Matlab Pdetool Lezione 4 · Matlab Pdetool Lezione 4 Mutua induttanza con ferro e Correnti Indotte Ing. Flavio Calvano

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Lezione 4Mutua induttanza con ferro

e Correnti Indotte

Ing. Flavio Calvano

Argomenti trattati

• Calcolo mutua in presenza di ferro;

Nucleo magnetico assialsimmetrico;

Nucleo magnetico 2D.

• Calcolo tensione indotta in presenza di piatto conduttore.

Nucleo magnetico assialsimmetrico

JA

A

AJ

zAAA

AAA

A

con

z

2

2222

2

2

2

ˆˆ2ˆ

2

0)(

AJ

A

JA

AAAA

J

Formulazione

Equazione risolvente

JPsizz

Psi

APsi

AA

AAAAAA

JAzz

AA

Azz

AA

)1

()1

(

)(1111

)(1

)(1

)(1

)(1

22

2

2

2

Geometria[pde_fig,ax]=pdeinit;

pdetool('appl_cb',1);

set(ax,'DataAspectRatio',[1 1 1]);

set(ax,'PlotBoxAspectRatio',[1 1 1]);

set(ax,'XLim',[-0.1 0.8]);

set(ax,'YLim',[-0.4 0.4]);

set(ax,'XTickMode','auto');

set(ax,'YTickMode','auto');

ymin=-10*10^-3;

ymax=10*10^-3;

xmin=0;

xmax=0.008;

xmax2=0.048;

xmax3=0.052;

dh=0.04;

dh2=0.1;

dr=0.002;

dr2=0.01;

l=0.001;

pderect([xmax2-dr/2 xmax2+dr/2 -dh/2 dh/2],'R1');


pderect([xmin xmax -dh2/2 dh2/2],'R3');

pderect([xmax xmax+dh2 dh2/2 dh2/2-xmax],'R4');

pderect([xmax xmax+dh2 -dh2/2 -dh2/2+xmax],'R5');

pderect([xmax+dh2-(xmax) xmax+dh2 -dh2/2+xmax -l],'R6');

pderect([xmax+dh2-(xmax) xmax+dh2 l dh2/2-xmax],'R7');

pderect([0 8*dh2 4*(-dh2) 4*dh2],'R8');

Esportazione geometria e mesh

set(findobj(get(pde_fig,'Children'),'Tag','PDEEval'),'String','R1+R2+R3+R4+R5

+R6+R7+R8');

gd=get(findobj(get(pde_fig,'Children'),'flat','Tag','PDEMeshMenu'),'UserData');

dl=decsg(gd);

[p,e,t]=initmesh(dl,'Hmax',5e-1,'init','off');

[p,e,t]=refinemesh(dl,p,e,t,'regular');

box=find(t(4,:)==1);

ferro1=find(t(4,:)==2);




ferro5=find(t(4,:)==8 );

ferro=[ferro1 ferro2 ferro3 ferro4 ferro5];

ric=find(t(4,:)==7);

trasm=find(t(4,:)==6);

pdeplot(p,e,t(:,ferro))

axis equal

Lavorando con gli indici

delle regioni è possibile

eliminare i cicli for sui

triangoli della mesh e

ridurre il costo

computazionale

Plot della mesh

relativo alla regione ferro

Calcolo MutuaNspire=1;

I1=1;

J=zeros(size(t,2),1);

mu0=4*pi*1e-7;

mur=1000;

mu(box)=mu0;

mu(ferro)=mur*mu0;

mu(trasm)=mu0;

mu(ric)=mu0;

J1=Nspire*I1/(dh*(dr));

J(trasm)=J1;

rc=pdeintrp(p,t,p(1,:)');%baricentro triangoli

zc=pdeintrp(p,t,p(2,:)');%baricentro triangoli

area=abs(pdetrg(p,t));%area di ogni triangolo

Psi = assempde(bl,p,e,t,1./(rc.*mu),'0',J','0');

figure

pdegplot(dl)

hold on

pdecont(p,t,Psi,20)

axis equal

%%%%%%%%%energia magnetica

Psi=pdeintrp(p,t,Psi);

ee=2*pi*(J1.*Psi(ric).*area(ric));

M=sum(ee)%correnti unitarie

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

S=pi*((xmax+dh2)^2)-pi*((xmax+dh2-(xmax))^2);

R1=(2*(2*l))/(mu0*S); %2l lunghezza traferro

Manalitica=1/(R1)

Maria=(4*pi*1e-7)*(pi*(xmax2)^2)/dh

22221

21

121

21

12

22

21dzdrJA

iidVJA

iiM

SV

Risultati

Mnumerica = 1.6557e-006

Manalitica = 1.6423e-006 formula traferro

mur=1000 In presenza di ferro


Maria=2.2740e-007

mur=1 In aria

-0.05 0 0.05 0.1 0.15

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Nucleo magnetico 2D

Formulazione

zz

zz

con

JA

AAJJ

AAAA

2

2 0)(

XZ

Y

Geometria[pde_fig,ax]=pdeinit;




set(ax,'XLim',[-0.8 0.8]);

set(ax,'YLim',[-0.4 0.4]);



ymin=-10*10^-3;

ymax=10*10^-3;

xmin=0;

dh=0.02;

dh2=0.1;

dr=0.002;

dr2=0.01;

l=0.002;

xmax=0.008;

xmax2=dh2-0.002;

xmax3=xmax+dh2+0.002;



pderect([xmin xmax/2 -dh2/2 dh2/2],'R3');

pderect([xmax/2 xmax+dh2 dh2/2 dh2/2-xmax],'R4');

pderect([xmax/2 xmax+dh2 -dh2/2 -dh2/2+xmax],'R5');

pderect([dh2 xmax+dh2 -dh2/2+xmax+l dh2/2-xmax-l],'R6');

pderect([-xmax2+dr/2 -xmax2-dr/2 -dh/2 dh/2],'R7');

pderect([-xmax3+dr/2 -xmax3-dr/2 -dh/2 dh/2],'R8');

pderect([-xmin -xmax/2 -dh2/2 dh2/2],'R9');

pderect([-xmax/2 -xmax-dh2 dh2/2 dh2/2-xmax],'R10');

pderect([-xmax/2 -xmax-dh2 -dh2/2 -dh2/2+xmax],'R11');

pderect([-dh2 -xmax-dh2 -dh2/2+xmax+l dh2/2-xmax-l],'R12');

pderect([-8*dh2 8*dh2 4*(-dh2) 4*dh2],'R13');

Esportazione geometria e meshset(findobj(get(pde_fig,'Children'),'Tag','PDEEval'),'String','R

1+R2+R3+R4+R5+R6+R7+R8+R9+R10+R11+R12+R13');

gd=get(findobj(get(pde_fig,'Children'),'flat',...

'Tag','PDEMeshMenu'),'UserData');

dl=decsg(gd);



box=find(t(4,:)==1);










ferro=[ferro1 ferro2 ferro3 ferro4 ferro5 ferro6 ferro7 ferro8

ferro9];

ric1=find(t(4,:)==8);

ric2=find(t(4,:)==7);

trasm1=find(t(4,:)==9);

trasm2=find(t(4,:)==10);

ric=[ric1 ric2];

trasm=[trasm1 trasm2];

pdeplot(p,e,t(:,ferro))

Lavorando con gli indici delle

regioni è possibile eliminare i cicli

for sui triangoli della mesh e ridurre

il costo computazionale

Plot della mesh relativo alla

regione ferro

Condizioni al contorno% Boundary conditions:

pdetool('changemode',0)

pdesetbd(2,...

'dir',...

1,...

'1',...

'0')

pdesetbd(3,...

'dir',...

1,...

'1',...

'0')

pdesetbd(15,...

'dir',...

1,...

'1',...

'0')

pdesetbd(16,...

'dir',...

1,...

'1',...

'0')

% PDE coefficients:

h=findobj(get(pde_fig,'Children'),'flat','Tag','PDEBoundMenu');

bl=get(findobj(get(h,'Children'),'flat','Tag','PDEBoundMode'),'UserData');

Calcolo Mutua per unità di lunghezzaNspire1=1;

Nspire2=1;

I1=1;

I2=1;

J=zeros(size(t,2),1);

mu0=4*pi*1e-7;

mur=1000;

mu(box)=mu0;

mu(ferro)=mur*mu0;

mu(trasm)=mu0;

mu(ric)=mu0;

J1=Nspire*I1/(dh*(dr));

J(trasm)=J1;


A = assempde(bl,p,e,t,1./mu,'0',J','0');

figure

pdegplot(dl)

hold on

pdecont(p,t,A,10)

axis equal

%%%%%%%%%%energia magnetica

AT=pdeintrp(p,t,A);

ee=(J1.*AT(ric).*area(ric));

M=sum(ee)/(I1*I2)%correnti unitarie

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

lz=1;

S=xmax*lz;

R1=(4*(2*l))/(mu0*S); %riluttanza per unità di lunghezza

Manalitica=1/(R1)

Maria=(4*pi*1e-7)*(pi*(xmax2)^2)/dh

22

S

21

21

z1

V

21

21

12 dydxJAii

ldVJA

ii

1M

22

Risultati


Manalitica = 6.2832e-007 formula traferro

mur=1000

Formulazione nel caso di correnti indotte

EJ

B

JJH

BE

eddy

seddy

0

t

Sonda con corrente imposta Js

Piatto conduttore sede di correnti indotte Jeddy

Formulazione

gaugedicondizione00

0

A

JA

H

AE

AE

ABB

st

t

t

Il potenziale vettore A è univocamente determinato dalla gauge di

Coulomb

Equazione risolvente

s

tj

M

s

j

e

t

JAA

AA

AAA

JA

A

00

2

2

0

)(

1

Caso Assial-simmetrico

eeJs AAJ

J

1)

1()

1( 00

PsijPsi

zzPsi

APsi

Pdetool

Configurazione geometrica

Sonda trasmittente

Sonda ricevente

Piatto conduttore

GeometriaRmin_disk=[0]; Rmax_disk=[0.04];

Zmin_disk=[-0.0015/2]; Zmax_disk=[0.0015/2];

sigma_disk=1/(0.027e-6);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

liftoff=0.5e-3;

Rmin_transmitter=[0.005];

Rmax_transmitter=[0.005+1e-3];

Zmin_transmitter=[liftoff+0.0015/2];

Zmax_transmitter=[liftoff+4.5e-3+0.0015/2];

sigma_transmitter=0;

I_transmitter_pp=1;%corrente unitaria

I_transmitter=[I_transmitter_pp/(2*sqrt(2))]; % corrente rms

N_transmitter=[16];

areat=(Rmax_transmitter-Rmin_transmitter)*(Zmax_transmitter-Zmin_transmitter);

Jt=(I_transmitter*N_transmitter)/areat;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Rmin_receiver=[0.005]; Rmax_receiver=[0.005+1e-3];

Zmin_receiver=[-0.0015/2-liftoff-4.5e-3]; Zmax_receiver=[-0.0015/2-liftoff];

sigma_receiver=0;

N_receiver=[16];

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Rmin_grid=[0]; Rmax_grid=[5e-2];

Zmin_grid=[-5e-2]; Zmax_grid=[5e-2];

sigma_grid=0;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Sonda

Creazione geometria e mesh

[pde_fig,ax]=pdeinit;




set(ax,'XLim',[Rmin_grid-0.5*(Rmax_grid-Rmin_grid)

Rmax_grid+0.5*(Rmax_grid-Rmin_grid)]);

set(ax,'YLim',[Zmin_grid-0.5*(Zmax_grid-Zmin_grid)

Zmax_grid+0.5*(Zmax_grid-Zmin_grid)]);



pderect([0 Rmax_grid Zmin_grid Zmax_grid],'R1');

pderect([Rmin_disk Rmax_disk Zmin_disk Zmax_disk],'R2')

pderect([Rmin_transmitter Rmax_transmitter Zmin_transmitter

Zmax_transmitter], 'R3')

pderect([Rmin_receiver Rmax_receiver Zmin_receiver Zmax_receiver], 'R4')

set(findobj(get(pde_fig,'Children'),'Tag','PDEEval'),'String','R1+R2+R3+R4');

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Mesh generation:

gd=get(findobj(get(pde_fig,'Children'),'flat','Tag','PDEMeshMenu'),'UserData');

dl=decsg(gd);




pdeplot(p,e,t)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Condizioni al contorno% Boundary conditions:

pdetool('changemode',0)

pdesetbd(9,...

'dir',...

1,...

'1',...

'0')

pdesetbd(8,...

'dir',...

1,...

'1',...

'0')

pdesetbd(7,...

'dir',...

1,...

'1',...

'0')

pdesetbd(6,...

'dir',...

1,...

'1',...

'0')

pdesetbd(2,...

'dir',...

1,...

'1',...

'0')

pdesetbd(1,...

'dir',...

1,...

'1',...

'0')

% PDE coefficients:

h=findobj(get(pde_fig,'Children'),'flat','Tag','PDEBoundMenu');

bl=get(findobj(get(h,'Children'),'flat','Tag','PDEBoundMode'),'User

Data');

end

Definizione parametri regioni

box=find(t(4,:)==1); %indici delle regioni

piatto=find(t(4,:)==2);

ric=find(t(4,:)==3);

trasm=find(t(4,:)==4);

Js=zeros(size(t,2),1);

Js(trasm)=Jt;

sigma(box)=0;

sigma(piatto)=sigma_disk;

sigma(trasm)=0;

sigma(ric)=0;

rc=pdeintrp(p,t,p(1,:)');%baricentro triangoli


mu0=4*pi*1e-7;

Definendo le regioni del

dominio totale è possibile

evitare l’utilizzo dei cicli for

sui triangoli della mesh

Calcolo tensione bobina riceventef=[0.5 1 2 5 10 20]*1e3; % freq

for kf=1:length(f)

aa=j*2*pi.*f(kf).*mu0.*sigma./rc;

ff=mu0.*Js;

Psi = assempde(bl,p,e,t,1./rc,aa,ff','0');

omega(kf)=2*pi*f(kf);

PsiT=pdeintrp(p,t,Psi);

ee=2*pi*(Jt.*PsiT(ric).*area(ric));

energiamutua=sum(ee);

Vreceiver(kf)=energiamutua*j*omega(kf);

figure

subplot(1,2,1)

pdegplot(dl)

hold on

pdecont(p,t,real(Psi)'*2*pi,10)

title('Real')

subplot(1,2,2)

pdegplot(dl)

hold on

pdecont(p,t,imag(Psi)'*2*pi,10)

title('Imag')

end

12121

22121

21

2

1

iMjV

dVJAii

M

V

Tensione indotta sulla

bobina ricevente (2)

Plot flusso campo magnetico

0 0.05 0.1-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05Real

0 0.05 0.1-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05Imag

0 0.05 0.1-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05Real

0 0.05 0.1-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05Imag

Conducibilità piastra=0 Conducibilità piastra alluminio=37 MS/m

Inserendo il piatto conduttore il flusso ha anche una componente immaginaria e

sulla tensione indotta è introdotto uno sfasamento che dipende dalla frequenza

di eccitazione.

Flusso a diverse frequenzeSigma=58 MS/m conducibilità rame

1 KHz 10 KHz

100 KHz

All’aumentare della frequenza

diminuisce lo spessore di

penetrazione d e il campo viene

schermato quasi completamente

dalla piastra conduttrice

0

2

d

Calcolo conducibilità

Effettuando misure sperimentali è possibile risalire alla conducibilità dell’oggetto in esame

valutando la variazione della fase della tensione indotta a varie frequenze, inserendo nel

calcolo numerico una conducibilità di tentativo vicina a quella del tipo di materiale

considerato.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

x 104

-150

-100

-50

0

50

f (Hz)

V p

hase (

deg)

Numerico sigma=37 MS/m



Sperimentale

figure,

plot(f,angle(Vreceiver)*180/pi,f,angle(Vreceiver2)

*180/pi,f,angle(Vreceiver3)*180/pi,f,exp,'or')

xlabel('f (Hz)')

ylabel('V phase (deg)')

legend('Numerico sigma=37 MS/m','Numerico

sigma=50 MS/m','Numerico sigma=20

MS/m','Sperimentale')

AXIS([0 22000 -180 80])

NB: le vreceiver vanno calcolate singolarmente al variare di sigma_disk

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