Mec2 05 Intro Analitica.pdf

Mecanica II

Tema 5

Introduccion a la dinamica analıtica

Manuel Ruiz Delgado

9 de marzo de 2011

Sistemas materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Ligaduras: Clasificacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Ligaduras finitas: f(r1, r2, . . . , rN , t) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Ligaduras independientes: Jacobiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Ligaduras unilaterales/bilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Ligaduras finitas → cinematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Ligaduras cinematicas no integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Ligadura cinematica integrable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Ligadura cinematica no integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Coordenadas generalizadas: sist. holonomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Coordenadas generalizadas: No holonomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Espacio de configuracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Desplazamientos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Desplazamientos posibles (sist. holonomo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Desplazamientos virtuales/posibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26DVCL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28DVCL para un solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Fuerzas de ligadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Ligaduras ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Comentarios sobre ligaduras ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1

Sistemas materiales

Sistema formado por N partıculas materiales sujetas a ligaduras

• 3N coordenadas: (x1, y1, z1, . . . , xN , yN , zN )

• g ligaduras independientes

• n = 3N − g grados de libertad (GDL)3N

+g

3N

g

3N

−g

3N

Mecanica Newtoniana: introducir incognitas/ecuaciones de ligadura

• 3N + g ecuaciones

• 3N + g incognitas

Mecanica Analıtica: 1 ecuacion para cada grado de libertad

• 3N − g ecuaciones

• 3N − g incognitas

Superficie: proyectar sobre el plano tangente

Curva: proyectar sobre la tangente

Manuel Ruiz - Mecanica II 2 / 40

Ligaduras: Clasificacion

Ligadura Descripcion Sistema

Finita/geometrica f(ri, t) = 0

HolonomoCinematica∑

Ai · vi +D = 0

• integrable = ddtf(ri, t)

• no integrable 6= ddtf(ri, t) No Holonomo

Estacionariaf(ri) = 0

Ai(ri) · vi = 0Escleronomo

No estacionariaf(ri, t) = 0

Ai(ri, t) · vi +D(ri, t) = 0Reonomo

Bilateral f(ri, t)=0 Actua siempre

Unilateral f(ri, t)≥0 Libre/ligado


2

Ligaduras finitas: f(r1, r2, . . . , rN , t) = 0

Partıcula sobre superficie esferica: N = 1; coordenadas: 3N ; ligaduras: g = 1; GDL:n = 3N − g = 2

Esfera fija: f(r) ≡ x2 + y2 + z2 −R2 = 0

Globo esferico: f(r, t) ≡ x2 + y2 + z2 −R(t)2 = 0

Dos partıculas unidas por una barra: N = 2; coordenadas: 3N ; ligaduras: g = 1; GDL:n = 3N − g = 5

f(r1, r2) ≡ (y1 − y2)2 + (z1 − z2)

2 + (x1 − x2)2 − L2 = 0

Si la barra es telescopica:

f(r1, r2, t) ≡ (y1 − y2)2 + (z1 − z2)

2 + (x1 − x2)2 − L(t)2 = 0

N partıculas ensartadas en un hilo de longitud L (GDL=3N − 1)

f(r1 . . . rN ) ≡

N−1∑

i=1

(ri − ri+1)2 − L2 = 0


Ligaduras independientes: Jacobiano

g ligaduras independientes: Jacobiano [∂fi/∂xj ] rango =g

g ligaduras redundantes: Jacobiano [∂fi/∂xj ] rango <g

Ej.: Partıcula sujeta a tres ligaduras:

Esfera de centro el origen: f1 ≡ x2 + y2 + z2 −R2 = 0

Plano horizontal: f2 ≡ z = 0

Cilindro vertical: f3 ≡ x2 + y2 −R2 = 0

La tercera ligadura es redundante:

f =

x2 + y2 + z2 −R2

zx2 + y2 −R2

JJJ =

2x 2y 2z0 0 12x 2y 0

Rango (JJJ) = 2


3


Ej.: Dos partıculas (N = 2) en el plano (2N en vez de 3N) sujetas a:

f1 ≡ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 − 4R2 = 0

f2 ≡ y2 = 0

f3 ≡ x21 + (y1 −R)2 −R2 = 02

1

GDL: n = 2N − g = 4− 3 = 1. Calculamos el jacobiano:

JJJ =

−2 (x2 − x1) −2 (y2 − y1) 2 (x2 − x1) 2 (y2 − y1)0 0 0 1

2x1 2 (y1 −R) 0 0

Obviamente, Rango(JJJ) = 3 ⇒ independientes



Son independientes en general

Pero pueden hacerse redundantes en algunos puntos:

Si colocamos la varilla vertical, x1 = x2 = 0, y1 = 2R, el jacobiano se reduce a:

JJJ =

0 4R 0 −4R0 0 0 10 2R 0 0

Obviamente, en este caso Rango(JJJ) = 2 ⇒ redundantes.

2

1


4

Ligaduras unilaterales/bilaterales

z ≥ 0 z = 0

Ligadas (=)

|r1 − r2| = L

Libres (<)

|r1 − r2| < L

Integrar las ecuaciones con ligadura

Controlar el signo de N para comprobar cuando se separa

Integrar las ecuaciones sin ligadura con las condiciones iniciales de la separacion

Controlar cuando vuelve a cumplirse . . . percusiones . . . y ası sucesivamente


Ligaduras finitas → cinematicas

Toda limitacion de las ri limita tambien las vi

f(ri, t) = 0 ⇒d

dtf(ri, t) = 0

∂f

∂x1x1 +

∂f

∂y1y1 + · · ·+

∂f

∂yNyN +

∂f

∂zNzN +

∂f

∂t=

= ∇1f · r1 + · · ·+∇Nf · rN +∂f

∂t=

N∑

i=1

Ai · vi +B = 0

f ≡ z − h = 0 ⇒ ∇f · v +��∂f

∂t= 0 ⇒ z = 0

Ascensor: sistema reonomo z − h(t) = 0

f ≡ z − h = 0 ⇒ ∇f · v+ ft = 0 ⇒ vn = z = −ft/ |∇f |

v

∇f


5

Ligaduras finitas → cinematicas

Partıcula sobre superficie esferica: f ≡ x2 + y2 + z2 −R2 = 0.

∇f · v = 0 ⇒ 2xx+ 2yy + 2zz = 0

∇f = (2x, 2y, 2z) ‖ ur, la velocidad es tangente a la superficie.

Si la ligadura fuera no estacionaria —por ejemplo, un globo que sehincha— la velocidad no es tangente:

f(r, t) ≡ x2 + y2 + z2 −R(t)2 = 0

∇f · v + ft = 0 ⇒ vn = −ft

|∇f |= R

v

∇f


Ligaduras cinematicas no integrables

Hay ligaduras cinematicas que no son la derivada de una finita:

g (ri,vi, t) ≡

N∑

i=1

Ai(ri, t) · vi +B(ri, t) = 0

∄ f(ri, t) / g (ri,vi, t) =d

dtf(ri, t)

Todas finitas o cinematicas integrables → Sistema holonomo

Al menos 1 cinematica no integrable → Sistema no holonomo

Las ligaduras finitas se puede usar para despejar coordenadas y dejar solo las independientes(3N − g = n)

Las cinematicas no sirven, pues aparecen las velocidades

Si son integrables, se integran → reducir coordenadas

En los sistemas no holonomos no es posible reducir el numero de ecuaciones al mınimo


6

Ligaduras cinematicas no integrables

No integrable: Patın / Esquı / Rueda /Patın de hielo. Solo puede moverse en la direccion de lacuchilla. No impone condiciones a las coordenadas: puede ponerse en cualquier punto y orientarse encualquier direccion.

A · v = (− sin θ, cos θ) · (x, y) =

= − sin θ x+ cos θ y = 0

• No integrable: 1 ec., 3 v.d.(x, y, θ), 1 v.i. (t). Aunque se tomarala θ como v. i., dividiendo por θ, seguirıa sin poderse integrar. θ

A(x, y)

• Solido libre en el plano: 3 GDL, x, y, θ. Con ligadura cinematica: n = 3− 1 = 2 GDL.

• Analogo al de un automovil o una bicicleta: 2 GDL direccion (manillar/volante) y el avance(pedales/motor).


Ligadura cinematica integrable

Integrable: Rodadura sin deslizamiento en el plano:

vI = vC + ω ∧ CI =(

x−Rθ)

i+ y j = 0

• Ligadura integrable segun y:

g1 ≡ A1 · vI21 +B1 =

= j · vI21 + 0 = y = 0 ⇒ y = R

• Ligadura integrable segun x:

g2 ≡ A2 ·vI21+B2 = i ·vI

21+0 = x−Rθ = 0 ⇒ x = Rθ+��Cte.

θ

xO I

C Rθ

• De las tres coordenadas, solo queda una independiente: x o θ, pues solo hay un grado de libertad:n = 3− 2.


7

Ligadura cinematica no integrable

No integrable: Disco que rueda sin deslizar sobreun plano ⊥.(⊥→ θ = π

2Lig. finita)

vI21 = vC

21 + ω21 ∧CI = 0 =

=

xyz

1

+

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

0 ϕ ψ0 0 −R

∣∣∣∣∣∣

= ψ

ϕ

I

C

x1

y1

z1

x0

y0

z0

=

x−Rϕ cosψy −Rϕ sinψ

z

1

=

x cosψ + y sinψ −Rϕ−x sinψ + y cosψ

z

0

=

000

g1 ≡ i0 · vI21

g2 ≡ j0 · vI21

g3 ≡ k0 · vI21

g1 ≡ i1 · vI21

g2 ≡ j1 · vI21

g3 ≡ k1 · vI21

g1g2g3

= QQQ10 ·

g1g2g3



• La ligadura de z es integrable: el disco no se le-vanta del suelo:

g3 ≡ k0 · vI21 = g3 ≡ k1 · v

I21 =

= z = 0 ⇒ z = R

• Las de x e y no son integrables:ψ

ϕ

I

C

x1

y1

z1

x0

y0

z0

g1 ≡ i0 · vI21 = x cosψ + y sinψ −Rϕ = 0;

g2 ≡ j0 · vI21 = −x sinψ + y cosψ = 0

• Proyectadas en ejes 1 2 Ecs, 4 Var. Dep, 1 Var. Indep.

g1 ≡ i1 · vI21 = x−Rϕ cosψ = 0;

g2 ≡ j1 · vI21 = y −Rϕ sinψ = 0


8


s

ϕ

ψ

(x, y)

x1

y1

√

g21+ g2

2≡ s = Rϕ → s = Rϕ+ C : Rueda sin deslizar

g2/g1 ≡ dydx

= tanψ : direccion de la rueda: ¡libre!

No puede integrarse: ψ no esta determinado por la ligadura(si no, el recorrido del coche estarıa fijado antes de arrancar)

Esta determinado si se da una ley ψ(s) → fijar la trayectoria


Coordenadas generalizadas

N partıculas, g ligaduras → solo n = 3N − g coordenadas independientes

Sistema holonomo: las ligaduras se usan para eliminar las dependientes

Sistema no holonomo: no se pueden usar las ligaduras no integrables para eliminar lasdependientes

Partıcula sobre esfera lisa: f(r) ≡ x2 + y2 + z2 −R2 = 0

Sistema holonomo, GDL = n = 3 · 1− 1 = 2.

Eliminar una: z = ±√

R2 − x2 − y2; (x, y) independientes

Compleja e incomoda: raız, no uniforme.

Mejor coordenadas esfericas:

ligadura︷︸︸︷

ρ =√

x2 + y2 + z2 = R

independientes︷︸︸︷

tan θ =y

xsinϕ =

z

R


9

Coordenadas generalizadas: sist. holonomos

N partıculas, g ligaduras finitas: n = 3N − g independientes.

Sin perdida de generalidad, se puede suponer que las independientes son las n primeras,

n︷︸︸︷

x1, y1, z1, x2, . . . , xk,

g︷︸︸︷

yk, zk, . . . , xN , yN , zN︸︷︷︸

3N

La configuracion del sistema se puede expresar como:

ri = ri (x1, y1, z1 . . . xk, t) , i = 1 . . . N

yk, zk, . . . xN , yN , zN salen de las ecuaciones de las ligaduras.

Olvidamos las ligaduras: ya estan contadas al sustituir yk(x1 . . . xk, t). . .



Se puede trabajar con las coordenadas cartesianas independientes (para solidos, tambien angulosde Euler)

ri = ri (x1, y1, z1 . . . xk, t) , i = 1 . . . N

Con frecuencia es mas comodo usar otros n parametros independientes, las coordenadasgeneralizadas:

ri = ri (q1, . . . , qn, t) , i = 1 . . . N

Tienen que estar relacionadas como cambio de variable:

∣∣∣∣

∂ (x1, y1, . . . , xk)

∂ (q1, q2, . . . , qn)

∣∣∣∣6= 0

(puede haber puntos singulares, como los polos en las esfericas)

El movimiento del sistema estara perfectamente determinado cuando se conozcanq1(t), . . . , qn(t).


10


Ejemplo: Dos partıculas 1 y 2. Coordenadas: x1, y1, z1, x2, y2, z2.

3 Ligaduras:

y1 = 0

y2 = 0

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)

2 + (z1 − z2)2 = L2

Escoger 3 coordenadas independientes: x

z

1

2

x2

y2

z1x1

Dos determinadas directamente por las ligaduras y1 = 0, y2 = 0.

De las otras cuatro, se puede despejar una, por ejemplo:

z2 = z1 ±√

L2 − (x2 − x1)2

Raız molesta. No uniforme: hay que distinguir que signo tomar

x1, z1 arbitrarias; x2 limitada por la ligadura



Es mas conveniente tomar un conjunto de coordenadas generalizadas:

q1 = x1

q2 = y1

q3 = θ

Las coordenadas de 1 y 2 pasan a ser: x

z

1

2

θ

z1x1

r1 = (x1, 0, z1), r2 = (x1 + L cos θ, 0, z1 + L sin θ)

Las tres pueden tomar valores arbitrarios, y las ri estan unıvocamente definidas. Se puede comprobarque el jacobiano es distinto de cero:

∣∣∣∣

∂ (x1, y1, x2)

∂ (x1, y1, θ)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

1 0 00 1 01 0 −L sin θ

∣∣∣∣∣∣

= −L sin θ


11

Coordenadas generalizadas: No holonomos

Sistema con N partıculas

Sujeto a g ligaduras finitas o cinematicas integrables (integradas)

fj(ri, t) = 0, j = 1 . . . g

Sujeto a h ligaduras cinematicas no integrables

N∑

i=1

Aik · vi +B = 0, k = 1 . . . h

n grados de libertad GDL = 3N − g − h = n

Pero no se pueden obtener n coordenadas generalizadas: las h ligaduras cinematicas no sirvenpara reducir coordenadas

Hay que usar m = 3N − g > GDL coordenadas generalizadas no independientes


Espacio de configuracion

Espacio euclıdeo R3: N partıculas libres ri ∈ R3, i = 1 . . . N

Espacio de configuracion R3N : Punto representativo del sistema:

R = (x1, y1, z1 . . . , xN , yN , zN ) ∈ R3N

Variedad de configuracion: Sistema sujeto a g ligaduras finitas

fj(ri, t) = 0, j = 1, . . . , g

Ecuaciones implıcitas de una variedad (dim n) inmersa en R3N

Espacio de configuracion (otra acepcion) Rn: n = 3N − g coordenadas generalizadas. Puntorepresentativo del sistema:

R = (q1, . . . , qn) ∈ Rn

Ecuaciones parametricas de la variedad de configuracion


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Desplazamientos virtuales

Desplazamiento virtual: cualquier variacion arbitraria de las coordenadas de un punto (o detodos los del sistema).

δri = (δxi, δyi, δzi) , i = 1, . . . , N

Velocidad virtual: si el desplazamiento virtual δri se realiza en un tiempo δt, definimos

vi =δriδt, i = 1, . . . , N

Los DV son arbitrarios: en general no cumpliran las ligaduras

• Esfera: δx, δy, δz no cumplen δf ≡ 2xδx + 2yδy + 2zδz = 0

• Varilla: δx1, δy1, δz1, δx2, δy2, δz2 no cumpliran la condicion

δf ≡ 2 (x1 − x2) δx1 + 2 (y1 − y2) δy1 + 2 (z1 − z2) δz1−

− 2 (x1 − x2) δx2 − 2 (y1 − y2) δy2 − 2 (z1 − z2) δz2 = 0


Desplazamientos posibles (sist. holonomo)

Si hay ligaduras finitas, un δri arbitrario no las respetara. Introduciendo coordenadasgeneralizadas, sı se cumplen

x1, y1z1 . . . , xN , yN , zN , xi no arbitrarias

ri = ri (q1, . . . , qn, t) qj arbitrarias

desplazamientos posibles: arbitrarios, cumplen las ligaduras

dri =

n∑

j=1

∂ri∂qj

dqj +∂ri∂tdt, donde: dqj = qjdt arbitrarias

velocidades posibles: si el desplazamiento se da en δt

ri =n∑

j=1

∂ri∂qj

qj +∂ri∂t

Los reales ∈ posibles, dependiendo de las fuerzas y C.I.

No holonomo: condiciones adicionales a los qj y dqj


13

Desplazamientos virtuales/posibles

Ejemplo: Partıcula sobre esfera lisa: f ≡ x2 + y2 + z2 −R2 = 0

Cualquier desplazamiento tiene que cumplir la ligadura:

δf ≡ 2xδx + 2yδy + 2zδz = 0

Desplazamientos virtuales (≡ arbitrarios):

(δx, δy, δz) No cumplen la ligadura

Para que la ligadura se cumpla automaticamente, introducimos coordenadas generalizadas(esfericas):

r = R (cosϕ cos θ, cosϕ sin θ, sinϕ)

Ahora, cualquier valor de dθ, dϕ cumple la ligadura.

Desplazamientos posibles:

dr =∂r

∂θdθ +

∂r

∂ϕdϕ =

= Ruθ dθ +Ruϕ dϕ = R

− cosϕ sin θcosϕ cos θ

0

dθ +R

− sinϕ cos θ− sinϕ sin θ

cosϕ

dϕ


Desplazamientos posibles

Ejemplo: dos partıculas unidas por una barra telescopica

r1 = (x1, 0, z1)

r2 = (x1 + L(t) cos θ, 0, z1 + L(t) sin θ)

dr1 =

100

dx1 +

001

dz1

dr2 =

100

dx1 +

001

dz1 +

−L sin θ0

L cos θ

dθ +

L cos θ0

L sin θ

dt

dx1

dz1

Ldθ Ldt


14

DVCL

Desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras (DVCL): los desplazamientosposibles con las ligaduras congeladas o bloqueadas:

δrV CLi =

n∑

j=1

∂ri∂qj

δqj +��∂ri

∂tδt

ligadura congelada:∂ri∂t

= 0, t = Cte. (cinematicas: B=ft=0)

v dt

drpos

δrV CL

drpos = (dx, dy, v dt)

δrV CL

r = (x, y, vt)

δrV CL = (δx, δy, 0)


DVCL para un solido

Un solido se puede considerar como un sistema de N puntos sujetos a 3N − 6 ligaduras finitas, demodo que le quedan 6 GDL: 3 coordenadas de un punto O y 3 parametros de actitud, por ejemplo losangulos de Euler:

ri = rO +QQQ(ψ, θ, ϕ) ·OMi

Al introducir estas coordenadas, cualquier δri es DVCL. Es mas facil hacerlo a partir de lasvelocidades que diferenciar la matriz de giro:

δri =(

vO + ω ∧OMi

)

dt = δrO +ω dt ∧OMi

Comoω =

001

ψ +

cosψsinψ0

θ +

sin θ sinψ− sin θ cosψ

cos θ

ϕ = k1 ψ + uN θ + k0 ϕ

quedaδri = i δx + j δy + k δz + k1 ∧OMi δψ + uN ∧OMi δθ + k0 ∧OMi δϕ


15

Fuerzas de ligadura

Fuerzas dadas o directamente aplicadas: Fi(rj ,vj , t)

Fuerzas de inercia: dependen del movimiento de S0

Fuerzas de ligadura:

• Desconocidas a priori: incognita del problema

• La necesaria para hacer cumplir la ligadura

• Parcialmente conocida (direccion, por ejemplo)

Ej: Plano f ≡ z = h → FL = λk = λ∇f

Ej: Esfera f ≡ r2 = R2 → FL = λ r = λ∇f/2

Ej: Dos partıculas unidas por una barra o hilo:

f ≡ (r1 − r2)2 = L2

FL1 = λ (r1 − r2) = λ∇1f/2

FL2 = −λ (r1 − r2) = λ∇2f/2

M1

M2

FL1

FL2

λ es la misma para las dos partıculas (accion-reaccion)


Trabajo virtual

Trabajo virtual δW es el que realiza una fuerza en un desplazamiento virtual del punto en queesta aplicada. El trabajo virtual de todas las fuerzas que actuan sobre un sistema sera:

δW =

N∑

i=1

(FDi + FL

i

)· δri

Las fuerzas se consideran constantes en el desplazamiento virtual (por eso a veces se considerainfinitesimo)

Cuando δr se realiza en un tiempo dado δt, se puede hablar tambien de potencia virtual.

P =

N∑

i=1

(FDi +FL

i

)· ri


16

Ligaduras ideales

Ligaduras ideales o ligaduras sin rozamiento son aquellas en que el trabajo virtual de las

fuerzas de ligadura es nulo en cualquier desplazamiento virtual compatible con las ligaduras.

Condicion para los DVCL (con esta ligadura):

f1 (r1, . . . , rN , t) = 0 →

→∂f1∂x1

δx1 +∂f1∂y1

δy1 + · · · +∂f1∂zN

δzN = 0 →

→ ∇1f1 · δr1 + · · ·+∇Nf1 · δrN = 0

Trabajo virtual de las fuerzas de esta ligadura:

δWL1 = FL1

1· δr1 + · · · +FL1

N · δrN

Para relacionarlos: N vectores de R3 ⇔ 1 vector de R3N


Ligaduras ideales

δR = (δx1, δy1, δz1, . . . , δxN , δyN , δzN )

FL =(FLx1, F

Ly1, FL

z1, . . . , FL

xN, FL

yN, FL

zN

)

G =

(∂f

∂x1,∂f

∂y1,∂f

∂z1, . . . ,

∂f

∂xN,∂f

∂yN,∂f

∂zN

)

G

δR

FL

δR

Ec. Ligadura: δR ·G = 0 ⇒ δR ⊥ G

Trabajo nulo: δW = FL · δR = 0 ⇒ δR ⊥ FL

δR ⊥ FL ∀ δR / δR ⊥ G ⇒ FL = λG (Dim. finita)


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Ligaduras ideales

Demostracion por reduccion al absurdo:

• Tomese G como base del subespacio unidimensional G de R3N .

• Sea G⊥ el suplementario ortogonal de G: G⊕G⊥ = R3N .

• Cualquier desplazamiento virtual compatible con la ligadura sera normal a G, por lo que δR ∈ G⊥.

• Supongamos que la ligadura es ideal, pero FL 6= λG; entonces se podra descomponer en dosvectores ortogonales FL = λG+ F⊥, de modo que F⊥ ∈ G⊥.

• Basta con tomar δR = ǫF⊥, que es un desplazamiento virtual compatible con la ligadura por serortogonal a G. El trabajo virtual de la fuerza de ligadura serıa δW = δR · FL = ǫF⊥ · F⊥ 6= 0 encontra de la hipotesis.

• Por tanto, F⊥ = 0 y FL = λG, Q.E.D.


Ligaduras idealesFuerza sobre la partıcula i debida a una ligadura finita:

FLi = λ

(∂f

∂xi,∂f

∂yi,∂f

∂zi

)

= λ∇if

Fuerza sobre la partıcula i debida a g ligaduras finitas:

FLi =

g∑

j=1

λj∇ifj

h Ligaduras cinematicas: f(ri, t) ⇔∑n

i=1∇if · vi + ft = 0

N∑

i=1

Aki · vi +Bk = 0 ⇒

N∑

i=1

Aki · δri = 0; k = 1, . . . , h

Usando el mismo razonamiento que con las finitas:

FLi =

g∑

j=1

λj∇ifj +

h∑

k=1

µk Aik


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Ligaduras ideales

Ejemplo: Patın. Hemos visto que el patın (o la rueda delantera de un triciclo) esta sometido a unaligadura cinematica no integrable: el centro se tiene que mover en la direccion del patın.La ecuacion de la ligadura es:

A · v = (− sin θ, cos θ) · (x, y) = − sin θ x+ cos θ y = 0

La fuerza de ligadura tendra la forma

FL = µA = µ (− sin θ, cos θ)

θ

A

FLv

µ es una incognita que dependera de las fuerzas que actuen sobre el patın y de su aceleracion.


Ligaduras ideales

Rodadura sin deslizamiento. Tres ligaduras cinematicas vI21 = 0 . Habra tres componentes de

fuerzas de ligadura:

g1 ≡ i0 · vI21 = 0 → FL

1 = µ1 i0g2 ≡ j0 · v

I21 = 0 → FL

2 = µ2 j0g3 ≡ k0 · v

I21 = 0 → FL

3 = µ3 k0

que podemos tambien proyectar en ejes S1:

g1 ≡ i1 · vI21 = 0 → FL

1 = µ1 i1g2 ≡ j1 · v

I21 = 0 → FL

2 = µ2 j1g3 ≡ k1 · v

I21 = 0 → FL

3 = µ3 k1

ψ

ϕ

I

C

x1

y1

z1

x0

y0

z0

FL1

FL2

FL3


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Ligaduras ideales

Se trata de la misma fuerza proyectada en ejes distintos:

FL = µ1 i0 + µ2 j0 + µ3 k0 = µ1 i1 + µ2 j1 + µ3 k1

Por lo que los dos conjuntos de fuerzas de ligadura estanrelacionados por las ecuaciones del cambio de ejes:

µ1 = µ1 cosψ − µ2 sinψ

µ2 = µ1 sinψ + µ2 cosψ

µ3 = µ3

igual que lo estaban las ecuaciones de las ligaduras:

g1g2g3

= QQQ10 ·

g1g2g3

ψx1

y1

µ1

µ2

µ1

µ2 FLxy


Ligaduras ideales

Ligaduras cinematicas no estacionarias:∑

Ai · vi + B = 0.Disco vertical sobre placa S3 que se mueve con velocidad v j1: vI

23 = 0 o vI21 = v j1.

g1 ≡ i1 · vI21 = 0 → FL

1 = µ1 i1g2 ≡ j1 · v

I21 = v → FL

2 = µ2 j1g3 ≡ k1 · v

I21 = 0 → FL

3 = µ3 k1

Usando las coordenadas generalizadas de C,

g1 ≡ ξ −Rϕ cosψ = 0

g2 ≡ η −Rϕ sinψ −v = 0

g3 ≡ ζ = 0

ψ

ϕ

I

C

x1

y1

z1

x0

y0

z0

v

En ejes S0, tenemos dos ligaduras cinematicas no estacionarias.


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Comentarios sobre ligaduras ideales

Ligaduras ideales ≡ ligaduras sin rozamiento. Aunque hay ligaduras ideales con rozamiento:el rozamiento no trabaja.

La rodadura sin deslizamiento no es ideal cuando δ y ǫ del modelo de Coulomb-Morin son 6= 0.

¿Por que congelar las ligaduras en los DVCL? Se buscan direcciones en que las ligaduras notrabajen. Pero las no estacionarias trabajan al moverse: desplazamiento ∂f/∂t. Por eso se haceque no se muevan. Ası no aparecen las FL

i .

En las estacionarias (S. escleronomos), δrpos ≡ δrV CL

Si las ligaduras no son ideales sus fuerzas trabajan el los DVCL, y no se pueden eliminar por eseprocedimiento. No se puede emplear la Mecanica Analıtica en esos sistemas.

En algunos casos, hay rodeos que permiten aplicar la Mecanica Analıtica, pero en general nocompensa.


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Documents

Mec2 05 Intro Analitica.pdf