Maxwell - Boltzmann

ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELL-

BOLTZMANN

http://en.wikipedia.org/wiki/File:MaxwellBoltzmann-en.svg

ΦΞΠΕΜΘΜΞΡ ΓΘΑΜΜΗΡ

ΦΣΡΘΙΞΡ

MSc. ΘΕΩΠΗΘΙΗΡ ΦΣΡΘΙΗΡ

ΑΘΗΜΑ

ΑΣΓΞΣΡΞΡ 2011

http://en.wikipedia.org/wiki/File:MaxwellBoltzmann-en.svg




Η ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ηωλ ηαρπηήηωλ ηωλ κνξίωλ ελόο αεξίνπ, δίλεηαη από

ηε ζρέζε:

1 3 2

22 2( ) 4 ( ) exp( ). 2 2

dn m mf

n d kT kT

(1)

Η παξαπάλω ζρέζε καο παξέρεη ην θιάζκα ηωλ κνξίωλ –αλά κνλάδα όγθνπ-

ελόο αεξίνπ, πνπ νη ηαρύηεηέο ηνπο βξίζθνληαη ζε έλα κνλαδηαίν δηάζηεκα πνπ

εκπεξηέρεη κηα ζπγθεθξηκκέλε ηαρύηεηα.

Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο θαηαλνκήο ηωλ Maxwell-Boltzmann

δίλεηαη παξαθάηω (ζρήκα 1):

Ρρήκα 1. Ιαηαλνκή Maxwell-Boltzmann

Όπωο ζα πεξίκελε θαλείο, ε ζπλάξηεζε κεδελίδεηαη γηα π=0 θαζώο θαη γηα

, θαζ΄όζνλ δελ ππάξρνπλ αθίλεηα κόξηα, νύηε κόξηα θηλνύκελα κε «άπεηξε»

dσ

f σ

σ

ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELL BOLTZMANN

σmp

1 2 3 4 5

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%E2%80%93Boltzmann_distribution



ηαρύηεηα. Οαξαηεξνύκε όηη ε ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη κέγηζην γηα κηα ζπγθεθξηκ-

κέλε ηαρύηεηα (πmp= πηζαλόηεξε ηαρύηεηα(most probable)), θαζώο θαη όηη ην κεγα-

ιύηεξν θιάζκα ηωλ κνξίωλ ηνπ αεξίνπ θηλνύληαη κε ηαρύηεηεο θνληά ζηε πmp.

Ρην ζρήκα (2) δίλνληαη νη αληίζηνηρεο θαηαλνκέο γηα ηξεηο δηαθνξεηηθέο

ζεξκνθξαζίεο. (όζν απμάλεηαη ε ζεξκνθξαζία ηόζν ε θακπύιε κεηαηνπίδεηαη πξνο

ηα δεμηά –κεγαιύηεξεο ηαρύηεηεο- ην «εκβαδόλ» όκωο ηνπ ζρήκαηνο «θακπύιε- ρ

άμνλαο » παξακέλεη ζηαζεξό, αθνύ καο δίλεη ην ζπλνιηθό αξηζκό ηωλ κνξίωλ ηνπ

ζεωξνύκελνπ αεξίνπ).

Ρρήκα 2. Η θαηαλνκή ζε ηξεηο δηαθνξεηηθέο ζεξκνθξαζίεο.

Τξεζηκνπνηώληαο ηελ θαηαλνκή Maxwell-Boltzmann, κπνξνύκε λα

ππνινγίζνπκε έλα αξηζκό πνζνηήηωλ πνπ είλαη ζπνπδαίεο γηα ηε κνξηαθή θπζηθή.

Γηα παξάδεηγκα, ε κέζε ηαρύηεηα ηωλ κνξίωλ, ε ελεξγόο ηαρύηεηα 2

rms

θαη ε πηζαλόηεξε πmp ηαρύηεηα. Νεθηλάκε κε ηνλ ππνινγηζκό ηεο κέζεο ηαρύηεηαο

ηωλ κνξίωλ.

T

2 T

10 T

f σ

σ

2 4 6 8

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35



ΛΕΡΗ ΑΤΣΗΑ ΩΜ ΛΞΠΘΩΜ

Η κέζε ηαρύηεηα ηωλ κνξίωλ ηζνύηαη εμ΄νξηζκνύ κε ην πειίθν ηνπ

αζξνίζκαηνο ηωλ ηαρπηήηωλ όιωλ ηωλ κνξίωλ πνπ ππάξρνπλ ζηε κνλάδα ηνπ όγθνπ

πξνο ηνλ αξηζκό ηωλ κνξίωλ ζηε κνλάδα ηνπ όγθνπ.

Ξ αξηζκόο ηωλ κνξίωλ –αλά κνλάδα όγθνπ- πνπ νη ηαρύηεηέο ηνπο βξίζθνληαη

ζην δηάζηεκα από π κέρξη π+dπ είλαη: . ( ).n f d θαη ην άζξνηζκα ηωλ ηαρπηήηωλ

όιωλ απηώλ ηωλ κνξίωλ είλαη ίζν κε: . . ( ).n f d . Γηα λα βξνύκε ην άζξνηζκα ηωλ

ηαρπηήηωλ όιωλ ηωλ κνξίωλ ζα πξέπεη λα νινθιεξώζνπκε ηελ παξαπάλω

ζπλάξηεζε ωο πξνο όιεο ηηο ηαρύηεηεο από κεδέλ κέρξη άπεηξν. Έηζη ινηπόλ

ηνάζξνηζκα όιωλ ηωλ ηαρπηήηωλ είλαη:

0

. . ( ).n f d

(2)

θαη ε κέζε ηαρύηεηα ηωλ κνξίωλ είλαη:

0 0

1. . ( ). . ( ).n f d f d

n

(3)

Τξεζηκνπνηώληαο ηε ζρέζε (1), παίξλνπκε:

1 3 2

32 2

0

4 ( ) .exp( ).2 2

m md

kT kT

(4)

Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ νινθιεξώκαηνο , εθαξκόδνπκε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό:

2 2 2

3 2 2 21.exp( ). .exp( ). . .exp( ). ( )

2 2 2 2

m m md d d

kT kT kT

(5)

νπόηε:

1 3 2

2 22 2

0

14 ( ) . .exp( ). ( )

2 2 2

m md

kT kT

(6)



Ρηε ζπλέρεηα εηζάγνπκε ηε κεηαβιεηή:

2

2

mz

kT

(7)

θαη παίξλνπκε:

2

2 2 2

0 0

1 1 2.exp( ). ( ) ( ) . .

2 2 2

zm kTd z e dz

kT m

(8)

Λε νινθιήξωζε θαηά κεξε, έρνπκε:

0

. . 1zz e dz

(9)

Έηζη ινηπόλ γηα ην νινθιήξωκα ηεο εμίζωζεο (4) παίξλνπκε:

2

3 2

0

.exp( ). 2( )2

m kTd

kT m

(10)

Εηζάγνληαο ηελ ηηκή απηή ζηελ (4) έρνπκε:

1 3

22 28

4 ( ) .2( )2

m kT kT

kT m m

(11)

Ξπόηε ηειηθά έρνπκε:

8kT

m

(12)

ΕΜΕΠΓΞΡ ΑΤΣΗΑ (ΕΠΑΓΩΜΘΙΗ ΠΘΖΑ ΗΡ ΛΕΡΗΡ ΘΛΗΡ ΩΜ

ΕΠΑΓΩΜΩΜ ΩΜ ΑΤΣΗΩΜ).

Γηα λα βξνύκε ηελ ελεξγό ηαρύηεηα ηωλ κνξίωλ 2

rms , πξέπεη λα

ππνινγίζνπκε ην πειίθν ηνπ αζξνίζκαηνο ηωλ ηεηξαγώλωλ ηωλ ηαρπηήηωλ ηωλ

κνξίωλ ζ΄έλα κνλαδηαίν όγθν πξνο ην ζπλνιηθό αξηζκό ηωλ κνξίωλ ζηνλ όγθν απηό.

Ρύκθωλα ινηπόλ κε ηα πξνεγνύκελα ζα έρνπκε:



2 2

0

. ( ).f d

(13)

Αληηθαζηζηώληαο ηελ f(π) κε ηελ θαηαλνκή Maxwell-Boltzmann, παίξλνπκε:

1 3 2

2 42 2

0

4 ( ) . .exp( ).2 2

m md

kT kT

(14)

Ξινθιεξώλνληαο θαηά κέξε (ή θάλνληαο ρξήζε ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα) παίξλνπκε:

52

4 2

0

3 2.exp( ). ( )

2 8

m kTd

kT m

(15)

Έηζη ινηπόλ:

2 3kT

m (16)

Ξπόηε ηειηθά:

2 3

rms

kT

m (17)

ΟΘΘΑΜΞΕΠΗ ΑΤΣΗΑ.

Θα ππνινγίζνπκε ηώξα ηελ πην πηζαλή ηαρύηεηα ηωλ κνξίωλ, πνπ αληηζηνηρεί

(πξνθαλώο) ζην κέγηζην ηεο θαηαλνκήο Maxwell-Boltzmann. Γηα λα ηε βξνύκε ινη-

πόλ ζα πξέπεη λα παξαγωγίζνπκε ηελ ζπλάξηεζε θαηαλνκήο f(π) θαη αθνινύζωο λα

εμηζώζνπκε ηελ παξάγωγν κε ην κεδέλ. Έρνπκε ινηπόλ:

1 3 222 2( ) [4 ( ) exp( )]

2 2

d d m mf

d d kT kT

(18)

Ξπόηε απαηηνύκε:

2

2[ exp( )] 02

d m

d kT

(19)



Οαξαγωγίδνληαο νδεγνύκαζηε ζηε ζρέζε:

2 2

2 .exp( )(1 ) 02 2

m m

kT kT

(20)

Η παξαπάλω εμίζωζε επαιεζεύεηαη είηε όηαλ π=0, είηε όηαλ , είηε όηαλ

έρνπκε: 2

1 02

m

kT

. Είλαη θαλεξό όηη νη δύν πξώηεο ζπλζήθεο δελ αληηζηνηρνύλ ζην

κέγηζην ηεο ζπλάξηεζεο θαηαλνκήο. Έηζη ε ηηκή ηεο πην πηζαλήο ηαρύηεηαο,

πξνζδηνξίδεηαη από ηε ζρέζε:

2

1 02

mpm

kT

(21)

απ΄’νπνπ πξνθύπηεη:

2

mp

kT

m (22)

Έρνπκε ινηπόλ ην παξαθάηω ζρήκα:

Ρρήκα 3. Οηζαλόηεξε, κέζε θαη ελεξγόο ηαρύηεηα.

σ1

σ2

σ3

f σ

σ

σ1 πιθανότερη τατύτητα

σ2 μέση τατήτητα

σ3 ενεργός τατύτητα.

1 2 3 4 5

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25



ΟΑΠΑΗΠΗΡΕΘΡ

Ρύκθωλα ινηπόλ κε ηα παξαπάλω, (3) έρνπκε (βιέπε θαη ζρήκα 3):

1

2mp

kT

m

, πην πηζαλή ηαρύηεηα. (23)

2

8kT

m

, κέζε ηαρύηεηα (24)

2

3

3rms

kT

m , ελεξγόο ηαρύηεηα (25)

Οαξαηεξνύκε ινηπόλ όηη ηζρύεη:

mp rms (26)

Οην ζπγθεθξηκκέλα:

3

1,09.8

rms

, (27)

3

. 1,22.2

rms mp mp (28)

Οαξαηεξνύκε ινηπόλ όηη νη δηαθνξέο κεηαμύ ηωλ ηξηωλ απηώλ ηηκώλ ηαρύηεηαο

δελ είλαη πνιύ κεγάιεο. Ιαη ε ελεξγόο θαη ε κέζε ηαρύηεηα είλαη αξθεηά θνληά ζηελ

πην πηζαλή ηαρύηεηα.



ΛΑΘΗΛΑΘΙΞ ΡΣΛΟΚΗΠΩΛΑ

Η ΡΣΜΑΠΗΡΗ ΓΑΛΛΑ

Η (εμαηξεηηθά ρξήζηκε ζηε Φπζηθή) ζπλάξηεζε Γάκκα (Gamma function) , πνπ

ζπκβνιίδεηαη ζαλ Γ(n),νξίδεηαη από ηνλ ηύπν:

1

0

( ) n xn x e dx

(1)

ν νινθιήξωκα ζηελ (1) ζπγθιίλεη γηα ηηκέο 0n .

Λέζω αλαδξνκηθνύ ηύπνπ, ε ζπλάξηεζε Γάκκα δίλεηαη από ηε ζρέζε:

( 1) . ( )n n n (2)

κε Γ(1)=1. (απνδεηθλύεηαη παξαθάηω).

Αλ ν αξηζκόο ε είλαη ζεηηθόο αθέξαηνο, ηόηε:

( 1) !n n , 1,2,3,...n (3)

Όκωο όπωο βιέπνπκε ζηε ζρέζε (2), ε ζπλάξηεζε κπνξεί λα νξηζζεί γηα όια ηα

0n , αλ νη ηηκέο ηεο ζην δηάζηεκα:1 2n (ή ζε νηνδήπνηε άιιν κνλαδηαίν

δηάζηεκα).

Η ζπλάξηεζε Γάκκα, νλνκάδεηαη θαη παραγοντική συνάρτηση.

Οαξαδείγκαηα:

(2) 1! 1

(6) 5! 120

(7) 6!30

(5) 4!

Οαξαθάηω ζα απνδείμνπκε επίζεο όηη ηζρύεη:

1( )2

Η αλαδξνκηθή ζρέζε (2) είλαη κηα εμίζωζε δηαθνξώλ πνπ επηδέρεηαη ηελ (1) ζαλ

ιύζε. Οαίξλνληαο ηελ (1) ζαλ νξηζκό ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα, όηαλ ε>0, κπνξνύκε

λα γεληθεύζνπκε ηε Γάκκα ζπλάξηεζε γηα ε<0, αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ αλαδξν-

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function



κηθή ζρέζε: ( 1)

( )n

nn

. Η δηαδηθαζία απηή νλνκάδεηαη αναλυτική συνέχιση.

Θα δείμνπκε ηώξα, όηη ε ζπλάξηεζε Γάκκα, όπωο νξίδεηαη ζηελ (1) ηθαλνπνηεί

πξάγκαηη ηελ αλαδξνκηθή ζρέζε: ( 1) . ( )n n n , ε>0.

Έρνπκε ινηπόλ:

0 0

( 1) lim

M

n x n x

Mn x e dx x e dx

1

00

lim{( ) ( ) ( )( . ) }

MM

n x x n

Mx e e n x dx

1

0

lim{ ( ) } . ( )

M

n M n x

MM e n x e dx n n

, 0n

Ρηε ζπλέρεηα ζα δείμνπκε όηη πξάγκαηη Γ(1)=1.

Έρνπκε ινηπόλ:

0 0

(1) lim lim (1 ) 1

M

x x M

M Me dx e dx e

Οαξνπζηάδεη πξάγκαηη ηδηαίηεξν ελδηαθέξνλ λα δείμνπκε όηη: 1

( )2

.

Γξάθνπκε ινηπόλ:

1

2

0

1( )2

xx e dx

. Θέηνληαο 2u x , έρνπκε:

2

0

1( ) 22

ue du

, ή

2 2 2 22 ( )

0 0 0 0

1[ ( )] [2 ].[2 ] 4 .

2

u ue du e d e du d

Αιιάδνληαο ζε πολικές συντετεγμένες (ξ,θ), όπνπ:

cos( )u θαη sin( ) , ην νινθιήξωκα γίλεηαη:



2 2

2 22

00 0 0

1 1[ ( )] 4 . . 4

2 2e d d e d

.

Επνκέλωο:

21[ ( )]

2

1( )2

.

Αο δνύκε ζηε ζπλέρεηα πωο κε ηε βνήζεηα ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα κπνξνύκε

λα ππνινγίζνπκε ηα νινθιεξώκαηα (9) θαη (15) .

Ρην νινθιήξωκα (9) έρνπκε:

0

. .zI z e dz

Βιέπνπκε ινηπόλ ακέζωο όηη είλαη:

(2) 1! 1I

Ρην νινθιήξωκα ηεο ζρέζεο (15) έρνπκε:

24

1

0

.exp( ).2

mI d

kT

Θεωξνύκε ην κεηαζρεκαηηζκό:

2

2

mz

kT

όηε ζα είλαη επίζεο:

2 2kT

zm

θαη:

1 1

1/2 1/22 22 1 2

( ) ( )2

kT kTz d z dz

m m

νπόηε ην νινθιήξωκα γξάθεηαη:



12 2

4 2 2 1/2 21

0 0

2 1 2.exp( ). ( ) .exp( ). ( )

2 2 2

m kT m kTI d z z dz

kT m kT m

ή

5 3

2 21

0

1 2( ) .exp( )

2

kTI z z dz

m

ή

5

21

1 2 5( ) . ( )

2 2

kTI

m

ή

5

21

3 2( ) .

8

kTI

m

Γίλεηαη ινηπόλ νινθάλεξε ε ρξεζηκόηεηα ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα.

Γηα κηα πιήξε αλαθνξά ζηε ζπλάξηεζε Γάκκα θαη ηηο ηδηόηεηέο ηεο, δείηε ην

άξζξν από ην Wolfram MathWorld:

Gamma Function

Γηα έλα on line ππνινγηζκό ηωλ ηηκώλ ηεο Γάκκα:

Gamma function finder

Οεξηζζόηεξα γηα ηηο ηδηόηεηεο ηεο Γάκκα:

Elementary properties of the gamma function

Gamma function

http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

http://www.efunda.com/math/gamma/findgamma.cfm

http://www.utdallas.edu/eecs/booksite/pdf/appG.pdf

http://www.solitaryroad.com/c675.html



Γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα ζην δηάζηεκα: -5<ε<5

Οίλαθαο ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα ζην δηάζηεκα [1,2]:

Table of Gamma Values

4 2 2 4

10

5

5

10

http://www.ws.binghamton.edu/santos/ssie561/gvals%20exact.pdf



James Clerk Maxwell

http://en.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell



Ludwig Boltzmann

http://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann



http://www.ic.sunysb.edu/Class/phy141md/lib/exe/fetch.php?media=phy141:lectur

es:maxdistt.png

Documents

Maxwell - Boltzmann