Embed Size (px)
Citation preview
ZADACI NA USMENOM DIJELU MATURE šk.god.2007./2008.
1. Ako je v gt v 0 i sg
t v t 2
2
0 , koliko je t? 2s
v
Izračunaj:
2. Izračunaj:
2 4 1
8
0.04 125 0.2
4 25
5
4
3. 71
2
1
22
1
2
1
2
3 2a a a a
p q r q p r p q p
51
2
2a
p q
4. a b
a b
a b
a b
a b
a b
n n n
3 7 1 4 4 3
: 1
5. x y z x y zn
n
1
33
: x y z 3
6.
8 22
3
1
42
33
37
1
2
1
3
1
: 1
7. 0875 0 4 04285712 3 2
. . .
81
Rastavi na faktore, koristeći poznate formule za algebarske izraze:
8. 100 2 81 22 2
x a x a x a x a 38 19 2
9. ab c abd cd bc2 22 2 ab c bc d 2
10. 4 2 2 62a b a b a 2
2 22 5 3a b a b
11. 5 3 2 1a a a 21 3 1a a a
12. 2x x 72 12 8 x x
13. Dokaži: Kvadrat neparnog prirodnog broja pri dijeljenju sa 8 daje ostatak 1.
14. U šesteroznamenkastom prirodnom broju su prve tri znamenke meĎusobno jednake i preostale tri takoĎer su meĎusobno jednake. Dokaži da je taj broj djeljiv sa 111.
15. Dokaži da je svaki broj n broj n n3 djeljiv sa 6.
16. Dokaži da je zbroj kubova triju uzastopnih cijelih brojeva djeljiv sa 9.
17. Izračunaj stranice trokuta ako je zadano a b c P cm: : : : , 91017 576 2. 36 40 68cm cm cm, ,
18. Stranice trokuta se odnose u omjeru a:b:c=5:12:13, a polumjer trokutu upisane kružnice je r=3cm. Odredi površinu trokuta! (P=67.5cm
2)
19. Izračunaj površinu paralelograma čije duljine stranica iznose 12cm i 58cm, a duljina dijagonala
50cm. 2480cm
20. Koliko iznosi izraz:
xy x y
x y
1
1 1
2 2
2 2 (1)
21. Skrati razlomak:
5 3
3 2
8 16
2 4 8 16
a a a
a a a
2
2
a a
22. Skrati razlomak:
2
2
3 6
2
a
a a
9 2a
a
Izračunaj:
23. 2
2
4 1 4 1 42 :
2 1 21 4
a aa
a a aa
22a
24.
2
2
1
1
a
aa
aa
(1)
25.
xx
xx
2 1
11
x 1
26.
ab a b a b
b a
3 31
2 2
2 21
ab1
27. 8 4
4
8 4
4 4
2
4
2
2 2
2 3
2
x x
x
x
x x
x x
x
x 2
28. Podijeli polinome 3 23 3 1f x x x x sa polinomom 2 2 1g x x x .
3 2 23 3 1 : 2 1 3 3 2 4 x x x x x x i x r x
29. U nekom kavezu su zečevi i patke. Ako znamo da u kavezu ima 35 glava i 94 noge, koliki je broj zečeva u kavezu? (12)
30. Na nekom natjecanju svaki od sudionika dobio je po 40 pitanja. Za svaki dobar odgovor natjecatelj dobiva 5 bodova, a za svako neodgovoreno ili loše odgovoreno pitanje gubi 3 boda. Na koliko pitanja je dobro odgovorio natjecatelj koji je dobio 136 bodova? (32 pitanja)
31. 2 2 2
3 1 4 3 5 4x x x
3
11
32. 2 2
22 2
x x
x x
x
33. 1
9
1
7
1
5
1
32 4 6 8 1x
1
34. Koliko Tanja ima kuna, ako bi uz još toliko i još polovinu svote i još četvrtinu svote i još 1 kunu imala točno 100 kuna? (Tanja ima 36 kuna.)
35. Tomislav ima 350 kuna i to u novčanicama od po 5 i 10 kuna. Koliko ima kojih novčanica, ako ukupno ima 50 novčanica? (Tomislav ima 30 novčanica po 5 kn i 20 novčanica po 10 kn.)
36. Riješi jednadžbu: 1 1
1 2 1 12 2
m x x uz diskusiju.
1
2 ; 22
mm x m x
m
37. Riješi jednadžbu: 5 4 7
8 10 12 15 6x x
. (x=-1)
Riješi nejednadžbe u skupu N:
38. 2 6 7x x x 1 2 3 4, , ,
39. 3 1
2 31
x
x
x 1
40. 5 24
64
x
x
x 1 2 3 4 5, , , ,
Riješi nejednadžbe u skupu R:
41. 1
0
x
x. 0 1 x
42.
x
x x
2 2
3 20
2 3,
43. 2
1x 4
,4 6,x
44. x x 4 3 05 6
x , 4
45. x x 1 x
Zapiši funkciju bez upotrebe znaka apsolutne vrijednosti i korijena
46. f x x x 1 2 f x
x
x x
x
3 1
2 1 1 2
3 2
,
,
,
47. f x x 1 f x
x x
x x
x x
x x
1 1
1 1 0
1 0 1
1 1
,
,
,
,
48. f x xx
x
6
2 3
2
22
f x
x x
x x
1
22 3 0
1
22 3 0
2
2
,
,
49. Odredi zbroj rješenja jednadžbe: 2 1 4x x (4)
50. Koliko rješenja u skupu realnih brojeva ima jednadžba: x x 1 10 (2)
Riješi nejednadžbe:
51. 2 1x x ,1
52. 3
21 1x
1 3
, ,2 2
x
53. 7 1 7 1x x x
1
7
54. x 1 3 x 4 4,
55. 4 6 5 92x x x
2
1
2,
56. Za koliko postotaka treba uvećati polumjer kružnice da se njezin opseg uveća za 20%? (za 20%)
57. Odredi polumjer onog kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera. ( r 2
)
58. Izračunaj površinu kružnog vijenca ako je zbroj njegovih polumjera 15cm, a širina vijenca 4cm.
( 60 2cm )
59. Polumjer pravokutnog trokuta iznosi 100cm2, a polumjer upisane kružnice 4cm. Koliki je opseg
trokuta? (50cm)
60. Razlika opsega dvaju kvadrata je 8, a razlika njihovih površina 16. Odredi zbroj njihovih površina.
61. U jednakokračnom trokutu osnovica iznosi 15cm, a visina na nju 10cm. Kolika je duljina visine spuštene na krak? (12cm)
62. Duljine stranica trokuta su a b c 5 12 13, , . Izračunaj površinu trokuta. (30)
63. Katete pravokutnog trokuta imaju duljine a b 3 4, . Koliki je polumjer najvećeg kruga koji se
može izrezati iz tog trokuta? (1)
64. Zadane su točke A B C( , ), ( , ), ( , ) 1 2 3 2 3 2 . Odredi koordinate točke D tako da ABCD bude
kvadrat. (D(-1,-2))
65. Jesu li točke A B C( , ), ( , ), ( ,1 1 3 3 4 5) na jednom pravcu? (Da)
Riješi sustave jednadžbi:
66. x y x y x y x y
2 3
83 4
11, (18,6)
67. 3 2 1 65
2x y x y ,
2
5
1
10
2
5
1
10
2
5
1
10
2
5
1
10, , , , , , ,
68.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 2 6
2 2 3 8
3 2 2 4
2 3 2 8
(1,2,-1,-2)
69. Kolika je udaljenost ishodišta koordinatnog sustava od sjecišta pravaca
2 3 5 0 3 9 0x y x y , ? 13
70. U ravnini su zadane točke A(1,2), B(-2,?). Udaljenost točaka A i B je 5, a točka B je u drugom kvadrantu, koliko iznosi nepoznata koordinata točke B? (B(-2,6))
71. Izračunaj površinu trokuta kojeg funkcija 2x3)x(f zatvara sa apscisom.(P=4)
72. U koordinatnom sustavu točke A B0 3 4, , ,0 su vrhovi kvadrata koji se nalazi u prvom kvadrantu.
Odredi preostala dva vrha. C D7 4 3 7, , ,
73. Odredi a, ako je površina trokuta, kojeg zatvara pravac 3 12x ay sa koordinatnim
osima, 6. (4)
74. Kolika je vrijednost broja k za koju pravac kx k y 1 3 0 ima triput veći odsječak na osi
ordinata nego na osi apscisa? 3
2
75. Odredi ostatak pri dijeljenju polinoma P x x x x 4 23 2 7 sa polinomom x 3 . 25
76. Odredi polinom trećeg stupnja takav da je f f f f 2 11 0 1 1 1 3 19, , , .
f x x x 3 2 1
77. Odredi realan broj a tako da polinom f x x x ax x x a 3 5 185 4 3 2 bude djeljiv
polinomom g x x x x 4 23 2 . a 10
78. Odredi sve n za koje je n n n
n n
3 2
2
1
1
. n 0 1,
79. Napiši f u obliku racionalne funkcije i odredi domenu
f x
x
x
x
x( )
5 5
1
3 3
10 102 2
f xx
D f
3
2 11 11 1
2, , , ,
80. Prikaži izraz a a5 373 pomoću potencije sa racionalnim eksponentom. a
38
21
81. Izračunaj vrijednost broja 0 008
0 01
3 .
. (2)
82. Kolika je vrijednost izraza
1
2 33
? 26 15 3
83. Izračunaj vrijednost izraza: 3 2 2 21
1
3
1
2
1
2
2
3
44
1
3
84. Koliki je zbroj korijena jednadžbe: 3 7 1 2x x ? (2)
Izračunaj:
85. : 25 10 4 5 23 3 3 3 3 3
86. 41
2
4 2 2
1
43
2
4
3
0 25
4
3
.
7
16
87.
1
3 4
1 12 : 8
4
1
2
Racionaliziraj nazivnik:
88. 5 3 2 7
5 3 2 7
1
47103 20 21
89. 1
1
p
p p1p1
90. 1
1 23 1
31 2 43 3
91. 1
2 34 2 3 2 34
92. Opsezi dvaju sličnih trokuta su 12 i 16. Ako je površina prvog trokuta 9, kolika je površina drugog? (16)
93. Površina pravilnog šesterokuta je 1
2. Koliki je opseg? 2 34
94. Koliki je omjer polumjera upisane i opisane kružnice pravokutnom trokutu s katetama a b 3 4, ? (2:5)
95. Tetiva kružnice ima duljinu 30cm, a njezina udaljenost od središta kružnice je za 9cm manja od polumjera. Koliki je polumjer kružnice? (17cm)
96. U šiljasti kut upisana je kružnica. Dirališta dijele kružnicu na lukove koji se odnose kao 2 : 7. Koliki je taj kut? (100
o)
97. Razlika središnjeg i njemu pripadnog obodnog kuta je 22o15'. Koliki su to kutovi?
(22o15',44
o30')
98. U tetivnom četverokutu dijagonala AC je okomita na dijagonalu BD i raspolavlja je. Izračunaj ostale kuteve četverokuta ako je kut BAD 72
o. (90
o,90
o)
99. Izračunaj površinu pravilnog osmerokuta upisanog u kružnicu polumjera r. 22 2r
100. Razlika površina pravilnog osmerokuta i šesterokuta upisanih u istu kružnicu iznosi 2.5cm2.
Izračunaj polumjer kružnice. ( r 4 2 3 3 )
Izračunaj:
101. i i i i 3 5 111... (0)
102. i i i i 2 3 303... (1)
103. ii
i
101202
303
404
(0)
104. Kako izgleda kompleksan broj zi
i
2
1?
1
2
3
2
i
105. Odredi apsolutnu vrijednost broja zi
ii
1
13 5 . (5)
106. Izračunaj vrijednost izraza i i
i i
1982
1982 (i)
107. Riješi jednadžbu: z z z i 2 2 4 z i z z1 2 12 ,
Prikaži u kompleksnoj ravnini skup točaka odreĎen uvjetom:
108. z i
z i
31 y 2 0
109. z z i 1
110. z i 1 2
111. Ako je zi
i
1 2
1, koliki je zbroj z z ? 1 2
112. Za kakav realni broj x će realni dio kompleksnog broja 2
21990
1991x i
x ix i
biti
jednak 1? 1
2
113. Ako je zi
i
1 2
1, onda je zbroj Re Imz z jednak? 2
114. Izračunaj: i 313
2 312 i
115. Riješi jednadžbu: z i3 0 z
k
i
k
kk
cos , , ,2
22
3
22
30 1
116. Ako je z i cos sin ,2
5
3
5
koliko je z15
i z4 ?
z i zk
ik
k15 4 7
20 2
7
20 20 1 2 3
cos sin , cos sin , , , ,
117. Neka je u v uv 5 1, . Koliko je u v2 2 ? (23)
118. Geometrijska sredina dvaju pozitivnih brojeva je 2, dok je zbroj njihovih kvadrata 8. Kolika je aritmetička sredina tih brojeva? (2) Riješi jednadžbe:
119. 2 1 4 02x x
3
2
1 41
4,
120. 3 22 3 3 2 0x x x x x x1 2 31 21
2
, ,
121. 3 10 8 04 2x x x i x i1 2 3 422 3
3, ,,
122. 3 3 2 7x x x 6
123. Korijeni x x1 2, polinoma f x x px 2 12 su pozitivni i zadovoljavaju uvjet
x x1 2 1 . Odredi koeficijent p. (-7)
124. Napiši kvadratnu jednadžbu s realnim koeficijentima, ako je broj 12
2
i jedno njezino
rješenje. 2 2 3 02x x
125. Dana je kvadratna jednadžba p x p p R p 1 2 1 02
, , .
a) Za koje p jednadžba ima realne korijene? p p
0
1
2,
b) Odredi p tako da zbroj kubova rješenja jednadžbe bude jednak 5. p
2
3
c) Za koje je p razlika rješenja jednaka 3? p 4
d) Odredi p za koje je zbroj rješenja jednadžbe jednak trostrukom umnošku rješenja. p
3
5
e) Za koje su p rješenja jednadžbe recipročna i suprotnog predznaka? p
126. Na kojem intervalu je funkcija y x x 2 4 32 rastuća? x1
Riješi nejednadžbe:
127. x x2 4 5 0 1 5x
128. 4
20
2
2
x x
x x
x , , ,1 0 2 4
129. x x
x
2
2
6
31
x
, ,9 1
3
2
Riješi sustave nejednadžbi:
130. 4 0
4 9 0
2
2
x x
x
x
0
3
2,
131. x x
x x
2
2
3 2 0
2 7 3 0
x 1 2.
132. Odredi sve realne brojeve m iz uvjeta da polinom f x mx x m( ) 2 3 prima
negativne vrijednosti za svaki x R ? m
,
3
2
133. Polinom drugog stupnja f x ax bx c( ) 2 ekstremnu vrijednost za xo 2 . Ako
je broj 1 jedna nultočka toga polinoma, odredi drugu njegovu nultočku. x2 5
134. Parabola prolazi ishodištem koordinatnog sustava, a njezino je tjeme točka T(-1,-2).
Odredi jednadžbu parabole. f x x x( ) 2 42
135. Funkcija f x ax bx c 2 ima za x=1 najveću vrijednost 3, a za x=-1 ima
vrijednost 0. Izračunaj f 5 . (-9)
136. Kojem intervalu pripada parametar r ako polinom P x x rx 2 2 1 poprima pozitivne
vrijednosti za sve realne vrijednosti x? 11,
137. Za funkciju f x x bx c( ) 2 2 vrijedi f f 2 3 0.Koliko je f 1 ? (-12)
138. Ako je površina romba jednaka 1, a stranica 2 , koliki je šiljasti kut romba? (300)
139. Kolika je duljina hipotenuze trokuta ako je 11 173o a b cm, . ? c cm1229.
140. Izračunaj duljinu svoje sjene ako Sunčeve zrake padaju na zemlju pod kutem od
63 266o ' " . sv
2
141. Kolika je površina pravilnog deveterokuta upisanog kružnici polumjera 5cm?
P cm 7231 2.
142. Odredi duljinu visine na krak jednakokračnog trokuta ako je a cm o 20 36 40, ' .
v cm1 1898 .
143. Koliki je obodni kut nad tetivom duljine 3
4r u kružnici kojoj je polumjer r?
22 158o oili
144. Duljine kateta pravokutnog trokuta su a b 5 12, . U polovištu hipotenuze povučena je
okomica na hipotenuzu. Kolika je duljina dijela koji se nalazi unutar trokuta? 64
25
Dokaži slijedeće trigonometrijske identitete:
145. 1 122 2
2 ctg ctg
sin
146. sin cos
sin cossin cos
3 3
1
147. sin sin sin sin
cos cos cos cos
10 30 50 70
20 40 60 801
o o o o
o o o o
148. tg tg tgo o o1 2 89 1 ...
Odredi inverznu funkciju funkcije f:
149. f xx
x( )
3 1
2 f x
x
x
1 2 1
3
150. f x x x 2 1( ) 1 1, 1f x x x
151. f x e x( ) 2 1 f x ex
1 1
2ln
152. 3
( ) 1 lnf xx
f xe x
1
1
3( )
Izračunaj:
153. log .
.
0 001
0 014 (-30000)
154. log3
1
9 (-2)
155. log 1
5
0x (x=1)
156. 1
4
2 1258
log
(625)
157. 010 04 2 5
.log . log
(25)
158. 490 5 57. log 7
25
159. 2 3 3 23 1
2
3log log (0)
160. loglog
3
3
12
4 9 31
3
2
3
161. 2 2 7
1 28
log log
log .
(1)
162. log log23
1
3
91
8 (2)
163.
log log
log
3 1
3
9
1
82 6
3 16 3
2
3
164. log log log log.0 2 3 5 33 9 3 (-1)
Riješi jednadžbe:
165. 2 2
2 2
1
3
x x
x x
x
1
2
166. logx 512 3 (x=8)
167. 4 8
1
22
1
22
x x
(x=4)
168. 001 10 01 1000 5 1 2. ..
x x (x=1)
169. 7 3 5 3 51 2 4 3 x x x x (x=-1)
170. 5 25 0 2
1
2 2
xx
. x x1 20 8 ,
171. log log log3 2 21
22 50x x (x=2)
172. log log logx x2 26 8 2 1 28, 2x x
173. log log5 32 3 0 x x
8
3
174. 3log 3 6 1x x (x=1)
175. 2 3 23 2 3 2log log log logx x (x=2)
176. x x1
2
30 001
log . x x1 2001 10 . ,
Riješi nejednadžbe:
177. 3 3 84
13
1
x x
0 1 x
178. logx
x
21 0
2
9
x
179. 1
22
2
x x
1 2, 1x x
180. 3
3 1
1
3 10
x
x x
x x 1 0,
181. log 1
23
1x
x x 3 6,
182. log logx x2 2 3 0001 10. x
183. Baza uspravnog paralelepipeda je romb čija je površina 1 m2, a površine dijagonalnih
presjeka 3 m2 i 6 m
2. Koliki je volumen paralelepipeda? (3 m
3)
184. NaĎite obujam oktaedra s bridom a! Va
3 2
3
185. Plašt valjka je 100 . Ako je valjak istostran (v=2r) naĎite promjer osnovke! (10)
186. Pravokutni trokut (a=15, b=20) rotira oko osi kroz vrh B okomite na hipotenuzu.
NaĎite oplošje rotacijskog tijela! (1440 )
187. Osnovka trostrane piramide je trokut sa stranicama 15,16,17. Pobočni bridovi s zatvaraju ravninom osnovke kutove od 45
o. NaĎite obujam piramide! (340)
188. Ako se polumjer baze i visina stošca smanje dva puta, koliko puta se smanji volumen stošca? (8 puta)
189. Presjek uspravnog stošca s ravninom koja ga raspolavlja, a okomita je na osnovku
stošca, jednakostranični je trokut površine 3. NaĎite obujam stošca! V
3
3
190. Kugla polumjera 41 presječena je ravninom na udaljenosti 9 od središta. NaĎite
površinu presjeka! (1600 )
191. Pravilni šesterokut stranice a=2 rotira oko jedne svoje dijagonale, koja prolazi središtem
šesterokuta. Koliki je obujam rotacionog tijela? 8
192. Koliki je kut izmeĎu i 2 kojemu je tangens jednak 3 ? 5
3
193. Izračunaj: 1
4 2
sin
cos
tg (1)
194. Ako je 1
,2
tgt koliko je 3sin cos
sin cos?
t t
t t
1
3
195. Ako je 603
2
0 , tg , koliki je tg ? 3
5
196. Izračunaj: sin cos
32
3
17
3
11
3
23
4
tg ctg (1)
197. Usporedi sin1 i sin2 ! sin sin2 1
198. Koliko rješenja ima jednadžba: 4 1 22 21 2cos sinx x
na intervalu ,5 ? (8)
199. Riješi jednadžbu: sin
sincos
x
xx 2 x k k Z
3,
200. Izračunaj: log sin log cos3 1
3
2
3 3
1
2
201. Prikaži grafički funkciju: f x x 2 1 32cos f x x 2 3sin
202. Odredi temeljni period funkcije f x x x cos cos2 3 . 2
Izračunaj:
203.
tg tg
tg tg
16
15
4
15
114
15
34
15
tg
33
204. 1
10
3
100 0sin cos (4)
205. tg ctg15 150 0 (4)
206. sin sin
cos
37 53
1 2 41
0 0
2 0
2
207. cos cos cos2 0 2 02
2 010 80 70 (1)
Riješi jednadžbe:
208. sin sin2 22 1x x x k x k k Z1 22 6
, ,
209. cos cos sinx x x 2 x k x k k Z1 225
42
, ,
210. sin sin sinx x x
3 3 x k x k k Z1 2
7
62
11
6
, ,
211. cos cos cos cosx x x x 5 2 6 x k x k k Z1 27
, ,
212. tgx ctgx 3 4 x k x k k Z1
0 0
2
0 045 180 71 34 180 , ' ,
Riješi nejednadžbe:
213. 1 3
31
ctgx
ctgx
7
12
5
61
k x k
214. sin cos
sin cos
x x
x x
1 x k k k Z
, ,
2
215. 2 7 3 02sin sinx x x k k k Z
7
62
62
, ,
216. sin cos cos sin3 32
2x x x x x k k k Z
8
5
8, ,
217. Odredi rješenje nejednadžbe sin cosx x u intervalu 0 2, .
4
5
4
x
218. Koliki je najveći kut u trokutu, kojemu stranice imaju duljine 5cm, 4cm i 2cm. 108 130 '
219. Stranice trokuta su a b c 2 3 3 2 3 3, , . Koliki je kut ? (450)
220. Duljine stranica trokuta su tri uzastopna cijela broja, a najveći je kut trokuta dvostruko veći od najmanjega. Kolike su duljine stranica i koliki su kutovi trokuta?
0 0 04, 5, 6, 41 24'33", 55 46'21", 82 49'6"a b c α β γ
221. Ako za šiljaste kutove i pravokutnog trokuta vrijedi 2 , onda za njegove
katete vrijedi a b2 23 . Dokaži!
222. Kolika je duljina simetrale pravog kuta pravokutnog trokuta, ako je duljina
hipotenuze c=12.5cm, te 560 ? (5.9cm)
223. Jedan kut paralelograma iznosi 48015', a duljine stranica jednake su 15.2cm i 9.8cm.
Kolika je duljina veće dijagonale paralelograma? (22.9cm)
224. Vektor c i j 5 prikaži kao linearnu kombinaciju vektora
a i j i
b i j 2 .
c a b 3 2
225. Kolike su duljine dijagonala paralelograma ABCD, ako je
05 2 , 3 , 2 2, 3, , 45 ?AB a b AD a b a b a b 1.5, 593AC BD
226. U trokutu ABC poznati su vrhovi A B3 7 4 1, , , i težište T 3 5, . Odredi koordinate trećeg
vrha C. C 2 7,
227. Dane su točke A(4,-3) i B(1,6). Odredi na osi apscisa točku T tako da kut ATB bude pravi.
C C1 22 0 7 0 , , ,
228. Nacrtaj paralelogram ABCD. Neka je , .AC e BD f Izrazi vektore , , ,AB BC CD AD
kao linearnu kombinaciju vektora e i
f .
1 1, , ,
2 2AB e f BC e f CD AB AD BC
229. Dokaži da je dužina što spaja polovišta dijagonala trapeza paralelna osnovici trapeza.
230. Koliki je kut meĎu pravcima x y x y 3 1 0 3 3 2 0, ? (600)
231. Točka T(-1,2) raspolavlja odsječak izmeĎu koordinatnih osi. Kako glasi jednadžba
tog pravca? y x 2 4
232. Točke 2 3 4 3 52
, , , , ,
k leže na istom pravcu. Odredi k. (k=12)
233. Kolika je udaljenost izmeĎu pravaca y x 2 3 i y x 2 5? 2
5
234. Točka T(-4,5) je vrh kvadrata kojem je dijagonala na pravcu 7 8 0x y . Odredi
ostale vrhove kvadrata. (B(-1,1),C(3,4),D(0,8))
235. Pravac prolazi točkom P(8,6) i s koordinatnim osima tvori trokut površine 12. Kako
glasi jednadžba pravca? 3 2 12 0 3 8 24 0x y x y ,
236. Kolike su najmanja inajveća vrijednost funkcije f x y x y, 2 10 na skupu
rješenja sustava nejednadžbi
x y x y x y x y 4 0 3 0 3 2 6 0 2 0 4 0, , , , ? f fmax min,18 6
237. Kako glasi jednadžba kružnice koja prolazi točkama O A B0 0 2 0 0 4, , , , , ?
x y 1 2 52
2
238. Točkom T(7,-2) kružnice x y x y2 2 8 2 1 0 položena je tangenta na
kružnicu. Kako glasi jednadžba te tangente? x y 9 0
239. U kojoj točki pravac 5 3 9x y dodiruje hiperbolu 16 9 1442 2x y ? 516
3,
240. Koja je točka kružnice x y x y2 2 6 2 0 najbliža pravcu 3 12 0x y ?
(T(0,2))
241. Fokusi elipse i jedno njezino tjeme vrhovi su jednakostraniènog trokuta površine
8 3 . Odredi jednadžbu elipse. x y2 2
32 241
242. Udaljenost točke T x( , )5 parabole y px p2 2 0 , , od njezine ravnalice iznosi 5.
Napiši jedndžbu parabole. y x2 20
243. U točki T na paraboli y x2 4 povučena je tangenta tako da površina trokuta odreĎenog
tom tangentom i koordinatnim osima iznosi 4. Odredi apscisu točke T. (4)
244. Kako glasi jednadžba kružnice koja leži u prvom kvadrantu, dodiruje izvana kružnicu
x y2 22
2 1 i dodiruje obje koordinatne osi? x y x y2 2 2 0
245. Kako glasi jednadžba hiperbole, kojoj je udaljenost žarišta smještenih na x osi jednaka
10 2 , a asimptote y x 3
4? 9 16 2282 2x y
246. Koliki je a ako pravac 2 3 0x y a prolazi žarištem parabole y x2 4 ? (2)
247. Tjemena elipse u žarištima su hiperbole, a tjemena hiperbole u žarištima su elipse.
Ako je 9 16 1442 2x y jednadžba elipse, kako glasi jednadžba hiperbole?
x y2 2
7 91
248. Kolika je površina trokuta kojemu su vrhovi žarišta elipse 9 25 2252 2x y i
središte kružnice x y x y2 2 2 4 4 0 ? P 8
249. Pravac y x 2 je asimptota hiperbole b x a y a b2 2 2 2 2 2 . Ako je udaljenost
njezinih žarišta 10, naĎi jednadžbu hiperbole. x y2 2
5 201
250. Zbroj duljina velike i male osi elipse jednak je 18. Ako je udaljenost njezinih fokusa
6, kako glasi jednadžba elipse? x y2 2
25 161
251. Odredi realan parametar k ako je y kx pravac koji siječe kružnicu x y 5 92 2 .
3
4
3
4k
Dokaži matematičkom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi:
252.
3
4
5
36
2 1
11
1
12 2 2
...
n
n n n
253. 643 8 92 2n n
Riješi jednadžbu:
254.
k
k
k
k
!
!
!
!
4
2
2 (k=4)
255. x x x
3 5
1
3
(x=7)
256. 32
15
2 1n
n
n
n
(n=5)
257. Koji član u raspisu izraza 1 3
15
xx
ne sadrži x? (deseti član)
258. U raspisu izraza x xx
n
14
binomni koeficijent trećeg člana za 44 je veći od
binomnog koeficijenta drugog. Odredi slobodni član. 11
3
259. Odredi pedeset petu znamenku u decimalnom zapisu broja 5
22. (7)
260. Koliko različitih riječi (smislenih i besmislenih) dobijemo permutiranjem riječi
ABRAKADABRA? P5 2 2 1111
5 2 2, , ( )
!
! ! !
261. Imamo 5 bijelih i četiri crne kuglice te ih slažemo u niz, jednu do druge. Na koliko ih načina možemo složiti tako da crne kuglice ne budu jedna do druge pri čemu
a) kuglice iste boje ne razlikujemo 6
4
b) kuglice iste boje razlikujemo 6
45 4
! !
262. Lokot sa šifrom sastoji se iz 6 kolutova s po 10 znamenki. Koliko se različitih šifri
može postaviti na ovom lokotu? 106
263. Na ispitima u nekoj školi ispit iz matematike nije položilo 25% učenika, ispit iz fizike 15%, a 10% nije uspjelo ni na ispitu iz matematike, ni na ispitu iz fizike.
a) Kolika je vjerojatnost da je netko pao i matematiku, ako je pao na ispitu iz fizike?
2
3
b) Kolika je vjerojatnost da netko nije položio ispit iz fizike ako je pao na ispitu iz
matematike? 2
5
c) Kolika je vjerojatnost da je netko pao na ispitu iz matematike ili na ispitu iz
fizike? 3
10
264. Od tri bačena novčića jedan pokazuje pismo, a jedan grb. Kolika je vjerojatnost da
treći pokazuje pismo? 1
2
265. Kolika je vjerojatnost da sa tri kocke u 100 bacanja postignemo zbroj 15 točno dva puta? ( 0.102)
266. U geometrijskom nizu je a a a a2 4 2 4
5
12
1
36 , . Koji je to niz?
2
3
1
3
1
6
1
121
2
3
1
3
1
6
1
122
1
24
1
12
1
63
1
24
1
12
1
64, , , ,... , , , , , ... , , , , ... , , , , ...
267. U aritmetičkom nizu je S S4 1214 18 , . Koliko je S8 ? (20)
268. Četiri broja su uzastopni članovi aritmetičkog niza. Ako im redom oduzmemo 2, 5, 7 i 7 dobit ćemo četiri uzastopna člana geometrijskog niza. Koji su to brojevi? (3,7,11,15)
269. Koliki je zbroj svih negativnih članova aritmetičkog niza -13.5, -11.4, -9.3,...? (-50.4)
270. Da li je niz s općim članom an
n
n
2
1 2 monoton? (monotono rastući)
271. Ako je zbroj prvih šest članova aritmetičkog niza 36, a razlika desetog i dvostrukog prvog člana 17, koliki je onda deseti član? (19)
272. Umnožak prvih triju članova rastućeg geometrijskog niza iznosi 1728, a njihov zbroj 63. Odredi treći član! (48)
273. U geometrijskom nizu je zbroj prvih 6 članova jednak trostrukom zbroju prvih triju članova.
Koliki je kvocijent niza? 23
274. Zbroj beskonačnog geometrijskog reda iznosi 15, a zbroj kvadrata njegovih članova 45. Koji je prvi član reda? (5)
Odredi:
275.
3
4
1
1
n
n
4
7
276. limn
n n n
2 2 (1)
277. limn
n
n
n
2
2
2
1
2
(e)
278. limsin
x
x
tg x0 2
1
2
279. limx x x
22
1
2
4
4
1
4
280. limx
x
x 0 1 1 (2)
281. 3 4 3 4 ... 363
Riješi jednadžbe:
282. 2 2 2 65 325 16251 4 2x x x . . . ... 11
12
283. 12
32 2
2
2
3 log sin log sin log sin ...x x x x k x k k Z1 2
42
3
42
, ,
Odredi prirodno područje definicije funkcije:
284. f xx
x
1 , ,0 1
285. f x x x log log 4 0 4,
286. f xx x
1 ,0
287. Ako je
f xx x
1
2, koliko je f x 2 ?
x f x
x
2
288. Ako je f x x g xx
x
2 11
, , odredi koliko je f g x 1 . 2 1
2
x
x
289. Neka je f xx
( ) cos
3 i g x x 2 1 . Koliko je g f 1990 ? (1)
290. Ako je 1 3, područje definicije funkcije f x x ax 2 3, kolika je vrijednost
parametra a? (2) Odredi parnost funkcije:
291. f x x x x x 1 12 2 (neparna)
292. f xx
x
1
1 (ni parna, ni neparna)
293. f x xx
x
x
x
log log3 2
2
2
1
1 (parna)
Odredi inverznu funkciju zadane funkcije:
294. f x x 3 2 11. f x
x
1
2
6
1log
295. f x x log2 3 1 f x x 1 12 3
296. Riješi nejednadžbu: f g x g f x , gdje je f xx
g x x log ,.0 5
1
42 .
x 0,1 2,
Deriviraj slijedeće funkcije:
297. f x x x 2 1 3 4 , 9 8 32x x
298. f xx
x
3 1
1,
1
21
x
299. f xtgx ctgx
tgx ctgx
, 2 2sin x
300. f x x 1 23,
2
3 2 12
3 x
301. f x x sin cos , cos cos sinx x
302. f xx
x
ln,
12
ln x
x
303. f x ex x sin2
, 2 12 2
x e ex x x x cos
304. Pod kojim kutom krivulja y e x siječe os ordinatu? 450
305. U točki T 51, krivulje y x 4 položena je tangenta na krivulju i ona s koordinatnim
osima zatvara trokut. Odredi površinu tog trokuta. 2 25.
.
306. Odredi intervale monotonosti funkcije f x x x ln ln4 22 .
(Za xe
e 1
1, , funkcija raste, a za x e 1, funkcija pada.)
307. Odredi ekstreme funkcije f xx
x x
4
3 32. M m5
1
73
1
3, , ,
308. Za koje vrijednosti parametra k funkcija f x x x kx 3 26 1 ima maksimum ili
minimum? k12
Prikaži grafički funkciju:
309. f x x x 1 12 2
310. f xx x
x x
2
2
4 3
2
Izračunaj:
311. 1
23 xdx , 33 x c
312. e dxx 12
, 1
222e e x cx x
313. x dx 23
4 , 4
72
74 x c
314. ln
,x
xdx
2 ln x
xc
1
315. cos
sin,
x
xdx
1 2 1
21 2ln sin
x c
316. x xdxcos ,3 1
33
1
93x x x csin cos
Izračunaj:
317. 1 8
2 1
3
1
2
x
xdx,
40
3
318. cos ,2
0
2
2
xdx
1
2 21
319. 3
1
2
3
2
3x
xdx
, ln26
7
320. Izračunaj površinu lika omeĎenih krivuljama 2
1, 0, 1
1
y x x
x.
Puno sreće i uspjeha u svladavanju ovih prepreka, želi vam vaša
profesorica!
