Ariadna MildredNorma EsmeraldaDaniela Garnier

APLICACIONES EN NUESTRA VIDA Tabla nutricional de alimentos Medalleros de olimpadas Reportes Bancarios

MATRIZ

Es un arreglo rectangular de números reales ordenados en filas o columnas.

Ejemplos( senβ cosδ

tgβ )

2 -3 ½3 0 14 10 √2

2a-b5c

Definición

DENOTACIÓN Las matrices se denotan con letras mayúsculas y el conjunto de elementos o componentes de una matriz se encierra entre paréntesis o corchetes.

Matrices

A=

a11 a12 a13….. a1n

a21 a22 a23….. a2n

a31 a32 a33….. a3n

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .am1 am2 am3….. amn

a32

# fila

# columna

ORDEN DE UNA MATRIZ

El orden o dimensión de una matriz está dado por el producto indicado m x n, donde m indica el número de filas y n el número de columnas.

Se denota Kmxn

EjemploA =

1 2 42 -1 6

A є K2x3

CLASES DE MATRICES Matriz Rectangular Matriz Fila Matriz Columna Matriz Cero Matriz Cuadrada Matriz Unidad Matriz Triangular Matriz Escalar Matriz Transpuesta Matriz Simétrica Matriz Antisimétrica Matrices Iguales

MATRIZ RECTANGULAR Es una matriz de orden m x n, con m ≠

n

Clases de matrices

A =1 2 42 -1 6

MATRIZ FILA Es una matriz de orden 1 x n.

Clases de matrices

( 1 9 8 )

A =

MATRIZ COLUMNA Matriz de m filas y una columna. Es de orden

m x 1

Clases de matrices

1 -9 5

B =

MATRIZ CERO Matriz cuyos elementos son todos nulos,

es decir aij = 0 para todo i, j

Clases de matrices

0 0 00 0 00 0 00 0 0

A =

MATRIZ CUADRADA Matriz que tiene el mismo número de filas y

de columnas:Amxn es cuadrada ↔ m = n

Clases de matrices

4 2 5 5 2 7 6 -3 1/5

A =

MATRIZ CUADRADA

Diagonal principal

Observaciones:

4 -6 5 5 2 7 6 -3 1/5

A =

Son elementos de la diagonal principal: {4; 2; 1/5}

Traza Es la suma de los elementos de la diagonal principal de la matriz

Tr(A) = 4 + 2 + 1/5 = 31/5n

Tr(A) = ∑ aijI = 1

MATRIZ UNIDADAquella matriz cuyos elementos de la diagonal principal son todos 1

Ejemplo

1 0 0 0 1 0 0 0 1

B =

MATRIZ TRIANGULAR

Matriz cuadrada cuyos elementos, por encima o por debajo de la diagonal principal, son todos nulos.

Ejemplo-2 5 3 0 8 6 0 0 3

A =

MATRIZ ESCALAR Aquella matriz cuadrada que presenta

en su diagonal el mismo valor numérico mientras que sus demás componentes son ceros.

Ejemplo:

7 0 0 0 7 0 0 0 7

A=

MATRIZ TRANSPUESTA Cambia las filas por las columnas.

(At)t = A (A+B)t = At + Bt (A.B)t = Bt.At

A = At =

MATRIZ SIMÉTRICA Matriz cuadrada donde se cumple

que Amxn =Anxmt.

Elementos aij = ajit.

5176

1298

7913

6835

A

5176

1298

7913

6835

At

MATRIZ ANTISIMÉTRICA

Una matriz es antisimétrica o hemisimétrica, si es una matriz cuadrada y aij= − aji para todo i,j; es decir:

A = -At

La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al inverso.

MATRICES IGUALES

Dos matrices son iguales si son del mismo orden y sus componentes son iguales.

Formalmente: [aij]mxn = [bij]mxn ↔ aij = bij

Si A no es igual a B se denota A ≠ B

APLICACIONES Si las matrices son iguales, hallar el

valor de x e y

5 -3 5 1 0 4 -6 8 9

A = 5 x +y 5 1 2x - y 4 -6 8 9

B =

53

21E

21

OPERACIONES CON MATRICES

Considere que un comerciante de vehículos vende dos modelos: Deluxe y Super. Cada uno está disponible en dos colores, rojo y azul. Suponga que las ventas de enero y febrero están representadas por las matrices de ventas:

Deluxe

Super

Rojo

Azul

24

13F

Deluxe

Super

Rojo

Azul

Si queremos las ventas totales para cada modelo y color durante los dos meses, ¿Qué operación debemos hacer y cómo?

Resultado:

77

34V

Deluxe

Super

Rojo

Azul

2x32x312

52

87

810

50

32

22

SUMA DE MATRICES

Definición.- Si A=[aij] y B=[bij] son matrices de orden m x n, entonces la suma A+B es la matriz de orden m x n que se obtiene sumando los correspondientes elementos de A y B, es decir:

A+B =[aij + bij]mxn

Ejemplos:

2x3712

02

55

89

31

92

43

15 No está definida ya que las matrices son de diferente orden

23

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

1. A + B = B + A (propiedad conmutativa)

2. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)

3. A + O = O + A = A (propiedad del neutro aditivo)

Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces:

704

1532

24

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Definición.- Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (también llamado escalar), entonces kA es una matriz de orden m x n que se obtiene multiplicando cada elemento de A por k, es decir:

kA =[ kaij ]mxn

Ejemplo:

1408

2106

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PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

1. k(A + B) = kA + kB

2. (k1 + k2)A = k1A + k2A

3. k1(k2A) = (k1k2)A

4. 0A = O

5. kO = O

PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA

1. (A + B)T = AT + BT

2. (kA)T = kAT

GRACIAAAS!!!***