UniverzitetuNisuElektronskifakultetSTATISTIKEPRVOGIDRUGOGREDASIGNALAUKANALIMASAFEDINGOMDiplomski radKandidatMarkoD.Petkovicbr. indeksa: 10927MentorDrMihajloC.StefanovicredovniprofesorNis,Februar2008Zivot savremenog coveka ne moze se zamisliti bezkoriscenjabezicnihkomunikacija, poprincipuAAA(Anytime,Anywhere,Anyhow). Zavisnost covekaodmobilnihkomunikacijaogledaseusvimsferamazivotakakopopi-tanju prenosa informacija i upravljanja tako i u sferi zabave.Veliki jebroj korisnikamrezamobilnetelefonije, satelitsketelevizije, bezicnog interneta, itd. Broj usluga koje ove mrezenude je takodje veliki, npr. multimedijalni servisi na mobil-nimtelefonima,elektronskobankarstvo,internettelefonija,itd.Prilikomprojektovanjabilokojebezicnemreze, jedanod osnovnih problema koji se javlja je problem fedinga. Sig-nal se prostire po vise putanja kroz bezicni kanal sto uzrokujebrzepromeneamplitudei fazesignalanaprijemu. Ovajproblemzahtevadetaljnuanalizu,anarocitosuodznacajastatistikedrugogredazato stodajumnogoviseinformacijao kvalitetu kanala nego verovatnoca greske.Ovaj Diplomski rad je rezultat mog dvogodisnjeg bavlje-njaproblemimaprenosasignalauprisustvufedingastojedovelo do pisanja i objavljivanja 3 naucna rada.Saposebnimzadovoljstvomzahvaljujemsemommen-toru, Prof. Dr Mihajlu Stefanovicu, ne samo na pomoci priizradiovograda, vecinavelikojpaznjiivremenukojemije posvetio uvodeci me u ovu naucnu oblast.Zahvaljujemsei Prof. DrZoranuPericukoji mi jetakodjepruzionesebicnupomoci uveomeujednudruguoblast (teoriju informacija i izvorno kodovanje).Zahvalnostdugujemi Prof. DrVanci Litovskom, podcijimsammentorstvomnapisaoi objaviosvoj prvi naucnirad iz oblasti elektronike.Najtoplije se zahvaljujem clanovima moje porodice, kojisuugranicamasvojihmogucnosti takodjedoprineli izradiovog rada.Sadrzaj1 Uvod 32 Prenossignalaukanalimasafedingom 62.1 Model rasejanja radio talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Velicine koje opisuju kanal sa fedingom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Rayleigh-ev model fedinga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Nakagami-q model fedinga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Statistike prvog reda za Nakagami-q i Rayleigh-ev model fedinga . . . . . . . . . . . . 132.6 Rice-ov model fedinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.7 Nakagami-m model fedinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 StatistikedrugogredaNakagami-qsignala 203.1 Denicije statistika drugog reda i osnovna svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 JPDF faze i slucajnog FM suma kod Nakagami-q fedinga . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Srednji broj osnih preseka faze kod Nakagami-q fedinga . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Uslovne gustine raspodele anvelope i izvoda faze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 JPDF anvelope i izvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.6 Srednji broj osnih preseka i vreme trajanja fedinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 StatistikeprvogidrugogredazbirakosinusnogtalasaiNakagami-qsignala 344.1 Opis modela i statistike prvog reda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 JPDF faze i FM suma za konstantne vrednosti amplitude kosinusnog signala i izvoda . 384.3 Srednji broj osnih preseka faze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Uslovne gustine raspodele anvelope i izvoda faze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5 Srednji broj osnih preseka faze kada je amplitudaA(t) Rayleigh-ev proces . . . . . . . 464.6 UslovnegustineraspodeleanvelopeiizvodafazekadajeamplitudaA(t)Rayleigh-evproces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.7 Srednji broj osnih preseka anvelope. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.8 Generalisani srednji broj osnih preseka anvelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 Zakljucak 58AVrednostikoriscenihintegrala 621SpisakkoriscenihskracenicaLOS - Line Of Sight - Linija opticke vidiljivostiPDF - Probability Density Function - Funkcija gustine raspodele (gustina raspodele)CDF - Cumulative Distribution Function - Funkcija raspodeleJPDF - Joint ProbabilityDensityFunction- Zdruzenafunkcijagustine raspodele (zdruzenagustinaraspodele)JCDF - Joint Cumulative Distribution Function - Zdruzena funkcija raspodeleLCR - Level Crossing Rate - Srednji broj osnih presekaADF - Average Duration of Fades - Srednje vreme trajanja fedingaPLCR - Phase Level Crossing Rate - Srednji broj osnih preseka fazeGLCR - Generalized Level Crossing Rate - Generalisani srednji broj osnih preskaGPLCR - Generalized Phase Level Crossing Rate - Generalisani srednji broj osnih preska faze2Glava1UvodUspostavljanjebrzei pouzdanekomunikacijekrozbezicniradiokanalpredstavljavelikiizazovzatosto ovaj kanal nije podlozan samo sumu, interferenciji i drugim smetnjama vec se te smetnje menjajuvremenom na nepredvidive nacine usled kretanja korisnika. Mobilne komunikacije se poslednjih godinaveoma brzo razvijaju kao i modeli bezicnih kanala koji se koriste za opisivanje razlicitih efekata kaostosuprostiranjepoviseputanja(multipathpropagation)iefekatsenke(shadowing). Matematickiopis ovih fenomena koristi se za analizu komunikacionih sistema i ulozeni su veliki napori da se razvijustatisticki modeli za bezicne kanale koji zavise od propagacionog okruzenja, odnosno prenosnog medi-juma.Pri prostiranju signala kroz bezicni medijum (atmosferu) signal se prostire po vise putanja usledreeksije, difrakcijei rasejanjasignalaodobjekatakoji senalazeuokruzenjuizmedjupredajnikaiprijemnika. Doreeksijetalasadolazi kadaradiotalasnaidjenaglatkupovrsinucijesudimenzijemnogo vece od njegove talasne duzine. Iza prepreke koja ima dimenzije mnogo vece od talasne duzine,formirasesekundarnozracenjekojeomogucavadasekomunikacijaobavljacaki uslucajukadaizmedju predajnika i prijemnika ne postoji direktna linija opticke vidljivosti (LOS - LineOfSight) iutomslucajujedoslododifrakcijetalasa. Rasejavanjetalasanastajekadaseradiosignalprostirekrozsredinuukojojsenalazi veliki brojobjekata cijesudimenzijemaleuporedjenjusatalasnomduzinom. Svaka interakcija talasa sa objektima koji se nalaze u okruzenju prostiranja uzrokuje da naizlaz prijemnika stize veliki broj kopija poslatog signala sa razlicitim slabljenjem, faznim pomerajem ikasnjenjem na prijemu. Prostiranje signala po vise putanja dovodi do sirenja signala u vremenu usledrazlicitihkasnjenjakopijasignalanaprijemu. Superpozicijomovihkopijasignalanaprijemuusledkretanja predajnika i/ili prijemnika, dobija se signal cija se amplituda menja u vremenu. Zbog togana prijemu dolazi do pojacanja ili slabljenja signala i tada se kaze da je signal poduticajemfedinga.Pod fedingom se upravo podrazumevaju brze promene amplitude signala na malim rastojanjima kadase slabljenje usled prostiranja moze zanemariti.Kada se predajnik i/ili prijemnik krecu, feding dovodi do drasticnih i slucajnih uktuacija ampli-tudeprijemnogsignala. Slabljenjeod30dBdo40dBuodnosunasrednjuvrednostsignalamozesedesiti i nekoliko puta u toku jedne sekunde, zavisno od brzine mobilne jedinice i frekvencije nosioca.Usled kretanja mobilne jedinice Doppler-ov efekat izaziva pomeranje frekvencije svakog pojedinacnogtalasakoji stizenaulazprijemnika. ZbogDoppler-ovogefektadolazi dosirenjaspektraposlatogsignala pri prostiranju.Pored efektafedingakojinastajepriprostiranjusignalapoviseputanja,javlja seiefekat senke31. UVOD 4koji se odnosi na slucajne promene snage komponenti sa vise putanja. Efekat senke izazivaju preprekeizmedjupredajnikaiprijemnikakojesmanjujusnagusignalaapsorpcijom, reeksijom, rasejanjemidifrakcijom, sto moze dovesti i do potpunog nestanka signala na prijemu. Feding predstavlja pojavuvarijacijeamplitudei fazesignalapri cemujesrednjavrednost signalasvevremekonstantnanaodredjenoj prostornoj lokaciji. Kada postoji i efekat senke dolazi do promene srednje vrednosti signalatj. snage. Posto su mesto, velicina i dielektricne karakteristike objekata, koji se nalaze na putu signalakao i promene na reektujucim povrsinama i objektima koji rasipaju i prouzrokuju slucajno slabljenjesignala, uglavnom nepoznati, moraju se koristiti statisticki modeli da bi se okarakterisalo ovo slabljenje.Najcesci model za varijaciju srednje snage je lognormalna raspodela. Empirijski je potvrdjeno da ovajmodel precizno modeluje promenu primljene snage.Zbog slucajnog karaktera ovih pojava, u prisustvu sumova i smetnji, signal na ulazu u prijemnikbezicnog telekomunikacionog digitalnog sistema je slucajni proces i razvijeni su mnogi analiticki modelikoji omogucavaju da se na osnovu statistickih karakteristika procene performanse bezicnih sistema.Karakteristike mobilnih bezicnih kanala mogu se denisati u zavisnosti od promene snage u kanaluuvremenskomili frekvencijskomdomenu. Tepromenesnagemogusegrubopodeliti udvegrupe:fedingsrednjesnage(large-scalefading)ifedinganvelope(small-scalefading).Cestoseuliteraturifeding srednje snage naziva brzi a feding anvelope sporifeding. Trenutna snaga na prijemniku mozese predvideti koriscenjem tradicionalnih large-scale i small-scale modela.Large-scale modeli predvidjaju prosecnu jacinu primljenog signala koja zavisi od rastojanja izmedjupredajnikai prijemnika. Large-scalefedingnastajeusledslabljenjasignalaufunkciji rastojanjaiefektasenkeodvelikihobjekatakaostosuzgradei brda. Ovavrstafedingatakodjenastajeprikretanju mobilne jedinice duz putanje reda velicine jedne celije i uglavnom je frekvencijski nezavisan.Pritom dolazi do slabljenja srednje snage signala usled gubitaka pri prostiranju ili kretanju po velikimoblastima. Slabljenjezavisi odspecicnogpropagacionogokruzenja. Zalarge-scalemodelefedingakazemo da nastaju kao posledica efekta senke.Small-scale modeli kanalapredstavljajulokalnupromenusignalaokosrednje vrednosti snage.Small-scale feding nastaje usled konstruktivne i destruktivne sume komponenti signala po vise putanjaizmedjupredajnikai prijemnika. Desavaseuprostornomrasponuredatalasneduzinenosiocaifrekvencijski je zavisan. Dovodi do promene amplitude i faze prijemnog signala usled malih promenarastojanja izmedju predajnika i prijemnika.Opisivanje i modelovanje kanala sa fedingom je od narocitog znacaja u mobilnim komunikacijamakakozasamoprojektovanjeprimopredajnogsistematakoi zaanalizuperformansi. Tokomdugogperioda razvoja bezicnih komunikacija konstruisan je veliki broj razlicitih modela kanala sa fedingomzaopisstatistikaanvelopeifazekanalagdesesignalprostirepoviseputanja[2], [16], [7]. Primeritakvih modela su Rayleigh-jev, Rice-ov, Nakagami-q, Nakagami-m, Weibull-ov, Beckmannov, itd. Ciljovog rada je proucavanje statistickih osobina prvog i drugog reda anvelope i faze u ovim modelima, saposebnim osvrtom na Nakagami-q (Hoytov) model i Rayleigh-ev model kao njegov specijalni slucaj.U drugoj glavi ovog rada razmotricemo osnovne pojmove vezane za modeliranje kanala sa fedingom.Najprecemodenisati geometrijsko-analiticki model (Clarke-ovmodel) koji jeveomakoristanzadobijanjepraveslikeomehanizmufedingaikarakteristikamaprijemnogsignala. Pokazacemodasesignal naprijemukanalasafedingomuspesnomodelirapomocuslucajnogprocesa(tj. slucajnim1. UVOD 5procesima). Nakon toga denisacemo nekoliko modela kanala sa fedingom i izvesti izraze za statistikeprvog reda. Posebna paznja bice posvecena Nakagami-q i Rayleigh-evom modelu.U trecoj glavi razmatracemo statistike drugog reda kanala sa Nakagami-q fedingom. Najpre cemoizvesti izraze za zdruzene gustine raspodela procesa anvelope, faze i njihovih izvoda. Nakon toga pris-tupicemo izvodjenju izraza za srednji broj osnih preseka faze (PLCR) kao i uslovne gustine raspodeleanvelope i izvoda faze uslovljene vrednoscu procesa faze. Nakon toga razmotricemo statistike drugogreda anvelope, srednji broj osnih preseka (LCR) i srednje vreme trajanja fedinga (ADF).Ucetvrtoj glavi izlozicemooriginalne rezultatevezanezastatistikeprvogi drugogredazbiraNakagami-q signala i kosinusnog talasa. Pritom u opstem slucaju predpostavicemo da je amplitudakosinusnogtalasapromenljivavelicinakojasetakodjemodeliraslucajnimprocesom. Izvescemosveizraze pod predpostavkom da su amplituda kosinusnog signala i njen izvod konstantni u vremenu. Iakoova predpostavka ima prakticnog smisla samo u slucaju kada je vrednost izvoda jednaka nuli,dobi-jeni rezultati se koriste pri razmatranju slucaja kada je amplituda kosinusnog talasa promenljiva. Napocetku ove glave poucicemo statistike prvog reda slozenog signala. To su funkcije raspodele i gustineraspodeleanvelopeifaze. Nakontogapristupicemoizvodjenjustatistikadrugogreda. Odredicemozdruzene funkcije gustine raspodele anvelope, faze i izvoda. Na osnovu ovih rezultata izvescemo izrazezasrednjibrojosnihpresekaanvelopeifazekaoiuslovnegustineraspodeleanvelopeiizvodafaze.Dobijene rezultate uporedicemo sa odgovarajucim rezultatima za Nakagami-q feding (kada je ampli-tuda kosinusnog talasa jednaka nuli), iz predhodne glave. Na kraju cemo razmotriti dve generalizacijesrednjegbrojaosnihpresekaanvelope. Svedobijenerezultatepredstavicemogracki, zavrednostiparametara dobijenih tovanjem izmerenih podataka.Glava2PrenossignalaukanalimasafedingomU ovoj glavi opisacemo geometrijsko-analiticki model kanala koji je veoma korisan za dobijanje praveslikeomehanizmufedingai statistickimkarakteristikamaprimljenogsignala. Varijacijesignalaubezicnimsistemimamogusepovezatisakretanjemprijemnikakojiprolaziuokoliniprepreka. Pri-menomizlozenogmodelapokazujesedatevarijacijemogudaseopisupomocuslucajnihprocesa.Statisticke osobine ovih slucajnih procesa zavise od sredine u kojoj se prostiru elektromagnetni talasi.Unastavkuopisacemonekolikomodelakojiseupraksinajcescekoristezaopisivanjeprijemnogsignala. Rayleigh-evmodel prakticnodirektnosledi izgeometrijsko-analitickogmodelai koristi sekadanepostoji linijaoptickevidljivosti izmedjuprijemnikai predajnika. Usuprotnomkoristi seRice-ov model (koji se takodje dobija direktno iz geometrijsko-analitickog modela). Ostala dva mod-ela, Nakagami-q(Hoyt-ov)i Nakagami-mmodel, predstavljajuuopstenjeRayleigh-evogi Rice-ovogmodela. Iako nemaju egzaktnu analiticku podlogu, ova dva metoda su se pokazala korisnim u praksizbog svoje eksibilnosti i cinjenice da se Rayleigh-jev odnosno Rice-ov model dobijaju kao specijalnislucajevi Nakagami-q i Nakagami-m modela.Za svaki model detaljno su izlozene statistike prvog reda kao i oblasti moguce primene.2.1 ModelrasejanjaradiotalasaStatisticke karakteristike elektromagnetnogpoljaradiotalasakaoi odgovarajucaanvelopai fazasignalamoguseobjasniti koriscenjemviserazlicitihmodela. Modeli zasnovani narasejanjutalasaomogucavaju uspostavljanje nekoliko vaznih velicina koje opisuju primljeni signal kao sto su statistikeprvogidrugogredaanvelopeifazeilispektralnagustinasnage. Najkorisceniji inajcitiranijimodelu literaturi zasnovan na rasejanju talasa je Clarke-ov model koji ukljucuje rasejanje signala u okoliniprijemnika [3]. Prvi ovakav model je predlozio Osana [12] i on je specijalan slucaj Clarke-ovog modela.Signali koje emituje bazna stanica najcesce su vertikalno polarisani kao i antene mobilne stanice.Pomeraj predajne ili prijemne antene dovodi do nevertikalne polarizacije. Polazeci od predpostavke dasu preneseni signali vertikalno polarisani kao i da je rastojanje izmedju bazne i mbilne stanice dovoljnoveliko, po Clarke-ovom modelu prostiranje radio signala moze se modelovati u dve dimenzije.Clarke je predpostavio da je dolazeci talas sastavljen od horiznotalnih ravanskih talasa sa slucajnomfazompri cemusuoviravanskitalasivertikalnopolarisani. Prostorniugaodolaskaifazatalasasuslucajneistatistickinezavisnevelicine. Predpostavljasedafazatalasaimauniformnuraspodeluuintervalu[0, 2). TojeprihvatljivouVHFpodrucjui iznadgdejetalasnaduzinadovoljnomala62.1 Model rasejanja radio talasa 7tako da osigura da male promene u duzini putanja rezultuju znacajnim promenama u fazi. Raspodelaprostornog ugla dolazeceg talasa, po Clarke-ovom modelu (u smislu omnidirekcionog modela rasejanja)takodje je uniformna.Slika2.1. Prikaz dolazeceg ravanskog talasa (Clarke-ov model rasejanja)Na slici 2.1 prikazana jexy ravan postavljena tako da se mobilna stanica krece duz x ose brzinomv. Predpostavlja se da postoji vertikalna polarizacija u toj ravni tako da je vektor elektricnog poljaporavnat sa z osom. Ravanski n-ti talas stize na antenu mobilne stanice pod ulaznim uglom n. Ugaodolaskanodredjenjepravcemdolaskan-togtalasai pravcemkretanjamobilnejedinice. Pomer-anjeantenemobilnestaniceunosiDoppler-ovpomerajilifrekvencijskipomerajun-tomdolazecemravanskom talasu. Doppler-ov pomeraj za ovakav model dat je kao u [12]fn = fmax cos n[Hz], n = 2fngdejefmax=v/cmaksimalnaDoppler-ovafrekvencijadokjectalasnaduzinapristiglogtalasa.Maksimalna Doppler-ova frekvencija zavisi od brzine mobilne jedinice i frekvencije nosioca. Svi ravan-ski talasi koji dolaze iz jednog pravca kretanja mobilne jedinice unose pozitivni Doppler-ov pomerajdok oni koji dolaze suprotno od pravca kretanja unose negativnan Doppler-ov pomeraj.Doppler-ov evekat koji se javlja pri prostiranju signala dovodi do sirenja spektra poslatog signala.Ova pojava se naziva disperzija frekvencije. Vrednost disperzije frekvencije uglavnom zavisi od mak-simalneDoppler-ovefrekvencijei amplitudeprimljenihtalasa. UvremenskomdomenuDoppler-ovefekat dovodi do toga da je impulsni odziv kanala vremenski promenljiv. Moze se lako pokazati da jeprincip superpozicije zadovoljen kod mobilnih radio kanala i zbog toga su oni linearni sistemi.Napomenimo da je Aulin predlozio prosireni model kod koga se vertikalno polarisani talasi ne krecuobavezno horizontalno vec u tri dimenzije (slika 2.2).Medjutimzakljucci koji sedobijajuprimenomAulin-ijevogmodela, akoji suznacajni zanasuanalizu podudaraju se sa zakljuccima dobijenim primenom Clarke-ovog modela. Zato cemo u nastavkuizloziti osnove Clarke-ovog modela i na osnovu njega izvesti odgovarajuce zakljucke koji su potrebniu daljoj analizi.Komponente elektricnog i magnetnog polja na prijemu, u slucaju da je signal vertikalno polarisan2.1 Model rasejanja radio talasa 8Slika2.2. Prikaz dolazeceg ravanskog talasa (Aulin-ijev model rasejanja)mogu da se predstave na sledeci nacinEz = E0N

n=1Cn cos(ct +n),Hx = E0N

n=1Cn sinn cos(ct +n),Hy =E0N

n=1Cn cos n cos(ct +n),gde jec kruzna frekvencija nosioca signala, karakteristicna impendansa slobodnog prostora dok jeE0Cn amplituda elektricnog polja n-te komponente prijemnog signala. Faza n data sledecim izrazomn = nt +n.Ovdenpredstavlja Doppler-ovu frekvenciju (pomak usled Doppler-ovog efekta) dok jenfazan-tekomponenteprijemnogsignala. Fazanpredstavljaslucajnupromenljivuuniformnoraspodeljenuuintervalu[0, 2). Velicine Cn, ni ntakodjeposmatramokaoslucajnepromenljive. Sveovevelicine su ustvari po prirodi deterministicke. Medjutim usled same konguracije terena ove velicinesu vremenski promenjive pri cemu ta promena ne moze ekasno da se opise nekim deterministickimmodelom. Takodjeveliki broj faktorauticenapromeneovihvelicina. Pritomsuonemedjusobnonezavisne i sve su jednako raspodeljene. Napisimo sada izraz za z komponentu elektricnog polja (2.1)na drugaciji nacinEz = X1(t) cos(ct) X2(t) sin(ct)gde jeX1(t) =N

n=1E0Cn cos(nt +n),X2(t) =N

n=1E0Cn sin(nt +n).2.1 Model rasejanja radio talasa 9Primenomcentralnegranicneteoreme[23]dobijamodasuX1(t)i X2(t)Gauss-ovislucajniprocesi.Na osnovu predhodnih izraza mozemo zakljuciti neke dodatne osobine slucajnih procesa X1(t) i X2(t).Srednju vrednost ova dva procesa racunamo na sledeci nacinEX1(t) =N

n=1E0 E[Cn cos(nt +n)] =N

n=1E0 E[Cn] E[cos(nt +n)] = 0.Koristili smo cinjenicu da jen uniformno raspodeljena slucajna promenljiva (pa je zato E[cos(nt +n)] = 0) kao i da su slucajne promenljive Cn i n nezavisne. Analogno dokazujemo da je i EX2(t) = 0.Prema tome ovi procesi imaju nultu srednju vrednost.Razmotrimo sada disperziju. Da bi dodatno uopstili razmatranje, posmatracemo autokorelacionefunkcije rXiXi() ova dva procesa. Ujedno cemo dokazati da su procesi X1(t) i X2(t) slabo stacionarnitj. da je autokorelaciona funkcijarXiXifunkcija samo jedne promenljive. Zaista, imamo da vaziE[X1(t)X1(t +)] = E20N

i=1N

j=1E[CiCj cos(it +i) cos(j(t +) +j)]. (2.1)Zai = jimamo da jeE[CiCj cos(it +i) cos(jt +j)] = ECi ECj Ecos(it +i) Ecos(j(t +) +j) = 0.Predhodnarelacijavazi zbogcinjenicedasuCi, Cj, ii jnezavisneslucajnepromenljive. Prematome u izrazu (2.1) preostaju samo clanovi za koje jei = j. Imamo da vaziE[X1(t)X1(t +)] =N

i=1EC2i E[cos(it +i) cos(i(t +) +i)]. (2.2)Razvojem proizvoda kosinusnih funkcija po adicionim formulama dobijamoE[cos(it +i) cos(i(t +) +i)] =12E[cos(i(2t +) + 2i) + cos(i)] = 1/2Ecos(i).Zamenom u (2.2) dobijamorX1X1() = E[X1(t)X1(t +)] =E202N

n=1EC2n E[cos(n)].Neka su svi Doppler-ovi pomaci nkonstantni i priblizno jednaki (sto je i zicki logicno, zato stosvi talasi putuju od predajnika do prijemnika, pa samim tim imaju isti Doppler-ov pomak). Ako jospredpostavimo da je Nn=1EC2n =1NdobijamorX1X1() =E202E[cos()]. (2.3)IstiizrazsedobijaizadruguautokorelacionufunkcijurX2X2(). Naosnovuovogamozemodaza-kljucimo da su varijanse21i22procesaX1(t) iX2(t) medjusobno jednake i da vazi21 = 22 = E20/2.Napomenimo da je za ovaj zakljucak veoma vazna predpostavka da su amplitude svih talasaCnpri-blizno jednake kao i da je fazanuniformno raspodeljena. Ova dva uslova su npr. ispunjena ukolikoizmedjuprijemnikai predajnikanepostoji linijaoptickevidljivosti. Zatojeuovomslucajuveoma2.2 Velicine koje opisuju kanal sa fedingom 10pogodno koristiti Rayleigh-ev model fedinga kod koga upravo vazi da je21=22=2. O ovome cebiti vise reci u odeljku 2.3.NakrajuovogodeljkanapomenimosamodajeuopstemslucajuzaracunanjeautokorelacionefunkcijerXiXi() potrebno poznavati raspodelu snagep() na prijemnoj anteni i pojacanje prijemneanteneG() u zavisnosti od ugla dolazeceg talasa. Opsti izraz zarXiXi() jerX1X1() =E202_20cos(2fmax cos )p()G()d.U slucaju 2D izotropnog rasejanja (kao kod Clarke-ovog modela) i izotropne prijemne antene za kojuvaziG() = 1 dobijamo da jerX1X1() =E202J0(2fmax),gde jeJ0() Bessel-ova funkcija nultog reda.2.2 VelicinekojeopisujukanalsafedingomUovomodeljkudenisacemopojmovei velicinekojecemokoristiti udaljemraduavezanesuzaslucajnepromenljiveili slucajneprocese. Upredhodnomodeljkuvideli smodajezamodeliranjesignala na prijemu najpogodnije koristiti slucajne procese.NadaljecemosapX(x)oznacavati funkcijugustineraspodele(PDF-ProbabilityDensityFunc-tion) slucajne promenljiveXi/ili slucajnog procesaX(t). SapX1X2(x1, x2) oznacavacemo zdruzenufunkciju gustine raspodele (JPDF - Joint Probability Density Function) slucajnih promenljivih X1 i X2odnosno procesa X1(t) i X2(t). Funkciju raspodele (CDF - Cumulative Distribution Function) slucajnepromenljiveXodnosno procesaX(t) oznacavacemo saFX(x) dok cemo saFX1X2(x1, x2) oznacavatizdruzenu funkciju raspodele (JCDF - Joint Cumulative Distribution Function) promenljivihX1iX2odnosno procesaX1(t) iX2(t).Cesto cemo umesto odgovarajucih pojmova koristiti skracenice PDF,JPDF, CDF i JCDF.SaEXoznacavacemosrednjuvrednost(matematickoocekivanje)slucajnepromenljiveX. Istuoznaku koristicemo i za slucajni procesX(t). Recicemo da je slucajni procesX(t) Gauss-ov ukolikoX(t) ima sledecu gustinu raspodelepX(x) =12exp_(x m)222_.Velicina m predstavlja srednju vrednost Gauss-ovog slucajnog procesa (Gauss-ove slucajne promenlji-ve), odnosno vazi EX(t) = m. Drugi parametar2predstavlja disperziju ovog procesa, tj vaziE[X(t) EX(t)]2= EX2(t) (EX(t))2= 2.Imamo da je CDF Gauss-ovog slucajnog procesaX(t) jednakaFX(x) =12_1 + erf_x m2__,gde je funkcija erf(x) denisana na sledeci nacinerf(x) =2_x0exp_t2_dt.2.3 Rayleigh-ev model fedinga 11Autokorelaciona funkcija slucajnog procesaX(t) denise se kaorXX(t1, t2) = EX(t1)X(t2).Ukoliko je slucajni proces stacionaran, tada je rXX(t1, t2) funkcija samo od= t2t1, odnosno tadase autokorelaciona funkcija posmatra u sledecem oblikurXX() = EX(t)X(t +).Cesto cemo u ovom radu posmatrati kompleksne predstavnike slucajnih procesa oblika X(t) = X1(t)+jX2(t). Komponentu X1(t) nazivamo komponentom u fazi dok X2(t) nazivamo komponentom u kvadra-turi. Za ovakav slucajni proces denisemo anvelopuR(t) i fazu(t) pomocu sledecih izrazaX(t) = R(t) exp(j(t)), R(t) =_X1(t) +X2(t), (t) = arctan(X2(t)/X1(t)). (2.4)Izvod po vremenu procesa faze(t) u literaturi je poznat kao slucajni FM sum [8]. Izvod u vremenufunkcije ili slucajnog procesaX(t) oznacavacemo tackom iznad simbolaX(t).Naslici2.3prikazanajejednatrajektorijakompleksnogslucajnogprocesaX(t). Mozeseuocitiodnos slucajnih procesaX1(t), X2(t) sa jedne iR(t), (t) sa druge strane.Slika2.3. TrajektorijaslucajnogprocesaX(t)ufazorskomdijagramu. Ugao0predstavljaproizvoljni nivofaze.2.3 Rayleigh-evmodelfedingaRayleigh-ev model kanala najcesce se koristi za modeliranje fedinga i statistike signala koji se prostirekroz radio kanal u okruzenjima gde ne postoji opticka vidljivost izmedju predajnika i prijemnika. Ovajmodel je pogodan za opis komunikacionih kanala u urbanim podrucjima, kao sto su gradske oblasti savisokim zgradama. Takodje ovaj model se uspesno primenjuje u slucaju reektovanih i refraktovanihtalasa koji se prenose kroz troposferu i jonosferu kao i u radio komunikacijama izmedju brodova.Signal koji se dobija na prijemu kanala sa Rayleigh-evim fedingom, u kompleksnom domenu imasledeci oblikX(t) = X1(t) +jX2(t),gde suX1(t) i X2(t) uskopojasni Gauss-ovi procesi cija je srednja vrednost nula a varijansa jednaka2. Ova dva procesa su statisticki nezavisna.2.4 Nakagami-q model fedinga 12Kao sto cemo pokazati u odeljku 2.5, anvelopa ovog procesa R(t) =_X21(t) +X22(t) ima Rayleigh-evu raspodelupR(r) =r2 exp_r222_, (2.5)dok je faza(t) uniformno raspodeljena.Prakticno, Rayleigh-evfedingsejavljakadaseizmedjupredajnikai prijemnikanalazi veci brojobjekata na kojima se signal rasejava. U tom slucaju na prijemu imamo veci broj komponenti istogsignalarazliciteamplitudei faze. Pritomimamoveci broj dominantnihtalasacijesuamplitudepribliznojednake. Ovakavscenariosejavljauvelikimgradovimanarocitokadasuprisutnevisokezgrade. Prilikomprostiranjasignalakroztroposferuilijonosferu,sitne cesticeuovimatmosferskimslojevimaimajuulogurasejavaca. Rasejanjesignalanaovimobjektimamozevrlouspesnodasemodelira Rayleigh-evim fedingom.Ukolikopostoji optickavidljivostizmedjuprijemnikai predajnika, tadajekomponentasignalakoja se prostire ovom linijom daleko intenzivnija od komponenti koje se dobijaju rasejanjem. U tomslucaju srednje vrednosti signalaXi(t),i = 1, 2 vise nisu jednake nuli. U ovakvoj situaciji primenjujese Rice-ov model fedinga o kome ce biti vise reci u odeljku 2.6.2.4 Nakagami-qmodelfedingaNakagami-q model kanala sa fedingom je jedan od najcesce koriscenih modela [7] za opis statistika an-velope i faze za uskopojasni mobilni kanal. Originalna namena ovog modela je opis raspodele anvelopesignalasnimljenognasatelitupoduticajemjonosferske scintilacije[2]. UskorijevremeNakagami-qmodel sesvecesceprimenjujeumobilnimkomunikacijamazaanalizuperformansi primopredajnihsistema [16],[1]. Takodje primenjuje se za opis statistike anvelope mobilnog kanala [9],[22].Ovaj model predstavlja generalizaciju Rayleigh-evog modela pa je samim tim pogodan za primenuusistemimagdenepostoji optickavidljivostizmedjuprijemnikai predajnika. Zbogtogacemounastavku ovog rada zajedno proucavati osobine Nakagami-q i Rayleigh-evog modela. Drugim recima,kadgodjetomoguceizvodicemoizrazei zakljuckevezanezaRayleigh-evmodel izodgovarajucihzakljucaka i izraza dobijenih za Nakagami-q model.Napomenimo da je Nakagami-q model konstruisao Nakagami [11] kao aproksimaciju Nakagami-mmodela za vrednosti parametram izmedju 0.5 i 1. Nezavisno je ovaj model otkrio Hoyt u svom radu[7] i zato se on cesto naziva Hoyt-ovim ili Nakagami-Hoyt-ovim modelom [5].Prilikom prenosa nemodulisanog nosioca kroz kanal sa Nakagami-q fedingom, signal na prijemu ukompleksnom domenu mozemo prikazati na sledeci nacinX(t) = X1(t) +jX2(t), (2.6)gde su X1(t) i X2(t) nekorelisani uskopojasni Gauss-ovi procesi cije su varijanse redom jednake 21 i 22.Ukoliko je 1 = 2 = Nakagami-q model se svodi na Rayleigh-ev. Iako ova predpostavka o razlicitostidisperzijaprocesaX1(t)i X2(t)nemasasvimjasnuprakticnupodlogu(npr. ovovazi ukolikofazennisuuniformnoraspodeljene)ovapredpostavkapovecavaeksibilnostmodelaiomogucavaboljepoklapanje sa izmerenim vrednostima.2.5 Statistike prvog reda za Nakagami-q i Rayleigh-ev model fedinga 132.5 Statistike prvog reda za Nakagami-q i Rayleigh-ev model fedingaRazmotrimosadastatistikeprvogredakanalasaNakagami-qfedingom. Ovestatistikejeprvi putizracunao Hoyt 1947. godine u svom radu [7]. Posto su X1 i X2 nekorelisani Gauss-ovi procesi imamoda je njihova zdruzena gustina raspodele (JPDF) data sledecim izrazompX1X2(x1, x2) =1212exp_x21221x22222_. (2.7)Zdruzenu raspodelu anvelope i fazepR(r, ) mozemo odrediti primenom odgovarajucih transforma-cionih formula Descartes-ovih koordinata u polarne koordinateX1 = Rcos , X2 = Rsin . (2.8)Ove formule su zapravo inverzne formulama (2.4). Prema tome JPDF procesaR(t) i (t) dobijamokaopR(r, ) = |J| pX1X2(r cos , r sin ).Pritom jeJjakobijan uvedene transformacije (2.8) koji racunamo na sledeci nacinJ =(X1, X2)(R, )=cos Rcos sin Rcos = RZamenom dobijamo da jepR(r, ) =r212exp_r24_cos221+ sin222__. (2.9)IzpredhodnogizrazadirektnodobijamogustineraspodeleianvelopeR(t)ifaze(t). Razmotrimonajpre fazu(t). Integracijom por izraza (2.9) dobijamop() =_+0pR(r, )dr =122(21 sin2 +22 cos2). (2.10)Za slucaj Rayleigh-evog fedinga kada je1 = 2 dobijamo da jep() =12,odnosno da je faza(t) uniformno raspodeljena. U granicnom slucaju kada21 0 dobijamop() =12(( /2) +( +/2)), (2.11)dok se u slucaju22 0 dobijap() =12(() +( +)).Uticaj parametra = 22/21nap() prikazan je na slici 2.4.Sada cemo izracunati gustinu raspodele anvelopeR(t). Integracijom po izraza (2.9) dobijamopR(r) =_pR(r, )d =r12exp_r24_ 121+122__I0_r24_ 122121__. (2.12)2.5 Statistike prvog reda za Nakagami-q i Rayleigh-ev model fedinga 14Slika2.4. Grak funkcijep() za razlicite vrednosti parametra = 22/21i1 = 1Naravno predhodni izraz vazi samo zar> 0 zato sto anvelopa ne moze da bude negativna. SaI0()oznacili smomodikovanuBessel-ovufunkcijunultogreda. Napomenimodasegustinaraspodeleanvelope (2.12) cesto izrazava u sledecem obliku [17]pR(r) =(1 +q2)rqexp_(1 +q2)2r24q2_I0_(1 q4)r24q2_,gde su parametriq i denisani sledecim izrazima(1 +q2)q2=121+122,1 q4q2=122121.Parametarq moze imati vrednosti izmedju 0 i 1.Ukoliko je1 = 2 = dobijamo raspodelu anvelope za Rayleigh-ev procespR(r) =r2 exp_r222_.Da bi ispitali ponasanje funkcijepR(r) kadai 0,i = 1, 2 uvedimo sledecu oznakuX =r24_ 122121_.Tada gustinu raspodelepR(r) mozemo izraziti na sledeci nacinpR(r) =2_2(2122) exp_r2221_2X exp(X)I0(X).Ugranicnomslucajukada220imamodaX+paprematomedobijamodapR(r)tezijednostranoj Gauss-ovoj funkciji raspodelepR(r) =221exp_r2221_.2.6 Rice-ov model fedinga 15Sa druge strane, Nakagami-q model fedinga moze da se posmatra kao aproksimacija Nakagami-mmodela za 0.5 m 1. Ekvivalentne vrednosti parametaram i Nakagami-m modela su =21 +222, m =(21 +22)22(41 +42).Uticaj parametra = 22/21napR(r) prikazan je na slici 2.5.Slika2.5. Grak funkcijepR(r) za razlicite vrednosti parametra = 22/21i1 = 1.2.6 Rice-ovmodelfedingaRice-ovmodel fedingasekoristi zaopisivanjesignalauokruzenjimagdepostoji optickavidljivostizmedju predajnika i prijemnika. Komponenta signala koja se prostire duz linije opticke vidljivosti jeznacajno intenzivnija od komponenti koje se dobijaju rasejanjem. Ovaj model se koristi za opisivanjezemaljskih mobilnih kanala u slabo naseljenim mestima i predgradjima gradova (gde najcesce postojilinija opticke vidljivosti) kao i za opisivanje satelitskih kanala.Podsetimo se da je primljeni signal u Clarke-ovom modelu oblikaEz = X1(t) cos(ct) X2(t) sin(ct)gde suX1(t) iX2(t) komponente u fazi odnosno kvadraturi koje se dobijaju superpozicijom Nreek-tovanih talasa razlicite amplitudeCn, fazeni Doppler-ovog pomerajan. Videli smo da ukoliko suamplitude svih ovih komponenata priblizno jednake pogodno je primeniti Rayleigh-ev model fedinga.Sada predpostavimo da postoji linija opticke vidljivosti duz koje se prostire nulta komponenta signalakoja ima znacajno vecu amplituduC0 od ostalih komponenti. Prema tome vaziX1(t) = m1(t) +N

n=1E0Cn cos(nt +n), m1(t) = E0C0 cos(0t +0)X2(t) = m2(t) +N

n=1E0Cn sin(nt +n), m2(t) = E0C0 sin(0t +0).(2.13)2.6 Rice-ov model fedinga 16Zafazu0nemozesereci dajeuniformnoraspodeljenaslucajnapromenljiva.Stavise, vrednostiC0, 0i 0sukonstante. Procesi X1(t)i X2(t)visenemajunultusrednjuvrednostpaRayleigh-evmodel fedinga ovde ne vazi.Dalja razmatranja izvodicemo pod predpostavkom da je frekvencija nulte komponentef0 jednakanuli. To znaci da je dolazeci direktan talas normalan na pravac kretanja prijemnika (predajnika). Podovom predpostavkom dobijamo da su m1(t) i m2(t) konstante koje su respektivno jednake E0C0 cos(0)i E0C0 sin(0). U nastavku oznacavacemo ih sa m1 i m2. Iz (2.13) dobija se da su ove velicine zapravosrednje vrednosti procesa X1(t) i X2(t). Kao i u slucaju Rayleigh-evog fedinga, odnosno kao u odeljku2.1 i ovde suX1(t) iX2(t) Gauss-ovi slucajni procesi jednakih varijansi2.Odredimo sada statistike prvog reda Rice-ovog modela. Polazimo od zdruzene gustine raspodeleprocesa X1(t) i X2(t). Posto su ovi procesi nekorelirani (odeljak 2.1) sledi da je njihova JPDF jednakapX1X2(x1, x2) =122 exp_(x1m1)222 (x2m2)222_.Da bi odredili PDF anvelopeR(t) i faze(t) koristicemo transformaciju slucajnih promenljivih datusledecimizrazimaX1=Rcos i X2=Rsin . JakobijanovetransformacijejeJ=R. Zamenomdobijamo trazenu JPDFpR(r, ) =r22 exp_r22r(m1 cos +m2 sin ) +m21 +m2222_. (2.14)Integracijom po promenljivoj predhodnog izraza dobijamo PDF anvelope za Rice-ov fedingpR(r) =r22 exp_r2+m21 +m2222__20exp_rm1 cos +rm2 sin 2_d=r22 exp_r2+m21 +m2222_I0_r_m21 +m222_.U slucajum1 =m2 = 0 ovaj izraz se svodi na izraz (2.5) za Rayleigh-ev feding. Napomenimo da seosimpredhodnogizrazazaraspodeluanvelopeR(t)koristiiizrazukomeguriseRice-ovfaktorK[17]. Umesto parametra 2uvodi se parametar p koji predstavlja moment drugog reda procesa R(t).Ova dva parametra odredjena su sledecim izrazimaK =m21 +m2222, p = 22(K + 1).Zamenom dobijamo sledeci izraz za gustinu raspodelepR(r) anvelope [17]pR(r) =2r(K + 1)pexp_K (K + 1)r2p_I0_2rK(K + 1)p_.Napomenimojos daseRice-ovmodel cestonazivai Nakagami-nmodel [17], gdejeparametar ndenisan kaon =K.Slicno, integracijom izraza (2.14) po promenljivojr dobijamo izraz za PDF procesa faze(t).2.7 Nakagami-m model fedinga 172.7 Nakagami-mmodelfedingaRayleigh-evi Rice-ovmodel fedinganajsescesekoristedabi seopisalestatistickepromenesignalanaprijemukojesedesavajuusledrazlicitihputanjaprostiranjasignala. PoredovihmodelacestosekoristiiNakagami-mmodelzboglakemanipulacijei sirokogopsegaprimenljivostipri cemuovajmodel veoma dobro opisuje mobilni radio kanal. Iako je za razliku od predhodnih modela ovaj modelempirijski, prilicno je elegantan i u praksi se dokazao korisnim.Anvelopa primljenog signalaR(t) u Nakagami-m modelu ima sledecu gustinu raspodele (PDF)pR(r) =2mmr2m1(m)mexp_mr2_. (2.15)Parametarm se naziva parametarfedinga (fadinggure) i moze uzeti bilo koju vrednost u intervalu(1/2, +). Parametar predstavlja moment drugog reda raspodele (2.15). U opstem slucaju, momentn-tog reda ove raspodele dat je pomocuE[Rn] =_+0rnpR(r)dr =(m+n/2)(m)_m_n/2.Odgovarajuca CDF anvelope jeFR(r) =_m,mr2_(m),gde je (a, b) nekompletna gama funkcija denisana pomocu(a, b) =_b0xa1exp(x)dx.RaspodelaanvelopekodNakagami-mmodela, zarazlicitevrednosti parametarami svodi senaRayleigh-evu, Rice-ovu, Nakagami-qili jednostranuGauss-ovuraspodelu, ili jenjihovaveomado-braaproksimacija. Takozam=1relacija(2.15)postajeraspodelaanvelope(2.5)kodRayleigh-evog fedinga. Zam = 1/2 raspodela anvelope (2.15) postaje jednostrana Gauss-ova raspodela. Ovaraspodela dobro aproksimira Rice-ovu raspodelu za sledeci izbor parametaraK =m2mmm2m, 2=2_1 _1 m1_.Pokazacemo dva pristupa za izvodjenje raspodela Nakagami-m modela. Drugi pristup je novijegdatuma i ujedno prvi koji u obzir uzima i fazu(t).Najpre cemo izloziti pristup iz [24]. Predpostavimo da je parametar m tako izabran da jen = 2mceobroj. Nekasudati Gauss-ovi slucajni procesi X10(t), X11(t), . . . , X1m(t), X21(t), . . . , X2m(t)nulte srednje vrednosti sa jednakom varijansom2. Svi ovi procesi su statisticki nezavisni. Neka jeZ0(t) = |X10| aZi(t) =_X21i(t) +X22i(t) zai = 1, . . . , n. AnvelopaR(t) denise se kaoR2(t) =___Z20(t) +m1/2

i=1Z2i (t), 2m neparno,m

i=1Z2i (t), 2m parno.(2.16)2.7 Nakagami-m model fedinga 18Primetimodajeslucajni proces Z(t)=R2(t)zapravojednakzbirukvadratan=2mGauss-ovihslucajnihprocesa. Prematome, Z(t)ima2gustinuraspodelesamstepenislobodedatusledecimizrazompZ(z) =mmzm1(m)m exp_mz_.Parametar jednak je = 2m2. Primenom transformacione formuleZ = R2iz predhodnog izrazalako dobijamo izraz (2.15) za PDF anvelopeR(t).Razmotrimo sada gustinu raspodele izvoda anvelopeR(t). Diferenciranjem jednacine (2.16) dobi-jamoR =1R ___Z0 Z0 +m1/2

i=1Zi Zi, 2m neparno,m

i=1Zi Zi, 2m parno.(2.17)Posto su Zi(t) za i = 0, . . . , n Rayleigh-evi procesi, njihovi izvodiZi(t) imaju Gauss-ovu raspodelunultesrednjevrednosti i varijanse . KakojelinearnakombinacijaGauss-ovihslucajnihprocesatakodjeGauss-ovproces, naosnovu(2.17) dobijamodajeuslovnaraspodelazaRpoduslovimaZi=ziGauss-ova. Posto svi procesiZiimaju nultu srednju vrednost sledi daRtakodje ima nultusrednju vrednost. Prema tome imamo da jepR|Z0...Zn(r | z0, . . . , zn) =12bexp_ r22b_. (2.18)Ostaje nam da odredimo vrednostb. Iz (2.17) direktno dobijamo da jeb = E[ R2| Z0 = z0, . . . , Zn = zn] =1r ___z20E Z20 +m1/2

i=1z2iE Z2i , 2m neparnom

i=1z2iE Z2i , 2m parno= .Na osnovu ovog rezultata zakljucujemo da uslovna verovatnocapR|Z0...Zn(r |z0, . . . , zn) ne zavisi odvrednosti z0, . . . zn. Prematome, izraz(2.18)zapravopredstavljatrazenugustinuraspodeleizvodaanvelope, odnosno vazipR( r) =12 exp_ r22_.StaviseizuslovadapR|Z0...Zn(r | z0, . . . , zn)nezavisi odvrednosti z0, . . . znmozemozakljuciti dasuprocesi Zi(t)iR(t)statisticki nezavisni, stodaljepovlaci dasuR(t)iR(t)statisticki nezavisniodnosno da vazipRR(r, r) = pR(r)pR( r).Videli smo da ovaj uslov zadovoljavaju i Rayleigh-ev i Rice-ov model. U narednoj glavi pokazacemoda Nakagami-q model ne zadovoljava ovaj uslov.Nedostatak izlozenog modela je to sto je razmatrana samo anvelopa primljenog signala R(t) a ne ifaza(t). U radu [25] prvi put je izlozen Nakagami-m model koji razmatra i anvelopu i fazu signala.Ovaj model je validan samo ako jem prirodan broj, odnosno 2m paran prirodan broj.2.7 Nakagami-m model fedinga 19Predpostavimo da je prijemni signal u kompleksnom domenu oblikaX(t) = X1(t) +jX2(t)gde jeX2i (t) =_m

i=1X21i(t), i = 1, 2pri cemusuX11(t), . . . , X1m(t), X21(t), . . . , X2m(t) zai =1, . . . , mstatisticki nezavisni Gauss-ovislucajni procesi nulte srednje vrednosti i varijanse 2. Na osnovu denicije mozemo da zakljucimo daprocesZi(t) = X2i (t),i = 1, 2 ima2raspodelu sam stepeni slobode zadatu sledecim izrazompZi(z) =mm/2zm/21m/2(m/2) exp_mz_Primetimo da je anvelopaR(t) ovako denisanog procesaX(t) zapravo potpuno ista kao ianvelopau predhodnom modelu. Razlika je u tome, sto sada jasno denisemo osim anvelopeR(t) i fazu(t)procesaX(t). Posto su anvelope iste, ovde mozemo direktno da zakljucimo da je PDFpR(r) zadataizrazom (2.15). Medjutim sada cemo izvodjenje sprovesti malo drugacije sa ciljem da pored gustineraspodele anvelope dobijemo i gustinu raspodele faze. Uvodjenjem transformacijeZi=X2i , i = 1, 2dobijamopXi(x) =mm/2|x|m1m/2(m/2) exp_mx2_.Parametar je ponovo jednak = 2m2. Posto su procesi Xij(t) za i = 1, 2 i j = 1, . . . , m statistickinezavisni dobijamo da su takvi i procesiX1(t) iX2(t) odnosno da je JPDF ovih procesa jednakapX1X2(x1, x2) = pX1(x1)pX2(x2).Sada pristupamo racunanju gustine raspodele anvelope i faze procesa X(t). Zdruzenu gustinu raspodelepR(r, ) mozemo da odredimo iz predhodnog izraza pomocu transformacijeX1 = Rcos , X2 = Rsin Jakobijan ove transformacije je jednakJ = R. Prema tome dobijamo da jepR(r, ) = rpX1X2(r cos , r sin ) = rpX1(r cos )pX2(r sin )=mmr2m1| sinm1(2)|2mm2(m/2)exp_mr2_Integraljenjem po r odnosno predhodnog izraza dobijamo redom gustine raspodele faze (t) odnosnoanvelopeR(t). Za anvelopu se dobija izraz (2.15) kao sto smo i ocekivali dok se za fazu dobija sledeciizrazp() =(m)| sinm1(2)|2m2(m/2).Naosnovuizracunatihizrazazap(), pR(r)kaoi pR(r, )dobijamodasufazai anvelopakodNakagami-m fedinga statisticki nezavisni, odnosno da vazipR(r, ) = pR(r)p().Ovakav rezultat imamo i u slucaju Rayleigh-evog fedinga. Napomenimo da je u slucaju m = 1 vrednostp() konstantna i jednaka (2)1, sto predstavlja gustinu raspodele faze kod Rayleigh-evog modela.Ovo poklapanje potvrdjuje ispravnost izlozenog modela.Glava3StatistikedrugogredaNakagami-qsignalaUovoj glavi opisacemostatistikedrugogredaprijemnogsignalanaizlazukanalasaNakagami-qfedingom. Statistikeprvogredaovogsignalaizvedenesuupredhodnojglavi. Izvescemoformuleuzatvorenomoblikuzasrednjibrojosnihpresekaanvelope(LCR),faze(PLCR)kaoisrednjevremetrajanjafedinga(ADF). Drugi glavni rezultatoveglavesuuslovnePDFanvelopei izvodafazezadenisanu vrednost faze. Osim opsteg slucaja Nakagami-q fedinga, razmotricemo i nekoliko specijalnihslucaja a posebno slucaj Rayleigh-evog fedinga. Rezultati prikazani u ovoj glavi su novijeg datuma iuglavnom su publikovani u radovima [27] i [28]. Pored toga, prikaz rezultata je nesto drugaciji nego u[27] i [28]. Neki izrazi su izvedeni na drugaciji nacin a za neke je upotpunjeno originalno izvodjenje.Ima i nekoliko originalnih rezultata preuzetih iz nasih radova [18], [19], [20].Napomenimo da se za sve grake u ovoj glavi podrazumevaju sledece vrednosti parametara1 =0.322351, 2=0.174608, 1=1103.43, 2=1091.52. Ovirezultatisudobijenitovanjemstatistikaprvog i drugog reda anvelopeR(t) za Nakagami-q model na izmerenim podacima. Meren je signal naprijemu mobilnog satelitskog kanala u prisustvu efekta senke [27].3.1 DenicijestatistikadrugogredaiosnovnasvojstvaU mobilnim komunikacijama primljeni signal se menja u sirokom opsegu vrednosti. Zbog toga je zaprojektovanje digitalnih i analognih sistema potrebno poznavati statisticke karakteristike signala. Vecsmodenisalistatistickekarakteristike(statistike)prvogreda. Tosugustineraspodeleverovatnoceanvelopei fazei autokorelacionafunkcija. Poredovihkarakteristika, potrebnojepoznavati i ku-mulativne karakteristike kao sto su srednji broj osnih preseka i srednje vreme trajanja fedinga. Ovevelicine daju dodatnu informaciju koja kada se kombinuje sa drugim statistickim podacima omogucavaprojektantima da naprave racionalna resenja sistema [8].Srednji brojosnihpreseka(LCR-Level CrossingRate)i srednjevremetrajanjafedinga(ADF- AverageDurationofFades) su vazne statisticke karakteristike drugog reda za opisivanje kanala safedingom. Ove velicine su korisne u projektovanju mobilnih radio komunikacionih sistema i za analizuperformansi istih. U digitalnim telekomunikacijama nagli pad vrednosti anvelope primljenog signaladirektnovodi dodrasticnogpovecanjaverovatnocegreske. Zaoptimizacijusistemakodovanjakojisupotrebnizakorekcijugresakanijevaznosamokolikoputaprimljenisignalprolazikrozdatinivo203.2 JPDF faze i slucajnog FM suma kod Nakagami-q fedinga 21u jedinici vremena vec i koliko dugo je u proseku taj signal ispod zadatog nivoa. Srednji broj osnihpresekaisrednjevremetrajanjafedingasuupravoodgovarajucemereuskopovezanesakvalitetomprimljenog signala [13].Stoga za razna pitanja sistem inzenjeringa kao sto suizbor duzine bloka za kodovanje paketskih sistema,projektovanje metoda kodovanja sa konkatenacijom sa i bez interlivinga,optimizacija velicine interlivera,izbor kapaciteta bafera za seme adaptivne modulacije i procena komunikacionih protokola,potrebno je poznavati LCR i ADF. Tehnike izracunavanja statistika drugog reda narocito se primenjujukod diverziti sistema koji su se pokazali kao veoma korisni za smanjivanje uticaja fedinga.Srednji broj osnih preseka signala X(t), u oznaci N+X(x) denise se kao brzina kojom signal presecanivoxsapozitivnimizvodomutacki presekax. ZaizracunavanjeLCRpotrebnojeznati CDFpXX(x, x) procesaX(t) iX(t).Ocekivano vreme za koje vrednost signala pripada intervalu (x, x + dx),za dati nagib x i vremedtjednakojep(x, x)dxd xdt. Potrebnovremezajedanprelazaknivoaxzadatinagib xuintervalu(x, x + dx) jedx/ x. Odnos ove dve velicine daje ocekivani broj prelazaka nivoax, signalaXza datinagib x i vremedt xpXX(x, x)d xdt.Prema tome, ukupan ocekivan broj preseka nivoax u jedinici vremena dat je sledecim izrazomN+X(x) =_+0 xpXX(x, x)d x. (3.1)Srednje vreme trajanja fedinga, u oznaci TX(x) je takodje vazna statisticka karakteristika drugogreda i predstavlja srednje vreme za koje se anvelopa signala nalazi ispod zadatog nivoa x. Neka je duzivremenskiintervalukomeseposmatraanvelopaTinekajetitrajanjei-togboravkasignalaispodnivoax. Tada je verovatnoca da je nivo signalaX(t) manji od nivoaxFX(x) = P[X(t) x] =1T

iti.Srednje vreme trajanja fedinga jeTX(x) =1TN+X(x)

iti =FX(x)N+X(x).Ove velicine su takodje znacajne i za izbor bitske brzine prenosa, duzine reci i kodnih sema u digitalnimradio sistemima. Takodje su neophodne za procenu performansi sistema [21].3.2 JPDFfazeislucajnogFMsumakodNakagami-qfedingaDabi izveli izrazzagustinuraspodeleverovatnoceFM sumakaoi srednji broj osnihpresekafaze(t)potrebnanamjezdruzenagustinaraspodeleverovatnoceprocesaR(t),R(t), (t),(t)uoznaci3.2 JPDF faze i slucajnog FM suma kod Nakagami-q fedinga 22pRR (r, r, , ). OvaJPDFmozedaseizracunaizJPDFprocesaX1(t),X1(t), X2(t),X2(t) pri-menomodgovarajucetransformacijeDescartes-ovihkoordinata(x1, x2)upolarnekoordinate(r, ).Transformacione izraze dobijamo na uobicajen nacinX1 = Rcos ,X1 =Rcos R sin,X2 = Rsin ,X2 =Rsin +R cos .(3.2)Imamo da je Jakobijan ove transformacije jednakJ =(X1,X1, X2,X2)(R,R, ,)=cos 0 Rsin 0sin 0 Rcos 0sin cos Rsin +R cos Rsincos sin Rsin +R sin Rcos = R2.Prema tome imamo da je trazena JPDF procesaR(t),R(t), (t),(t) jednakapRR (r, r, , ) = r2pX1X1X2X2(r cos , r cos r sin , r sin , r sin +r cos ). (3.3)Za simetricnu Doppler-ovu spektralnu gustinu snage (PSD-PowerSpectral Density) gde su procesiX1(t), X2(t),X1(t) iX2(t) Gauss-ovi, i u parovima nekorelirani, vazi da jepX1X1X2X2(x1, x1, x2, x2) =1421212exp_x21221x22222 x2121 x2222_(3.4)Zamenom predhodnog izraza u (3.3) dobijamo trazenu JPDFpRR (r, r, , ) =r2421212exp_r2_cos2221+ sin2222_ r2_cos221+ sin222_ r2 2_cos222+ sin221_r r _ 1211_sin cos _.(3.5)Poslednji izrazvazi akoje0 r 0.2.2. Neka je cos < 0. Tadaa2 cos 12 pa 1 +erf_a2 cos 12_0. Na osnovu ovoga direktnozakljucujemo dap() 0 za cos < 0. Ako je cos = 0 onda je sin = 1 ( = 0, ) i vazip(0) = p() =1 exp_a2221_22,odakle ocigledno dobijamo dap() 0 kada je cos = 0. Ovim smo dokazali da kada1 0 vazilim10p() =___a exp_a2tan2222_22 cos2, (0, /2) (3/2, 2)0, [/2, 3/2](4.11)Na slici 4.2 prikazano je nekoliko graka funkcijep() za razlicite vrednosti 1. Moze se uocitida kada1 tezi nuli, vrednost funkcijep() tezi granicnoj vrednosti odredjenoj izrazom (4.11).Slika4.2. Grak funkcijep() u zavisnosti od parametra1. Za1 = 0 koriscen je granicni izraz (4.11).Gustina raspodele anvelopepR(r) dobija se integracijom izraza (2.9) po promenljivoj. Kada jea > 0 ovaj integral nije analiticki resiv. Na slici 4.3 dat je grak funkcijepR(r) za razlicite vrednostia.4.2 JPDF faze i FM suma za konstantne vrednosti amplitude kosinusnog signala i izvoda 38Slika4.3. Grak funkcijepR(r) za razlicite vrednosti amplitude kosinusnog talasaa.4.2 JPDFfazeiFMsumazakonstantnevrednostiamplitudekosi-nusnogsignalaiizvodaDa bi odredili statistike drugog reda anvelope i faze potrebna nam je JPDF procesa R(t),R(t), (t),(t).Podsetimo se da je JPDF procesa X1(t), X2(t),X1(t),X2(t) u slucaju Nakagami-q fedinga data izrazom(3.4) koji ponovo navodimopX1,X2,X1,X2(x1, x2, x1, x2) =141212exp_x21221x22222 x2121 x2222_. (4.12)Kaoi upredhodnomslucaju, i ovdeuvodimotransformacijuDescartes-ovihkoordinata(x1, x2)upolarne (r, ). Transformacione formule se neznatno razlikuju od formula (3.2) iz predhodne glavex1 = r cos a,x2 = r sin , x1 = r cos r sin a, x2 = r sin +r cos .(4.13)JakobijanovetransformacijejejednakJ= r2. Sadamozemoizraziti pRR (r, r, , )nasledecinacinpRR (r, r, , ) = r2pX1X1X2X2(r cos a, r cos r sin a, r sin , r sin +r cos ).Zamenom konacno dobijamo trazenu JPDF procesaR(t),R(t), (t),(t)pRR (r, r, , ) =r2421212exp_(r cos a)2221r2sin2222 ( r sin +r cos a)221( r cos r sin )222_.(4.14)4.2 JPDF faze i FM suma za konstantne vrednosti amplitude kosinusnog signala i izvoda 39U ovom odeljku odredicemo JPDF procesa (t) i(t). Znaci potrebno je izvrsiti integraciju izraza(4.14) najpre po promenljivoj r a zatim por.Uvedimo sledece oznake = 1 sin2 +2 cos2, =_21 sin2 +22 cos2.(4.15)Primetimo dapRR (r, r, , ) moze da se izrazi kao funkcija promenljive r na sledeci nacinpRR (r, r, , ) = M1 exp_a1 r2+b1 r +c1_. (4.16)Parametria1, b1, c1 iM1 imaju vrednostiM1 =r2421212, a1 =1 sin2 +2 cos 2212,b1 =r(21) sincos 12+ a cos 1,c1 = (a r cos )2221r2sin2222 (r sin + a)221r cos 22.(4.17)Integraljenjem izraza (4.16) i zamenom vrednosti parametara dobijamo trazenu JPDFpR (r, , ) =r2(2)3/212_1 sin2 +2 cos2exp_(a r cos )2221r2sin2222(r sin + a)221r cos 22+ [r(21) sin + a]2cos2212(1 sin2 +2 cos2)_.(4.18)Sledeci korakjeintegracijapopromenljivoj r. Sredjivanjemizraza(4.18)mozemozakljuciti dasepR (r, , ) kao funkcija promenljiver moze izraziti na sledeci nacinpR (r, , ) = M2r2exp_a2r2+b2r +c2_, (4.19)gde su parametria2, b2, c2 andM2 odredjeni pomocuM2 =1()3/212_, a2 = 22222122,b2 =a cos 21 a sin , c2 = a2221 a2sin22.(4.20)Integral izraza(4.19)mogucejeodrediti uzatvorenomobliku. Vrednostovogintegraladatajeudodatku. Resavanjem integrala izraza (4.19) i zamenom vrednosti parametara (4.20) dobijamo sledecurelaciju zap (, ) u zatvorenom oblikup (, ) =14(a, )3/212exp_a2221 a2sin22_f_a cos 21a1/2 2 a sin a1/2 2_. (4.21)Zbog jednostavnijeg pisanja uveli smo pomocnu funkcijuf(s) odnosnoa na sledeci nacinf(s) = 2s +(1 + 2s2) exp(s2)(1 + erf(s)),a = 2a2 = 2+22122.(4.22)4.2 JPDF faze i FM suma za konstantne vrednosti amplitude kosinusnog signala i izvoda 40Slika4.4. 3D grak funkcijep (, ) zaa = 0.1 i a = 0.Na slici 4.4 dat je 3D grak funkcije p (, ) za konstantnu vrednost amplitude kosinusnog talasaa = 0.1.Razmotrimosadanekolikospecijalnihslucajevaizraza(4.21). Zamenoma= a=0u(4.21)ocigledno dobijamo izraz (3.8) za Nakagami-q feding bez dodatnog signalap 00(, ) =f(0)4(a, )3/212=_ 21 sin2 +2 cos2+21 sin2 +22 cos22122_3/2412_1 sin2 +2 cos2. (4.23)Vrednostp (, ) u ovom specijalnom slucaju oznacili smo sap 00(, ).Predpostavimo da je ampliduda kosinusnog signala konstantna, odnosno da je ispunjenoa = 0 a a = 0. Zamenom u (4.21) dobijamo da tada vazip 0(, ) = p 00(, ) exp_a2221_f_a cos 21a1/2 2_. (4.24)NaslicannacinkaoupredhodnojglaviiovdemozemodaizracunamoPDFp( )izvodafaze(t)integraljenjem izraza (4.23) po promenljivoj.p( ) =_20p (, )d (4.25)Medjutim, ovaj integral nije moguce odrediti u zatvorenoj formi cak ni u slucaju Rayleigh-evog fedingaili za a = 0. Na slici 4.5 prikazan je grak funkcijep( ) za a = 0. Pritom je integral u izrazu (4.25)je racunat numericki.Napomenimo neka svojstva PDF izvoda faze (t). U slucaju a = 0, srednja vrednost ovog procesaje nula, tj. vazi E( (t)) = 0. Da bi ovo dokazali, dovoljno je da uocimo da je p (, ) parna funkcijapo promenljivoj (a je takodje parna funkcija po ). Na osnovu ovoga mozemo zakljuciti da je ip( ) parna funkcija, sto direktno dokazuje da je E( (t)) = 0. U opstem slucaju kada je a = 0 vaziE(t) = 0. Ovaj zakljucak jos jednom potvrdjuje cinjenicu da je slucaj a = 0 zicki neostvariv.Za a = 0 moze se dokazati da je E2(t) = +. Pod istim uslovom, vazi i sledeci opstiji zakljucakza svako (0, 2)_+ 2p (, )d = +.4.3 Srednji broj osnih preseka faze 41Slika4.5. Grak funkcijep( ) za konstantnu vrednost amplitude kosinusnog signalaa ( a = 0).Prematomeslucajniproces(t)nemamomentedrugogreda, paukoliko zelimodaopisemostepenrasturanjavrednosti ovogslucajnogprocesaokosrednjevrednosti E(t)=0moramodakoristimoneku drugu velicinu, na primerE|(t)| = 2_+0 p( )d =_20N+ ()d.4.3 SrednjibrojosnihpresekafazeSadamozemodapristupimoizracunavanjusrednjegbrojaosnihpresekafaze(t)slozenogsignala.Krecemoodizraza(4.21)zazdruzenugustinuraspodelep (, )fazeiizvoda. Kaofunkcijapro-menljive , izraz (4.21) moze da se zapise na sledeci nacinp (, ) =M

2(P +Q 2)3/2f_b

2 +b

2 _P +Q 2_.Ovde su P, Q, M

2, b

2 i b

2 odgovarajuci parametri. Predhodni oblik nije pogodan za racunanje integralau izrazu za PLCR. Zato cemo iskoristiti sledecu transformaciju i zameniti redosled integralaN+ () =_+0 p (, )d =_+0 _+0pR (r, , )drd =_+0dr_+0 pR (r, , )d .(4.26)Podsetimo se da smo izraz unutar integrala por oznacili saI(r, ), odnosno da jeI(r, ) =_+0 pR (r, , )d .4.3 Srednji broj osnih preseka faze 42Najpre cemo naciI(r, ) u zatvorenom obliku a onda cemo taj izraz integraliti po promenljivojr. Izizraza (4.21) sledi da sepR (r, 0, ) moze na sledeci nacin predstaviti kao funkcija promenljive pR (r, , ) = M3 exp_a3 2+b3 +c3_(4.27)gde su parametriM3, a3, b3 ic3 denisani sledecim izrazimaM3 =r2(2)3/212_, a3 =r22, b3 = ar sin ,c3 = 222122r2+a cos 21r a2221 a2sin22(4.28)Primetimo da je oblik (4.27) identican obliku (4.16) samo sto je ovde promenljiva i sto parametriimaju drugacije vrednosti. Integracijom izraza (4.27) i zamenom vrednosti parametara (4.28) dobijamosledeci izrazI(r, ) =1/2(2)3/212g_ a sin _2_exp_222122r2+a cos 21r a2221 a2sin22_. (4.29)Podsetimo se da smo sag(s) oznacili sledecu pomocnu funkciju (izraz (4.9))g(s) = 1 +s exp(s2)(1 + erf(s)).Izraz (4.29) je pogodan za integraciju po promenljivojr. Imamo daI(r, ) kao funkcija promenljiver ima isti oblik kao (4.16) (tj. (4.27)), odnosno da vaziI(r, ) = M4 exp_a4r2+b4r +c4_(4.30)ParametriM4, a4, b4 ic4 su jednakiM4 =_(2)3/212g_ a sin _2_a4 =222122, b4 =a cos 21, c4 = a2221 a2sin22(4.31)Integracijom i zamenom vrednosti parametara konacno dobijamo sledeci izraz za PLCRN+ () =_4g_ a sin_2_exp_a2sin222 a2sin22__1 + erf_a2 cos 12__(4.32)Na slici 4.6 prikazana su 4 karakteristicna graka funkcijeN+ (). Razmotrimo sada dva specijalnaslucaja izraza (4.32). Kada je a = a = 0 dobijamo izraz za srednji broj osnih preseka faze za Nakagami-q fedingN+00() =_4=141 sin2 +2 cos221 sin2 +22 cos2(4.33)Kao sto smo i ocekivali, predhodni izraz je isti kao (3.15) iz predhodne glave.Za slucaj konstantne amplitude kosinusnog signala (a = 0 i a = 0) imamo da vaziN+0() = N+00() exp_a2sin222__1 + erf_a2 cos 12__. (4.34)4.4 Uslovne gustine raspodele anvelope i izvoda faze 43Slika4.6. Grak funkcijeN+ ().Na slici 4.7 prikazan je grak funkcijeN+0() za razlicite vrednosti parametraa. Na kraju ovogodeljka primetimo da vrednostiN+ (0) iN+ () vise nisu jednake, odnosno da jednakost vazi samo uslucajua = a = 0. Isto vazi i zaN+ (/2) i N+ (3/2). Ovaj rezultat je ocekivan jer se uvodjenjemkosinusnog signala rusi simetrija na osnovu koje su odgovarajuce jednakosti vazile. Ukoliko su maksi-malne Doppler-ove frekvencije procesaX1(t) iX2(t) jednake zamenom dobijamo daN+ () ne zavisiod samo ako jea = a = 0.4.4 UslovnegustineraspodeleanvelopeiizvodafazeU ovom odeljku razmotricemo uslovne raspodele anvelope i izvoda faze za slozeni signal X(t). Principizvodjenja je slican kao u odeljku 3.4 pri cemu ovde necemo racunati uslovnu JCDF FR |0+(r, ) zatosto je odgovarajuci izraz suvise komplikovan.Podsetimo se da je uslovna JCDF procesaR(t),(t) denisana u odeljku 3.4 na sledeci nacin:FR |0+ (r0, 0) =_r00dr_ 00 pR (r, 0, )d N+ (0)(4.35)Iz predhodnog izraza dobijamo uslovnu PDF anvelopepR|0+(r0) kaopR|0+ (r0) =ddrFR |0+ (r, +)r=r0=_+0 pR (r0, 0, ) d N+ (0)=I(r0, 0)N+ (0)(4.36)Zamenom izraza za I(r, ) (4.29) i N+ (0) (4.32) dobijamo trazenu uslovnu PDF u zatvorenom obliku.pR|0+(r) =22exp_(rm)222_1 + erf(m).(4.37)4.4 Uslovne gustine raspodele anvelope i izvoda faze 44Slika4.7. Grak funkcijeN+0() za razlicite vrednosti parametraa i a = 0.Parametrim i denisani su sledecim izrazima =12, m = a2 cos 12 .Primetimo da (4.37) predstavlja odsecenu Gauss-ovu funkciju raspodele sa parametrimam i.Najpre mozemo da zakljucimo da pR|+(r) ne zavisi od a. Takodje velicina a utice samo na srednjuvrednostm a ne i na varijansu2. U slucajua = 0 dobijamom = 0 pri cemu se izraz (4.37) svodi na(4.29) iz odeljka 3.4, kao sto smo i ocekivali.U specijalnim slucajevima = 0, /2, parametar svodi se na1 (ako je = 0, ) ili2 (akoje = /2). Primetimodajeparametarmjednak0za = /2izatevrednostijepR|0+(r)jednostrana Gauss-ova gustina raspodele, kao sto se dobija u slucajua = a = 0.Za = 0, imamo da jem =a1odnosno gustina raspodelepR|+(r) je nezavisna od parametara2 and2 procesaX2(t).Slicno dobijamo drugu uslovnu PDFp|0+( ) na sledeci nacinp|0+ ( 0) =dd FR|0+ (+, 0)=0=_+0 0pR (r, 0, 0) drN+ (0)= 0p (0, 0)N+ (0).(4.38)Ponovo kombinovanjem izraza (4.21) i (4.32) dobijamo formulu u zatvorenom obliku za drugu uslovnu4.4 Uslovne gustine raspodele anvelope i izvoda faze 45gustinu raspodelep|0+( ) = 2212(a )3/2 f_a cos 21a1/2 2 a2 sina1/2 2_g_ a sin_2__1 + erf_a2 cos 12__ (4.39)Na slikama 4.8 i 4.9dati su graciuslovnih gustina raspodele anvelopei izvoda fazeza razlicitevrednosti amplitudea kosinusnog signala i nivoa faze. Podrazumevana vrednost za a je nula.Slika4.8. Grak funkcijepR|+(r) za a = 0 i razlicite vrendosti ia.U slucajua = a = 0 izraz (4.39) svodi se na (3.21) u odeljku 3.4, kao sto smo i ocekivali. I ovdecemo analizirati specijalne slucajeve kada je vrednost nivoa faze jednaka = 0, = /2 ili =.Zamenom = 0 ili = u (4.39) dobijamop|+( ) = p|0+( ) =_ 22+121_3/2exp_a2221_12_1 + erf_a12__ . (4.40)Primecujemodaupredhodnomizrazunegurisuparametri 1and2. Drugimrecimai ovdemaksimalnaDoppler-ovafrekvencijafmax1nemauticajanauslovnuPDFp|0+( ). Zamenom=/2 u (4.39) dobijamop|2+( ) =_ 21+122_3/2f__ a 12_ 2+122__21g_ a21_ . (4.41)Poslednjiizraznezavisioda. Prematomezakonstantnuvrednostamplitudekosinusnogsignalaa( a = 0) dobijamo potpuno isti izraz kao u slucajua = 0. Dalje vidimo da je uslovna PDFp|/2( )4.5 Srednji broj osnih preseka faze kada je amplitudaA(t) Rayleigh-ev proces 46Slika4.9. Grak funkcijep|+( ) za a = 0 i razlicite vrendosti ia.dataizrazom(4.41)nezavisnaod2i 1, tj. nanjuneuticemaksimalnaDoppler-ovafrekvencijafmax2.4.5 Srednji broj osnih preseka faze kada je amplitudaA(t) Rayleigh-evprocesUnarednadvaodeljkapredpostavicemodajeamplitudakosinusnogsignalazavisnaodvremenaidajeslucajni proces. TakodjesmatracemodaA(t)imaRayleigh-evuraspodeluaA(t)Gauss-ovuraspodelu. Predpostavicemo jos da suA(t) iA(t) statisticki nezavisni procesi. Sva ova svojstva imaupravoprocesanvelopekodkanalasaRayleigh-evimfedingom. Prematome, odgovarajucaJPDFprocesaA(t) iA(t) ima sledeci oblikpAA(a, a) = pA(a)pA( a) =a2a2aexp_a222a a22a_. (4.42)U ovom odeljku izracunacemo srednji broj osnih preseka za ovakav signal a u narednom racunacemouslovne PDF anvelopeR(t) i izvoda faze(t).Srednji broj osnih presekaN+ () u ovom slucaju mozemo odrediti na osnovu sledeceg izrazaN+ () =_+0_+N+|A,A( | a, a)pAA(a, a)dad a. (4.43)Sa N+|A,A( | a, a) oznacili smo srednji broj osnih preseka za konstantne vrednosti amplitude i izvoda4.5 Srednji broj osnih preseka faze kada je amplitudaA(t) Rayleigh-ev proces 47kosinusnog signala, tj izraz (4.32) iz odeljka 3.3. Zamenom (4.42) i (4.32) u (4.43) dobijamoN+ () =_(2)3/2a2a_+0a exp_a2_122a+ sin222___1 + erf_a2 cos 12__da_+exp_ a2_12a+ sin22__g_ a sin _2_d a.(4.44)Podsetimo se da smo sag(s) oznacili sledecu pomocnu funkciju (izraz (4.9))g(s) = 1 +s exp(s2)(1 + erf(s)).Slika4.10. Grak funkcijeN+ () za razlicite vrednostiaiaOba integrala upredhodnomizrazumoguda se izracunajuuzatvorenomobliku(detalji suprikazani udodatku). Resavanjemovihintegraladobijamosledeci izrazzasrednji broj osnihpre-sekaN+ () =_ +a sin24_1 +2a_21 +2acos __1 +2a sin22_1. (4.45)Na slici 4.10 prikazani su graci funkcije N+ () razlicite vrednosti parametara a i a. Prakticno,prvi slucajkadajea=0.001aa=1zanemarljivoserazlikujeodslucajakadajea=a=0,odnosnokadanemakosinusnogsignala. Uostalimslucajevimanajprejea0ondaa0inakraju su oba parametra veca od 0.Na slikama 4.11 i 4.12 prikazan je uticaj parametra a odnosno a na N+ (). Vrednosti parametaraa odnosnoa su 0.1 odnosno 1000.4.6 Uslovne gustine raspodele anvelope i izvoda faze kada je amplitudaA(t) Rayleigh-ev proces 48Slika4.11. Grak funkcijeN+ () za razlicite vrednostiaia = 1000.4.6 Uslovnegustineraspodeleanvelopeiizvodafazekadajeampli-tudaA(t)Rayleigh-evprocesUovomodeljkuodredicemouslovne verovatnoce amplitude i izvodafaze zaslucaj kadaje A(t)Rayleigh-ev proces.Podsetimo se da je uslovna PDFpR|0+(r0) denisana na sledeci nacinpR|0+(r0) =_+0 pR (r0, 0, )d N+ ()=I(r0, 0)N+ (). (4.46)Srednji broj osnih preseka N+ () smo za posmatrani slucaj vec odredili u predhodnom odeljku (relacija(4.45)). Ostajenamjos daizracunamoI(r0, 0). Uodeljku4.2pokazali smodazakonstantnevrednosti amplitude i izvoda (a i a) kosinusnog signala vazi sledeci izrazI(r, |a, a) =1/2(2)3/212g_ a sin _2_exp_222122r2+a cos 21r a2221 a2sin22_.Kao i u slucaju srednjeg broja osnih preseka (predhodni odeljak) i ovde odredjujemo I(r, ) usrednja-vanjem uzimajuci u obzir JPDF pA,A(a, a) procesa A(t) iA(t) denisanu izrazom (4.42). Prema tomevaziI(r, ) =_0_+I(r, |a, a)pA,A(a, a)dad a=1/2(2)2122aaexp_222122r2__+0a exp_r cos 21a a2221a_da_+exp_ a2sin22 a22a_g_ a sin _2_d a.(4.47)4.6 Uslovne gustine raspodele anvelope i izvoda faze kada je amplitudaA(t) Rayleigh-ev proces 49Slika4.12. Grak funkcijeN+ () za razlicite vrednostiaia = 0.1.Ovde smo oznacili1a = _1/(1/21 + 1/2a). Oba integrala u predhodnom izrazu (4.47) mogu da serese u zatvorenom obliku i imaju sledece vrednosti21ag_ra cos 1_2(21 +2a)_,2a( +a sin2).Detalji vezani za resavanje ovih integrala dati su u dodatku. Zamenom i sredjivanjem dobijamo sledeciizrazI(r, ) =1_ +a sin2(2)3/22(21 +2a) exp_222122r2_g_ra cos 1_2(21 +2a)_.Iz (4.6) i (4.45) direktno dobijamo uslovnu PDFpR|+(r) procesa anvelopeR(t)pR|+(r) =_21(2 +2a sin2)2_21 +2a(_21 +2a +2a cos )exp_222122r2_g_ra cos 1_2(21 +2a)_.(4.48)Na slici 4.13 prikazan je grak funkcijepR|+(r) za tri razlicite vrednosti nivoa faze ia = 0.1.SledeciciljjeodredjivanjeuslovnePDFp|+( )izvodafaze(t). Podsetimosedajep|+( )denisana sledecim izrazomp|+( ) = p (, )N+ ().Posto smo odredili PLCR preostaje nam jos da odredimo JPDFp (, ) procesa faze i izvoda fazeza posmatrani slucaj.4.7 Srednji broj osnih preseka anvelope 50Slika4.13. Grak funkcijepR|+(r) zaa = 0.1.U odeljku 4.2 izracunali smo ovu JPDF za konstantnea i a i pritom dobili sledeci izraz (4.23)p |A,A(, |a, a) =14(a, )3/212exp_a2221 a2sin22_f_a cos 21a1/2 2 a sina1/2 2_.(4.49)Podsetimo se da smof(s) ia denisali u izrazu (4.22)) na sledeci nacinf(s) = 2s +(1 + 2s2) exp(s2)(1 + erf(s)),a = 2+22122.Trazenu JPDF racunamo slicno kao u slucajuI(r, ) odnosno PLCRN+ ()p (, ) =_0_+p |A,A(, |a, a)pA,A(a, a)dad a. (4.50)Nazalostovaj integral nijemoguceodrediti uzatvorenomobliku. Izpredhodnogizrazamogucejedobiti PDFizvodafaze(FM suma)naisti nacinkaouodeljku3.2. Pritomjepotrebnonumerickiracunati tri integrala za svaku vrednost sto umnogome povecava vreme potrebno za izracunavanje.Naslici4.14prikazanjegrakfunkcijep|+( ), pri cemujeintegraluizrazu4.50racunatnu-mericki. Vrednosti parametaraa ia su redom 0.1 i 1000.4.7 SrednjibrojosnihpresekaanvelopeUnarednadvaodeljkaracunacemostatistikedrugogredaprocesaanvelopeR(t)zaslozeni signalkoji proucavamouovoj glavi. Ogranicicemosenaslucaj kadajeamplitudakosinusnogsignalaAkonstantna i jednakaa. Tada je a = 0. Ova predpostavka ce vaziti kako u ovom tako i u narednom4.7 Srednji broj osnih preseka anvelope 51Slika4.14. Grak funkcijep|+( ), zaa = 0.1 ia = 1000odeljku. Podsetimo se da srednji broj osnih preseka (LCR) procesaR(t) kao i srednje vreme trajanjafedinga (ADF) racunamo na osnovu sledeceg izrazaN+R(r) =_+0 rpRR(r, r)d r, TR(r) =FR(r)N+R(r). (4.51)DabiodrediliLCRkoriscenjempredhodnogizrazapotrebnojenajpredanadjemoJPDFpRR(r, r)procesaR(t) iR(t).Polazimo od JPDF procesaR(t),R(t), (t),(t) denisane izrazom (4.14). Zamenom a = 0 dobi-jamopRR (r, r, , ) =r2421212exp_(r cos a)2221r2sin2222 ( r sin +r cos )221( r cos r sin)222_.NajpreodredjujemoJPDFprocesaR(t),R(t)i (t)integraljenjemizraza(4.14)popromenljivoj .Izraz (4.14) mozemo predstaviti u sledecem obliku kao funkciju promenljive pRR (r, r, , ) = M1 exp_a1 2+b1 +c1_(4.52)Parametria1, b1, c1 iModredjeni su sledecim izrazimaM1 =r2821212, a1 = r2212, b1 = r r(21) sin(2)212,c1 = a2221+ar cos 21 r2212r2222122.(4.53)Integraljenjem izraza (4.52) po promenljivoj u granicama od do +, zamenom konstanti (4.53)4.7 Srednji broj osnih preseka anvelope 52i sredjivanjem dobijamopRR(r, r, ) =r exp_a2221+ar cos 21r2222122 r22_(2)3/212_. (4.54)Sledeci korak bi trebao da bude integracija izraza (4.54) po promenljivoj . Medjutim cak i u slucajua = 0, kao sto smo videli u odeljku 3.6, integral nije moguce odrediti u zatvorenom obliku. Zbog togacemo zameniti redosled integrala kao u odeljku 3.6 i srednji broj osnih preseka racunacemo kaoN+R(r) =_I1(r, )d, (4.55)gde jeI1(r, ) denisano na sledeci nacinI1(r, ) =_+0 rpRR(r, r, )d r.SadapristupamoracunanjuizrazaI1(r, ). Primetimodase pRR(r, r, ) mozenasledeci nacinnapisati kao funkcija r:pRR(r, r, ) = M2 exp_a2 r2+b2_, (4.56)gde su parametriM2, a2 ib2 denisani sledecim izrazimaM2 =212r2, a2 =12, b2 = (a r cos )2221r2sin2222. (4.57)Integracijom izraza (4.56), zamenom vrednosti parametara i sredjivanjem dobija seI1(r, ) =_r exp_a2221+ar cos 221r2222122_(2)3/212. (4.58)Zamenom u (4.55) dobijamo sledeci izraz zaN+R(r)N+R(r) =r223/212_exp_(a r cos )2221r2sin2222__1 sin2 +2 cos2d. (4.59)Integral uizrazu(4.59)nijemoguceodrediti uzatvorenomobliku. Tojemoguceuraditi unekimspecijalnim slucajevima o cemu ce biti reci u narednom odeljku.Na slici 4.15 prikazan je grak funkcijeN+R(r) za razlicite vrednosti parametraa.Srednje vreme trajanja fedingaTR(r) racuna se direktno zamenom (4.59) u denicioni izraz.Razmotrimosadaizraz(4.59)zasrednji broj osnihpresekaprocesaR(t)unekolikospecijalnihslucaja. Najpre cemo posmatrati slucaj kada nema kosinusnog signala, odnosno kada je a = 0. U tomslucaju izraz (4.59) svodi se na izraz (3.29) za Nakagami-q fedingN+R(r) =r212_20exp_r22_cos221+ sin222___1 sin2 +2 cos2d. (4.60)4.7 Srednji broj osnih preseka anvelope 53Slika4.15. Grak funkcijeN+R(r) za razlicite vrednosti parametraa.Zamenom vrednosti1 = 2 = u predhodni izraz (4.60) dobijamoN+R(r) =r223/212_exp_r2cos2221r2sin2222_d=r212exp_r2_21 +22_42122_I0_r2_2122_42122_.(4.61)Ukoliko je1 = 2 = zamenom u (4.60) dobijamoN+R(r) =r exp_r222_223/22___1 sin2 +2 cos2_d=r223/22 exp_r222_E_1 12_.(4.62)Pritom su I0() i E() redom modikovana Bessel-ova funkcija nultog reda i kompletan elipticki integraldenisan pomocuE(x) =_/20_1 xcos2_1/2d. (4.63)Primetimo da su izrazi (4.61) i (4.62) sustinski razliciti sto potvrdjuje cinjenicu da se u opstem slucajuintegrali u (4.59) i (4.60) ne mogu resiti u zatvorenom obliku.Razmotrimosadaslucajkadaje1=2=i 1=2=,odnosnokadakomponenteX1(t)iX2(t) odgovaraju Rayleigh-evom procesu. Zamenom u (4.59) dobijamoN+R(r) =r223/22_exp_a22ar cos +r222_d=r22 exp_a2+r222_I0_ar2_.(4.64)Zaa = 0 predhodni izraz se svodi na izraz (3.30) za Rayleigh-ev feding odredjen u odeljku 3.6.4.8 Generalisani srednji broj osnih preseka anvelope 54Nakrajuovogodeljkaodredicemoaproksimativni izrazzaN+R(r) koji vazi zamalevrednostipromenljiver. Iz(4.59)dobijaseN+R(0)=0. Zamalevrednosti rkvadratni clanueksponentuuizrazu (4.59) moze se zanemariti, pa prema tome vazi sledeca aproksimacijaexp_(a r cos )2221r2sin2222_ exp_a2221__1 +ar21cos _.Zamenom aproksimacije u (4.59) dobijamo sledeci priblizni izraz zaN+R(r)N+R(r) =r exp_a2221_(2)3/212__1 +ar21cos __1 sin2 +2 cos2d. (4.65)Primetimo da je integral_cos _1 sin2 +2 cos2djednak nuli kao integral neparne funkcije na simetricnom segmentu. Zamenom u (4.65) dobijamoN+R(r) =r223/221exp_r2212_E_1 12_. (4.66)Predhodni izraz je veoma slican izrazu (4.62). Ova aproksimacija je treceg reda, tj. vazi da je razlikaizmedju tacne i priblizne vrednosti zaN+R(r) kadar 0 jednakaO(r3).Na slici 4.16 prikazan je grak funkcijeN+R(r) i aproksimacije date izrazom (4.66).Slika4.16. Priblizna (isprekidana linija) i tacna (puna linija) formula zaN+R(r) i vrednost parametraa = 0.14.8 GeneralisanisrednjibrojosnihpresekaanvelopeSrednji broj osnihpresekaanvelopeR(t)predstavljasrednji broj presekatrajektorijeovogprocesasa pravomy=ru pozitivnom smeru u jedinici vremena. Ova denicija moze da se generalizuje nasledeci nacin. Posmatracemo srednji broj preseka trajektorije procesa R(t) sa pravom y = r u jedinici4.8 Generalisani srednji broj osnih preseka anvelope 55vremena pri cemu je u trenutku preseka faza(t) u tacno denisanim granicama tj1 (t) 2.Ovaj broj oznacicemo sa N+R|(r; 1, 2) i nazvacemo ga generalisani srednji broj osnih preseka (GLCR- Generalized Level Crossing Rate).Slicnu generalizaciju srednjeg broja osnih preseka faze (GPLCR) prvi put je posmatao Rice u radu[14] kada je razmatrao problem klik suma u FM sistemima. U radu [4] autori su posmatrali GPLCR zaNakagami-m kanal. U ovom odeljku izvescemo GLCR anvelope R(t) za slozeni signal koji posmatramou ovoj glavi. Imamo da se GLCR anvelope izracunava primenom sledeceg izraza [4]NR|(r; 1, 2) =_21_+0 rpRR(r, r, )d rdF(2) F(1)=_21I1(r, )d_21p()d(4.67)Oznacicemo sa F() CDF procesa faze (t). Takodje, u slucaju kada 1 2, razmotricemo granicnuvrednost zaNR|(r; 1, 2).Podsetimo se da je PDF fazep() denisana izrazom (4.8)p() =1222exp_a2221_g_a2 cos 12_.Odgovarajucu CDF faze dobijamo integracijom predhodnog izraza po promenljivoj. Nazalost ovajintegralnijemoguceodreditiuzatvorenomobliku. Kao stosmovecvideli,istovaziizaintegralubrojiocu.Uzatvorenomoblikumozemodaizracunamomalodrugacijugeneralizacijusrednjegbrojaosnihpreseka. Posmatrajmo vrednost GLCR kada2 1. To je zapravo uslovni LCR procesa anvelopeR(t) uslovljen vrednoscu faze (t) = . Ako oznacimo = 1 i posmatramo granicnu vrednost izraza(4.67) kada2 tezi, primenom LHospital-ove teoreme dobijamo sledecu granicnu vrednostNR|(r | ) =lim2_2I1(r, u)duF(2) F()=I1(r, )p(). (4.68)Sada zamenom izracunatih izraza za brojioc (4.58) i imenioc (4.8) dobijamo sledeci izraz u zatvorenomoblikuNR|(r | ) =r_ exp_(a r cos )2221+a2sin222r2sin2222_12_1 + erf_a2 cos 12__ . (4.69)NapomenimodaseuslucajuRayleigh-evogfedinga(1=2=i 1=2=)predhodni izrazuproscava na sledeci nacinNR|(r | ) =r exp_(a cos r)222__1 + erf_a2__Naslici4.17prikazanjegrakfunkcijeNR|(r | 1, 2)u cetirirazlicitaslucaja. Vidimodasugraci veoma slicni gracima sa slike 4.15.4.8 Generalisani srednji broj osnih preseka anvelope 56Slika4.17. Grak funkcijeNR|(r | 1, 2)Videli smo da velicinaNR|(r |) zapravo predstavlja uslovni srednji broj osnih preseka kada je(t) = . Zbog same prirode ove velicine, logicno je da posmatramo njen polarni grak (slika 4.18) uzavisnosti od.Na kraju prikazujemo 3D grak funkcijeNR|(r | ) na slici 4.19.4.8 Generalisani srednji broj osnih preseka anvelope 57Slika4.18. GrakfunkcijeNR|(r | )zaa=0, 0.1, 0.2, 0, 3, 0.4, 0.5, r=0.05upolarnomkoordinatnomsistemu.Slika4.19. 3D grak funkcijeNR|(r | ) zaa = 0.1Glava5ZakljucakOsnovni problemi koji nastajupri digitalnomprenosupodatakakrozbezicni komunikacioni sistemsupojavafedingai efektasenke. Signal seprostirepoviseputanjakrozbezicni kanal, takodanaprijemu suma svih oslabljenih i zakasnelih kopija signala moze rezultovati slabljenjem signala. Kadasemobilnajedinicakreceili sejavljajuprostornepromeneupropagacionomokruzenju, dolazi dopromene rezultujuce amplitude i faze prijemnog signala. To takodje dovodi do slabljenja signala. Podfedingom se podrazumevaju brze promene amplitude na malim rastojanjima kada za slabljenje usledprostiranja vazi predpostavka da je ono priblizno konstantno.Uovomradujerazmatranovisemodelafedingai izvedenesunajvaznijestatistickekarakteris-tikezaovemodele. Pokazanojedaslucajni karakterovihpojava, posebnouprisustvusumovaismetnji, dovodi do toga da se signal na prijemu ponasa kao slucajni proces. Iz tog razloga razvijenisumnogimodelimobilnihkanalakojiomogucavajudasenaosnovustatistikeproceneperformansebezicnih sistema. Postoje razliciti modeli procesa fedinga, kao npr. Rayleigh-ev, Rice-ov, Nakagami-mi Nakagami-q. Posebna paznja posvecena je Nakagami-q modelu kao i Rayleigh-evom koji predstavljaspecijalni slucaj Nakagami-qmodela. Svaki od ovih modela ima primenu za odredjeni tip okruzenja.Rayleigh-evmodel sekoristi uurbanimsredinamakadanepostoji LOSkomponenta, pasesignalprostire samo putem reeksije, difrakcije i rasejanja. Rice-ov model je najvise u upotrebi kada se raz-matraju satelitski sistemi i okruzenje u kome postoji LOS (Line Of Sight) komponenta signala (npr.vangradova). Nakagami-qi Nakagami-mmodel imaju sirokopsegprimenljivosti icestosekoristezbog lake manipulacije.Kadaseprocenjujuperformansesistema, najcescesenavodi verovatnocagreskepri koriscenjurazlicitihmodulacionihpostupaka. Medjutim, pri digitalnomprenosupodataka, fedingprimljenogsignala dovodi do paketskih gresaka. Zbog toga je potrebno poznavati neke druge statisticke osobinekanala. Naprimer, dabi sepronaslaoptimalnaduzinapaketa, potrebnojeodrediti srednjevremetrajanja fedinga (ADF). Takodje, za optimalni izbor kodova za korekciju greske, potrebno je poznavatikoliko puta signal preseca odredjeni nivo u jedinici vremena (LCR). Zato je u ovom radu pomenutimstatistikama drugog reda posvecena narocita paznja.Svi rezultati izozeni u ovom radu mogu se sistematizovati na sledeci nacin:A. Detaljno je opisan prenos signala u kanalima sa fedingom. Denisani su najvazniji modeli kanalasa fedingom i detaljno opisane njihove statisticke karakteristike. Rezultati i zakljucci do kojihsmo dosli, mogu se sistematizovati na sledeci nacin:585. ZAKLJUCAK 59A.1.Najpre je opisan model prostiranja signala po vise putanja. Detaljno je opisan Clarke-ov dvodimenzioni model [3], [12], [8]. Opisana je promena frekvencije signala na prijemu usledkretanjamobilnogprijemnika. Naosnovuovihpromena, i uzpredpostavkudapostoji Nra-zlicitih putanja po kojima se prostire signal, dati su izrazi za elektricno i magnetno polje signalana prijemu. Uz odredjene predpostavke, pokazano je da signal na prijemu ima slucajni karakterpri cemu su amplitude direktne i ortogonalne komponente Gauss-ovi slucajni procesi.A.2. Dat je prikaz osnovih velicina koje opisuju kanal sa fedingom [8]. Posto je utvrdjenoda se signal na prijemu moze modelirati slucajnim procesom, sve prikazane velicine predstavljajustatistike prvog i drugog reda odgovarajucih slucajnih procesa.A.3. OpisanjeRayleigh-jev modelfedinga[8],[17]. Ukazanojenaprimenu ovog modelakada izmedju prijemnika i predajnika ne postoji linija opticke vidljivosti. Takodje je ukazano ina nekoliko prakticnih primena ovog modela.A.4. Slicno razmatranje obavljeno je i za Nakagami-q (Hoyt-ov) model kanala [7], [27], [28].Ovaj model predstavljauopstenjeRayleigh-evogmodelai upraksi pokazujeboljerezultate.Ukazano je na prakticne primene Nakagami-q modela.A.5. Statisticke karakteristike prvog reda izvedene su zajedno za Nakagami-q i Rayleigh-evmodel [28]. Ova dva modela su zajedno razmatrana zbog velike medjusobne slicnosti i cinjenicedajeRayleigh-evmodel specijalni slucaj Nakagami-q modela. Polazeci odfunkcijagustineraspodele (PDF) direktne i ortogonalne komponente signala, kao i uslova da su ove dve kompo-nentesignalanezavisneizvedenisuizrazizaPDFfazeianvelope. Oviizrazisurazmatraniunekoliko specijalnih i granicnih slucaja. Data je i veza Nakagami-q i Nakagami-m modela, kao idrugi nacin predstavljanja funkcije raspodele anvelope [17] u kome gurise parametarq.A.6. Dalje je opisan Rice-ov model koji je u upotrebi kada izmedju prijemnika i predajnikapostoji linijaoptickevidljivosti. Izvedeni suizrazi zastatistikeprvogredai ukazanojenanekoliko primena.A.7. Na kraju je izlozen Nakagami-m model. Ukazano je na cinjenicu da je ovaj model em-pirijski i da se pokazao veoma primenljivim u mnogim situacijama. Dat je izraz za PDF anvelopekao i dva nacina za izvodjenje ovog izraza [10], [25]. Ova dva nacina ustvari predstavljaju modeleodredjenih prenosnih sistema u kojima anvelopa signala ima Nakagami-m raspodelu. Kao sto jevec konstatovano, Nakagami-m model ima mnogo sire primene. Drugi nacin za izvodjenje PDFanvelope (drugi model) [25] je novijeg datuma i daje PDF kako anvelope tako i faze.B. Izvedeni suizrazi zastatistikedrugogredafazei anvelopezakanal saNakagami-qfedingom.Svi dobijeni izrazi dati su i za slucaj Rayleigh-evog fedinga. Ovi rezultati su novijeg datuma imahom su preuzeti iz [27] i [28] a ima jedan broj novih rezultata. Dobijeni rezultati i zakljuccimogu se sistematizovati na sledeci nacin:B.1. Najpresudenisanestatistikedrugogredanekogslucajnogprocesa. Navedenojenekoliko primena statistika drugog reda faze i anvelope.B.2. Izvedenjeizrazzazdruzenufunkcijugustineverovatnoce(JPDF)fazeiizvodafaze(FMsum). Razmatranajei PDFslucajnogFMsumazakojuizraz, nazalost, nijemoguce5. ZAKLJUCAK 60odrediti u zatvorenom obliku. To je moguce za slucaj Rayleigh-evog fedinga i odgovarajuci izrazu zatvorenom obliku je dat.B.3. KoriscenjempredhodnoizvedenogizrazazaJPDFfazei izvodaodredjenjesrednjibroj osnih preseka faze (PLCR). Razmatrano je i nekoliko specijalnih slucajeva kao i slucaj kadasuDoppler-ovefrekvencijeprocesaX1(t)i X2(t)jednake. Utomslucajudobijenjeidenticanizraz kao za Rayleigh-ev feding, odnosno pokazano je da je PLCR faze konstantan.B.4.Izracunate su uslovne gustine anvelope i izvoda faze, uslovljene vrednoscu procesa faze.Svi izrazi su dobijeni u zatvorenom obliku. I ovde je razmotreno nekoliko specijalnih slucajeva.Posmatran je uticaj maksimalnih Doppler-ovih frekvencija procesa X1(t) iX2(t) na ove uslovnegustine. Ove velicine imaju znacajnu ulogu u projektovanju FM prijemnika.B.5. Daljesepristupiloracunanjustatistikadrugogredaanvelope. NajprejeodredjenaJPDFanvelopei izvoda. Integral povrednosti procesafazekoji guriseuovomizrazunijemoguceresiti uzatvorenomoblikuuopstemslucaju. Tojemogucezaslucaj Rayleigh-evogfedingakadasuprocesi fazei izvodafazenezavisni. Ovaj zakljucaknevazi zaNakagami-qfeding.B.6. Iako izraz za JPDF anvelope i izvoda nije bilo moguce izracunati u zatvorenom oblikuuopstemslucaju, zasrednji broj osnihpreseka(LCR)jedobijenizrazuzatvorenomobliku.Takodje je izveden izraz za srednje vreme trajanja fedinga (ADF).C. Statistike prvog i drugog reda su racunate za zbir kosinusnog talasa i Nakagami-q signala. Ovirezultati su originalni i preuzeti iz nasih radova [18], [19] i [20]. Ovaj signal prakticno predstavljageneralizaciju signala na izlazu kanala sa Rice-ovim fedingom.C.1. Najpre je denisan model i izracunate su statistike prvog reda slozenog signala. Sviizrazi suizvedeni podpredpostavkomdajeamplitudakosinusnogsignalakonstantna. Anal-izirano je i nekoliko specijalnih slucaja i pokazano da se u slucaju nulte amplitude dobijeni izrazisvode na odgovarajuce izraze za Nakagami-q feding.C.2. Nakon toga izveden je izraz za JPDF faze i izvoda faze slozenog signala. Ovaj izrazje izveden pod predpostavkom da su amplituda i izvod amplitude u vremenu kosinusnog talasakonstantni. Ova predpostavka ima zickog smisla samo u slucaju da je vrednost izvoda amplitudejednaka nuli,odnosno tada dobijamo slucaj konstantne amplitude. Medjutim sa druge strane,izveden izraz predstavlja uslovnu JPDF za odredjenu vrednost amplitude i izvoda i samim timnam omogucava racunanje statistika drugog reda u slucaju promenljive amplitude.C.3. Izraz u zatvorenom obliku izveden je i za srednji broj osnih preseka faze slozenog sig-nala. Razmotreno je nekoliko specijalnih slucaja i pokazano da se u odgovarajucem specijalnomslucajuovajizrazsvodinaizrazzaPLCRNakagami-qfedinga. DiskutovanjeslucajkadasumaksimalneDoppler-ovefrekvencijeprocesaX1(t)i X2(t)jednake. PokazanojedajePLCRkonstantan jedino u slucaju kada nema kosinusnog talasa.C.4. Odredjenesuiuslovnegustineanvelopeiizvodafaze, uslovljenevrednoscuprocesafaze. I ovde je posmatran uticaj maksimalnih Doppler-ovih frekvencija procesaX1(t) i X2(t) idobijeni su slicni rezultati, kao i u slucaju Nakagami-q fedinga.5. ZAKLJUCAK 61C.5.Srednji broj osnih preseka faze kao i uslovne gustine raspodele anvelope i faze odredjenesui uslucajukadajeamplitudakosinusnogsignalaRayleigh-evproces. Rezultati dobijeniza konstantnu amplitudu i izvod amplitude su usrednjeni koriscenjem odgovarajucih raspodelavrednostiiizvodazaRayleigh-evproces. Uslovnugustinuraspodeleizvodafaze, kaoiJPDFfaze i izvoda nije moguce dobiti u zatvorenom obliku.C.6. Unastavkusurazmatranestatistikedrugogredaanvelopeslozenogsignala. Svaizvodjenja vezana za anvelopu slozenog signala izvedena su pod predpostavkom da je amplitudakosinusnog talasakonstantna. Izveden jeizrazzaJPDFanvelopeiizvoda. Iovdeintegralpovrednosti faze nije bilo moguce izracunati u zatvorenom obliku. Dalje je odredjen LCR anvelopegde takodje nije bilo moguce resiti integral po vrednosti faze. Ovi integrali mogu da se rese unekim specijalnim slucajevima, koji su ovde razmotreni.C.7. Izracunatjetakodjei generalisani srednji broj osnihpresekaanvelope(GLCR)zaslozeni signal. Ova velicina predstavlja srednji broj osnih preseka anvelope kada je vrednost fazeu odredjenom intervalu. Posmatran je i granicni slucaj kada duzina ovog intervala tezi nuli.Nasamomkrajuovograda, napomenimodabidaljaistrazivanjaoveproblematikemogladaseodvijaju u sledecim pravcima:1. Racunanje statistika drugog reda anvelope za slucaj promenljive amplitude kosinusnog signala.Najpre bi bilo potrebno izvesti sve izraze za slucaj konstantne amplitude i izvoda kao sto je toucinjenozafazu, azatimteizrazeusrednjiti odgovarajucimraspodelamazaamplitudukosi-nusnog signala i njen izvod.2. Izvodjenje statistika drugog reda za slucaj kada amplituda kosinusnog talasa i njen izvod imajudrugacije raspodele (npr. lognormalnu, itd.).3. Analizaslozenogsignalakoji sedobijakaozbirkosinusnogtalasai signalanaizlazukanalamodeliranog nekim drugim modelom fedinga (npr. Nakagami-m, Weibull, itd.).4. Izvodjenje statistika drugog reda za diverziti sisteme, pri cemu su sve grane kanali sa Nakagami-qfedingom. Detaljna analiza statistika drugog reda za diverziti sisteme i nekoliko modela fedinga(Rayleigh-ev, Rice-ov, Nakagami-m, Weibull-ov, itd.) datajenpr. u[10]. Kolikojenamapoznato, slicna analiza za Nakagami-q model nije izvrzena.5. Analiza statistika drugog reda za slozeni signal i diverziti sisteme. Napomenuli smo da jedna odkomponenti slozenogsignalamozedaigraulogukorisnogsignala, dokjedrugainterferencija.Ovakav scenario moze da nastane kod diverziti sistema kada postoji preslusavanje izmedju grana.DodatakAVrednostikoriscenihintegralaSvi navedeni izrazi vazeuslucajudasuvrednosti parametararealni brojevi i dajeparametar apozitivan. Za racunanje integrala koriscen je programski paketMATHEMATICA verzija 6.0.1._0x(ax2+b)3/2dx =1ab2._+exp(ax2+bx +c)dx =_a exp_b24a +c_3._+0xexp(ax2+bx +c)dx =exp(c)2ag_b2a_4._+0x2exp(ax2+bx +c)dx =exp(c)4a3/2f_b2a_5._+exp(ax2)g(ax)dx =14_a6._+0xexp(ax2)[1 + erf(bx)]dx =12a_1 +ba +b2_62Literatura[1] A. Annamalai, C. Tellambura, and V. K. Bhargava, Simple and accurate methods for the outageanalysis in cellular mobile radio systemsA unied approach, IEEE Trans. Commun., vol. 49, pp.303316, Feb. 2001.[2] B. Chytil, The distribution of amplitude scintillation and the conversion of scintillation indices,J. Atmos. Terr. Phys., vol. 29, pp. 1175-1177, Sep. 1967.[3] R.H. Clarke, A statistical theory of mobile radio reception, Bell Syst. Tech. J., Vol. 47, pp. 9571000, July 1968.[4] D. B. da Costa, M. D. Yacoub, J. C. S. Santos Filho, G. Fraidenraich, J. R. Mendes, GeneralizedNakagami-m Phase Crossing Rate, IEEE Comm. Letters, Vol. 10, No. 1, January 2006.[5] P. J. Crepeau, Uncoded and coded performance of MFSK and DPSK in Nakagami fading channels,IEEE Trans. Commun., vol. 40, no. 3, pp. 487493, Mar. 1992.[6] I.B. David, S. Shamai, On the Rice model of noise in FM receivers, IEEE Trans. Commun., vol.34, pp. 14061419, Nov. 1988.[7] R.S.Hoyt,Probabilityfunctionsforthemodulusandangleofthenormal complexvariate, BellSyst. Tech. J., vol. 26, pp. 318359, Apr. 1947.[8] W.C. Jakes, Ed., Microwave Mobile Communications, NJ, Wiley, 1997.[9] A.MehrniaandH.Hashemi, Mobilesatellitepropagationchannel partII-Anewmodel anditsperformance, in Proc. IEEE Vehicle Technology Conf. (VTC99), Amsterdam, The Netherlands,pp. 27802784, Sep. 1999.[10] A. Mitic, Statistickekarakteristikesignalaumobilnimtelekomunikacionimdiverziti sistemima,Magistarska teza, Elektronski fakultet u Nisu, 2006.[11] M.Nakagami,Them-distributionAgeneral formulaofintensitydistributionofrapidfading, inStatistical Methods in RadioWave Propagation. New York: Pergamon, 1960, pp. 336.[12] J.D. Parsons, The mobile radio propagation channel, Pentech, London, UK, 1992.[13] M. Patzold Mobile fading channels, John Wiley and Sons, Ltd., England, 2002.[14] S.O. Rice, Statistical properties of sine wave plus random noise, Bell Syst. Tech. J., vol. 27, pp.109157, Jan. 1948.63LITERATURA 64[15] S. O. Rice, NoiseinFMReceivers. ser. TimeSeriesAnalysis, M. Rosenblatt, Ed. NewYork:Wiley, 1963, ch. 25.[16] M. K. Simon and M. S. Alouini, Auniedapproachtotheperformanceanalysisofdigitalcom-munication over generalized fading channels, Proc. IEEE, vol. 86, pp. 1860-1877, Sep. 1998.[17] M.K. Simon, M.S. Alouini, Digital communication over fading channels, NJ, Wiley, 2005.[18] M. Stefanovic, M.D. Petkovic, Envelope Level Crossing Rate of Cosine Signal With Nakagami-qInterference, TELSIKS 2007, Proceeding of papers, Vol. 2, pp. 533536, Nis, Serbia, 2007.[19] M. Stefanovic,M.D. Petkovic,Phaselevel-crossingrateofcosinewaveplusNakagami-qsignal,bice objavljeno.[20] M. Stefanovic, M.D. Petkovic, M.D. Milosevic, Envelope and phase derivative conditional PDFsof cosine wave plus Nakagami-qsignal, bice objavljeno.[21] G.L. Struber, Principles of mobile communications, 2nd ed. Kluwer, Norwell, MA, 2000.[22] C. X. Wang,N. Youssef,M. Ptzold,Level-crossingrateandaveragedurationoffadesofdeter-ministicsimulationmodelsforNakagami-Hoytfadingchannels, inProc.WPMC02, Honolulu,HI, Oct., pp. 272276, 2002.[23] E. W. Weisstein, Central Limit Theorem, FromMathWorld AWolframWeb Resource.http://mathworld.wolfram.com/CentralLimitTheorem.html.[24] M.D. Yacoub, J.E.V. Bautista, L.G.R. Guedes, On higher order statistics of Nakagami-m distri-bution, IEEE Transactions on Vehicular Technology , Vol. 48, pp. 790794, 1999.[25] M.D. Yacoub, G. Fraidenraich, J. Filho, Nakagami-m phase-envelope joint distribution, Electron.Lett., 41(5): 259261, March 2005.[26] N.Youssef,T.Munakata,andT.Mimaki,Level crossingsofphaseofsinewaveplusGaussiannoise, Jpn. J. Appl. Phys., vol. 32, no. 12A, pp. 58155822, Dec. 1993.[27] N.Youssef,W.Elbahri,M.Patzold,S.Elasami,OntheCrossingStatisticsofPhaseProcessesand Random FM Noise in Nakagami-qMobile Fading Channels, IEEE Transactions on Wirelesscommunication, Vol. 4, No. 1, January 2005.[28] N. Youssef, C.X. Wang, M. Patzold, Astudyonthesecondorderstatisticsof Nakagami-Hoytmobile fading channels, IEEE Transactions on Vehicular Technology, Vol. 54, No. 4, July 2005.