1

Maxwell Equations in Plasma

0. Self consistent field in plasma１． Physical meaning of Maxwell equations2. Derivation of Maxwell eqs.

2007.05.01-02

2

電磁場と荷電粒子、荷電流体• 単一粒子、流体の電磁場中での運動

BvqEqP

)BVE(enpdtVd

eeeee

e

q は電荷 (-e,+Ze) 、 v は粒子（電子、イオン）の速度

Ve,i は（電子、イオン）流体の巨視的流れ、 en は電荷密度

電荷をもつ粒子、流体には電磁力が作用する。　プラズマ全体の流体運動は２式を足し合わせたものである。

)BVE(ZenpdtVd

iiiii

i

3

電磁場中の分布関数の発展方程式 vveve

eee

e f)BvE(mefv

tf

vvivii

iii f)BvE(

mZefv

tf

ここで、 E,B は外部から与えられた電磁場。右辺は衝突項であり、速度空間の流れの divergence として与えられる。もし外部電磁場が無いとすると左辺の第３項をなくすことができる。外部からの電磁場は衝突による流れには寄与せず“外場”の元での位相空間の運動を支配する。

4

衝突と Entropy S 増大33dvdr

tffln

dtdS

vvivii

iii f)BvE(

mZefv

tf

collisionmotion dtdS

dtdS

dtdS

分布関数の時間変化は１）確定的な外場における運動による変化２）ランダムな衝突による時間変化によってもたらされている。従って、エントロピーの時間変化も両者の寄与があるはず。

（配布資料を参照のこと）

5

外場の元での確定的な運動の寄与 vvivi

iii

i f)BvE(mZefv

tf

33dvdrf)BvE(mZefvfln

dtdS

ivii

iimotion

0

1

3

33

33

eflnfSdvdv

dvdreflnfv

dvdrfvfln:st

iii

iii

ii

空間微分の項の寄与は０

6

0

2

3

33

33

33

eflnfSdvdr

dvdreflnfF

dvdrfFfln:nd

dvdrf)BvE(mZefvfln

dtdS

iivi

iiv

iv

ivii

iiimotion

速度空間における勾配の項の寄与も０結論として、外場の元での確定的な運動あるいは自由運動はエントロピー増大には寄与しない

7

ランダムな衝突がエントロピーを増大させる• プラズマにおける衝突を　　　　大多数の微小角散乱　 b~Debye>>Lp-p

中くらいの散乱　　　　　 b ＜ Debye

　　　　希な大角散乱　　　　　　 b~Lp-p

と分類すると

•すべての散乱がエントロピー増大に寄与？•プラズマ自身が作る電磁場の効果は？

8

プラズマ中のプラズマが作る電場• 自分の作る電場＋全員が寄与して遮蔽電場を作る

小角散乱はどれを変化させるのか？その他の散乱はどれを変化　両者を変化させるのか？E~EE

電場は１）粒子間距離より遙かに長くデバイ長以下程度の平均場（これはすべての粒子の協同効果として創世されたもの）と２）粒子のランダムな運動、即ち“衝突”を」引き起こす　揺らぎ成分である。

9

プラズマ自身の作る平均電場の記述（無衝突、且つ外場は無いとする） 0

ivi

iiii fE

mZefv

tf

dtdf

0

33

0

4

41

eargnetch

eiii dv)t,v,r(fedv)t,v,r(efZ

E

ここで、 <> は巨視的な平均場に対応した、平均ポテンシャル、平均電荷密度であり、分布関数と密接に結びついた量である。

10

プラズマ自身の作る平均磁場の記述（無衝突、且つ外場は無いとする） 0

ivii

iiii fBv

mZefv

tf

dtdf

eeii

eeiii

VenVZen

dvv)t,v,r(fdvv)t,v,r(fZej

jB

33

ここで、 <> は巨視的な平均場に対応した、平均電流密度、平均 drift 速度であり、分布関数と密接に結びついた量である。

11

プラズマの協同効果による平均場はエントロピーの増大に寄与しない

0

2

3

33

33

33

eflnfSdvdr

dvdreflnfF

dvdrfFfln:nd

dvdrf)BvE(mZefvfln

dtdS

iivi

iiv

iv

ivii

iiimotion

プラズマ粒子の協同効果で産み出され、 D の規模で平均される平均場（自己無撞着場 self-consistent field ）は外場同様エントロピーの増大を引き起こさない。したがって、 collisionless- 小角散乱による分布関数の時間発展はそれ自身では統計力学平均値に近づかない。

12

Maxwell eqs. の物理的意味と表現 I)

D

0 B

Newton eq. は質点（その性質は　質量を持つ、あるいは　電荷を持つ　等）の運動を記述する。光速で運動する光子の巨視的記述にはどうするか？その導出に先立ってベクトルの意味を考察する。Maxwell eqs.

非圧縮性流体（圧縮、膨張しない流体）の定義0 V

例）

13

Divergence 　　0

0

P

P

jxiy)y,x(P

jyix)y,x(P

１）

２次元 (x,y) 平面で任意のベクトル X を考え、 １）　 divergence が０ ２）　 divergence が０でない ３）　 divergence が正、あるいは負　でないにベクトルがどのような特徴があるかを考える。

2)

?P

?P

Vector の図 Vector の図

14

jxiy)y,x(P

jyix)y,x(P

0

xy

yx

P

2

yy

xx

P

湧き出しなし Ｐは湧き出している

15

3 次元で積分表示を行えば？

QSdD

dVdVD

D

Q

D

次元：　電束密度　 D 　[C/m2] 、 Q[C]

電束密度の表面積分は電気力線の総和　即ち電荷の総和に等しい

16

3 次元で積分表示を行えば　ＩＩ？

0

0

0

SdB

dVB

B

０

B

次元：　磁束密度　　 Vs /m2 　　　 Tesla

磁力線の湧き出しは無く、磁束密度の表面積分は０に等しい。即ち、閉じた領域内に“磁荷”に相当するものは存在しない。

17

Rotation 　2

kxP

yP)y,x(P yx

z

0

kxP

yP)y,x(P yx

z

0 P

jxiy)y,x(P

jyix)y,x(P

Z 軸の周りの反時計方向の回転を表している。

0 P

vectorP は原点から放射状に外に向かって出ており、回転していない。

18

Vector 公式と物理概念

答えは何か？またその理由は？１１　 １１１１１１１１１１１１１１

２）　Ａを任意のベクトルとして、 A

答えは何か？またその理由は？

19

Maxwell eqs. 物理的意味 (II)

jtDH

,tBE

0

E の次元 , 単位は？ V/m: 力学的な力 N/C B の次元 , 単位は？ Vs/m2: D の次元 , 単位は？H の次元 , 単位は？j の次元 , 単位は？

C/m2=As/m2:A/m:

A/m2= C/s/m2 :

20

0

tBE

0

122

]s][m][m/Vs[]m][m/V[

SdBt

ldE

SdtBE

電気力線に回転を与えるのは磁束密度の時間変化“ 回転した電気力線”は“発散のない磁力線”の時間変化

E

のベクトル方向は？

21

jtDH

磁力線の回転は電荷の時間変化と電荷の流れによって与えられる。

jtDH

磁場の回転は面を横切る電荷あるいは電束密度の時間変化によってもたらされる。

0

22122

]m][m/A[]s][m][m/C[]m][m/A[

Sdjt

ldH

SdjSdDt

ldH

SdjtDH

22

電荷の連続の式

Vt

jt

jDt

ee

e

jtDH

磁力線の回転は電荷の時間変化と電荷の巨視的流れ V によって与えられる。

0 H

記述されるベクトルの“発散的性質”を調べる

23

Maxwell eq. の導出• 粒子の運動　　　 Lagrange eq. (Newton eq.)　　　　　　 L=T(v2)-U(r) 　　　粒子の性質は質量 m

• 場と粒子の相互作用（粒子と粒子の相互作用）　　　　　　　　　　　 Lagrange eq.(Maxwell eq.)　　　　　相互作用に関して粒子の性質は　電荷 e 　

で表現

• 場の記述　　　　 Lagrange eq.(Maxwell eq.)　　　　　　　　　　　粒子の軌道は固定　場のポテンシャル変分

最小作用 (Js) の変分原理

Landau 場の古典論　 3 章、４章参照

24

4 元位置ベクトル：　 r

ictr)r,r,r(r

4

321

空間成分時間成分C: light velocity

2t

1t

b

a

22

2t

1tparticle dsmcdt

cv1mcLdtS

相対論に拡張した作用 S[Js] の表現と Lagrange

2mvmc

cv1mcL

22

22

particle

25

場の性質：４元ポテンシャル　A

iA)A,A,A(A

0

321

空間成分時間成分

2t

1t

2t

1t

iifieldparticle

dtedtvAce

4,3,2,1idtdt

dxeAc1S

注：作用の次元を確かめよ

粒子と場の相互作用は　粒子の性質　 e と場の性質 A 　を用いて

26

粒子と場の相互作用

evAce

cv1mcLL

dtevAce

cv1mc

dxeAc1dsmcSS

22

fpp

22

b

aii

b

afieldparticleparticle

t2

t1

-

ここで V は４元速度ベクトルの空間成分

27

dVdtjA

c1dtdtjA

c1S i

i2

2t

1tfieldparticle

場のＬａｇｒａｎｇｅ　　 => 　場のエネルギーの次元•重ね合わせが可能•スカラー量

場と粒子の相互作用の作用積分（ただし、粒子の運動は固定されている。）

)m/J(2

DE)C/m/J(2E)m/C(D 32

dVHE81L 22

field

dVdtHE81S 22

field

こうして、場の作用は

28

Maxwell eq. の導出　（Ｉ）

0rL

vL

dtd

Lagrange eq が相対論や電磁場との相互作用においても正当である（こうしたときの運動も作用を最小にする）と考える。

Ace

cv

vmdtd

Ace

cvmc

vdtd

vL

dtd

2

22

1

11st term

29

evA

ce

rL

ベクトル公式 baababba)ba(

を利用すると、第１項は　ｖとｒは独立変数であることを考慮して

AvAv

vAAvAvvA)vA(

eAvceAv

ce

evAce

rL

2nd term

30

Adtd

ce

cv1

vmdtd

vL

dtd

2

eAv

ceAv

ce

rL

AvtA

dtAd

結局 , 場における粒子の運動方程式は

etA

ceAv

ce

cv1

vmdtd

2

注：右辺の次元を確かめよ

ここで を使うと

1st term

2nd term

31

HvceEe

Avcee

tA

ce

cv1

vmdtd

2

AH

tA

c1E

注：次元を確かめよ

ここで　以下の場の強さを導入した

32

AH

tA

c1E

この２つの式とベクトル恒等式を用いて Maxwell eq. を求める

0HtH

c1

tA

c1E

0A

0

ベクトル恒等式

33

積分表現　ＩtH

c1

tA

c1E

HSdtc

1tH

c1SdESd

HSdtc

1Eld

起電力 磁束の時間微分に負の符号をつけたもの

34

積分表現　ＩＩ0H

0HSdHdV

即ち、任意の閉曲面を通る磁束は０である。あるいは　磁荷　というものは存在しない。

35

電荷の連続の式 v

t

ここで、電荷の保存も同様に考えると　enmn em

粒子質量、粒子密度の保存則は以下のようであった。　

jVt e

e

注 ) 　積分形で表現せよ注２ )　 j を分布関数を用いて表現せよ

即ち　 Maxwell eq. は巨視的物理量の保存則の基礎としても用いることができる

36

場の方程式 の導出　（ＩＩ）

A

場と粒子の相互作用の作用 Sp-f と自由運動の作用 Sp の合計の作用の変分が０で有ることから粒子の運動方程式を決定した。

この過程で、粒子に作用する相互作用の源である場を記述するMaxwell eq. の第１の組が導かれた。

場の方程式を決定するには、場自身の作用 Sf を決定する必要があり、それに粒子の運動を固定した場の相互作用 Sp-f を加えて場の Lagrange を導き、粒子の軌道の変分の代わりに、場のポテンシャルの変分に対して作用が 0 という要請から場の方程式を決定する。 fieledpfieldfield LLL

37

点荷の集合系と場の相互作用

evAceL

dtevAce

dxeAc

S

fp

b

aiifieldparticle

t2

t1

1

点電荷の系から、分布電荷とその運動が電流を形成している系へ拡張し、相互作用密度の空間積分の表現へと書き改める。

38

2

1

2

1

00

2

1

1

11

1

t

t

ii

t

t

t

tfieldparticle

dVdtjAc

dtjAc

jAc

dV

dtjAc

dVS

A,A,A,A ii

39

場のＬａｇｒａｎｇｅ　　 => 　場のエネルギーの次元•重ね合わせが可能•スカラー量

)m/J(ED)C/m/J(E)m/C(D 32

22

dVEL Efield2

81

電気力線とは単位長さあたりE/2 のエネルギーを蓄えている

電場の持つエネルギー密度Q

DＥE

21

注）ここでは Gauss 単位を用いている

40

場のＬａｇｒａｎｇｅ　　 => 　場のエネルギーの次元•重ね合わせが可能•スカラー量

)m/J(ED)C/m/J(E)m/C(D 32

22

dVEL Efield2

81

電気力線とは単位長さあたりE/2 のエネルギーを蓄えている

電場の持つエネルギー密度Q

DＥE

21

注）ここでは Gauss 単位を用いている

41

場のＬａｇｒａｎｇｅ　　 => 　場のエネルギーの次元•重ね合わせが可能•スカラー量

)m/J(HB)Vs/m/J(H)m/Vs(B 32

22

ijij

Hfield FFHL21

41

81 2

dVdtHE81S 22

field

こうして、場の作用は 3 次元表現を書けるとする。

B

ここで、 F は電磁場に関する４元テンソル表現とする

磁力線の有するエネルギー密度は

F=(E,H)

42

Contravariant E-M tensor

0HxHyEzHx0HzEyHyHz0ExEzEyEx0

Fik

H,EF,H,EF ik

ik

43

Covariant E-M tensor

00

00

HxHyEzHxHzEyHyHzExEzEyEx

Fik

H,EF,H,EF ik

ik

2

2

2

2

11

1

cvc

v,

cvds

dxu

uFce

dsdumc

ii

k

iik

44

ki

ik

ik xA

xAF

電磁場を４元ポテンシャルを用いて以下の４元テンソル

現わすことにすると、作用は

dVdtHE81S 22

field

dVdtFF16

1S ikikfield

H,EF,H,EF ik

ik

と書ける。

45

場の方程式 II の導出dVdtFF

161dVdtjA

c1S ik

iki

i2

この変分を調べるが、電流は粒子の運動が与えられているとして、場のポテンシャルのみを変化させる。

ikikik

ik

ikik

ii2

FFFF

dVdtFF81dVdtjA

c1S

（この関係を利用する）

つぎの電磁場テンソルの変分から ki

ik

ik xA

xAF

46

dVdtxAFcjA

c

FF

dVdtxAFc

xAFcjA

c

dVdtxA

xAFdVdtjA

c

dVdtFFdVdtjAc

S

kiiki

i

kiik

kiik

kiiki

i

ki

ikiki

i

ikik

ii

41

881

811

811

I,k を入れ替え の関係を使う

47

ここで、空間全体を考慮しているので、座標の無限遠ではポテンシャルは０とする。ただし、時間積分の２点ではポテンシャルの変分は０である。

04

1

41

41

41

dVdtAxFcj

c

dtSdAFdVdtAxFcj

c

dVdtxAFcjA

cS

ik

iki

kiik

ik

iki

kiiki

i

即ち場の方程式は ik

ik

jxF

4c

48

ik

ik

jxF

4c

0HxHyEzHx0HzEyHyHz0ExEzEyEx0

Fik

)j,c(ji

以上より、２組の方程式が得られる。

4E

jc

4tE

c1H

注）これらの式の次元を確かめよ

49

積分表現　ＩＩＩ

任意の閉曲線の回りの磁場の循環閉曲線で囲まれた面を通過する変位電流と真電流の総和に4/c を掛けたもの

jtE

41Sd

c4ldH

jc

4tE

c1SdHSd

注）　次元を考えよ

50

積分表現　ＩＶ

任意の閉曲面を通過する全電束閉曲面で囲まれた体積中の総電荷に 4を掛けたもの

注）　次元を考えよ

Q4dV4SdE

dV4dVE

51

レポート課題１）　 Maxwell 応力について述べよ。（定義、導出等々）

２）磁場強度１Ｔに相当する圧力を求めよ。また大気中の絶縁破壊　　　　電圧 10kV/cm に相当する圧力を求めよ

52

ここまで学習した内容

粒子の運動方程式粒子と場の相互作用場の方程式

Fokker Planck eq.

Plasma 自身が作る自己無撞着場

場を含めた巨視的物理量の保存則粒子、電荷、運動量、エネルギー方程式

微視的運動方程式速度空間の拡散

磁場閉じ込め

不安定性衝突と平衡

Boltzmann eq.

クーロン小角散乱