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Maurice Müller
4. E-Assessment
4.3 E-Assessment mathematischer Beweise
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Gründe für den Einsatz von Computerunterstützung
Effizienz und Zeitersparnis
Integrierbarkeit in Lernmanagementsysteme
Objektivere Bewertung
Bekannte Verfahren
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Gliederung
1. Einleitung
2. Verfahren für mathematische FragestellungenComputeralgebrasysteme
Freiform-Textabgleich
Formalüberprüfung
Theorembeweiser
3. Systeme und VergleichsmöglichkeitenAufbau und Gestaltungsmöglichkeiten
Vergleich von zwei Systemen
4. Fazit und Ausblick
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Computeralgebrasysteme
Verbreitete Systeme
Schnell und effektiv
Industriell erprobt
Schnittstellen häufig vorhanden
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Computeralgebrasysteme - Probleme
Keine Bedingungsüberprüfung
Keine Beweisführung; reine Termersetzung
X=0?
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Freiform-Textabgleich
Problemfall digitalisierte Prüfungen
Geeignet für beliebige Texteingaben
b. Induktionsanfang: FUr m = 1 ist L?=o i • 2i = 0 und (1 - 2) • 21 + 2 = o identisch.
o ' Z A" 2 A ~ IJ ,,00
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Freiform-Textabgleich II
Eigenschaften richtiger LösungenVariablen
Werte/Konstanten
Aufbau/Form
Bildung von PatternZ. B. Regular Expressions
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Pattern
Beispiel InduktionsanfangEingabe: „Für m=1 sum(i=0;0;i*2^i)=0“
Pattern: „m=([\d]*).*=(\d*)[^\d]*$“
Pattern passt auf Eingabe
1 Pattern pro Beweisschritt
Eine beliebige Zahl Weiterer
Text Zahl Vor Ende der Zeile keine weiteren Zahlen
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Freiform-Textabgleich - Probleme
Spezifischere Pattern passen nicht immer Heuristische Ansätze Korrektur durch Lehrer
Validitätsproblem Offenlegung der Bewertung Kontrolle von Werten ggf. mit CAS
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Formalüberprüfung
Verwendung eines sog. Parsers
Schrittweise Übersetzung
in eine Baumdarstellung
Ausgangstext
Lexikalische Analyse
Token
Syntaktische Analyse
Baum
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Formalüberprüfung II
RückschlüsseFormalabbildung → Beweisschritt
Formalabbildung → zur Überprüfung geeignetes System
Beweisschritt → zur Überprüfung geeignetes System
KombinationsmöglichkeitenCAS zur Überprüfung einfacher Berechnungen
Theorembeweiser für Verfahrensweisen
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Formalüberprüfung - Probleme
Unflexibel bei syntaktischen Fehlern
Verschachtelte Beweise → Systemzuordnung
Weitere Anpassung für Beweise erforderlichHeuristik zur Bestimmung ähnlicher Terme
Baumsuche über mehrere Bäume
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Theorembeweiser
Theoreme bauen aufeinander auf
Theorembeweiser führen diesen Aufbau ausInteraktiv
Automatisch
„Notice […] that theorem provers prove theorems rather than make conjectures or do calculations[…]“ (zit. aus Adams, Gottliebsen, Linton, Martin)
Definition Theorem: „A [well-formed-formula] that is proved or provable. Axioms are special cases of theorems.” (Quelle: http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/glossary.htm)
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Theorembeweiser - Probleme
Anpassung an AufgabenstellungTheoreme
Logik
Ggf. spezielle Systeme
Komplexität
Algebraische Rechnungen
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Theorembeweiser - Lösungsansatz
→ Integration von Theorembeweisern und CAS
Ausstattung von CAS mit Beweistechniken (Tactics)
Problem: Ungeprüfte Operationen vs. Komplexität
Berechnungen durch CAS in Theorembeweisern
Problem: Komplizierte Beweisführung und Syntax vs. Prüfung
Notwendigkeit Kompromiss
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Vergleich der Verfahren
SichtweisenAnwendersicht
Systementwicklersicht
KriterienBedienung (Anwendersicht)
Bewertung (Anwendersicht)
Aufwand (Systementwicklersicht)
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Vergleichsübersicht
Mehr Sterne = Besser
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Gliederung
1. Einleitung
2. Verfahren für mathematische FragestellungenComputeralgebrasysteme
Freiform-Textabgleich
Formalüberprüfung
Theorembeweiser
3. Systeme und VergleichsmöglichkeitenAufbau und Gestaltungsmöglichkeiten
Vergleich von zwei Systemen
4. Fazit und Ausblick
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Systemgestaltungsmöglichkeiten
Ziel: Vergleichsrahmen mathemat. E-Assessentsysteme
Vorgehen
Imaginäres „optimales“ System
Betrachtung von Komponenten
Untersuchung wünschenswerter Eigenschaften
Vernachlässigung von Integrationsaspekten
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Systemübersicht
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Benutzeroberfläche
FormeleditorGrafisch
Linear
FormblattFix
Variabel
Regelangabe
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Beweisüberprüfung und Berichtigung von Beweisen
BeweistypenDirekt
Indirekt
Induktion
Fallunterscheidung
Limes
Nebenbedingungen
Ergänzung fehlender Schritte
Regeleinsetzung
Hilfestellungen
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Bewertung
DifferenzierungRechenfehler/Tippfehler
Umformungsfehler
Falscher Ansatz
Offenlegung
Delegation kritischer Fälle
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Regelbasis & Fragenkatalog
Vollständigkeit & Erweiterbarkeit
StandardisierungDaten
Metadaten
Aufgabenbasis und Möglichkeiten zum Erwerb
Lösungshinweise
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AiM (Assessment in Mathematics)
Entwickelt zur Begleitung des Unterrichts
Integration von MapleVerbotene Ausdrücke
Liste von bekannten Fehlerquellen
Nicht für Beweise konzipiert
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AiM – Beispiel I
•Eingabe von Aufgaben:
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AiM – Beispiel II
•Eingabe von Lösungen:
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EASy
Beweisüberprüfung durch Eigenentwicklung
Konzipiert für Anwendungsfälle in Informatik IIFallunterscheidungen
Induktion
(Aufwands-)Abschätzungen
Umformung von TheoremenStrategische Operationen
Regeln
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EASy – Beispiel I
•Übersichtsfenster:
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EASy – Beispiel II
•Subtheorem-bearbeitung und -markierung:
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Vergleichsübersicht I
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Vergleichsübersicht II
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Vergleichsübersicht III
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Fazit und Ausblick
Kein überragendes Verfahren
Nur Theorembeweiser bieten notw. Validität für Prüfung
Entwicklung: Integrierte Verfahren mit Theorembew.
AiM nicht für Beweise konzipiert
EASy noch in der EntwicklungBewertung z.B. über automatischen Theorembeweiser
Automatische Regelauswahl
Einsetzung fehlender Regeln
Hilfestellungen und Erkennung falscher Ansätze