Mathimatika B Gymnasioy Theoria-Askiseis

ÂéâëéïìÜèçìá 1ÂéâëéïìÜèçìá 1ÂéâëéïìÜèçìá 1ÂéâëéïìÜèçìá 1ÂéâëéïìÜèçìá 1ïïïïï

ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþíÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþíÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþíÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþíÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþíÐñüóèåóç ñçôþí áñéèìþíÐñüóèåóç ñçôþí áñéèìþíÐñüóèåóç ñçôþí áñéèìþíÐñüóèåóç ñçôþí áñéèìþíÐñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí

¢èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôÝùí¢èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôÝùí¢èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôÝùí¢èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôÝùí¢èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôÝùí

ÁðáëïéöÞ ðáñåíèÝóåùíÁðáëïéöÞ ðáñåíèÝóåùíÁðáëïéöÞ ðáñåíèÝóåùíÁðáëïéöÞ ðáñåíèÝóåùíÁðáëïéöÞ ðáñåíèÝóåùí


Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþíÐïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþíÐïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþíÐïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþíÐïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþíÃéíüìåíï ðïëëþí ðáñáãüíôùíÃéíüìåíï ðïëëþí ðáñáãüíôùíÃéíüìåíï ðïëëþí ðáñáãüíôùíÃéíüìåíï ðïëëþí ðáñáãüíôùíÃéíüìåíï ðïëëþí ðáñáãüíôùí

Äéáßñåóç ñçôþí áñéèìþíÄéáßñåóç ñçôþí áñéèìþíÄéáßñåóç ñçôþí áñéèìþíÄéáßñåóç ñçôþí áñéèìþíÄéáßñåóç ñçôþí áñéèìþí


ÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèÝôç öõóéêüÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèÝôç öõóéêüÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèÝôç öõóéêüÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèÝôç öõóéêüÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèÝôç öõóéêüÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèÝôç áêÝñáéïÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèÝôç áêÝñáéïÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèÝôç áêÝñáéïÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèÝôç áêÝñáéïÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèÝôç áêÝñáéï

ÔõðïðïéçìÝíç Þ åêèåôéêÞ ìïñöÞ áñéèìþíÔõðïðïéçìÝíç Þ åêèåôéêÞ ìïñöÞ áñéèìþíÔõðïðïéçìÝíç Þ åêèåôéêÞ ìïñöÞ áñéèìþíÔõðïðïéçìÝíç Þ åêèåôéêÞ ìïñöÞ áñéèìþíÔõðïðïéçìÝíç Þ åêèåôéêÞ ìïñöÞ áñéèìþíÄåêáäéêÞ ìïñöÞ ôùí ñçôþí áñéèìþíÄåêáäéêÞ ìïñöÞ ôùí ñçôþí áñéèìþíÄåêáäéêÞ ìïñöÞ ôùí ñçôþí áñéèìþíÄåêáäéêÞ ìïñöÞ ôùí ñçôþí áñéèìþíÄåêáäéêÞ ìïñöÞ ôùí ñçôþí áñéèìþí

ÊåöÜëáéï 1ïïïïï

Ïé ñçôïß áñéèìïßÏé ñçôïß áñéèìïß

taexeiola.blogspot.com

http://taexeiola.blogspot.com/


Â

éâëéïìÜèçìá

1EðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþíÐñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí¢èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôÝùíÁöáßñåóç ñçôþí áñéèìþíÁðáëïéöÞ ðáñåíèÝóùí

EðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþíÐñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí¢èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôÝùíÁöáßñåóç ñçôþí áñéèìþíÁðáëïéöÞ ðáñåíèÝóùí

Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται ρητοί αριθµοί;

Πως συµβολίζουµε το σύνολο των ρητών αριθµών;

Ρητοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που µπορούµε να

τους γράψουµε στη µορφή µ

ν ή

µ

ν− όπου µ, ν είναι φυσι-

κοί αριθµοί και ν διάφορος του µηδενός.

Το σύνολο των ρητών αριθµών το συµβολίζουµε µε το γράµ-

µα Q.

Ρητοί αριθµοί

• Οι ρητοί που έχουν πρόσηµο ( + ) λέγονται θετικοί ενώ οι ρητοί που έχουν

πρόσηµο ( – ) λέγονται αρνητικοί.

• Στους θετικούς αριθµούς το πρόσηµο ( + ) παραλείπεται ,ενώ αντίθετα στους αρνη-

τικούς το πρόσηµο ( – ) δεν παραλείπεται.

Τι ονοµάζουµε άξονα ρητών αριθµών;

Μια ευθεία στην οποία έχουµε τοποθετήσει τους

ακέραιους αριθµούς και τα θετικά και αρνητικά κλάσµατα

ονοµάζουµε άξονα των ρητών. (Αυθαίρετα θεωρούµε ένα

σηµείο Ο ως την αρχή όπου τοποθετούµε το 0)

0-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 51

2-

1

2

3

2

Áñíçôéêïß ÈåôéêïßO

Άξονας


14.

Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

Οι ρητοί αριθµοί

Απόλυτη τιµή

Αντίθετοι αριθµοί

Τι ονοµάζεται απόλυτη τιµή ενός αριθµού α και τι

παριστάνει αυτή πάνω σε άξονα; Να βρεθεί η απόλυτη

τιµή των αριθµών: + 6, –6, – 1/2, 0

Το µέγεθος ενός αριθµού α το ονοµάζουµε απόλυτη

τιµή του α και το συµβολίζουµε µε α .

Για παράδειγµα:

6 6+ = ,1 1

2 2− = ,

6 6− = , 0 0=Η απόλυτη τιµή ενός αριθµού α, εκφράζει την απόσταση

του σηµείου που αντιστοιχεί στον αριθµό α πάνω στον άξο-

να, από την αρχή Ο του άξονα.

Μεταξύ δύο αριθµών, µεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται δεξιότερα πάνω

στον άξονα. π.χ. +8 > +4 και +3 > –5

• Κάθε θετικός αριθµός είναι µεγαλύτερος από κάθε αρνητικό, π.χ. 3 1

5 3+ > − .

• Μεταξύ δύο θετικών, µεγαλύτερος είναι αυτός που έχει τη µεγαλύτερη απόλυτη

τιµή, π.χ. +9 > +3 γιατί 9 9+ = και 3 3+ = .

• Μεταξύ δύο αρνητικών, µεγαλύτερος είναι εκείνος που έχει τη µικρότερη απόλυτη

τιµή, π.χ. –10 < –2 γιατί 10 10− = και 2 2− = .

• Το µηδέν είναι µεγαλύτερο από κάθε αρνητικό και µικρότερο από κάθε θετικό αριθµό.

Έτσι αν ο α είναι θετικός αριθµός τότε α > 0, ενώ αν ο α είναι αρνητικός τότε α < 0.

Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται αντίθετοι; Να βρείτε ποιοι

από τους παρακάτω αριθµούς είναι αντίθετοι: –3, – 1/3,

+ 2 , + 3, – 2, 2/3.

∆ύο αριθµοί µε την ίδια απόλυτη τιµή και διαφορετι-

κό πρόσηµο ονοµάζονται αντίθετοι αριθµοί. Για παράδειγ-

µα αντίθετοι είναι οι : –3 και +3 και οι +2 και –2.

Γενικά ο αντίθετος του αριθµού α είναι ο – α.

0-6

Áðüóôáóç 6

0 6

Áðüóôáóç 6


15.



Οµόσηµοι

Ετερόσηµοι αριθµοί

Ποιοι αριθµοί λέγονται οµόσηµοι; Ποιοι αριθµοί λέ-

γονται ετερόσηµοι; Να χαρακτηρίσετε τα παρακατω ζεύ-

γη αριθµών: –2 µε +4, +3 µε +6, –1/3 µε –3/5 σε οµόσηµους

ή ετερόσηµους.

Οµόσηµοι λέγονται οι αριθµοί που έχουν το ίδιο

πρόσηµο.

Ετερόσηµοι λέγονται οι αριθµοί που έχουν διαφορετικό

πρόσηµο.

οι –2 και +4 είναι ετερόσηµοι

οι +3 και +6 είναι οµόσηµοι

οι –1/3 και –3/5 είναι οµόσηµοι

Πως προσθέτουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς;

Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα:

(+3) + (+2) , (–7) + (–2).

Για να προσθέσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθ-

µούς, προσθέτουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο αποτέ-

λεσµα βάζουµε το κοινό τους πρόσηµο. Για παράδειγµα,

• ( ) ( ) ( )3 2 3 2 5 5+ + + = + + = + =• ( ) ( ) ( )7 2 7 2 9− + − = − + = −

Πως προσθέτουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αριθ-

µούς; Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα:

(+5) + (–7) , 10 34 4

+ + −

Για να προσθέσουµε ετερόσηµους ρητούς αριθµούς,

αφαιρούµε τη µικρότερη απόλυτη τιµή από τη µεγαλύτερη

και στο αποτέλεσµα βάζουµε το πρόσηµο του αριθµού µε

τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή. Για παράδειγµα,

• ( ) ( ) ( )5 7 7 5 2+ + − = − − = −

• 10 3 10 3 7

4 4 4 4 4 + + − = + − = +

Πρόσθεση οµόσηµων

αριθµών

Πρόσθεση ετερόσηµων

αριθµών


16.



Ιδιότητες

της πρόσθεσης

Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης;

1. Αντιµεταθετική ιδιότητα: α + β = β + α

π.χ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 3 2 3 5 5+ + + = + + + = + + = + =2. Προσεταιριστική ιδιότητα: α + (β + γ) = (α + β) + γ

π.χ. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )2 3 4 2 3 4 3 3+ + − + + = + + − + + = + =

• Το άθροισµα δύο αντίθετων αριθµών είναι µηδέν, δηλαδή α + (–α) = 0.

π.χ. (+5) + (–5) = 0

• Όταν ο ένας προσθετέος είναι το µηδέν τότε α + 0 = α.

π.χ. (+3) + 0 = +3, (–6) + 0 = –6

Αναφέρετε δύο µεθόδους υπολογισµού αθροίσµατος

πολλών προσθετέων. Να υπολογιστεί το παρακάτω άθροι-

σµα και µε τις δύο µεθόδους:

(–7) + (–5) + (+2) + (+7) + (–1)

Η πρώτη µέθοδος για τον υπολογισµό αθροίσµα-

τος πολλών προσθετέων αναπτύσεται στα εξής βήµατα:

1. ∆ιαγράφουµε τους αντίθετους προσθετέους ( αν υπάρ-

χουν ) γιατί έχουν άθροισµα µηδέν.

2. Χωρίζουµε τους θετικούς από τους αρνητικούς.

3. Προσθέτουµε τους θετικούς µεταξύ τους και τους αρνη-

τικούς µεταξύ τους και µετά βρίσκουµε το αποτέλεσµα.

π.χ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 5 2 7 1− + − + + + + + − =

1ο βήµα ( )7− ( ) ( ) ( )5 2 7+ − + + + + ( )1+ − =

2ο βήµα ( ) ( ) ( )2 5 1+ + − + − =3ο βήµα ( ) ( ) ( )2 6 6 2 4+ + − = − − = −

Η δεύτερη µέθοδος υπολογισµού ενός αθροίσµατος είναι

να προσθέσουµε τους δύο πρώτους αριθµούς, στο άθροι-

σµα αυτών να προσθέσουµε τον τρίτο, στο νέο άθροισµα

να προσθέσουµε τον τέταρτο και συνεχίζουµε µέχρι να τε-

Μέθοδοι υπολογισµού

αθροίσµατος


17.



λειώσουν οι όροι.

π.χ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 5 2 7 1− + − + + + + + − =( ) ( ) ( ) ( )12 2 7 1− + + + + + − =( ) ( ) ( )10 7 1− + + + − = ( ) ( )3 1 4− + − = −

• Για την απλούστευση της γραφής, παραλείπουµε το σύµβολο της πρόσθεσης

και τις παρενθέσεις και γράφουµε τους όρους τον έναν δίπλα στον άλλον µε το

πρόσηµό τους, π.χ. ( ) ( ) ( )2 3 6 2 3 6+ + − + + = − − +• Οι προσθετέοι λέγονται και όροι του αθροίσµατος.

∆ιαφορά ρητών

αριθµών

Τι ονοµάζουµε διαφορά δύο ρητών αριθµών α, β; Να

υπολογίσετε τις διαφορές:

(+4) – (–2) (+7) – (+3)

Αν α, β είναι δύο ρητοί αριθµοί, τότε ο ρητός αριθ-

µός x που αν προστεθεί στο β µας δίνει τον α ονοµάζεται

διαφορά του β από τον α.

∆ηλαδή αν β + x = α τότε x = α – β.

Γενικά για να βρούµε τη διαφορά α – β, προσθέτουµε στον

α τον αντίθετο του β, δηλαδή:

α – β = α + (αντίθετος του β) ή α – β = α + (– β).

( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 2 6 6+ − − = + + + = + =( ) ( ) ( ) ( )7 3 7 3 4 4+ − + = + + − = + =

Ο αριθµός α ονοµάζεται µειωτέος και ο β αφαιρεταίος.

Απαλοιφή

παρενθέσεων

Πως γίνεται η απαλοιφή παρενθέσεων όταν µπρο-

στά από την παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο ( + ) ;

Πως γίνεται η απαλοιφή παρενθέσεων όταν µπροστά από

την παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο ( – ) ;

Να γίνενι απαλοιφή των παρενθέσεων στις παρακάτω πα-

ραστάσεις:

(+3 – 2 + 4) + (–4 + 6) και –(3 – 2 + 4) -(– 4 +6)


18.



Όταν µπροστά από µια παρένθεση υπάρχει το πρό-

σηµο ( + ), απαλοίφουµε την παρένθεση µαζί µε το πρόση-

µο και γράφουµε τους όρους που περιέχει µε τα πρόσηµά

τους.

Όταν µπροστά από µια παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο ( – ),

απαλοίφουµε την παρένθεση µαζί µε το πρόσηµο και γρά-

φουµε τους όρους που περιέχει µε αλλαγµένα πρόσηµα.

Για παράδειγµα ,

• ( ) ( )3 2 4 4 6 3 2 4 4 6+ − + + − + = + − + − +

• ( ) ( )3 2 4 4 6 3 2 4 4 6− − + − − + = − + − + −

Σε µια αριθµητική παράσταση όπου εκτός από παρενθέσεις , περιέχει και αγκύ-

λες ή άγκιστρα, η απαλοιφή τους γίνεται οµοίως µε αυτή των παρενθέσεων.

1. Για να προσθέσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς, προσθέ-

τουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο αποτέλεσµα βάζουµε το

κοινό τους πρόσηµο.

2. Για να προσθέσουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αριθµούς, αφαι-

ρούµε τη µικρότερη απόλυτη τιµή από τη µεγαλύτερη και στο απο-

τέλεσµα βάζουµε το πρόσηµο του αριθµού µε τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή.

3. Όταν µπροστά από µια παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο ( + ), απαλοίφουµε την

παρένθεση µαζί µε το πρόσηµο και γράφουµε τους όρους που περιέχει µε τα πρόση-

µά τους.

4. Όταν µπροστά από µια παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο ( – ), απαλοίφουµε την

παρένθεση µαζί µε το πρόσηµο και γράφουµε τους όρους που περιέχει µε αλλαγµέ-

να πρόσηµα.


19.



Να τοποθετήσετε πάνω σε έναν άξονα τους παρακάτω ρητούς αριθµούς:

32 3 5 6 4 54, , 3,5, , 3, 5, , , 1, 2, , 5, 6, 3, 5,6,

8 2 2 3 8 20− − − − − − −

Λύση

Είναι :32

48

− = − 31,5

2− = −

52,5

2=

62

3=

40,5

8− = − 5

0,2520

=

Έτσι έχουµε:

Να βρείτε τις απόλυτες τιµές των παρακάτω αριθµών και τους αντίθετους αυτών.

α. – 8 β. +4,5 γ. 13

− δ. –8,3 ε. 65

+ στ. 78

−

Λύση

Η απόλυτη τιµή ενός αριθµού είναι πάντα θετικός αριθµός.

Άρα: α. 8 8− = + β. 4,5 4,5+ = + γ. 1 1

3 3− = +

δ. 8,3 8,3− = + ε. 6 6

5 5+ = + στ.

7 7

8 8− = +

Για να τοποθετήσουµε τους αριθ-

µούς, που είναι σε µορφή κλάσµα-

τος πάνω στον άξονα, είναι ευκο-

λότερο να κάνουµε τη διαίρεση που

συµβολίζει το κλάσµα και να τους

µετατρέψουµε σε δεκαδικούς ή

ακέραιους. Έτσι κατανοούµε καλύ-

τερα που πρέπει να τοποθετηθούν.


20.



Επίσης γνωρίζουµε ότι δύο αριθµοί είναι αντίθετοι όταν έχουν την ίδια απόλυτη τιµή

αλλά διαφορετικό πρόσηµο.

Άρα: α. Ο αντίθετος του –8 είναι το +8.

β. Ο αντίθετος του +4,5 είναι ο – 4,5

γ. Ο αντίθετος του 1

3− είναι ο

1

3+ .

δ. Ο αντίθετος του –8,3 είναι ο +8,3.

ε. Ο αντίθετος του 6

5+ είναι ο

6

5− .

στ. Ο αντίθετος του 7

8− είναι ο

7

8+ .

Να συµπληρώσετε τα κενά µε το κατάλληλο σύµβολο ανισότητας µικρότερο (< ) ή

µεγαλύτερο ( >).

α. +5 .....+7 β. –7,8 ..... +0,5 γ. –3,1 ..... – 2,9 δ. 1 1

2 ..... 24 2

− −

ε. –1,8 .... –1,08 στ. –3 .... –8 ζ. +13 .... +8 η. 1 2

.....8 3

− −

Λύση

α. +5 < +7 β. –7,8 < +0,5 γ. –3,1 < – 2,9 δ. 1 1

2 24 2

− < −

ε. –1,8 < – 1,08 στ. –3 > –8 ζ. +13 > +8 η. 1 2

8 3− > −

Να συµπληρώσετε τα κενά τοποθετώντας κατάλληλα ένα ρητό αριθµό:

α. –4 < ... < +2 β. – 5 < .... < 0 γ. –2 < .... < –1

δ. –1 < ....< 1 ε. 4 < .... < 5 στ. 0 < .... < 1/2

Λύση

α. –4 < 1 < +2 β. – 5 < –3 < 0 γ. –2 < –1,5 < –1

δ. –1 < 0 < 1 ε. 4 < 4,5 < 5 στ. 0 < 1/3 < 1/2

Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Αριθµός α +1/3 –2/5 –7 4 –2

Απόλυτη τιµή του α

Αντίθετος του α

Αντίθετος του (–α)


21.



Λύση

∆ίνονται οι αριθµοι –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5. Από τους

προηγούµενους αριθµούς να βρεθούν εκείνοι για τους οποίους ισχύουν οι παρακάτω

προτάσεις:

α. Είναι µικρότεροι του –2.

β. Έχουν αντίθετο µικρότερο του –2.

γ. Είναι µεγαλύτεροι του –4.

δ. Έχουν αντίθετο µεγαλύτερο του +2.

ε. Η απόλυτη τιµή είναι µικρότερη του +4.

στ. Η απόλυτη τιµή είναι µεγαλύτερη από το +2.

ζ. Βρίσκονται µεταξύ -5 και +1.

η. Η απόλυτη τιµή βρίσκεται µεταξύ +1 και +5.

θ. Η απόστασή τους από το µηδέν στον άξονα είναι 4 µονάδες.

Λύση

α. Οι αριθµοί που είναι µικρότεροι του –2 είναι: –3, –4, –5, –6, –7.

β. Οι αριθµοί που έχουν αντίθετο µικρότερο του –2 είναι: +3, +4, +5.

γ. Οι αριθµοί που είναι µεγαλύτεροι του –4 είναι: –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5.

δ. Οι αριθµοί που έχουν αντίθετο µεγαλύτερο του +2 είναι: –3, –4, –5, –6, –7.

ε. Οι αριθµοί που έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη του +4 είναι: +3, +2, +1, 0, –1, –2, –3.

στ. Οι αριθµοί που έχουν απόλυτη τιµή µεγαλύτερη του +2 είναι:

–7, –6, –5, –4, –3, +3, +4, +5.

ζ. Οι αριθµοί που βρίσκονται µεταξύ +1 και –5 είναι: –4, –3, –2, –1, 0

η. Οι αριθµοί των οποίων η απόλυτη τιµή είναι µεταξύ +1 και +5 είναι:+2, +3, +4, –2, –3, –4.

θ. Οι αριθµοί που η απόστασή τους από το Ο στον άξονα είναι 4 µονάδες είναι αυτοί

που έχουν απόλυτη τιµή ίση µε 4. Άρα 4 4− = και 4 4+ = οπότε οι αριθµοί είναι :

– 4, + 4.


α. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 3 2 3 5 6− + + + + + − + − + + β. ( ) ( ) ( ) ( )14,3 5,1 1,8 7

2 − + + + − + + + −

γ. ( )2 1 51

3 4 6 − + − + + + −

δ. 4 5 8 11 12 22 4 16− + − + + − + −

Αριθµός α +1/3 –2/5 –7 4 –2

Απόλυτη τιµή του α |α| +1/3 2/5 7 4 2

Αντίθετος του α –α –1/3 2/5 7 –4 2

Αντίθετος του (–α) –(–α) 1/3 –2/5 –7 4 –2


22.



Λύση

α. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 3 2 3 5 6− + + + + + − + − + + =

∆ιαγράφουµε τους αντίθετους: ( ) ( )8 3− + + ( ) ( )2 3+ + + − ( ) ( )5 6+ − + + =

Χωρίζουµε θετικούς και αρνητικούς: ( ) ( ) ( ) ( )2 6 8 5+ + + + − + − =Προσθέτουµε θετικούς και αρνητικούς: ( ) ( )8 13+ + − =Είναι ετερόσηµοι, οπότε βάζουµε το πρόσηµο του αριθµού µε την µεγαλύτερη από-

λυτη τιµή και κάνουµε την αφαίρεση: ( )13 8 5− − = −β. Ακολουθώντας τα ίδια βήµατα έχουµε:

( ) ( ) ( ) ( )14,3 5,1 1,8 7

2 − + + + − + + + − =

( ) ( ) ( ) ( )15,1 4,3 1,8 7

2 + + + + − + − + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,1 0,5 4,3 1,8 7+ + + − + − + − =

( ) ( )5,6 13,1+ + − =

( )13,1 5,6 7,5− − = −γ. Κάνουµε ότι και προηγουµένως αφού κάνουµε πρώτα τα κλάσµατα οµώνυµα:

( )2 1 51

3 4 6 − + − + + + − = (Το Ε.Κ.Π. είναι το 12)

Άρα 8 3 10 12

12 12 12 12 − + − + + + − =

10 23 23 10 13

12 12 12 12 12 + + − = − − = −

δ. 4− 5 8 11 12 22 4+ − + + − + 16− =5 8 11 12 22 16+ − + + − − =5 11 12 8 22 16+ + + − − − =

( )28 46 46 28 18+ − = − − = −

Να συµπληρώσετε κατάλληλα τα κενά µε έναν αριθµό έτσι ώστε να ισχύουν οι

ισότητες:

α. .... + (–12) = +1 β. .... + (–20) = –4

γ. (+25) + .... = 0 δ. (–10) + .... = –5

Λύση

α. Παρατηρούµε ότι (+13) + (–12) = + (13 – 12) = +1.


23.



Άρα το κενό συµπληρώνεται µε τον αριθµο +13.

β. (+16) + (–20) = – (20 – 16) = –4. Άρα ο αριθµός είναι το +16.

γ. (+25) + (–25) = 0. Αφού οι αντίθετοι αριθµοί έχουν άθροισµα 0.

δ. (–10) + (+5) = –(10– 5) = –5. Άρα ο αριθµός είναι το +5.

Να υπολογιστούν τα αθροίσµατα Α = x + y +z και B = x + y + ω όταν x = –2, y = +5,

z = + 1/2, ω = -2/3.

Λύση

Α = x + y + z (1)

Αντικαθιστώντας στην (1)έχουµε: ( ) ( ) 1A 2 5

2 = − + + + +

Ε.Κ.Π. (1,2) = 2

Μετατρέπουµε τα κλάσµατα σε οµώνυµα: 4 10 1

A2 2 2

= − + + + +

4 11 11 4 7A

2 2 2 2 2 = − + + = + − = +

B = x + y + ω (2)

Οµοίως έχουµε: ( ) ( ) 2B 2 5

3 = − + + + −

Ε.Κ.Π. (1,3) = 3

Μετατρέπουµε τα κλάσµατα σε οµώνυµα:6 15 2

B3 3 3

= − + + + −

6 2 15B

3 3 3 = − + − + +

8 15 15 8 7B

3 3 3 3 3 = − + + = + − = +

Να εξετάσετε αν το τετράγωνο είναι “µαγικό”.


24.



Λύση

Ένα τετράγωνο είναι µαγικό όταν το άθροισµα των αριθµών

σε κάθε γραµµή, στήλη και διαγώνιό του είναι το ίδιο.

Έχουµε κατα γραµµή:

i. ( ) ( )8 5+ + − ( ) ( )6 5+ − + + ( ) ( ) ( )8 6 8 6 2= + + − = + − = +

ii. ( )3− ( ) ( )2 3+ + + + ( )0 2 0 2+ = + + = +

iii. ( )1+ ( ) ( )2 1+ − + − ( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 4 2 2+ + = − + + = + − = +

iv. ( ) ( ) ( )4 6 7− + + + + ( )7+ − ( ) ( ) ( )4 6 6 4 2= − + + = + − = +Κατά στήλη έχουµε:

v. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 3 1 4 8 1 3 4 9 7 9 7 2+ + − + + + − = + + + + − + − = + + − = + − = +

vi. ( ) ( )5 2− + + ( )2+ − ( ) ( ) ( ) ( )6 5 6 6 5 1+ + = − + + = + − = +Παρατηρούµε ότι η δεύτερη στήλη του τετραγώνου έχει διαφορετικό άθροισµα (+1) ενώ

στις γραµµές και στην πρώτη στήλη είχαµε (+2). Άρα το τετράγωνο δεν είναι µαγικό.

Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A 18 9 2 18 7 11 5= + − − + − − + + − − − + −

Λύση

Μετατρέπουµε τις αφαιρέσεις σε προσθέσεις και έχουµε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A 18 9 2 18 7 11 5= + − − + − − + + − − − + −

( )A 18= + ( ) ( ) ( )9 2 18+ + + − + − ( ) ( ) ( )7 11 5+ − + + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A 9 11 2 7 5= + + + + − + − + −( ) ( ) ( )A 20 14 20 14 6= + + − = + − = +

Να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A 10 7 18 2 7 6= − + − − − + − + + − +

2 1 5 7B 1

3 4 6 12 = − + + − − + − −

Λύση

Μετατρέπουµε τις αφαιρέσεις σε προσθέσεις και έχουµε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A 10 7 18 2 7 6= − + − + + + − + + + −

Γενικά για να µετατρέψουµε

την αφαίρεση σε πρόσθεση

αλλάζουµε το σύµβολο της πρά-

ξης και βάζουµε στον αφαιρε-

τέο αντίθετο πρόσηµο. π.χ.

( ) ( ) ( ) ( )9 8 9 8+ − − = + + + ή

( ) ( ) ( ) ( )5 3 5 3− − − = − + −


25.



∆ιαγράφουµε τους αντίθετους :

( ) ( )A 10 7= − + − ( ) ( ) ( )18 2 7+ + + − + + ( )6+ −Χωρίζουµε θετικούς και αρνητικούς:

( ) ( ) ( ) ( )A 18 10 2 6= + + − + − + −

Κάνουµε τις πράξεις:

( ) ( )A 18 18 0= + + − =

Οµοίως µετατρέπουµε τις αφαιρέσεις σε προσθέσεις:

2 1 5 7B 1

3 4 6 12 = + − + − + − + +

Ε.Κ.Π. (3, 4, 6, 12) = 12

Μετατρέπουµε σε οµώνυµα:

12 8 3 10 7B

12 12 12 12 12 = + − + − + − + +

Χωρίζουµε θετικούς και αρνητικούς:

12 7 8 3 10B

12 12 12 12 12 = + + + − + − + −

Κάνουµε τις πράξεις:

19 21 21 19 2 1B

12 12 12 12 12 6 = + − = − − = − = −

Να λυθούν οι εξισώσεις: α. x + (–10) = – 8 β. x – (–2) = + 6

Λύση

α. Αν προσπαθήσουµε να περιγράψουµε την εξίσωση µε λόγια θα πούµε ότι ο άγνωστος

x, αν προστεθεί στο –10 µας δίνει –8. Άρα ο x είναι η διαφορά του –10 από το –8.

∆ηλαδή: x = –8 – (–10) .

Έχουµε: x = –8 – (–10) = –8 + (+10) = + (10 – 8) = +2

β. Οµοίως εργαζόµαστε και σε αυτήν την εξίσωση αφού όµως πρώτα µετατρέψουµε την

αφαίρεση σε πρόσθεση. x + (+2) = +6. Άρα λοιπόν ο x αν προστεθεί στο (+2) µας

δίνει +6. Οπότε ο x είναι η διαφορά του +2 από το +6.

Άρα: x = + 6 – (+2) = +6 + (–2) = + (6 – 2) = + 4.

Παρατήρηση: Το παράδειγµα 8 µπορεί να λυθεί και σαν εξίσωση αν στο κάθε κενό

τοποθετήσουµε το x. Λύστε το και µε αυτόν τον τρόπο µόνοι σας για εξάσκηση !!!


26.




Λύση

Στην πρώτη στήλη του πίνακα έχουµε: α + β – γ = –8

Αντικαθιστούµε τα α, β, γ µε τους αριθµούς του πίνακα. Σε όποιο γράµµα δεν γνωρίζου-

µε την τιµή του το αντικαθιστούµε µε x δηµιουργώντας έτσι µία εξίσωση.

Άρα: 4 + x – (–5) = –8

Μετατρέπουµε τις αφαιρέσεις σε προσθέσεις: 4 + x + (+5) = –8

Κάνουµε τις πράξεις: x + (4 + 5) = –8

x + 9 = –8

Ο x προστίθεται στο +9 και µας δίνει –8. Άρα ο x είναι η διαφορά του +9 από το –8.

∆ηλαδή: x = – 8 – (+9) = –8 + (–9) = –17.

Οµοίως στη δεύτερη στήλη έχουµε α + β – γ = +16

Αντικαθιστούµε και έχουµε: x + (–2) – (+6) = +16

x + (–2) + (–6) = +16

x + (–8) = +16

Ο x προστίθεται στο –8 και µας δίνει +16. Άρα ο x είναι η διαφορά του –8 από το +16.

∆ηλαδή: x = +16 –(–8) = +16 + (+8) = +24

Στην τρίτη στήλη έχουµε: α + β – γ = –15

Αντικαθιστούµε και έχουµε: –4 + (–3) – x = + 7

– (4 + 3) – x = + 7

– 7 – x = + 7

Ο x αφαιρείται από το –7 και µας δίνει +7. Άρα ο x είναι η διαφορά του +7 από το –7.

∆ηλαδή x = –7 – (+7) = –7 + (–7) = – 14

Η τέταρτη στήλη του πίνακα είναι µία απλή αντικατάσταση: α + β – γ = x

–2 +(+8) – (–1) = x

–2 +(+8) + (+1) = x

–2 + (+9) = x

+7 = x

Άρα οι αριθµοί που λείπουν από τον πίνακα είναι οι:

–17, +24, –14 και +7

Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων αφού πρώτα κάνετε απαλοιφή παρενθέ-

σεων:

α 4 –4 –2

β –2 –3 +8

γ –5 +6 –1

α + β – γ –8 +16 +7


27.



( ) ( )A 4 5 16 8 8 7 3 2= − + − + + − + − + ( ) ( )B 12 9 20 14 15 5= − + − − − + −

Λύση

Εφαρµόζουµε τους κανόνες απαλοιφής παρενθέσεων και έχουµε:

( ) ( )A 4 5 16 8 8 7 3 2= − + − + + − + − + ή

A 4 5 16 8 8 7 3 2= − − + − − + − + ή

A 16 7 2 4 5 8 8 3= + + + − − − − − ή

A 25 28= − ή

A 3= −Όµοια έχουµε:

( ) ( )B 12 9 20 14 15 5= − + − − − + − ή

B 12 9 20 14 15 5= − − + + − + ή

B 20 14 5 12 9 15= + + − − − ή

B 39 36 3= − = +

Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: ( ) ( )A 10 α β 11 α β= − − + + − +

Λύση

( ) ( )A 10 α β 11 α β= − − + + − + ή

Α 10 α= − + β− 11 α+ − β+ ή

Α 10 11 1= − + = +

Στην παρακάτω παράσταση να βάλετε τον 2ο και 4ο όρο µέσα σε παρένθεση που να

έχει µπροστά το πρόσηµο (–): Α 3 x y 15 7= − + + +

Λύση

Ο δεύτερος όρος είναι το –x και ο τέταρτος το +15.

Άρα θα έχουµε: ( )Α 3 x 15 y 7= − − + +

Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι ίσες µε α – β:

α. – (–β) – (–α) β. – (–α) – (+β) γ. –(–α) – (–β)

Λύση

α. – (–β) – (–α) = +β + α = α + β. ∆εν είναι ίσο µε α – β.

β. – (–α) – (+β) = +α – β = α – β. Είναι ίσο µε α – β.

γ. – (–α) – (–β) = + α + β= α + β. ∆εν είναι ίσο µε α – β.


28.



1. Να τοποθετήσετε πάνω σε άξονα τους παρακάτω ρητούς αριθµούς:

–8, +6, +4/8, – 8/4, +20, –15, +10,5, +1 1 2

2. Να βρείτε τις απόλυτες τιµές των αριθµών:

α. – 10,8 β. – 12,5 γ. + 7,3

δ. – 5,6 ε. 5

8− στ.

6

5+

3. Να διατάξετε τους παρακάτω ρητούς αριθµούς κατά µέγεθος αρχίζοντας από τον

µικρότερο.

α. –5, –7, 0, –2, + 4, –8, + 1

β. – 30,5, – 24, + 7,3 , + 7,1 , – 24,4

γ. 3 3 1 3 4 7

, 4 , 5 , 2 , 2 , 24 10 4 5 5 10

+ − − − − +

4. Σηµειώστε µε Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω εκφράσεις:

α. 7 2− < − β. 7 2− < − γ. 8 8+ < − δ. 8 8+ < −ε. 5 9< − στ. 4 0− < ζ. 4 0− < η. 0 6< −

5. Να βάλετε το κατάλληλο σηµείο ανισότητας στα κενά:

α. 8 .... 3− + β. 3 .... 8− − γ. 0 .... 5− δ. 5 .... 7+ +

ε. 4,2 .... 0− στ. 0 .... 0,1− ζ. 7,8 .... 7,08− − η. 5,1.... 5− −

6. Να βρείτε τους αντίθετους των παρακάτω αριθµών:

α. 1

102

− β. 8

3+ γ.

15

6− δ. 11−

ε. 13,5+ στ. 6,7− ζ. 18

25− η.

6

7+


29.



7. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

8. Ελέγξτε αν έχουν γίνει σωστά οι πράξεις και διορθώστε τα λανθασµένα αποτελέ-

σµατα. (Σηµειώστε Σ στο σωστό και Λ στο λάθος)

α. ( ) ( )4 12 16+ + + = + β. ( ) ( )3,2 2,3 0,9− + + = − γ. 5 3

18 8

− + − = −

( ) ( )9 4 5− + + = − ( ) ( )1,6 2,1 0,5+ + − = + 1 1 1

3 2 6 + + − = +

( ) ( )9 2 11− + − = + ( ) ( )4,4 5,4 0,1− + + = + 3 1 2

5 2 3 + + − = +

( ) ( )8 15 23+ + − = − ( ) ( )6,6 6,6 12,12− + − = −

9. Να συµπληρώσετε το κενό µε ένα από τα σύµβολα > , < ή = :

α. ( ) ( ) ( )17 11 .... 23+ + + + β. ( ) ( )15 15 .... 15− + + +

γ. ( ) ( )23 19 .... 2+ + − + δ. ( ) ( ) ( ) ( )15 88 .... 25 98− + + − + +

ε. ( ) ( )22 22 .... 0+ + − στ. ( ) ( ) ( ) ( )54 37 .... 24 67− + − − + −

ζ. ( ) ( )18 5 .... 22− + − − η. ( ) ( ) ( ) ( )17 71 .... 25 25− + + − + −

10. Να συµπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες:

Αριθµός x –4,5 +1/8 –2/3 +11 –12,3

Απόλυτη τιµή του x

Αντίθετος του x

Αντίθετος του –x

+ +33 – 28 +54 – 70

+19

– 45

– 54

+62

+ –1/2 –1/3 +3/4 +5/12

+1/2

–1/3

–1/4

–7/12

+ –1,5 +0,1 –7,2 +3,9

+2,2

–3,9

+6,5

+0,1


30.



11. Να υπολογιστούν οι τιµές των παρακάτω παραστάσεων:

( ) ( ) ( ) ( )A 10 12 8 16= + + − + − + −

( )1 1 11B 2

2 3 6 = − + + + − + +

Γ 18 25 71 64 101= − + − + −

( ) ( ) ( ) ( )∆ 3,05 1,15 7,3 4,6= + + − + − + −

( ) ( )2 7Ε 14 18

5 10 = + + − + + + −

ΣΤ 30 45 68 25 72= − − + −

12. Να συµπληρώσετε το διπλανό πίνακα έτσι ώστε να προκύψει

“µαγικό” τετράγωνο.

13. Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων:

( ) ( ) ( ) ( )Α 1,8 2,05 1,8 2,05= − + + + + + −

( )1 1 6Β 8 4 2

2 2 3 = − + + + − + − ( ) ( ) ( ) ( )Γ 7,4 1,5 7, 4 13,2= − + − + + + −

1 1 1 1∆ 1

2 4 8 10= − + − +

14. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα:

α. 2, 2 7,8 18,6 20,1 5,5− + − − + β. 3 1 5 1

28 4 16 2

− + − +

γ. 1 1 1 2

1 7 1 22 3 6 3

− + − + − δ. 8,3 10, 2 12, 4 3,75 6, 25− − + +

ε. 45,18 68, 44 14,02 68, 45 10,13− − + −

15. Αν 1

x2

= − , y 1= − , 3

z2

= , 1

ω 23

= − και κ 2= + να υπολογίσετε τα παρακάτω

αθροίσµατα:

A x y z= + + B x y ω= + + Γ x y κ= + +

∆ x y z ω= + + + E x y z κ= + + + ΣΤ x y z ω κ= + + + +


31.



16. Να υπολογίσετε τις διαφορές:

α. ( ) ( )2 5− − + β. ( ) ( )28 12− − + γ. ( ) ( )16, 4 13,6− − δ. 1 3

2 4 − − +

( ) ( )6 4+ − + ( ) ( )33 40+ − + ( ) ( )29,1 21,9− − + 5 2

6 3 + − −

( ) ( )14 10+ − − ( ) ( )52 32+ − − ( ) ( )26,1 24,9− − + 5 2

3 26 3

− − +

( ) ( )15 35− − − ( ) ( )60 60− − − ( ) ( )55,5 33,3− − − 2 4

1 35 5

+ − +

17. Να να συµπληρωθούν τα κενά µε τα σηµεία <, > ή = :

α. ( ) ( )18 13 .... 18+ − + + β. ( ) ( )12 4 .... 12+ − − +

γ. ( ) ( )20 40 .... 20+ − + − δ. 19 19 .... 19+ − − −

ε. 37 37 .... 0− − − στ. ( ) ( )14 14 .... 0− − −

18. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:

α. ( )x 12 1− + = + β. ( )x 20 4− + = − γ. ( )x 15 18+ − = −δ. ( )x 8 10+ − = + ε. ( )x 25 0+ + = στ. ( )x 7 7+ − = −ζ. ( )10 x 2+ − = + η. ( )6 x 20+ − = − θ. ( )x 2,5 9− − = +

ι. ( )30 x 55+ − = + κ. ( )8 x 12− − = − λ. 44 x 2− + = +

19. Να υπολογίσετε τα εξαγόµενα:

α. ( ) ( ) ( ) ( )42 23 32 23− − − − + + + β. ( ) ( ) ( )8,35 9,02 4,18− + − − −

γ. ( )2 5 11

3 6 2 + − − + − − − δ. ( ) ( ) ( ) ( )88 45 53 29+ + − − − − +

ε. 3 3 4 7

7 5 2 64 20 5 10

+ − + − − + + στ. ( ) ( ) ( ) ( )5,33 8,44 1, 29 4,02+ − + + − − −

20. Να βρείτε τις τιµές των x και y έτσι ώστε οι τιµές των παραστάσεων Α και Β να είναι

µηδέν.

( ) ( ) ( ) ( )A 18 x 15 60 100= − + + − − + − −( ) ( ) ( )B 14 y 16 9= + + − − − +


32.




α.

β.


α. ( ) ( ) ( )75 28 60− − − + + β. ( ) ( ) ( )57 40 16+ − + − −γ. ( ) ( ) ( ) ( )15 26 26 15+ − − − + − − δ. ( ) ( ) ( ) ( )220 140 510 400− − + − + + −

23. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων µε δύο τρόπους:

i. απαλοίφοντας τις παρενθέσεις, ii. κάνοντας τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις.

α. ( ) ( )30 5 6 8 7 18 22− − + − + − + − β. ( ) ( )44 28 12 10 11− − + − + − −

γ. ( ) ( )8, 22 4,91 3, 47 5,3 12,88− − + − − δ. 1 1 7 4

3 2 8 52 5 10 5

− − + −

24. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων αφού πρώτα κάνετε απαλοιφή παρεν-

θέσεων.

( ) ( )A 25 38 17 55 20 64= − − + − − + + −

( ) ( )B 10 22,8 88,2 40 60= − − + + − +5 5 3 5

Γ8 6 12 4

= − − − + − ( ) ( )∆ 200 160 800 230 500= + − − − + +4 2 2 5

E 1 56 3 3 6

= − − + ( ) ( )ΣΤ 2,1 4,5 8,7 5,9 3,5 6,6= − − + + + − − +

3 5 1 1Z 1 7

4 12 12 3 = − − − +

α –4 +22 +12 +15

β +8 –7 –6

γ +8 –10 –13 –8

α – β – γ –10 –14 +6 +11

α β γ (α + β) – γ α – (β – γ) (α – β) + (γ + β)

–2 8 5

9 –6 –10

–4 0 –4


33.



25. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

( ) ( )A 20 x y 4 x y 16= − + + − − − +

( ) ( )B y x 12 x y 11= − − + − + − −

( ) ( )Γ x y 6 x y 6= + + − + −

( ) ( )∆ x y 18 x y 18= − + − + − +

26. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων αφού πρώτα απαλοίψετε τις αγκύλες

και τις παρενθέσεις:

( ) ( )A 12,8 7 1,4 7,5 8,2 7,4 = − + − + − − +

( )[ ] ( ) ( )[ ]B 40 30 15 18 25 30 16= − − − − − − + − −

( ) ( ) ( )[ ]Γ 8 1 7 15 8 10= − − − − − + − +

( )[ ]∆ 3 500 2000 500= − − − + −

27. Αν A x y 10= − − και B x y 20= − + + να υπολογίσετε το Α + Β.

28. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων:

α. ( )20 x y 35− + − αν x 10= − και y 8= + .

β. ( ) ( )x y 10 x y − − − − + αν x 4= − και y 5= − .

γ. ( ) ( )x y y x − − + + − αν x 1= − και y 1= .

29. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης:

( ) ( ) ( )A 18 x y 2 x α 20 y α= − − + − + − − − − αν x y 4− =

30. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι ίσες µε x + y και ποιες µε – (x + y);

α. ( ) ( )x y− + − − β. ( ) ( )x y− − − − γ. ( )x y− + − δ. ( )x y− − −

ε. ( ) ( )x y+ − + στ. ( )x y − − − − ζ. ( )x y− − + η. ( ) ( )y x− − − −


34.



Ερώτηση 1

Πως γίνεται η πρόσθεση δύο ετερόσηµων ρητών αριθµών;

Πως γίνεται η απαλοιφή παρενθέσεων όταν υπάρχει µπροστά από την παρένθεση το

πρόσηµο (–) ;

Ερώτηση 2

Ποιους ονοµάζουµε οµόσηµους αριθµούς και πως γίνεται η πρόσθεση αυτών;

Άσκηση 1


α. (– 8) + (+3) + (+2) + (–3) + (–5) + (+6)

β. 2 1 5 7

13 4 6 12

− + + − − + − −

Άσκηση 2

Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

α. ( )x 3 4− − = + β. ( )4 x 12− − = +

Άσκηση 3

Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : ( ) ( )A 2 x y 1 x 2y = − − − + − − + ,

αν x 1= − και y 1= .


Â


2Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí

Ãéíüìåíï ðïëëþí ðáñáãüíôùí

Äéáßñåóç ñçôþí áñéèìþí

Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí

Ãéíüìåíï ðïëëþí ðáñáãüíôùí

Äéáßñåóç ñçôþí áñéèìþí

Πως πολλαπλασιάζουµε δύο οµόσηµους αριθµούς;

Να υπολογιστούν τα γινόµενα:

(+2) · (+4) (–3) · (–2)

Για να πολλαπλασιάσουµε δύο οµόσηµους αριθ-

µούς, πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο

γινόµενο αυτό βάζουµε πρόσηµο (+).

( ) ( )2 4 8 8+ ⋅ + = + = ( ) ( )3 2 6 6− ⋅ − = + =

Πως πολλαπλασιάζουµε δύο ετερόσηµους αριθµούς;

Να υπολογιστούν τα γινόµενα:

( ) ( )3 4+ ⋅ − ( ) 24

3 − ⋅ +

Για να πολλαπλασιάσουµε δύο ετερόσηµους αριθ-

µούς, πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο

γινόµενο αυτό βάζουµε το πρόσηµο (–) .

( ) ( )3 4 12+ ⋅ − = − ( ) 2 84

3 3 − ⋅ + = −

Πολλαπλασιασµός δύο

οµόσηµων αριθµών

Πολλαπλασιασµός δύο

ετερόσηµων αριθµών

Ισχύει ο εξής πρακτικός κανόνας:

( ) ( ) ( )+ ⋅ + = + ( ) ( ) ( )− ⋅ − = +

( ) ( ) ( )+ ⋅ − = − ( ) ( ) ( )− ⋅ + = −


36. Οι ρητοί αριθµοί

Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ∆ιαίρεση ρητών αριθµών

Ιδιότητες

πολλαπλασιασµού

Αντίστροφοι αριθµοί

Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασµού;

Στον πολλαπλασιασµό ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

• α β β α⋅ = ⋅ [Αντιµεταθετική ιδιότητα]

• 0 α 0⋅ = και 1 α α⋅ =

• ( ) ( )α β γ α β γ⋅ ⋅ = ⋅ [Προσεταιριστική ιδιότητα]

• ( )α β γ αβ αγ+ = + ή ( )α β α γ α β γ⋅ + ⋅ = +

( )α β γ αβ αγ− = − ή ( )α β α γ α β γ⋅ − ⋅ = −

[Επιµεριστική ιδιότητα]

Ποιοι αριθµοί λέγονται αντίστροφοι; Να βρεθούν οι

αντίστροφοι των: +5, – 3, – 2/5.

∆ύο αριθµοί που το γινόµενό τους ισούται µε + 1

λέγονται αντίστροφοι αριθµοί. Ο καθένας από αυτούς λέ-

γεται αντίστροφος του άλλου. Για παράδειγµα,

• Ο αντίστροφος του +5 είναι 1

5+ .

• Ο αντίστροφος του –3 είναι 1

3− .

• Ο αντίστροφος του 2

5− είναι

5

2− .

Πως υπολογίζουµε το γινόµενο πολλών παραγόντων;

Για να υπολογίσουµε το γινόµενο πολλών παραγό-

ντων διάφορων του µηδενός, πολλαπλασιάζουµε τις α-

πόλυτες τιµές τους και στο γινόµενο αυτό βάζουµε το πρό-

σηµο (+) αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι

άρτιο ή το πρόσηµο (–) αν το πλήθος των αρνητικών

Οι αντίστροφοι αριθµοί είναι οµόσηµοι αριθµοί.

Το µηδέν δεν έχει αντίστροφο γιατί δεν ορίζεται το κλάσµα 1

x αν x 0= .

Πρόσηµο γινοµένου

πολλών παραγόντων


37.Οι ρητοί αριθµοί


Πρόσηµο πηλίκου

δύο αριθµών

παραγόντων είναι περιττό.

Σηµείωση: Ένα γινόµενο αριθµών είναι µηδέν αν έστω και

ένας από τους παράγοντες του γινοµένου είναι µηδέν.

Πως υπολογίζουµε το πηλίκο δύο αριθµών;

Να υπολογιστούν τα αποτελέσµατα των παρακάτω διαι-

ρέσεων:42

++

, 605

−−

, 93

+−

, 62

−+

.

Για να διαιρέσουµε δύο αριθµούς, διαιρούµε τις α-

πόλυτες τιµές τους και στο πηλίκο αυτό βάζουµε:

• Πρόσηµο (+) αν είναι οµόσηµοι.

• Πρόσηµο (–) αν είναι ετερόσηµοι.

Για παράδειγµα,

• 4

2 22

+ = + =+

, • 60

12 125

− = + =−

,

• 9

33

+ = −−

, • 6

32

− = −+

.

Τι ονοµάζεται λόγος δύο αριθµών α, β;

Το πηλίκο α : β ή α

β, µε β 0≠ ονοµάζεται ο λόγος

του α προς το β.

Γενικά, για να διαιρέσουµε δύο αριθµούς αρκεί να πολλα-

πλασιάσουµε το διαιρετέο µε τον αντίστροφο του διαιρέτη,

δηλαδή α 1

αβ β

= ⋅

Λόγος

δύο αριθµών

Για το πηλίκο δύο αριθµών ισχύει ο εξής πρακτικός κανόνας:

( )( )

( )+ = ++

( )( )

( )+ = −−

( )( )

( )− = +−

( )( )

( )− = −+

Ο α ονοµάζεται διαιρετέος, ο β διαιρέτης και το αποτέλεσµα πηλίκο.

Ο διαιρέτης πρέπει να είναι διάφορος του µηδενός.




1. Για να πολλαπλασιάσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς, πολ-

λαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο γινόµενο αυτό

βάζουµε το πρόσηµο ( + ).

2. Για να πολλαπλασιάσουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αριθµούς,

πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο γινόµενο αυτό βάζουµε το πρό-

σηµο ( – ).

3. ∆ύο αριθµοί που το γινόµενό τους ισούται µε +1 λέγονται αντίστροφοι.

4. Για να διαιρέσουµε δύο αριθµούς, διαιρούµε τις απόλυτες τιµές τους και στο πηλίκο

αυτό βάζουµε πρόσηµο ( + ) αν είναι οµόσηµοι και πρόσηµο ( – ) αν είναι ετερόση-

µοι.

5. Σε γινόµενο πολλών παραγόντων, µετράµε το πλήθος των αρνητικών όρων και αν

είναι άρτιο στο γινόµενο βάζουµε πρόσηµο ( + ), ενώ αν είναι περιττό βάζουµε

πρόσηµο ( – ).




Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόµενα:

α. ( ) ( )3 4+ ⋅ + β. ( ) ( )3 4− ⋅ + γ. ( ) ( )3 4− ⋅ − δ. ( ) ( )3 4+ ⋅ −ε. ( ) ( )2 7− ⋅ − στ. ( ) ( )2 7+ ⋅ − ζ. ( ) ( )2 7+ ⋅ + η. ( ) ( )2 7− ⋅ +Λύση

α. Οι αριθµοί είναι οµόσηµοι άρα βάζουµε πρόσηµο (+) και πολλαπλασιάζουµε τις

απόλυτες τιµές τους. ( ) ( )3 4 12+ ⋅ + = +β. Οι αριθµοί είναι ετερόσηµοι άρα βάζουµε πρόσηµο (–) και πολλαπλασιάζουµε τις

απόλυτες τιµές. ( ) ( )3 4 12− ⋅ + = −γ. Οµοίως έχουµε: ( ) ( )3 4 12− ⋅ − = +δ. ( ) ( )3 4 12+ ⋅ − = −ε. ( ) ( )2 7 14− ⋅ − = +στ. ( ) ( )2 7 14+ ⋅ − = −ζ. ( ) ( )2 7 14+ ⋅ + = +η. ( ) ( )2 7 14− ⋅ + = −

Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

α. ( ) ( ) ( ) ( )3 8 4 2− ⋅ − − + ⋅ − β. ( ) ( ) ( ) ( )9 11 4 15+ ⋅ − + + ⋅ −

γ. ( ) ( ) ( ) ( )0,25 8 1,5 1,5⋅ − + + ⋅ − δ. 1 1 1 12 3 3 2

− ⋅ + + − ⋅ +

Λύση

α. Εφαρµόζουµε τους κανόνες του πολλαπλασιασµού των ρητών αριθµών και έχουµε:

( ) ( ) ( ) ( )3 8 4 2− ⋅ − − + ⋅ − = ( )24 8 24 8 32+ − − = + + = +β. Οµοίως έχουµε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )9 11 4 15 99 60 159+ ⋅ − + + ⋅ − = − + − = −

γ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,25 8 1,5 1,5 2 2,25 4,25⋅ − + + ⋅ − = − + − = −




δ. 1 1 1 1 1 1 2 1

2 3 3 2 6 6 6 3 − ⋅ + + − ⋅ + = − + − = − = −

Να κάνετε τις πράξεις:

α. ( )14 2 3

2⋅ − + − β. ( )5 6 8 12− ⋅ − + γ. ( )[ ] ( )8 5 3− − − ⋅ +

Λύση

Εφαρµόζοντας τους κανόνες της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασια-

σµού των ρητών αριθµών έχουµε:

α. ( ) ( )1 1 1 5 54 2 3 5

2 2 2 1 2 ⋅ − + − = ⋅ − = ⋅ − = −

β. ( ) ( )5 6 8 12 5 10 50− ⋅ − + = − ⋅ + = −

γ. ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 5 3 8 5 3 8 15 15 8 7− − − ⋅ + = − + ⋅ + = − + = − − = −

Να συµπληρώσετε τον διπλανό πίνακα αντικαθιστώντας

τα α, β, γ, δ, ε και στ. .

Λύση

( ) ( )α 7 2 14= − ⋅ + = − , ( ) ( )β 4 2 8= + ⋅ + = + ,

( ) ( )γ 9 2 18= − ⋅ + = − ,

( ) ( )δ 7 6 42= − ⋅ − = + , ( ) ( )ε 4 6 4= + ⋅ − = −2 , ( ) ( )στ 9 6 54= − ⋅ − = + .

Εφαρµόζοντας την επιµεριστική ιδιότητα να βρείτε την τιµή των παραστάσεων:

Α 10y 2y= − − , ( )[ ]B 10 4 y 2y= − − − − , Γ 4y y= − όταν y 1= − .

Λύση

Εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα [α· (β + γ) = α · β + α · γ] και αντικαθιστούµε

όπου y το –1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A 10y 2y 10 2 y 10 2 1 12 1 12= − − = − − = − − ⋅ − = − ⋅ − = +

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )B 10 4 y 2y 10 4 2 y 6 2 1= − − − − = − − − − ⋅ = − − + − ⋅ − =

( ) ( ) ( )8 1 8 8= − − ⋅ − = − + = −( ) ( ) ( ) ( ) ( )Γ 4y y 4 1 y 4 1 1 3 1 3= − = − ⋅ = − ⋅ − = + ⋅ − = −





α. ( ) ( ) 11,8 3 1,8

3 − − + − − ⋅ −

β . ( ) ( )1 12 2

2 2 − ⋅ − + + ⋅ −

γ. 1 1 1 1

2 1 5 22 2 2 2

− ⋅ − + − − ⋅ + δ. ( ) ( )2003 2004 0− ⋅ + ⋅

ε. ( ) ( ) ( ) ( )3,4 2,1 6,7 2,1− ⋅ + − − ⋅ − στ. ( )6 8 2 16− ⋅ − + −

Λύση

α. ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 31,8 3 1,8 1,8 3 1,8 3 1

3 3 3 3 − − + − − ⋅ − = − − + + ⋅ − = − + ⋅ − = + = +

β. ( ) ( )1 1 2 22 2 0

2 2 2 2 − ⋅ − + + ⋅ − = + + − =

γ. 1 1 1 1 5 3 11 5

2 1 5 22 2 2 2 2 2 2 2

− ⋅ − + − − ⋅ + = − ⋅ − + + ⋅ + =

15 55 70 35

4 4 4 2 = + + + = + =

δ. Γνωρίζουµε ότι, αν σε ένα γινόµενο, έστω και ένας παράγοντας είναι µηδέν, τότε το

αποτέλεσµα είναι µηδέν, α 0 0⋅ = ή 0 α 0⋅ = . Άρα ( ) ( )2003 2004 0 0− ⋅ + ⋅ =

ε. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,4 2,1 6,7 2,1 7,14 14,07 7,14 14,07− ⋅ + − − ⋅ − = − − + = − + − =

( )14,07 7,14 21, 21= − + = −

στ. ( ) ( )6 8 2 16 6 22 132− ⋅ − + − = − ⋅ − = +


Λύση

Αντικαθιστούµε στην παράσταση το x , κάθε φορά µε τον ίσο του, και έχουµε:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 12 10 6 3 12 10 6 3 22 6 66 6 72− ⋅ − − + − = − ⋅ + + − = − ⋅ + + − = − + − = −

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 12 8 6 3 12 8 6 3 4 6 12 6 18− ⋅ − + + − = − ⋅ − + − = − ⋅ + + − = − + − = −

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 12 5 6 3 12 5 6 3 17 6 51 6 57− ⋅ − − + − = − ⋅ + + − = − ⋅ + + − = − + − = −

x – 3 · (12 – x) + (–6)

–10

+ 8

– 5




Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις:

α. ( ) ( )3 x 2 y− ⋅ + β. ( ) ( )1 x 1 y− ⋅ −

Λύση

Εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα και έχουµε:

α. ( ) ( ) ( ) ( )3 x 2 y 3 2 y x 2 y 3 2 3 y x 2 x y 6 3 y 2 x x y− ⋅ + = ⋅ + − + = ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ − ⋅

β. ( ) ( ) ( ) ( )1 x 1 y 1 1 y x 1 y 1 1 1 y x 1 x y 1 y x x y− ⋅ − = ⋅ − − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = − − + ⋅

Αν x 1= − και y 1= + να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης:

( ) ( ) ( )A x x y 2 x y y y x= ⋅ + − ⋅ − + ⋅ −

Λύση

Αντικαθιστούµε τα x και y µε το ίσον τους και κάνουµε πράξεις, χρησιµοποιώντας

τους κανόνες της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασµού των ρητών

αριθµών.

( ) ( ) ( )A x x y 2 x y y y x= ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − =

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]1 1 1 2 1 1 1 1 1= − − + + − ⋅ − − + + + ⋅ + − − =

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 1 1 1= − ⋅ − + − ⋅ − − + + ⋅ + =( ) ( ) ( )1 0 2 2 1 2= − ⋅ − ⋅ − + + ⋅ + =

( )0 4 2 4 2 6= + + = + + = + . Άρα A 6= +


α. ( ) ( ) ( ) ( )2 8 1 7− ⋅ + ⋅ − ⋅ − β. ( ) ( ) ( )4 117 3 1

3 2 − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ −

γ. ( ) ( ) ( )8,4 3,5 1, 2− ⋅ + ⋅ − δ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 5 2 3 12− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ +

Λύση

α. Παρατηρούµε ότι οι αρνητικοί όροι του γινοµένου είναι 3, αριθµός περιττός, άρα το

πρόσηµο του γινοµένου είναι αρνητικό (–). Πολλαπλασιάζοντας τις απόλυτες τιµές

των όρων έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( )2 8 1 7 112− ⋅ + ⋅ − ⋅ − = −

β. Εδώ παρατηρούµε ότι οι αρνητικοί όροι του γινοµένου είναι 4, αριθµός άρτιος. Άρα

το πρόσηµο του γινοµένου είναι θετικό (+). Πολλαπλασιάζοντας λοιπόν τις απόλυτες

τιµές τους έχουµε: ( ) ( ) ( )4 1 20417 3 1 34

3 2 6 − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − = + = +




γ. Οµοίως: ( ) ( ) ( )8,4 3,5 1, 2 35, 28− ⋅ + ⋅ − = +

δ. Οµοίως: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 5 2 3 12 1440− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + = −

Να υπολογίσετε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων:

α. ( ) ( )( )x x y x y y x⋅ + ⋅ − − , όταν x 1= − , y 1= + .

β. ( ) ( )x x y y x y− ⋅ − + ⋅ − ⋅ , όταν x 1= + , y 1= − .

Λύση

Αντικαθιστούµε τα x και y µε τα ίσα τους και εφαρµόζουµε τους κανόνες της πρόσθε-

σης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασµού των ρητών αριθµών. Άρα:

α. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]x x y x y y x 1 1 1 1 1 1 1⋅ + ⋅ − − = − ⋅ − + + ⋅ − − + ⋅ + − − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 0− ⋅ − + ⋅ − − ⋅ + + = − ⋅ ⋅ − ⋅ + =

β. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )x x y y x y 1 1 1 1 1 1− ⋅ − + ⋅ − ⋅ = − + ⋅ − + + − ⋅ − − + ⋅ − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 4 4− + ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − = − + ⋅ − ⋅ − ⋅ − = − − = +


Λύση

Όταν α 2= + , β 1= − και γ 2= − έχουµε:

( ) ( )α β 2 1 2⋅ = + ⋅ − = − , ( )( )β α 1 2 2⋅ = − + = − [Αντιµεταθετική ιδιότητα]

( ) ( ) ( )α β γ 2 1 2 4⋅ ⋅ = + ⋅ − ⋅ − = + ,

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )α β γ 2 1 2 2 1 2 2 3 6⋅ + = + ⋅ − + − = + ⋅ − − = + ⋅ − = −

Όταν α 3= + , β 1= + , γ 4= − έχουµε:

( ) ( )α β 3 1 3⋅ = + ⋅ + = + , ( ) ( )β α 1 3 3⋅ = + ⋅ + = + ,

( ) ( ) ( )α β γ 3 1 4 12⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ − = − , ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )α β γ 3 1 4 3 3 9⋅ + = + ⋅ + + − = + ⋅ − = −

Να συµπληρώσετε τα κενά µε πρόσηµα και αριθµούς ώστε να ισχύουν οι ισότητες:

α β γ α · β β · α α · β · γ α · (β + γ)

+2 –1 –2

+3 +1 –4




α. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 23 ... 16 3 1 ....+ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − = +

β. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 2 4 ... 5 6 ....− ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − = −

γ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 5 ... 2 3 5 ....− ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + = +

Λύση

α. Παρατηρούµε ότι οι αρνητικοί όροι του γινοµένου είναι τρεις και παρόλα αυτά

έχουµε θετικό πρόσηµο στο αποτέλεσµα. Άρα το πρόσηµο που λείπει πρέπει να

είναι αρνητικό για να δηµιουργεί άρτιο πλήθος αρνητικών όρων.

Οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 23 16 3 1 8832+ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = +Με την ίδια λογική έχουµε:

β. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 2 4 5 6 2400− ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − = −

γ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 5 2 3 5 600− ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + = +


α. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − β. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ +

Λύση

α. Οι αρνητικοί όροι του γινοµένου είναι έξι δηλαδή το πλήθος είναι άρτιο.

Άρα : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = +β. Παρατηρούµε ότι το γινόµενο έχει έναν µόνο αρνητικό όρο (περιττό πλήθος).

Άρα: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + = −

Να βρείτε τι πρόσηµο θα έχουν τα παρακάτω γινόµενα:

α. ( ) ( )( ) ( ) ( )x y α β γ− ⋅ + − ⋅ − ⋅ + β. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )α β x y γ+ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

Λύση

α. Οι αρνητικοί όροι είναι τρεις (περιττό πλήθος). Άρα το πρόσηµο θα είναι αρνητικό.

β. Οι αρνητικοί όροι είναι τέσσερεις (άρτιο πλήθος). Άρα το πρόσηµο θα είναι θετικό.

Να υπολογίσετε την τιµή της παρακάτω παράστασης:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A x y x y x y x y= − ⋅ − ⋅ + ⋅ + + + ⋅ − ⋅ − ⋅ + , όταν x 2= − και y 2= + .

Λύση

Αντικαθιστούµε τα x και y µε τα ίσα τους και έχουµε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A x y x y x y x y= − ⋅ − ⋅ + ⋅ + + + ⋅ − ⋅ − ⋅ + =

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2 2 2 2 2 2 2 2= − − ⋅ − + ⋅ + − ⋅ + + + + − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ + + =




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2= + ⋅ − ⋅ − ⋅ + + − ⋅ − ⋅ + ⋅ + =

( ) ( )16 16 32= + + + =

Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις:

α. ( )25 : 5− β. 49 : 7− γ. 1 1

:2 3

− −

δ. ( ) ( )100 : 10− − ε. ( )2,8 : 7− στ. ( )35 :10−

ζ. ( )2, 25 : 1,5− η. ( ) ( )36 : 6 : 2− − θ. ( ) ( )60 : 15 : 2− +

Λύση

Έχουµε:

α. ( )25 : 5 5− = − β. 49 : 7 7− = −

γ. 1 1 1 3 3

:2 3 2 1 2

− − = − ⋅ − = +

δ. ( ) ( )100 : 10 10− − = + ε. ( )2,8 : 7 0,4− = −

στ. ( )35 :10 3,5− = − ζ. ( )2,25 : 1,5 1,5− = −

η. ( ) ( ) ( ) ( )36 : 6 : 2 6 : 2 3− − = − − = + θ. ( ) ( ) ( ) ( )60 : 15 : 2 4 : 2 2− + = − + = −


( ) ( )1 1 1 1A 2 : 3

3 2 2 5 = − ⋅ + − − ⋅ −

Λύση

Κάνουµε τα κλάσµατα οµώνυµα: ( ) ( )2 3 1 1A 2 : 3

6 6 2 5 = − ⋅ + − − ⋅ −

Κάνουµε τις πράξεις: ( ) ( )5 1 5A 2 3

6 2 1 = − ⋅ − − ⋅ + ⋅ −

10 15A

6 2 = − − +

Τα κάνουµε ξανά οµώνυµα:10 45 10 45 55

A6 6 6 6 6

= − − + = − − = −




Να βρείτε τους ανίστροφους των παρακάτω αριθµών:

α. –3 β. 83

γ.54

−

Λύση

Ξέρουµε ότι ο αντίστροφος ενός αριθµού α είναι ο 1

α. Άρα:

α. Ο αντίστροφος του –3 είναι ο 1

3− .

β. Ο αντίστροφος του 8

3 είναι ο

1 38 83

=

γ. Ο αντίστροφος του 5

4− είναι ο

1 45 54

= −−

.


α.3 8 554 5 10

− + −− −

β. ( ) ( ) ( )

( ) ( )2 3 1

5 4 2 − ⋅ − ++ − − − ⋅ −

Λύση

α. Μετατρέπουµε τα κλάσµατα σε δεκαδικούς υπολογίζοντας τα πηλίκα:

( ) ( ) ( ) ( )3 8 550,75 1,6 5,5 0,75 1,6 5,5

4 5 10− + − = − + − − − = − + − + + =

− −

( ) ( ) ( )2,35 5,5 5,5 2,35 3,15= − + + = + − = +

β. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 6 11,2 0,125

5 4 2 5 8

− ⋅ − + + + − = + − = − + − = − − ⋅ − − +

( )1,2 0,125 1,325= − + = −

Να υπολογίσετε τα α και β στις παρακάτω παραστάσεις:

α. ( ) ( ) ( )2 3 4 α 48− ⋅ − ⋅ + ⋅ = − β. ( ) ( )5 1 β 100+ ⋅ − ⋅ = +

Λύση

Θεωρώντας τις παραστάσεις εξισώσεις και σύµφωνα µε το παράδειγµα 20 θα έχουµε:

α. ( ) ( ) ( )2 3 4 α 48− ⋅ − ⋅ + ⋅ = − β. ( ) ( )5 1 β 100+ ⋅ − ⋅ = +

24 α 48+ ⋅ = − 5 β 100− ⋅ = +




Άρα ( )α 48 : 24= − + Άρα ( ) ( )β 100 : 5= + −

α 2= − β 20= −


Λύση

Αντικαθιστούµε τα α, β, γ µε τις τιµές του πίνακα και έχουµε:

Όταν α 3= − , β 1= − , γ 1= + .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )α : β α : γ α β 3 : 1 3 : 1 3 1 3 3 3− + ⋅ = − − − − + + − − = + − − + + =

( ) ( ) ( )3 3 3 9= + + + + + = +Όταν α 5= − , β 2= + , γ 5= + :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )α : β α : γ α β 5 : 2 5 : 5 5 2 2,5 1 10− + ⋅ = − + − − + + − + = − − − + − =

( ) ( ) ( ) ( )2,5 1 10 12,5 1 12,5 1 11,5− + + + − = − + + = − − = −

Να υπολογίσετε την παράσταση: Α= – 2[3 – (–5)] + (–3) : (–5 + 3)

Λύση

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Α 2 3 5 3 : 5 3 2 3 5 3 : 2 2 8 3 : 2= − − − + − − + = − + + − − = − + + − − =

( ) ( )16 1,5 16 1,5 14,5= − + + = − − = −

–3 –1 +1

–5 +2 +5

α β γ α : β – α : γ + α · β




1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόµενα:

α. ( ) ( )7 4+ ⋅ − β. ( ) ( )8 10+ ⋅ − γ. ( ) ( )3 14+ ⋅ − δ. ( ) ( )21 3+ ⋅ −

ε. ( ) ( )3,5 2+ ⋅ − στ. ( ) ( )4,5 3+ ⋅ + ζ. ( ) ( )0,4 9+ ⋅ − η. ( ) ( )0,3 0,8+ ⋅ −

θ. 1 8

2 3 − ⋅ + ι.

1 51

2 6 − ⋅ − ια.

7 12

3 3 ⋅ −

ιβ. 1 2

3 5 − ⋅ −

2. Να υπολογίσετε την τιµή κάθε παράστασης

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A 5 3 4 1,5 8 0,5= + ⋅ − − + ⋅ − + + ⋅ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B 1,5 5 3 4 2 6= + ⋅ − + − ⋅ + − − ⋅ +

( ) ( ) ( )2 1 1Γ 1 3 5

3 2 4 = − ⋅ − − − ⋅ + + ⋅ −

( ) ( ) ( )1 1 1∆ 1 4 2 3 3 2

2 2 2 = − ⋅ − + − ⋅ + + − ⋅ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ε 5 3 4 3 7 4= − ⋅ + − − ⋅ − + − ⋅ +

3. Εφαρµόζοντας την επιµεριστική ιδιότητα να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω

παραστάσεων όταν x 2= − και y 1= − .

A 10x 2x= − ( )B x 5x 3y y= − − + −

( )Γ x y 5x 5y= − + − − ∆ 6x x y 2y= − + − +

E 6,5x 7x 2x x= − + − ΣΤ 8y 4y 0,5y 3,5y= − − −


α.

+3 –4 +5

+3 –4 –5

–3 +4 –5

α β γ α · β α · β · γ β · γ α · β + α · γ α · β – α · γ




β.

5. Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστασεων:

( ) ( )A 3x 5y 2 4y 4x= − + − ⋅ − , όταν x 1= − και y 2= + .

( )B 2x x 2y 4 = − − − + − , όταν x 2= − και y 1= − .

( )Γ 18x 24y 3x 5y= − − + , όταν x 2= και y 2= − .

∆ 12x 8y 4y 8x= − + − + , όταν x 1= − και y 1= − .

6. Να βρείτε τους αντίστροφους και τους αντίθετους των παρακάτω αριθµών:

1

2− , 3,

6

5+ , –4,

2

3,

1

7− , 8

7. Αν έχουµε ένα γινόµενο 15 όρων από τους οποίους οι 11 είναι θετικοί τι πρόσηµο θα

έχει το αποτέλεσµα;

8. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις:

α. ( )( )x 1 α 1− + β. ( )( )x 1 α 1+ − γ. ( )( )3 x 1 α 1⋅ + +

δ. ( )( )4 x α 1 β⋅ + − ε. ( )( )1 α 1 x− + στ. ( )( )x 2 5 α− −


α. β.


α. ( )( )( )( )( )( )2 3 4 5 1 6− + − + − − β. ( )( )( )( )( )( )2 3 4 5 1 6+ − + − − +

–2 +1 –3

+2 –1 +3

–2 +1 –3

x y ω –x· y x · (–y)·ω –y · ω –x·(–y)–x · ω –2 · (x · y + x · ω)

x –4 (8 – x) –5

–1

+2

–3

+4

–5

y y · ( – 2) + 10

–1/2

+1/3

–2/5

+5/6

–1 1/2




γ. ( )1 4 1 28

2 3 3 4 − + − + − δ. ( )( )( )( )0,5 1,5 2,5 100− − + −

ε. ( )( ) 1 1100 100

100 100 − + − +

11. Να γίνουν οι πράξεις:

α. ( )( )( )( ) ( )( )( )( )4 0,5 8 0,5 2 3 1 5− + + − − − + − +

β. ( )1 1 1 1 1 11

2 2 3 3 4 9 + − + − + − − −

γ. ( )( )( ) ( )( )( )2 3 4 2 3 4− + − − + − +

δ. ( )( )( ) ( )( )( )( )1 0,8 10 1 2 0,9 10− − + + + − − −

12. Να συµπληρώσετε τα κενά µε το κατάλληλο πρόσηµο.

α. ( )( )( )( )1 4 ... 5 3 60− + − = − β. ( )( )( )( )2 5 ... 7 4 280− + − = +

γ. ( )( )( )( )1 1 1 ...1 1− + − = + δ. ( )( )( )( )( )3 3 ... 3 3 3 243− + − + = −

13. Να υπολογίσετε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων αν x 1= − , y 2= − , ω 1= + .

( )( )( )Α x x y x y x ω= + − + ( ) ( ) ( )B 4 x ω x y x y = − − − + − −

( )( )( )( )Γ x y ω x y x ω= − − − − − ( )( ) ( )∆ 10 x y ω y x ω = − − + − − −

14. Να σηµειώσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις. Να

αιτιολογήσετε την απάντησή σας:

α. Ένα γίνόµενο µε έξι αρνητικούς όρους έχει αρνητικό πρόσηµο.

β. Ένα γινόµενο 18 παραγόντων µε 10 θετικούς όρους έχει θετικό πρόσηµο.

γ. Όσες φορές και αν πολλαπλασιάσουµε το +1 µε τον εαυτό του µας δίνει θετικό

πρόσηµο.

δ. Όσες φορές και αν πολλαπλασιάσουµε το (–1) µε τον εαυτό του µου δίνει θετικό

πρόσηµο.

ε. Όταν πολλαπλασιάζουµε αρνητικούς αριθµούς πάντα έχουµε αρνητικό πρόσηµο.

15. Να υπολογίσετε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων:

A x y z= ⋅ ⋅ ( )B x y z z y z= ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅( ) ( ) ( )( )Γ x y z x y z x y z= ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅




Αν γνωρίζετε ότι x είναι ο αντίστροφος του 1

2− , y είναι ο αντίθετος του +3 και z ο

αντίστροφος του +2.


17. Να βρείτε ποιο από τα x, y, z είναι αρνητικοί και ποιοι θετικοί.

α. ( ) ( ) ( )2 3 4 x 24− ⋅ − + = − β. ( )( )( )( )1 1 2 3 y 12− + − − = −

γ. ( ) ( )4 z 7 56− + = + δ. ( )( )( )2 3 4 x 96− + − = −


A x 2y= − ( )B x y 4= ⋅ ⋅ − Γ x A y B= − ⋅ ⋅ ⋅ , όταν x 1= − και y 2= − .


α. β.

α β γ – α · β · γ – 4 α · β · γ – 2 · β · γ

–1 +4 –2

+5 +1 –3

+3 –4 –1

x y ω x y (–ω) x y ω – x y (–10)

+2 –1 –2

+1 –2 –1

–2 –1 –1

–2 +2 +1

:1 1 5 7 82 3 2 4 5

− + − − +

12131415

−

+

−

+

: +16 -32 +64 -12 -128

– 2

+ 2

– 4

+ 4




20. Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις:

α. 3

: 0,52

− β. ( ) ( )0,25 : 0,5− − γ. ( )32

: 2080

− −

δ. 5 6

:6 5

− − ε. ( )1

1 : 152

− − στ. ( )16

: 1008

− −


( )( )( )( )

2 8 5A

10

− + −=−

( )( )( )( )

( )( )( )

4 21 2 7 9B :

8 3

− − + − −=− −

( )( ) ( )( )( )( )( )

8 3 8 1 3Γ :

5 2 5

− − − − +=− − −

( )( )( )( )( )( )

6 8 22∆

3 4 2

− − +=− + +

2 4 3E :

5 5 5 = − + −

( )( )( )

( )10 3 4ΣΤ : 100

2

− + − += −−


( ) ( )Α 10 x 4 : 5 y= − + + ( ) ( ) ( ) ( )B x : y x 4 : 3 y= − ⋅ + −

( ) ( )Γ 3 x y : y 11 = − − + − − ( ) ( )∆ x y : x y= + −

( ) ( )E x y : x y= − + Όταν x 2= − και y 1= − .

23. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

α. 5x 60− = − β. 10x 200− = − γ. 10x 40= −δ. 2x 12− = + ε. 8x 16+ = + στ. 5,5x 55= −

ζ. 1

x : 42

− = + η. x

45

= − θ. ( )x : 7 2− = −

ι. ( )x : 10 3− = + ια. 7x 49− = − ιβ. x

28

= −−

24. Να βρεθεί ένας αριθµός που να προκύπτει αν πολλαπλασιάσουµε το –2 µε το +18

και το αποτέλεσµα το διαιρέσουµε µε το –9.

25. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

( )[ ] ( ) ( )A 6 4 3 18 : 9= − + − − − +

( ) ( ) ( )B 32 : 18 16 75 : 25= − − + + − −




( )[ ] ( ) ( )Γ 200 : 50 150 45 15 : 6= − − + − − − −

26. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

27. Να υπολογίσετε τους αριθµούς x, y, α, β.

i. ( )( )( )2 3 4 x 48− + − = − ii. ( )( )( )5 8 2 y 240− + + = +

iii. ( ) ( )( )5 α 10 3 300− + − = + iv. ( )( )( )β 16 3 4 192− − − = −

28. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης:

( ) ( )Α xy x y : y xy : 2 = − − + − − Αν x είναι ο αντίστροφος του –2 και y ο αντίθετος του –3.

29. Να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων:

( ) ( ) ( )A 3 x y x 4 y : x 4= + + + +

( ) ( ) ( ) ( )B x x y y x y x y : x y= − + + + + −

Όταν x 2= − και y 1= −

x y ω z x · y – ω : z (x + y) : ω – (x + y) : z

–8 +4 –2 +1

–6 +12 –4 –1

+14 –2 +2 –1




Ερώτηση 1

Πως γίνεται ο πολλαπλασιασµός δύο ετερόσηµων αριθµών;

Πότε δύο αριθµοί λέγονται αντίστροφοι; ∆ώστε ένα παράδειγµα.

Ερώτηση 2

Πως υπολογίζουµε ένα γινόµενο πολλών παραγόντων;

Στο πηλίκο της διαίρεσης δύο οµόσηµων αριθµών, τι πρόσηµο προκύπτει;

Άσκηση 1

Να υπολογίσετε τα εξαγόµενα:

α. ( ) ( )1 14 2

2 4 − ⋅ − + + ⋅ − β. ( ) ( )3 α 2 β− ⋅ +

Άσκηση 2

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

( ) ( ) ( )Α 3 x y x 4 y : x 4= − + − − και ( ) ( ) ( )B x x y y x y x y= − + + + + ,

όταν x 2= − και y 1= − .

Άσκηση 3

Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων:

( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 8

A6 4

− ⋅ − ⋅ +=− ⋅ +

και 2 4 3 3

B :5 5 5 2

= − + − ⋅ +


Â


3ÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèÝôç öõóéêü

ÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèÝôç áêÝñáéï

ÔõðïðïéçìÝíç Þ åêèåôéêÞ ìïñöÞ áñéèìþí

ÄåêáäéêÞ ìïñöÞ ôùí ñçôþí áñéèìþí

ÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèÝôç öõóéêü

ÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèÝôç áêÝñáéï

ÔõðïðïéçìÝíç Þ åêèåôéêÞ ìïñöÞ áñéèìþí

ÄåêáäéêÞ ìïñöÞ ôùí ñçôþí áñéèìþí

Τι ονοµάζουµε νιοστή δύναµη ρητού αριθµού α µε

εκθέτη το φυσικό αριθµό ν; Πως συµβολίζεται η δύναµη

αυτή;

Αν α είναι ένας οποιοσδήποτε ρητός αριθµός, το

γινόµενο α · α · ... · α που έχει ν παράγοντες ίσους µε α,

λέγεται νιοστή δύναµη του α (ή δύναµη µε βάση το α και

εκθέτη ν). Συµβολικά γράφουµε αν και διαβάζουµε “άλφα

στη νιοστή”. Είναι δηλαδή

ν

ν παραγοντες

α α ... α α⋅ ⋅ ⋅ =

Πότε µια δύναµη είναι θετική; Πότε µια δύναµη

είναι αρνητική; Να εξεταστούν ως προς το πρόσηµο οι

παρακάτω δυνάµεις : 23, (–3)2, (–3)3.

Μία δύναµη είναι θετική όταν η βάση της είναι θετι-

κός αριθµός ή αν η βάση είναι αρνητικός αριθµός και ο εκθέ-

της της είναι άρτιος.

Μία δύναµη είναι αρνητική αν η βάση της είναι αρνητικός

αριθµός και ο εκθέτης περιττός.

32 8 0= > , ( )2 23 3 9 0− = = > , ( )3 33 3 27 0− = − = − <

∆ύναµη αν

Πρόσηµο ∆ύναµης

Ειδικότερα: • αν ν 1= τότε 1α α=

• αν ν 2= τότε 2

α α α= ⋅ και διαβάζεται α στο τετράγωνο ή το τετράγωνο του α.

• αν ν 3= τότε 3α α α α= ⋅ ⋅

και διαβάζεται α στον κύβο ή ο κύβος του α.

αµ > 0 , αν α > 0

ή α < 0 και µ άρτιος

αµ < 0 , αν α < 0 και

µ περιττός


56.

∆υνάµεις ρητών µε εκθέτη φυσικο - ∆υνάµεις ρητών µε εκθέτη ακέραιο -

Τυποποιηµένη ή εκθετική µορφή αριθµών - ∆εκαδική µορφή των ρητών αριθµών


Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων;

Οι ιδιότητες των δυνάµεων είναι οι εξής:

• Για να πολλαπλασιάσουµε δυνάµεις που έχουν την ίδια

βάση, αφήνουµε την ίδια βάση και για εκθέτη βάζουµε

το άθροισµα των εκθετών, δηλαδή:µ ν µ ν

α α α+⋅ =

π.χ. ( ) ( ) ( ) ( )3 4 3 4 72 2 2 2 128

+− − = − = − = −• Για να διαιρέσουµε δυνάµεις που έχουν την ίδια βάση,

αφήνουµε την ίδια βάση και για εκθέτη βάζουµε τη δια-

φορά του εκθέτη του διαιρέτη από αυτόν του διαιρεταίου

δηλαδή:

µ

µ ν µ ν

ν

αα : α α

α

−= =

π.χ.6

6 5 15

55 5 5

5−= = =

• Για να υψώσουµε ένα γινόµενο ρητών σε µια δύναµη, υψώ-

νουµε κάθε παράγοντα του γινοµένου στη δύναµη αυτή και

πολλαπλασιάζουµε τα αποτελέσµατα, δηλαδή:

( )ν ν να β α β⋅ = ⋅

π.χ. ( )2 2 23 4 3 4⋅ = ⋅ , ( )3 3 3 32 3 4 2 3 4⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

• Για να βρούµε τη δύναµη µιας δύναµης, αφήνουµε βάση

την ίδια και για εκθέτη γράφουµε το γινόµενο των εκθε-

τών, δηλαδή: ( )νµ µ να α ⋅=

π.χ. ( )32 2 3 63 3 3⋅= =

• Οι ιδιότητες των δυνάµεων ισχύουν µόνο για τις πράξεις του πολλαπλασιασµού

και της διαίρεσης και µε την προυπόθεση ότι οι δυνάµεις αυτές έχουν την ίδια βάση.

• Στην πρόσθεση και αφαίρεση δυνάµεων έστω και αν έχουν την ίδια βάση, θα πρέπει

πρώτα να υπολογίζονται οι δυνάµεις και µετά να εκτελούνται οι πράξεις.

π.χ. 2 3 12 2 2 4 8 2 14+ + = + + =• Σε µια αριθµητική παράσταση οι πράξεις εκτελούνται µε την εξής σειρά:

- Υπολογισµός δυνάµεων

- Πολλαπλασιασµοί και διαιρέσεις

- Προσθέσεις και αφαιρέσεις

- Αν υπάρχουν αγκύλες ή παρενθέσεις, πρώτα εκτελούµε τις πράξεις µε την παραπά-

νω σειρά µέσα σε αυτές.

(α µ)ν = α µ ν

(α . β)ν = α ν · βν

αµ : αν = αµ – ν

αµ · αν = αµ + ν

Ιδιότητες δυνάµεων


57.




Πως υπολογίζουµε δυνάµεις µε αρνητικό εκθέτη;

Με τι ισούται η δύναµη που έχει εκθέτη το µηδέν;

Η δύναµη κάθε αριθµού διάφορου του µηδενός, µε

εκθέτη αρνητικό, είναι ίση µε τη δύναµη που έχει ως βάση

τον αντίστροφο του αριθµού αυτού µε αντίθετο εκθέτη,

δηλαδή:ν

ν

1α

α

− = και

ν ν

α β

β α

− =

Η δύναµη κάθε αριθµού διάφορου του µηδενός µε εκθέτη

το µηδέν είναι ίση µε τη µονάδα, δηλαδή 0

α 1= µε α 0≠ .

Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων µε εκθέτη

ακέραιο;

Οι ιδιότητες των δυνάµεων µε εκθέτη φυσικό ισχύ-

ουν και για τις δυνάµεις µε εκθέτη ακέραιο. Έτσι:

( )

( )

νµ ν µ ν µ µ ν

µ ν µ ν 0

ν ν ν ν

ν

ν ν νν

ν

α α α α α

α : α α α 1

1α β α β α

α

α α α β

β β αβ

+ ⋅

−

−

−

⋅ = == =

⋅ = ⋅ =

= =

Πότε χρησιµοποιούµε την τυποποιηµένη µορφή; Να

γράψετε µε τυποποιηµένη µορφή τους αριθµούς:

56.000.000.000, 0,00000000012

Την τυποποιηµένη µορφή τη χρησιµοποιούµε για

να γράφουµε αριθµούς οι οποίοι έχουν πολλά ψηφία .Έτσι

προτιµούµε να τους γράφουµε πιο συνοπτικά , χρησιµο-

ποιώντας δυνάµεις.

Λέµε ότι ένας αριθµός είναι εκφρασµένος σε τυποποιηµένη

µορφή ( ή εκθετική µορφή ) αν είναι γραµµένος στη µορφή:

α . 10k

Ιδιότητες

Τυποποιηµένη ή

εκθετική µορφή

∆υνάµεις µε αρνητικό

εκθέτη


58.




όπου το α βρίσκεται µεταξύ του 1 και του 10 ή µεταξύ του

– 10 και του – 1.Έτσι:

56.000.000.000 = 5,6 · 1010, 0,00000000012 = 1,2 · 10–10

Πως συγκρίνουµε αριθµούς µε τυποποιηµένη µορ-

φή; Να διατάξετε τους παρακάτω αριθµούς από το µικρό-

τερο στο µεγαλύτερο:

1,2 · 102, 7,3 · 10–3, 2,3 · 105.

Μεταξύ δυο αριθµών που είναι γραµµένοι στην τυ-

ποποιηµένη µορφή, µεγαλύτερος είναι αυτός που έχει µε-

γαλύτερο εκθέτη στο 10. Για παράδειγµα, είναι

7,3 · 10–3 < 1,2 · 102 < 2,3 · 105

Τι ονοµάζουµε περιοδικό δεκαδικό αριθµό; Τι ονο-

µάζουµε περίοδο ενός τέτοιου αριθµού;

∆εκαδικοί αριθµοί των οποίων ένα τµήµα τους επα-

ναλαµβάνεται ατελείωτα ονοµάζονται περιοδικοί δεκαδι-

κοί αριθµοί.

Περίοδο τέτοιων αριθµών ονοµάζουµε το τµήµα τους που

επαναλαµβάνεται συνεχώς,

π.χ. 1,33333..... 1, 3= Έχει περίοδο το 3.

2,9818181... 2,981= Έχει περίοδο το 81.

Σύγκριση αριθµών µε

τυποποιηµένη µορφή

∆εκαδικός

περιοδικός δεκαδικός

• Για να γράψουµε έναν αριθµό στην τυποποιηµένη µορφή ακολουθούµε τα

εξής βήµατα :

1. Βρίσκουµε το πρώτο απο αριστερά µη µηδενικό ψηφίο του αριθµού

2. Μετακινούµε την υποδιαστολή κ θέσεις ώστε να βρίσκεται δεξιά του ψηφίου

αυτού. Προκύπτει έτσι ένας αριθµός α

3. Αν µετακινήσουµε την υποδιαστολή κ θέσεις πρός τ’αριστερά η εκθετική µορφή

είναι : α . 10k

Αν µετακινήσουµε την υποδιαστολή κ θέσεις πρός τα δεξιά η εκθετική µορφή είναι :

α . 10– k


59.




Πότε ένας ρητός αριθµός µπορεί να γραφτεί ως δε-

καδικός ή ως περιοδικός δεκαδικός; Ποιοι από τους πα-

ρακάτω γράφονται σε δεκαδική µορφή και ποιοι όχι:

1200

, 2114

,16

−

Ένας ρητός αριθµός της µορφής µ

ν ή

µ

ν− µε µ, ν

φυσικούς και ν 0≠ , γράφεται ως δεκαδικός όταν ο παρονο-

µαστής του µπορεί να γραφτεί στη µορφή 2α · 5β, δηλαδή ως

γινόµενο δυνάµεων του δύο και του πέντε. Σε κάθε άλλη πε-

ρίπτωση ο ρητός αυτός είναι δεκαδικός περιοδικός αριθµός.

2 2 3 2

1 1 1 1 1

200 2 100 2 4 25 2 2 5 2 5= = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Άρα γράφεται ως δεκαδικός.

21 3 7

14

⋅=2 7⋅

3

2= Άρα γράφεται ως δεκαδικός

Ο 1

6− είναι περιοδικός δεκαδικός αφού το 6 δεν γράφεται

ως γινόµενο δυνάµεων του 2 και του 5.

Γενικά, κάθε ρητός αριθµός µπορεί να γραφτεί ως δεκα-

δικός ή ως περιοδικός δεκαδικός αριθµός. Ισχύει και το

αντίστροφο, δηλαδή κάθε δεκαδικός ή κάθε περιοδικός

δεκαδικός µπορεί να γραφεί µε κλασµατική µορφή.

1. Μια δύναµη είναι αρνητική αν η βάση της είναι αρνητικός αριθ-

µός και ο εκθέτης περιττός.

2. Ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

( )

( )

νµ ν µ ν µ µ ν

µ ν µ ν 0

ν ν ν ν

ν

ν ν νν

ν

α α α α α

α : α α α 1

1α β α β α

α

α α α β

β β αβ

+ ⋅

−

−

−

⋅ = == =

⋅ = ⋅ =

= =


60.




Να υπολογίσετε τις δυνάµεις:

α. 34 β.

212

− γ. ( )2

5− δ.

313

ε. 24− στ. ( )32− ζ. ( )5

1− − η. 02003Λύση

α. 34 4 4 4 64= ⋅ ⋅ =β. Εδώ η βάση είναι αρνητική και ο εκθέτης άρτιος.

Άρα

2 2

2

1 1 1

2 42 − = + =

ν ν

ν

α αΙδιότητα

β β

=

γ. Οµοίως ( )2 25 5 25− = + = +

δ.3 3

3

1 1 1

3 273 = =

ε. Εδώ το µείον (–) δεν είναι µέσα σε παρένθεση ,άρα δεν είναι το πρόσηµο του αριθ-

µού οπότε 24 16− = − .

στ. Εδώ η βάση είναι αρνητική και ο εκθέτης περιττός. Άρα ( )32 8− = − .

ζ. ( ) ( )51 1 1− − = − − = +

η. Όποιον αριθµό και να τον υψώσουµε στην µηδενική δύναµη µας δίνει 1, 0

α 1= .

Άρα 02003 1= .

Να γράψετε τα παρακάτω γινόµενα µε τη µορφή µιας δύναµης:

α. 8 10 35 5 5⋅ ⋅ β. ( ) ( ) ( )2 8 52 2 2− ⋅ − ⋅ −

Λύση

Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα µ ν µ να α α

+⋅ = έχουµε:

α. 8 10 3 8 10 3 215 5 5 5 5+ +⋅ ⋅ = =


61.




β. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 8 5 2 8 5 152 2 2 2 2

+ +− ⋅ − ⋅ − = − = −


α. ( ) ( )2 3 2 33 3 3 3− + − − + β. ( ) ( )5 42 21 1 1 1− + − − + −

Λύση

Εξετάζοντας το πρόσηµο της δύναµης κάθε φορά έχουµε:

α. ( ) ( )2 3 2 33 3 3 3 9− + − − + = + 27− 9− 27+ 0=

β. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 42 21 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2− + − − + − = − + − − + + = − + + = −

Να βρείτε το πρόσηµο σε κάθε µία περίπτωση:

α. ( )58− β. ( )3

1− γ. ( )45− δ. ( )7

12−

Λύση

α. Αρνητική βάση, περιττός εκθέτης. Άρα αρνητικό πρόσηµο.

β. Αρνητική βάση, περιττός εκθέτης. Άρα αρνητικό πρόσηµο.

γ. Αρνητική βάση, άρτιος εκθέτης. Άρα θετικό πρόσηµο.

δ. Αρνητική βάση, περιττός εκθέτης. Άρα αρνητικό πρόσηµο.

Να συµπληρώσετε κατάλληλα τα κενά µε ένα από τα σύµβολα < , > ή = .

α. ( )84 ..... 0− β. ( )7

3 ..... 0− γ. ( )161 ..... 1−

Λύση

α. Έχουµε αρνητικό αριθµό υψωµένο σε άρτιο εκθέτη. Άρα το πρόσηµο θα είναι θετι-

κό. Κάθε θετικός αριθµός είναι µεγαλύτερος του µηδενός. Άρα ( )84 0− >

β. Έχουµε αρνητικό αριθµό υψωµένο σε περιττό εκθέτη. Άρα το πρόσηµο θα είναι

αρνητικό. Κάθε αρνητικός αριθµός είναι µικρότερος του µηδενός. Άρα ( )73 0− < .

γ. ( )161 1− = .


α. 5 18

8

5 ⋅

β . ( ) ( ) ( )4

4 412 1 2

2 − ⋅ − ⋅ − ⋅ +

Λύση

Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα ( )ν ν να β α β⋅ = ⋅ έχουµε:


62.




α.

5 55 51 1 8

8 8 1 18 8 8

5 ⋅ = ⋅ = = =

β. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44

4 4 41 12 1 2 2 1 2 2 16

2 2

− ⋅ − ⋅ − ⋅ + = − ⋅ − ⋅ − ⋅ + = − = +

Να υπολογίσετε τα πηλίκα: α. 2

2

105

β. ( )3 320 : 5−

Λύση

Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα

νν

ν

α α

ββ

=

έχουµε:

α.

222

2

10 102 4

55 = = =

β. ( ) ( )33

33 33

20 2020 : 5 4 64

55

− − − = = = − = −


α. ( )

4 3 3

4 3 3

30 100 1815 650

− +−

β. ( ) ( )3 33 2 2 314 : 7 36 :12 28 : 14− + − −

Λύση

Χρησιµοποιώντας της ιδιότητες των δυνάµεων και εξετάζοντας κάθε φορά το πρόση-

µο της δύναµης έχουµε:

α. ( )

( )4 3 34 3 3

34 34 3 3

30 100 18 30 100 182 2 3

15 50 615 650

− + = − + = − − + = − −

( )16 8 27 16 8 27 51− − + = + + =

β. ( ) ( )( ) ( )

3 2 3333 2 2 3

3 2 3

14 36 2814 : 7 36 :12 28 : 14

127 14− + − − = + − =

− −

( ) ( )3 2 3

3 3214 36 282 3 2 8

7 12 14 + − = − + − − = − − −

9 8+ + 9= +

Να υπολογίσετε τις δυνάµεις: α. ( )32

1 − β. ( )33

2 −


63.




Λύση

Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα ( )µν ν µα α ⋅= έχουµε:

α. ( ) ( )32 6

1 1 1 − = − = + β. ( ) ( )33 9

2 2 512 − = − = −

Να υπολογίσετε την τιµή της παρακάτω παράστασης:

( ) ( ) ( )3 2Α 3 7 2 6 4 : 12 = ⋅ − − + ⋅ − −

Λύση

Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάµεων και τους κανόνες της πρόσθεσης, της

αφαίρεσης, του πολλαπλασιασµού και της διαίρεσης ρητών αριθµών έχουµε:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )3 2Α 3 7 2 6 4 : 12 3 7 8 6 16 : 12 = ⋅ − − + ⋅ − − = ⋅ − − + ⋅ − =

( ) ( ) ( ) ( )3 7 8 96 : 12 3 15 96 : 12 45 8 37= ⋅ + + − = ⋅ + − = + − = +

Να υπολογίσετε τις παρακάτω δυνάµεις:

α.

18

15

22

β.

28

26

44

γ. 10

9

66

Λύση

Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα

µ

µ ν

ν

αα

α

−= έχουµε:

α.18

18 15 315

22 2 8

2−= = = β.

2828 26 2

26

44 4 16

4−= = =

γ.

1010 9 1

9

66 6 6

6−= = =

Να υπολογίσετε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων:

α. ( )20 10 8 355 5 5 : 5⋅ ⋅ β. ( )16 8 5 24 : 4 4 4⋅ ⋅

Λύση

Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάµεων έχουµε:

α. ( )20 10 8 35 20 10 8 35 38 35 38 35 35 5 5 : 5 5 : 5 5 : 5 5 5 125+ + −⋅ ⋅ = = = = =

β. ( )16 8 5 2 16 8 5 2 16 15 16 15 14 : 4 4 4 4 : 4 4 : 4 14 4 4+ + −⋅ ⋅ = = = = =

Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:


64.




α. 3 54 x 4⋅ = β. 516 x 2⋅ = γ.

231

x 33

− ⋅ =

Λύση

α. 3 54 x 4⋅ = . Άρα 5 3 5 3 2x 4 : 4 4 4 16−= = = = .

β. 516 x 2⋅ = . Άρα 5 5 4 5 4 1x 2 :16 2 : 2 2 2 2−= = = = = .

Εδώ γράψαµε το 16 ως δύναµη µε βάση το 2.

γ.

231

x 33

− ⋅ = . Άρα

2 2 23 3 3 3 2 3 2 5

2 2

1 1 3x 3 : 3 : 3 3 3 3 3 243

3 3 1+ = − = = ⋅ = ⋅ = = =

.


Λύση

Όταν x 2= + και y 1= − έχουµε:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 3 2 2 32 3x y x y 2 1 2 1 2 1 2 1+ − ⋅ = + − − + ⋅ − = − − + ⋅ − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 31 2 1 1 4 1 1 4 1 4 5= + − + ⋅ − = + − ⋅ − = − − = + = +

Όταν x 2= − και y 1= + έχουµε:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 3 2 2 32 3x y x y 2 1 2 1 2 1 2 1+ − ⋅ = − + + − − ⋅ + = − + − − ⋅ − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 31 2 1 1 4 1 1 4 3= − − − ⋅ + = + − + ⋅ + = − = −

Να υπολογίσετε την τιµή της παρακάτω παράστασης:x 2 x 2A 2 :16 32 : 2+ −= − , όταν x 4= .

Λύση

Αντικαθιστούµε το x µε 4 στην παράσταση. Άρα: 4 2 4 2A 2 :16 32 : 2+ −= − .

Γράφουµε το 16 και το 32 ως δυνάµεις µε βάση το 2 και χρησιµοποιούµε τις ιδιότητες

των δυνάµεων. Άρα θα έχουµε:

4 2 4 5 4 2 6 4 5 2 6 4 5 2 2 3A 2 : 2 2 : 2 2 : 2 2 : 2 2 2 2 2 4 8 4+ − − −= − = − = − = − = − = −

Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις:

x y (x + y)2 – x2 · y3

+ 2 –1

– 2 +1


65.




α. 10 105 5−⋅ β. 2 34 4− ⋅ γ. 0 110 :10−

Λύση

Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα ν

ν

1α

α

− = έχουµε:

α. 10

1010 10

1 55 1

5 5⋅ = =

β. 3

2 3 3 3 2 12 2

1 44 4 4 4 4 4

4 4− −⋅ = ⋅ = = = =

γ. 0 1 0 0 01

1 110 :10 10 : 10 : 10 10 1 10 10

1010− = = = ⋅ = ⋅ =

Παρατήρηση: Η άσκηση µπορεί να λυθεί επίσης, χρησιµοποιώντας την ιδιότητα:

µ ν µ να α α

+⋅ = ή µ ν µ ν

α : α α−= .


α.

2 31 33 2

− − − ⋅

β.

3 43 1

:8 8

− −

γ. ( ) 22 43 3++ −⋅ δ. ( ) 13 24 : 4

−−

Λύση

Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων έχουµε:

α.

2 3 2 3 2 32 3 3 1 3

3

1 3 3 2 3 2 1 83 2 3 2 8

3 2 1 3 1 3 33

− −− − − ⋅ = − ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Χρησιµοποιήσαµε την ιδιότητα :

ν ν

α β

β α

− =

β.

3 4 3 4 3 4 33 4 1

3 3 4 3 3

3 1 8 8 8 8 8 1 1 1 1 1 1: : : 8 8

8 8 3 1 1 27 8 2163 3 8 3 3

− −− − = = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

γ. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )22 2 22 4 2 4 2 4 2 2 2 44

1 13 3 3 3 3 3 3

813

−+ + ++ − + − − − − + −⋅ = = = = = = =

δ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 1 13 2 3 3 2 3 2 5 5 1 52 5

1 1 14 : 4 4 : 4 4 4 4 4 4

10244 4

−− − − −− + ⋅ − − = = ⋅ = = = = = =


66.





Λύση

Όταν x 2= + έχουµε:

• 2 2

2

1 1x 2

42− −= = =

• 2 3 1 2 3 11 1 1

x x x 2 2 2x 2 2

+ − + −+ + − = + + − = 14 9

2+ + − 13=

Όταν x 3= − έχουµε:

• ( )( )

232

1 1x 3

93

−− = − = =−

• ( ) ( ) ( )2 3 12 3 11 1 1 1x x x 3 3 3 9 27

x 3 3 3−+ − + + − = + − + − − − = − + − − − = −

1

3= 1

9 273

+ − − 18= −

Όταν x 2= −

• ( )( )

222

1 1x 2

42

−− = − = =−

• ( ) ( ) ( )2 3 12 3 11 1 1 1x x x 2 2 2 4 8

x 2 2 2

1

2

−+ − + + − = + − + − − − = − + − − − = −

= − 14 8

2+ − + 4= −

Να βρείτε την τιµή της παράστασης: x 4 x 2 x 2 x 3A 3 2 3 3− − − + −= + − + , όταν x 2= .

Λύση

Αντικαθιστούµε το x µε 2 και έχουµε:

2 4 2 2 2 2 2 3 2 0 0 12 1

1 1 1 1 1 3 4A 3 2 3 3 3 2 3 3

9 3 9 9 93 3− − − + − − −= + − + = + − + = + = + = + =

x x –2 2 3 11

x x xx

+ −+ + −

2

– 3

– 2


67.




Να γράψετε σε τυποποιηµένη µορφή τους αριθµούς:

α. 68.000.000.000 β. 0,00000000075

Λύση

α. 68.000.000.000 = 68 · 1.000.000.000 = 68 · 109 ή 6,8 · 1010.

β. 0,00000000075 = 7,5 · 10 –10


α. 518.000.000 · 0,000031 β.102.000.000 : 170.000

Λύση

α. 518.000.000 = 5,18 · 108, 0,000031 = 3,1 · 10–5.

Άρα: 518.000.000 · 0,000031 = 5,18 · 108 · 3,1 · 10–5 = 16,058 · 108 + (–5) = 16,058 · 103.

β. 102.000.000 = 1,02 · 10–8, 170.000 = 1,7 · 105.

Άρα: 102.000.000 : 170.000 = 1,02 · 10–8 · 1,7 · 105 = 0,6 · 10–13.

Να υπολογίσετε τις παρακάτω δυνάµεις:

α. ( )284 10⋅ β. ( )363 10−⋅ γ. ( )282 10−⋅

Λύση

α. ( ) ( )2 28 2 8 164 10 4 10 16 10⋅ = ⋅ = ⋅

β. ( ) ( )3 36 3 6 183 10 3 10 27 10− − −⋅ = ⋅ = ⋅

γ. ( ) ( )2 28 2 8 162 10 2 10 4 10− − −⋅ = ⋅ = ⋅


8 8 8A 2,1 10 4,2 10 1,5 10= ⋅ + ⋅ − ⋅

Λύση

( )8 8 8 8 8A 2,1 10 4, 2 10 1,5 10 2,1 4, 2 1,5 10 4,8 10= ⋅ + ⋅ − ⋅ = + − ⋅ = ⋅

Να συγκρίνετε τους παρακάτω αριθµούς:

α. 6,14 · 108 ..... 6,04 · 108 β. 5,3 · 104 ..... 14,8 · 104

Λύση

α. 6,14 > 6,04 άρα 6,14 · 108 > 6,04 · 108

β. 5,3 < 14,8 άρα 5,3 · 104 < 14,8 · 104


68.




Να βρείτε πόσες φορές είναι µεγαλύτερος ή µικρότερος ο αριθµός 6,25 · 105

από τον

αριθµό 625 · 108.

Λύση

Είναι φανερό ότι : 6,25 · 105 < 625 · 108

.

Επίσης 6,25 · 105 = 625 · 103. Άρα 625 · 108 : 625 · 103

= 1 · 108–3 = 105.

Άρα ο 6,25 · 105 είναι 105 φορές µικρότερος.

Να γράψετε σε δεκαδική µορφή τους αριθµούς:

α. 13

β. 320

− γ. 340

δ. 85

−

Λύση

α. 1

0,333333 0, 33

= = β. 3

0,1520

− = − γ. 3

0,07540

= δ. 8

1,65

− = −

Να γράψετε µε κλασµατική µορφή τον αριθµό 1,45 .

Λύση

Θέτουµε x 1,45= . Άρα x 1, 454545...=

Πολλαπλασιάζουµε µε το 100: 100 x 100 1,454545...⋅ = ⋅100x 145,4545...=

Γράφουµε το δεκαδικό ως άθροισµα: 100x 145 0, 4545...= +Αφαιρούµε το x απο τα δύο µέλη: 100x x 145 0, 4545 x− = + −

Εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα: ( )100 1 x 145 0,4545 1,4545...− = + −Κάνουµε τις πράξεις: 99x 145 1= −

99x 144=

144x

99=


69.




1. Να υπολογίστε τις δυνάµεις:

α. ( )28− β. 35 γ.

31

3 −

δ. ( )72− ε. 25−

στ. ( )33− − ζ. 26− η. ( )2

9− θ. ( )25− − ι. ( )3

1 − − −

ια. 37 ιβ. ( )21,5− ιγ. ( )224 4− + − ιδ. ( )1000

1− ιε. 22,3

2. Να υπολογίστε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων:

( )32 3 2A 5 5 5 5 5= − + − + + +

( ) ( )5 24 5 3B 2 2 2 2 2 2= − − + − + − +

( ) ( )3 22Γ 8 8 8= − + + −

( ) ( )2 32 4∆ 6 6 6 6= − − − − −

( ) ( ) ( ) ( )8 9 105 9Ε 1 1 1 1 1 1= − + − − − + − + − −

3. Να γράψετε µε την µορφή µίας δύναµης τα παρακάτω γινόµενα:

α. 18 9 5 63 3 3 3−⋅ ⋅ ⋅ β. 5 17 3 64 4 4 4−⋅ ⋅ ⋅

γ. 10 9 8 38 8 8 8− −⋅ ⋅ ⋅ δ. ( ) ( ) ( ) ( )7 9 4 52 2 2 2

−− ⋅ − ⋅ − ⋅ −

ε.

10 9 20 151 1 1 1

5 5 5 5

− − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

στ. 7 8 5 14 206 6 6 6 6−⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4. Να συµπληρώσετε τα κενά µε ένα από τα σύµβολα > , < , = .

α. ( )103 .... 0− β. ( )2

5 .... 0− γ. ( )72 .... 0−

δ. ( )191 ....1− ε. ( )5

4 .... 0− στ. ( )81 ....1−

ζ. ( )510 .... 0− η. ( )9

1 .... 1− − θ. ( )47 .... 0−


70.





α.

88 1

77

⋅ − β.

55 1

44

γ. ( ) ( )5 5

55 1 13 2

3 2 − ⋅ ⋅ − ⋅

δ. ( ) ( )5 5

55 1 18 2

8 2 − ⋅ ⋅ − ⋅

ε. ( )6

66 110 1

10 ⋅ ⋅ −

6. Να υπολογίσετε τα παρακάτω πηλίκα:

α.

4

4

300

150β.

2

2

735

73,5γ. ( )3 380 : 40−

δ. ( )4436 : 12− ε. ( )

3

3

250

50− στ. ( )66500 : 250−

ζ. ( ) ( )3 3640 : 160− − η. ( )22100 : 20− θ. ( )3 31024 :128−


( ) ( )34 4 3 2 2A 20 :10 36 : 12 25 : 5= − + − −

( ) ( )2 22 2 2B 845 : 84,5 90 : 9 60 : 152= − − + −

( ) ( )2 32 3 3 3 2 2Γ 50 : 10 16 : 8 200 : 100 1000 : 200= − + + − −

( )

4 5 4 3

4 5 4 3

15 68 128 512∆

3 34 64 128= − + +

−

( )32 2 3

2 2 3 3

805 1000 60 40Ε

80,5 100 30 20

−= − + +

8. Να υπολογίσετε τις παρακάτω δυνάµεις:

α. ( )32

2 − β. ( )65

1 − γ. ( )252 δ. ( )22

8 −

ε. ( )223 στ. ( )22

4 − ζ. ( )75

1 − η. ( )22

5 −


( ) ( ) ( )33 2 6A 2 8 2 8 : 4 = − ⋅ − − + −

( ) ( ) ( )1000 22 22 2B 10 3 4 5 : 5 = − − + ⋅ −


71.




( ) ( ) ( )[ ]23 2Γ 4 12 8 :10 16 : 8 5 = − ⋅ + − − − ⋅

( )2

22 2 2 31∆ 5 1 45 :15 5

5 = ⋅ + + −


α.

20

19

3

3β.

18

16

5

5 γ.

( )( )

17

14

5

5

−−

δ.

2004

2002

7

7

ε.

8 51 1

:2 2

στ. ( ) ( )10 81,5 : 1,5− − ζ.

25 233 3

:4 4

− − η. 50 474 : 4


α. ( ) ( ) ( ) ( )5 10 8 193 3 3 : 3− ⋅ − ⋅ − − β.

12 4 7 208 8 8 :8⋅ ⋅

γ. 14 20 4 16 4 106 6 6 : 6 6 6−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ δ. ( ) ( ) ( ) ( )10 25 12 207 7 : 7 7− ⋅ − − ⋅ −

12. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

α. 4 68 x 8⋅ = β. 10 143 x 3⋅ = γ. 632 x 2⋅ =

δ. 27 x 243⋅ = ε. ( ) ( )8 107 x 7− ⋅ = − στ. 3

2

x3

3=

ζ.

931

x 22

− + ⋅ = η. ( ) ( )10 12

10 x 10− ⋅ = − θ. ( ) ( )8 115 x 5− ⋅ = −

13. Να υπολογίσετε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων :

2 3

3 3

1 1 13 2 6A :1 2

15 5

− + − − = −

( ) ( ) ( )

3 2 2

4 3 22

2 1 41

3 3 3B :2 41

− − − − − = ⋅− − − − −


18 x 14 y 10 x yA 2 : 2 128 : 2+ + + += +20 16 x 22 y 10B 3 : 3 3 : 9− −= +

( )x y10 x y x 12yΓ 4 4 : 4− ++ + −= ⋅ Όταν x 2= − και y 1= −


72.





α.

β.


α. ( ) 24

−− β. 4 22 4−⋅ γ.

2 31 5

5 3

− − − ⋅

δ.

2 14 1

:7 7

− −

ε. ( ) 22 33 3−− +⋅ στ. ( )

232

− − ζ.

2 31 2

:3 3

− − −

η. ( )53

1−

−

θ. 2 25 :10− − ι. ( ) 24 58 8−− ⋅ ια. ( ) 24 36 6

−−⋅ ιβ.

22 1

84

− ⋅


α.

2 2 21500 4 1500

400 400 8

− − ⋅ ⋅

β.

10 5 4 19300 300 300 300

80 80 80 80

− ⋅ ⋅ ⋅

γ.

4 5 8 11000 1000 1000 1000

:60 60 60 60

− − − ⋅ ⋅


α. β.

α β α2 – β2 α3 – β3 + 4α2 · β3

–2 –1

+2 –3

–3 –2

x x3 – 3 · x2 ( x2)3 –x2 · x3

–2

+3

–3

α α–2 α–2 + α–3 – α–4

–1

–2

+2

β β–3 β–1 + β–2 – β–3

–1

–2

+2


73.





( )2 4 4

2 1 1 1Α 3

3 8 2

− −− = − − ⋅ + ⋅ −

2 2 343 1 1

Β 22 2 2

−− = + − − + −

8 164 21 1

Γ2 2

−− − = − ⋅

20. Να βρείτε την τιµή των παραστάσεων:

( )x 4 x xΑ x 2 2 4 2+= ⋅ − + ⋅ όταν x 2= −4 x 1 xB 3 3 3 x− − −= + + ⋅ όταν x 1= −

( ) ( )x 1 x 2x 1Γ 1 2 3

+ −−= − ⋅ ⋅ − όταν x 1=

( ) ( )x x∆ x x 2 x 2= + + + όταν x 3= −

21. Να γράψετε σε τυποποιηµένη µορφή τους αριθµούς:

α. 750000000 β. 81.000.000.000 γ. 4.320.000.000

δ. 33.100.000.000 ε. 0,0000000712 στ. 0,000000000422

ζ. 0,00000358 η. 0,0000000848


α. 800.000.000 · 75.000.000 β. 350.000.000 · 1.600.000.000

γ. 73.000.000 · 0,00000045 δ. 0,00000004 · 0,00000005

ε. 0,000000006 : 40.000.000 στ. 4.000.000.000 : 8.000.000


α. ( )248 10⋅ β. ( )364 10−⋅ γ. ( )572 10⋅

δ. ( ) 463 10−

⋅ ε. ( ) 642 10−

⋅ στ. ( ) 245 10−−⋅


9 9 9Α 3,5 10 4,8 10 6,9 10= ⋅ + ⋅ − ⋅3 3 3Β 5,7 10 14,6 10 2,8 10− − −= − ⋅ − ⋅ + ⋅

8 8 8Γ 1,7 10 4,3 10 7,25 10= ⋅ − ⋅ − ⋅


74.




25. Να συγκρίνετε τους παρακάτω αριθµούς και να βρείτε πόσες φορές είναι ο ένας

µεγαλύτερος του άλλου.

α. 88, 45 10⋅ και 14845 10⋅ β. 63,2 10⋅ και 81,6 10⋅

γ. 72, 4 10⋅ και 51, 2 10⋅ δ. 91,8 10⋅ και 79 10⋅

ε. 54 10⋅ και 42 10⋅ στ. 86 10⋅ και 101,5 10⋅

26. Να βρεθεί πόσα Kg είναι 3 · 109 σωµατίδια που το κάθε ένα από αυτά έχει µάζα

4,5 · 10–12 Kg.

27. Να γράψετε σε δεκαδική µορφή τους παρακάτω ρητούς:

α. 1

4β.

5

4− γ.

5

8− δ.

2

9−

ε. 4

3στ.

10

4− ζ.

16

32η.

6

20

28. Να γραφούν µε κλασµατική µορφή οι παρακάτω περιοδικοί δεκαδικοί αριθµοί:

α. 0, 5 β. 0, 6 γ. 0, 8

δ. 1, 5 ε. 1, 25 στ. 2,541


α. 0, 5 0, 6 0, 8+ + β. 1, 5 1, 25⋅


75.




Ερώτηση 1

Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων;

Ερώτηση 2

Πως συγκρίνουµε αριθµούς µε τυποποιηµένη µορφή; Να διατάξετε τους παρακάτω

αριθµούς από το µικρότερο στο µεγαλύτερο: 3 2 51,3 10 , 4 10 , 15,8 10⋅ ⋅ ⋅

Άσκηση 1


2 2 2 2 3 1A 20 : 5 3 5 3 3 : 25 3− − −= + ⋅ + ⋅ −

( ) ( ) ( )2000 2 32 2 2 2Β 26 5 8 8 : 8−= − + ⋅

Άσκηση 2

Τα ανθρώπινα νύχια µεγαλώνουν περίπου κατά 10–3 m κάθε εβδοµάδα. Κατά πόσα

χιλιόµετρα µεγαλώνουν µέσα σε 378 δευτερόλεπτα;

Άσκηση 3

Να γραφούν µε κλασµατική µορφή οι παρακάτω δεκαδικοί αριθµοί:

α. 0,18 β. 0,14 γ. 0,544




ÅîéóþóåéòÅîéóþóåéòÅîéóþóåéòÅîéóþóåéòÅîéóþóåéòÅðßëõóç åîéóþóåùíÅðßëõóç åîéóþóåùíÅðßëõóç åîéóþóåùíÅðßëõóç åîéóþóåùíÅðßëõóç åîéóþóåùí

Åðßëõóç ôýðùíÅðßëõóç ôýðùíÅðßëõóç ôýðùíÅðßëõóç ôýðùíÅðßëõóç ôýðùíËýóç ðñïâëçìÜôùí ìå åîéóþóåéòËýóç ðñïâëçìÜôùí ìå åîéóþóåéòËýóç ðñïâëçìÜôùí ìå åîéóþóåéòËýóç ðñïâëçìÜôùí ìå åîéóþóåéòËýóç ðñïâëçìÜôùí ìå åîéóþóåéò


ÁíéóþóåéòÁíéóþóåéòÁíéóþóåéòÁíéóþóåéòÁíéóþóåéòÅðßëõóç áíéóþóåùíÅðßëõóç áíéóþóåùíÅðßëõóç áíéóþóåùíÅðßëõóç áíéóþóåùíÅðßëõóç áíéóþóåùí

Ëýóç ðñïâëçìÜôùí ìå áíéóþóåéòËýóç ðñïâëçìÜôùí ìå áíéóþóåéòËýóç ðñïâëçìÜôùí ìå áíéóþóåéòËýóç ðñïâëçìÜôùí ìå áíéóþóåéòËýóç ðñïâëçìÜôùí ìå áíéóþóåéò


Åîéóþóåéò - ÁíéóþóåéòÅîéóþóåéò - Áíéóþóåéò



Â


4Åîéóþóåéò - Åðßëõóç åîéóþóåùíÅðßëõóç ôýðùíËýóç ðñïâëçìÜôùí ìå åîéóþóåéò

Åîéóþóåéò - Åðßëõóç åîéóþóåùíÅðßëõóç ôýðùíËýóç ðñïâëçìÜôùí ìå åîéóþóåéò

Τι ονοµάζεται εξίσωση µε έναν άγνωστο; Τι λέγεται

λύση της εξίσωσης;

Εξίσωση ονοµάζουµε µια ισότητα η οποία περιέχει

αριθµούς και µια µεταβλητή (άγνωστος). Ο άγνωστος συµ-

βολίζεται συνήθως µε το γράµµα x.

π.χ. 3x + 5 = 2x + 9

Ότι είναι αριστερά από το “ = ”, λέγεται πρώτο µέλος της

εξίσωσης (Εδώ το 3x + 5).

Ότι είναι δεξιά από το “ = ”, λέγεται δεύτερο µέλος της

εξίσωσης (Εδώ το 2x + 9).

Οι όροι που περιέχουν το x λέγονται άγνωστοι όροι (όπως

το 3x και το 2x).

Οι υπόλοιποι λέγονται γνωστοί όροι της εξίσωσης.

Παρατηρούµε ότι, αν στη θέση του x βάλουµε τον αριθµό 4,

τότε η εξίσωση θα γίνει: 3 · 4 + 5 = 2 · 4 + 9.

∆ηλαδή 17 = 17. Άρα προκύπτει κάτι αληθές. Τότε θα λέµε

ότι ο αριθµός 4 επαληθεύει την εξίσωση ή αλλιώς, ότι η

λύση της εξίσωσης είναι ο αριθµός 4.

Ποια βήµατα ακολουθούµε για να λύσουµε µια εξί-

σωση; Να δώσετε δύο παραδείγµατα εφαρµόζοντας ανα-

λυτικά τα βήµατα.

• Απαλοίφουµε τις παρενθέσεις και τους παρονοµα-

στέ (αν υπάρχουν).

• “Χωρίζουµε” τους γνωστούς από τους αγνώστους.

Επίλυση εξισώσεων


80.

Εξισώσεις - Επίλυση εξισώσεων - Επίλυση τύπων - Λύση προβληµάτων µε εξισώσεις

Εξισώσεις - Ανισώσεις

• Κάνουµε και στα δύο µέλη αναγωγή οµοίων όρων εφαρ-

µόζοντας την επιµεριστική ιδιότητα.

• ∆ιαιρούµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε το συντελεστή

του αγνώστου.

Παράδειγµα 1ο.

x + 8 (x + 3) + 7 = 3 (x + 2) – 11

Απαλοιφή παρενθέσεων:

x + 8x + 24 + 7 = 3x + 6 – 11

Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους:

x + 8x – 3x = – 24 – 7 + 6 – 11

Αναγωγή οµοίων όρων:

6x = – 36

∆ιαιρούµε µε το συντελεστή του αγνώστου:

x36

66

=− = −

Βρήκαµε λοιπόν ότι η λύση της εξίσωσης είναι το –6.

Προσοχή!!!

∆ιαιρούµε όταν ο συντελεστής του αγνώστου είναι διαφο-

ρετικός από το µηδέν.

Πολλές φορές µπορεί να υπάρχουν παρονοµαστές. Τότε,

κάνουµε απαλοιφή παρονοµαστών και συνεχίζουµε όπως

προηγουµένως.

Παράδειγµα 2ο

Να λυθεί η εξίσωση:x 2 3x 1 8

53 2 3

+ −+ = +

Ε.Κ.Π. (2,3) = 6

Απαλοιφή παρονοµαστών:

62 x 2

3

+⋅ 6 5 6+ ⋅ =3 3x 1

2

−⋅ 6+2 8

3⋅

( ) ( )2 x 2 30 3 3x 1 16+ + = − +

Συντελεστής του α-

γνώστου είναι ο αριθ-

µός δίπλα από το x

(εδώ το 6).

Η απαλοιφή παρενθέσεων

γίνεται χρησιµοποιώντας

την επιµεριστική ιδιότητα.

Μεταφέρουµε όλους τους

άγνωστους όρους στο ένα

µέλος και όλους τους γνω-

στούς στο άλλο.

Όποιος όρος αλλάζει µέ-

λος, θα αλλάζει και πρό-

σηµο.

Η απαλοιφή παρονοµα-

στών γίνεται πολλαπλα-

σιάζοντας όλους τους ό-

ρους µε το ΕΚΠ των πα-

ρονοµαστών.


81.



Απαλοιφή παρενθέσεων:

2x 4 30 9x 3 16+ + = − +Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους:

2x 9x 4 30 3 16− = − − − +Αναγωγή οµοίων όρων:

7x 21− = −∆ιαιρούµε µε το συντελεστή του αγνώστου:

21x 3

7

−= =−

Πότε µια εξίσωση λέγεται αδύνατη; Πότε µια εξίσω-

ση λέγεται ταυτότητα ή αόριστη; Να δώσετε ένα παρά-

δειγµα αδύνατης και ένα παράδειγµα αόριστης εξίσωσης.

• Αδύνατη λέγεται η εξίσωση που δεν έχει καµία λύση.

Η τελική µορφή της είναι 0 x α, µε α 0⋅ = ≠ .

Παράδειγµα

( )2x 3 2 x 3 1+ = + −Τότε, διαδοχικά έχουµε: 2x 3 2x 6 1+ = + −

2x 2x 3 6 1− = − + −0x 2=

∆ηλαδή τελικά 0 2=Αυτό είναι αδύνατο να συµβαίνει γι’ αυτό η εξίσωση λέγε-

ται αδύνατη, ή αλλιώς λέµε ότι δεν έχει λύση.

Ταυτότητα ή Αόριστη λέγεται η εξίσωση που επαληθεύεται

για όλες τις τιµές του x. Η τελική της µορφή είναι 0x = 0.


x 1 4 2x 95

2 4 2

− −− = +

διαδοχικά έχουµε:x 1 4 2x 9

4 5 4 4 42 4 2

− −⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅

( )20 2 x 1 4 2x 18− − = − +20 2x 2 4 2x 18− + = − +2x 2x 20 2 4 18− + = − − + +

0x 0=

Απαγορεύεται αυστή-

ρα να διαιρέσουµε µε

τον συντελεστή του α-

γνώστου, γιατί αυτός

είναι το µηδέν!


82.



∆ηλαδή τελικά: 0 0=Αυτό όµως ισχύει πάντα!

Στην προσπάθειά µας να λύσουµε την εξίσωση, φτάσαµε

σε κάτι που ισχύει πάντα. Τότε λέµε ότι η εξίσωση είναι

αόριστη ή αλλιώς ταυτότητα ή ότι έχει άπειρες λύσεις.

Πως λύνουµε προβλήµατα µε τη βοήθεια των εξισώ-

σεων;

Πολλές φορές χρειάζεται να λύσουµε ένα πρόβλη-

µα. Σκεφτόµαστε ως εξής:

• Το ζητούµενο του προβλήµατος, το συµβολίζουµε µε µια

µεταβλητή.

• Συνδέουµε τα µεγέθη (ποσότητες) του προβλήµατος σε

µια ισότητα και έτσι καταστρώνουµε µια εξίσωση µε ά-

γνωστο το x. Η λύση της εξίσωσης είναι και η απάντηση

στο πρόβληµα.

Επίλυση τύπων

Τύπος είναι µια µαθηµατική έκφραση, µια εξίσωση που περιγράφει ένα φυσικό φαι-

νόµενο και αποτελείται από µεταβλητές και σταθερές διαφόρων µεγεθών.

Για παράδειγµα, ο τύπος που µας δίνει την ταχύτητα ενός οχήµατος είναι: s

υt

= ,

όπου υ η ταχύτητα του οχήµατος, s είναι η απόσταση την οποία διήνυσε το όχηµα και

t είναι ο χρόνος κατά τον οποίο διήρκησε η κίνηση.

• Λύνουµε τον τύπο ως προς s σηµαίνει:

Θεωρούµε τον τύπο σαν µια εξίσωση µε µοναδικό ά-

γνωστο το s. Τα υπόλοιπα τα θεωρούµε γνωστούς

όρους. Έτσι έχουµε: s υ t= ⋅ .

• Λύνουµε τον τύπο ως προς t σηµαίνει:

Θεωρούµε τον τύπο ως εξίσωση µε µοναδικό άγνωστο

το t. Τα υπόλοιπα τα θεωρούµε γνωστούς όρους. Έτσι έχουµε: s

tυ

= .

Προσέξτε ότι: Αφού θεωρούµε άγνωστο το t, το υ είναι ο συντελεστής του αγνώστου.

Τη µεταβλητή ως προς

την οποία λύνουµε τον

τύπο, την θεωρούµε σαν

το µοναδικό άγνωστο

της εξίσωσης µας.


83.




Ο Γιώργος, ο Θάνος και ο Ηλίας είπαν τα κάλαντα και µά-

ζεψαν 115 €. Μετά τη µοιρασιά, τα λεφτά του Γιώργου ήταν

κατά 5 € περισσότερα από του Θάνου και τα λεφτά του Ηλία

ήταν διπλάσια από τα λεφτά του Γιώργου. Πόσα πήρε ο

καθένας;

Λύση

Αρκεί να βρούµε τα λεφτά που πήρε ο Γιώργος. Έστω ότι

τα λεφτά του Γιώργου είναι x €. Ο Θάνος έχει 5 € λιγότερα

από το Γιώργο. Άρα τα λεφτά του Θάνου είναι x –5 €. Ο

Ηλίας έχει διπλάσια λεφτά από τον Γιώργο. Άρα τα λεφτά

του Ηλία είναι 2x €.

Όλα µαζί τα λεφτά είναι 115 €. Σύµφωνα µε τα παραπάνω η

εξίσωση που εκφράζει το πρόβληµα είναι:

( )x x 5 2x 115+ − + =Η οποία λύνεται εύκολα: x x 2x 115 5+ + = +

4x 120=

120x

4=

x 30=Άρα ο Γιώργος πήρε 30 €, ο Θάνος πήρε 25 € και ο Ηλίας

πήρε 60 €.


84.



Να εκφράσετε συµβολικά:

α. Το µισό ενός αριθµού. β. Το εξαπλάσιο ενός αριθµού.

γ. Το οκταπλάσιο ενός αριθµού ελαττωµένο κατά 7.

δ. Το ένα πέµπτο ενός αριθµού αυξηµένο κατά 2.

Λύση

Ας υποθέσουµε ότι ο αριθµός είναι x.

α. Το µισό του αριθµού είναι:1 x

x2 2

=

β. Το εξαπλάσιο του αριθµού είναι: 6 x

γ. Το οκταπλάσιο του είναι: 8 x

Αφού είναι και “ελαττωµένο κατα 7 ” θα είναι τελικά: 8x – 7.

δ. Με παρόµοια σκέψη έχουµε:1

x 25

+

Να εκφράσετε συµβολικά: α. Τρεις διαδοχικούς άρτιους αριθµούς.

β. Τρεις διαδοχικούς περιττούς αριθµούς.

Λύση

α. Οι άρτιοι αριθµοί είναι τα πολλαπλάσια του 2. Άρα είναι οι αριθµοί της µορφής 2 · k.

Αν ο πρώτος από αυτούς λοιπόν είναι ο αριθµός 2κ τότε οι άλλοι δύο θα είναι:

2k + 2, (2k + 2) + 2

Οι αριθµοί είναι: 2k, 2k + 2 , 2k + 4

β. Περιττοί είναι οι αριθµοί της µορφής “άρτιος + 1”.

∆ηλαδή 2k + 1. Άρα αν ο πρώτος είναι 2k + 1, τότε οι άλλοι δύο θα είναι:

(2k +1) + 2, (2k + 1 + 2) + 2

∆ηλαδή τελικά οι αριθµοί είναι: 2κ + 1, 2κ + 3, 2κ + 5


85.



Να εκφράσετε συµβολικά την πρόταση: “Ο Γιώργος έχει 5 βώλους λιγότερους από

τους µισούς βώλους του Πέτρου και ο Γιάννης έχει τριπλάσιους βώλους από τον

Γιώργο”.

Λύση

Αν υποθέσουµε ότι οι βώλοι του Πέτρου είναι x, τότε οι βώλοι του Γιώργου είναι: 1

x 52

−

Άρα οι βώλοι του Γιάννη είναι 1

3 x 52

− .

Να εκφράσετε συµβολικά, µε µια µεταβλητή, δύο αριθµούς:

α. Που έχουν άθροισµα 41.

β. Που το διπλάσιο του πρώτου αυξηµένο κατά 6 είναι ίσο µε τον δεύτερο.

Λύση

α. Αν ο πρώτος είναι x, τότε ο δεύτερος είναι: 41 – x.

β. Αν ο πρώτος είναι x, τότε ο δεύτερος είναι: 2x + 6

Να εκφράσετε µε εξίσωση την πρόταση:

“Το 14

και το 19

ενός αριθµού έχουν διαφορά 11”

Λύση

Αν x είναι αυτός ο αριθµός τότε έχουµε:1 1

x x 114 9

− = ή 1 1

x x 119 4

− =

Να εκφράσετε µε εξίσωση την πρόταση:

“Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η µία οξεία γωνία είναι το 15

της άλλης”.

Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση.

Λύση

Ξέρουµε ότι η µία και µοναδική ορθή γωνία του ορθογωνίου τριγώνου είναι 90ο .

Επίσης είναι γνωστό ότι το άθροισµα των γωνιών του τριγώνου είνα 180ο.

Άρα η εξίσωση που εκφράζει το πρόβληµα είναι: 1

90 x x 1805

° + + = °

1x x 180 90

5+ = ° − °

1x x 90

5+ = °

5x x 450+ = °6x 450= °


86.



450x

6=

ox 75=Άρα η µία οξεία γωνία είναι 75ο και προφανώς η άλλη είναι 90ο – 75ο = 15ο.

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 4x 3 3 2x− = − β. 3z 8 6z 10+ = − γ. 7 2y 6y 4− = − +Λύση

α. 4x 3 3 2x

4x 2x 3 3

6x 6

6x

6x 1

− = −+ = +=

=

=

β. 3z 8 6z 10

3z 6z 10 8

3z 18

18z

3z 6

+ = −− = − −

− = −−=−

=

γ. 7 2y 6y 4

2y 6y 7 4

4y 3

3y

4

− = − +− + = − +

= −

= −

Να λυθούν οι εξισώσεις: α. ( ) ( )3 x 4 2 x 1 4+ = − +β. ( ) ( )7 x 2 11 2 x 9x 1− − − = +

Λύση

α. ( ) ( )3 x 4 2 x 1 4

3x 12 2x 2 4

3x 2x 12 2 4

x 10

+ = − ++ = − +− = − − +

= −

β. ( ) ( )7 x 2 11 2 x 9x 1

7x 14 22 11x 9x 1

7x 11x 9x 14 22 1

9x 37

37x

9

− − − = +− − + = ++ − = + + +=

=

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. ( ) ( )8x 2 3 x 1 3 2x 4 0+ − − − + = β. ( )2x 3 7 x 4 31+ = − +Λύση

α. ( ) ( )8x 2 3 x 1 3 2x 4 0

8x 2 3x 3 6x 12 0

8x 3x 6x 2 3 12

x 7

7x

1x 7

+ − − − + =+ − + − − =− − = − − +

− =

=−

= −

β. ( )2x 3 7 x 4 31

2x 3 7x 28 31

2x 7x 28 3 31

5x 0

0x

5x 0

+ = − ++ = − +− = − − +

− =

=−

=


87.



Προσοχή!!!

Στην εξίσωση (α) ο συντελεστής του αγνώστου είναι το –1. Στην εξίσωση (β) δεν

πρέπει να µας µπερδεύει το µηδέν στο δεύτερο µέλος. Μπορούµε να διαιρέσουµε µε

τον συντελεστή του αγνώστου που είναι το –5. Το µηδέν µπορεί να βρίσκεται στον

αριθµητή ενός κλάσµατος. ∆εν µπορεί όµως να βρίσκεται στον παρανοµαστή!

Να λύσετε την εξίσωση:x 1 x 2 5 x

142 3 4+ + −+ − =

Λύση

Το Ε.Κ.Π. των παρονοµαστών της εξίσωσης είναι ο αριθµός 12.

Πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε το 12 και παίρνουµε την ισοδύ-

ναµη εξίσωση:

x 1 x 2 5 x12 12 12 12 14

2 3 4

+ + −⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅

ή ( ) ( ) ( )6 x 1 4 x 2 3 5 x 168+ + + − − =ή 6x 6 4x 8 15 3x 168+ + + − + =ή 6x 4x 3x 168 6 8 15+ + = − − +ή 13x 169=

∆ιαιρούµε και τα δύο µέλη µε το 13 και έχουµε: x 13=Άρα η ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθµός 13.

Να λυθούν οι εξισώσεις: α. ( ) ( )2x 4 x 1 3 2x 1 5+ − = + −

β. ( )11x 8 x 2 5x 3 14+ = + − +

Λύση

α. ( ) ( )2x 4 x 1 3 2x 1 5

2x 4x 4 6x 3 5

2x 4x 6x 4 3 5

0 x 2

0 2

+ − = + −+ − = + −+ − = + + −

⋅ ==

β. ( )11x 8 x 2 5x 3 14

11x 8 x 10x 6 14

11x x 10x 8 6 14

0 x 0

0 0

+ = + − ++ = + − +− − = − − +

⋅ ==

Αυτό δεν ισχύει ποτέ και εποµένως Αυτό ισχύει πάντα δηλαδή για όλες τις

η εξίσωση είναι Α∆ΥΝΑΤΗ. τιµές του x και εποµένως η εξίσωση είναι

ΑΟΡΙΣΤΗ

Να λυθεί η εξίσωση:x 3 x 1 2

5 3 15− +− =


88.



Λύση




153 x 3

5

−⋅ 15−5 x 1

3

+⋅ 15= 2

15⋅

ή ( ) ( )3 x 3 5 x 1 2− − + =ή 3x 9 5x 5 2− − − =ή 3x 5x 9 5 2− = + +ή 2x 16− =

∆ιαιρούµε και τα δύο µέλη µε το –2 και έχουµε:16

x2

=−

ή x 8= −Άρα η ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθµός –8.

Να λυθούν οι εξισώσεις: α. y 3 y 5 1 y

2 6 2 3− −− = +

β. ω 10 ω 5 8 ω

35 10 5+ − −+ = +

Λύση

α. Το Ε.Κ.Π. των παρονοµαστών της εξίσωσης είναι ο αριθµός 6.



63 y 3

62

−⋅ − y 56

6

−⋅ =3 1

62

⋅ +2 y

3⋅

ή ( ) ( )3 y 3 y 5 3 1 2y− − − = ⋅ +

ή 3y 9 y 5 3 2y− − + = +

ή 3y y 2y 9 5 3− − = − +

ή 0y 7=ή 0 7= Η εξίσωση είναι αδύνατη.

β. Το Ε.Κ.Π. των παρονοµαστών της εξίσωσης είναι ο αριθµός 10.

Πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε το 10 και παίρνουµε την

ισοδύναµη εξίσωση:


89.



102 ω 10

5

+⋅ 10+ ω 5

10

−⋅ 10=2 8 ω

5

−⋅ 10 3+ ⋅

ή ( ) ( ) ( )2 ω 10 ω 5 2 8 ω 30+ + − = − +ή 2ω 20 ω 5 16 2ω 30+ + − = − +ή 2ω ω 2ω 20 5 16 30+ + = − + + +ή 5ω 31=

∆ιαιρούµε και τα δύο µέλη µε το 5 και παίρνουµε:31

ω5

=

Άρα η ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθµός 31

5.

Να λυθεί η εξίσωση:( )7x 3 1 3 6x 5 3x 2

14 7 2 7− − ++ = +

Λύση




147x 3

1414

−⋅ +2 1

147

⋅ =( )7 3 6x 5

142

−⋅ +2 3x 2

7

+⋅

ή ( ) ( ) ( )7x 3 2 1 7 3 6x 5 2 3x 2− + ⋅ = ⋅ − + ⋅ +ή ( )7x 3 2 21 6x 5 6x 4− + = − + +ή 7x 3 2 126x 105 6x 4− + = − + +ή 7x 126x 6x 3 2 105 4− − = − − +ή 125x 100− = −

∆ιαιρούµε και τα δύο µέλη µε το –125 και παίρνουµε:100

x125

−=−

ή4

x5

=


5.

Να λυθεί η εξίσωση:

11 x2xx 7

32 25 10 5

+− ++ =


90.



Λύση




102

1x

2 105

−⋅ +

12x

3 1010

+⋅ =

2x

72

5

+⋅

ή1 1 x

2 x 2x 2 72 3 2

− + + = +

ή1 1 x

2x 2 2x 2 2 72 3 2

− ⋅ + + = ⋅ + ⋅

ή1

2x 1 2x x 143

− + + = +

ή1

2x 2x x 1 143

+ − = − +

ή44

3x3

=

∆ιαιρούµε και τα δύο µέλη µε το 3 και παίρνουµε:

443x3

= ή44

x9

=


9.

Έστω η εξίσωση ( )3µ 9 x 17− = , όπου το x είναι ο άγνωστος και το µ είναι κάποιος

πραγµατικός αριθµός. Να βρείτε το µ έτσι ώστε η εξίσωση να είναι αδύνατη.

Λύση

Έχουµε την εξίσωση ( )3µ 9 x 17− = . Ο άγνωστος είναι το x, άρα ο συντελεστής του

αγνώστου είναι το 3µ – 9. Για να είναι η εξίσωση αδύνατη πρέπει να είναι της µορφής

0 x 17⋅ = . ∆ηλαδή πρέπει: 3µ 9 0− = ή

3µ 9= ή

9µ

3= ή

µ 3=


91.



Να βρεθούν οι µ και ν, έτσι ώστε οι παρακάτω εξισώσεις να είναι αόριστες:

α. 3µx 2 4ν 6x− = + β. 8x 4 11ν µx+ = +

Λύση

α. 3µx 2 4ν 6x− = + ή 3µx 6x 4ν 2− = + ή ( )3µ 6 x 4ν 2− = +Για να είναι η εξίσωση αόριστη πρέπει να είναι της µορφής 0 x 0⋅ = .

Άρα πρέπει να ισχύουν συγχρόνως:

3µ 6 0− = και 4ν 2 0+ =

ή 3µ 6= και 4ν 2= −

ή 6

µ3

= και2

ν4

−=

ή µ 2= και1

ν2

= −

β. ( )8x 4 11ν µx ή 8x µx 11ν 4 ή 8 µ x 11ν 4+ = + − = − − = −Όπως και στο α. ερώτηµα για να είναι αόριστη η εξίσωση, πρέπει να ισχύουν συγ-

χρόνως:

8 µ 0

8 µ

− ==

και 11ν 4 0

11ν 4

4ν

11

− ==

=

∆ίνεται η εξίσωση ( )5x 4 3x 2x 8− − = + . Αν ο αριθµός λ είναι η λύση της εξίσωσης,

τότε να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης:

( ) ( ) ( )2λ 1 5 2λA λ 2 λ 3 λ λ 8 λ−= + − − + − −

Λύση

Καταρχήν θα λύσουµε την εξίσωση ( )5x 4 3x 2x 8− − = + για να βρούµε το λ. Έχουµε:

ή ( )5x 4 3x 2x 8− − = +ή 5x 4 3x 2x 8− + = +ή 5x 3x 2x 4 8+ − = +ή 6x 12=

ή 12

x6

=

ή x 2=

Η λύση της εξίσωσης είναι ο αριθµός 2. Άρα λ = 2. Τώρα, στην παράσταση Α, αντικα-

θιστούµε όπου λ το 2 και έχουµε:


92.



( ) ( ) ( )2 2 1 5 22A 2 2 2 3 2 2 8 2⋅ −= + − − + − − =

3 5 24 2 1 4 6 64 2 1 4 36 64 2 4 36 30= − ⋅ + − = − ⋅ + − = − + − =

Όπως γνωρίζουµε, το εµβαδόν ενός τριγώνου δίνεται από τον τύπο 1

E β υ2

= ⋅ ⋅ , όπου

β είναι η βάση και υ το ύψος του τριγώνου. Να λυθεί ο τύπος ως προς υ.

Λύση

Υπενθυµίζουµε ότι: Αφού µας ζητείται να λύσουµε τον τύπο ως προς υ τότε θεωρούµε

τον τύπο ως εξίσωση µε άγνωστο το υ.

1E β υ

2= ⋅ ⋅

2Ε 2= 1

2β υ⋅ ⋅

2Ε β υ= ⋅

β υ 2Ε⋅ =

2Ευ

β=

Η καταστατική εξίσωση των αερίων είναι PV = nRT . Να λυθεί ο τύπος ως προς:

α. Ρ β. V γ. R δ. Τ

Λύση

α. nRT

ΡV

= β. nRT

VP

= γ. PV

RnT

= δ. PV

TnR

=

Το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας του κώνου µε ακτίνα βάσης ρ και ύψος υ είναι:

2E 2πρυ πρ= + . Να λυθεί ο τύπος ως προς υ.

Λύση

2E 2πρυ πρ= +22πρυ πρ Ε− = −

22πρυ Ε πρ= −

2Ε πρ

υ2πρ

−=


93.



Η σχέση που συνδέει τα ακτίνια α και τις µοίρες µ είναι α µ

π 180= . Να λυθεί ο τύπος

ως προς α και ως προς µ.

Λύση

Όταν έχουµε ισότητα κλασµάτων εφαρµόζουµε την ιδιότητα “χιαστί”.

∆ηλαδή αν α γ

β δ= τότε αδ βγ= . Έχουµε:

α µ

π 180

180α πµ

πµα

180

=

=

=

α µ

π 180

πµ 180α

180αµ

π

=

=

=

Υπάρχει αριθµός που να είναι ίσος µε τον αντίθετό του;

Λύση

Ας πάρουµε έναν τυχαίο αριθµό x. Τότε ο αντίθετός του θα είναι ο –x. Αφού λοιπόν

θέλουµε να είναι ίσος µε τον αντίθετό του, πρέπει να λύσουµε την εξίσωση:

x x

x x 0

2x 0

0x

2x 0

= −+ =

=

=

=

Άρα η απάντηση είναι ναι, υπάρχει αριθµός ίσος µε τον αντίθετό του και αυτός είναι το

µηδέν.

Να βρεθεί ένας αριθµός που το τριπλάσιό του ελαττωµένο κατά 7 να είναι ίσο µε το

διπλάσιό του αυξηµένο κατά 3.

Λύση

Έστω x ο αριθµός που ζητείται.

Τότε: “Το τριπλάσιό του” είναι: 3 x

“ Το τριπλάσιό του ελαττωµένο κατά 7” είναι: 3x – 7

“Το διπλάσιό του” είναι: 2 x

“Το διπλάσιό του αυξηµένο κατά 3” είναι: 2x + 7


94.



Οπότε πρέπει να λύσουµε την εξίσωση: 3x 7 2x 3− = + .

Έχουµε: 3x 2x 7 3− = + ή x 10=Άρα ο αριθµός που ζητείται είναι ο 10.

∆ίνονται τα κλάσµατα 152

και 133

. Βρείτε έναν αριθµό που αν αφαιρεθεί από τους

αριθµητές τους, τότε να προκύψουν ίσα κλάσµατα.

Λύση

Έστω x ο ζητούµενος αριθµός.

Τότε πρέπει να λύσουµε την εξίσωση:15 x 13 x

2 3

− −=

( ) ( )3 15 x 2 13 x− = −45 3x 26 2x− = −3x 2x 26 45− + = −x 19− = −

x 19=Άρα ο ζητούµενος αριθµός είναι ο 19.

Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο, το µήκος του είναι το τετραπλάσιο του πλά-

τους του ελαττωµένο κατα 4. Η περίµετρός του είναι 42cm. Βρείτε το µήκος και το

πλάτος του ορθογωνίου.

Λύση

Αν το πλάτος είναι x τότε το µήκος είναι 4x – 4. Η περίµετρος είναι 42cm. Άρα:

µήκος + πλάτος + µήκος + πλάτος = 42

4x 4 x 4x 4 x 42− + + − + =10x 42 8= +

10x 50= x 5=

Άρα το πλάτος είναι x = 5 cm και το µήκος είναι 4x 4 4 5 4 16cm− = ⋅ − = .

Ο Αλέκος αγόρασε ένα σακάκι µε έκπτωση 17%. Πλήρωσε 86 €. Πόσο έκανε το

σακάκι πριν την έκπτωση;

Λύση

Έστω x η αρχική τιµή του σακακιού. Τότε η έκπτωση είναι 17

x100

.


95.



Εποµένως, η τιµή του σακακιού µετά την έκπτωση είναι:17

x x100

− .

Έτσι πρέπει να λύσουµε την εξίσωση:17

x x 86100

− =

100x 100− 17

100x 86 100= ⋅

100x 17x 8600− =83x 8600=

8600x

83=

x 103,6

Άρα η τιµή του σακακιού πριν την έκπτωση είναι 103,6 €.

Ο κ. Θεοδόσης πήρε το εφάπαξ από τη δουλειά του. Από αυτά τα χρήµατα έδωσε τα

µισά και πήρε ένα αυτοκίνητο. Έδωσε και το ένα τρίτο για τις σπουδές του γιου

του. Τα χρήµατα που του απέµειναν είναι 3220 €. Πόσο ήταν το εφάπαξ;

Λύση

Αν υποθέσουµε ότι το εφάπαξ είναι x €. Το µισό είναι x

2 και το ένα τρίτο των χρηµά-

των είναι x

3. Εποµένως, πρέπει να λύσουµε την εξίσωση:

x xx 3220

2 3− − =

6 x 6⋅ −3 x

62

⋅ −2 x

6 32203

⋅ = ⋅

6x 3x 2x 19320− − =x 19320=

Άρα το εφάπαξ ήταν 19320 €.

Βρείτε έναν αριθµό που αν προστεθεί στους όρους του κλάσµατος 9

17 θα προκύψει

το κλάσµα 65

.


96.



Λύση

Έστω x ο αριθµός που ζητείται. Τότε πρέπει να λύσουµε την εξίσωση:

9 x 6

17 x 5

+ =+

( ) ( )5 9 x 6 17 x+ = +45 5x 102 6x+ = +5x 6x 102 45− = −

x 57− =x 57= −

Άρα ο ζητούµενος αριθµός είναι ο –57.

Σε ένα τετράπλευρο υπάρχουν δύο ίσες γωνίες. Από τις άλλες δύο γωνίες η µία είναι

το διπλάσιο των ίσων γωνιών αυξηµένο κατά 7 και η άλλη είναι το τριπλάσιο ελατ-

τωµένο κατά 4. Βρείτε κάθε µία γωνία.

Λύση

Ας υποθέσουµε ότι κάθε µία από τις δύο ίσες γωνίες είναι x. Τότε η τρίτη γωνία είναι

2x + 7 και η τέταρτη γωνία είναι 3x – 4 .

Γνωρίζουµε ότι το άθροισµα των γωνιών ενός τετραπλεύρου είναι 360ο. Έχουµε:

( ) ( )x x 2x 7 3x 4 360+ + + + − =x x 2x 3x 7 4 360+ + + = − + +

7x 357=

357x

7=

ox 51=Άρα καθεµία από τις ίσες γωνίες είναι: 51ο.

Η τρίτη γωνία είναι: 2 · 51 + 7 = 109ο

Η τέταρτη γωνία είναι: 3 · 51 – 4 = 149ο

Να χωριστεί ο αριθµός 144 σε δύο άλλους αριθµούς, έτσι ώστε το οκταπλάσιο του

πρώτου να είναι ίσο µε το δεκαπλάσιο του δεύτερου.

Λύση

Αν θεωρήσουµε ότι ο πρώτος αριθµός είναι x, τότε ο δεύτερος θα είναι 144 – x.

Έτσι έχουµε την εξίσωση: ( )8x 10 144 x= −8x 1440 10x= −8x 10x 1440+ =


97.



18x 1440=

1440x

18=

x 80=Άρα ο πρώτος αριθµός είναι 0 80 και ο δεύτερος ο 64.

Ο Σπύρος έδωσε ένα τεστ 80 ερωτήσεων. Για κάθε σωστή απάντηση έπαιρνε 3

βαθµούς. Για κάθε λάθος απάντηση έχανε 1 βαθµό. Η τελική του βαθµολογία ήταν

192 βαθµοί. Πόσες σωστές και πόσες λάθος απαντήσεις έδωσε;

Λύση

Έστω x οι σωστές απαντήσεις. Τότε, οι λάθος απαντήσεις του είναι 80 – x . Οι βαθµοί

που πήρε από τις σωστές απαντήσεις είναι 3x. Οι βαθµοί που έχασε από τις λάθος

απαντήσεις είναι 1·(80 – x). Άρα η τελική του βαθµολογία είναι: ( )3x 1 80 x− ⋅ − .

Εποµένως πρέπει να λύσουµε την εξίσωση: ( )3x 1 80 x 192− ⋅ − =3x 80 x 192− + =4x 192 80= +

272x

4=

x 68=Άρα, έδωσε 68 σωστές απαντήσεις και 12 λανθασµένες.

Το αυτοκίνητο Α ξεκινάει από την Αθήνα για Λαµία και κινείται µε µέση ταχύτητα

40Km/h. Μετά από 4 ώρες ξεκινάει από την Αθήνα το αυτοκίνητο Β µε µέση ταχύ-

τητα 70Km/h. Σε πόσην ώρα το Β θα φτάσει το Α;

Λύση

Ας υποθέσουµε ότι το Β θα φτάσει το Α σε x ώρες. Το αυτοκίνητο Α κινείται λοιπόν

για x + 4 ώρες. Άρα έχει διανύσει διάστηµα ( )x 4 40 Km+ ⋅ . Το αυτοκίνητο Β κινείται

για x ώρες. Άρα έχει διανύσει διάστηµα x 70Km⋅ . Το Β θα φτάσει το Α όταν θα έχουν

διανύσει το ίδιο διάστηµα. ∆ηλαδή όταν: ( )40 x 4 70x+ =40x 160 70x+ =70x 40x 160− =30x 160=

160x

30=

x 5,33=


98.



Άρα το Β θα φτάσει το Α σε 5,33 ώρες.

Η περίµετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 40cm. Η βάση του τριγώνου είναι ίση

µε το µισό της κάθε µιας από τις ίσες πλευρές αυξηµένο κατά 5. Βρείτε την κάθε µια

πλευρά του τριγώνου.

Λύση

Έστω x η κάθε µια από τις ίσες πλευρές του τριγώνου. Άρα η βάση είναι x

52

+ . Αφού

η περίµετρος είναι 40cm, συµπεραίνουµε ότι:x

x x 5 402

+ + + =

2x 2x 2+ + x

2⋅ 2 5 2 40+ ⋅ = ⋅

2x 2x x 10 80+ + + =5x 80 10= −5x 70=x 14cm=

Άρα η κάθε µία από τις ίσες πλευρές είναι 14cm και η βάση είναι:

14

5 7 5 12cm2

+ = + =


99.



1. Να εκφράσετε συµβολικά:

α. Το διπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο κατά 9.

β. Το πενταπλάσιο ενός αριθµού ελαττωµένο κατά 13.

γ. Το ένα τρίτο ενός αριθµού αυξηµένο κατά το τριπλάσιο του ίδιου αριθµού.

2. Να εκφράσετε συµβολικά:

α. Τρία διαδοχικά πολλαπλάσια του 4.

β. Το µισό του αθροίσµατος τριών διαδοχικών πολλαπλασίων του 7.

3. Να εκφράσετε συµβολικά την πρόταση:

“Ο µισθός του Βαγγέλη είναι κατά 137 € λιγότερος από το µισθό του πέτρου και ο

µισθός του Αντώνη είναι κατά 81€ περισσότερος από το µισθό του Πέτρου”.

4. Να εκφράσετε µε εξίσωση την πρόταση:

“Το διπλάσιο ενός αριθµού και το 1

7 του ίδιου αριθµού έχουν άθροισµα ίσο µε το

τριπλάσιο του αριθµού αυτού ελαττωµένο κατά 11”.

5. Να εκφράσετε µε εξίσωση την πρόταση:

“Το άθροισµα των γωνιών ενός τετραπλεύρου στο οποίο υπάρχει µια ορθή γωνία και

η απέναντί της γωνία είναι κατά 30ο µικρότερη από τις δύο άλλες που είναι µεταξύ

τους ίσες”.

Να λύσετε την εξίσωση και να βρείτε κάθε µια γωνία του τετραπλεύρου.

6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 2x 5 x 1+ = − β. 3y 11 13y 21+ = + γ. 6 2ω 7ω 4− = − +


α. ( )4x 5 2 x 4 6x 3− = + + − β. ( ) ( )2 x 1 5x 7 3 x 11− + = + − −


100.




α. ( ) ( )10 x 4 2 4x 7 7x 3+ − − = + β. ( ) ( ) ( )9 3x 8 5 15 x 15 2x 1+ − − = +


α. ( ) ( ) ( ) ( )3 x 7 6 2x 9 7 x 1 4 2x 13− + − = + + −β. ( ) ( ) ( )6x 3 2 5x 7 5 1 2x 6 x 2+ − − = − + +

10. Να λυθεί η εξίσωση:x x 2 x 4 3x 5

2 3 6 3

− + −− = +


α. 5x 11 2x

x 64 3

−+ = − β. 3x 1 3 2x x x

2 6 3 4

+ −− = −

12. Να λυθεί η εξίσωση:3x 9 2 11x 25 2x

15 5 5 15

− −+ = +


α. 8x 5 6x 7 3x 2

14 8 2

+ + −− = + β. 8x 3x 5 3x 7 2

7 14 2 7

− +− = −


α. 2x 1 5 3x 9x 1 8x 1

3 9 6 9

− − + ++ = − β. 13x 1 14x 2 6x 7

3 4 6

+ − +− =


α. 2x 17 5x 7 4x 18 10x 38

2 3 4 6

− + + ++ = − β.

11 12x3x x

32 45 10 10

−− ++ =

16. Να λυθεί η εξίσωση:

7 1x x 19x 53 9

2 4 8

+ + −− =

17. ∆ίνεται η εξίσωση 6µx 7 30x= + , όπου x είναι ο άγνωστος και µ κάποιος πραγµα-

τικός αριθµός. Βρείτε το µ έτσι ώστε η εξίσωση να είναι αδύνατη.


101.



18. Να βρείτε τους αριθµούς µ, ν έτσι ώστε οι παρακάτω εξισώσεις να είναι αόριστες:

α. 3µx 5ν 7x 10+ = + β. 11ν 1

2µx 1 x5 3

− − =

19. ∆ίνεται η εξίσωση ( )3µ 30 x 6ν 18− = + . Να βρείτε τους αριθµούς µ και ν έτσι ώστε

η εξίσωση να είναι αόριστη. Στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιµή της παράστα-

σης: ( ) ( )3µ 10ν2 νΑ 5 ν 71µ 6ν µ+ −= + − + +

20. ∆ίνεται η εξίσωση: 2x 1 2x 7 3x 2 1

3 6 4 6

+ − −+ = +

Αν λ είναι η λύση της εξίσωσης, τότε να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης:

( ) ( ) ( )4

λ 4 λλA 2λ 1 7λ 4 λ 3λ 1 50

−= + + − − − −

21. Το διάστηµα που καλύπτει ένα σώµα στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη

κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα είναι: 21

s αt2

= . Να λυθεί ο τύπος:

α. Ως προς α β. Ως προς t2

22. Η δυναµική ενέργεια ενός σώµατος που βρίσκεται σε ύψος h δίνεται από τον τύπο:

E mgh= , όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας και m η µάζα του. Να λυθεί ο τύπος:

α. Ως προς m β. Ως προς g γ. Ως προς h

23. Έστω δύο φορτία, το q και το Q. Αν βρεθούν σε απόσταση r, τότε ισχύει η σχέση:

2

qQF

r= . Να λυθεί ο τύπος ως προς q.

24. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο µε διαστάσεις x, y, z έχει όγκο V xyz= (1) και

εµβαδόν E 2xy 2xz 2yz= + + (2).

Να λυθεί ο τύπος (1) ως προς y και ως προς z.

Να λυθεί ο τύπος (2) ως προς x.

25. Να βρεθεί ένας αριθµός που το εξαπλάσιό του αυξηµένο κατά 5 είναι ίσο µε το

τριπλάσιό του αυξηµένο κατά 17.


102.



26. ∆ίνονται τα κλάσµατα 9

5 και

8

13. Να βρείτε έναν αριθµό που αν αφαιρεθεί από

τους παρονοµαστές τους να προκύψουν ίσα κλάσµατα.

27. Ένα τραπέζιο έχει ύψος 2m. Η µεγάλη βάση είναι ίση µε το τριπλάσιο της µικρής

ελαττωµένο κατά 10m. Αν ξέρετε ότι το εµβαδόν του τραπεζίου είναι 40m2, να

βρείτε τις βάσεις του.

28. Σε µια οικογένεια, ο µπαµπάς έχει τριπλάσια ηλικία από την κόρη του, και η µαµά

είναι κατά 5 χρόνια µικρότερη από τον µπαµπά. Η κόρη είναι σε ηλικία το διπλάσιο

του γιου αυξηµένο κατά 1. Το άθροισµα όλων των ηλικιών είναι 107 χρόνια. Βρείτε

την ηλικία του καθενός.

29. Να χωριστεί ο αριθµός 330 σε δύο µέρη έτσι ώστε το πηλίκο τους να είναι 3

5.

30. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο, το πλάτος του είναι το τριπλάσιο από το

µήκος του ελαττωµένο κατα 2,7. Η περίµετρός του είναι 43 cm. Βρείτε το εµβαδόν

του.

31. Ένας υπάλληλος έχει µισθό 528€ συν το 8% επί των πωλήσεων που θα κάνει. Αν

θέλει να διπλασιάσει το µισθό του, πόσες πωλήσεις πρέπει να κάνει;

32. Να βρείτε:

α. Τέσσερεις διαδοχικούς άρτιους µε άθροισµα 92

β. Τέσσερεις διαδοχικούς περιττούς µε άθροισµα 64

33. Κάποιος έχει στην τσέπη του 17 κέρµατα. Κάποια από αυτά είναι των 10 λεπτών

και τα υπόλοιπα είναι των 50 λεπτών. Η συνολική τους αξία είναι 6€ και 50 λεπτά.

Βρείτε πόσα κέρµατα των 10 λεπτών και πόσα των 50 λεπτών έχει.


103.



Ερώτηση 1

Τι ονοµάζουµε εξίσωση;

Ποια βήµατα ακολουθούµε για τη λύση µιας εξίσωσης;

Ερώτηση 2

Πότε µια εξίσωση λέγεται αόριστη;

Πότε µια εξίσωση λέγεται αδύνατη;

Μια εξίσωση µε έναν άγνωστο που δεν είναι ούτε αόριστη ούτε αδύνατη, πόσες

λύσεις έχει;

Άσκηση 1

Να λυθεί η εξίσωση:x 5 2x 5 9 x 1

10 5 5 10

+ − −+ = +

Άσκηση 2

Να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( ) ( ) ( )7 1 3x 2 5x 13 20 x 5 3 4x 7− − − = − + + −

Άσκηση 3

Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ η γωνία Α είναι τριπλάσια από την Γ . Η γωνία B είναι

κατά 18 µοίρες µεγαλύτερη από την ∆ . Η ∆ είναι ίση µε το διπλάσιο της Γ ελαττω-

µένο κατά 1. Βρείτε τις γωνίες του τετραπλεύρου.




Ôï Ðõèáãüñåéï èåþñçìáÔï Ðõèáãüñåéï èåþñçìáÔï Ðõèáãüñåéï èåþñçìáÔï Ðõèáãüñåéï èåþñçìáÔï Ðõèáãüñåéï èåþñçìáÔåôñáãùíéêÞ ñßæá èåôéêïý áñéèìïýÔåôñáãùíéêÞ ñßæá èåôéêïý áñéèìïýÔåôñáãùíéêÞ ñßæá èåôéêïý áñéèìïýÔåôñáãùíéêÞ ñßæá èåôéêïý áñéèìïýÔåôñáãùíéêÞ ñßæá èåôéêïý áñéèìïý


¢ññçôïé áñéèìïß¢ññçôïé áñéèìïß¢ññçôïé áñéèìïß¢ññçôïé áñéèìïß¢ññçôïé áñéèìïßÏé ðñáãìáôéêïß áñéèìïßÏé ðñáãìáôéêïß áñéèìïßÏé ðñáãìáôéêïß áñéèìïßÏé ðñáãìáôéêïß áñéèìïßÏé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß

ÓõíôåôáãìÝíåò óôï åðßðåäïÓõíôåôáãìÝíåò óôï åðßðåäïÓõíôåôáãìÝíåò óôï åðßðåäïÓõíôåôáãìÝíåò óôï åðßðåäïÓõíôåôáãìÝíåò óôï åðßðåäï


Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïßÏé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß



Â


6Ôï Ðõèáãüñåéï èåþñçìá

ÔåôñáãùíéêÞ ñßæá èåôéêïý áñéèìïý

Ôï Ðõèáãüñåéï èåþñçìá

ÔåôñáãùíéêÞ ñßæá èåôéêïý áñéèìïý

α. ∆ιατυπώστε το Πυθαγόρειο θεώρηµα (Π.Θ.).

β. Που χρησιµεύει το Π.Θ. ;

γ. Να υπολογίσετε την πλευρά x του

ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ.

α. Το Πυθαγόρειο θεώρηµα διατυπώνεται ως εξής:

Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώ-

νου είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο

κάθετων πλευρών.

∆ηλαδή στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:

α2 = β2 + γ2

β. Το Πυθαγόρειο θεώρηµα χρησιµεύει στον υπολογισµό

οποιασδήποτε πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου, όταν

γνωρίζουµε τις άλλες δύο πλευρές του.

γ. Από το Π.Θ. στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε: 2 2 2

2

2

x 6 10

x 36 100

x 64

x 8

+ =+ ==

=

α. ∆ιατυπώστε το αντίστροφο του Π.Θ. .

β. Που χρησιµεύει το αντίστροφο του Π.Θ. ;

γ. Εξετάστε αν το τρίγωνο µε πλευρές 6 cm, 7 cm, και 9 cm

είναι ορθογώνιο.

Το αντίστροφο του Π.Θ. διατυπώνεται ως εξής:

Το Πυθαγόρειο

Θεώρηµα

Β


126.

Το Πυθαγόρειο Θεώρηµα - Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθµού

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Όταν το τετράγωνο της µεγαλύτερης πλευράς τριγώνου εί-

ναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων

πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την µε-

γαλύτερη πλευρά είναι ορθή.

∆ηλαδή αν α2 = β2 + γ2 τότε oA 90= .

β. Το αντίστροφο του Π.Θ. χρησιµέυει στο να ελέγχουµε αν

ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή όχι, όταν γνωρίζουµε τις

τρεις πλευρές του.

γ. Για να είναι ορθογώνιο θα πρέπει µε βάση το αντίστροφο

του Π.Θ. να ισχύει:

2 2 29 6 7= + ή 81 36 49= + ή 81 85=Αυτό όµως δεν ισχύει άρα το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο.

α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθ-

µού α ;

β. Ορίζεται τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθµού;

Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

γ. Συµπληρώστε τις ισότητες:

1. 36 ......= 0,36 ......= 3600 ......=

2. 0 ......= 1 ......= ( )2

α ......=

α. Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού α λέγε-

ται ο θετικός αριθµός x που όταν υψωθεί στο τετράγωνο,

µας δίνει τον αριθµό α.

∆ηλαδή: αν α x= τότε 2x α= , όπου α 0> , x 0>

Ορίζουµε: 0 0= .

β. ∆εν ορίζεται τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθµού

διότι δεν υπάρχει αριθµός που το τετράγωνό του να είναι

αρνητικός αριθµός.

γ. 1. 36 6= 0,36 0,6= 3600 60=

2. 0 0= 1 1= ( )2

α α= , α > 0

Τετραγωνική ρίζα

θετικού αριθµού


127.



Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις:

α. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε oB 90= ισχύει α2 = β2 –γ2.

β. Αν σε τρίγωνο ABΓ

ισχύει β2 = γ2 – α2, τότε oΑ 90= .

γ. Υπάρχει τρίγωνο µε πλευρές x, y, ω για τις οποίες ισχύουν συγχρόνως:

2 2 2x y ω= + και 2 2 2y x ω= +

Λύση

α. (Σ), διότι oB 90= και εποµένως από το Π.Θ. έχουµε β2 = α2 + γ2 άρα α2 = β2 –γ2.

β. (Λ), διότι από την σχέση β2 = γ2 – α2 έχουµε γ2 = α2 + β2 και εποµένως oΓ 90= .

γ. (Λ), διότι από την σχέση 2 2 2x y ω= + , µε βάση το αντίστροφο του Π.Θ., έχουµε ότι

η απέναντι γωνία από την πλευρά x είναι ορθή και από την σχέση 2 2 2y x ω= + ,

έχουµε ότι η απέναντι γωνία από την πλευρά y είναι ορθή. Αυτό είναι αδύνατον

διότι δεν µπορεί ένα τρίγωνο να έχει δύο ορθές γωνίες.

Στο διπλανό σχήµα το ΑΓ∆Ε είναι τετράγωνο.

Να υπολογισθούν: α. Η πλευρά x του τετραγώνου.

β. Η διαγώνιος y του τετραγώνου.

γ. Το εµβαδόν Ε του τετραγώνου.

Λύση

α. Υπολογισµός της πλευράς x

Από το Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε:

2 2 2x 3 4= + ή 2x 9 16= + ή

2x 25= ή x 25= ή x 5=β. Υπολογισµός της πλευράς y

Επειδή το ΑΓ∆Ε είναι τετράγωνο το τρίγωνο ΑΓΕ είναι ορθογώνιο µε ίσες κάθετες

πλευρές AΓ ΑΕ x 5= = = .

Άρα από το Π.Θ. έχουµε: 2 2 2ΓΕ ΑΓ ΑΕ= + ή 2 2 2y x x= + ή 2 2 2y 5 5= + ή

2y 25 25= + ή 2y 50= ή y 7,07


128.



γ. Υπολογισµός του εµβαδού του τετραγώνου

2E x 25= = (από το α. ερώτηµα)

Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίµετρο 36 cm και µία

από τις ίσες πλευρές έχει µήκος 10 cm. Να υπολογίσετε:

α. Το ύψος A∆ του τριγώνου ΑΒΓ.

β. Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

Λύση

α. • Υπολογισµός του Β∆

Η περίµετρος του τριγώνου είναι 36 cm. Άρα: AB ΑΓ ΒΓ 36+ + = ή

10 10 ΒΓ 36+ + = ή 20 ΒΓ 36+ = ή ΒΓ 36 20= − ή ΒΓ 16cm=

Επειδή το ύψος Α∆ είναι και διάµεσος θα έχουµε:16

Β∆ 8 cm2

= =

• Υπολογισµός του ύψους Α∆

Από το Π.Θ. έχουµε στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ∆:

2 2 2Α∆ Β∆ ΑΒ+ = ή

2 2 2Α∆ 8 10+ = ή

2Α∆ 100 64= − ή

2Α∆ 36= ή Α∆ 6 cm=

β. • Υπολογισµός του εµβαδού Ε του τριγώνου ΑΒΓ

Είναι:2β υ ΒΓ Α∆ 16 6 96

Ε 48 cm2 2 2 2

⋅ ⋅ ⋅= = = = =

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΒΓ = 10cm και ΑΓ = 6cm.

Να υπολογίσετε: α. Την πλευρά ΑΒ,

β. Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ,

γ. Το ύψος Α∆.

Λύση

α. Από το Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε:

2 2 2ΑΒ ΑΓ ΒΓ+ = ή 2 2 2

ΑΒ 6 10+ = ή 2

ΑΒ 36 100+ = ή 2

ΑΒ 100 36= − ή

2ΑΒ 64= ή ΑΒ 64= ή ΑΒ 8cm= .

β. Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι:

2β υ ΑΒ ΑΓ 8 6 48E 24 cm

2 2 2 2

⋅ ⋅ ⋅= = = = =

γ. Επίσης το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι:

∆


129.



β υE

2

⋅= ή BΓ Α∆

242

⋅= ή 10 Α∆

242

⋅= ή 10Α∆ 24 2= ⋅ ή 10Α∆ 48= ή 48

Α∆10

=

ή Α∆ 4,8 cm=

Το τραπέζιο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές µε ΑΒ = 8 cm,

Α∆ = ΒΓ = 10 cm και Γ∆ = 20 cm. Να υπολογίσετε:

α. Το ύψος ΑΕ του τραπεζίου.

β. Το εµβαδόν του τραπεζίου.

Λύση

α. Φέρνουµε τα ύψη ΑΕ και ΒΖ. Προφανώς από το ορθο-

γώνιο ΑΒΖΕ έχουµε ότι: ΕΖ = ΑΒ = 8 cm.

Εποµένως:20 8 12

∆Ε ΓΖ 6cm2 2

−= = = =

Από το Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο Α∆Ε έχουµε:

2 2 2ΑΕ Α∆ ∆Ε= − ή 2 2 2

ΑΕ 10 6= − ή

2ΑΕ 100 36= − ή 2

ΑΕ 64= ή ΑΕ 64 8 cm= =β. Το εµβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓ∆ είναι:

( ) ( ) ( ) 2β Β υ ΑΒ Γ∆ ΑΕ 8 20 8 28 8E 14 8 112 cm

2 2 2 2

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅= = = = = ⋅ =

∆ηλαδή Ε = 112 cm2.

Για ποιες τιµές του ακέραιου x ορίζεται η παράσταση: A 3x 1 5x 20= + + − +

Λύση

Για να ορίζεται η παράσταση Α πρέπει:

1 1x x

3x 1 0 3x 1 3 3και ή και ή και ή και

5x 20 0 5x 20 20 x 4x

5

≥ − ≥ − + ≥ ≥ − − + ≥ − ≥ − − ≤ ≤−

Η συναλήθευση φαίνεται στο διπλανό διάγραµµα:

∆ηλαδή 1

x 43

− ≤ ≤ και επειδή ο x είναι ακέραιος έχουµε: x 0,1, 2,3, 4=


130.



1. Οι παρακάτω ισότητες αναφέρονται στο διπλανό σχήµα.

Να σηµειώσετε ποιες από αυτές είναι σωστές, αιτιολογώ-

ντας την απάντησή σας.

i. 2 2 2x ω y= + ii. 2 2 2y ω x= −

iii. 2 2 2β α ω= + iv. 2 2 2 2β x y α= + +

v. 2 2 2κ β λ= − vi. 2 2 2 2 2

λ κ α y x= + + +

2. Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε:

α. Το x,

β. Το εµβαδόν του τετραγώνου µε πλευρά y.

3. Στο ορθογώνιο ΑΒΓ∆ είναι ΑΓ = 5 cm και Α∆ = 4 cm.

Να υπολογίσετε:

i. Την περίµετρο του ΑΒΓ∆,

ii. Το εµβαδόν του ΑΒΓ∆

4. Το εµβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓ∆ είναι 144 cm2 και το

εµβαδόν του τετραγώνου ΒΕΖΗ είναι 169 cm2. Να βρείτε

την πλευρά ΓΕ.

5. Να ελέγξετε αν τα παρακάτω τρίγωνα είναι ορθογώνια:

i. ii.


131.



6. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) η περίµετρός του είναι

54 cm και η AB 15cm= . Να υπολογίσετε:

α. Το ύψος Α∆. β. Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

γ. Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒ∆.

7. Να εξετάσετε αν ισχύει: 2 2 2 2ΑΒ Γ∆ Α∆ ΒΓ+ = +

8. Η περίµετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι 30 cm. Να εξετάσετε

αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

9. Στο τραπέζιο ΑΒΓ∆ έχουµε: ΑΒ 4cm= , Γ∆ 16cm= ,

ΒΓ 15cm= . Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓ∆.

10. Να υπολογίσετε τις τετραγωνικές ρίζες:

α. i. 81 , ii. 0,81 , iii. 8100

β. i. 4

9, ii.

25

36, iii.

225

81

11. Να υπολογισθεί η παράσταση: A 14 1 7 4= + + +

12. Στο διπλανό σχήµα έχουµε: AB 15, AΓ 13, Β∆ 9= = =Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.


132.



Ερώτηση 1

i. Πως διατυπώνεται το Πυθαγόρειο θεώρηµα και πως το

αντίστροφό του;

ii. Εξετάστε αν το τρίγωνο ΑΓ∆ είναι ορθογώνιο.

Ερώτηση 2

i. Τι λέµε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθµού α ;

ii. Για ποιες τιµές του ακέραιου x έχει νόηµα η παράσταση:

2x 1 1 xA 3 x

2 3

− −= + − − −

Άσκηση 1

Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο µε πλευρά α. Αν Α∆ είναι

το ύψος του να αποδείξετε ότι:2 24

α υ3

=

Άσκηση 2

Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) το εµβαδόν του

είναι 60 m2 και το ύψος του Α∆ είναι 12 m. Να δείξετε ότι η

περίµετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι 36m. Ã

A

Â Ä

12

Άσκηση 3

Στο διπλανό σχήµα έχουµε: AB 15, A∆ 12, Γ∆ 16= = =α. Να υπολογίσετε την Β∆.

β. Να υπολογίσετε την ΑΓ.

γ. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.


Â


7¢ññçôïé áñéèìïß

Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß

ÓõíôåôáãìÝíåò óôï åðßðåäï

¢ññçôïé áñéèìïß

Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß

ÓõíôåôáãìÝíåò óôï åðßðåäï

α. Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται άρρητοι αριθµοί;

β. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των πραγµατικών

αριθµών ;

γ. ∆ίνονται οι αριθµοί:

3, 7, 9, 10, 4, 25, 3

5− − − −

Να γράψετε ποιοι από αυτούς είναι:

i. φυσικοί, ii. ακέραιοι, iii. ρητοί

iv. άρρητοι, v. πραγµατικοί αριθµοί

α. Άρρητοι αριθµοί ονοµάζονται οι αριθµοί που δεν

είναι ρητοί. ∆ηλαδή οι αριθµοί που δεν µπορούν να µε-

τατραπούν σε δεκαδικούς ή περιοδικούς δεκαδικούς.

β. Το σύνολο που αποτελείται από τους ρητούς και τους

άρρητους αριθµούς, ονοµάζεται σύνολο των πραγµατι-

κών αριθµών και το συµβολίζουµε µε το γράµµα R.

γ. i. φυσικοί: 7, 9 3=

ii. ακέραιοι: 7, 9 3, 4, 25 5= − − = −

iii. ρητοί:3

, 7, 9 3, 4, 25 55

− = − − = −

Άρρητοι αριθµοί

Οι πραγµατικοί

αριθµοί

Οι άρρητοι αριθµοί έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία µη περιοδικά. Οι άρρητοι που

γνωρίζουµε µέχρι τώρα είναι οι τετραγωνικές ρίζες αριθµών που δεν είναι τετράγωνα

άλλων αριθµών. Επίσης άρρητος είναι ο γνωστός µας αριθµός π 3,14 .

π.χ. ο 7 είναι άρρητος , διότι το 7 δεν είναι τετράγωνο άλλου αριθµού.


134.

Άρρητοι αριθµοί - Οι πραγµατικοί αριθµοί - Συντεταγµένες στο επίπεδο


iv. άρρητοι: 10, 3,−v. πραγµατικοί: όλοι οι παραπάνω αριθµοί.

α. i. Τι ονοµάζουµε σύστηµα ορθογωνίων αξόνων και

τι ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων;

ii. Τι ονοµάζουµε τεταρτηµόρια;

β. Έστω ένα σηµείο Μ στο επίπεδο. Τι ονοµάζουµε τετµη-

µένη του Μ, τι τεταγµένη του Μ και τι συντεταγµένες

του Μ;

γ. Ποια σηµεία του επιπέδου έχουν τετµηµένη µηδέν και

ποια έχουν τεταγµένη µηδέν;

α. Σύστηµα ορθογωνίων αξόνων ονοµάζουµε δύο

κάθετους άξονες x΄x και y΄y που τέµνονται σ’ ένα σηµείο

Ο το οποίο λέγεται αρχή των αξόνων.

i. Αν στους άξονες x΄x και y΄y οι µονάδες µέτρησης

έχουν το ίδιο µήκος τότε το σύστηµα ορθογωνίων

αξόνων λέγεται ορθοκανονικό σύστηµα.

ii. Οι δύο κάθετοι άξονες x΄x και y΄y ενός ορθογωνίου

συστήµατος αξόνων χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσε-

ρις ορθές γωνίες οι οποίες λέγονται τεταρτηµόρια

τα οποία αριθµούµε αρχίζοντας απο επάνω δεξιά και

συνεχίζουµε αντίθετα απο τη φορά των δεικτών του

ρολογιού.

β. Τετµηµένη ενός σηµείου Μ ονοµάζουµε τον αριθµό α

που αντιστοιχίζεται στο σηµείο τοµής της καθέτου από

το σηµείο Μ στον x΄x µε τον x΄x .

Τεταγµένη του σηµείου Μ ονοµάζουµε τον αριθµό β που

αντιστοιχίζεται στο σηµείο τοµής της καθέτου από το

σηµείο Μ στον y΄y µε τον y΄y .

Οι αριθµοί α, β ονοµάζονται συντεταγµένες του Μ.

γ. Τα σηµεία του επιπέδου που έχουν τετµηµένη µηδέν δη-

λαδή τα σηµεία της µορφής Β(0,β) είναι εκείνα που ανή-

κουν στον άξονα y΄y .

Τα σηµεία που έχουν τεταγµένη µηδέν, δηλαδή τα ση-

µεία της µορφής Α(α,0) είναι εκείνα που ανήκουν στον

άξονα x΄x.

Συντεταγµένες

στο επίπεδο


135.



∆ίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε περίµετρο 18 cm.


α. Το ύψος του τριγώνου. β. Το εµβαδόν του τριγώνου.

(∆ίνεται: 27 5,2 )

Λύση

α. Η περίµετρος του τριγώνου είναι 18cm, άρα:

α α α 18+ + = ή 3α 18= ή α 6cm=∆ηλαδή: ΒΓ α 6cm= =Το ύψος Α∆ στο ισόπλευρο τρίγωνο είναι και διάµεσος. Άρα: Β∆ 6 : 2 3cm= =

Από το Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ∆

έχουµε:

2 2 2A∆ ΑΒ Β∆= − ή 2 2 2A∆ 6 3= − ή 2A∆ 36 9= − ή 2A∆ 27= ή Α∆ 27 5,2=

β. Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

είναι:

2β υ 6 5,2Ε 3 5,2 15,6cm

2 2

⋅ ⋅= = = ⋅ =

Ένα τετράγωνο έχει διαγώνιο 10 cm. Να βρείτε το εµβαδόν και την πλευρά του.

(∆ίνεται: 50 7,07 )

Λύση

Έχουµε Β∆ 10cm= . Από το Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ∆

ισχύει:

2 2 2AB A∆ Β∆+ = ή 2 2 2α α 10+ = ή 22α 100= ή 2

α 100 : 2= ή

2α 50= .

Άρα το εµβαδόν του είναι: 2 2Ε α 50cm= =

Για τον υπολογισµό του α έχουµε: 2α 50= , άρα α 50= ,

άρα α 7,07cm


136.



Στο τραπέζιο ΑΒΓ∆ ισχύουν: A∆ 5cm= , Γ∆ 8cm= ,

ΒΓ 9cm= .

Να υπολογίσετε: α. Την ΑΒ.

β. Το εµβαδόν του τραπεζίου.

(∆ίνεται: 56 7,5 )

Λύση

α. Στο ορθογώνιοΑ∆ΓΚ ισχύει: ΓΚ Α∆ 5cm= =Θα υπολογίσουµε την πλευρά ΚΒ του ορθογωνίου τριγώνου ΓΚΒ.

Από το Π.Θ. στο τρίγωνο ΚΒΓ έχουµε:

2 2 2ΚΒ ΒΓ ΚΓ= − ή 2 2 2

ΚΒ 9 5= − ή 2

ΚΒ 81 25= − ή 2ΚΒ 56= ή ΚΒ 56 7,5=

Άρα: ΑΒ ΑΚ ΚΒ 8 7,5 15,5cm= + = + =β. Το εµβαδόν Ε του τραπεζίου είναι:

( ) ( ) ( ) 2β Β υ 8 15,5 5Γ∆ ΑΒ Α∆ 23,5 5E 58,75cm

2 2 2 2

+ ⋅ + ⋅+ ⋅ ⋅= = = = =

Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις και να υπολογίσετε τις τιµές τους:

A 2 2 5 6 7 2 3 6 4 2 8 6= − − + − + , ( ) ( )B 3 11 3 2 3 11 5 3= − − +

(∆ίνονται: 3 1,73, 2 1,41, 6 2,45, 11 3,32 )

Λύση

( ) ( )A 2 2 7 4 6 5 3 8= − − + − + + B 3 11 3 3 6 11 10 3= − − −

( )A 2 9 6 6= ⋅ − + ⋅ ( ) ( )B 11 3 6 3 3 10= − + − −( )A 1,41 9 2,45 6⋅ − + ⋅ ( ) ( )B 11 3 3 13= − + −

A 12,69 14,7= − + ( ) ( )B 3,32 3 1,73 13− + −

A 2,01= B 9,96 22, 49= − −B 32, 45= −

Να συγκρίνετε τις παραστάσεις:

α. 4 9⋅ και 4 9⋅ β. 4

9 και

49

γ. 4 9+ και 4 9+

Τι σύµπερασµα βγάζετε;

Λύση

α. 4 9 2 3 6⋅ = ⋅ = , 4 9 36 6⋅ = = . Άρα: 4 9 4 9⋅ = ⋅

Γενικά ισχύει: α β α β, α 0, β 0⋅ = ⋅ ≥ ≥


137.



β. 4 2

39= ,

24 2 2

9 3 3 = =

. Άρα: 4 4

99=

Γενικά ισχύει:α α

, α 0, β 0β β

= ≥ >

γ. 4 9 2 3 5+ = + = , 4 9 13 3,6+ = . Άρα: 4 9 4 9+ < +

Γενικά ισχύει: α β α β, α 0, β 0+ ≤ + ≥ ≥

α. Να υπολογίσετε την απόσταση του σηµείου Α(–5,3) από την αρχή των αξόνων Ο.

β. Να υπολογίσετε την απόσταση ΒΓ των σηµείων Β(1,2) και Γ(3,3).

Λύση

α. Έχουµε ΟΚ 5= , ΑΚ 3= . Από το Π.Θ. στο ορθο-

γώνιο τρίγωνο ΟΑΚ έχουµε:

2 2 2ΟΑ ΟΚ ΚΑ= + ή 2 2 2

ΟΑ 5 3= + ή

2ΟΑ 25 9= + ή 2

ΟΑ 34= ή ΟΑ 34=ή ΟΑ 5,8

β. Παρατηρούµε ότι ΚΒ 3 2 1= − = και ΚΓ 3 1 2= − = .

Από το Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΒΓ έχουµε:

2 2 2ΒΓ ΚΒ ΚΓ= + ή 2 2 2

ΒΓ 1 2= + ή 2ΒΓ 1 4= + ή

2ΒΓ 5= ή ΒΓ 5= ή ΒΓ 2,24

Αν α > 0 και β < 0 , να βρείτε σε ποιο τεταρτηµόριο βρίσκονται τα σηµεία:

( )Α α,β , ( )Β 2α,3β− , ( )Γ α 7,β 5+ − , ( )∆ 3α 1, 5β 6− − − + , ( )( )22Ε α 3, β 4− − −

Λύση

• Επειδή α>0 και β<0, συµπεραίνουµε ότι το σηµείο Α(α,β) βρίσκεται στο 4ο τεταρτηµόριο.

• Επειδή α>0 άρα -2α<0 και β<0 άρα 3β<0, συµπεραίνουµε ότι το σηµείο Β(–2α,3β)

βρίσκεται στο 3ο τεταρτηµόριο.

• Επειδή α>0 άρα α+7>0 και β<0 άρα β–5<0 συµπεραίνουµε ότι το σηµείο ( )Γ α 7,β 5+ −βρίσκεται στο 4ο τεταρτηµόριο.

• Επειδή α>0 άρα 3α 1 0− − < και β<0 άρα 5β 6 0− + > , συµπεραίνουµε ότι το σηµείο

( )∆ 3α 1, 5β 6− − − + βρίσκεται στο 2ο τεταρτηµόριο.

• Επειδή 2α 3 0− − < , ( )2

β 4 0− > , συµπεραίνουµε ότι το σηµείο ( )( )22Ε α 3, β 4− − −

βρίσκεται στο 2ο τεταρτηµόριο.


138.



1. Στα επόµενα σχήµατα να υπολογίσετε το x.

i. ii.

2. Να υπολογίσετε µε προσέγγιση εκατοστού την παράσταση:

A 53 2 124 5 19= + −

3. Να υπολογίσετε το x µε προσέγγιση εκατοστού.

4. Να απλοποιηθεί και µετά να υπολογιστεί η παράσταση:

( ) ( )A 2 6 3 2 3 2= − − −

5. Να συµπληρωθούν οι ισότητες:

i. 10 3 ......+ = , 10 3 ......+ =

ii. 9 4 ......⋅ = , 9 4 ......⋅ =

iii. 25

......16

= ,25

......16

=

6. Σ’ ένα σύστηµα ορθογωνίων αξόνων να τοποθετήσετε τα σηµεία:

( )A 0, 2− , ( )B 3,0− , ( )Γ 2,3−


139.



7. Να βρείτε την απόσταση του σηµείου ( )Α 3,5− από την αρχή των αξόνων.

8. Να βρείτε την απόσταση των σηµείων: ( )Α 4, 6− − και ( )Β 3, 7− −

9. Να σχεδιάσετε τις ευθείες που τα σηµεία τους έχουν:

α. τετµηµένη 0 β. τεταγµένη 0

γ. τετµηµένη –4 δ. τεταγµένη 10

10. ∆ίνεται το σηµείο Α(5λ – 1, 6λ + 12). Να βρείτε για ποιες τιµές του λ το σηµείο Α

βρίσκεται:

α. στον άξονα x΄x β. στον άξονα y΄y γ. στο 2ο τεταρτηµόριο

11. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει εµβαδόν 10 m2 και η µία κάθετη πλευρά του είναι 4m.

Να βρείτε το µήκος της υποτείνουσας.

12. To ΑΒΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο. Η Α∆ = 10, το ΕΓ = 11

και το ύψος ΑΕ = 7. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του πα-

ραλληλογράµµου.

A Â

ÃÄ E


140.



Ερώτηση 1

α. Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται άρρητοι;

β. Ποιοι από τους παρακάτω αριθµούς είναι άρρητοι:

i. 3

5− , ii. 25 , iii. 26 , iv. 0 , v. π, vi. 7, 8 , vii. 2500

Ερώτηση 2

α. Τι ονοµάζουµε σύστηµα ορθογωνίων αξόνων και τι ορθοκανονικό σύστηµα;

β. Αν λ > 0 σε ποιο τεταρτηµόριο βρίσκεται το σηµείο ( ) ( )( )32A 2λ 100 , λ 1− − + .

Άσκηση 1

Στο διπλανό σχήµα το σηµείο ∆ είναι τέτοιο ώστε 2

∆Β ΒΓ5

= .

Επίσης ΑΓ = 6, ΑΒ 8= και ∆Ε 3= . Να υπολογίσετε την ΒΕ.

Άσκηση 2

∆ίνονται τα σηµεία Α(1,2), Β(2,3) και Γ(3,2). Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

α. ισοσκελές, β. ορθογώνιο

Άσκηση 3

Αν το σηµείο 5λ 1 1 2λ

Α 3λ 1, 12 7

− − − + + βρίσκεται στο 2ο τεταρτηµόριο, να βρείτε

τις τιµές του ακέραιου λ.



Ëüãïò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùíËüãïò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùíËüãïò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùíËüãïò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùíËüãïò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùíÅöáðôïìÝíç ãùíßáòÅöáðôïìÝíç ãùíßáòÅöáðôïìÝíç ãùíßáòÅöáðôïìÝíç ãùíßáòÅöáðôïìÝíç ãùíßáò

Êëßóç åõèåßáòÊëßóç åõèåßáòÊëßóç åõèåßáòÊëßóç åõèåßáòÊëßóç åõèåßáò


Çìßôïíï êáé óõíçìßôïíï ïîåßáò ãùíßáòÇìßôïíï êáé óõíçìßôïíï ïîåßáò ãùíßáòÇìßôïíï êáé óõíçìßôïíï ïîåßáò ãùíßáòÇìßôïíï êáé óõíçìßôïíï ïîåßáò ãùíßáòÇìßôïíï êáé óõíçìßôïíï ïîåßáò ãùíßáò Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ãùíßáò: Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ãùíßáò: Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ãùíßáò: Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ãùíßáò: Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ãùíßáò:

30°, 45° , 60°30°, 45° , 60°30°, 45° , 60°30°, 45° , 60°30°, 45° , 60°


ÔñéãùíïìåôñßáÔñéãùíïìåôñßá



Â


8Ëüãïò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùí

ÅöáðôïìÝíç ãùíßáò - Êëßóç åõèåßáò

Ëüãïò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùí

ÅöáðôïìÝíç ãùíßáò - Êëßóç åõèåßáò

Τι λέγεται λόγος δύο µεγεθών;

Λόγος δύο µεγεθών α και β λέγεται το πηλίκο της

διαίρεσης του ενός διά τον άλλον, αρκεί τα µεγέθη να έχουν

µετρηθεί µε την ίδια µονάδα. Συµβολίζεται µε α

β ή

β

α.

Ειδικά το α

β λέγεται λόγος του α προς το β ενώ το

β

α

λέγεται λόγος του β προς το α.

Τι είναι ο λόγος δύο ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ και

Γ∆;

Λόγος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ προς το ευ-

θύγραµµο τµήµα Γ∆, είναι ο λόγος των αντίστοιχων µηκών

τους και συµβολίζεται µε ΑΒ

Γ∆. ∆ηλαδή αν ΑΒ 4,5 cm=

και Γ∆ 1,5 cm= , τότε ΑΒ 4,5 cm

Γ∆=

1,5 cm3= .

Ο λόγος δύο ευθυγράµµων τµηµάτων, έχει µονάδες

µέτρησης;

Όπως είδαµε στο προηγούµενο θέµα, οι µονάδες

µέτρησης των ΑΒ και Γ∆ (εν προκειµένω τα cm) απλοποι-

ούνται.

Αναλογίες

Η ισότητα δύο λόγων ο-

νοµάζεται αναλογία, δη-

λαδή η σχέση α γ

β δ= .

Ισχύουν:

Αν α γ

β δ= τότε α δ β γ⋅ = ⋅

Αν α γ

β δ= τότε

β δ

α γ=

Αν α γ

β δ= τότε

α β

γ δ=


144.

Λόγος ευθυγράµµων τµηµάτων - Εφαπτοµένη γωνίας - Κλίση ευθείας

Τριγωνοµετρία

Εποµένως ο λόγος δύο ευθύγραµµων τµηµάτων δεν έχει

µονάδες µέτρησης, είναι δηλαδή καθαρός αριθµός και µας

δείχνει “πόσες φορές χωράει το ευθύγραµµο τµήµα του πα-

ρονοµαστή σε αυτό του αριθµητή” ή “πόσες φορές το ευ-

θύγραµµο τµήµα του αριθµητή είναι µεγαλύτερο από αυτό

του παρονοµαστή”.

Εξαρτάται ο λόγος δύο ευθύγραµων τµηµάτων από

τη µονάδα που τα µετρήσαµε;

Όχι, όπως είδαµε στα προηγούµενα, η µονάδα µέ-

τρησης απλοποιήθηκε.

Ο λόγος δύο ευθύγραµων τµηµάτων είναι πάντα θε-

τικός;

Ναι, αφού τα µήκη είναι θετικά.

Πως µπορούµε να συγκρίνουµε δύο ευθύγραµµα τµή-

µατα;

Για να συγκρίνουµε δύο ευθύγραµµα τµήµατα (ή γε-

νικά δύο αριθµούς, ακόµη και δύο παραστάσεις), σχηµατί-

ζουµε τον λόγο τους A

B και τον συγκρίνουµε µε την µονά-

δα. Έτσι έχουµε:

• Αν A

1B

> τότε A B> .

• Αν A

1B

< τότε A B< .

• Αν A

1B

= τότε A B= .

Φυσικά πρέπει B 0≠ .

Υπάρχει άλλος τρόπος να συγκρίνουµε δύο ευθύ-

γραµµα τµήµατα;


145.



Βεβαίως. Μπορούµε να σχηµατίζουµε τη διαφορά

τους Α – Β και να τη συγκρίνουµε µε το µηδέν. Εδώ έχουµε:

• Αν A B 0− > τότε A B> .

• Αν A B 0− < τότε A B< .

• Αν A B 0− = τότε A B= .

Τι ονοµάζουµε εφαπτοµένη µιας γωνίας;

Έστω µία ευθεία ε, η οποία σχηµατίζει µε µία οριζό-

ντια ευθεία γωνία ω. Στην ε παίρνουµε τα σηµεία Α, Β και Γ

και από αυτά φέρνουµε κάθετα τµήµατα Α∆, ΒΕ, ΓΖ στην

οριζόντια ευθεία.

Είναι γνωστό ότι οι λόγοι A∆

Ο∆, ΒΕ

ΟΕ και

ΓΖ

ΟΖ είναι ίσοι.

Η κοινή τιµή των λόγων αυτών λέγεται εφαπτοµένη της γω-

νίας ω και συµβολίζεται εφω ή αλλιώς κλίση της ευθείας ε.

Ειδικότερα:

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, εφαπτοµένη της οξείας γω-

νίας Β (ή ω) λέγεται ο λόγος της απέναντι από αυτήν κάθε-

της πλευράς, προς την προσκείµενη της γωνίας Β κάθετης

πλευράς. ∆ηλαδή : απέναντι κάθετη ΑΓ β

εφωπροσκείµενη κάθετη ΑΒ γ

= =

Οµοίως για την γωνία Γ:ΑΒ γ

εφΓΑΓ β

= =

Έστω δύο τµήµατα Α και Β τότε:

α. Ο λόγος A

B µας δείχνει πόσες φορές το Α είναι µεγαλύτερο (ή µικρότερο) από το Β ή

αλλιώς πόσες φορές “χωράει” το τµήµα Β στο τµήµα Α.

β. Η διαφορά Α – Β µας λέει πόσες µονάδες είναι µεγαλύτερο το Α από το Β.

Εφαπτοµένη γωνίας

Κλίση ευθείας

ùÄ Å Z

AB

Ã

O Ïñéæüíôéá åõèåßá

( )å


146.



Η εφαπτοµένη µιας οξείας γωνίας µπορεί να είναι

ένας οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός;

Η εφαπτοµένη οξείας γωνίας, σαν λόγος δύο ευθύ-

γραµµων τµηµάτων είναι θετικός αριθµός. Μπορεί να πά-

ρει κάθε θετική τιµή.

Όταν µια οξεία γωνία αυξάνει η εφαπτοµένη της

πως µεταβάλλεται;

Όταν µια οξεία γωνία αυξάνει, τότε η εφαπτοµένη

της αυξάνει και αυτή.

Πολλές φορές η κλίση µιας ευθείας δίνεται µε ποσο-

στό. Τι σηµαίνει αυτό;

Πράγµατι πολλές φορές η κλίση δίνεται µε ποσοστό

α % και τότε η εφω είναι ίση µε α

100.

∆ηλαδή αν π.χ. η κλίση είναι 12% τότε 12

εφω 0,12100

= = .


147.



∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε κάθετες πλευρές ΑΒ = 3cm

και ΑΓ = 4cm. Να βρείτε τους λόγους ,AB ΑΒ ΒΓ

,ΑΓ ΒΓ ΑΓ

.

Λύση

AB 3 cm

ΑΓ=

4 cm0,75=

Χρησιµοποιώντας το πυθαγόρειο θεώρηµα βρί-

σκουµε την ΒΓ.

2 2 2BΓ ΑΒ ΑΓ= + ή ( ) ( )2 22ΒΓ 3cm 4cm= + ή

( )2 2ΒΓ 9 16 cm= + ή

2 2ΒΓ 25cm ή ΒΓ 5cm= =

Έτσι ΑΒ 3cm

ΒΓ=

5 cm0,6= και

ΒΓ 5 cm

ΑΓ=

4 cm1,25= .

Ποιος από τους λόγους 56

και 45

είναι µεγαλύτερος;

Λύση

1ος Τρόπος

Σχηµατίζουµε τον λόγο

5645

και τον συγκρίνουµε µε την µονάδα.

55 5 256 1

4 4 6 245

⋅= = >⋅

άρα 5 4

6 5>

Αν η άσκηση αναφέρεται σε

ορθογώνιο τρίγωνο του οποί-

ου γνωρίζουµε τις δύο πλευ-

ρές του, τότε είναι πολύ πιθα-

νό να χρησιµοποιήσουµε το

Πυθαγόρειο Θεώρηµα.


148.



2ος Τρόπος

Σχηµατίζουµε την διαφορά 5 4

6 5− και την συγκρίνουµε µε το µηδέν.

5 4 25 24 10

6 5 30 30

−− = = > άρα 5 4

6 5> .

3ος Τρόπος

50,83

6 ,

40,8

5= . Άρα

5 4

6 5>

Ένα ευθύγραµµο τµήµα α είναι 3 φορές µεγαλύτερο από ένα άλλο τµήµα β. Να

βρείτε τους λόγους:

α. α

ββ.

β

αγ.

α β

β

+δ.

α β

β

−ε.

α β

α β

+−

Λύση

Αφού το α είναι 3 φορές µεγαλύτερο του β, τότε ισχύει α = 3β. Οπότε έχουµε:

α.

3βα

β=

β3= β.

ββ

α=

3β

1

3= γ.

4βα β 3β β

β β

+ += =β

4=

δ.

2βα β 3β β

β β

− −= =β

2= ε.

4βα β 3β β

α β 3β β

+ += =− − 2β

2=

∆ίνεται ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 21 cm. Ένα σηµείο Μ

χωρίζει το ΑΒ σε δύο τµήµατα ΑΜ και ΜΒ ώστε ΑΜ 3

ΜΒ 4= .

Να βρείτε τα µήκη των τµηµάτων ΑΜ και ΜΒ.

Λύση

Από τον λόγο ΑΜ 3

ΜΒ 4= προκύπτει

34ΑΜ 3ΜΒ ή ΑΜ ΜΒ

4= = (1).

Επίσης το ΑΒ γράφεται: ΑΒ ΑΜ ΜΒ= + . Έτσι:

3 3ΑΜ ΜΒ 21 ή ΜΒ ΜΒ 21 ή 4 ΜΒ 4ΜΒ 21 4 ή

4 4+ = + = ⋅ + = ⋅

7 843ΜΒ 4ΜΒ 84 ή 7ΜΒ 84 ή ΜΒ ή ΜΒ 12cm

7 7+ = = = =

A B

21cm

M


149.



Από τη σχέση (1) έχουµε:3

ΑΜ 12 9cm4

= ⋅ =

Τα σηµεία Μ, Ν ανήκουν στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 30cm. Τα τµήµατα ΑΜ, ΜΝ

και ΝΒ είναι ανάλογα των αριθµών 2, 3, 5. Να βρείτε τα µήκη των ευθύγραµµων

τµηµάτων ΑΜ, ΜΝ και ΝΒ.

Λύση

Τα τµήµατα ΑΜ, ΜΝ και ΝΒ είναι ανάλογα των αριθµών 2, 3 και 5 σηµαίνει:

ΑΜ ΜΝ ΝΒλ

2 3 5= = = (1)

Όπως παρατηρήσατε, εξισώσαµε την παραπάνω αναλογία µε λ. Χρησιµοποιούµε δη-

λαδή βοηθητικό άγνωστο (το λ), τον οποίο θα υπολογίσουµε πρώτα και µετά θα

βρούµε τα ΑΜ, ΜΝ και ΝΒ. Προσέξτε πως: Από την σχέση (1) έχουµε:

ΑΜλ

2= άρα ΑΜ 2λ= και

ΜΝλ

3= άρα ΜΝ 3λ= και

ΝΒλ

5= άρα ΝΒ 5λ= .

Τα τµήµατα ΑΜ, ΜΝ και ΝΒ αποτελούν το ΑΒ = 30 cm .

Άρα: 2λ 3λ 5λ 30cm ή 10λ 30 ή λ 3+ + = = =

Έτσι: ΑΜ 2λ ή ΑΜ 2 3 ή ΑΜ 6cm= = ⋅ =

MN 3λ ή ΜΝ 3 3 ή ΜΝ 9cm= = ⋅ =

ΝΒ 5λ ή ΝΒ 5 3 ή ΝΒ 15cm= = ⋅ =

Αν α, β, γ είναι ευθύγραµµα τµήµατα, τέτοια ώστε:α γ

β δ=

Να αποδείξετε ότι: α 2β γ 2δ

β δ

− −=

Λύση

1ος Τρόπος

Έχουµε α γ

β δ= οπότε:

αλ άρα α λβ

β

γλ άρα γ λδ

δ

= = = =

Έτσι έχουµε βα 2β λβ 2β

β β

− −= =( )λ 2

β

−λ 2= − και


150.



γ 2δ λδ 2δ δ

δ δ

− −= =( )λ 2

δ

−λ 2= −

∆ηλαδή α 2β

λ 2β

− = − και γ 2δ

λ 2δ

− = − . Άρα α 2β γ 2δ

β δ

− −= .

2ος Τρόπος

Αφαιρούµε τον αριθµό 2 από τα δύο µέλη της

δεδοµένης σχέσης:

α γ2 2

β δ− = − ή

á 2 ã 2

â 1 ä 1

1 â 1 ä

ή

α 2β γ 2δ

β β δ δ− = − ή

α 2β γ 2δ

β δ

− −=

∆ίνονται τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ = 2cm και Γ∆ = 8cm.

α. Να υπολογίσετε τον λόγο Γ∆

ΑΒ

β. Αν καθένα ευθύγραµµο τµήµα αυξηθεί κατά 4cm να υπολογίσετε πόσο θα είναι ο

νέος λόγος Γ∆

ΑΒ.

Λύση

α. Γ∆ 8 cm

ΑΒ=

2 cm4=

β. Αν αυξηθούν τα τµήµατα ΑΒ και Γ∆ κατά 4cm θα γίνουν:

AB 2cm 4cm 6cm= + = , Γ∆ 8cm 4cm 12cm= + = και τότε Γ∆ 12 cm

ΑΒ=

6 cm2=

Να υπολογίσετε τις εφαπτοµένες των οξειών γωνιών στα παρακάτω ορθογώνια

τρίγωνα.

i. ii. iii.

Αν έπρεπε να δείξουµε ότι

α 3β γ 3δ

β δ

+ += καταλαβαίνετε

ότι θα προσθέταµε και στα δύο

µέλη της α γ

β δ= τον αριθµό 3.


151.



Λύση

i. ΑΓ 8m

εφΒ 0,5ΑΒ 16m

= = = , ΑΒ 16m

εφΓ 2ΑΓ 8m

= = =

ii. Θα υπολογίσουµε πρώτα την ∆Ζ µε Πυθαγόρειο Θεώρηµα.

2 2 2 2 2 2∆Ζ ΕΖ Ε∆ ή ∆Ζ 2,5 1,5 ή= − = −

2∆Ζ 6,25 2, 25 ή= − 2

∆Ζ 4 ή ∆Ζ 2= =

Έτσι ∆Ζ 2m 4

εφΕΕ∆ 1,5m 3

= = = και Ε∆ 1,5m

εφΖ 0,75∆Ζ 2m

= = =

iii. Και εδώ θα υπολογίσουµε µε πυθαγόρειο θεώρηµα την ΚΛ. Έχουµε:

2 2 2 2 2 2 2 2ΚΛ ΚΜ ΜΛ ή ΚΛ 10 8 ή ΚΛ 100 64 ή ΚΛ 36 ή ΚΛ 6= − = − = − = =

Άρα 8m 4

εφΚ6m 3

= = και 6m

εφΜ 0,758m

= = .

Τεχνίτης τοποθέτησε τη βάση της σκάλας σε απόσταση 1,5 m

από τον κάθετο τοίχο ΑΓ και ανέβηκε σε ύψος 6m. Ποια είναι η

κλίση της σκάλας;

Λύση

∆ίνεται ότι ΑΒ = 1,5m και ΑΓ = 6m. Έτσι: ΑΓ 6m

εφω 4ΑΒ 1,5m

= = = .

∆ηλαδή η κλίση της σκάλας είναι 400%.

Να δείξετε ότι οι εφαπτόµενες των δύο οξείων γωνιών Β και Γ

ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστροφοι αριθµοί.

Λύση

ΑΓεφΒ

ΑΒ= και

ΑΒεφΓ

ΑΓ= .

Έτσι ΑΓ ΑΒ

εφΒ εφΓ 1ΑΒ ΑΓ

⋅ = ⋅ = .

Άρα οι εφΒ και εφΓ είναι αντίστροφοι αριθµοί.

Αντίστροφοι λέγο-

νται δύο αριθµοί που

το γινόµενό τους εί-

ναι ίσο µε 1.

Παρατηρήσαµε λοιπόν

πως αν ζητείται η εφαπτο-

µένη οξείας γωνίας ορθο-

γωνίου τριγώνου και µας

δίνεται η υποτείνουσά του

τότε χρησιµοποιούµε πυ-

θαγόρειο Θεώρηµα.

B A

Ã

A

B

Ã


152.



Στο διπλανό σχήµα τα τρίγωνα ΑΒΓ και Ε∆Γ είναι ορθογώνια

µε τις γωνίες Α και ∆ ορθές και τις γωνίες της κορυφής Γ

ίσες. Να αποδείξετε ότι: ΑΒ Γ∆ ΑΓ Ε∆⋅ = ⋅ .

Λύση

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ

εφωΑΓ

= και στο ορθο-

γώνιο τρίγωνο ΓΕ∆ ισχύει Ε∆

εφωΓ∆

= .

Από αυτές τις σχέσεις φαίνεται ότι τα πρώτα µέλη είναι ίσα, άρα θα είναι ίσα και τα

δεύτερα µέλη. ∆ηλαδή: ΑΒ Ε∆

ΑΓ Γ∆= οπότε ΑΒ Γ∆ ΑΓ Ε∆⋅ = ⋅ .

Να υπολογίσετε το ύψος Α∆ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ µε

Α 90= , αν γνωρίζετε ότι ΑΒ = 3cm, ΑΓ = 4cm και Γ∆ = 3,2cm.

Λύση

Στο σχήµα παρατηρούµε ότι υπάρχουν δύο ορθογώνια τρίγωνα

που έχουν κοινή την γωνία Γ. Αυτά είναι τα ΑΒΓ και ΑΓ∆.

Στο τρίγωνο ΑΒΓ:ΑΒ 3

εφΓ ή εφΓ 0,75ΑΓ 4

= = =

Στο τρίγωνο ΑΓ∆:Α∆ x

εφΓ ή 0,75 ή x 0,75 3,2cm ή x 2,4cmΓ∆ 3,2

= = = ⋅ =

Η κλίση του ανηφορικού δρόµου ΑΒ είναι 10%.

Να υπολογίσετε την κλίση του δρόµου Γ∆ αν γνω-

ρίζετε ότι το σηµείο ∆ βρίσκεται 44m ψηλότερα

από το Α.

Λύση

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ έχουµε:

10εφΑ 0,1

100= = αλλά

ΒΕεφΑ

ΑΕ= . Έτσι:

ΒΕ0,1 ή ΒΕ 20m

200= =

Ισχύει ακόµα ότι ∆Ζ = 44 m. Άρα ∆Η = ∆Ζ – ΖΗ = ∆Ζ – ΒΕ = 44 – 20, άρα ∆Η = 24m.

Στο τρίγωνο Γ∆Η έχουµε :∆Η 24m

εφΓ 0,2ΓΗ 120m

= = = . Άρα η κλίση του δρόµου Γ∆ είναι

20%.

A B

Ã

Ä

3cm

4cm

3,2cm

x

Η


153.



Σε ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων xOy δίνεται σηµείο

Α(8,5). Να υπολογίσετε τις εφαπτόµενες των γωνιών ˆxOA

και ˆyOA .

Λύση

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ έχουµε: ( ) ΑΒ 5ˆεφ xOAΟΒ 8

= = , αφού ισχύει ΑΒ ΟΓ 5= = .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΓ έχουµε: ( ) ΑΓ 8ˆεφ yOAΟΓ 5

= = , αφού ισχύει ΑΓ ΟΒ 8= = .

1. ∆ίνονται τα τµήµατα α και β, ώστε α 3

β 4= . Να βρείτε τους λόγους:

β

α,

α β

α

+,

α β

β

+,

α β

β α

+−

2. Αν το ευθύγραµµο τµήµα α είναι διπλάσιο του ευθύγραµµου τµήµατος β, να βρείτε

τους λόγους: α β

α β

−+

, 2α β

2α β

+−

, 3α 2β

3α 2β

+−

.

3. Αν το σηµείο Μ χωρίζει το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ σε δύο τµήµατα ΑΜ και ΜΒ ώστε

ΑΜ1

ΜΒ= , να δείξετε ότι το Μ είναι το µέσον του ΑΒ.

4. Να δείξετε ότι για τα ευθύγραµµα τµήµατα α και β ισχύει:α β

1β

+ >


154.



5. Αν για τα ευθύγραµµα τµήµατα α και β ισχύει α β

2β

+ > , να δείξετε ότι α > β.

6. Το σηµείο Μ χωρίζει το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 12cm σε

τµήµατα ΑΜ και ΜΒ µε ΑΜ 1

ΜΒ 5= . Να βρείτε τα µήκη ΑΜ

και ΜΒ.

7. Σε µια ευθεία δίνονται τα σηµεία Ο, Α, Μ και Β ώστε ΟΑ = 4cm, ΟΜ = 7cm και

ΟΒ = 12cm. Να βρείτε τον λόγο ΑΜ

ΜΒ.

8. Αν για τα ευθύγραµµα τµήµατα α, β, γ ισχύουν α 2

γ 3= και

β 2

γ 5= , να δείξετε ότι α > β.

9. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )ο

Α 90= ισχύει εφΒ 0,25= . Να υπολογίσετε την

εφΓ.

10. ∆ιανύσαµε 100m στον ανηφορικό δρόµο ΟΑ που έχει

κλίση 10%. Σε τι ύψος φτάσαµε;

11. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )ο

Α 90= έχουµε ΒΓ = 13 και ΑΒ = 5. Να υπολογί-

σετε τις εφΒ και εφΓ.

12. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )οΑ 90= µε ΑΓ = β και ΑΒ = γ:

α. Να υπολογίσετε τις εφΒ και εφΓ.

β. Να βρείτε το γινόµενο εφΒ · εφΓ.

13. Η κλίση της σκάλας ΑΒ = 5m είναι 12%. Πόσο ψηλά

είναι το σηµείο Β από το σηµείο Γ;


155.



14. Να δείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )οΑ 90= µε ΒΓ = α, ΑΓ = β,

ΑΒ = γ ότι ισχύει η σχέση: 2

αεφΒ εφΓ

β γ+ =

⋅

15. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )ο

Α 90= φέρνουµε το ύψος

Α∆. Αν ισχύει Β∆ 3

∆Γ 4= , να βρείτε τον λόγο

εφΒ

εφΓ.


Α 90= είναι ΑΒ = γ, ΑΓ = β και ΒΓ = α. Να

αποδείξετε ότι: ( )2

2

2

αεφΒ 1

γ+ =

17. Σε ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων δίνονται τα σηµεία

Α(6,0) και Β(0,8). Από την αρχή των αξόνων Ο φέρνουµε

την Ο∆ κάθετη στην ΑΒ. Να υπολογίσετε την κλίση της Ο∆.

18. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )οΑ 90= ισχύει: ( ) ( )2 2

1 11

1 εφΒ 1 εφΓ+ =

+ +


156.



Ερώτηση 1

∆ίνονται δύο ευθύγραµµα τµήµατα α και β.

i. Να εξηγήσετε:

α. Τι σηµαίνει ο λόγος α

β. β. Τι σηµαίνει ο λόγος

β

α.

ii. Να δείξετε ότι οι παραπάνω λόγοι είναι αντίστροφοι αριθµοί.

Ερώτηση 2

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )οΑ 90= , είναι ΑΒ = γ, ΑΓ = β. Αν ισχύει β < γ, να

αποδείξετε ότι εφΒ < εφΓ.

Άσκηση1

α. Να βρείτε το λόγο της περιµέτρου ισοπλεύρου τριγώνου προς την πλευρά του.

β. Να βρείτε το λόγο της περιµέτρου τετραγώνου προς την πλευρά του.

Άσκηση 2

∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ΑΓ = β και ΒΓ = α, φέρνουµε τα ύψη Α∆ = υα και

ΒΕ = υβ. Αν ισχύει α 2

β 3= , να δείξετε ότι:

α

β

υ 3

υ 2=

Άσκηση 3

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )ο

Α 90= , µε ΑΒ = γ, ΒΓ = α και ΑΓ = β, να αποδείξετε

ότι:

2 2β γ

εφΓ εφΒ 1α α

+ =


Â


9Çìßôïíï êáé óõíçìßôïíï ïîåßáò ãùíßáò

Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ãùíßáò:

30 , 45 , 60ï ï ï

Çìßôïíï êáé óõíçìßôïíï ïîåßáò ãùíßáò

Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ãùíßáò:

30 , 45 , 60ï ï ï

Πως ορίζονται το ηµίτονο και το συνηµίτονο µιας

οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου;

Ηµίτονο της ω λέγεται ο λόγος της απέναντι (προς

τη γωνία ω) κάθετης πλευράς, προς την υποτείνουσα του

ορθογωνίου τριγώνου.

∆ηλαδή:ΑΓ β απέναντι κάθετη

ηµωΒΓ α υποτείνουσα

= =

Συνηµίτονο της ω λέγεται ο λόγος της προσκείµενης κά-

θετης πλευράς της ω προς την υποτείνουσα του ορθογω-

νίου τριγώνου.

∆ηλαδή:ΑΒ γ προσκείµενη κάθετη

συνωΒΓ α υποτείνουσα

= =

Πως ορίζεται το ηµίτονο και το συνηµίτονο της γω-

νίας Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ;

Η γωνία Γ έχει απέναντι κάθετη την ΑΒ = γ και προ-

σκείµενη κάθετη την ΑΓ = β. Άρα:

ΑΒ γηµΓ

ΒΓ α= = και

ΑΓ βσυνΓ

ΒΓ α= =

∆ιαπιστώσαµε ότι β

ηµΒα

= και β

συνΓα

= , δηλαδή

ότι ηµΒ συνΓ= . Αυτό ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο;


158.

Ηµίτονο και συνηµίτονο οξείας γωνίας - Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας: 30°, 45°, 60°


Βεβαίως. Το ηµίτονο της µίας οξείας γωνίας ορθο-

γωνίου τριγώνου ισούται µε το συνηµίτονο της άλλης οξείας

γωνίας του.

Έχουµε µάθει ότι οι λόγοι ευθύγραµµων τµηµάτων

είναι θετικοί αριθµοί. Τι τιµές µπορούν να πάρουν το

ηµίτονο και το συνηµίτονο µιας οξείας γωνίας;

Σαν λόγοι ευθύγραµµων τµηµάτων, το ηµίτονο και

το συνηµίτονο µιας οξείας γωνίας, είναι θετικοί αριθµοί.

Γνωρίζουµε όµως ότι η υποτείνουσαορθογωνίου τριγώνου

είναι η µεγαλύτερη πλευρά του. Το ηµίτονο και το συνηµίτο-

νο έχουν στον παρονοµαστή την υποτείνουσα. Είναι δηλαδή

λόγοι µε αριθµητή µικρότερο του παρονοµαστή. Άρα οι τιµές

του ηµιτόνου και του συνηµιτόνου είναι µικρότερες του 1.

Ισχύει δηλαδή: 0 ηµω 1< < και 0 συνω 1< <

Καθώς µια οξεία γωνία µεγαλώνει, πως µεταβάλλο-

νται οι τριγωνοµετρικοί του αριθµοί ηµίτονο και συνηµί-

τονο;

Στο διπλανό σχήµα, παρατηρούµε τις γωνίες xOA,

xOB και xOΓ που ανήκουν αντίστοιχα στα ορθογώνια

τρίγωνα ΚΟΑ, ΛΟΒ και ΜΟΓ και που έχουν τις υποτείνου-

σές τους ίσες σαν ακτίνες του κύκλου.

∆ηλαδή: ΟΑ ΟΒ ΟΓ ρ= = =

Είναι ακόµα: ˆ ˆ ˆxΟΑ xΟΒ xΟΓ< < ,

( ) ΑΚ ΑΚˆηµ xΟΑΟΑ ρ

= = ,

( ) ΒΛ ΒΛˆηµ xΟΒΟΒ ρ

= = ,

( ) ΓΜ ΓΜˆηµ xΟΓΟΓ ρ

= =


159.



Αφού ισχύει ΑΚ ΒΛ ΓΜ< < θα ισχύει: AK ΒΛ ΓΜ

ρ ρ ρ= =

Οπότε ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆηµ xΟΑ ηµ xΟΒ ηµ xΟΓ< < .

Συµπέρασµα:

Όταν αυξάνεται µία οξεία γωνία, αυξάνεται και το ηµίτο-

νό της.

Όσο για τα συνηµίτονα των γωνίων xOA, xOB και xOΓ

είναι : ( ) ΟΚ ΟΚˆσυν xΟΑΟΑ ρ

= = ,

( ) ΟΛ ΟΛˆσυν xΟΒΟΒ ρ

= =

( ) ΟΜ ΟΜˆσυν xΟΓΟΓ ρ

= =

Αφού ισχύει ΟΜ ΟΛ ΟΚ< < ,

θα ισχύει και ΟΜ ΟΛ ΟΚ

ρ ρ ρ< <

οπότε ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆσυν xΟΓ συν xΟΒ συν xΟΑ< <

Συµπέρασµα:

Όταν αυξάνεται µία οξεία γωνία, ελαττώνεται το συνη-

µίτονό της .

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )Α 90= να δείξετε ότι

ισχύουν: α. 2 2ηµ Β συν Β 1+ = ,

β. ηµΒ

εφΒσυνΒ

=

Απόδειξη

α. Από το Πυθαγόρειο θεώρηµα στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε:

2 2 2ΑΒ ΑΓ ΒΓ+ = ή 2 2 2β γ α+ =

∆ιαιρούµε και τα δύο µέλη αυτής της σχέσης µε α2 και

έχουµε:

2 22 2 2

2 2 2

β γ α β γή 1

α αα α α

+ = + =

∆ύο θεµελιώδεις

σχέσεις

της Τριγωνοµετρίας


160.



Αλλά γνωρίζουµε ότι ( )βηµΒ 1

α= και ( )γ

συνΒ 2α

= .

Έτσι: 2 2ηµ Β συν Β 1+ =β. ∆ιαιρούµε κατά µέλη τις σχέσεις (1) και (2) και παίρνουµε:

β

ηµΒ βα εφΒγσυνΒ γ

α

= = = (γιατί β

εφΒγ

= )

Άρα ηµΒ

εφΒσυνΒ

=

Πως υπολογίζουµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς

45ο;

Πρώτα πρέπει να κατασκευάσουµε ορθογώνιο τρί-

γωνο µε οξείες γωνίες 45ο. Αυτό είναι το ισοσκελές και

ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )Α 90= , γιατί έχει οˆ ˆΒ Γ 45= = .

Αν υποθέσουµε ότι ΑΒ = ΑΓ = 1cm τότε µε Πυθαγόρειο

θεώρηµα υπολογίζουµε την ΒΓ = α. Έχουµε:

2 2 2 2 2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ ή α 1 1 ή α 2 ή α 2cm= + = + = =

Έτσι:ΑΓ 1 2

ηµΒΒΓ 22

= = = , ΑΒ 1 2

συνΒΒΓ 22

= = = και

ΑΓ 1εφΒ 1

ΑΒ 1= = =

Γνωρίζουµε ότι ηµΒ = συνΓ και συνΒ = ηµΓ. Τότε µπορούµε να πούµε ότι ισχύουν

οι σχέσεις:

α. 2 2ηµ Β ηµ Γ 1+ = β. 2 2

συν Β συν Γ 1+ =

γ. συνΓ

εφΒσυνΒ

= δ. ηµΒ

εφΒηµΓ

= ή συνΓ

εφΒηµΓ

=

Τριγωνοµετρικοί

αριθµοί γωνίας

30ο, 45ο και 60ο


161.



Πως υπολογίζουµε τους τριγωνοµετρικούς αριθ-

µούς των γωνιών 30ο και 60ο;

Γνωρίζουµε ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει όλες τις

γωνίες του ίσες µε 60ο. Κατασκευάζουµε λοιπόν ισόπλευρο

τρίγωνο πλευράς 2cm και φέρνουµε το ύψος του Α∆ που

είναι και διάµεσος (δηλαδή ∆Γ 1cm= ) και διχοτόµος της

γωνίας Α (άρα o1 2A A 30= = ). Με εφαρµογή του Πυθα-

γορείου θεωρήµατος στο ορθογώνιο τρίγωνο Α∆Γ έχουµε:

2 2 2 2 2 2 2A∆ ∆Γ ΑΓ ή υ 1 2 ή υ 4 1 ή+ = + = = −2υ 3 ή υ 3= =

Στο τρίγωνο Α∆Γ: ο Α∆ 3

ηµ60ΑΓ 2

= = , ο ∆Γ 1

συν60ΑΓ 2

= = ,

ο Α∆ 3εφ60 3

∆Γ 1= = =

Και ο ∆Γ 1

ηµ30ΑΓ 2

= = , ο Α∆ 3

συν30∆Γ 2

= = ,

ο ∆Γ 1 3εφ30

Α∆ 33= = =

Τελικά διαπιστώνουµε ότι:ο ο 1

ηµ30 συν602

= = ,

ο ο 3συν30 ηµ60

2= = ,,

ο

ο

1 3εφ30

3εφ60= = .


162.



Να υπολογιστούν το ηµίτονο και το συνηµίτονο των οξειών γωνιών στα παρακάτω

ορθογώνια τρίγωνα.

α. β.

Λύση

α. Είναι:ΑΓ 12

ηµΒΒΓ 13

= = , ΑΒ 5

συνΒΒΓ 13

= = και

ΑΒ 5ηµΓ

ΒΓ 13= = ,

ΑΓ 12συνΓ

ΒΓ 13= =

β. Με Πυθαγόρειο θεώρηµα θα υπολογίσουµε την ∆Ζ.

2 2 2 2 2 2 2 2 2∆Ζ ∆Ε ΕΖ ή ∆Ζ ΕΖ ∆Ε ή ∆Ζ 2,5 1,5 ή+ = = − = −2 2

∆Ζ 6,25 2, 25 ή ∆Ζ 4= − =

Άρα ∆Ζ 4 ή ∆Ζ 2= =

Άρα ∆Ζ 2

ηµΕ 0,8ΕΖ 2,5

= = = , ∆Ε 1,5

συνΕ 0,6ΕΖ 2,5

= = =

και ∆Ε 1,5

ηµΖ 0,6ΕΖ 2,5

= = = , ∆Ζ 2

συνΖ 0,8ΕΖ 2,5

= = =


163.



Αν ω και φ, οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου, να βρείτε ποιες τιµές µπορούν

να πάρουν οι παρακάτω παραστάσεις.

α. Α 1 ηµω= + β. Β 3 2συνφ= − γ. Γ 2 ηµω 3συνφ= + −

Λύση

Γνωρίζουµε ότι 0 ηµω 1< < και 0 συνω 1< < .

Έτσι έχουµε:

α. 0 ηµω 1< < και προσθέτουµε σε όλα τα µέλη της ανισότητας το 1.

Εποµένως: 0 1 ηµω 1 1 1+ < + < + . Άρα 1 Α 2< < .

β. Ισχύει 0 συνφ 1< < , πολλαπλασιάζουµε τα µέλη της ανισότητας µε –2, οπότε αλ-

λάζει η φορά της ανισότητας.

∆ηλαδή: ( ) ( ) ( )2 0 2 συνφ 2 1 ή 0 2συνφ 2− ⋅ > − > − ⋅ > − > −Προσθέτουµε στα µέλη της ανισότητας το 3 και έχουµε:

( )3 0 3 2συνφ 3 2 ή 3 Β 1+ > − > + − > >

γ. Ισχύει 0 συνφ 1< < , πολλαπλασιάζουµε τα µέλη της ανισότητας µε –3, οπότε αλ-

λάζει η φορά της ανισότητας.

∆ηλαδή: ( ) ( ) ( )3 0 3 συνφ 3 1 ή 0 3συνφ 3− ⋅ > − > − ⋅ > − > −

Επίσης ισχύει 1 ηµω 0> > , προσθέτοντας κατά µέλη τις δύο τελευταίες ανισώσεις

έχουµε: 0 1 ηµω 3συνφ 3 0 ή 1 ηµω 3συνφ 3+ > − > − + > − > −Προσθέτουµε στα µέλη της ανίσωσης το 2 και έχουµε:

( )2 1 2 ηµω 3συνφ 2 3 ή 3 Γ 1+ > + − > + − > > −

Αν στο οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ = α, ΑΓ = β, ΑΒ = γ και υ το ύψος Α∆, να

δείξετε ότι το εµβαδόν Ε του τριγώνου ΑΒΓ είναι : 1

Ε α γ ηµΒ2

= ⋅ ⋅

Απόδειξη

Γνωρίζουµε ότι: 1

Ε α υ2

= ⋅ (1).

Θα υπολογίσουµε το υ και θα το αντικαταστήσουµε στη

σχέση (1).

Στο τρίγωνο ΑΒ∆ έχουµε:Α∆ υ

ηµΒ ή ηµΒΑΒ γ

= = .

Άρα υ γ ηµΒ= ⋅ . Έτσι ( )1 1Ε α γ ηµΒ ή Ε α γ ηµΒ

2 2= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅


164.



Να αποδείξετε τους παρακάτω τύπους:

α. 2ηµω 1 συν ω= − β. 2

συνω 1 ηµ ω= −

γ. 2

2

11 εφ ω

συν ω= + δ. 2 2

1 11

ηµ ω εφ ω= +

Όπου ω µία οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Απόδειξη

α. Αφού ισχύει 2 2ηµ ω συν ω 1+ = τότε:

2 2 2ηµ ω 1 συν ω ή ηµω 1 συν ω= − = −

β. 2 2 2συν ω 1 ηµ ω ή συνω 1 ηµ ω= − = −

γ.

22 2 2 22

2 2 2 2

1 ηµ ω συν ω ηµ ω συν ω ηµω1 εφ ω 1

συνωσυν ω συν ω συν ω συν ω

+ = = + = + = +

δ.

22 2 2 2

2 2 2 2 2

1 ηµ ω συν ω ηµ ω συν ω συνω 11 1

ηµωηµ ω ηµ ω ηµ ω ηµ ω εφ ω

+ = = + = + = +

Να υπολογίσετε τις πλευρές και τα εµβαδά των παρακάτω οξυγωνίων τριγώνων.

α. β.

E

Ä

ZÇ

1030

ï 45ï

γ.

Ë

Ê

ÌÍ

8

40ï

12

(Στη συνέχεια παραλείπουµε τις µονάδες των µηκών και των εµβαδών, θεωρώντας ότι

είναι m και m2 αντίστοιχα).

Λύση

α. Θα υπολογίσουµε την ΑΒ. Στο τρίγωνο ΑΒ∆:

ο Β∆ 3 3συν60 ή 0,5 ή 0,5 ΑΒ 3 ή ΑΒ ή ΑΒ 6

ΑΒ ΑΒ 0,5= = ⋅ = = =

Στις ασκήσεις που µας ζητείται να αποδείξουµε ισότητα µεταξύ τριγωνοµετρικών

αριθµών, πολλές φορές την µονάδα την αντικαθιστούµε µε 2 2ηµ ω συν ω+ .


165.



Στο ίδιο τρίγωνο µπορούµε να βρούµε το ύψος Α∆.

ο Α∆ Α∆ηµ60 ή 0,86 ή Α∆ 6 0,86 ή Α∆ 5,16

ΑΒ 6= = = ⋅ =

Εφόσον γνωρίζουµε τα Α∆ και ΑΓ µπορούµε στο τρίγωνο Α∆Γ να βρούµε µε Πυθα-

γόρειο την ∆Γ. ∆ηλαδή:

2 2 2 2 2 2 2 2∆Γ ΑΓ Α∆ ή ∆Γ 8 5,16 ή ∆Γ 64 26,6 ή ∆Γ 37,4 ή ∆Γ 6,1= − = − = − = =

Άρα ΒΓ Β∆ ∆Γ 3 6,1 9,1= + = + = και 1 1

Ε ΒΓ Α∆ 9,1 5,16 232 2

= ⋅ = ⋅ = .

β. Στο τρίγωνο ∆ΕΗ µπορούµε να υπολογίσουµε τις ∆Η και ΕΗ:

Για την ΕΗ: ο ΕΗ ΕΗηµ30 ή 0,5 ή ΕΗ 10 0,5 ή ΕΗ 5

∆Ε 10= = = ⋅ =

ο ∆Η ∆Ησυν30 ή 0,86 ή ∆Η 10 0,86 ή ∆Η 8,6

∆Ε 10= = = ⋅ =

Το ορθογώνιο τρίγωνο ∆ΗΖ έχει οξεία γωνία ίση µε 45ο, άρα είναι ισοσκελές. Έτσι:

ΗΖ ∆Η ή ΗΖ 8,6= = .

Εφαρµόζουµε το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ∆ΗΖ και έχουµε:

2 2 2 2 2 2 2∆Ζ ∆Η ΗΖ ή ∆Ζ 8,6 8,6 ή ∆Ζ 147,92 ή ∆Ζ 12,2= + = + = =

Ακόµη ΕΖ ΕΗ ΗΖ 5 8,6 13,6= + = + = και 1 1

Ε ΕΖ ∆Η 13,6 8,6 58,52 2

= ⋅ = ⋅ ⋅ = .

γ. Θα υπολογίσουµε τις ΚΛ και ΛΝ στο τρίγωνο ΚΛΝ.

ο ΚΝ 8 8ηµ40 ή 0,64 ή 0,64 ΚΛ 8 ή ΚΛ ή ΚΛ 12,5

ΚΛ ΚΛ 0,64= = ⋅ = = =

Ας χρησιµοποιήσουµε την εφαπτοµένη της γωνίας οΛ 40= .

ο ΚΝ 8 8εφ40 ή 0,84 ή 0,84 ΛΝ 8 ή ΛΝ ή ΛΝ 9,5

ΛΝ ΛΝ 0,84= = ⋅ = = =

Έτσι ΝΜ ΛΜ ΛΝ 12 9,5 2,5= − = − = .

Με το Πυθαγόρειο θεώρηµα στο τρίγωνο ΚΜΝ υπολογίζουµε την ΚΜ.

Έτσι: 2 2 2 2 2 2 2ΚΜ ΚΝ ΝΜ ή ΚΜ 8 2,5 ή ΚΜ 64 6,25 ή= + = + = +

2ΚΜ 70,25 ή ΚΜ 8,4= =Το εµβαδόν του τριγώνου ΚΛΜ είναι:

1 1E ΛΜ ΚΝ 12 8 48

2 2= ⋅ = ⋅ ⋅ =


166.



Να αποδείξετε ότι αν το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )οΑ 90= έχει µια οξεία γωνία

ίση µε 30ο, τότε η απέναντι αυτής της γωνίας κάθετη πλευρά ισούται µε το µισό της

υποτείνουσας.

Απόδειξη

Έστω ότι η γωνία Γ είναι ίση µε 30ο, θα αποδείξουµε ότι

ΒΓΑΒ

2= .

Ισχύει: ο ΑΒ ΑΒ ΒΓ

ηµ30 ή 0,5 ή ΑΒ 0,5 ΒΓ ή ΑΒΒΓ ΒΓ 2

= = = ⋅ =

Αν είναι ο

ω 45= και οφ 60= , να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων:

2Α 2συνω συνφ ηµ ω 2ηµω ηµφ= ⋅ + − ⋅

( ) ( ) ( )2 2Β ηµω συνω συνω ηµω συνφ ηµφ= − + + − −

Λύση

Αφού οω 45= θα είναι

ο 2ηµω ηµ45

2= = και

ο 2συνω συν45

2= = .

Οµοίως όταν οφ 60= έχουµε ο 3

ηµφ ηµ602

= = και ο 1

συνφ συν602

= = . Εποµένως:

2

2 2 1 2 2 3Α 2συνω συνφ ηµ ω 2ηµω ηµφ 2 2

2 2 2 2 2

= ⋅ + − ⋅ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =

2 2 6 2 1 6

2 4 2 2

+ −= + − =

( ) ( ) ( )2 2Β ηµω συνω συνω ηµω συνφ ηµφ= − + + − − =

2

2= 2

2−

2 2 2

2 2 1 3 20

2 2 2 2

+ + − − = +

2

2

2 2

1 3

2

−− =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22

2

1 3 1 3 1 32 2

4 42

− − += − = − =

Να υπολογίσετε την οξεία γωνία ω ενός ορθογωνίου τριγώνου, αν ισχύει:

α. 2ηµω 1 0− = β. 22συν ω 3συνω 0− =


167.



Αν ω, φ οξείες γωνίες, ισχύουν τα

εξής:

1. Αν ηµω = ηµφ, τότε ω = φ

2. Αν συνω = συνφ, τότε ω = φ

3. Αν εφω = εφφ, τότε ω = φ

Λύση

α. Λύνουµε την εξίσωση µε άγνωστο το ηµω.

12ηµω 1 0 ή 2ηµω 1 ή ηµω

2− = = =

Η οξεία γωνία που έχει ηµίτονο 1

2 είναι η γωνία των 30ο. Άρα ο

ω 30= .

β. Εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα στην παράσταση και έχουµε:

( )2συνω 0

2συν ω 3 συνω 0 ή συνω 2συνω 3 0 ή ή2συνω 3 0

=− = − = − =

συνω 0συνω 0

ή 32συνω 3 συνω

2

==

= =

Άρα συνω = 0 ή 3

συνω2

= .

Επειδή η ω είναι οξεία γωνία ορθογωνίου

τριγώνου τότε θα είναι συνω > 0, άρα η

συνω = 0 απορρίπτεται.

Εποµένως 3

συνω2

= .

Αλλά η γωνία που έχει συνηµίτονο ίσο µε 3

2 είναι η 30ο, άρα ο

ω 30= .


168.



1. Στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα να υπολογίσετε το ηµίτονο και συνηµίτονο των

οξειών γωνιών:

α. β. γ.

2. Αν ω, φ οξείες γωνίες ορθογωνίων τριγώνων, να βρείτε ποιες τιµές µπορούν να

πάρουν οι παραστάσεις:

α. Α 2 ηµφ= − β. Β 4 2συνφ= + γ. Γ ηµω 2συνφ 1= − +

3. Να υπολογίσετε τις πλευρές και τα εµβαδά των παρακάτω οξυγωνίων τριγώνων.

α. β. γ.

4. Αν είναι οω 30= και ο

φ 45= , να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων.

Α 2συνω ηµφ 2συνφ ηµω= ⋅ + ⋅

Β συνφ ηµφ ηµω συνω= ⋅ + ⋅ , ( )2Γ ηµφ συνφ 2ηµω 4ηµφ συνφ= − + − ⋅


169.



5. α. Να υπολογίσετε το ηµίτονο και το συνηµίτονο των οξειών

γωνιών ορθογωνίου τριγώνου του οποίου η µία κάθετη πλευ-

ρά είναι διπλάσια της άλλης.

β. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι η υπο-

τείνουσά του διπλάσια µιας κάθετης πλευράς, θα είναι η α-

πέναντι της κάθετης πλευράς οξεία γωνία ίση µε 30ο ; ∆ικαι-

ολογήστε την απάντησή σας.

6. Να υπολογίσετε την οξεία γωνία ω αν ισχύει:

α. ( )6 συνω 1 3 0− + = β. 22ηµ ω ηµω 0− =

7. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )οΑ 90= είναι ΒΓ = 10cm και ˆ ˆΒ 2Γ= . Να υπολογίσε-

τε τις κάθετες πλευρές του.

8. Μπορεί το ηµίτονο µιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου να ισούται µε την

εφαπτοµένη της ίδιας γωνίας; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.


Α 90= είναι ηµΒ συνΒ= . Ποιο είναι το συµπέ-

ρασµά σας για το τρίγωνο;

10. Αν φ και ω είναι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου, να εξετάσετε ποιες από

τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος. Σε κάθε περίπτωση να

δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

α. ηµω · συνφ > 0 β. ηµφ · ηµω < 0 γ. ηµφ + συνω = 0

δ. ηµφ = συνω ε. εφω · συνω > 1 στ. ηµω + συνω < 2

ζ. 1

ηµω 1εφω

⋅ <


170.



Ερώτηση 1

Αν οι γωνίες ω και φ είναι οξείες ενός ορθογωνίου τριγώνου, να αποδείξετε:

i. ηµ2ω + ηµ2φ = 1 ii. συνφ

εφωηµφ

=

Ερώτηση 2

Για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού α έχουν νόηµα οι παρακάτω ισότητες,

όπου ω οξεία γωνία:

i. ηµω = α ii. συνω = α iii. εφω = α

Άσκηση 1

Αν ω είναι οξεία γωνία, να αποδείξετε:

i. ηµ2ω = 2

2

εφ ω

1 εφ ω+ii. 2 2 2 2ηµ ω εφ ω εφ ω ηµ ω⋅ = −

Άσκηση 2

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, φέρνουµε το ύψος Α∆ = υ. Να δείξετε ότι: ηµΒ ηµΓ

β γ=

Άσκηση 3

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

α. 2 ο 2 ο 2 ο 2 ο 2 ο

ο ο

συν 30 ηµ 45 συν 45 ηµ 60 συν 60Α

2ηµ30 συν60

+ ⋅ − −=⋅

β. ο

ο

ο ο

ηµ45Β εφ45

2συν45 ηµ30= −

⋅



¸ííïéá ôçò óõíÜñôçóçò¸ííïéá ôçò óõíÜñôçóçò¸ííïéá ôçò óõíÜñôçóçò¸ííïéá ôçò óõíÜñôçóçò¸ííïéá ôçò óõíÜñôçóçò

ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóçÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóçÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóçÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóçÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç


ÐïóÜ áíÜëïãáÐïóÜ áíÜëïãáÐïóÜ áíÜëïãáÐïóÜ áíÜëïãáÐïóÜ áíÜëïãáÅöáñìïãÝòÅöáñìïãÝòÅöáñìïãÝòÅöáñìïãÝòÅöáñìïãÝò

ÃñáììéêÝò óõíáñôÞóåéòÃñáììéêÝò óõíáñôÞóåéòÃñáììéêÝò óõíáñôÞóåéòÃñáììéêÝò óõíáñôÞóåéòÃñáììéêÝò óõíáñôÞóåéò


ÐïóÜ áíôéóôñüöùò áíÜëïãáÐïóÜ áíôéóôñüöùò áíÜëïãáÐïóÜ áíôéóôñüöùò áíÜëïãáÐïóÜ áíôéóôñüöùò áíÜëïãáÐïóÜ áíôéóôñüöùò áíÜëïãá

Ç óõíÜñôçóç Ç óõíÜñôçóç Ç óõíÜñôçóç Ç óõíÜñôçóç Ç óõíÜñôçóç yx

α=


ÓõíáñôÞóåéòÓõíáñôÞóåéò



Â


10¸ííïéá ôçò óõíÜñôçóçò

ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

¸ííïéá ôçò óõíÜñôçóçò

ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

Συνάρτηση στα µαθηµατικά ονοµάζεται η συσχέτιση δύο

µεγεθών µε συγκεκριµένο τρόπο εκφράζοντας το ένα µε την

βοήθεια του άλλου.

Τι ονοµάζουµε τύπο µιας συνάρτησης;

Τύπο συνάρτησης ονοµάζουµε τον µαθηµατικό τύπο

που συνδέει τις µεταβλητές (µεγέθη) µεταξύ τους. Συνηθί-

ζουµε τους τύπους των συναρτήσεων να τους γράφουµε

έτσι ώστε να είναι λυµένοι ως προς την µία µεταβλητή.

π.χ. y = 3x , y = – x + 4

Τι ονοµάζουµε πίνακα τιµών µιας συνάρτησης;

O πίνακας που µας δείχνει τις αντίστοιχες τιµές της

µίας µεταβλητής ως προς την άλλη, ονοµάζεται πίνακας

τιµών της συνάρτησης.

Τι είναι η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης;

Γνωρίζουµε ότι κάθε ζεύγος αριθµών µπορεί να πα-

ρασταθεί στο επίπεδο µε ένα σηµείο . Έτσι λοιπόν αν πά-

ρουµε τα ζεύγη του πίνακα τιµών της συνάρτησης και τα

παραστήσουµε στο επίπεδο, το σύνολο των σηµείων που

προκύπτει ονοµάζεται γραφική παράσταση της συνάρτησης


174.

Έννοια της συνάρτησης - Γραφική παράσταση

Συναρτήσεις

Να βρείτε τις τιµές της συνάρτησης y = 3x για τους αριθµούς -1,0,1,2,3. Έπειτα να

κατασκευάσετε τον πίνακα τιµών για αυτές .

Λύση

Για να βρούµε την τιµή µιας συνάρτησης για έναν αριθµό αρκεί να αντικαταστήσουµε

όπου x µε τον αριθµό.

Άρα για x = –1 έχουµε y 3 ( 1) 3= ⋅ − = −

x = 0 y 3 0 0= ⋅ =

x = 1 y 3 1 3= ⋅ =

x = 2 y 3 2 6= ⋅ =

x = 3 y 3 3= ⋅Μαζεύοντας τώρα όλες αυτές τις τιµές σε ένα πίνακα έχουµε τον πίνακα τιµών:

Να κάνετε πίνακα τιµών της συνάρτησης y = 2x2 για τις τιµές -2,-1,0,1,2

Λύση

Και πάλι πρέπει να κάνoυµε τις πράξεις για να βρούµε τις τιµές της συνάρτησης για

τους αριθµούς που µας έχουν δώσει .

Έτσι έχουµε: x = –2 2y 2 ( 2) 2 4 8= ⋅ − = ⋅ =

x = –1 2y 2 ( 1) 2 1 2= ⋅ − = ⋅ =

x = 0 2y 2 (0) 2 0 0= ⋅ = ⋅ =

x = 1 2y 2 1 2 1 2= ⋅ = ⋅ =

x = 2 2y 2 2 2 4 8= ⋅ = ⋅ =

Άρα θα έχουµε τον πίνακα τιµών:


175.



Ο Γιώργος πετάει µία µπάλα προς τα πάνω. Αν µας είναι γνωστό ότι το ύψος που

αποκτά η µπάλα µας δίνεται από την σχέση 2S 100t 4t= − , όπου S είναι το ύψος που

έχει η µπάλα σε m και t ο χρόνος σε sec να υπολογίσετε :

α. Το ύψος που θα έχει η µπάλα για t = 2sec.

β. Το ύψος που θα έχει η µπάλα για t = 3sec

Λύση

Εφόσον µας δίνεται ο τύπος που συνδέει το ύψος που αποκτά η µπάλα σε σχέση µε τον

χρόνο που περνά δεν µας είναι δύσκολο να υπολογίσουµε την τιµή της συνάρτησης

για t = 2sec και t = 3sec. Άρα:

α. Για t = 2sec έχουµε: 2S 100 2 4 2 200 4 4 200 16 184m= ⋅ − ⋅ = − ⋅ = − =β. Για t = 3sec έχουµε: 2S 100 3 4 3 300 4 9 300 36 264m= ⋅ − ⋅ = − ⋅ = − =

∆ίνεται η συνάρτηση y = λ · x + 4, όπου λ είναι ένας αριθµός. Αν

γνωρίζουµε ότι ο διπλανός πίνακας είναι πίνακας τιµών της συνάρτη-

σης µπορούµε να υπολογίσουµε το λ;

Λύση

Αφού ο πίνακας που µας δίνεται είναι πίνακας τιµών της συνάρτηση καταλαβαίνουµε

ότι αν στον τύπο της συνάρτησης αντικαταστήσουµε όπου x το 1 το y θα ισούται µε 5.

∆ηλαδή: 5 λ 1 4= ⋅ + .

Έχουµε τώρα να λύσουµε µια πρωτοβάθµια εξίσωση µε άγνωστο το λ.

Άρα: 5 λ 1 4 ή λ 5 4 ή λ 1= ⋅ + = − =

Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών αν γνωρίζετε ότι είναι ο πίνακας της

συνάρτησης: y 2x 5= − .

Λύση

Για x = 1 έχουµε: y 2 1 5 2 5 3= ⋅ − = − = −

Για y = 9 έχουµε: 9 2x 5 ή 9 5 2x ή 2x 14 ή x 7= − + = = =

Για y = 1 έχουµε: 1 2x 5 ή 1 5 2x ή 2x 6 ή x 3= − + = = =

Για x = 0 έχουµε: y 2 0 5 0 5 5= ⋅ − = − = −

Για x = 10 έχουµε: y 2 10 5 20 5 15= ⋅ − = − =


176.



Και έτσι τελικά ο πίνακας γίνεται:

x 1

1

0 10

y 9 -5 157

7 3

Να προσδιορίσετε τα α και β στο τύπο της συνάρτησης y αx β= + , αν γνωρίζετε ότι

αυτή έχει για γραφική παράσταση την ευθεία ΑΒ:

Λύση

Βλέπουµε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησής διέρχε-

ται από τα σηµεία Α(0,4) και Β(2,0). Άρα οι συντεταγµένες

αυτών των σηµείων θα επαληθεύουν τον τύπο της συνάρτη-

σης .

∆ηλαδή:

Για το Α(0,4) έχουµε: 4 α 0 β ή 4 β ή β 4= ⋅ + = =

Για το Β(2,0) έχουµε: 0 α 2 β ή 0 2α 4 ή 2α 4 ή α 2= ⋅ + = + = − = −

Και έτσι τελικά έχουµε τον τύπο της συνάρτησης: y 2x 4= − +

Να απαντήσετε και να δικαιολογήσετε ποιες από τις παρακάτω γραφικές παραστά-

σεις είναι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων:

1. 2.

3. 4.

Λύση

Γνωρίζουµε ότι σε µια συνάρτηση για κάθε τιµή του x αντιστοιχεί µια και µόνη τιµή

του y.


177.



Αν µια καµπύλη είναι γραφική παράσταση συνάρτησης δεν µπορούµε να φέρουµε

παράλληλη ευθεία µε τον yy' που να τέµνει την καµπύλη σε δύο ή περισσότερα σηµεία.

Στην συγκεκριµένη άσκηση παρατηρούµε ότι:

1. Μπορούµε να φέρουµε ευθεία παράλληλη µε τον yy' που να τέµνει την γραφική

παράσταση σε δύο της σηµεία. Άρα δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης .

2. ∆εν µπορούµε να φέρουµε ευθεία παράλληλη µε τον yy' που να τέµνει την γραφική

παράσταση σε δύο σηµεία. Άρα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.

3. ∆εν µπορούµε να φέρουµε ευθεία παράλληλη µε τον yy' που να τέµνει την γραφική

παράσταση σε δύο σηµεία. Άρα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.

4. Μπορούµε να φέρουµε ευθεία παράλληλη µε τον yy' που να τέµνει την γραφική

παράσταση σε δύο της σηµεία. Άρα δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.

Αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y x 2= + είναι ευθεία

γραµµή να υπολογίσετε τα σηµεία τοµής αυτής µε τους άξονες συντεταγµένων. Στη

συνέχεια να κατασκευάσετε αυτή την ευθεία .

Λύση

Η ευθεία τέµνει τον άξονα τετµηµένων x΄x σηµαίνει ότι y = 0.

∆ηλαδή: 0 x 2 ή x 2= + = −Άρα τέµνει τον άξονα xx' στο Α(–2,0).

Η ευθεία τέµνει τον άξονα τεταγµένων y΄y σηµαίνει ότι x = 0.

∆ηλαδή: y 0 2 ή y 2= + =Άρα τέµνει τον άξονα yy' στο Β(0,2).Πρέπει να θυµηθούµε

ότι από δύο σηµεία περνάει µία και µόνο ευθεία. Έτσι λοιπόν

θα έχουµε το διπλανό σχήµα.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

Λύση

Βλέπουµε ότι είναι ένας πίνακας τιµών δύο συναρτήσεων.

Η µία συνάρτηση είναι η 2y x x 1= + + και η άλλη είναι η 2

1z

x 1=

+ . Κάνουµε αντι-


178.



κατάσταση όπου x τις τιµές –1, 1, –2, 2 και βρίσκουµε τις αντίστοιχες τιµές των y και

z. Έτσι έχουµε τον παρακάτω πίνακα:

x -1 1 -2 2

2y x x

2

1

1z

x

1 1 3 3 7

12

12

15

15

Ο ∆ηµήτρης ξέρει ότι το κόστος για τα SMS που στέλνει από το κινητό του δίνεται

από την σχέση y 0,5x= , όπου x είναι ο αριθµός των µηνυµάτων και y είναι το

κόστος αυτών σε ευρώ .Να υπολογίσετε πόσο θα στοιχίσει στον ∆ηµήτρη αν στείλει

10, 15, 20, 25 SMS.

Λύση

Έχουµε τη συνάρτηση y 0,5x= και πρέπει να φτιάξουµε ένα πίνακα τιµών της µε τιµές

για το x τις 10, 15, 20, 25 .Είναι:

Να υποθέσουµε ότι οι γραφικές παραστάσεις που έχουµε

στο διπλανό σχήµα µας προκύπτουν από τη συνάρτηση που

συνδέει την ιπποδύναµη δύο µοτοσικλετών συναρτήσει των

στροφών των κινητήρων τους. Να περιγράψετε µε λόγια τα

συµπεράσµατα που βγάζουµε από τις γραφικές παραστάσεις

για τις µοτοσικλέτες αυτές . Ποια νοµίζετε ότι είναι καλύτε-

ρη;

Λύση

Ας λέµε για λόγους ευκολίας την µοτοσικλέτα µε την κόκκινη γραφική παράσταση

κόκκινη και την µοτοσικλέτα µε την πράσινη γραφική παράσταση πράσινη.Έτσι λοι-

πόν µπορούµε να καταλάβουµε από τις γραφικές παραστάσεις ότι στις χαµηλές στρο-

φές η κόκκινη µοτοσικλέτα έχει µεγαλύτερη ιπποδύναµη από την πράσινη. Στη συνέ-

χεια και συγκεκριµένα στις µεσαίες στροφές του κινητήρα, η πράσινη µοτοσικλέτα δεί-

χνει ισχυρότερη από την κόκκινη και τέλος στις υψηλές στροφές η κόκκινη παίρνει και

πάλι προβάδισµα. Βέβαια κάποιος µπορεί να πει ότι η κόκκινη είναι καλύτερη µοτοσι-

κλέτα από την πράσινη αλλά αν σκεφτούµε ότι στην καθηµερινή χρήση ενός οχήµατος

δουλεύει στις µεσαίες στροφές µάλλον θα ήταν καλύτερη αγορά αυτή της πράσινης.


179.



1. Για τις συναρτήσεις y 2x 4= − και 2z x 2x 8= − + να συµπληρώσετε τον πίνακα

που ακολουθεί:

2. Αν ξέρετε ότι η x 1

y3

+= έχει γραφική παράσταση µία ευθεία γραµµή, βρείτε σε ποια

σηµεία τέµνει τους άξονες των συντεταγµένων .

3. Να απαντήσετε ποιες από τις παρακάτω γρµµές είναι γραφικές παραστάσεις συναρ-

τήσεων .


180.



4. Να προσδιορίσετε τα α και β αν ξέρετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

y αx β= + διέρχεται από τα σηµεία Α(0,2) και Β(1,–2).

5. Να συµπληρώσετε τον πίνακα τιµών που ακολουθεί

σύµφωνα µε τα συµπεράσµατα που µπορείτε να βγάλε-

τε από τη γραφική παράσταση.

6. Να προσδιορίσετε το λ εάν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της ( )y 8λ 1 x 15= + +

διέρχεται από το σηµείο Α(1,0) .

7. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y x= − και y x=τέµνονται στο σηµείο Ο(0,0) .

8. Να αντιγράψετε εκείνο το µέρος της διπλανής καµπύ-

λης στο τετράδιο σας, ώστε να αποτελεί γραφική παρά-

σταση συνάρτησης .

0 1 2 3 4

1

2

3

4


181.



Ερώτηση 1

α. Τι ονοµάζουµε συνάρτηση;

β. Τι ονοµάζουµε γραφική παράσταση συνάρτησης;

γ. Για κάθε τιµή του x πόσες τιµές του y παίρνουµε από µία συνάρτηση;

Ερώτηση 2

Βλέποντας µία καµπύλη πως µπορούµε να καταλάβουµε ότι αυτή είναι γραφική

παράσταση µιας συνάρτησης .

Άσκηση 1

Αν γνωρίζουµε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y αx β= + είναι ευθεία

γραµµή και διέρχεται από τα σηµεία Α(0,5) και Β(1,4) να υπολογίσετε τα α και β και στη

συνέχεια να τη σχεδιάσετε.

Άσκηση 2

Αν γνωρίζετε ότι x 3

y4

−= και 3z x x 2= − +

να συµπληρώσετε τον διπλανό πίνακα.

Άσκηση 3

Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y 3x= και y 2x= −διέρχονται και οι δύο από το σηµείο Ο(0,0).



Â


11ÐïóÜ áíÜëïãá - ÅöáñìïãÝò

ÃñáììéêÝò óõíáñôÞóåéò

ÐïóÜ áíÜëïãá - ÅöáñìïãÝò

ÃñáììéêÝò óõíáñôÞóåéò

Πότε δύο ποσά ονοµάζονται ανάλογα ;

∆υο ποσά ονοµάζονται ανάλογα όταν πολλαπλα-

σιάζοντας τις τιµές του ενός ποσού µε έναν αριθµό, πολλα-

πλασιάζονται και οι αντίστοιχες τιµές του άλλου µε τον

ίδιο αριθµό.

Πως καταλαβαίνουµε ότι δύο ποσά είναι ανάλογα

και ποια συνάρτηση τα συνδέει;

∆υο ποσά είναι ανάλογα όταν ο λόγος των αντιστοί-

χων τιµών τους είναι σταθερός. Αν έχουµε δύο ποσά που

είναι ανάλογα και έστω x οι τιµές του ενός ποσού και y του

άλλου, τότε οι τιµές των ποσών συνδέονται µε τη συνάρτη-

ση y αx= .

Τι γνωρίζετε για την συνάρτηση y = αx ;

α. Η συνάρτηση y αx= συνδέει τις τιµές αναλόγων

ποσών.

β. Η γραφική παράσταση αυτής είναι

ευθεία γραµµή που περνάει από την

αρχή των αξόνων Ο(0,0).

γ. Για α > 0 η ευθεία y αx= “ανεβαί-

νει” προς τα δεξιά:


184.

Ποσά ανάλογα - Εφαρµογές - Γραµµικές συναρτήσεις


Για α < 0 ηευθεία y αx= “κατεβαί-

νει” προς τα δεξιά:

Τι γνωρίζεται για τη γραφική παράσταση της συ-

νάρτησης y = αx +β ;

Η γραφική παράσταση της y αx β= + είναι µια ευ-

θεία γραµµή. Για αυτό το λόγο όλες οι συναρτήσεις αυτής

της µορφής ονοµάζονται γραµµικές συναρτήσεις.

• Αν β = 0 έχουµε την y αx=• Αν β 0≠ τότε:

α. Αν α > 0, είναι µια ευθεία γραµµή που “ανεβαίνει” προς

τα δεξιά και δεν περνάει από την αρχή των αξόνων.

y=

x+

á

â

á>0

â 0

y

x

β. Αν α < 0 είναι µια ευθεία γραµµή που “κατεβαίνει” προς

τα δεξιά και δεν περνάει από την αρχή των αξόνων.

y=

x+

á

â

á<0

â 0

y

x

γ. Αν α = 0 τότε έχουµε την y β= που είναι µια ευθεία

γραµµή παράλληλη µε τον άξονα xx' :

y = â

y = // xxâ ´

y

x


185.



∆ίνονται οι παρακάτω πίνακες που περιέχουν τιµές των ποσών x και y. Να ελέγξετε αν

τα ποσά είναι ανάλογα και αν ναι, να βρείτε τη µαθηµατική σχέση που τα συνδέει:

α. β.

Λύση

α. Για να είναι δύο ποσά µεταξύ τους ανάλογα αρκεί να δείξουµε ότι ο λόγος των

αντιστοίχων τιµών είναι σταθερός. Έχουµε: 2 4 6 8

21 2 3 4

= = = =

Άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα και y 2x= .

β. Όµοια και σε αυτόν τον πίνακα έχουµε:y 4 3 2 1

x 16 12 8 4= = = = .

Άρα και εδώ τα πόσα x και y είναι ανάλογα µεταξύ τους και 1

y x4

= .

Γνωρίζοντας ότι η κλίµακα του παρακάτω χάρτη είναι 1:300.000 να υπολογίσετε

την απόσταση Σκόπελος - Κλήµα.

Λύση

Αν µετρήσουµε στον χάρτη µε τον χάρακα την

απόσταση Σκόπελος-Κλήµα είναι 3cm περίπου.

Ισχύει:

απόστασηστο χάρτη

κλίµακαπραγµατικήαπόσταση

=

Εδώ έχουµε απόσταση στο χάρτη = 3cm πραγ-

µατική απόσταση είναι το ζητούµενο και η κλί-

µακα είναι 1

300.000. Άρα

3cm 1

x 300.000= .


186.



Λύνουµε την εξίσωση και έχουµε x 900.000cm= , δηλαδή 9km.

Άρα η απόσταση Σκόπελος - Κλήµα είναι 9 km περίπου.

Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y 2x= και y x= − .

Έχουν κοινό σηµείο οι γραφικές τους παραστάσεις;

Λύση

Καταρχήν ξέρουµε ότι και οι δύο γραφικές παραστάσεις είναι ευθείες που περνούν από

την αρχή των αξόνων µια που οι συναρτήσεις είναι της µορφής y αx= . Κατασκευά-

ζουµε τους πίνακες τιµών. Αρκούν δύο σηµεία αφού είναι γνωστό ότι δύο σηµεία

καθορίζουν την θέση µιας ευθείας.

Για την y 2x= έχουµε:

Για την y x= − έχουµε:

Σχεδιάζουµε τις γραφικές παραστάσεις:

Παρατηρούµε ότι οι δύο ευθείες έχουν κοινό σηµείο την αρχή

των αξόνων.

∆ίνεται ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y αx= περνάει από το σηµείο

Α(–4, 20). Να προσδιορίσετε το α και έπειτα να κάνετε γραφική παράσταση της

συνάρτησης

Λύση

Εφόσον η γραφική παράσταση της συνάρτησης περνάει από το

Α(–4,20) σηµαίνει ότι οι συντεταγµένες του σηµείου αυτού επα-

ληθεύουν την y = αx.

∆ηλαδή: 20 4α ή α 5= − = − . Άρα η συνάρτηση είναι η y 5x= − .

Περνάει από τα σηµεία Ο(0,0)και Α(–4,20) και έχει την γραφική

παράσταση .

Οι γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες µε τους αριθµούς 3, 4, 5. Να υπολογίσετε τις

γωνίες αυτές.

Λύση

Το γεγονός ότι οι γωνίες του τριγώνου είναι ανάλογες των αριθµών 3, 4, 5 σηµαίνει ότι:

x y z

3 4 5= =

y = 2x

y = -x

y

y´

x´ xÏ

y

y´

x´ x-4

2


187.



Είναι γνωστό ότι το άθροισµα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ίσο µε 180 µοίρες.

∆ηλαδή: x y z 180+ + =

Όµωςx y z x y z 180

153 4 5 3 4 5 12

+ += = = = =+ +

Άρα x

153

= , y

154

= , z

155

= και τελικά x 45= , y 60= και z 75= .

∆ίνεται η συνάρτηση: y x 4= − +α. Να βρείτε σε ποια σηµεία η γραφική της παράσταση τέµνει τους άξονες συντε-

ταγµένων.

β. Αν Α σηµείο τοµής της ευθείας µε τον άξονα xx' και Β το σηµείο τοµής µε τον

άξονα yy' , τι είναι το τρίγωνο ΟΑΒ ;

Λύση

α. Σηµείο τοµή µε τον άξονα xx'

Για y = 0 έχουµε: y x 4 ή 0 x 4 ή x 4= − + = − + =Άρα το σηµείο είναι Α(4,0).

Σηµείο τοµής µε τον άξονα yy'

Για x = 0 έχουµε: y x 4 ή y 0 4 ή y 4= − + = + =Άρα το σηµείο είναι Β(0,4).Έτσι έχουµε την γραφική παράστα-

ση του διπλανού σχήµατος.

β. Το τρίγωνο ΟΑΒ έχει δύο πλευρές ίσες συνεπώς είναι ισοσκελές.

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

α. y x και y x= = − β. 1 1

y x 4 και y x 82 2

= + = −

είναι µεταξύ τους παράλληλες.

Λύση

α. Οι γραφικές παραστάσεις των y x και y x= = − δεν είναι παράλληλες διότι έχουν

διαφορετικά α. Η y = x έχει α = 1, ενώ η y = –x, έχει α = –1 .

Άρα δεν είναι παράλληλες.

4

4

y=

- x+

4

y=

- x+

4

O

B

A

Προσοχή ! ! !

∆υο ευθείες της µορφής y αx β= + , είναι παράλληλες όταν έχουν το ίδιο α

π.χ. Η y 3x 4= + είναι παράλληλη µε την y 3x 3= − , διότι έχουν ίδιο α = 3.


188.



β. Οι γραφικές παραστάσεις των 1 1

y x 4 και y x 82 2

= + = − είναι µεταξύ τους παράλ-

ληλες διότι έχουν και οι δύο 1

α2

= .

Να προσδιορίσετε το λ έτσι ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

( )y 2x 4 και y 3λ 7 x 8= + = + − να είναι µεταξύ τους παράλληλες

Λύση

Οι γραφικές παραστάσεις των γραµµικών συναρτήσεων y 2x 4= + και

( )y 3λ 7 x 8= + − θα είναι µεταξύ τους παράλληλες όταν έχουν το ίδιο α .

∆ηλαδή θα πρέπει 5

3λ 7 2 ή 3λ 5 ή λ3

+ = = − = −

Άρα θα είναι µεταξύ τους παράλληλες όταν 5

λ3

= − .

Το συµβόλαιο µε την εταιρεία κινητής τηλεφωνίας που συνεργάζεται ο Γιώργος τον

υποχρεώνει να καταβάλει µηνιαίο πάγιο 15€ και 0,5€ για κάθε SMS. Να υπολογίσε-

τε πόσα χρήµατα πρέπει να πληρώσει ο Γιώργο σε ένα µήνα εάν στείλει 75 SMS.

Λύση

Τα χρήµατα που πληρώνει ο Γιώργος σε σχέση µε τα µηνύµατα που στέλνει δίνονται

από την συνάρτηση y 15 0,5x= + , όπου y είναι το χρηµατικό ποσό και x είναι ο αριθ-

µός µηνυµάτων που στέλνει. Άρα η τιµή της συνάρτησης για x = 75 µας δίνει το τελικό

ποσό. ∆ηλαδή: y 15 0,5 75 52,5= + ⋅ =

Ο Πέτρος έχει σε µοντέλο ένα Ford Focus WRC σε

κλίµακα 1:50. Μετράει µε το µέτρο του και βρίσκει ότι

είναι 8cm. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να υπολογίσει

το µήκος του πραγµατικού Ford Focus WRC ;

Λύση

Και εδώ θα χρησιµοποιήσουµε τον τύπο που χρησιµοποίησαµε στο πρόβληµα 2 µε το

χάρτη:µέγεθος µοντέλου

κλίµακαπραγµατικόµέγεθος

=


189.



Το µοντέλο ξέρουµε ότι έχει µήκος 80cm και ψάχνουµε το πραγµατικό µέγεθος .

Άρα:8 1

ή x 50 8 ή x 400cmx 50

= = ⋅ =

∆ηλαδή το Ford Focus WRC έχει µήκος 400cm = 4m .

Να αντιστοιχίσετε τους τύπους των συναρτήσεων της

στήλης Α, µε τις γραφικές παραστάσεις της στήλης Β.

Λύση

1-α. ∆ιότι είναι της µορφής: y = αx, µε α > 0.

2-δ. ∆ιότι είναι της µορφής: y = αx + β, µε α < 0.

3-β. ∆ιότι είναι της µορφής: y = αx + β, µε α > 0.

3-γ. ∆ιότι είναι της µορφής: y = αx, µε α < 0.

1y x

2y x

3y x

4y x

A B

1.

2.

3.

4.

á

â

ã

ä

.

.

.

.


190.



1. Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης y = αx, αν ξέρετε ότι η γραφική παρά-

σταση αυτή διέρχεται από το σηµείο Α(1,7). Στη συνέχεια να κάνετε και την γραφική

παράσταση αυτής.

2. Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των γραµµικών συναρτήσεων y = x και

1y x

3= είναι παράλληλες µεταξύ τους. Στην συνέχεια να κάνετε και τις γραφικές

παραστάσεις και των δύο συναρτήσεων στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων.

3. Στο διπλανό χάρτη, να διαλέξετε δύο χωριά της

Τήνου και να υπολογίσετε την χιλιοµετρική τους

απόσταση εάν γνωρίζετε ότι η κλίµακα του χάρ-

τη είναι 1:300.000.

4. Εάν έχουµε δύο χάρτες του ιδίου µέρους στη διάθεση µας όπου ο 1ος έχει κλίµακα

1:300.000 και ο 2ος έχει κλίµακα 1:500000, ποιον από τους δύο θα χρησιµοποιήσουµε αν:

α. Μας ενδιαφέρει να είναι µικρός ο χάρτης σε µέγεθος

β. Μας ενδιαφέρει να έχουµε όσο δυνατόν περισσότερες λεπτοµέρειες στον χάρτη

µας για την περιοχή.

5. Να προσδιορίσετε το λ ώστε οι ευθείες ( )y λx και y 2λ 7 x 12= = + − να είναι πα-

ράλληλες µεταξύ τους.

6. Να βρείτε τα σηµεία που η γραφική παράσταση της 1

y x 53

= − τέµνει τους άξονες

συντεταγµένων.


191.



7. Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι γωνίες του είναι ανάλογες µε τους αριθµούς 1, 2, 3. Να

υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. Πως ονοµάζεται το τρίγωνο αυτό;

8. Να προσδιορίσετε τη γραµµική συνάρτηση y = αx +β, αν γνωρίζετε ότι η γραφική

παράστασή της διέρχεται από τα σηµεία Α(0,5) και Β(1,7).

9. Να κάνετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

y x 10= + και y x 4= − . Τι παρατηρείτε; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας .

10. Να φτιάξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = 3 και y = –2 . Τι

παρατηρείτε;

11. Μελετώντας τον πίνακα που ακολουθεί να ελέγξετε αν το ποσά x και y είναι

µεταξύ τους ανάλογα. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

12. Η συνάρτηση y = 0 µε ποιον άξονα συµπίπτει;


192.



Ερώτηση 1

α. Πότε δύο ποσά είναι ανάλογα µεταξύ τους ;

β. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx, αν:

i. α > 0 ii. α < 0

Ερώτηση 2

α. Πότε δύο γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων της µορφής y = αx + β είναι παράλ-

ληλες µεταξύ τους; Να δώσετε παράδειγµα.

β. Να γράψετε ότι γνωρίζετε σχετικά µε την γραφική παράσταση της συνάρτησης

y = αx + β και σε κάθε περίπτωση να δώσετε παράδειγµα.

Άσκηση 1

α. Να βρείτε τα κοινά σηµεία µε τους άξονες συντεταγµένων της συνάρτησης

y 12x 6= + − .

β. Να κάνετε γραφική παράσταση της συνάρτησης και στη συνέχεια να βρείτε άλλη µία

συνάρτηση της µορφής y = αx + β, που η γραφική της παράσταση να είναι παράλ-

ληλη µε την αρχική.

Άσκηση 2

Ο κύριος Γιώργος έχει 3 παιδιά ηλικίας 10, 12 και 13 χρονών. Θέλει να τους µοιράσει το

ποσό των 200 € ανάλογα µε την ηλικία τους. Να υπολογίσετε πόσα χρήµατα θα πάρει

το κάθε παιδί.

Άσκηση 3

∆ίνονται οι συναρτήσεις ( )λ 1y x 7 και y λ 8 x 3

2

+ = − = − + .

Να προσδιορίσετε την τιµή του λ ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

να είναι ευθείες παράλληλες. Στη συνέχεια να κάνετε γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων .


Â


12ÐïóÜ áíôéóôñüöùò áíÜëïãá

Ç óõíÜñôçóç y =

ÐïóÜ áíôéóôñüöùò áíÜëïãá

Ç óõíÜñôçóç y =áxáx

Πότε δύο ποσά ονοµάζονται αντιστρόφως ανάλογα;

∆ύο ποσά ονοµάζονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν

πολλαπλασιάζοντας τις τιµές του ενός ποσού µε ένα αριθ-

µό, διαιρούνται οι αντίστοιχες τιµές του άλλου ποσού µε

τον ίδιο αριθµό.

Τι γνωρίζετε για το γινόµενο των αντίστοιχων τιµών

των αντιστρόφως αναλόγων ποσών;

Το γινόµενο των αντίστοιχων τιµών δύο αντίστρο-

φων αναλόγων ποσών είναι πάντα σταθερό.

Να αναφέρετε ποια σχέση γνωρίζετε να συνδέει τα

αντιστρόφως ανάλογα ποσά.

Αν δύο ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα,

τότε η ισότητα που συνδέει τις αντίστοιχες τιµές των ποσών

είναι η α

yx

= , όπου α είναι ένας σταθερός αριθµός. Πρέπει

να αναφέρουµε ότι το x δεν µπορεί να πάρει την τιµή x = 0.

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρ-

τησης α

yx

= .


194.

Ποσά αντιστρόφως ανάλογα - Η συνάρτηση α

yx

=


Η γραφική παράσταση της συνάρτησης α

yx

= , ο-

νοµάζεται υπερβολή .

• Αν α > 0, τότε η γραφική παράσταση είναι:

y

x

y = , á > 0áx

O

• Αν α < 0, τότε η γραφική παράσταση είναι:

y

x

y = , á < 0áx

O


195.


yx

=


Ένα έργο τελειώνει µε την βοήθεια 10 εργατών µέσα σε ένα µήνα (30 µέρες ). Για

το ίδιο έργο πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να τελειώσει αν εργαστούν 20 εργάτες.

Λύση

Έστω x ο αριθµός των εργατών και y οι µέρες που χρειάζονται για να τελειώσει το έργο.

Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα διότι όσο µεγαλώνει το πλήθος των εργατών

τόσο µικραίνει ο χρόνος για να τελειώσουν το έργο τους. Άρα τα ποσά συνδέονται

µεταξύ τους µε τη σχέση: α

yx

= .

Για x = 10 και y = 30 τότε έχουµε:α

30 ή α 30010

= =

Άρα η συνάρτηση που συνδέει τα δύο ποσά είναι η 300

yx

= .

Τώρα για να βρούµε σε πόσες µέρες τελειώνει το έργο µε 20 εργάτες αρκεί να βρούµε

την τιµή της συνάρτησης για x = 20. ∆ηλαδή 300

y 1520

= = ηµέρες.

Να φτιάξετε τον πίνακα τιµών της συνάρτησης 1

yx

= για τις τιµές 1, 2, 3, 4, 5.

Τι παρατηρείτε;

Λύση

Ο πίνακας τιµών της συνάρτησης είναι ο εξής :

Βλέπουµε ότι όσο µεγαλώνουν οι τιµές του x, τόσο µικραίνουν οι τιµές του y .


196.


yx

=


Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της 2

yx

= .

Λύση

Φτιάχνουµε πρώτα ένα πίνακα τιµών για κάποιες τιµές του x διαφορετικές του µηδενός

x -3 -2 -1 1 2

y 2

3

2

3 -2 2 1

3

-1

Βρίσκουµε τα 6 σηµεία του επιπέδου από τα οποία διέρχεται η γραφική παράσταση της

2y

x= και τα ενώνουµε. Επεκτείνουµε την καµπύλη και έχουµε την γραφική παράσταση.

1 2 3

321

-3 -2 -1

y

x

Μελετώντας τον παρακάτω πίνακα τιµών να απαντήσετε αν τα ποσά x και y είναι

µεταξύ τους αντιστρόφως ανάλογα .

Λύση

Αν αρχίσουµε και πολλαπλασιάζουµε µεταξύ τους τις αντίστοιχες τιµές x και y βλέ-

πουµε ότι το αποτέλεσµα των πολλαπλασιασµών είναι πάντα 100. Άρα τα δύο ποσά

έχουν σταθερό γινόµενο. Αυτό σηµαίνει ότι τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα .

Προσοχή ! ! !

Στην περίπτωση που το α στην α

yx

= είναι αρνητικός αριθµός

τότε η γραφική παράσταση της υπερβολής είναι στο 2ο και 4ο

τεταρτηµόριο όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα .


197.


yx

=


1. Η γραφική παράσταση του διπλανού σχήµατος είναι της

συνάρτησης α

yx

= . Ποιο είναι το πρόσηµο του α;

2. Σε µία κατασκήνωση όταν αυτή φιλοξενεί 100 παιδιά τα τρόφιµα αρκούν για 20

µέρες . Σε πόσες µέρες θα τελειώσουν τα τρόφιµα αν φιλοξενηθούν 75 παιδιά;

3. Έστω η συνάρτηση 1

y2x

= . Να συµπληρώσετε τον πίνακα τιµών της που ακολου-

θεί. Τι είναι µεταξύ τους τα ποσά x και y; Να κάνετε γραφική παράσταση της συνάρ-

τησης.

4. Ποια τιµή δεν µπορούµε να δώσουµε στο x στην συνάρτηση 4

yx

−= .

5. Να απαντήσετε αν η γραφική παράσταση του διπλανού σχή-

µατος είναι υπερβολή. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

6. Η γραφική παράσταση που ακολουθεί είναι γραφική παράστα-

ση συνάρτησης που συνδέει αντιστρόφως ανάλογα ποσά; Να

δικαιολογήσετε την απάντησή σας και στην περίπτωση που δεν

εκφράζει αντιστρόφως ανάλογα ποσά να βρείτε τι ποσά εκφρά-

ζει.


198.


yx

=


7. Αν y = x και 1

zx

= να συµπληρώσετε τον πίνακα τιµών που ακολουθεί. Τι

καταλαβαίνετε για τις γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων;

Έχουν κοινά σηµεία; Να κατασκευάσετε σε ένα σύστηµα συντεταγµένων και τις

δύο γραφικές παραστάσεις .


199.


yx

=


Ερώτηση 1

α. Πότε δύο ποσά ονοµάζονται αντιστρόφως ανάλογα;

β. Ποια µαθηµατική σχέση τα συνδέει;

γ. Τι γνωρίζετε για το γινόµενο των αντίστοιχων τιµών τους;

Ερώτηση 2

α. Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης α

yx

= για α > 0 και για α < 0.

Πως ονοµάζεται αυτή η γραφική παράσταση;

β. Ποια τιµή δεν µπορεί να πάρει το x;

Άσκηση 1

Στα Ναυπηγεία της Ελευσίνας επισκευάστηκε ένα πιστό αντίγραφο της Αθηναϊκής

Τριήρους. Ο κυβερνήτης αυτής υπολόγισε ότι έχοντας 100 κωπηλάτες µπορεί να

καλύψει την απόσταση Πειραιάς Σαλαµίνα σε 1 ώρα. Να υπολογίσετε πόσους κωπη-

λάτες πρέπει να έχει για να καλύψει την ίδια απόσταση σε 45 λεπτά γνωρίζοντας ότι

ο χρόνος ταξιδιού και ο αριθµός κωπηλατών είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα. Αν

γνωρίζετε ότι η συγκεκριµένη Τριήρης έχει θέσεις για 150 κωπηλάτες µπορεί να δια-

νύσει την απόσταση Πειραιάς Σαλαµίνα σε 30 λεπτά ;

Άσκηση 2

Να κατασκευάσετε τους πίνακες τιµών και να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις

των συναρτήσεων 3

yx

= και 6

yx

−= .

Στους πίνακες τιµών να διαλέξετε µόνοι σας τιµές για το x (και θετικούς και αρνητι-

κούς).




ÌïñöÝò äéáãñáììÜôùíÌïñöÝò äéáãñáììÜôùíÌïñöÝò äéáãñáììÜôùíÌïñöÝò äéáãñáììÜôùíÌïñöÝò äéáãñáììÜôùíÅéêïíïãñÜììáôá ÑáâäïãñÜììáôáÅéêïíïãñÜììáôá ÑáâäïãñÜììáôáÅéêïíïãñÜììáôá ÑáâäïãñÜììáôáÅéêïíïãñÜììáôá ÑáâäïãñÜììáôáÅéêïíïãñÜììáôá ÑáâäïãñÜììáôáÊõêëéêÜ äéáãñÜììáôá ×ñïíïãñÜììáôáÊõêëéêÜ äéáãñÜììáôá ×ñïíïãñÜììáôáÊõêëéêÜ äéáãñÜììáôá ×ñïíïãñÜììáôáÊõêëéêÜ äéáãñÜììáôá ×ñïíïãñÜììáôáÊõêëéêÜ äéáãñÜììáôá ×ñïíïãñÜììáôá


Ç Ýííïéá ôïõ äåßãìáôïòÇ Ýííïéá ôïõ äåßãìáôïòÇ Ýííïéá ôïõ äåßãìáôïòÇ Ýííïéá ôïõ äåßãìáôïòÇ Ýííïéá ôïõ äåßãìáôïòÊáôáíïìÞ óõ÷íïôÞôùíÊáôáíïìÞ óõ÷íïôÞôùíÊáôáíïìÞ óõ÷íïôÞôùíÊáôáíïìÞ óõ÷íïôÞôùíÊáôáíïìÞ óõ÷íïôÞôùí

ÊáôáíïìÞ ó÷åôéêþí óõ÷íïôÞôùíÊáôáíïìÞ ó÷åôéêþí óõ÷íïôÞôùíÊáôáíïìÞ ó÷åôéêþí óõ÷íïôÞôùíÊáôáíïìÞ ó÷åôéêþí óõ÷íïôÞôùíÊáôáíïìÞ ó÷åôéêþí óõ÷íïôÞôùíÏìáäïðïßçóç ðáñáôçñÞóåùíÏìáäïðïßçóç ðáñáôçñÞóåùíÏìáäïðïßçóç ðáñáôçñÞóåùíÏìáäïðïßçóç ðáñáôçñÞóåùíÏìáäïðïßçóç ðáñáôçñÞóåùí


ÌÝóç ÔéìÞÌÝóç ÔéìÞÌÝóç ÔéìÞÌÝóç ÔéìÞÌÝóç ÔéìÞÄéÜìåóïòÄéÜìåóïòÄéÜìåóïòÄéÜìåóïòÄéÜìåóïò

ÌÝóç ôéìÞ ïìáäïðïéçìÝíçò êáôáíïìÞòÌÝóç ôéìÞ ïìáäïðïéçìÝíçò êáôáíïìÞòÌÝóç ôéìÞ ïìáäïðïéçìÝíçò êáôáíïìÞòÌÝóç ôéìÞ ïìáäïðïéçìÝíçò êáôáíïìÞòÌÝóç ôéìÞ ïìáäïðïéçìÝíçò êáôáíïìÞò


ÓôáôéóôéêÞÓôáôéóôéêÞ



Â


13ÌïñöÝò äéáãñáììÜôùí

ÅéêïíïãñÜììáôá - ÑáâäïãñÜììáôá

ÊõêëéêÜ äéáãñÜììáôá - ×ñïíïãñÜììáôá

ÌïñöÝò äéáãñáììÜôùí

ÅéêïíïãñÜììáôá - ÑáâäïãñÜììáôá

ÊõêëéêÜ äéáãñÜììáôá - ×ñïíïãñÜììáôá

Τι είναι η Στατιστική;

Τι είναι τα διαγράµµατα και ποιες είναι οι βασικές µορ-

φές διαγραµµάτων;

Στατιστική είναι ένας κλάδος των Μαθηµατικών

που ασχολείται µε τη συγκέντρωση στοιχείων, την ταξινό-

µησή τους και την παρουσίασή τους µε κατάλληλη µορφή

έτσι ώστε να µπορούν να αναλυθούν και να ερµηνευτούν

για να εξαγάγουµε χρήσιµα συµπεράσµατα τα οποία µας

εξυπηρετούν σε διάφορους σκοπούς.

∆ιαγράµµατα λέγονται οι εικόνες που παρουσιάζουν µε

σύντοµο και ζωντανό (παραστατικό) τρόπο ένα σύνολο α-

ριθµητικών πληροφοριών.

Οι πληροφορίες παρουσιάζονται από τα διαγράµµατα κατά

τέτοιο τρόπο ώστε να µας βοηθήσει να αντιληφθούµε σύ-

ντοµα ένα θέµα χωρίς να µπούµε σε λεπτοµέρειες.

Βασικές µορφές διαγραµµάτων είναι:

- Τα εικονογράµµατα - Τα ραβδογράµµατα

- Τα κυκλικά διαγράµµατα - Τα χρονογράµµατα

Τι είναι τα εικονογράµµατα;

Εικονογράµµατα είναι τα διαγράµµατα όπου οι πλη-

ροφορίες δίνονται µε την επανάληψη µιας εικόνας που χρη-

σιµοποιείται σαν κλίµακα. Τα εικογράµµατα είναι ενδιαφέ-

ροντα και ελκυστικά, µειονεκτούν όµως επειδή χρειάζονται

αρκετό χρόνο και δεξιοτεχνία για να σχεδιαστούν και κυ-

ρίως όταν θέλουµε να παραστήσουµε ένα µέρος της κλίµα-

κας (εικόνας).

Στατιστική

∆ιαγράµµατα

Εικονογράµµατα


204.

Μορφές διαγραµµάτων - Εικονογράµµατα - Ραβδογράµµατα - Κυκλικά χρονογράµµατα - Χρονογράµµατα


Παράδειγµα: Το πιο κάτω εικονόγραµµα απεικονίζει τον

αριθµό µοτοσυκλετών έως 100 κυβικά που πούλησε µια α-

ντιπροσωπεία στην Αθήνα τα πέντε τελευταία έτη. Με µια

γρήγορη µατιά τι συµπεράσµατα προκύπτουν;

Λύση

Εύκολα παρατηρούµε ότι από το 1999 έως το 2001 η αντι-

προσωπεία είχε αύξηση στις πωλήσεις της. Το 2002 έµεινε

σταθερή στις πωλήσεις και το 2003 είχε µείωση.

Τι είναι τα χρονογράµµατα;

Χρονογράµµατα είναι τα διαγράµµατα που χρησιµο-

ποιούµε για να παραστήσουµε την εξέλιξη ενός φαινοµένου

σε διάφορες χρονικές στιγµές (που συνήθως ισαπέχουν)

Παράδειγµα: Το πιο κάτω χρονόγραµµα δίνει τον πυρετό

ενός άρρωστου µαθητή κατά τη διάρκεια µιας εβδοµάδας

που νοσηλεύτηκε στο νοσοκοµείο. Σχολιάστε τα συµπερά-

σµατα που προκύπτουν. Ο ασθενής θα εξέλθει από το νο-

σοκοµείο όταν ο πυρετός του είναι φυσιολογικός (περίπου

37 οC). Είναι έτοιµος να εξέλθει την Κυριακή;

Αν υποθέσουµε ότι κάποιο έτος η αντιπροσωπεία πουλούσε 16.000 µοτοσυκλέ-

τες πως θα κάναµε το σχεδιασµό;

Προφανώς, θα σχεδιάζαµε τρεις φορές την εικόνα µιας µοτοσυκλέτας συµβολίζο-

ντας έτσι τις 15.000. Όµως θα είχαµε πρόβληµα στην επεικόνιση των υπόλοιπων 1000

µοτοσυκλετών. Βλέπουµε λοιπόν ένα µειονέκτηµα των εικονογραµµάτων.

Χρονογράµµατα


205.



Λύση

Γρήγορα αντιλαµβανόµαστε ότι ο άρρωστος είχε υψηλό πυ-

ρετό που αυξανόταν από τη ∆ευτέρα έως την Τετάρτη. Την

Πέµπτη µειώθηκε στους 38 οC, όπου και σταθεροποιήθηκε

µέχρι την Παρασκευή. Μετά όµως ο πυρετός του είναι αυξη-

τικός οπότε ο ασθενής θα παραµείνει στο νοσοκοµείο.

Τι είναι τα ραβδογράµµατα;

Ραβδογράµµατα είναι τα διαγράµµατα που οι πλη-

ροφορίες δίνονται µε κατακόρυφα (ή οριζόντια) ορθογώ-

νια. Γενικά σχεδιάζονται εύκολα και είναι πιο ακριβή από

τα εικονογράµµατα.

Παράδειγµα: Το πιο κάτω ραβδόγραµµα δίνει τις προτιµή-

σεις των µαθητών της Β΄ τάξης γυµνασίου ενός σχολείου

στα 4 πιο δηµοφιλή ξένα συγκροτήµατα. Σχολιάστε τα συ-

µπεράσµατα που προκύπτουν από το ραβδόγραµµα αυτό.

Ραβδογράµµατα

Το διπλανό διάγραµµα θα µπο-

ρούσε να σχεδιαστεί και µε ορι-

ζόντια ορθογώνια, δηλαδή:


206.



Λύση

Εύκολα βλέπουµε ότι το δηµοφιλέστερο συγκρότηµα είναι

οι Metallica, ακολουθεί αυτό των Scorpions και µετά οι

Oasis και οι Iron Maiden µε ίσες προτιµήσεις. Το πρώτο σε

προτίµηση (Metallica) µάλιστα έχει διπλάσιο αριθµό προ-

τιµησεων από τα τελευταία σε προτίµηση.

Τι είναι τα κυκλικά διαγράµµατα;

Κυκλικά διαγράµµατα είναι τα διαγράµµατα που οι

πληροφορίες για τα διάφορα µέρη ενός µεγέθους ή ποσού

δίνονται µε “κοµµάτια µιας ολόκληρης πίτας” η οποία συµ-

βολίζει ολόκληρο το µέγεθος.

Παράδειγµα : Το διπλανό κυ-

κλικό διάγραµµα απεικονίζει

την κατάκτηση πρωταθληµά-

των στο ελληνικό πρωτάθλη-

µα ποδοσφαίρου της Α΄ Εθνι-

κής κατηγορίας από το 1960

έως το 2003. Σχολιάστε τα συ-

µπεράσµατα που προκύπτουν.

Λύση

Εύκολα συµπεραίνουµε ότι ο Ολυµπιακός και ο Π.Α.Ο.

έχουν κατακτήσει τα περισσότερα πρωταθλήµατα (προη-

γείται ο Ολυµπιακός). Κατόπιν ακολουθεί η ΑΕΚ, ο ΠΑΟΚ

και τέλος η Λάρισα.

Προφανώς αυτές είναι οι µόνες οµάδες που έχουν πάρει

πρωτάθληµα.

Κυκλικά διαγράµµατα


207.



Οι µαθητές της Β΄ τάξης ενός Γυµνασίου ρωτήθηκαν για τα αθλήµατα που προτι-

µούν. Οι απαντήσεις φαίνονται στους παρακάτω πίνακες.

α. Να παραστήσετε τα παραπάνω δεδοµένα στο ίδιο σύστηµα αξόνων µε ραβδο-

γράµµατα.

β. Να βρεθούν τα ποσοστά των αγοριών και των κοριτσιών στην τάξη.

γ. Να βρεθεί το ποσοστό των µαθητών που προτιµούν βόλεϊ.

Λύση

α.

β. Το σύνολο των αγοριών είναι 120 και των κοριτσιών 100, όπως φαίνεται από τους

πίνακες. Άρα το σύνολο των µαθητών είναι 220. Το ποσοστό των αγοριών είναι

1200,5454

220 ή 54,54 % και το ποσοστό των κοριτσιών είναι

1000,4546

220 ή

45,46 %.

γ. Οι µαθητές που προτιµούν βόλεϊ είναι 25 αγόρια και 30 κορίτσια, σύνολο 55. Οπότε

10

25

20

30

40

505560

Ðïäü-óöáéñï

ÌðÜóêåô Âüëåú Êïëýìâçóç

ÁãüñéáÊïñßôóéá


208.



το ποσοστό τους είναι 55 1

ή 25%220 4

= .

Ο χηµικός τύπος του φωσφορικού οξέος είναι Η3ΡΟ

4 , δηλαδή ένα µόριο οξέος απο-

τελείται από 3 άτοµα Η (υδρογόνου), ένα άτοµο Ρ (φωσφόρου) και τέσσερα άτοµα Ο

(οξυγόνου). Να σχεδιάσετε σε κυκλικό διάγραµµα τη σύσταση του µορίου του Η3ΡΟ

4

ανάλογα µε τα άτοµα.

Λύση

Το µόριο του Η3ΡΟ4 αποτελείται από οκτώ συνολικά άτοµα.

Στο υδρογόνο αντιστοιχεί γωνία:ο ο3

360 1358

⋅ =

(Στο µόριο του Η3ΡΟ4 υπάρχουν 3 άτοµα Η σε σύνολο 8)

Στο φώσφορο αντιστοιχεί γωνία:ο ο1

360 458

⋅ =

Στο οξυγόνο αντιστοιχεί γωνία:ο ο4

360 1808

⋅ =

Άρα το κυκλικό διάγραµµα είναι το αυτό που φαίνεται στο

διπλανό σχήµα:

Το διπλανό διάγραµµα παρουσιάζει τα µηνιαία έξοδα ενός

µαθητή, που είναι 120 €.

α. Αν η γωνία που αντιστοιχεί στο φαγητό είναι 120ο να

βρεθεί πόσα ευρώ ξοδεύει για φαγητό.

β. Αν για τα βιβλία ξοδεύει 12 € να βρεθεί η αντίστοιχη

γωνία.

Λύση

α. Το µέρος (ποσοστό) των χρηµάτων που δίνει για φαγητό είναι:120 1

360 3= .

Άρα για φαγητό ξοδεύει:1

120 403

⋅ =

β. Το µέρος των χρηµάτων που ξοδεύει για τα βιβλία είναι:12 1

120 10=

Άρα η αντίστοιχη γωνία είναι :ο ο1

360 3610

⋅ =


209.



1. Να κατασκευάσετε κυκλικό διάγραµµα για τα δεδοµένα του παρακάτω πίνακα, που

δίνει την έκταση σε εκατοµύρια Km2 των ηπείρων.

2. Το ύψος ενός παιδιού κάθε χρόνο φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Να φτιάξετε το

χρονόγραµµα του ύψους. Ποια χρονική περίοδο είχε τη µεγαλύτερη ανάπτυξη;

3. Ο χηµικός τύπος του χλωρικού οξέος είναι HClO3 , δηλαδή ένα µόριο οξέος αποτε-

λείται από ένα άτοµο Η, ένα άτοµο Cl και τρία άτοµα Ο. Να σχεδιάσετε το κυκλικό

διάγραµµα για τη σύσταση του µορίου ως προς τα άτοµα.

4. To διπλανό ραβδόγραµµα δείχνει τις γεννή-

σεις που πραγµατοποιήθηκαν στο µαιευτήριο

µιας πόλης από το 1998 έως το 2002.

α. Πόσες γεννήσεις έγιναν κάθε χρόνο;

β. Ποιο έτος παρουσιάστηκε µείωση γεννήσε-

ων σε σχέση µε το προηγούµενο; Πόσο %

ήταν η µείωση;

γ. Πόσο % ήταν η αύξηση ανάµεσα στα έτη 2001 και 2002;

5. Στον διπλανό πίνακα δίνονται τα µετάλ-

λια των δύο πρώτων χωρών σε κάποιο πα-

γκόσµιο πρωτάθληµα στίβου.

α. Να παραστήσετε τα παραπάνω δεδοµέ-

να στο ίδιο σύστηµα αξόνων µε ραβδογράµµατα.

Ήπειρος Aσία Αφρική Ευρώπη Αµερική Ωκεανία

Έκταση 44 30,5 10,5 20,8 9

Ηλικία 7 8 9 10 11 12 13

Ύψος σε cm 126 130 138 142 146 150 160


210.



β. Να βρεθούν τα ποσοστά των χρυσών µεταλλίων κάθε χώρας που κατέκτησε επί

του συνόλου των µεταλλίων.

6. Το διπλανό εικονόγραµµα µας πληροφορεί για

τον πληθυσµό µερικών νησιών του Αιγαίου κατά

την απογραφή του 1999.

α. Να γράψετε τον πληθυσµό κάθε νησιού.

β. Πόσο % λιγότερος είναι ο πληθυσµός της Σά-

µου από τον πληθυσµό της Λέσβου;

γ. Πόσο % περισσότερος είναι ο πληθυσµός της

Λέσβου από τον πληθυσµό της Σύρου;


211.



Ερώτηση 1

Αναφέρετε ένα πλεονέκτηµα και ένα µειονέκτηµα των εικονογραµµάτων.

Ερώτηση 2

Ποια είναι πιο ακριβή στις πληροφορίες που µας δίνουν, τα εικονογράµµατα ή τα

ραβδογράµµατα;

Άσκηση 1

Στο πιο κάτω διάγραµµα φαίνονται οι τιµές κλεισίµατος στο τέλος κάθε µήνα της

µετοχής “super µπαλονέξ” στο χρηµατιστήριο, κατά το πρώτο εξάµηνο ενός έτους.

3,3

3

3,6

4

ôéì

Þó

ååõ

ñþ

31Äåêåìâñßïõ

ÉáíïõÜñéïò

ÖåâñïõÜñéïò

ÌÜñôéïò

Áðñßëéïò

ÌÜúïò

Éïýíéïò

α. Ποια είναι η ονοµασία του παραπάνω διαγράµµατος;

β. Ο κύριος Κλωναράς, επένδυσε 30.000 € στην πιο πάνω µετοχή στο τέλος Ιανουα-

ρίου και την πούλησε στο τέλος Φεβρουαρίου, ενώ ο Κύριος Αναστασούλης

επένδυσε το ίδιο ποσό, αγοράζοντας την µετοχή τέλος Απριλίου και πουλώντας

τη τέλος Μαΐου. Ποιος από τους δύο κυρίους κέρδισε περισσότερα χρήµατα;


212.



Άσκηση 2

Την µετοχή της προηγούµενης άσκησης αγόρασε ο κύριος Πηρουνίδης στις 31 ∆ε-

κεµβρίου κα την πούλησε στο τέλος Ιουνίου ενώ ο κύριος Κωνσταντόπουλος προτί-

µησε να καταθέσει τα χρήµατά του στην τράπεζα µε επιτόκιο 10% ετησίως. Ποιος

από τους δύο είχε µεγαλύτερο ποσοστό κέρδους;

Άσκηση 3

Το διπλανό κυκλικό διάγραµµα παριστάνει τα αποτελέ-

σµατα (νίκες - ήττες - ισοπαλίες) της οµάδας “Ταλαιπω-

ριακού” στα 36 παιχνίδια που έδωσε στο φετινό πρωτά-

θληµα. Αν οι ήττες είναι 18 και οι ισοπαλίες είναι διπλά-

σιες από τις νίκες που έκανε, να βρεθεί:

α. Πόσες είναι οι ισοπαλίες και πόσες οι νίκες.

β. Να βρεθούν οι γωνίες x και y.


Â


14Ç Ýííïéá ôïõ äåßãìáôïò

ÊáôáíïìÞ óõ÷íïôÞôùí

ÊáôáíïìÞ ó÷åôéêþí óõ÷íïôÞôùí

Ïìáäïðïßçóç ðáñáôçñÞóåùí

Ç Ýííïéá ôïõ äåßãìáôïò

ÊáôáíïìÞ óõ÷íïôÞôùí

ÊáôáíïìÞ ó÷åôéêþí óõ÷íïôÞôùí

Ïìáäïðïßçóç ðáñáôçñÞóåùí

Τι λέµε πληθυσµό και τι άτοµα ή µέλη του πληθυσµού;

Ένα σύνολο από αντικείµενα, έµψυχα ή άψυχα του

οποίου τα στοιχεία εξετάζουµε ως προς κάποια ιδιότητα

λέγεται πληθυσµός. Κάθε στοιχείο του συνόλου λέγεται

άτοµο ή µέλος του πληθυσµού.

Παράδειγµα: Έστω ότι θέλουµε να προβλέψουµε τα απο-

τελέσµατα των εκλογών σε µια χώρα που συµµετέχουν τα

κόµµατα “τιµιότητα”, “ειλικρίνεια”, “εντιµότητα” και “α-

ποφασιστικότητα”. Το σύνολο των ψηφοφόρων της χώρας

αυτής αποτελεί τον πληθυσµό ενώ κάθε ψηφοφόρος λέγε-

ται άτοµο ή µέλος του πληθυσµού.

Τι λέµε απογραφή ενός πληθυσµού;

Τι λέµε δείγµα ενός πληθυσµού;

Τι ονοµάζουµε στατιστικά δεδοµένα ή παρατηρήσεις;

Λέµε ότι κάνουµε απογραφή ενός πληθυσµού όταν

εξετάζουµε κάθε άτοµό του ως προς µια ιδιότητά του.

∆είγµα λέµε ένα µέρος του πληθυσµού το οποίο εξετάζου-

µε ως προς µια ιδιότητά του. Τα αποτελέσµατα που παίρ-

νουµε από την εξέταση κάθε ατόµου του δείγµατος τα λέµε

στατιστικά δεδοµένα ή παρατηρήσεις.

∆είγµα χρησιµοποιούµε αντί όλου του πληθυσµού όταν είναι πρακτικά αδύνατο

ή χρονοβόρο ή οικονοµικά ασύµφορο να εξετάσουµε όλον τον πληθυσµό (απογραφή).

Πληθυσµός

Μέλη πληθυσµού

Απογραφή - ∆είγµα

Στατιστικά δεδοµένα


214.

Η έννοια του δείγµατος - Κατανοµή συχνοτήτων - Κατανοµή σχετικών συχνοτήτων - Οµαδοποίηση παρατηρήσεων


Στο παράδειγµα της προηγούµενης ερώτησης π.χ. για να

προβλέψουµε το αποτέλεσµα των εκλογών θα χρησιµοποιή-

σουµε κάποιο δείγµα το οποίο όµως για να δώσει αξιόπιστα

αποτελέσµατα, δηλαδή αποτελέσµατα που θα είναι κοντά

στην πραγµατικότητα, πρέπει να είναι κατάλληλα επιλεγ-

µένο ώστε να αντιπροσωπεύει όσο γίνεται καλύτερα τον

πληθυσµό.

Τι λέµε συχνότητα και τι σχετική συχνότητα µιας

παρατήρησης;

Τι λέµε κατανοµή συχνοτήτων και τι κατανοµή σχετικών

συχνοτήτων;

Ας υποθέσουµε ότι εξετάζουµε ν άτοµα ενός πλη-

θυσµού ως προς µια ιδιότητά τους, η οποία µπορεί να πάρει

κ διαφορετικές τιµές Π1, ..., Πκ . Τότε προκύπτουν ν παρα-

τηρήσεις πολλές από τις οποίες είνα ίδιες.

• Ο φυσικός αριθµός ν1, που δηλώνει σε πόσα από τα ν

άτοµα εµφανίζεται η παρατήρηση Π1, λέγεται συχνότη-

τα της παρατήρησης, ενώ ο αριθµός 1ν

ν λέγεται σχετική

συχνότητα της παρατήρησης.

• Αν ονοµάσουµε Π1, Π2, ...Πκ τις διαφορετικές µεταξύ

τους παρατηρήσεις και 1 2 κν , ν , ..., ν τις αντίστοιχες συ-

χνότητές τους τότε όλα τα ζεύγη ( ) ( )1 1 2 2Π , ν , Π , ν ,.....,

( )κ κΠ , ν αποτελούν την κατανοµή συχνοτήτων ενώ όλα

τα ζεύγη 1 2 κ

1 2 κ

ν ν νΠ , , Π , ,....., Π ,

ν ν ν

αποτελούν

την κατανοµή σχετικών συχνοτήτων.

Η επιλογή του δείγµα-

τος είναι το πιο σηµαντι-

κό µέρος ολόκληρης της

διαδικασίας και απαιτεί

εξειδικευµένη και πολύ-

πλευρη γνώση του πλη-

θυσµού από τον οποίο

θα πάρουµε το δείγµα

Αφού βρούµε τις σχετικές συχνότητες µπορούµε να τις εκφράσουµε σε ποσο-

στά % επειδή είναι πιο εύχρηστες και πιο κατανοητές.

Σχετική συχνότητα

- κατανοµή συχνοτήτων

- σχετικών συχνοτήτων


215.Στατιστική


Παράδειγµα: Έστω ότι αφού επιλέξαµε ένα αξιόπιστο δείγ-

µα 500 ατόµων από τον πληθυσµό των ψηφοφόρων που

αναφέρεται στο πιο πάνω παράδειγµα πήραµε στατιστικά

δεδοµένα τα οποία για να µελετήσουµε τα παρουσιάζουµε

στον παρακάτω πίνακα, ο οποίος λέγεται πίνακας κατανο-

µής συχνοτήτων, ως εξής:

Όπως φαίνεται από τον πιο πάνω πίνακα η συχνότητα της

παρατήρησης “τιµιότητα” είναι 100 ενώ η σχετική της συ-

χνότητα είναι 100

0,2 ή 20%500

= . Όµοια και για τις άλλες

παρατηρήσεις.

Τι ονοµάζουµε επικρατούσα τιµή;

Σε µια κατανοµή συχνοτήτων η παρατήρηση µε τη

µεγαλύτερη συχνότητα ονοµάζεται επικρατούσα τιµή.

Στο πιο πάνω παράδειγµα επικρατούσα τιµή είναι η παρα-

τήρηση “Αποφασιστικότητα”.

Τι είναι η οµαδοποίηση παρατηρήσεων και πότε την

χρησιµοποιούµε;

Σε περίπτωση που εξετάζουµε ν άτοµα ενός πληθυ-

σµού ως προς µια ιδιότητά τους και προκύπτουν πολλές

διαφορετικές παρατηρήσεις, αν φτιάξουµε τον πίνακα συ-

Συχνότητα Σχετική Σχετική

συχνότητα συχνότητα%

“Τιµιότητα” 100 100

0,2500

= 20

“Ειλικρίνεια” 50 50

0,1500

= 10

“Εντιµότητα ” 150 150

0,3500

= 30

“Αποφασιτικότητα” 200 200

0,4500

= 40

Σύνολα 500 1 100

Επικρατούσα τιµή

Οµαδοποίηση

παρατηρήσεων


216.



χνοτήτων δεν είναι εύχρηστος αφού είναι πολύ µεγάλος

άρα απαιτεί πολύ χρόνο τόσο στην κατασκευή του όσο και

στη µελέτη του. Στην περίπτωση αυτή χωρίζουµε το διά-

στηµα τιµών των παρατηρήσεων σε µικρότερα διαστήµατα

(του ίδιου ή διαφορετικού πλάτους) τα οποία ονοµάζουµε

κλάσεις και βρίσκουµε πόσες από τις παρατηρήσεις βρίσκο-

νται σε κάθε κλάση. Η διαδικασία αυτή λέγεται οµαδοποίη-

ση των παρατηρήσεων και στην περίπτωση αυτή δεν έχου-

µε συχνότητα - σχετική συχνότητα µιας ορισµένης παρατή-

ρησης αλλά συχνότητα - σχετική συχνότητα κάθε κλάσης.

Παράδειγµα:

Έστω ότι καταγράψαµε τα ύψη σε cm 30 προσκόπων µιας

κατασκήνωσης τα οποία ήταν τα εξής:

130 131 132 131 130 135 140 141 142 144

142 141 149 143 130 133 135 137 140 146

140 142 143 149 143 140 137 138 130 131

Για ευκολία φτιάχνουµε κλάσεις πλάτους 5cm. Παρατηρούµε

ότι τα ύψη κυµαίνονται από 130 cm έως 149cm. Ορίζουµε ως

εύρος (πλάτος) των υψών, την διαφορά: 149 – 130 = 19cm.

Αν θέλουµε να φτιάξουµε κλάσεις µε ίσα πλάτη επιλέγου-

µε έναν επιθυµητό αριθµό κλάσεων αν δεν µας δίνεται (εδώ

επιλέξαµε 4) και διαιρούµε το εύρος διά του αριθµού, βρί-

σκοντας το πλάτος κάθε κλάσης. Αν το πηλίκο είναι δεκα-

δικός µπορούµε να το στρογγυλοποιήσουµε (για ευκολία)

προς τα πάνω πάντα. Άρα 19:4 4,9. και µε στρογγυλο-

ποίηση 5. Οπότε παίρνουµε τον πιο κάτω πίνακα:

Αυστηρός κανόνας για

τον καθορισµό του α-

ριθµού των κλάσεων

δεν υπάρχει αλλά κάθε

φορά εξαρτάται από το

είδος του προβλήµατος,

το σκοπό της έρευνας και

την επιθυµητή ακρίβεια.

Εδώ θα ασχοληθούµε µε

κλάσεις ίδιου πλάτους.

Κλασεις Κέντρα Συχνότητα Σχετική Σχετική

Ύψος Κλάσεων συχνότητα συχνότητα%

130-135 132,5 9 9

0,330

= 30

135-140 137,5 5 5

0,1730

17

140-145 142,5 13 13

0,4330

43

145-150 147,5 3 3

0,130

= 10

Σύνολα 30 1 100




• Έστω ότι έχουµε την κλάση 130 - 135. Οι αριθµοί 130 και 135 λέγονται άκρα

της κλάσης (άνω άκρο και κάτω άκρο αντίστοιχα) ενώ ο αριθµός 130 135

132,52

+ =

λέγεται κέντρο της κλάσης και αντιπροσωπεύει όλη την κλάση. Όταν λέµε ότι το

κέντρο της κλάσης αντιπροσωπεύει την κλάση, εννοούµε ότι όλες οι παρατηρήσεις

που βρίσκονται µέσα στην κλάση, θεωρούµε ότι είναι ίσες µε το κέντρο της κλάσης.

Όµοια για τις άλλες κλάσεις.

• Στην οµαδοποίηση παρατηρήσεων προσέχουµε τα εξής:

Καµµία παρατήρηση δεν πρέπει να βρίσκεται έξω από κάποια κλάση και αν έχουµε

παρατήρηση που είναι ίση µε το άνω άκρο µιας κλάσης αυτή ταξινοµείται στην

αµέσως επόµενη κλαση π.χ. η παρατήρηση 135 καταχωρείται στην κλάση 135 - 140

και όχι στην 130 - 135.

• Η κλάση µε τη µεγαλύτερη συχνότητα λέγεται επικρατούσα κλάση.

• Μια οµαδοποιηµένη κατανοµή την παριστάνουµε µε ένα διάγραµµα που λέγεται

ιστόγραµµα. Το ιστόγραµµα µοιάζει µε το ραβδόγραµµα µόνο που παριστάνεται µε

συνεχόµενα ορθογώνια που το κάθε ένα έχει βάση ίση µε το πλάτος κάθε κλάσης.

Όταν αναφέρεται στην συχνότητα λέγεται ιστόγραµµα συχνοτήτων ενώ όταν ανα-

φέρεται στην σχετική συχνότητα λέγεται ιστόγραµµα σχετικών συχνοτήτων.

Όταν οι κλάσεις έχουν το ίδιο πλάτος, το ύψος κάθε ορθογωνίου ισούται µε τη

συχνότητα ή την σχετική συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης.

Έτσι στην προηγούµενη κατανοµή συχνοτήτων - σχετικών συχνοτήτων δίνουµε τα

ιστογράµµατα.


218.



Οι 30 µαθητές της Β΄ Γυµνασίου ενός σχολείου σηµείωσαν τους πιο κάτω πόντους σε

ένα πρωτάθληµα µπάσκετ.

22 25 20 21 18 24 24 22 20 18

21 20 20 18 26 25 22 20 22 25

20 26 20 26 22 18 22 18 18 26

α. Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.

β. Να βρεθεί η επικρατούσα τιµή της κατανοµής.

γ. Να βρεθεί πόσοι µαθητές πέτυχαν πάνω από 24 πόντους.

δ. Να βρεθεί το ποσοστό των µαθητών που πέτυχαν πάνω από 21 πόντους.

ε. Να γίνει το ραβδόγραµµα συχνοτήτων.

Λύση

α.

Όπως φαίνεται από τον παραπάνω πίνακα:

β. Η επικρατούσα τιµή είναι το 20 αφού έχει την µεγαλύτερη συχνότητα.

γ. Πάνω από 24 πόντους (δηλαδή 25 ή 26 πόντους) πέτυχαν 3 + 4 = 7 µαθητές.

δ. Πάνω από 21 πόντους (δηλαδή 22 ή 24 ή 25 ή 26 πόντους) πέτυχαν ποσοστό:

20% + 6,7% + 10% +13,3% = 50%

Πόντοι Συχνότητα Σχετική συχνότητα Σχετική συχνότητα%

18 6 0,2 20

20 7 0,233 23,3

21 2 0,067 6,7

22 6 0,2 20

24 2 0,067 6,7

25 3 0,1 10

26 4 0,133 13,3

Σύνολα 30 1 100




ε. Το ραβδόγραµµα συχνοτήτων είναι:

Στους πιο κάτω πίνακες συχνοτήτων να βρεθούν οι αριθµοί x, y, ω, z, κ.

Πίνακας Α Πίνακας Β

Λύση

Πίνακας Α: Γνωρίζουµε ότι: x 6 8 3 20+ + + = ή x 17 20+ = ή x 20 17= − ή x 3=

Επίσης 3

y 0,15 ή 15%20

= = 6

ω 0,3 ή 30%20

= =

8

z 0,4 ή 40%20

= = και 3

κ 0,15 ή 15%20

= =

Πίνακας Β: Γνωρίζουµε ότι: y

0,510

= ή y 0,5 10 5= ⋅ = .

Επίσης 1 3 x y 10+ + + = ή 4 x 5 10+ + = ή x 9 10+ = ή x 10 9= − ή x 1=

Οπότε 1

ω 0,1 ή 10%10

= = , 3

z 0,3 ή 30%10

= = , 1

κ 0,1 ή 10%10

= =

Η βαθµολογία 30 µαθητών σε ένα διαγώνισµα στο µάθηµα των Μαθηµατικών είναι:

10, 17, 12, 14, 6, 12, 17, 14, 6, 4, 14, 12,

10, 8, 12, 14, 14, 14, 14, 18, 14, 16, 17, 14,

17, 12, 14, 16 10, 6.

Συχνότητα Σχ. συχνότητα%

0 x y

1 6 ω

3 8 z

5 3 κ

Σύνολα 20

Συχνότητα Σχ. συχνότητα

1 1 ω

2 3 z

3 x κ

4 y 0,5

Σύνολα 10


220.



α. Να γίνει οµαδοποίηση δεδοµένων σε τέσσερις κλάσεις µε ίσα πλάτη και να βρε-

θούν οι συχνότητες και οι σχετικές συχνότητες.

β. Να βρεθεί η επικρατούσα κλάση και µε ποιο ποσοστό επί τοις % εµφανίζεται.

γ. Να γίνουν τα ιστογράµµατα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.

δ. Ποιο ποσοστό µαθητών έγραψε βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 11 στο διαγώνισµα.

Λύση

α. Το πλάτος (εύρος) µεταβολής των βαθµών είναι 17 – 4 = 13 και αφού θα φτιάξουµε

τέσσερις κλάσεις µε ίσα πλάτη, καθεµία θα έχει πλάτος 13

3,254

= και µε

στρογγυλοποίηση 3,5.

Όπως φαίνεται από τον παραπάνω πίνακα:

β. Η επικρατούσα κλάση είναι η: 11 – 14,5 και εµφανίζεται µε ποσοστό 50%

γ. Ιστόγραµµα συχνοτήτων Ιστόγραµµα σχ. συχνοτήτων %

δ. Έντεκα ή µεγαλύτερο βαθµό έγραψε το 50% + 23% = 73%




1. Από την ερώτηση ενός δείγµατος 800 οικογενειών ως

προς τον αριθµό των παιδιών προέκυψε ο διπλανός πί-

νακας.

α. Να κάνετε την κατανοµή συχνοτήτων και σχετικών

συχνοτήτων και να παραστήσετε την κατανοµή αυτή

µε ραβδόγραµµα.

β. Να βρεθεί η επικρατούσα τιµή.

γ. Αν οι οικογένειες µε περισσότερα από 3 παιδιά παίρ-

νουν επίδοµα πολυτεκνίας να βρείτε το ποσοστό που θα πάρουν το επίδοµα.

2. Στον διπλανό πίνακα συχνοτήτων, να βρε-

θούν οι x, y, ω, κ, λ.

3. Ο διπλανός πίνακας δίνει τον αριθµό των επισκέψεων 40

µαθητών σε διάφορα µουσεία της χώρας κατά την διάρ-

κεια ενός έτους.

α. Να κάνετε το ιστόγραµµα συχνοτήτων και το ιστό-

γραµµα σχετικών συχνοτήτων και να βρείτε τα κέντρα

των κλάσεων.

β. Να βρέθει η επικρατούσα κλάση.

γ. Πόσοι µαθητές έκαναν κάτω από τέσσερις επισκέψεις τον χρόνο σε µουσεία;

Συχνότητα Σχ. συχνότητα

10 12 y

11 x ω

12 20 κ

13 10 λ

Σύνολο 50


222.



4. Σε µια έρευνα 500 ανέργων για τον χρόνο σε µήνες που είναι άνεργοι προέκυψε ο πιο

κάτω πίνακας.

×ñüíïò áíåñãßáòóå ìÞíåò

0 - 3

3 - 6

6 - 9

9 - 12

12 - 15

Óýíïëï

Óõ÷íüôçôá Ó÷åôéêÞÓõ÷íüôçôá

0,25

27

28

12

8

1

0,

0,

0,

0,0

α. Να συµπληρώσετε τον πίνακα και να βρείτε τα κέντρα των κλάσεων.

β. Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα συχνοτήτων.




Ερώτηση 1

Τι είναι εύρος ενός δείγµατος;

Έστω τα δείγµατα Α: 0, 16, 16, 20,17, 35, 40 και

Β: 0, 18, 19, 20, 21, 22, 40

Τα δείγµατα έχουν την ίδια επικρατούσα τιµή και το ίδιο εύρος;

Ερώτηση 2

α. Τι ιδιότητα έχει το κέντρο κλάσης κάθε κλάσης;

β. Για την γραφική παράσταση µιας κατανοµής συχνοτήτων σε οµαδοποιηµένα

δεδοµένα ποιο διάγραµµα χρησιµοποιούµε;

Άσκηση 1

Μια αυτοκινητοβιοµηχανία θέλει να µάθει τις προτιµήσεις των καταναλωτών σε µια

πόλη ως προς το χρώµα των αυτοκινήτων που προτιµούν. Για τον λόγο αυτό κάνει

ένα δειγµατοληπτικό έλεγχο και οι απαντήσεις που

πήρε φαίνονται στον διπλανό πίνακα. Να βρείτε:

α. Ποιος είναι ο πληθυσµός και ποιο είναι το δείγµα.

β. Ποιο είναι το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο εξε-

τάζουµε το δείγµα και ποιες είναι οι παρατηρήσεις

που προέκυψαν;

γ. Να βρεθεί το ποσοστό των καταναλωτών που δεν

προτιµούν κόκκινο αυτοκίνητο.

Άσκηση 2

Τρεις εταιρείες δηµοσκοπήσεων θέλοντας να καταγράψουν τα ποσοστά προτίµησης

των ελλήνων φιλάθλων για τις οµάδες ποδοσφαίρου της Α΄ Εθνικής κατηγορίας

ρώτησαν η κάθε µία 1.000 άτοµα επιλέγοντάς τα ως εξής:

Η εταιρεία Α επέλεξε τα ερωτηθέντα άτοµα έξω από το γήπεδο την ώρα που τελείωνε

ο αγώνας Ολυµπιακού - ΟΦΗ.


224.



Η εταιρεία Β επέλεξε τα άτοµά της από το κέντρο της Αθήνας ρωτώντας στην τύχη

τους περαστικούς.

Η εταιρεία Γ επέλεξε τα άτοµά της από τις 20 µεγαλύτερες πόλεις της Ελλάδας

ρωτώντας περαστικούς στην τύχη από το κέντρο κάθε πόλης.

α. Ποια από τις εταιρείες νοµίζετε ότι θα έχει πιο αντικειµενικά αποτελέσµατα στην

έρευνά της και γιατί;

β. Αν έσεις επιλέγατε ένα δείγµα 1.000 ατόµων τι βελτιώσεις θα κάνατε στον τρόπο

επιλογής τους από την εταιρεία της απάντησης του ερωτήµατος α, ώστε τα απο-

τελέσµατα να είναι ακόµα πιο αντικειµενικά;

Άσκηση 3

Το διπλανό ιστόγραµµα σχετικών συχνοτήτων περιγράφει τις απουσίες του β΄ τετρα-

µήνου ενός τµήµατος 25 µαθητών.

α. Να φτιάξετε τον πίνακα συχνοτήτων - σχετικών

συχνοτήτων.

β. Να βρείτε την επικρατούσα κλάση.

γ. Όποιος µαθητής έχει 45 απουσίες και άνω µένει

στην ίδια τάξη. Πόσοι µαθητές κινδυνεύουν να

µείνουν και τι ποσοστό του συνόλου αντιπρο-

σωπεύουν;


Â


15ÌÝóç ÔéìÞ - ÄéÜìåóïò

ÌÝóç ôéìÞ ïìáäïðïéçìÝíçò êáôáíïìÞò

ÌÝóç ÔéìÞ - ÄéÜìåóïò

ÌÝóç ôéìÞ ïìáäïðïéçìÝíçò êáôáíïìÞò

Τι είναι µέση τιµή µιας κατανοµής;

Μέση τιµή (ή µέσος όρος) ενός συνόλου ν παρατη-

ρήσεων είναι το πηλίκο του αθροίσµατος των παρατηρήσε-

ων προς το πλήθος τους.


α. Να βρεθούν οι µέσες µη-

νιαίες αποδοχές σε ευρώ,

20 εργαζοµένων µιας επι-

χείρησης των οποίων οι

αποδοχές σε ευρώ δίνονται

στον διπλανό πίνακα.

β. Να βρεθεί η µέση τιµή 5 διαδοχικών φυσικών αριθµών

αν ο µεγαλύτερος είναι 20.

Λύση

α. Ο πιο πάνω πίνακας µας βοηθάει να βρούµε σύντοµα το

άθροισµα όλων των αποδοχών που είναι:

5 · 600 + 800 · 7 + 700 · 6 + 1100 · 2 =

= 3.000 + 5.600 + 4.200 + 2.200 = 15.000

Άρα η µέση τιµή των αποδοχών είναι: 15000

75020

=

β. Οι αριθµοί είναι: 16, 17, 18,19, 20.

Η µέση τιµή είναι: 16 17 18 19 20 90

185 5

+ + + + = =

Τι είναι διάµεσος µιας κατανοµής;

Μέση Τιµή

∆ιάµεσος

Η µέση τιµή είναι δυ-

νατόν να µην ισούται

µε την τιµή κάποιας

παρατήρησης.


226.

Μέση Τιµή - ∆ιάµεσος - Μέση τιµή οµοδοποιηµένης κατανοµής


∆ιάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων οι οποίες

έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά (από την µικρότερη στη

µεγαλύτερη) είναι η µεσαία παρατήρηση αν το πλήθος των

παρατηρήσεων είναι περιττό ή ο µέσος όρος των δύο µεσαί-

ων παρατηρήσεων αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι

άρτιο.


α. Να βρεθεί η διάµεσος των πέντε πρώτων φυσικών περιτ-

τών αριθµών.

β. Ποια είνα η διάµεσος των αριθµών 3, 5, 6, 10, 8, 11 ;

Λύση

α. Οι πρώτοι πέντε περιττοί φυσικοί αριθµοί είναι: 1, 3, 5, 7,

9, οι οποίοι είναι διαταγµένοι σε αύξουσα σειρά και το

πλήθος τους είναι περιττό άρα η διάµεσος είναι ο αριθ-

µός 5 (µεσαίος).

β. Οι αριθµοί δεν είναι διαταγµένοι σε αύξουσα σειρά. ∆ια-

τάσοντάς τους είναι: 3, 5, 6, 8, 10, 11. Επειδή το πλήθος

τους είναι άρτιο η διάµεσος είναι: 6 8

72

+ =

Πως βρίσκουµε την µέση τιµή όταν έχουµε οµαδο-

ποιηµένη κατανοµή;

Όταν έχουµε οµαδοποιηµένη κατανοµή, για λόγους

οικονοµίας χρόνου, βρίσκουµε την µέση τιµή κατά προσέγγι-

ση µεν, πολύ πιο γρήγορα όµως, θεωρώντας ότι όλες οι παρα-

τηρήσεις κάθε κλάσης, συµπίπτουν µε το κέντρο της κλάσης.

Για διευκόλυνση στον υπολογισµό συµπληρώνουµε τον πί-

νακα συχνοτήτων µε µια ακόµα στήλη στην οποία γράφου-

µε τα κέντρα των κλάσεων.

Παράδειγµα: Να βρεθεί η µέση

τιµή της κατανοµής του διπλα-

νού πίνακα που περιγράφει τα

ύψη 40 µαθητών µιας τάξης.

Ακριβέστερα η διά-

µεσος είναι η τιµή

για την οποία το

πολυ 50% των παρα-

τηρήσεων είναι µι-

κρότερες από αυτήν

και το πολύ 50%

των παρατηρήσεων

είναι µεγαλύτερες

Μέση τιµή σε

οµαδοποιηµένη

κατανοµή




Λύση

Συµπληρώνοντας στον πίνακα την στήλη µε τα κέντρα των

κλάσεων έχουµε:

Οπότε η µέση τιµή είναι:

142,5 5 147,5 10 152,5 15 157,5 10

40

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

712,5 1475 2287,5 1575 6050

151,2540 40

+ + + = =


228.



Η µέση τιµή πέντε αριθµών είναι 5. Οι τρεις από αυτούς είναι οι 5, 7, 4. Να βρείτε

τους άλλους δύο, αν γνωρίζετε ότι ο ένας είναι διπλάσιος από τον άλλο.

Λύση

Αν ονοµάσουµε x τον µικρότερο από τους δύο αγνώστους αριθµούς τότε ο άλλος θα

είναι 2x. Έχουµε: x 2x 5 7 4

55

+ + + + = ή 3x 16

55

+ = ή 3x 16 25+ = ή 3x 25 16= − ή

3x 9= ή x 3= .

Άρα οι αριθµοί είναι ο 3 και ο 6.

Ο διπλανός πίνακας σχετικών συχνοτήτων δίνει τις ώρες

που διάβασαν για ένα διαγώνισµα στα µαθηµατικά το

προηγούµενο βράδυ οι 120 µαθητές ενός σχολείου. Να

βρείτε την διάµεσο και την µέση τιµή

Λύση

Αν υποθέσουµε ότι x µαθητές διάβασαν µηδέν ώρες τότε:

x 10

120 100= ή 100x 10 120= ⋅ ή 100x 1200= ή x 12=

Όµοια βρίσκουµε τις συχνότητες και των άλ-

λων παρατηρήσεων και τις τοποθετούµε

στον πίνακα.

Αν διατάξουµε τις παρατηρήσεις κατά αύξουσα σειρά έχουµε:

12 φορες

0,0,0,...,0 ,

24 φορες

1,1,1,...,1 ,

36 φορες

2,2,2,..., 2 ,

42 φορες

3,3,3,...,3 ,

6 φορες

4,4,4,..., 4




Παρατηρούµε ότι οι δύο “µεσαίες” από τις 120 παρατηρήσεις είναι η 60η και η 61η που

είναι ίσες µε 2 άρα η διάµεσος είναι: 2 2

22

+ =

Η µέση τιµή είναι:12 0 24 1 36 2 42 3 6 4 246

2,05120 120

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

Σε µια “λίστα” 5 παρατηρήσεων να εξηγήσετε ότι αν όλες οι παρατηρήσεις αυξη-

θούν κατά 2, τότε και η µέση τιµή και η διάµεσος αυξάνεται κατά 2. Κατά την

άποψή σας, η πιο πάνω ιδιότητα ισχύει µόνο όταν οι παρατηρήσεις είναι 5;

Λύση

Αν υποθέσουµε ότι έχουµε τις παρατηρήσεις 1 2 3 4 5x , x , x , x , x τότε έχουν µέση τιµή:

1 2 3 4 5x x x x xx

5

+ + + += (1).

Αν αυξηθεί κατά 2 κάθε παρατήρηση οι παρατηρήσεις γίνονται: 1x 2+ , 2x 2+ , 3x 2+ ,

4x 2+ , 5x 2+ , οπότε η νέα µέση τιµή είναι:

1 2 3 4 5x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

5

+ + + + + + + + += ( )1 2 3 4 5x x x x x 2 2 2 2 2

5

+ + + + + + + + +=

( )11 2 3 4 5x x x x x 5 2

x 25 5

+ + + + ⋅= + = +

Άρα η νέα µέση τιµή είναι ίση µε την παλιά αυξηµένη κατά 2.

Όλες οι παρατηρήσεις έχουν αυξηθεί κατά 2 άρα και η “µεσαία” που είναι η διάµεσος.

Εποµένως, η νέα διάµεσος είναι ίση µε την παλιά αυξηµένη κατά 2.

Με όµοιο τρόπο µπορούµε να δείξουµε ότι η πιο πάνω ιδιότητα ισχύει όποιο και αν

είναι το πλήθος των παρατηρήσεων.

Τέσσερις διαδοχικοί άρτιοι φυσικοί αριθµοί έχουν µέση τιµή 5.

α. Να βρεθούν οι αριθµοί αυτοί.

β. Να βρείτε την διάµεσό τους.

Λύση

α. Έστω x ο µικρότερος από αυτούς. Τότε: x, x 2+ , x 4+ , x 6+ .

Αφού έχουν µέση τιµή 5, ισχύει: ( ) ( ) ( )x x 2 x 4 x 6

54

+ + + + + + = ή

x + x + 2 + x + 4 + x + 6 = 5·4 ή 4x 12 20+ = ή 4x = 20 – 12 ή 4x 8= ή x 2=

Άρα οι αριθµοί είναι οι 2, 4, 6, 8.


230.



β. Η διάµεσος είναι: 4 6

52

+ =

Το µέσο ύψος 10 καλαθοσφαιριστών µια οµάδας είναι 204 cm . Ποιο θα είναι το µέσο

ύψος της οµάδας:

α. Αν φύγει ένας παίχτης µε ύψους 200cm;

β. Αν έρθει ένας παιχτης µε ύψος 210cm;

γ. Αν φύγει ένας παίχτης µε ύψος 190cm και έρθει ένας άλλος µε ύψος 200cm;

Λύση

Το άθροισµα όλων των ύψων είναι: 10 · 204 = 2040 cm

α. Το µέσο ύψος θα είναι:2040 200

204,44cm9

− =

β. Το µέσο ύψος θα είναι:2040 210

204,55cm11

+

γ. Το µέσο ύψος θα είναι:2040 190 200

205cm10

− + =

Το διπλανό ιστόγραµµα συχνοτήτων δίνει τον αριθµό των ταινιών που είδαν οι µαθη-

τές µιας τάξης κατά την διάρκεια της σχολικής

χρονιάς.

α. Πόσοι είναι οι µαθητές της τάξης;

β. Πόσοι µαθητές είδαν 6 ταινίες και άνω;

γ. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων

και να υπολογίσετε τη µέση τιµή.

Λύση

Όπως φαίνεται από το ιστόγραµµα:

α. Ο αριθµός των µαθητών είναι 6 10 6 14 5 3 44+ + + + + = µαθητές.

β. 6 ταινίες και άνω είδαν 14 5 3 22+ + = µαθητές.

γ. Η µέση τιµή είναι:

1 6 3 10 5 6 7 14 9 5 11 3

44

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

6 30 30 98 45 335,5

44

+ + + + + =




1. Να βρεθεί η µέση τιµή και η διάµεσος:

α. Τεσσάρων διαδοχικών περιττών µε πρώτο τον 15.

β. Πέντε διαδοχικών άρτιων µε τελευταίο τον 18.

2. Η µέση τιµή και η διάµεσος πέντε αριθµών είναι 10. Αν οι τρεις από αυτούς είναι οι:

5, 12, 15, να βρείτε τους άλλους.

3. Πέντε διαδοχικοί περιττοί φυσικοί αριθµοί έχουν µέση τιµή 13.

α. Να βρεθούν οι αριθµοί αυτοί. β. Να βρείτε την διάµεσό τους.

4. Οκτώ εργαζόµενοι µιας επιχείρησης έχουν µέσο εβδοµαδιαίο µισθό 125 € και ο

µέσος µισθός των υπόλοιπων είναι 145 €. Αν ο µέσος µισθός όλων είναι 137 € πόσοι

είναι οι εργαζόµενοι ;

5. Η βαθµολογία 30 µαθητών στο µάθηµα της έκθεσης κυµαίνεται από 10 µέχρι 20

(κανένας δεν έγραψε κάτω από τη βάση). Γνωρίζουµε επίσης ότι πέντε µαθητές

έχουν βαθµό κάτω του 12, δώδεκα µαθητές έχουν βαθµό κάτω του 14, έξι µεγαλύτε-

ρο ή ίσο του 18 και δέκα µεγαλύτερο ή ίσο του 16.

α. Να παραστήσετε τα δεδοµένα σε ένα πίνακα συχνοτήτων.

β. Να υπολογίσετε την µέση τιµή.

γ. Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα συχνοτήτων.

δ. Τι ποσοστό µαθητών έγραψε 14 και πάνω;

6. Στον διπλανό πίνακα δίνονται τέσσερις παρατηρήσεις

µε τις αντίστοιχες συχνότητές τους. Η τρίτη συχνότητα

όµως χάθηκε! Μπορείτε να την βρείτε αν γνωρίζετε ότι η

µέση τιµή είναι 11,8;


232.



7. Το µέσο ύψος 20 µαθητών µιας τάξης είναι 160 cm. Ποιο είναι το µέσο ύψος της

τάξης:

α. Αν φύγει ένας µαθητής µε ύψος 141 cm;

β. Αν έρθει ένας µαθητής µε ύψος 149,5 cm;

γ. Αν φύγει ένας µαθητής µε ύψος 160 cm και έρθει ένας µε ύψος 170 cm;

8. Μια βιοτεχνία απασχολεί 4 υπαλλήλους στο τµήµα Α µε µέσο µισθό (µηνιαίο) 750€,

5 υπαλλήλους στο τµήµα Β µε µέσο µισθό 900€ και 6 υπαλλήλους στο τµήµα Γ µε

µέσο µισθό 1.000€. Ποιος είναι ο µέσος µισθός όλων των υπαλλήλων;

9. Η µέση τιµή 40 παρατηρήσεων είναι 20. Αν από αυτές οι 7 µειωθούν κατά 2 και οι 9

αυξηθούν κατά 6 να βρεθεί η νέα µέση τιµή.




Ερώτηση 1

α. Τι είναι διάµεσος ν παρατηρήσεων ενός δείγµατος;

β. Να βρεθεί η διάµεσος των αριθµών: 0, –1, –2, 1, 3, 5.

Ερώτηση 2

α. Να χαρακτηρίσετε Σωστή ή Λάθος την παρακάτω πρόταση:

Η µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων λέγεται και µέσο όρος.

β. Να βρεθεί η µέση τιµή των αριθµών: –5, –3, 0, 3, 5.

Άσκηση 1

30 µανιώδεις καπνιστές καπνίζουν ηµερησίως κατά µέσο όρο τους πιο κάτω αριθ-

µούς τσιγάρων:

20 22 25 26 27 21 22 23 27 30 32 34 20 25 20

20 24 30 30 28 31 24 23 25 23 25 25 24 21 33

α. Να οµαδοποιήσετε τα δεδοµένα σε κλάσεις πλάτους 5 και µετά σε κλάσεις πλάτους 3.

β. Να βρείτε και στις δύο περιπτώσεις την µέση τιµή και να την συγκρίνετε µε την

πραγµατική µέση τιµή. Σχολιάστε τα αποτελέσµατα.

Άσκηση 2

Η µέση ηλικία των 10 κοριτσιών ενός τµήµατος είναι 17 και των 10 αγοριών 17,2. Να

βρεθεί η ηλικία όλων των µαθητών.

Άσκηση 3

Οι 12 παίκτες µιας οµάδας µπάσκετ έχουν τις πιο κάτω ηλικίες:

20 23 24 27 30 22

30 25 30 31 25 25

α. Μια οµάδα που ο µέσος όρος ηλικιών των παικτών της είναι τα 28 έτη, θεωρείται

“γερασµένη” και χρειάζεται ανανέωση. Σε πόσα χρόνια θα χρειαστεί ανανέωση η

πιο πάνω οµάδα;

β. Αν κατά την ανανέωση, φύγουν όσοι έχουν ηλικία µεγαλύτερη από 28 έτη και

έρθουν στη θέση του καθενός από ένας παίκτης ηλικίας 22 ετών, ποιος είναι ο

νέος µέσος όρος των ηλικιών της οµάδας;




ÓõììåôñéêÜ ó÷ÞìáôáÓõììåôñéêÜ ó÷ÞìáôáÓõììåôñéêÜ ó÷ÞìáôáÓõììåôñéêÜ ó÷ÞìáôáÓõììåôñéêÜ ó÷Þìáôá


ÓõììåôñéêÜ Ó÷ÞìáôáÓõììåôñéêÜ Ó÷Þìáôá



Â


16 ÓõììåôñéêÜ Ó÷ÞìáôáÓõììåôñéêÜ Ó÷Þìáôá

Τι λέγεται άξονας συµµετρίας ενός σχήµατος;

Πόσους άξονες συµµετρίας µπορεί να έχει ένα σχήµα;

Άξονας συµµετρίας λέγεται µία ευθεία ε, τέτοια ώστε

αν διπλώσουµε το σχήµα κατά µήκος της ευθείας αυτής, τα

δύο µέρη του να ταυτίζονται. Ένα σχήµα µπορεί να µην έχει

κανέναν άξονα συµµετρίας, αλλά µπορεί να έχει και περισ-

σότερους από έναν άξονα συµµετρίας.

Το ισοσκελές τρίγωνο έχει άξονες συµµετρίας;

Μπορούµε να βγάλουµε κάποια συµπεράσµατα από αυτό;

Στο ισοσκελές τρίγωνο η ευθεία της διαµέσου η οποία

“πηγαίνει” προς τη βάση είναι άξονας συµµετρίας. Έτσι:

i. Η διάµεσος που αντιστοιχεί στη βάση είναι διχοτόµος

και ύψος, που σηµαίνει ότι 1 2A A= και ο

1 2∆ ∆ 90= = .

ii. Οι προσκείµενες στη βάση γωνίες του τριγώνου είναι ίσες,

δηλαδή ˆ ˆB Γ= .

Η συµµετρία µας βοη-

θάει να µελετήσουµε τις

ιδιότητες που έχουν κά-

ποια σχήµατα.

Στο ισόπλευρο τρίγω-

νο και οι τρεις διάµεσοι

ταυτίζονται µε τα αντί-

στοιχα ύψη και διχοτό-

µους.

A

B ÃÄ

1 2

1 2


238.

Συµµετρικά σχήµατα


Το ισοσκελές τραπέζιο έχει άξονα συµµετρίας;

Στο ισοσκελές τραπέζιο η ευθεία η οποία διέρχεται

από τα µέσα των βάσεων είναι άξονας συµµετρίας. Όπως

µπορούµε εύκολα να παρατηρήσουµε, δεν υπάρχει άλλος

άξονας συµµετρίας.

Ποιες είναι οι ιδιότητες που µπορούµε να συµπερά-

νουµε από τον παραπάνω άξονα συµµετρίας;

i. Οι προσκείµενες γωνίες στις βάσεις ενός ισοσκε-

λούς τραπεζίου είναι ίσες δηλαδη, A B= και Γ ∆= .

ii. Η ευθεία ΜΝ η οποία συνδέει τα µέσα των βάσεων και

είναι άξονας συµµετρίας του σχήµατος, είναι µεσοκάθε-

τος της κάθε βάσης.

Ποιοι είναι οι άξονες συµµετρίας του ρόµβου και τι

µπορούµε να συµπεράνουµε από αυτούς;

Σε κάθε ρόµβο οι ευθείες των διαγωνίων του είναι

άξονες συµµετρίας. Συνέπεια αυτού είναι:

α. Οι διαγώνιοι διχοτοµούν τις γωνίες του ρόµβου, δηλαδή

1 2A A= ,

1 2Β Β= κ.λ.π. .

β. Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται, δηλαδή το σηµείο τοµής

τους είναι µέσο της κάθε διαγωνίου.

γ. Οι διαγώνιοι τέµνονται κάθετα, δηλαδή, ο

1Ο 90= .

Ο ρόµβος δεν έχει άλλους άξονες συµµετρίας!

α. Η ευθεία που διέρχεται

από τα µέσα των µη

παράλληλων πλευ-

ρών δεν είναι άξονας

συµµετρίας.

β. Ένα τυχαίο τραπέζιο

δεν έχει κανένα άξο-

να συµµετρίας.

Τραπέζιο είναι το τετράπλευρο που έχει δύο πλευρές παράλληλες. Οι πλευρές αυτές

λέγονται βάσεις του τραπεζίου. Οι άλλες δύο πλευρές λέγονται µη παράλληλες πλευρές.

Ισοσκελές λέγεται το τραπέζιο που έχει τις µη παράλληλες πλευρές ίσες.

Ρόµβος είναι το παραλληλόγραµµο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.


239.Συµµετρικά σχήµατα


Ορθογώνιο παραλληλόγραµµο είναι το παραλληλόγραµµο που έχει όλες τις γωνίες

του ορθές.

Ποιοι είναι οι άξονες συµµετρίας του ορθογώνιου

παραλληλόγραµµου; Ποιες ιδιότητες προκύπτουν από

αυτό;

Στο ορθογώνιο παραλληλόγραµµο, άξονες συµµε-

τρίας είναι οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από τα µέσα των

απέναντι πλευρών του, δηλαδή η ε1 και ε2.

Συµπεραίνουµε ότι:

α. Οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από τα µέσα των βάσεων

είναι άξονες συµµετρίας.

β. Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου παραλληλογράµµου διχο-

τοµούνται και είναι ίσες.

Ποιοι είναι οι άξονες συµµετρίας του τετραγώνου;

Τι ιδιότητες έχει το τετράγωνο που µπορούµε να συµπε-

ράνουµε από αυτούς τους άξονες;

Το τετράγωνο είναι ρόµβος και ορθογώνιο παραλ-

ληλόγραµµο. Εποµένως έχει άξονες συµµετρίας:

α. Τις διαγωνίους του.

β. Τις ευθείες οι οποίες διέρχονται από τα µέσα των απένα-

ντι πλευρών.

Μπορούµε να συµπεράνουµε τις παρακάτω ιδιότητες:

α. Οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από τα µέσα των πλευ-

ρών του είναι µεσοκάθετοι των πλευρών.

β. Οι διαγώνιοι του τετραγώνου:

i. ∆ιχοτοµούνται.

ii. Τέµνονται κάθετα.

iii. ∆ιχοτοµούν τις γωνίες.

iv. Είναι ίσες

Τετράγωνο είναι το ορθογώνιο παραλληλόγραµµο που έχει όλες τις πλευρές του

ίσες. Το τετράγωνο δηλαδή είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο και ρόµβος συγ-

χρόνως.


240.



Ποιοι είναι οι άξονες συµµετρίας του κύκλου;

Η κάθε διάµετρος του κύκλου είναι άξονας συµµε-

τρίας. Συνεπώς ο κάθε κύκλος έχει άπειρους άξονες συµµε-

τρίας.

Πότε δύο σηµεία λέγονται συµµετρικά ως προς ευ-

θεία ε;

∆ύο σηµεία Α και Α΄ λέγο-

νται συµµετρικά ως προς µια ευ-

θεία ε, όταν η ε είναι µεσοκάθετος

του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΑ΄.

Πότε δύο σχήµατα λέγονται συµµετρικά ως προς µια

ευθεία ε;

∆ύο σχήµατα λέγονται

συµµετρικά ως προς µια ευθεία ε,

όταν το συµµετρικό κάθε σηµεί-

ου ενός σχήµατος ανήκει στο

άλλο σχήµα και αντίστροφα.

Τι συµπεραίνουµε για δύο συµµετρικά σχήµατα ως

προς µια ευθεία;

Αν διπλώσουµε τα σχήµατα γύρω από την ευθεία θα

συµπέσουν. Εποµένως είναι ίσα µεταξύ τους.

Πως µπορούµε να κατασκευάσουµε το συµµετρικό

ενός σηµείου Α ως προς µία ευθεία ε;

Φέρνουµε την κάθετη ΑΜ από το σηµείο Α προς την

ευθεία ε και την προεκτείνουµε κατά τµήµα ΜΑ΄ = ΜΑ. Το

Α΄ είναι συµµετρικό του σηµείου Α ως προς την ευθεία ε.

Το συµµετρικό ενός σχή-

µατος το οποίο έχει άξο-

να συµµετρίας µία ευθεί-

ας, ως προς αυτήν την

ευθεία, είναι το ίδιο

το σχήµα.

Όταν ένα σηµείο ανήκει

σε µία ευθεία το συµµε-

τρικό του ως προς αυτή

την ευθεία είναι το

ίδιο το σηµείο.

å

Á

Á´

M

(å)

Ì

Ì ´

A

B

Ã

Ä

Á´

B´

Ã´

Ä

Å´ÅÓ1 Ó2

(å)




Το συµµετρικό Γ΄ ενός οποιουδήποτε σηµείου Γ που ανήκει στο ευθύγραµµο

τµήµα ΑΒ ανήκει στο ευθύγραµµο τµήµα Α΄Β΄.

Πως κατασκευάζουµε το συµµετρικό ευθυγράµµου

τµήµατος ΑΒ ως προς ευθεία ε;

Το συµµετρικό ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ ως προς

την ευθεία ε είναι ένα ίσο ευθύγραµµο τµήµα προς το ΑΒ.

Κατασκευάζουµε τα συµµετρικά των άκρων του ΑΒ όπως

αναφέραµε παραπάνω.

Το συµµετρικό του Α είναι το Α΄ και του Β το Β΄. Το ευθύ-

γραµµο τµήµα Α΄Β΄ είναι το συµµετρικό του ΑΒ ως προς

την ευθεία ε.

Πως κατασκευάζουµε το συµµετρικό τριγώνου ΑΒΓ

ως προς ευθεία ε;

Κατασκευάζουµε τα συµµετρικά των τριών κορυφών

του Α, Β, Γ που είναι τα σηµεία Α΄, Β΄, Γ΄ αντίστοιχα.

Ενώνουµε τα σηµεία Α΄, Β΄, Γ΄. Το τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄ είναι

συµµετρικό του ΑΒΓ ως προς την ευθεία ε.

Είναι φανερό ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα.

Πως κατασκευάζουµε το συµµετρικό γωνίας xΟy ως

προς ευθεία ε;

Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Α που ανήκει στην πλευρά

Ο x της γωνίας και τυχαίο σηµείο Β που ανήκει στην πλευρά

Οy της γωνίας. Κατασκευάζουµε τα συµµετρικά των Α, Β και

της κορυφής Ο που είναι τα σηµεία Α΄, Β΄, Ο΄ αντίστοιχα.

Η γωνία A 'Ο'B' είναι η συµµετρική της γωνίας xΟy ως

προς την ευθεία ε.

Παρατηρήσεις:

α. Η συµµετρική γωνία της xΟy είναι ίση µε αυτήν.

β. Τα σηµεία Α, Β είναι τυχαία σηµεία των πλευρών της

γωνίας.

å

Á

Á´

Â

Â´Ã´

Ã


242.



Πως κατασκευάζουµε το συµµετρικό κύκλου (Ο,ρ)

(κέντρου Ο και ακτίνας ρ) ως προς ευθεία ε;

Κατασκευάζουµε το συµµετρικό του κέντρου Ο ως

προς την ευθεία ε, το Ο΄. Φτιάχνουµε τον κύκλο µε κέντρο

Ο΄ και ακτίνα ρ. Αυτός είναι συµµετρικός του κύκλου (Ο,ρ)

ως προς την ευθεία ε.

Το συµµετρικό τυχαίου σηµεί-

ου Μ του κύκλου (Ο,ρ) ανή-

κει στον κύκλο (Ο΄,ρ)

Πότε ένα σηµείο λέγεται κέντρο συµµετρίας ενός

σχήµατος;

Ένα σηµείο Ο λέγεται κέντρο συµµετρίας ενός σχή-

µατος, αν στρέφοντας το σχήµα κατά 180ο γύρω από το

σηµείο, το νέο σχήµα που θα προκύψει συµπέσει µε το αρ-

χικό. Λέµε ότι το σχήµα έχει κέντρο συµµετρίας το Ο.

Το παραλληλόγραµµο έχει κέντρο συµµετρίας;

Το παραλληλόγραµµο έχει κέντρο συµµετρίας το

σηµείο τοµής των διαγωνίων του Ο. Αν στρέψουµε το πα-

ραλληλόγραµµο κατά 180° γύρω από το Ο, το σηµείο Α

βρίσκεται στη θέση του Γ και αντίστροφα, το Γ στη θέση

του Α. Οµοίως “ανταλλάσουν” τις θέσεις τους τα σηµεία Β

και ∆. Με τη στροφή αυτή λοιπόν κατά 180° γύρω από το

σηµείο Ο παίρνουµε ένα καινούργιο παραλληλόγραµµο το

οποίο συµπίπτει µε το αρχικό.




“Αποδεικνύεται” ότι

όταν σε ένα τετρά-

πλευρο οι διαγώνιοι

διχοτοµούνται, τότε

αυτό είναι παραλλη-

λόγραµµο.

Μπορούµε να βγάλουµε κάποια συµπεράσµατα από

την παραπάνω συµµετρία στο παραλληλόγραµµο;

Όπως είπαµε τα σηµεία Α και Γ ανταλλάσουν τις θέ-

σεις τους κατά τη στροφή των 180° και το Ο βέβαια παραµένει

σταθερό. Μπορούµε λοιπόν να συµπεράνουµε ότι ΟΑ = ΟΓ.

Οµοίως σκεπτόµενοι βλέπουµε ότι ΟΒ = Ο∆.

Αποδεικνύουµε λοιπόν ότι “οι διαγώνιοι του παραλληλο-

γράµµου διχοτοµούνται”, δηλαδή έχουν κοινό µέσο.

Πότε δύο σηµεία Α και Β λέγονται συµµετρικά ως

προς το σηµείο Ο;

∆ύο σηµεία Α και Β λέγονται συµµετρικά ως προς

σηµείο Ο, όταν το Ο είναι µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος

ΑΒ. Με αυτόν τον τρόπο, στρέφοντας το ευθύγραµµο τµή-

µα κατά 180° γύρω από το Ο, το Α συµπίπτει µε το Β.

Πότε δύο σχήµατα λέγονται συµµετρικά ως προς το

σηµείο Ο;

∆ύο σχήµατα λέγονται συµµετρικά ως προς σηµείο

Ο όταν κάθε σηµείο του ενός σχήµατος είναι συµµετρικό

ενός σηµείου του άλλου σχήµατος και αντίστροφα.

Το κάθε σχήµα δηλαδή αποτελείται από τα συµµετρικά

σηµεία του άλλου σχήµατος ως προς Ο.

Τι σχέση έχουν δύο συµµετρικά σχήµατα ως προς το

σηµείο Ο;

Όταν στρέψουµε κατά 180° δύο συµµετρικά σχήµατα

ως προς σηµείο Ο, συµπίπτουν.

Έτσι οδηγούµαστε στο συµπέρασµα ότι είναι ίσα.

Á

Á´Â

Â´

Ã´

Ã

Ä

Ä´

Å

Å´

Ï


244.



Έστω σχήµα Σ µε κέντρο συµµετρίας Ο. Ποιο είναι

το συµµετρικό του σχήµατος ως προς το σηµείο Ο;

Είναι το ίδιο το σχήµα. Κατά τη στροφή του σχήµα-

τος κατά 180° το συµµετρικό κάθε σηµείου του σχήµατος

θα συµπέσει µε κάποιο άλλο σηµείο του σχήµατος.

Πως κατασκευάζουµε το συµµετρικό σηµείου Α ως

προς σηµείο Ο;

Ενώνουµε το Α µε το Ο και προεκτείνουµε κατά τµή-

µα ΟΒ = ΟΑ. Το σηµείο Β είναι το συµµετρικό του Α ως

προς το Ο.

Πως κατασκευάζουµε το συµµετρικό ευθυγράµµου

τµήµατος ΑΒ ως προς σηµείο Ο;

Βρίσκουµε τα συµµετρικά των Α και Β ως προς το Ο

που είναι τα Α΄ και Β΄ αντίστοιχα. Το ευθύγραµµο τµήµα

Α΄Β΄ είναι το συµµετρικό του ΑΒ ως προς Ο.

Πως κατασκευάζουµε το συµµετρικό ευθείας (ε) ως


Παίρνουµε δύο τυχαία σηµεία Α και Β της ευθείας

και βρίσκουµε τα συµµετρικά τους Α΄ και Β΄ αντίστοιχα ως

προς το Ο. Η ευθεία Α΄Β΄ είναι η συµµετρική της ΑΒ ως

προς το Ο.

Παρατηρήστε ότι η Α΄Β΄ είναι παράλληλη της ΑΒ.

Πως κατασκευάζουµε το συµµετρικό τριγώνου ως


Κατασκευές

συµµετρικών σχηµάτων

Á BO

Á

B

O Á´

B´

O

(å)A

B

AÂ´




Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Για να κατασκευάσουµε το συµ-

µετρικό του ως προς σηµείο Ο, βρίσκουµε τα συµµετρικά

των τριών κορυφών του. Έστω Α΄ το συµµετρικό του Α, Β΄

το συµµετρικό του Β και Γ΄ το συµµετρικό του Γ. Το τρίγω-

νο Α΄Β΄Γ΄ είναι το ζητούµενο. Μπορούµε εύκολα να διαπι-

στώσουµε ότι τα δύο τρίγωνα είναι ίσα.

Πως βρίσκουµε το συµµετρικό της γωνίας ˆxAy ως


Βρίσκουµε το συµµετρικό της κορυφής Α, το Α΄.

Παίρνουµε σηµεία Β και Γ που ανήκουν στην Αx και Αy

αντίστοιχα.

Βρίσκουµε τα συµµετρικά τους ως προς το Ο. Έστω Β΄ το

συµµετρικό των Β και Γ΄ του Γ. Η γωνία ΒΆ΄Γ΄ είναι η

συµµετρική της ˆxAy ως προς το σηµείο Ο. Οι δύο γωνίες

είναι ίσες και οι πλευρές τους είναι παράλληλες.

Πως βρίσκουµε το συµµετρικό κύκλου (Κ,R) ως προς

σηµείο Ο;

Βρίσκουµε το συµµετρικό του κέντρου Κ, το Κ΄. Φτιά-

χνουµε τον κύκλο (Κ΄,R). Αυτός είναι ο συµµετρικός του

κύκλου (Κ,R) ως προς το σηµείο Ο.

O

A

B Ã

A

Â´Ã´

O

A

B

Ã

A

Â´

Ã´

y

y´

x´

x

OK K´


246.



Να σχεδιάσετε τα παρακάτω σχήµατα και να βρείτε τους άξονες συµµετρίας τους.

α. ισόπλευρο τρίγωνο β. ορθογώνιο τρίγωνο γ. παραλληλόγραµµο

δ. ηµικύκλιο ε. ευθύγραµµο τµήµα

Λύση

α. Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις άξονες συµµετρίας, τις

τρεις διαµέσους του.

β. Το ορθογώνιο τρίγωνο δεν έχει κανένα άξονα συµµετρίας.

γ. Το παραλληλόγραµµο (πλάγιο) δεν έχει άξονες συµµετρίας.

δ. Το ηµικύκλιο έχει έναν άξονα συµµετρίας, την ευθεία η οποία

είναι κάθετη στη διάµετρό του στο κέντρο Ο.

ε. Το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ έχει δύο άξονες συµµετρίας. Τη

µεσοκάθετό του ε και το ίδιο το τµήµα ΑΒ.

Να κατασκευάσετε το συµµετρικό ενός τριγώνου ΑΒΓ ως προς:

α. Ευθεία ε, η οποία διέρχεται από την κορυφή Β.

β. Ευθεία ζ, η οποία διέρχεται από το εσωτερικό του τριγώνου.

γ. Τον φορέα της διαµέσου ΜΑ.

Λύση

α. Τα συµµετρικά των σηµείων Α και Γ τα βρίσκουµε µε το γνωστό τρόπο. Το συµµετρι-

κό σηµείο του Β είναι το ίδιο το Β αφού ανήκει στην ευθεία ε. Εποµένως το ζητούµε-

νο τρίγωνο είναι το Α΄ΒΓ΄.




β. Κατασκευάζουµε τα συµµετρικά των τριών κορυφών Α, Β, Γ που είναι τα Α΄, Β΄, Γ΄

αντίστοιχα. Το τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄ είναι συµµετρικό του ΑΒΓ ως προς την ευθεία ζ.

γ. Βρίσκουµε τα συµµετρικά Β΄ και Γ΄ των Β και Γ αντίστοιχα. Το Α ανήκει στη διάµεσο

ΑΜ, εποµένως ταυτίζεται µε το συµµετρικό του Α΄. Το Α΄Β΄Γ΄ είναι το ζητούµενο

τρίγωνο.

B Ã

B´

M

Ã´

A A ´

α. Να βρείτε το συµµετρικό ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ ως προς την πλευρά του ΒΓ.

Τι σχήµα είνα αυτό που προκύπτει;

β. Να υπολογιστούν οι γωνίες του παραπάνω σχήµατος.

Λύση

α. Βρίσκουµε το συµµετρικό του Α το Α΄. Τα Β και Γ ανή-

κουν στη ΒΓ εποµένως ταυτίζονται µε τα συµµετρικά τους.

Το τρίγωνο Α΄ΒΓ είναι το ζητούµενο συµµετρικό του ΑΒΓ

ως προς την πλευρά του ΒΓ.

Το σχήµα ΑΒΑ΄Γ που προκύπτει είναι ρόµβος αφού έχει

όλες τις πλευρές του ίσες. (Μην ξεχνάµε ότι το συµµετρι-

B´= Â Ã´= Ã

A

A´


248.



κό ευθυγράµµου τµήµατος ως προς ευθεία, είναι ίσο ευθύγραµµο τµήµα)

β. Αφού το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο τρίγωνο, έχει τρεις γωνίες ίσες µε 60ο. Εποµένως

oA A ' 60= = και οABA ' AΓΑ ' 120= = .

α. Να κατασκευάσετε το συµµετρικό Α΄Β΄ ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ ως προς

ευθεία ε η οποία δεν το τέµνει.

β. Τι σχήµα είναι το ΑΑ΄Β΄Β;

γ. Τι είναι η ευθεία ε για αυτό το σχήµα;

Λύση

α. Βρίσκουµε τα συµµετρικά των Α και Β.

β. Η ευθεία ΑΑ΄ είναι παράλληλη στη ΒΒ΄ αφού είναι και

οι δύο κάθετες στην ε. Έτσι το σχήµα ΑΑ΄Β΄Β είναι τρα-

πέζιο µε βάσεις ΑΑ΄ και ΒΒ΄.

Ακόµα ΑΒ = Α΄Β΄, αφού είναι συµµετρικά. Εποµένως το

ΑΑ΄Β΄Β είναι ισοσκελές τραπέζιο.

γ. Η ευθεία ε είναι άξονας συµµετρίας του τραπεζίου.

Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ//Γ∆) η γωνία Α είναι 120ο . Να υπολογιστούν οι

γωνίες του τραπεζίου.

Λύση

Αφού το τραπέζιο είναι ισοσκελές είναι Α Β= και Γ ∆= .

Η γωνία Α είναι παραπληρωµατική της γωνίας ∆ αφού

είναι εντός και επί τα αυτά.

Άρα ο

Α ∆ 180+ = δηλαδή ο ο ο

∆ 180 120 ∆ 60= − ⇔ = .

Τελικά οΑ Β 120= = και ο

Γ ∆ 60= = .

Σε ρόµβο ΑΒΓ∆ η διαγώνιος ΑΓ σχηµατίζει µε την πλευρά Α∆ γωνία 30ο. Είναι

Α∆ = 5cm.

α. Να υπολογιστούν οι γωνίες του ρόµβου.

β. Να υπολογιστει η διαγώνιος Β∆.

Λύση

α. Ως γνωστόν οι διαγώνιοι του ρόµβου διχοτοµούν τις γωνίες

του. Εποµένως: ο

Α 60= . Οι απέναντι γωνίες του ρόµβου είναι

ίσες, ενώ οι διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωµατικές (εντός

και επί τα αυτά). Έτσι οΑ Γ 60= = και ο οΑ ∆ 180 ∆ 120+ = ⇔ =




β. Επειδή η διαγώνιος Β∆ διχοτοµεί τις γωνίες ∆ και Β θα είναι ο

1 1∆ Β 60= = . Επο-

µένως το τρίγωνο ΑΒ∆

είναι ισόπλευρο και Β∆ Α∆ 5 cm= = .

Να σχεδιάσετε το συµµετρικό γωνίας xΟy ως προς:

α. Την πλευρά Οx. β. Τη διχοτόµο Οδ της γωνίας

Λύση

α. Το συµµετρικό του Ο είναι το ίδιο το σηµείο και το συµµετρι-

κό της πλευράς Οx είναι η ίδια ηµιευθεία Οx. Έτσι αποµένει

να βρούµε το συµµετρικό της πλευράς Οy ως προς την Ox.

Έστω σηµείο Α τη Oy. Βρίσκουµε το συµµετρικό του ως προς

την Οx, το Α΄. Η γωνία xOA΄ είναι η ζητούµενη συµµετρική

της xOy ως προς την πλευρά Οx.

β. Παίρνουµε σηµείο Α της Οx και βρίσκουµε το συµµετρικό

του Α΄ ως προς την Οδ. Παρατηρούµε ότι το Α΄ ανήκει

στην Oy. Οµοίως το συµµετρικό του σηµείου Β της Οy

είναι το Β΄ που ανήκει στην Οx. Συνεπώς η συµµετρική

γωνία της xΟy ως προς τη διχοτόµο της είναι η ίδια η

γωνία.

Σε ορθογώνιο σύστηµα αξόνων να σηµειώσετε τα σηµεία

( )A 4,0 , ( )B 0,3 , ( )Γ 0, 3− . Να βρείτε το συµµετρικό του

τριγώνου ΑΒΓ ως προς:

α. Τον άξονα x΄x. β. Τον άξονα y΄y.

Λύση

α. Το συµµετρικό του Β ως προς τον άξονα x΄x είναι το Γ και αντιστρόφως του Γ το Β.

Το συµµετρικό του Α ως προς τον άξονα x΄x είναι το ίδιο το σηµείο Α.

Εποµένως το συµµετρικό του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τον άξονα x΄x είναι το ίδιο το

τρίγωνο.

β. Τα συµµετρικά των Β και Γ ως προς τον άξονα y΄y

είναι τα ίδια τα σηµεία. Το συµµετρικό του Α είναι

το ( )Α ' 4,0− .

Εποµένως το συµµετρικό του τριγώνου ΑΒΓ είναι

το Α΄ΒΓ.

O

B(0,3)

x

y

Ã 0,-3( )

A(4,0)

x´

y´

O

B

x

y

Ã

A

x´

y´

A´


250.



Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε το συµµετρικό του ως προς την

κορυφή του Α.

Λύση

Το συµµετρικό του Α είναι το ίδιο το Α. Βρίσκουµε τα συµµετρικά

των Β και Γ, τα Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα. Το τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄ είναι το

ζητούµενο.

Να βρείτε τα κέντρα συµµετρίας (αν υπάρχουν) των παρακάτω σχηµάτων:

α. Ενός κυκλικού δίσκου β. Ενός ισοπλεύρου τριγώνου

γ. Ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου δ. Ενός ευθυγράµµου τµήµατος

Λύση

α. Το κέντρο συµµετρίας του κυκλικού δίσκου είναι το κέντρο του Κ.

β. Το ισόπλευρο τρίγωνο δεν έχει κέντρο συµµετρίας.

γ. Το κέντρο συµµετρίας του ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι το

σηµείο τοµής των διαγωνίων του Κ.

δ. Το κέντρο συµµετρίας ενός ευθυγράµµου τµήµατος

είναι το µέσο του Ο.

Να βρείτε το συµµετρικό του τµήµατος ΑΒ ως προς το σηµείο Ο, σε καθένα από τα

παρακάτω σχήµατα.

α. β. γ.

Λύση

Βρίσκουµε τα συµµετρικά των Α και Β ως προς το Ο.

α. OA B B´ A

Είναι ΟΒ = ΟΒ΄, ΟΑ= ΟΑ΄ και ΑΒ = Α΄Β΄. Το συµµετρικό του ΑΒ είναι το Α΄Β΄.

β.

γ.

Το συµµετρικό του Α είναι το Β. Εποµένως το συµµετρικό του ευθυγράµµου τµήµα-

τος ΑΒ είναι το ίδιο το ΑΒ. Το Ο είναι το κέντρο συµµετρίας του ΑΒ.




∆ίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )oA 90= . Να βρείτε το συµµετρικό του ως

προς το µέσο Μ της υποτείνουσας.

Λύση

Βρίσκουµε το συµµετρικό του Α ως προς το Μ, που είναι το σηµείο

Α΄. Το συµµετρικό του Β είναι το Γ και του Γ το Β.

Εποµένως το συµµετρικό του τριγώνου ΑΒΓ είναι το Α΄ΒΓ.

Στην προηγούµενη άσκηση τι σχήµα είναι το ΑΒΑ΄Γ;

Λύση

Τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΜ και Α΄Μ είναι ίσα αφού είναι συµµετρικά. Το Μ είναι

µέσο της πλευράς ΒΓ εποµένως ΜΒ = ΜΓ. Το τετράπλευρο ΑΒΑ΄Γ είναι λοιπόν πα-

ραλληλόγραµµο αφού οι διαγώνιοί του διχοτοµούνται. Επειδή η γωνία Α είναι ορθή,

το ΑΒΑ΄Γ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο.

A

B

Ã

M

A


252.



1. ∆ύο ευθείες ε1, ε2 τέµνονται όπως στο σχήµα. Να βρείτε τους

άξονες συµµετρίας του σχήµατος.

2. Πόσους άξονες συµµετρίας έχει:

α. Ένας κύκλος. β. Ένα ηµικύκλιο γ. Ένα τεταρτοκύκλιο

3. Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆. Προεκτείνουµε τις πλευρές του ΑΒ

και ΓΒ κατά τµήµατα ΒΚ = ΑΒ και ΒΛ = ΒΓ. Σχηµατίζουµε το

τετράγωνο ΒΚΜΛ. Να βρεθούν οι άξονες συµµετρίας του

σχήµατος.

4. Να βρεθούν οι άξονες συµµετρίας µιας γωνίας αν υπάρχουν.

5. Να βρείτε τους άξονες συµµετρίας κάθε γράµµατος της φράσης:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6. Έστω ρόµβος ΑΒΓ∆. Οι διαγώνιοί του ΑΓ και Β∆ έχουν µήκη 8cm

και 6cm αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τα µήκη των πλευρών του.

7. Σε ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων να σηµειώσετε τα σηµεία ( )Α 1,3 , ( )Β 1, 3− ,

( )Γ 1,3− και ( )∆ 1, 3− − . Να βρείτε τα συµµετρικά των σηµείων ως προς τους άξονες

x΄x και y΄y. Ποιο είναι το συµµετρικό του ευθυγράµµου τµήµατος ΓΒ ως προς τον

άξονα x΄x.




8. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) είναι ο

Β 30= . Να υπολογιστούν οι γωνίες

του τριγώνου.

9. Στο ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ//Γ∆) είναι οΑ 100= . Να υπολογίσετε τις υπόλοι-

πες γωνίες του τραπεζίου.

10. Να κατασκευάσετε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο και να βρείτε το συµµετρικό

του ως προς:

α. Την πλευρά του ΑΓ β. Την υποτείνουσα ΒΓ Γ. Τη διάµεσο ΑΜ.

11. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) είναι ο

Α 80= . Να υπολογιστούν:

α. Οι γωνίες του τριγώνου.

β. Η γωνία που σχηµατίζει η διάµεσος ΑΜ µε την πλευρά ΑΒ.

12. Να βρείτε το συµµετρικό τραπεζίου ΑΒΓ∆ ως προς την ευθέία της διαγωνίου ΑΓ.

13. Να βρείτε το συµµετρικό του τριγώνου ΑΒΓ ως προς ευθεία η οποία διέρχεται από

το Α και τέµνει την πλευρά ΒΓ στο Μ.

14. Να βρείτε το συµµετρικό της ηµιευθείας Αx:

α. ως προς το Α β. ως προς τυχαίο σηµείο της Β

15. Να βρείτε το συµµετρικό τριγώνου ΑΒΓ ως προς τυχαίο ση-

µείο Κ που βρίσκεται µέσα στο τρίγωνο.

16. Να βρείτε το συµµετρικό τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις κορυφές Β και Γ.

17. Να βρείτε το συµµετρικό γωνίας ˆxAy ως προς την κορυφή Α.

18. α. Να βρείτε το συµµετρικό ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) ως προς το µέσο

Μ της πλευράς ΒΓ.

β. Τι σχήµα είναι το τετράπλευρο που σχηµατίζεται;

γ. Τι θα έπρεπε να είναι το τρίγωνο ΑΒΓ ώστε το τετράπλευρο που προαναφέραµε

να είναι τετράγωνο;

A

B Ã

K


254.



Ερώτηση 1

Τι λέµε άξονα συµµετρίας σχήµατος ;

Ερώτηση 2

Γράψτε τις ιδιότητες που έχει ένα ισοσκελές τρίγωνο.

Ερώτηση 3

Στα παρακάτω σχήµατα να γράψετε ποιες ευθείες έχουν άξονα συµµετρίας και τι

ιδιότητες µπορούµε να συµπεράνουµε από αυτούς τους άξονες;

α. ισοσκελές τραπέζιο β. ρόµβος γ. ορθογώνιο παραλληλόγραµµο

δ. τετράγωνο ε. κύκλος

Ερώτηση 4

Πότε δύο σηµεία λέγονται συµµετρικά ως προς ευθεία ε και πότε δύο σχήµατα λέγο-

νται συµµετρικά ως προς ευθεία ε ;

Ερώτηση 5

∆ύο συµµετρικά σχήµατα είναι πάντα ίσα ;

Άσκηση 1

Να βρείτε τα συµµετρικά των παρακάτω σχηµάτων ως προς τις σηµειωµένες ευθείες ε.

α. β.




γ.

Άσκηση 2

Στο ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ//Γ∆) ισχύει Α 2∆= . Να βρείτε όλες τις γωνίες

του τραπεζίου. (Χρησιµοποιήστε ότι οΑ Β Γ ∆ 360+ + + = )

Άσκηση 3

Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ.

α. Να βρείτε το συµµετρικό του ως προς την ευθεία της διαµέσου ΑΜ.

β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο που προκύπτει είναι ίσο µε το ΑΒΓ.

γ. Η ΑΜ είναι διάµεσος του συµµετρικού τριγώνου; Να δικαιολογήσετε την απάντη-

σή σας.




Åðßêåíôñåò ãùíßåòÅðßêåíôñåò ãùíßåòÅðßêåíôñåò ãùíßåòÅðßêåíôñåò ãùíßåòÅðßêåíôñåò ãùíßåòÅããåãñáììÝíåò ãùíßåòÅããåãñáììÝíåò ãùíßåòÅããåãñáììÝíåò ãùíßåòÅããåãñáììÝíåò ãùíßåòÅããåãñáììÝíåò ãùíßåò


ÊáíïíéêÜ ðïëýãùíáÊáíïíéêÜ ðïëýãùíáÊáíïíéêÜ ðïëýãùíáÊáíïíéêÜ ðïëýãùíáÊáíïíéêÜ ðïëýãùíáÐëåõñÜ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõÐëåõñÜ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõÐëåõñÜ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõÐëåõñÜ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõÐëåõñÜ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõ


ÌÞêïò êýêëïõÌÞêïò êýêëïõÌÞêïò êýêëïõÌÞêïò êýêëïõÌÞêïò êýêëïõÅìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõÅìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõÅìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõÅìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõÅìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ

ÌÞêïò ôüîïõÌÞêïò ôüîïõÌÞêïò ôüîïõÌÞêïò ôüîïõÌÞêïò ôüîïõÅìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝáÅìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝáÅìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝáÅìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝáÅìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá


ÌÝôñçóç ÊýêëïõÌÝôñçóç Êýêëïõ



Â


17Åðßêåíôñåò - ÅããåãñáììÝíåò

ãùíßåòÅðßêåíôñåò - ÅããåãñáììÝíåò

ãùíßåò

Ποια γωνία λέγεται επίκεντρη; Τι λέµε αντίστοιχο

τόξο της επίκεντρης γωνίας; Πότε λέµε ότι ένα τόξο είναι

µο;

Επίκεντρη γωνία σε κύκλο (Ο,ρ) λέγεται κάθε γωνία

ˆxOy που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου.

Αν οι πλευρές της επίκεντρης γωνίας τέµνουν τον κύκλο

(Ο,ρ) στα σηµεία Α και Β λέµε ότι το τόξο AB είναι το

αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας. Επίσης λέµε ότι η

επίκεντρη γωνία ÂOB βαίνει στο τόξο AB .

Ένα τόξο λέµε ότι είναι µο , όταν αντιστοιχεί σε επίκεντρη

γωνία µο.

Προσοχή!!!

∆εν µπορούµε να κάνουµε σύγκριση τόξων σε άνισους κύ-

κλους. ∆ύο τόξα µο είναι ίσα µόνο όταν είναι τόξα του ίδιου

κύκλου ή ίσων κύκλων.

∆ηλαδή δύο τόξα AB και A 'B' µο όταν ανήκουν σε άνι-

σους κύκλους, δεν µπορεί να είναι ίσα, ενώ οι επίκεντρες

γωνίες ÂOB και Â 'OB' είναι πάντα ίσες.

Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΕΠΙΚΕΝΤΡΩΝ ΓΩΝΙΩΝ

• Σε ίσους κύκλους ή στον ίδιο κύκλο ισχύουν:

1. Ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα και τα αντίστοιχα τόξα τους και αντίστοφα.

2. Ίσα τόξα έχουν ίσες και τις αντίστοιχες χορδές τους και ίσες χορδές έχουν και τα

αντίστοιχα µικρά ή µεγάλα τόξα τους ίσα (Σε κάθε χορδή ενός κύκλου αντιστοιχούν

δύο τόξα, ένα “µικρό” και ένα “µεγάλο”).

3. ∆ύο τόξα µο είναι ίσα.

• Τα τόξα και οι γωνίες µετριούνται µε τις ίδιες µονάδες.

O

ñ

A B

x y

ìï

Επίκεντρες γωνίες


260.

Επίκεντρες - Εγγεγραµµένες γωνίες

Μέτρηση κύκλου

Πόσων µοιρών είναι:

α. Ένας κύκλος,

β. Ένα ηµικύκλιο,

γ. Καθένα από τα τόξα στα οποία χωρίζεται ένας κύκλος

από δύο κάθετες διαµέτρους του;

α. Κάθε κύκλος είναι τόξο 360ο και αντιστοιχεί στην

πλήρη επίκεντρη γωνία.

β. Κάθε ηµικύκλιο είναι τόξο 180ο και αντιστοιχεί στην

ευθεία επίκεντρη γωνία.

γ. Κάθε τεταρτοκύκλιο είναι 90ο και αντιστοιχεί σε επίκε-

ντρη γωνία 90ο (1L).

α. Ποια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; β. Ποια είναι η

σχέση της εγγεγραµµένης γωνίας προς την επίκεντρη που

αντιστοιχεί στο ίδιο τόξο; Να αποδείξετε τον ισχυρισµό

σας στην περίπτωση που µια πλευρά της εγγεγραµµένης

γωνίας περνάει από το κέντρο του κύκλου.

α. Εγγεγραµµένη γωνία σε κύκλο (Ο,ρ), λέγεται κάθε

γωνία ˆxAy που έχει την κορυφή της στον κύκλο και οι

πλευρές της τέµνουν τον κύκλο.

Το τόξο BΓ του κύκλου (Ο,ρ) ονοµάζεται αντίστοιχο

τόξο της εγγεγραµµένης γωνίας ˆxAy .

Λέµε ακόµα ότι η εγγεγραµµένη γωνία BAΓ βαίνει σε

τόξο BΓ .

β. Η εγγεγραµµένη γωνία είναι ίση µε το µισό της επίκε-

ντρης γωνίας, που βαίνει στο ίδιο τόξο. (Με άλλα λόγια,

η εγγεγραµµένη γωνία σε µοίρες είναι ίση µε το µισό του

αντίστοιχου τόξου της.)

Χαρακτηριστικά τόξα

Εγγεγραµµένες γωνίες


261.Μέτρηση κύκλου


Απόδειξη

Έστω ότι η γωνία φ είναι εγγεγραµµένη και Ο2, η αντίστοι-

χη επίκεντρη. Από το σχήµα ισχύουν:

ΟΑ ΟΒ ρ= = ,

οπότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές.

Άρα: ˆ ˆ Â Β φ= = .

Επίσης:

ο ο ο

1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆΟ A Β 180 ή Ο 2φ 180 ή 2φ 180 Ο+ + = + = = − (1)

Αλλά: ο

1 2Ο Ο 180+ = (παραπληρωµατικές)

ή ο

2 1Ο 180 Ο= − (2)

Από τις σχέσεις (1), (2) προκύπτει: 2 2

1ˆ ˆ2φ Ο ή φ Ο

2= =

1. Κάθε εγγεγραµµένη γωνία που βαίνει σε ηµικύκλιο είναι ορθή.

2. Οι εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξο είναι ίσες.

3. Αν δύο εγγεγραµµένες γωνίες είναι ίσες τότε τα τόξα στα οποία βαίνουν είναι

ίσα.


262.



Οι διάµετροι στον διπλανό κύκλο σχηµατίζουν γωνία 60ο. Να

βρείτε πόσες µοίρες είναι καθένα από τα τόξα στα οποία χω-

ρίζεται ο κύκλος από τις διαµέτρους αυτές.

Λύση

Οι γωνίες ˆΒO∆ και ˆΓOΑ είναι ίσες ως κατακορυφήν.

Άρα: οB∆ ΑΓ 60= = .

Επίσης οι γωνίες ˆΓOΒ και ˆΑO∆ είναι ίσες ως κατακορυφήν.

Όπως γνωρίζουµε ο κύκλος αντιστοιχεί σε γωνια 360ο.

Άρα: ( ) ( )ο ο ο ο ο ο 0ˆ ˆ ˆ ˆΓOΒ ΑO∆ 360 ΒO∆ ΓOΑ 360 60 60 360 120 240+ = − + = − + = − =

Συνεπώς: ο

ο240Α∆ ΓΒ 120

2= = =

Να υπολογίσετε πόσων µοιρών είναι το τόξο που διαγράφει η

άκρη του λεπτοδείκτη ενός ρολογιού σε 30 λεπτά. Σε πόσο

χρόνο η άκρη του λεπτοδείκτη διαγράφει τόξο 90ο ;

Λύση

Η άκρη του λεπτοδείκτη διαγράφει έναν κύκλο, δηλαδή 360ο

σε 60 λεπτά. Άρα σε 30 λεπτά θα διαγράψει τόξο ίσο µε:

ο ο ο30 1360 360 180

60 2⋅ = ⋅ =

Η άκρη του ωροδείκτη διαγράφει τόξο 360ο σε 12 ώρες. Άρα τόξο 90ο διαγράφει η

άκρη του ωροδείκτη σε:

ο

ο

90 112 12 3ώρες

4360⋅ = ⋅ =

Να υπολογίσετε πόσων µοιρών είναι καθένα από τα τόξα:

Α∆, ∆Γ, ΒΓ

12 12

3

456

9

78

1011

O

A

Ä Ã

B

o3x 10o

2x 15 ox 5

O




Λύση

Αφού το ηµικύκλιο είναι τόξο 180ο θα ισχύει:

oΑ∆ ∆Γ ΒΓ 180+ + = ή ( ) ( ) ( )o o o o2x 15 3x 10 x 5 180− + + + + =ή o o o o2x 15 3x 10 x 5 180− + + + + = ή o6x 180= ή ox 30=

Άρα: oΑ∆ 2x 15 2 30 15 45= − = ⋅ − = , o∆Γ 3x 10 3 30 10 100= + = ⋅ + = ,

oΓB x 5 30 5 35= + = + = .

Να γράψετε έναν κύκλο (Ο,ρ) και µία επίκεντρη γωνία του ÂOΒ που να βαίνει σε

τεταρτοκύκλιο. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ÂOΒ .

Λύση

Γνωρίζουµε ότι κάθε τεταρτοκύκλιο είναι 90ο. Το τρίγωνο

ΟΑΒ είναι ισοσκελές αφού ΑΟ = ΟΒ = ρ. Άρα ˆ Â Β= . Επίσης

ξέρουµε ότι οˆ ˆÂ Β O 180+ + = ή

0 oˆ2A 90 180+ = ή

o o oˆ2A 180 90 90= − = ή oA 45= . Άρα oˆ Â Β 45= = .

∆ίνεται επίκεντρη γωνία oÂOΒ 100= σε κύκλο (Ο,ρ) και η εγγεγραµµένη γωνία

ˆΒΓΑ τέτοια ώστε το Ο να περιέχεται σ’ αυτή και οˆΟΒΓ 40= . Να υπολογίσετε τις

γωνίες ˆΒΓΑ και ˆΟΑΓ .

Λύση

Η εγγεγραµµένη γωνία ˆΒΓΑ βαίνει στο τόξο AB .

Άρα θα ισχύει: ο

οˆΑΟΒ 100ˆΒΓΑ 502 2

= = =

Αν φέρουµε την ακτίνα ΟΓ θα έχουµε: ΟΓ ΟΒ ρ= = , δηλαδή

το τρίγωνο ΟΒΓ θα είναι ισοσκελές, άρα o1Β Γ 40= = .

Από το σχήµα βλέπουµε ότι ισχύει: ο ο ο

2 1Γ ΒΓΑ Γ 50 40 10= − = − =Και επειδή ΟΑ ΟΓ ρ= = , το τρίγωνο ΑΟΓ θα είναι ισοσκελές, οπότε:

ο

2A Γ 10= = ή οˆΟΑΓ 10=

∆ίνεται ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ = 6cm και σηµείο το Γ του

ηµικυκλίου , ώστε ΑΓ 3ΓΒ= . Να υπολογιστούν οι γωνίες

του τριγώνου ΑΒΓ.

A B

Ã

Oñ ñ


264.



Λύση

Έχουµε: ΑΓ ΓΒ AB+ = ή o3ΓΒ ΓΒ 180+ = ή

o4ΓΒ 180= ή oΓΒ 45= .

Άρα o oΑΓ 3 45 135= ⋅ = .

Οπότε o

οΒΓ 45A 22,5

2 2= = = ,

ooΑΓ 135

B 67,52 2

= = = ,

( )ο ο οΓ 180 22,5 67,5= − + ή οΓ 90=

Σε κύκλο κέντρου Ο, οι χορδές ΑΒ και Γ∆ τέµνονται στο Κ. Να δείξετε ότι η γωνία

φ δίνεται από τη σχέση: Β∆ ΑΓ

φ2+= , όπου Β∆ , ΑΓ τα µέτρα των τόξων.

Λύση

Φέρνουµε τη χορδή Α∆. Για τις εγγεγραµµένες γωνίες A και

∆ ισχύουν: Β∆

A2

= , ΑΓ

∆2

= (1)

Στο τρίγωνο ΚΑ∆ έχουµε:

1

ˆ ˆK 180 Α ∆= ° − − και ( )1 1ˆ ˆφ 180 K φ, K παραπληρωµατικές= ° −

Οπότε από τις προηγούµενες σχέσεις έχουµε:

( ) ( )

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆφ 180 180 Α ∆ 180 180 Α ∆ Α ∆

Β∆ ΑΓ Β∆ ΑΓ

2 2 2

= ° − ° − − = ° − ° + + = + =

+= + =

Σε κύκλο (Ο,ρ) να πάρετε δύο διαδοχικές επίκεντρες γωνίες οˆΑΟΒ 140= και

οˆΒΟΓ 60= . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

Λύση

Γνωρίζουµε ότι το µέτρο µιας επίκεντρης γωνίας είναι ίσο µε το µέτρο του αντίστοιχου

τόξου στο οποίο βαίνει.

Άρα θα έχουµε:

οAB 140= , οBΓ 60= , ( )ο ο ο οΓΑ 360 140 60 160= − + = .

Άρα οι γωνίες του τριγώνου είναι:

ο

ο60A 30

2= = ,

ο

ο160B 80

2= = ,

ο

ο140Γ 70

2= = .

A

BÃ

O Ä

Kö

1




Να υπολογιστούν οι γωνίες ˆ ˆx, y στο διπλανό σχήµα.

Λύση

Έχουµε: ο ο

ΑΒΓ 2 100 200= ⋅ = .

Άρα: ο ο οBΓ 200 58 142= − =

και ( )ο ο ο οΓ∆ 360 200 92 68= − + =

Οπότε: o

oΒΓ 142x 71

2 2= = = και

o ooΑΓ Α∆ ∆Γ 92 68

y 802 2 2

+ += = = =

Να υπολογίστει το τόξο ΑΓ στο διπλανό σχήµα αν ΑΒ//Γ∆ και οΓ∆ 70= .

Λύση

Φέρνουµε τις χορδές Α∆ και ΒΓ. Επειδή ΑΒ//ΑΓ οι γωνίες

ˆ Â ∆= και ˆ ˆB Γ= . Οπότε: ΑΓ B∆= .

Αλλά οΑΓ Γ∆ B∆ 180+ + = ή o oΑΓ ΑΓ 70 180+ + = ή

ο ο ο2ΑΓ 180 70 110= − = ή ο

ο110ΑΓ 55

2= = .

Να γράψετε κύκλο (Ο,ρ). Πάρτε δύο τόξα οΑΒ 50= και ο

Γ∆ 60= . Αν οι χορδές ΑΓ

και Β∆ τέµνονται στο Ρ να υπολογίσετε τη γωνία ˆΑΡΒ .

Λύση

Φέρνουµε τη χορδή ΒΓ. Η εγγεγραµµένη γωνία ˆ ˆB ∆BΓ=

είναι ίση µε : ο

ο60B 30

2= = . Επίσης

ο

ο50Γ 25

2= = .

ˆ ˆΑΡΒ ΒΡΓ 180+ = ° οπότε ˆ ˆΑΡΒ 180 ΒΡΓ= ° −

Η γωνία ˆΒΡΓ είναι ίση µε:

( ) ( )ˆ ˆ ˆΒΡΓ 180 ∆ΒΓ ΑΓΒ 180 30 25 180 55 125= ° − + = ° − ° + ° = ° − ° = °

Οπότε ˆΑΡΒ 180 125 55= ° − ° = °

B

Ã

50o

Ä

A

O

Ñ


266.



1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις:

i. ∆ίνεται κύκλος (Ο,ρ) και τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ του κύκλου σχηµατίζουν τετράγωνο.

Ισχύει:

Α. οˆΑΟΒ 30= Β.

οˆΑΟΒ 90= Γ. οˆΑΟΒ 135= ∆. οˆΑΟΒ 160=

ii. Αν σε κύκλο (Ο,ρ) η χορδή ΑΒ = ρ τότε το τρίγωνο ΑΟΒ είναι:

Α. Σκαληνό Β. Ισοσκελές Γ. Ισόπλευρο

∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

2. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τις

παρακάτω προτάσεις µε τη βοήθεια του διπλανού σχήµατος:

i. ˆ ˆB Γ= ii. οˆ ˆB Γ 90+ =

iii. οA 90= iv. ˆ ˆ Â B Γ= +

3. Σε έναν κύκλο (Ο,ρ) είναι οΑΒ 55= , ο

ΒΓ 75= , οΓ∆ 95= . Να υπολογίσετε τις επίκε-

ντρες γωνίες που βαίνουν στα τόξα ΑΒ , ΒΓ και Γ∆ .

4. Σε έναν κύκλο (Ο,ρ) να πάρετε τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ ώστε να είναι οˆΑΟΓ 160= . Να

υπολογίσετε τις γωνίες ˆΑ∆Γ και ˆΑΒΓ .

5. ∆ίνεται κύκλος (0,6cm) και σηµείο το Α. Γράφουµε κύκλο (Α,4cm) που τέµνει τον

πρώτο κύκλο στα σηµεία Β, Γ. Να εξηγήσετε γιατί ˆ ˆΑΟΒ ΑΟΓ= .




6. Να υπολογιστούν οι γωνίες ˆˆ ˆx, y, ω στα παρακάτω σχήµατα.

7. Στο διπλανό σχήµα, η ΡΑ είναι εφαπτοµένη του κύκλου. Αν

το τόξο οΑΓ 70= , να υπολογιστεί η γωνία ˆΑΡΒ .

8. Σε κύκλο (Ο,ρ), η επίκεντρη γωνία ˆΑΟΒ είναι ίση µε την εγγεγραµµένη στο τόξο

Γ∆ . Ποια είναι η σχέση που συνδέει τα τόξα AB και Γ∆ ;

9. Στο διπλανό σχήµα, αν είναι οABΓ 178= , να βρείτε τις γω-

νίες ˆΑ∆Γ και ˆΑΒΓ .

10. Σε κύκλο (Ο,ρ) να εγγράψετε τρίγωνο ΑΒΓ. Αν η διχοτόµος της γωνίας A τέµνει

τον κύκλο στο Ρ και ισχύει ˆ ÔAΡ ∆AΡ= , να δικαιολογήσετε ότι το Α∆ είναι ύψος

του τριγώνου.

11. Σε έναν κύκλο (Ο,ρ), να πάρετε δύο διαδοχικά τόξα ΑΒ και ΒΓ και να φέρετε τη

διάµετρο ΒΟ∆. Αν είναι οˆ∆ΒΓ 68= , να βρείτε τη γωνία ˆΒΑΓ .

12. Στο διπλανό σχήµα, αν είναι οˆΑΒΓ 38= , να βρείτε τη γω-

νία ∆ .


268.



13. Σε έναν κύκλο (Ο,ρ), να γράψετε µία διάµετρο ΑΒ και την ακτίνα ΟΓ έτσι ώστε

οÂOΓ 110= . Αν ΟΡ, ΟΚ είναι διχοτόµοι των γωνιών ÂOΓ και ˆBOΓ , να δικαιολο-

γήσετε ότι οι ακτίνες ΟΡ, ΟΚ είναι κάθετες.

14. Σε ένα ηµικύκλιο µε διάµετρο ΑΒ να πάρετε ένα σηµείο Γ, έτσι ώστε οˆΑΒΓ 48= και

να φέρετε την εφαπτοµένη Α∆ του ηµικυκλίου στο σηµείο Α. Να βρείτε τη γωνία

ˆΓΑ∆ .




Ερώτηση 1

α. Ποια γωνία λέγεται επίκεντρη; ∆ύο τόξα µο πότε είναι ίσα;

β. Αν διπλασιαστεί , τριπλασιαστεί κ.ο.κ., ένα τόξο η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία τι

κάνει;

Ερώτηση 2

α. Πόσων µοιρών είναι:

i. Ένας κύκλος ii. Ένα ηµικύκλιο

iii. Καθένα από τα τόξα στα οποία χωρίζεται ένας κύκλος από δύο κάθετες διαµέτρους;

β. Ποια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Ποια η σχέση της µε την επίκεντρη που βαίνει

στο ίδιο τόξο; Αποδείξτε το.

Άσκηση 1

Ποιο είναι το είδος µιας εγγεγραµµένης γωνίας που:

i. Βαίνει σε ηµικύκλιο.

ii. Η µια πλευρά της διέρχεται από το κέντρο του κύκλου.

iii. Βαίνει σε τόξο µεγαλύτερου του ηµικυκλίου.

iv. Βαίνει σε τόξο µικρότερο του ηµικυκλίου.

Άσκηση 2

Σε κύκλο (Ο,ρ), να πάρετε µια χορδή ΑΒ = ρ. Να υπολογίσετε τα τόξα του κύκλου

που έχουν χορδή την ΑΒ και τις εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν στα τόξα αυτά.

Άσκηση 3

Σε έναν κύκλο να γράψετε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ, Γ∆. Να δικαιολογήσετε ότι

οι χορδές ΑΓ και Β∆ είναι ίσες.



Â


18ÊáíïíéêÜ ðïëýãùíá

ÐëåõñÜ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõ

ÊáíïíéêÜ ðïëýãùíá

ÐëåõñÜ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõ

Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Ποια είναι τα

στοιχεία του;

Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις

πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. Γνωστά κανο-

νικά πολύγωνα είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο.

Τα στοιχεία του κάθε πολυγώνου είναι:

α. Ο περιγεγραµµένος κύκλος.

Σε κάθε κανονικό πολύγωνο, υπάρχει ένας κύκλος (Ο,ρ)

που περνά από όλες τις κορυφές του. Το πολύγωνο λέµε

ότι είναι εγγεγραµµένο στον κύκλο (Ο,ρ).

β. Το κέντρο.

Κέντρο Ο του πολυγώνου ονοµάζουµε το κέντρο του πε-

ριγεγραµµένου κύκλου.

γ. Η ακτίνα ρ.

Ακτίνα ρ του πολυγώνου ονοµάζουµε την ακτίνα του πε-

ριγεγραµµένου κύκλου.

δ. Η κεντρική γωνία ω .

Κάθε επίκεντρη γωνία ω που σχηµατίζεται αν ενώσουµε

το κέντρο του πολυγώνου µε δύο διαδοχικές κορυφές

του λέγεται κεντρική γωνία.

ε. Η γωνία φ του πολυγώνου.

Γωνία φ του κανονικού πολυγώνου ονοµάζουµε καθε-

µιά από τις ίσες γωνίες που σχηµατίζεται από δύο διαδο-

χικές πλευρές του.

στ. Το απόστηµα α.

Απόστηµα α κανονικού πολυγώνου λέγεται η απόσταση

του κέντρου του πολυγώνου από κάθε πλευρά του.

Κανονικά πολύγωνα

ω : Κεντρική γωνία

φ : Γωνία πολυγώνου

λ = ΑΒ : Πλευρά πολυγώνου

α = ΟΚ : Απόστηµα


272.

Κανονικά πολύγωνα - Πλευρά κανονικού πολυγώνου


ζ. Η περίµετρος Τ.

Περίµετρο Τ ονοµάζουµε το άθροισµα όλων των πλευ-

ρών του.

Ποιες σχέσεις ισχύουν για τα στοιχεία ενός κανονι-

κού ν-γώνου (πολυγώνου µε ν πλευρές);

Οι βασικότερες σχέσεις σε κανονικό πολύγωνο µε ν

πλευρές είναι:

i.

ο360ω

ν= ii. οˆ ˆφ ω 180+ =

iii. ω

λ 2 ρ ηµ2

= ⋅ ⋅ (λ: πλευρά) iv. ω

α ρ συν2

= ⋅

v. ω

Τ ν λ ν 2 ρ ηµ2

= ⋅ = ⋅ ⋅ vi.

22 2λ

α ρ4

+ =

vii. 1

Ε ν λ α2

= ⋅ όπου Ε εµβαδόν του κανονικού πολυ-

γώνου.

viii. Στο κανονικό εξάγωνο λ = ρ.

Πως κατασκευάζουµε ένα κανονικό πολύγωνο;

Ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα:

α. Γράφουµε κύκλο (Ο,ρ) και σχηµατίζουµε µια επίκεντρη

γωνία ˆΑΟΒ . (Αυτό δεν είναι για όλα τα πολύγωνα ε-

φικτό, π.χ. Αν θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα κανονι-

κό επτάγωνο του οποίου η κεντρική γωνία είναι:

ο

ο360ω 51 42 85

7′ ′′= = ... δεν µπορούµε να το κάνουµε)

β. Με βάση έναν διαβήτη παίρνουµε διαδοχικά ίσα τόξα

όσο και το αρχικό, δηλαδή το ΑΒ .

γ. Ενώνουµε τις χορδές των παραπάνω τόξων και σχηµατί-

ζεται έτσι το κανονικό πολύγωνο.

Κατασκευή πολυγώνου

Κατασκευή

κανονικού πενταγώνου

ο

ο360ω 72

5= =

ω : Κεντρική γωνία

φ : Γωνία πολυγώνου

λ : Πλευρά πολυγώνου

T: Περίµετρος

Ε: Εµβαδόν

ρ: Ακτίνα

α: Απόστηµα




α . Ο αριθµός ν των πλευρών ενός ν-γώνου είναι ίδιος µε τον αριθµό των

κορυφών, των γωνιών, των αποστηµάτων και των κεντρικών γωνιών του.

β. Από τη σχέση ο360

ων

= έχουµε ο360

νω

= . Άρα αν γνωρίζουµε την κεντρική γωνία

ενός πολυγώνου µπορούµε να βρούµε τον αριθµό των πλευρών του.

Αν π.χ. είναι ο

ω 45= τότε ο

ο

360ω 8

45= = . Συνεπώς το πολύγωνο είναι κανονικό

οκτάγωνο.

γ. Όλα τα κανονικά πολύγωνα µε άρτιο αριθµό πλευρών (τετράγωνα, εξάγωνα, οκτά-

γωνα..) έχουν κέντρο συµµετρίας το κέντρο τους.

Τα κανονικά πολύγωνα µε περιττό αριθµό πλευρών (ισόπλευρο τρίγωνο, πεντάγω-

νο, επτάγωνο...) δεν έχουν κέντρο συµµετρίας.


274.



Να υπολογίσετε την κεντρική γωνία ω και τη γωνία φ :

i. Ενός κανονικού 9 - γώνου. ii. Ενός κανονικού 15 - γώνου.

Λύση

i. Η κεντρική γωνία ω του κανονικού εννιαγώνου είναι :

ο

ο360ω 40

9= =

Για την κεντρική γωνία ω και τη γωνία φ ενός κανονικού πολυγώνου ισχύει η σχέση:

οˆ ˆω φ 180+ = ή οˆ ˆφ 180 ω= − ή ο οφ 180 40= − ή οφ 140=ii. Οµοίως για το δεκαπεντάγωνο έχουµε:

ο

ο360ω 24

15= = και ο οφ 180 24= − ή οφ 156=

Να βρείτε ποιο κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία:

i. 36o ii. 20o iii. 12o iv. 16

ορθής

Λύση

Από τη σχέση: ο360

ων

= έχουµε ο360

νω

= , οπότε:

i.

ο

ο

360ν

36= ή ν 10= (Κανονικό 10 - γωνο)

ii. ο

ο

360ν


iii.

ο

ο

360ν





iv. ο1 1ω ορθής 90

6 6= = ή ο

ω 15= , οπότε έχουµε:

ο

ο

360ν


Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο µε κεντρική γωνία ο

ω 38= , ή µε

γωνία οφ 155= .

Λύση

Έστω ότι υπάρχει κάποιο ν-γωνο µε ο

ω 38= . Τότε:

ο ο

ο

360 360ν 9,47

ω 15= = = αδύνατο

αφού ο ν είναι φυσικός αριθµός. Άρα δεν υπάρχει τέτοιο πολύγωνο.

Έστω πάλι, ότι υπάρχει κάποιο ν-γωνο µε οφ 155= .

Ισχύει: ο ο ο ο οˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆφ ω 180 ή ω 180 φ ή ω 180 155 ή ω 25+ = = − = − = .

Άρα: ο ο

ο

360 360ν 14,4

ω 25= = = αδύνατο.

Άρα δεν υπάρχει τέτοιο πολύγωνο.

Κανονικό δεκάγωνο µε πλευρά λ = 15 cm είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Να βρείτε

την ακτίνα του ρ και το απόστηµά του α.

Λύση

Το δεκάγωνο έχει κεντρική γωνία:

ο

ο360ω 36

10= =

Από το τυπολόγιο των κανονικών πολυγώνων η πλευρά του δεκαγώνου δίνεται από

τη σχέση:

ωλ 2 ρ ηµ

2= ⋅ ⋅ ή

ο

λ 15 15ρ

ω 2 0,3092 ηµ182 ηµ2

= = =⋅⋅⋅

ή ρ 24,27cm

Το απόστηµα α του δεκαγώνου θα είναι:

ωα ρ συν

2= ⋅ ή οα 24,27 συν18= ⋅ ή α 23,08cm

Ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο µε ακτίνα ρ = 10cm. Να βρείτε την

πλευρά του λ, την περίµετρό του Τ, το απόστηµά του α και το εµβαδόν του Ε.


276.



Λύση

Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει κεντρική γωνία: ο

ο360ω 120

3= =

Από τους τύπους έχουµε:ω

λ 2 ρ ηµ2

= ⋅ ⋅ ή

ο

ο120λ 2 10 ηµ 2 10 ηµ60 2 10 0,866

2= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ή λ 17,32cm

Η περίµετρος Τ είναι: Τ ν λ 3 17,32= ⋅ = ⋅ ή Τ 51,96cm

Το απόστηµα α είναι:οω 1

α ρ συν 10 συν60 102 2

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ή α 5cm=

Για τον υπολογισµό του εµβαδού παρατηρούµε το σχήµα

και συµπεραίνουµε ότι για την εύρεσή του θα πρέπει να βρού-

µε το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, δηλαδή το:

AK AO OK ρ α 10 5= + = + = + ή AK 15cm=Άρα το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ θα είναι:

1 1E BΓ ΑΚ 17,32 15

2 2= ⋅ = ⋅ ή 2Ε 129,9cm=

Ένα κανονικό πολύγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας ρ = 24cm και έχει

απόστηµα α 12 3 cm= . Να βρεθούν:

i. Η πλευρά του λ ii. Η κεντρική γωνία ω

iii. Η περίµετρός του Τ iv. Το εµβαδόν του Ε

Λύση

i. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΚ έχουµε από το Π. θεώρηµα: 2 2 2ΟΚ ΚΑ ΟΑ+ = ή

22 2λ

α ρ2

+ = ή

22 2λ

α ρ4

+ = ή 2

2 2λρ α

4= − ή ( )2 2 2λ 4 ρ α= − ή

( ) ( )2

2 2λ 4 24 12 3 4 576 432 576 = − = − = ή λ 24cm=

ii. Από τη θεωρία γνωρίζουµε ότι όταν σε ένα πολύγωνο

ισχύει: λ = ρ, τότε το πολύγωνο είναι κανονικό εξάγωνο

οπότε για ν = 6 έχουµε: ο ο360 360

ων 6

= = ή ο

ω 60=

iii. Η περίµετρο Τ θα είναι: Τ 6 λ 6 24= ⋅ = ⋅ ή Τ 144cm=iv. Το εµβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου αποτελείται από




το εµβαδόν έξι ισοσκελών τριγώνων µε ίσα εµβαδά. Το εµβαδόν ενός τέτοιου τρι-

γώνου π.χ. του ΟΑΒ είναι:

1

1 1 1E AB OΚ λ α 24 12 3

2 2 2= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ή 2

1E 249,41cm

Εποµένως το εµβαδόν του κανονικού εξαγώνου θα είναι:

2Ε 6 249,44= ⋅ ή 22Ε 1496,46cm=

Σε κύκλο ακτίνας 6cm να εγγράψετε κανονικό 12-γωνο.

Λύση

Η κεντρική γωνία ενός κανονικού 12-γωνου είναι:

ο

ο360ω 30

12= =

Σε κύκλο (Ο,6cm) κατασκευάζουµε την επίκεντρη γωνία,

οˆΑΟΒ 30= . Η χορδή ΑΒ είναι η πλευρά του 12-γώνου, οπό-

τε στη συνέχεια χωρίζουµε τον κύκλο σε 12 τόξα χορδής µήκους ίσου µε της χορδής

ΑΒ.


278.



1. Να συµπληρωθούν οι παρακάτω πίνακες:

i.

ii.

2. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις:

i. Η γωνία ενός πολυγώνου είναι πάντοτε µεγαλύτερη από την κεντρική γωνία του.

ii. Υπάρχει κανονικό πολύγωνο µε κεντρική γωνία 22ο.

iii. Το ισοσκελές τραπέζιο είναι κανονικό πολύγωνο.

iv. Το απόστηµα ενός κανονικού πολυγώνου είναι πάντα µεσοκάθετος της πλευράς του.

v. Μόνο στο τετράγωνο η κεντρική γωνία και η γωνία του πολυγώνου αυτού είναι ίσες.

3. Να βρείτε την κεντρική γωνία:

α. Ισόπλευρου τριγώνου β. Τετραγώνου

γ. 8 - γώνου δ. 72-γώνου




4. Να βρείτε ποιο κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία:

α. 2,5ο β. 14,4ο γ. 22,5ο δ. 5ο ε. 18ο

5. Να βρείτε τη γωνία του κανονικού πολυγώνου µε:

α. ν = 10 β. ν = 18 γ. ν = 8 δ. ν = 30

6. Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο µε :

α. ο

ω 28= β. ο

ω 44= γ. ο

ω 40=

7. Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο µε:

α. ο

φ 170= β. ο

φ 146= γ. ο

φ 156=

8. Να κατασκευάσετε 10-γωνο µε λ = 4 cm.

9. Να βρείτε την κεντρική γωνία, την πλευρά, το απόστηµα, την περίµετρο και το εµβα-

δόν:

α. Κανονικού 16-γώνου εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας ρ = 12 cm.

β. Κανονικού 25-γώνου εγγεγραµµένο σε κύκλο διαµέτρου δ = 8 cm.

10. Να αποδείξετε ότι ο αριθµός των διαγωνίων ενός κανονικού ν-γώνου είναι:

( )ν ν 3

2

⋅ −

11. Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των γωνιών ενός κανονικού ν-γώνου είναι:

( ) ο2ν 4 90− ⋅


280.



Ερώτηση 1

α. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Τι στοιχεία γνωρίζετε σε ένα κανονικό

πολύγωνο; Πως κατασκευάζεται ένα κανονικό πολύγωνο;

β. Υπάρχει κανονικό πολύγωνο µε κεντρική γωνία ο

ω 28= ;

Ερώτηση 2

Να βρείτε µία σχέση που να συνδέει το απόστηµα, την πλευρά και την ακτίνα ενός

κανονικού ν-γώνου.

Άσκηση 1

Να βρείτε την πλευρά λ και το εµβαδόν Ε ενός κανονικού 12-γώνου εγγεγραµµένο σε

κύκλο ακτίνας ρ = 6 cm.

Άσκηση 2

∆ίνεται κανονικό πολύγωνο µε άθροισµα γωνιών 1080ο. Να υπολογίσετε:

i. To πλήθος των πλευρών του.

ii. Τη γωνία φ και την κεντρική γωνία ω .


Â


19ÌÞêïò êýêëïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ

ÌÞêïò ôüîïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá

ÌÞêïò êýêëïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ

ÌÞêïò ôüîïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá

Τι ονοµάζουµε µήκος ή περίµετρο ενός κύκλου; Τι

ποσά είναι το µήκος των κύκλων και η διάµετρός τους;

Μήκος ή περίµετρος κύκλου ονοµάζουµε το µήκος

του ευθύγραµµου τµήµατος που προκύπτει αν “κόψουµε”

υποθετικά τον κύκλο σε ένα σηµείο του και στη συνέχεια

τον “τεντώσουµε”.

Το µήκος των κύκλων και η διάµετρός τους είναι ποσά ανά-

λογα. ∆ηλαδή για όλους τους κύκλους ο λόγος - το πηλίκο

µήκος κύκλου

διάµετρος ή µε σύµβολα

Γ

δ είναι ο ίδιος και συµβολί-

ζεται µε το γράµµα π, δηλαδή ισχύει:

Γπ

δ= ή Γ π δ 2πρ= ⋅ = ,

όπου δ η διάµετρος και ρ η ακτίνα του κύκλου.

Ο αριθµός π είναι άρρητος, δηλαδή απειροψήφιος δεκαδι-

κός µη περιοδικός αριθµός. Στους υπολογισµούς µας θα

χρησιµοποιούµε την ρητή προσεγγιστική τιµή π = 3,14.

Με τι ισούται το εµβαδόν ενός κυκλικού δίσκου; Τι

ονοµάζουµε κυκλικό δακτύλιο;

Το εµβαδόν ενός κυκλικού δίσκου (ή εµβαδόν κύ-

κλου) ακτίνας ρ ισούται µε:

2Ε π ρ= ⋅ ή

2 2δ π δΕ π

2 4

⋅ = ⋅ = , δ = 2ρ

Μήκος κύκλου ή

περίµετρος


282.

Μήκος κύκλου - Εµβαδόν κυκλικού δίσκου - Μήκος τόξου - Εµβαδόν κυκλικού τοµέα


Κυκλικό δακτύλιο ονοµάζουµε το σχήµα που περικλείεται

µεταξύ δύο οµόκεντρων κύκλων διαφορετικής ακτίνας, (Ο,R)

και (Ο,ρ) µε R > ρ.

Ποια σχέση µας δίνει το µήκος S ενός τόξου AB ενός

κύκλου (Ο,ρ); Τι είναι το ακτίνιο ή rad;

Αν η επίκεντρη γωνία εκφράζεται σε µο µοίρες τότε

το µήκος του τόξου S θα είναι:ο

ο

π ρ µS

180

⋅ ⋅= .

Αν η επίκεντρη γωνία εκφράζεται σε α ακτίνια το µήκος S

θα είναι: S α ρ= ⋅Ακτίνιο ή rad σε κύκλο (Ο,ρ), λέγεται το τόξο που έχει µή-

κος ίσο µε την ακτίνα ρ και χρησιµοποιείται για την µέτρη-

ση των τόξων. ∆ηλαδή τόξο 1 rad έχει µήκος ρ

Άρα, αφού το µήκος κύκλου είναι Γ = 2πρ, σε ακτίνια ο

κύκλος είναι 2π rad, ενώ το ηµικύκλιο S είναι π rad.

Ποια είναι η σχέση µεταξύ µοιρών και ακτινίων;

Τα 2π rad αντιστοιχούν σε 360ο.

Το 1 rad θα αντιστοιχεί σε: ο360

2π ή

ο180

π(µοίρες)

Συνεπώς τα α rad θα αντιστοιχούν σε:

ο

ο α 180µ

π

⋅= ή µ α

180 π=

Το o1rad 57 19 ' .




Τι ονοµάζουµε κυκλικό τοµέα; Ποιες σχέσεις µας δί-

νουν το εµβαδόν του;

Κυκλικός τοµέας γωνίας φ σε κύκλο (Ο,ρ) λέγεται

το κοινό µέρος του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου και της

επίκεντρης γωνίας φ στον κύκλο. (Στο σχήµα το γραµµο-

σκιασµένο µέρος)

Αν η επίκεντρη γωνία εκφράζεται σε µο: 2 ο

ο

π ρ µΕ

360

⋅ ⋅=

Αν η επίκεντρη γωνία εκφράζεται σε α ακτίνια: 21Ε α ρ

2= ⋅ ⋅

Επίσης ισχύει:

2 ο

ο ο ο

π ρ µ π ρ ρ µ 1 π ρ µ 1Ε ρ S ρ

2 2360 2 180 180

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ = ⋅ ⋅⋅

,

όπου S το µήκος του αντίστοιχου τόξου.

Άρα:1

Ε S ρ2

= ⋅ ⋅

Τι λέγεται κυκλικό τµήµα και πως βρίσκουµε το εµ-

βαδόν του;

Κυκλικό τµήµα είναι το µέρος ενός κυκλικού δίσκου

που περικλείεται από ένα τόξο και την αντίστοιχη χορδή του.

Το εµβαδόν του κυκλικού τµήµατος ΑΣΒ είναι ίσο µε τη

διαφορά του εµβαδού του τριγώνου ΟΑΒ από το εµβαδόν

του κυκλικού τοµέα OAB , δηλαδή:

2 ο

Σ ΑΒΓ οOAB

π ρ µ 1E Ε Ε ΑΒ OK

2360

⋅ ⋅= − = − ⋅ ⋅


284.



α. Να βρεθεί το µήκος κύκλου ακτίνας ρ = 6cm.

β. Να βρεθεί η ακτίνα κύκλου µε µήκος Γ = 43,96 cm.

γ. Να βρεθεί το εµβαδόν κυκλικού δίσκου διαµέτρου δ = 2m.

Λύση

α. Είναι: Γ 2 π ρ 2 3,14 6 37,68cm= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

β. Είναι: Γ 2 π ρ= ⋅ ⋅ ή Γ 43,96

ρ 7cm2 π 2 3,14

= = =⋅ ⋅

γ. Το εµβαδόν είναι:

2 22 δ π δ

E π ρ π2 4

⋅ = ⋅ = ⋅ = ή

223,14 2

Ε 3,14m4

⋅= =

Να βρείτε το µέτρο ένος τόξου:

i. Σε ακτίνια, αν το µέτρο του σε µοίρες είναι 150o.

ii. Σε µοίρες, αν το µέτρο του σε ακτίνια είναι π

rad3

.

Λύση

i. Είναι: ο

ο

α µ

π 180= ή

ο ο

ο ο

µ π 150 πα

180 180

⋅ ⋅= = ή 5π

α rad6

= .

ii. Είναι:

ο

ο

α µ

π 180= ή

οο

ο

π180

α 180 3µπ π

⋅⋅= = ή ο οµ 60=

Οι τροχοί ενός ποδηλάτου έχουν διάµετρο 80 cm και έκαναν 6.000 στροφές. Να

βρείτε πόση απόσταση διήνησε το ποδήλατο.

Λύση

Όταν οι τροχοί του ποδηλάτου κάνουν µια πλήρη περιστροφή, το ποδήλατο διανύει

ίση µε το µήκος τους. Άρα για µια πλήρη περιστροφή έχουµε απόσταση:




Γ 2 π ρ δ π 80 3,14 251,2cm 2,512m= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = =Άρα για 6.000 στροφές των τροχών το ποδήλατο διήνυσε απόσταση ίση µε:

S 6.000 2,512 15072m 15,072Km= ⋅ = =

Οι περίµετροι δύο κύκλων διαφέρουν κατά 25,12 cm. Να βρείτε τη διαφορά:

i. Των ακτίνων τους ii. Των διαµέτρων τους

Λύση

Αν ονοµάσουµε ρ1, ρ2 τις ακτίνες µε ρ1 > ρ2, δ1, δ2 τις διαµέτρους, Γ1, Γ2 τις περιµέ-

τρους έχουµε:

i. 1 2Γ Γ 25,12− = ή 1 22πρ 2πρ 25,12− = ή ( )1 22π ρ ρ 25,12− = ή 1 2

25,12ρ ρ

2 3,14− =

⋅ ή

1 2ρ ρ 4cm− =

ii. ( )1 2 1 2 1 2δ δ 2ρ 2ρ 2 ρ ρ 2 4 8cm− = − = − = ⋅ =

Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε την ακτίνα, την διάµε-

τρο, το µήκος και το εµβαδόν του κύκλου.

Λύση

Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο µε οΓ 90= (βαίνει σε ηµι-

κύκλιο)

Άρα: 2 2 2ΑΒ ΑΓ ΓΒ= + ή

2 2 2ΑΒ 3 4 9 16 25= + = + = ή ΑΒ 25= ή ΑΒ 5cm= .

Άρα:5

ρ 2,5cm2

= = , ΑΒ δ 5cm= =

Το µήκος του κύκλου θα είναι: Γ 2 π ρ 2 3,14 2,5 15,7 cm= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Το εµβαδόν είναι: 2 2 2E π ρ 3,14 2,5 19,625cm= ⋅ = ⋅ =

Τόξο 45ο σε κύκλο (Ο,ρ) έχει µήκος 2cm. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.

Λύση

Το µήκος S του τόξου είναι:

ο

ο

π ρ µS

180

⋅ ⋅= ή ο οπ ρ µ 180 S⋅ ⋅ = ⋅ ή

ο ο

ο ο

180 S 180 2ρ

π µ 3,14 45

⋅ ⋅= =⋅ ⋅

ή ρ 2,55 cm

Η εγγεγραµµένη γωνία οBAΓ 30= και η χορδή ΒΓ = 6cm. Να υπολογιστεί το εµβα-

δόν του κύκλου.

OA

B

Ã

3cm

4cm


286.



Λύση

Για την επίκεντρη γωνία BOΓ ισχύει:

ο οBOΓ 2 BΑΓ 2 30 60= ⋅ = ⋅ =Άρα το τρίγωνο ΒΟΓ θα είναι ισόπλευρο διότι:

ΟΒ = ΟΓ = ρ, οπότε ˆ ˆΒ Γ= .

Αλλά οˆ ˆ ˆΟ Β Γ 180+ + = ή οˆ ˆΟ 2Β 180+ = ή ο ο οˆ2Β 180 60 120= − = ή οˆ ˆΒ Γ 60= = .

Συνεπώς ρ 6cm= . Το εµβαδόν του κύκλου θα είναι: 2 2E π ρ 3,14 6 113,04cm2= ⋅ = ⋅ =

Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΟΒΓ µε πλευρά 9cm να γράψετε

κύκλο µε κέντρο την κορυφή Ο και ακτίνα το ύψος του

ΟΜ. Να βρείτε το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµα-

τος.

Λύση

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΜΒΟ έχουµε:

2 2 2ΟΒ ΟΜ ΒΜ= + ή 2 2 2

ΟΜ ΟΒ ΒΜ= − ή 2 2 2ΟΜ 7 4,5 81 20,25 60,75= − = − = ή

ΟΜ 60,75= ή ΟΜ 7,79cm= .

Το εµβαδόν του τριγώνου είναι ΟΒΓ είναι: 1

1 1Ε ΒΓ ΟΜ 9 7,79 35,055cm

2 22= ⋅ = ⋅ ⋅ =

Το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα που είναι εντός του τριγώνου x είναι:

2 ο 2 ο

2 ο ο

π ρ µ 3,14 7,79 60Ε

360 360

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ή 2Ε 31,75cm2= .

Άρα το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου µέρους είναι:

1 2Ε Ε Ε 35,055 31,75 3,305cm2= − = − =

Να γράψετε τετράγωνο µε πλευρά 26cm και µε κέντρα τις

κορυφές του και ακτίνα 13cm να γράψετε τεταρτοκύκλια

µέσα στο τετράγωνο. Να βρεθεί το εµβαδόν του καµπυλό-

γραµµου “σταυρού”.

Λύση

Το εµβαδόν των 4 τεταρτοκυκλίων ισούται µε το εµβαδόν

ενός κύκλου µε ακτίνα 13cm, δηλαδή είναι: 2 21Ε π ρ 3,14 13 530,66cm

2= ⋅ = ⋅ =Το εµβαδόν του τετραγώνου είναι:

2 22Ε ΑΒ 26= = ή 2Ε 676cm

2=




Άρα το εµβαδόν του καµπυλόγραµµου “σταυρού” θα είναι:

1 2Ε Ε Ε 676 530,66= − = − ή Ε 145,34cm2=

Μέσα σε ένα χωράφι µε σχήµα τετραγώνου, υπάρχει ένας

αυτόµατος περιστρεφόµενος µηχανισµός ποτίσµατος στο

κέντρο του. Ο µηχανισµός έχει τη δυνατότητα να ποτίζει

σε κυκλική περιοχή, ακτίνας 13,6m. Το χωράφι έχει πλευ-

ρά 20 3 m . Να βρείτε το εµβαδόν του χωραφιού που δεν

ποτίζεται.

Λύση

Το εµβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓ∆ είναι: ( )22 2

1Ε ΑΒ 20 3 m 1200m= = =

Το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου (Ο,ρ) είναι: 2 2 22Ε π ρ 3,14 13,6 580,77m= ⋅ = ⋅ =

Άρα το εµβαδόν του χωραφιού που δεν ποτίζεται είναι:

21 2Ε Ε Ε 1200 580,77 619,23m= − = − =

Στο διπλανό σχήµα η ακτίνα ρ = 12cm και oA 70= . Να

βρεθεί το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµατος.

Λύση

Το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ισοσκελές άρα: oˆ Â B 70= = , όποτε

( )o o o oO 180 70 70 40= − + = .

Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑ∆ ισχύει:

Ο∆ηµΑ

ΟΑ= ή Ο∆ ΟΑ ηµΑ 12 0,94= ⋅ = ⋅ ή Ο∆ 11,28cm=

Όµοια Α∆

συνΑΟΑ

= ή Α∆ ΟΑ συνΑ 12 0,342= ⋅ = ⋅ ή Α∆ 4,104cm=

Οπότε AB 2 A∆= ⋅ ή ΑΒ 8,208cm= .

Το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα ΟΑΓΒ θα είναι:

2 ο 2 ο

1 ο ο

π ρ µ 3,14 12 40Ε

360 360

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ή 21Ε 50,24cm=

Το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ θα είναι:

22

1 1Ε ΑΒ Ο∆ 8,208 11,28 46,29cm

2 2= ⋅ = ⋅ =

O

BÁ

Ã

Ä

ñ


288.



Άρα το ζητούµενο εµβαδόν θα είναι:

21 2Ε Ε Ε 50,24 46,29 3,94cm= − = − =

Να υπολογίσετε την περίµετρο του διπλανού σχήµατος.

Λύση

Για να βρούµε την περίµετρο Τ του σχήµατος πρέπει να υπολο-

γίσουµε το άθροισµα των µηκών των τόξων ΒΓ , Γ∆ , Α∆ και

των τµηµάτων ∆Ε και ΕΒ.

Καθένα από τα παραπάνω τόξα είναι 90ο, άρα έχει µήκος :

ο ο

ο ο

π ρ µ 3,14 4 90S 6,28cm

180 180

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

Άρα: Τ 3 6,28 3 2 23,84cm= ⋅ + + =

Στο διπλανό σχήµα υπάρχουν 3 ηµικύκλια διαµέτρων

ΑΓ, ΓΒ, ΒΑ και είναι ΑΒ = 12cm επίσης τα τµήµατα ΑΓ

και ΓΒ έχουν λόγο 13

.

i. Να βρείτε το άθροισµα των τόξων AΓ BΓ ABS , S , S .

ii. Να βρείτε το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου σχήµατος.

Λύση

i. Ισχύει: AΓ 1

ΓΒ 3= ή ΓΒ 3ΑΓ= .

Αλλά ΑΓ ΓΒ ΑΒ+ = ή ΑΓ 3ΑΓ ΑΒ+ = ή 4ΑΓ ΑΒ= ή 12

ΑΓ 3cm4

= =

Οπότε BΓ ΑΒ ΑΓ 12 3 9cm= − = − =

Το µήκος του τόξου AΓ είναι:

οο

ο οAΓ

AΓπ 180

π ρ µ AΓ 32S π 3,14 4,71m2 2180 180

⋅ ⋅⋅ ⋅= = = ⋅ = ⋅ =

Οµοίως

ο

οΒΓ

ΓΒπ 180

ΓΒ 92S π 3,14 14,13 cm2 2180

⋅ ⋅= = ⋅ = ⋅ =




Είναι:

ο

οAΒ

AΒπ 180 AΒ 122S π 3,14 18,84 cm

2 2180

⋅ ⋅= = ⋅ = ⋅ =

Άρα AΓ ΒΓ AΒ

S S S 37,68 cm+ + =

ii. Για να βρούµε το εµβαδόν του σκιασµένου σχήµατος θα πρέπει από το εµβαδόν του

ηµικυκλίου µε διάµετρο το τµήµα ΑΒ να αφαιρέσουµε το εµβαδόν του ηµικυκλίου

µε διάµετρο ΒΓ και µετά να προσθέσουµε το εµβαδόν του ηµικυκλίου µε διάµετρο

το τµήµα ΑΓ.

2 2 2ο

2AB ο

AB AB 12π 180 π 3,14

2 2 2E 56,52 cm2 2360

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = =

2 2 2ο

2BΓ ο

BΓ BΓ 9π 180 π 3,14

2 2 2E 31,79 cm2 2360

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = =

2 2 2ο

2ΑΓ ο

ΑΓ ΑΓ 3π 180 π 3,14

2 2 2E 3,53 cm2 2360

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = =

Άρα 2AB ΑΓ BΓ

Ε E E E 28,26 cm= + − =

∆ίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ

( )oA 90 , ΑΒ ΑΓ 9cm= = = . Γράφουµε κύκλο µε κέντρο το

σηµείο Α και ακτίνα 9cm και τον κύκλο µε διάµετρο την

πλευρά ΒΓ. Να συγκρίνετε τα εµβαδά του σκιασµένου τµή-

µατος (το τµήµα αυτό λέγεται µηνίσκος) και του τριγώνου

ΑΒΓ.

Λύση

Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι:21 1

E AB ΑΓ 9 9 40,5cm2 2

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Επίσης από το Πυθαγόρειο Θεώρηµα: 2 2 2BΓ ΑΓ AB 81 81 162= + = + =

Άρα ΒΓ 162 ή BΓ 12,73cm= = .

Το εµβαδόν του µηνίσκου θα βρεθεί αν από το εµβαδόν του ηµικυκλίου µε διάµετρο το

ΒΓ αφαιρέσουµε το τµήµα εµβαδού Ε1. Το εµβαδόν Ε1 θα το βρούµε αν από το εµβα-

δόν του τεταρτοκυκλίου µε κέντρο το Α και ακτίνα το ΑΒ αφαιρέσουµε το εµβαδόν του

τριγώνου ΑΒΓ.


290.



2 2

22

BΓ

ΒΓ 12,73π π

π ρ 127, 212 2E 63,605cm2 2 2 2

⋅ ⋅ ⋅ = = = = =

Το εµβαδόν του τεταρτοκυκλίου είναι:

( )2 ο 2 ο2

τετ. ο ο

π ΑΒ 90 3,14 9 90Ε 63,585cm

360 360

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

Άρα 21 τετ.

ΑΒΓ

Ε Ε Ε 23,085cm= − =

Οπότε το εµβαδόν του µηνίσκου θα είναι:µην. ΒΓ 1

Ε Ε Ε 63,605 23,085 40,5= − = − =

Παρατηρούµε ότι το εµβαδόν του µηνίσκου είναι ίσο µε το εµβαδόν του τριγώνου.




1. Να συµπληρώσετε καθέναν από τους παρακάτω τύπους:

i. ο

π .... ....S

180

⋅ ⋅= ii. S α ....= ⋅ iii. 21Ε .... ρ

2= ⋅ ⋅

iv. ο

ο

π .... µΕ

360

⋅ ⋅= v. 1

Ε .... ρ2

= ⋅ ⋅

2. Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

3. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α µε το κατάλληλο στοιχείο της στή-

λης Β.

Επίκεντρες γωνίες σε µο Μήκος τόξου S σε κύκλο (Ο,ρ)

1 30ο απ ρ

4

⋅

2 45ο βπ ρ

6

⋅

3 60ο γπ ρ

2

⋅

4 90ο δπ ρ

3

⋅

5 180ο ε π ρ⋅


292.



4. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) καθεµία από τις παρακάτω

προτάσεις:

i. Η διάµετρος ενός κύκλου µε µήκος 56,77 cm είναι 18,07cm.

ii. Το εµβαδόν ενός κύκλου ακτίνας ρ = 6cm είναι 113,04 cm2.

iii. Σε κύκλο (Ο,ρ) ισχύει:Ε

ρπ

=

iv. Σε κύκλο (Ο,ρ) ισχύει:2 Ε

δρ

⋅= .

v. Το εµβαδόν ηµικυκλίου σε κύκλο (Ο,ρ) ισούται µε:

2π ρ

2

⋅.

5. Η διάµετρος της Γης είναι 12800Κm. Να βρείτε το µήκος του Ισηµερινού της Γης.

6. H ακτίνα ενός κυκλικού δίσκου είναι 10cm να υπολογίσετε το εµβαδόν του.

7. Να βρεθεί το εµβαδόν του τετραγώνου του εγγεγραµµένου σε κύκλο µε ακτίνα 6cm και

το εµβαδόν του καθενός από τα 4 µέρη του κύκλου που βρίσκονται εκτός του κύκλου.

8. Σε έναν κύκλο µε διάµετρο ΑΒ να φέρετε τις χορδές ΓΑ και ΓΒ. Αν ΑΓ = 9 cm και

ΒΓ = 12 cm να υπολογίσετε την περίµετρο του κύκλου.

9. ∆ύο ίσοι κύκλοι µε ακτίνα 12 cm τέµνονται. Αν η απόσταση των κέντρων τους είναι

12 2 cm, να βρεθεί το εµβαδόν του κοινού µέρους τους.

10. Να υπολογίσετε τα εµβαδά των γραµµοσκιασµένων καµπυλόγραµµων σχηµάτων

στα παρακάτω σχήµατα.

11. Οι περίµετροι δύο κύκλων έχουν λόγο 4 : 5. Να βρείτε το λόγο:

α. Των ακτίνων τους β. Των διαµέτρων τους γ. Των εµβαδών τους




12. Να υπολογίσετε το εµβαδόν ενός κυκλικού δακτυλίου που περικλείεται µεταξύ

δύο οµόκεντρων κύκλων µε ακτίνες ρ = 12 cm και R = 18 cm.

13. Οι τροχοί ενός ποδηλάτου έκαναν 1000 στροφές. Αν η διάµετρός τους είναι 80cm,

να βρείτε πόσο διάστηµα διήνυσαν.

14. Το εµβαδόν ενός κυκλικού τοµέα είναι 37,68cm2. Αν η ακτίνα του κύκλου είναι

6cm, να βρεθεί πόσες µοίρες είναι ο τοµέας.

15. Σε έναν κύκλο ακτίνας ρ = 5cm να περιγράψετε ένα κανονικό εξάγωνο. Να υπολο-

γίσετε το εµβαδόν και την περίµετρό του.


294.



Ερώτηση 1

α. To µήκος ενός κύκλου και η διάµετρός του τι ποσά είναι; Είναι δυνατόν ο λόγος

της περιµέτρου ενός κύκλου προς τη διάµετρό του να είνα ίσος µε 3;

β. Αν διπλασιάσουµε την ακτίνα ενός κύκλου, πως θα µεταβληθούν:

i. Το µήκος του κύκλου. ii. Το εµβαδόν του κύκλου.

γ. Τι είναι ο αριθµός π; Ρητός ή άρρητος;

Τι είναι κυκλικός τοµέας, κυκλικός δακτύλιος και κυκλικό τµήµα;

Ερώτηση 2

α. Γράψτε όλους τους τύπους που ισχύουν για το µήκος κύκλου, µήκος τόξου, εµβα-

δόν κυκλικού δίσκου, εµβαδόν κυκλικού τοµέα και λύστε τους ως προς όλα τα

µεγέθη.

β. Τι είναι τα ακτίνια; Ποια σχέση συνδέει τις µοίρες µε τα ακτίνια ενός τόξου;

Ποιο είναι το µήκος τόξου α rad σε κύκλο ακτίνας ρ;

Πόσα rad είναι ένας κύκλος, ένα ηµικύκλιο, ένα τεταρτηµόριο; Πόσες µοίρες είναι

1 rad;

Άσκηση 1

Να βρείτε το εµβαδόν του κύκλου που είναι περιγγεγραµµένος σε κανονικό εξάγωνο

πλευράς 6m.

Άσκηση 2

Να υπολογίσετε το εµβαδόν ενός κυκλικού δακτυλίου που περικλείεται µεταξύ δύο

οµόκεντρων κύκλων µε ακτίνες ρ = 12 m και Κ = 15 m.

Άσκηση 3

Μέσα σε ένα χωράφι σχήµατος τετραγώνου κατασκευάστηκε το µεγαλύτερο δυνατό

κυκλικό αλώνι, µε ακτίνα 100cm. Να βρείτε:

α. Το µήκος της πλευράς του τετραγωνικού χωραφιού.

β. Την αξία του χωραφιού, αν κάθε τετραγωνικό µέτρο κοστίζει 10 €.

γ. Το εµβαδόν του χωραφιού που είναι έξω από το αλώνι.



Åõèåßåò êáé åðßðåäá óôï ÷þñïÅõèåßåò êáé åðßðåäá óôï ÷þñïÅõèåßåò êáé åðßðåäá óôï ÷þñïÅõèåßåò êáé åðßðåäá óôï ÷þñïÅõèåßåò êáé åðßðåäá óôï ÷þñïÈÝóåéò åõèåßáò êáé åðéðÝäïõÈÝóåéò åõèåßáò êáé åðéðÝäïõÈÝóåéò åõèåßáò êáé åðéðÝäïõÈÝóåéò åõèåßáò êáé åðéðÝäïõÈÝóåéò åõèåßáò êáé åðéðÝäïõ

ÏñèÜ ðñßóìáôáÏñèÜ ðñßóìáôáÏñèÜ ðñßóìáôáÏñèÜ ðñßóìáôáÏñèÜ ðñßóìáôáÊýëéíäñïò ÐõñáìßäáÊýëéíäñïò ÐõñáìßäáÊýëéíäñïò ÐõñáìßäáÊýëéíäñïò ÐõñáìßäáÊýëéíäñïò ÐõñáìßäáÊþíïò ÓöáßñáÊþíïò ÓöáßñáÊþíïò ÓöáßñáÊþíïò ÓöáßñáÊþíïò Óöáßñá


ÌÝôñçóç ÓôåñåþíÌÝôñçóç Óôåñåþí



Â


20Åõèåßåò êáé åðßðåäá óôï ÷þñïÈÝóåéò åõèåßáò êáé åðéðÝäïõÏñèÜ ðñßóìáôáÊýëéíäñïò - Ðõñáìßäá - Êþíïò - Óöáßñá

Åõèåßåò êáé åðßðåäá óôï ÷þñïÈÝóåéò åõèåßáò êáé åðéðÝäïõÏñèÜ ðñßóìáôáÊýëéíäñïò - Ðõñáìßäá - Êþíïò - Óöáßñá

Τι είναι το επίπεδο; Έχει διαστάσεις;

∆ε µπορούµε να δώσουµε ορισµό για το επίπεδο για-

τί είναι πρωταρχική έννοια για τα Μαθηµατικά. Μπορούµε

να δώσουµε παραδείγµατα εικόνων κάποιων επιπέδων που

συναντούµε γύρω µας, στη φύση. Όπως το επίπεδο του σχο-

λικού πίνακα, το επίπεδο της πόρτας του σπιτιού µας.

Το επίπεδο δεν έχει διαστάσεις. Εκτείνεται απεριόριστα.

Φαντασθείτε τον πίνακα στην τάξη µας να αρχίζει να µεγα-

λώνει και στις τέσσερεις πλευρές του. Αυτό είναι το επίπε-

δο του πίνακα.

Πόσα επίπεδα διέρχονται από τρία διαφορετικά

σηµεία µη συνευθειακά;

Από τρία διαφορετικά σηµεία που δεν βρίσκονται

στην ίδια ευθεία διέρχεται ένα µόνο επίπεδο.

Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δύο επιπέδων;

∆ύο διαφορετικά επίπεδα µπορεί:

α. Να είναι παράλληλα.

∆εν έχουν κανένα κοινό ση-

µείο. ∆ύο τέτοια επίπεδα είναι

το πάτωµα και η οροφή του

σπιτιού µας (ή οι απέναντι έ-

δρες ενός παραλληλεπιπέδου).

Ένα επίπεδο το σχε-

διάζουµε σαν ένα πα-

ραλληλόγραµµο.

Όταν ρωτάµε τη σχε-

τική θέση δύο σχη-

µάτων εννοούµε ό-

λες τις δυνατές θέ-

σεις που µπορεί να έ-

χουν µεταξύ τους


298.

Ευθείες και επίπεδα στο χώρο - Θέσεις ευθείας και επιπέδου - Ορθά πρίσµατα - Κύλινδρος - Πυραµίδα - Κώνος -Σφαίρα

Μέτρηση στερεών

β. Να τέµνονται .

Σε αυτήν την περίπτωση τα

κοινά τους σηµεία βρίσκονται

επάνω σε ευθεία (ε). Λέµε ότι

τα επίπεδα τέµνονται κατά την

ευθεία (ε).

Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο χώρο;

∆ύο ευθείες στο χώρο µπορεί:

α. Να τέµνονται.

Τότε έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο.

β. Να είναι παράλληλες.

Βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν

έχουν κανένα κοινό σηµείο.

γ. Να είναι ασύµβατες.

∆εν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο

και δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο

π.χ. η ΑΜ και Γ∆.

Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδου;

Μια ευθεία µπορεί:

α. Να περιέχεται σε ένα επίπεδο.

Όταν µία ευθεία έχει δύο σηµεία της επάνω σε ένα επίπε-

δο, τότε έχει όλα τα σηµεία της επάνω στο επίπεδο. Λέµε

ότι η ευθεία ανήκει ή περιέχεται στο επίπεδο. Η ευθεία

ΑΓ ανήκει στο επίπεδο που σχηµατίζει η έδρα ΑΒΓ∆.

β. Να είναι παράλληλη σε ένα επίπεδο.

Σε αυτή την περίπτωση η ευθεία δεν έχει κανένα κοινό

σηµείο µε το επίπεδο. Η ευθεία ΑΓ είναι παράλληλη προς

το επίπεδο (ρ) που σχηµατίζεται από την έδρα ΚΛΜΝ.

γ. Να τέµνει το επίπεδο.

Το σηµείο τοµής τους είναι ένα σηµείο. Στο διπλανό σχή-

µα, η ευθεία ΑΜ τέµνει το επίπεδο (ρ) στο σηµείο Μ. Το

σηµείο Μ λέγεται ίχνος της ευθείας ΑΜ στο επίπεδο (ρ).


299.Μέτρηση στερεών


Πότε λέµε ότι µια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο;

Όταν µια ευθεία είναι κάθετη σε δύο ευθείες του επι-

πέδου οι οποίες διέρχονται από το ίχνος της λέγεται κάθε-

τη στο επίπεδο αυτό.

Η ευθεία ΛΜ είναι κάθετη στην ευθεία ΓΜ και στην ευθεία

ΜΝ. Εποµένως και στο επίπεδο που ορίζουν αυτές οι δύο

ευθείες, το ∆ΓΜΝ.

Μπορούµε να αποδείξουµε (σε µεγαλύτερη τάξη) ότι, όταν

µία ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο, είναι κάθετη σε κάθε

ευθεία του επιπέδου που διέρχεται από το ίχνος της.

Η ευθεία ΛΜ λοιπόν είναι κάθετη και στην ευθεία ∆Μ.

Τι είναι το ορθό πρίσµα; Ποια είναι τα χαρακτηρι-

στικά του;

Το ορθό πρίσµα είναι ένα στερεό του οποίου οι δύο

έδρες είναι παράλληλα και ίσα πολύγωνα και οι άλλες έ-

δρες είναι παραλληλόγραµµα.

Οι παράλληλες έδρες λέγονται βάσεις του πρίσµατος.

Οι υπόλοιπες έδρες που είναι παραλληλόγραµµα αποτε-

λούν την παράπλευρη επιφάνεια του πρίσµατος.

Το πολύγωνο της βάσης καθορίζει το όνοµα του πρίσµα-

τος. Αν η βάση είναι τρίγωνο, το πρίσµα λέγεται τριγωνικό,

αν είναι τετράπλευρο, το πρίσµα λέγεται τετραπλευρικό κ.ο.κ.

Ύψος του πρίσµατος λέγεται το ύψος µιας παράπλευρης

έδρας.

Εµβαδό παράπλευρης

επιφάνειας πρίσµατος

Εµβαδό ολικής

επιφάνειας πρίσµατος

Όγκος πρίσµατος

ΕΠ

= (περίµετρος βάσης ) · (ύψος)

Εολ

= ΕΠ

+ 2 Εβάσης

V = (Εβάσης

) · (ύψος)


300.



Τι είναι ο κύλινδρος; Ποια είναι τα χαρακτηριστικά του;

Κύλινδρος είναι το στερεό που προκύπτει αν περι-

στρέψουµε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο γύρω από

µία πλευρά του.

Κυρτή επιφάνεια του κυλίνδρου λέγε-

ται η παράπλευρη επιφάνειά του.

Βάσεις του κυλίνδρου είναι οι κυκλικοί

δίσκοι που σχηµατίζονται από την πε-

ριστροφή των πλευρών ΑΒ και Γ∆ του

ορθογωνίου.

Γενέτειρα του κυλίνδρου ονοµάζεται η πλευρά ΒΓ (που

δηµιουργεί την κυρτή επιφάνεια του κυλίνδρου).

Ύψος του κυλίνδρου ονοµάζεται το ύψος του Α∆ του ορ-

θογωνίου.

Τι είναι η πυραµίδα; Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της;

Πυραµίδα είναι το στερεό που η µία του έδρα είναι

πολύγωνο και λέγεται βάση και οι άλλες έδρες είναι τρίγω-

να µε κοινή κορυφή.

Παράπλευρες έδρες είναι τα τρίγωνα

που αποτελούν την πυραµίδα εκτός της

βάσης.

Αυτές οι έδρες αποτελούν και την πα-

ράπλευρη επιφάνεια της πυραµίδας.

Ανάλογα µε τη βάση της ονοµάζουµε

την πυραµίδα τριγωνική (αν έχει βάση τρίγωνο), τετραπλευ-

ρική (µε βάση τετράπλευρο) κ.ο.κ. .

Η τριγωνική πυραµίδα λέγεται τετράεδρο.

Εµβαδόν κυρτής

επιφάνειας

Εµβαδόν ολικής


Όγκος κυλίνδρου

ΕΚ

=2πρυ

Εολ

= ΕΚ

+ 2 Εβάσης

=

= 2 πρυ + 2 πρ2

V = Εβάσης

· ύψος = π ρ2 υ

όπου ρ η ακτίνα της βά-

σης και υ το ύψος του

κυλίνδρου

Εµβαδόν κύκλου

Ε = πρ 2




Ύψος της πυραµίδας είναι η απόσταση της κορυφής από

τη βάση.

Παράπλευρο ύψος h είναι το ύψος του τριγώνου κάθε πα-

ράπλευρης έδρας, που ξεκινάει από την κορυφή της πυρα-

µίδας.

Κανονική λέγεται η πυραµίδα της οποίας η βάση είναι κα-

νονικό πολύγωνο και το ίχνος του ύψους της συµπίπτει µε

το κέντρο της βάσης. Στην κανονική πυραµίδα οι παρά-

πλευρες έδρες είναι ισοσκελή τρίγωνα ίσα µεταξύ τους.

Τι είναι ο κώνος; Ποια είναι τα χαρακτηριστικά του;

Κώνος είναι το στερεό που προκύπτει αν περιστρα-

φεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο γύρω από µία κάθετη πλευρά

του κατά µία πλήρη γωνία 360ο.

Βάση του κώνου λέγεται ο κυκλικός δίσκος που δηµιουρ-

γείται από την άλλη κάθετη πλευρά του ορθογωνίου τρι-

γώνου.

Γενέτειρα λ λέγεται η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου.

Ύψος λέγεται η απόσταση της κορυφής του κώνου από τη βάση.

Κυρτή επιφάνεια λέγεται η παράπλευρη επιφάνεια του κώ-

νου που δηµιουργείται από την περιστροφή της γενέτειρας.

Εµβαδόν κυρτής

επιφάνειας κώνου


επιφάνειας κώνου

Όγκος κώνου

ΕΚ

= π ρ λ

Εολ

= ΕΚ

+ Εβάσης

=

= π ρ λ + 2 π ρ

V = 1

3 π ρ2 υ

όπου ρ η ακτίνα της βά-

σης και λ η γενέτειρα

όπου ρ η ακτίνα

της βάσης και υ το

ύψος του κώνου

Εµβαδόν παράπλευρης

επιφάνειας πυραµίδας



Όγκος πυραµίδας

ΕΠ = 1

2Περίµετρος Παράπλευρο

Βάσης Ύψος

⋅

Εολ = ΕΠ + Εβάσης

V = 1

3 Εβάσης · ύψος


302.



Τι είναι ο κόλουρος κώνος; Ποια είναι τα χαρακτηρι-

στικά του;

Κόλουρος κώνος είναι το στερεό που προκύπτει αν

“κόψουµε” έναν κώνο µε ένα επίπεδο παράλληλο προς τη

βάση του.

Τι είναι σφαίρα; Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της;

Σφαίρα είναι το στερεό που προκύπτει αν περιστρα-

φεί πλήρως (κατά 360ο) ένας ηµικυκλικός δίσκος κέντρου

Ο και ακτίνας ρ γύρω από µία διάµετρο του ΑΒ.

Κέντρο της σφαίρας είναι το κέντρο Ο του ηµικυκλικού δί-

σκου.

Ακτίνα της σφαίρας είναι η ακτίνα του ηµικυκλικού δίσκου.

Επιφάνεια της σφαίρας είναι η επιφάνεια που δηµιουργεί-

ται από την περιστροφή του ηµικυκλικού δίσκου.

Εµβαδόν κυρτής επιφά-

νειας κόλορου κώνου

Εµβαδόν ολικής επιφά-

νειας κόλορου κώνου

Όγκος κόλορου κώνου

ΕΚ

= π (R + ρ) λ

όπου R, ρ οι ακτίνες τως βάσεων και

λ η γενέτειρα

Εολ

= ΕΚ

+ Εβάσης 1

+ Εβάσης

2

V = 13

π (R2 + R · ρ + ρ2) υ

Εµβαδόν επιφάνειας

σφαίρας

Όγκος σφαίρας

Εσφ

= 4 π ρ2

όπου ρ η ακτίνα της σφαίρας

V = 4

3 π ρ3

M

ñO

B

A




∆ίνεται το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του διπλανού

σχήµατος.

α. Να βρείτε τα ζεύγη των παραλλήλων επιπέδων.

β. Να βρείτε την τοµή των επιπέδων ΑΒΓ∆ και ΒΛΜΓ.

γ. Να βρείτε την τοµή των επιπέδων ΑΓΜΚ και ∆ΓΜΝ.

δ. Να βρείτε την τοµή των επιπέδων ΑΓΜΚ και Β∆ΝΛ.

Λύση

α. Παράλληλα είναι τα επίπεδα ΑΒΓ∆ και ΚΛΜΝ, Α∆ΝΚ

και ΒΓΜΛ, ΑΒΛΚ και ∆ΓΜΝ.

β. Η τοµή των δύο επιπέδων είναι η ευθεία ΒΓ.

γ. Η τοµή των δύο επιπέδων είναι η ευθεία ΜΓ.

δ. Η τοµή των δύο επιπέδων είναι η ευθεία ΕΖ η οποία

διέρχεται από τα κέντρα των παραλληλογράµµων

ΑΒΓ∆ και ΚΛΜΝ και είναι κάθετη στα επίπεδά τους.

α. Το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του διπλανού σχήµατος

έχει διαστάσεις α, β, γ. Να υπολογισθεί το µήκος της

διαγωνίου ΑΜ.

β. Ο κύβος του διπλανού σχήµατος έχει διαγώνιο

AM 2 3 cm= . Να υπολογιστούν:

i. Το µήκος της ακµής του ΑΒ.

ii. Το εµβαδόν της επιφάνειάς του.

iii. Ο όγκος του κύβου.

Λύση

α. Το τρίγωνο ΚΝΜ είναι ορθογώνιο µε κάθετες πλευρές α, β. Εφαρµόζοντας το Πυθα-

γόρειο Θεώρηµα υπολογίζουµε την υποτείνουσα του ΚΜ:

2 2 2KM α β= + άρα 2 2ΚΜ α β= +


304.



Η ευθεία ΑΚ είναι κάθετη στο επίπεδο ΚΛΜΝ εποµένως

θα είναι κάθετη και σε κάθε ευθεία του επιπέδου που

περνάει από το ίχνος της Κ. Άρα το τρίγωνο ΑΚΜ είναι

ορθογώνιο ( )LΑΚΜ 1= . Εφαρµόζουµε το Πυθαγόρειο

Θεώρηµα και έχουµε:

2 2 2ΑΚ ΚΜ ΑΜ+ = ή 2 2 2 2γ α β ΑΜ+ + =

Εποµένως 2 2 2ΑΜ α β γ= + + .

β. i. Ο κύβος είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο µε τρεις διαστάσεις ίσες, δηλαδή

α β γ= = . Σύµφωνα µε το ερώτηµα α. για τη διαγώνιό του ισχύει:

2 2 2δ α β γ= + + δηλαδή 2 2 2 2δ α α α 3α α 3= + + = =

Εποµένως α 3 2 3 α 2cm AB 2cm= ⇔ = ⇔ =ii. Η επιφάνεια του κύβου αποτελείται από 6 τετράγωνα πλευράς α.

Εποµένως 2 2 2 2ολ

E 6α 6 2 cm 24cm= = ⋅ = .

iii. Ο όγκος του κύβου όπως και κάθε πρίσµατος είναι:

2 3βάσης

V Ε ύψος α α α= ⋅ = ⋅ =

Άρα 3 3 3V 2 cm 8cm= =

Σε ένα ορθό τριγωνικό πρίσµα οι δύο πλευρές του τριγώνου

της βάσης είναι 8 cm και 5 cm. Το ύψος του πρίσµατος είναι

3 cm και το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας 69 cm2.

Να υπολογισθεί η τρίτη πλευρά της βάσης του πρίσµατος.

Λύση

Έστω x η ζητούµενη πλευρά.

Το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του πρίσµατος είναι:

ΠE Περίµετρος βάσης ύψος= ⋅

Εποµένως ( )269cm 8 5 x cm 3cm= + + ⋅ ⇔ ( )269cm 13 x cm 3cm= + ⋅ ⇔

( )6913 x 13 x 23 x 23 13 cm x 10cm

3+ = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ =

Ένα αλουµινένιο κουτί αναψυκτικού σχήµατος κυλίνδρου έχει ακτίνα βάσης 3 cm

και ύψος 10 cm.

α. Πόσο αλουµίνιο χρειάστηκε για την κατασκευή του;

β. Πόσο χαρτί χρειάζεται για το πλαϊνό περιτύλιγµα του κουτιού;

γ. Πόσο αναψυκτικό χωράει το κουτί;

L1 συµβολίζουµε

την ορθή γωνία




Λύση

α. Πρέπει να υπολογίσουµε το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας του κυλίνδρου.

Είναι: ( ) ( )2 2 2ολ

E 2πρυ 2πρ 2πρ υ ρ 2 3,14 3 10 3 cm 244,92cm= + = + = ⋅ ⋅ + =Άρα χρειάζονται 244,92 cm2 αλουµινίου για την κατασκευή του κουτιού.

β. Επειδή το χαρτί καλύπτει µόνο την παράπλευρη επιφάνεια του κουτιού, υπολογίζου-

µε το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου.

Είναι: 2 2Π

E 2πρυ 2 3,14 3 10cm 188,4cm= = ⋅ ⋅ ⋅ =γ. Αυτό που µας ζητείται είναι ο όγκος του κυλινδρικού κουτιού.

Είναι: 2 3 3V πρ υ 3,14 9 10cm 282,6cm= = ⋅ ⋅ =Εποµένως το κουτί χωράει 282,6 cm3 αναψυκτικού.

Σε µία κανονική τριγωνική πυραµίδα η πλευρά της βάσης είναι 2 cm. Το παράπλευ-

ρο ύψος της πυραµίδας είναι 10 cm. Να βρείτε το εµβαδόν

της ολικής επιφάνειας.

Λύση

Το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι:

( ) ( )Π

1E Περίµετρος βάσης παράπλευρο ύψος

2= ⋅ =

2 213 2 10cm 30cm

2= ⋅ ⋅ ⋅ =

Η βάση της πυραµίδας είναι ισόπλευρο τρίγωνο (αφού είναι κανονική) µε πλευρά

α 2cm= . Εποµένως έχει εµβαδόν:2 2

2βάσης

α 3 2 3E 3 cm

4 4= = = .

Έτσι 2 2 2ολ Π βάσης

E Ε Ε 30cm 3 cm 31,73cm= + = + =

Τι µεταβολή θα πάθει το εµβαδόν της επιφάνειας και ο όγκος µιας σφαίρας αν

τριπλασιάσουµε την ακτίνα της;

Λύση

Το εµβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας όταν έχει ακτίνα ρ, είναι 2

σφ.E 4πρ= .

Αν η ακτίνα γίνει ρ ' 3ρ= τότε το εµβαδόν θα γίνει:

( )22 2σφ. σφ

Ε ' 4πρ ' 4π 3ρ 9 4πρ 9Ε= = = ⋅ =∆ηλαδή το εµβαδόν θα 9-πλασιασθεί.

Ο όγκος της σφαίρας είναι: 34

V πρ3

=

Όταν τριπλασιασθεί η ακτίνα: ( )3 3 34 4 4V ' π 3ρ π 27 ρ 27 π ρ 27 V

3 3 3 = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

Άρα ο όγκος της σφαίρας θα 27-πλασιασθεί.


306.



1. Έστω Κ, Λ, Μ, Ν τέσσερα τυχαία σηµεία του χώρου.

α. Να σηµειώσετε τα επίπεδα που ορίζουν αυτά τα σηµεία (ανα τρία).

β. Να βρείτε την τοµή των επιπέδων ΚΛΜ και ΚΜΝ.

2. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο και να σηµειώσετε όλα τα ζεύγη

των ασύµβατων ακµών.

3. Ένας κύβος έχει ακµή α 2cm= . Να υπολογίσετε:

α. Τη διαγώνιό του.

β. Το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας.

γ. Τον όγκο του.

4. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει διαστάσεις α 3cm, β 4cm, γ 5cm= = = .


α. Το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας του.

β. Τον όγκο του.

5. Ένα ορθό πρίσµα έχει βάση τετραγώνο. Η πλευρά της βάσης είναι α 5cm= και το

ύψος είναι υ 3cm= . Να υπολογίσετε το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας του πρίσµα-

τος και τον όγκο του.

6. Ένας κύλινδρος έχει διάµετρο βάσης δ 6cm= και ύψος υ 10cm= . Να υπολογίσετε:

α. Το εµβαδόν της κυρτής του επιφάνειας.

β. Το εµβαδόν της ολικής του επιφάνειας.

γ. Τον όγκο του.

7. Να βρείτε την ακτίνα της βάσης κυλίνδρου που έχει όγκο 3V 785cm= και ύψος

υ 10cm= .




8. Να δείξετε ότι ο όγκος κυλίνδρου δίνεται από τον τύπο k

1V E ·ρ

2= όπου kE το

εµβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κυλύνδρου και ρ η ακτίνα της βάσης του.

9. Μια κανονική πυραµίδα µε βάση τετράγωνο έχει πλευρά βάσης α 5cm= και

παράπλευρο ύψος h 10cm= . Να υπολογίσετε το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας

της.


308.



Ερώτηση 1

Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

Ερώτηση 2

Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις: α. ∆ύο επιπέδων.

β. ∆ύο ευθειών.

γ. Μιας ευθείας και ενός επιπέδου.

Άσκηση 1

Μια κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει πλευρά βάσης 10cm και ύψος 8cm. Να

βρείτε το εµβαδόν µιας παράπλευρης έδρας της.

Άσκηση 2

Η διάµετρος σφαίρας είναι δ 20cm= . Να βρείτε το εµβαδόν της επιφάνειας της και

τον όγκο της.

Άσκηση 3

Το εµβαδόν της κυρτής επιφάνειας κώνου είναι 260cm και η γενέτειρά του λ 4cm= .

Να υπολογίσετε: α. Την ακτίνα της βάσης του.

β. Το ύψος του.

γ. Το όγκο του.

Στερεό

Ορθό πρίσµα

Πυραµίδα

Κώνος

Κόλουρος κώνος

Σφαίρα

Εµβαδόν παράπλευρης




Όγκος


ÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéò



311.Απαντήσεις

Κεφάλαιο 1ο

Βιβλιοµάθηµα 1ο

Ώρα για εξάσκηση:

2. α. 10,8, β. 12,5, γ. 7,3, δ. 5,6, ε. 5/8, στ. 6/5

3. α. –8 < –7 < –5 < –2 < 0 < +1 < +4,

β. –30,5 < -24,4 < –24 < +7,1 < +7,3,

γ. 1 3 4 3 3 7

5 , 4 2 2 24 10 5 5 4 10

− < − < − < − < + < +

4. α. Λ , β. Σ, γ. Λ, δ. Λ, ε. Σ, στ. Λ, ζ. Σ, η. Σ

5. α. < , β. >, γ. >, δ. <, ε. <, στ. >, ζ. <, η. <

6. α. 1

102

+ , β. 8

3− , γ.

15

6+ , δ. +11, ε. –13,5,

στ. +6,7, ζ. 18

25+ , η.

6

7−

7. x 4,5, 1/8, 2 /3, 11, 12,3= ,

x 4,5, 1/8, 2 /3, 11, 12,3− = − −

x 4,5, 1/8, 2 /3, 11, 12,3+ = − − −8. α. Σ, Σ, Λ, Λ, β. Σ, Λ, Λ, Σ, γ. Σ, Λ, Λ

9. α. > , β. < , γ. > , δ. = , ε. = , στ. = , ζ. < ,η. >

11. Α= –26, Β = –1/3, Γ = –101, ∆= –10,

Ε = 3,7, ΣΤ = –130

12. (–3) , (–7,0) , (+4, –5) , (–1)

13. Α= 0 , Β = –8 , Γ = –14,7 , ∆= 11/10

14. α. – 36,6 , β. 33

16+ γ.

19

3, δ. – 4,3, ε. +21,04

15. Α= 0 , Β = 23

6− , Γ =

1

2+ , ∆=

12

3− ,

Ε = +2, ΣΤ = 1

3−

16. α. –7, + 2, + 24, + 20 β. –40,–7, + 84,0 ,

γ. +30, –51, –51, –22, 2,

δ. 5 9 13 12

, , ,4 6 3 5

− + − −

17. α. < , β. >, γ. =, δ. >, ε. =, στ. =

18. α. x = 13, β. x = 16, γ. x = – 3, δ. x = +18,

ε. x = –25, στ. x = 0,ζ. x = +8, η. x = +26,

θ. x = +6,5, ι. x = –25, κ. x = +4, λ. x = +46

19. α. –28, β. –13,19, γ. 3

2+ , δ. +67, ε.

35

4,

στ. –0,38

20. x 7, y 21= − = −22. α. +13, β. +33, γ. +30, δ. –1270

23. α. +26, β. +7, γ. +0,8, δ.79

5−

24. Α = –7, Β = –35,4, Γ = 11

24+ , ∆ = –490,

Ε = 25

6− , ΣΤ = –13,9, Ζ =

61

12−

25. Α = 0, Β = 1, Γ = 12, ∆ = 0

26. Α = +0,5, Β = –32, Γ = –17, ∆ = 2003

27. Α + Β = 10

28. α. –13, β. –20, γ. –2

29. Α = + 8

30. Με x + y είναι οι β, η ενώ µε –(x + y) εί-

ναι οι γ, στ.



1. α. –28, β. –80, γ. –42, δ. –63, ε. –7,

στ. +13,5, ζ. –3,6, η. –0,24, θ. 4

3− , ι.

5

4+ ,

ια. 49

9− , ιβ.

2

15+

2. 11 11

Α 13, Β 7,5, Γ , ∆ , Ε 5512 2

= − = − = + = + = −

3. Α 16, Β 10, Γ 12, ∆ 9,= − = − = − = + Ε 1,= −

ΣΤ 0=

4. 12, 60, 20, 3, 27

12, 60, 20, 27, 3

12, 60, 20, 3, 27

− − − + − ↔− + + − + ↔− + − + −

α.

2, 6, 3, 8, 8

2, 6, 3, 8, 8

2 6, 3, 8, 8

+ − + − − ↔+ + + − − ↔+ − + − −

β.

5. Α 31, Β 4, Γ 88, ∆ 0= − = + = + =

6. Αντίστροφοι: –2, 1

3,

5

6,

1

4− ,

3

2, –7,

1

8,

Αντίθετοι: 1

2, –3,

6

5− , 4,

2

3− ,

1

7, –8


312. Απαντήσεις

7. Θετικό

9. 41, 29, 49, 21, 57− − − − −α. ,

28 54 50

11, , , , 133 5 6

+ − + + +β.

10. 8

720, 720, , 187,5, 19

+ − − − +α. β. γ. δ. ε.

11. α. –22 , β. 0 , γ. +48 , δ. –10

12. α. Αρνητικό, β. Θετικό, γ. Θετικό,

δ. Αρνητικό

13. Α= 0 , Β = +16 , Γ = +4 , ∆= 0

14. α. Λ , β. Σ , γ. Σ, δ. Λ, ε. Λ

15. Α= +3 , Β = 9

4+ , Γ = –3

16. α. 8, 16 , 15, 66 , 12, 56− − + + − −

β. 4, 16 , 2, 18 , 2, 18 , 4, 44− − − − + + + −17. α. Αρνητικός, β. Θετικός, γ. Αρνητικός,

δ. Θετικός

18. Α= +3, Β = –8, Γ = +48

19. α. 8, 16, 32, 6, 64

8, 16, 32, 6, 64

4, 8, 16, 3, 32

4, 8, 16, 3, 32

− + − + + ↔+ − + − − ↔− + − + + ↔+ − + − −

,

β. 2 7 16

1, , 5, ,3 2 5

3 15 21 24, 1, , ,

2 2 4 54 32

2, , 10, 7,3 5

5 5 25 35, , , , 8

2 3 2 4

+ − + + − ↔

− + − − + ↔

+ − + + − ↔

− + − − +

20. α. –3, β. +0,5, γ. +0,02, δ. 25

36+ , ε. +0,1,

στ. +0,02

21. Α = –8, Β = +1, Γ = –2, ∆ = –44,

Ε = +10/15, ΣΤ = –0,11

22. Α = –5, Β = –1, Γ = –0,9, ∆ = +3, Ε = +1/3

23. α. x 12= + , β. x 20= + , γ. x 4= − ,

δ. x 6= − , ε. x 2= + , στ. x 10= − , ζ. x 2= − ,

η. x 20= − , θ. x 14= + , ι. x 30= − ,

ια. x 7= + , ιβ. x 16= +

24. +4

25. Α = –40, Β = +19, Γ = +6.

26. 330, 2, 4 , 76, , 6 , 30, 6, 12

2− + + − − + + + +

27. i. –2, ii. –3, iii. +2, iv. +1

28. +11/12

29. Α = + 8


1. α. +64, β. +125, γ. -1/27, δ. –128, ε. –25,

στ. +27, ζ. –36, η. +81, θ. –25, ι. –1,

ια. 343, ιβ. +2,55, ιγ. 0, ιδ. +1, ιε. 5,29

2. Α 5, Β 18, Γ 384, ∆ 1080, Ε 4= + = − = − = − = −3. α. 328, β. 425, γ. 86, δ. (–2)17, ε. (–1/5)20,

στ. 614

4. α. >, β. >, γ. <, δ. <, ε. <, στ. =, ζ. <,

η. =, θ. <

5. α. +1, β. +1, γ. +1, δ. +16, ε. +1

6. α. 16, β. 100, γ. –8, δ. +81, ε. –125,

στ. +64, ζ. 64, η. 25, θ. –512

7. Α 36, Β 16, Γ 0, ∆ 569, Ε 0= − = + = = + =8. α. +64, β. +1, γ. 2048, δ. 4096, ε. 81,

στ. 256, ζ. –1, η. 625

9. Α 64, Β 257, Γ 0, ∆ 92= + = + = = +

10. 1

3, 25, 125, 49, , 2,25,8

−α. β. γ. δ. ε. στ.

9, 64

10ζ. η.

11. α. 81 , β. 512 , γ. 1 , δ. –343

12. α. 64, β. 81, γ. 2, δ. 9, ε. 49, στ. 243,

ζ. 64, η. –125

13. Α= 1350 , Β = 1

432−

14. Α= 9 , Β = 36, Γ = 1

15. α. 3, 26 , 5, 397 , 5, 307+ − − − + − ,

β. 8, 12, 64, 32− − + + , 27, 27, 729, 243 ,+ − + −

27, 27, 729, 243− − + +

16. 1 27 7 1 1 8

. , .1, . , . , . , . , . ,16 5 16 9 64 3

1 1 1. 1, . 4, . , . , .

64 36 256−

α β γ δ ε στ ζ

η θ ι ια ιβ



17. α. 4, β. 1, γ. 1

18. α. 1 1 1 51, 4 , , , ,

4 16 4 16− ,

β. 1 1 1 51, 1 , , , ,

8 8 8 8− + − − +

19. 1 95

Α , Β , Γ 1256 16

= = − =

20. 223 80 1

A , B , Γ , ∆ 464 27 3

= − = − = − = −

21. 8 10 97,5 10 , 8,1 10 , 4,32 10 ,⋅ ⋅ ⋅α. β. γ.

10 83,31 10 , 7,12 10 ,−⋅ ⋅δ. ε. 104,22 10−⋅στ. ,

6 83,58 10 , 8,48 10− −⋅ ⋅ζ. η.

22. 16 17 15

16 15

6 10 , 5,6 10 , 32,85, 2 10 ,

1,5 10 , 5 10

−

−

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

α. β. γ. δ.

ε. στ.

23. 8 18 35 24

24 8

164 10 , 64 10 , 32 10 , 10 ,

811 1

10 , 1064 25

− −

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

α. β. γ. δ.

ε. στ.

24. 9 3 8A 1,4 10 , B 17,8 10 , Γ 9,85 10−= ⋅ = − ⋅ = − ⋅26. 13,5 · 10–3

27. 0,25, 1,25, 0,625, 0,2, 1,3,

2,5, 0,5, 0,3

− − −−

α. β. γ. δ. ε.

στ. ζ. η.

28. 5 6 8 14 124 1258

, , , , ,9 9 9 9 99 495

α. β. γ. δ. ε. στ.

29. 19 1736

ή 2,1 ,9 891

α. β.




1. α. 2x + 9, β. 5x – 13, γ. x

3x3

+

2. α. 4κ, 4κ + 4, 4κ + 8, β. 7κ 7κ 7 7κ 14

2

+ + + +

3. x – 137 και x + 81 αντίστοιχα

4. x

2x 3x 117

+ = −

5. 90°, 70°, 100° και 100°

6. 2

x 6, y 1, ω5

= − = − = −

7. α. 5

x2

= − , β. 21

x2

= −

8. α. 51

x5

= , β. x 9=

9. α. Αδύνατη, β. Αόριστη

10. 5

x3

= −

11. α. x = 3, β. x = 0

12. x = –1

13. α. 3

x2

= , β. x 5= −

14. α. 3

x5

= , β. x 2= −

15. α. 13

x10

= , β. 19

x84

=

16. 127

x153

=

17. µ = 5

18. α. 7

µ , ν 23

= = , β. 1 5

µ , ν6 11

= = −

19. µ = 10, ν = –3, Α = 1003

20. λ = 2, A = 25

21. α. 2

2sα

t= , β. 2 2s

tα

=

22. α. E

mgh

= , β. E

gmh

= , γ. E

hmg

=

23.

2Frq

Q=

24. ( )V V E 2yz

y , z , xxz xy 2 y z

−= = =+

25. 4

26. 77

27. µικρή βάση = 12,5cm, µεγάλη βάση = 27,5 cm

28. γιος = 7 χρονών, κόρη = 15 χρονών,

µητέρα = 40 χρονών, πατέρας = 45 χρονών



29. 123,75 και 206,25

30. 93,4725 cm2

31. 7077,7 €

32. α. 20, 22, 24, 26, β. 13, 15, 17, 19

33. 5 κέρµατα των 10 λεπτών και 12 κέρµατα

των 50 λεπτών


1. α. 3

x43

≥ , β. 7

x3

> −

2. α. x 3≥ , β. x 5<3. α. x < 4, β. x > 4

4. α. 4

x5

≤ , β. 43

x5

>

5. α. x 3> − , β. 5

x6

≤ −

6. 9

x20

≤

7. α. Αόριστη, β. Αόριστη

8. α. Αόριστη, β. Αδύνατη

9. λ = 6

10. 15

λ2

= −

11. 2 < x < 3

12. x < –4

13. x > 3

14. –17 < x < 1

15. 1, 3, 5 ή 3, 5, 7 ή 5, 7, 9 ή 7, 9, 11

16. 6

17. 4

18. 15 παιχνίδια

19. Ο ισχυρισµός είναι ψευδής.

20. x 8,64≤




1. Σωστές είναι οι: ii, iii, iv, vi.

2. α. x = 10cm, β. E = 136cm2

3. i. 14cm, ii. 12cm2

4. 5cm

5. i. Είναι, ii. ∆εν είναι

6. α. 9cm, β. 108 cm2, γ. 54cm2

7. Ισχύει

8. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

9. 90cm2

10. α.i. 9, ii. 0,9, iii. 90, β. i. 2

3, ii.

5

6, iii.

15

911. 4



1. x 6,4, x 3,6i. ii.

2. A 7,76

3. x 9,38

4. A 0,99

5. i. 3,6 και 4,89, ii. 6, iii. 1,25

7. ΟΑ 5,8

8. AΒ 2 1,42=

9. α. ο y΄y, β. x΄x , γ. Ευθεία // y΄y,

δ. Ευθεία // x΄x

10. α. λ = –2, β. λ = 1/5 , γ. –2 < λ <1/5

11. υποτείνουσα 4,7 m

12. Εµβαδόν 127 τ.µ.




1. β 4

α 3= ,

α β 7

α 3

+ = , α β 7

β 4

+ = , α β

7β α

+ =−

2. α β 1

α β 3

− =+

, 2α β 5

2α β 3

+ =−

, 3α 2β

23α 2β

+ =−

6. AM = 2cm, MB = 10cm

7. ΑΜ 3

ΜΒ 5=

9. εφΓ = 4

10. x = 9,9m

11. εφΒ = 2,4, εφΓ = 0,4

12. α. β

εφΒγ

= και γ

εφΓβ

=

β. β γ βγ

εφΒ εφΓ 1γ β βγ

⋅ = ⋅ = =

13. x = 0,36 m



15. εφΒ 4

εφΓ 3=

17. O∆ = 75%



1. α. ηµΒ = 0,8, συνΒ = 0,6, ηµΓ = 0,6, συνΓ = 0,8,

β. ηµΖ = 12/13, συνΖ = 5/13, ηµΕ = 5/13,

συνΕ = 12/13,

γ. ηµΛ = 20/29, συνΛ = 21/29, ηµΜ = 21/29,

συνΜ = 20/29

2. α. 2 > Α > 1, β. 4 < Β < 6, γ. –1 < Γ <2

3. α. Α∆ = 2,3, Β∆ = 1,9, ∆Γ = 4,4, Ε = 7,25,

β. ∆Η = 5,2, ΖΗ = 3, ΕΗ = 7, Ε∆ = 8,7, Ε = 26,

γ. ΚΛ = 5,32, ΛΝ = 1,82, ΚΜ = 7,1, ΝΜ =5,

ΛΜ = 6,82, Ε = 17

4. 6 2

Α

2

+= , 2 3

B4

+= , Γ = –1

5. α. 5 5

ηµΒ , συνΒ

5 5= = ,

5 2 5

ηµΓ , συνΓ

5 5= =

6. α. ω = 60°, β. ω = 30°

7. ΑΒ = 5, ΑΓ = 8,6

9. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές




2. Α(0,1/3) , Β(–1,0)

4. α = 1 , β = 2

6. λ = –2



1. y = 7x

2. Α(0,1/3) , Β(–1,0)

5. λ = –7

6. Α(0,–5), Β(15,0)

7. 30, 60, 90

8. y = 2x + 5

9. y = 2x + 5

11. y = 2x + 5



2. 27 µέρες περίπου




1. Οι αντίστοιχες γωνίες είναι περίπου: 137,9ο,

95,6ο, 32,9ο, 65,22ο, 28,3ο

2. Την περίοδο από 12 έως 13 ετών

3. Οι αντίστοιχες γωνίες είναι: Η : 72°, Cl : 72°,

O : 216°

4. α. Ο αριθµός των γεννήσεων είναι: 1998:400,

1999:500, 2000:800, 2001:600, 2002:900,

β. το 2001, 25%, γ. 50%

5. Η.Π.Α: 15,8%, Ρωσία: 25%

6. α. Λέσβος: 90.000, Ρόδος:100.00,

Χίος:50.000, Σάµος:35.000, Σύρος:20.000

β. 61,1%, γ. 350%



1. α. Οι σχετικές συχνότητες των παρατηρήσε-

ων µε τη σειρά που δόνονται είναι 0,16,

0,23, 0,31, 0,2, 0,06, 0,03, 0,01.

β. Η επικρατούσα τιµή των παιδιών είναι 2,

γ. Πάνω από 3 παιδιά έχουν:

48 + 24 + 8 = 80 οικογένειες. Οπότε το

ποσοστό τους είναι

80 10,1 ή 10%

800 10= =

2. x = 8, y = 0,24, ω = 0,16, κ = 0,4, λ = 0,2

3. β. 2–4, γ. 8 + 12 = 20 µαθητές

4. α. Οι συχνότητες µε την σειρά που δίνονται

οι κλάσεις είναι: 125, 135, 140, 60 ,40



1. α. 18, 18, β. 14,14

2. 8, 10

3. α. 9, 11, 13, 15, 17, β. διάµεσος 13

4. 20

5. β. 14,93, δ. 60 %

6. x = 2

7. α. 161, β. 159,5, γ. 160,5

8. 900 €

9. 21






1. Είναι οι ευθείες ζ1 και ζ

2 οι οποίες είναι κά-

θετες µεταξύ τους και διχοτοµούν τις κατα-

κορυφήν γωνίες που σχηµατίζονται

2. α. Άπειρους, β. Έναν, γ. Έναν

3. Είναι η ευθεία η οποία διέρχεται από τα σηµεία

∆, Β, Μ και η κάθετη σε αυτήν στο σηµείο Β.

4. Είναι η ευθεία της διχοτόµου της γωνίας.

5.

6. ΑΒ = ΒΓ = Γ∆ = ∆Α = 5cm

7. Ως προς x΄x:

Α Β→ , Β Α→ , Γ ∆→ , ∆ Γ→ ,

Ως προς y΄y:

A Γ→ , Β ∆→ , Γ Α→ , ∆ Β→

8. οΓ 30= ,

οΑ 120=

9. οΑ Β 100= = , οΓ ∆ 80= =

11. α. οΒ Γ 50= = , β. ο

1Α 40=




1. i. Β, ii. Γ

2. i. Λ, ii. Σ, iii. Λ, iv. Λ

3. 55ο, 75ο, 225ο

4. ο οˆ ˆΑ∆Γ 80 , ΑΒΓ 100= =7. 20°

8. Γ∆

AB2

=

9. ο οˆ ˆΑ∆Γ 89 , ΑΒΓ 91= =11. 22ο

12. ο

∆ 52=14. 48ο



2. i. Λ, ii. Λ, iii. Λ, iv. Σ, v. Σ

3. α. 120ο, β. 90ο, γ. 45ο, δ. 5ο

4. α. 144-γωνο, β. 25-γωνο, γ. 16-γωνο,

δ. 72-γωνο, ε. 20-γωνο

5. α. 144ο, β. 160ο, γ. 135ο, δ. 168ο

6. α. Όχι, β. Όχι, γ. Ναι

7. α. Ναι, β. Όχι, γ. Ναι



4. i. Σ, ii. Σ, iii. Σ, iv. Λ, v. Σ

5. 40.200Κm

6. 314cm2

7. 72cm2, 10,26cm2

8. 47,1cm

9. 82,08 cm2

10. α. 193,5cm2, β. 17,046cm2, γ. 10,75cm2

11. α. 4/5, β. 4/5, γ. 16/25

12. 565,2cm2

13. 2,512 Km

14. 120 µοίρες

15. 86,5cm2, 30cm




1. α. ΚΛΜ, ΚΜΝ, ΛΜΝ, β. Η ευθεία ΚΜ

2. Κάποιες ασύµβατες ευθείες είναι οι:

ΑΒ - ∆Ν, ΑΒ - ΓΜ, Γ∆ - ΒΛ, Γ∆ - ΑΚ

3.α. 2 3 cm , β. 2E 24cm= , γ. 3V 8cm=

4.α. 294 cm , β. 3V 60cm=

5. 2E 110cm= ,

3V 75cm=

6.α. 2κ

E 188,4cm= , β. 2ολ

E 244,95cm= ,

γ. 3V 282,6cm=

7. ρ 5cm=

9. 2ολ

E 125cm=












Documents

Mathimatika B Gymnasioy Theoria-Askiseis