfismo que las funciones de transición

en una variedad C r diferenciable son difeomorfismos de Rn −→R

n

B.8. Algunos ejemplos de variedades

Teorema B.8.1 Sea f = f (x1, . . . , xn) una funcion de clase C∞ definida en el es-

pacio Euclidiano Rn . Sea Mc el conjunto Mc = (x1, . . . , xn) : f (x1, . . . xn) = c. Si el

gradiente de f es diferente de cero en este conjunto, se tiene entonces que Mc

es una variedad n−1 dimensional de clase C∞ y podemos elegir un sistema car-

tesiano de dimension n−1 del espacio ambiente Rn como sistema de coordenas

locales en un entorno de cualquier punto P0 ∈ Mc


B.9. Vectores tangentes

Antes de dar el concepto de vector tangente a una variedad, vamos a ana-

lizar algunos ejemplos sencillos para entender su significado. Considerar para

ello un curva lisa en R3, cuya ecuación paramétrica viene dada por la expre-

sión x = x(t )= (x1(t ), x2(t ), x3(t )) siendo t un parámetro. Para un valor fijo de t0,

desarrollemos el vector x(t ) en torno a t0,

x(t0 +∆t )= x(t0)+dx

dt(t0)∆t +O(∆t 2)

Los dos primeros términos del miembro de la derecha representan, por una lado

una aproximación de la curva x(t ) en el entorno del punto t0 y por otro repre-

senta la ecuacion de un recta en R3 que pasa a través del punto P0. Además entre

todas las lineas rectas que pasan por P0 es la que mejor se aproxima a la curva

x(t ) en P0.

Considerar ahora una superficie en R3 definida de forma paramétrica me-

diante la ecuación x = x(u, v) siendo (u, v) un par de parámetros independien-

tes. Vamos a suponer que la superficie x(u, v) es no degenerada, lo que significa

que los vectores ∂x∂u

y ∂x∂v

son independientes. O lo que es lo mismo la matriz

(

∂x∂u

∂y

∂u∂z∂u

∂x∂v

∂y

∂v∂z∂v

)

tiene un menor de orden 2.

Desarrollemos x(u, v) en serie en el entorno de (u0, v0)

x(u0 +∆u, v0 +∆v)= x(u0, v0)+∂x

∂u(u0, v0)∆u +

∂x

∂v(u0, v0)∆v +O(∆u2 +∆v2)

la parte lineal del anterior desarrollo en serie define las ecuaciones de un plano,

que es tangente a la superficie en (u0, v0). Podemos decir que todo vector con

origen en P0 y que está contenido en el anterior plano es un vector tangente a

las superficie en P0. La representación paramétrica del plano tangente tiene la

B.9 Vectores tangentes 343

forma

x(u0 +∆u, v0+∆v) = x(u0, v0)+∂x

∂u(u0, v0)∆u +

∂x

∂v(u0, v0)∆v

por lo que todo vector tangente ξ puede ser puesto como una combinación li-

neal de los vectores ∂x∂u (u0, v0) y ∂x

∂v (u0, v0)

ξ=∂x

∂u(u0, v0)∆u +

∂x

∂v(u0, v0)∆v

eligiendo convenientemente los valores de (∆u, ∆v).

Dibujemos ahora una curva en la superficie a través del punto P0, puesto

que la curva está en la superficie, tendrá como ecuaciones paramétricas

x = x(u(t ), v(t ))

en otras palabras, las funciones (u(t ), v(t )) definen paramétricamente una cur-

va en un sistema de coordenadas locales (u, v) sobre la superficie M . El vector

tangente a la curva en el punto P0 viene dada por la expresión

dx

dt(t0)=

dx(u(t ), v(t ))

dt(t0) =

∂x

∂u(u0, v0)

du

dt(t0)+

∂x

∂v(u0, v0)

dv

dt(t0)

por lo tanto un vector tangente a una curva sobre una superficie está en el plano

tangente y tiene como coordendas (du/dt , dv/dt ).

Definición 9 Sea ξ= ∂x∂u (u0, v0)ξ1+ ∂x

∂v (u0, v0)ξ2 un vector tangente a la superficie

en un punto P0. Los números (ξ1,ξ2) son las coordenadas del vector tangente ξ

a M en el punto P0 en un sistema de coordenadas locales (u, v).

Todas las definiciones anteriores son válidas, independientemente del sistema

de coordenadas utilizado. Si tenemos un nuevo sistema de coordendas locales

(u′, v ′), es facil demostrar que las componentes del vector tangente a una curva

en el antiguo y nuevo sistema de coordenadas locales están relacionados por las


expresiones

∂u

∂t(t0) =

∂u

∂u′∂u′

∂t(t0)+

∂u

∂v ′∂v ′

∂t(t0)

∂v

∂t(t0) =

∂v

∂u′∂u′

∂t(t0)+

∂v

∂v ′∂v ′

∂t(t0)

La anterior definición de vector tangente a una curva sobre una superficie M es

una definición conveniente en el sentido que las coordenadas del vector depen-

de solo del sistema de coordenadas locales (u, v) utilizado para definir M y no

de la forma en que la superficie M está embebida en R3

B.10. Una definición de vector tangente

Los ejemplos anteriores nos muesta que es más coveniente definir las pro-

piedades infinitesimales de una curva en una variedad usando un sistema de

coordenadas locales. Son de particular importancia el concepto de vector tan-

gente y espacio tangente a una variedad lisa en completa analogía con los co-

rrespondientes conceptos de superficies en R3.

Definición 10 Sea M una variedad lisa n-dimensional y P0 un punto arbitrario.

Un vector tangente ξ en P0 a la variedad M es una correspondencia que asocia

con cualquier carta (U, h) definida por un abierto U y un sistema de coorde-

nadas locales (x1i

, . . . , xni

) un conjunto de números (ξ1i, . . . ,ξn

i) ∈R

n satisfaciendo

para cada par de cartas (U, h), (U ′, h′) la siguiente relación

ξki =

∑

l

∂xki

∂x lj

(P0)ξlj

La matriz

∂x1i

∂x1j

. . .∂x1

i

∂xni

.... . .

...∂xn

i

∂x1j

. . .∂xn

i

∂xnj

recibe el nombre de matriz de Jacobi y su determinante el Jacobiano.

B.11 El espacio Tangente TP0 345

Los números (ξ1i, . . . ,ξn

i) son llamados las coordenadas del vector tangente

ξ ∈ Rn en el sistema de coordenadas locales (x1

i, . . . , xn

i). La anterior ecuación

define una ley tensorial de transformación de coordenadas.

Proposición 1 Sea M una variedad lisa y γ : (−1,1) −→ M una aplicación conti-

nua del intervalo (-1,1) en M . La correspondencia que asocia con cada sistema

de coordenadas locales (x1, . . . , xn ) en un entorno del punto P0 el conjunto de

números (dx1/dt (γ(t )), . . . , dxn(t )/dt (γ(t )) es un vector tangente en el sentido

de la definición general anterior.

Para demostrarlo, tenemos que ver como se transforman los números que

definen el vector tangente cuando cambiamos el conjunto de coordendas loca-

les. Llamemos

ξkj =

dxkj

dt(γ(t ))|t=0

siendo (xkj

) un sistema de coordenadas locales en el entorno de P0. Para otro

sistema de coordendas locales (xki

) tendremos

ξki =

dxki

dt(γ(t ))|t=0 =

d

dtxk

i (x1j (γ(t )), . . . , xn

j (γ(t )))|0 =∑

l

∂xki

∂x lj

(γ(t ))d

dtx l

j (γ(t ))|t=0 =∑

l

∂xki

∂x lj

(P0)ξlj

por lo que vemos que cumple la ley de tensorial definida anteriormente.

Es por tanto natural llamar a la correspondencia usada en la proposición

anterior un vector tangente a una curva γ o vector velocidad de una curva γ.

B.11. El espacio Tangente TP0

El conjunto de todos los vectores tangente a una variedad M en un punto

P0 ∈ M es llamado el espacio tangente a la variedad M en el punto P0, este con-

junto es llamado TP0 Cada vector tangente ξ ∈ TP0 está definido de forma única

por sus componentes en un sistema de coordenadas fijo.

Suponer que tenemos un conjunto de números (ηq , . . . ,ηn),o sea un elemen-

to del espacio vectorial aritméticoRn , suponer que estos n números constituyen

las componentes de un vector tangente en un cierto sistema de coordenadas lo-


cales dado (x1i0

, . . . , xni0

), esto es ηk = ξki0

. Para a definir un vector tangente debe-

mos de hallar sus coordenadas en cualquier otro sistema de coordenadas locales

(x1i

, . . . , xni

). Pongamos

ξki =

∑

l

∂xki

∂x li0

(P0)ηl

las nueva coordenadas deben de verificar la ley de tensorialidad cuando se pase

a un nuevo sistema de coordenadas locales xkj

. Para demostrarlo basta sustituir

la definición anterior de ξi en la formula tensorial.

∑

l

∂xki

∂x li0

(P0)ηl =∑

s

∂xki

∂xsj

∑

l

∂xsj

∂x li0

(P0)ηl =

=∑

l

∑

s

∂xki

∂xsj

∂xsj

∂x li0

(P0)ηl

lo cual es una identidad pues,

∂xki

∂x li0

(P0) =∂xk

i

∂xsj

∂xsj

∂x li0

(P0)

Vemos por tanto que el conjunto de todos vectores tangentes a una variedad M

en un punto P0 está determinado de forma única por el conjunto de coordena-

das en un sistema de coordenadas locales fijo. Podemos por tanto identificar el

espacio tangente TP0 con el espacio vectorial aritmético Rn . Para ello basta con

tomar como vector ηl definido anteriormente un vector de Rn . Es facil de ver

que la anterior ley de transformación

ξki =

∑

s

∂xki

∂xsj

ξsj

confiere al espacio tangente una estructura de espacio vectorial de tal forma que

entonces podemos considerar a TP0 isomorfo al espacio vectorial aritmético Rn .

B.12 Derivada direccional de una función. Otra definición de vectortangente 347

B.12. Derivada direccional de una función. Otra definición

de vector tangente

Existe una forma más de representar un vector tangente. Para verlo, comen-

zaremos con un ejemplo. Consideremos una función lisa f (x, y) de R2 en R.

Considerar un punto P = (x0, y0) y un vector ξ = (ξ1,ξ2) en el plano R2. Como

es bien conocido se define la derivada de la función f a lo largo del vector ξ

como una aplicación que nos lleva a la función f en R, de tal forma que

ξ( f ) =∂ f

∂x(x0, y0)ξ1 +

∂ f

∂y(x0, y0)ξ2

estando las derivadas evaluadas en el punto P0. Esta derivada también es posible

hacerla en términos de una curva lisa γ(t ) que pasa por el punto P0. En este caso

suponiendo que el vector ξ coincide con la tangente a la curva en P0, se tiene

que

ξ( f ) =d

dtf (γ(t ))|t0 , γ(t0) =P0

Efectivamente, Podemos ver que es posible obtener a partir de ésta la primera

definición, pues

d

dtf (γ(t ))|t0 =

d

dtf (x(t ), y(t ))|t0 =

∂ f

∂x|t0

dx(t )

dt|t0 +

∂ f

∂y|t0

d y(t )

dt|t0

y teniendo en cuenta la igualdad entre el vector ξ y la tangente a la curva γ en el

punto t0, tenemos

d

dtf (γ(t ))|t0 =

∂ f

∂x|t0ξ

1 +∂ f

∂y|t0ξ

2 = ξ( f )

Veamos como trasladar esta definición al caso de una variedad

Definición 11 Sea P0 un punto de una variedad lisa M , ξ un vector pertenecien-

te al espacio tangente TP0 (M) y γ(t ) una curva lisa (esto es una aplicación de R

en la variedad M) que pasa por el punto P0 para t = t0 y tal que γ(t0) = ξ y sea f


una función lisa de M en R. La derivada

d

dtf (γ(t ))|t0 = ξ( f ) (B.1)

se denomina derivada de la función f respecto de vector tangente ξ.

Tenemos que señalar que puesto que la definición del vector ξ es independiente

de la curva γ(t ) que se utilice (con tal que pertenezca a la misma clase, esto es

tengan la misma tangente en P0) la definición anterior es independiente de la

curva γ elegida para caracterizar al vector tangente.

Teorema B.12.1 Sea (x1, x2, . . . , xn) un sistema de coordenadas local en el en-

torno de un punto P0 = (x10 , x2

0 , . . . , xn0 ) de una variedad M y sea ξ= (ξ1,ξ2, . . . ,ξn)

un vector tangente a la a la variedad M en P0. Sea f (x1, x2, . . . , xn) una función

lisa en el entorno del punto P0 representada como una función de las coordena-

das locales (x1, x2, . . . , xn ), se tiene que

ξ( f ) =∑

i

∂ f

∂x i(x1

0 , x20 , . . . , xn

0 )ξi (B.2)

Así mismo se verifica que

ξ( f g )= ξ( f )g (x10 , x2

0 , . . . , xn0 )+ f (x1

0 , x20 , . . . , xn

0 )ξ(g ) (B.3)

La demostración de la primera parte del teorema es similar a la realizada en

el ejemplo sobre R2 dado al principio de esta sección. La segunda parte de la

demostración se sigue de la definición de derivada direccional y de la definición

de derivada parcial en Rn .

Es fácil de ver que esta definición de derivada verifica que la derivada de una

constante es cero y que la derivada

ξ(λ f +µg )=λξ( f )+µξ(g )

Definición 12 La operación A que asocia a cada función f ∈C∞ sobre una va-

B.12 Derivada direccional de una función. Otra definición de vectortangente 349

riedad M en un número A(f) que verifica las anteriores propiedades ( la derivada

de una constante es cero y la linealidad de la operacion derivada) junto con la

regla de Leibniz se llama una diferenciación en el punto P0 ∈ M .

Resulta obvio que la derivada direccional respecto de un cierto vector ξ es un

caso particular de diferenciación. Podemos asociar para cada diferenciación A

un vector tangente ξ con respecto al cual la función es diferenciada. Es posible

demostrar el siguiente

Teorema B.12.2 Sea M una variedad lisa y P0 ∈ M un punto arbitrario y sea A

una diferenciación en el sentido de la definición anterior. Existe entonces un

único vector tangente ξ en P0 tal que A( f ) = ξ( f ) para cualquier función lisa

f en un entorno de P0

Este teorema nos permite asociar de forma única vectores y derivaciones en

cada punto P0 ∈ M , se pude formular otra definición de vector tangente como

un operador de diferenciación aplicado a una función lisa en un entorno del

punto P0 ∈ M . Esta definición es completamente independiente del sistema de

coordenadas elegido.

Es posible demostrar que el conjunto de derivaciones es un espacio vectorial

si mas que definir que si A y B son dos diferenciaciones entonces

(A+B) f = A( f )+B( f )

y

(λA) =λA( f )

asi como

0( f )= 0

Si utilizamos un cierto sistema de coordenadas (x1, x2, . . . , xn), la derivada

parcial a lo largo de la i-exima coordenada ∂/∂x i la podemos considerar como

el vector ξ de componentes (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) donde 1 es la i-exima coordenada.

Se puede demostrar que los vectores ∂/∂x i son independientes y forman una

base del espacio tangente de tal forma que cualquier vector ξ se puede poner

como


ξ= ξ1 ∂

∂x1+ . . .+ξn ∂

∂xn(B.4)

Teniendo en cuenta esta expresión si suponemos otro sistema de coordenadas,

yi el vector ξ tiene como componentes

ξ= η1 ∂

∂y1+ . . .+ηn ∂

∂y n(B.5)

>Como se relacionan las componentes ξi y η j ?. Empleando la regla de la cadena

es fácil de ver que

ηk =∂y k

∂x jξ j

por lo tanto verifican las reglas de transformación dadas en la definición primera

de vector tangente. Así pues ξ es un vector del espacio tangente.

B.13. El fibrado tangente

Considerar la variedad S1 descrita anteriormente. En un punto dado, el es-

pacio tangente a la variedad es una recta que pasa por dicho punto. Todos los

vectores tangentes a la variedad en el punto considerado están a lo largo de esta

recta.

Podemos representar esta recta como una recta ortogonal al círculo. Si esto

lo hacemos para cada punto, habremos generado un cilindro. Cada una de las

"fibras"del cilindro es una espacio tangente en sí mismo. Se puede definir so-

bre este cilindro una topología y por tanto generar una nueva variedad. A esta

variedad se la conoce como fibrado tangente. Para variedades mas complejas

esta visión es mucho más compleja. Así pues vamos a considerar como fibrado

tangente a la variedad generada por la union de todos los espacios tangentes en

cada uno de sus puntos. La denominaremos por T M . En este caso, los conjuntos

de coordenadas serán de la forma (x1, . . . , xn , x1, . . . xn) y por tanto la dimensión

del fibrado tangente es el doble de la dimension de la variedad sobre la que está

definido. Veremos más adelante que las lagrangianas viven en este fibrado tan-

gente.

B.14 Diferencial de una función 351

B.14. Diferencial de una función

Definición 13 Sea f : M1 −→ M2 una función lisa entre dos variedades lisas. La

diferencial de la funcion f en un punto P0 y que denotaremos por d fP0 se define

como una aplicación lineal del espacio tangente TP0 a la variedad M1 en P0 en el

espacio tangente TQ0 a la variedad M2 en el punto Q0 imagen por f de P0

Sea (U, x1, . . . , xn) una carta de la variedad M1 en el entorno de P0 e (V, y1, . . . , y n)

una carta de la variedad M2 en el entorno de Q0 = f (P0). La aplicacion f se

puede representar mediante el conjunto de funciones y k = f k (x1, . . . xn), k =1,2, . . . , m. TP0 (M1) y TQ0 (M2) se pueden representar como espacios vectoriales

Rn y R

m respectivamente. Sea ξ ∈ TP0 (M1) y η ∈ TQ0 (M2) dos vectores cuyas com-

ponentes son (ξ1, . . . ,ξn) y (η1, . . . ,ηm). Si η= d fP0 (ξ) se tiene que

η1

...

ηm

=

∂ f 1

∂x1 (P0) . . . ∂ f 1

∂xn (P0)...

. . ....

∂ f m

∂x1 (P0) . . . ∂ f m

∂xn (P0)

ξ1

...

ξn

Aunque para dar la anterior definición hemos necesitado de una carta tanto en

M1 como en M2 se puede demostrar que la anterior definición es independiente

de la carta empleada. Para ello basta tomar la ley tensorial de transformación

de las componentes de un vector al pasar de un sistema de coordenadas a otro.

Sea (U ′, h′) = (U, x ′1, . . . , x ′n) y (V ′, k ′) = (V ′, y ′1, . . . , y ′n) dos nuevos sistemas de

cartas sobre M1, M2 respectivamente tales que P0 ∈U ′ y Q0 ∈ V ′, ver la figura B.3.

En las nuevas bases la función f toma la forma

y ′k = f ′k (x ′1, . . . , x ′n) =

Sea d f ′P0

la aplicación d fP0 construida con la ayuda de las dos nuevas cartas.

Sean (ξ′1, . . . ,ξ′n) y (η′1, . . . ,η′n) las componentes en las nuevas cartas de sendos

vectores de los espacios tangentes TP0 (M1) y TQ0 (M2) tal que

η′ j =∑

l

∂ f ′ j

∂x ′l ξ′l


x x' y y'

f f'

φ φ'

M1 M2

F

y' . F = f'(x') y . F = f(x)

Figura B.3: M1 y M2 representan dos variedades, x, x′, y, y′ sendas cartas defi-nidas en dichas variedades. f y f′ la expresión en las cartas x y x′ de una ciertafunción F entre ambas variedades

tenemos que demostrar que efectivamente η′ son las componentes de un vec-

tor en la nueva base, esto es que los conjuntos de componentes (η′1, . . . ,η′n ) y

(η1, . . . ,ηn) están relacionados mediante la expresión

η′ j =∑

l

∂y ′ j

∂y lηl

Las funciones f k y f ′k estan relacionadas por expresiones de la forma

f′(x′) = y′(y) = y′(f(x(x′)))

que podemos deducir a partir de las definiciones de f en los dos sistemas

y′ = f′(x′)

y = f(x)


De la regla de la cadena se deduce que

(

∂ f ′ j

∂x ′k

)

P0

=∑

r,s

(

∂y ′ j

∂y r

)

Q0

(

∂ f r

∂xs

)

P0

(

∂xs

∂x ′k

)

P0

de donde

η′ j =∑

l

∂ f ′

∂x ′l ξ′l =

∑

l

∑

r,s

(

∂y ′ j

∂y r

)

Q0

(

∂ f r

∂xs

)

P0

(

∂xs

∂x ′l

)

P0

ξ′l


ξl =∑

k

∂x l

∂x ′k ξk

tenemos

η′ j =∑

r,s

(

∂y ′ j

∂y r

)

Q0

(

∂ f r

∂xs

)

P0

ξs

y de la definición de η

η′ j =∑

r

(

∂y ′ j

∂y r

)

Q0

ηr

por lo tanto η′r y ηr son las componentes en las cartas de (V ′, k ′) y (V, k) de un

mismo vector tangente como queriamos demostrar.

Ejemplo B.3 Considerar una funcion f : M −→ R diferenciable definida en la

carta (U, x1, . . . , xn) por la expresión y = f (x1, . . . , xn). De la definición de dife-

rencial, d fP0 es una aplicación del espacio tangente de M en el espacio tangente

a R, que se identifica con R, esto es nos lleva al vector ξ1, . . .ξn en un número. De

la definición

d fP0 (ξ)= η1 =∑

k

(

∂ f

∂xk

)

P0

ξk

donde con d fP0 (ξ) queremos decir la aplicacion d fP0 aplicada a ξ.

Puesto que η1 ∈R, tenemos que la diferencial de una función es un operador

que nos lleva a un elemento de un espacio vectorial en un numero. La diferen-

cial es por tanto un elemento del espacio dual ( que denotaremos por T ∗P0

) del

espacio tangente TP0 (M), pues a todo elemento del espacio tangente ξ nos lo

lleva a R. Los elementos del espacio dual reciben el nombre de covectores.


La cantidad anterior,∑

k

(

∂ f

∂xk

)

P0

ξk ,

coincide con la llamada derivada direccional de la funcion f a lo largo del vector

ξ y la denotaremos por ξ( f ), de tal forma que

ξ( f ) = d fP0 (ξ)

(hemos empleado el mismo símbolo para denotar la derivada y el vector, pues

como veremos más adelante se pueden identificar).

Volvamos a la definición de diferencial

d fP0 (ξ) =∑

k

(

∂ f

∂xk

)

P0

ξk

>que pasa si la funcion f (x1, x2, . . . , xn)= x1 ?. Tenemos

dx1P0

(ξ)=∑

k

(

∂x1

∂xk

)

P0

ξk = ξ1

y lo mismo para el resto de los índices, por lo que sustituyendo ξ j por dxj

P0(ξ)

tenemos

d fP0 (ξ) =∑

k

(

∂ f

∂xk

)

P0

dxkP0

(ξ)

y como la anterior expresión es válida para cualquier vector ξ, tenemos

d fP0 =∑

k

(

∂ f

∂xk

)

P0

dxkP0

.

Esta expresión nos muestra que(

(∂ f /∂x1)P0 , . . . , (∂ f /∂xn )P0

)

, son las componen-

tes de la diferencial en la base dxkP0

. Podemos interpretar a dxkP0

como k-eximo

elemento de la base del espacio dual y la anterior expresión como expansión en

dicha base de la diferencial.

Ejemplo B.4 Calcular cual es el resultado de aplicar los los vectores base de la

diferencial a los vectores de la base canónica del espacio tangente correspon-


diente a un sistema de coordenadas xi

De acuerdo a lo visto antes, el resultado de aplicar la diferencial dxkP0

a un vector

del espacio tangente vale

dxkP0

(ξ) = ξk

si ξ es el j-eximo vector base, tiene por componentes

(0,0,j

1,0,0)

por lo que

dxkP0

(ξ j ) = dxkP0

(

∂

∂x j

)

= δkj (B.6)

Ejemplo B.5 Evaluar la matriz de Jacobi en polares.

Antes de ceñirnos al caso particular que nos ocupa, vamos a relacionar las ma-

trices de Jacobi de una transformación de coordenadas y su inversa.

Suponer que tenemos una transformación de coordenadas dada por el sis-

tema de ecuaciones

y k = y k (x1, . . . , xn )

de acuerdo con nuestra definición de matriz de Jacobi

Jy =∂y k

∂x j=

∂y 1

∂x1 . . . ∂y 1

∂xn

.... . .

...∂y n

∂x1 . . . , ∂y n

∂xn

La matriz de Jacobi de la transformacion inversa vale

Jy−1 =∂xk

∂y j=

∂x1

∂y 1 . . . ∂x1

∂y n

.... . .

...∂xn

∂y 1 . . . , ∂xn

∂y n



δj

k=

∂y j

∂y k=

∑

l

∂y j

∂x l

∂x l

∂y k= Jy Jy−1

Así pues

Jy−1 = J−1y

En el caso de paso de coordenadas cartesianas euclidianas a polares la matriz de

Jacobi viene dada por la expresión

Jy =(

∂r∂x

∂r∂y

∂θ∂x

∂θ∂y

)

de acuerdo con el resultado anterior, esta matriz es inversa de la matriz

Jy−1 =(

∂x∂r

∂x∂θ

∂y∂r

∂y∂θ

)

y puesto que las ecuaciones de transformación son

x = r cosθ

y = r senθ,

tenemos

Jy−1 =(

cosθ −r senθ

senθ r cosθ

)

La matriz inversa vale,

Jy = (Jy−1 )−1 =

cosθ senθ

−1

rsenθ

1

rcosθ

Ejemplo B.6 Calcular las ecuaciones de transformacion de los vectores base del

espacio tangente TP0 y cotangente (o dual) T ∗P0

para el caso de coordenadas po-

lares planas y cartesianas euclidianas rectangulares.


Las funciones de transformacion de coordenadas polares planas y cartesianas

euclidianas rectangulares son

x = r cosθ

y = r senθ

De la definición, los vectores base en polares son (∂/∂r) y (∂/∂θ), por lo que de

acuerdo con la regla de la cadena

∂

∂r=

∂

∂x

∂x

∂r+

∂

∂y

∂y

∂r

∂

∂θ=

∂

∂x

∂x

∂θ+

∂

∂y

∂y

∂θ

como∂x∂r = cosθ ∂y

∂r = senθ∂x∂θ =−r senθ

∂y

∂θ = r cosθ

tenemos

∂

∂r=

∂

∂xcosθ+

∂

∂ysenθ

∂

∂θ=

∂

∂x− r senθ+

∂

∂yr cosθ

que en forma matricial podemos poner como

(

∂∂r∂∂θ

)

=(

cosθ senθ

−r senθ r cosθ

)(

∂∂x∂∂y

)

Para el caso de los vectores base del espacio dual, teniendo en cuenta que

r 2 = x2 + y2 y tanθ=y

x

derivando, tenemos

dr =x

rdx +

y

rd y = cosθdx +senθd y


y

dθ=−senθ

rdx +

cosθ

rd y

que en forma matricial resulta

(

dr

dθ

)

=(

cosθ senθ

− senθr

cosθr

)(

dx

d y

)

Ejemplo B.7 Calcular las componentes del vector velocidad en coordenadas car-

tesinas rectangulares en R2 supuesto que sus componentes en coordenas pola-

res planas son r , θ.

SOLUCCIÓN En coordenadas polares el vector tiene como expresion

u = r∂

∂r+ θ

∂

∂θ

teniendo en cuenta la expresión obtenida anteriormente para el cambio de base,

u = r

(

cosθ∂

∂x+senθ

∂

∂y

)

+ θ

(

−r senθ∂

∂x+ r cosθ

∂

∂y

)

reordenando

u =(

cosθr − r θsenθ) ∂

∂x+

(

senθr + r θcosθ) ∂

∂y

así pues

ux = cosθr − r θsenθ

uy = senθr + r θcosθ

llamando ur = r y uθ = r θ

ux = cosθur −uθ senθ

uy = senθur +uθ cosθ

B.15 Notacion de Einstein 359

B.15. Notacion de Einstein

Para evitar tener que poner demasidos sumatorios, vamos a dar la siguiente

regla. Dado un monomio que tiene variables con subíndices y superíndices, un

índice repetido indica (salvo que se diga lo contrario) una sumatorio en el índice.

Así por ejemplo

xi y i =∑

i

xi y i

o

xki y i =

∑

i

xki y i

Los índices que se repiten son mudos, en el sentido que nos da lo mismo utilizar

un índice u otro, por ejemplo

xi y i = xk y k =∑

l

xl y l

En una expresión el índice que queda libre nos marca el tipo de objeto que te-

nemos. Si no nos queda ningún índice libre tenemos un escalar, si nos queda un

índice libre tenemos un vector, si nos quedan dos índices libres un tensor y así

sucesivamente.

Cuando tengamos fracciones (por ejemplo cuando tomemos parciales), un

superíndice libre en el denominador en el miembro de la derecha se transforma

en un subíndice en el miembro de la izquierda. Por ejemplo

ξi =∂y l

∂x iηl

B.16. Vectores covariantes y contravariantes. El espacio de

formas lineales

Definimos antes a un vector del espacio tangente como una corresponden-

cia que nos lleva a un punto de una variedad en un conjunto de n cantidades

tales que al hacer un cambio de un sistema de coordenadas x j a un sistema de


coordenadas y j estas se transforman de la siguiente forma

ηk =∑

l

∂y k

∂x lξl =

∂y k

∂x lξl


[η] = Jy [ξ]

siendo [η] y [ξ] las matrices columna que representan a los vectores en la base

nueva y antigua y Jy la matriz de Jacobi de la transformación. A esta forma de

comportamiento la llamaremos contravariancia y los "vectores"que la verifican

se denominan contravariantes. Así pues las componentes de un vector del es-

pacio tangente se transforman de forma contravariante. Podemos recordar esta

forma de comportamiento, por el comportamiento de las diferenciales. Si tene-

mos una transformación de coordenadas y = y(x), siendo y las nuevas y x las

antiguas tenemos

d y =∂y

∂xdx

Consideremos ahora el conjunto de las aplicaciones lineales del espacio tan-

gente TP0 (M) en R

l : ξ−→ l(ξ) ∈R

tal que

l : (ξ+η) = l(ξ)+ l(η)

l : (λ) =λl(ξ)

Este conjunto tiene una estructura de espacio vectorial sin más que definir la

suma de funciones y la multiplicación por un número

(l+m) : ξ−→ l(ξ)+m(ξ)

(λl) : ξ−→λl(ξ)

Este espacio vectorial se denomina espacio dual

Elijamos unas aplicaciones lineales particulares, tales que aplicadas a los

B.16 Vectores covariantes y contravariantes. El espacio de formaslineales 361

vectores base del espacio tangente en P0 nos dan deltas de Kronecker,

lm(∂

∂xk= δkm

Es fácil ver que

lm(ξ) = lm(ξk ∂

∂xk) = ξm

Este conjunto de aplicaciones lineales forman una base del espacio dual y por

tanto

l =λm lm

Vimos también, en secciones anteriores, como la diferencial dxm aplicada al

vector ξ nos daba ξm de tal forma que podemos tomar lm = dxm y por tanto

l =λm dxm

Las aplicaciones l reciben también el nombre de 1-formas diferenciales.

>Como se transforman las 1-formas cuando cambiamos de sistema de coor-

denadas ?. Sea y j un nuevo sistema de coordenadas en el entorno de P0. En este

sistema

l = ηm d y m

como en el sistema x i la 1-forma se expresa como λk dxk , tendremos

ηm d y m =λk dxk

Ahora bien, dxk = ∂xk /∂y m d y m , y por tanto

ηm d y m =∂xk

∂y mλk d y m

y por tanto

ηm =∂xk

∂y mλk


[η] = (Jy−1 )T [ξ] = (J−1y )T [ξ].


Vemos que ahora la forma de transformarse los vectores del espacio dual son

diferentes, pues la matriz de transformacion es la transpuesta de la inversa de

la matriz de Jacobi. A esta forma de comportamiento lo llamaremos covarian-

za y los vectores cuyas componentes en diferentes sistemas se transforman de

esta manera se llaman covectores o vectores covariantes. Así pues las 1-formas

diferenciales son covectores

Como vimos a la hora de definir la diferencial, d f , ésta se comporta como

una aplicación lineal y es por tanto un covector cuyas componentes son ∂ f /∂x i

B.17. Espacios euclídeo

Considerar que tenemos un variedad lisa M y que hemos elegido una carta

(U, x1, . . . , xn). Si la distancia entre dos puntos de la variedad M de coordenadas

xj1 y x

j2 viene dada por la expresion

ρ(x1, x2) =√

(x12 −x1

1 )2 + . . .+ (xn2 −xn

1 )2

diremos que las coordenadas x j son coordenadas cartesianas euclídeas y que

la variedad M es euclídea La anterior definición cumple con las condiciones de

una distancia y proveé a la variedad de una métrica, llamada métrica euclídea.

Si tenemos dos punto muy "proximos"la distancia al cuadrado entre ellos la po-

demos poner como

ds2 =∑

k

dxk dxk

siendo dxk = xk2 −xk

1 .

Aproximando la cuerda por el arco, la longitud de segmento de una curva

(x j (t )) viene dada por la expresión

l =∫

√

(dx1)2 + . . .+ (dxn)2


l =∫

√

(

dx1

dt

)2

+ . . .+(

dxn

dt

)2

dt

B.17 Espacios euclídeo 363

si el arco de curva es "muy pequeño"

dl2 =

(

dx1

dt

)2

+ . . .+(

dxn

dt

)2

dt 2

de donde, dividiento por dt 2

(

dl

dt

)2

=(

dx1

dt

)2

+ . . .+(

dxn

dt

)2

teniendo en cuenta el concepto de velocidad, v = dl/dt , tenemos

v2 =(

dx1

dt

)2

+ . . .+(

dxn

dt

)2

.

Dada nuestra interpretación de un vector del espacio tangente TP0 como vec-

tor tangente a una curva cuyas componentes son dx j /dt , podemos definir la

longitud de un vector de coordenadas ξk en el sistema de coordenadas eucídeas

|ξ|2 =∑

k

(ξk )2

Suponer ahora que hacemos una transformación de coordenadas

y j = y j (x1, . . . , xn)

la longitud elemental entre dos punto muy próximos vale

dl2 =∑

k

dxk dxk =∑

k

∂xk

∂y i

∂xk

∂y jd y i d y j


dl2 = gi j d y i d y j

siendo

gi j =∑

k

∂xk

∂y i

∂xk

∂y j


el llamado tensor métrico. La anterior expresión la podemos poner como

gi j =∂xk

∂y i

∂x l

∂y jδkl

siendo δkl la delta de Kronecker y que representa al tensor métrico en coordena-

das euclídeas. En la anterior expresión hemos empleado la notación de Einstein

dada anteriormente de suma en índices repetidos. De la definición de la matriz

de Jacobi de una transformación de coordenadas, el tensor métrico gi j repre-

sentando por una matriz G , toma la forma

G = JTy−1 I Jy−1

siendo Ii j = δi j la matriz identidad. Puesto que según hemos demotrado las

matrices de Jacobi verifican la ecuación

Jy−1 = J−1y

tenemos

G = JTy−1 I Jy−1 = (J−1

y )T I J−1y

De la misma manera que en el caso anterior, si hacemos una transforma-

ción de coordenadas ecuclídeas x i a otro sistema de coordenadas z i , el tensor

métrico en este nuevo sistema viene dada por la expresión

hi j (z) =∂xk

∂z i

∂x l

∂z jδkl

Se puede demostrar que los tensores métricos en los sistemas de coordenadas

y j y z j estan relacionados mediante la expresión.

hi j (z)=∂y k

∂z i

∂y l

∂z jgkl (y).

Esta forma de comportamiento define al tensor métrico como un tensor de se-

gundo orden covariante. En forma matricial la anterior expresión la podemos


poner como

H = JTz−1G Jz−1 = (J−1

z )T G J−1z

De la misma manera que la expresion de la longitud de un arco elemental

al pasar de coordenadas cartesianeas euclídeas a un sistema de coordenadas

cualquiera pasa de ser

dl2 = dxk dxk

a

dl2 = gi j d y i d y j

la longitud de un vector del espacio tangente TP0 pasa de ser

|ξ|2 = ξixξ

jx

en coordenadas cartesianas euclídeas x i a

|ξ|2 = gi jξiyξ

jy

en coordenadas cualesquiera y j . Obviamente las componentes del tensor mé-

trico han de evaluarse en P0.

Podemos definir el producto escalar entre dos vectores ξ, η del espacio tan-

gente TP0 como

ξ ·η= gi j (P0)ξiη j

de tal forma que la longitud de un vector se puede poner como

|ξ|2 = ξ ·ξ.

Así mismo se define el ángulo entre dos vectores del espacio tangente TP0 como

cosθ=ξ ·η|ξ||η|

=gi j (P0)ξiη j

√

gi j (P0)ξiξ j√

gi j (P0)ηiη j

Ejemplo B.8 Calcular el producto escalar de dos vectores base.


Sean g(i ) y g( j ) dos vectores base, su producto escalar será

g(i ) ·g( j ) = gkl g k(i )g l

( j )

ahora bien g k(i ) =δk

iy g l

( j ) = δlj

por lo que

g(i ) ·g( j ) = gklδki δ

lj = gi j

Si gi j es cero para los elementos de fuera de la diagonal, diremos que la base g(i )

es ortogonal, pues el producto escalar de los vectores base representa el ángulo

entre ellos.

En particular podemos calcular la longitud de los vectores base ∂∂y k del es-

pacio tangente que denotaremos como gk . De la definicion

|gk |2 = gi j g ik g

j

k

ahora bien la componente i-exima k-eximo vector base vale

gik = (0,0, . . . ,

i1, . . . ,0,0)k

esto es

gik = δi

k

y por tanto

|gk |2 = gi j g ik g

j

k= gi jδ

ikδ

j

k= gkk

Podemos definir un vector base unitario mediante la expresión

ek =gkpgkk

por lo que dado un vector ξ del espacio tangente TP0 , su expresión en esta base

unitaria la podemos poner como

ξ= ξ j g j =√

g j jξj e j


las componentes

ξ j ( f i s)=√

g j jξj

reciben el nombre de componentes físicas de un vector ξ

Ejemplo

Calcular los vectores base en cilíndricas

x = r cosθ

y = r senθ

z = z

los vectores base vienen definidos por

gr =∂

∂r= cosθ

∂

∂x+senθ

∂

∂y

gθ =∂

∂θ=−r senθ

∂

∂x+ r cosθ

∂

∂y

gz =∂

∂z=

∂

∂z

El tensor métrico gi j toma la forma

gi j =

1 0 0

0 r 2 0

0 0 1

de donde vemos que la base cilíndrica es diagonal. El determinanate del tensor

métrico vale g = r 2.


Los vectores base unitarios valen

er = gr = cosθ∂

∂x+senθ

∂

∂y

eθ =gθ

r=−senθ

∂

∂x+cosθ

∂

∂y

ez = gz =∂

∂z

Las componentes de un vector en la base natural valen

F = F r gr +Fθgθ+F z gz

y en la base unitaria

F = f r er + f θeθ+ f z gz

por lo que la relacion entre las componentes físicas y generalizadas vale

f 2 = F r

f θ = rFθ

f z = F z

B.17.1. Subir y bajar indices

Suponer que tenemos un espacio euclídeo y un sistema de coordenadas y j

donde el tensor métrico toma la forma G = gi j . Definimos el "tensorrecíproco

como

G =G−1

y cuyas componentes denotaremos como g i j . Obviamente de la definición

g i j g j k = δik

Suponer que hacemos un cambio de coordenadas a otro sistema de coordena-

das z i en el que el tensor métrico vale H = hkl . En el nuevo sistema tendremos


igualmente

H = H−1

>Como se relacionan H y G ?. Puesto que H y G son tensores métricos

H = (J−1z )T G J−1

z

sustituyendo

H =(

(J−1z )T G J−1

z

)−1 = JzG−1(Jz )T = JzG(Jz )T

que en forma de componentes

h i j (z)=∂z i

∂y pg pq (y)

∂z j

∂y q=

∂z i

∂y p

∂z j

∂y qg pq (y)

Esta forma de comportamiento nos dice que el "tensorrecíproco es un tensor

contravariante de segundo orden. Suponer ahora que tenemos un vector en el

espacio tangente TP0 que supondremos euclideo, vamos a asociar a cada vector

de este espacio A una 1-forma diferencial ω de la siguiente manera

ωA(ξ) = A ·ξ

esto es la 1-forma asociada ωA(ξ) aplicada a un vector ξ nos da el producto es-

calar de A con ξ. En terminos de componentes

ω jξj = gi j Aiξ j

de donde

ω j = g j i Ai

Este proceso recibe tambien el nombre de bajar índices. Multiplicando la ante-

rior expresión por el tensor recíproco,

g k jω j = g k j g j i Ai =δki Ai = Ak

de donde deducimos la expresión de las componentes del vector asociado a la

1-forma. De esta forma dado un vector le asociamos una una forma y al revés.


En el caso de tener una base ortogonal se verifica que

ω j = g j j A j (No suma en j)

o

A j =1

g j jω j (No suma en j)

Si tenemos las componentes físicas a j del vector A, se verifica que

a j =√

g j j A j =√

g j j1

g j jω j =

1p

g j jω j (No suma en j)

Supongamos ahora que las componentes de la 1–forma ωi sean las componen-

tes de la diferencial de una cierta funcion de Rn −→R,

wi =∂ f

∂x i

en estas condiciones el vector asociado toma la forma

Ak = g ki ∂ f

∂x i

que recibe el nombre de vector gradiente. Las componentes en una base orto-

gonal valen

Ak =1

gkk

∂ f

∂xkNo suma en k

y las componentes físicas

ak =1

pgkk

∂ f

∂xkNo suma en k

Así por ejemplo en cilíndricas vale

ar =∂ f

∂r, aθ =

1

r

∂ f

∂θ, az ∂ f

∂z

B.18 Tensores 371

B.18. Tensores

Hemo visto en los apartado anteriores como se transforman los vectores y

ciertos tensores de segundo orden cuando cambiamos de coordenadas, vamo a

dar ahor al definición de un tensor de orden cualqueira

Definición 14 Un tensor del tipo p veces contravariante y q veces covariante,

denotado como (p,q), es, relativo a un sistema de coordenadas y j , una familia

de números Ti1,...,ip

j1,..., jqtal que cuando pasamos a otro sistema de coordendas zk se

transforman de la siguiente manera

Ti1,...,ip

j1,..., jq(z)=

∂z i1

∂y k1· · ·

∂z ip

∂y kp

∂y l1

∂z j1· · ·

∂y lq

∂z jqT

k1,...,kp

l1,...,lq(y)

Al igual que los vectores los expresamos en sus correspondientes bases como

a = a i gi

o bien si es un covector como

a = ai gi

los tensores de segundo orden contravariantes los podemos poner como

T= T i j gi ⊗g j

donde gi ⊗g j representa el producto tensorial de vectores base (una especie de

producto cartesiano con ciertas propiedades de linealidad). Los tensores cova-

riantes se representan como

T= Ti j gi ⊗g j

y los de tipo general

T= Tk1,...,kp

l1,...,lqgk1 ⊗ . . .⊗gkp

⊗gl1 ⊗ . . .⊗glq


B.19. Tensores covariantes antisimétricos

Dada su importancia en la física, vamos a analizar el comportamiento de

los tensores covariantes antisimétricos. Se dice que un tensor covariante cuyas

componentes son Ti1,...,iqes antisimétrico si al cambiar un par índices de una

componente cambia el signo de la componente. Por ejemplo, si tenemos un ten-

sor de segundo orden covariante antisimétrico

T= Ti j gi ⊗g j

se verifica que

T j i =−Ti j

por lo que podemos escribir

T= Ti j (gi ⊗g j −g j ⊗gi ) (i < j )

llamando gi ∧g j = gi ⊗g j −g j ⊗gi , tenemos

T= Ti j gi ∧g j (i < j )

teniendo en cuenta que los vectores base del espacio cotangente son las dife-

renciales, podemos escribir

T= Ti j dx i ∧dx j (i < j )

la cantidad anterior recibe el nombre de forma diferencial de segundo orden o

2-forma . Esta claro de la definición que

dx i ∧dx j =−dx j ∧dx i

Es posible demostrar que el conjunto C n2 elementos

gi ∧g j = gi ⊗g j −g j ⊗gi

B.19 Tensores covariantes antisimétricos 373

forman una base de dimensión C n2 , de tal forma que los tensores antisimétricos

de segundo orden forman un subespacio del conjunto de tensores del orden 2.

Si denominamos a

T(i j ) = Ti j , i < j

la 2-forma se puede expresar como

T=T(i j )dx i ∧dx j

de tal forma que en un cambio de base, los elementos T(i j ) se transforman como

T ′(i j ) =T(kl)

∂xk

∂y i∂x l

∂y i

∂xk

∂y j∂x l

∂y j

Al igual que sucede con las 1-forma, el resultado de aplicar una 2-forma a un

par de vectores ξ,η es un numero real

T : (ξ,η) = Ti jξiη j

esto es la 2-forma es una forma bilinial. Puesto que por definición Ti j =−T j i se

verifica que

T : (ξ,η) =−T : (η,ξ)

y por tanto es una forma bilinial antisimétrica.

Definición 15 Se dice que una 2-forma es no singular si el determimante de la

la matriz Ti j es diferente de cero. Esto equivale a decir que si

T : (ξ,η) = 0

para todo vector η, necesariamente ξ= 0

Definición 16 Sean M2n una variedad par dimensional y una 2-forma no sin-

gular T definida sobre ella se define el producto escalar antisimétrico de dos

vectores pertenecientes al espacio tangente TP en un punto P de la variedad


como

T : (ξ,η)= Ti jξiη j

Los tensores antisimétricos de orden q, satisfacen la siguiente ecuación

Tσ(i1,...,iq ) = (sgnσ)T(i1,...,iq )

siendo σ(i1, . . . , iq ) una permutación cualquiera de los índices, (i1, . . . , iq ) y (sgn)

el signo de la permutación, +1 si es par y -1 si es impar. Extendiendo al caso

de orden q la definición dada anteriormente para el caso de segundo orden del

producto ∧, se tiene

dx i1 ∧·· ·∧dx iq =∑

σ∈Sk

(sgnσ)gσ(i1) ⊗·· ·⊗gσ(iq )

donde la suma está estendida a todas las permutaciones de los índices (i1 , . . . , in).

Ahora

dxσ(i1) ∧·· ·∧dxσ(iq ) = (sgnσ)dx i1 ∧·· ·∧dx iq

y el tensor T lo podemos poner como

T= Ti1,...,iqdx i1 ∧·· ·∧dx iq .

Estos tensores reciben el nombre de formas diferenciales de orden q

El caso en que el orden del tensor coincida con la dimension del espacio

es interesante. En este caso solo existe una componente independiente, el resto

se obtiene a partir de esta componente independiente. Por facilidad elegimos

como componente independiente a la componente T1,...,n , de acuerdo con las

ecuaciones anteriores

Tσ(i1,...,in ) = (sgnσ)T1,...,n

Por ejemplo en 3 dimensiones tendremos

T = T123g1 ⊗g2 ⊗g3 +T312g3 ⊗g1 ⊗g2 +T231g2 ⊗g3 ⊗g1 +

T213g2 ⊗g1 ⊗g3 +T321g3 ⊗g2 ⊗g1 +T132g1 ⊗g3 ⊗g2


de la definición, Ti j k = (sgnσ)T123, esto es, Ti j k =+T123 si (i j k) es una permu-

tación par de 123 y Ti j k =−T123 si (i j k) es una permutación impar, por lo que

T= T123(g1⊗g2⊗g3+g3⊗g1⊗g2+g2⊗g3⊗g1−g2⊗g1⊗g3−g3⊗g2⊗g1−g1⊗g3⊗g2)

a lo que esta entre parentesis lo llamamos g1 ∧g2 ∧g3, por lo que

T= T123g1 ∧g2 ∧g3

que en terminos de las diferenciales

T= T123dx1 ∧dx2 ∧dx3

Es costumbre en física introducir el llamado tensor de Levi-Civita, definido de

las siguiente forma, ǫi j k = +1 si (i j k) es una permutacion par de 123 y -1 si es

una permutación impar, esto es ǫi j k = (sgnσ), por lo que las anteriores expre-

siones toman la forma

T= T123g1 ∧g2 ∧g3 = T123ǫi j k gi g j gk = T123ǫi j k dx i dx j dxk

Una definición similar es válida para cualquier dimensión. Podemos por tanto

considerar a los ǫ como las componentes del tensor cuando T123 = 1.

>Cual es el comportamiento de ǫi j k ?. Para ello consideremos la transfor-

mación de coordenadas g 1, . . . , g N → h1, . . . , hN . Desarrollando el inverso del

jacobiano de la transformación obtenemos

Jh−1 = ǫi j k∂g i

∂h1

∂g j

∂h2

∂g k

∂h3

La anterior expresión la podemos poner como

ǫpqr Jh−1 = ǫi j k∂g i

∂hp

∂g j

∂hq

∂g k

∂hr=


ahora bien puesto que Jh−1 = J−1h

, tenemos

ǫpqr = Jhǫi j k∂g i

∂hp

∂g j

∂hq

∂g k

∂hr

lo que muestra que los simbolos ǫi j k se tranforman ‘casi’ como un tensor antisi-

métrico de tercer orden pues aparece el Jacobiano en el miembro de la derecha.

A esta clase de objetos se les denomina densidades tensoriales de peso 1 (el ex-

ponente del jacobiano parca el orden del peso). A partir de la relación anterior

es facil de ver que los elementos principales de los tensores completamente an-

tisimétricos T123 se transforman mediante la relación

T123(h)Jh =T123(g )

bajo una transformación de coordenadas h j = h j (g k ). De la definición de tensor

covariante,

Tpqr (h) =Ti j k (g )∂g i

∂hp

∂g j

∂hq

∂g k

∂hr

puesto que Tpqr (h)= T123(h)ǫpqr y Ti j k (g )= T123(g )ǫi j k sustituyendo

T123(h)ǫpqr (h)= T123(g )ǫi j k∂g i

∂hp

∂g j

∂hq

∂g k

∂hr

teniendo en cuenta la trasnformacion de los ǫpqr , tenemos

T123(h)Jhǫi j k∂g i

∂hp

∂g j

∂hq

∂g k

∂hr=T123(g )ǫi j k

∂g i

∂hp

∂g j

∂hq

∂g k

∂hr

de donde

T123(h)Jh =T123(g )

Supongamos ahora que tenemos una métrica, vimos anteriormente que los

tensore métricos en los sistemas h y g estan relacionados por la expresión

H = (J−1)T G J−1


por lo que el determinante vale

Det(H) = h = Det((J−1)T G J−1) = Det(J−1)2Det(G) =1

J2Det(G) =

1

J2g

por lo que, supuesto J > 0,

J =p

gp

h

sustituyendo en la expresión del determinante, obtenemos

ǫpqr =(p

gp

h

)

ǫi j k∂h i

∂g p

∂h j

∂g q

∂hk

∂g r

que reordenandop

hǫpqr =p

gǫi j k ∂h i

∂g p

∂h j

∂g q

∂hk

∂g r

lo que demuestra que

εi j k =pgǫi j k

son las componentes de un tensor antisimétrico de tercer orden. Puesto que en

cartesianas g = 1, este tensor en cartesianas coincide con los simbolos ǫ.

Expresión del elemento de volumen

Vamos a hacerlo para el caso de 3 dimensiones y se extiende de forma natu-

ral a otras dimensiones. Como vimos antes εi j k =pgǫi j k constituyen las com-

ponentes de un tensor covariante completamente antisimétrico, esto es es una

forma diferencial de tercer orden. >Cual es el resultado de aplicar esta forma a

tres vectores del espacio tangente ?. Sean (a, b, c) tres vectores del espacio tan-

gente y ω=√

g (x)ǫi j k dx i dx j dxk . Aplicando la forma diferencial a los anterio-

res vectores tenemos

ω(a,b,c) =√

g (x)ǫi j k dx i dx j dxk (a,b,c) =√

g (x)ǫi j k dx i (a)dx j (b)dxk (c)

Teniendo en cuenta que de acuerdo con el concepto de diferencial dxk (a) = ak

tenemos

ω(a,b,c) =√

g (x)ǫi j k a i b j ck


que desarrollando

ω(a,b,c) =√

g (x)(a1b2c3 +a3b1c2 +a2b3c1 −a2b1c3 −a1b3c2 −a3b2c1)

podeis comprobar que el término entre parentesis es el determinante de la ma-

triz

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

esto es

ω(a,b,c) =√

g (x)Det(a,b,c)

En coordenadas carsesianas euclídeas, g = 1 y como sabemos del algebra, el

anterior determinanate representa el producto mixto de los tres vectores y por

tanto el volumen abarcado por ellos supuesto que tengan un origen común. Si

suponemos que los tres vectores son pequeños "vectores"tangentes a las líneas

coordenadas. La anterior expresión representa el volumen elemental y por tanto

podemos considerar a la forma diferencial

ω=pgǫi j k dx i dx j dxk =p

g dx i ∧dx j ∧dxk

como el elemento de volumen (en realidad su aplicación a tres vectores tangen-

tes a las líneas coordenadas).

Ejemplo B.9 Calcular el elemento de volumen en esféricas

Como hemo visto antes

dV =pg dx1 ∧dx2 ∧dx3

aplicando la anterio forma diferencial a los vectores dr = (dr,0,0), dθ= (0, dθ,0), dφ=(0,0,φ)), obtenemos

dV =pg

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

dr 0 0

0 dθ 0

0 0 dφ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=pg drdθdφ

B.20 Derivada Covariante 379

Teniendo en cuenta que en esféricas

gi j =

1 0 0

0 r 2 0

0 0 r 2 sen2θ

tenemos quep

g = r 2 senθ, por lo que

dV = r 2 senθdrdθdφ

B.20. Derivada Covariante

Para calcular la derivada de un campo vectorial (un tensor) debemos de cal-

cular la diferencia de dos vectores en puntos "próximos", dividir por la distan-

cia entre los puntos y calcular el límite cuando tendemos a cero la distancia

entre ellos. Ahora bien resulta que en cada punto tenemos espacios vectoria-

les tangentes diferentes y por tanto bases diferentes. Recordar que los espacios

tangentes son locales. En coordenadas cartesianas euclídeas, esto no representa

ningun problema pues las bases son en todos los puntos las mismas, pero esto

no es cierto en un sistema de coordenadas cualesquiera. Para restar los vectores

debemos primero llevarlos a una misma base.

Vamos a suponer que tenemos un vector a cuyas componentes en una base

cualquiera gi en los puntos P y P ′ de coordenadas (y1, . . . , y n) y (y1+d y1, . . . , y n+d y n) vienen dada por la expresión

a(P) = a i (P)gi (P)

a(P ′) = a i (P ′)gi (P ′)

Antes de poder restar los vectores necesitamos ponerlos en la misma base, para

ello desarrollemos en serie hasta primer orden la segunda ecuación,

a(P ′) =(

a i (P)+∂a i

∂y jd y j

)

×(

gi (P)+∂gi

∂y jd y j

)


que salvo términos de segundo orden podemos poner como

a(P ′)= a i (P)gi +a i (P)∂gi

∂y jd y j +

∂a i

∂y jd y j gi = a(P)+

∂a i

∂y jd y j gi +a i (P)

∂gi

∂y jd y j

Necesitamos por último expresar en la base gi (P) el último término. Vamos a

suponer que existen un conjunto de 3n funciones Γki , j

, tales que

∂gi

∂y j=

(

∂gi

∂y j

)k

gk = Γki j gk

de donde, restando a(P) en ambos miembros

da(P) =∂a i

∂y jd y j gi +a i (P)Γk

i j d y j gk

En esta expresión, en el segundo término del miembro de la izquierda, aparece

una suma en i y en k podemos intercambiar el nombre de los índices puesto

que esto son mudos y poner

da(P) =∂a i

∂y jd y j gi +ak (P)Γi

k j d y j gi

de donde, sacando factor común

da(P) =(

∂a i

∂g j+ak (P)Γi

k j

)

d y j gi (B.7)

que representa la diferencial del vector. El término entre paréntesis lo designa-

remos como a i , j de tal forma que

da(P) = a i , j d y j gi

así pues a i , j d y j representa la componente en la base gi del vector diferencial.

Puesto que d y j son las componentes de un covector y a i , j d y j son tambien

las componentes de un vector, de acuerdo con nuestro criterio de tensorialidad

anterior, a i , j representa las componentes de un tensor y recibe le nombre de


tensor derivada covariante . De acuerdo con nuestra definición

a i , j =∂a i

∂y j+ak

Γik j

a la cantidad Γik j

que representa la i-exima componente de la derivada respecto

de la j-exima coordenada y j del k-eximo vector base gk se la denomina símbolo

de Christoffel de segundo orden y se les representa por

Γij k =

i

j k

=(

∂gk

∂y j

)i

(B.8)

de tal forma que

a i , j (P) =∂a i

∂y j+Γ

ij k ak (P) (B.9)

y el vector diferencial

da(P) = a i , j (P)d y j gi (P)

y la derivada total respecto del tiempo

da

dt= a i , j (P)y j gi (P) (B.10)

así pues la i-exima componente de la derivada todal vale

(

da

dt

)i

= a i , j (P)y j (B.11)

o bien en términos de los símbolos de Christoffel

(

da

dt

)i

=∂a i

∂y jy j +Γ

ij k ak (P)y j =

da i

dt+Γ

ij k ak (P)y j (B.12)

donde hemos tenido en cuenta que

da i

dt=

∂a i

∂y jy j


Así por ejemplo las componentes contravariantes de la aceleración serán

a i (P) =(

dv

dt

)i

=dv i

dt+Γ

ij k vk (P)v i (P)

Es posible demostrar, si la variedad esta dotada de una métrica, que los símbolos

de Christoffel se pueden deducir del tensor métrico gi j mediante la ecuación

Γki j =

1

2g kh

(

∂gi h

∂y j+∂g j h

∂y i−∂gi j

∂y h

)

(B.13)

A las cantidades

Γi j ,h =1

2

(

∂gi h

∂y j+∂g j h

∂y i−∂gi j

∂y h

)

(B.14)

se las denomina simbolos de Christoffel de primer orden.

Los símbolos de Christoffel no son las componentes de un tensor (más ade-

lante se dará la definición general de tensor) y se transforman de la siguiente

forma cuando se pasa de un sistema de coordenadas a otro

Γnlm (z) =

∂y p

∂z l

∂y q

∂zm

∂zn

∂y rΓ

rpq (y)+

∂2 y p

∂z l∂zm

∂zn

∂y p

Es posible demostrar que la derivada covariante de las componentes cova-

riantes se pueden calcular mediante la expresión

vi , j =∂vi

∂x j−Γ

ki j vk

Para ello considerar el producto escalar w · v siendo w un campo homogéneo.

Derivando

w ·dv = w i dvi +dw i vi

ahora bien como el campo w es homogéneo

dw = dw i +Γij k wk d y j = 0

de donde

dw i =−Γij k wk d y j


sustituyendo

w ·dv = w i dvi −Γij k wk d y j vi

intercambiando los índices i y k en el primer término del segundo miembro

w ·dv= wk (dvk −Γij k d y j vi )

de donde

(dv)k = dvk −Γij k d y j vi =

(

∂vk

∂y j−Γ

ij k vi

)

d y j

y por tanto

vk , j =∂vk

∂y j−Γ

ij k vi (B.15)

Ejercicio B.1 Demostrar que en coordenadas cualesquiera (y j ),

Γki j =

∂2xp

∂y j∂y i

∂y k

∂xp

siendo x j coordenadas cartesianas euclídeas.

SOLUCCIÓN

De la definición de vectores base

∂

∂y i=

∂

∂xk

∂xk

∂y i

derivando respecto a y j

∂

∂y j

(

∂

∂y i

)

=∂

∂y j

(

∂

∂xk

∂xk

∂y i

)

=∂

∂y j

(

∂xk

∂y i

)

∂

∂xk=

∂2xk

∂y j∂y i

∂

∂xk

donde hemos hecho uso de que las bases cartesianas euclideas no cambian. Vol-

viendo al sistema de coordenadas inicial

∂

∂xk=

∂y l

∂xk

∂

∂y l


sustituyendo∂

∂y j

(

∂

∂y i

)

=∂2xk

∂y j∂y i

∂

∂xk=

∂2xk

∂y j∂y i

∂y l

∂xk

∂

∂y l

por lo que la componente l de la anterior expresión, que no es otra cosa que

la componente l de la derivada respecto de la j-exima coordenada del i-eximo

vector base, esto es Γl i j , vale

Γli j =

∂2xk

∂y j∂y i

∂y l

∂xk


B.20.1. Definición divergencia y rotacional

Se define el rotacional de un vector

roti j v = vi , j −v j ,i (B.16)

siendo vi , j la derivada covariante de las componentes covariante de v. Habida

cuenta de la expresión de la derivada covariente y de las simetría de los símbolos

de Christoffel respecto de los indice inferiores se obtiene

roti j v =∂vi

∂g j−∂v j

∂g i(B.17)

A este tensor se le asocia un vector mediante la ecuación

rotk v = εi j k roti j v =1p

gǫi j k roti j v (B.18)

donde los simbolos εi j k y ǫi j k se definiran más adelante.

Se define la divergencia de un vector, al escalar

divv = v i , i

esto es, la divergencia de un vector v coincide con la traza del tensor derivada


covariante v i , j . Puesto que

v i , j =∂v i

∂g j+Γ

ij k vk

se tiene que

divv =∂v i

∂g i+Γ

ii k vk .

Se pude demostrar tras largas manipulaciones que

divv =1p

g

∂

∂g i(p

g v i ) (B.19)

Ejemplo B.10 Calcular la derivada covariante del tensor εi j k

La derivada covariante del tensor E = ε vale

εi j k , l =∂

∂g lεi j k +Γ

iqlε

q j k +Γj

qlεi qk +Γ

kqlε

i j q

Ahora bien la derivada covariante del tensor E en cartesianas es cero, por lo tan-

to será cero en cualquier sistema de coordenadas

0 =∂

∂g lεi j k +Γ

iqlε

q j k +Γj

qlεi qk +Γ

kqlε

i j q

teniendo en cuenta la expresión de εi j k = ǫi j k /p

g , obtenemos

1p

g

∂p

g

∂g lεi j k = Γ

iqlε

q j k +Γj

qlεi qk +Γ

kqlε

i j q

en la que se ha tenido en cuenta que

∂

∂gi

1p

g=−

1

g

∂p

g

∂gi


y la definición de ε. Multiplicando por ǫi j k y teniendo en cuenta que

ǫi j kǫi j k = 3!

ǫi j kǫi j p = 2δkp

se tiene

1p

g

∂p

g

∂g l3!/g 2 = (2Γi

qlδq

i+2Γ

j

qlδ

q

j+2Γk

qlδq

k)/g 2 = (2Γi

i l+2Γj

j l+2Γk

kl )/g 2 = 3!Γkkl /g 2

de donde1p

g

∂p

g

∂g l= Γ

kkl

que es la expresión que queriamos obtener.

B.21. Diferencial exterior de una forma diferencial

Puesto que nuestro interés se va a centrar en estudiar 1-formas y 2-formas

definiremos la diferencial exterior utilizando como ejemplos este tipo de ten-

sores aunque la forma de extender la definición a q-formas es inmediata. En

primer lugar debemos de decir que la diferencial exterior de una forma diferen-

cial de orden q nos da una forma diferencial de orden q+1. Así, si tenemos una

función f que en el sistema de coordenadas x i toma la forma f (x i , . . . , xn) la

diferencial exterior es la 1-forma

T= Ti dx i =∂ f

∂x idx i

esto es coincide con el gradiente de la función. Si tenemos una 1-forma

T=Ti (x1, . . . , xn)dx i

la diferencial exterior vale

dT= dTi (x1, . . . , xn)∧dx i

B.22 Estructuras simpléticas sobre variedades 387

teniendo en cuenta la definición de la diferencial,

dT=∂Ti

∂x jdx j ∧dx i

En particular si Ti = ∂ f /∂x i , esto es si T es la diferencial de una función, en este

caso se puede ver que dT= d2 f = 0.

Si tuviesemos una 2-forma

T= Ti j dx i ∧dx j

la diferencial valdría

dT= dTi j ∧dx i ∧dx j

Definición 17 Se dice que una forma diferencial es cerrada si su diferencial ex-

terior es nula

B.22. Estructuras simpléticas sobre variedades

Sea M2n una variedad par dimensional. Una estructura simplética sobre M

es una 2-forma diferencial no singular y cerrada sobre M2n :

dT= 0;

al par M ,T se denomina variedad simpletica. La estructura simpletica permite,

al igual que la métrica riemmaniana, asociar vectores y 1-formas. Sea ξ un vec-

tor perteneciente al espacio tangente a la variedad par dimensional M2n en un

punto P perteneciente a dicha variedad, podemos asociar al vector ξ la 1-forma

ωξ mediante la expresión

ωξ(η) =T : (ξ,η)

Denominemos con I el isomorfismo establecido entre el espacio tangente TP y

el dual T ∗P establecido por la estructura simplética y sea H una función definida

sobre la variedad M . Como sabemos dH es una 1-forma diferencial sobre dicha


variedad. En cada punto de la variedad existe un un vector tangente definido

mediante la expresión IdH. El campo así definido se denomina campo vectorial

hamiltoniano.

B.23. El sistema de coordenadas naturales

Vamos a considerar ahora un sistema de cooordenadas un poco especial. Pa-

ra ello considerar una partícula que se mueve en el espacio (puede ser el espacio

euclideo R3, o Rn), en el curso del tiempo esta partícula describe una curva que

consideraremos lo suficientemente suave (esto es tiene derivadas con continui-

dad hasta el orden requerido). Vamos a considerar un sistema de coordenadas

en el cual una de las curvas coordenadas es la propia curva descrita por la partí-

cula. Sea x = x(t ) la ecuación paramétrica de la curva. Por simplicidad podemos

pensar que t representa el tiempo. En este sistema de coordenadas el vector ve-

locidad v = dx/dt solo tiene una componente. Pongamos el vector velocidad de

la partícula como

v = vτ

siendo v el módulo de v. De la definición anterior esta claro que el vector τ es un

vector unitario tangente a la curva. Sea ds el elemento de longitud de arco de la

curva, esto es

ds =p

dx ·dx =

√

dx

dt·

dx

dtdt =

pv ·vdt = vdt

Puesto que ds/dt = v > 0, podemos utilizar como parámetro para definir la cur-

va a s en lugar de t . Sea x(s) la expresión de la curva en términos del parametro

s. La velocdidad de la particula la podemos expresar como

v =dx

dt=

dx

ds

ds

dt

puesto que ds/dt = v,

v =dx

dt= v

dx

ds

B.23 El sistema de coordenadas naturales 389

y por tanto el vector unitario tangente a la curva τ viene dado por

τ=dx

ds

Puesto quedx

ds=

dx

dg i

dg i

ds=

dg i

dsgi

siendo gi el vector base en el sistema de coordenadas g i , las componentes del

vector unitario tangente en el sistemas de coordenadas g i , tiene por expresión

τi =dg i

ds

El vector velocidad lo podemos poner como

v = vτ= vdx

ds= v

dx

dg i

dg i

ds= v

dg i

dsgi

así pues, la relación entre las componentes de la velocidad en el sistemas de

coordenadas natural v y el sistema de coordenadas g es

v i = g i = vdg i

ds

Obviamente de la definición de v como el módulo de la velocidad se tiene

v =√

gi j g i g j

Calculemos ahora la aceleración. Como sabemos

a =dv

dt=

d

dtvτ=

dv

dtτ+v

dτ

dt=

dv

dtτ+v

dτ

ds

ds

dt=

dv

dtτ+v2 dτ

ds

Puesto que τ es un vector unitario, dτ/ds es un vector normal a τ y como 1/ds

tiene dimensiones de longitud a la menos 1, podemos poner

dτ

ds= kn


siendo k un coeficiente con dimensiones de longitud a la menos 1 y n es un

vector unitario normal al τ. k recibe el nombre de curvatura y ρ = 1/k radio de

curvatura. Así pues,

a =dv

dtτ+v2kn

Así pues el vector aceleración tiene dos componentes una a lo largo de la tan-

gente a la trayectoria y recibe el nombre de aceleración tangencial y otra normal

a la trayectoria y recibe el nombre de aceleración normal. Puesto que según he-

mos demostrado antes

τ=dg i

dsgi

tenemos para la parte tangencial de la aceleración

a(t ) =dv

dt

dg i

dsgi

y por tanto la i-exima componente de la aceleración tangencial en el sistema g i

vale

a i(t ) =

dv

dt

dg i

ds. (B.20)

Puesto que as = dv/dt , tenemos

a i(t ) = as dg i

ds(B.21)

que corresponden con las leyes de transformación de un vector contravariante.

Respecto de la componente normal

a(n) = v2kn

De la definición del vector normal tenemos

kn=dτ

ds

Dada la expresión obtenida antes para la derivada total de un vector, llamando

τk a la componente k del vector τ en el sistema de coodenadas g , esto es τk =


dg k/ds, tenemos(

dτ

ds

)k

=dτk

ds+τpτq

Γkpq

siendo Γkpq los simbolos de Kristoffel en el sistema g , así pues

kn=dτ

ds=

(

dτk

ds+τpτq

Γkpq

)

gk

esto es

kn =dτ

ds=

(

d2g k

ds2+

dg p

ds

dg q

dsΓ

kpq

)

gk

LLamemos k i al coeficiente de gi , esto es

k i =(

d2g i

ds2+

dg p

ds

dg q

dsΓ

ipq

)

(B.22)

Tenemos,

kn= k i gi

puesto que n es unitario por construcción, k tiene por expresión al módulo de

la anterior expresión, esto es

k =√

gi j k i k j (B.23)

La expresión en el sistema g i del vector unitario n será

n i =1

kk i (B.24)

y la parte normal de la aceleración tendrá como expresión

a(n) = v2kn = v2k i gi

de donde

a i(n) = v2k i = v2

(

d2g i

ds2+

dg p

ds

dg q

dsΓ

ipq

)

(B.25)


nos da la expresión en el sistema de coordenadas g i de la aceleración normal.

Hay que tener en cuenta que estas son las componentes canonicas si queremos

las componentes físicas debemos de multiplicar por la correspondientep

gi i .

Lo mismo sucede para la parte tangencial de la aceleracion, esto es

a i(t )( f i s) = p

gi idv

dt

dg i

ds(B.26)

a i(n)( f i s) = p

gi i v2(

d2g i

ds2+

dg p

ds

dg q

dsΓ

ipq

)

(B.27)

LLegados a este punto podemos escribir las ecuaciones de Newton. Para ello

desconpongamos la fuerza aplicada en sus componentes tangencial y normal

F =F(t ) +F(n)

la parte tangencial la podemos poner como

F(t ) = (F ·τ)τ

Teniendo en cuenta la definición de producto escalar dado anteriormente, en el

sistema g i tendremos

F ·τ= gi j F iτ j = F jτj

de tal forma que la componente i del vector fuerza tangente será

(F(t ))i = (F jτ

j )τi

y teniendo en cuenta la expresión de τi , tenemos

(F(t ))i = (F j

dg j

ds)

dg i

ds

De acuerdo con las leyes de Newton, esta componente ha de ser igual a la com-

ponente i de la masa por la aceleración tangencial, esto es

mdv

dt

dg i

ds= (F j

dg j

ds)

dg i

ds


y por tanto

mdv

dt= F j

dg j

ds= Fs (B.28)

siendo Fs la componente generalizada de la fuerza en la dirección tangencial.

Esta ecuación nos permite obtener la ley horaria, puesto que v = ds/dt , obte-

nemos a patir de ella como es s(t ). Necesitamos por tanto obtener la ecuación

de la trayectoria, esto es obtener g i (s). Para ello utilizaremos la componente

normal de la fuerza, que viene dada mediante la expresión

F(n) = F−F(t )

que en el sistema de coordenadas g i se expresa como

F(n) = F i gi − (F ·τ)dg i

dsgi =

(

F i − (F ·τ)dg i

ds

)

gi

donde se ha tenido en cuenta que τ = dg i

ds gi .Teniendo en cuenta la expresión

para la componente tangencial de la fuerza obtenida anteriormente, tenemos

F(n) =(

F i −F jdg j

ds

dg i

ds

)

gi =(

g i j F j −F jdg j

ds

dg i

ds

)

gi

y por tanto igualando a la componente normal de la aceleración multiplicada

por la correspondiente masa,

ma i(n) = mv2

(

d2g i

ds2+

dg p

ds

dg q

dsΓ

ipq

)

=(

g i j F j −F jdg j

ds

dg i

ds

)

(B.29)

Este conjunto de n ecuaciones diferenciales de segundo orden (una por cada i ),

nos da lugar al calculo de las n ecuaciones g i (s) que nos expresa de forma pa-

ramétrica la ecuación de la trayectoria. Si la fuerza aplicada es nula, la ecuación

resultante es(

d2g i

ds2+

dg p

ds

dg q

dsΓ

ipq

)

= 0 (B.30)

que es la ecuación paramétrica de una recta en coordenadas cualesquiera g i


B.24. Campos de vectores. Derivada de Lie

Sea (U, x1, . . . , xn) un sistema de coordenadas de una variedad diferencial M .

Con cada campo vectorial ξi (x1, . . . , xn), esto es la aplicación que asocia a cada

punto de la variedad con un vector de su espacio tangente, existe el siguiente

sistema de ecuaciones diferenciales

x i (t )= ξi (x1(t ), . . . , xn(t ))

Las soluciones del anterior sistema x i = x i (t ) de denominan curvas integrales

del campo vectorial ξi . De la teoría de las ecuaciones diferenciales, bajo la hi-

pótesis de que los campos ξi son lisos, existe una solución y solo una de las

anteriores ecuaciones diferenciales con la condición que

x i (t = 0) = x i0

La curva integral de un campo vectorial se puede considerar como la tra-

yectoria de una partícula cuyo campo de velocidades es ξi y cuya posición en el

instante inicial es x i0

Sea F it (x1

0 , . . . , xn0 ) la aplicación , dependiente del parametro t , que nos lleva

a la ‘partícula’ desde su posición inicial en t = 0 a su posición en el instante t ,

F it (x1

0 , . . . , xn0 ) = x i (t , x1

0 , . . . , xn0 ).

La teoría de las ecuaciones diferenciales nos garantiza que la aplicación F it , para

t suficientemente pequeño, en un entorno del punto x i0 es un difeomorfismo,

esto es, la aplicación F it , es biyectiva, continua y derivada continua y su inversa

es continua y derivada continua. Si consideramos que F0 es la identidad y que

para valores suficientemente pequeños del parámetro t las funciones Ft son di-

feomorfismos que satisfacen las relaciones

Fs+t = Fs Ft , F−t = (Ft )−1

vemos que Ft define un grupo de transformaciones, llamado el grupo local. de

esta manera nuestro campo vectorial inicial ξi genera un grupo local de trans-

B.24 Campos de vectores. Derivada de Lie 395

formaciones.

Para valores de t suficientemente pequeño las curvas integrales las podemos

desarrollar en serie por lo que las aplicaciones Ft toman la forma explicita

x i (t , x10 , . . . , xn

0 ) = x i0 + tξi (x1

0 , . . . , xn0 )+o(t 2) (B.31)

de donde, la matriz de Jacobi de la transformación toma la forma,

∂x i (t )

∂xj0

=δij + t

∂ξi (0)

∂xj0

y la matriz de Jacobi de la transformación inversa toma la forma

∂x i0

∂x j=δi

j − t∂ξi

∂x j

donde hemos hecho uso de que (Ft )−1 = F−t para t pequeño.

La construción anterior se puede hacer al reves, dada la curva integral F it

podemos definir el campo vectorial

ξi =(

d

dtF i

)

t=0

que es una de la formas en las que definimos el espacio tangente.

Dado que F it es una familia de difeomorfismos, podemos considerar a las ex-

presiones (B.31) como las ecuaciones de transformación de coordenadas. Sean

T ij

las componentes de un tensor una vez covariante y una vez contravariante1,

bajo la transformacón de coordenadas dadas por la curva integral, si T kl

son las

componetes del tensor en el instante t , las componentes en la base x i0 valen

(Ft T )ij = T k

l

∂x l

∂xj

0

∂x i0

∂xk

1 Vamos a hacer las cuentas para el caso de un tensor del tipo (1,1), los mismo resultados seobtienen para uno del tipo (p,q)


Definición 18 Se define la derivada de Lie2 de un tensor T ij

a lo largo del campo

vectorial ξ como el tensor

LξT ij =

(

d

dt(Ft T )i

j

)

0= lım

t→0

[(T )ij(t )]∗− [(T )i

j(0)]

t

en donde [(T )ij(t )]∗ representa las componentes del tensor en el punto t retro-

traidas al punto t=0, de tal forma que al hacer la resta, ambos tensores están

definidas en el mismo punto t=0.

Por lo tanto si Ft mide la deformación del espacio subyacente, como función

del parámetro t , la derivada de Lie mide la tasa de cambio del tensor a cuenta de

esta deformación. De la definición está claro que la derivada de Lie es un tensor

del mismo tipo del que se parte. Teniendo en cuenta la forma de las matrices de

Jacobi, tenemos (darse cuenta que para poder restar los vectores en la definición

de la derivada debemos de expresar ambos en la misma base, elegimos la base

x i0)

[T (t )ij ]∗ =T k

l (t )∂x l

∂xj

0

∂x i0

∂xk=T k

l (t )(δlj+t

∂ξl

∂xj

0

)(δik−t

∂ξi

∂xk) = T k

l (t )(δljδ

ik+tδi

k

∂ξl

∂xj

0

−tδlj

∂ξi

∂xk) =

= T ij (t )+ t T i

l

∂ξl

∂xj0

− t T kj

∂ξi

∂xk


T ij (t ) =T i

j (xk (t )) = T ij (xk

0 + tξk ) = T ij (0)+ t

∂T ij

∂xkξk

Llevando esta expresión a la definición de deriva de Lie, se tiene

(

d

dt(Ft T )i

j

)

0= lım

t→0

T ij

(0)+ t∂T i

j

∂xk ξk + t T i

l∂ξl

∂xj0

− t T kj

∂ξi

∂xk −T ij

(0)]

t

2La derivada de Lie, en Mecánica de Fluidos recibe tambien el nombre de derivada convectivao derivada másica


de donde,

LξT ij =

∂T ij

∂xkξk +T i

l

∂ξl

∂xj

0

−T kj

∂ξi

∂xk(B.32)

Vamos a aplicar los anteriores resultados en diferentes casos

Ejemplo B.11 Considerar que el tensor T se reduce a una función, en este caso

Lξ f = ξk ∂ f

∂xk= ∂ξ f

por lo que la derivada de Lie se reduce a la derivada direccional de la función.

Puesto que

ξk =dxk

dt

se tiene

Lξ f =dxk

dt

∂ f

∂xk=

d f

dt

esto es la derivada de Lie coincide con la derivada de la función a lo largo de la

curva integral asociada al campo vectorial ξ. Si Lξ f = 0 la función f es constante

a lo largo de la curva integral del campo vectorial es por tanto una integral del

campo, lo que en física se conoce como una integral primera del sistema.

Ejemplo B.12 Vamos a suponer que el tensor se reduce a un tensor del tipo (1,0)

esto a a un vector. Sea η= (η j ) otro campo vectorial, de la definición de derivada

de Lie (B.32)

Lξηj = ξk ∂η j

∂xk−ηk ∂ξ j

∂xk

y por tanto

Lξ(η) =−Lη(ξ)

la anterior expresión conduce a la siguiente definición

Definición 19 Sean ξ y η dos campos vectoriales, al campo vectorial Lξη=−Lηξ

recibe el nombre de conmutador de ξ con η y lo designaremos por [ξ,η]. De

forma similar el conmutador de [∂ξ,∂η] de derivadas direccionales a lo largo de


los campos vectoriales ξ y η viene dado por

[∂ξ,∂η] f = ∂ξ(∂η f )−∂η(∂ξ f )

Teorema B.24.1 Dados dos campos vectoriales ξ y η, se tiene que

∂Lξη f = ∂[ξ,η] f = [∂ξ,∂η] f

DEMOSTRACIÓN

De la definición

[∂ξ,∂η] f = (∂ξ∂η−∂η∂ξ)( f ) = ∂ξ(ηk ∂ f

∂xk)−∂η(ξ j ∂ f

∂x j)= ξi ∂

∂x i(ηk ∂ f

∂xk)−ηi ∂

∂x i(ξ j ∂ f

∂x j) =

= ξi ∂ηk

∂x i

∂ f

∂xk−ηi ∂ξ

j

∂x i

∂ f

∂x j+ξiηk ∂2

∂x i∂xk−ηi ξ j ∂2

∂x j∂x i

puesto que los índices j , k son mudos podemos tomarlos idénticos, por lo que

al anterior expresión vale

=(

ξi ∂ηj

∂x i−ηi ∂ξ

j

∂x i

)

∂ f

∂x j+ (ξiη j −ηi ξ j )

∂2 f

∂x j∂x i

El segundo término de la anterior expresión se anula indénticamente por lo que

[∂ξ,∂η] f =(

ξi ∂ηj

∂x i−ηi ∂ξ

j

∂x i

)

∂ f

∂x j= ∂[ξ,η] f = ∂Lξη f (B.33)

como queriamos demostrar. Vemos que el conmutador de dos derivadas de Lie,

es una derivada de Lie del mismo orden que tienen los elementos que compo-

nen el conmutador.

Ejemplo B.13 Vamos a suponer ahora que el tensor es de la forma (0,1), esto es

el tensor es una 1-forma. De acuerdo con la definición

(LξT )i =∂Ti

∂xkξk +Tl

∂ξl

∂x i


por lo que la expresión de la nueva 1-forma resulta ser

LξT =∂Ti

∂xkξk dx i +Tl

∂ξl

∂x idx i

Si consideramos las componentes Ti y ξl como funciones se tiene que

∂Ti

∂xkξk = LξTi

y∂ξl

∂x idx i = dξl

por lo que

LξT = LξTi dx i +Tl dξl (B.34)

En el caso en que el tensor sea la diferencial de una función, esto es Ti =∂ f /∂xi , tenemos

(Lξd f )i =∂2 f

∂xk∂x iξk +

∂ f

∂x l

∂ξl

∂x i

puesto que la derivada de Lie de una función es una nueva función, podemos

evaluar la diferencial de esta nueva función

d(Lξ f ) j =∂

∂x j(Lξ f ) =

∂

∂x j

(

ξk ∂ f

∂xk

)

=∂ξk

∂x j

∂ f

∂xk+ξk ∂2 f

∂x j∂xk

de donde vemos que

Lξ(d f ) = d(Lξ f ) (B.35)

las diferenciales y la derivada de Lie conmutan. Esto es válido para cualquier

orden de la forma diferencial.

Ejemplo B.14 Calcular la derivada de Lie del tensor métrico.

Dado que el tensor métrico es un tensor del tipo (0,2), de la expresión general

Lξgi j = ξs∂gi j

∂xs+ gk j

∂ξk

∂x i+ gi k

∂ξk

∂x j= ui j

El tensor ui j recibe el nombre de tensor de deformaciones, describe como la


métrica cambia bajo la pequeña deformación Ft definida por el campo ξ. En el

caso en que el espacio sea Euclideo, gi j = δi j , por lo que

ui j =∂ξ j

∂x i+∂ξi

x j

teniendo en cuenta que ξ lo podemos tomar como el vector velocidad, el ante-

rior tensor no es otra cosa que tensor velocidad de deformación que aparece en

Mecánica de Fluidos.

Ejemplo B.15 Calcular la derivada de Lie del elemento de volumen.

Como hemos visto antes,

dV =√

|g |dx1 ∧dx2 ∧dx3 =√

|g |ǫi j k dx i dx j dxk

por lo que la derivada de Lie, vale

Lξ(√

|g |ǫi j k ) = ξk ∂√

|g |∂xk

ǫi j k +√

|g |(

ǫp j k∂ξp

∂x i+ǫi qk

∂ξq

∂x j+ǫi j r

∂ξr

∂xk

)

Es posible demostrar que

(

ǫp j k∂ξp

∂x i+ǫi qk

∂ξq

∂x j+ǫi j r

∂ξr

∂xk

)

= ǫi j k∂ξs

∂xs

siendo ∂ξs /∂xs la traza de la matriz ∂ξi /∂x j . Subsituyendo tenemos

Lξ(√

|g |ǫi j k ) = ξs ∂√

|g |∂xs

ǫi j k +√

|g |ǫi j k∂ξs

∂xs


Lξ(√

|g |ǫi j k ) = ǫi j k∂

∂xs

(

ξs√

|g |)

Teniendo en cuenta que la expresión de la divergencia de un campo vectorial

vista anteriormente

divv =1

√

|g |∂

∂x i

(

√

|g |v i)


tenemos

Lξ(√

|g |ǫi j k )=√

|g |ǫi j k divξ (B.36)

De donde podemos decir que

1

δVLξ(δV ) =divξ (B.37)

esto es la derivada relativa de Lie del elemento de volumen coincide con la di-

vergencia del campo.

Ejercicio B.2 Demostrar que

(

ǫp j k∂ξp

∂x i+ǫi qk

∂ξq

∂x j+ǫi j r

∂ξr

∂xk

)

= ǫi j k∂ξs

∂xs

En la expresión anterior quedan como indices libres (i , j , k), supongamos que

λǫi j k =(

ǫp j k∂ξp

∂x i+ǫi qk

∂ξq

∂x j+ǫi j r

∂ξr

∂xk

)

multiplicando por ǫi j k y teniendo en cuenta que

ǫi j kǫi j k = 3!, ǫi j kǫp j k = 2δip

tenemos

3!λ= 2δip

∂ξp

∂x i+2δ j

q

∂ξq

∂x j+2δk

r

∂ξr

∂xk= 2

∂ξp

∂xp+2

∂ξq

∂xq+2

∂ξr

∂xr= 6

∂ξs

∂xs

y por tanto

λ=∂ξs

∂xs



B.25. Expresión del campo vectorial en el fibrado tangen-

te

Según hemos visto en la sección anterior, la derivada de Lie de una función

asociada a un campo vectorial ξ viene dada por la expresión

Lξ f =d f

dτ

∣

∣

∣

∣

τ=0=

∂ f

∂x i

dx i (τ)

dτ

∣

∣

∣

∣

τ=0=

∂ f

∂x iξi

siendo x i (τ) la ecuación de la curva integral del campo ξ. Vamos a extender estos

conceptos al caso en el que la función f esté definida sobre el fibrado tangente,

esto es f es una función de x y x. De la definición

Lξ f (x, x) =d f (x, x)

dτ

∣

∣

∣

∣

τ=0=

∂ f

∂x i

dx i

dτ

∣

∣

∣

∣

τ=0+

∂ f

∂x i

dx i

dτ

∣

∣

∣

∣

τ=0

Puesto que ξi = dx i /dτ|τ=0,

Lξ f (x, x) =∂ f

∂x iξi +

∂ f

∂x i

dx i

dτ

∣

∣

∣

∣

τ=0.

Para poder continuar tenemos que analizar cuanto vale,

dx i

dτ

∣

∣

∣

∣

τ=0

Vimos antes que las curvas integrales nos generan una transformación de coor-

denadas de tal forma que

x i (τ) = x j (0)∂x i (τ)

∂x j (0)

derivando respecto de τ y teniendo en cuenta que podemos permutar las deri-

vadas parciales respecto de x j y la derivada respecto de τ, llegamos a

dx i

dτ

∣

∣

∣

∣

τ=0= x j (0)

∂

∂x j

dx i (τ)

dτ

∣

∣

∣

∣

τ=0= x j ∂ξ

i

∂x j= ξi ,

B.26 Expresión en coordenadas naturales de la derivada de Lie 403

sustituyendo,

Lξ f (x, x) =∂ f

∂x iξi +

∂ f

∂x ix j ∂ξ

i

∂x j=

[

ξi ∂

∂x i+ ξi ∂

∂x i

]

f

Comparando esta expresión con la correspondiente expresión de la derivada de

Lie en la variedad,

Lξ( f ) = ξ j∂ f

∂x j

podemos deducir que el correspondiente campo vectorial ξ en el fibrado tan-

gente tiene por componentes (ξi , ξi ) y los vectores bases serán (∂/∂x i ,∂/∂x i ).

Asi mismo de la definición de la diferencial de una función en la variedad

d f (ξ) = ξi ∂ f

∂x i= Lξ( f )

tenemos para el caso del fibrado tangente que

d f =∂ f

∂x idx i +

∂ f

∂x idx i

de tal forma que

dx i (∂

∂x j) =δi

j dx i (∂

∂x j) = 0

dx i (∂

∂x j) = 0 dx i (

∂

∂x j) = δi

j

para que

d f (ξ) = ξi ∂ f

∂x i+ ξi ∂ f

∂x i= ξ( f )

donde con ξ( f ) queremos indicar la la derivada direccional de f a lo largo de ξ

en el fibrado tangente.

B.26. Expresión en coordenadas naturales de la derivada

de Lie

Dado un campo vectorial ξ, la teoría de las ecuaciones diferenciales nos ga-

rantiza que bajo condiciones muy generales del campo vectorial, existe soluc-


ción del sistema de ecuaciones diferenciales

dx i

dτ= ξi

Esto nos garantiza que es posible encontrar un sistema de coordenadas, llamado

sistema de coordenadas naturales, en el que el campo ξ tiene por coordenadas

(1,0, . . . ,0) y por tanto las curvas integrales verifican las siguientes ecuaciones

diferencialesd y1

dτ= 1,

d y i

dτ= 0, i = 2, . . . , n

que integrando

y1 = y10 +τ, y i = y i

0 , i = 2, . . . , n

esto es la curva integral es una recta en este sistema de coordenadas. La derivada

de Lie a lo largo del campo ξ en el fibrado tangente vale

Lξ( f ) = ξi ∂ f

∂y i+ ξi ∂ f

∂y i

dada la expresión de ξ en el sistema de coordenadas y i , tenemos

Lξ( f ) =∂ f

∂y1= (d f )1

y por tanto si f es una constante del movimiento a lo largo del campo ξ

Lξ( f ) =∂ f

∂y1= (d f )1 = 0

lo que significa que f no debe de depender de la coordenada y1, o lo que es lo

mismo f debe de ser invariante por translación a lo largo de y1.

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