Gimnazija: Lucijan Vranjanin

Maturalna radnja:

DETERMINANTE I MATRICE

Izradio: Dinko Koruni, uenik 4. G Mentor: Milena Broni, profesor

U Zagrebu, 20. sijenja 1996.

SADRAJI. UVOD ......................................................................................................... 1 II. DETERMINANTE...................................................................................... 1 Determinante drugog reda.......................................................................... 1 Determinante treeg reda ........................................................................... 3 Determinante viih redova .......................................................................... 6 Svojstva determinanata ............................................................................... 6 Raunske operacije sa determinantama...................................................... 8 Primjena determinanti kod rjeavanja sustava linearnih jednadbi .......... 9 III. MATRICE.................................................................................................. 9 Pojam i vrste matrica .................................................................................. 9 Raunske operacije sa matricama .............................................................. 13 Transponiranje matrica .............................................................................. 15 Posebne vrste kvadratnih matrica............................................................... 16 Postupak za raunanje inverznih matrica................................................... 18 Reciprona matrica i transponirana reciprona matrica........................... 19 Detaljnije o rangu matrice .......................................................................... 19 Rjeavanje linearnih matrinih jednadbi .................................................. 20 Rjeavanje sustava linearnih jednadbi pomou matrinog raunanja ..... 22 Rastavljanje matrica u blokove................................................................... 24 IV. LITERATURA .......................................................................................... 26

1

I. UVODDeterminanta je u matematici izraz predoen kvadratnom shemom u kojoj je poredano n2 lanova u n redaka i n stupaca, i to je determinanta n-tog reda (tako postoje npr. determinante 2-og ili 3-eg reda):

a11 , ..., D= ...,

a12 , ..., a1n ..., ..., ..., . ..., ..., ...,

a n1 , a n 2 , ..., a nn Determinante je prvi otkrio i prouavao G. W. Leibniz 1693. godine ispitujui rjeenja sistema linearnih jednadbi. No kasnije se za otkrivaa determinanti smatra G. Cramer koji je 1750. godine dao pravila rjeavanja jednadbi pomou determinanata, a u meuvremenu je Leibnizovo otkrie palo u zaborav. Determinante se iroko primjenjuju u matematici tek nakon K. J. Jacobija. Naziv determinante uveo je u matematiku K. F. Gauss.Matrica je sustav od m n brojeva sloenih u pravokutnu shemu od m redova i n stupaca. Simboliki se matrica oznaava pomou dva para usporednih duina:

a11 a 21 ... a m1

a12 a 22 ...

... a1n ... a 2 n , ... ...

a m 2 ... a mn

ali se u novije vrijeme oznaava i sa zagradom:

a11 a12 a a 22 21 ... ... a m1 a m 2

... a1n a11 a12 ... a a a 22 ili 21 ... ... ... ... ... a mn a m1 a m 2

... a1n ... a . ... ... ... a mn

II. D ETERMINANTEDeterminante drugog redaDa bismo rijeili sistem od dviju linearnih jednadbi sa dvije nepoznanicea1 x + b1 y = c1 a 2 x + b2 y = c2 (1) (2)

potrebno je najprije izjednaiti jednadbe po nepoznanici y, te zato jednadbu (1) treba pomnoiti sa b2, a jednadbu (2) sa b1. Ako nakon toga zbrojimo te dvije jednadbe dobijamo: ( a1 b 2 a 2 b1 )x = c1b 2 c 2 b1 . (3)

2

Na isti nain treba izjednaiti i po nepoznanici x iz sistema jednadbi (1) i (2), pa se dobije:

( a1 b 2 a 2 b1 ) y = a1c 2 a 2 c1 .

(4)

Ako pretpostavimo da je a1b2a2b10 iz predhodne dvije jednadbe se dobija odreeno rjeenje zadanog sistema, i to tako da se jednadba (3) podijeli sa faktorom uz x i analogno tome jednadba (4) faktorom uz y:

x=

c1b 2 c 2 b1 a c a 2 c1 , te y = 1 2 . a 1 b 2 a 2 b1 a 1 b 2 a 2 b1

(5) i (6)

Prouimo li jednadbe (5) i (6), vidi se da su im nazivnici isti i da su im brojnici slino graeni. Moemo uvesti novu oznaku za izraz a1b2a2b1, i to:D= a1 a2 b1 b2 = a 1 b 2 a 2 b1 . (7)

Analogno tome, moemo zapisati da je: D1 = c1 c2 b1 b2 = c1 b 2 c 2 b1 i D 2 = a1 a2 c1 c2 = a1 c 2 a 2 c1 . (8) i (9)

Brojnik i nazivnik dobijenih jednadbi (5) i (6) se zovu determinante 2-og reda i to su ovdje D, D1 i D2. Openito vrijedi za svaka etiri broja, rasporeena u obliku kvadratne sheme: a11, a12, a21, a22, da se razlika koja odgovara toj shemi zove determinanta 2-og reda i ovdje je ta razlika ekvivalentna a11a22a21a12, a zapisuje se simbolikiD= a11 a12 . a 21 a 22

Elementi determinante (u predhodnom redu) su brojevi a11, a21, a12, a22; pri emu prvi dio indeksa elementa pokazuje broj reda u kojem se element nalazi, a drugi dio indeksa elementa broj stupca u kojem se nalazi taj element. Elementi a11 i a22 ine glavnu dijagonalu determinante, a elementi a21 i a12 sporednu dijagonalu. Red ili redak determinante ine elementi determinante koji stoje horizontalno jedan do drugoga. Stupac determinante ine elementi koji su vertikalno jedan ispod drugoga. Iz dosadanjeg izlaganja oigledno je da rjeenje sistema moe biti izraeno pomou determinanata ako je D determinanta koeficijenata nepoznanica u sustavu jednadbi (1) i (2), D1 je determinanta koja nastaje iz D ako se koeficijenti a1 i a2 od x nadomjeste brojevima c1 i c2 na desnim stranama jednadbi, te D2 je determinanta koja nastaje iz D ako se koeficijenti b1

3

i b2 od y nadomjeste brojevima c1 i c2. Konano rjeenje sistema jednadbi (1) i (2) onda moemo zapisati u obliku:

x= ili opirnije: c1 c2 x= a1 a2

D1 D , i y= 2 D D b1 a1 b2 a2 , y= b1 a1 b2 a2 c1 c2 . b1 b2

(10) i (11)

(12) i (13)

Determinanta u nazivniku je sastavljena od koeficijenata nepoznanica sistema jednadbi, ovdje jednadbi (1) i (2), i zove se determinanta tog sistema, te se oznaava sa D ili sa . Ako uvjet a1b2a2b10 nije zadovoljen, tj. D=0, onda i determinante D1 i D2 moraju biti jednake nuli jer bi inae izrazi (5) i (6) bili kontradiktorni. Znai, ako je D=0, a barem jedna od determinanti D1 i D2 razliita od nule, sistem nema rjeenja. Prema tome, moemo zapisati: 1) ako su koeficijenti nepoznanica u zadanom sistemu (vidjeti poetak) neproporcionalni, sistem je mogu i odreen; 2) ako su koeficijenti nepoznanica proporcionalni, a slobodni lanovi im nisu proporcionalni, sistem je nemogu zbog proturjeja u (5) i (6); 3) ako su koeficijenti nepoznanica i slobodni lanovi proporcionalni (D=D1=D2=0), sistem je neodreen jer ima beskonano rjeenja. Jednadbe (5) i (6) te (12) i (13) za b10 i b20 ine tzv. nehomogeni sustav, a za b1=b2=0 homogeni sustav jednadbi. Iz prethodnih zakljuaka slijedi da nehomogeni sustav ima ili samo jedan sustav rjeenja, ili uope nema rjeenja, ili ih ima beskonano mnogo. Homogeni sustav od dvije linearne jednadbe sa dvije nepoznanice ima rjeenja razliita od oiglednih, tzv. trivijalnih, samo u sluaju kad je determinanta sustava jednaka nuli, i tada ih ima beskonano mnogo. Vrijednost determinante 2-og reda se izraunava tako da se unakrsno mnoe lanovi determinante i pri tome se drugi umnoak dodaje prvom s protivnim predznakom:+

Deteminante treeg redaRjeavanje sistema dviju linearnih algebarskih jednadbi sa dvije nepoznanice dovodi nas do determinanti drugog reda, a analogno tome nas razmatranje sistema triju linearnih jednadbi sa tri nepoznanice dovodi do determinanti 3-eg reda. Tako imamo sistem:

a1 x + b1 y + c1 z = d1 a 2 x + b 2 y + c2 z = d 2

(14) (15)

4

a 3x + b 3 y + c3z = d 3

(16)

Da bismo rijeili taj sistem potrebno je iz jednadbi (14), (15) i (16) iskljuiti dvije nepoznanice, npr. y i z kako slijedi. Moemo (15) i (16) izraziti kao:

b 2 y + c2 z = d 2 a 2 x b 3 y + c3 z = d 3 a 3 xte onda pomou analogije sa (3) i (4) slijedi iz (17) i (18): b2 b3 c2 c3 y= d 2 a 2 x c2 d 3 a3x b2 b3 c3 = d2 d3 c2 c3 a 2 x c2 a 3x c3 = d2 d3 c2 c3 a2 a3 c2 c3

(17) (18)

x , (19)

c2 b2 z= c3 b3

d 2 a2x b2 = d 3 a 3x b3

d 2 b2 d 3 b3

a2 x. a3

(20)

Ako nakon toga pomnoimo jednadbu (14) sa faktorom uz y i z u izrazu (19) odnosno (20), uvrstimo zatim izraze iz (19) i (20), te ako determinanti koja stoji uz x izmijenimo stupce uz promjenu predznaka kao i stupce u determinanti koja stoji uz c1, dobit emo:

b2 xa 1 b3

c2 a2 b1 c3 a3

c2 a2 + c1 c3 a3

b2 b2 = d1 b3 b3

c2 d2 b1 c3 d3

c2 d2 + c1 c3 d3

b2 . b3

(21)

Vidimo da se faktor uz x moe zapisati kao determinanta 3-eg reda:a1 D = a2 a3 b1 b2 b3 c1 b2 c 2 = a1 b3 c3 c2 c3 a2 a3 c2 c3 a2 a3 b2 b3

b1

c1

. (22)

Pomou te determinante se moe promijeniti desna strana jednadbe (21) tako da se elementi a1, a2 i a3 u determinanti D zamijene sa d1, d2 i d3, pa jednadba (21) ovako izgleda: x D = D1 , pri emu je D1 takoer determinanta treeg reda:d1 D1 = d 2 d3 b1 b2 b3 c1 c2 . c3

(23)

(24)

Analogno tome se dobiva:

y D = D2 ,pomou

(25)

5

a1 D2 = a2 a3

d1 d2 d3

c1 c2 ; c3

(26)

i sa

z D = D3

(27)

a1 D3 = a2 a3

b1 b2 b3

d1 d2 . d3

(28)

Iz izraza (23), (25) i (27) se mogu izraunati x, y, z ako vrijedi da D0. Tada je jednoznano rjeenje sistema jednadbi (14), (15) i (16): x= D1 D D , y = 2 te z = 3 . D D D (29), (30), (31)

Ako je D=0, a barem jedna od determinanata D1, D2 ili D3 razliita od nule, vidi se da prema (29), (30) i (31) ne moe postojati rjeenje. Jednadbe (14), (15) i (16) su onda proturjene. Ako je D=D1=D2=D3=0, onda sistem (14), (15), (16) ima beskonano mnogo rjeenja. Za izraunavanje vrijednosti determinante treeg reda moemo se posluiti Sarrusovim pravilom: treba napisati determinantu i uz nju desno jo dva prva stupca:

a 1 b 1 c1 a 1 b 1 a 2 b 2 c2 a 2 b 2 a3 b3 c3 a 3 c3

Sada po shemi tvorimo produkte po tri lana i to prvo u smjeru glavne dijagonale, a zatim produkte od takoer po tri lana, no u smjeru suprotne dijagonale. Produkte uzete u smjeru glavne dijagonale zbrojimo i od toga oduzmemo zbroj produkata uzetih u smjeru sporede dijagonale. Ako promotrimo izraz na desnoj strani izraza (22), moemo vidjeti da su elementi a1,b1, c1 pomoeni determinantama drugog reda, koje se mogu dobiti razvijanjem determinante po stupcu ili po retku (u determinanti treeg reda se precrta redak i stupac u kojem se nalazi dotini element). Za razvijanje determinante se koristimo shemom predznaka:+ + + + +

po kojoj uzimamo predznake pojedinih elementa kada razvijemo determinantu. Ako elimo da razvijemo determinantu po npr. elementima prvog retka, tada prepiemo prvi element toga retka i precrtamo prvi redak i prvi stupac determinante, te prepisani prvi element mnoimo s preostalim dijelom determinante. Tako dobivena determinanta 2-og reda se zove

6

subdeterminanta ili minor dotinog elementa. Zatim prepiemo s protivnim predznakom (po shemi predznaka) drugi element prvog retka, pa kao i prije mnoimo taj element sa njegovom determinantom (koju dobijemo kad precrtamo prvi redak i drugi stupac zadane determinante). Naposlijetku prepiemo trei element prvog retka i pomnoimo ga sa njegovom subdeterminantom (koja se dobiva kad se precrta prvi redak i trei stupac u zadanoj determinanti). Sada moemo razviti subdeterminante na ve prije objanjeni nain (vidi Determinante 2-og reda). Na analogni nain se razvija determinanta 3-eg reda po elementima drugog i treeg retka, odnosno bilo kojeg stupca.

Determinante viih redovaDeterminante n-tog reda rjeavaju se na isti nain kao i determinante treeg reda, te ih na isti nain moemo razviti. Shema predznaka za razvijanje determinante ponaa se analogno shemi predznaka determinanti 3-eg reda. Npr. shema predznaka determinante 4-og reda: + + + + , + + + + a razvijanjem determinante 4-og reda dobivaju se etiri minora treeg reda. Pod vrijednosti determinante n-tog reda a11 , a12 , ..., a1n a 21 , a 22 , ..., a 2 n , D= ..., ..., ..., ..., a n1 , a n 2 , ..., a nn

(32)

podrazumijevamo sumu D = a1k1 a 2 k 2 ... a nk n , gdje je (k1,k2,...,kn) neka permutacijabrojeva 1, 2, ..., n. Sumaciju treba protegnuti preko svih takvih permutacija. Pojednini lanovi dobivaju predznak plus ako je dotina permutacija parna, a predznak minus ako je neparna. esto se umjesto sheme (32) pie samo a ik . Nehomogeni sustav od n linearnih jednadbi s n nepoznanica ima za bilo koje desne strane tih jednadbi samo jedan sustav rjeenja x1, x2, ..., xn, ako je determinanta sustava razliita od nule. Za =0 taj sustav nema rjeenja, ako su determinante u brojnicima izraza za nepoznanice razliite od nule, odnosno ima beskonano mnogo rjeenja, ako su te determinante jednake nuli. Homogeni sustav od n linearnih algebarskih jednadbi s n nepoznanica ima rjeenja razliita od oevidnih (x1=0, x2=0,...,xn=0) samo u sluaju, kada je determinanta sustava =0, i tada ih ima beskonano mnogo.

Svojstva determinanataNajvanija svojstva determinanti su: 1) Determinantu uvijek moemo razviti po elementima bilo kojeg retka i bilo kojeg stupca, te emo uvijek dobiti istu vrijednost determinante.

7

2) Determinanta ne mijenja vrijednost, ako zamijenimo retke determinante u redoslijedu ili stupce determinante u redoslijedu, tj. ako determinantu zaokrenemo za 180 oko njene glavne dijagonale koja ide slijeva na desno (odnosno preklopimo je preko njene glavne dijagonale). To slijedi iz svojstva 1. 3) Determinanta, u kojoj su svi elementi jednog retka ili jednog stupca nule, ima vrijednost jednaku nuli. Razvijemo li takvu determinantu po elementima onog retka ili onog stupca, u kojem su nule, dobit emo nulu jer e se svaka subdeterminanta mnoiti s nulom. 4) Ako u determinanti dva stupca ili dva retka meusobno zamijene poloaj, determinanta mijenja predznak. To svojstvo slijedi iz sheme predznaka za raunanje determinanata, jer elementi susjednih redaka ili susjednih stupaca imaju suprotne predznake. 5) Vrijednost determinante sa dva jednaka retka ili dva jednaka stupca je jednaka nuli. To slijedi iz svojstva 4: kada bi ta dva stupca ili retka zamijenila poloaje, determinanta bi morala mijenjati predznak (svojstvo 4), no izmjenom poloaja determinanta se ne mijenja tj. ostaje ista jer su ta dva retka (stupca) jednaki. To znai da je D=D, a to je mogue samo za D=0. 6) Imaju li svi elementi jednog retka ili jednog stupca isti faktor, taj faktor pripada itavoj determinanti pa ga moemo izluiti tj. postaviti ispred determinante; razvijemo li takvu determinantu po elementima onog retka ili onog stupca koji sadri tu konstantu tj. stalni faktor, svaki minor e biti pomoen tim faktorom pa je jasno da ga moemo izluiti ispred cijelog razvoja determinante. Analogno, to znai da determinantu mnoimo nekim brojem k0 tako da elemente jednog retka ili jednog stupca pomoimo tim brojem. 7) Determinanta ne mijenja svoje vrijednosti ako elementima jednog retka (jednog stupca) pribrojimo pripadne elemente kojeg drugog retka (stupca) eventualno pomoene bilo kojom konstantom. Npr. pomnoimo elemente drugog retka determinantea11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33

s nekom konstantom k0, pa ih pribrojimo pripadnim elementima prvog retka:a11 + k a 21 a 21 a 31 a12 + k a 22 a 22 a 32 a13 + k a 23 a 23 a 33

Razvijemo li tako dobivenu determinantu po elementima prvog retka, po svojstvu 6 moemo izluiti konstantu k pa dobivamo:a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 33 a 21 a 31 a 22 a 22 a 32 a 23 a 23 . a 33

a 23 + k a 21

Vidimo da je druga determinanta po svojstvu 5 jednaka 0 jer ima dva jednaka retka, pa dobivamo zadanu determinantu. 8) Vrijednost determinante je jednaka nuli, ako su joj dva retka ili dva stupca meusobno proporcionalna. To slijedi iz svojstva 2 i 6. Iz jednog od tih stupaca moemo izluiti faktor pred cijelu determinantu (svojstvo 6), te u determinanti dobijemo oba stupca (retka) jednaka, a to (svojstvo 2) znai da je vrijednost determinante jednaka nuli.

8

Raunske operacije sa determinantamaOperacije zbrajanja, odbijanja i mnoenja izvode se nad dvije determinante samo ako su obje istog reda. 1) Zbrajanje: Ako se dvije determinante razlikuju najvie u jednom retku (stupcu), njihova je suma jednaka determinanti u kojoj je onaj redak (stupac) u kojem se sumandi razlikuju jednak zbroju dotinih redaka (stupaca) u sumandima, dok su ostali reci (stupci) isti kao kod oba sumanda: a11 a12 a13 b11 a12 a13 a11 + b11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 + b 21 a 22 a 23 = a 21 + b 21 a 22 a 23 . a 31 a 32 a 33 b 31 a 32 a 33 a 31 + b 31 a 32 a 33 2) Odbijanje: Vri se analogno zbrajanju, tj. jednu determinantu odbijamo od druge ako se razlikuje najvie u jednom stupcu ili retku. U determinanti, koja je rezultat odbijanja, razliitim e stupcima (recima) zadanih determinanti odgovarati stupac (redak) koji je jednak razlici tih stupaca (redaka), dok e ostali stupci (reci) biti u sve tri determinante jednaki (iz ovoga slijedi svojstvo 7). 3) Mnoenje dviju determinanata: Produkt dviju determinanata je determinanta kojoj je crs-ti element jednak

ak =1

n

rk

b ks , r=1, 2, ..., n, s=1, 2, ..., n

gdje su ark elementi prvog, a bks elementi drugog faktora produkta. Jednostavnije reeno, crs-ti element dobijemo tako da elemente r-tog retka prve determinante pomoimo sa pripadnim elementima s-tog stupca druge i to zbrojimo:a11 a 21 a 31 a11 b11 + a12 b 21 + a13 b 31 a 21 b11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 31 b11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a12 a 22 a 32 a13 b11 a 23 b 21 a 33 b 31 b12 b 22 b 32 b13 b 23 = b 33 a11 b11 + a12 b 21 + a13 b 31 a 21 b11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 31 b11 + a 32 b 21 + a 33 b 31

a11 b11 + a12 b 21 + a13 b 31 a 21 b11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 31 b11 + a 32 b 21 + a 33 b 31

4) Dijeljenje: Za prikaz kvocijenta dviju determinanti u obliku determinanti ne postoji pravilo. Ako elimo podijeliti dvije determinante, moramo najprije izraunati njihove vrijednosti, a tek onda te vrijednosti podijeliti. 5) Kvadriranje: Do izraza za kvadriranje dolazimo ako primjenimo mnoenje na dvije potpuno identine determinante, pa se dobije:

9

a11 a 21

2 a12 a11 + a 2 21 = a 22 a12 a11 + a 22 a 21

2

a12 a11 + a 22 a 21 2 a12 + a 2 22

i to je tzv. simetrina determinanta u kojoj su jednaki elementi to lee simetrino spram glavne dijagonale. To vrijedi za determinante n-tog reda tj. za sve determinante.

Primjena determinanti kod rjeavanja sustava linearnih jednadbiAko se prisjetimo rjeavanja jednadbi objanjenog u poglavlju: Determinante 2-og reda: a1 x + b1 y = c1 a 2 x + b2 y = c2 iz ega je slijedilo: x= c1 b 2 c 2 b1 a c a 2 c1 , te y = 1 2 . a1b 2 a 2 b1 a 1 b 2 a 2 b1

Vidjeli smo da se taj rezultat moe zapisati i kao:

x= Takoer je vrijedilo da je: D= a1 a2 b1 b2

D1 D , i y= 2 D D

, Dx =

c1 c2

b1 b2

i Dy =

a1 a2

c1 c2

.

Ovakav nain rjeavanja sustava linearnih jednadbi pomou determinanti je prvi primijenio Cramer, te se pravilo za izraunavanje nepoznanica formulom x=Dy Dx i y= D D

zove Cramerovo pravilo. Za sustav od n linearnih jednadbi sa n nepoznanica (koje su x1, x2, ..., xn) rjeenja su:x1 =

D2 D D1 , x2 = , ..., x n = n , D D D

gdje je

D i = D x i za i=1, 2, ..., n.

III. M ATRICEPojam i vrste matrica

10

Ako svrstamo m n elemenata u pravokutnu shemu koja ima m redaka i n stupaca, dobit emo pravokutnu tablicu koja slui kao izvor za dobivanje razliitih determinanata i zove se pravokutna matrica. Kao to sam ve objasnio u uvodu, matrica se stavlja izmeu dva paralelna pravca ili izmeu zagrade za razliku od determinante. Matrica sama nema numerike vrijednosti, jer je samo sustav izraunatih veliina, najee koeficijenata jednadbi. Determinante dobivene iz matrice zovu se minori matrice ili subdeterminante matrice i ako je matrica oznaena sa E onda se njen minor oznaava sa E. Npr. iz matrice a1 b1 c1 a1 b1 c1 tj. a 2 b 2 c2 a 2 b 2 c 2

moemo dobiti tri determinante drugog reda tako da uzastopno izostavljamo jedan od stupaca, pri emu svaki put stavimo na prvo mjesto onaj stupac koji slijedi odmah nakon izostavljenog: 1 = b1 b2 c1 c1 , 2 = c2 c2 a1 a1 , te 3 = a2 a2 b1 . b2

Rangom matrice zovemo broj koji je jednak najviem redu determinante (te matrice) koja se ne pretvara u nulu. Znai ako je rang matrice jednak l, tada se sve determinante reda (l+1) te matrice pretvaraju u nulu, ali postoji barem jedna determinanta reda l koja je razliita od nule. Rang matrice pokazuje broj linearno nezavisnih jednadbi zadanog sustava. Ako imamo npr. sustav od tri linearne homogene jednadbe s etiri nepoznanice:

a1 x + b1 y + c1 z + d1 t = 0 a 2 x + b2 y + c2 z + d 2 t = 0 a 3 x + b 3 y + c3 z + d 3 t = 0 onda matrica sastavljena od svih koeficijenata tog sustava glasi: a1 A = a 2 a 3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 d1 d2 d3

pa iz te matrice dobivamo slijedee determinante:b1 1 = b 2 b3 c1 c2 c3 d1 d3 c1 c3 d1 d2 d3 a1 a3 d1 d3 a1 a2 a3 b1 b3 a1 a3 b1 b2 b3 c1 c2 . c3

d 2 , 2 = c2

a2 , 3 = d2

b2 , 4 = a2

Ako je rang r matrice A jednak 3, tj. ako su sve determinante 1, 2, 3 i 4 razliite od nule, ili bar jedna od njih razliita od nule, onda gore navedeni sustav jednadbi ima tri linearno nezavisne jednadbe, koje daju jedno odreeno rjeenje sustava. Matrica A je drugog ranga ako je bar jedna od triju determinanata koje nastaju izostavljanjem jednog retka i jednog stupca, razliita od nule. Ona je prvog ranga ako je determinanta koja nastaje izostavljanjem jednog retka i dva stupca razliita od nule.

11

Dakle, treba naglasiti da je matrica tablica brojeva, a determinanta broj prikazan u obliku tablice. Kao to smo ve mogli primjetiti, matrica za razliku od determinante ne mora imati jednak broj redaka i stupaca. Matrice od jednog stupca se nazivaju vektori, a njihovi elementi komponente (u donjem sluaju x1, x2 i x3): x1 X = x 2 x3

Matrica se moe prikazati ovako: a11 a 21 A= ... a m1 a12 a 22 ... am2 ... a1n a11 ... a 2 n a 21 = ... ... ... ... a m1 a12 a 22 ... a m2 ... a1n ... a 2 n = a ij ... ... ...

[ ]

pri emu su i=1, 2, ..., m redni brojevi redaka matrice, j=1, 2, ..., n redni brojevi stupaca matrice. Matrica koja ima m redaka i n stupaca zove se mn matrica ili (m,n)-matrica. Ako se eli za matricu A = a ij naznaiti broj redaka i broj stupaca, onda moemo zapisati i kao A = a ij

[ ]

[ ]

n m

.

Dakle, (m,1)-matrica ili (1,n)-matrica je m-redni vektor (matrica-redak) odnosno n-stupani vektor (matrica-stupac). Vektor moemo zapisati i kao: a1 a 2 a = odnosno b = [ a1 ... a m

a2

... a n ]

pri emu je a (m,1)-redni vektor, a b (1,n)-stupani vektor. Ako je broj redaka matrice jednak broju stupaca, tj. ako je (m=n) imamo kvadratnu matricu reda n ili krae (n)-matricu. Kod kvadratnih matrica postoje dijagonalne matrice u kojima su svi elementi razliitih indeksa (ij) jednaki nuli (tj. svi elementi izvan glavne dijagonale su jednaki nuli): a11 0 0 0 0 0 a 22 0 0 ... 0 0 a nn 0 0 0

Kod njih vrijedi da elementi razliiti od nule lee na glavnoj dijagonali matrice. Skalarne matrice su vrsta dijagonalnih matrica za koje vrijedi da su im svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki (a11=a22=...=ann). Skalarna matrica kojoj su svi dijagonalni elementi jedinice, a svi ostali nule naziva se jedinina matrica i oznaava se sa E:

12

1 0 E= ... 0

0 ... 0 1 0 0 . 0 ... 0 0 ... 1

Lako je zakljuiti da za svaki n postoji jedna jedinina matrica. Takoer, jo postoji i donja trokutna matrica: a11 a 21 a 31 ... a n1 i gornja trokutna matrica: a11 a12 0 a 22 0 0 0 0 0 0 a13 a 23 a 33 0 0 ... a1n ... a 2 n ... a 3n , ... ... 0 a nn 0 a 22 a 32 ... a n2 0 0 a 33 ... a n3 , ... a nn ... ... 0 ... 0 0 0 0

koje su isto tako podvrsta dijagonalnih matrica. Dakle, za matrice vrijedi: 1) Determinanta dijagonalne matrice jednaka je umnoku njenih elemenata na glavnoj dijagonali: det A=A=a11a22a33...ann, pa stoga izlazi da je determinanta matrice E (jedninina matrica) jednaka 1 (vidjeti determinante), to se zapisuje kao: det E=E=1. 2) Determinanta matrice koja se sastoji od jednog broja jednaka je tom broju. 3) Matrica iji su svi elementi nula zove se nulta matrica i oznaava se sa 0. 4) Dvije (m,n)-matrice su jednake ako i samo ako imaju iste elemente u istom poloaju, dakle:A= [a ik ]m , B= [ b ik ]m ,n n

pa moemo pisati A=B onda i samo onda, kada vrijedi: aik=bik (i=1, ..., m; k=1, ..., n).

Moe se vidjeti da je relacija jednakosti definirana samo meu matricama koje imaju isti broj redaka i isti broj stupaca.

13

Takoer, iz definicije slijedi da relacija jednakosti ima svojstvo refleksivnosti, tj. svaka je matrica sama sebi jednaka,tj. (A=A). Zatim ima svojstvo simetrije tj. (A=B) (B=A). Ima jo i svojstvo tranzitivnosti, tj. (A=B) & (B=C) (A=C). Trokutna matrica ima slijedea svojstva: 1) Determinanta bilo kakve trokutne matrice jednaka je produktu njenih elemenata koji su na glavnoj dijagonali. 2) Produkt dviju gornjih ili dviju donjih trokutnih matrica istog reda daje gornju, odnosno donju trokutnu matricu. 3) Produkt gornje i donje, odnosno donje i gornje trokutne matrice istog reda, daje kvadratnu matricu istog reda.

Raunske operacije sa matricama1) Zbrajanje: Pod zbrojem dviju (m,n)-matrica A i B podrazumijeva se (m,n)-matrica C. Vano je primjetiti da je mogue zbrojiti samo matrice koje imaju isti broj redaka i isti broj stupaca. Matrica dobivena zbrajanjem, i to tako da se posebno zbroje svi pripadni elemenati tih matrica, ima isti broj redaka i isti broj stupaca kao i polazne matrice. Dakle ako:A= [a ik ]m , B= [a ik ]m i C= [a ik ]m ,n n n

C=(A+B),

onda: cik=aik+bik (i=1, ..., m; k=1, ..., n). Npr. a11 a 21 a 31 a12 b11 a 22 + b 21 a 32 b 31 b12 a11 + b11 b 22 = a 21 + b 21 b 32 a 31 + b 31 a12 + b12 a 22 + b 22 . a 32 + b 32

Vano je primjetiti da pravilo zbrajanja vrijedi za bilo koji (konani) broj pribrojnika. Za zbrajanje matrica vrijede zakoni komutacije i asocijacije kao i za obine brojeve: (A+B)=(B+A) (komutacija),A+(B+C)=(A+B)+C (asocijacija).

Dokaz da ovi zakoni vrijede proizlazi neposredno iz toga da ti zakoni vrijede za zbrajanje samih elemenata. 2) Oduzimanje: Razlika dviju matrica je definirana analogno kao zbroj. Dakle, umjesto da se elementi zbrajaju oni se oduzimaju, odnosno elementi suprahenda se oduzimaju od odgovarajuih elemenata minuenda:C=(AB),

znai: cik=aikbik (i=1, ..., m; k=1, ..., n).

14

Vrijede isti zakoni za oduzimanje kao i za zbrajanje. Vano je jo jednom naglasiti da su operacije zbrajanja i oduzimanja definirane samo meu matricama istog broja stupaca i redaka tj. meu matricama istog oblika. 3) Produkt matrice A i broja tj. skalara : Produkt broja s matricom A dobiva se tako da se svi elementi od A pomnoe sa , tj.:B=A=A

znai: bik=aik (i=1, ..., m; k=1, ..., n). Za ovo mnoenje vrijede zakoni ( i su skalari, a A je matrica): A=A (komutacija), ()A=(A) (asocijacija). a za kombinaciju zbrajanja i mnoenja vrijede dva zakona distribucije: (+)A=A+A, (A+B)= A+B. 4) Mnoenje matrice sa matricom: Produkt matrice A sa matricom B definira se samo za sluaj da je broj stupaca prve matrice jednak broju redaka druge matrice. Neka je A= [a ik ] (m,q)-matrica, a B= [ b ik ] (q,n)-

matrica. Onda je njihov produkt C= [ c ik ] (m,n)-matrica za koju vrijedi da su joj elementi cik odreeni sa:

c ik = a is b sk (i=1, ..., m; k=1, ..., n).s =1

p

To znai da (i,k)-ti element produkta dobiva mnoenjem i-tog retka prvog faktora s k-tim stupcem drugog faktora. Postupak je analogan mnoenju determinanti samo to se ovdje moe samo mnoiti retke sa stupcima. Za tako definirano mnoenje vrijedit e zakoni: A(BC)=(AB)C (asocijacija), (AB)=(A)B, (AB)=A(B) (asocijacija), (A)B=A(B) (asocijacija),A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA (distribucija).

Vano je primjetiti da zakon komutacije kod matrica openito ne vrijedi. Ako je A (m,n)matrica, a B (p,q)-matrica, onda produkt AB ima smisla samo ako je (n=p), a produkt BA ima smisla samo ako je (m=q). Dakle, zakon komutacije bi vrijedio samo za kvadratne matrice, no ni tada ne uvijek. Matrice A i jedinina matrica E su uvijek komutativne. Matrice A i B su antikomutativne ako je (AB=BA). Zanimljivo je i da produkt dviju matrica moe biti nulmatrica, a da nijedan faktor nije nula (vidjeti o singularnim matricama), npr.:

15

2 4 1 2 4 0 0 2 3 5 3 6 = 0 0 . 1 2

Matrice se mogu mnoiti sa lijeva, npr. moemo jednoelementnu matricu [a] pomnoiti zdesna s jednim vektorom:

[a] [ b1 b 2 ... b n ] = [ab1 ab 2 ... ab n ] ,ili slijeva sa stupanim vektorom: b1 b1 a ... [a] = ... . b n b n a Jo moemo primjetiti da je determinanta produkta dviju kvadratnih matrica jednaka produktu determinanata tih matrica (Cauchyjev teorem). 5) Skalarni produkt dvaju vektora: Pod skalarnim ili nutarnjim produktom (a,b) dvaju vektora a i b (bez obzira jesu li stupani ili redni vektori) podrazumijevamo:

( a, b ) = a1b1 + a 2 b 2 +...+ a n b n .Dakle, skalarni produkt (a,b) je broj (skalar), za razliku od produkta ~ b koji je matrica. a 6) Potenciranje matrice: k-ta potencija n-matrice A je produkt od k jednakih faktora A. Takoer, definiramo nultu potenciju sa: A0 = E , tj. pod nultom potencijom n-matrice podrazumijevamo jedininu n-matricu. Oito je iz definicije mnoenja matrica da se samo kvadratne matrice mogu meusobno mnoiti sa samim sobom, jer inae nisu ispunjeni uvjeti za brojeve redaka i stupaca. Stoga se i potenciranje definira samo za kvadratne matrice. Takoer je oito da za potenciranje vrijedi: A p A q = A p+q .

Transponiranje matricaAko se (m,n)-matrica A= [ a ik ] preklopi oko njene glavne dijagonale, njeni e stupci postati recima, a reci stupcima. Dobit emo novu matricu koja je transponirana matrica s obzirom na ~ ~ matricu A i oznaavamo ju sa A . Na taj nain se matrica A pretvara u matricu A . Njene elemente emo oznaiti sa ~ik , tako da vrijedi: a~ ~ = a , tj. A = [ ~ ] = [a ] . aik aik ki ki

Ta matrica je (n,m)-matrica. tj. broj njenih redaka je jednak broju stupaca prvotne matrice, a broj njenih stupaca je jednak broju redaka prvotne matrice.

16

Vrijedi: 1) Ako nad matricom A izvrimo dvaput operaciju transponiranja, matrica A ostaje nepromijenjena. 2) Transponirana matrica zbroja dviju matrica jednaka je zbroju transponiranih matrica:

~ ( A+ B )

~ ~ = A + B.

~ 3) Determinanta matrice A jednaka je determinanti matrice A : ~ det A=A=det A =A.4) Transponirana matrica produkata dviju ili vie matrica jednaka je produktu transponiranih matrica uzetih u obratnom poretku:

~~ ~ A B C = CBA .

~

~ ~~ (A B ) = BA ,

Posebne vrste kvadrantih matrica1) Simetrine i kososimetrine matrice: Kvadratna matrica se naziva simetrina matrica ako su njeni elementi, koji lee simetrino s obzirom na glavnu dijagonalu, meusobno jednaki (tj. aij=aji). Kososimetrina matrica ili antisimetrina matrica je matrica kod koje su elementi, simetrino rasporeeni obzirom na glavnu dijagonalu, jednaki po veliini i protivni po predznaku (tj. aij=aji). Iz definicije transponiranja matrica i definicije ovih dviju vrsta matrica slijedi da vrijedi: ~ za simetrinu matricu A = A ,

~ a za kososimetrinu matricu A = A . ~ Produkt matrice A i transponirane matrice A daje simetrinu matricu B: ~ AA = B ,jer je:~ ~ ~ ~ ~ ~ B = ( A A ) = ( A )A = AA = B .

~

Za simetrine i antisimetrine matrice vrijedi slijedei teorem: Svaka kvadratna matrica A se moe jednoznano rastaviti u zbroj jedne simetrine matrice As i jedne antisimetrine matrice Aa, tj.: ~ ~ A+A AA i Aa = . As = 2 2 2) Regularne kvadratne matrice:

17

Kvadratna matrica naziva se singularnom matricom ako je njena determinanta jednaka nuli, tj. det A=0, a nesingularnom ili regularnom matricom ako joj je determinanta razliita od nule, tj. det A0. Npr. trokutna matrica je singularna ako je makar jedan njen element jednak nuli. 3) Ortogonalna matrica: Za neku kvadratnu matricu A emo rei da je ortogonalna matrica ako je produkt te ~ matrice i njoj transponirane matrice A jednak jedininoj matrici E, tj. ako je: ~ AA = E. Za ortogonalnu matricu vrijedi: a) Determinanta ortogonalne matrice jednaka je (+1) ili (1). Zbog svojstva determinanti vrijedi:

~ A = A. Dalje, zbog definicije ortogonalne matrice i zbog Cauchyjevog teorema vrijedi:

~ ~ 2 AA = A A = A = 1 ,pa je uvijekA = 1 .

b) Produkt dviju ortogonalnih matrica uvijek je ortogonalna matrica. Ako su A i B dvije ortogonalne matrice, vrijedi po definiciji: ~ ~ A A = E , i B B = E . Tada dalje vrijedi: ~~ ~ ~ ~ ~ ( AB) AB = ( AB) ( BA ) = A( BB)A = ( AE) A = AA = E. Pa je prema definiciji produkt AB sigurno ortogonalna matrica. c) Algebarski kofaktor nekog elementa ortogonalne matrice je jednak tom elementu ili mu je protivan, prema toma da li je determinanta matrice pozitivna ili negativna, tj. vrijedi relacija: A ij = A a ij (i,j=1, 2, ..., n).d) Ortogonalna matrica je komutativna sa svojom transponiranom matricom, tj. za svaku ortogonalnu matricu A uvijek vrijedi:

(~)

~ ~ AA = AA, ~ ~ zbog toga to vrijedi da A A = E i A A = E . 4) Inverzna kvadratna matrica: Ako se podsjetimo da reciprona vrijednost a1 nekog broja a ima svojstvo da pomnoena s a daje 1, analogno slijedi da je inverzna matrica A1 neke kvadratne matrice A definirana svojstvom da pomnoena s A (bilo slijeva, bilo zdesna) daje jednininu matricu E, tj.: AA 1 = A 1 A = E .

18

Inverzna matrica ima slijedea svojstva: a) Singularna matrica nema inverzne matrice. Regularna matrica A= [ a ik ] ima jednoznano odreenu inverznu matricu A1= [ ik ] kojoj su elementi ik odreeni sa: A ik = ki , A

pri emu je openito Aik kofaktor elementa aik zadane matrice A, dok je A determinanta matrice A. Kofaktor je definiran kao i kod determinanata, Aik=(1) gdje je Dik subdeterminanta elementa aik.i+k

Dik

b) Determinanta inverzne matrice A1 reciprona je vrijednost determinante A matrice A. E = 1 = AA 1 = A A 1 = A A 1 , dakle: 1 A 1 = . A n c) Pod potencijom A regularne matrice A (n je prirodan broj) razumijevamo n-tu potenciju inverzne matrice A1:A n = ( A 1 ) .n

d) Inverzna matrica produkata dviju ili vie regularnih matrica jednaka je produktu inverznih matrica pojedinih faktora, no u obrnutom redoslijedu:

( ABC) 1 = C 1B1A 1 .e) Dvije n-matrice A i B se nazivaju djelitelji nule ako su razliite od nulmatrice, a produkt AB im je nulmatrica, tj.:A0, B0, AB=0.

Djelitelji nule su uvijek singularne matrice, a dokaz tog teorema se provodi pomou inverznih matrica.

Postupak za raunanje inverznih matrica1. korak Raunamo za zadanu matricu A vrijednost determinante, tj. =det A=A. 2. korak 3. korak

~ Zadanu matricu A transponiramo da dobijemo matricu A . ~ Za svaki element matrice A raunamo (redak po redak) pripadne kofaktore ili algebarske komplemente, tj. subdeterminante, koje dobivamo tako da precrtamo stupac i redak u kojem lei dotini element pri emu uzimamo predznake plus i minus naizmjenice bez obzira na predznak elementa za koji raunamo kofaktor.

19

4. korak 5. korak 6. korak

U matrici A zamijenimo svaki element pripadnim kofaktorom. Podijelimo li svaki lan tako dobivene matrice s =det A, dobit emo traenu matricu A1 inverznu s obzirom na polaznu matricu A. Provjerimo vrijedi li: A A 1 = A 1 A = E = 1.

Reciprona matrica i transponirana reciprona matrica1) Reciprona matrica A* kvadratne matrice A= [ a ik ] je matrica kofaktora Aik elementa aik zadane matrice , tj.: A * = [ A ik ] .

~ 2) Transponirana reciprona matrica ili adjungirana matrica A * se dobiva preklapanjem reciprone matrice oko glavne dijagonale, pa vrijedi: A1

~ A* = , det A

odnosno inverzna matrica kvadratne regularne matrice A je jednaka transponiranoj ~ recipronoj matrici A * podijeljenoj sa determinantom A matrice A.

Detaljnije o rangu matriceSubdeterminantom reda k (m,n)-matrice A, pri emu vrijedi da (k m), (k n), naziva se determinanta D, koja se sastoji od k2 elemenata kojima je poredak sauvan i lee u sjecitu nekih k redaka i nekih k stupaca. Kao to sam ve rekao, rangom matrice A se naziva najvei red to ga mogu imati subdeterminante matrice koje su razliite od nule. Oito je da zbog kvadratnog oblika determinanti najvei red l subdeterminante je uvijek jednak manjem broju od brojeva redaka m i stupaca n (znamo da kod kvadratne matrice m=n, pa je onda l=m=n). Matrica A ima rang l ako je bar jedna od tih subdeterminanti razliita od nule. No, ponitavaju li se sve te determinante reda l, treba promatrati subdeterminante reda (l1). Razlika izmeu manjeg od brojeva m i n, te ranga matrice r se zove defekt matrice. Dalje, ako matrica ima rang r, tada se r-redna subdeterminanta razliita od nule naziva temeljna subdeterminanta. Slijedei teoremi su vezani uz rang produkta i zbroja matrica: 1) Rang produkta dviju ili vie (openito pravokutnih) matrica ne moe biti vei od ranga pojedinih faktora. 2) Mnoenjem pravokutne matrice s regularnom (kvadratnom) matricom (bilo slijeva, bilo zdesna) ne mijenja se njen rang. 3) Dvije (m,n)-matrice su ekvivalentne onda i samo onda ako im je isti rang. Dvije pravokutne matrice A i B se nazivaju ekivalentnim ako se jedna u drugu mogu prevesti elementarnim operacijama, tj. izmjenom dvaju redaka ili stupaca, zatim mnoenjem redaka ili stupaca s nekim faktorom razliitim od nule, te naposlijetku pribrajanjem pomnoenog retka ili stupca s nekim faktorom, nekom drugom retku ili stupcu. Onda piemo AB, odnosno A je ekvivalnentno B. 4) Dvije (m,n)-matrice A i B ekvivalentne su onda i samo onda, ako postoji kvadratna regularna m-matrica C i kvadratna regularna n-matrica D, tako da vrijedi:

20

CAD=B.

5) Dvije (m,n)-matrice A i B imaju isti rang onda i samo onda, ako postoje kvadratna regularna m-matrica C i kvadratna regularna n-matrica D tako da vrijedi:CAD=B.

6) Ako (m,p)-matrica A ima rang r, a (p,n)-matrica B ima rang s, onda za rang t njihova produkta C=AB koji je (m,n) matrica vrijedi: t r+sp. 7) Nulitet kvadratne n-matrice ranga r je razlika njezina reda i ranga, odnosno:=nr.

Sylvesterov zakon nuliteta glasi: Nulitet produkta dviju ili vie kvadratnih matrica je vei ili jednak nulitetu bilo kojeg drugog faktora, a manji je ili jednak zbroju nuliteta svih faktora. Dokaz tee indukcijom. 8) Rang zbroja dviju ili vie matrica istog oblika ja najvie jednak zbroj rangova pojedinih sumanada.

Rjeavanje linearnih matrinih jednadbiPomou do sada navedenog gradiva u stanju smo rijeiti matrine jednadbe oblika:AX=B odnosno YA=C,

(1) i (2)

analogno rjeavajui jednadbe kao to bismo rjeavali i skalarne jednadbe oblika ax=b i ya=c, dok su ovdje: A zadana regularna (m,p)-matrica, B i C zadane pravokutne (m,n) i (n,p)-matrice, te su X i Y traene (p,n) i (n,m)-matrice.

ax=b1 postoji, ako vrijedi da a je a0 onda mnoimo 1 slijeva sa (odnosno a a-1): 1 1 ( ax) = b x = a a AX=B

mnoimo slijeva s A1: mnoimo slijeva s A-1: (YAA 1 = CA 1 )

(A

1

AX = A 1 B) ( X = A 1B) .

(Y = CA 1 )

b a

YA=C

Dakle, postupak je formalno jednak. Moe se promatrati i jo openitija jednadba od ovih:

21

AXC = B , ili jo openitije: A 1 XC1 + A 2 XC 2 +...+ A k XC k = B .

(3) (4)

Jednadbe takvog oblika se nazivaju linearne matrine jednadbe. Ako je u jednadbi (1) n=1, odnosno B i X su jednostupani vektori, i to je B m-komponentni, a X je p-komponentni vektor. Onda se jednadba (1) moe zapisati ovako: a11 a 21 ... a m1

a12 a 22 ... a m2

... a1p x1 ... a 2 p x 2 = ... ... ... ... a mp x p

b1 b 2. ... b m

(5)

Ili ako zapiemo vektore kako se inae piu, tj. malim slovima: Ax=b. Ako se produkt na lijevoj strani jednadbe (5) izmnoi, dobiva se: a11 x1 + a12 x 2 +...+ a1p x p b1 a x + a x +...+ a x b2 22 2 2p p 21 1 = . ... ... a m1 x1 + a m 2 x 2 +...+ a mp x p b m

(6)

Jednakost matrica u izrazu (6) znai da elementi u istim poloajima moraju biti jednaki, tj.:a11 x1 + a12 x 2 +...+ a1p x p = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 +...+ a 2 p x p = b 2 ... ... ... ... ... ... ... a m1 x1 + a m 2 x 2 +...+ a mp x p = b m . (7)

Dakle, matrina jednadba (1) sa n=1 ekvivalentna je sustavu od m linearnih jednadbi sa p nepoznanica x1, x2, ..., xp. Problem rjeavanja takvih jednadbi u obraditi u dijelu: Rjeavanje sustava linearnih jednadbi pomou matrinog raunanja. Ako se sheme matrica A i B u jednadbi (1) spoje u jednu matricu tako da slijeva stoje elementi matrice A, a s desna elementi matrice B, dobivamo poveanu matricu C matrine jednadbe (1): a11 a 21 C= ... a m1 Ta je matrica (m,p+n)-matrica. Za sluaj n=1, bit e: a12 a 22 ... ... a1p ... a 2 p ... ... b11 b 21 ... b m1 b12 b 22 ... bm2 ... b1n ... b 2 n . ... ... ... b mn

(8)

a m 2 ... a mp

22

a11 a 21 C= ... a m1

a12 a 22 ...

... a1p ... a 2 p ... ...

a m 2 ... a mp

b1 b2 . ... bm

(9)

Kod matrinih jednadbi postoje slijedei teoremi: 1) Neka rang (m,p)-matrice A iznosi r, a rang poveane matrice C prema izrazu (9) je jednak s. Onda jednadba (5) (odnosno Ax=b) ima rjeenje onda i samo onda, ako je r=s. No, ako je r