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Mathématiques SN. La fonction EXPONENTIELLE. Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE -. Rappels sur les lois des exposants. TERMINOLOGIE. base exposant = puissance. Ex. : 3 2 = 9. NOTATION. LOIS DES EXPOSANTS. a 1 = a. a ½ = a. a m • a n = a m + n. . - PowerPoint PPT Presentation
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Mathématiques Mathématiques SNSN
La fonctionLa fonction
EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE
Rappels sur les lois des exposantsRappels sur les lois des exposants
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE - -
basebase exposantexposant = = puissancepuissance
TERMINOLOGIETERMINOLOGIE
Ex. :Ex. : 3322 = = 99
LOIS DES EXPOSANTSLOIS DES EXPOSANTS
aam m • • aann = a = am + nm + n
aamm
aann= a= am – nm – n
(ab)(ab)m m = a= am m bbmm
aa
bb==
aamm
bbmm
mm
(a(amm))n n = a= amnmn
NOTATIONNOTATION
aa11 = a = a
aa00 = 1 = 1
a a - m - m ==11
aamm
aa½½ = a = a
aa⅓⅓ = = 33 a a
aa⅔⅔ = = 33 a a22
EXEMPLES sur les LOISEXEMPLES sur les LOIS
aam m • • aann = a = am + nm + n
Ex. #1 :Ex. #1 : 334 4 • • 3333 = = 3377
Ex. #2 :Ex. #2 : xx • • xx55 = = xx66
Ex. #3 :Ex. #3 : 77x + 8x + 8 = = 77x x • • 7788
aamm
aann= a= am – nm – n
Ex. #1 :Ex. #1 : 5588
5533
= 5= 555
Ex. #2 :Ex. #2 : xx
xx44
= x= x-3-3 == 11
xx33
Ex. #3 :Ex. #3 : 66x – 2x – 2 == 66xx
6622
(ab)(ab)m m = a = am m bbmm
Ex. #1 :Ex. #1 : (3x)(3x)4 4 = = 334 4 • • xx44
Ex. #2 :Ex. #2 : (xy)(xy)7 7 xx7 7 • • yy7 7 ==
aa
bb==
aamm
bbmm
mm
33
44==
3322
4422
22Ex. #1 :Ex. #1 :
xx
yy==
xx55
yy55
55Ex. #2 :Ex. #2 :
(a(amm))nn = a= amnmn
Ex. #1 :Ex. #1 : (3(344))2 2 = = 3388
Ex. #2 :Ex. #2 : (x(x88))½½ = = xx44xx88 = =
Équations et graphiqueÉquations et graphique
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE - -
f(x) = f(x) = ccxx (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
f(x) = f(x) = aaccbb(x – (x – hh)) + + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)
f(x) = f(x) = aaccx – x – hh + + kk (forme CANONIQUE)(forme CANONIQUE)
f(x) = 2f(x) = 2xxExemple :Exemple :
f(x) = 3 f(x) = 3 • • 224(x – 3)4(x – 3) + 5 + 5Exemple :Exemple :
f(x) = 3 f(x) = 3 • • 22x – 3x – 3 + 5 + 5Exemple :Exemple :
Équations et graphiqueÉquations et graphique
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE - -
xx f(x)f(x)
00 11
11 22
22 44
33 88
-1-1 ½½
-2-2 ¼¼
f(x) = f(x) = 22xx (forme générale de BASE où (forme générale de BASE où c c 1 1 ) )
11
11
Équations et graphiqueÉquations et graphique
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE - -
xx f(x)f(x)
00 11
11 ½½
22 ¼¼
33 0,10,1
-1-1 22
-2-2 44
f(x) = ( )f(x) = ( )xx (forme générale de BASE où (forme générale de BASE où c c ] 0 ,1 [ ] 0 ,1 [ ) )11
22
11
11
Équations et graphiqueÉquations et graphique
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE - -
xx f(x)f(x)
00 - 1- 1
11 - 2- 2
22 - 4- 4
33 - 8- 8
-1-1 - ½- ½
-2-2 - ¼- ¼
f(x) = - f(x) = - 22xx (forme générale TRANSFORMÉE où a = -1)(forme générale TRANSFORMÉE où a = -1)
11
11
Équations et graphiqueÉquations et graphique
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE - -
xx f(x)f(x)
00 11
11 ½½
22 ¼¼
33 ⅛⅛
-1-1 22
-2-2 44
f(x) = f(x) = 22-x-x (forme générale TRANSFORMÉE où b = -1)(forme générale TRANSFORMÉE où b = -1)
11
11
Équations et graphiqueÉquations et graphique
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE - -
xx f(x)f(x)
00 - 4,3- 4,3
11 - 3- 3
22 11
33 1313
-1-1 - 4,8- 4,8
-2-2 - 4,9- 4,9
f(x) = f(x) = 22 •• 33x – x – 11 – – 55 (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)
11
11
y = - 5 (asymptote)y = - 5 (asymptote)
Équations et graphiqueÉquations et graphique
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE - -
f(x) = f(x) = aa ccbb(x – (x – hh)) + + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)
11
11
y = k (asymptote)y = k (asymptote)
y =y = kk Équation de Équation de l’l’asymptoteasymptote
Dom Dom ff = = Ima Ima ff = ] = ] k k , +∞, +∞
c c 1 1c c ] 0 ,1 [ ] 0 ,1 [
Résolutions d’équationsRésolutions d’équations
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE - -
2 méthodes2 méthodes : : 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la même base même base exponentielleexponentielle
2- Utiliser les 2- Utiliser les logarithmeslogarithmes
Exemple #1 :Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (7Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 12x – 1) – 539 .) – 539 .
7722 = 7 = 72x – 12x – 1
Exemple #1 :Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (7Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 12x – 1) – 539 .) – 539 .
0 = 11 (70 = 11 (72x – 12x – 1) – 539) – 539
RéponseRéponse : : x x { } { }
539 = 11 (7539 = 11 (72x – 12x – 1))
49 = 749 = 72x – 12x – 1
2 = 2x – 12 = 2x – 1
3 = 2x3 = 2x
= x= x33
22
33
22
Exemple #2 :Exemple #2 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6x+1x+1) – 108 .) – 108 .11
22
0 = (60 = (6x+1x+1) – 108) – 10811
22
108 = (6108 = (6x+1x+1))11
22
216 = 6216 = 6x+1x+1
6633 = 6 = 6x+1x+1
3 = x + 13 = x + 1
2 = x2 = x
RéponseRéponse : : x x { 2 } { 2 }
( )( )44 = ( ) = ( )3x3x
Exemple #3 :Exemple #3 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( )Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( )3x3x – 1 . – 1 .11
55
0 = 625 ( )0 = 625 ( )3x3x – 1 – 111
55
= ( )= ( )3x3x11
625625
= x= x RéponseRéponse : : x x { } { }
11
55
= ( )= ( )3x3x11
5544
11
55
11
55
11
55
4 = 3x4 = 3x
44
3344
33
22-16x-16x = 2 = 2-10x + 18-10x + 18
Exemple #4 :Exemple #4 : Résoudre ( )Résoudre ( )8x8x = 2 = 2-10x + 18-10x + 18 . .
( )( )8x8x = 2 = 2-10x + 18-10x + 18
RéponseRéponse : : x x { -3 } { -3 }
(2(2-2-2))8x8x = 2 = 2-10x +18-10x +18
-16x = -10x + 18-16x = -10x + 18
-18 = 6x-18 = 6x
-3 = x-3 = x
11
44
11
2222
Recherche de l’équationRecherche de l’équation
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE - -
Exemple :Exemple : Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des
informations suivantes :informations suivantes :
a)a) La courbe passe par les points A(1, -20) et B(3, -500) et La courbe passe par les points A(1, -20) et B(3, -500) et
l’équation de l’asymptote est y = 0.l’équation de l’asymptote est y = 0.
A) A) À partir d’éléments du À partir d’éléments du GRAPHIQUEGRAPHIQUE
Exemple :Exemple : Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des
informations suivantes :informations suivantes :
RéponseRéponse : : f(x) = - 4 (5)f(x) = - 4 (5)xx
a)a) La courbe passe par les points A(1, - 20) et B(3, - 500) et La courbe passe par les points A(1, - 20) et B(3, - 500) et
l’équation de l’asymptote est y = 0.l’équation de l’asymptote est y = 0.
f(x) = f(x) = aaccxx + + kk (forme CANONIQUE où h = 0)(forme CANONIQUE où h = 0)
- 20 = ac- 20 = ac11 + 0 + 0 (avec le point (avec le point AA))
- 500 = ac- 500 = ac33 + 0 + 0 (avec le point (avec le point BB))
(1)
(2)
(2) / (1) :
Système Système d’équationd’équation
- 500 = ac- 500 = ac33
- 20 = ac- 20 = ac11
25 = c25 = c22
5 = c5 = c (3)
(3) dans (1) : - 20 = a(5)- 20 = a(5)11
- 4 = a- 4 = a
Exemple :Exemple : Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des
informations suivantes :informations suivantes :
RéponseRéponse : : f(x) = 8 (3)f(x) = 8 (3)xx + 5 + 5
b) La courbe passe par les points A(1, 29) et B(4, 653) et b) La courbe passe par les points A(1, 29) et B(4, 653) et
l’équation de l’asymptote est y = 5.l’équation de l’asymptote est y = 5.
f(x) = f(x) = aaccxx + + kk (forme CANONIQUE où h = 0)(forme CANONIQUE où h = 0)
29 = ac29 = ac11 + 5 + 5 (avec le point (avec le point AA))
653 = ac653 = ac44 + 5 + 5 (avec le point (avec le point BB))
(1)
(2)
(2) / (1) :
Système Système d’équationd’équation
648 = ac648 = ac44
24 = ac24 = ac11
27 = c27 = c33
3 = c3 = c (3)
(3) dans (1) : 24 = a(3)24 = a(3)11
8 = a8 = a
24 = ac24 = ac11
648 = ac648 = ac44
B) B) À partir d’un problème de « À partir d’un problème de « TAUX D’INTÉRÊTSTAUX D’INTÉRÊTS »» ……
Formule « utile » pour ce genre de problème…Formule « utile » pour ce genre de problème…
C(t) = CC(t) = Coo (1 + ) (1 + )ktktii
kk
Capital Capital accumuléaccumulé
Capital Capital initialinitial Nombre de Nombre de
fois que C(t) fois que C(t) est capitaliséest capitalisé
Taux Taux d’intérêtd’intérêtTempsTemps
Exemple :Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options.de 5%. On t’offre trois options.
a) a) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital annuellementannuellement..
b) b) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 moisaux 4 mois..
c) c) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital à chaque moisà chaque mois..
Laquelle est la plus avantageuse ?Laquelle est la plus avantageuse ?
C(t) : Ce qu’on chercheC(t) : Ce qu’on cherche
CCoo = 1000 $ = 1000 $
DonnéesDonnées
i = 5%i = 5%k = 1 fois par année (en a)k = 1 fois par année (en a)
3 fois par année (en b)3 fois par année (en b)
12 fois par année (en c)12 fois par année (en c)
C(t) = 1000 (1 + )C(t) = 1000 (1 + )1t1t
C(t) = 1000 (1,05)C(t) = 1000 (1,05)tt
C(3) = 1000 (1,05)C(3) = 1000 (1,05)33
Après 3 ans…Après 3 ans…a) a) Règle générale…Règle générale…
C(3) C(3) ≈≈ 1157,63 1157,63
RéponseRéponse : : 1157,63 $1157,63 $
0,050,05
11
Exemple :Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options.de 5%. On t’offre trois options.
a) a) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital annuellementannuellement..
b) b) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 moisaux 4 mois..
c) c) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital à chaque moisà chaque mois..
Laquelle est la plus avantageuse ?Laquelle est la plus avantageuse ?
C(t) = 1000 (1 + )C(t) = 1000 (1 + )3t3t
C(t) = 1000 (1,01667)C(t) = 1000 (1,01667)3t3t
C(3) = 1000 (1,01667)C(3) = 1000 (1,01667)3(3)3(3)
Après 3 ans…Après 3 ans…b) b) Règle générale…Règle générale…
C(3) C(3) ≈≈ 1160,40 1160,40
Réponse :Réponse : 1160,40 $1160,40 $
0,050,05
33
C(t) = 1000 (1 + )C(t) = 1000 (1 + )12t12t
C(t) = 1000 (1,0041667)C(t) = 1000 (1,0041667)12t12t
C(3) = 1000 (1,0041667)C(3) = 1000 (1,0041667)12(3)12(3)
Après 3 ans…Après 3 ans…c) c) Règle générale…Règle générale…
C(3) C(3) ≈≈ 1161,47 1161,47
Réponse :Réponse : 1161,47 $1161,47 $
0,050,05
1212
C(t) = 1000 (1 + )C(t) = 1000 (1 + )1t1t
C(t) = 1000 (1,05)C(t) = 1000 (1,05)tt
C(3) = 1000 (1,05)C(3) = 1000 (1,05)33
Après 3 ans…Après 3 ans…a) a) Règle générale…Règle générale…
C(3) C(3) ≈≈ 1157,63 1157,63
Réponse :Réponse : 1157,63 $1157,63 $
0,050,05
11
C) C) À partir d’un problème de « À partir d’un problème de « BACTÉRIESBACTÉRIES »» ……
Exemple :Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 128 000 ?de 128 000 ?
N(t) = 500 (2)N(t) = 500 (2)t/5t/5
128 000 = 500 (2)128 000 = 500 (2)t/5t/5
256 = (2)256 = (2)t/5t/5
2288 = 2 = 2t/5t/5
8 =8 = tt
55
40 = t40 = t
RéponseRéponse : : Après 40 heures.Après 40 heures.
Base naturelle « Base naturelle « ee » »
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE--
Il existe un nombre irrationnel (comme Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme « ) qui se nomme « constante de Néperconstante de Néper » » et qui est symbolisée par la lettre « et qui est symbolisée par la lettre « ee » dont la valeur est environ : » dont la valeur est environ :
e e ≈≈ 2,7182818… 2,7182818…
Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que :Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que :
C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de nombreuses modélisations de phénomènes naturels. nombreuses modélisations de phénomènes naturels.
ee11 ≈≈ 2,7182818… 2,7182818…
ee22 ≈≈ 7,39 7,39
ee33 ≈≈ 20,0855 20,0855
etc.etc.
Graphique de la fonction f(x) = Graphique de la fonction f(x) = eexx
xx f(x)f(x)
00 11
11 ~ ~ 2,722,72
22 ~ ~ 7,397,39
33 ~ ~ 20,0920,09
-1-1 ~ 0,37~ 0,37
-2-2 ~ ~ 0,140,14
f(x) = f(x) = eexx (forme générale de BASE où (forme générale de BASE où c c 1 1 ) )
11
11
Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE - -
Exemple :Exemple : Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3-0,08x-0,08x) ) < 52< 52 . .
-26 + 234 (3-26 + 234 (3-0,08x-0,08x) ) < < 5252
y = - 26 (asymptote)y = - 26 (asymptote)
y = 52y = 52
33
1010
234 (3234 (3-0,08x-0,08x) ) < 78< 78
33-0,08x-0,08x <<
33-0,08x-0,08x < 3< 3-1-1
-0,08x -0,08x < -1< -1
x x 12,5 12,5
11
33
RéponseRéponse : : x x ] 12,5 , + ∞] 12,5 , + ∞