Mathematik macht Freu(n)de KH – Exponential- und Logarithmusfunktionen

KOMPETENZHEFT – EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN

Inhaltsverzeichnis

1. Diagnoseaufgaben 12. Exponentialfunktionen 73. Logarithmusfunktionen 144. Exponential- und Logarithmusgleichungen 195. Weitere Aufgabenstellungen 24

1. Diagnoseaufgaben

Aufgabe 1.1. Ordne den beiden Graphen jeweils die passende Funktionsgleichung aus A bis D zu.

A f(x) = 1,2x + 1

B f(x) = 2x − 2

C f(x) = 0,8x − 2

D f(x) = 0,5x + 1

Aufgabe 1.2. Bauer Waldner weiß, dass sich der Holzbestand seines Waldes umca. 2,7 % pro Jahr bezogen auf das jeweilige Vorjahr vermehrt. Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt derHolzbestand 36 000 m3.

– Stellen Sie eine Funktionsgleichung für diejenige Funktion f auf, die den Holzbestand in Abhän-gigkeit von der Zeit in Jahren angibt.

Aufgabe 1.3. Auf einer österreichischen Transitroute wurden im Jahr 2003 insge-samt 1 700 000 Fahrten gezählt. Im Jahr 2011 waren es bereits 2 006 000 Fahrten.

– Stellen Sie diejenige Funktionsgleichung auf, die die Entwicklung der Anzahl der Fahrten auf dieserRoute mit einer Exponentialfunktion der Form y(t) = a · bt beschreibt.

t . . . Zeit in Jahren mit t = 0 im Jahr 2003y(t) . . . Zahl der jährlichen Fahrten zur Zeit tDatum: 19. August 2018.

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Aufgabe 1.4. Der Temperaturverlauf eines aus dem Kühlschrank entnommenen Getränks wirddurch folgende Funktion beschrieben:

f(t) = 15 ·(1− e−0,038·t

)+ 7

t . . . Zeit in minf(t) . . . Temperatur in ◦C nach t ≥ 0 Minuten

a) Berechne die Temperatur des Getränksbei Entnahme aus dem Kühlschrank.

b) Berechne die Temperatur nach 10, 30,50 und 70 Minuten.

c) Begründe, welchem Wert sich die Tem-peratur des Getränks annähert.

d) Skaliere die vertikale Achse im neben-stehenden Koordinatensystem geeignet,und zeichne den Funktionsgraphen ein.

Aufgabe 1.5. Die Zahl der Verletzungen beim Schifahren ist rückläufig. Sie nimmtpro Jahr um ca. 2 % im Vergleich zum Vorjahreswert ab. Im Jahr 2009 gab es österreichweit etwa66 200 Verletzungen.

– Erstellen Sie eine Funktion, mit der Sie die Anzahl der Verletzungen beim Schifahren in Abhän-gigkeit von der Zeit t modellieren können.

– Berechnen Sie die ungefähre Zahl der Verletzungen im Jahr 2014.

Aufgabe 1.6. Die Anzahl der Neuronen in der Großhirnrinde bei Frauen kanndurch folgende Funktionsgleichung berechnet werden:

N(t) = e3,05−0,00145·t

N(t) . . . Anzahl der Neuronen in Milliarden in Abhängigkeit vom Lebensalter tt . . . Lebensalter in Jahren

– Formen Sie die gegebene Funktionsgleichung auf die Form N(t) = N0 · at um.

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Aufgabe 1.7. Einem Patienten werden Medikamente mit einer bestimmten wirk-samen Substanz verabreicht.Die Abnahme der Konzentration W der wirksamen Substanz im Blut kann mit der folgenden Funk-tion W beschrieben werden:

W (t) = 45 · e−0,223·t

t . . . Zeitdauer nach Einnahme des Medikaments in Stunden (h)W (t) . . . Konzentration der wirksamen Substanz zur Zeit t in Nanogramm pro Milliliter (ng/ml) Blut

– Formen Sie die gegebene Gleichung nach der Zeit t um.– Berechnen Sie diejenige Zeit, nach der noch 20 % der ursprünglichen Konzentration vorhandensind.

Aufgabe 1.8. Für die Herstellung von Joghurt werden Milchsäurebakterien ver-wendet. Das Wachstum der Milchsäurebakterien kann durch die folgende Funktion N beschriebenwerden:

N(t) = 20 · 1,023 37t

t . . . Zeit in Minuten (min)N(t) . . . Bakterienmasse in Mikrogramm (µg) nach t Minuten

– Lies das prozentuelle Wachstum pro Minute ab.– Berechne die Masse der Bakterien nach 1 Stunde in Gramm.– Begründe, warum der nachstehend dargestellte Rechenschritt falsch ist.

a

20 = 1,023 37t

lg(a)lg(20) = t · lg(1,023 37)

Aufgabe 1.9. Es wird ein Kuchen aus Hefeteig gebacken. Für den Teig benötigtman ein sogenanntes „Dampfl“ aus Hefe, warmer Milch und Zucker. Diese Zutaten werden verrührtund in ein 12 cm hohes zylindrisches Gefäß gegeben.Man lässt das Gemisch einige Zeit t in warmer Umgebung ruhen. Die Höhe des Dampfls im Gefäßbeträgt zu Beginn 4 cm. Das Dampfl dehnt sich durch die Wärme aus.Nach der Zeit von 11 Minuten erreicht das Dampfl eine Höhe von 7 cm. Dieses „Aufgehen des Dampf-ls“ kann mit dem Modell des exponentiellen Wachstums beschrieben werden:

h(t) = h0 · eλ·th(t) . . . Höhe des Dampfls zum Zeitpunkt t in Zentimetern (cm)t . . . Zeit in Minuten (min)

– Bestimmen Sie aus den gegebenen Daten die Konstante λ auf 3 Dezimalen gerundet.– Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Höhe pro Minute wächst.

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Aufgabe 1.10. Der Abbau von Medikamenten im Körper kann näherungsweisedurch exponentielle Modelle beschrieben werden.

a) Die nachstehende Tabelle gibt an, welche Menge N(t) eines bestimmten Medikaments zur Zeit tim Körper vorhanden ist:

t in h 0 2 4

N(t) in mg 100 60 36

– Erklären Sie, warum die in der Tabelle angegebenen Daten die Beschreibung des Medikamen-tenabbaus durch ein exponentielles Modell nahelegen.

– Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Exponentialfunktion N , die diesen Medikamentenabbaubeschreibt.

– Berechnen Sie diejenige Menge des Medikaments, die zur Zeit t = 3 h im Körper vorhanden ist.

b) Ein anderes Medikament hat im Körper die Halbwertszeit 1,5 h.

Am Anfang (t = 0 h) sind 80 mg des Medika-ments im Körper vorhanden. Der Medikamen-tenabbau im Körper kann näherungsweise durcheine Exponentialfunktion N beschrieben werden.

– Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinaten-system den Graphen von N im Zeitintervall[0 h; 6 h] ein.

c) Ein Medikament hat im Körper eine Halbwertszeit T1/2.– Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5]

Nach einer Zeitdauer von 3 · T1/2 ist 16 der Ausgangsmenge vorhanden. �

Nach einer Zeitdauer von 2 · T1/2 sind 75 % der Ausgangsmenge abgebaut. �

Nach einer Zeitdauer von 2 · T1/2 sind 50 % der Ausgangsmenge vorhanden. �

Nach einer Zeitdauer von 3·T1/2 ist weniger als 18 der Ausgangsmenge abgebaut. �

Nach einer Zeitdauer von 5 · T1/2 sind 10 % der Ausgangsmenge vorhanden. �

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d) Der Abbau eines anderen Medikaments im Körper kann näherungsweise durch die Funktion N

beschrieben werden:

N(t) = 200 · e−0,3·t

t ... Zeit ab Verabreichung des Medikaments in hN(t) ... vorhandene Menge des Medikaments im Körper zur Zeit t in mg

Das Medikament muss wieder verabreicht werden, sobald nur noch 15 % der Ausgangsmenge imKörper vorhanden sind.– Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem das Medikament wieder verabreicht werden muss.

Aufgabe 1.11. Die Höhe eines Strauches wird in den ersten Tagen nach demAuspflanzen durch die Funktion h beschrieben:

h(t) = 0,08 · e0,03·t für 0 ≤ t < 55t . . . Zeit in Tagen (d)h(t) . . . Höhe des Strauches in Metern (m) zur Zeit t

a) Berechne, nach wie vielen Tagen der Strauch eine Höhe von 40 cm aufweist.b) Die Funktionsgleichung der Funktion h wurde fehlerhaft logarithmiert:

lg(h(t)) = lg(0,08) + 0,03 · lg(e) + t · lg(e)

– Stellen Sie die logarithmierte Gleichung richtig.

Aufgabe 1.12. Als Schalldruck p werden die Druckschwankungen eines kompressi-blen Schallübertragungsmediums (üblicherweise Luft) bezeichnet, die bei der Ausbreitung von Schallauftreten. Eine für das Hörempfinden relevante Größe ist der Schalldruckpegel Lp.

Lp = 20 · lg(p

p0

) Lp . . . Schalldruckpegel in Dezibel (dB)p . . . Schalldruck in Pascal (Pa)p0 . . . Bezugswert für Luftschall (p0 = 20µPa)

– Zeigen Sie mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen und der angegebenen Formel, dass eineVerdoppelung des Schalldrucks p eine Erhöhung des Schalldruckpegels Lp um etwa 6 dB bewirkt.

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1.1Links:DRechts:B1.2f(t)=36000·1,027

t,t...Zeit(inJahren),f(t)...Holzbestand(inm3)nachtJahren

1.3y(t)=1700000·1,0209...t

1.4a)f(0)=7◦Cb)f(10)≈11,74◦C,f(30)≈17,20◦C,f(50)≈19,76◦C,f(70)≈20,95◦Cc)limt→∞

e−0,038·t=0=⇒limt→∞f(t)=15·(1−0)+7=22◦C

d)

1.5A(t)=66200·0,98t,A(5)≈59840VerletzungenimJahr2014

1.6N(t)=21,11...·0,99855...t

1.7t=ln(W

45)−0,223

t=7,217...h≈7h13min

1.8Wachstumum2,337%proMinute.≈8·10−5gLinkeSeitemüsstelg(a20)oderlg(a)−lg(20)sein.

1.9λ≈0,051DieHöhewächstumrund5,2%proMinute.1.10a)Esliegtnahe,fürdieBeschreibungdesMedikamentenabbauseinexponentiellesModellzuwählen,weilsichdie

MengeingleichenZeitabständen(von2h)jeweilsumdengleichenFaktor(0,6)verkleinert.N(t)=100·e−0,2554·t

t...ZeitinhN(t)...vorhandeneMengedesMedikamentsimKörperzurZeittinmgN(3)=46,4...ZurZeitt=3hsindrund46mgdesMedikamentsimKörpervorhanden.

b)

c)NacheinerZeitdauervon2·T1/2sind75%derAusgangsmengeabgebaut.d)200·0,15=200·e−0,3·t

t=6,32...Nachrund6,3StundenmussdasMedikamentwiederverabreichtwerden.

1.11a)Nachrund54TagenhatderStraucheineHöhevon40cm.b)lg(h(t))=lg(0,08)+0,03·t·lg(e)1.12L2p=20·lg(2·p

p0)=···=6,02...+Lp=⇒L2p≈Lp+6dB

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2. Exponentialfunktionen

Am Arbeitsblatt – Potenzen und Wurzeln behandeln wir Potenzen mit natürlichen, ganzzahligenund rationalen Exponenten. Welche Zahlen sind also mit 23, 2−3 und 2 3

2 gemeint?

Arbeitsblatt – Potenzen und Wurzeln

Für jedes a > 0 gibt es die Exponentialfunktion mit Basis a:

f(x) = ax.

Sie hat besondere Eigenschaften:1) a0 = 1 und a1 = a.

2) ax+y = ax · ay, x, y ∈ R.

3) Für a > 1 ist sie streng monoton steigend, und für 0 < a < 1 ist sie streng monoton fallend:

x 2x

0 11 22 43 8−1 0,5−2 0,25−3 0,125

x 0,5x

0 11 0,52 0,253 0,125−1 2−2 4−3 8

Wenn a = 1 ist, dann ist f(x) = 1x = 1 auch eine konstante Funktion.

Damit hat sie dann auch weitere Eigenschaften, die du vom Rechnen mit Potenzen kennst:

4) an = a · a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸n Faktoren

, n ∈ N.

5) a−n = 1an

= 1a · a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸

n Faktoren

, n ∈ N.

6) amn = n

√am, n ∈ N, m ∈ Z.

7) (ax)y = ax·y, x, y ∈ R.

Für jede Basis a > 0 und jede Basis b > 0 gilt:

8) (a · b)x = ax · bx 9)(a

b

)x= ax

bx

Exponentialfunktion

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Bei der Exponentialfunktion f(x) = ax ist also die Basis a eine feste, positive Zahl.Die Variable x befindet sich im Exponenten.

Bei der Potenzfunktion g(x) = xa ist es genau umgekehrt. Der Exponent a ist eine feste Zahl.Die Variable x ist die Basis der Potenz.

Vergleiche 302 mit 230. Wie sieht es mit 1002 und 2100 aus? Darum ist uns diese Unterscheidung so wichtig. . .

Exponentialfunktion oder Potenzfunktion?

Beispiel 2.1. Wir falten ein Blatt Papier mit Dicke d = 0,1 mm. Wie dick ist der Papierstapel nacheiner Faltung, zwei Faltungen, drei Faltungen oder allgemein nach n Faltungen?h(n) . . . Dicke des Papierstapels nach n Faltungen

h(1) = 21 · 0,1 mm = 0,2 mm

h(2) = 2 · h(1) = 22 · 0,1 mm = 0,4 mm

h(3) = 2 · h(2) = 23 · 0,1 mm = 0,8 mm...

h(n) = 2n · 0,1 mm

Wenn wir das Papier 42 Mal falten können, hat der Papierstapel eine Höhe von

h(42) = 242 · 0,1 mm = 242 · 0,1 · 10−6 km ≈ 439 805 km.

Das ist mehr als die Entfernung von der Erde zum Mond.

Beispiel 2.2. Das Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 2 %. Zu Beginn sind 300 e aufdem Sparbuch. Stelle eine Gleichung jener Funktion auf, die das Kapital in Abhängigkeit von derSpardauer beschreibt.

Lösung. K(n) . . . Kapital nach n JahrenErinnere dich: Vergrößern um 2 % ↔ Vergrößern auf 102 % ↔ Multiplikation mit 102 % = 1,02

K(1) = 300 · 1,02 = 306 e

K(2) = K(1) · 1,02 = 300 · 1,022 = 312,12 e

K(3) = K(2) · 1,02 = 300 · 1,023 ≈ 318,36 e...

K(n) = 300 · 1,02n �

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Beispiel 2.3. Die Anzahl an Bakterien in einer Bakterienkultur wächst exponentiell. Die vorhandeneAnzahl an Bakterien nach t Stunden wird näherungsweise durch folgende Funktion B beschrieben:

B(t) = 130 · 1,008t

a) Welche Bedeutung haben die Zahlen 130 und 1,008 im Sachzusammenhang?b) Um wie viel Prozent vermehren sich die Bakterien täglich?c) Wie viele Bakterien sind nach 30 Tagen vorhanden?

Lösung. a) B(0) = 130 · 1,0080 = 130 ist die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt t = 0. Mit jederStunde vermehrt sich die Anzahl auf 1,008 = 100,8 % des vorherigen Werts. Pro Stunde wächstdie Anzahl der Bakterien also um 0,8 %.

b) 1,00824 = 1,2107... = 121,07...%. Pro Tag vermehren sich die Bakterien also um rund 21,07...%.c) B(30 · 24) = 130 · 1,008720 ≈ 40 321. Nach 30 Tagen sind rund 40 321 Bakterien vorhanden. �

Eine (großzügige) Bank bietet dir auf dein Sparbuch mit Kapital K jährlich 100 % Zinsen.Eine andere Bank bietet dir für jedes Halbjahr 50 % Zinsen an. Welches Angebot ist besser?

Einmal 100 % Zinsen: K · (100 % + 100 %) = K · (1 + 1) = K · 2

Zweimal 100 %2 Zinsen: K · (100 % + 100 %

2 )2 = K · (1 + 12)2 = K · 2,25

Mit zweimal 50 % Zinsen wird das Kapital also insgesamt um 125 % vergrößert. Das liegt daran,dass die Zinsen von der ersten Verzinsung wieder verzinst werden („Zinseszinsen“).Erhältst du monatlich ein Zwölftel des Jahreszinssatzes, steigst du noch besser aus:

12 Mal 100 %12 Zinsen: K · (100 % + 100 %

12 )12 = K · (1 + 112)12 = K · 2,613...

Je kürzer der Zeitraum, umso besser ist die Gesamtverzinsung:

365 Mal 100 %365 Zinsen: K · (100 % + 100 %

365 )365 = K · (1 + 1365)365 = K · 2,714...

Zinseszinsen

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Die Zahlen an = (1 + 1n)n wachsen, wenn n größer wird, bleiben aber unter dem Wert 3:

a1︸︷︷︸=2

< a2︸︷︷︸=2,25

< a3︸︷︷︸=2,37...

< a4︸︷︷︸=2,44...

< . . . ≤ 3.

Diese Zahlen streben der sogenannten Eulerschen Zahl e zu. Kurz schreiben wir dafür auch

limn→∞

(1 + 1

n

)n= e = 2,718281... und sprechen:

„Der Grenzwert (oder Limes, wie limit im Englischen) von (1+ 1n)n für n gegen unendlich ist e.“

Eulersche Zahl

Was ist die kleinste Zahl n, sodass an und e bis zur vierten Nachkommastelle übereinstimmen?

Annäherung mit dem Taschenrechner

Die Exponentialfunktion mit Basis e hat besonders schöne Eigenschaften.Wir werden bei Aufgabenstellungen daher immer wieder auf Funktionen der Bauart

f(x) = eλ·x oder g(x) = e−λ·x, λ > 0,

stoßen. Tatsächlich sind das genau die gleichen Exponentialfunktionen wie zuvor:

Rechts siehst du den Graphen der Exponentialfunktion mit Basis e.Erkläre, warum eλ > 1 für alle Zahlen λ > 0 gilt.Erkläre: Wenn λ > 0 ist, dann ist

f(x) = eλ·x =(eλ)x

= ax

eine Exponentialfunktion mit Basis a = eλ > 1, und

g(x) = e−λ·x =(e−λ

)x= ax

eine Exponentialfunktion mit Basis a = e−λ = 1eλ

< 1.

Wechsel der Basis

An dieser Stelle empfehlen wir dir das Arbeitsblatt – Exponentialfunktionen.

Arbeitsblatt – Exponentialfunktionen

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Beispiel 2.4. Der Zerfall von radioaktivem Polonium 218 wird näherungsweise durch folgende Funk-tion beschrieben:

N(t) = N0 · e−0,227 26·t

t . . . Zeit in minN(t) . . . vorhandene Menge Polonium 218 nach t Minuten

a) Erkläre, warum N0 die zu Beginn (t = 0) vorhandene Menge ist.b) Wandle die Funktion in die Bauart N(t) = N0 ·at um und bestimme, wie viel Prozent der Atome

pro Minute zerfallen.c) Berechne, wie viel Prozent der Ausgangsmenge nach einer halben Stunde noch vorhanden sind.

Lösung. a) N(0) = N0 · e0 = N0, also ist N0 die zum Zeitpunkt t = 0 vorhandene Menge.b) Wir formen die Gleichung mit der Rechenregel ab·c =

(ab)c

um:

N(t) = N0 ·(e−0,227 26

)t= N0 · 0,7967...t

Pro Minute reduziert sich die vorhandene Menge also auf 79,67...% der vorherigen Menge.Es zerfallen somit 100 %− 79,67...% = 20,32...% der Atome pro Minute.

c) Es gilt:N(30) = N0 · e−0,227 26·30 = N0 · 0,001 094... = N0 · 0,1094...%

Nach einer halben Stunde sind nur mehr 0,1094...% von der Ausgangsmenge vorhanden. �

Welchem Wert nähert sich an an, wenn a zwischen 0 und 1 liegt und n immer größer wird?Erkläre die folgenden Umformungen:

0 < a < 1 ·a=⇒ a2 < a·a=⇒ a3 < a2 ·a=⇒ a4 < a3 ·a=⇒ · · ·

Erkläre damit die folgende Aussage: „Je größer der Exponent n ist, umso kleiner ist an.“Berechne die folgenden Potenzen mit dem Taschenrechner: Ist 0,51000 wirklich 0?

0,510 = 0,530 = 0,5100 = 0,51000 =

Erkläre, warum an für jedes noch so große n eine positive Zahl ist.

Monotonie und untere Schranke

Ist 0 < a < 1, dann werden die Zahlen a, a2, a3, . . . immer kleiner und kommen der Zahl 0 beliebignahe. Wir schreiben dafür auch kurz

limn→∞

an = 0.

Grenzwert

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Beispiel 2.5. Nimmst du ein Getränk aus dem Kühlschrank und lässt es geduldig vor dir stehen,nähert sich die Temperatur des Getränks immer mehr der Raumtemperatur an.Der Temperaturverlauf des Getränks kann dann durch eine Funktion der folgenden Bauart beschrie-ben werden:

f(t) = 19 ·(1− e−0,016·t

)+ 6

t . . . Zeit in Minutenf(t) . . . Temperatur in ◦C nach t ≥ 0 Minuten

a) Berechne die Temperatur des Getränks bei Entnahme aus dem Kühlschrank.b) Berechne die Temperatur nach einer halben Stunde und die Temperatur nach einer Stunde.c) Begründe, welchem Wert sich die Temperatur des Getränks annähert.

Lösung. a) Die Temperatur zu Beginn (t = 0) beträgt

f(0) = 19 ·(1− e0

)+ 6 = 19 · 0 + 6 = 6 ◦C.

b) Temperatur nach 30 Minuten bzw. 60 Minuten:

f(30) = 19 ·(1− e−0,016·30

)+ 6 = 13,24... ◦C.

f(60) = 19 ·(1− e−0,016·60

)+ 6 = 17,72... ◦C.

c) Wir überlegen uns, welchem Wert sich f(t) annähert, wenn t immer größer wird:

limt→∞

e−0,016·t = limt→∞

0,984...t = 0 =⇒ limt→∞

f(t) = 19 · (1− 0) + 6 = 25 ◦C.

Die Temperatur des Getränks nähert sich also der Raumtemperatur von 25 ◦C an. �

Wir interessieren uns für das Verhalten der Funktion f mit f(x) = c · ax + d.

Ist die Funktion streng monoton wachsend oder streng mo-noton fallend?Was passiert mit den Funktionswerten, wenn wir für x im-mer größere Zahlen einsetzen?Macht es für die Beantwortung der beiden Fragen einenUnterschied, ob . . .

. . . a > 1 oder 0 < a < 1 ist?

. . . c > 0 oder c < 0 ist?

. . . d > 0 oder d < 0 ist?Überprüfe deine Vermutungen mit Technologieeinsatz.

Exponentialfunktion mit Parametern

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Exponentielles Wachstum ist bei praktischen Anwendungen meist nur in einem begrenzten Zeitraumrealistisch. Erinnere dich an das Beispiel, bei dem ein Blatt Papier immer wieder gefaltet wird.

Stellen wir uns nun folgendes Szenario vor: Wir setzen in einem Teich ein paar Fische aus. Die Fischefinden dort beste Lebensbedingungen vor: Es gibt ausreichend Nahrung, keine Konkurrenz oder garRaubfische. Was glaubst du, wie sich die Fischpopulation über einen längeren Zeitraum entwickelnwürde?

Beispiel 2.6. Die Fischpopulation in einem Teich folgt näherungsweise einem logistischen Wachs-tum:

P (t) = P0 ·KP0 + (K − P0) · e−0,25·t

t . . . Zeit in MinutenP (t) . . . Größe der Fischpopulation nach t MonatenDer Funktionsgraph ist in der folgenden Grafik dargestellt.

a) Begründe anhand der Funktionsgleichung, warumP0 = P (0) ist. P0 ist also die Population zu Beginn.

b) Begründe anhand der Funktionsgleichung, warumK = lim

t→∞P (t) ist. K steht für „Kapazitätsgrenze“.

c) Lies die Parameter P0 und K aus der Grafik ab.

d) Berechne die Größe der Fischpopulation nach2 Jahren.

Hast du eine Idee, warum der zeitliche Verlauf tatsächlich ungefähr so aussehen könnte?

Lösung. a) P (0) = P0 ·KP0 + (K − P0) · 1

= P0 ·KK

= P0.

b) limt→∞

e−14 ·t = lim

t→∞0,7788...t = 0 =⇒ lim

t→∞P (t) = P0 ·K

P0= K.

c) P0 = 100, K = 2000.

d) P (24) ≈ 1910, also besteht die Fischpopulation nach 2 Jahren aus rund 1910 Fischen. �

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3. Logarithmusfunktionen

Ein Kapital von 300 e wächst jährlich um 2 %. Das Kapital nach n Jahren beträgt also

K(n) = 300 · 1,02n.

Wie viele Jahre dauert es bis das Kapital auf 1 Million e anwächst?Mathematisch ausgedrückt: Welche Zahl n ist eine Lösung der Gleichung

300 · 1,02n = 1 000 000 ?

Wir tasten uns langsam heran:

K(10) ≈ 366 e ; K(100) ≈ 2173 e ; K(1000) ≈ 1,2 · 1011 e

; K(500) ≈ 5 986 971 e ; K(400) ≈ 826 399 e ; K(410) ≈ 1 007 376 e

; K(409) ≈ 987 624 e

Annäherung mit dem Taschenrechner

Es würde also rund 410 Jahre dauern, bis das Kapital auf 1 Million e anwächst.In Zukunft wollen wir solche Gleichungen, bei denen die gesuchte Variable im Exponenten vorkommt,auch ohne Probieren lösen können.

Die Lösung x der Gleichung ax = b heißt Logarithmus von b

zur Basis a:

ax = b ⇐⇒ x = loga(b) a > 0, a 6= 1, b > 0

Sprechweise: „x ist der Logarithmus von b zur Basis a.“

Logarithmus

Wenn du loga(b) berechnen möchtest, überlege dir am besten: a? = b. „a hoch welche Zahl ergibt b?“

Die Zahl loga(b) erfüllt also aloga(b) = b. „a hoch“ und „Logarithmus zur Basis a“ heben einander auf.

Berechnung von Logarithmen

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Beispiel 3.1. Wir berechnen ein paar Logarithmen von Hand:

1) log10(1000) = 3, weil 103 = 1000.2) log2(16) = 4, weil 24 = 16.3) log7(49) = 2, weil 72 = 49.4) log2(0,5) = −1, weil 2−1 = 1

21 = 0,5.

5) log11(√

11) = 12 , weil 111/2 =

√11.

6) loge(e2) = 2, weil e2 = e2.7) logb(b) = 1, weil b1 = b.8) logb(1) = 0, weil b0 = 1.

Michaela fragt Luzia: „3 hoch welche Zahl ergibt 20?“

Luzia antwortet: „Naja, 32 = 9 und 33 = 27, was du suchst liegtalso irgendwo zwischen 2 und 3. Die goldene Mitte 2,5 ist noch zuwenig, weil ja 32,5 = 3 5

2 =√

243 <√

256 = 16.Eigentlich ist der Logarithmus für genau solche Fragen gemacht.Die gesuchte Zahl ist log3(20), weil 3log3(20) = 20.“

Potenz und Logarithmus mit gleicher Basis

Wie groß ist zum Beispiel log10(604,8)?

Wir wissen, dass log10(100) = 2und log10(1000) = 3, also liegtlog10(604,8) zwischen 2 und 3.Bis vor nicht allzu langer Zeit,suchte man dann auf einer Lo-garithmentafel nach der richtigenStelle:

Also ist log10(604,8) ≈ 2,7816. Ein Hoch auf den technologischen Fortschritt. . .

Logarithmentafel

Dein Taschenrechner kann zumindest die Logarithmen mit zwei besonderen Basen berechnen:

Zehnerlogarithmus (Basis 10)log10(b) ; Taschenrechner: LOGKurzschreibweise: lg(b)

Natürlicher Logarithmus (Basis e)loge(b) ; Taschenrechner: LNKurzschreibweise: ln(b)

Logarithmus am Taschenrechner

15

Mathematik macht Freu(n)de KH – Exponential- und Logarithmusfunktionen

Für Logarithmen gelten die folgenden Rechenregeln:1) loga(x · y) = loga(x) + loga(y) Aus „mal“ wird „plus“.

2) loga

(x

y

)= loga(x) − loga(y) Aus „dividiert“ wird „minus“.

3) loga (xr) = r · loga(x) Aus „hoch r“ wird „mal r“.

Rechenregeln für Logarithmen

Jeder Rechenregel für Logarithmen entspricht eine Rechenregel für Potenzen:Welche Rechenregeln für Potenzen werden hier verwendet?

1) aloga(x)+loga(y) = aloga(x) · aloga(y) = x · y, also ist

loga(x · y) = loga(x) + loga(y).

2) aloga(x)−loga(y) = aloga(x)

aloga(y) = x

y, also ist

loga(x

y

)= loga(x)− loga(y).

3) ar·loga(x) =(aloga(x)

)r= xr, also ist

loga (xr) = r · loga(x).

Begründung der Rechenregeln

Die Zahlen loga(x+ y) und loga(x) + loga(y) sind praktisch nie gleich.Gibt es überhaupt positive Zahlen x und y, für die loga(x+ y) = loga(x) + loga(y) gilt? Rechne auf beiden Seiten „a hoch“.

Keine Rechenregel für Logarithmen

Aufgabe 3.2. Ahmed, Birgit, Carina und Dino formen den Term lg(4 · (x2 − 3)5) um.

Wer hat richtig umgeformt? Hast du eine Idee, welchen Fehler die anderen gemacht haben könnten?

a) lg(4 · (x2 − 3)5) = 5 · lg(4) + 5 · lg (x2 − 3)

b) lg(4 · (x2 − 3)5) = lg(4) + 5 · lg (x2 − 3)

c) lg(4 · (x2 − 3)5) = lg(4) + 10 · lg(x)− 5 · lg(3)

d) lg(4 · (x2 − 3)5) = 20 · lg (x2 − 3)

Mit den Logarithmen können wir jetzt die Lösung der folgenden Gleichung berechnen:

300 · 1,02n = 1 000 000 ⇐⇒ 1,02n = 1 000 000300 ⇐⇒ n = log1,02(3333,3...).

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Auf Michaels Taschenrechner gibt es keine „logarithmische Taste“ für log1,02.Er würde trotzdem gerne Gleichungen der Bauart

ax = b, a, b > 0, a 6= 1

lösen können. Schau dir an, was er macht, um x = loga(b) nur mit LN zu berechnen:

ax = b

ln (ax) = ln(b)

x · ln(a) = ln(b)

x = ln(b)ln(a) .

Logarithmus mit beliebiger Basis berechnen

loga(b) =ln(b)ln(a)

, a > 0, a 6= 1

Anstatt den Logarithmus von b zur Basis a zu berechnen, kannst du jede andere Basis verwenden. Zum Beispiel Basis 10 oder Basis e.

Damit das Ergebnis stimmt, dividiere noch durch den Logarithmus von a zur neuen Basis.

Umrechnungsregel zwischen Logarithmen mit verschiedenen Basen

Die Lösung n der Gleichung 1,02n = 3333,3... ist also

n = log1,02(3333,3...) = ln(3333,3...)ln(1,02) = 409,62....

Rechts siehst du den Graphen der Exponentialfunktionf(x) = 2x. Lies die folgenden Zahlen so genau du kannstab, und rechne mit dem Taschenrechner nach.a) 21,5 ≈

b) 2−0,9 ≈

c) log2(1,5) ≈

d) log2(3,2) ≈

Exponential- und Logarithmusfunktion

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Mathematik macht Freu(n)de KH – Exponential- und Logarithmusfunktionen

Die Logarithmusfunktion

g(x) = loga(x), a 6= 1

ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

f(x) = ax.

Ihre Graphen sind also an der 1.Mediane gespiegelt.Die 1.Mediane ist die Gerade mit Gleichung y = x.

Zu jedem Punkt (x | ax) auf dem Graphen von f gibt esden gespiegelten Punkt (ax | x) auf dem Graphen von g.

Warum ist tatsächlich g(ax) = x?

Umkehrfunktion

Erkläre, weshalb der Logarithmus zur Basis 1 nicht sinnvoll ist. log1(3) = !?

Erkläre, warum der Logarithmus loga(x) nur für positive Zahlen x sinnvoll ist. log10(−1) = !?

Basis des Logarithmus

18

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4. Exponential- und Logarithmusgleichungen

Kommt die gesuchte Variable einer Gleichung im Exponenten vor, sprechen wir von einer Expo-nentialgleichung. Befindet sich die gesuchte Variable in genau einem Exponenten, dann kannst duimmer auf die gleiche Weise auf diese Variable umformen:

1) Die Gleichung wie gewohnt umformen, bis die Potenz mit der gesuchten Variable alleine aufeiner Seite steht.

2) Die Gleichung „logarithmieren“, also den Logarithmus auf beiden Seiten berechnen.3) Die dritte Rechenregel für Logarithmen anwenden, damit die gesuchte Variable nicht mehr

im Exponenten steht.4) Die erhaltene Gleichung wie gewohnt auf die gesuchte Variable umformen.

Umformen einer Exponentialgleichung

Beispiel 4.1. Welche Zahl x ist eine Lösung der folgenden Gleichung?

7 · 23·x−1 − 350 = 0

Lösung.

7 · 23·x−1 − 350 = 0 1)⇐⇒

7 · 23·x−1 = 350 1)⇐⇒

23·x−1 = 50 2)⇐⇒

lg(23·x−1

)= lg (50) 3)⇐⇒ Genauso gut kannst du auch ln oder log2 verwenden.

(3 · x− 1) · lg (2) = lg (50) 4)⇐⇒

3 · x− 1 = lg (50)lg (2)

4)⇐⇒

x =lg(50)lg(2) + 1

3 = 2,214....

�

Kommt die gesuchte Variable in einem Logarithmus vor, sprechen wir von einer Logarithmusglei-chung. Befindet sich die gesuchte Variable in genau einem Logarithmus, dann kannst du immer aufdie gleiche Weise auf diese Variable umformen:

19

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1) Die Gleichung wie gewohnt umformen, bis der Logarithmus mit der gesuchten Variable alleineauf einer Seite steht.

2) Die Gleichung mit der Basis a des Logarithmus „exponentieren“, also auf beiden Seiten„a hoch“ rechnen.

3) Die Eigenschaft verwenden, dass Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion mit Basis aUmkehrfunktionen voneinander sind. Es gilt also aloga(,) = ,.

4) Die erhaltene Gleichung wie gewohnt auf die gesuchte Variable umformen.

Umformen einer Logarithmusgleichung

Beispiel 4.2. Welche Zahl x ist eine Lösung der folgenden Gleichung?ln(5− 42 · x)

3 − 4 = 0

Lösung.ln(5− 42 · x)

3 − 4 = 0 1)⇐⇒

ln(5− 42 · x)3 = 4 1)⇐⇒

ln(5− 42 · x) = 12 2)⇐⇒

eln(5−42·x) = e12 3)⇐⇒ Der natürliche Logarithmus ln hat die Basis e.

5− 42 · x = e12 4)⇐⇒

5− e12 = 42 · x 4)⇐⇒

x = 5− e12

42 = −3874,9...

�

Exponentieller Wachstumsprozess (z. B. Vermehrung von Bakterien):

N(t) = N0 · eλ·t, λ > 0. Warum muss λ größer als 0 sein?

N(t) = N0 · at, a > 1. Warum muss a größer als 1 sein?

N(t) . . .Anzahl Bakterien nach t ZeiteinheitenN(0) = N0 . . .Anzahl Bakterien zu Beginn

Die Verdopplungszeit ist jene Zeitdauer, bis sich die untersuchte Größe (Anzahl der Bakterien)verdoppelt hat.

Exponentieller Wachstumsprozess

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Erkläre, warum die Verdopplungszeit die Lösung t der folgenden Gleichung ist:

N(t) = 2 ·N0.

Wir lösen die Gleichung nach t auf:

N0 · eλ·t = 2 ·N0 ⇐⇒ eλ·t = 2 ⇐⇒ λ · t = ln(2) ⇐⇒ t =ln(2)λ

Diese Formel brauchst du nicht auswendig wissen. Es reicht der Ansatz N(t) = 2 ·N0.

Verdopplungszeit

Beispiel 4.3. Die Populationsgröße eines Heuschreckenschwarms wird näherungsweise durch diefolgende Funktion beschrieben:

N(t) = N0 · e0,185·tt . . . Zeit in TagenN(t) . . . Größe der Population

a) Um wie viel Prozent wächst der Heuschreckenschwarm pro Tag?b) Berechne die Verdopplungszeit.c) Wie viele Stunden dauert es, bis die Population um 35 % gewachsen ist?

Lösung. a) Wir schreiben die Funktionsgleichung in der Form N(t) = N0 · at

N(t) = N0 ·(e0,185

)t= N0 · 1,2032...t

Pro Tag wächst der Heuschreckenschwarm also um 20,32...%.b) Die Verdopplungszeit ist die Lösung der Gleichung N(t) = 2 ·N0.

N0 · e0,185·t = 2 ·N0

e0,185·t = 2

0,185 · t · ln(e)︸ ︷︷ ︸=1

= ln(2)

t = ln(2)0,185 = 3,746... Tage

c) Wir lösen die Gleichung N(t) = N0 · 135 %.

N(t) = N0 · 1,35

N0 · e0,185·t = N0 · 1,35

e0,185·t = 1,35

0,185 · t · ln(e)︸ ︷︷ ︸=1

= ln(1,35)

t = ln(1,35)0,185 = 1,622... Tage = 38,93... Stunden �

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Exponentieller Abnahmeprozess (z. B. radioaktiver Zerfall):

N(t) = N0 · e−λ·t, λ > 0. Warum muss λ größer als 0 sein?

N(t) = N0 · at, 0 < a < 1. Warum muss a zwischen 0 und 1 sein?

N(t) . . .Anzahl Atomkerne nach t ZeiteinheitenN(0) = N0 . . .Anzahl Atomkerne zu Beginn

Die Halbwertszeit ist jene Zeitdauer, bis sich die untersuchte Größe (Anzahl Atomkerne) hal-biert hat.

Exponentieller Abnahmeprozess

Erkläre, warum die Halbwertszeit die Lösung t der folgenden Gleichung ist:

N(t) =N0

2.

Rechne damit die folgende Formel für die Halbwertszeit nach:

t =ln(2)λ

Halbwertszeit

Beispiel 4.4. Der Abbau von Koffein im Körper kann näherungsweise durch einen exponentiellenAbnahmeprozess mit einer Halbwertszeit von 4 Stunden beschrieben werden.

a) Zu Beginn (t = 0 h) befinden sich 40 mg Koffein im Körper. Skizziere den Graphen der Funktionim Zeitintervall [0 h; 16 h].

b) Berechne, nach wie viel Stunden sich nur mehr 20 % der Anfangsmenge Koffein im Körper befin-den.

c) Berechne, wie viel Prozent der Koffeinmenge alle 30 Minuten abgebaut werden.

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Lösung. a) Beginnend von 40 mg halbiert sich die vorhandene Menge alle 4 Stunden. Mit diesenInformationen können wir eine Wertetabelle erstellen:

t (in h) N(t) (in mg)

0 40

4 20

8 10

12 5

16 2,5

b) Von der zugehörigen Funktionsgleichung N(t) = N0 · at kennen wir N0 = N(0) = 40.Die Basis a können wir mit der Halbwertszeit berechnen:

N(4) = 20 =⇒ 40 · a4 = 20 =⇒ a4 = 0,5 =⇒ a = 4√

0,5 = 0,8408...

Wann sind nur mehr 20 % von 40 mg – also 40 · 0,2 = 8 mg – vorhanden?Wir lösen die entsprechende Gleichung:

N(t) = 8 =⇒ 40 · at = 8 =⇒ at = 0,2 =⇒ t · lg(a) = lg(0,2) =⇒ t = lg(0,2)lg(a) = 9,287... h.

Nach 9,287... h sind nur mehr 20 % der Anfangsmenge vorhanden.Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du eigentlich nur die Halbwertszeit kennen. Weißt du warum?

c) Die vorhandene Menge nach t = 30 min = 0,5 h beträgt

N(0,5) = N0 · a0,5 = N0 · 0,9170... = N0 · 91,70...%.

Nach einer halben Stunde sind also noch 91,70...% der Anfangsmenge vorhanden.Alle 30 Minuten werden also 100 %− 91,70...% = 8,29...% des Koffeins abgebaut.

Streng genommen sollten wir nachrechnen: N(t+ 0,5) = N0 · at+0,5 = N0 · at · a0,5 = N(t) · 91,70...%.

In Worten: Ganz egal bei welchem Zeitpunkt t du startest, eine halbe Stunde später sind nur mehr 91,70...% davon vorhanden.

�

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Wie viele Stellen hat die Zahl n = 4242 ?

Du kannst jede natürliche Zahl n in der Form n = 10x mit einer passenden Zahl x schreiben.Überlege dir, wie groß x ist, wenn n eine zweistellige Zahl ist. Wie groß ist x bei dreistelligenZahlen? Wie viele Stellen hat die Zahl n, wenn x = 31,17 ist? Erkläre damit die folgende Aussage:

„Die Anzahl an Stellen der natürlichen Zahl n beträgt blg(n)c+ 1.“bac ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich a ist. Zum Beispiel: b7,9235c = 7, b8c = 8.

Die Zahl n = 4242 hat also b42 · lg(42)c+ 1 = 69 Stellen.

Dezimalsystem und Zehnerlogarithmus

5. Weitere Aufgabenstellungen

Aufgabe 5.1. Bestimme die Parameter a und c der dargestellten Exponentialfunktion f(x) = c ·ax.

a) b) c)

Aufgabe 5.2. Ordne den dargestellten Funktionsgraphen ihre jeweilige Funktionsgleichung zu.

f1(x) = 0,3x

f2(x) = 1,2x − 3

f3(x) = 0,8x − 1

f4(x) = −3 · 2x

f5(x) = 3x

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Mathematik macht Freu(n)de KH – Exponential- und Logarithmusfunktionen

Aufgabe 5.3. Die Gerüchteküche brodelt. Die Anzahl an Personen, die ein Gerücht nach t Stundenkennen, wird näherungsweise durch folgende Funktion a beschrieben:

a(t) = 2 · 43·t

a) Wie viele Personen kennen zu Beginn (t = 0) das Gerücht?b) Wie lang dauert es bis sich die Anzahl der Personen, die das Gerücht kennen, vervierfacht?c) Wie viele Personen kennen das Gerücht nach 30 Minuten?

Aufgabe 5.4. Der Zerfall von radioaktivem Jod 131 wird näherungsweise durch folgende Funktionbeschrieben:

N(t) = N0 · e−0,071 92·t

t . . . Zeit in TagenN(t) . . . vorhandene Jodmenge nach t Tagen

a) Erkläre, warum N0 die zu Beginn (t = 0) vorhandene Menge ist.b) Berechne, wie viel Prozent der vorhandenen Menge pro Tag zerfallen.c) Berechne, wie viel Prozent der vorhandenen Menge pro Woche zerfallen.d) Lukas behauptet, dass nach 40 Tagen noch mehr als die Hälfte der Ausgangsmenge vorhanden

ist. Überprüfe nachweislich, ob seine Aussage stimmt.

Aufgabe 5.5. Ein Fass mit Volumen V = 60 L ist vollständig mit destilliertem Wasser (ohneSalz) gefüllt. Salzwasser mit einer Konzentration von 25 g/L wird konstant in das Fass gepumpt,wodurch das Fass durchgehend überläuft.Die im Fass vorhandene Salzmenge (in g) zum Zeitpunkt t (in Minuten) wird näherungsweise durchfolgende Funktion beschrieben:

S(t) = c · (1− e−0,08·t) + d

a) Bestimme die Parameter c und d.b) Berechne, wie viel Gramm Salz sich nach 10 Minuten im Fass befinden.

Aufgabe 5.6.Berechne ohne Taschenrechner:

• log2(16) =

• ln(e) =

• lg(1 000 000) =

• log42(1) =

Berechne mit dem Taschenrechner:• ln(50) =

• lg(50) =

• log2(50) =

Warum ist lg(50) < ln(50) < log2(50)?

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Aufgabe 5.7. Ergänze jeweils die fehlenden Darstellungen.

n(t) = n0 · e±λ·t n(t) = n0 · at n(t) = n0 ·(1± p

100

)tn(t) = 250 · e−0,05·t

n(t) = 3 500 · 0,92t

n(t) = 137 ·(1 + 4

100

)tn(t) = 250 · e−3·10−4·t

n(t) = 1,2 · 103 · 1,054t

n(t) = 2,3 · 104 ·(1− 1,3

100

)t

Aufgabe 5.8. Gib jeweils den Parameter a der zugehörigen Gleichung der Exponentialfunktionf mit f(x) = c ·ax an. Im Intervall [x;x+1] verändern sich die Funktionswerte jeweils wie angegeben:

a) Vermehrung um 2,8 % a =

b) Abnahme um 7 % a =

c) Abnahme auf 75,3 % a =

d) Vermehrung auf 105,3 % a =

e) 15 %-iges Wachstum a =

f) 37 %-ige Abnahme a =

Aufgabe 5.9. Berechne jeweils mithilfe des Logarithmus die Lösungen der folgenden Gleichungen.

a) 16x−5 = 5b) 64x−5 = 40c) 64x+3 = 125d) 2x−10 = 3125e) 100x+1 = 128

f) 512x+1 = 625g) 16x−3 = 40h) 25x+2 = 128i) 52·x + 52·x−3 = 126j) e2·x + ex − 2 = 0

Aufgabe 5.10. Berechne jeweils die Lösungen der folgenden Gleichungen.

a) log2(32) = x

b) log 14(0,25) = x

c) log 13(9) = x

d) log 15( 5√

25) = x

e) log 34(16

9 ) = x

f) xlg(x) = 42g) 7 · lg(x)− 2 · lg(x3) = 42h) lg(x− 1)− lg(x+ 1) = lg(2)i) (lg(x))2 − lg(x)− 6 = 0j) (lg(x))2 + lg(x6) = 7

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Aufgabe 5.11. Ordne den dargestellten Funktionsgraphen ihre jeweilige Funktionsgleichung zu.

f1(x) = ln(x) + 1

f2(x) = ln(x)

f3(x) = − ln(x)

f4(x) = − ln(x+ 3)

f5(x) = ln(x+ 4)− 2

Aufgabe 5.12. Erdbebenstärken werden heutzutage mit verschiedenen Skalen angegeben – diegebräuchlichste ist dabei die sogenannte „Richterskala“ (auch: „Lokalmagnituden-Skala“). Die Ma-gnitude ML dieser Skala (angegeben in Punkten) berechnet sich dabei aus der maximal gemessenenAmplitude Amax im Seismogramm:

ML = lg(Amax

A0

)A0 ist dabei ein Korrekturfaktor für die Entfernung bzw. die Dämpfung der Erdbebenwelle.

a) Vergleiche die Amplituden zweier Beben, deren Magnituden sich um einen Punkt unterscheiden.

Mit folgender Formel lässt sich der Zusammenhang zwischen der Magnitude ML eines Bebens undder dazu äquivalenten Energie E in Tonnen TNT beschreiben:

ML = 2 + 23 · lg(E)

b) Vergleiche die Energie zweier Beben, deren Magnituden sich um einen Punkt unterscheiden.c) Vergleiche die Magnituden zweier Beben, deren Energie sich um den Faktor 1000 unterscheiden.

Die Kernkraftwerke in Fukushima (Japan) wurden baulich auf Magnituden bis etwa 8,25 ausgelegt.Tatsächlich hatte das Erdbeben in Japan am 11.03.2011 eine Magnitude von 9,0.

d) Um welchen Faktor hat die Amplitude dieses Bebens jene Amplitude überschritten, auf die dieKraftwerke ausgelegt waren?

e) Um welchen Faktor hat die bei diesem Beben freigesetzte Energie jene überschritten, für die dieKraftwerke ausgelegt waren?

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5.1a)f(x)=15·1,2x

b)f(x)=200·0,8x

c)f(x)=−16·0,5x

5.2

5.3a)2Personenb)1/3h=20minc)16Personen5.4a)N(0)=N0·e0=N0,alsoistN0dievorhandeneJodmengezumZeitpunktt=0.

b)6,93...%c)39,55...%d)DieAussagestimmtnicht.Essindnurmehrrund5,6%vorhanden.

5.5a)c=1500,d=0b)≈826g

5.6log2(16)=4,ln(e)=1,lg(1000000)=6,log42(1)=0,ln(50)=3,912...,lg(50)=1,698...,log2(50)=5,643...

5.7

n(t)=250·e−0,05·tn(t)=250·0,95123t

n(t)=250·(1−4,877100)t

n(t)=3500·e−0,08338·tn(t)=3500·0,92t

n(t)=3500·(1−8100)t

n(t)=137·e0,03922·tn(t)=137·1,04t

n(t)=137·(1+4100)t

n(t)=250·e−3·10−4·tn(t)=250·0,9997

tn(t)=250·(1−0,0003

100)t

n(t)=1,2·103·e0,05259·tn(t)=1,2·103·1,054t

n(t)=1,2·103·(1+5,4100)t

n(t)=2,3·104·e−0,01309·tn(t)=2,3·104·0,987t

n(t)=2,3·104·(1−1,3100)t

5.8a)a=1,028b)a=0,93c)a=0,753d)a=1,053e)a=1,15f)a=0,635.9a)x≈5,5805b)x≈5,8870c)x≈−1,8390d)x≈21,6096e)x≈0,0536f)x≈0,0320

g)x≈4,3305h)x≈0,4926i)x=1,5j)x=05.10a)x=5b)x=1c)x=−2d)x=−0,4e)x=−2f)x1=18,79...,x2=0,0532...

g)x=42h)x=−3i)x1=−0,01,x2=1000j)x1=10,x2=10−7

5.11

5.12a)ML=lg(Amax

A0)=⇒Amax=A0·10ML

Amax(ML+1)=A0·10ML+1=10·A0·10

ML=10·Amax(ML)DieAmplitudenunterscheidensichalsoumdenFaktor10.

b)ML=2+23·lg(E)=⇒E=10

32·(ML−2)

E(ML+1)=1032·(ML+1−2)=10

32·10

32·(ML−2)=10

32·E(ML)≈32·E(ML)

DieEnergienunterscheidensichalsoetwaumdenFaktor32.c)ML(1000·E)=2+2

3·lg(1000·E)=2+23·(3+lg(E))=2+2+2

3·lg(E)=2+ML(E)DieBebenunterscheidensichum2Skalenpunkte.

d)Amax(9,0)

Amax(8,25)=A0·109,0

A0·108,25≈5,6DieAmplitudewaretwaumdenFaktor5,6zugroß.

e)E(9,0)

E(8,25)=1032·(9,0−2)

32·(8,25−2)≈13,3

DieEnergiewaretwaumdenFaktor13,3zugroß.

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