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8/7/2019 mcfarland-ling-adder

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C L A a n d L i n g A d d e r s

1 I n t r o d u c t i o n

O n e o f t h e m o s t p o p u l a r d e s i g n s f o r f a s t i n t e g e r a d d e r s a r e C a r r y - L o o k - A h e a d a d d e r s . R a t h e r t h a n

w a i t i n g f o r c a r r y s i g n a l s t o r i p p l e f r o m t h e l e a s t s i g n i c a n t b i t t o t h e m o s t s i g n i c a n t b i t , C L A

a d d e r s d i v i d e d t h e i n p u t s i n t o g r o u p s o f r

b i t s a n d i m p l e m e n t t h e l o g i c e q u a t i o n s t o d e t e r m i n e i f

e a c h g r o u p w i l l g e n e r a t e o r p r o p a g a t e a c a r r y . B y c o m b i n i n g t h e g e n e r a t e a n d p r o p a g a t e s i g n a l s o f

rg r o u p s a t w i t h e a c h s u c c e s s i v e s t a g e o f l o g i c , a C L A a d d e r c a n d e r i v e t h e c a r r y s i n t o e a c h b i t i n

o r d e r l o g

r

ng a t e s i n s t e a d o f o r d e r

nf o r a r i p p l e c a r r y a d d e r . T h i s p a p e r d i s c u s s e s t h e d e s i g n o f a

v e r y s i m p l e 3 2 b i t C L A a d d e r , s o m e i m p r o v e m e n t s t h a t c a n b e m a d e t o t h a t a d d e r , a n d a v a r i a t i o n

o f C L A a d d e r s k n o w n a s L i n g a d d e r s .

2 A S i m p l e C L A A d d e r

A n o v e r v i e w o f t h e a d d e r ' s 4 s t a g e s i s s h o w n i n g u r e 1 w i t h s t a g e 1 a n d t h e t o p a n d s t a g e 4 a t

t h e b o t t o m . I n s t a g e 1 t h e l o c a l g e n e r a t e a n d p r o p a g a t e s i g n a l s f o r e a c h b i t a r e c r e a t e d . I n s t a g e

2 t h e s e s i g n a l s a r e c o m b i n e d t o c r e a t e g e n e r a t e a n d p r o p a g a t e s i g n a l s o u t o f e a c h g r o u p o f 3 b i t s .

I n s t a g e 3 t h e g r o u p s i g n a l s a r e c o m b i n e d i n t o 9 b i t b l o c k s i g n a l s . I n s t a g e 4 t h e c a r r y i n t o e a c h

b l o c k i s c a l c u l a t e d a n d t h e s e s i g n a l s b e g i n t r a v e l i n g b a c k u p t h e a d d e r t r e e . I n s t a g e 3 t h e c a r r y

i n t o e a c h g r o u p i s c r e a t e d , a n d i n s t a g e 2 t h e c a r r y i n t o e a c h b i t i s c r e a t e d . F i n a l l y , s t a g e 1 u s e s

t h e l o c a l c a r r y s i g n a l s t o c a l c u l a t e t h e n a l s u m b i t s .

3

1

3

0

2

9

2

8

2

7

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

1

9

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Group 10 Group 9 Group 8 Group 7 Group 6 Group 5 Group 4 Group 3 Group 2 Group 1 Group 0

Block 3 Block 2 Block 1 Block 0

CB2 CB1

Cout CB3

GB2 PB2 GB1 PB1 GB0GB3 PB3

CG8 CG7 CG6

GG8

PG8

GG7

PG7

GG6

PG6

CG9CG10

GG9

PG9

GG10

PG10

CG5 CG4 CG3

GG5

PG5

GG4

PG4

GG3

PG3

CG2 CG1

GG2

PG2

GG1

PG1

GG0

CIN

F i g u r e 1 : C L A A d d e r

1

From Grant McFarland's Stanford Web Page: http://umunhum.stanford.edu/~farland/notes.html


2/14

2 . 1 G e n e r a t e a n d P r o p a g a t e S i g n a l s

I n t h e r s t s t a g e o f l o g i c t h e a d d e r m u s t c a l c u l a t e t h e l o c a l g e n e r a t e a n d p r o p a g a t e s i g n a l s ( g

i

a n dp

i

) w h i c h t e l l i f e a c h b i t w i l l g e n e r a t e a c a r r y i n t o t h e n e x t b i t o r p r o p a g a t e a c a r r y f r o m t h e

p r e v i o u s b i t .

g

i

= a

i

b

i

( 1 )

p

i

= a

i

+ b

i

( 2 )

I n s t a g e 2 t h e s e s i g n a l s a r e t h e n c o m b i n e d i n t o g r o u p g e n e r a t e s a n d p r o p a g a t e s ( G G

i

a n d P G

i

) f o r

e a c h o f t h e t e n g r o u p s a s f o l l o w s :

G G

0

= g

1

+ p

1

( g

0

+ p

0

c

I N

) ( 3 )

G G

1

= g

4

+ p

1

( g

3

+ p

3

g

2

) ( 4 )

.

.

.

G G

1 0

= g

3 1

+ p

3 1

( g

3 0

+ p

3 0

g

2 9

) ( 5 )

P G

1

= p

4

p

3

p

2

( 6 )

P G

2

= p

7

p

6

p

5

( 7 )

.

.

.

P G

1 0

= p

3 1

p

3 0

p

2 9

( 8 )

w h e r e c

I N

i s t h e c a r r y i n s i g n a l t o t h e l e a s t s i g n i c a n t b i t . S i n c e c

I N

i s i n c l u d e d i n G G

0

, n o g r o u p

p r o p a g a t e s i g n a l f r o m g r o u p 0 i s n e e d e d . T h e g r o u p p r o p a g a t e s i g n a l s a r e f o r m e d w i t h a s i m p l e 3

i n p u t A N D g a t e . T h e g r o u p g e n e r a t e s i g n a l s a r e f o r m e d w i t h t h e f a n i n - 3 g e n e r a t e g a t e s h o w n i n

g u r e 2 . I n s t a g e 3 t h e s e s i g n a l s a r e u s e d t o c r e a t e t h e b l o c k g e n e r a t e a n d p r o p a g a t e s i g n a l s ( G B

i

a n d P B

i

) .

G B

0

=G G

2

+P G

2

(G G

1

+P G

1

G G

0

) ( 9 )

G B

1

=G G

5

+P G

5

(G G

4

+P G

4

G G

3

) ( 1 0 )

G B

2

=G G

8

+P G

8

(G G

7

+P G

7

G G

6

) ( 1 1 )

G B

3

=G G

1 0

+P G

1 0

G G

9

( 1 2 )

P B

1

=P G

5

P G

4

P G

3

( 1 3 )

P B

2

=P G

8

P G

7

P G

6

( 1 4 )

P B

3

=P G

1 0

P G

9

( 1 5 )

A l l t h e b l o c k s c a n u s e t h e s a m e f a n i n - 3 g e n e r a t e g a t e a n d 3 i n p u t A N D g a t e u s e d i n t h e p r e v i o u s

s t a g e e x c e p t f o r b l o c k 3 w h i c h c o n t a i n s o n l y t w o g r o u p s . I t s p r o p a g a t e s i g n a l r e q u i r e s o n l y a 2

i n p u t O R , a n d i t s g e n e r a t e i s c r e a t e u s i n g a f a n i n - 2 g e n e r a t e g a t e s h o w n i n g u r e 3 . H a v i n g c r e a t e d

t h e b l o c k g e n e r a t e a n d p r o p a g a t e s i g n a l s , t h e a d d e r b e g i n s t o n a l l y c r e a t e t h e t r u e c a r r y s i g n a l s .

2


3/14

g4

g4

p4

p4

GG1

g3

g3 p3

p3 g2

g2

F i g u r e 2 : F a n I n - 3 G e n e r a t e G a t e

g0

p1g1

g1

p1 g0

GG0


3


4/14

2 . 2 C a r r y S i g n a l s

I n s t a g e 4 t h e b l o c k g e n e r a t e a n d p r o p a g a t e s i g n a l s a r e u s e d t o c r e a t e t h e c a r r y s i g n a l s i n t o e a c h

b l o c k ( C B

i

) .

C B

1

=G B

0

( 1 6 )

C B

2

=G B

1

+P B

1

G B

0

( 1 7 )

C B

3

=G B

2

+P B

2

(G B

1

+P B

1

G B

0

) ( 1 8 )

C

O U T

=G B

3

+P B

3

C B

3

( 1 9 )

w h e r e C

O U T

i s t h e o v e r o w c a r r y o u t o f t h e e n t i r e a d d e r . T h e s e s i g n a l s t h e n b e g i n t o t r a v e l b a c k

u p t h e a d d e r s t a g e s , r s t f o r m i n g t h e c a r r y i n t o e a c h g r o u p ( C G

i

) i n s t a g e 3 . F o r b l o c k 2 t h e s e

e q u a t i o n s a r e a s f o l l o w s :

C G

6

=C B

2

( 2 0 )

C G

7

=G G

6

+P G

6

C B

2

( 2 1 )

C G

8

=G G

7

+P G

7

(G G

6

+P G

6

C B

2

) ( 2 2 )

I n s t a g e 2 t h e s e g r o u p c a r r y s i g n a l s a r e u s e d t o f o r m t h e l o c a l c a r r y i n t o e a c h b i t ( c

i

) . F o r g r o u p

8 t h e s e e q u a t i o n s a r e a s f o l l o w s :

c

2 3

=C G

8

( 2 3 )

c

2 4

= g

2 3

+ p

2 3

C G

8

( 2 4 )

c

2 5

= g

2 4

+ p

2 4

( g

2 3

+ p

2 3

C G

8

) ( 2 5 )

A l l o f t h e s e s i g n a l s c a n b e c r e a t e d u s i n g t h e f a n i n - 3 a n d f a n i n - 2 g e n e r a t e g a t e s s h o w n i n g u r e s 2

a n d 3 . T h i s m e a n s e a c h c e n t e r g r o u p a n d b l o c k w i l l u s e o n e f a n i n - 3 g a t e a n d o n e O R g a t e t o c r e a t e

g e n e r a t e a n d p r o p a g a t e s i g n a l s f o r t h e s t a g e b e l o w , a n d o n e f a n i n - 3 g a t e a n d o n e f a n i n - 2 g a t e t o

c r e a t e c a r r y s i g n a l s f o r t h e s t a g e a b o v e . T h e w i r i n g o f t h e s e g r o u p s a n d b l o c k s i s s h o w n i n g u r e

4 f o r g r o u p 1 . h e n t h e l o c a l c a r r y s i g n a l s r e a c h s t a g e 1 , t h e y a r e u s e d t o c r e a t e t h e n a l s u m b i t s

( s

i

) a c c o r d i n g t o t h e e q u a t i o n s :

t

i

= a

i

b

i

( 2 6 )

s

i

= t

i

c

i

( 2 7 )

2 . 3 C r i t i c a l P a t h

T h e w o r s t c a s e i n p u t s f o r t h i s a d d e r a r e w h e n a

i

b

i

= 1 f o r a l l t h e i n p u t b i t s a n d t h e n c

I N

i s

t o g g l e d . T h e l o c a l g e n e r a t e s i g n a l s r e q u i r e 3 s e r i e s t r a n s i s t o r s t o f o r m . F o r a n N

b i t C L A a d d e r

c o m b i n i n g r

g r o u p s a t e a c h l e v e l , t h e g e n e r a t e s i g n a l s m u s t t r a v e l u p d

l o g

r

Ne ; 1 l e v e l s o f

r+ 1

s e r i e s t r a n s i s t o r s e a c h . T h e n t h e s i g n a l t r a v e l s d o w n d

l o g

r

Ne ; 2 l e v e l s o f n o m o r e t h a n

r+ 1

4


5/14

Gate IGate IIGate II

p2g2p3g3p4g4

CG1

c2c3c4

GG1 PG1

F i g u r e 4 : G r o u p 1

s e r i e s t r a n s i s t o r s . F i n a l , t h e X O R t o f o r m t h e l o c a l s u m s t a k e s 2 s e r i e s t r a n s i s t o r s . T h e r e f o r e , t h e

m a x i m u m n u m b e r o f s e r i e s t r a n s i s t o r s i n t h e c r i t i c a l p a t h c a n b e w r i t t e n a s :

T

d

= 3 + ( d

l o g

r

Ne ; 1 ) (

r+ 1 ) + (

dl o g

r

Ne ; 2 ) (

r+ 1 ) + 2 ( 2 8 )

T

d

= ( 2d

l o g

r

Ne ; 3 ) (

r+ 1 ) + 5 ( 2 9 )

F o r a 3 2 b i t a d d e r w i t h r

= 3 a s d e s c r i b e d i n t h i s p a p e r t h i s e q u a t i o n g i v e s a m a x i m u m o f 2 5

t r a n s i s t o r s . T h e t r u e c r i t i c a l p a t h i s 2 4 t r a n s i s t o r s s i n c e b l o c k 3 c o n t a i n s o n l y 2 g r o u p s i n s t e a d o f

3 . T h e c r i t i c a l p a t h i s s h o w n i n t a b l e 1 . A l t h o u g h f a s t e r d e s i g n s a r e p o s s i b l e , t h i s a d d e r h a s t h e

O p e r a t i o n S i g n a l D e l a y T o t a l

L o c a l G e n e r a t e g

i

3 3

G r o u p G e n e r a t e G G

i

4 7

B l o c k G e n e r a t e G B

i

4 1 1

B l o c k C a r r y C B

3

4 1 5

G r o u p C a r r y G G

1 0

3 1 8

L o c a l C a r r y c

3 1

4 2 2

L o c a l S u m s

3 1

2 2 4

T a b l e 1 : S i m p l e C L A C r i t i c a l P a t h

a d v a n t a g e o f a r e l a t i v e l y s i m p l e l a y o u t a n d w i r i n g . T h e n e x t s e c t i o n d i s c u s s e s c h a n g e s w h i c h c a n

5


6/14

b e m a d e i n t h i s d e s i g n t o i m p r o v e p e r f o r m a n c e .

3 A n I m p r o v e d C L A A d d e r

T h e c r i t i c a l p a t h d e l a y o f t h e s i m p l e C L A a d d e r d e s i g n p r e s e n t e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n c a n b e

r e d u c e d s i g n i c a n t l y a t t h e p r i c e o f m a k i n g t h e l a y o u t a n d w i r i n g m o r e c o m p l e x .

3 . 1 S i n g l e S t a g e G r o u p G e n e r a t e

T h e r s t i m p r o v e m e n t t o b e m a d e i s u s i n g a s i n g l e c o m p l e x g a t e t o c r e a t e t h e g r o u p g e n e r a t e

a n d p r o p a g a t e s i g n a l s i n a s i n g l e s t a g e d i r e c t l y f r o m t h e a d d e r i n p u t s . I n t h e s i m p l e d e s i g n t h e

e x p r e s s i o n u s e d f o r t h e g r o u p 1 g e n e r a t e s i g n a l w a s a s f o l l o w s :

G G

1

= g

4

+ p

4

( g

3

+ p

3

g

2

) ( 3 0 )

E x p a n d i n g t h i s i n t e r m s o f t h e a d d e r i n p u t s g i v e s :

G G

1

= a

4

b

4

+ (a

4

+ b

4

) a

3

b

3

+ (a

3

+ b

3

) a

2

b

2

] ( 3 1 )

T h i s e q u a t i o n c a n b e i m p l e m e n t e d b y a n N M O S n e t w o r k c o n t a i n i n g 4 s e r i e s t r a n s i s t o r s f o l l o w e d b y

a n i n v e r t e r . T h e P M O S n e t w o r k m u s t i m p l e m e n t t h e c o m p l e m e n t o f t h i s f u n c t i o n , w h i c h n o r m a l l y

w o u l d a l s o r e q u i r e 4 s e r i e s t r a n s i s t o r s . H o w e v e r , t h e r e l a t i o n g

i

p

i

= p

i

c a n b e u s e d t o s i m p l y t h e

e x p r e s s i o n f o r G G

1

a s f o l l o w s :

G G

1

= g

4

p

4

+ g

3

( p

3

+ g

2

) ] ( 3 2 )

G G

1

= p

4

+ g

4

( p

3

+ g

3

g

2

) ] ( 3 3 )

G G

1

= a

4

b

4

+ (a

4

+ b

4

) a

3

b

3

+ (a

3

+ b

3

) (a

2

+ b

2

) ] ( 3 4 )

T h i s s i m p l i e d e x p r e s s i o n c a n b e i m p l e m e n t e d b y a P M O S n e t w o r k w i t h 3 s e r i e s t r a n s i s t o r s f o l l o w e d

b y a n i n v e r t e r . T h e g a t e i m p l e m e n t i n g t h e g r o u p g e n e r a t e f o r g r o u p 1 i s s h o w n i n g u r e 5 . T h e

g a t e i m p l e m e n t i n g t h e g r o u p p r o p a g a t e i s s h o w n i n g u r e 6 . T h i s c h a n g e r e d u c e s t h e t o t a l n u m b e r

o f s e r i e s t r a n s i s t o r s u s e d i n f o r m i n g t h e g r o u p g e n e r a t e s i g n a l s f r o m 7 t o 5 .

3 . 2 C a r r y S e l e c t M u x

T h e s e c o n d i m p r o v e m e n t e l i m i n a t e s t h e n e e d t o t r a v e l b a c k u p t h e a d d e r t r e e a f t e r t h e b l o c k c a r r y s

h a v e b e e n f o r m e d . T h i s i s d o n e b y g e n e r a t i n g t w o s e t s o f s u m b i t s . O n e s e t a s s u m e s t h e c a r r y i n t o

e a c h b l o c k w i l l b e 0 , a n d t h e o t h e r s e t a s s u m e s i t w i l l b e 1 . T h i s c a n o c c u r i n p a r a l l e l w i t h t h e

g e n e r a t i o n o f t h e b l o c k c a r r y s w h i c h a r e t h e n u s e d t o c o n t r o l a m u x w h i c h s e l e c t s t h e p r o p e r s e t o f

s u m b i t s . T h i s i s t h e s a m e m e t h o d u s e d i n c a r r y s e l e c t a d d e r s .

6


7/14

a4

b4 a3

a4 b4

b3

a2

b2

a3 b3

a4

b4

a4 b4

a3

b3

a3 b3

a2 b2

GG1

F i g u r e 5 : C L A G r o u p G e n e r a t e

a2

a3

a4

b2

b3

b4

a4

b4

a3

b3

a2

b2

PG1

F i g u r e 6 : C L A G r o u p P r o p a g a t e

7


8/14

I n t h e s i m p l e C L A a d d e r t h e e q u a t i o n s i m p l e m e n t e d b y g r o u p c a r r y , l o c a l c a r r y , a n d n a l s u m

s t a g e s f o r b i t 2 3 a r e a s f o l l o w s :

s

2 3

= t

2 3

c

2 3

( 3 5 )

s

2 3

= t

2 3

C G

8

( 3 6 )

s

2 3

= t

2 3

G G

7

+P G

7

(G G

6

+P G

6

C B

2

) ] ( 3 7 )

T h i s e x p r e s s i o n i s c o n v e r t e d t o a m u x c o n t r o l l e d b y C B

2

b y d e n i n g t h e s i g n a l s C G F

8

a n d C G T

8

:

C G F

8

=G G

7

+P G

7

G G

6

( 3 8 )

C G T

8

=G G

7

+P G

7

(G G

6

+P G

6

) ( 3 9 )

T h e s i g n a l C G F

8

i s t h e c a r r y i n t o g r o u p 8 a s s u m i n g t h e b l o c k c a r r y i s z e r o , a n d C G T

8

a s s u m e s

t h e b l o c k c a r r y i s o n e . T h e n a l s u m b i t i s t h e n w r i t t e n a s :

s

2 3

=C B

2

C G F

8

t

2 3

] + C B

2

C G T

8

t

2 3

] ( 4 0 )

U s i n g t h e s e s i g n a l s , t h e o t h e r s u m b i t s o f t h e g r o u p a r e w r i t t e n i n s i m i l a r f a s h i o n .

s

2 4

=C B

2

(g

2 3

+ p

2 3

C G F

8

) t

2 4

] + C B

2

(g

2 3

+ p

2 3

C G T

8

) t

2 4

] ( 4 1 )

s

2 5

=C B

2

(g

2 4

+ p

2 4

( g

2 3

+ p

2 3

C G F

8

) ) t

2 4

] + C B

2

(g

2 4

+ p

2 4

( g

2 3

+ p

2 3

C G T

8

) ) t

2 4

] ( 4 2 )

B e c a u s e t h e s i g n a l s C G F

8

a n d C G T

8

w i l l a p p e a r a f t e r t h e l o c a l g e n e r a t e a n d p r o p a g a t e s i g n a l s ,

t h e c r i t i c a l p a t h d e l a y c a n b e f u r t h e r r e d u c e d b y a p p l y i n g t h e s a m e p r i n c i p a l t o m a k e t h e i n p u t s

t o t h e m u x c o n t r o l l e d b y t h e b l o c k c a r r y m u x e s c o n t r o l l e d b y C G F

8

a n d C G T

8

. T h i s a l s o a l l o w s

t h e s i m p l i c a t i o n o f g

i

+ p

i

= p

i

t o b e a p p l i e d .

s

2 3

=C B

2

C G F

8

t

2 3

+C G F

8

t

2 3

] +

C B

2

C G T

8

t

2 3

+C G T

8

t

2 3

] ( 4 3 )

s

2 4

=C B

2

C G F

8

( g

2 3

t

2 4

) + C G F

8

( p

2 3

t

2 4

) ] +

C B

2

C G T

8

( g

2 3

t

2 4

) + C G T

8

( p

2 3

t

2 4

) ] ( 4 4 )

s

2 5

=C B

2

fC G F

8

(g

2 4

+ p

2 4

g

2 3

) t

2 5

] + C G F

8

(g

2 4

+ p

2 4

p

2 3

) t

2 5

] g +

C B

2

fC G T

8

(g

2 4

+ p

2 4

g

2 3

) t

2 5

] + C G T

8

(g

2 4

+ p

2 4

p

2 3

t

2 5

] g( 4 5 )

T h e 3 b i t s l i c e w h i c h i m p l e m e n t s t h e s e f u n c t i o n s i s s h o w n f o r g r o u p 8 i n g u r e 7 . s i n g t h e b i t s l i c e

e l i m i n a t e s t h e n e e d t o g o b a c k u p t h e a d d e r t r e e a f t e r f o r m i n g t h e b l o c k c a r r y s , a n d r e d u c e s t h e

c r i t i c a l p a t h a f t e r t h e b l o c k c a r r y s t o a s i n g l e m u x d e l a y .

B e c a u s e o f t h e r e d u c e d d e l a y f r o m t h e f o r m a t i o n o f t h e b l o c k c a r r y s t o t h e n a l s u m o u t p u t , C

O U T

c a n n o l o n g e r b e i m p l e m e n t e d a s a f u n c t i o n o f C B

2

a s s h o w n i n e q u a t i o n 1 9 w i t h o u t b e c o m i n g t h e

c r i t i c a l p a t h . T o a v o i d t h i s a f a n i n - 4 g e n e r a t e g a t e i s u s e d t o f o r m C

O U T

d i r e c t l y f r o m t h e b l o c k

g e n e r a t e s a n d p r o p a g a t e s .

C

O U T

=G B

3

+P B

3

G B

2

+P B

2

(G B

1

+P B

1

G B

0

) ] ( 4 6 )

T h i s g a t e i s s h o w n i n g u r e 8 a n d r e m o v e s C

O U T

f r o m t h e c r i t i c a l p a t h .

8


9/14

S23S24S25

CB2

p23p24g24 g23

CGT8

CGF8

t25 t24 t23

F i g u r e 7 : S u m S e l e c t i o n S l i c e

GB0

PB1GB1

PB2GB2

PB3GB3

Cout

GB0 PB1

GB1PB2

GB2PB3

GB3


9


10/14


W i t h a s i n g l e s t a g e g r o u p g e n e r a t e t h e c r i t i c a l p a t h m u s t s t i l l p a s s u p d

l o g

r

Ne ; 1 l e v e l s . O f

t h e s e t h e r s t l e v e l w i l l c o n t a i n r

+ 2 s e r i e s t r a n s i s t o r s a n d t h e o t h e r s r

+ 1 . T h e c a r r y s e l e c t

m u x e l i m i n a t e s t h e n e e d t o t r a v e l b a c k u p t h e l e v e l s o f t h e a d d e r t o f o r m t h e l o c a l c a r r i e s . T h e

m u x d e l a y f r o m t h e a r r i v a l o f t h e c o n t r o l s i g n a l i s c o u n t e d a s o n e s e r i e s t r a n s i s t o r t o f o r m t h e

c o m p l e m e n t o f t h e c o n t r o l s i g n a l a n d o n e t r a n s i s t o r t o p a s s t h e i n p u t t o t h e o u t p u t . T h e n u m b e r

o f s e r i e s t r a n s i s t o r s i n t h e c r i t i c a l p a t h i s t h e r e f o r e :

T

d

= (d

l o g

r

Ne ; 1 ) (

r+ 1 ) + 3 ( 4 7 )

F o r t h e 3 2 b i t a d d e r s h o w n h e r e w i t h r

= 3 t h i s g i v e s 1 5 s e r i e s t r a n s i s t o r s . U s i n g t h e s i n g l e s t a g e

g r o u p g e n e r a t e e l i m i n a t e s 2 s e r i e s t r a n s i s t o r s , a n d t h e c a r r y s e l e c t m u x r e d u c e s t h e d e l a y f r o m t h e

f o r m a t i o n o f t h e b l o c k c a r r i e s f r o m 9 s e r i e s t r a n s i s t o r s t o 2 . T h e t o t a l c r i t i c a l p a t h i s r e d u c e d b y 9

s e r i e s t r a n s i s t o r s f r o m a t o t a l o f 2 4 t o 1 5 . T h e n e w c r i t i c a l p a t h i s s h o w n i n t a b l e 2 .



i

5 5


2

4 9


3

4 1 3

R e s u l t M u x s

3 1

2 1 5

T a b l e 2 : I m p r o v e d C L A C r i t i c a l P a t h

4 A L i n g A d d e r

O n e n a l i m p r o v e m e n t t h a t c a n b e m a d e t o C L A d e s i g n i s t h e u s e o f a p s e u d o - c a r r y a s p r o p o s e d

b y L i n g 1 , 2 ] . T h i s m e t h o d a l l o w s a s i n g l e l o c a l p r o p a g a t e s i g n a l t o b e r e m o v e d f r o m t h e c r i t i c a l

p a t h . T o s h o w h o w t h i s i s d o n e t h e g r o u p g e n e r a t e s i g n a l f o r g r o u p 1 i s s h o w n b e l o w :

G G

1

= g

4

+ p

4

g

3

+ p

4

p

3

g

2

( 4 8 )

L i n g o b s e r v e d t h a t e a c h t e r m i n G G

1

c o n t a i n s p

4

e x c e p t f o r t h e v e r y r s t t e r m w h i c h i s s i m p l y g

4

.

H o w e v e r , p

4

c a n s t i l l b e f a c t o r e d o u t o f t h i s e x p r e s s i o n b y n o t i n g t h a t g

i

= p

i

g

i

.

G G

1

= p

4

G G

1

( 4 9 )

G G

1

= g

4

+ g

3

+ p

3

p

2

( 5 0 )

T h e L i n g g r o u p g e n e r a t e s i g n a l ( G G

1

) i s s i m p l e r a n d c a n b e c a l c u l a t e d m o r e q u i c k l y t h a n t h e C L A

g r o u p g e n e r a t e s i g n a l . W h e n e x p a n d e d o u t t h e C L A a n d L i n g g r o u p g e n e r a t e s a r e a s f o l l o w s :

G G

1

= a

4

b

4

+ (a

4

+ b

4

) a

3

b

3

+ (a

3

+ b

3

) a

2

b

2

] ( 5 1 )

G G

1

= a

4

b

4

+ a

3

b

3

+ (a

3

+ b

3

) a

2

b

2

( 5 2 )

1 0


11/14

T h e g a t e u s e d t o i m p l e m e n t t h e g r o u p g e n e r a t e s i g n a l i s s h o w n i n g u r e 9 a n d h a s o n e l e s s s e r i e s

t r a n s i s t o r t h a n t h e e q u i v a l e n t C L A g a t e s h o w n i n g u r e 5 . h e L i n g g r o u p p r o p a g a t e s i g n a l s ( P G

i

)

a4

b4

a3

b3

a2

b2

a3 b3

a4 b4

a3

b3

a3 b3

a2 b2

GG1

F i g u r e 9 : L i n g G r o u p G e n e r a t e

a r e f o r m e d u s i n g t h e s a m e g a t e s a s i n t h e C L A d e s i g n , b u t t h e y a r e s h i f t e d o n e b i t t o t h e r i g h t .

T h e C L A a n d L i n g g r o u p p r o p a g a t e s i g n a l s f o r g r o u p o n e a r e s h o w n b e l o w .

P G

1

= p

4

p

3

p

2

( 5 3 )

P G

1

= p

3

p

2

p

1

( 5 4 )

T h e s e L i n g g r o u p g e n e r a t e a n d p r o p a g a t e s i g n a l s a r e t h e n c o m b i n e d i n t h e s a m e m a n n e r a s b e f o r e

t o c r e a t e b l o c k c a r r y s i g n a l s .

C B

1

=G B

0

( 5 5 )

C B

2

=G B

1

+P B

1

G B

0

( 5 6 )

C B

3

=G B

2

+P B

2

(G B

1

+P B

1

G B

0

) ( 5 7 )

C

O U T

=G B

3

+P B

3

G B

2

+P B

2

(G B

1

+P B

1

G B

0

) ] ( 5 8 )

T h e t r u e C

O U T

i s s i m p l y p

3 1

C

O U T

w h i c h c o u l d b e f o r m e d w i t h a s i m p l e A N D g a t e , b u t t h i s w o u l d

m a k e i t t h e c r i t i c a l p a t h . I n s t e a d , t h e n a l g r o u p g e n e r a t e s i g n a l ( G G

1 0

) i s f o r m e d u s i n g t h e C L A

e x p r e s s i o n r a t h e r t h a n t h e L i n g g r o u p g e n e r a t e . A l s o t h e n a l g r o u p p r o p a g a t e ( P G

1 0

) i s f o r m e d

w i t h a 4 i n p u t A N D i n s t e a d o f a 3 i n p u t A N D t o i n c l u d e p

3 1

. T h e s e c h a n g e s a l l o w t h e t r u e C

O U T

t o b e f o r m e d f r o m t h e b l o c k g e n e r a t e a n d p r o p a g a t e s i g n a l s a s s h o w n a b o v e w i t h o u t m a k i n g i t t h e

c r i t i c a l p a t h .

1 1


12/14

T h e n a l c h a n g e t h a t m u s t b e i m p l e m e n t e d t o c o m p l e t e t h e L i n g a d d e r i s t o i n s e r t i n t o t h e s u m

l o g i c t h e l o c a l p r o p a g a t e s i g n a l w h i c h w a s f a c t o r e d o u t o f e a c h g r o u p g e n e r a t e . T h i s i s d o n e s i m p l y

b y A N D i n g t h e C G F

i

a n d C G T

i

s i g n a l s f o r m e d f r o m t h e L i n g g r o u p g e n e r a t e a n d p r o p a g a t e s

w i t h t h e l o c a l p r o p a g a t e s i g n a l o f t h e m o s t s i g n i c a n t b i t o f t h e p r e v i o u s g r o u p . T h i s c h a n g e i s

s h o w n i n g u r e 1 0 w h i c h d e p i c t s t h e s u m s e l e c t i o n l o g i c f o r g r o u p 8 o f t h e L i n g a d d e r .


T h e o n l y d i e r e n c e i n t h e c r i t i c a l p a t h o f t h e i m p r o v e d C L A a n d t h e L i n g a d d e r i s t h e u s e o f t h e

L i n g g r o u p g e n e r a t e i s t h e r s t s t a g e a s s h o w n i n t a b l e 3 . T h i s a l l o w s t h e g r o u p g e n e r a t e s i g n a l s

t o b e f o r m e d i n r

+ 1 s e r i e s t r a n s i s t o r s i n s t e a d o f r

+ 2 . T h e c h a n g e s i n t h e s u m s e l e c t i o n l o g i c a r e

o t h e c r i t i c a l p a t h a n d h a v e n o e e c t o n t h e t o t a l d e l a y . T h e r e f o r e , t h e s e r i e s t r a n s i s t o r s i n t h e

c r i t i c a l p a t h c a n b e w r i t t e n a s :

T

d

= (d

l o g

r

Ne ; 1 ) (

r+ 1 ) + 2 ( 5 9 )

F o r a 3 2 b i t a d d e r w i t h r

= 3 t h e n e t i m p r o v e m e n t o f a L i n g a d d e r o v e r t h e i m p r o v e d C L A a d d e r

i s a t o t a l d e l a y o f 1 4 s e r i e s t r a n s i s t o r s i n s t e a d o f 1 5 .



i

4 4


2

4 8


3

4 1 2

R e s u l t M u x s

3 1

2 1 4

T a b l e 3 : L i n g C r i t i c a l P a t h

1 2


13/14

S23S24S25

p23p24g24 g23t25 t24 t23 p22

CGT*8

CGF*8

CB*2

F i g u r e 1 0 : L i n g S u m S e l e c t i o n S l i c e

1 3


14/14

R e f e r e n c e s

1 ] H . L i n g . H i g h s p e e d b i n a r y p a r a l l e l a d d e r . I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m p u t e r s , E C - 1 5 ( 5 ) : 7 9 9 {

8 0 2 , O c t o b e r 1 9 6 6 .

2 ] H . L i n g . H i g h s p e e d b i n a r y a d d e r . I B M J o u r n a l o f R e s e a r c h a n d D e v e l o p e m e n t , 2 5 ( 3 ) : 1 5 6 { 1 6 6 ,

M a y 1 9 8 1 .

3 ] R . B r e n t a n d H . K u n g . A r e g u l a r l a y o u t f o r p a r a l l e l a d d e r s . I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m p u t e r s ,

C - 3 1 ( 3 ) : 2 6 0 { 2 6 4 , M a r c h 1 9 8 2 .

4 ] G . B e w i c k , P . S o n g , G . D e M i c h e l i , a n d M . F l y n n . A p p r o a c h i n g a n a n o s e c o n d : A 3 2 - b i t a d d e r .

I n P r o c e e d i n g s o f t h e I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n C o m p u t e r D e s i g n , p a g e s 2 2 1 { 2 2 4 , 1 9 8 8 .

5 ] I . H w a n g a n d A . F i s h e r . A 3 . 1 n s 3 2 b C M O S a d d e r i n m u l t i p l e o u t p u t d o m i n o l o g i c . I n

I n t e r n a t i o n a l S o l i d S t a t e C i r c u i t s C o n f e r e n c e , p a g e s 1 4 0 { 1 4 1 , 1 9 8 8 .

6 ] A . O m o n d i . C o m p u t e r A r i t h m e t i c S y s t e m s : A l g o r i t h m s , A r c h i t e c t u r e a n d I m p l e m e n t a t i o n s .

P r e n t i c e H a l l , 1 9 9 4 .

7 ] N . Q u a c h a n d M . F l y n n . H i g h - s p e e d a d d i t i o n i n C M O S . T e c h n i c a l R e p o r t C S L - T R - 9 0 - 4 1 5 ,

S t a n f o r d U n i v e r s i t y , F e b r u a r y 1 9 9 0 .

8 ] S . W a s e r a n d M . F l y n n . I n t r o d u c t i o n t o A r i t h m e t i c f o r D i g i t a l S y s t e m s D e s i g n e r s . H o l t s ,

R i n e h a r t a n d W i n s t o n , 1 9 8 2 .

1 4

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