Embed Size (px)
Citation preview
1
MỤC LỤC
CHƯƠNG 1 : TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC .......................................................... 4
1.1 Mở đầu .............................................................................................................................. 4
1.1.1 Phân loại tín hiệu........................................................................................................ 4
1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing) ................................................... 7
1.2 Tín hiệu rời rạc.................................................................................................................. 7
1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc............................................................................................ 7
1.2.2 Các tín hiệu rời rạc..................................................................................................... 9
1.2.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc ............................................................................ 13
1.3 Hê thống tuyến tính bất biến ........................................................................................... 18
1.3.1 Hệ thống tuyến tính.................................................................................................. 19
1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến .................................................................................... 21
1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả................................................................ 26
1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả ổn định ....................................................... 29
1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng .................................................................. 31
1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính ............................................................................. 31
1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng ........................................................... 32
1.4.3 Hệ thống số đệ quy(trong lối ra có các lối ra).......................................................... 35
1.4.4 Hệ thống số không đệ quy........................................................................................ 35
1.4.5 Các phần tử thực hiện hệ thống bất biến.................................................................. 36
1.5 Tương quan chéo của các tín hiệu................................................................................... 38
1.5.1 Tương quan chéo...................................................................................................... 38
1.5.2 Hàm tự tương quan .................................................................................................. 39
CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC.................................... 40
TRONG MIỀN Z..................................................................................................................... 42
2.1 Mở đầu ............................................................................................................................ 42
2.2 Biến đổi Z (ZT) ............................................................................................................... 42
2.2.1 Định nghĩa................................................................................................................ 42
2.2.2 Sự tồn tại của biến đổi z........................................................................................... 43
2.2.3 Một vài biến đổi Z thông dụng................................................................................. 48
2.3 Biến đổi Z ngược............................................................................................................. 48
2.3.1 Tính trực tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư ..................................................... 48
2.3.2 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa .......................................................... 50
2.3.3 Phương pháp khai triển thành tổng của các phân thức tối giản................................ 51
2
2.4 Các tính chất của biến đổi Z............................................................................................ 53
2.4.1 Tính chất tuyến tính ................................................................................................. 54
2.4.2 Tính chất trễ ............................................................................................................. 54
2.4.3 Tính chất nhân với hàm mũ an ................................................................................. 55
2.4.4 Đạo hàm của biến đổi Z ( tính đạo hàm của n.x(n) ) ............................................... 56
2.4.5 Tích chập của hai dãy............................................................................................... 56
2.4.6 Tương quan của hai tín hiệu..................................................................................... 58
2.4.7 Dãy liên hợp phức .................................................................................................... 59
2.4.8 Định lý giá trị ban đầu.............................................................................................. 59
2.4.9 Tích của hai dãy ....................................................................................................... 60
2.5 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z ......................................................................... 60
2.5.1 Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc ........................................................................ 60
2.5.2 Hàm truyền đạt của một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi phương
trình sai phân tuyến tính hệ số hằng.................................................................................. 60
2.5.3 Các phần tử thực hiện hệ thống tuyến tính bất biến................................................. 61
2.5.4 Phân tích hệ thống trong miền Z.............................................................................. 63
2.5.5 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng nhờ biến đổi Z ........................... 64
2.6 Độ ổn định của hệ thống ................................................................................................. 66
2.6.1 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến..................................................... 66
2.6.2 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả ................................ 66
2.6.3 Tiêu chuẩn ổn định Jury........................................................................................... 67
CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC.................................... 70
TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC..................................................................................... 72
3.1 Biến đổi Fourier của các tín hiệu rời rạc ......................................................................... 72
3.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier (Fourier Transform )................................................... 72
3.1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier................................................................................. 74
3.1.3 Biến đổi Fourier ngược (Inverse Fourier Transform) .............................................. 75
3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier .................................................................................. 77
3.2.1 Tính chất tuyến tính ................................................................................................. 77
3.2.2 Tính chất trễ ............................................................................................................. 78
3.2.3 Tính chất trễ tần số ................................................................................................... 79
3.2.4 Tích chập của hai dãy............................................................................................... 80
3.2.5 Tính chất đối xứng ................................................................................................... 81
3.2.6 Tương quan giữa hai tín hiệu ................................................................................... 81
3
3.2.7 Quan hệ Parseval...................................................................................................... 81
3.2.8 Tích của hai dãy ....................................................................................................... 82
3.2.9 Vi phân trong miền tần số ........................................................................................ 83
3.2.10 Tính chất đảo biến số ............................................................................................. 83
3.3 So sánh biến đổi Fourier và biến đổi Z ........................................................................... 84
3.3.1 Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z ........................................................... 84
3.3.2 Đánh giá hình học X(ejw) trên mặt phẳng Z............................................................. 85
3.4 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục ..................................................... 86
3.4.1 Đáp ứng tần số ......................................................................................................... 86
3.4.2 Các bộ lọc số lý tưởng.............................................................................................. 87
3.5 Lấy mẫu tín hiệu.............................................................................................................. 91
3.5.1 Định lý lấy mẫu........................................................................................................ 91
3.5.2 Tần số Nyquist ......................................................................................................... 93
CHƯƠNG 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC.................................... 94
TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC....................................................................................... 95
4.1 Mở đầu ............................................................................................................................ 95
4.2 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N .............................. 95
4.2.1 Các định nghĩa ......................................................................................................... 95
4.2.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần hoàn...................... 97
có chu kỳ N ....................................................................................................................... 97
4.3 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài.......................... 99
hữu hạn.................................................................................................................................. 99
4.3.1 Các định nghĩa ......................................................................................................... 99
4.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy có chiều ...................... 100
dài hữu hạn...................................................................................................................... 100
4.3.3 Khôi phục biến đổi Z và biến đổi Fourier từ DFT ................................................. 102
4.4 Biến đổi nhanh Fourier rời rạc (FFT)............................................................................ 103
4.4.1 Mở đầu ................................................................................................................... 103
4.4.2 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian................................................... 106
4.4.3 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo tần số ....................................................... 110
4.4.4 Tình FFT ngược ..................................................................................................... 111
4
CHƯƠNG 1 : TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
1.1 Mở đầu
1.1.1 Phân loại tín hiệu
1.1.1.1 Định nghĩa tín hiệu
Tín hiệu là biểu diễn vật lý của thông tin hay là một biểu hiện của tin tức.
Ví dụ:
- Các tín hiệu nhìn thấy là các sóng ánh sáng mang thông tin tới mắt chúng ta.
- Các tín hiệu nghe thấy là các sự biến đổi của áp suất không khí truyền thông
tin tới tai chúng ta.
1.1.1.2 Biểu diễn toán học của tín hiệu
Về mặt toán học, tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của một hoặc nhiều biến số
độc lập.
Ví dụ : Ta có tín hiệu microphone Sa(t) được biểu diễn trên hình 1.1
Hình 1.1 Đồ thị biểu diễn tín hiệu microphone Sa(t)
Từ hình 1.1 ta thấy Sa(t) là hàm một biến số, biến số này là thời gian t. Vì là hàm
của một biến nên ta còn gọi là tín hiệu một chiều.
Sa(t)
n 0
t
5
1.1.1.3 Phân loại tín hiệu
Chúng ta chia tín hiệu ra làm hai nhóm lớn: Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc.
1.1.1.3.1 Định nghĩa tín hiệu liên tục
Nếu biến độc lập của sự biến đổi toán học của một tín hiệu là liên tục, thì tín
hiệu đó được gọi là tín hiệu liên tục.
Như vậy theo định nghĩa tín hiệu liên tục, thì từ liên tục ở đây được hiểu là liên
tục theo biến số.
Nếu dựa vào hàm số, chúng ta có thể phân loại tín hiệu liên tục ra làm hai loại:
- Tín hiệu tương tự
- Tín hiệu lượng tử hóa.
*) Tín hiệu được gọi là tín hiệu tương tự nếu hàm của tín hiệu liên tục là liên tục.
*) Tín hiệu được gọi là tín hiệu lượng tử hóa nếu hàm của tín hiệu liên tục là rời
rạc.
Mỗi mức lượng tử được chỉ định một giá trị số 8 bit, kết hợp 8 bit có 256 mức
hay giá trị. Qui ước bit đầu tiên dùng để đánh dấu giá trị âm hoặc dương cho mẫu.
Bảy bít còn lại biểu diễn cho độ lớn; bit đầu tiên chỉ nửa trên hay nửa dưới của dãy,
bit thứ hai chỉ phần tư trên hay dưới, bit thứ 3 chỉ phần tám trên hay dưới và cứ thế.
Ví dụ: Chúng ta có hai tín hiệu liên tục có biến số là thời gian t được biểu diễn trên
hình 1.2a là tín hiệu tương tự và hình 1.2b là tín hiệu lượng tử hóa.
(a) (b)
Hình 1.2 Đồ thị biểu diễn tín hiệu tương tự và tín hiệu lượng tử hóa
69
59
49
39
29
19
9
t t
xa(t) xa(t)
6
1.1.1.3.2 Định nghĩa tín hiệu rời rạc
Nếu tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của các biến rời rạc, thì tín hiệu đó được
gọi là tín hiệu rời rạc.
Theo định nghĩa thì từ rời rạc ở đây được hiểu là rời rạc theo biến số.
Nếu dựa vào biên độ, chúng ta cũng có thể phân loại tín hiệu rời rạc ra làm hai
loại :
- Tín hiệu lấy mẫu
- Tín hiệu số
Tín hiệu được gọi là tín hiệu lấy mẫu nếu hàm của tín hiệu rời rạc là liên tục
(không được lượng tử hóa)
Tín hiệu được gọi là tín hiệu số nếu hàm của tín hiệu rời rạc là rời rạc. Như vậy
tín hiệu số được gọi là tín hiệu rời rạc hóa cả về biến số và biên độ. Còn tín hiệu
tương tự là tín hiệu liên tục cả về biến số và biên độ.
Ví dụ : Chúng ta có hai tín hiệu rời rạc có biến số là thời gian t được biểu diễn trên
hình 1.3, thời gian t được rời rạc hóa với chu kỳ Ts. Hình 1.3 (a) là tín hiệu lấy mẫu
và (b) là tín hiệu số.
(a) (b)
Hình 1.3 Đồ thị biểu diễn tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số
n.Ts n.Ts
xs(n.Ts) xd(n.Ts)
7
1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing)
Ta có sơ đồ tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu (theo hình 1.4):
Hình 1.4 Sơ đồ tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu
Trong đó:
- LPF: Low Pass Fillter (Bộ lọc thông thấp).
- S&H: Sample And Hold (lấy và giữ mẫu)
- ADC: Analog Digital Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu tương tự - số)
- DAC: Digital Analog Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu sô – tương tự)
* Nhận xét:
- Tín hiệu tương tự ở đầu vào được chuyển sang dạng số nhờ một hệ biến đổi tương
tự - số ADC.
- Tín hiệu tương tự ở đầu ra được thiết lập lại nhờ hệ biến đổi số - tương tự DAC.
Như vậy, tín hiệu của bộ biến đổi ADC là tín hiệu số Xd(n), đó là tín hiệu của hệ
thống xử lý tín hiệu số DSP, DSP làm nhiệm vụ xử lý tín hiệu số Xd(n) và đưa ra tín
hiệu số Yd(n).
1.2 Tín hiệu rời rạc
1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc
Tín hiệu rời rạc có hai loại :
- Tín hiệu lấy mẫu, ký hiệu là xs(nTs)
- Tín hiệu số, ký hiệu là xs(nTs)
Ký hiệu chung : x(nTs)
Xa(t) LPF Đưa qua S&H ADC
DSP DAC LPF Ya(t)
Xd(t) Yd(t)
x(n) x(n)
8
Có ba cách biểu diễn tín hiệu rời rạc hay dùng là :
- Biểu diễn bằng biểu thức toán học
- Biểu diễn bằng đồ thị
- Biểu diễn bằng liệt kê các phần tử.
1.2.1.1 Biểu diễn toán học
Biểu diễn toán học với N1 ≤ n ≤ N2
x(n) =
0 với n < 0
Với: n, N1, N2 là nguyên (còn các giá trị không nguyên, ta không xét)
Ví dụ: Hãy cho cách biểu diễn toán học của một tín hiệu rời rạc nào đó.
1 với 0 ≤ n ≤ 3
x(n) =
0 với n còn lại
Ở đây N1 = 0, N2 = 3
Biểu thức toán học ở đây là 1
1.2.1.2 Biểu diễn bằng đồ thị
Để tiện minh họa một cách trực quan, trong nhiều trường hợp chúng ta dùng đồ
thị để biểu diễn tín hiệu.
Ví dụ: Hãy vẽ đồ thị tín hiệu rời rạc trong ví dụ trên
1 với 0 ≤ n ≤ 3
x(n) =
0 với n còn lại
Hình 1.5 Biểu diễn tín hiệu bằng đồ thị
31 2
1
40-1
x(n)
n
9
1.2.1.3 Biểu diễn bằng dãy số
Chúng ta biểu diễn bằng cách liệt kê các giá trị của x(n) thành một dãy số như
sau :
x(n)=…, x(n-1), x(n), x(n-1), …
n
Để chỉ ra các giá trị của x(n) tại vị trí thứ n, ta dùng kí hiệu n , bởi vì khi dùng
biểu diễn này ta không biết đâu là x(n).
Ví dụ: Biểu diễn dãy sau bằng cách liệt kê các phần tử
1 với 0 ≤ n ≤ 3
x(n) =
0 với n còn lại
Giải :
x(n) = …, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0,…
0
0 : ngụ ý rằng x0 = 1
1.2.2 Các tín hiệu rời rạc
1.2.2.1 Dãy xung đơn vị
Kí hiệu: δ(n) (n là số nguyên )
Trong miền n, dãy xung đơn vị được định nghĩa như sau :
≠
==
00
01)(
nKhi
nKhinδ
Ví dụ : Biểu diễn δ(n) δ(n-5) bằng đồ thị
Giải :
- Với δ(n):
- Với δ(n-5): 21
1
-1-2 0
n
10
Hình 1.6 Biểu diễn δ(n) và δ(n-5) bằng đồ thị
Mở rộng có dãy xung đơn vị δ(n - k) , với k là hằng số nguyên dương hoặc âm :
≠
==−
knKhi
knKhikn
0
1)(δ
Trên hình 1.6 là đồ thị của các dãy xung đơn vị δ(n - 5)
1.2.2.2 Dãy nhảy đơn vị
Dãy nhảy đơn vị được định nghĩa như sau trong miền n :
<
≥=
00
01)(
nKhi
nKhinu
Đồ thị của dãy u(n) có dạng như hình vẽ sau :
Hình 1.7 biểu diễn u(n) bằng đồ thị
Tổng quát, ta có:
<
≥=−
knKhi
knKhiknu
0
1)(
<
≥=+
−
knKhi
nKhiknu
k
0
1)(
3-1 21
. . . .
. . . . ∞0
1
u(n)
n
11
Ví dụ : Biểu diễn u(n-2) và u(n+2) bằng đồ thị
Hình 1.8 Biểu diễn u(n-2) và u(n+2) bằng đồ thị
1.2.2.3 Dãy chữ nhật
Trong miền n, dãy chữ nhật được định nghĩa như sau:
≠
−≤≤=
n
Nnnrect
N0
1 10)(
Đồ thị của rectN(n) có dạng như hình bên :
Mở rộng có dãy chữ nhật rectN(n-k) với k là số nguyên dương hoặc âm.
≠
−+≤≤=−
n
kNnkknrect
N0
1 1)(
≠
−−≤≤−=+
n
kNnkknrect
N0
1 1)(
Ví dụ : Biểu diễn rectN(n-2) và rectN(n+2) bằng đồ thị
Hình 1.9 Biểu diễn rectN(n-2) và rectN(n+2) bằng đồ thị.
0 1 2
1
-1 43 5 0 1-3
1
-2 -1
. . . .
∞ ∞. . . .
. . . .
. . . .
n n
-1
. . . .
1
. . . .210 (N-1)
n
1 1
650 0-2 -13 32 -3 241 1-4-1
12
1.2.2.4 Dãy mũ thực
Dãy hàm mũ thực được định nghĩa như sau trong miền n :
an với n ≥ 0
e(n) =
0 với n < 0
Dãy này tăng hay giảm phụ thuộc vào tham số a lớn hơn hay nhỏ hơn 1 như trên
hình 1.10 (a) và (b) trong ví dụ dưới đây :
Hình 1.10 Dãy mũ thực.
Ta thấy, với a > 1 thì hàm e(n) đồng biến, còn với 0 <a <1 thì hàm e(n) nghịch
biến. Nếu a <0 thì hàm e(n) là không đồng biến và cũng không nghịch biến.
1.2.2.5 Dãy hình sin
Dãy hàm sin có dạng như sau :
( )nnnxN
0sinsin)(2
ωπ
=
= với
N
πω
20 =
Dãy sin(ω0.n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên tục, và tuần hoàn
với chu kỳ N. Đồ thị của dãy sin(ω0.n) ở hình 1.11 dưới đây :
Hình 1.11 Đồ thị dãy sin(w0n) với N=10
e(n) e(n)
n n
0<a<1 (a) a>1 (b)
1 1
-0,95
-0,59
321 104
0,59
-10 -5 5
0,95
13
1.2.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc
1.2.3.1 Định nghĩa dãy tuần hoàn (dãy chu kì)
Một dãy x(n) được gọi là tuần hoàn với chu kì N nếu :
x(n) = x(n+N) = x(n+kN) với n, k, N nguyên, N: chu kỳ tuần hoàn.
Ta kí kiệu dãy tuần hoàn như sau : xp(n)
Ví dụ: Hãy vẽ một dãy tuần hoàn với chu kỳ N=4
Giải :
Dãy xp(n) cho trên hình 1.11
Hình 1.11 Biểu diễn dãy tuần hoàn bằng đồ thị.
1.2.3.2 Định nghĩa dãy có chiều dài hữu hạn
Một dãy x(n) xác định với một số hữu hạn mẫu thì được gọi là dãy có chiều dài
hữu hạn (chiều dài của dãy tính bằng số mẫu có giá trị khác 0)
Ví dụ: Tính chiều dài của các dãy số (hay các tín hiệu rời rạc)
- L[δ(n)] = 1
- L[u(n)] = [0,+ ∞] = ∞
- L[rectN(n)] = [0,N-1] = N
- L[x(n)] = [-∞,+∞] = ∞
- L[e(n)] = ∞
xp(n)
n
0
14
1.2.3.3 Năng lượng và công suất của dãy
1.2.3.3.1 Năng lượng của dãy
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
∑−
=
=1
0
2)(
N
n
x nxE
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):
∑−=
=N
Nn
x nxE2
)(
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
∑∞
=
=0
2)(
n
x nxE
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
∑∞
−∞=
=n
x nxE2
)(
Ví dụ 1: Tính năng lượng của các dãy sau:
a.x1(n) = rect3(n)
b. )(2
1)(
2nun
n
x
=
Giải: a. Ta có:
3111)()(2
0
22
3
2
11 1 =++==== ∑∑∑=
∞
−∞=
∞
−∞= nnn
x nnx rectE
b. Ta có:
( )11
1:
3
4
41
1
1)(
2
1)(
0
0 0
22
2
22
41
21
<−
=
=
−
===
==
∑
∑ ∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
−∞=
∞
−∞=
aa
vì
n
nunx
n
n
n
n nn
n
n
x
a
E
15
1.2.3.3.2 Công suất trung bình của dãy
Công suất trung bình Px của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
∑−
=
===1
0
22 )()(1 N
n
x nxnxNN
xEP
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):
∑−=
=+
=+
=N
Nn
xx nxnx
NN
EP )()(
)()(22
12
1
12
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
∑−
=∞→∞→
===1
0
22)()(
1 N
nNNx nxnxLimLim
NN
xEP
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
∑−=∞→∞→
=+
=+
=N
NnN
x
Nx nxnxLimLim
NN
EP )()(
)()(22
12
1
12
Ví dụ: Tính năng lượng và công suất trung bình của các dãy tín hiệu sau:
a. )1(2)(1
−= nunn
x
b. )()3()3()( 32nrectnununx ++−−=
Giải:
a.Năng lượng và công suất trung bình của dãy tín hiệu x1(n) được tính như sau:
∞==−== ∑ ∑∑∞
−∞=
∞
=
∞
−∞= n n
nn
n
x nunxE
1
22
11 4|)1(2|)(
∞=−
−=
=−
−
+=
+=
=+
=+
=
∞→
∞→=
∞→
−=∞→∞→
∑
∑
6
4ln*4lim
41
41
1*2
1lim4
1*2
1lim
)(1*2
1lim
1*2lim
1
2
11
1
N
N
N
N
N
n
n
N
N
NnN
x
Nx
NN
nxNN
EP
16
b. Ta có: )()3()()3()3()( 3632nrectnrectnrectnununx ++=++−−=
Năng lượng và công suất trung bình của dãy tín hiệu x2(n) là:
∑
∑∑
−=
∞
−∞=
∞
−∞=
=+++++=++=
=++==
2
3
2222222
36
236
2
22
15222111)()3(
|)()3(|)(
n
nn
x
nrectnrect
nrectnrectnxE
01*2
15lim
1*22lim
2=
+∞→=
+∞→=
NNN
E x
NxP
1.2.3.4 Các phép toán đối với tín hiệu rời
1.2.3.4.1 Phép cộng hai tín hiệu
Tổng của hai dãy thu được là một dãy bằng cách cộng đôi một giá trị mẫu của
các phần tử có cùng trị số của biến độc lập.
Ví dụ: Cho hai dãy x1(n) = rect3(n-1) và x2(n) = rect2(n-2)
Tìm và vẽ x3(n) = x1(n)+x2(n)
Giải :
- Vẽ x1(n) :
- Vẽ x2(n) :
1
0
x(n)
n
1 2 3
17
Vẽ x3(n) :
Hình 1.12 Đồ thị biểu diễn các tín hiệu x1(n), x2(n) và x3(n)
1.2.3.4.2 Phép nhân hai tín hiệu
Tích của hai dãy thu được là một dãy thu được bằng cách đem nhân tương ứng
các phần tử có cùng trị số của biến độc lập.
Ví dụ : Cho hai dãy số x1(n) và x2(n) như ví dụ trên
Tính x3(n) = x1(n).x2(n)
Giải : Vẽ x3(n)
Hình 1.13 Đồ thị biểu diễn x3(n)
x3(n)
n
1 2 3
1
2
1 2 3
1
0
x(n)
n
1
x(n)
n
1 2 3
18
1.2.3.4.3 Phép nhân tín hiệu với một hằng số
Tích của một dãy với một hằng số là một dãy nhận được bằng cách nhân tất cả
các giá trị mẫu của dãy với chính một hằng số đó.
Ví dụ: cho x1(n) = rect3(n-1), tìm x2(n) = 2.x1(n)
Giải :
1 với 1 3≤≤ n
x1(n) = rect3(n-1) =
0 với n còn lại
2 với 1 3≤≤ n
⇒ x2(n) = 2.x1(n) = 2.rect3(n-1) =
0 với n còn lại
1.2.3.4.4 Phép trễ (dịch)
Dãy y(n) được gọi là trễ dịch lặp lại của x(n) nếu y(n) = x(n-n0) với mọi n, n0
nguyên.
Ví dụ :
1-4
n với 1 3≤≤ n
Cho x1(n) =
0 với n còn lại
Tìm y(n) = x(n-2) = ?
Giải :
≠
≤≤−
−=−=
n
nn
nxny
0
534
21
)2((
*)Nhận xét: Qua ví dụ trên ta thấy, khi tín hiệu x(n) bị trễ đi 2 mẫu trong miền thời
gian thì đồ thị của hàm y(n) = x(n-2) sẽ dịch chuyển sang phải 2 mẫu. Tổng quát, ta
có khi tín hiệu bị trễ đi n0(n0>0) mẫu trong miền thời gian thì đồ thị của nó bị dịch
sang phải n0 mẫu, nếu n0 < 0 thì đồ thị của nó lại dịch chuyển sang trái đi n0 mẫu.
19
1.3 Hê thống tuyến tính bất biến
1.3.1 Hệ thống tuyến tính
1.3.1.1 Định nghĩa
Ký hiệu hệ thống:
- Dãy vào được gọi là dãy kích thích (hoặc kích thích).
- Dãy ra được gọi là dãy đáp ứng.
1.3.1.2 Đặc trưng của hệ thống
Một hệ thống xử lý số được đặc trưng bởi toán tử T, toán tử T làm nhiệm vụ
biến đổi dãy vào thành dãy ra.
Ký hiệu: T[x(n)] = y(n) hoặc x(n) y(n)
Ta có thể biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ :
1.3.1.3 Hệ thống tuyến tính
Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu toán tử T của nó thỏa mãn nguyên lý
xếp chồng, tức là :
T[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] = a.y1(n) + b.y2(n)
Với mọi a,b là hằng số.
Trong đó: - y1(n) là đáp ứng của kích thích x1(n)
- y2(n) là đáp ứng của kích thích x2(n)
Ta xét 2 trường hợp:
+Nếu a = b = 1 thì T[x1(n) + x2(n)] = T[x1(n)] + T[x2(n)] = y1(n) + y2(n)
=>Hệ thống tuyến tính có tính tổ hợp
+Nếu b = 0 thì T[a.x1(n)] = a.T[x1(n)] = a. y1(n)
=>Hệ thống tuyến tính có tính tỉ lệ.
Vậy hệ thống tuyến tính vừa có tính tổ hợp, vừa có tính tỉ lệ.
Dãy ra Dãy vào
Hệ thống y(n)
x(n)
T
T x(n) y(n)
20
Ví dụ : Kiểm tra tính chất tuyến tính của các hệ thống sau :
a. T[x(n)] = 2. x(n)
b. T[x(n)] = x2(n)
c. T[x(n)] = n.x(n)
d. T[x(n)] = 4.x(n) + 3
Giải:
a. T[x(n)] = 2. x(n)
⇔ T[a.x1(n) + b.x2(n)] = 2(a.x1(n) +b.x2(n)) = a.2.x1(n) + b.2.x2(n)
= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] (thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)
Vậy hệ thống là tuyến tính
b. T[x(n)] = x2(n)
Ta có: T[a.x(n) + b.x(n)] = [a.x1(n) + b.x2(n)]2
= a2.x21(n) + b2.x2
2 (n) + 2.a.x1(n).b.x2(n)
≠ a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]
(không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)
Vậy hệ thống không phải là hệ thống tuyến tính.
c. T[x(n)] = n.x(n)
Ta có: T[a.x1(n) + b.x2(n)] = n.(a.x1(n)+b.x2(n)) = a.n.x1(n) + b.n.x2(n)
= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]
(thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)
Vậy hệ thống đã cho là hệ thống tuyến tính.
d. T[x(n)] = 4.x(n) + 3
Ta có: T[a.x1(n) + b.x2(n)] = 4.(a.x1(n) + b.x2(n)) + 3
= 4.a.x1(n) + 3.a +4.b.x2(n) + 3.b +3 – 3.a – 3.b
= a.( 4.x1(n) + 3) + b.( 4.x2(n) + 3) + 3 - 3.a – 3.b
= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] + 3 – 3.a -3.b
≠ a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] (với a = 1, b = 1 chẳng hạn)
(Không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)
Vậy hệ thống đã cho không phải là hệ thống tuyến tính.
21
1.3.1.4 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính
Một dãy bất kỳ x(n) có thể được biểu diễn tổng quát như sau :
Giả sử ta có một hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi toán tử T (T thỏa mãn
nguyên lý xếp chồng), ta có thể viết :
y(n) = T[x(n)] = T
−∑
∞
−∞=k
knkx )().( δ = ∑∞
−∞=
−k
knkxT )]().([ δ
= ∑∞
−∞=
−k
knTkx )]([).( δ (vì x(k) độc lập với n)
Đặt h(n-k) = hk(n) = T[ )( kn −δ ]
Chúng ta có : y(n) = ∑∞
−∞=
−k
knhkx )().(
Đáp ứng hk(n) được gọi là đáp ứng xung của hệ thống. Và hk(n) đặc trưng hoàn
toàn cho một hệ thống tuyến tính.
1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến
1.3.2.1 Định nghĩa :
Một hệ thống được gọi là bất biến theo thời gian nếu các tác động vào, ra của nó
không thay đổi theo thời gian.
Một hệ thống là một hệ thống tuyến tính bất biến nếu thỏa mãn hai điều kiện sau :
- Hệ thống là tuyến tính.
- Nếu lối vào của hệ thống là x(n), ta được lối ra là y(n) thì với lối vào là x(n-k),
ta thu được lối ra là y(n-k), hay T[x(n-k)] = y(n-k) nếu T[x(n)] = y(n)
Ví dụ: Hãy xét các hệ thống sau có phải là tuyến tính,bất biến theo n hay không ?
1.T[x(n)] = 2.x(n)
2. T[x(n)] = n.x(n) (với n∈z)
Giải :
1.T[x(n)] = 2.x(n)
- Kiểm tra tính chất tuyến tính:
T[a.x1(n) + b.x2(n)] = 2.[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.2.x1(n) +b.2.x2(n)
22
= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] (thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)
⇒Hệ thống là tuyến tính.
- Kiểm tra tính chất bất biến:
Ta có: y(n) = T[x(n)] = 2.x(n)
⇒y(n-k) = 2.x(n-k)
Mà T[x(n-k)] = 2.x(n-k)
⇒y(n-k) = T[x(n-k)]
⇒Hệ thống đã cho là hệ thống bất biến.
Vậy hệ thống là tuyến tính bất biến.
2. T[x(n)] = n.x(n)
- Kiểm tra tính chất tuyến tính:
T[a.x1(n) + b.x2(n)] = n.[a.x1(n) +b.x2(n)] = a.n.x1(n) + b.n.x2(n)
= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]
⇒Hệ thống là tuyến tính.
- Kiểm tra tính chất bất biến:
Ta có: y(n) = T[x(n)] = n.x(n)
y(n-k) = (n-k).x(n-k)
mà T[x(n-k)] = n.x(n-k)
⇒y(n-k) # T[x(n-k)]
⇒Hệ thống không phải là hệ thống bất biến.
Vậy hệ thống đã cho là hệ thống tuyến tính nhưng không bất biến.
1.3.2.2 Công thức tính tích chập
Khi hệ thống của chúng ta là hệ thống tuyến tính và bất biến, thì ta có quan hệ :
T[ )(nδ ] = h(n)
⇒ T[ )( kn −δ ] = h(n-k) =hk(n)
⇒y(n) = ∑∞
−∞=
−k
knhkx )().(
Như vậy, hk(n) là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính. Còn h(n) là đáp ứng
xung của hệ thống tuyến tính bất biến. Lúc này, h(n) sẽ không phụ thuộc vào k, tức
là nếu biến là thời gian thì ở mọi thời điểm khác nhau, đáp ứng xung của hệ thống
23
tuyến tính bất biến luôn là h(n). Đến đây thì ta có thể nói rằng đáp ứng xung h(n) sẽ
đặc trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính bất biến
Và ta có quan hệ : y(n) = ∑∞
−∞=
−k
knhkx )().( = x(n)*h(n) (1)
(1) là công thức tính tích chập của x(n) và h(n), tích chập được ký hiệu bằng dấu ‘*’
* Chú ý: Tích chập này chỉ đúng với hệ thống tuyến tính bất biến, vì nó được định
nghĩa chỉ cho hệ thống này.
Ví dụ: Cho hệ thống tuyến tính bất biến có: x(n) = rect3(n) và
≠
≤≤−=
n
nn
nh
0
202
1)(
Tìm đáp ứng ra y(n) của hệ thống trên.
Giải :
Ta có: y(n) = x(n)*h(n) = ∑∞
−∞=
−k
knhkx )().(
x(k) = rect3(k) =
≠
≤≤
k
k
0
201
⇒y(n) = ∑=
−2
0
)(k
knh = h(n) + h(n-1) + h(n-2)
Mà:
≠
≤≤≤≤⇔+≤≤⇔≤−≤−
−=−
n
knknkknkn
knh
0
)20(402202
1)(
Với n < 0 hoặc n > 4 thì h(n - k) = 0 (0 ≤ k ≤ 2) ⇒y(n) = 0
Ta chỉ cần tính y(n) với 0 ≤ n ≤ 4
+ Với n = 0 thì y(0) = ∑=
−2
0
)(k
kh = h(0) + h(-1) + h(-2) =1 + 0 + 0 = 1
+ Với n = 1 thì y(1) = h(-1) + h(0) + h(1) = 0 + 1 +1/2 = 3/2
h(n) x(n) y(n)
24
+ Với n = 2 thì y(2) = h(2) + h(1) + h(0) = 3/2
+ Với n = 3 thì y(3) = h(3) +h(2) + h(1) =1/2
+Với n = 4 thì y(4) = 0
Vậy y(n) = )3().2
1()2().
2
3()1().
2
3()( −+−+−+ nnnn δδδδ
1.3.2.3 Các tính chất của tích chập
Tích chập có các tính chất như sau:
- Tính chất giao hoán :
y(n) =x(n) * h(n)
Chứng minh:
Ta có : x(n) * h(n) = ∑∞
−∞=
−k
knhkx )().(
Đặt m = n – k mnk −=⇔
Với k = - +∞→⇒∞ m
Với k = + −∞→⇒∞ m
⇒x(n) * h(n) = )(*)()().()().( nxnhmnxmhmhmnxmm
=−=− ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
Vậy y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n)
-Tính chất kết hợp:
y(n) = x(n) * [h1(n) * h2(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)
Chứng minh :
y(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)] = ∑∞
−∞=
−−k
knhknhkx )](1*)(2).[(
h(n) x(n) y(n) x(n) h(n) y(n) ≡
≡ h1(n) h2(n) h1(n)*h2(n)
y(n)
x(n) y(n) y1 x(n)
25
= ∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−−k l
lknhlhkx ])(1).(2).[( = ∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−−l k
lhlknhkx )(2].)(1).([
= ∑∞
−∞=
−−l
lhlnhlnx )(2)].(*)([ = ∑∞
−∞=
−−l
lnhlnxh )](1*)(.[2
= h2(n) * [x(n) * h1(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)
Vậy y(n) = x(n) * [h1(n) * h2(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)
Ngoài ra, theo hình vẽ ta có :
y1 = x(n) * h1(n)
y(n) = y1 * h2(n) =[x(n) * h1(n)] * h2(n)
= x(n) * [h1(n) * h2(n)] = x(n) * h(n)
⇒h(n) = h1(n) * h2(n) = h2(n) * h1(n)
Từ đó ta có nhận xét: Khi mắc nối tiếp hai hệ thống có đáp ứng xung là h1(n) và
h2(n) thì ta được một hệ thống tương đương có đáp ứng xung là h(n) = h1(n)*h2(n)
-Tính chất phân phối:
y(n) = x(n) * [h1(n) + h2(n)] = x(n) * h1(n) + x(n) * h2(n)
Chứng minh :
Ta có : y(n) = x(n) * [h1(n) + h2(n)] = ∑∞
−∞=
−+−k
knhknhkx )](2)(1).[(
= ∑∞
−∞=
−+−k
knhkxknhkx )](2).()(1).([
= ∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−+−k k
knhkxknhkx )(2).()(1).(
= x(n) *h1(n) + x(n) * h2(n)
Vậy y(n) = x(n) * [h1(n) +h2(n)] = x(n) *h1(n) + x(n) * h(n)
Khi mắc nối song song hai hệ thống có đáp ứng xung là h1(n) và h2(n) thì ta
được một hệ thống tương đương có đáp ứng xung là h(n)= h1(n)+h2(n)
h1(n)
h2(n)
+
x(n) y(n) ≡ h1(n)+h2(n)
x(n) y(n)
26
Ví dụ: Giả sử, ta có hai hệ thống có đáp ứng xung lần lượt là h1(n) và h2(n) mắc nối
tiếp với nhau với: h1(n) = u(n), h2(n) = rect4(n).
Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống tổng quát.
Giải:
Vì hai hệ thống có đáp ứng xung lần lượt là h1(n) và h2(n) mắc nối tiếp với nhau
nên: ∑∞
−∞=
−==∗=k
knhkhnhnhnhnhnh )().()(*)()()()( 121221
Mà: ( )
≠
≤≤==
k
kkrectkh
0
301)(42
≠
≥
=
=
=
=
−+−+−+=
−+−+−+=−=⇒ ∑=
n
n
n
n
n
nunununu
nhnhnhnhknhnhk
0
34
23
12
01
)3()2()1()(
)3()2()1()()()( 1111
3
01
1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả
1.3.3.1 Định nghĩa
Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở
thời điểm bất kỳ n = n0 hoàn toàn độc lập với kích thích của nó ở các thời điểm là
n > n0 (ở tương lai).
Hệ thống nhân quả luôn thỏa mãn điều kiện :
Nếu : Kích thích x(n) = 0 với mọi n < k
Thì : Đáp ứng y(n) = 0 với mọi n < k
1.3.3.2 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả
Định lý : Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là nhân quả khi và chỉ khi
đáp ứng xung h(n) của nó thỏa mãn điều kiện sau :
h(n) = 0 với 0<∀n (1.1)
- Chứng minh điều kiện cần : Ta cần chứng minh, nếu hệ thống là tuyến tính bất
biến thì đáp ứng xung h(n) thỏa mãn điều kiện: h(n) = 0 với mọi n < 0
Xét hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả với kích thích các kích thích là:
27
x1(n) và x2(n).
Với giả thiết rằng: x1(n) = x2(n) với ∀ n < n0 (n0 là một hằng số) và
x1(n) # x2(n) với ∀ n ≥ n0
Hai đáp ứng ra của hệ thống tuyến tính bất biến :
y1(n) = ∑∑∑∞
=
−
−∞=
∞
−∞=
−+−=−0
10
)().(1)().(1)().(1nk
n
kk
knhkxknhkxknhkx
y2(n) = ∑∑∑∞
=
−
−∞=
∞
−∞=
−+−=−0
10
)().(2)().(2)().(2nk
n
kk
knhkxknhkxknhkx
y(n) = y1(n) –y2(n) = ∑∑∞
=
−
−∞=
−−+−−0
10
)()].(2)(1[)(.)](2)(1[nk
n
k
knhkxkxknhkxkx
Vì x1(n) = x2(n) với mọi n < n0, nên [x1(k) – x2(k)] = 0 với mọi k < n0
Nên y(n) = y1(n) – y2(n) = ∑∞
=
−−0
21 )()].()([nk
knhkxkx (1.2)
Do hệ thống là nhân quả , nên nếu x1(n) – x2(n) = 0 với mọi n < n0
Thì ta có : y(n) = y1(n) – y2(n) = 0 với mọi n < n0 (1.3)
Vì x1(k) ≠ x2(k) với mọi k 0n≥ nên (1.2) chỉ đúng với (1.3) nếu :
h(n - k) = 0 với mọi k 0n≥ (1.4)
Đặt m = n – k, khi đó với ∀ k ≥ n0 và ∀ n < n0, thì m = n – k < 0, nên ta có thể
viết (1.4) dưới dạng : h(m) = 0 với ∀ m < 0
Vì m cũng là số nguyên nên có thể đổi lại biến m thành biến n :
h(n) = 0 với ∀ n < 0.
Đây cũng chính là (1.4), điều kiện cần của định lý đã được chứng minh.
- Chứng minh điều kiện đủ : Ta cần chứng minh, nếu hệ thống là tuyến tính bất
biến có đáp ứng xung h(n) = 0 với mọi n < 0, thì hệ thống đó là nhân quả.
Vì đáp ứng xung h(n) = 0 với mọi n < 0 nên đáp ứng ra của hệ thống là y(n) =
h(n) * x(n) = 0 với mọi n < 0. Nếu chứng minh được x(n) = 0 với mọi n < 0, thì theo
điều kiện (3) hệ thống tuyến tính bất biến là nhân quả.
Vì h(k) = 0 với mọi k < 0 nên ta có :
y(n) = ∑∑∞
=
∞
−∞=
−=−0
)().()().(kk
knxkhknxkh (1.5)
28
Vì đã có y(n) = 0 với mọi n < 0, trong khi h(k) ≠ 0 với mọi k ≥ 0, nên (1.5) chỉ
đúng nếu x(n - k) = 0 với mọi n < 0 và mọi k ≥ 0 (1.6)
Đặt m = n – k, khi đó với mọi n < 0 và k ≥ 0, thì m = n – k < 0, nên ta có thể
viết lại (1.6) dưới dạng : x(m) = 0 với mọi m < 0
Vì m cũng là số nguyên nên ta có thể đổi lại biến m thành n :
x(n) = 0 với mọi n < 0
Điều kiện đủ của định lý đã được chứng mịnh.
Như vậy, định lý đã được chứng minh.
Ví dụ : Cho hai hệ thống
y1(n) = T[x(n)] = x(n+1) + x(n) + x(n-1)
y2(n) = T[x(n)] = x(n) + x(n-1)
Xét tính chất nhân quả của hai hệ thống tuyến tính bất biến trên.
Giải :
h(n) là lối ra của hệ thống khi lối vào là dãy xung đơn vị )(nδ
Ta có : h1(n) = T[ )(nδ ] = )1()()1( −+++ nnn δδδ
Do h1(-1) = 1 ≠ 0 nên hệ thống tuyến tính bất biến không nhân quả
h2(n) = T2[ )(nδ ] = )1()( −+ nn δδ
Do h2(n) = 0 với mọi n < 0. Vậy hệ thống là tuyến tính bất biến, nhân quả.
1.3.3.3 Dãy nhân quả
Dãy x(n) được gọi là nhân quả, nếu x(n) = 0 với mọi n < 0
Giả sử ta có một hệ thống tuyến tính nhân quả và lối vào x(n) là một dãy nhân
quả thì đầu ra được tính như sau :
y(n) = x(n) * h(n) = ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−=−kk
knxkhknhkx )().()().(
Do x(k) = 0 với mọi k < 0
Nên y(n) = ∑∞
−∞=
−k
knhkx )().( , mà h(n - k) = 0 khi n – k < 0 ⇔ k > n
Vậy ta có công thức tính : y(n) = ∑=
−n
k
knhkx0
)().( =∑=
−n
k
knxkh0
)().(
Ví dụ: cho hệ thống tuyến tính bất biến có h(n) và x(n) như sau:
29
≠
≥
=
n
nnh
n
0
02
1)(
≠
≥=
n
nnx
n
0
02)(
Tính y(n) = ?
Giải:
Vì x(n) và h(n) đều là nhân quả, nên ta có:
( )
)0(41
41
2
1
42
1
2
1.2)().()(
1
0 0 0
≥−
−
=
=
=−=
+
= = =
−
∑ ∑ ∑
n
knhkxny
nn
n
k
n
k
n
k
k
nkn
k
1.3.3.4 Tín hiệu và hệ thống phản nhân quả
Một hệ thống được gọi là phản nhân quả nếu h(n) của nó thỏa mãn h(n) = 0 với
mọi n > 0.
Một dãy x(n) được gọi là phản nhân quả nếu x(n) = 0 với mọi n > 0
Ví dụ : Hệ thống nào là phản nhân quả trong các hệ thống có h(n) dưới đây:
(1) h1(n) = )3()2()1( +++++ nnn δδδ
( 2) h2(n) = )()1()2( nnn δδδ +−+−
Giải:
(1) h1(n) = 0 với mọi n > 0, nên hệ thống là phản nhân quả.
(2) h2(n) = 0 với mọi n < 0, nên hệ thống là nhân quả.
1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả ổn định
1.3.4.1 Định nghĩa
Một hệ thống được gọi là ổn định nếu ứng với dãy vào giới hạn, ta có dãy ra giới
hạn, nghĩa là :
|x(n)| < ∞ với mọi n thì |y(n)| < ∞ với mọi n.
Ví dụ: Cho hai hệ thống : h1(n) = rect4(n), h2(n) = u(n), giả sử lối vào của hai hệ
thống là x(n) = u(n). Hãy xét sự ổn định của hai hệ thống trên.
Giải:
Ta có:
x(n) = u(n) =
≠
≥
n
n
0
01
30
⇒ |x(n)| < ∞ với mọi n (vì x(n) = 0 hoặc n = 1)
Ta sẽ tìm lối ra của h1(n), h2(n) rồi dựa vào định nghĩa để kết luận
Ta có : y1(n) = x(n) * h1(n) = ∑∞
−∞=
−k
knhkx )().( 1
= ∑∑==
−=−3
0
3
01 )()().(
kk
knxknxkh
= x(n) + x(n - 1) + x(n - 2) + x(n - 3)
= u(n) + u(n-1) + u(n-2) + u(n-3)
y1(-1) = x(-1) + x(-2) + x(-3) + x(-4) = 0
y1(0) = x(0) + x(-1) + x(-2) + x(-3) = 1
y1(1) = x(1) + x(0) + x(-1) + x(-2) = 2
y1(2) = 3
y1(3) = 4
y1(n) = 4 với mọi n ≥ 4
Như vậy : |y(n)| < ∞ với mọi n
⇒ h1(n) = rect4(n) là đáp ứng xung của một thống ổn định.
Với h2(n) = u(n), ta thấy x(n) nhân quả, chiều dài vô hạn và h2(n) nhân quả chiều
dài vô hạn.
⇒y2(n) = x(n) * h2(n) = ∑=
−n
k
knhkx0
2 )().( = n + 1
⇒ y2(n) ∞→ khi n ∞→
Vậy ứng với x(n) giới hạn, ta có y2(n) không giới hạn ⇒ Hệ thống không ổn định.
1.3.4.2 Định lý
Một hệ thống tuyến tính bất biến là ổn định khi và chỉ khi đáp ứng xung h(n) của
nó có S = ∑∞
−∞=n
nh |)(| < ∞
Ví dụ: Cho một hệ thống có h(n) = 3.u(n). Hãy xét sự ổn định của hệ thống .
Giải:
Ta có: S = ∑∑∑∞
=
∞
−∞=
∞
−∞=
==0
|3||)(.3||)(|nnn
nunh = ∞
⇒ Hệ thống là không ổn định.
31
1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính
Ta có thể biểu diễn một hệ thống tuyến tính bằng phương trình sai phân tuyến
tính . Phương trình này thể hiện mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào hay
mối quan hệ giữa dãy vào và dãy ra. Dạng tổng quát của phương trình sai phân
tuyến tính:
∑=
N
k 0
ak.y(n - k) =∑=
M
r 0
br.x(n - r)
Trong đó: - ak = ak(n)
- br = br(n)
- N, M là các số nguyên dương.
- N: là bậc của phương trình sai phân.
Phương trình sai phân tuyến tính được viết dưới dạng khác như sau:
y(n) = ∑=
M
r 0
(br/a0).x(n - r) - ∑=
N
k 0
(ak/a0).y(n – k)
Ví dụ: Cho hệ thống được đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính sau:
(1) y(n) + y(n - 1) = x(n) + 2.x(n - 1) + x(n - 3)
(2) y(n) = x(n) + x(n - 3)
(3) y(n) = n.x(n)
Xác định : bậc, các hệ số ak, br của hai hệ thống trên.
Giải :
(1) Có bậc là 1, các hệ số a0 = 1, a1 = 1, b0 = 1, b1 = 2, b2 = 1
(2) Có bậc là 0, các hệ số a0 = 1, b0 = 1, b1 = 1
(3) Có bậc là 0, hệ số a0 = n
*) Nhận xét:
Hệ thống (1), (2), (3) đều là hệ thống tuyến tính, nhưng (3) không phải là hệ
thống bất biến vì hệ số của nó không phải là hằng số, và phương trình y(n) không
phải là phương trình sai phân hệ số hằng. Còn hệ thống (1), (2) là bất biến vì hệ số
của nó là hằng số, và các phương trình (1), (2) là phương trình sai phân hệ số hằng.
32
1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
Dạng tổng quát: ∑=
N
k 0
ak.y(n - k) =∑=
M
r 0
br.x(n - r)
Với ak, br là các hằng số.
*) Cách giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: Gồm 4 bước:
- Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (là phương trình chỉ
có một thành phần): ∑=
N
k 0
ak.y(n - k) = 0
Nghiệm này ký hiệu là y0(n), y0(n) có dạng là hàm mũ α n
Tìm α rồi ta sẽ tính được y0(n)
Để tìm được α , ta thay y(n) = α n vào phương trình thuần nhất ∑=
N
k 0
ak.y(n - k) = 0
⇔ a0.αn + a1. α
n-1 + a2. αn-2 +…+ aN. α n-N = 0
⇔ α n-N(a0.αn + a1. α
n-1 +…+ aN) = 0
⇔ a0.αn + a1. α
n-1 +…+ aN = 0 (Đây là phương trình đặc trưng của hệ thống).
Phương trình này sẽ có N nghiệm: thực, đơn, phức.
+ Nếu tất cả các nghiệm đều là nghiệm đơn (α 1, α 2, …, α N )
⇒y0(n) = A1. α 1n + A2. α 2
n +…+ α n
n = ∑=
n
k 1
Ak.α kn
Dựa vào điều kiện ban đầu ta sẽ tìm được Ak
+ Nếu có nghiệm bội
Giả sử α 2 là nghiệm bội bậc l, các nghiệm khác là đơn (N - l)
⇒y0(n) = A1. α 1n +(A20. α 2
n + A21. n.α 2n + A22. n
2. α 2n +…+A2.(l -1). n
l-1.α 2n)
+ AN. α Nn
- Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình đầy đủ hai thành phần
Phương trình đầy đủ hai thành phần là phương trình ứng với đầu vào x(n) ≠ 0, có
dạng tổng quát như sau : ∑=
N
k 0
ak.y(n - k) =∑=
M
r 0
br.x(n - r)
Nghiệm riêng này, ta ký hiệu là yp(n)
Thông thường dạng của xp(n) được chọn giống dạng của x(n).
33
- Bước 3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính
Ký hiệu : y(n) = y0(n) + yp(n)
- Bước 4: Tìm các hệ số bằng cách dựa vào điều kiện ban đầu
*) Chú ý: Nếu tìm được yp(n) là một thành phần của y0(n) thì ta sẽ xử lý giống như
trường hợp gặp nghiệm bội.
Ví dụ 1: Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau:
y(n) = x(n) +2.y(n - 1)
với kích thích x(n) = u(n) và điều kiện ban đầu y(-1) = 1
Giải:
- Bước 1: Phương trình thuần nhất có dạng: y(n) – 2.y(n-1) = 0 (1)
Chọn dạng y0(n) là α n (α≠0), thay vào phương trình (1) ta có:
α n – 2.α n-1 = 0
⇔ α n-1(α - 2) = 0 ⇔ α = 2
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: y(n) = A1.2n
- Bước 2: Tìm nghiệm riêng yp(n)
Ta sẽ cho yp(n) giống dạng x(n)
yp(n) = B.u(n) + C
Để tìm B, C ta thay y(n) = yp(n), x(n) = u(n) vào phương trình sai phân
B.u(n) + C = u(n) + 2.(B.u( n - 1 ) + C)
⇔ B.u(n) + C = u(n) + 2.B.u(n - 1) +2.C (2)
Đồng nhất hai vế của phương trình (2) ta có:
B = 1
C = 2.B.u(n - 1) +2.C = -2.u(n - 1)
⇒yp(n) = u(n) - 2.u(n - 1)
- Bước 3: Tìm nghiệm tổng quát:
y(n) = y0(n) + yp(n) = A1.2n + u(n) - 2.u(n - 1)
- Bước 4: Tìm hằng số A1
Ta có: y(-1) = 1 ⇔ A1.2-1 + u(-1) - 2.u(-2) = 1 ⇔ A1 = 2
Vậy: y(n) = 2.2n + u(n) + 2.u(n - 1)
34
Ví dụ 2: Hãy giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau đây:
y(n) – 3.y(n - 1) + 2.y(n - 2) = x(n) – x(n-1) (1)
với điều kiện đầu: y(n) = 0 (n < 0), x(n) = 4n
Giải:
-Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình của phương trình thuần nhất
y(n) – 3.y(n - 1) + 2.y(n - 2) = 0 (2)
Chọn dạng nghiệm của phương trình thuần nhất là: y0(n) = αn (α≠0)
Thay y0(n) = αn vào phương trình 2 ta được:
αn – 3. αn-1 + 2. αn-2 = 0
⇔ αn-2.( α2 – 3. α + 2) = 0
⇔ α2 – 3. α + 2 = 0 ⇔
=
=⇔
2
1
2
1
α
α
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: y0(n) = A1 + A2.2n
-Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình có đầy đủ 2 thành phần yp(n)
y(n) – 3.y(n - 1) + 2.y(n - 2) = x(n) – x(n-1)
Chọn dạng nghiệm của yp(n) có dạng giống x(n), tức là: y(n) = B.4n
Thay y(n) = B.4n vào (1) ta được:
B.4n – 3.B.4n-1 +2.B.4n-2 = 4n – 4n-1
⇔ B.4n
−=
+−
4
114
16
2
4
31 n
⇔4
3.4
8
3.4. nn
B =
Đồng nhất hệ số ta được: B = 2
Nên nghiệm riêng của phương trình (1) là: y(n) = 2.4n
-Bước 3: Tìm nghiệm tổng quát y(n) của phương trình (1)
y(n) = y0(n) + yp(n) = A1 + A2.2n + 2.4n
-Bước 4: Tìm các hệ số dựa vào điều kiện ban đầu
y(-1) = y(-2) = 0 ⇔
=++=−
=++=−
016
2
4)2(
04
2
2)1(
21
21
AAy
AAy
35
−=
=
⇔
2
34
1
2
1
A
A
Vậy nghiệm của phương trình sai phân là:
≠
≥+−=
n
nny
nn
0
04.22.2
3
4
1)(
1.4.3 Hệ thống số đệ quy(trong lối ra có các lối ra)
Là hệ thống mà lối ra của nó phụ thuộc vào lối vào ở hiện tại, quá khứ, và các
lối ra ở quá khứ.
y(n) = F[x(n); x(n - 1);…; x(n – M); y(n - 1);…; y(n - N))]
Hoặc y(n) = ∑=
M
r 0
br.x(n - r) - ∑=
N
k 1
ak.y(n - k) (N > 0)
⇒Hệ thống số đệ quy là hệ thống mà phương trình sai phân đặc trưng cho nó có
bậc N > 0
Ví dụ: y(n) = y(n - 1) + x(n) là hệ thống đệ quy (có bậc là 1)
*) Nhận xét:
- Hệ thống đệ quy có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn.
- Ta luôn phải xét tính ổn định của hệ thống này.
- Hệ thống còn có tên gọi là IIR (Infinite duration Impulse Response System – Hệ
thống đáp ứng xung chiều dài vô hạn ).
1.4.4 Hệ thống số không đệ quy
Là hệ thống mà lối ra của nó không phụ thuộc vào các lối ra ở quá khứ.
y(n) = F[x(n), x(n - 1),…, x(n - M)]
⇒Hệ thống số không đệ quy được đặc trưng bởi phương trình sai phân có bậc N= 0
y(n) = ∑=
M
r 0
br.x(n - r)
*) Nhận xét:
Giả sử, hệ thống có đáp ứng xung là h(n)
⇒y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n) = ∑∞
−∞=
−k
knxkh )().(
36
Mà y(n) = ∑=
M
r 0
br.x(n - r) = ∑=
M
k 0
bk.x(n - k)
bk với 0 Mk ≤≤
⇒ h(k) =
0 với k còn lại
⇒L[h(k)] = L[h(n)] = M + 1 < ∞
⇒Hệ thống không đệ quy có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn. Nó còn có tên goi
khác là hệ thống FIR (Finite Duration Impulse Response System – Hệ thống đáp
ứng xung chiều dài hữu hạn).
1.4.5 Các phần tử thực hiện hệ thống bất biến
1.4.5.1 Phần tử cộng : Phần tử cộng dùng để cộng hai hay nhiều tín hiệu số, nó là
phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.14:
y(n) = x1(n) + x2(n) y(n) = ∑=
M
i 1
xi(n)
Hình 1.14 Ký hiệu phần tử cộng
1.4.5.2 Phần tử nhân : Phần tử nhân dùng để nhân hai hay nhiều tín hiệu số, nó là
phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.15.
y(n) = x1(n) * x2(n) y(n) = ∏=
M
i 1
xi(n)
Hình 1.15 Ký hiệu phần tử nhân.
+ + y(n) y(n) x1(n)
x2(n)
x1(n)
x2(n)
xi(n)
xM(n)
X X y(n) y(n) x1(n)
x2(n)
x1(n)
x2(n)
xi(n)
xM(n)
37
1.4.5.3 Phần tử nhân với hằng số : Phần tử nhân với hằng số dùng để nhân một tín
hiệu số với một hằng số, nó là phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình
1.16.
Hình 1.16 Ký hiệu một phần tử nhân với hằng số.
Để nhân tín hiệu số x(n) với hằng số a, sử dụng bộ nhân hai số với một đầu vào là
tín hiệu số x(n), còn đầu vào kia là giá trị mã của a.
1.4.5.4 Phần tử trễ đơn vị : Phần tử trễ đơn vị dùng để giữ trễ tín hiệu số x(n) một
mẫu, nó là phần tử có nhớ và được ký hiệu như ở hình 1.17
Hình 1.17 Ký hiệu phần tử trễ.
Đối với mạch phần cứng, để thực hiện giữ trễ tín hiệu số x(n), người ta sử dụng
bộ ghi dịch, thanh ghi chốt hoặc bộ nhớ, chúng thường được sản xuất dưới dạng vi
mạch số 4 bit hoặc 8 bit.
Ví dụ: Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống có phương trình sai phân như sau:
y(n) =2.x(n) + 3.x(n - 1)
Giải:
Hình 1.18 Sơ đồ thực hiện hệ thống y(n) =2.x(n) + 3.x(n - 1).
x(n) y(n) = a.x(n) a
x(n) y(n) = x(n - 1) D
x(n) y(n)
3
2
2.x(n)
x(n - 1) D 3.x(n - 1)
a+
38
1.5 Tương quan chéo của các tín hiệu
1.5.1 Tương quan chéo
Hàm tương quan chéo của hai dãy tín hiêu x(n), y(n) là một dãy được xác định
như sau:
rxy(n) = ∑∞
−∞=
−m
nmymx )().( (n là số nguyên)
*) Chú ý: Một trong hai dãy x(n) hoặc y(n) phải có năng lượng hữu hạn.
Ví dụ: Cho x(n) = (1 – 2
n).rect3(n), y(n) = rect3(n)
Tìm rxy(n) = ?
Giải:
Ta có: 1- n/2 với 0 2≤≤ n
x(n) = (1 – n/2).rect3(n) =
0 với n còn lại
1 với 0 2≤≤ n
Và: y(n) =
0 với n còn lại
Ta có:
rxy(n) = ∑∑=
∞
−∞=
−=−2
0
)().()().(mm
nmymxnmymx
(do
≠
≤≤−=
m
mm
mx
0
202
1)( )
⇒ rxy(0) = ∑=
2
0
)().(m
mymx = x(0).y(0) + x(1)y(1) + x(2).y(2)
= 1 + 1/2 + 0 =3/2
rxy(1) = ∑=
−2
0
)1().(m
mymx = x(0).y(-1) + x(1).y(0) +x(2).y(1)
= 0 + 1/2 + 0 = 1/2
39
rxy(2) = ∑=
−2
0
)2().(m
mymx = x(0).y(-2) + x(1).y(-1) + x(2).y(0)
= 0 + 0 + 0 = 0
Với n ≠ thì rxy(n) = 0
Vậy rxy(n) = (3/2). )1().2/1()( −+ nn δδ
1.5.2 Hàm tự tương quan
Trong định nghĩa tương quan chéo, nếu ta có x(n) ≡ y(n) thì ta có định nghĩa tự
tương quan.
Vậy hàm tự tương quan được định nghĩa như sau:
rxx = ∑∞
−∞=
−m
nmxmx )().(
rxx(n) là hàm tự tương quan của dãy x(n).
40
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài tập 1.1:
Tìm quan hệ giữa dãy xung đơn vị và dãy nhảy đơn vị.
Bài tập 1.2:
Hãy tìm quan hệ giữa dãy nhảy đơn vị và dãy chữ nhật.
Bài tập 1.3:
Biểu diễn các dãy tín hiệu sau bằng cách liệt kê các phần tử của dãy:
a. )1(.1,0)(.2,0)1(.5,0)( 31 −−+−= nrectnunnx δ
b. )3(.2,0)1(.1,0)(.2,0)1(.5,0)( 332 −−−−++= nunrectnunrectnx
Bài tập 1.4
Tính năng lượng và công suất trung bình của các dãy tín hiệu sau:
a. )1()( 41 −= nrectnx
b. )(.2
1)(2 nunx
n
=
c. )1(.3.2)(3 −= nunxn
Bài tập 1.5
Kiểm tra tính chất tuyến tính, bất biến của các hệ thống sau:
a. )1().1()]([ −−= nxnnxT
b. 3)2(.2)]([ −−= nxnxT
Bài tập 1.6
Một hệ thống tuyến tính được cho bởi sơ đồ sau:
Tìm đáp ứng ra y(n) của hệ thống với:
a. x(n) = rect3(n), h(n) = rect5(n)
b. )()(),(.2
1)( 4 nrectnhnunx
n
=
=
h(n) x(n) y(n)
41
Bài tập 1.7
Hãy vẽ sơ đồ thực hiện của các hệ thống được cho bởi các phương trình sai phân
sau:
a.y(n) – 3.y(n-1) + 4y(n-2) = x(n) – x(n-1)
b.5.y(n) + 3.y(n-2) = -x(n) -3.x(n-2)
Các hệ thống này có phải là các hệ thống đệ quy không? Tại sao?
Bài tập 1.8
Hãy tìm đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng ra là:
...)(.2
1...)1(.
2
1)()( +−
++−+= mnxnxnxny
m
Nhận xét tính nhân quả và tính ổn định.
Bài tập 1.9
Hãy giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng say đây:
y(n) – 4.y(n-1) = x(n)
a.Với điều kiện đầu: y(-1) = 0; x(n) = n2 + n + 2
b.Với điều kiện đầu: y(n) = 0 (n < 0); x(n) = 4n
Bài tập 1.10
Tính tương quan chéo của các dãy tín hiệu sau đây:
=→
1,3,2,1,1)(0
nx
=→
3,2,1,1,1)(0
ny
42
CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ
TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIỀN Z
2.1 Mở đầu
- Có nhiều cách để thể hiện một tín hiệu:
+ Biểu diễn nó trong miền thời gian n
+ Biểu diễn nó trong miền số phức (z)
+ Biểu diễn nó trong miền tần số liên tục (w)
+ Biểu diễn nó trong miền tần số rời rạc (k)
- Mỗi một cách biểu diễn có ưu, nhược điểm. Biểu diễn tín hiệu trong miền z thuận
lợi cho việc khảo sát sự ổn định của hệ thống và triển khai hệ thống (hình 2.1).
ZT
IZT
Hình 2.1 Biểu diễn tín hiệu từ miền n sang miền Z và ngược lại.
Trong đó:
+ ZT: Z-Transform: Biến đổi Z
+ IZT: Inverse Z-Transform: Biến đổi Z ngược.
2.2 Biến đổi Z (ZT)
2.2.1 Định nghĩa
2.2.1.1 Biến đổi Z hai phía, thường nói là biến đổi Z
Biến đổi Z hai phía của dãy x(n) được định nghĩa như sau:
Ký hiệu: X(z) = ZT[x(n)] = ∑∞
−∞=n
x(n).z-n (z là biến phức)
Ví dụ: Tìm biến đổi Z của các dãy sau:
a.x1(n) = )1()()1( +++− nnn δδδ
Miền n Miền Z
43
b. x(n) = en/2.u(n)
Giải:
a. Ta có: X1(z) = ZT[x1(n)] = ∑∞
−∞=n
x1(n).z-n
=∑−=
1
1n
( )1()()1( +++− nnn δδδ ).z-n
= 1.z1 + 1.z0 +1.z-1 = z + 1 +z
1 (với mọi z ≠ 0)
b. Ta có: X2(z) = ZT[x2(n)] = ∑∞
−∞=n
x2(n).z-n = ∑∞
=0n
en/2.z-n
= ∑∞
=0n
(e1/2.z-1)n = 1/(1 – e1/2.z-1) = z/(z – e1/2)
Để chuỗi hội tụ thì |e1/2.z-1| < 1 ⇔ z > e1/2
*) Nhận xét: Biến đổi z hai phía X(z) = ∑∞
−∞=n
x(n).z-n là một chuỗi lũy thừa vô hạn, nó
tồn tại chỉ đối với các giá trị của z mà tại đó chuỗi này hội tụ.
2.2.1.2 Biến đổi z một phía (dùng để giải phương trình sai phân)
Biến đổi z một phía của dãy x(n) là:
X1(z) = ZT[x(n)] = ∑∞
=0n
x(n).z-n
*)Tính chất trễ của biến đổi Z 1 phía
Giả sử tồn tại biến đổi z một phía đối với dãy tín hiệu x(n),
ZT1[x(n)] =X1(z), ta có:
ZT1[x(n-k)] = z-k ∑−
−=
−1
).(kl
lzlx + z-k. X1(z)
2.2.2 Sự tồn tại của biến đổi z
2.2.2.1 Mặt phẳng Z
- Ta có thể sử dụng mặt phẳng Z để biểu diễn miền hội tụ của biến đổi Z
- Z là một biến phức ⇒ z = Re(z) + j.Im(z)
- Ta có thể biểu diễn biến đổi z trên mặt phẳng gồm có hai trục (hình 2.2):
Trục thực để biểu diễn Re(z)
44
Trục ảo để biểu diễn Im(z)
Hình 2.2 Biểu diễn biến đổi Z trên mặt phẳng Z
Re[z] = r.cos(w)
Im[z] = r.sin(w)
r = (Re(z) + Im(z))1/2
z = r.cos(w) + j.r.sin(w)
= r.(cos(w) + j.sin(w)) = r.ej.w
*) Chú ý: Trong mặt phẳng Z, có đường tròn tâm O bán kính R = 1, z = r.ej.w
Được gọi là vòng tròn đơn vị, vòng tròn này có vai trò quan trọng trong việc đánh
giá một số tính chất của hệ thống như tính ổn định của hệ thống.
2.2.2.2 Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy
Dùng để xét sự hội tụ của một chuỗi (chuỗi lũy thừa). Một chuỗi có dạng là:
∑∞
=0
)(n
nx là hội tụ nếu lim |x(n)|1/n < 1
n ∞→
Ví dụ: Xét sự hội tụ của các dãy sau:
(1) ∑∞
=0
)(n
nu = 1 + 1 +…+ 1
(2) ∑∞
=0n
(2
1)n = 1 +
2
1 +…+ (
2
1)n + …
Giải:
(1) Ta có: lim |u(n)|1/n = lim |1|1/n = 1 với mọi n ⇒Chuỗi không hội tụ.
Im
Re
z
Re(z)
Im(z)
w
z
45
n ∞→ n ∞→
(2) Ta có: lim |x(n)|1/n = lim |(2
1)n|1/n = lim |
2
1| =
2
1 < 1 với mọi n ⇒Chuỗi hội tụ.
n ∞→ n ∞→ n ∞→
2.2.2.3 Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy để tìm miền hội tụ của biến đổi Z
Miền hội tụ của biến đổi Z là tất cả các giá trị của z để chuỗi X(z) hội tụ.
X(z) = ZT[x(n)] = ∑∞
−∞=n
x(n).z-n = ∑−
−∞=
1
n
x(n).z-n + ∑∞
=0n
x(n).z-n
Đặt: X2z) = ∑−
−∞=
1
n
x(n).z-n và X1z) = ∑∞
=0n
x(n).z-n
- Tìm miền hội tụ của X1z)
X1z) hội tụ khi lim |x(n).z-n|1/n < 1
n ∞→
⇔ lim |x(n)|1/n.|z-n|1/n < 1
n ∞→
⇔ |z| > lim |x(n)|1/n = Rx-
n ∞→
- Tìm miền hội tụ của X2z)
X2z) = ∑−
−∞=
1
n
x(n).z-n = ∑−∞=
0
n
x(n).z-n – x(0)
Đặt l =-n, ta được:
X2z) = ∑∞
=0l
x(-l).zl – x(0)
Giả sử x(0) là hữu hạn
⇒ X2 (z) chỉ hội tụ khi và chỉ khi lim |x(-l).zl|1/l < 1
l ∞→
⇔ lim |x(-l)|1/l.z < 1 ⇔ z < 1/(lim |x(-l)|1/l) = Rx+
l ∞→ l ∞→
*) Kết luận về miền hội tụ (Region Convergence - RC)
+ Nếu Rx- ≥ Rx
+ thì miền hội tụ RC[X(z)] = φ
46
+ Nếu Rx- < Rx
+ thì RC[X(z)] = RC[X1(z)] ∩ RC[X2(z)]
*) Chú ý: Miền hội tụ của X(z) có thể rộng ra hay thu hẹp lại khi xuất hiện các
điểm không, các điểm không triệt tiêu các điểm cực trong quá trình tổ hợp tuyến
tính.
Thông thường X(z) thường có dạng như sau:
X(z) = )(
)(
zD
zN, trong đó: N(z), D(z) là các đa thức của z.
- Điểm không : là những điểm tại đó X(z) = 0, ký hiệu là Zor
⇒ Điểm không chính là nghiệm của N(z)
- Điểm cực: là những điểm mà tại đó X(z) = ∞ , ký hiệu là Zpk
⇒Điểm cực chính là nghiệm của D(z)
Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ X(z) của x(n) = (3
2 )|n| với mọi n.
Giải:
Ta có: X(z) = ∑∞
−∞=n
x(n).z-n = ∑−
−∞=
1
n
x(n).z-n + ∑∞
=0n
x(n).z-n
+) Đặt X1z) = ∑∞
=0n
x(n).z-n = ∑∞
=0n
(3
2 )|n|.z-n =∑∞
=0n
[3
2 .z-1]n
X1(z) hội tụ khi và chỉ khi lim |[(3
2 ).z-1]n|1/n < 1
n ∞→
⇔ lim |(3
2 ).z-1| < 1 ⇔ |z| > 3
2
n ∞→
+) Đặt X2(z) = ∑−
−∞=
1
n
x(n).z-n = ∑−
−∞=
1
n
(3
2 )|n|.z-n = ∑−∞=
0
n
(3
2 )|n|.z-n – 1
Đặt l = -n ⇒ X2(z) = ∑∞
=0l
(3
2 )l.zl – 1
X2(z) hội tụ ⇔ lim |(3
2 )l.zl|1/l < 1 ⇔ lim |(3
2 ).z| < 1 ⇔ z < 2
3
l ∞→ l ∞→
47
⇒ X(z) = X1(z) + X2(z) = .
.3
21
1
z−
+
3
.21
1z
−
Với 3
2 <|z| < 2
3
⇒Miền hội tụ của X(z) là hình vành khăn với bán kính trong là 3
2 và bán kính
ngoài là 2
3 mặt phẳng Z, Rx
- = 3
2 , Rx+ =
2
3.
Ví dụ 2: Tìm biến đổi Z và miền hội tụ của biến đổi Z của dãy tín hiệu x(n) như sau:
n
nx
−
=
4
3)(
Giải:
Ta có: X(z) = ZT[x(n)] = ∑∑∞
−∞=
−
−∞
−∞=
−
=
n
n
n
n
nzznx .
4
3).(
)()(.4
3.
4
312
0
1
zXzXzzn
n
n
n
n
n
+=
+
= ∑∑
∞
=
−
−−
−∞=
−
+)3
41
.3
4,
4.3
.3
.3
41
1
.3
4.
4
3)(
0 01 >⇔<
−=
−
=
=
=∑ ∑
∞
=
∞
=
−
−
zzz
z
z
zzzX
n n
n
n
n
4
31
3
.4,
.43
.41
.43
3
1
3
.41
11
3
.41.
4
3.
4
3)()
1 0
02
<⇔<−
=−−
=
−
−
=−
=−
=
=+ ∑ ∑ ∑
−
−∞= −∞=
∞
=
−−
zz
z
z
z
z
zzzzX
n n m
m
n
n
n
n
Vì [ ] [ ] φ=∩= )()()]([ 21 zXROCzXROCzXROC nên không tồn tại biến đổi z.
48
2.2.3 Một vài biến đổi Z thông dụng
Ta có một vài biến đổi Z thông dụng được cung cấp trong bảng dưới đây (hình 2.3):
Miền n Miền z Miền hội tụ
)(nδ 1 z∀ (n ≥ 0)
δ (n – n0) z-no z∀ ≠ 0 hoặc z ≠ ∞
u(n) z/(z - 1) |z| > 1
-u(-n - 1) z/(z - 1) |z| < 1
an.u(n) z/(z - a) |z| > |a|
n.u(n) z/(z -1)2 |z| > 1
(cos w0n).u(n) (1 – z-1cos w0)/
(1 – 2.z-1.cos w0 + z-2)
|z| > 1
Hình 2.3: Bảng liệt kê một vài biến đổi Z thông dụng
2.3 Biến đổi Z ngược
Là quá trình tìm lại x(n) từ X(z) và miền hội tụ của nó.
Công thức tính biến đổi Z ngược như sau:
x(n) = ∫ΠC
j.2
1zn -1.x(z)dz (2.6)
C: là đường cong khép kín và nó nằm trong miền hội tụ bao quanh gốc tọa độ,
ngược chiều kim đồng hồ.
*) Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
- Tính trực tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư
- Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa
- Phương pháp khai triển thành tổng các phân thức tối giản
2.3.1 Tính trực tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư
*) Nội dung của phương pháp
Biến x(n) = ∫ΠC
j.2
1zn -1.X(z)dz thành tổng ∑
K
Res[X(z).zn - 1]
Trong đó: Res[X(z).zn - 1] được gọi là thặng dư của X(z).zn – 1
X(z).zn – 1 có bao nhiêu điểm cực (không kể đơn, bội) thì có bấy nhiêu thặng dư.
49
Ta sẽ đi tìm Res[X(z).zn - 1] tại điểm cực z = zpk có bậc s (trong trường hợp có
nghiệm đơn thì s = 1)
Đặt )(zψ = X(z).zn – 1(z - zpk)s
Khi đó: Res[X(z).zn - 1]pkzz= =
)!1(
1
−s(ds – 1/dz
s – 1)[ )(zψ ]pkzz=
Sau khi tính được tất cả các thặng dư, đem cộng lại thì ta được x(n)
Ở đây thì ds – 1/dzs – 1 là đạo hàm bậc (s - 1) theo biến z.
Nếu s = 1 thì Res[X(z).zn - 1] ( z = zpk) = )(zψ ( z = zpk) = ψ (zpk)
Ví dụ: Tính biến đổi Z ngược của X(z) =
2
1−z
z ,|z| > 1
Giải:
Áp dụng công thức (2.6) : x(n) = ∫ΠC
j.2
1zn -1.x(z)dz
C là vòng tròn đơn vị (C thuộc mền hội tụ)
Ta sẽ đi tìm các thặng dư của X(z).zn – 1 =
2
1−z
zn
, ta xét các trường hợp của n
*)Với n ≥ 0
Ta có: X(z).zn – 1 = zn/(z - 2
1), có điểm cực là z = 1
ψ 1(z) = zn(z - 1)/(z - 1) = zn
⇒x1(n) = Res[X(z).zn - 1]2
1=z
= ψ 1(zpk) 2
1=z
= n
2
1
*) Với n < 0
Đặt: m = -n, ta đi tìm x(m)
x(m) = ∫ΠC
j..2
1
−
−
2
1z
zm
.dz = ∫ΠC
j..2
1
−
2
11
zzm
.dz
Như vậy: X(z).z-m-1 =
−
2
11
zzm
có hai cực là:
50
zp1 = 0 (nghiệm bội) và zp2 = 2
1 (nghiệm đơn).
Ta sẽ đi tìm hai thặng dư ứng với hai cực trên
- Với cực là z = 1, ta có: ψ 2(z) = 1/zm
Res[X(z).z-m-1] 2
1=z
= ψ 2(z)| 2
1=z
= 2m
- Với cực là z = 0, ta có: ψ 3(z) = 1/(z - 2
1)
⇒Res[1/[zm.(z - 1)]] 0=z = )!1(
1
−m.dm – 1/dz
m – 1[
2
11
−z
] 0=z
= )!1(
1
−m(-1)m-1(m - 1)!.(z -
2
1)-m 0=z
= -2m
⇒x(m) = Res[X(z).z-m-1] 2
1=z
+ Res[1/[zm.(z - 1)]]2
1=z
=2m – 2m = 0
Vậy: x(n) = x1(n) + x(m) = n
2
1.u(n)
2.3.2 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa
*)Ý tưởng: Xuất phát từ X(z) = ∑∞
−∞=n
x(n).z-n
Ta sẽ khai triển X(z) = ∑∞
−∞=n
x(n).z-n bằng cách lấy đa thức ở tử chia cho đa thức ở
mẫu của X(z), rồi tìm ra quy luật của dãy kết quả.
Cân bằng các hệ số thì ta suy ra được x(n) = an
Ví dụ: Cho X(z) = 2+z
z
Tìm x(n) biết: a. |z| > 2 (dãy nhân quả)
b. |z| < 2 (dãy phản nhân quả)
51
Giải:
a. |z| > 2
Với dãy nhân quả, ta triển khai X(z) thành chuỗi lũy thừa của z-1
( lấy z chia cho z - 2), ta được:
X(z) = ∑∞
=0n
2n.z-n
⇒ x(n) = 2n.u(n)
b. |z| < 2
Với dãy phản nhân quả, ta khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa của Z
( Lấy z chia cho -2 + z), ta được:
X(z) = -∑−
−∞=
1
n
2n.z-n
⇒ x(n) = -2n.u(-n - 1)
2.3.3 Phương pháp khai triển thành tổng của các phân thức tối giản
*) Ý tưởng: Khai triển X(z) thành tổng của các phân thức tối giản. Sau đó tìm biến
đổi Z ngược của các phân thức tối giản, rồi đem cộng chúng lại ta được x(n).
Một số biến đổi Z ngược của các phân thức tối giản (hình 2.4):
Miền Z Miền hội tụ Miền n
z/(z – a) |z| > |a| an.u(n)
z/(z – a) |z| < |a| -an.u(-n - 1)
1/(z – a) |z| > |a| an – 1.u(n - 1)
1)( +− maz
z |z| > |a|
!
)().1)...(1(
m
nuamnnn mn−+−−
1)( +− maz
z |z| < |a|
!
)1().1)...(1(
m
nuamnnnmn −−+−−− −
Hình 2.4 Một số biến đổi Z ngược của các phân thức tối giản
52
*) Nội dung phương pháp
Biểu diễn X(z) dưới dạng: X(z) = )(
)(
zD
zN, trong đó: N(z) là đa thức bậc M của z, còn
D(z) là đa thức bậc N của đa thức.
Ta xét hai trường hợp liên quan đến bậc của đa thức:
(1) Nếu M > N thì X(z) = S(z) +)(
)(
zQ
zP
Trong đó: S(z) là đa thức bậc M – N, Q(z) = D(z) có bậc lớn hơn P(z)
(2) Nếu M ≤ N thì ta có: )(
)(
)(
)(
zD
zN
zQ
zP=
Ta sẽ khai triển )(
)(
zQ
zPthành tổng của các phân thức tối giản tương ứng với các
trường hợp sau:
*) Trường hợp 1: Q(z) có N nghiệm đơn là z1, z2,…, zN
)(
...)()()(
)(
2
2
1
1
N
N
zz
A
zz
A
zz
A
zQ
zP
−++
−+
−= = ∑
= −
N
k k
k
zz
A
1
, trong đó:
Ak = pkzzkzz
zQ
zP=− )(
)(
)(
*)Trường hợp 2: Q(z) có nghiệm bội
Giả sử Q(z) có một nghiệm bội, nghiệm đó là nghiệm thứ l có bậc là s
⇒ Còn lại N – s nghiệm đơn
⇒ ∑∑=
−
≠= −+
−=
s
jj
pl
jsN
lkk pk
k
zz
C
zz
A
zQ
zP
1,1 )()(
)(
Ta sẽ đi tìm Ak, Cj
Ak = pkZZpkzz
zQ
zP=− )(
)(
)(
Cj = )!(
1
js −( )
plzz
s
pljs
z
js
zzzQ
zP
d
d=−
−
−
)(
)(
Ví dụ 1 : Tìm biến đổi Z ngược của X(z), với X(z) = )2).(1( −− zz
z |z| > 2
Giải:
Ta khai triển X(z) thành các phân thức tối giản như sau:
53
X(z) = )2).(1( −− zz
z = -
)2(
2
)1(
1
−+
− zz
⇒x(n) = -u(n - 1) + 2n.u(n - 1)
Ví dụ 2: Tìm biến đổi Z ngược của X(z) sau:
1,)2.()1(
.2)(
2>
−−= z
zz
zzX
Giải:
Ta có: 2
212 )1(12)2.()1(
2)(
−+
−+
−=
−−=
z
C
z
C
z
A
zzz
zX
Với:
22
2
2)2(
2
2
2)1.(
)2.()1(
2
)!12(
1
2)1(
2)2(
)2.()1(
2
12
121
'
12
212
12
1
2222
−=
−=
−=−
−=
−=
−
−−−=
=−
=−−−
=
=
===−
−
==
z
zzz
z
zz
zC
zzz
zzd
dC
zz
zzA
−−
−−
−==⇒
−−
−−
−=⇔
−−
−−
−=⇒
2
22
)1(.2
1.2
2.2)]([)(
)1(.2
1.2
2.2)(
)1(
2
1
2
2
2)(
z
zIZT
z
zIZT
z
zIZTzXIZTnx
z
z
z
z
z
zzX
zzzz
zX
Mà:
<−−−
>=
− 2)1(.2
2)(.2
2 znu
znu
z
zIZT
n
n
<−−−
>=
− 1)1(
1)(.
1 znu
znu
z
zIZT
<−−−
>=
− 1)1(.
1)(.
)1( 2znun
znun
z
zIZT
Với 1>z , ta xét 2 trường hợp sau:
+)Trường hợp 1: 21 << z
)(..2)(.2)1(.2.2)( nunnununxn −−−−−=
+)Trường hợp 2: 2>z
)(..2)(.2)(.2.2)( nunnununxn −−=
54
2.4 Các tính chất của biến đổi Z
2.4.1 Tính chất tuyến tính
Giả sử ta có dãy: x(n) = a.x1(n) + b.x2(n) (x(n) là tổ hợp tuyến tính của nhiều
dãy) và ZT[x1(n)] = X1(z) với Rx1- < |z| < Rx1
+
, ZT[x2(n)] = X2(z) với Rx2- < |z| < Rx2
+
, ZT[x(n)] = X(z) với Rx- < |z| < Rx
+
Thì ta có: X(z) = a.X1(z) + b.X2(z) với Rx- < |z| < Rx
+, trong đó:
Rx- = max(Rx1
- , Rx2-), Rx
+ = min(Rx1+ , Rx2
+)
Ví dụ: Cho x1(n) = u(n), x2(n) = u(n - 1), x3(n) = u(n) + 2.u(n - 1)
Tìm biến đổi z và miền hội tụ của các dãy trên.
Giải:
Ta có: X1(z) = ZT[x1(n)] = ∑∞
=0n
z-n = z/11
1
− =
1−z
z với |z| > 1
X2(z) = ZT[x2(n)] = ∑∞
=1n
z-n = ∑∞
=0n
z-n – 1 = 1−z
z– 1 =
1
1
−
+
z
z , |z| > 1
Ta lại có: x3(n) = x1(n) + 2.x2(n), nên theo tính chất tuyến tính ta có:
X(z) = X1(z) + 2.X2(z) = 1−z
z + 2.
1
1
−
+
z
z =
1
2.3
−
+
z
z với |z| > 1
2.4.2 Tính chất trễ
Khi dịch trễ dãy x(n) đi k mẫu thì hàm ảnh Z của nó được nhân thêm thừa số kz
− .
Nếu : )()]([ znxZT X= với +− << xx RRXRC zz ||:)]([
Thì : [ ] )()()()( zzknxnyZTz XYk−=−==
với )]()]( [[ zz XROCYROC = , trừ điểm z = 0 nếu k > 0 và điểm z = ∞ nếu k < 0
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Z ta có :
)().().()( )(zzzknxzzknxz XY
k
n
knk
n
n −∞
−∞=
−−−∞
−∞=
− =−=−= ∑∑
Tính chất trễ thường được sử dụng để tìm biến đổi Z của các dãy trễ.
55
Ví dụ : Tìm : X(z) = ZT[rectN(n)]
Giải :
rectN(n) = u(n) – u(n -N)
Ta có : )(
)]([1−
=z
znuZT với 1||: >zROC
Sử dụng tính chất tuyến tính và tính chất trễ nhận được :
ZT[rectN(n)] = ZT[u(n)] – ZT[u(n - N)] = 1−z
z - z-N.
1−z
z
Vậy : ZT[rectN(n)] = 1−z
z - z-N.
1−z
z với 1||: >zROC
2.4.3 Tính chất nhân với hàm mũ an
Ta có dãy x(n) và X(z) = ZT[x(n)], ROC[X(z)]: Rx- < |z| <Rx
+, nhân dãy x(n) này
với dãy hàm mũ an ta có:
y(n) = an.x(n)
Lấy biến đổi z của y(n) ta có:
Y(z) = ZT[y(n)] = ∑∞
−∞=n
y(n).z-n = ∑∞
−∞=n
an.x(n).z-n = ∑∞
−∞=n
x(n).(a
z)-n = X(
a
z)
Vậy: ZT[an.x(n)] = X(a
z)
và ROC[X(a
z)]: |a|.Rx
- < |z| < |a|.Rx+
Ví dụ: Cho các dãy sau đây:
a. x1(n) = (2
1)n.u(n)
b. x2(n) = 2n.3n.u(n)
Hãy tìm biến đổi Z, miền hội tụ của biến đổi Z, các điểm cực, các điểm không.
Giải:
a. Ta có: X1(z) = ZT[(2
1)n.u(n)] = ∑
∞
−∞=n
(2
1)n.u(n).z-n = ∑
∞
=0n
(2
1.z-1)n =
z.2
11
1
−
56
Với |2
1.z-1| > 1 ⇔ |z| <
2
1, điểm không là z = 0, điểm cực là z =
2
1
b. Ta có: X2(z) = ZT[2n.3n.u(n)] = ∑∞
−∞=n
2n.3n.u(n).z-n
= ∑∞
=0n
2n.3n.z-n = ∑∞
=0n
(6.z-1)n =
z
61
1
−
Với |6.z-1| > 1 ⇔ |z| < 6, điểm không là z = 0, điểm cực là z = 6
2.4.4 Đạo hàm của biến đổi Z ( tính đạo hàm của n.x(n) )
Ta có: X(z) = ∑∞
−∞=n
x(n).z-n (2.1) ,với ROC[X(z)]: +− << xx RzR
Đạo hàm hai vế của (2.1) ta được:
dZ
zdX )( = ∑
∞
−∞=n
(-n).x(n).z-n-1 (2.2)
Nhân hai vế của (2.2) với (-z), ta được:
(-z).dZ
zdX )( = (-z).∑
∞
−∞=n
(-n).x(n).z-n-1 =∑∞
−∞=n
n.x(n).z-n = ZT[n.x(n)]
Vây: Y(z) = ZT[n.x(n)] = (-z).dZ
zdX )( (Với y(n) = n.x(n)) (2.3)
với ROC[Y(z)]: +− << xx RzR
Ví dụ: Tìm biến đổi Z và miền hội tụ của dãy số: x(n) = n.u(n)
Giải:
Theo công thức (2.3) ta có: X(z) = ZT[n.u(n)] = (-z).(1−z
z)’
= (1)-1)(z - (z
z), với |z | > 1
2.4.5 Tích chập của hai dãy
Giả sử ta có: y(n) = x1(n) * x2(n)
Ta có thể tìm Y(z), X1(z), X2(z) theo x1(n), x2(n) như sau :
Ta có: X1(z) = ∑∞
−∞=n
x1(n).z-n với Rx1- < |z| < Rx1
+
57
X2(z) = ∑∞
−∞=n
x2(n).z-n với Rx2- < |z| < Rx2
+
Y(z) = ∑∞
−∞=n
y(n).z-n = ∑∞
−∞=n
[ x1(n) * x2(n)].z-n
= ∑∞
−∞=n
[ ∑∞
−∞=
−k
knxkx )().( ].z-n = ∑∞
−∞=k
x1(k).∑∞
−∞=n
x2(n - k).z-n
Đặt: l = n – k ⇒n = l + k
Khi n → ∞ thì l → ∞
⇒ Y(z) = ∑∞
−∞=k
x1(k).∑∞
−∞=l
x2(l).z-(k + l) = ∑
∞
−∞=k
x1(k).z-k. ∑∞
−∞=l
x2(l).z-l
= X1(z). X2(z)
Vậy Y(z) = X1(z).X2(z) với Ry- < |z| < Ry
+ (2.4)
Trong đó: Ry- = max(Rx1
- , Rx2-), Ry
+ = min(Rx1+ , Rx2
+)
*) Chú ý: Miền hội tụ có thể mở rộng ra khi xuất hiện các điểm cực, điểm không.
Ví dụ: Cho hai dãy số x(n) và x(n) như sau:
x1(n) = u(n) và x2(n) = n.u(n)
Hãy tìm dãy x3(n) = x1(n) * x2(n) thông qua các tính chất của biến đổi Z
Giải:
Ta có: X1(z) = ZT[u(n)] = 1−z
z với |z| > 1
X2(z) = ZT[n.u(n)] = )1).(1( −− zz
z
X3(z) = X1(z).X2(z) = z2/(z - 1)3 = 1
1
−z+
)1).(1(
2
−− zz +
)1).(1).(1(
1
−−− zzz
Sử dụng biến đổi Z ngược ta tính được x3(n)
x3(n) = [ ])(3 zXIZT = u(n - 1 ) + 2.(n-1). u(n-1) + 2
)1().2).(1( −−− nunn
58
2.4.6 Tương quan của hai tín hiệu
Tương quan của hai tín hiệu được định nghĩa như sau: rxy(n) = ∑∞
−∞=
−m
nmymx )().( .
Ta có: Rxy(z) = ZT[rxy(n)] = ∑∞
−∞=n
rxy(n).z-n = ∑∞
−∞=n
∑∞
−∞=
−m
nmymx )().( .z-n
= ∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−m n
nmymx )().( .z-n
Đặt: l = m – n ⇔ n = m – l
Khi n ∞→ thì l ∞→
Nên ta có: Rxy(z) = ∑∞
−∞=n
x(m) ∑∞
−∞=l
y(l).z-(m-l)
= ∑∞
−∞=n
x(m).z-m. ∑∞
−∞=l
y(l).zl
= X(z).Y(z
1)
Vậy Rxy(z) = X(z).Y(z
1) (2.5)
Bây giờ ta xét miền hội tụ:
RC[X(z)]: Rx- < |z| < Rx
+
RC[Y(z
1)]: 1/Ry
- < |z| < 1/Ry+
RC[Rxy(z)] = RC[X(z)] ∩ RC[Y(z
1)]: max[Rx
-, 1/Ry-] < |z| < min[Rx
+, 1/Ry+]
Ví dụ:
Cho dãy x(n) như sau: x(n) = rect3(n)
Hãy sử dụng quan hệ (2.5) để tính hàm tự tương quan rxx(n)
Giải:
Ta có: X(z) = ZT[x(n)] = ∑∞
−∞=n
rect3(n).z-n =∑=
2
0n
z-n = 1 + z-1 + z-2 , z ≠ 0
X(z
1) = ∑
=
2
0n
zn = 1 + z + z2
⇒ Rxx(z) = X(z).X(z
1) = (1 + z-1 + z-2).(1 + z + z2)
59
= 3 + 2.z + 2.z-1 + z-2 + z2
Áp dụng công thức tính biến đổi z ngược ta tính được rxx(n):
rxx(n) = 3. )(nδ + 2. )1( −nδ + 2. )1( +nδ + )2( −nδ + δ (n + 2)
2.4.7 Dãy liên hợp phức
Giả sử chúng ta có hai dãy sau: x(n) và x*(n), dấu * ở đây có nghĩa là liên hợp
phức. Lấy biến đổi Z cả hai dãy này ta có:
ZT[x(n)] = X(z) = ∑∞
−∞=n
x(n).z-n
ZT[x*(n)] = ∑∞
−∞=n
x*(n).z-n
Mà ta có: [X(z)]* = [∑∞
−∞=n
x(n).z-n]*
X*(z) = ∑∞
−∞=n
x*(n).(z*)-n
⇒ X*(z*) = ∑∞
−∞=n
x*(n).[(z*)*]-n = ∑∞
−∞=n
x*(n).z-n (vì (z*)*) = z)
Vậy ta có: ZT[x*(n)] = X*(z*) với miền hội tụ: Rx- < |z| < Rx
+
2.4.8 Định lý giá trị ban đầu
Định lý giá trị ban đầu được phát biểu dưới dạng biểu thức như sau:
x(0) = lim X(z)
z ∞→
với X(z) = ∑∞
=0n
x(n).z-n = x(0) + x(1).z-1 + x(2).z-2 +…+x(n).z-n
Nếu X(z) hội tụ khi |z| > Rx- và nếu chúng ta có: lim z-n0.X(z) = A < ∞
z ∞→
(với n0 là số nguyên) thì ta thu được : x(n0) = A và x(n) = 0 với n < n0
*) Chú ý: Định lý này chỉ có giá trị đối với dãy nhân quả vì định lý này cho phép
đưa ra giá trị tại gốc tọa độ của một dãy khi chúng ta biết biến đổi Z của nó.
60
2.4.9 Tích của hai dãy
Giả sử trong miền n ta có: x3(n) = x1(n).x2(n) , thì trong miền Z ta có:
X(z) = ∫ΠC
j..2
1X1(v).X2(
v
z).v-1dv
Với miền hội tụ: RC[X1(z)]: Rx1- < |z| < Rx1
+
RC[X2(z)]: Rx2- < |z| < Rx2
+
RC[X3(z)] = RC[X1(z)] ∩ RC[X2(z)]
2.5 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z
2.5.1 Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc
Trong miền n ta có hệ thống:
x(n) y(n)
Hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi đáp ứng xung h(n).
Và đầu ra y(n) = x(n) * h(n). (2.7)
Trong miền Z, ta thực hiện biến đổi Z của hai vế của (2.7) ta được:
ZT[y(n)] = ZT[x(n) * h(n)] = ZT[x(n)].ZT[h(n)]
⇔ Y(z) = X(z).H(z)
⇔ H(z) = )(
)(
zX
zY = ZT[h(n)]: được gọi là hàm truyền đạt của hệ thống.
2.5.2 Hàm truyền đạt của một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc
trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng.
Giả sử ta có hệ thống tuyến tính bất biến được biểu diễn bởi phương trình sai
phân tuyến tính hệ số hằng.
∑=
N
k 0
ak.y(n - k) = ∑=
M
r 0
br.x(n - r) (2.8)
Biến đổi Z cả hai vế phương trình (2.8) ta được:
ZT[∑=
N
k 0
ak.y(n - k)] = ZT[∑=
M
r 0
br.x(n - r)]
h(n)
61
⇔ ∑=
N
k 0
ak.ZT[y(n - k)] = ∑=
M
r 0
br.ZT[x(n - r)] (2.11)
Giả sử: ZT[y(n)] = Y(z) ⇒ZT[y(n - k)] = z-k.Y(z)
ZT[x(n)] = X(z) ⇒ZT[x(n - r)] = z-r.X(z)
(2.11) ⇔ ∑=
N
k 0
ak.z-k.Y(z) = ∑
=
M
r 0
br.z-r.X(z)
⇔ H(z) = )(
)(
zX
zY= ∑
=
M
r 0
br.z-r/∑
=
N
k 0
ak.z-k
Ví dụ: Cho hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi phương trình sai phân
tuyến tính hệ số hằng :
y(n) – 2.y(n - 1) = x(n) – 3.x(n - 1) (1)
Tìm hàm truyền đạt của hệ thống.
Giải:
Thực hiện biến đổi Z cả hai vế của phương trình (1), ta được:
ZT[y(n)] – 2.ZT[y(n - 1)] = ZT[x(n)] – 3.ZT[x(n - 1)]
⇔ Y(z) – 2.z-1.Y(z) = X(z) – 3.z-1.X(z)
⇔ Y(z).(1 – 2.z-1) = X(z).(1 – 3.z-1)
⇔ H(z) = )(
)(
zX
zY =
z
z
/21
/31
−
− =
2
3
−
−
z
z
2.5.3 Các phần tử thực hiện hệ thống tuyến tính bất biến
2.5.3.1 Phần tử cộng
Trong miền Z được sử dụng để cộng hai hay nhiều hàm ảnh Xi(z) và được ký hiệu
như trên hình 2.5
a. Y(z) = X1(z) + X2(z) b. ∑=
=M
i
i zz XY
1
)()(
Hình 2.5 : Ký hiệu phần tử cộng trong miền Z.
+ + X1(z) Y(z)) X2(z)
Xi(z)
Y(z))
X2(z) XM(z)
X1(z)
62
2.5.3.2 Phần tử trễ đơn vị
Theo tính chất trễ của biến đổi Z thì : )()]([)( 11 zznxZTz XY−=−=
do đó phần tử trễ đơn vị trong miền z có hàm hệ thống 1)( −= zzH và nó được ký
hiệu như trên hình 2.6.
Hình 2.6 : Ký hiệu phần tử trễ đơn vị trong miền z : )()( 1zzz XY
−= .
2.5.3.3 Phần tử nhân với hằng số
Phần tử nhân với hằng số dùng để nhân hàm ảnh X(z) với hằng số a, nó được ký
hiệu như trên hình 2.7.
Hình 2.7 : Ký hiệu phần tử nhân với hằng số trong miền z :
Ví dụ : Hãy xây dựng sơ đồ cấu trúc trong miền Z của hệ sử lý số có quan hệ vào ra
: )()()()( 15,0132 −−−+= nynxnxny
Giải :
Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình trên nhận được :
)()()()( 11 5,032 zzzzzz YXXY−− −+= (2)
Từ đó xây dựng được sơ đồ cấu trúc trong miền Z của hệ trên hình 2.8.
Hình 2.8 : Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số cho (2)
X(z) Y(z) 1−z
X(z) Y(z)
a
X(z) Y(z)
3
2
- 0,5 1−z
1−z
+
63
2.5.4 Phân tích hệ thống trong miền Z
*) Nguyên tắc chung:
- Phân tích hệ thống thành các thành phần nhỏ
- Tìm quan hệ giữa các thành phần.
- Tìm hàm truyền đạt của các thành phần này.
- Tổng hợp lại theo mối quan hệ đã tìm thấy ở trên.
2.5.4.1 Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết nối tiếp
Xét hệ thống gồm m khối liên kết nối tiếp trên hình 2.9.
Khi đó đáp ứng của hệ sẽ được xác định theo biểu thức :
)().()()......().().()( 21 zzzzzzz HXHHHXY m ==
Từ đó suy ra : ∏=
=m
i
i zz HH
1
)()( (1)
Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết nối tiếp bằng tích các hàm hệ thống
Hi(z) thành phần
Hình 2.9 : Sơ đồ các khối Hi(z) liên kết nối tiếp.
2.5.4.2 Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết song song
Xét hệ xử lý số gồm m khối liên kết song song trên hình 2.10.
Hình 2.10 : Sơ đồ các khối Hi(z) liên kết song song.
Khi đó phản ứng của hệ sẽ được xác định theo biểu thức :
X(z) Y(z) H1(z)
H2(z)
Hm(z)
X(z) Y(z) H1(z)
+
H2(z)
+
Hm(z)
64
)().(...)().()().()( 21 zzzzzzz mHXHXHXY +++=
Hay : [ ] )().()(...)()().()( 21 zzzzHzzz HXHHXY m =+++=
Từ đó suy ra : ∑=
=m
i
i zz HH
1
)()( (2)
Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết song song bằng tổng các hàm hệ thống
Hi(z) thành phần.
2.5.4.3 Hàm hệ thống H(z) của vòng phản hồi
Xét hệ xử lý số có vòng phản hồi trên hình 2.11, theo sơ đồ khối có :
)().()( 22 zzz HYX =
và : )().()()()()( 221 zzzzzz HYXXXX +=+=
[ ] )(.)().()()().()( 1211 zzzzzzz HHYXHXY +==
)().().()().()( 211 zzzzzz HHYHXY +=
[ ] )().()().()( 1211 zzzzz HXHHY =−
Từ đó suy ra : )().(
)(
)(
)()(
21
1
1 zz
z
z
zz
HH
H
X
YH
−== (3)
Hình 2.11 : Sơ đồ khối của vòng phản hồi.
Hàm hệ thống H(z) của vòng phản hồi trên hình 2.11 được tính theo biểu thức (3)
2.5.5 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng nhờ biến đổi Z
Dùng biến đổi Z một phía để giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng.
Trước tiên, chúng ta sẽ tìm hiểu tính chất trễ của biến đổi Z một phía.
2.5.5.1 Tính chất trễ của biến đổi Z một phía
Ta có: ZT1[x(n)] = X1(z) = ∑∞
=0n
x(n).z-n
X(z) Y(z)
H2(z)
X2(z)
X1(z) + H1(z)
65
Ta sẽ tìm ZT1[x(n - k)] theo X1(z)
ZT1[x(n - k)] = ∑∞
=0n
x(n - k).z-n
Đặt: l = n – k ⇔ n = l + k
Khi n 0→ thì l k−→ , khi n ∞→ thì l ∞→
⇒ZT1[x(n - k)] = ∑∞
−= kl
x(l).z-(l + k) = z-k.∑∞
−= kl
x(l).z-l
= z-k.∑−
−=
1
kl
x(l).z-l + z-k.∑∞
=0l
x(l).z-l
= z-k.∑−
−=
1
kl
x(l).z-l + z-k.X1(z)
Vậy ZT1[x(n-k)] = z-k.∑−
−=
1
kl
x(l).z-l + z-k.X1(z)
2.5.5.2 Ý tưởng
Xuất phát từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng, ta sẽ tính được biến
đổi Z một phía Y1(z). Rồi từ biến đổi Z một phía, áp dụng biến đổi Z ngược ta sẽ
tìm được y(n).
Ví dụ: Cho 2.y(n) – 3.y(n - 1) + y(n - 2) = x(n) (1),
với điều kiện ban đầu là: x(n) = u(n), y(-1) = 1, y(-2) = 0.
Dựa vào biến đổi Z, hãy giải phương trình này.
Giải:
Thực hiện biến đổi Z một phía cả hai vế của phương trình (1) ta được:
2.Y1(z) – 3.z-1[∑−
−=
1
1l
y(l).z-l + ∑∞
=0l
y(l).z-l] + z-2.[∑−
−=
1
2l
y(l).z-l + ∑∞
=0l
y(l).z-l] + Y1(z)=1−z
z
⇔ 2.Y1(z) – 3.z-1.y(-1).z – 3.Y1(z).z-1 + z-2.y(-2).z2 + z-1.y(-1).z-1
+ z-2.Y1(z) + Y1(z) =1−z
z
⇔ 2.Y1(z) – 3.y(-1) -3.Y1(z) +y(-2) + z-1.y(-1) + z-2.Y(z) +Y1(z) = 1−z
z
⇔ Y1(z) = (3.y(-1) – y(-2) – z-1.y(-1) + 1−z
z).z2 = 4.z2 + 1 +
1
1
−z
66
⇒y(n) = 4.δ (n +2) + δ (n) + u(n - 1)
2.6 Độ ổn định của hệ thống
Để một hệ thống có thể triển khai được về mặt vật lý thì hệ thống đó phải là hệ
thống tuyến tính, bất biến, nhân quả và ổn định.
2.6.1 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến
Trong miền n, ta dựa vào đáp ứng xung h(n) để xét sự ổn định của hệ thống. Một
hệ thống là ổn định nếu S = ∑∞
−∞=n
|h(n)| < ∞ .
Trong miền Z, ta cần khảo sát H(z)
H(z) = ∑∞
−∞=n
h(n).z-n
So sánh điều kiên ổn định trong miền n với công thức H(z), ta thấy rằng muốn
điều kiện trong miền n được thỏa mãn thì hàm truyền đạt H(z) phải hội tụ với |z| = 1
(tức là trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z), vì thế miền hội tụ của H(z) nhất
thiết phải chứa vòng tròn đơn vị.
Như vậy: Một hệ thống tuyến tính bất biến là ổn định khi và chỉ khi vòng tròn
đơn vị nằm trong miền hội tụ của hàm truyền đạt của hệ thống.
2.6.2 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả
Trong thực tế, chúng ta chỉ gặp những hệ thống nhân quả. Vì vậy, chúng ta sẽ
nghiên cứu điều kiện ổn định đối với hệ thống nhân quả.
Hàm truyền đạt của một hệ thống nhân quả được cho bởi công thức dưới đây:
H(z) = ∑∞
=0n
h(n).z-n
Miền hội tụ của H(z) nằm ngoài vòng tròn có bán kính là R, trong đó:
R = lim |h(n)|1/n < 1
n ∞→
Điều kiện của một hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả được phát biểu như
sau:
67
Một hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả là ổn định nếu và chỉ nếu tất cả các
điểm cực của hàm truyền đạt H(z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị.
Ví dụ:
Cho một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi phương trình sai phân
sau: y(n) – 3.y(n - 1) = 2.x(n -1). (1)
Xét sự ổn định của hệ thống trên.
Giải:
Thực hiện biến đổi Z hai vế của (1) ta được:
Y(z) – 3.z-1.Y(z) = 2.z-1.X(z)
⇔ (1 – 3.z-1).Y(z) = 2.z-1.X(z)
⇔ H(z) = )(
)(
zX
zY =
z
z
/31
/2
− =
3
2
−z với |z| >3
⇒h(n) = 2.3n - 1. u(n - 1)
H(z) có điểm cực là z = 3 > 1, nằm ngoài vòng tròn đơn vị, do đó: hệ thống là
không ổn định.
2.6.3 Tiêu chuẩn ổn định Jury
Trong phần 2.6.2, ta thấy rằng muốn biết một hệ thống có ổn định hay không,
chúng ta phải tìm các điểm cực của hàm truyền đạt H(z). Nhưng khi bậc của mẫu số
của H(z) lớn thì việc tìm các điểm cực sẽ gặp nhiều khó khăn. Để tránh tìm các
điểm cực mà vẫn biết được hệ thống có ổn định hay không, chúng ta có thể dùng
tiêu chuẩn ổn định Jury.
Giả sử ta có một hệ thống mà hàm truyền đạt H(z) của nó có dạng sau đây:
H(z) = ∑=
M
r 0
br.z-r / ∑
=
N
k 0
ak.z-k = ∑
=
M
r 0
br.zN – r / ∑
=
N
k 0
ak.zN – k
Gọi D(z) = ∑=
N
k 0
ak.zN – k
Chúng ta sử dụng các hệ số ak để xây dựng một bảng gồm 2.N – 3 hàng như
dưới đây:
68
Hàng Hệ số
1 a0 a1 a2 ... … … aN
2 aN aN- 1 aN-2 … … … a0
3 c0 c1 c2 … … cN-1
4 cN-1 cN-2 cN-3 … … c0
5 d0 d1 d2 … dN-2
6 dN-2 dN-3 dN-4 … d0
…….. ….. ….. ….. ….. ….. …..
2.N - 3 r0 r1 r2
Tiêu chuẩn ổn định Jury được phát biểu như sau:
Một hệ thống tuyến tính bất biến là ổn định nếu và chỉ nếu hàm truyền đạt H(z)
của nó thỏa mãn 3 điều kiện sau đây:
(1) D(z)| 1=Z > 0
(2) D(z)| 1−=Z > 0 với N chẵn
D(z)| 1−=Z < 0 với N lẻ
(3) 1 > |aN|
|c0| > |cN-1|
|d0| > |dN-1|
…..……..
|r0| > |r2|
Trong đó: ci = a0.ai – aN.aN-i (với i = 0, 1, 2,…., N - 1)
di = c0.ci – cN-1-i.cN-1 (với i= 0, 1, 2, , N - 2)
N: Là bậc D(z)
Ví dụ: Cho một hệ thống có hàm truyền đạt như sau:
H(z) = (1 – z-1 + z-2)/(2 – z-1 + z-2/3) = (z2 - z + 1)/(2.z2 – .z + 1/3)
Hãy dùng tiêu chuẩn ổn định Jury để xét sự ổn định của hệ thống này.
Giải:
Ta có D(z) = 2.z2 – z + 1/3, N = 2: là số chẵn, 2.N – 3 =1 hàng
69
Ta sẽ lần lượt kiểm tra 3 điều kiện của tiêu chuẩn Jury
(1) D(z)| 1=Z = 2 – 1 + 1/3 = 4/3 > 0
(2) D(z)| 1−=Z = 2 + 1 + 1/3 = 10/3 > 0 (N chẵn)
(3) Ta có: aN = a2 = 1/3, do số hàng chỉ là 1 nên ta chỉ xét đến aN mà không xét
đến các ci, di.
⇒1 > |aN|
Như vậy, cả ba điều kiện của tiêu chuẩn Jury đều được thỏa mãn. Do đó, đây là
hệ thống ổn định.
70
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Bài tập 2.1
Tìm biến đổi z và miền hội tụ của các dãy tín hiệu sau:
a. 1
3
2)(
1
−
=
n
nx
b. 1
3
1)(
2
−−
=
n
nx
c. )(.2
1.)(
3nu
n
nnx
=
d. )1(.3).1()(4
−−= nun
nnx
Bài tập 2.2
Tìm biến đổi Z ngược của các X(z) sau đây:
a. 1.52.4
2.4)(
1+−
=zz
zzX
b. 0,1.32.32
.4)(
2>
−+
+−= zz
zz
zzX
c. ( ) ( )
1,1.2.22
.3)(
3>
−−
= z
zz
zzX
d. ( )
10,.331
2)(
4<<+
−
= zz
z
zX
Bài tập 2.3
Một hệ thống tuyến tính bất biến được cho bởi phương trình sai phân tuyến tính
hệ số hằng sau:
y(n) – 4.y(n-1) + 3.y(n-2) = x(n) – 2.x(n-1)
a.Tìm hàm truyền đạt H(z) của hệ thống, xét sự ổn định của hệ thống
b. Tìm đáp ứng xung h(n)
71
Bài tập 2.4
Cho hệ thống có hàm truyền đạt 32.21.34
1.21)(
−+−+−+
−−=
zzz
zzH
a.Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống này
b.Xét sự ổn định của hệ thống
Bài tập 2.5
Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau:
a. )()1(.3
2)( nxnyny +−=
Với điều kiện đầu: 1)1(,)(.2
1)( =−=
ynu
n
nx
b. )()2(.2
1)( nxnyny +−=
Với điều kiện đầu: 0)2()1(,)(.)( =−=−= yynunx
Bài tập 2.6
Cho
21.21
1)(
−+−−
−=
zz
zzX
Hãy tìm biến đổi Z ngược bằng phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa.
Bài tập 2.7
Cho 2 dãy tín hiệu x1(n) và x2(n) như sau:
)2(4
)(2
)2(4
)(1
−=+= nrectnxvànrectnx
Tính x(n) = x1(n)*x2(n) thông qua biến đổi Z.
72
CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC
TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC
3.1 Biến đổi Fourier của các tín hiệu rời rạc
Biến đổi Fourier là một trong các công cụ toán học để chuyển việc biểu diễn tín
hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập n sang miền tần số liên tục w.
3.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier (FT: Fourier Transform )
3.1.1.1 Định nghĩa
Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc x(n) được định nghĩa như sau:
X(ejw) = ∑∞
−∞=n
x(n).e-jw.n (3.1)
Như vậy, biến đổi Fourier đã chuyển việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong miền biến
số độc lập n thành việc biểu diễn tín hiệu X(ejw) trong miền tần số w, tức là trên trục
ảo jw, vì jw là biến ảo. Như vậy, X(ejw) là hàm phức của biến số w.
FT[x(n)] = X(ejw)
3.1.1.2 Các phương pháp thể hiện X(ejw)
Ta có ba phương pháp thể hiện sau:
+ Thể hiện dưới dạng phần thực và phần ảo
Bởi vì X(ejw) là hàm biến số phức nên ta có thể biểu diễn X(ejw) trong miền tần
số w dưới dạng phần thực và phần ảo như biểu thức (3.2) sau đây:
X(ejw) = Re[X(ejw)] + j.Im[X(ejw)] (3.2)
Trong đó:
Re[X(ejw)]: phần thực của X(ejw)
Im[X(ejw)]: phần ảo của X(ejw)
+ Thể hiện dưới dạng modun và argument
X(ejw) là hàm biến số phức nên ta có thể thể hiện nó dưới dạng modun và
argument như biểu thức dưới đây:
X(ejw) = |X(ejw)|.ej.arg[X(ejw)] (3.3)
Trong đó:
||: Là modun
arg: Là argument
73
|X(ejw)|: gọi là phổ biên độ của x(n)
arg[X(ejw)]: gọi là phổ pha của x(n)
Quan hệ giữa phổ biên độ, phổ pha và phần thực, phần ảo được thể hiện thông
qua biểu thức sau:
|X(ejw)|2 = Re2[X(ejw)] + Im2[X(ejw)] (3.4)
arg[X(ejw)] = arctg[ ][ ])(Re
)(Imjw
jw
eX
eX (3.5)
Đặt: ϕ (w) = arg[X(ejw)]
⇒ X(ejw) = |X(ejw)|.ej.ϕ (w) (3.6)
+ Thể hiện dưới dạng độ lớn và pha
Giả sử, X(ejw) có dạng: X(ejw) = A(ejw).ej.θ (w) (3.7)
Trong đó: A(ejw) là thực và |A(ejw)| = |X(ejw)|
<+
≥=
0
0
)()12(
)(2)](arg[
ω
ωω
π
πj
j
j
eKhik
eKhike
A
AA
Một cách tổng quát, ta có thể viết :
=
= −− ++ ])(])(
)(1[
2
121[
2
12)](arg[ ω
ω
ωππω j
eASignj
eA
jeA
kkAj
e
Với hàm dấu Sign[A(ejw)] = A(ejw)/ |A(ejw)|
Mặt khác, ta lại có: arg[X(ejw)] = arg[A(ejw)] + θ (w) = ϕ (w)
⇒ θ (w) = ϕ (w) - arg[A(ejw)]
Ví dụ 3.1: Cho X(e-jw) = e-jw.sin 2w (3.8)
Hãy tìm: a) Re[X(ejw)] và Im[X(ejw)]
b) A(ejw) và θ (w)
c) |X(ejw)| và ϕ (w)
Giải:
a) Ta có: X(e-jw) = e-jw.sin 2w = (cos w – j.sin w).sin 2w
= cos w.sin 2w – j.sin w.sin 2w
74
Do vậy: Re[X(ejw)] = cos w.sin 2w
Im[X(ejw)] = sin w.sin 2w
b) Từ (3.7), đối chiếu với (3.8) ta có: A(ejw) = sin 2w và θ (w) = -w
c) Ta có: |X(e-jw)| = |sin 2w| (từ biểu thức 3.6)
ϕ (w) = θ (w) + arg[A(ejw)] =
+− −+ ]2sin
2sin1[
2
12
w
wkw π (k nguyên)
Ví dụ 3.2: Hãy tìm biến đổi Fourier của các dãy sau đây:
a. x1(n) = δ (n-1) + δ (n) + δ (n+1)
b. x2(n) = 3n.u(n-1)
Giải:
a.Ta có: X1(ejw) = FT[x1(n)] = ∑
∞
−∞=n
x1(n).e-jwn
= ∑−=
1
1n
e-jwn = ejw + 1 + e-jw = 2.cos(w)+ 1
b.Ta có: X2(ejw) = ∑
∞
−∞=n
3n.u(n-1).e-iwn = ∑∞
=1n
3n.e-jwn
= ∑∞
=0n
(3.e-jw)n (*)
Vì |3.e-jw| = 3 > 1 nên chuỗi (*) không hội tụ
Do vậy: x2(n) không có biến đổi Fourier
3.1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier
Qua các ví dụ 3.1 và 3.2 ta thấy rằng : biến đổi Fourier chỉ tồn tại nếu chuỗi
trong biểu thức (3.1) hội tụ. Mà chuỗi (3.1) hội tụ nếu và chỉ nếu x(n) thỏa mãn điều
kiện sau đây:
∑∞
−∞=n
|x(n)| < ∞ (3.9)
Nếu (3.9) được thỏa mãn thì chuỗi (3.1) sẽ hội tụ tuyệt đối về một hàm liên tục
của w.
75
Ta có công thức tính năng lượng là: Ex = ∑∞
−∞=n
|x(n)|2 ≤ [∑∞
−∞=n
|x(n)|]2 ≤ ∞ nếu (3.9)
được thỏa mãn hay nếu Ex hữu hạn thì (3.9) thỏa mãn. Như vậy, chúng ta có thể nói
rằng: Biến đổi Fourier của tín hiệu có năng lượng hữu hạn là luôn luôn luôn tồn tại.
Ví dụ: Hãy xét sự tồn tại của biến đổi Fourier và tính năng lượng Ex của các dãy
x(n) sau đây:
a) x1(n) = δ (n-1) + δ (n)
b) x2(n) = u(n)
Giải:
a) Ta có:∑∞
−∞=n
|x1(n)|= ∑=
1
0n
|1| = 1 + 1 = 2
Ex = ∑=
1
0n
|1|2 = 1 + 1 = 2 < ∞
Vậy X1(ejw) tồn tại
b) Ta có: ∑∞
−∞=n
|x2(n)| = ∑∞
=0n
|1| = ∞
Ex = ∑∞
=0n
|1|2 = ∞
Vậy không tồn tại X2(ejw)
3.1.3 Biến đổi Fourier ngược (IFT: Inverse Fourier Transform)
Xuất phát từ công thức tính của biến đổi Fourier:
X(ejw) = ∑∞
−∞=n
x(n).e-jw.n
Nhân cả hai vế của nó với ejwm, rồi lấy tích phân theo biến w trong khoảng
[- ππ , ], ta có:
∫−
π
π
X(ejw).ejwm dw = ∫−
π
π
[∑∞
−∞=n
x(n).e-jw.n].ejwm dw = ∫−
π
π
[∑∞
−∞=n
x(n).ejw.(m-n)] dw
= ∑∞
−∞=n
x(n). ∫−
π
π
ejw.(m-n) dw
76
Mà:
≠
==∫
−
−
nmkhi
nmkhide
nmj
0
2)( πω
π
π
ω
⇒ ∫−
π
π
X(ejw).ejwm dw = ∑∞
−∞=n
x(n). ∫−
π
π
ejw.(m-n) dw = 2.π .x(m)
⇒ x(m) = π.2
1. ∫
−
π
π
X(ejw).ejwm dw
Vậy ta có cặp biến đổi Fourier sau đây:
x(n) = IFT[X(ejw)] = π.2
1. ∫
−
π
π
X(ejw).ejwn dw
X(ejw) = FT[x(n)] = ∑∞
−∞=n
x(n).e-jw.n
Ví dụ:
e-j4w |w| ≤ 2
π
Cho X(ejw) = 0 w còn lại
Hãy tìm x(n)
Giải:
Ta có: x(n) = IFT[X(ejw)] = π.2
1. ∫
−
π
π
X(ejw).ejwn dw = π.2
1∫
−
2/
2/
π
π
e-j4w.ejwn dw
= π.2
1∫
−
2/
2/
π
π
ej(n-4)w dw = π.2
1
)4(
1
−nj ej(n-4)w
2/
2/
π
π
−
= π.2
1.
)4(
1
−nj[cos(n-4)w + j.sin(n-4)] 2/
2/
π
π
−
= π.2
1.
)4(
1
−nj2j.sin(n-4).
2
π =
2
1
2)4(
2)4sin(
π
π
−
−
n
n
77
3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier X(ejw) có chu kỳ 2π , vì vậy chúng ta chỉ cần nghiên cứu phổ
trong khoảng ( ππ ,− ) hoặc (0,2π ), khoảng tần số này ta gọi là khoảng cơ bản. Biến
đổi Fourier có các tính chất như sau:
3.2.1 Tính chất tuyến tính
Giả sử ta có hai tín hiệu x1(n) và x2(n) và biến đổi Fourier của chúng là:
X1(ejw) = FT[x1(n)]
X2(ejw) = FT[x2(n)]
Chúng ta coi x(n) là tổ hợp tuyến tính của x1(n) và x2(n) như biểu thức dưới đây:
x(n) = a.x1(n) + b.x2(n) (a, b là hằng số) (3.10)
Biến đổi Fourier của x(n) được cho bởi:
X(ejw) = FT[x(n)] = ∑∞
−∞=n
(a.x1(n) + b.x2(n)).e-jwn
= a.∑∞
−∞=n
x1(n).e-jwn + b. ∑∞
−∞=n
x2(n).e-jwn
= a.X1(ejw) + b.X2(ejw) (3.11)
Ví dụ: Cho x(n) = x1(n) + 2.x2(n)
(2
1)n n ≥ 0
Cho: x1(n) =
0 n còn lại
(4
1)n n ≥ 0
X2(n) =
0 n còn lại
Hãy tính biến đổi Fourier của tín hiệu trên.
Giải:
Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier ta có:
X(ejw) = X1(ejw) + 2.X2(e
jw)
78
Mà: X1(ejw) = ∑
∞
=0n
(2
1)n.e-jwn = ∑
∞
=0n
(2
1.e-jw)n
= jw
e−− .
2
11
1 =
jwe
−−2
2
X2(ejw) = ∑
∞
=0n
(4
1)n.e-jwn = ∑
∞
=0n
(4
1.e-jw)n
= jw
e−− .
4
11
1 =
jwe
−−4
4
⇒X(ejw) = jw
e−−2
2 +
jwe
−−4
4 =
wjjw
jw
ee
e2.68
.616−−
−
+−
−
3.2.2 Tính chất trễ
Giả sử ta có: y(n) = x(n – n0) thì Y(ejw) = e-jwn0.X(ejw)
Ví dụ:
Cho x(n) = rect3(n), x1(n) = rect3(n - 2), tính |X(ejw)|, |X1(ejw)|
Giải:
Ta có: X(ejw) = ∑∞
−∞=n
x(n).e-jwn = ∑=
2
0n
e-jwn = jw
wj
e
e−
−
−
−
1
1 3
=
).(
).(
222
2
3
2
3
2
3
jwjwjw
wjwjwj
eee
eee−−
−−
−
−
=
2sin.2.
2
3sin.2.
2
2
3
wje
wje
jw
wj
−
−
= e-jw.
2sin
2
3sin
w
w
⇒ |X(ejw)| =| e-jw.
2sin
2
3sin
w
w
| = | e-jw |.|
2sin
2
3sin
w
w
| = |
2sin
2
3sin
w
w
|
X1(ejw) = e-jw2.X(ejw) = e-j3w.
2sin
2
3sin
w
w
79
⇒ |X1(ejw)| = | e-j3w.
2sin
2
3sin
w
w
| = | e-j3w |.|
2sin
2
3sin
w
w
| = |2/sin
2/3sin
w
w|
3.2.3 Tính chất trễ tần số
Giả sử ta có: y(n) = ejw 0 n.x(n)
⇒Y(ejw) = ∑∞
−∞=n
y(n).e-jwn = ∑∞
−∞=n
ejw 0 n.x(n).e-jwn = ∑∞
−∞=n
e-jn(w-w 0 ).x(n)
= X(ej(w-w0
))
Như vậy, ta thấy rằng việc nhân dãy x(n) với ejw0n trong miền biến số n sẽ tương
đương với việc dịch chuyển tần số của phổ X(ejw) đi một lượng là w0.
Ví dụ: cho x(n) có |X(ejw)| như sau (hình 3.1):
Hình 3.1 Đồ thị biễu diễn phổ biên độ của tín hiệu x(n)
Vẽ |Y(ejw)| biết y(n) = cos 2
π .x(n)
Giải:
Ta có: cos 2
πn = [e 2
.njπ
+ e 2
.njπ−
]/2
⇒y(n) = 2
1 e 2
.njπ
.x(n) + 2
1 2
.njπ−
.x(n)
⇒Y(ejw) = 2
1X(e
)2
(π
−wj
) + 2
1X(e
)2
(π
+wj
)
⇒ |Y(ejw)| = |2
1 X(e
)2
(π
−wj
) | + |2
1 X(e
)2
(π
+wj
)|
-5π /2 -3π /2 -π /2 π /2 3π /2 5π /2 w
X(ejw)
80
⇒ |Y(ejw)| được biểu diễn như dưới đồ thị dưới đây (hình 3.2):
Hình 3.2 Đồ thị biểu diễn phổ biên độ của tín hiệu y(n)
3.2.4 Tích chập của hai dãy
Giả sử ta có: x(n) = x1(n) * x2(n)
⇒X(ejw) = X1(ejw). X2(e
jw)
Ví dụ: Cho hai dãy số: x1(n) = rect4(n) và x2(n) = (1 – 2
n).rect4(n)
Hãy tìm x(n) = x1(n) * x2(n) = ?
Giải:
Ta có: X(ejw) = X1(ejw). X2(e
jw)
Mà: X1(ejw) = ∑
∞
−∞=n
x1(n).e-jwn = ∑=
3
0n
e-jwn = jw
wj
e
e−
−
−
−
1
1 4
= 1 + e-jw + e-j2w + e-j3w
X2(ejw) = ∑
∞
−∞=n
x2(n).e-jwn = ∑=
3
0n
(1 – 2
n).e-jwn
= 1 + 2
1.e-jw -
2
1e-j3w
⇒X(ejw) = (1 + e-jw + e-j2w + e-j3w).( 1 + 2
1.e-jw -
2
1e-j3w)
= 1 + 2
3.e-jw +
2
3. e-j2w + e-j3w -
2
1e-j5w-
2
1e-j6w
= ∑=
6
0n
x(n).e-jwn
⇒x(n) =
−−→ 2
1,
2
1,1,
2
3,
2
3,1
0
(với x(0) = 1)
-2π -π π 2π
w
|Y(ejw)|
81
3.2.5 Tính chất đối xứng
Giả sử dãy x(n) có dạng x(n) = Re[x(n)] + j.Im[x(n)]
Vậy dãy liên hợp của x(n) là x*(n) có dạng như sau:
x*(n) = Re[x(n)] – j.Im[x(n)]
Chúng ta sẽ tìm quan hệ giữa FT[x*(n)] và FT[x(n)]
Ta có: FT[x(n)] = X(ejw) = ∑∞
−∞=n
x(n)e-jwn
FT[x*(n)] = ∑∞
−∞=n
x*(n).e-jwn = [ ∑∞
−∞=n
x*(n).e-jwn]**
= ∑∞
−∞=n
x(n).ejwn* = X(e-jw)* = X*(e-jw)
Vậy: FT[x*(n)] = X*(e-jw)
Nếu x(n) là thực thì x*(n) ≡ x(n) và FT[x*(n)] = FT[x(n)].
Vậy đối với tín hiệu thực thì ta có: X*(e-jw) = X(ejw) hay phổ của tín hiệu có tính
chất đối xứng.
3.2.6 Tương quan giữa hai tín hiệu
Giả sử ta có: x(n), y(n), và rxy(n) = ∑∞
−∞=m
x(m).y(m - n)
⇒Rxy(ejw) = X(ejw). Y(ejw)
Nếu x(n) = y(n), x(n) thực thì:
Rxy(ejw) = Rxx(e
jw) = X(ejw). X(e-jw)
= X(ejw). X*(ejw) = |X(ejw)|2 (vì X*(ejw) = X(e-jw))
3.2.7 Quan hệ Parseval
Giả sử, ta có hai dãy x1(n) và x2(n), và:
X1(ejw) = FT[x1(n)]
X2(ejw) = FT[x2(n)]
Thì ta có: ∑∞
−∞=n
x1(n).x2*(n) =
π2
1∫−
π
π
X1(ejw). X2
*(ejw)dw
Nếu x1(n) = x2(n) = x(n) thì:
82
∑∞
−∞=n
x(n).x*(n) = π2
1∫−
π
π
X(ejw). X*(ejw)dw
⇔ ∑∞
−∞=n
|x(n)|2 = π2
1∫−
π
π
|X(ejw)|2dw
|X(ejw)|2 gọi là phổ mật độ năng lượng của x(n), nó thể hiện sự phân bố năng
lượng theo hàm của tần số. Ta kí hiệu nó là Sxx(ejw)
Vậy ta có: Sxx(ejw) = |X(ejw)|2
Mặt khác, ta lại có công thức tính năng lượng như sau:
Ex = ∑∞
−∞=n
|x(n)|2
Như vậy, quan hệ Parseval chính là quan hệ giữa năng lượng của tín hiệu và phổ
mật độ năng lượng của tín hiệu đó.
Ví dụ: Cho x(n) = (1/2)n.u(n), tính phổ mật độ năng lượng của x(n).
Giải:
Ta có: ∑∞
−∞=n
|x(n)| = ∑∞
=0n
(2
1)n =
2
11
1
−
= 2 < ∞
Vậy: FT[x(n)] tồn tại
Mà: X(ejw) = ∑∞
−∞=n
x(n).e-jwn = ∑∞
=0n
(2
1)n.e-jwn = ∑
∞
=0n
(2
1.e-jw)n
= jw
e−−
2
11
1
3.2.8 Tích của hai dãy
Giả sử, ta có hai dãy x1(n), x2(n) và x(n) = x1(n).x2(n)
Thì: X(ejw) = ∫−
−π
ππ
1)(
21 )().(2
111 dweXeX
wwjjw
83
Chứng minh:
Ta có: X(ejw) = ∑∞
−∞=n
x1(n).x2(n).e-jwn = ∑∞
−∞=n
[ 11 ..)(2
111 dweeXnjwjw
∫−
π
ππ
].x2(n).e-jwn
= 11)(
2 .)(.).(2
11 dweXenx
n
jwnwwj
∫ ∑−
∞
−∞=
−−π
ππ
= 1)(
21 ).().(2
11 dweXeX
wwjjw −−
−
∫π
ππ
Vậy ta có: X(ejw) = 1)(
21 ).().(2
11 dweXeX
wwjjw −−
−
∫π
ππ
= X1(ejw) * X2(e
jw) (3.12)
Quan hệ (3.12) được gọi là tích chập liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 2π .
3.2.9 Vi phân trong miền tần số
Giả sử ta có: y(n) = n.x(n) và
FT[x(n)] = X(ejw) = ∑∞
−∞=n
x(n).e-jwn (3.13)
Lấy vi phân hai vế của (3.13) ta được:
∑ ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−−∞
−∞=
− −==
=
n n
jwnjwn
n
jwnjw
enxnjedw
dnxenx
dw
d
dw
edX).(.).().(
)(
⇔ j ∑∞
−∞=
− ==n
jwnjw
nnxFTenxndw
edX)]([).(.
)(
Vậy: FT[nx(n)] = jdw
edXjw )(
3.2.10 Tính chất đảo biến số
Giả sử ta có: y(n) = x(-n), thực hiện biến đổi Fourier hai vế của nó ta đươc:
FT[y(n)] = FT[x(-n)] = ∑∞
−∞=
−−n
jwnenx ).(
Đặt: m = -n, thì ta có: FT[x(m)] = ∑∞
−∞=
−−− =m
jwjwmeXemx )().( )(
Vậy: FT[x(n)] = X(e-jw)
84
3.3 So sánh biến đổi Fourier và biến đổi Z
3.3.1 Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z
Biến đổi Z của dãy x(n) được định nghĩa như sau:
X(z) = ZT[x(n)] = ∑∞
−∞=
−
n
nznx ).( (3.14)
Miền hội tụ: Rx- < |z| < Rx+
Z có thể được biểu diễn dưới dạng tọa độ cưc: z = r.ejw, trong đó:
|z| = r và arg[z] = w, thay vào (3.14) ta được:
X(z) = ZT[x(n)] = ∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−−−− ==n n
njwnnnjwrnxFTernxernx ]).([.).().).((
Do đó: FT[x(n).r-n] = ZT[x(n)]
Nếu X(z) hội tụ tại |z| = 1, thì )(zX | jwez== ∑
∞
−∞=
− =n
jwnnxFTenx )]([).(
Như vậy: Biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được đánh giá trên vòng tròn đơn
vị trong mặt phẳng Z.
Ví dụ: Cho các dãy số: x1(n) = (2
1)n.u(n), x2(n) = 2n.u(n)
Hãy tìm: X1(z), X2(z), X1(ejw), X2(e
jw)
Giải:
Ta có: X1(z) = ∑∑ ∑∞
= −
−∞
−∞=
∞
=
−−
−
===0 1
1
01
.2
11
1).
2
1(.)
2
1().(
n
n
n n
nnn
z
zzznx
Với: RC[X1(z)]: |z| > 2
1, chứa vòng tròn đơn vị.
X2(z) = ∑∑ ∑∞
=−
−∞
−∞=
∞
=
−−
−===
01
1
02 .21
1).2(.)2().(
n
n
n n
nnn
zzzznx
Với: RC[X2(z)]: |z| > 2, không chứa vòng tròn đơn vị.
⇒Không tồn tại X2(ejw)
X1(ejw) = X1(z) jwez=
= 1).(21
1−− jw
e
85
3.3.2 Đánh giá hình học X(ejw) trên mặt phẳng Z
Giả sử X(z) được biểu diễn dưới dạng cực và không như sau:
X(z) = C.
∏
∏
=
=
−
−
N
l
pl
M
r
r
zz
zz
1
10
)(
)(
Vì biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được đánh giá trên vòng tròn đơn vị, có
|z| = 1 hay z = ejw, do đó:
X(z) jwez= = X(ejw) = C.
∏
∏
=
=
−
−
N
l
pl
jw
M
r
r
jw
ze
ze
1
10
)(
)( = C.
]arg[
1
]arg[
10
.||
.||
pljw
jw
zejN
l
pl
jw
zejM
r
r
jw
eze
eze
−
=
−
=
∏
∏
−
−
Nếu C là hằng số thực, thì ta có: X(ejw) = |x(ejw)|.ej.arg[X(ejw
)]
X(ejw) = C.
∏
∏
=
−−−
=
−
∑∑− ==
N
l
pl
jw
zezejM
r
r
jw
ze
eze
N
l
pljwjw
M
r
1
]]arg[]arg[[
10
||
.|| 11
⇒ |X(ejw)| = C.
∏
∏
=
=
−
−
N
l
pl
jw
M
r
r
jw
ze
ze
1
10
||
||
arg[X(ejw)] = ∑ ∑= =
−−−M
r
N
l
pl
jw
r
jwzeze
1 10 ]arg[]arg[
Đánh giá biên độ và pha của X(ejw) có thể được thực hiện trực tiếp trong mặt
phẳng Z, các giá trị Mor (với Mor = |ejw – z0r|) và Mpl (với Mpl = |ejw - zpl| ) là modun
của các véc tơ nối các điểm cực và các điểm không của X(z) với một điểm M cần
đánh giá nằm trong vòng tròn đơn vị (z = ejw), các giá trị argument r0ϕ và plϕ là các
góc tạo bởi các véc tơ trên với hướng song song với trục thực.
86
3.4 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục
3.4.1 Đáp ứng tần số
3.4.1.1 Định nghĩa
Trong miền n, thì hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung h(n),
và y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n)
Nếu x(n) = ejwn (với w là tần số) thì đáp ứng ra của hệ thống sẽ là:
y(n) = ∑ ∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
−− ==−k k k
jwnjwkknjweekhekhknxkh .]).([).()().( )(
Đặt H(ejw) = jwk
k
ekh−
∞
−∞=
∑ .)( (3.15)
⇒y(n) = H(ejw).ejwn
H(ejw) được gọi là đáp ứng tần số của hệ thống. Từ (3.15) ta thấy H(ejw) chính là
biến đổi Fourier của h(n). Ngược lại, ta cũng tính được h(n) khi ta biết trước H(ejw)
theo công thức sau:
h(n) = IFT[H(ejw)] = ∫−
π
ππ
dweeHjwnjw ).(
2
1
3.4.1.2 Biểu diễn H(ejw)
Ta thấy H(ejw) là hàm biến số phức của tần số w và có thể được biểu diễn như
sau:
H(ejw) = Re[H(ejw)] + j.Im[H(ejw)]
hoặc: H(ejw) = |H(ejw)|.ej )(wϕ ( )](arg[)( jweHw =ϕ )
Trong đó:
- |H(ejw)| gọi là đáp ứng tần số của biên độ hay gọi tắt là đáp ứng biên độ của
hệ thống.
- )(wϕ gọi là đáp ứng tần số của pha hay gọi tắt là đáp ứng pha của hệ thống.
Quan hệ giữa đáp ứng biên độ và đáp ứng pha được thể hiện qua biểu thức sau:
)](Re[
)](Im[)(
jw
jw
eH
eHarctgw =ϕ
87
3.4.2 Các bộ lọc số lý tưởng
Một ứng dụng quan trọng nhất của xử lý tín hiệu là lọc số. Các bộ lọc số dần dần
đã thay thế các bộ lọc tương tự.
Việc thiết kế các bộ lọc số thực tế đều đi từ lý thuyết các bộ lọc số lý tưởng, vì
vậy cần phải nghiên cứu các bộ lọc số lý tưởng. Chúng ta sẽ nghiên cứu bốn loại bộ
lọc số lý tưởng tiêu biểu là:
- Bộ lọc số thông thấp
- Bộ lọc số thông cao.
- Bộ lọc số thông dải.
- Bộ lọc số chắn dải.
Lọc ở đây chúng ta hiểu là lọc tần số chính, vì vậy mà tất cả các đặc trưng của
lọc tần số đều được đo theo đáp ứng biên độ.
3.4.2.1 Bộ lọc số thông thấp
Bộ lọc thông thấp lý tưởng được định nghĩa theo đáp ứng biên độ. Đáp ứng biên
độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được định nghĩa như sau:
≤≤−
=khácw
wwweH
ccjw
0
1)( (-π π≤≤ w )
Các đoạn khác thì lặp lại.
Hình 3.3 Đồ thị của đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng.
Ta thấy |H(ejw)| là đối xứng, tức là chúng ta đã định nghĩa bộ lọc số thông thấp
lý tưởng với h(n) là thực, và sau này nếu |H(ejw)| là đối xứng thì ta chỉ cần xét một
π -wc wc π
|H(ejw)|
w
88
nửa chu kỳ (0 π≤≤ w ) là đủ. Nếu chỉ xét một nửa chu kỳ thì các tham số của bộ lọc
thông thấp lý tưởng sẽ như sau :
- Wc : tần số cắt
- 0 cww ≤≤ : dải thông
- π≤≤ wwc : dải chắn
Ví dụ: Hãy tìm h(n) của bộ lọc số thông thấp lý tưởng, với đáp ứng biên độ cho như
sau:
≤≤−
=
khácw
weH
jw
0
122|)(|ππ
Giải:
Ta có: h(n) = IFT[H(ejw)] = ∫−
−=
π
ππ
π
ππ 2/
2/
2
1
2
1
jn
edwe
jwnjwn
= nnjjn 2
sin.2
1
2sin.2.
.2
1 π
π
π
π=
3.4.2.2 Bộ lọc số thông cao lý tưởng
Bộ lọc số thông cao lý tưởng được định nghĩa theo đáp ứng biên độ. Đáp ứng
biên độ của bộ lọc số thông cao lý tưởng được định nghĩa như sau:
≤≤
−≤≤−
=
khácw
ww
ww
eH c
c
jw
0
1)( π
π
(- ππ ≤≤ w )
Hình 3.4 Đồ thị của đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông cao lý tưởng.
-π -wc 0 wc π
|H(ejw)|
w
89
Ta có nhận xét sau:
|H(ejw)| là đối xứng, thì h(n) là thực và như vậy trong miền tần số w, ta chỉ cần
xét |H(ejw)| trong một nửa chu kỳ (0 π≤≤ w ) là đủ. Nếu xét trong một nửa chu kỳ
thì các tham số của bộ lọc thông cao lý tưởng sẽ như sau:
- Wc : tần số cắt
- 0 cww ≤≤ : dải chắn
- Wc π≤≤ w : dải thông
Ví dụ: Cho bộ lọc thông cao lý tưởng pha không ( 0)( =wθ ) như sau:
≤≤
−≤≤−
=
khácw
w
w
eHjw
0
1
2
2)(
ππ
ππ
(với ππ ≤≤− w )
Tìm h(n) của hệ thống.
Giải:
Ta có: h(n) = ∫ ∫−
−
−π
π
π
πππ
2
2
2
1
2
1dwedwe
jwnjwn
= n
n
nnjn
jn
jn
j
.2
sin)(
2sin.
2.
2
1sin.
2.
2
1
π
π
δπ
ππ
π−=−
*) Nhận xét:
- Bộ lọc số thông cao lý tưởng có h(n) đối xứng và tâm đối xứng nằm tại mẫu n = 0
bởi vì )(wθ là tuyến tính và )(wθ = 0
- Nếu ta ký hiệu bộ lọc số thông thấp lý tưởng là Hlp(ejw) và hlp(n); bộ lọc thông cao
lý tưởng là Hhp(ejw) và hhp(n) thì ta thấy rằng đối với các bộ lọc pha không ta có
quan hệ sau đây:
≠
=
=−
−
0
0)(
)(
)0(1
n
n
nhn
lph
lph
hp
90
- Nếu các bộ lọc số thông thấp, thông cao có cùng đáp ứng pha ta sẽ có các quan hệ
sau đây: hhp(n) = 1 – hlp(n) và Hhp(ejw) = 1 - Hlp (e
jw)
3.4.2.3 Bộ lọc số thông dải lý tưởng (ideal band pass filter)
Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông dải lý tưởng được định nghĩa như sau:
≤≤
−≤≤−
=
khácw
www
www
eH cc
cc
jw
0
121
12
|)(| (- ππ ≤≤ w )
Hình 3.5 Đồ thị của đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông dải lý tưởng.
*) Nhận xét:
Đáp ứng biên độ |H(ejw)| là đối xứng trong một chu kỳ (- ππ ≤≤ w ). Vì vậy
chúng ta chỉ cần xét trong một nửa chu kỳ (0 π≤≤ w ). Trong một nửa chu kỳ này,
bộ lọc thông dải chỉ cho thông qua các thành phần tần số từ wc1 đến wc2.
Các tham số của bộ lọc thông dải lý tưởng như sau:
- Wc1 : tần số cắt dưới
- Wc2 : tần số cắt trên.
- 21 cc www ≤≤ : dải thông.
- 10 cww ≤≤ , π≤≤ wwc2 : dải chắn.
-π -wc2 -wc1 wc1 wc2 π
H(ejw)
w
1
91
3.4.2.4 Bộ lọc số chắn dải lý tưởng (ideal band stop filter)
Đáp ứng biên độ của bộ lọc số chắn dải lý tưởng được định nghĩa như sau:
≤≤
≤≤−
−≤≤−
=
khácw
ww
www
ww
eHc
cc
c
jw
0
1
2
11
2
|)(|π
π
(với ππ ≤≤− w )
Hình 3.6 Đồ thị của đáp ứng biên độ của bộ lọc số chắn dải lý tưởng.
3.5 Lấy mẫu tín hiệu
3.5.1 Định lý lấy mẫu
Giả sử, chúng ta có một tín hiệu tương tự có năng lượng hữu hạn xa(t), tức là tín
hiệu tương tự này phải thỏa mãn điều kiện: ∞<∫∞
∞−
dttxa
2)(
Khi một tín hiệu tương tự có năng lượng hữu hạn thì tín hiệu có bề rộng phổ hữu
hạn: Xa(wa) = 0 với |wa| > aΩ
hay: Xa(wa) ≠ 0 với |wa| < aΩ (3.16)
Trong đó: aΩ là một tần số hữu hạn.
Bởi vì phổ Xa(wa) là hữu hạn nên ta có:
Xa(wa) = ∑∞
−∞=
Ω
n
njw
na
a
ea
π.
. (3.17)
Trong đó: an = ∫Ω
Ω−
Ω
Ω
a
a
a
a
a
njw
aa
a
dwewX
π.
).(2
1
-π -wc2 -wc1 0 wc1 wc2 π
92
⇔ 2.an. aΩ = ∫Ω
Ω−
Ωa
a
a
a
a
njw
aa dwewX
π.
).( (3.18)
Theo định nghĩa về biến đổi Fourier ta có:
xa(t) = a
tjw
aa dwewX a ..)(2
1∫∞
∞−π
= a
tjw
aa dwewX a
a
a
..)(2
1∫
Ω
Ω−π
(từ 3.16) (3.19)
Chúng ta giới hạn việc tính xa(t) tại các thời điểm rời rạc t = naΩ
π
xa(naΩ
π) = a
njw
aa dwewX a
aa
a
Ω
Ω
Ω−
∫π
π
.
.)(2
1
⇔ 2π .xa(naΩ
π) = a
njw
aa dwewX a
aa
a
Ω
Ω
Ω−
∫π
.
.)( (3.20)
Từ (3.18) và (3.20) ta có: 2.an. aΩ = 2π .xa(naΩ
π)
⇔ an = )(.a
a
a
nxΩΩ
ππ (3.21)
Vì xa(naΩ
π) không còn là tín hiệu liên tục nữa nên ta thay nó bằng x(n
aΩ
π)
Vấn đề đặt ra ở đây là chúng ta tìm lại tín hiệu tương tự từ các giá trị rời rạc
x(naΩ
π).
Thay thế giá trị của an ở (3.21) vào (3.17), ta có:
Xa(wa) = ∑∞
−∞=
Ω
Ωn
njw
aa
a
a
ew
nx
πππ .
)..(. (3.22)
Thay thế Xa(wa) vào (3.19) ta được:
xa(t) = a
tjwtjw
n aa
dweenx aa
a
a
..)(2
1∫ ∑
Ω
Ω−
∞
−∞= ΩΩ
ππ
π
93
= a
ntjw
n aa
dwenx a
aa
a
).(
)(2
1 Ω−Ω
Ω−
∞
−∞=∫∑
ΩΩ
ππ
(3.17 hội tụ do X(ejw) hữu hạn).
= a
a
ntjw
a
n aa
a
a
e
ntj
nxΩ−
Ω
Ω−
ΩΩ
Ω−∞
−∞=
∑).(
.)(
1.)(
2
1π
π
=
Ω−Ω
Ω−
ΩΩ∑
∞
−∞=
)(sin.)(
2.)(
2
1
a
a
a
n aa
nt
nt
nxπ
π
π
Vậy ta có: xa(t) = ∑∞
−∞=
Ω−Ω
Ω−Ω
Ωn
a
a
a
a
a nt
nt
nx
)(
)](sin[
).(π
π
π (3.23)
Biểu thức (3.23) được gọi là công thức nội suy, bởi vì theo biểu thức này xa(t)
được nội suy một cách hoàn chính xác từ tập hợp các giá trị rời rạc x(naΩ
π). Như
vậy thì biểu thức (3.23) chính là nội dung của định lý lấy mẫu.
Định lý lấy mẫu trong miền tần số được phát biểu như sau:
Một tín hiệu tương tự có bề rộng phổ hữu hạn trong khoảng [-Fa, Fa] được xác
định một cách hoàn toàn chính xác bởi tập hợp các mẫu x(nTs) của nó nếu tần số lấy
mẫu Fs thỏa mãn điều kiện sau đây : Fs ≥ Fa
Trong định lý trên, thì Fa = π2
aΩ, Fs =
πaΩ
3.5.2 Tần số Nyquist
Tần số lấy mẫu lấy giá trị 2.Fa được gọi là tần số Nyquist, ký hiệu là FaNy
FaNy = 2.Fa, aaNy Ω=Ω 2 , TaNy = aaNy FF 2
11=
94
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Bài tập 3.1
Tìm biến đổi Fourier (FT) của các dãy tín hiệu sau:
a. )1(.3
1)(1 −
= nunx
n
b. )1(.2.)(2 −−= nunnxn
Bài tập 3.2
Tìm biến đổi Fourier ngược của các biến đổi Fourier sau:
a.
≠
<=
−
w
weeX
wj
jw
03)(
.3.
1
π
b. 44
)2cos(.2)( .2
πω
π≤≤−= weX
wj
Bài tập 3.3
Cho phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau đây:
)2(.3
1)1(.
4
1)(.
2
1)( −+−+= nxnxnxny
Hãy tìm )(,)(),(),(),( weHweAeHjwjwjw ϕθ
Bài tập 3.4
Hãy tìm đáp ứng ra y(n) của một hệ thống tuyến tính bất biến với đáp ứng xung
)(.2
1)( nunnh
n
−= và tác động vào:
a. wjenx
21 )( −=
b. )2cos()(2 wnx =
Bài tập 3.5
Cho hai dãy tín hiệu x1(n) và x2(n) như sau:
x1(n) = rect3(n-1) và x2(n) = rect3(n+1)
Tính x(n) = x1(n)*x2(n) thông qua biến đổi Fourier
95
CHƯƠNG 4: BIỂU DIỄN T ÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC (K)
4.1 Mở đầu
Trong chương 3, chúng ta đã nghiên cứu cách biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời
rạc trong miền tần số liên tục w. Việc nghiên cứu trong miền w rất thuận lợi cho
việc phân tích và tổng hợp các hệ thống số. Trong chương 4 này, chúng ta sẽ nghiên
cứu cách biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số rời rạc wk hay nói
gọn lại là miền k. Thực chất của cách biểu diễn này là ta lấy từng điểm rời rạc trên
vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z để biểu diễn. Để chuyển cách biểu diễn tín hiệu
và hệ thống rời rạc sang miền tần số rời rạc, chúng ta sẽ dùng một công cụ toán học
gọi là biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Transform : DFT). Việc biểu diễn
trong miền tần số rời rạc đặc biệt hiệu quả khi xuất hiện các thuật toán tính nhanh
DFT, ta gọi là biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transform: FFT).
4.2 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N
4.2.1 Các định nghĩa
4.2.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc
Giả sử chúng ta có dãy tuần hoàn có chu kỳ N là ~
x (n),
tức là: ~
x (n) = ~
x (n + l.N)
Biến đổi Fourier rời rạc của các dãy tuần hoàn ~
x (n) có chu kỳ N được định
nghĩa như sau:
nk
NjN
n
enxkX..
2.1
0
~~
).()(π
−−
=
∑= (4.1)
Ví dụ: Cho dãy tuần hoàn ~
x (n) như sau:
≤≤
≤≤=
64
30)(
0
1~
n
nnx
Với chu kỳ N = 5, hãy tìm )(~
kX
96
Giải:
Ta có: kj
kj
kj
n
knjnkn
j
n
e
k
k
e
eeenxkX 5
2
5
2
35
22
0
5
2..
22
0
~~
5sin
5
3sin
1
1).()(
π
π
πππ
π
π−
−
−
=
−−
=
=
−
−=== ∑∑
Đặt:
k
k
k
k
kA
5
5sin
.5
3
5
3sin
3)(~
π
ππ
π
=
Do đó ta có: )(~
)](arg[~
5
2~~
.)(.)().()(~
kjkXjkj
ekXekXekAkXϕ
π
===−
Và: Sgn[)(
)()](
~
~~
kA
kAkA = ] (Do )(
~
kA là thực)
Như vậy thì: )()(~~
kAkX = và [ ] )(125
2)( kASgnkk −+
−=
ππϕ
4.2.1.2 Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc ngược
Biến đổi Fourier rời rạc ngược được định nghĩa như sau:
∑−
=
=1
0
2~~
).(1
)(N
n
knN
j
ekXN
nx
π
(4.2)
Như vậy, ta đã lấy cách biểu diễn dãy tuần hoàn )(~
nx có chu kỳ N bởi tổng các
dãy hàm mũ làm định nghĩa cho biến đổi Fourier rời rạc ngược.
Ký hiệu: IDFT (Inverse Decrete Fourier Transform )
4.2.1.3 Bản chất của DFT
Ta có: nk
NjN
n
enxkX..
2.1
0
~~
).()(π
−−
=
∑= =∑−
=
−1
0
)2
sin2
)(cos(N
n
knN
jknN
nxππ
=∑−
=
1
0
2cos).(
N
n
knN
nxπ
- j∑−
=
1
0
2sin).(
N
n
knN
nxπ
Đặt: ~
A = ∑−
=
1
0
2cos).(
N
n
knN
nxπ
: Gọi là biến đổi cosin
97
~
B = -∑−
=
1
0
2sin).(
N
n
knN
nxπ
: Gọi là biến đổi sin
4.2.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần hoàn
có chu kỳ N
4.2.2.1 Tính chất tuyến tính
Giả sử ta có: )()()( 2
~~
13
~
nxbnxanx += thì:
DFT[ )(3
~
nx ] = )()()(~
21
~~
3 kXbkXakX += (4.3)
Ở đây, tất cả các dãy đều tuần hoàn với chu kỳ N.
4.2.2.2 Tính chất trễ
Giả sử ta có dãy )( 0
~
nnx − là dãy trễ của dãy )(~
nx cũng có chu kỳ tuần hoàn là N
như )(~
nx , thì: DFT[ )( 0
~
nnx − ] = )(.~2
0
kXekn
Nj
π−
Và : )(.)(~.
2
0
~0
nxekkXIDFTkk
Nj
π
=
+
4.2.2.3 Tính đối xứng
Nếu ta có dãy )(~
nx tuần hoàn với chu kỳ N và ][)(~~
xDFTkX = thì:
DFT )()(~*~
kXnx −=
và DFT )()(~*~
kXnx =
− (* là dấu liên hợp phức)
Ta cũng có các công thức tính biến đổi Fourier rời rạc của phần thực và phần ảo
của )(~
nx .
DFTRe
−+=
*~~~
)()(2
1)( kXkXnx
−=
)()(2
)(Im~~~
kXkXj
nxDFT
4.2.2.4 Tích chập tuần hoàn
Tích chập tuần hoàn của hai dãy tuần hoàn )(~
1 nx và )(~
2 nx có chu kỳ N là một
dãy )(~
3 nx tuần hoàn có chu kỳ N:
98
)(~
3 nx = ∑−
=
−1
0
~
2
~
1 )().(N
n
mnxmx
)(*)()( 2
~
1
~
3
~
kXkXkX =⇔
Ví dụ: Cho 2 dãy tín hiệu x1(n) và x2(n) tuần hoàn với chu kỳ N = 6 như sau:
( ) )(~*~
)(~)(~
0
204
1)(
0
301)(
261
2
1
nxnxnxTìm
n
nn
nx
n
nnx
=
≠
≤≤−=
≠
≤≤=
Giải:
Ta có: ( ) ∑=
−==5
02121 )(~).(~)(~*
~)(~)(~
m
mnxmxnxnxnx
Mà:
≠
≤≤=
n
nmx
0
301)(~
1
)3(~)2(~)1(~)(~)(~)(~2222
3
02 −+−+−+=−=⇒ ∑
=
nxnxnxnxmnxnxm
Vì x1(n) và x2(n) đều tuần hoàn với chu kỳ là 6 nên x(n) cũng tuần hoàn với chu
kỳ N = 6. Do vậy, ta chỉ cần tính x(n) với 50 ≤≤ n , các đoạn khác thì lặp lại.
+Với n = 0
Ta có: 10001)3(~)2(~)1(~)0(~)0(~2222 =+++=−+−+−+=⇒ xxxxx
+Với n = 1
Ta có: 4
7001
4
3)2(~)1(~)0(~)1(~)1(~
2222 =+++=−+−++=⇒ xxxxx
+Với n = 2
Ta có: 4
901
4
3
2
1)1(~)0(~)1(~)2(~)2(~
2222 =+++=−+++=⇒ xxxxx
+Với n = 3
Ta có: 4
91
4
3
2
10)0(~)1(~)2(~)3(~)3(~
2222 =+++=+++=⇒ xxxxx
+Với n = 4
Ta có: 4
5
4
3
2
100)1(~)2(~)3(~)4(~)4(~
2222 =+++=+++=⇒ xxxxx
99
+Với n = 5
Ta có: 2
1
2
1000)2(~)3(~)4(~)5(~)5(~
2222 =+++=+++=⇒ xxxxx
Vậy
=→ 2
1,
4
5,
4
9,
4
9,
4
7,1)(~
0
nx ( Xét trong một chu kỳ)
4.2.2.5 Tích của hai dãy
Giả sử chúng ta có: )().()( 2
~
1
~~
3 nxnxnx = , trong đó các dãy đều tuần hoàn với chu
kỳ N. Khi đó ta có:
∑−
=
−=1
0
2
~
1
~~
3 )().(1
)(N
m
mkXmXN
kX
4.2.2.6 Tương quan tuần hoàn
Nếu chúng ta có hai dãy tuần hoàn )(1
~
nx và )(2
~
nx có chu kỳ N, thì hàm tương
quan chéo của hai dãy sẽ được tính toán trên một chu kỳ:
∑−
=
−=1
0
2
~
1
~~
12 )().(N
m
nmxmxr
⇔ ∑ ∑−
=
−
=
−
−=1
0
1
0
2
2
~
1
~~
12 ).().(N
m
N
n
knN
j
enmxmxR
π
4.3 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài
hữu hạn
4.3.1 Các định nghĩa
Cặp biến đổi Fourier rời rạc (DFT) đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài
hữu hạn được định nghĩa như sau:
Biến đổi Fourier thuận:
DFT[x(n)] =
≠
−≤≤∑=
−
=
−
k
NkkX
N
n
knN
jenx
0
1
0
2
).( 10)(
π
100
Biến đổi Fourier ngược:
IDFT[X(k)] =
≠
−≤≤∑=
−
=
−
n
Nnnx
N
k
knN
jekX
N
0
1
0
2
).(1
10)(
π
Ví dụ: Cho
≠
−≤≤=
n
Nnnx
n
0
2 10)( , hãy tìm DFT[x(n)]
Giải:
Ta có: DFT[x(n)] = X(k) = ∑∑−
=
−−−
=
=1
0
221
0
).2(2N
n
nk
Njkn
NjN
n
nee
ππ
= k
Nj
Nk
Nj
e
eπ
π
2
2
.21
).2(1−
−
−
−
4.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy có chiều
dài hữu hạn
4.3.2.1 Tính tuyến tính
Giả sử ta có hai dãy x1(n) và x2(n) có chiều dài lần lượt là N1 và N2 và
x(n) =a.x1(n) + b.x2(n), thì ta có:
X(k) = ∑−
=
−1
0
2
).(N
n
knN
j
enx
π
(với N = max(N1, N2))
4.3.2.2 Trễ vòng
Giả sử ta có: x1(n) = x(n – n0) và DFT[x(n)] = X(k)N, N là chiều dài của x(n)
Thì: DFT[x1(n)] = ekn
Nj
π2−
X(k)N
Nếu IDFT[X(k)N] = x(n)N thì DFT[X(k – k0)] = N
kkN
j
nxe )(0
2π−
Ví dụ: Cho
≠
≤≤=
−
n
nnx
n
0
41 40
)( 4 , hãy tính DFT[x(n - 3)4] = ?
Giải:
Trước tiên ta tính DFT(x(n))4, rồi sau đó mới tính DFT[x(n-3)4]
Ta có: X(k)4 = DFT[x(n)4] = ∑−
=
−1
0
2
).(N
n
knN
j
enx
π
X(0)4 = ∑=
−3
0
).4
1(n
n=
2
5
4
1
2
1
4
31 =+++
101
X(1)4 = 2
1
2
1
4
1
2
1
4
31).
41( 2
33
0
22 jeeeen j
n
jjnj
−=+++=−−
=
−−−
∑π
πππ
X(2)4 = ∑=
− =−3
0 2
1).
41(
n
nje
n π
X(3)4 = ∑=
−
+=−3
0
2
3
2
1
2
1).
41(
n
nj
jen
π
Áp dụng tính chất trễ ta có:
X1(k) = DFT[x(n-3)4] = ekj 3
2
π−
.X(k)4
⇒ X1(0) = X(0)4 = 2
5
X1(1) = e3
2
πj−
.X(1)4 = j(2
1
2
1j− ) =
2
1
2
1j+
X1(2) = e π3j− .X(2)4 = -1(2
1) =
2
1−
X1(3) = e 2
9πj−
X(3)4 = -j(2
1
2
1)
2
1
2
1jj −=+
4.3.2.4 Tích chập vòng
Tích chập vòng của hai dãy không tuần hoàn x1(n)N và x2(n)N có chiều dài hữu
hạn N là một dãy không tuần hoàn cũng có chiều dài N x(n)N được cho bởi quan hệ
sau:
x(n)N = NNN
N
m
NN nxnxmnxmx )((*))()(.)( 21
1
021 =−∑
−
=
(*)N là tích chập vòng chiều dài N.
Ngược lại: Nếu x(n)N = x1(n)N (*)N x2(n)N
thì: X(k)N = X1(k)N.X2(k)N
4.3.2.5 Quan hệ Parseval
Giả sử ta có tín hiệu x(n)N, thì:
−==
−−
=
−
=
−
=
−
=
∑∑∑∑kn
NiN
k
N
N
n
N
N
n
NN
N
n
N ekXN
nxnxnxnx
π21
0
*1
0
1
0
*1
0
2.)(
1)()()()(
102
= ∑ ∑∑−
=
−
=
−
=
−
−=1
0
1
0
*1
0
2* )(.)(
1.)(.)(
1 N
k
N
N
k
N
N
n
knN
j
NN kXkXN
enxkXN
π
= ∑ ∑−
=
−
=
=−1
0
1
0
22)(
1)(
1 N
k
N
k
kXN
kXN
∑ ∑−
=
−
=
=⇒1
0
1
0
22)(
1)(
N
n
N
k
kXN
nx
Như vậy: Năng lượng của tín hiệu bằng trung bình cộng của các bình phương
của các biến đổi Fourier rời rạc.
4.3.3 Khôi phục biến đổi Z và biến đổi Fourier từ DFT
4.3.3.1 Khôi phục biến đổi Z
Giả sử ta có một dãy x(n)N có chiều dài hữu hạn N.
Ta có: X(z) = ∑∞
−∞=
−
n
n
N znx )(
Mà: x(n)N = IDFT[X(k)N] = ∑−
=
1
0
2
)(1 N
k
knN
j
N ekXN
π
( 0 1−≤≤ Nn )
∑ ∑∑ ∑−
=
−−
=
−∞
−∞=
−
=
==⇒1
0
11
0
221
0
).()(1
]..)(1
[)(N
k
nN
n
kN
j
N
n
n
knN
jN
k
N zekXN
zekXN
zX
ππ
=
−
−=
−
−
−
−−
=−
−
−
=
∑∑1
2
1
012
12
1
0.1
1.)(
1
.1
.1
.)(1
ze
zkX
Nze
ze
kXN k
Nj
NN
k
Nk
Nj
N
kN
j
N
k
N ππ
π
Vậy: X(z) = ∑−
= −
−
−
− 1
0 12
.1
)(1 N
k kN
j
N
N
ze
kX
N
zπ
(4.4)
*) Nhận xét: Ta nhận thấy N giá trị của X(k)N chính là các mẫu của X(z) được đánh
giá trên vòng tròn đơn vị tại các điểm rời rạc kN
π2. Như thế ta sẽ lấy mẫu X(z) tại
các điểm z = ek
Nj
π2−
: N
knN
jN
n
NkN
jkXenx
ez
zX )(.)()(21
0
2 ===
−−
=− ∑
π
π
Vậy (4.4) chính là công thức biến đổi Z từ N mẫu của X(z) trên vòng tròn đơn vị.
103
4.3.3.2 Khôi phục biến đổi Fourier
Ta có: X(ejw) = X(z) ∑−
= −
−
−
−=
=
1
0 )2
(1
)(1 N
k wkN
j
N
jwn
jw
e
kX
N
e
ezπ
= ∑−
=
+−
−
−
1
0
)2
1.(
.
2sin
)(2sin N
k
kN
Nwj
N e
kN
w
kX
N
wNπ
π
Vậy: X(ejw) = )
2
1.(1
0
.
2sin
2sin
)(1 k
N
NwjN
k
N e
kN
w
wN
kXN
π
π
+−
−−
=
−
∑ (4.5)
Biểu thức (4.5) chính là quan hệ cho phép tìm biến đổi Fourier bằng cách nội
suy từ các giá trị X(k)N.
4.4 Biến đổi nhanh Fourier rời rạc (FFT)
4.4.1 Mở đầu
Mục đích của biến đổi Fourier nhanh là để tăng khả năng tính toán của các phép
DFT. Để phát triển các thuật toán tính DFT với hiệu năng tính toán cao, người ta
thường chia nhỏ liên tiếp sự phức tạp của DFT N điểm (N là độ dài của dãy số biểu
diễn tín hiệu) thành các DFT cấp nhỏ hơn và đưa ra một loạt các thuật toán tính có
hiệu quả được gọi là các thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT – Fast Fourier
Transform).
Giả sử ta có: N = L.M (L, M là các số nguyên). Nếu N là số nguyên tố, thì ta có
thể thêm một số mẫu của dãy có giá trị bằng không để đảm bảo N luôn có thể được
phân tích thành tích của hai số nguyên.
Dãy x(n) có thể được lưu trong một mảng hai chiều theo các cách khác nhau tùy
theo việc ánh xạ của chỉ số n cho các chỏ số (l, m)
l là chỉ số hàng 10 −≤≤ Ll
m là chỉ số cột 10 −≤≤ Mm
Giả thiết ta chọn ánh xạ:
N = Ml + m (4.6)
104
Điều này dẫn đến một sự sắp xếp, trong đó hàng đầu tiên chứa M phần tử đầu
tiên của dãy x(n), hàng thứ hai chứa M phần tử tiếp theo của dãy x(n), và cứ như
vậy, như được minh họa như sau (hình 4.1):
M
L
0
1
2
…
M - 1
0 X(0) X(1) X(2) … X(M-1)
1 X(M) X(M+1) X(M+2) … X(2M-1)
2 X(2M) X(2M+1) X(2M+2) … X(3M-1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
L - 1 X((L-1)M) X((L-1)M+1) X((L-1)M+2) … X(LM-1)
Hình 4.1 Bảng sắp xếp các giá trị phổ rời rạc của tín hiệu theo mảng 2 chiều
Một sự sắp xếp tương tự có thể được sử dụng để lưu các gía trị DFT được tính
toán. Trong thực tế, việc ánh xạ được thực hiện từ chỉ số k thành hai chỉ số (p, q),
trong đó 10;10 −≤≤−≤≤ MqLp . Nếu chúng ta lựa chọn cách ánh xạ: k = Mp+q
thì DFT được lưu theo kiểu hàng, trong đó hàng đầu tiên chứa M phần tử đầu tiên
của biến đổi X(k), hàng thứ hai chứa M phần tử tiếp sau, và cứ như vậy. Mặt khác,
nếu dùng ánh xạ: k = qL + P thì DFT được lưu theo kiểu cột, trong đó L phần tử đầu
tiên được chứa trong cột đầu tiên, L phần tử tiếp theo được chứa trong cột tiếp theo
và cứ như vậy. Cách sắp xếp trên chính là cơ sở hình thành biến đổi FFT từ biến đổi
DFT. Căn cứ vào cách sắp xếp như trên, ta giả sử x(n) được ánh xạ vào trong một
mảng chữ nhật x(l, m) và X(k) được ánh xạ vào một ma trận chữ nhật tương ứng
X(p, q). Khi đó DFT có thể được biểu diễn như một tổng kép của các phần tử của
mảng chữ nhật nhân với hệ số pha (chính là hệ số Nj
N eW
π2−
= ) tương ứng. Khi đó ta
có:
( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑∑∑−
=
−
=
++−
=
−
=
==1
0
1
0
1
0
1
0
.,.,,M
m
L
l
lmLqMp
N
M
m
L
l
Nkn
WmlxWmlxqpX (4.7)
105
Mà: ( )( ) .... lq
N
Mpl
N
mLq
N
MLmp
N
lmLqMp
N WWWWW =++
Với: 1..2..
2
==== −−
pmjpmN
Nj
Nmp
N
MLmp
N eeWWπ
π
pl
L
pl
M
N
lpM
N
mq
M
mq
L
N
mqL
N WWWWWW ====..,
Do đó: (4.7) ( ) ( )∑ ∑−
=
−
=
=⇔
1
0
1
0
..,,L
l
lp
L
M
m
mq
M
lq
N WWmlxWqpX (4.8)
Biểu thức trong (4.7) liên quan đến việc tính toán các DFT có chiều dài là M và
L. Quá trình tính toán như trên bao gồm ba bước sau:
Bước 1: Chúng ta tính L DFT M điểm:
( ) ( ) 10.,,1
0
−≤≤= ∑−
=
MqWmlxqlFM
m
mq
M (4.8)
Với mỗi hàng l = 0, 1, 2,…, L – 1.
Bước 2: Ta tính một mảng chữ nhật mới G(l, q) được xác định như sau:
( ) ( )
−≤≤
−≤≤=
10
10,,
Mq
LlqlFWqlG
lq
N (4.9)
Bước 3: Tính toán M DFT L điểm
( ) ( )∑−
=
=1
0
,,L
l
lp
LWqlGqpX (4.10)
Với mỗi cột q = 0, 1, 2,…, M – 1 của mảng G(l, q).
Quá trình tính toán phải trải qua các bước trên, nhìn qua có vẻ phức tạp hơn việc
tính DFT trực tiếp. Tuy nhiên, ta sẽ đi vào đánh giá độ phức tạp của thuật toán trong
(4.8). Bước đầu tiên liên quan đến việc tính toán L biến đổi DFT, mỗi DFT có độ
lớn có độ lớn M điểm. Như vậy, ở bước này cần LM2 phép nhân số phức và LM(M
-1) phép cộng số phức. Bước thứ hai cần LM phép nhân số phức. Bước ba cần ML2
phép nhân số phức và ML(L - 1) phép cộng số phức. Do đó, độ phức tạp của quá
trình tính toán trên là:
Số phép nhân số phức là: LM2 + LM + ML2 = N(M + L + 1)
Số phép cộng số phức là : LM(M - 1) + ML(L - 1) = N(M + L - 2)
Với cách tính DFT trực tiếp thì số phép nhân số phức là N2 và số phép cộng là
N(N - 1). Trong khi tính theo FFT thì số phép nhân cần thực hiện được giảm xuống
106
còn N(M + L +1) và số phép cộng là N(M + L - 2). Như vậy, thì khối lượng tính
toán theo FFT đã được giảm đi rất nhiều.
4.4.2 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian
Giả sử chúng ta tính toán DFT với số điểm N = 2v bằng phương pháp chia và các
điều kiện như trong các bước ứng với các biểu thức (4.8), (4.9) và (4.10). Chúng ta
chọn M = 2
N và L = 2, tức là ta sẽ chia dãy số liệu N điểm thành hai dãy
2
Nđiểm là
f1(n) ứng với các mẫu chẵn (2n) và f2(n) ứng với các mẫu lẻ (2n+1).Như vậy ta có:
f1(n) = x(2n)
f2(n) = x(2n + 1) n = 0, 1,..., 12
−N
( ) ( ) ( ) ( )( )
∑∑∑−
=
+−
=
−
=
+==⇒12/
0
122
1)2/(
0
21
1
0
.).(.N
m
mk
N
N
m
mk
N
N
n
kn
N WmfWmfWnxkX
= ( )( )
( )( )
∑∑−
=
−
=
+12/
0
22
12/
0
21 ..
N
m
mk
N
k
N
N
m
mk
N WmfWWmf
Mà: km
N
kmN
jmkN
jmk
N WeeW 2/
.2/
22
22
===−−
ππ
Nên: ( ) ( )( )
( )( )
∑∑−
=
−
=
+=12/
02/2
12/
02/1 ..
N
m
km
N
k
N
N
m
km
N WmfWWmfkX
= F1(k) + k
NW F2(k) k = 0, 1,…, N-1 (4.11)
Trong đó: F1(k), F2(k) là các DFT N/2 điểm tương ứng với các dãy f1(m) và
f2(m). Vì F1(k) và F2(k) là tuần hoàn với chu kỳ 2
N, nên ta có:
F1(k) = F1(k +2
N) và F2(k) = F2(k +
2
N)
Mà: k
N
kN
jj
kN
jN
kN
jNk
N WeeeeW =−===−
−−
+−
+π
πππ 22
2
2
2 .
Nên: (4.11) ( ) ( ) ( ) ( )12.412
...,,1,021 −=+=⇔N
kkFWkFkXk
N
( ) ( ) ( )13.412
...,,1,02 21 −=−=
+
NkkFWkF
NkX
k
N
107
Để tính toán F1(k) cần 2
2
Nphép nhân số phức và cũng cần
2
2
Nphép nhân
cho việc tính F2(k), ngoài ra để tính toán ( )kFWk
N 2 cần 2
N phép cộng số phức. Do
đó, việc tính toán X(k) cần 2222
222
NNNN+=+
phép nhân số phức. Như vậy,
trong bước này ta đã giảm được số phép nhân từ N2 xuống 22
2 NN+ , mức giảm này
xấp xỉ hai lần khi N lớn.
Hình 4.2 Bước đầu tiên trong trong thuật toán chia theo thời gian.
Đặt: G1(k) = F1(k)
G2(k) = ( )kFWk
N 2
Từ đó (4.12) và (4.13) được viết lại như sau:
X(k) = G1(k) + G2(k)
X =
+
2
Nk G1(k) – G2(k) k = 0, 1, 2,…, 1
2−
N
Việc tính toán này được minh họa trong hình 4.1.
108
Quá trình trên đã thực hiên việc chia theo thời gian một lần, ta có thể lặp lại quá
trình này cho hai dãy f1(n) và f2(n). Mỗi dãy f1(n) và f2(n) được chia nhỏ thành hai
dãy 4
Nđiểm là:
V11(n) = f1(2n) n = 0, 1, 2,…, 14
−N
V12(n) = f1(2n + 1) n = 0, 1, 2,…, 14
−N
V21(n) = f2(2n) n = 0, 1, 2,…, 14
−N
V22(n) = f2(2n +1) n = 0, 1, 2,…, 14
−N
Ta sẽ tính toán DFT 4
N điểm, từ các DFT 4 điểm ta tính được các DFT
2
Nđiểm
F1(k) và F2(k):
( ) ( ) ( ) 14
,...,2,1,0. 12
2
111 −=+=N
kkVWkVkFk
N
( ) ( ) 14
,...,2,1,0.4 12
2
111 −=−=
+
NkkVWkV
NkF
k
N
( ) ( ) ( ) 14
,...,2,1,0. 22
2
212 −=+=N
kkVWkVkFk
N
( ) ( ) 14
,...,2,1,0.4 212
2
212 −=−=
+
NkkVWkV
NkF
k
N
Trong đó: ( ) ( )( )
∑−
=
=14/
0 4
N
n
kn
Nijij WnvkV
Mỗi phép tính Vij(k) cần 2
4
Nphép nhân, ta có 4 Vij(k) sẽ cần 4.
2
4
Nphép
nhân. Do đó việc tính F1(k) và F2(k) có thể thực hiện được bằng 24
2NN
+ phép nhân
số phức. Để tính toán X(k) từ F1(k) và F2(k) ta cần 2
N phép nhân số phức. Do đó để
109
tính toán X(k) ta cần NN
+4
2
phép nhân số phức. Như vậy số phép nhân lại tiếp tục
được giảm xuống xấp xỉ hai lần nữa.
Việc chia dãy số liệu có thể lại tiếp tục được lặp lại cho đến khi dãy cuối cùng
giảm xuống còn một điểm. Với N = 2v , việc chia này cso thể được thực hiện v =
log2 N lần. Như vậy tổng số phép nhân số phức được giảm xuống còn NN
2log2
. Số
phép cộng giảm xuống còn N.log2N.
Ví dụ: Hãy tính DFT 16 điểm của dãy x(n)10 bằng thuật toán FFT cơ số hai phân
chia theo thời gian.
Giải:
Để tính DFT 16 điểm, trong khi x(n) chỉ có 10 mẫu. Do vậy, ta cần thêm 6 mẫu
không vào cuối dãy x(n)10: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0000009876543210 xxxxxxxxxx
Với 82
16
2===
NM thì L = 2, nghĩa là mảng x(l, m) có 2 hàng và 8 cột như sau:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
0009531
0008420
xxxx
xxxx
Khi chuyển sang chỉ số mảng hai chiều, nhận được mảng x(l, m):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
7,16,15,14,13,12,11,10,1
7,06,05,04,03,02,01,00,0
xxxxxxxx
xxxxxxxx
Mỗi hàng có ba phần tử cuối cùng bằng 0 và hang có chỉ số l = 0 là các mẫu
chẵn x(2n)16 ; còn hàng có chỉ số l = 1 là các mẫu lẻ x(2n + 1)16
- Bước 1: Tính các DFT 8 điểm ứng với hai hàng và nhận được mảng F(l, q)
( ) 10,70).,(,7
08 ≤≤≤≤=∑
=
lqWmlxqlFm
mq
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=⇒7,16,15,14,14,12,11,10,1
7,06,05,04,03,02,01,00,0,
FFFFFFFF
FFFFFFFFqlF
- Bước 2: Tính mảng ( ) ( ) ( )
≤≤
≤≤==
−
70
10.,.,,
2
q
leqlFWqlFqlG
lqN
jlq
N
π
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=⇒7,16,15,14,14,12,11,10,1
7,06,05,04,03,02,01,00,0,
GGGGGGGG
GGGGGGGGqlG
110
- Bước 3: Tính 8 DFT 2 điểm ứng với 8 cột của mảng G(l, q) và nhận được
mảng X(p, q): ( ) ( )∑=
=1
02.,,
l
lpWqlGqpX
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=⇒7,16,15,14,14,12,11,10,1
7,06,05,04,03,02,01,00,0,
XXXXXXXX
XXXXXXXXqpX
Cuối cùng ta chuyển mảng X(p, q) thành dãy X(k) sắp xếp theo hàng như sau:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=15141312111098
76543210
XXXXXXXX
XXXXXXXXkX
4.4.3 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo tần số
Trong thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian, ta đã thực hiện lưu dãy
tín hiệu đầu vào theo hàng. Trong thuật toán phân chia theo tần số này, ta sẽ lưu dãy
tín hiệu đầu vào theo kiểu cột (M = 2 và L = N/2).
Để tạo ra thuật toán này, ta bắt đầu bằng việc tách công thức tính DFT thành hai
tổng. Trong đó một tổng liên quan đến việc tính tổng của N/2 điểm số liệu đầu tiên
và tổng thứ hai liến quan đến việc tính tổng của N/2 điểm số liệu còn lại. Do đó ta
nhận được:
( ) ( ) ( )( )
( )( )∑∑∑
−
=
−
=
−
=
+==1
2/
12/
0
1
0
...N
Nn
kn
N
N
n
kn
N
N
n
kn
N WnxWnxWnxkX
= ( )( ) ( )
∑∑−
=
−
=
++
12/
0
2/.12/
0
.2
.N
n
kn
N
kN
N
N
n
kn
N WN
nxWWnx (Đặt m = n + N/2).
Mà: ( )kkjkN
Nj
kN
N eeW 1.2/.
22/.
−=== −−
ππ
( ) ( ) ( )( )
∑−
=
+−+=⇒
12/
0 21
N
n
kn
N
kW
NnxnxkX (4.14)
Ta thực hiện chia X(k) ra thành hai dãy, một dãy ứng với các mẫu chẵn, một dãy
ứng với các mẫu lẻ như sau:
( ) ( )( )
12
,...,2,1,02
2 2/
12/
0
−=
++= ∑
−
=
NkW
NnxnxkX
kn
N
N
n
( ) ( )( )
∑−
=
−=
+−=+
12/
02/ 1
2...,,2,1,0
212
N
n
kn
N
n
N
NkWW
NnxnxkX
111
Ở đây: 2/2/
22
22
NN
jN
j
N WeeW ===−−
ππ
Đặt: ( ) ( )
++=
21
Nnxnxng (4.15)
( ) ( ) 12
...,2,1,022 −=
+−=
NnW
Nnxnxng
n
N (4.16)
( ) ( )( )
∑−
=
=⇒12/
02/1 .2
N
n
kn
NWngkX
( ) ( )( )
∑−
=
=+12/
02/2 .12
N
n
kn
NWngkX
Quá trình tính toán được lặp đi lặp lại qua việc chia nhỏ của các DFT N/2 điểm
của các dãy X(2k) và X(2k+1). Toàn bộ quá trình cần v = log2N bước chia nhỏ.
Việc tính toán DFT N điểm qua thuật toán FFT chia theo tần số cần ( )2/N log2N
phép nhân số phức và N.log2N phép cộng số phức.
4.4.4 Tính FFT ngược
FFT được tính dựa trên công thức như sau: ( ) ( ) ( )∑∑−
=
−−
=
==1
0
21
0
..N
n
knN
jN
n
kn
N enxWnxkX
π
Biến đổi Fourier nhanh ngược được tính theo công thức sau:
( ) ( )∑−
=
=1
0
2
.1 N
k
knN
j
ekXN
nx
π
112
BÀI TẬP CHƯƠNG 4
Bài tập 4.1
Cho dãy tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ N = 8 như sau:
[ ] ?)(~)(~
0
403
21
)(~
==
≠
≤≤−
−=
nxDFTkXTìm
n
nn
nx
Bài tập 4.2
Cho 2 dãy tín hiệu x1(n) và x2(n) tuần hoàn với chu kỳ N = 5
với:
≠
≤≤+
−=
≠
≤≤=
n
nn
nx
n
nnx
0
204
11
)(~
0
201)(~
2
1
Tìm và vẽ đồ thị của ( ) )(~*~
)(~)(~251 nxnxnx =
Bài tập 4.3
Cho 2 dãy tín hiệu x1(n) và x2(n) không tuần hoàn với chiều dài N = 8
với:
≠
≤≤−
−=
≠
≤≤−=
n
nn
nx
n
nnnx
0
303
11
)(
0
411)(
2
1
Tìm và vẽ đồ thị của ( ) )(*)()( 281 nxnxnx =
113
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu và lọc số, Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật ,
Hà Nội 2003.
[2] Quách Tuấn Ngọc, Xử lý tín hiệu số, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội 1999
[3] Dương Tử Cường, Xử lý tín hiệu số, Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật,
Hà Nội 2001
[4] Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer and Jhon R. Buck, Discrete Time
Signal Processing , Prentice Hall 1999
[5] Vinay K. Ingle and Jhon G. Proakis Digital Signal Processing, using MATLAB
![C S O L - mientayvn.com li/Tai_lieu/Tai_lieu_ly_moi_1... · -Thi Gtb Sbi Gn ÿ ]i: th õchi Ën so sánh và phân tích. Có th Çt ¥o ra tín hi Ëuc «nthi Ãt ÿ Çso sánh tín](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5e7e15a261799c5b7d7c2463/c-s-o-l-litailieutailieulymoi1-thi-gtb-sbi-gn-i-th-chi-n.jpg)
