1. Pochodne cząstkowe. Niech f będzie określona Q (po)

2. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów.

3. Tw. Schwarza o pochodnych mieszanych. Jeżeli f(x,y) posiada w obszarze D pochodne

i ciągłe to jedno równa się drugiemu. x,yE D

4. Pochodne cząstkowe funkcji złożonejNiech u=fi(x,y) v=psi(x,y) określone w D o wart w D’Wówczas w zbiorze D określona jest funkcja złożona w postaci z=f(fi(x,y), psi(x,y))Jeżeli 1. fi, psi mają pochodną cząstkową w punkcie P 2. f(u,v) posiada pochodne cząstkowe ciągłe w otoczeniu punktu Q((u,v)) to funkcja złożona z- f(fi(x,y), psi(x,y)) posiada w P pochodne cząstkowe określone wzoramiDz/Dx=Df/Du*Du/Dx+Df/Dv*Dv/Dx; Dz/Dy=Df/Du*Du/Dy+Df/Dv*Dv/Dy.5. Pochodna kierunkowa. Niech f będzie określona w Q(Po) i niech PEQ(Po) P=/PoLim (f(P)- f(Po))/ |PoP|=(df/ds)|Po6. Gradient. Wektor Df/Dx|Po*i + Df/Dy|Po *j nazywamy gradientem funkcji f w Po grad f(Po).grad f(Po)= Df/Dx|Po *i + Df/Dy|Po *j7. Różniczka. Funkcja f(x,y) nazywamy różniczkowalną w Po(xo,yo) jeżeli przyrost Δf można przedstawić w postaci.Δf= Df/Dx|Po Δx + Df/Dy|Po Δy + κρ gdzie κ-> 0 gdy ρ=08. Różniczkowalność. Jeżeli f(x,y) jest różniczkowalna w Po, to wyrażenie Df/Dx|Po Δx + Df/Dy|Po Δy to nazywamy różniczką zupełną funkcji f w Po. dz|Po= df|Po= Df/Dx|Po Δx + Df/Dy|Po Δy9. Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.Niech f będzie określona w Q(Po). Def. Funkcja f ma w Po max (min) jeżeli istnieje S(Po,δ), że dla każdego punktu p E S(Po,δ)F(Po)>=f(P) (f(Po)<=f(P)) Jeżeli tylko < > to nazywamy to ekstremum właściwym funkcji.10. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych. Tw. JeżeliI f ma w Po ekstremumII ma w Po pochodne Df/Dx i Df/DyTo Df/Dx|Po i Df/Dy|Po =011. Warunek wystarczający istnienia ekstremum. Niech f(x,y) ma Q(Po) pochodne drugiego rzędu ciągłe.W(x,y)= | Wypisac je 4 |Jeżeli: Df/Dx|Po=0 i Df/Dy|Po =0 to f ma w Po ekstremum gdy W(Po) jest dodatnie i to max gdy

|Po < 0 |Po>0

Oraz minimum gdy Jeżeli W(Po) jest ujemne to ekstremum brak.12. Funkcja uwikłana Def. Niech F będzie określona w D zawartym R^2. Jeżeli istnieje funkcja y=f(x) spełniająca w każdym puncie xEX warunek F(x,f(x))=0 to nazywamy ją funkcją uwikłaną określoną w zbiorze X za pomocą arównania f(x,y)=013. Liczby zespoloneZ={(a,b):a,BeR}Własności I.[(a,b)=(c,d)](a=c i b=d)II. (a,b)+(c,d)= (a+c, b+d)III. (a,b)(c,d)= (ac-bd,ad+bc)14. Każdą parę (a,b) można przedstawić w postaci a+ib tzn (a,b)= a+ib zwanej postacią kartezjańską w sposób jednoznaczny. Z=a+ ib a= część rzeczywista Rez b część urojona Imz 15. Interpretacja geometryczna- u1=[a,b]=z1 u2=[c,d]=z2u1+u2= [a+c,b+d]=z1+z216. Moduł lub wartość bezwzględną liczby zespolonej a+Ib nazywamy liczbe rzeczywistą nieujemną Syrt a^2+b^2 i oznaczamy symbolem |a+ib|=sort a^2+bSprzężenie liczby z=a-ib - liczba sprzężona z liczbą z. z=2+3i=2-3i=-2-3i=-2+3i.17. Postać trygonometryczna liczby zespolonej. Argumentem liczby zespolonej z=a+Ib =/0 nazywamy każda liczbę rzeczywistą φ określoną równaniamiCosφ=a/|z| sinφ=b/|z| Do tego rysunek prostej w 1 ćwiartce18. Mnożenie dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Tw. Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej tworzymy mnożąc moduły i dodając argumenty. Dzielimy- dzieląc modyły i odejmując argumenty np. z1=|z1|(cosφ1+isinφ1) z2 takie samo. Z1*z2= (cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)).19. Wzór Moivre’a Tw. Dla każdej liczby rzeczywistej φ i liczby całkowitej n (cosφ+isinφ)n= cosnφ+isinnφ20. Pierwiastkowanie liczb zespolonych. Def. Każda liczbę zespoloną W spełniającą równianie Wn=z (nEN) nazywamy pierwiastkiem stonia n z liczby zespolonej z i oznaczamy symbolem sort Z stopnia n.Tw. Istnieje dokladnie n różnych pierwiastków n-tego stopnia Wk z liczby zespolonej z=/0 Jeżeli z=|z|(cosφ+isinφ)W Wk= sqrt Z stopnia n(cos(φ+2kπ)/n +isin(φ+2kπ)/n) gdzie sqrt Z stopnia n to pierwiastek rytm k=0,1,2,n-1.21. Równanie kwadratowe. Tw. Pierwiastkami równania ax2+bx+c=0 a=/0 są liczby x1=(-b-sqrtΔ)/2a, x2 inny znak. Jeżeli współczynniki równania kwadratowego są rzeczywiste i Δ>0 to pierw równania są rzeczywiste. Gdy Δ<0 to przyjmujemy sort=isqrt-Δ x1=(-b- isqrt-Δ)/2a, x2 inne znaki.22. Równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu będziemy nazywali związek postaci gdzie x- zmienna niezależna y- f.szukana y’=Dy/dx F-ΩCR3 F(x,y,y’)=0(2) dy/dx=f(x,y)- postać normalna równania różniczkowego wyższego rzędu.

23. Rozwiązaniem (całka) równania (2) nazywamy każdą funkcję zmiennej x z przedziału J- nieredukującego się do punktu o następujących własnościach I. φ E C1(J) II. Wykres f φ tzn zbiór {(x,y):y= φ(x)} zawarty jest w obszarze określoności funkcji f rówaniem dy/dx=f(x,y) III. [d φ (x)]/dx=f(x, φ(x)) i xEJ24. Rozwiązanie ogólne. Funkcje φ zależną od zmiennej niezależnej x należącą do J i dowolnej stałej C przy własności, przy każdym c funkcja spełnia równanie dy/dx=f(x,y) nazywamy równaniem ogólnym danego równania (otrzymana postać daje się rozwikłać ze względu na stałą C)25. Tw. Peawo o istnieniu zagadnienia Couchiego. Jeżeli fE c(R) gdzie R={ |x-xo|<=a,, |y-yo|<=b. to zagadnienie Couchiego Dy/dx=f(x,y),y(xo)=yo posiada rozwiązanie określone w <xo-α,xo+ α> gdzie α=min (a,b/M), |f(x,y)|<=MwD26. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Jeżeli I. fE C(a,b) II. nE C(c,d) III. H=/0 (c,d) IV. Ω=(a,b)x(c,d)Dy/dx=f(x)/h(x) to całka ogólna równania jest w postaci.Sh(y)dy= Sf(x)dx+cS{od-xo-x)f(t)dt=S(od-yo-y)h(z)dz, (xo,yo) E Ω27. Tw. Jeżeli I. fE C (a,b) II. f(t)=/t to równanie dy/dx=f(y/x) [rówanienie jednorodne] daje się sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych. 28. Twierdzenie. Jeżeli I. p,q E C (α,β) II. Ω=(α,β)x(-niesk,skon) to równanie dy/dx+p(x)y=q(x)Równanie liniowe niejednorodne ma całkę ogólną w postaciy=φ-Sp(x)dx [Sq(x)eSp(x)dxdx+c] 29. Równanie Bernoulliego. Jeżeli I. p,q E C(a,b) II. n E W\{0,1} to równanie Dy/dx+p(x)y=q(x)yn

Daje się sprowadzić do równania liniowego.Uwaga. Dla n>0 y=0 jest rozwiązaniem Bernoulliego. n<=0 nie jest rozw.30. Równanie różniczkowe zupełne.Jeżeli I. Ω=(a,b)x(c,d) II. P,Q E C1(Ω) III. Q(x,y)=/0 w Ω IV. DP/Dy=DQ/Dx w ΩTeza- to całka ogólna równania Dy/dx= -P(x,y)/Q(x,y) jest w postaci f(x,y)=C gdzie f- funkcja pierwotna różniczki zupełnej P(x,y)dx+Q(x,y)Dy. 31. Równania różniczkowe zwyczajne rzedu wyższego.F(x,y,y’,y’’)=0 x-zm. niezalezna F-f. znana y- f. szukana y’- dy/dx y’’=d2y/dx2 dla wyższych rzędów podstawiamy za 2 n.32. równanie liniowe jednorodne ay’’+by’+cy=0 y=eλx, y’=λeλx, y’’=λ2eλx czyli a λ2 +b λ +c=0 Gdy Δ>0 y1=eλ1x y2=eλ2x yo=C1eλ1x +C2 eλ2x Δ=0 y1=eλx y2=(Ax+B)eλx y2=xeλ2x yo= C1eλx +C2 xeλx

Δ<0 λ1=α+iβ λ2=α-iβ y1=e(α+iβ)x=eαx(cos+isinβx)y2= e(α-iβ)x=eαx(cos-isinβx)y0=C1 eαx cosβx+C2 eαx sinβx 33. Równania liniowe jednorodne wyższego rzędu.any(n)+a n-1y(n-1)+…+aoy=0 y= eλx

anxn+a n-1λ n-1+…+ao=o33. Metoda wariacji i stałychJeżeli a,b,c E R a=/0 fE C(α,β), oraz y1,y2 całki równania ay’’+by’+cy=0 także, że W(x)=/0 w (α,β) to całka ogólna równania ay’’+by’+cy=f(x) jest postaci y=φ1(x)y1(x)+ φ2(x)y2(x) gdzie φ1, φ2 całki ogólne układu. 34Przeksztalcenie calkowe.K(s,x) – s – zmienna zespolona, tzn s = б + iω,б, ωER, xER, ,(б-signa)A-zbior funkcji (-∞,∞)Зx --> F(x) EA takich ze ∫(-∞,∞) k(s,x)f(x)dx istnieje dla sEf(s)=∫( -∞;∞) k(s,x),F(x)dx <– Przeksztalcenie calkowe.35Przeksztalcenie calkowe – funcja transformowalna.f(s) = τ [f(x)] ; τ A-> F(x) -> f(s), fEA dla ktorej mozna wykonac τ przeksztalcenie , nazywamy funkcja transformowalna; A – zbior funkcji transformowalnej,f(s) – tetrasformata funkcji f(x),Do funkcji transformowalenej:((Przeksztalcenie Laplace’a :Jezeli K(s,x) = 0 dla x<0 oraz e-sx dla x>0 to: ₤[f(x)]= ∫ (0, ∞) e-sx f(x)dx; Przeksztalcenie Laplace’a- Carsona: Jezeli K(s,x) = 0 dla x<0 or5az se-sx dla x>0 to: e[f(x)]= ∫(0, ∞) se-sx

f(x)dx))36Definicja. Funkcja Heavisde’a (skoku jednostkowego η – eta):η(x) ={0 dla x<0},{1/2 dla x=0},{1 dlax>0}.37Klasa oryginałow ( K0). K0 = { f:R->R} takich ze 1) funkcja przedzialami ciagla w R. 2) dla kazdego x<0 f(x) =0, 3)dla kazdego xER f(x) = (f(x-x0) + f(x + x0))/2 ,4) Istnieje ά>0, istnieje m>0 , dla kazdego xER |f(x)| =< Meάx (ά- wykladnik wzrostu funkcji f), -Meάx=<f(x)=< Meάx.

38Przeksztalcenie Laplace’a. K0 - Klasa oryginalow, K – zbior wszystkich funkcji zespolonych F o zmiennej s: ₤: K0 --> K, Dla kazdego fEK0, ₤[f(x)] = ∫(0, ∞) e-sx f(x)dx = F(s)E KT

– klasa transformat. 39Twierdzenie podstawowe dotyczace klasy transformat,oryginalow: 1) przeksztalcenie funkcji Laplace’a ₤[0]=0, 2) Re(s)>0 ₤[ η(x)]=1/s ,3) nEN0 i Re(s)>0 : ₤[xn]= n!/ sn+1, np. ₤[x5]=5!/s6 nEN0, Re(s) > 0 , 4) Jezeli fEK0 i gEK0 -> f+g EK0; ₤[f(x) + g(x)] = ₤[f(x)] + ₤[g(x)], 5) Jezeli fEK0 i c=const , to c f(x)EK0 i ₤[cf(x)]= c₤[f(x)], 6) ₤ [eax]= 1/s-a gdy Re(s)>Re(a). 40Twiedzenie o podobienstwie. Jezeli fEK0 i a>0 to ₤[f(ax)]=1/a F(s/a) gdzie F(s) = ₤[f(x)], np. ₤[cosh3x]=1/3F(s/3)= 1/3 * [(s/3)]/[(s/3)2-1] = 1/3 [(s/3) *9]/[s2-9] = s/s2-9. 41Twierdzenie o Tlumieniu. Jezeli ₤[f(x)] = F(s) to dowolonego a=const mamy ₤[e-axf(x)] = F(s+a), np ₤[e-ax * coshbx] = (s+a)/(s+a)2-b2.42Twierdzenie odwrotne do przeksztalcenia Laplace’a. ₤ : K0 --> KT , ₤[f(x)]= F(s), Niech ₤ : K0 -->KT , Jezeli ₤-1 : KT --> K0 , Dla kazdego FEK0 ₤-1[F(s)]=F(x),np ₤-1[1/s]=1, ₤-1[1/(s-a)]=eax. 43Twierdzenie podstawowe dla Twierdzenia odwrotnego. 1) ₤-1[0]=0, 2) ₤-1[1/s]=1, 3) ₤-1[1/(s-a)]= eax , 4) FEKT i G EKT , F+GEKT, ₤-

1[F(s) + G(s)] = ₤-1[F(s)] + ₤-1[G(s)].

44Twierdzenie o rozniczkowaniu oryginalow.Jezeli fEK0, ά – wykladnij wzrostu funkcji f, Dla kazdego nEN f(n)EK0 oraz Re(s)>ά to Dla kazdego kEN ₤[f(k)(x)] = sk₤[f(x)] - ∑( υ=0,k-1) sk-1-υ f(8) (0+).45Calka podwojna,definicja, Niech f(x,y) bedzie okreslone w obszarze D , бn=∑(k=1,n) f(ζk,ηn)∆yk – suma calkowa.def. Jezeli ciag { бn} jest zbiezny do tej samej granicy wlasciwej przy б->0 gdy n->∞ , niezaleznej od wyborku pkt (ζk,ηn) i od podzialy obszaru D to granice te nazwiemy calka podwojna funkcji (x,y) w obszarze i oznaczamy symbolem: lim(δh->0) бn = ∫∫D f(x,y)dy,dx, 46Wlasnsci calki podwojnej: 1) ∫∫f(x,y) +- g(x,y)dxdy = ∫∫fdxdy +- ∫∫Dgdxdy, 2) ∫∫DCf(x,y)= C∫∫Df(x,y),3) D= D1UD2(bez pkt wew. wspolnych).47Zamiana calki podwojnej na Iterowana.Twierdzenie. Jezeli dla funkcji f okreslonej w obszarze D : = {a=<x=<b},{c=<y=<d} istnieje calka ∫∫Df(x,y)dydx i przy kazdym ustalonym xE<a,b> istnieje ∫(C,D) f(x,y)dy to istnieje calka ∫(a,b) ∫(c,d) f(x,y)dydx i zachodzi wzor ∫∫D f(x,y) dydx = ∫(a,b)[ ∫(c,d) f(x,y)dy]dx.48Twierdzenie,wzor na pole powierzchni. Jezelif(x,y)EC^(D) to ∫=∫∫sqrt(1+(Әf/Әx)2 +(Әf/Әy)2) dxdy, 49Twierdzenieo zamianie zmiennych w calce podwojnej. Jezeli 1)φ(u,y) i Ψ(u,v) EC^( Ω), Ω>∆, 2) φ, Ψ odwzorowuja wzajemnie jednoznacznie wnetrze obszaru ∆ na wnetrze obszaru D. 3) f(x.y) ciagla w obszarze D domknietym i ograniczonym , 4) J(u.v) ≠ 0 w ∆ to ∫∫Df(x.y)dxdy = ∫∫∆ f(φ(u,v),Ψ(u,v)) | J(u,v) | dudv.Całka krzywoliniowa nieskierowana (I rodzaju).A^B =k, x=x(t), y=y(t), t E <α,β> ρ=ρ(x,y) – gęstość krzywejlimn->ooΣ n

k=1 ρ(Ck)Δlk = m(A^B) – całkowita masa łuku krzywej AB, gdzie Ck(ξk, ηk) i Δlk =IAk-1 AkI -dł. łamanej Niech funkcja będzie określona na łuku A^B: σn =Σn

k=1 f(Ck) Δlk – suma całkowa

Def. Jeżeli istnieje granica właściwa ciągu {σn} przy δn-> 0 gdy n->oo, niezależna od wyboru punktów Ck

i od podziału łuku A^B, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowanąfunkcji f(x,y) na krzywej K=A^B i oznaczamy symbolem: SA^Bf(x,y)dl (limδn-> 0 σn= SA^B f(x,y)dl)

Interpretacja fizyczna sumy całkowej: Jeżeli f(x,y)= ρ(x,y)- gęstość liniowa, to m(A^B)=SA^Bρ(x,y)dl

Interpretacja geometryczna: Z=f(x,y) f E C (A^B) Λ f>o S= σn limδn-> 0 σn=S= SA^B f(x,y)dlJeżeli f(x,y)=1 , to l łuku A^B: l(A^B)= SA^Bdl

Własności całki krzywoliniowe nieskierowanej:1. f(x,y)=g(x,y) + h(x,y) SA^B(g+h)dl

= SA^B gdl +SA^B h dl2. SA^B c*g dl = cSA^B g dl3. Niech A^B =A^C U C^B

SA^B=SA^C+SC^B

Niech A^B :x=x(t), y=y(t), t E <α,β>, A^B – łuk gładki zwykły, to : l=Sa

b sqrt([x'(t)]2 + [y'(t)]2)dt – dł. łuku, dl= sqrt([x'(t)]2 + [y'(t)]2)dt – różniczka łuku

Tw. o zamianie całki krzywolinowej nieskierowanej na całkę oznaczoną: Jeżeli f(x,y) jest ciągła na łuku A^B o przedstawieniu parametrycznym x=x(t), y=y(t), t E <α,β> (A^B- łuk zwykły gładki otwarty ), to S A^Bf(x,y)dl istnieje i zachodzi wzór : SA^B f(x,y)dl= Sα

βf(x(t), y(t))* sqrt([x'(t)]2 + [y'(t)]2)dt

Całka krzywoliniowa skierowana (II rodzaju).Niech na krzywej K=A^B (łuk otwarty) określona będzie para para funkcji [P(x,y) , Q(x,y)]A^B: x=x(t), y=y(t), t E <α,β>σn =Σn

k=1 f(Ck) Δxk + Q(Ck) Δyk, gdzie Ck(x(τk), y(τk))

Def. Jeżeliciąg {σn} (sum całkowitych) przy δn-> 0 gdy n->oo ma granicę właściwą niezależną od wyboru punktu τk i od podzialu przedziału <α,β>, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną pary funkcji [P,Q] wzdłuż krzywej A^B i oznaczamy: SA^BP(x,y)dx + Q(x,y)dy(limδn-> 0 σn= SA^BP(x,y)dx + Q(x,y)dy)

Własności całki krzywoliniowej skierowanej:1. SA^B= -SB^A

2. Jeżeli A^B= A^C+C^B, to SA^B=SA^C+SC^B

3. SA^Bf(P1(x,y) + P2(x,y))dx=SA^BP1dx + SA^BP2dx

Tw. o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na oznaczoną: Niech dany będzie łuk zwykły gładki otwarty o przedstawieniu parametrycznym x=x(t), y=y(t), t E <α,β> zgodnym z kierunkiem łuku A^B. Niech na łuku A^B okreslona będzie para funckji ciągłych [P(x,y) , Q(x,y)] wówczas SA^BPdx + Qdy istnieje i zachodzi wzór: SA^BP(x,y)dx + Q(x,y)dy=SA

B P(x(t)+y(t))x'(t)dt+ Q(x(t)+y(t))y'(t)dt Uwaga ! B^A : x=x(-t), y=y(-t), -β=<t=<-α SB^AP(x,y)dx + Q(x,y)dy=S-β

-α

P(x(-t), y(-t)) x'(-t)(-1)dt + Q(x(-t), y(-t)) y'(-t)(-1)dt

Tw. Green'a: Jeżeli P(x,y) , Q(x,y) E C1(D) ograniczonego krzywą K zorientowaną dodatnio względem wnętrza , przy czym obszar D jest normalny względem osi ox,oy jednocześnie, to SSD(dQ/dx – dP\dy)dxdy=

(pod znakiem

musi być K - wszędzie). Wnioski:

1. dQ/dx – dP\dy w D1 (Pdx+Qdy- różniczka zupełna pewnej funkcji u=u(x,y)dx du/dx=P, du/dy=Q)

=0

2. Niech P(x,y)=-y , Q(x,y)=x w D dP/dy=-1 , dQ/dx=1 SSD (1+1)dxdy=

SSDdxdy=1/2

P(d)=1/2

- wzór na pole obszaru

Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej skierowanej: [P(x,y), Q(x,y)], F->=[P,Q], P,Q E C1 (D) D כ A^BA^B : x=x(t), y=y(t), t E <α,β> Δxi=x(ti)- x(ti-1) Δyi=y(ti)- y (ti-1) Ci (x(τI),y(x(τI)) Ri[P(Ci),Q(Ci)]Δli

->=[ Δxi , Δyi]Ri

-> Δli->= [P(Ci), Q(Ci)] [Δxi , Δyi]=P(Ci))Δxi +

Q(Ci))Δyi

Σni=1Ri

-> Δli->= Σn

i=1P(Ci))Δxi + Q(Ci))Δyi

L=limn->oo Σni=1Ri

-> Δli->=SA^BPdx+Qdy – prca siły F

wzdłuż łuku A^B

Niech w D dane będzie pole wektorowe (w każdym pkt. obszaru określony jest wektor), F->=P(x,y)i->+ Q(x,y)j-> gdzie P,Q E C1(D). Jeżeli istnieje funckja skalarna u=u(x,y) klasy C1(D)dU/dx=P , dU/dy=Q w D to funkcję u nazywamy potencjałem pola, a pole wektorowe- potencjalnym.

Jeśli pole wektorowe F-> jest potencjalne to praca siły: L= SA^BPdx+Qdy=U(B)-U(A), A^B E D różnica potencjałów.Jeśli P,Q E C1(D) i dP/dx=dQ/dy w D, to SA^BPdx+Qdy, A^B E D- nie zależy od drogi całkowania.du/dx=P, du/dy=Q d2u/dxdy=dP/dy, d2u/dxdy=dQ/dx dP/dy=dQ/dx w Du(x,y)=Sxo

xP9x,y)dt+SyoyQ(x,y)dt +c

Tw. Niech P,Q E C1(Ω) wówczas następujące warunki są równoważne:

1. dla dowolnego zamkniętego konturu γ c Ω: S γ Pdx+Qdy=o

2. dla dowlonych punktów A,B E Ω SABPdx+Qdy niezależy od łuku A^B

3. wyrażenie Pdx+Qdy jest różniczką zupełną w Ω, tj . istnieje funkcja u=u(x,y) , (x,y) E R,że du= P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Jeżeli A, B E Ω, A^B c R, to SABPdx+Qdy=U(B)- U(A) dla dowolnej krzywej A^B c R

4. dPdy=dQ/dx w Ω

Szeregi liczbowe:Sn=Σn

k=1 ak – suma częsciowa szeregu

Dane są szeregi: (A) Σook=1 an=a1+a2+...+an+an+1+...

(B) Σook=n+1ak=an+1+an+2+...=Rn - „n”ta reszta szeregu

(A)Tw. Szeregi (A) i (B) sa jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.Uwaga! Σoo

n=1an=Σook=1 ak + Σoo

k=n+1ak=Sn +Rn

Niech szereg (A) będzie zbieżny i niech S będzie jego sumą. Def. Jeżeli ciąg {Sn} jest zbieżny do S( właściwe, czyli skończone)to element S nazywamy sumą szeregu (A) i oznaczamy: Σoo

n=1an=S.O szeregu (A) mówimy, że jest szeregiem zbieżnym. W przeciwnym razie, szereg jest rozbieżny, tzn. S=+-oo lub nie istnieje.Z równości Σoo

n=1an=Sn + Rn otrzymujemy S=Sn+Rn, przechodząc do granicy limn->ooS= limn->ooSn+limn-

>ooRn , stąd S=S+ limn->ooRn => limn->ooRn=0Uwaga! S= Sn + Rn S-Sn=Rn (Rn->0)

Własności szeregów zbieżnych:1. Σoo

n=1an + Σoon=1bn= Σoo

n=1(an+bn)2. Σoo

n=1Can=C Σoon=1an

3. z równości szeregó zbieżnych wynika równość ich sum, ale nie odwrotnie

4. Σoon=1an= Σoo

n=1bn <=>Λn (an=bn)- szeregi są równe, gdy odpowiednie wyrazy są równe

Tw. Warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego: Jeżeli szereg (A) jest zbieżny, to limn-

>ooan=0 p=>q ~q=>~p

Szereg geometryczny – szereg postaci: Σoon=1aqn-

1=a+aq+aq2+...1. gdy a=o -szereg zbieżny (suma

wynosi 0)2. a=/= 0 a) Σoo

n=1aqn-1=a/1-qb) IqI>=1 an=Iaqn-

1I=IaI Iqn-1I= {q=1, an-/->0 lub IqI>1 -rozbieżny

Kryteria (warunki dostateczne) zbieżności szeregów liczbowych: 1.kryterium całkowe Tw. Jeżeli f(x) jest nierosnąca i nieujemna na <n0,oo>, n E N, to Sno

oof(x)dx i Σoo

n=noan , gdzie an=f(n) są jednocześnie zbieżne lub rozbieżneDodatek: Σoo

n=11/n- szereg harmoniczny, rozbieżny, bo S1

oo1/x dx =limT->00 S1oo1/x dx=limT->00 lnIxIT

1=oo

1/1/n+1=1/2(1/1/n+1/1/n+2)-średnia harmoniczna

2. Dla α>1 szereg zbieżny , dla α=< 1 szereg rozbieżny

Tw. limn->ooan/bn=q (b=/=0 dla n>=no , n E N) 0<q<oo to szeregi o wyrazach nieujemnychΣoo

n=1an i Σoo

n=1bn są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

Tw. Kryterium d'Alemberta: Jeżeli an nieujemne, an=/=0 dla n>=no E N oraz liman->ooan+1/an=q, to szereg Σoo

n=1an jest zbieżny, gdy q<1, rozbieżny , gdy q>1.

Tw. Kryterium Leibnitz'a:Jeżeli: 1. a1>=a2>=a3>=... 2. limn->ooan=0 to szereg przemienny jest zbieżny.Uwaga! Dla szeregów zbieżnych: Σoo

n=1an=S , limn-

>ooSn=S Isn-sI < ε. Dla szeregów przemiennych: Isn-sI < an+1

Ciągi i szeregi funkcyjne:f:N->F (n->fn(x))-ciąg funkcyjny {fn(x)}=f1(x), f2(x),...

Def. Ciąg {fn(x)}nazywamy zbieżny do funkcji f(x) dla x=x0, jeżeli limn->oofn(x0)=f(x0) w pkt. x0.Jeśli powyższa własność zachodzi dla Λx E X, to mówimy, że ciąg {fn(x)}jest zbieżny dla f(x) w X.Sn(x) =f1(x) Sn(x) =f1(x) +f2(x) Sn(x)=

Σnn=1fk(x) Σ : {f1(x), f2(x),...}-

>{S1(x), S2(x), ...}Σoo

n=1fn(x)-szereg funkcyjny

Def. Szereg Σoon=1fn(x) nazywamy zbieznym w X,

jeżeli ciąg sum częściowych {Sn(x)}jest zbieżny w tym zbiorze, tzn. limn->ooSn(x)=S(x) wówczas Σoo

n=1fn(x)=S(x)- suma szeregu funkcyjnego

Szereg potęgowy: (A) Σoo

n=0 an(x-xo)n=a0(x-xo)0+a1(x-xo)1+... gdzie an-znane współczynnikizezbioru liczb R, x-zmienna(B) Σoo

n=0an xn

Lemat- o zbieżności szeregu potęgowego. Jeżeli szereg (B) jest zbieżny dla x=x0=/=0, to jest zbieżny dla każdego X E (- ρ, ρ), gdzie ρ=IxoI

Promień zbieżności szeregu potęgowego: X-zbiór x,dla których szereg potęgowy (B) jest zbieżny.

Z-zbiór IxI, dla których szereg (B) jest zbieżny infZ=0 0=<supZ=<+oo

Def. Promieniem zbieżności szeregu (B) nazywamy kres górny zbioru Z, tzn. sup Z i oznaczamy R=sup Z. Jeżeli : 1. R=0 to szereg (B) jest zbieżny dla x=0

2. 0<R<oo, to szereg (B) jest zbieżny dla IxI<R 3. R=+oo, to szereg (B) jest zbieżny dla każdego x.

Tw. o promieniu zbieżności. Jeżeli limn-

>ooIan+1/anI=λ lub limn->oo pierw. n stopnia z IanI=λ , to promień zbieżności szeregu (B) jest równy : R=0 dla λ =oo, R=1/λ dla 0<λ <oo i R=oo dla λ =0. Uwaga! R=2 to oznacza, że szereg (B) jest zbieżny w przedziale(-2,2) , a nie w x=2 !!!

Tw. Szereg potęgowy (B) można całkować i różniczkować wyraz po wyrazie wew przedziału zbieżności. ( Σoo

n=0an xn)'= Σoon=0an (xn)'

=(a0x0+a1x1+a2x2+...)'=a1+2a2x+3a3x2+...

Szereg Taylor'a. Niech f E cOO (Q(x0)): f(x)~Σoon=0

f(n) (x0)/n!*(x-x0)n , Rn(x)=f(n)(C)/n!*(x-x0)n , C E (x0,x) Sn(x)=Σoo

n=0 f(n) (x0)/n!*(x-x0)n

Tw. Jeżeli limn->ooRn(x)=0 dla każdego x E Q(x0,δ) to szereg Σoo

n=0 f(n) (x0)/n!*(x-x0)n zwany szeregiem Taylor'a ma sumę równą f(x) , tzn. f(x)=Σoo

n=0 f(n)

(x0)/n!*(x-x0)n.

Uwaga! Jeżeli x0=0, to f(x)=Σoon=0 f(n) (0)/n! * xn -

szereg Maclaurin'af(x)=1(0)/0!*x0 + 1(1)(0)/1!*x + 1(2)/2!*x 2 + ...

Szereg trygonometryczny Fouriera. Dany jest ciąg funckji {φ1(x)}=1, cosπ x/l, sinπ x/l, cos2π x/l, sin2π x/l,... l>0an/2+Σoo

n=1 (an cos n 2π x/l + bn sin n 2π x/l)a0=1/l S-l

l f(x)dx, an =1/l S-l

l f(x)cos2π x/2dl, bn= 1/l

S-ll f(x)sin2π x/2dl przy założeniu, że f całkowalna

w <-1,1> f(x)~ a0/2+Σoon=1 (an cos n 2π x/l + bn sin n

2π x/l) Warunki Dirichlet'a. Mówimy, że funkcja f spełnia w przedziale<a,b> warunki Dirichleta:1. f(x) przedziałami monotoniczna w (a,b)2. f(x) ciągła w (a,b) z wyjątkiem conajwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości I rodzaju (istnieją granice jednostronne, ale nie są równe) przy czym w pkt. Nieciągłości x0 , f(x0)=[f(x0-x) + f(x0+x)]/23. f(a)=f(b)=[f(a-0)+f(a+0)]/2

Tw. Dirichleta. Jeżeli f(x) spełnia w <-l,l> warunki Dirichleta to jest rozwijalna w tym przedziale w szereg trygonometryczny Fouriera. f(x)= a0/2+Σoo

n=1 (an cos n 2π x/l + bn sin n 2π x/l) Λx E <-1,1>

Jeżeli f(x) jest okresowa o okresie 2 l to f(x)= a0/2+Σoo

n=1 (an cos n 2π x/l + bn sin n 2π x/l) dla każdego x.Uwaga! f(x)= a0/2+Σoo

n=1 (an cos n 2π x/l + bn sin n 2π x/l) zachodzi dla punktów nieciągłości f(x) w (-l,l), w punktach nieciągłości oraz na końcach przedziału f(x) określamy wg punktów 2 i 3 warunków Dirichlet'a.Uwaga! : 1. l =π 2. f okresowa o okresie 2π , to Sα

α+2π=S02π=S-π

π 3. f spełnia w <-l,l> warunki Dirichlet'a i jest parzysta a0=2/l S0

l f(x) dx, an=2/lS0

l f(x)cos nπx/l dx, bn=0 4. f spełnia w <-l,l> warunki Dirichlet'a i jest parzysta a0=an=0, bn=2/lS0

l f(x)sin nπx/l dx