Maturski rad - Poliedri.docx

Гимназија ''Свети Сава'' Пожега

Матурски рад из математикеПОЛИЕДРИ

Ментор: Ученик:

Вера Лучић Јелена Јанковић

Пожега, мај 2012.

:Садржај

Увод............................................................................................................................................3

1. УВОДНИ ПОЈМОВИ...........................................................................................................4

1.1. Диедар.............................................................................................................................41.2. Рогаљ...............................................................................................................................41.3.Полиедарске површи и полиедри..................................................................................5

2.ПРИЗМА И ЊЕНИ РАВНИ ПРЕСЕЦИ...............................................................................7

2.1. Пресеци призме..............................................................................................................8

3.ПИРАМИДА И ЊЕНИ РАВНИ ПРЕСЕЦИ......................................................................10

3.1.Пресеци пирамиде.........................................................................................................11

4. ПРАВИЛНИ ПОЛИЕДРИ..................................................................................................14

5.ПОВРШИНЕ НЕКИХ ПОЛИЕДАРА................................................................................17

5.1.Површина призме.........................................................................................................175.2.Површина пирамиде.....................................................................................................195.3.Површина зарубљене пирамиде..................................................................................22

6.ЗАПРЕМИНА ПОЛИЕДАРА.............................................................................................24

6.1. Кавалијеријев принцип................................................................................................246.2. Запремина правог паралелопипеда (квадра).............................................................246.3. Запремина призме........................................................................................................246.4. Запремина пирамиде....................................................................................................266.5.Запремина зарубљене пирамиде..................................................................................28

7. ЛОПТА И ПОЛИЕДРИ......................................................................................................31

7.1. Сфера уписана у полиедар..........................................................................................317.2.Сфера описана око полиедра.......................................................................................33

ЛИТЕРАТУРА.........................................................................................................................35

2

МАТУРСКИ РАД Полиедри

Увод

Математику, у њеним првим ступњевима развоја, сачињавала је елементарна геометрија. Она је стекла право једне од математичких дисциплина, самим тим што у њој доминирају све значајне методе – дедукивна и аксиоматскаметода. Почеци истраживања у геометрији су нераскидиво везани за хеленског математичара Еуклида, који је написао најуспешнији уџбеник елементарне математике „Елементи“, која се састоји од тринаест књига. Њему такође дугујемо формулисање аксиома и постулата.

Геометрија представља проучавање фигура у равни, кроз две области – планиметрију и стереометрију. У стереометрији немамо практичан начин да остваримо геометријске конструкције, као што то у планиметрији можемо чинити цртањем у равни, што отежава само решавање проблема.

Значајно поглавље стереометрије представљају полиедри, нарочито правилни полиедри. Еуклид им је посветио тринаесту, а уједно и последњу књигу „Елемената“, у којој је показао да их нема више од пет и дао правила за конструисање сваког од њих.

Још се називају и космичким телима, јер су их питагорејци повезивали са настанком света. Према њиховом учењу тетраедар симболизује ватру, хексаедар земљу, октаедар ваздух, икосаедар воду, а додекаедар етар.

Учење грчких филозофа о правилним полиедрима даље је разрадио Кеплер у делу „Хармонија света“. Он је конструисао модел Сунчевог система састављен од 6 сфера, од којих је свака представљала једну од 6 тада познатих планета (Меркур, Венера, Земља, Марс, Јупитер и Сатурн), и 5 правилних полиедара.

3


1. УВОДНИ ПОЈМОВИ

1.1. Диедар

Унија две полуравни са заједничком граничном правом представља диедарску површ. Она дели простор на два дисјунктивна дела, која се називају диедарске области.

Диедар (< α s β) је унија диедарске површи (α s β) и једне од области одређене том површи.

Диедарска површ увек одређује два диедра (конкаван и конвексан). Конвексан је уколико свака дуж, која спаја његове две произвољне тачке, припада том диедру, а у супротном је неконвексан, односно конкаван.

Угао (φ) по коме нека раван γ, нормална на ивицу s диедра < α s β, сече тај диедар, назива се нагибни угао или само само угао диедра (слика 1). Ако је угао диедра мањи од 180º, тај диедар је конвексан, а ако је већи од 180º, он је конкаван.

Диедра упоређујемо помоћу њихових углова, одакле добијамо једнаке, тупе, оштре и праве диедре.

Слика1

1.2. Рогаљ

Ако је А1, А2, А3,... Аn многоугао и S тачка која не припада равни многоугла, унија полуправих SA1, SA2, ... SАn и углова <А1SA2, <A2SA3, ... <AnSA1 je површ рогља. Површ рогља дели простор на два дисјунктивна дела, при чему једном од њих припада површ многоугла. Унија површи рогља и тог дела простора се назива рогаљ.

Тачка се назива теме (врх) рогља, полуправе SA1, SA2, ... SАn ивице рогља, а углови <А1SA2, <A2SA3, ... <AnSA1 стране или ивични углови рогља. Парови суседних страна образују диедре рогља.

Рогаљ који има n страна (ивица) назива се n-тространи рогаљ. Посебно, тространи рогаљ има специфичан назив-триедар.

Слика 2

4


Рогаљ је конвексан (слика 3) уколико свака дуж која спаја његове две произвољне тачке припада том рогљу. У супротном он је неконвексан, односно конкаван (слика 4).

Слика 3 Слика 4

Аксиоми који се односе на триедар:1. Сваки ивични угао триедра мањи је од збира друга два ивична угла, а већи од

њихове разлике. <А3SA1 + <A2SA3 > <A1SA2 > <A1SA3 - <A2SA3

2. Наспрам једнаких диедара неког триедра налазе се једнаки ивични углови, и обратно.

3. Збир свих ивичних углова било ког конвексног рогља маљи је од 360º.

1.3.Полиедарске површи и полиедри

Полиедарска површ представља унију коначног броја многоуглова при чему:1. Свака страница било ког многоугла је страница само те или још једне, њој

суседне површи.2. Свака два суседна многоугла припадају двема различитим равнима.3. Свака два несуседна многоугла се могу повезати низом многоуглова из тог

скупа, тако да свака два узастопна члана тог низа буду суседне површи.

Уколико све странице припадају двема површинама, та полиедарска површ је затворена (слика 5), а уколико нека од страница припада само једној површи, ради се о отвореној полиедарској површи (слика 6). Део геометријског простора који ограничава затворена полиедарска површ се назива унутрашњост полиедарске површи.

Полиедар представља унију просте затворене полиедарске површи и њене унутрашњости.

Површи многоуглова од којих се састоји полиедарска површ, називају се стране (пљосни) полиедра, а странице тих многоуглова ивице полиедарских површи и полиедра. Рогљеви које образују стране полиедара са једним заједничким теменом су рогљеви полиедара, а врхови тих рогаља су темена полиедра.

Полиедри, као и многоуглови могу бити конвексни и конкавни (слика 7).

5


ОЈЛЕРОВА ТЕОРЕМАЛеонард Ојлер (1752.) - Ако је t број темена, i број ивица, а s број страна конвексног полиедра онда је:

t + s = i + 2

Као доказ Ојлерове теореме користићемо два општа тврђења:ТЕОРЕМА 1: Број ивичних углова било ког полиедра два пута је већи од броја

његових ивица (m1 + m2 + ... + ms = 2i)ТЕОРЕМА 2: Ако је t број темена онда је збир ивичних углова једнак: s = (t - 2)·360º

Доказ:E F

D' C'F' E'

A D

π A' B'B C

k – број темена контуре

s = 2(k – 2)·180º + (t – k)·360º

s = k·360º - 2·360º + t·360º - k·360º

s = (t -2)·360º (теорема 2 је доказана)

Нека полиедар има s страница, а прва страна нека има М1, друга М2..., s-та има Ms страница. Имамо да збир свих ивичних углова полиедра износи:

s = (m1-2)·180º + (m2-2)·180º + ... + (ms-2)·180º

s = (m1 + m2 + ... + ms)·180º - s·360º

s = 2i·180º - s·360º (Из теореме 1 →m1 + m2 + ... + ms = 2i)

А по теореми 2 имамо:

s = (t-2)·360º

2i·180º - s·360º = (t-2)·360º

Одакле добијамо:

t + s = i + 2

6


2.ПРИЗМА И ЊЕНИ РАВНИ ПРЕСЕЦИ

Полиедар који има n+2 стране, од којих су две n – троугаоне и садржане у двема паралелним равнима, док су све остале паралелограми, назива се n – тространа призма.

АВСD и EFGH – основе (базе) призмеABFE, BCGF,... – бочне странеAB, BC, EF, FG... – бочне ивицеAE, BF, CG, DH – бочне ивицеA, B, C, D, E, F, G и H – темена призме

Слика 8

Призма се састоји од две паралелне основе и паралелограмских страна, које се називају бочне стране. Све бочне стране заједно чине бочну површ или омотач призме. Странице паралелограма, које се поклапају са ивицама основе, називају се бочне ивице, а њихови пресеци са основама су темена призме. Бочне стране и основа се једним именом називају стране призме.Дуж која спаја два темена различитих основа, која не припадају истој бочној страни, назива се дијагонала призме.

Нормална дуж спуштена ма из које тачке равни једне основе на раван друге основе је висина призме. Она означава растојање између основа призме.

Призма код које су бочне стране нормалне на раван основе се назива права призма (слика 9а) и код ње је висина једнака било којој бочној страни, а уколико бочне стране нису нормалне на раван основе, призма је коса (слика 9б).

Слика 9а Слика 9б Други критеријум поделе призми јесте по броју страница основе, где имамо тростране (троугао у основи), четворостране (четвороугао у основи), петостране(петоугао у основи), шестостране (шетоугао у основи)... призме. (слика 11)

7


Слика 11

Правилна призма је права призма чије су основе правилни n – тространи троуглови. Призма у чијој се основи налази паралелограм назива се паралелопипед (слика 12). Права призма чије су основе правоугаоници, назива се правоугли паралелопипед или квадар (слика 13), а ако су му и све ивице једнаке, онда је то коцка или правилни хексаедар (слика 14).

2.1. Пресеци призме

Постоје три карактеристична случаја при конструисању равних пресека призме:1. Раван π је паралелна са основама (за конструисање овог пресека потребно је

знати само једну његову тачку која припада бочној ивици, или бочној страни призме и пресек је подударан са основом призме – слика 15).


8


2. Раван π је паралелна са бочним ивицама призме (за конструисање овог пресека потребно је знати две тачке пресека, које припадају површи призме, али нису на једној правој која је паралелна бочним ивицама призме – слика 16).Специјалан случај је када раван π садржи две бочне ивице призме које не припадају истој страни, тада добијамо тзв. дијагонални пресек.


3. Раван π није паралелна ни са основним, ни са бочним ивицама призме. За конструкцију овог пресека потребно је имати три неколинеарне тачке тог пресека које припадају површи призме (слика 17).Специјалан случај је ако је раван нормална на бочне ивице призме, добија се тзв. нормални пресек (слика 18). Ако је призма права, нормални пресек потпада под случај 1, а ако је коса, под случај 2.

Пример 1: Дужина ивице коцке је а. Израчунати површину пресека коцке са равни која садржи средишта ивица коцке које полазе из истог темена.

x2=( a2 )

2

+( a2 )

2

x2=a2

2

x=a√22

PP=x2 √3

4

PP=a2 √3

8

9


10


3.ПИРАМИДА И ЊЕНИ РАВНИ ПРЕСЕЦИ

Полиедар који има n + 1 страна, од којих је једна многоугао, а остале троуглови, назива се пирамида.

Слика 19 Слика 20 Ѕ – врх пирамиде (апекс)ABCD – основа пирамидеАВ, ВС, СD, AD – основнe ивицeAS, BS, CS, DS – бочнe ивицeABS, BCS, CDS, ADS –OS = Н – бисина пирамидеh – висина бочне стране (апотема) пирамиде

Дeо дате равни унутар страна рогља називамо база пирамиде, а све остале троугаоне површине бочним странама пирамиде. Унија свих бочних страна представља омотач пирамиде.Основне ивице пирамиде су странице n - троугаоне површи, а бочне ивице су странице бочних страна. Све странице рогља се секу у једној тачки, која се назива врх пирамиде или апекс. Дуж која полази из врха пирамиде и нормална је на раван основе, назива се висина пирамиде. Висина бочне стране или апотема полази од врха пирамиде и нормална је на бочну ивицу.

Уколико је подножје висине центар описане кружнице основе, та пирамида је права (слика 19), а у супротном је коса (слика 20).

Правилна пирамида јеона пирамида које је права и код које се у основи налази правилни многоугао. Краћи назив за тространу пирамиду је тетраедар, који има другачије значење од правилне тростране пирамиде, јер је он ограничен са четири једнакостранична троугла.

Кеопсова пирамида код Гизе у Египту. То је правилна четворострана пирамида у чијој бази је квадрат странице 225 метара, висине 137 метара (некада 147 м). Ивице су нагнуте према бази под углом 51º50'. Та највећа пирамида на свету има запремину 2 583 283 метара кубних и тежину 6,25 милиона тона. Називају је још и Велика пирамида, или Куфу пирамида (Ахет Куфу - „Кеопсов хоризонт“).

3.1.Пресеци пирамиде

Као код призме, и код пирамиде постоје три карактеристича случаја:

11


1) Паралелан пресек - раван γ пресека је паралелна са равни основе и сече бочне стране ивице. За конструисање овог пресека неопходно је знати тачку пресека равни γ и било које праве која пролази кроз врх и тачку основе пирамиде. Пресек се одређује помоћу продора бочних ивица кроз ту раван. (слика 21)

Слика 21Слика 22

2)Нормалан пресек - раван γ садржи врх пирамиде и сече раван основе по некој

прави р. (слика 22)

3) Кос пресек – раван γ не садржи врх пирамиде, већ сече раван основе по некој прави р и има заједничких тачака са пирамидом. (слика 23)

Слика 23

Пример 1: Нека је правилна четворострана пирамида основне ивице а и нагибног угла стране према основи α. Кроз једну од основних ивица поставити раван под углом β према равни основе и наћи површину пресека.

PP=BC+ MN

2∙ h

12


BC=a

Из ∆PQS добијамо h:

hsin α

= PQsin [180 °−(α +β ) ]

hsin α

= asin(α+β )

h= a sin αsin ( α+β )

∆ MNS≅ ∆ ADS

MN : a=RS :QS

MN=aRSQS

Из ∆RPS, где је ∠RPS=α−β, а ∠PRS=α+β имамо:

RSQS

=sin ( α−β )sin (α+β )

MN=a sin (α−β )sin (α+ β )

PP=a+

a sin (α−β )sin (α +β )

2∙

a sin αsin (α+ β )

PP=a sin (α+ β )+a sin (α−β )

2 sin (α +β )∙

a sin αsin (α+ β )

PP=a2 sin α (sin α cos β+sin β cos α+sin α cos β−sin β cosα )

2sin2 (α+β )

PP=a2 sin2 α cos β

sin2(α+ β)

13


3.2.Зарубљена пирамида

Полиедар који има n + 2 страна од којих су две слични многоуглови, а остале трапези, назива се зарубљена пирамида. (слика 24)

Хомотетични многоуглови (n-то углови) називају се основе, или базе зарубљене пирамиде, а околни трапези чине омотач. Растојање између основа је висина зарубљене пирамиде, а висине трапеза (бочне стране) називају се апотеме зарубљене пирамиде. Зарубљена пирамида је права ако је настала од праве пирамиде, односно ако су јој све ивице једнаке, а правилна ако је настала од правилне, тј. ако су јој базе правилни многоуглови .

ТТ1 = Н – висина зарубљене пирамидеММ1 = - апотема<φ – нагибни угао бочне стране према равни основе<А1АС – нагибни угао бочне ивице према равни основе

Слика 24

Пример 1: Бочне ивице правилне зарубљене четворостране пирамиде нагнуте су ка равни основе под углом α, основне ивице су 2 и 8. Израчунај површину дијагоналног пресека ове зарубљене пирамиде.

PDP=d1+d2

2∙H

d1=a1 √2=8√2d2=a2 √2=2√2

x=d1−d2

2=8√2−2√2

2=3√2

tд α=Hx

H=x tд α=3√2 tд α

PDP=8√2+2√2

2∙ 3√2 tд α

PDP=30 tд α

14


4. ПРАВИЛНИ ПОЛИЕДРИ

Први прави геометријски појмови и први докази геометријских теорема су тековине грчке цивилизације. Тако је и појам правилног полиедра установљен у класичној Грчкој.

Правилни полиедри су конвексни полиедри чије су све стране правилни и међусобно подударни многоуглови, код којих из сваког темена темена полази исти број ивица.

Из дефиниције правилног полиедра произилази да су му све ивице међусобно једнаке, да су му сви ивични углови међусобно једнаки и да су му све стране међусобно једнаке. Постоји тачно пет правилних полиедара и то су: тетраедар, хексаедар (коцка), октаедар, додекаедар и икосаедар. (слика 25)

Слика 25

Платонова тела је други назив за пет правилних полиедара, које је међу првима детаљно описао Платон у једном од својих дијалога (Тимаиос, 350. г.п.н.е.). Тетраедар је називао елементом ватре, хексаедар земље, икосаедар воде, октаедар ваздуха, а додекаедар је сматрао елементом супстанце свемира, пошто има 12 страна, колико има и зодијачких знакова.

Еуклидов геометријски доказ: Сваки ћошак тела мора да се подудара са по једним ћошком (врхом) најмање три

стране. На сваком врху тела, збир углова између њиових одговарајућихсуседних страна

мора бити мањи од 360º. Углови код свих страна Платоновог тела су исти, тако да сваки ћошак сваке

стране мора да доприноси мање од 120º. Правилни многоуглови са шети или више страна имају само углове од 120º или

више, тако да заједничка лица морају да буду троуглови, квадрати или петоуглови.

15


Доказ: Како је збир углова конвексног рогља мањи од 360° то за n (n = 3, 4, 5, …)

број страница правилног многоугла (страна полиедра) и угао многоугла α = n−2

n·180º

то мора бити m·α< 360º, где је m (m = 3, 4, 5, …) број ивица у једном темену полиедра.

m ∙n−2

n∙180 °<360 °

mn−2 m<2 n

1n+ 1

m> 1

2

Одакле следи:n ≥ 3→m<6 и m ≥3 → n<6

Ова једнакост је тачна само у пет случајева:1. n = m = 32. n = 3, m = 43. n = 3, m = 54. n = 4, m = 35. n = 5, m = 3

Доказ: Ако са n означимо број страница правилног многоугла, са m број ивица у једном темену правилног полиедра, t број темена, s број страна, i број ивица тог полиедра видели смо да је тада:

ns=2 imt=2i

t+s=i+21n+ 1

m> 1

2

Одакле можемо израчунати број страница, ивица и темена у сваком од тих 5 случајева.

Правилни полиедар t i s t−i+s

Тетраедар 4 6 4 2

Хексаедар 8 12 6 2

Октаедар 6 12 8 2

Додекаедар 20 30 12 2

Икосаедар 12 30 20 2

16


Тетраедар је грађен од четири једнакостранична троугла, који чине његову мрежу. У сваком од четири његова врха састају се по три ивице.

Хексаедар или коцка грађен је од шест квадрата, који представљају његову мрежу. У сваком од осам врхова састају се три ивице, којих је укупно дванаест.

Октаедар је грађен од осам једнакокраких троуглова, који чине његову мрежу. У сваком од шест врхова састају се четири ивице.

Икосаедар је грађен од 20 једнакостраничних троуглова, који чине његову мрежу. У сваком од 12 врхова састаје се по 5, од укупно 30 ивица.

Додекаедар је грађен од дванаест правилних петоуглова. У сваком од 20 врхова се састају по 3 од укупно 30 ивица.

17


5.ПОВРШИНЕ НЕКИХ ПОЛИЕДАРА

Површина полиедара представља збир површина свих многоуглова који сачињавају његову полиедарску површ.

5.1.Површина призме

Површину призме (Р) чине површина омотача (М) и две једнаке површине основа (В). Тада је према дефиницији површине полиедара:

P=2 B+M

Теорема: Површина омотача било које призме (слика 26) једнака је производу обима нормалног пресека и дужине њене бочне ивице.

Слика 26 Доказ: Нека је АВСDEF призма и МNP њен нормалан пресек. Узмимо да је b дужина

бочне ивице и да су оне основице паралелограма који сачињавају њен омотач. Висине тих паралелограма су странице нормалног пресека.

PABDE = b·MNPBCEF = b·NPPACDF = b·PM

PABDE + PBCEF + PACDF = b·(MN + NP + PM) = b·s (s је обим основе)

Специјално, површина омотача праве призме је једнака производу обима (ѕ) основе и висине (Н) призме, тј. М=ѕН

18


Површина правилних полиедара

Ако су а,b, с димензије правоуглог паралелопипеда, онда је:М=2 ∙ (a+b ) ∙ c

P=2 B+M=2 ab+2∙(a+b) ∙cP=2 ∙(ab+bc+ca)

Код коцке а = b = с, и тада формула за површину гласи:P=6 a2

Пример 1: Основа праве призме је ромб чије су дијагонале d1 = 18 cm, d2 = 24 cm , док је дијагонала бочне стране призме D = 39 cm. Израчунати површину

призме.

DH d2/2 a

a d1/2

P=2 B+M

B=d 1∙ d 22

=18 ∙ 242

=216 c m2

M=4aH

a2=d1

4

2

+d2

4

2

a2=81+144a=√225

a=15 cmH 2=D2−a2

H 2=1521−225H=√1296H=36 cm

M=4 ∙15 ∙ 36=2160 cm2

P=2 B+M=2592 c m2

Пример 2: Површина тростране призме је 1440 cm2, а њена висина h је 16 cm. Израчунати основне ивице, ако се оне односе као 17 : 10 : 9.

c b

a

a :b : c=17 :10 :9 a=17 k

19


b=10 kc=9 k

P=2 B+MB=√ s (s−a ) (a−b )(s−c)

s=a+b+c2

=18 k

B=√18 k ∙ k ∙9 k ∙ 10 kB=36 k2

P=72k 2+( a+b+c ) ∙ H1440=72k 2+36 ∙ 16 k72 k2+578 k−1440=0

k 2+8 k−20=0

k 12

=−b ±√b2−4 ac2a

k 12

=−8 ±√1442

k 12

=−8 ± 122

k 1=2k 2=−10

a=34 cmb=20 cmc=18 cm

5.2.Површина пирамиде

Површина пирамиде (слика 27) једнака је збиру површина једне од основа (В) и омотача (М). Тада је према дефиницији површине полиедара:

P=B+M

Површина омотача пирамиде једнака је збиру површина свих његових бочних страна. Специјалан случај је када је пирамида правилна, тада је површина њеног

омотача једнака полупроизводу обима основе В и апотеме h, односно М=12

ah. Одакле

следи, ако је а основна ивица, а апотема, површина омотача правилне n – тростране пирамиде је:

М=n2

ah

Ако су све бочне ивице пирамиде једнаке, тада је:

1. основа пирамиде је тетиван многоугао; 2. центар кружнице описане око основе је подножје висине пирамиде; 3. нагибни углови бочних ивица према равни основе међусобно су једнаки.

Слика 27Доказ: Нека је T врх, многоугао A1, A2, A3, ..., An основа дате пирамиде, а подножје

висине S. Правоугли троуглови A1ST, A2ST, A3ST, …, AnST имају једнаке

20


хипотенузе (бочне стране пирамиде) и заједничку једну катету (висину пирамиде). Зато су сви ови троуглови подударни па је A1S = A2S = A3S = … = AnS. Према томе, тачка S је средиште кружнице описане око основе, те је базни многоугао тетиван. Из исте подударности троуглова следи да су нагибни углови бочних ивица према равни основе међусобно једнаки.

Пример 1: Површина дијагоналног пресека правилне четворостране пирамиде износи 12 dm2, а обим основе 8 dm. Израчунати површину пирамиде.

S

s H

A Cd

h s

a/2

PDP=d ∙ H

2=12 d m2

O=4 a=8dm

a=O4

=8 dm4

=2 dm

d=a√2=2√2 dm

H=2 PDP

d= 24

2√2= 24 √2

2√2√2=24 √2

4=6 √2dm

s2=H 2+( d2 )

2

s2=( 6√2 )2+(√2 )2=72+2=74s=√74 dm

h2=s2−( a2 )

2

=(√74 )2−12=74−1=73

h=√73 dmP=B+M

B=a2=4 d m2

M=4ah2

=2 ah=4√73 d m2

P=4+4√73=4 (1+√73 ) d m2

Пример 2: Основа четворостране пирамиде је ромб чији је оштар угао α, а краћа дијагонала . Израчунати површину пирамиде ако све бочне стране те пирамиде заклапају исти угао β са основом.

21


P=B+MB=ah

sinα2=

d2a

a= d

2sinα2

sin α=ha

h=a sin α

h=d sin α

2sinα2

=d2 sin

α2

cosα2

2sinα2

h=d cosα2

B= d

2 sinα2

∙ d cosα2

B=d2 cos

α2

2sinα2

=12

d2ctдα2

M=2 aha

cos β=

h2ha

ha=h

2 cos β

M=d2 cos

α2

2 cosα2

cos β

M=d2 ctд

α2

2cos βP=B+M

P=12

d2 ctдα2+

d2 ctдα2

2cos β

P=12

d2 ctдα2 (1+ 1

cos β )

22


5.3.Површина зарубљене пирамиде

Површина зарубљене пирамиде (слика 28) једнака је збиру површина основа (В и В') и омотача (М). Тада је по дефиницији за површину полиедара:

P=B+B'+M

Површина омотача се одређује израчунавањем појединачних површина свих бочних страна M=ABA ' B '+BCC ' B' +CDC ' D '+DAD ' A ' , изузев у случају када имамо – тространу зарубљену пирамиду, тада све бочне стране имају једнаке површине, па је површина омотача

M=n2

( a1+a2 ) h=n a1+n a2

2h=

P1+P2

2h.

При чему су a1 и а2 странице правилних многоуглова у основи, Р1 и Р2 обими тих површи, а h апотема

правилне зарубљене пирамиде. Слика 28

Пример 1: Израчунати површину правилне четворостране зарубљене пирамиде, ако су основне ивице а1=7 m, а2=5m и дијагонала 9 m.

a2√2

a1√2 x1

x1=a1 √2−a2 √2

2=7√2−5√2

2=√2m

H 2=D2−(a1 √2−x1 )2

H 2=92−(7√2−√2 )2=81−72=9H=√9=3 m

x2=a1−a2

2=7−5

2=1 m

h2=H 2+x22

h2=9+1=10h=√10 m

P=B+B '+MB=a1

2=49 m2

B'=a22=25 m2

M=4a1+a2

2h=2 (a1+a2 ) h=24 √10 m2

P=( 49+25+24 √10 ) m2

23


24


Пример 2: Основе правилне тростране зарубљене пирамиде су 2 m и 6m. Бочна страна нагнута је према већој основи под углом од 60º. Израчунати површину те пирамиде.

P=B+B'+M

B=a1

2 √34

=62√34

=9√3

B'=a2

2 √34

=22 √34

=√3

M=3a1+a2

2h

h=2 ( r1−r2 )

r1=a1√3

3=6√3

3=2√3

r2=a2√3

3=2√3

3

h=2(2√3−2√33 )=2

4√33

=8 √33

M=36+2

2∙

8√33

=32√3

P=9√3+√3+32√3P=42√3m2

25


6.ЗАПРЕМИНА ПОЛИЕДАРА

Запремина представља број који показује колико се пута у њему садржи неко задато тело. За задато тело се најчешће узима јединична коцка чије ивице имају дужину 1.

6.1. Кавалијеријев принцип

Ако се два тела (фигуре) могу довести у такав положај да их свака раван која их сече по пресецима једнаких површина, а паралелна је датој равни, тада та два тела имају једнаке запремине.

6.2. Запремина правог паралелопипеда (квадра)

Теорема: Запремина правог паралелопипеда једнака је производу његове три димензије.

Слика 29Доказ: Разморићемо случај када су димензије паралелопипеда a, b, c природни бројеви. Основа ABCD може се поделити на ab једнаких квадрата и ако се на сваки од тих квадрата постави јединична коцка, добиће се слој чија је висина једнака јединици дужине. Паралелопипед се може попунити са c таквих случајева (слика 29). Дакле, правоугли паралелопипед је попуњен са једнаких коцки, па је његова запремина:

V=abc

6.3. Запремина призме

Теорема: Запремина призме једнака је производу површине основе (базе) и висине.

V=BH

26


πγ Слика 30Доказ: Нека је B површина основе призме ABCDЕFGH и H висина те призме. Посматрамо истовремено правоугли паралелопипед висине С=Н (слика 30), чија основа има површину B=ab. Осим тога, нека основe призме и паралелопипеда леже у равнима γ и π . Пресецимо призму и паралелопипед са произвољном равни φ (φ‖π‖γ). Пресеци су многоуглови A'B'C'D' M'N'O', а површине основа се једнаке, тј.BABCD=BMNO (дато), а то су и површине пресека са равни једнаке, тј. BA' B ' C ' D'=BM ' N ' O'. Дакле пресеци призме и правоуглог паралелопипеда било којом равни која је паралелна равни основа, имају једнаке површине. На основу Кавалијеријевог принципа та два тела имају једнаке запремине, тј. V призме=V паралелопипеда Како је запремина паралелопипеда једнака V=abc односно V= (ab ) c=BH тако је и запремина призме једнака:

V=BH

Пример 1: Дијагонала квадра је D = 14, а дијагонале његових бочних страна су d1=4√6 и d2=7 √3 . Израчунати запремину квадра.

Dd

c b

d a

d1

c d2 c

b a

d2=a2+b2

D2=d2+c2

D2=a2+b2+c2

d12=a2+c2

d22=b2+c2

d12+d2

2=a2+b2+2c2

d12+d2

2−D2=a2+b2+2 c2−a2−b2−c2

d12+d2

2−D2=c2

c2=( 4√6 )2+(7√3 )2−142=96+147−196c2=47c=√47

27


a2=d12−c2=( 4√6 )2−(√47 )2=96−47=49

a=√49=7b2=d2

2−c2=(7√3)2−(√47)2=100−47=100b=√100=10V=BH=abc

V=10 ∙7 ∙√47=70√47

Пример 2: Стране паралелепипеда су подударни ромбови странице а и оштрог угла 60º. Израчунати запремину паралелепипеда у функцији странице а.

A' A' A' 30º 30º

60º 60º

N А M A N M

АN је висина паралелопипеда, а АМ је висина бочне стране АВА'В' → MN⟘AB (теорија три нормале)

V=BH

B=2a2 √3

4=a2√3

2H 2=a2−AN 2

AM= AN √32

=a2

→ AN=a√33

H 2=a2−AN 2=a2−( a√33 )

2

H 2=a2−a2

3=2 a2

3

H=√(2 a2

3 )=a√ 23

V=BH

V=a2√32

∙a√2√3

V=a3√22

6.4. Запремина пирамиде

Теорема: Запремина пирамиде једнака је трећини производа површине основе и висине.

V= BH3

Доказ: Нека је А1АВС тространа пирамида, чија је висина Н и површина основе В. Над основом АВС те пирамиде конструишемо тространу призму АВСА1В1С1, њена бочна ивица АА1 се поклапа са бочном ивицом АА1 те пирамиде. Запремина призме АВСА1В1С1 је V=BH .Разложимо ову призму на три пирамиде са заједничким врхом A1 (слика 31) то су A1ABC, A1BCC1, A1BB1C1 па је V(ABCA1B1C1)=BH=V(A1ABC) + V(A1BCC1) +V(A1BB1C1).Пирамиде A1BCC1 и A1BB1C1 имају једнаке запремине јер су њихове основе подударни троуглови па имају једнаке површине и врх им је A1 једнако удаљен од њихових основа (јер су у истој равни) па имају једнаке и висине, дакле V(A1BCC1)=V(A1BB1C1). Такође

28


је V(A1ABC) = V(A1BB1C1) јер су им једнаке основе ∆ABC¿ ∆A1B1C1 и једнаке висине, растојање врхова A1 и B од равниоснова па је

BH=3 V ( A 1 BAC )V ( A 1 ABC )=BH3

Слика 31

Пример 1: Основа пирамиде је правоугаоник обима 14 dm и дијагонале 5 dm. Висина пирамиде једнака је дијагонали правоугаоника. Израчунати њену запремину.

V= BH3

H=d=5 dmB=ab

d2=a2+b2

O=2 (a+b )=14 dm

a+b=O2

=7

(a+b )2=a2+2 ab+b2

49=d2+2 ab2 B=49−25=24

B=12 d m2

V=12 ∙53

=20 dm3

Пример 2: Израчунати запремину правилне четворостране пирамиде, ако је површина њеног дијагоналног пресека Ѕ, а бочна ивица је нагнута према равни основе под углом α.

29


V= BH3

S=dH2

d=a√2

tд α=Hd2

H=d tд α2

S=d

d tд α2

2=

d2tд α4

d=√ 4 Stд α

B=a2=( d√2 )

2

=d2

2

V= BH3

=

d2

2d tд α

23

V=d3 tд α12

=4 S√ 4 S

tд α12 tдα

tд α

V=8 S√ S

tд α12

V=23

S √ Stдα

6.5.Запремина зарубљене пирамиде

Теорема: Запремина зарубљене пирамиде чије основе имају површине В1 и В2 и чија је висина једнака Н дата је формулом:

V= H3

(B1+√B1 B2+B2 )

Доказ: Допунимо прво зарубљену пирамиду до „пуне“ пирамиде чија је висина Н+H2 (H2-висина додатне пирамиде)(слика 32). Видимо да је запремина зарубљене пирамиде једнака разлици запремина „пуних“ пирамида.

V 'ABCPQR=V SABC+V SPQR

V '=13

B ( H 1+ H 2 )−13

B1 H 1=13

B H 1+13

( B−B1 ) H 2

На основу својства паралелног пресека пирамиде (површина пресека и основе односе се каоквадрати растојања) имамо:

30


B1

B2

=( H 1+H 2 )2

H 22 →

√ B1

√ B2

=H 1+H 2

H 2

→ H 2=√B2 H 1

√B1−√B2

Слика 32

H2=√B2 (√B1+√B2 )

B1−B2

H1

H 2=√B1 B2+B2

B1−B2

H 1

V '=13

B1+13

( B1−B2 )∙ √B2 B1+B2

B1−B2

∙ H 1=13

B1+13

(√B1 B2+B2 )∙ H 1

V '=13

H 1 (B1+√B1 B2+B2 )

Пример 1: Одреди запремину правилне четворостране зарубљене пирамиде ако је већа основна ивица а, мања b, а оштар угао бочне стране 60º.

V=13

H (B1+√ B1 B2+B2 )B1=a2

B2=b2

s=a−bd1=a√2d2=b√2

H 2=s2−( d1−d2

2 )2

H 2=( a−b )2−( a √2−b√22 )

2

H 2=(a−b)2−(a−b)2

2

H 2=(a−b)2

2

H=(a−b )√2

2

V=13

(a−b )√22

(a2+√a2 b2+b2)

V=√26

(a−b ) ( a2+ab+b2 )

V=√26

( a3−b3 )

Пример 2: Израчунати запремину правилне четворостране зарубљене пирамиде ако су површине основа 50 cm2 и 8cm2 и површина дијагоналног пресека 28cm2.

31


V=13

H (B1+√ B1 B2+B2 )B1=a2=50

a=√50=5√2 cmB2=b2=8

b=√8=2√2 cm

PDP=d1+d2

2H=28

d1=a√2=5√2 ∙√2=10 cmd2=b√2=2√2 ∙√2=4 cm

28=10+42

H

H=5614

=4 cm

V= 43

(50+√50 ∙ 8+8 )=43

(58+20 )

V= 4 ∙783

V=104 c m3

32


7. ЛОПТА И ПОЛИЕДРИ

Полиедар чија сва темена припадају сфери је уписан у сферу, а сфера је описана око њега. Полиедар чије све стране додирују сферу је описан око сфере, а она уписана у њега.

7.1. Сфера уписана у полиедар

Ако се у полиедар може уписати сфера, онда се њен центар налази у тачки пресека симетралних равни свих углова диедра датог полиедра.

1. Да би се у призму могла уписати сфера, неопходно је и довољно да се у њен нормални пресек може уписати круг, чији

је пречник једнак висини призме. (слика 33)


2. Да би се у пирамиду могла уписати сфера, довољно је да нагибни углови бочних страна према основи пирамиде буду једнаки. (слика 34)

Пример 1: У правилној тространој призми са основном ивицом а уписана је лопта. Одреди површину и запремину оба тела и размеру површина.

r=13

h=a√36

PL=4 r2 π

PL=4 ∙ ( a√3 )2 π

36=

3 a2 π9

33


PL=13

a2 π

H=2rPP=2 B+M

PP=a2 √3

2+3aH

PP=a2 √3

2+ 3 a2 √3

3

PP=3 a2 √3

2

V L=43

r3 π

V L=12 a3 √318 ∙36

π

V L=a3√3

54π

V P=BH

V P=a2 √3

4∙a√3

3

V P=a3

4

PP

PL

=

3 a2√32

a2

3π

PP

PL

=9√32 π

Пример 2: У правилну једнакоивочну четворострану пирамиду основне ивице а треба уписати лопту. Израчунати полупречник и запремину лопте.

h2=a2−( a2 )

2

h=a√32

H 2=h2−( a2 )

2

H 2=3 a2

4−a2

4=a2

2

H=a√22

P∆ MNS=aH2

P∆ MNS=a2 √2

4

s=a+2 h2

=a+a√32

P∆ MNS=sr

r=P∆ MNS

s

r= a2 √22 a (1+√3 )

∙√3−1√3−1

r=a√2 (√3−1 )

4

V= 43

r 3 π

V=8 a3√2 (√3−1 )3 π

3 ∙ 64

V=a3 (6 √3−10 ) π

24

V=a3 π (3√3−5 )

12

34


35


7.2.Сфера описана око полиедра

Ако се око полиедра може описати сфера, тада њен центар лежи у тачки пресека симетралних равни свих ивица полиедра. Ако је око неког полиедра описана сфера са центром у тачки О, тада је тачка Оједнако удаљена од свих темена полиедра.

1) Да би се око призме могла описати сфера, потребно је и довољно да призма буде права и да се око њене

основе може описати круг. (слика 35)


2) Да би се око пирамиде могла описати сфера, потребно је и довољно да се око њене основе може описати круг. (слика 36)

Пример 1: Сфера Ѕ1 уписана је у коцку ивице 1, а сфера Ѕ2 је описана око те коцке. Нађи збир квадрата полупречника тих сфера.

36


a=1

r=a2=1

2

R=D2

D=a√3=√3

R=√32

R2+r2=(√32 )

2

+( 12 )

2

R2+r2= 34+ 1

4

R2+r2=1

37


Пример 2: Основна ивица правилне четворостране пирамиде је а, а бочна ивица 3 а

√2.

Одреди запремину пирамиде и полупречник лопте која је око ње описана.

b=3 a

√2d=a√2

P∆ ACS=dH2

H 2=b2−( d2 )

2

H 2=9 a2

2−a2

2=4 a2

H=2a

V= BH3

V=2 a3

3

P∆ ACS=a√2∙ 2a

2P∆ ACS=a2√2

P∆ ACS=abc4 R

R=a √2 ∙( 3a

√2 )2

4 a2 √2

R=9 a2

8 a

R=9 a8

38


ЛИТЕРАТУРА

Јован Д. Гечић – Математика са збирком задатака за III разред средњих школа

Вене Т. Богославов – Збирка решених задатака из математике 3 Срђан Огњеновић и Живорад Ивановић – Збирка решених задатака

за III разред гимназије Јован Кечкић - Математика за 3. разред природно математичког смера Драгомир Лопандић - Геометрија

39


Датум предаје: ______________

Комисија:

Председник _______________

Испитивач _______________

Члан _______________

Коментар:

Датум одбране:_____________ Оцена__________ (___)

40

Documents

Maturski rad - Poliedri.docx