B C

D

E

5

5

5

5

30

3511060

A

o

o

1. Bir ABC eşkenar üçgeninin iç bölgesindekibir D noktası için

m(BAD) m(ABD) 5 ve dış bölgesindeki bir E noktası için de, m(CAE) m(ACE) 5 ise, m(EDC) kaçtır?

o

o

ADE üçgeni eşkenar üçgendir.Bu durumda CDE üçgeni

ikizkenar üçgen olur ve m(CED)=110 olur. Buradanm(EDC)=35 elde edilir.

2 22. y x 2y 7x 4 eşitliğini sağlayan kaç x,y pozitif tamsayı ikilisi vardır?

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

y x 2y 7x 4 y 2y 1 x 7x 5 4. y 2y 1 4. x 7x 5

2y 2 2x 7 -29 2y 2 2x 7 -29

2y 2x 9 2y 2x 5 -29 2y 2x 5 29 ve 2y 2x 9 1 y=8 ve x=4 x,y = 4,8 olmak üzere 1 tane tam sayı çözüm ikilisi vardır.

2

3 2 2

3. x 2y 2xy x x y y denklem sistemini sağlayan kaç (x,y) gerçel sayı ikilisi vardır?

22 2

3 2 2

3 2 2

24 3 2 4 4 3 4

2 2

2

2

xx 2y 2xy y x x x . y 2x 2 2x 2x x y y

3x 2x x x 3x 2x x 2x 2 2x 2 2x 22x 2 2x 2

x=0 bu denklemin bir köküdür. x 0 y 03x 2 xx 0 6x -10x 4 x

1 2x 2

6x -11x 4 0 2x 1

3x 4 01 4x ve x sırasıyla y değerleri 2 3

1 8 1 1 4 8y - ve y x, y 0,0 , , , 4 3 2 4 3 3

3 tane x, y reel sayı çözüm ikilisi vardır.

Rakamlarının faktöriyellerinin toplamı kendisine eşit olan 2010 danküçük kaç pozitif tamsayı vardır?4.

a! a a=1 ve a=2a! b! ab a,b 4 çözüm yoka! b! c! abc 1! 4! 5! 145 tek çözüma! b! c! d! abcd çözüm yok

3 tane sayı vardır.

o

o

5. Dış bükey bir ABCD dörtgeninde, AB 10, CD 3 6 , m(ABD) 60 ,

m(BDC) 45 , BD 13 3 3 ise, AC kaçtır?

o o o

o o o

CE BD ve AF BD çizelim. ABF üçgeni 30 - 60 - 90

özel üçgeni BF 5 , AF 5 3 ; CDE üçgeni 45 - 45 - 90

özel üçgeni CE DE 3 3 EF =8 EFAH dikdörtgen.

CHA dik üç-geninde Pisagor bağıntısından AC =16 elde edilir.

26. 2011y 2010x 3 eşitliğini sağlayan kaç (x,y) tamsayı ikilisi vardır?

2

2

2

2011y 2010x 3 denklemi mod 10 da düşünülürse y 3 mod10 olur ki 10 modülünde hiç bir

sayının karesi 3 yapmadığından 2011y 2010x 3 eşitliğinin çözüm kümesi olur.

o

r metre yarıçaplı daire biçiminde bir adacığın merkezinde 1duran bir kurbağa metrelik bir atlayışla başlayıp, her seferinde 2

90 sağa veya sola dönerek bir öncekinin yarısı uzunluğunda b

7.

ir

ratlayış yapıyor. Sonlu sayıda atlayışta kurbağanın suya varama-masını sağlayan en küçük r değeri nedir?

Kurbağa şekildeki gibi zıplarsa herhangi bir anda merkeze en uzak mesafede bulunur. Zıplama işini sonsuza kadar yaparsa ;

111 1 1 2 1 1 1 142a ... , b ... 2 8 32 1 3 4 16 64 1 31 1

4 4Bu durumda bulunduğu

2 2

noktanın merkeze uzaklığı

2 1 5 5 r olursa kurbağa sonlu adımda suya varamaz. 3 3 3 3

8. Ilk 2010 pozitif tamsayının rakamlarının toplamı kaçtır?

o

o

1

1

2

abcd 2010a 0 bcd nin rakamları toplamı S olsun S 1 2 3 ... 9 .100.3 13500a 1 1bcd nin rakamları toplamı SS 1000.1 13500 14500a 2 2bcd nin rakamları toplamı S 2010 dan küçük eşit 11 tane sayı

2

var.S 2.11 1 2 3 ... 9 1 68 13500 14500 68 28068

Bir ABCD karesinin dışındaki bir E noktasının AC doğrusuna uzaklığı 6,BD doğrusuna uzaklığı da 17 birimdir. E noktasının karenin en yakın köşesine uzaklığı 10 birim ise, karenin alanı n

9.

e

dir?

2

A noktasının karenin ağırlık merkezine uzaklığı 9 karenin bir kenarı 9 2 Alan ABCD =162 br elde edilir.

8 40 n 840 ko ulunu sa layan kaç tamsay için, n -n n -1 say s 840 ile bölünür?10. ş ğ ı ı ı

3 8 4

8 4 8 4

8 4 8 4

8 4

8 4

840 2 .3.5.7 840 n n n 1 olması için

n n n 1 0 mod8 ve n n n 1 0 mod7 ve

n n n 1 0 mod5 ve n n n 1 0 mod3 olmalı.

n n n 1 0 mod8 n 1 mod8 ......................................1

n n n 1 0 mo

6 8 2 8 4 4 2

2 2 3

3

8 4

4 8

d7 n,7 1 olmalı

n 1 n n mod7 n n n 1 n n n 1 0 mod7

n n 1 n 1 0 mod7 n 1 n n 1 0 mod7

n 1 mod7 veya n n 1 0 mod7 n 3 mod7 ...........2

n n n 1 0 mod5 n,5 1 olmalı

n 1 n 1 mod5 1 1 n 1 0 mod5

8 4

2 8 4

8 4

n 1 mod5 ..3

n n n 1 0 mod3 n,3 1 olmalı

n 1 n n 1 mod3

n n n 1 1 1 n 1 0 mod3 n 1 mod3 ...................4

1,2,3 ve 4 nolu denkliklerden n 1 mod840 ve n 241 mod840elde edilir. n 840 olduğu için n=1 ve n=241 bulunur.

11. xy-düzleminde 20, 10 merkezli bir çemberin üstünde

koordinatları tamsayı olan en çok kaç tane nokta bulunabilir?

2 2 2 2

2 2 2 2

ZZ

a,b,c,d Z , a,b ve c,d çember üzerinde noktalar olsunlar.

a 20 b 10 c 20 d 10

a b - c - d 2 20 a c 2 10 b d olur ki bu da a=c ve b=d demektir.

Bir tane a,b noktası çember üzeri

nde bulunabilir.

12. 0 a,b,c,d 7 olmak üzere, 7 nin ab-cd yi bölmesini sağlayan kaç (a,b,c,d) tamsayı dörtlüsü vardır?

0, hiç kullanılmamışsa seçilen hera,b,c, için 1 tane d vardır.a,b,c,d 6.6.6.1 216 .........................................................1

0, 2 kez kullanılmışsa a,b,c,d 2.6 . 2.6 144.............2

0,

43 kez kullanılmışsa a,b,c,d .6=24..........................3

30, 4 kez kullanılmışsa a,b,c,d 1.........................................4

216 144 24 1 385

oAB = AC ve m(BAC) 40 olan bir ABC geninin AB ve AC kenarları üstünde sırasıyla, D ve E noktaları alınıyor. BC doğrusu üstünde deC noktası, B ile F arasında kalacak bi

13. ü

çimde bir F noktas

ç

o

ı alınıyor. BE CF

AD AE ve m BEC 60 ise, m DFB kaçtı ? r

o o o

o

m BEC =m CDB =60 , m ACD =20 , m BCD =50 , ABE ACD K.A.K

BE = CD = CF m DFB =25

Gerçel sayı doğrusu üstünde 0 noktasından başlayarak, her adımda doğru boyunca istediği yönde 364 veya 715 birim sıçrayan bir çekirgenin konduğu noktaların 2010 noktasına uzaklığı en az n

14.

e

kadar olabilir?

364,715 13 olduğundan gittiği her nokta 13 ün katıdır.

364x+715y=13k denkleminin k Z içinçözümü vardır.2010 sayısına en yakın 13 ün katı olan sayı 2015 olduğu için 2010 a en kısa uzaklık 5 br olur.

xyz xyz xyzx,y,z gerçel sayıları, -1, 1 ve 2 x y y z z x

eşitliklerini sağlıyorsa, xyz aşağıdaki değerlerden hangisi

1

n

5.

i alabilir?

3

x y y z x z 1-1 1 ve xyz xyz xyz 2

x+2y+z=05k k 23x y 2z 0 x=3k , y=-5k , z=k =1 k= 15k 152x y z 0

8 8xyz 15 = 15 15 15

11 farklı kitap üç raflı bir kitaplığa, en çok bir raf boş kalacak biçimde kaç farklı şekilde yerleştirile16.

bilir?

13!ooooooo oooo 11 kitap 2 raf ayıracı 78.11! şekilde dizilir.2!.11!

ooooooooooo , ooooooooooo ve ooooooooooo 3.11!

durumlarında 2 raf boş kalmıştır. 78.11!-3.11! 75.11! şekilde dizilir.

Uzayda yer alan A,B,C,D noktaları için, AB = AC =3, DB = DC =5,

AD =6 ve BC =2dir. BC doğrusunun D noktasına en yakın noktası P ve ABC üçgeninin bulunduğu düzlemin D noktasına en yakın noktası da

17.

Q

ise

,PQ kaç tır?

2 22

Şekilde BP =1 ve BD =5 DP = 24 br. BP =1 ve BA =3 DP = 8 br.

APD inde kosinüs teoreminden 6 24 8 -2 24 8.cos 180 a

PQ1 1cosa = PQ = elde edilir. 4 3 24 2

1000 elemanlı bir kümenin 500 elemanlı alt kümelerinin sayısı aşağıdaki sayılardan hangisine bölün18.

mez?

9898 49

49 49 2

1000 1000!= 500!.500! 500

1000! 11 .A A1000! =11 .A ve 500! =11 .B 500!.500! 11 .B.11 .B B

1000 sayısı 11 ile tam bölünmez. 500

5 219. x 2x 9x 6 polinomumun farklı gerçel köklerinin toplamı nedir?

25 2 2x 2x 9x 6 0 x 2 x 1 x 3 =0 -1 2 1

0 sayısı ile başlanıp, her adımda bir önceki sayının 1 fazlası veya 2 katı alınarak, aşağıdaki sayılardan hangisi en az sayıda adımda elde edi20.

li

r?

a) 2011 2010 1005 1004 502 251 250 125 124 62 31 30 15 14 7 6 3 2 1 0 19 adımb) 2010 1005 ... 18 adımc) 2009 2008 1004 502 251 250 125 124 62 31 30 15 14 7 6 3 2 1 0 18

adımd) 2008 1004 ... 17 adıme) 2007 2006 1003 1002 501 500 250 125 124 62 31 15 14 7 6 3 2 1 0 18 adım

4V 14V

Merkezleri aynı ve yarıçapları 10 ve 20 birim olan iki düzlemdeş daireyi sırasıyla taban kabul eden, her biri 20 birim yüksekliğinde bir dik silindir ve bir dik koni düzlem

21.

in

aynı tarafında kalacak biçimde alınıyor. Koninin silindirin içinde kalan kısmının hacminin, silindirin dışında kalan kısmının hacmine oranı nedir?

5 4 a) 3 b) 2 c) d) 3 3

e) 1

eşitliğini sağlayan kaç (x,y) tam sayı ikiy lx22. 1 y 7 x 7

isi vardır?

22 2 2 2 2yx 1 x -xy+y =49 4x -4xy+4y =196 2x y +3y =196y 7 x 7

3,8 , 8,3 , 5,8 , 8,5 , 3, 8 , 8, 3 , 5, 8 , 8, 5y 8 x, y

0,7 , 7,0 , 3,5 , 5, 3 , 3, 5 , 5,3 , 7,7

15 farklı tam sayı çözüm ikilisi vardır.

2 2 2 2 2 2

23. 1 n 2010 koşulunu sağlayan kaçtane n tamsayısı için1 -2 3 - 4 ··· (2n -1) - (2n) sayısı 2010 ile bölünür?

n n2 2 2

k 1 k 12k -1 2k 4k 1 n -2 n n -n 2n -1

n 2n -1 0 mod2010

n 2n -1 0 mod2 1 çözüm

n 2n -1 0 mod3 2 çözümmod2010 da 1.2.2.2=8 çözüm vardır.

n 2n -1 0 mod5 2 çözüm

n 2n -1 0 mod67 2 çözüm

24. On tabanına göre tersten yazılımı ile kendisi aynı olup 11 ile bölünenkaç tane yedi basamaklı pozitif tam sayı vardır?

9.10.10.10.1.1.1

abcdcba tarzında 9000 tane polindromik sayı vardır. Bunların arasına 11

9000ile bölünebilenler homojen dağılmıştır. yaklaşık =818,...11

818 tanesi 11 ile tam bölünür.

om BAC 90 , AB 1 ve AC 2 olan bir ABC üçgeniyle aynı düzlemde

yer alan P ve Q noktaları, PB 1 QB , PC 2 QC ve PA QA

koşullarını sağlıyorsa, PA / QA nedir?

a)

25.

2 3 b) 5 - 6

c) 6 - 2 d) 6 1 e) Hiçbiri

o o o

o

o

2 2 2

Yukarıdaki gibi, uzunluklar şekle yerleştirilirse BCD üçgeninin 30 -30 -120

üçgeni olduğu görülür. QC =2 olduğu için m CBQ =90

m ABQ =90 -m ABC olur.ABQ üçgeninde kosinüs teoreminden:

y 1 1 2.1.1.cos ABQ

2 2 2

2 o

22 2

2

6 6 2 62 -2.sin ABC 2 -23 3

PBA üçgeninde kosinüs teoreminden: x =1 1 2.1.1.cos ABP

6 6 2 6x 2 2.cos 90 m BAC 2 23 3

6 2 63 6x 6 2 6 x3 3 2 3 2

3 yy 6 2 6 6 2 63

2 2 2m nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için 3x 4y -5z m eşitliğini sağlayan (x,y,z) pozitif tam sayı üçlüsü yoktur? A) 16 B) 14 C) 12 D) 10 E

26.

) 8

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

3x 4y -5z 10 için 3x 4y 0 mod5 x y 0 mod5

x 5x' ve y=5y' 75x' 100y' -5z 10 15x' 200y' - z 2z 2 mod5

27. Katsayılarının herbiri 1 veya -1 ve tüm kökleri gerçel sayılar olan birpolinomun derecesi en çok kaç olabilir?a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) Hiçbiri

n n 1 n 21 2 n 1 2 1 3 n 1 n

2 2 2 21 2 n 1 2 n 1 2 1 3 n 1 n

0 12 2 2

1 2 1 3 n 1 n 1 2 n

1 2

P x x x x ...x 1 x x ... x 1, x .x x .x ... x .x 1

x x ... x 1 x x ... x 2. x .x x .x ... x .x 1

x .x x .x ... x .x 1 x x ... x 3,

x .x ..

2 2 2 2n 1 2 n 1 2 n

2 2 22 2 21 2 n n

1 2 n

3 2

.x 1 x .x ...x 1 x .x ...x 1x x ... x 3x .x ...x 1 1 n 3

n nP x x x x 1 polinomu tüm kökleri reel sayı olan örnek polinomdur.

2. yöntem:

n n 1 n 21 2 n 1 2 1 3 n 1 n

2 2 2 21 2 n 1 2 n 1 2 1 3 n 1 n

0 12 2 2

1 2 1 3 n 1 n 1 2 n

i

P x x x x ...x 1 x x ... x 1, x .x x .x ... x .x 1

x x ... x 1 x x ... x 2. x .x x .x ... x .x 1

x .x x .x ... x .x 1 x x ... x 3, x R po

i

n n 1 n 2 n n 1 n 2i i i i i i i i i

12 2 2

i 1 2 n3 2

linomun bir kökü ise x 1 için

x x x ...x 1 x x x ... x 1 P x 0

x 1 , n x x ... x 3 n 3 P x x x x 1 polinomu tüm kökleri reel sayı olan örnek polinomdur.

28. 2010 kişinin yaşadığı bir köyde her ikiside aynı arkadaş sayısına sahipolan bir tek ikili varsa, bu sayı kaç farklı değer alabilir?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)Hiçbiri

Bir kişinin arkadaş sayısı 0,1,2,...,2009 olabilir. Fakat 0 ile 2009 aynı anda olamaz. Arkadaşlık sayısı 0 ile 2008 veya 1 ile 2009 arasındadır.0 ile 2008 :2008 arkadaşı olan kişiyle arkadaşı olmayan kişiyi alalım. 2008 arkadaşı olan sadece arkadaşı olmayanla arkadaş değildir, geri kalan herkesle arkadaştır.Bu ikiliyi çıkarırsak geriye herkesin 1 arkadaşı eksilir. Geriye 0,1,...2006 arasında arkadaşı olan 2008 kişi kalır. Bu durum baştaki ile aynıdır.Bu şekilde indirgenirse geriye eşit sayıda arkadaşı olanlar kalır. 1004 kişi.1 ile 2009 Benzer mantıkla 1005 kişi bulunur.

15 3029. ABI OBC A.A = AB 24 12 AB

2 3 200920102 2 2 230. N= + + +... ise 2 un N ile bölümünden kalan nedir?

5 5 5 5 a) 5034 b) 5032 c) 5031 d) 5028 e) 5024

4k 1

4k 2

4k 3

4k 4

2 3 4 5 2009

2

2 2 (mod 5)2 4 (mod 5)2 3 (mod 5)2 1 (mod 5) dir.

2 2 2 3 3 2 1 1 2 2 2 2 2 2N ....5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

2 2N5 5

3 4 5 2009

3 4 5 2009

3 4 5 2009

2010 2

20102010

2 3 3 2 1 1 2 2 2 2 2 2...5 5 5 5 5 5 5 5

2 3 2 1 2 2 2 2N ...5 5 5 5

2 2 2 ... 2 3 1 2 4 ... 2N5 5

2 1 2 2 1 501.10 3 1 2N5 5

2 5024N 2 5.N5

5024

2 yAşağıdaki (A,B) ikililerinden hangisi için x xy y A , B denklem y - x

sisteminin gerçe

31.

1 1 2 a) ,2 b) 1,1 c) 2, 2 d) 1, e) 2, 2 2

l çözümü yoktur?

3

2 2

2 2 2 2

2

Bx Bx(x 1)y By Bx y x y.(x 1) A x AB 1 B 1

x B x Bx Bx A(B 1) (2B 1)x Bx A(B 1) 0B 4(2B 1)A(B 1)

Seçenekleri denersek E seçeneğinde 0 olur.

1001 kişilik bir okulda herhangi üç öğrenciden en az ikisi arkadaştır. Bu okulda en çok arkadaşa sahip olan öğrencilerden birinin arkadaş sayısı, 334, 412, 450, 499değer

32.

le

rinden kaçını alabilir? a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) Hiçbiri

Arkadaş olmayan iki kişi alalım Geri kalan 999 kişi mutlaka ikisinden birinin arkadaşıdır Demek ki arkadaş sayısı 500 denküçük olmayan en az bir kişi vardır Maksimum arkadaşı olan kişinin arkadaş sayı sı 500 den küçük olamaz. Cevap E

33.

oE ve F çemberlerin merkezleridir. m A a ve m C b denirse a b 90

m FEB =m FED =a , m BFE =m DFE =b , m DFC =2.m DBC

m DFH =m HFC =b olur. AC =10 EH =5 ve EF =13 EFH dik üçgeninden

FH =12 elde edilir. Yandaki şekilde K,E

,H doğrusal olmak üzere EK = EF =13

alınarak elde edilen EHK üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. A.A

AB10 2= AB 5 olur.5 135 26

2010 20092 2Aşağıdaki sayılardan hangisi 2 2 1 sayısını böler? a) 19 b) 17 c) 13 d) 11 e) H34.

içb

iri

2010 2009 8 4

4 2 4 2

2 4 (mod 12) 2 8 (mod 12) 2 2 1 ?(mod 13)(2 2 1)(2 2 1) 0(mod13)

3 5

2 2 2 2 3 3 4

daki ifadelerden hangisi, 0 x 1 ve 0 y 1 koşullarını sağlayan tüm x,y gerçel sayıları için x y ten küçük değildir? a) x y b) x y c) x y d) x

35.

y

Aşağı

e) xy

3 53 5 9 10 10

22 2 3 5

2 8 10

1 1 1 1 1 1 3x y değerlerini verirsek x y8 4 8 4 2 2 2

1 1 1 2x y . , x y x y olur. Cevap (A)48 2 2

Başlangıçta n n bir satranç tahtasının yalnızca sol alt köşesinde bir taş bulunuyor. Oyuncular sırayla hamle yaparak, her hamlede taşı bulunduğu karenin hemen sağındaki,

36.

hem

x

en üstündeki veya hemen sağ üst çaprazındaki kareye kaydırıyorlar. Hamle yapamayan oyuncu oyunu × × × × × kaybediyor. Oyun, 6 7, 6 8, 7 7, 7 8 ve 8 8 tahtalarda birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını ilk hamleyi yapan oyuncu kazanmayı garanti edebilir? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Hiçbiri

m x n' lik tahta için oyunu eşdeğer bir oyun cinsinden tanımlayalım.m-1 tane işareti , n-1 tane işaretivardır ve her oyuncu her hamlesindebir tane , bir tane veya ikisini birlikte oynayabilir.

Lemma: Hamle sırasındaki oyuncunun,eğer , 'lerinin ikisinin birden sayısı çift değilse ikisini birden çift yapacak hamlesi vardır.Lemma:Hamle yapacak oyuncu; , lerin ikisinin birdensayısı çift ise

o hamlede ikisini birden çift yapamaz.

Oyunu kazanan oyuncu son durumda (0,0)hamle bırakmalıdır.Ç,Ç ile oyuna başlayan oyuncu Ç,Ç bırakamayacağından oyunu kaybeder. Cevap (D)

Bu çözümler İzmir Fen Lisesi matematik olimpiyat takımı öğrencileri tarafından yapılmıştır.