Matriks, Barisan( sequence),$ Deret( summa)ons · 2013-10-03 · ... (ka"Komputasi"0"Matriks,"Barisan,"dan"Deret" 3 12 34 56! " # # # $ % & & & + 12 12 12! " # # # $ % & & & = 24

Agi Putra Kharisma, ST., MT.

Matriks, Barisan (sequence), Deret (summa)ons)

“Learning is not child's play, we cannot learn without pain.” -‐Aristotle

1 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret


Matriks



Aritme=ka Matriks

•  Penjumlahan Syarat: matriks harus berukuran sama Contoh:


1 23 45 6

!

"

###

$

%

&&&+

1 21 21 2

!

"

###

$

%

&&&=

2 44 66 8

!

"

###

$

%

&&&


Aritme=ka Matriks

•  Produk Jika matriks M adalah matriks m x n, dan matriks N adalah matriks n x p, maka MN adalah sebuah matriks m x p. Contoh:


2 3 41 2 1

!

"#

$

%&

1 22 11 2

!

"

###

$

%

&&&= 12 15

6 6

!

"#

$

%&


Matrik Iden=tas dan Perpangkatan •  Matriks iden=tas

•  Perpangkatan: A0 = In A3 = AAA A4 = AAAA


Jika A matriks m x n, AIn = ImA = A


Matriks Transpose dan Matriks Simetris

•  Matriks Transpose Contoh:

•  Matriks Simetris Suatu matriks B dikatakan simetris jika B = Bt

Contoh:


A = 1 2 34 5 6

!

"#

$

%&

At =1 42 53 6

!

"

###

$

%

&&&

B = Bt =1 1 01 0 10 1 0

!

"

###

$

%

&&&

Maka transpose matriks A adalah:


Matriks Nol-‐Satu Matriks nol-‐satu hanya berisi angka nol atau satu. Operasi join dan meet:


A = 1 00 1

!

"#

$

%&

B = 1 10 1

!

"#

$

%&

A!B = 1!1 0!10!0 1!1

"

#$

%

&'=

1 00 1

"

#$

%

&'

A!B = 1!1 0!10!0 1!1

"

#$

%

&'=

1 10 1

"

#$

%

&'

Join

Meet


Produk Boolean

Produk boolean hampir sama dengan produk, namun operasi penjumlahan digan= dengan v sedangkan operasi perkalian digan= dengan ∧. Contoh notasi:


A !B


Barisan

Contoh: Sebuah barisan { } dimana:


an =1n

an

1, 12, 13, 14,...

a1,a2,a3,a4,...


Barisan Aritme=ka (analogi diskrit dari fungsi linier f(x) = dx + a) Barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap. a n = a 1 + (n-‐1)b

a n = Suku ke-‐n a 1 = Suku pertama b = Beda antar Suku

contoh:

•  2, 5, 8, 11, 14,.. à ditambah 3 •  100, 95, 90, 85, 80, à dikurang 5



Barisan Geometri (analogi diskrit dari fungsi eksponensial f(x) = arx) Barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan yang tetap. an = arn-‐1

an = suku ke-‐ n a = suku pertama r = rasio antar suku berurutan

contoh:

•  2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,.. à dikali 2 •  80, 40, 20, 10, 5, 2½,.. à dikali 1/2



Recurrence Rela=on Recurrence rela)on untuk barisan {an} adalah persamaan yang menyatakan an dalam satu atau lebih suku sebelumnya, yaitu a0, a1, a2, … an-‐1, untuk semua bilangan bulat n > n0, dimana n adalah bilangan bulat non-‐nega=f. Contoh: Barisan Fibonacci untuk n = 2, 3, 4, … 12 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret

f0 = 0f1 =1fn = fn!1 + fn!2

Kondisi awal/inisial

Leonardo Pisano Bigollo a.k.a. Fibonacci


Formula Tertutup (1)

Jika kita berhasil membuat suatu persamaan yang memenuhi recurrence rela)on serta menghilangkan kondisi awalnya, dikatakan kita telah memecahkan recurrence rela)on beserta kondisi awalnya. Persamaan yang dihasilkan disebut dengan formula tertutup.



Formula Tertutup (2) Contoh: Tentukan formula tertutup untuk recurrence rela)on berikut a0 = 2; an = an-‐1 + 3 untuk n = 1,2,3,4,5,… Solusi: a0 = 2 a1 = 2 + 3 a2 = (2 + 3) + 3 = 2 + 3.2 a3 = (2 + 2.3) + 3 = 2 + 3.3 … an = 2 + 3(n) untuk n = 0,1,2,3,4,5,…


Formula tertutup, tanpa kondisi awal


Deret

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Contoh: 15 Matema(ka Komputasi -‐ Matriks, Barisan, dan Deret

ajj=m

n

! am + am+1 +...+ an

2 j +1j=1

5

! 3+ 5+ 7+ 9+11= 35


Bentuk Tertutup Deret juga dapat dinyatakan dalam bentuk tertutup, beberapa yang cukup berguna adalah:


Sumber: Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema)cs and Its Applica)ons

Telescoping Sum


•  Deret Aritme=ka

•  Deret Geometris


Dn =a(1! rn )(1! r)

Dn =n2(2a+ (n!1)b)

Keterangan: Dn : Jumlah deret suku ke-‐n a : Suku pertama b : beda antar suku berurutan r : rasio antar suku berurutan

Telescoping Sum


Faktorial

n! = n.(n-‐1).(n-‐2)…3.2.1 Jika n = 0, n! = 1. Jika n > 1, n! = n.(n-‐1)! Contoh: 5! = 5.4.3.2.1 = 120


Pendefinisian secara rekursif


La=han

1.  Tentukan formula eksplisit barisan berikut: a.  -‐1, 1, -‐1, 1, -‐1, 1, -‐1, … b.  0, 1, -‐2, 3, -‐4, 5, … c.  1/4, 2/9, 3/16, 4/25, 5/36, 6/49, …

2.  Tulis deret berikut dalam notasi deret (summa)on): 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + 72

3.  Gabungkan deret berikut dalam satu notasi deret (summa)on):


2 (3k2 + 4)+ 5 (2k2 !1)k=1

n

"k=1

n

"


La=han

4.  Pada deret di bawah, ubah dengan variabel: j = k – 1


kn+ k!

"#

$

%&

k=1

n+1

'


Referensi

Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema)cs and Its Applica)ons 7th Ed. Rinaldi Munir. Matema)ka Diskrit edisi ke)ga. Susanna S .Epp. Discrete Mathema)cs with Applica)ons 4th Ed.


Documents

Matriks, Barisan( sequence),$ Deret( summa)ons · 2013-10-03 · ... (ka"Komputasi"0"Matriks,"Barisan,"dan"Deret" 3 12 34 56! " # # # $ % & & & + 12 12 12! " # # # $ % & & & = 24