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7/31/2019 MATRIZES - Teoria e Exercicios
1/46
Teoria e Exerccios
MATRIZES
7/31/2019 MATRIZES - Teoria e Exercicios
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1. Matriz - Conceito
Matriz m x n uma tabela de m . nnmeros reais dispostos em m linhas (filas horizontais)
e n colunas (filas verticais).
Exemplos:
= 27
523
342
101
C
uma matriz 2 x 1
2linhas
1coluna
uma matriz 3 x 3
Diz-se tambm,
QUADRADA DE
ORDEM 3
= 0 1 3 51 2 3
uma matriz 2 x 3
2linhas
3colunas
Representa-se a matriz como uma tabela de
nmeros entre parnteses ou colchetes
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2. Representao de uma matriz
Consideremos uma matriz A do tipo m x n.
Um elemento qualquer dessa matriz ser representado pelo smbolo aij, onde o ndice irefere-se linha em que se encontra tal elemento e o ndice jrefere-se coluna em que
se encontra o elemento.
Exemplo 1:
Seja a matriz do tipo 3 x 2
O elemento
O elemento
O elemento
=
2
= 2 = 1
20
14
32
A
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Exemplo 2:
Escreva a matriz A = (ai j)2 x 2, onde ai j = 2i + j.
Trata-se de uma matriz quadrada de ordem 2, que pode genericamente ser representada
da seguinte forma:
2221
1211
aa
aaA
Utilizando a regra de formao dos elementos dessa matriz, teremos:
= 2. +
= 2.1 + 1 = 2 + 1 = 3 = 2.1 + 2 = 2 + 2 = 4
= 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5
= 2.2 + 2 = 4 + 2 = 6
Logo:
65
43A
= =
=
=
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Diagonal Secundria (DS)
3. Tipos de Matrizes
Matriz Quadrada
Considere uma matriz m x n.
Quando m = n (o nmero de linhas igual ao nmero de colunas), diz-se que a matriz
quadrada de ordem n x n ou simplesmente de ordem n.
Exemplos:
uma matriz de ordem 2
Diagonal Principal (DP)
= 3 20 1
uma matriz de ordem 3
Diagonal Principal (DP)
201
123
645
B
Diagonal Secundria (DS)
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Matriz Triangular
Considere uma matriz quadrada de ordem n.
Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal so todos nulos, dizemos
que a matriz triangular.
Exemplos:
13
02A
152
043
001
B =1 1 3 80 2 5 23
00 00 3 70 4
Matriz Diagonal
A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal
principalso nulos chamada de matriz diagonal.
Exemplos:
400
010
003
A
10
03B
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Matriz Nula
A matriz que tem todos os elementos iguais a zero chamada de matriz nula. A matriz
nula de ordem m x n indicada por 0m x n e a matriz nula de ordem n por 0n.
Exemplos:
00
00
000
000
000
Matriz Identidade
Uma matriz quadrada de ordem n chamada de matriz unidade ou identidade (indica-se
por ) quando os elementos de sua diagonal principalso todos iguais a 1, e os demaisiguais a zero.
Exemplos:
10
01
2I
100
010
001
3I
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4. Igualdade de matrizes
Duas matrizes de mesmo tipo m x n so iguais quando todos os seus elementos
correspondentes so iguais.
Exemplo:
Determine a, b, c, e dde modo que se tenha a igualdade seguinte:
36
11
12
2
11
1
dc
b
a
Sabendo-se que os elementos correspondentes devem ser iguais, teremos:
= 2 + 1 = 1 = 0 2 = 6 = 8
= 3
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Exerccios de fixao:
1) Determinex, yez que satisfaam a igualdade:1 2
3 5 1 =1 2 3 4
6 5 0
=343 = 6 = 2
1 = 0 = 1
2) Escreva a matriz A (2, 3) = [aij], tal que aij = i2 j
= = 1 1 = 1 1 = 0
= 1 2 = 1 2 = 1 = 1 3 = 1 3 = 2 = 2 1 = 4 1 = 3 = 2 2 = 4 2 = 2
= 2 3 = 4 3 = 1
= 0 1 23 2 1
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3) Determine os elementos da diagonal principal da matriz sabendo que a matriz dada
representa uma matriz diagonal.
yxx
yyx
3
52
Diagonal Principal (DP)
+ 3 = 0 = 3
+ 5 = 0 = 5 = 2 = 2 . 3 5
= 6 + 5 = 1
= + = 3 + 5 = 3 5 = 8
DP: 1 e = 8
= 0
0 =
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3 2 = 0 + 9 = 1
= 12 3 = 0
4) Determine os valores de a, b, c e d, para que a matriz dada represente uma
matriz unidade.
932
23
dcba
dcba
=1 00 1
= 1 3 2 = 02 3 = 0 + 9 = 1
3 3 = 3 2 + 3 = 0
()
= 3
3 = 13 1 =
= 2
3 2 = 0 + = 1 0
3 2 = 0 2 + 2 = 2 0
5 = 2 0
= 44 + = 1 0
= 6
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5. Operaes
Adio e Subtrao
Dadas duas matrizes, A = (ai j)m x n e B = (bi j)m x n , a matriz soma A + B a matriz C = (c i j)m x n ,onde ci j = ai j + bi j para todo i e todoj.
Assim, a matriz soma C do mesmo tipo que A e B, de modo que cada um de seus
elementos a soma de elementos correspondentes de A e B, conforme exemplo a seguir:
35
42
01
63
34
25+ =
Exemplo 2: Encontre a matriz M de modo que a igualdade seja verdadeira.
2 31 14 2 + = 5 14 33 2
Sabe-se que a matriz procurada ter de ser do mesmo tipo, isto , 3 x 2.
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2 31 14 2
+
=5 14 33 2
Equacionando de acordo com os termos correspondentes teremos:
2 + = 5 = 3 1 + = 4 = 5
4 + = 3 = 1
3 + = 1 = 41 + = 3 = 4
2 + = 2 = 4
=3 45 4
1 4
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Matriz Oposta
Seja a matriz A = (a i j )m x n. Chama-se oposta de A, a matriz representada por A , tal que
A + ( A) = 0, onde 0 a matriz nula do tipo m x n.
Para isso, basta trocar o sinal dos termos da matriz dada.
51
73A
51
73AExemplo:
Matriz Diferena
Dadas duas matrizes A e B, definimos a matriz diferena A B como a soma de A com a
oposta de B, isto A B = A + ( B).
Exemplo: 72
33 =
72 +
3+3 =
7 3 2 + 3 =
41
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Multiplicao de um nmero real por uma matriz
Considerando uma matriz qualquerA de ordem m x n e um nmero real qualquerp.
Quando multiplicamos o nmero realp pela matrizA encontraremos como produto outramatrizp.A de ordem m x n cujos elementos so o produto dep por cada elemento deA.
Exemplo 1:
Seja = 1 11 2
3 4 3 2 4 . = 4 . 1 4 .1 4 .
1 2
4 . 3 4 4 .3 4 .2
4 = 4 4 23 12 8
Exemplo 2: Resolver a equao matricial 2X = A + B, conforme segue, onde
= 1 35 2 =3 1
1 0
Primeiro determina-se genericamente a matriz =
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2 . =1 3
5 2 +3 1
1 0
2 22 2 = 4 26 2
= 2 = 3
= 1 = 1
= 2 13 1
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Multiplicao de Matrizes
Dadas as matrizesA = (ai j)m x ne B = (bi j)n x p, chama-seproduto deA por B, e
indica-se porA . B, matriz C = (ci k)m x p, onde um elemento qualquer c obtido da seguintemaneira:
1) Tomamos ordenadamente os n elementos da linha ida matrizA: ai 1 , ai 2 , ..., ai n. ( I )
2) Tomamos ordenadamente os n elementos da coluna kda matriz B: bi k , b2 k , ..., bn k. ( II )
3) Multiplicamos o 1 elemento de ( I ) pelo 1 elemento de ( II ), o 2 elemento de ( I )
pelo 2 elemento de ( II ) , e assim sucessivamente.
4) Somamos os produtos obtidos.
Assim: ci k= ai 1 . b1 k+ ai 2 . b2 k+ ... + ai n . bn k
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Vamos a um exemplo:
41
05
23
ASendo e
26
13B determine a matriz C =A . B:
41
05
23
26
13
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Vamos a um exemplo:
41
05
23
ASendo e
26
13B determine a matriz C = A . B:
41
05
23
26
13
=3 . 3+ 2 . 6= 9 + 1 2 = 21
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Vamos a um exemplo:
41
05
23
ASendo e
26
13B determine a matriz C = A . B:
41
05
23
26
13
=3 . 3+ 2 . 6= 9 + 1 2 = 21 =3 . 1+ 2 . 2= 3 + 4 = 7
=5 . 3+ 0 . 6= 1 5 + 0 = 15 =
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Vamos a um exemplo:
41
05
23
ASendo e
26
13B determine a matriz C = A . B:
41
05
23
26
13
=3 . 3+ 2 . 6= 9 + 1 2 = 21 =3 . 1+ 2 . 2= 3 + 4 = 7
=5 . 3+ 0 . 6= 1 5 + 0 = 15 =5 . 1+ 0 . 2= 5 + 0 = 5
=
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Vamos a um exemplo:
41
05
23
ASendo e
26
13B determine a matriz C = A . B:
41
05
23
26
13
=3 . 3+ 2 . 6= 9 + 1 2 = 21 =3 . 1+ 2 . 2= 3 + 4 = 7
=5 . 3+ 0 . 6= 1 5 + 0 = 15 =5 . 1+ 0 . 2= 5 + 0 = 5
=
1 . 3
+ 4 . 6
= 3 + 2 4
= 27
=
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Vamos a um exemplo:
41
05
23
ASendo e
26
13B determine a matriz C = A . B:
41
05
23
26
13
=3 . 3+ 2 . 6= 9 + 1 2 = 21 =3 . 1+ 2 . 2= 3 + 4 = 7
=5 . 3+ 0 . 6= 1 5 + 0 = 15 =5 . 1+ 0 . 2= 5 + 0 = 5
=
1 . 3
+ 4 . 6
= 3 + 2 4
= 27
=1 . 1+ 4 . 2= 1 + 8 = 9
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Vamos a um exemplo:
41
05
23
ASendo e
26
13B determine a matriz C = A . B:
41
05
23
26
13
=3 . 3+ 2 . 6= 9 + 1 2 = 21 =3 . 1+ 2 . 2= 3 + 4 = 7
=5 . 3+ 0 . 6= 1 5 + 0 = 15 =5 . 1+ 0 . 2= 5 + 0 = 5
=
1 . 3
+ 4 . 6
= 3 + 2 4
= 27
=1 . 1+ 4 . 2= 1 + 8 = 9
=21 715 527 9
AGORAFICOUFCIL!!!
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Sua vez de tentar : = 1 2 01 0 2 e =1 12 34 1
1 2 01 0 2
1 12 34 1
1.1 + 2.2 + 0.4 = 5
5
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Sua vez de tentar : = 1 2 01 0 2 e =1 12 34 1
1 2 01 0 2
1 12 34 1
51.1 + 2.3 + 0.9 = 7
7
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Sua vez de tentar : = 1 2 01 0 2 e =1 12 34 9
1 2 01 0 2
1 12 34 1
5 7
1.1 + 0.2 + 2 . 4 = 9
9
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28/46
Sua vez de tentar : = 1 2 01 0 2 e =1 12 34 9
1 2 01 0 2
1 12 34 1
5 79
1.1 + 0.3 + 2 . 1 = 3
3 . = 5 7
9 3
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Sua vez de tentar : = 1 2 01 0 2 e =1 12 34 9
1 2 01 0 2
1 12 34 1
5 79 3 . = 5 7
9 3
NOTE QUE:
1) O produtoA.B existe, se e somente se, o nmero de colunas de A for igual ao nmero
de linhas de B.
2) A matriz produto C = A.B uma matriz cujo nmero de linhas igual ao nmero delinhas deA e o nmero de colunas igual ao nmero de colunas de B.
A(m x n) . B(n x p) = C(m x p)
3) Notemos que, seA do tipo m x n e B do tipo n x p, comp diferente de m, entoA.B
existe, mas B.A no existe.
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Matriz Transposta
SejaA uma matriz m x n.
Denomina-se matriz transposta deA (indica-se porAT) a matriz n x m cujas linhas so,
ordenadamente, as colunas deA.
Exemplo:
54
26A
TA
Notamos que, seA de ordem m x n, entoAT de ordem n x m e bj i= ai j.
Propriedades da matriz transposta:
I. (AT)T = A
II. ( . A)T = . AT
III. (A + B)T = AT + BT
IV. (A . B)T = BT . AT
52
46
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Matriz Simtrica
Observe a matrizA seguinte e sua transpostaAT:
985
843
532
A
985
843
532
TAe
Comparando, vemos que A = AT. Quando isso acontece, dizemos queA matriz simtrica.
Dada uma matriz quadradaA = (ai j) n, dizemos queA matriz simtrica se, e somente se,
ai j = aj i, para todo 1 i n e 1 j n.
Matriz antissimtrica
Observe as matrizes quadradas a seguir:
085
804
540
A e
085
804
540
TA
Comparando, vemos que A = AT. Quando isso acontece, dizemos queA matriz
antissimtrica. Note que cada elemento ai j o oposto de aj i.
Assim, definimos:
Dada uma matriz quadradaA = (ai j) n, dizemos queA matriz antissimtrica se, e
somente se, ai j = aj i, para todo 1 i n e 1 j n.
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Matriz Inversa
SejaA uma matriz quadrada de ordem n.A dita invertvel ou inversvel se existir uma
matriz B tal que:
A . B = B . A = In
Neste caso, B dita inversa deA e indicada porA1.
Exemplo:
A inversa de
34
02A
3/13/2
02/11A pois . = . =
MAS COMO QUEPOSSO ENCONTRAR A
MATRIZ INVERSA?
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Somente matrizes quadradas so invertveis. SendoA, quadrada e de 2 ordem, sua
inversa ser do mesmo tipo, da:
=
Sabemos que . = , logo, vamos montar a multiplicao:
2 04 3
1 00 1
2. + 0. = 1 2. + 0. = 0
4. + (3). = 0 4. + (3). = 1
2 = 14 3 = 0 = 1 2
4 . 12 3 = 02 = 3 = 2 3
2 = 04 3 = 1 = 0
4 . 0 3 = 1 3 = 1 = 1 3
= 1 2 02 3 1 31 2 2 3
0 1 3
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Exerccios Diversos
a) =
= 3. 2. + 4
= 3.1 2.1 + 4 = 5 = 3.2 2.1 + 4 = 8 = 3.3 2.1 + 4 = 11
= 3.1 2.2 + 4 = 3 = 3.2 2.2 + 4 = 6 = 3.3 2.2 + 4 = 9
= 5 38 611 9
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Exerccios Diversos
b) =
= 3. + 2. 5
= 3.1 + 2.1 5 = 0
= 3.2 + 2.1 5
= 3
= 3.3 + 2.1 5 = 6
= 3.1 + 2.2 5 = 2
= 3.2 + 2.2 5
= 5
= 3.3 + 2.2 5 = 8
=0 2 43 5 7
6 8 10
= 3.1 + 2.3 5 = 4
= 3.2 + 2.3 5
= 7
= 3.3 + 2.3 5 = 10
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3 + 2 22 3 3 =
7 22 3
3 + 2 = 73 3 = 3
3 + 2 = 7 3 + 3 = 3
5 = 1 0
= 2
3 + 2 . 2 = 7 = 1
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a) =
=
0 000
0
0
=0 0
0 00 0
24
6
b) = 0 0 0
0 0
0
0
0
0
0 0 0
=
1 0 0 00 2 0 0
00 00 30 04
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38/46
1 + + = 9
= 3
1 + 3 + = 94 = 8
= 2
= 3 . 2 = 6
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39/46
=
=3.1 1 3.1 23.2 1 3.2 23.3 1 3.3 2
=2 15 48 7
a) + = 2 15 48 7 + 2 15 48 7 = 4 210 816 14
b) +
0 0
0 00 0 = =
2 1
5 48 7
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40/46
+ = 0 = = + ()
=3
25
+12
4 =
201
=1 00 1
0 11 0
=1 00 1 +
0 11 0
=1 1
1 1
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41/46
2. 1 02 1 12 .
4 21 0 =
2 04 2 +
2 1 1 2 0 =
= 2 2 0 14 12 2 0 = 4 17 2 2
7/31/2019 MATRIZES - Teoria e Exercicios
42/46
1 22 1
43
+ 2 = 42 + = 3
2 + 4 = 82 + = 3
5 = 5 = 12 + 1 = 32 = 3 1
2 = 4
3
4
= 2
Produto . = 2 . 1 = 2
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43/46
13 1
2
00 2 + = 06 = 0 = 6 2 + 6 = 02 = 6 = 3
. = 3 . 6 = 18
7/31/2019 MATRIZES - Teoria e Exercicios
44/46
= 1 01 2 = 1 10 2
1 10 2
10 12
1 01 2
= 1 . 1 + 0 . 0 = 1 + 0 = 1
= 1 . 1 + 2 . 0 = 1 + 0 = 1 = 1. 1 + 0 . 2 = 1 + 0 = 1 = 1. 1 + 2 . 2 = 1 + 4 = 5
1 11 5
7/31/2019 MATRIZES - Teoria e Exercicios
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a) Apesar de ser possvel calcular , pois uma matriz quadrada, impossvelsomar e que so matrizes diferentes tipos.b) O produto . possvel, pois o nmero de colunas de igual ao nmero delinhas de, porm esse produto resulta numa matriz 3 3 que no pode sersomada que do tipo 2 3.c) O produto . possvel, pois o nmero de colunas de igual ao nmero delinhas de , porm esse produto resulta numa matriz 2 3 que no pode sersomada que do tipo 3 2.e) No possvel somar , do tipo 3 3 , do tipo 2 3.
d) O produto. possvel, pois o nmero de colunas de igualao nmero de linhas de , e esse produto resulta numa matriz 3 3que pode ser somada que do mesmo tipo.
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46/46
ISERJ 2012
Professora Telma Castro Silva