CAPITULO N1MATRICES Y DETERMINANTES1. Sea una matriz A cuadrada demostrar quees simetrica.SOLUCION:

2. Sean A y B matrices la primera idempotente y la segunda ortogonal. Entonces de mostrar que: esmidempotente.SOLUCION:

3. Sea una matriz cuadrada A si es involutiva. Demostrar que es idempotente.SOLUCION:

4. Sea una matriz A nilpotente de indice 2 demostrar que SOLUCION:

5. Si y son matrices del mismo orden donde son escalares. Demostrar que A y B son conmutables.SOLUCION:

6. Demostrar: SOLUCION:Sea:

7. Demostrar que toda matriz A se puede descomponer en la suma de una matriz simetrica y antisimetrica.SOLUCION:

Donde:

Es simetrica

8. Si A y B son matrices cuadradas de orden n y poseen inversas demostrar:

SOLUCION:

9. Dadas las matrices y Si hallar: SOLUCION:Igualando:

1en 2:

Sust. En 3:

Sust. En 1:

10. De la siguiente matriz Hallar el valor de A si su traza es igual a 24 y que SOLUCION: pero

11. Hallar x si:

Realizando el productoLado derecho.

Por igualdad de matrices se tiene:

Para que se cumpla que:

12. Hallar el valor de x para que la matriz F sea singular:

SOLUCION:

13. Cuales son las condiciones que deben cumplir (x,y,z) tal que la matriz G seaa) Singularb) No Singular

SOLUCION:

a) Singular

b) No Singular

14. Calcular el Determinante de las siguientes matrices:

SOLUCION:

15.

Si A es una matriz de orden 5 tal que =5 una matriz Hallar :SOLUCION:

16. Hallar el valor de x para que el rango de la matriz sea 3:

SOLUCION:

para

17.

Si =Calcular SOLUCION:

===

===

== =

===Generalizando:

==

18.

Si =Calcular :SOLUCION:

==

===

===

===

=====

=

= . . .

=

===

=

19.

Si =Calcular SOLUCION:

=

==

====

==

==

==

==

==

M=

=

=+3

=

20.

Si = Calcular el periodo de la matrizSOLUCION:

A=

==

==

21.

Si = Calcular SOLUCION:

===

===

=

22. Hallar la inversa de K:

SOLUCION:

Pero

23. Hallar la inversa de A por el mtodo Gauss-Jordn:

SOLUCION:

24. Encontrar si:

SOLUCION:

Como: de la anterior operacin:

Reemplazando en la ecuacin:

Operando:

(Matriz Nula)

25.

Calcule el determinante de SOLUCION:Usando propiedades

=+(Lneas paralelas iguales se hace cero)

=0+=+

= =0

26.

De la siguiente matriz y que Calcular la suma de todos los elementos de la 3 fila de X:SOLUCION:

27. Si A y B son conmutables hallar todas las matrices

conmutables con SOLUCION:

Todas las matrices conmutables con

28. Dada la matriz calcular A25:

SOLUCION:

29. Hallar el valor de k y discutir las soluciones que presenta el siguiente sistema:

SOLUCION:

30. En el siguiente sistema de ecuaciones hallar el valor de a y b de manera que los planos se intersecten en un punto:

SOLUCION:

31. Factorizar la matriz B a la forma LDU:

SOLUCION:

Para la matriz L Para la matriz U

32. Factorizar la matriz A a la forma LDU:

SOLUCION:

33. Hallar la inversa de M por la adjunta:

SOLUCION:

34. Hallar la inversa de la matriz Z por el mtodo Gauss-Jordn:

SOLUCION:

35. Hallar la inversa:

SOLUCION:

Si:

36. Hallar la inversa:

SOLUCION:

37. Hallar la inversa de K:

SOLUCION:

Pero

38. Hallar el valor de x para que el rango de la matriz sea 3:

SOLUCION:

para

39. Hallar x si:

SOLUCION:Realizando el productoLado derecho.

Por igualdad de matrices se tiene:

Para que se cumpla que:

40.

Si = Calcular SOLUCION:

===

===

=41. De la siguiente matriz Hallar el valor de A si su traza es igual a 24 y que SOLUCION: pero

42.

Si =Calcular SOLUCION:

=

==

====

==

==

==

==

==

M=

=

=+3

=

43. Hallar la inversa de la siguiente matriz:

SOLUCION:

44. Cuales son las condiciones que deben cumplir (x,y,z) tal que la matriz G sea

a) Singular45. b) No Singular

SOLUCION:

a) Singular

b) No Singular

Calcular el Determinante de las siguientes matrices:

SOLUCION:

46.

Si =Calcular SOLUCION:

===

===

== =

===Generalizando:

==

47. Factorizar la matriz A a la forma A=LU

SOLUCION:

Para la matriz L

48. Factorizar a la forma LU la matriz:

SOLUCION:

49. Hallar el determinante de:

SOLUCION:

50. Invertir:

X=

51. Hallar y si:

52. Calcular el determinante de la siguiente matriz:

SOLUCION:

53. Hallar la inversa de K:

SOLUCION:

Pero

54. Hallar la inversa de la matriz Z por el mtodo Gauss-Jordn:

SOLUCION:

55. Factorizar la matriz B a la forma LDU:

SOLUCION:

Para la matriz L Para la matriz U

56. Hallar la inversa de M por la adjunta:

SOLUCION:

57. Hallar la inversa:

SOLUCION:

Si:

58. Si A y B son conmutables hallar todas las matrices

conmutables con SOLUCION:

Todas las matrices conmutables con

59. Hallar el determinante de la matriz:

SOLUCION:

60.

Si A=,B=,C= Y D=Con p=ABCD

Calcular SOLUCION:Sean los productos AB=E ^ CD=F

E=AB==

F=CD==

Sean P=EF==

Finalmente

.