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Rodrigo Thiago Passos Silva

Bacharelando em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal do ABC

MATRIZ INVERSA

Dada uma matriz quadrada A, se det A ≠ 0 então existe uma matriz A-1

, chamada matriz

inversa de A.

A-1

é dada por: A-1

× A = I, onde I é a matriz identidade (matriz que possui os números

da diagonal principal iguais a um e os demais igual a zero).

Tradicionalmente, no ensino básico, ensina-se a calcular a matriz inversa de A por meio

da multiplicação dela por uma B, com todos os elementos como incógnitas, e igualando

esta multiplicação à matriz identidade. Neste caso, B é a inversa de A. É um método

cômodo para matrizes de ordem dois, entretanto, para uma matriz de ordem três, com

poucos ou nenhum elemento nulo, torna-se trabalhoso, pois implicará na resolução de

três sistemas de equações, de três variáveis.

Uma forma alternativa para encontrar uma matriz inversa é por meio da seguinte

igualdade:

onde det A é o determinante da matriz A e (cof)T é a transposta da matriz dos cofatores

de T.

O cálculo torna-se mais fácil quando se pensa de forma algorítmica, passo a passo.

Considerando uma matriz dada por

i) Calcula-se seu determinante

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Rodrigo Thiago Passos Silva

Bacharelando em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal do ABC

ii) Calcula-se a matriz dos cofatores de A

Cada elemento da matriz dos cofatores de A é também uma matriz. De forma geral, cada

elemento é dado da seguinte forma:

onde, i é a linha do elemento e j a coluna. O determinante de segunda ordem que é

formado pelos elementos x, y, w e z é obtido ignorando-se a linha e a coluna do

elemento aij, e selecionando os quatro números que sobram.

O termo (- 1)i+j

determina o sinal da matriz conforma a posição. Para as posições a13 e

a22, por exemplo, o sinal é positivo, e para as posições a32 e a21 é negativo. Assim

sendo, podemos estabelecer uma máscara de sinais para a matriz cofatora, de tal modo:

De modo bastante literal, a matriz cofatora é dada por:

Seu desenvolvimento em termos de aij é trivial, portanto não será feito.

iii) Cálculo da transposta da matriz

Tendo-se obtido a matriz cofatora de A, é trivial o cálculo da transposta, também

chamada de matriz adjunta de A. No matriz transposta, as linhas tornam-se colunas e as

colunas tornam-se linhas.

iv) Finalmente, volta-se para a equação de cálculo da inversa

Obtem-se:

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Bacharelando em Ciência e Tecnologia

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Exemplo: Calcule a matriz inversa de

.

i) Cálculo do determinante:

ii) Montagem da matriz dos cofatores:

iii) Montagem da matriz adjunta:

iv) Calculo da inversa: